Regla de Cramer . Teorema de Rouché – Fröebenius Fröebenius.
4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. REGLA DE CRAMER Y TEOREMA DE ROUCHÉ -FRÖEBENIUS Volvemos al tema de los sistemas de ecuaciones lineales, que ya vimos en el capítulo 1. Es pues convenien conve niente te recordar recordar los conce conceptos ptos que se vieron entonces, entonces, como, la clasificación clasificación de los sistemas, sistemas, sistemas homogéneos, sistemas equivalentes.....
4.1. - Sistemas de Cramer . Sea el siguiente sistema de n ecuaciones con n incógnitas: a 11 x 1
a 12 x 2 ........... a 1n x n
b1
a 21 x 1
a 22 x 2 ........... a 2n x n
b2
bm
......................................... a n1 x 1
a n2 x 2 ........... a nn x n
En dicho sistema llamaremos matriz de coeficientes ( M ) a la matriz que contiene a los coeficientes de la incóg incógnit nitas, as, y mat matriz riz amp amplia liada da ( M |b) a la ma matr triz iz qu que e cont contie iene ne a los los coef coefici icien ente tess y a los los té térmi rmino noss independientes. También llamaremos matriz de términos independientes a la matriz que contiene dichos términos ( B), y matriz de incógnitas a la matriz columna X que que contiene las incógnitas del sistema Es decir:
Matriz de coeficientes: M
a 11
a 12 ..... a 1n
a 21
a 22 ..... a 2n
... ..... .... .. ..... ..... .. ..... ... ... ..... .... a n1
Matriz ampliada; M |b
a n2 ..... a nn
a 11
a 12 ..... a 1n
b1
a 21
a 22 ..... a 2n
b2
... ..... .... .. ..... ..... .. .... .... ... ..... .... a n1
a n2 ..... a nn
.... bn
b1
Matriz de términos independientes: independientes: B
b2
.... bn
x 1
Matriz de incógnitas: X
x 2
..... x n
1
MATEMÁTICAS II
Además un sistema de n ecuaciones con n incógnitas se puede poner de forma matricial de la siguiente manera: a 11
a 12 ..... a 1n
a 21
a 22 ..... a 2n
x 1
...... ...... ..... ...... a n1
a n2 ..... a nn
b1
x 2
b2
.....
....
x n
bn
Es decir: M X B
Un sistema diremos que es de Cramer , si el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas y además el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Regla de Cramer : Si el sistema
a 11 x 1
a 12 x 2 ........... a 1n x n
b1
a 21 x 1
a 22 x 2 ........... a 2n x n
b2
bm
......................................... a n1 x 1
a n2 x 2 ........... a nn x n
es de Cramer entonces es COMPATIBLE
DETERMINADO y la solución del mismo es: b1
a 12 ..... a 1n
b2
a 22 ..... a 2n
...... ...... ..... ...... x 1
bn
a n2 ..... a nn
| M | a 11
b 1 ..... a 1n
a 21
b 2 ..... a 2n
...... ...... ..... ...... x 2
a n1
b n ..... a nn
| M |
................................................ a 11
a 12 ..... b 1
a 21
a 22 ..... b 2
...... ...... ..... ...... x n
a n1
a n2 ..... b n |M |
Sea el siguiente sistema de Cramer a 11 x 1
a 12 x 2 ........... a 1n x n
b1
a 21 x 1
a 22 x 2 ........... a 2n x n
b2
bm
......................................... a n1 x 1
escrito en forma matricial será:
2
a n2 x 2 ........... a nn x n
Regla de Cramer . Teorema de Rouché – Fröebenius.
M X B
Como | M | 0 existe por tanto la matriz inversa de M , M 1 y podemos multiplicar la expresión anterior por M 1 por la izquierda: M X B M 1 M X M 1 B X M 1 B
Si sustituimos estas matrices por su valor tendremos: x 1 x 2
.....
1
| M |
x n
A 11 A 21 .... A n1
b1
A 12 A 22 .... A n2
b2
....
..... .... .....
....
A 1n A 2n .... A nn
bn
luego: x 1
b 1 A 11
b 2 A 21 ........ b n A n1 | M |
x 2
b 1 A 12
b 2 A 22 ........ b n A n2 | M |
................................................ x n
b 1 A 1n
b 2 A 2n ........ b n A nn | M |
Si se observa los numeradores de estas expresiones son, respectivamente los siguientes determinantes: b1
a 12 ..... a 1n
b2
a 22 ..... a 2n
...... ...... ..... ...... bn
a n2 ..... a nn
Ejercicio Cramer
,
a 11
b 1 ..... a 1n
a 21
b 2 ..... a 2n
...... ...... ..... ...... a n1
, ............y
a 11
a 12 ..... b 1
a 21
a 22 ..... b 2
...... ...... ..... ......
b n ..... a nn
a n1
a n2 ..... b n
Comprobar que el siguiente sistema es de Cramer y resolverlo utilizando la regla de x 2 y 4 z
2 x y 5 z x y z
1
1
2
4.2. - Teorema de Rouché - Fröebenius Sea el sistema de m ecuaciones y n incógnitas: a 11 x 1
a 12 x 2 ........... a 1n x n
b1
a 21 x 1
a 22 x 2 ........... a 2n x n
b2
bm
......................................... a m1 x 1 a m2 x 2 ........... a mn x n
El teorema de Rouché-Fröebenius afirma: Teorema ”La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea compatible, es que el rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la matriz
3
MATEMÁTICAS II
ampliada”. Demostración
El teorema afirma que El sistema es COMPATIBLE
rangoM rangoM |b
Veamos en primer lugar que: Si el sistema es COMPATIBLE
rangoM rangoM |b
Si el sistema es compatible, entonces tiene solución, es decir, existen n valores para las incógnitas s 1 , s 2 ,......., s n que verifican todas las ecuaciones del sistema: a 11 s 1
a 12 s 2 ........... a 1n s n
b1
a 21 s 1
a 22 s 2 ........... a 2n s n
b2
bm
......................................... a m1 s 1
a m2 s 2 ........... a mn s n
Si sustituimos b 1 , b 2 ,....., b n en la matriz ampliada tenemos:
M |b
a 11
a 12 ..... a 1n
a 11 s 1
a 12 s 2 ........... a 1n s n
a 21
a 22 ..... a 2n
a 21 s 1
a 22 s 2 ........... a 2n s n
...... ...... ..... ...... a n1
a n2 ..... a nn
.... a m1 s 1
a m2 s 2 ........... a mn s n
La última columna es combinación lineal de las restantes, luego a efectos del cálculo del rango puede suprimirse y se tiene entonces que: rangoM rangoM |b
Veamos ahora que: Si rangoM rangoM |b Si rangoM rangoM |b Sea |C r |
El sistema es COMPATIBLE
r , entonces existe al menos un menor de orden r distinto de cero.
0 el determinante r r distinto de cero.
Eliminamos las ecuaciones que no intervienen en este menor (por ser combinación lineal de las r ecuaciones que intervienen, el sistema que obtenemos es equivalente al inicial). Consideramos las r incógnitas que intervienen en C r como principales y las otras como parámetros (pasándolas a la derecha de las ecuaciones junto con los términos independientes), obtenemos asi un sistema equivalente al inicial, y de Cramer ya que C r sería la matriz de coeficientes, luego el sistema sería COMPATIBLE. Conclusión: rangoM rangoM |b rangoM rangoM |b
SISTEMA COMPATIBLE
n o de incógnitas
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO rangoM rangoM |b
n o de incógnitas
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO rangoM rangoM |b
SISTEMA INCOMPATIBLE
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