Guía sobre Regla de Cramer

HERMANAS MISIONERAS DE JESUS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Regla de Cramer  Método de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones Para simplificar la resolución de un sistema lineal desarrollaremos un método elaborado por Gabriel Cramer, quien lo presento en 1750. Cualquier sistema de ecuaciones con incógnitas se puede escribir de la siguiente manera:

 

x x

 

y y

donde a, b, c, y d son los coeficientes de las incógnitas, además e y f son números.

Lo primero que debemos realizar, es un cálculo denominado Determinante Principal, en el cual solo se utilizan los coeficientes numéricos de las incógnitas. Δ

a

c

b

d

 a  d  b  c ,

si puedes puedes observ observar ar corres correspon ponde de a un multip multiplic licaci ación ón cruzad cruzada, a, donde donde la segund segunda a diagonal cambia de signo y se identifica con la letra griega Δ (delta).

A continuación, se calcula otros dos Determinantes correspondientes a cada una de las incógnitas.



Δx

c

e

 e  d  f  c

a

e

a f   b e (Determinante de y) d b f  Si puedes observar, la columna correspondiente a los coeficientes de las incógnitas fue reemplazada por los valores numéricos e y f. f 

Δy

(Determinante de x)









Luego las incógnitas o solución del sistema corresponderán a: x 



Δx Δ

, y

Δy

siempre y cuando

Δ

0

El siguiente ejemplo ratifica el método de Cramer. Supongamos que queremos resolver:

 

2x -x

Δ



Δ x



x



5y 2

3

1

5

1

3

2 5

Δx Δ

 

3y



1 13

1

, según lo anterior tenemos:

2

 2  5  (1)  3  10  3  13  1  5  2  3  5 - 6  1 , y

Δy Δ



5 13

Δ  y

y



2

1

-1 2

 2  2  (1) 1  4  1  5

, luego el sistema tiene como solución:

, así

  1 , 5       13 13  

Actividades:

1) Resuelve por Cramer : 4x

a)

2x

 

7y 5y

 

26 16

2x

b)

- 5x

 

5y 2y

 

-1 1

x

c)

x

 

y y

 

1

x

2

d) 2 2x

y

  3  3y 

1 2

2) Si Δ = 0 según el método de Cramer , ¿qué puedes decir de las soluciones del sistema?

3) Resuelve los siguientes sistemas, correspondientes a rectas en el plano, por el método de Cramer :

a)

2 x 4x

y   2y 

1 10

b)

2 x 4x

y   2y 

1 2

¿Qué sucede? ¿Cuál es la situación geo métrica de las rectas de cada sistema?