CAPiTULO
Deflexión de vigas • y eJes
12 OBJETIVOS DEl CAPíTULO
Con frecuencia se deben establecer límites para la cantidad de deflexi6n que pueda sufrir una viga o un eje, cuando se le somete a una carga, por lo que en este capítulo describiremos varios métodos para determinar la deflexión y la pendiente en puntos específicos de vigas y ejes. Entre los métodos analíticos están el de integración, el uso de funciones de discontinuidad y el de superposición. Taínbién se presentará una técnica semigráfica, llamada método de momento de área. Al final del capítulo usaremos esos métodos para determinar las reacciones en los so-portes de una viga o un eje que sean estáticámente indeterminados.
12.1
La curva elástica •
•
;
~
j
•
Antes de determinar la pen~Ílte f>'e~ desplazamiento en un punto de una viga (o un eje), con frecuencia es útil bosquejar la fanna flexionada de la viga al cargarla, para "visualizar" los (eSiUltados calculados, y con ello comprobar en fonna parcial esos resultados. El diagrama de deflexión del eje longitudinal que pasa por el centroide de cada área transversal de la viga se llama curva elástica. Para la mayor parte de las vigas la curva elástica se puede bosquejar sin grandes dificultades. Sin embargo. al hacerlo es necesario conocer cómo se restringen la pendiente o el desplazamiento en diversos tipos de soportes. En general, los soportes que resisten una fuerza, como un pasador, restringen el desplazamiento , y los que resisten un momento, por ejemplo una pared fija, restringen la ro/ación o la pendiente, y también el desplazamiento. Con lo anterior en mente, se muestran dos ejemplos característicos de curvas elásticas para vigas (o ejes) cargadas., bosquejadas con una escala muy exagerada, en la figura 12-1.
p
Ji,
t
;:::::>
i p
Fig. U-l
587
588
CAPITULO 12 Deflexión de vigas y ejes
•
Cuando parece difícil establecer la curva elástica de una viga, se sugiere trazar primero su diagrama de momentos. Al usar la convención de signos para vigas establecida en la sección 6.1, un momento interno positivo tiende a doblar la viga en forma cóncava hacia arriba, figura 12-2a. De igual forma, un momento negativo tiende a doblar la viga para que quede cóncava hacia abajo, figura 12-2b. Por consiguiente, si se conoce el diagrama de momentos, será fácil formar la curva elástica. Por ejemplo, veamos la viga de la figura 12-3a, con su correspondiente diagrama de momentos de la figura 12-3b. Debido a los apoyos de rodillo y de pasador (apoyo "libre" y "articulado" o "libre pero guiado", respectivamente ), los desplazamientos en B y en D deben ser cero. Dentro de la región AC, de momento negativo, figura 12-3b,la curva elástica debe ser cóncava hacia abajo, y dentro de la región CD de momento positivo, la curva elástica debe ser cóncava hacia arriba. Por consiguiente. debe haber un punto de inflexión en el punto C, donde la curva cambia de cÓncava hacia arriba a cóncava hacia abajo ya que éste es un punto donde el momento es cero. Aprovechando lo anterior, la curva elástica de la viga se bosqueja a una escala muy exagerada en la figura 12-3c. También se debe observar que los desplazamientos 8. A y 8. E son especialmente críticos. E n el punto E , la pendiente de la curva elástica es cero, y allí la deflexión de la viga puede ser máxima. E l que 8. E sea en realidad mayor que 8. A depende de las magnitudes relativas de p ¡ Y P" y de la ubicaCión del rodillo en B. De acuerdo con estos principios, obsérvese cómo se trazó la curva elástica de la figura 12-4. En este caso la viga está en voladizo, desde un soporte fijo en A , y en consecuencia la curva elástica debe tener desplazamiento cero y pendiente cero en ese punto. También, el máximo desplazamiento estará en D , donde la pendiente es cero, o en C.
Momento interno positivo cóncava hacia arriba
Momento interno negativo cóncava hacia abajo (b)
Fig.12-2
P,
(a)
A
~
B
,... P,
P
. .' "
•.
•
e
,
,~
..
~
(a) A
c)M
• D
E
M (b)
MI
~
~
x
e---~~~----------------~L---x
(b)
Diagrama de momento
Diagrama de momento
(e)
A
~l-_ _= _ ___~~_~¿/'--1.f-"~LC ~
!~
¡===:::::::
Punto de inflexión
D ::::::::----
D
Curva elástica Curva elástica Fig. U-3
Fig.12-4
,
SECCiÓN 12.1
La curva elástica
Relación entre momento y curvatura. Ahora desarrolJaremos una importante relación entre el momento interno en la viga y el radio de curvatura p (rho) de la curva elástica en un punto. La ecuación que resulte se usará en todo el capítulo como base para establecer cada uno de los métodos que se presentan para determinar la pendiente y el desplazamiento de la curva elástica para una viga (o eje). El análisis a continuación, en esta sección y en la siguiente, necesitará usar tres coordenadas. Como se ve en la figura 12-5a, el eje x se extiende positivo hacia la derecha, a lo largo del eje longitudinal inicialmente recto de la viga. Se usa para ubicar al elemento diferencial, que tiene un ancho dx no deformado. El eje ves positivo hacia arriba a partir del eje x. Mide el desplazamiento del centroide en el área transversal del elemento. Con estas dos coordenadas, después definiremos la ecuación de la curva elástica, de ven función de x. Por último, una coordenada y "localizada" se usa para especificar la posición de una fibra en el elemento de viga. Es positiva hacia arriba a partir del eje neutro, como se ve en la figura 12-5b. Recuérdese que es la misma convención de signos de x y y que se usó al deducir la fórmula de la flexión. Para deducir la relación entre el momento interno y p, limitaremos el análisis al caso más común de una viga inicialmente recta, que se deforma elásticamente mediante cargas aplicadas en dirección perpendicular al eje x de la viga, y que están en el plano de simetría x-v, para el área transversal de la viga. A causa de las cargas, la deformación de la viga se debe tanto a la fuerza cortante interna como al momento de flexión interno. Si la viga tiene una longitud mucho mayor que su peralte, la máxima deformación se deberá a la flexión, y en consecuencia dirigiremos nuestra atención a sus efectos. Las deflexiones causadas por cortante se describirán más adelante en el capítulo.
O'
.
~ .,
\
,
~ - 0.- :'.~;:~
• •
... : ,. '
.' ...
- .. ., .,,....."""-
f
.,
p
p
p M
dx-!
8
x
Antes de la deformación
(a)
Después de la deformación (b)
Fig.12-5
•
589
590
•
CAPITULO 12 Deflexión de vigas y ejes
Cuando el momento interno M deforma al elemento de la viga, el ángulo entre los cortes transversales se transforma en dO, figura 12-5b. El arco dx representa una porción de la curva elástica que corta al eje neutro para cada sección transversal. El radio de curvatura de este arco se define como la distancia p medida desde el centro de curvatura O' hasta dx. Todo arco en el elemento que no sea dx está sometido a una deformación unitaria normal. Por ejemplo, la deformación unitaria en el arco ds, ubicado en la posición y respecto al eje neutro, es € = (ds l - ds) / ds. Sin embargo, ds ~ dx ~ p de y ds' ~ (p - y) de, por lo que < ~ [(p - y) de pde)l /p de; es decir, que
O'
dO p
p
1
~
p
Antes de la deformación
<
(12-1 )
y
Si el material es homogéneo y se comporta en fo rm a lineal-elástica, se aplica la ley de Hooke, € = u/E. También, como se aplica la fórmula de la flexión, u = -My /1. Al combinar estas ecuaciones y sustituir en la (12-1), se obtiene
Después de la deformación (b) Fig. 12-5
(12-2)
donde, p = radio de curvatura en un punto específico de la curva elástica (l / p se le llama la curvatura)
momento interno en la viga, en el punto donde p se va a determmar E = módulo de elasticidad del material 1 = momento de inercia del área transversal de la viga, respecto al eje neutro
M
.."'\"
, .,
. . fig.12:6
,
.
,
~_?
<
,. '
=
En esta ecuación, al producto El se le llama rigidez flexionante , o rigidez a la flexión, y siempre es una cantidad positiva. E l signo p, entonces, depende de la direccióri del momento. Como se ve en la figura 12-6, cuando M es positivo, p se dirige hacia arriba de la viga, es decir, en la dirección de u positiva; cuando M es negativo , p se dirige hacia abajo de la viga, o sea hacia la dirección de v negativa . Cuando se usa la fó rmula de la flexión, u ~ -My/ I, también se puede expresar la curvatura en función del esfuerzo en la viga, como sigue:
1 p
Ey
(12-3)
Las ecuaciones 12-2 y 12-3 son válidas para radios de curvatura pequeños o grandes. Sin embargo, casi siempre el valor de p que se calcula es una cantidad muy grande. Por ejemplo, para una viga de acero A-36 de W14 X 53 (apé ndice B), do nde E" ~ 20(103 ) klb / pulg2 y uy ~ 36 kJb/pulg2, y cuando el material en las fibras exteriores y = ::!::.7 pul g está a punto dejluir,ento nces,de acuerdo con la ecuación 12-3,p = : !: . 5639 pulg o 143 metros. Los valores de pcalculados en otros puntos a lo largo de la curva elástica de la viga, pueden ser todavía mayores, ya que u no puede ser mayor que Uy en las fibras exteriores.
SECCiÓN 12.2
Pendiente y desplazamiento por integ ración
•
591
12.2 Pendiente y desplazamiento por integración La curva elástica de una viga se puede expresar en forma matemática como v = f(x). Para obtener esta ecuación primero debemos representar la curvatura (l j p) en función de vy x. En la mayor parte de los libros de cálculo se demuestra que esta relación es 1 P
=
d'v/dx'
,,-------,---'-------,-;;:= [1 + (dv/ dx )']3/2
Al sustituir en la ecuación 12-2, se obtiene d'v/ dx'
M
[1 + (dv/ dx )'l'/2
El
(12-4)
Ésta es un a ecuación diferencial no lineal de segundo orden. Su solución, llamada la elástica, define la forma exacta de la curva, suponiendo, naturalmente, que la deflexión de la viga sólo se debe a la flexión. Con el uso de matemáticas superiores se han obtenido soluciones de la elástica sólo para casos simples de geometría y carga de la viga. Para facilitar la solución de mayor cantidad de problemas de defIexión, se puede modificar la ecuación 12-4. La mayor parte de los códigos de diseño en ingeniería especifican limitaciones de la deflexiones, con fines de tolerancias o estéticos, y en consecuencia las deflexiones elásticas de la mayor parte de las vigas y los ejes forman curvas no pronunciadas. Entonces, la pendiente de la curva elástica que se determina con dvjdx debe ser muy pequeña, y su cuadrado será despreciable en comparación con la unidad.* Por consiguiente, la curvatura, tal como se definió anteriormente, se."puede aproximar con l jp = d2ujdx 2. Con esta simplificación, la ecuacióp.'12-4 se puede escribir como sigue: . '
..;
'," . .r
d'v dx'
=
M El
(12-5)
También es posible escribir esta ecuación en dos formas .alternativas. Si se diferencia cada lado con respecto ax,y si se sustituye V = dM jdx (ecuación 6-2), se obtiene
d ( d'V)
dx El dx'
Diferenciando de nuevo, con -w
-
V(x)
(12-6)
dV /dx, la ecuación (6-1) resulta
d' ( EI -d'V)
dx'
"'Véase ejemplo 12.1.
=
=
dx'
=
-w(x)
(12-7)
El momento de inercia de este tablero de puente varía a lo largo de su longitud, cosa que se debe tener en cuenta al calcular su deflexión.
592
•
CApiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
Para la mayor parte de los problemas, la rigidez flexionante será constante a lo largo de la viga. Suponiendo que ese es el caso, los resultados anteriores se pueden reordenar en el siguiente conjunto de ecuaciones:
d'v
(12-8)
E I - = -w(x)
dx' 3
El d v = V(x)
(12-9)
El d'v = M(x)
(12-10)
dx 3
dx'
Para resolver cualquiera de estas ecuaciones se requieren integraciones sucesivas para obtener la deflexión vde la curva elástica. Para cada integración es necesario introducir una "constante de integración" para después determinar todas las constantes y obtener una solución única para determinado problema. Por ejemplo, si la carga distribuida se expresa en función de x, y se usa la ecuación 12-8, se deben evaluar las cuatro constantes de integración; sin embargo, si se determina el momento interno M y se usa la ecuación 12-10, sólo se deben determinar dos constantes. La elección de con cuál ecuación comenzar depende del problema . Sin embargo, en general es más fácil determinar el momento interno M en función de x, integrar dos veces y sólo evaluar dos constantes de integración. Recuérdese de la sección 6.1 que si la carga en una viga es discontinua, esto es, es una serie de varias cargas distribuidas y concentradas, se deberán escribir varias funciones para definir el momento interno, cada una válida dentro de la región entre las discontinuidades. También, para comodidad de escritura de cada ecuación de momentos, el origen de cada coordenada x se puede seleccionar en forma arbitraria. Por ejemplo, para la viga de la figura 12-7a, el momento interno en las regiones AB, Be y p CD se puede escribir en función de las coordenadasx},x2 y X 3 seleccionadas, como se ve en las figuras 12-7b .q 12-7c, o de hecho en cualquier for'í::¡il;i~~'¡===l?-===::;¡i! D ma en que M = f (x) sea la form'a má,s simple que sea posible. Una vez " B e integradas esas funciones usando la ecuación 12-10, y determinadas las constantes de integración, his funciones' determinarán la pendiente y la (,) deflexi6n (la curva elástica) para cada 'r egión de la viga para la que son válidas esas funciones.
p
w
ITJJr'lImlI
D
A
e (ol
(b)
Fig.12-7
D
SeCClON 12.2
+v
Pendiente y desplazamiento por integración
•
593
+V
Convención del signo positivo
v
,
O'
O'
v
+p
Curva elástica
Convención del signo positivo
Convención del signo positivo (b)
(e)
Fig.12·8
Convención de signos y coordenadas. Al aplicar las ecuaciones 12-8 a ~2-10 , es importante usar los signos adecuados de M, Va w, como se def¡nen con la convención de signos que se usó al deducir esas ecua· ciones. Como repaso, esos términos se muestran en la figura 12-8a con sus direcciones positi vas. Además, recuérdese que la deflexión positiva ves hacia arriba, y en consecuencia, el ángulo (} con pendiente positiva se me· dirá en sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del eje x , cuando x es positivo hacia la derecha. La razón de ello se ve en la figura 12-8b. En ella, los aumentos positivos dx y dv, en x y v, crean un ángulo 6 mayor, que es contrario a las manecillas del reloj. Por otra parte,six po· sitiva se dirige hacia la izquierda, entonces 8 será positivo en el sentido de las manecillas del reloj, figura 12-8c. Se debe hacer notar que al suponer que dvjd.x es muy pequeño, la longitud horizontal original del eje de la viga, y el arco de su curva elástica serán aproximadamente iguales. En otras palabras, ds en las figuras 128b Y12·8e es aproximadamente igual a dx, ya que ds = v'(dx)' + (dv)' = V I + (dv/ dx)2 dx .... dx. En consecuencia, los puntos en la curva elástica se suponen estar desplazados verticalmente, y no horizontalmente. Tam· bién, como el ángulo pendiente (} será muy pequeño, su valor en radianes se puede determinar en forma directa con 6 = tan 8 = dvjd.x.
El diseño de un sistema de techo requiere tener muy en cuenta las de flexio nes. Por ejemplo, se puede acumular la lluvia en algunas zonas del techo, causando es· tancamientos, causando más deflcxi6n y la posible falla del techo.
594
•
CAPiTULO 12 Oeflexión de vigas y ejes
Condiciones en la frontera y de continuidad. Las constantes de integración se determinan evaluando las funciones de cortante, momento, pendiente O desplazamiento en un punto determinado de la viga, donde se conozca el valor de la función. Esos valores se llaman condiciones en la frontera. Varias condiciones posibles en la frontera, que se usan con frecuencia para resolver problemas de deflexi6n de vigas (o ejes) se ven en la tabla 12-1. Por ejemplo, si la viga está soportada por un rodillo o un pasador (1,2,3,4), se requiere que el desplazamiento sea cero en esos puntos. Además, si esos apoyos están en los extremos de la viga (1,2), el momento interno en la viga debe ser cero. En el soporte empotrado o fijo (5), la pendiente y el desplazamiento son cero, ambos, mientras que en la viga con extremo libre (6) el momento y el cortante son cero. Por último, si dos segmentos de una viga se conectan con un pasador o bisagra " internos" (7), el momento debe ser cero en esta conexión. Si no se puede usar una sola coordenada x para expresar la ecuación de la pendiente o de la curva elástica, se deben usar condiciones de continuidad para evaluar algunas de las constantes de integración. Por ejemplo, para la viga de la figura 12-9a, donde las coordenadas x se escogen ambas con orígenes en A. Cada una sólo es válida dentro de las regiones O -< Xl -< a y a -< X2 -< (a + b). Una vez obtenidas las funciones de la pendiente y la deflexión, deben dar los mismos valores de pendiente y de deflexión en el punto B, para que físicamente la curva elástica sea continua. Expresado en forma matemática, se necesita que 8,(a) = o,(a) y que V:L(a) = VZ(a). Entonces se pueden usar esas ecuaciones para evaluar dos constantes de integración. Por otra parte, si la curva elástica se expresa en función de las coordenadas O -< Xl -< a y O -< X2 -< b, como en la figura 12-9b , para que haya continuidad de pendiente y deflexión en B se requiere que 8,(a) = 82 (b), Yque lJ¡(a) = v,(b). En este caso en particular es necesario un signo negativo para que coincidan las pendientes en B, porque Xl se prolonga positivo hacia la derecha, mientras X 2 se prolonga positivo hacia la izquierda. En consecuencia, 61 es positivo en sentido contrario al de las manecillas del reloj , y 8z es negativo en sentido de las manecillas del reloj. Vea las figuras 12-8b y 12-8c.
TABLA 12 -_1;.....¡
6=0 Rodillo
2
~=O
Articulado
3
~=o
Rodillo
4
6 =0 Aniculado
5
8=0 ~=O
Extremo fijo
6
v=o M=O Extremo libre
7
M=O Articulación o bisagra interna
V¡.V2
A
~a
v,
p
B
b
e
v
~x,
V2
~a iB p
A
8
v f- x,
b~ e ~
8
x2 (b)
(al
Fig.12.9
X2 -1
SECCiÓN 12.2
Pendiente y desplazamiento por integración •
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS El procedimiento que sigue es un método para detenninar la pendiente y la deOexión de una viga (o de un eje) usando la integración. Curva elástica.
• TI-azar una vista exagerada de la curva elástica. Recordar que en todos los soportes fijos o empotrados la pendiente es ee~o y el desplazamiento es cero, y que en todos los apoyos con pasador y con rodillo el desplazamiento es .:ero. • Establecer los ejes coordenados x y v. El eje x debe ser paralelo a la viga no flexionada y puede tene.r el origen en cualquier':punto. de la viga, con la dirección positiva que puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda. • Si hay varias cargas discontinuas presentes, definir las coordenadas x que sean válidas para cada región de la viga entre las discontinuidades. Escoger esas coordenadas para que simplifiquen el trabaio algebraico que siga. • En todos los casos, el eje v positivo correspondiente debe dirigirse hacia arriba.
Función de carga o de momento. • Para cada región en la que hay una coordenada x, expresar la carga w o el momento interno M en función de x. En particular, suponer siempre que.M actúa en direcci6n positiva al aplicar la ecuación de equilibrio de momentos para determinar M = [(x).
Pendiente y curva elástica. • Siempre que El sea constante, aplicar la ecuación de carga El d 4u/di4 = -w(x), para lo que se requiere cuatro integraciones para llegar a v = v(x), o la ecuación de momento El d 2vjdx 2 = M(x), que sólo requiere dos integraciones. Es importante incluir una constante de integracíón, en cada i,ntegración .. • Las constantes se evalúan usando las condiciones en la frontera para los apoyos (tabla 12-1) y las condiciones de continuidad que se apliquen a la pendiente y al desphlzamierito en puntos donde dos funciones se .encuentran. Una vez evaluadas las constantes., y sustituidas en las ecuaciones de pendiente y deflexión, se pueden detenninar entonces la pendiente y el desplazamiento en puntos especificos de la curva elástica. • Los valores numéricos obtenidos se pueden comprobar' en forma gráfica, comparándolos con el esquema de la curva elástica. Se debe tener en cuenta que los valores positivos de la pendiente son en contra de las manecillas del reloj, si el eje x se extiende positivo hacia la derecha, y en el sentido de las manecillas del reloj si el eje x se extiende positivo hacia la izquierda. En cualquier caso, el desplazamiento positivo es hacia arriba.
595
596
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
•
EJEMPLO La viga en voladizo de la figura 12-10a está sometida a una carga vertical P en su extremo. Deducir la ecuación de su curva elástica. El es constante. Solución I
Curva elástica. La carga tiende a flexionar a la viga como se ve en la figura 12-10a. Por inspección, el momento interno se puede representar en toda la viga con una sola coordenada x. Funci6n de momento. De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre, con M actuando en dirección positiva, figura 12-lOb, M v
Pendiente y curva elástica. veces se obtienen
d' v
dx'
t""'~e~,~~==~=if-"B-x
A1 VJ:3
:::-.-
-
Al apUear la ecuación 12-10 e integrar dos
EI-~
p
x--l
Curva elástica
r----------- L-----------1 (, )
e¡
(2)
-6 + e¡x + e,
~
Elv
(1)
Px 3
(3)
Se usan las condiciones en la frontera dv/dx = O en x = L, Y v = Oen x = L; entonces las ecuaciones 2 y 3 se transforman en PL'
- --- + e¡ 2
PL 3 - -6- + e¡L +
o~
Fig.12·10
-Px
El dv ~ - Px' -- + dx 2
o~
(h)
- Px
~
e,
Por consiguiente, C l = PL 2/ 2 y C2 = - P L 3/ 3. Se sustituyen estos resultados en las ecuaciones 2 y 3, con () = dv/dx , y se obtiene P e ~ -2E! (L' -
v
~
-
P
6EI
x')
( - x 3 + 3L' x - 2L3 )
Resp.
La pendiente y el desplazamiento máximos están en A (x = O), para el cual 8
PL' 2E!
(4)
PL 3 --3El
(5)
--
A -
SECCiÓN 12.2
Pendiente
y desplazamiento por integración
El resultado positivo para 9A indica una rotación en sentido contrario de las manecillas del reloj y el resultado negativo para VA indica que VA es hacia abajo. Esto concuerda con los resultados bosquejados en la figura 12-10a. Para tener alguna idea de la magnitud real de la pendiente y el desplazamiento en el extremo A, supongamos que la viga de la figura
12-1Oa tiene 15 pies de longitud, que sostiene una carga P ~ 6 klb Yque es de acero A-36 con E" ~ 29(10') klb /pulg2 Al aplicar los métodos de la sección 11.3, si esa viga estuviera diseñada sin factor de seguridad, al suponer que el esfuerzo normal admisible es igual al esfuerzo de fluencia Uadm = 36 klb /puJg2 , entonces se ve que es adecuada una viga
W12 x 26 (I ~ 204 pulg4 ). Con las ecuaciones 4 y 5 se obtienen
eA ~ v
6 klb(15 pies)'(12 pulgj pie)' 2[29(103 ) klbj pulg'](204 pulg4 )
~ A
6 klb(15 pies)'(12 pulgj pie)' 3[29(10') klbj pulg' ](204 pulg4 )
0.0164 rad
~-197pulg •
Ya que el ~ (dvjdx)' ~ 0.000270 rad' « 1, esto justifica el uso de lá ecuación 12-10, y el no aplicarla ecuación 12-4, más exacta, para calcular la deflexi6n de las vigas. También, como esta aplicación numérica es para una viga en voladizo, hemos obtenido valores mayores de 9 y V que los que se hubieran obtenido usando pasadores, rodillos u otros soportes fijos. Solución 11
También se puede resolver este problema usando la ecuación 12-8, El d'vjdx4 ~ -w(x). En este caso w(x) ~ Opara O
~
O
~
Cí
~
El d v dx 4
d 3v El dx'
V
Se puede evaluar la constante del cortante C'l en x = 0, ya que VA = - p (negativo, de acuerdo con la convención de signos, figura 12-8a). Así, C'¡ = -P. Al integrar de nuevo se obtiene la forma de la ecuación
12-10, es decir, d'v dx'
EI - ~
En este caso, M
~
-P
d'v El - , ~ - Px + Cí ~ M dx Oen x ~ O, por lo que C', ~ O, Y el resultado es que
se obtiene la ecuación 1 y la solución prosigue como se indicó antes.
•
597
598
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
EJEMPLO La viga simplemente apoyada de la figura 12-11a sostiene la carga distribuida triangularmente. Determinar su deflexión máxima. El es constante.
l (2Wo x\x = I'b X2 2
L ')
L
wO L 4 (,)
(b)
Fig.12-11
Solución I
Curva elástica. De~ido a la simetría, sólo se necesita una coordenada x para la solución; en este caso O< x :$ L / 2. La viga se flexiona como indica la figura .12-11a. Observe que la deflexión máxima está en el centro, porque en ese punto la pendiente es cero.
Función de momento.
La carga distribuida actúa hacia abajo, y por consiguiente es positiva de acuerdo con nuestra convención de signos. En la figura 12-11b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento de la izquierda. La ecuación para la carga distribuida es
2wo w
~
(1)
- x
L
Por consiguiente,
(x) - -woL (xl
M +WOX' -- L
M ~
3
4
3
woL 4
Wox
---+ - - x 3L
~
O
SECCiÓN 12.2
Pendiente y desplazamiento por integración
Pendiente y curva elástica. Se usa la ecuación 12-10 y se integra dos veces, para obtener 2
El _ d _v dX2
= M = __w_o x 3 + _w_OL_ x 3L
(2)
4
dv Wo woL = - - -x' + - -x 2 + dx 12L S lVo woL 3 Elv = - 60L x' + z;¡x +
el
El -
e¡x + e2
Las constantes de integración se obtienen aplicando la condición en la frontera v = Oen x = O, Yla condición de simetría dvjdx = O en x = L / 2. Esto conduce a
5woL 3
e2 =
192
O
Por consiguiente,
Wo 4 WOL l - 12L X + - S- x
5woL 3
wo s woL 3 Elv = - - - x + - -x 60L 24
5woL 3
E l dv
=
dx
192 192 x
Se determina como sigue la deflexión máxima en x
=
L / 2: Resp.
Vmáx =
Solución 11 Partiendo de la carga distribuida, ecuación 1, y aplicando la ecuación 12-8, se llega a
d 4v 2wo EI = - -x dx' L d 3v El - 3
dx
Como V = + woL/ 4 enx nuevo
=
W
= V = _ ---'! X2 + eí
L O, entonces C'l
=
w oLj 4, Esto se integra de
d 3v Wo 1 woL El - 3 = V = - - x +--
L
dx 2
W0 3 El d v = M = - x dX2 3L
°
4
woL
+ --x + 4
e2 I
En nuestro caso M = en x = 0, por lo que C'l = 0, Se obtiene así la ecuación 2. En adelante la solución prosigue como se indicó anteriormente.
•
599
600
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
EJEMPLO La viga simplemente apoyada de la figura 12-12a está sometida a la fuerza concentrada P. Determinar la deflexión máxima de esa viga. El es constante. p
1---2a
B!-
v
a- j e
(b)
(, )
Solución
Curva elástica. La viga se flexiona como se ve en la figura 12-12b. Se deben usar dos coordenadas, porque el momento es discontinuo en P. En este caso se definirán Xl y X2, con el mismo origen en A , por lo que O
Según los diagramas de cuerpo libre de la figura
P
M I = 3"XI
Pendiente y curva elástica. Se aplica la ecuación 12-10 a MI, y se integra dos veces, para obtener
p
3
d'v, dx[
E I - -2 = P
(x2 - Za)
P 3
-xl
p
dv}
2
El - , = -6 x, + dx
Elv,
=
e,
P J 1Sx, + e,x, +
(1)
e,
(2)
P
3
Se hace lo mismo con M 2 : (,)
d'", El - , dx,
2P - 3 (3a - x,)
=
Fig.12·12
El -dV2
dx,
El ",
xl) + e, 2 x/) + eJx, + e Zax,' - (;
2P ( 3ax, - -
= -
3
2P(3 =:3
(3)
4
(4)
SeCCióN 12.2
Pendiente y desplazamiento por integración
Las cuatro constantes se evalúan usando dos condiciones en la frontera, que son x¡ ~ O, ti¡ ~ O YX2 ~ 3a, ~ ~ O. También, se deben aplicar dos condiciones de continuidad en B , quc son dtJ¡jdxI = dVzldx2 en Xl = X2 = 2a, Y lit = V¿ en XI = X2 = 2a. Al sustituir como se indicó se obtienen las cuatro ecuaciones siguientes: VI =
Oen Xl
=
O;
0 ~ 0+0+e2
v,.
Oenx2
~
3a;
2P O ~""3
(32
P 6"(2a)2
+
~
dv¡(2a)
dv,.(2a) ~
v¡(2o)
~
(3a)') a(3a)2 - - 6 -
+ e,(3a) +
e4
2P (
(2a)')
e,
e¡
~ ""3 3a(2a) - - 2-
P
v,.(2o);
18 (20)' + e¡(2o) + e, ~
(3
2P ""3 2a (2o)' -
+
(2a)')
- 6-
Este sistema se resuelve y se obtiene e¡~
4 2 - - Pa 9
e,
_ 22 Pa 2
~
e2 ~ O
9
Así, las ecuaciones 1 a 4 se convierten en
4Pa' 9EI Px 3 v -_ ¡ - 18EI ¡ dv,. _ 2Pa dX2 -
(5)
4Pa' -x 9EI ¡
_
(6) 22Pa 2 9EI
(7)
22Pa2 4Pa' -::-:::-:- X2 + - 9EI 3EI
(8)
P,
El X2 - 3El x2
_ Pa , P , v,. - El x , - 9El x ,
Por inspección de la curva elástica, figura 12-12b, la deflexión máxima está en D , en algún lugar de la región AB. En ese punto la pendiente debe ser cero. Según la ecuación 5,
1 6
4 _ a2 =
- X1 2 -
X¡
~
9 1.633a
O
Se sustituye Xl en la ecuación 6, 'Vmáx =
Pa' -0.484 El
El signo negativo indica que la deflexión es hacia abajo.
Resp.
+ e,(2a) + e 4
'"
601
602
•
CAPiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
La viga de la figura 12-13a está sujeta a una carga P en su extremo. Determine el desplazamiento en C. El es constante. p
r- x ,
-!
r-x'-I I)
r
i! '~ }c 1----2a---+I-
a----l e
+
M,
v,
P 2
(b)
Ca) Fig.12·13
Solución Curva e[iu,ticlL
La viga se flc.:;xionCl t;U la forma que muestra la figu-
ra 12-13a. Debido a la carga, se definirán dos coordenadas x, que son O <: Xl < 2a Y O <:: X2 < a. donde x2 se dí~ige desde e hacia la izquierda, ya que así es fácil formular el momento in terno. Funciones de momento. bre de la figura 12-13b,
De acuerdo con los diagramas de cuerpo li-
p -
Pendiente y curva elástica.
para O <:
Xl
-
2
Xl
Mz
~
- Pxz
Se aplica la ecuación 12-10:
< 2a, dv¡ dx¡
EI - ~
Elv¡
~
P z - ¡Xl + e¡ P
3
(1)
- 12x¡ +e¡x¡+ez
(2)
P 2 - '2Xz + e,
(3)
para O:s; Xz < a, d1lJ. dxz
EI-~
(4)
SeCCióN 12.2
Pendiente y desplazamiento por integración
Las cuatro constantes de integración se determinan usando tres condiciones en la frontera, que son V¡ = O en Xl = O, VI = O en xl = 2a y 12 = O en X2 = a, y una ecuación de continuidad. En este caso, la continuidad de la pendiente en el rodillo requiere que dv¡ /dx ¡ ~ - dv,ldx, en Xl = 2a y X2 = a. ¿Por qu é hay un signo negativo en esta ecuación? (Observe que se ha tenido en cuenta, en forma indirecta, la continuidad del desplazamiento en R, en las condiciones en la frontera, ya que V¡ = ~ = O en Xl = 2a y X2 = a.) Al aplicar estas cuatro condiciones se obtiene
VI
= Oen
VI
= Oen Xl =
Vz
=
XI
Oen x2
dv¡(2a ) dx ¡
= O;
O~O+O+C,
2a;
O~
P ,
- 6a + C,a + C,
O~
= a;
dv,(a)
P - -(2a)' -t C¡ 4
~
P 2
- ( - - (a)'
Las soluciones son
Pa'
C¡~ -
3
C, = O
Se sustituyen C3 y C4 en la ecuación 4, para obtener
v,~
,
P
7Pa'
Pa'
- 6El x , + 6EI x, - El
El desplazamiento en e se determina igualando X2 = O. El resultado es
Ve
=
Pa' El
Resp.
•
603
604
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
PROBLEMAS 12·1. Una solera de acero L2 de 0.125 pulg de espesor y 2 pulg de ancho se dobla formando un arco circular de 600 pulg. Calcule el esfuerzo máximo de flexión en la
"'12·4. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usando las coordenadas Xl y X2. El es constante.
solera. U-2. La hoja de acero L2 de la sierra circular rodea a 'Ja polea de 12 pulg de radio. Calcule el esfuerzo normal máximo en la hoja . Está hecha de acero y tiene 0.75 pulg de ancho y 0.0625 pulg de espesor.
~----- a ----~-b
r-~---x,-------I
1--------
L-----------I Prob.12·4
U-S. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usando las coordenadas XI y X2' El es constante,
p
Prob.12-2
--a -
12-3. Deduzca la ecuación de la curva elástica para la viga, usando la coordenada x que sea válida para O :5 x< LI2. Especifique la pendiente en A y la deflexión máxima de la viga. El es constante.
---------- L -----------~~ --x, ---1 1-- x'---1 Prob.12-5
12-6. E l eje simplemente apoyado tiene un momento de inercia 2I en la región Be e l en las regiones A B YCD. Determine la deflexión máxima del eje debido a la carga P. p
A
~ ; ---+--- ; ~ Probo U·3
1-Prob.12·6
PROBLE MAS
U-7. Deducir las ecuaciones de la curva elástica para la viga, usando las coordenadas XI y X 2' Especifique la pendiente en A y la deflexión máxima. El es constante.
605
•
12-11. La barra está soportada por un apoyo de rodillos en B, que permite desplazamiento vertical, pero resiste la carga y el momento axiales. Si la barra está sometida a la carga indicada, determine la pendiente en A y la deflexión en C. El es constante. · U-12. Determine la deflexió n en B , de la barra del problema 12-11.
p
r----------L----------~
B
Prob.12-7
*12-8. El eje está soportado en A por un cojinete recto que s610 ejerce rellcciones verticllles sobre el eje, y en e por un cojinete axial que ejerce reacciones horizontales y verticales sobre el eje. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usando las coordenadas Xl y X2' El es constante.
Probs. tz..1W.2
U-B. Determine la curva elástica para la viga en voladizo, sometida al momento de un par Mo. También determine la pendiente máxima y la deflexión máxima de la viga. El es constante.
f ,~ ,----+~_~___IX2~: Probo U·S Prob.12-13
12-9. La viga está formada por dos cilindros, y está sometida a la carga concentrada P. Determine la deflexión máxima de esa viga, si los momentos de inercia de los cilindros son l AB e I BO Y el módulo de elasticidad es E .
U·IO. La viga está formada por dos cilindros, y está sometida a la carga concentrada P. Determine la pendiente en C. Los momentos de inercia de los cilindros son l AB e I Be , Yel módulo de elasticidad es E.
p
A
12-14. Deduzca la ecuación de la curva elástica para la viga, usando la coordenada x. Especifique la pendiente en A , y la deflexión máxima. El es constante. 12-15. Determine la deflexión en el centro de la viga, y la pendiente en B. El es constante.
ci'
• B
r--- - -- - L Probs. 12-9/10
Probs. U·14115
606
•
CAPITULO 12 Deflexi6n de vigas y ejes
*12-16. Determine la curva elástica para la viga simplemente apoyada. sujeta a momentos de par Mo. También , calcule la pendiente máxima y la deflexi6n máxima de la viga. El es constante.
*12-20. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usando las coordenadas Xl y X2, Yespecifique la pendiente y la deflexi6n en el punto B. El es constante.
12-2L Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usando las coordenadas XI y X3, Y especifique la pendiente y la deflexión en el punto B. El es constante.
A
Prob.12-16
~--------- L ----------4
Probs. 12-20/21
lZ.17. Determine la deflexi6n máxima de la viga, y la pendiente en A. El es constante.
12-22. La viga del piso de un avión está sometida a la carga indicada. Suponiendo que el fuselaje sólo ejerza reacciones verticales en los extremos de la viga, calcule la deflexión máxima de esa viga. El es constante.
1-- a - - 1 - - a - - 1 - Prob.12·17
12-18. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usando las coordenadas Xl y X2 , Yespecifique la deflexión y la pendiente en C. El es constante.
12·19. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica usando las coordenadas XI y X2. Y especifique la pendiente en A. El es constante.
ProboU-22
12-23. Las dos reglas de un metro, de madera, están separadas en sus centros por un cilindro liso y rígido, de 50 mm de diámetro. Calcule la fuerza F que debe aplicarse en cada extremo para hacer que lleguen a tocarse. Cada regla tiene 20 nun de ancho y 5 nun de espesor. E ... = 11 GPa.
F
FI-Probs.12-18119
F
0.5
m- -+ -- 0.5 mProb. 12-23
-..JF
PROBLEMAS
•
*12-24. Se puede suponer que los extremos del tubo, apoyados en rodillos, y en su centro e mediante una silleta rígida. La silleta descansa en un cable conectado a los apoyos. Determine la fuerza que debe desarrollar el cable, para que la silleta impida que el tubo se cuelgue, o flexione, en su centro. El tubo y el fluido en su interior tienen un peso combinado de 125Ibjpie. El es constante.
607
B
Prob.lZ-17
*12-28. Determine la curva elástica para la viga en voladizo, usando la coordenada x. También determine la pendiente máxima y la deflexión máxima. El es constante. Prob.12-24
U -25. La viga está sometida a la carga distribuida linealmente variable. Determine la pendiente máxima de esa viga. El es constante. 12-26. La viga está sometida a la carga distribuida linealmente variable. Determine la deflexión máxima de esa viga. El es constante.
1 - - - - - --
L - -- - --4
Prob.12-28
12-29. La viga triangular tiene sección transversal rectangular. Determine la deflexión de su extremo, en fun ción de la carga P, longitud L, tnódulo de elasticidad E y el momento de inercia l o de su extremo. A
r-x-l
L- - - - --4 Probs. 12-25/26
U-27. Determine la curva elástica de la viga simplemente apoyada, usando la coordenada x O:S X :S L / 2. También, determine la pendiente en A y la deflexión máxima de la viga. El es constante.
Prob.12·29
608
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
12·3{1. La viga romboidal tiene sección transversal rectangular. Determine la deflexión en su centro, en función de la carga P, longitud L, módulo de elasticidad E y el momento de inercia de su centro.
'e
*U-32. La viga tiene un ancho constante b, y es triangular como se indica. Si sostiene una carga P en su extremo, determine la deflexi ón en B. La carga P se aplica a una corta distancia del vértice E , donde s « L El es const~ nte.
Prob.12-30
Prob.12-32
12-31. La viga está hecha de una placa de espesor constante t, y con un ancho que varía en forma lineal. La placa se corta en bandas, para forma r una serie de hojas que se apilan para formar un muelle de n hojas. Determine la deflexión en su extremo, cuando está cargada. No tenga en cuenta la fricción entre las hojas.
12-33. Una varilla delgada y flexible de 20 pies de longitud, con 0.5 lb / pie de peso, descansa sobre la superficie lisa. Si se aplica una fuerLa de 31b en su extremo, para levantarla, determine la longitud suspendida x y el momenlo máximo desarrollada en la varilla.
p
31b
r-------x----~~
f--------------20 pies--------------""""
Prob.12-31
Prob.12-33
SECCiÓN 12.3 Funciones de discontinuidad
*12.3
•
609
Funciones de discontinuidad
El método de la integración, que se usa para deducir la ecuación de la elástica para una viga o un eje, es adecuada si la carga o el momento interno se pueden expresar como función continua en toda la longitud de la viga. Sin embargo, si sobre la viga actúan varias cargas distintas, el método se vuelve de aplicación más tediosa, porque se deben plantear distintas funciones de carga o de momento, para cada región de la viga. Además, para integrar esas funciones se requiere la evaluación de constantes de integración usando condiciones en la fron tera y/o condiciones de continuidad. Por ejemplo, la viga de la figura 12-14 requiere plantear cuatro funciones de momento, las cuales describen el momento en las regiones AB, BC, CD y DE. Al aplicar la re lación entre momento y curvatura, El d2 v/dx 2 = M, e integrar dos veces cada ecuación de momento, se deben evaluar ocho constantes de integración, las cuales involucran el empleo de dos condiciones en la frontera que requieren que el desplazamiento sea cero en los puntos A y E, más seis condiciones de continuidad, para pendiente y desplazamiento en los puntos B, C y D. En esta sección describiremos un método para deducir la ecuación de la curva elástica para una viga con cargas múltiples usando una sola ecuación, sea formulada a partir de la carga en la viga, w = w(x) , o del momento interno de la viga. M = M(x). Si la ecuación de w se sustituye en El d 4 u/dx4 = -w(x) y se integra cuatro veces, o bien si la ecuación de M se sustituye en El d'vjdx' ~ M(x) , y se integra dos veces, se determinarán las constantes de integración sólo a partir de las condiciones en la frontera. Como no intervendrán las ecuaciones de continuidad, el aná lisis se simplificará mucho. Funciones de discontinuidad.
Para expresar la carga en la viga, o el momento interno en ella, usando una sola ecuación, usaremos dos clases de operadores matemáticos llamados funciones de discontinuidad.
p
w
¡ A
B
e
Fig.12-14
D
Por motivos de seguridad, estas vigas en voladizo deben diseñarse tanto para resistencia como para una cantidad restringida de defl exión.
610
•
CAPiTULO 12 Deflexión de vig as y ejes
TABLA 12-2 Carga
2 Oí
Función de carga
Cortante
Momento
w= w(x)
V= -Jw(x)dx
M= / Vdx
P
!
Ji
3
w
11111111
• h -J 4 j
pendi en l~ -m "' V=Z
a
Funciones de Macaulay. Para fines de cálculo de deflexión en vigas o ejes se pueden usar las funciones de Macaulay, que llevan el apellido del matemático W.H. Macaulay, para describir cargas distribuidas. Se escriben en la siguiente forma general:
(x - a)n =
{~x _ a)n n
parax
~ O
(12-11)
En ellas, x representa la coordenada de la posición de un punto a lo largo de la viga, y a es el lugar de la viga donde hay una "discontinuidad", o sea, el punto donde comienza una carga distribuida. Observe que la función de Macaulay (x - a)n se escribe con paréntesis angulares, para diferenciarla de la función ordinaria (x - ay que se escribe con paréntesis normales. Como se indica en la ecuación, (x - a)fI = (x - ay sólo cuando x 2: a; en caso contrario es cero. Además, esas funciones sólo son válidas para los valores de exponente n :> O. La integración de las funciones de Macaulay tiene las mismas reglas que para las funciones ordinarias, por ejemplo,
f
(x - a)n dx =
(x - a)n+1
n+1
+e
(12-12)
Obsérvese la forma en que las funciones de Macaulay describen tanto la carga uniforme wo(n = O) como la carga triangular (n = 1), que se indican en la tabla 12-2, renglones 3 y 4. Naturalmente que esta clase de des, cripción se puede ampliar a las cargas distribuidas que tengan otras formas. También, es posible usar la superposición con las cargas uniformes y triangulares, para crear la función de Macaulay de una carga trapezoidal. En la tabla también se muestran las funciones de Macaulay obtenidas por integración, para el cortante V = -/w(x) dx y el momento, M = Iv dx.
SECCiÓN
12.3 Funciones de discontinuidad
•
611
Funciones de singularidad. Esas funciones sólo se usan para describir el lugar del punto de aplicación de fuerzas concentradas o momentos de par que actúen sobre una viga o eje. En forma específica, una fuerza concen~ trada P se puede considerar como caso especial de la carga distribuida, donde la intensidad de la carga es w = PIE tal que su ancho es E, y E ....--) O, figura 12-15. El área bajo este diagrama de carga equivale a P,positivo hacia abajo , por lo que se usará la función de singularidad
w = P (x -
a) _ {O P I
=
parax
~
a
parax = a
II (12-13)
.
para describir la fuerza P. Observe aquí que n = - 1, para que las unidades de w sean fuerza entre longitud, tal corno deben. Además, la función sólo asume el valor de P en el punto x = a, donde se aplica la carga; en cualquier otro caso es cero. En forma parecida, un momento de par Mo, considerado positivo en sentido contrario al de las manecillas del reloj es una limitación cuando E --? 0, de dos cargas distribuidas como se ven en la figura 12-16. En este caso, la siguiente función describe su valor:
p
t
'....
Flg.12-15
, p
,
w= -
w = Mo(x - ar 2 =
x '" a {OMo para parax = a
(12-14)
El exponente n = - 2, para asegurar que las unidades de w, fuerza entre longitud, se mantengan. La integración de dos funciones anteriores de singularidad se apega a las reglas del cálculo operacional, y produce resultados distintos a los de las funciones de Macaulay. En forma específica,
1f(X -
a)"
= (x
- a)"+l, n
= - 1, -21
~
~
p Mo
,
w= - = (2
,iII
(12-15) Flg. U·16
En este caso sólo aumenta el exponente n una unidad, y no se asocia constante de integración con esta operación. Al usar esta fórmula, observe cómo se integran una vez y después dos veces, M o YP, descritos en la tabla 12-2, renglones 1 y 2, para obtener el cortante y el momento internos en la viga. La aplicación de las ecuaciones 12-11 a 12-15 es un método bastante di-
recto de expresar la carga o el momento interno en una viga, en función de x. Al hacerlo se debe poner mucha atención a los signos de las cargas externas. Como se dijo antes, y como se ve en la tabla 12-2, las fuerzas concentradas y las cargas distribuidas son positivas hacia abajo, y los momentos de par son positivos en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
Si se sigue esta convención de signos, el cortante y el momento internos coinciden con la convención de signos para vigas, establecida en la sección 6.1.
..
612
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
Como ejemplo de cómo se aplican las funciones de discontinuidad para describir las cargas o los momentos internos en una viga, veamos la viga ca rgada como muestra la figura 12-17a. En este caso la fuerza de reacción R ¡ creada por el pasador, figura 12-17b, es negativa, porque actúa hacia arriba, y Mo es negativo, porque actúa en sentido de las manecillas del reloj. Al usar la tabla 12-2, la carga e n cualquier punto de la viga es, por consiguiente,
p
-*
lJ J¡¡ C
Mo
.)
wa
~-------L --------4 IV
(,)
6kN/ m
3~
15 kN'm
(.
"lL
B
I
~---3 m
3m
M ~ RI(x - O) - P(x - a) + Mo(x :... b )o - ! wo(x - c)'
I
(, ) m::;3kN/ m::; 1
1.5 kN' m
1 - - 3 m2.75 kN
-
F
~3m ~9y~;::¡ 3 kN/ m
(12-16)
Se puede comprobar la validez de esta expresión, por ejemplo con el método de las secciones, dentro de la región b < x < e, figura 12-17b. Para el equilibrio de momentos se requiere que
3 kN/ m
M
1---3 m
Fig. 12-18
~
~
R1x - P(x - a) + Mo
(12-17)
Este resultado concuerda con el obtenido con las funciones de discontinuidad, ya que según las ecuaciones 12-11 , 12-13 Y 12-14, sólo el último término de la ecuación 12-16 es cero cuando x < c. Como un segundo ejemplo, veamos la viga de la figura 12-18a. La reacción en el apoyo A se ha calculado en la figura 12-18b, y la carga trapezoidal se ha se parado en cargas triangular y uniforme. De acuerdo con la tabla 12-2, la carga es
(b)
IV
+ P(x - a)-I - Mo (x - br' + IVo(x - c)o
Aquí no se incluye la fuerza de reacción en el rod illo, porque x nunca es mayor que L , y además este valor no tiene consecuencia al calcul ar la pendiente o la deflexión. Nótese que cuando x = a, W = P, y todos los demás términos son cero. También, cuando x > e, W = Wo, etcétera. A l integrar dos veces esta ecuación se obtiene la relación que describe el momen to interno en la viga. Las constantes de integración aquí no se toman en cue nta, porque se han calculado las condiciones en la frontera , o el cortante y el momento (V = R 1 Y M = O) yesos valores están incorporados en la carga W de la viga. También se puede obtener este resultado en forma directa con la tabla 12-2. En ambos casos,
(b)
Fig.12-17
~ - R1(x - Or l
-2.75 kN (x - 0)-1 - 1.5 kN, m (x - 3 m)-2 + 3 kN/ m (x - 3 m)o + 1 k N/ m'( x - 3 m)1 Se puede determ inar la ecuación de momento, en forma directa con la tabla 12-2, en vez de integrar dos veces esta ecuación; en cualquier caso,
M ~ 2.75 kN (x ~ 2.75x
W+
3 kN/ m 1 kN/ m 2 3 1.5 kN · m (x - 3 m)o 2 (x - 3 m)2 6 (x - 3 m )
1
+ 1.5 (x - 3 )0 - 1.5 (x - 3)' - 6(x - 3)3 A hora se puede determinar la deflexión de la viga, integrando dos veces sucesivas esta ecuación y se evalúen las constantes de integraci ón usando las condiciones en la frontera de cero desplazamiento en A yen B.
SeCCióN 12.3 Funciones de discontinuidad
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS El procedimiento que sigue es un método para usar las funciones de discontinuidad en la determinación de la curva elástica de una viga. Este método es especialmente útil para resolver problemas de vigas o ejes sometidos a vllr;as cargas, porque se pueden evaluar las constantes de integración usando sólo las condiciones en la frontera, mientras que se satisfacen en forma automática las condiciones de compatibilidad.
Curva elástica. • Bosquejar la curva elástica de la viga, e identificar las condíci.o nes en la frontera para los apoyos. o
En todos los soportes con pasador y con rodillo bay desplazamiento cero, y en los soportes empotrados hay pendiente cero y desplazamie~to cero.
o
Establecer el eje x para qué se extienda bacia la derecha. y tenga su origen en el extremo izquierdo de la viga.
Funcl6n de carga o de momento.. • Calcular las reacciones en los apoyos, y a continuación usar las funciones de discontinuidad en la tabla 12-2 para expresar la carga w o el momento interno M en función de x. Asegurarse de seguir la convención de signos para cada carga, al aplicarla en esta ecuación. • Observar que las carga's distribuidas se deben prolongar hasta el extremo derecho de la viga, para ser válidas. Si eso no sucéde, usar el método de la superposición, que se ilustra en el ejemplo 12.5.
Pendiente y cutva elástica. o Sustituir w en El d"v/dx' = -w(x), O M en la relación de momento /curvatura, El d2v/J.Xl = M,e integrar para obtener las ecuaciones de la pendiente y la deflexión de la viga. • Evaluar las constantes de integración usando las condiciones en la frontera, y sustituir esas constantes en las ecuaciones de pendiente y deflex.ión para obtener lOs resultados finales. o
Cuando evalúan las ecuaciones de pendiente y deflexión en cualquier punto de la viga, uYJa pendiente positiva es en contra de las manecillas del reloj, y un desplazamiento positivo es hacia arriba.
•
613
614
•
CAPiTULO 12 Oeflexión de vigas y ejes
EJEMPLO Determine la ecuación de la curva elástica para la viga en voladizo de la figura 12-19a. El es constante. I
j
8kN/ m
12kN
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡., 50 kNm
t
Solución
+==i;;G¡~B1~1::;;:;;:;:::~ _, e }-- - 5 m.---+·- - 4 m~
Curva elástica. Las cargas hacen que la viga se flexione como se ve en la figura 12-19a. Las condiciones en la frontera requieren que la pendiente y el desplazamiento en A sean cero. Función de carga. Las reacciones en el apoyo A se han calculado con la estática, y se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la figura 12-19b. Como la carga distribuida en la figura 12-19a no se extiende
hasta e como sucede en realidad, se puede usar la superp9sición de las cargas que muestra la figura 12-19b, para representar el mismo efecto. De acuerdo con nuestra c~mvenci6n de signos, el momento del par de 50 kN • m, la fuerza de 52 kN en A y la parte de la carga distribuida de B a e,en la parte inferior de la viga, son negativas todas. En consecuencia, la carga de la viga es l
w = -52 kN (x - Or
+ 258 kN· m (x - 0)-' + 8 kN/ m(x - 0)°
- 50 kN· m(x - 5 mr' - 8 kN/ m (x - 5 m)o
La carga de 12 kN no se incluye aquí, porque x no puede ser mayor que 9 m. Como dV/dx = - w(x) , al integrar sin tener en cuenta la constante de integración, ya que las reacciones están incluidas en la función de carga, se obtiene
(b)
Fig.12·19
v=
52(x - 0)° - 258(x - Or
Además, dM/dx
M = -258(x - O)" + 52(x = (-258
=
l
-
8(x -
W + 50(x -
5)-1
+ 8(x - 5)1
V, por lo que al integrar de nuevo se obtiene
W-
1 1 Z(8) (x - O)' + 50(x - 5)° + Z(8) (x - 5)2
+ 52x - 4X2 + 4(x - 5)' + 50(x - 5)°) kN ' m Este mismo resultado se puede obtener en forma directa de la tabla 12-2. Pendiente y curva elástica. dos veces, para obtener
Se aplica la ecuación 12-10 y se integra
d'v El - , = -258 + 52x - 4x' + 50(x - 5)° + 4(x - 5)2 dx dv 4 4 E I - = -258x + 26x' - _x 3 + 50(x - 5)1 + -(x - 5)' + el dx 3 3 26 1 1 Elv = -129x2 + '3 X3 - 3x' + 25 (x - 5)' + 3(x - 5)' + elx + e, Como dv/dx entonces
e2 =
=
O.
O cuando x Es decir,
1 ( -129x' + -26 x 3 El 3
V = -
-
=
O, el
=
O; ya que v
=
O cuando x
=
O,
) m Resp. -l x' +' 25 (x - 5)' + 1 - (x - 5)' 3 3
SECCIÓN 12.1 Funciones de discontinuidad
•
615
EJEMPLO Determine la deflexión máxima de la viga de la figura 12-20a. El es constante.
(a)
8 Idb
6 Idb
2 Idb
10 Pies ----l
1 - - - - - --30P;<>-------I.1 (b)
Fig.12.20
Solución CUrlla elástica. La viga se flexiona como se indica en la figura 12-20a. Las condiciones en la frontera requieren que el desplazamiento sea cero enA y en B.
Función de carga. Se han calculado las reacciones y se indican en el diagrama de cuerpo libre de la figura 12-20b. La función de carga para la viga se puede expresar como sigue: w = 8 klb (x - Or' - 6 klb (x - 10 piesr'
El momento del par y la fuerza en B no se incluyen aquí, porque están en el extremo derecho de la viga, y x no puede ser mayor que 30 pies. Se aplica dV /dx = -w(x) , para obtener
v
= - 8(x - 0)° + 6(x - 10)°
En forma parecida, dM /dx = V da como resultado
M = -8(x - O)' + 6(x - 10)' =
(- 8x + 6(x - 10)' ) klb· pie
Con.tinúa
616
•
CAPiTULO 12 Oeflexión de vigas y ejes
Observe cómo esta ecuación se puede plantear en forma directa usan-
do los resultados de la tabla 12-2 para el momento. Pendiente y curva elástica.
Se integra dos veces para obtener
d 2v El = -8x + 6(x -
1W
dX2
dv El dx
=
e,
-4x2 + 3(x - 10)2 +
4 Elv = -:3x' + (x - lO)' +
e,x + e2
De acuerdo con la ecuación l,la condición en la frontera v x = 10 pies, y v = Oen x = 30 pies hace que
(1) =
Oen
O = -1333 + (10 - lO)' + e,(lO) + e 2 O = -36000+ (30 - lO)' + e,(30) + e2 Estas ecuaciones se resuelven simultáneamente para obtener el = 133
Ye2 = - 12 000. Así,
El dv = -4x 2 + 3(x - 10)2 + 1333 dx 4 Elv = -:3 x' + (x - lO)' + 1333x - 12000
(2) (3)
Según la figUIa 12-20a, el desplazamiento máximo puede estar en e o en D, donde la pendiente es dv/dx = O. Para obtener el desplazamiento de e se iguala x = Oen la ecuación 3. Así se obtiene
12 000 klb . pie' El
Ve =
El signo negativo indica que el desplazamiento es hacia abajo, como se indica en la figura 12-20a. Para ubicar el punto D se usa la ecuación 2 con x > 10 pies, y dv/dx = O. Esto da como resultado
O=
2
+
+
60XD -
-4XD XD
2
3(XD -
lO? + 1333
1633
=
O
Despejando la raíz positiva, XD =
20.3 pies
Por consiguiente, de la ecuación 3,
E l vD
=
VD =
-
~(20.3)'
+ (20.3 - lO)' + 1333(20.3) - 12000
5000 klb . pie' El
A l comparar este valor con
Resp.
Ve se ve que 11mb:
=
ve:
PROBLEMAS
•
617
PROBLEMAS 12-34. La viga está sometida a la carga indicada. Deduzca la ecuación de la curva elástica. El es constante.
12-37. El eje sostiene las dos cargas de las poleas en la figura. Determine la ecuación de la curva elástica. Los cojinetes en A y B s610 ejercen reacciones verticales sobre el eje. El es constante.
3 klb /pie
:a J i ~;o
pulg
+
i'
ill1
20 pulg
-1-
20 pulg
401b
~
60 lb
Probo U -37 Prob.12-34 El eje sostiene las dos cargas de las poleas que muestra la figura. Deduzca la ecuación de la curva elástica. Los cojinet~s en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. El es constante.
12-38.
12-35. El eje está soportado en A por un cojinete recto que sólo ejerce reacciones verticales sobre él, y en e está soportado por un coj inete axial que ejerce reacciones horizontales y verticales sobre el eje. D eduzca la ecuación de la curva elástica. El es constante.
B
)b
ea
9¿ b
t
12 PUlg t -24 pulg--!1-- 24 pulg
50 lb
~
80 lb
Prob.12-38
Prob.12-35
*12-36. La viga está sometida a la carga que muestra la figura. Deduzca la ecuación de la curva elástica . El es constante.
12-39. El eje soporta las dos cargas de las poleas q ue muestra la figura . Determine la pendiente del eje en los cojinetes A y B. Los cojinetes s6lo ejercen reacciones verticales sobre el eje. El es constante.
12 PU1J - 24 pul g - - j - - - 24
50lb Prob.12-36
SO lb
Prob.12-39
PUlg~
618
•
CApiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
La viga está sometida a las cargas que se muestran. Deduzca la ecuación de la curva elástica. El es constante.
*U-40.
12·43. La viga está sujeta a la carga que muestra la figura. Deduzca la ecuación de la curva elástica. El es constante.
...-'---.-r-"--'---.-r-, < klbj pie
~
~~-+--15P'''-----1
~,, -L, P'''-+-' P'''--j
Prob.12-43
Prob. 12-4O
*12·44. La viga de madera está sujeta a la carga que tz..41. Determine la ecuación de la curva elástica. El es constante.
muestra la figura. Deduzca la ecuación de la curva elástica, Si Ew = 12 GPa, determine la deflexión y la pendiente en el extremo B.
4klb
I:=I400 mm
-.H-
Prob.12-41
200 mm
Prob.12-44
1242. La viga está sometida a la carga que muestra la figura. Deduzca las ecuaciones de la pendiente y de la curva elástica. El es constante.
3kN/m
! 1 I ! =i i
t"
A
1 !~ 15 kN·m ¡¡i 2141)
~ ~ 5m ----+I_ 3m B
Prob.12·42
J
12·45. La viga está sometida a la carga que muestra la figura. Deduzca la ecuación de la curva elástica. El es constante.
20
x~-l-
3 m-
Probo U-45
- 1 - 1.5
PROBLEMAS
12-46. La viga de madera está sujeta a la carga que se in· dica. Deduzca la ecuación de la curva elástica. Especifique la deflexión en el extremo C. Ew = 1.6(HY) klb /pulg2•
619
•
U-49. Determine la pendiente del eje en los cojinetes A y B. E l eje es de acero y tiene 30 mm de diámetro. Los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. Eac = 200 GPa.
B
e 250' m,n - .j.- 250 mn, -1- 250 mm-l
1- 250 mm
- + -9P;es- J
¡50N
60N
150N
Prob.12-46 Prob.12-49
12-47. Determine la pendiente en B y la de flexión en e \para la viga WlO X 45. Eac = 29(lcY) klb/pulg2•
u-so.
Deduzca la ecuación de la curva
eh'i~l.i{'.$l. F.~pecifi
que la pendiente en A. El es constante.
12·-51. Deduzca la ecuación de la curva elástica. Especifique la deflexión en C. El es constan te. 5 klb
lO klb
al /::: "" ou.±/
5 klb
u
•••
1:
:su se .
*U-52. Deduzca la ecuación de la curva elástica. Especifique la pendiente en B. El es constante.
ti
~IO pies--!- IOPies+1O PieS-1r-IODpies~
ilL4
Prob.12-47
Probs. 12-50/51152
*12-48. Determine la deflexión en cada una de las poleas C, D YE. El eje es de acero y tiene 30 mm de diámetro. Los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre
el eje. Eac = 200 GPa.
12-53. El eje es de acero y tiene 15 mm de diámetro. Determine su deflexión máxima. Los cojinetes en A y en B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. Eac =
200 GPa.
e
E
A
B
~ 250mm
250 mm-l-- 250 mn, - j- 250 mm -l 150N
60N
"Prob. 12-4&
15mm B
A
1--- 200 mm -1-- - 3()() rrom - --T-- 200 mm-l
150N
SON Probo U-53
,
620
CAPiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
•
*12.4
Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área
¡• ¡ T
n
w
r--
I
•
A
B
~A
B
tan B
,
le;, ~ lanA
Curva elástica (, )
El método momento de área es una técnica semigráfica para determinar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos de la curva e lástica de una viga o eje. Para aplicar el método se requiere calcular las áreas asociadas con el diagrama de momento de la viga; así, si este diagrama consiste en formas sencillas, es muy cómodo de usar ese método, Es el caso normal cuando la viga se carga con fuerzas concentradas y momentos de par. Para desarrollar el método del momento de área seguiremos las mismas hipótesis que usamos para el método de integración: la viga es recta inicialmente, se deforma elásticamente debido a las cargas en forma tal que la pendiente y la deflexi6n de la curva elástica son muy pequeñas, y que las deformaciones se deben a la flexión. El método del momen to de área se basa en dos teoremas para determinar la pendiente y el desplazamiento en un punto de la curva elástica.
Teorema 1. Para la viga simplemente apoyada con su curva elástica correspondiente, figura 12-21a, un segmento diferencial dx de la viga se aísla en la figura 12-21b. Se ve que el momento interno de la viga M deforma al elemento en forma tal que las tangentes a la curva elástica, a cada lado del elemento, se cortan formando un ángulo dfJ. Este ángulo se puede determinar con la ecuación 12-10, escrita como sigue:
ddx''v
El - ~
El -
d(dV)
dx dx
~
M
Como la pendiente es pequeña, O = dvldx , yen consecuencia
(b)
(12-18)
Si el diagrama de momento para la viga se traza y se divide entre el momento de inercia 1 de la viga y también entre el módulo de elasticidad E, figura 12-21c, la ecuación 12-18 indica que dO es igual al área bajo el "diagrama MI El" para el segmento dx de la viga. Al integrar desde un punto seleccionado A en la curva elástica hasta otro punto R , se obtiene A
~ ~ d, Diagrama (e)
Fig.12.21
B
ffj
x
(12-19)
Esta ecuación es la base del primer teorema del momento de área. Teorema 1: El ángulo entre las tangentes en dos puntos cualesquiera en la curva elástica es igual al área bajo el diagrama MIEl entre esos dos puntos. La notación OSIA se llama ángulo de la tangente en R medido con respecto a la tangente en A. Por la demostración debe ser evidente que ese ángulo se mide en sentido contrario al de las manecillas del relo}~ desde la tangente en A hasta la tangente en R si el área bajo el diagrama MIEl es positiva. Por el contrariq, si el área es negativa o queda por debajo del eje x, el ángulo e B/A se mide en el sentido de las agujas del reloj desde la tangente A a la tangente B. Además, de acuerdo con las dimensiones de la ecuación 12-19, OBIA se mide en radianes.
SECCiÓN 12.4 Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área
•
621
Teorema 2. El segundo teorema del momento de área se basa en la desW viación relativa de las tangentes a la curva elástica. En la figura 12-22a se ~:Q ve un esquema muy exagerado de la desviación vertical dt de las tangen.,¡~~~,.F~~1. tes a cada lado del elemento diferencial dx. Esta desviación se debe a la curvatura del elemento, y se ha medido a lo largo de una línea vertical que " ; 11
.j¡:=-i;p...
I
b----
(,)
M
B
tA j B =
JA x
El dx
(12-20) M El
Como el centroide de un área se determina con xI dA = Ix dA,eI(MIEJ) dx representa el área bajo el diagrama M IEl, también se puede escribir
IAIB =
x
B
J A
M -dx El
(h)
(12-21)
x
Aquí es la distancia de A al cen/roide del área bajo la curva M IEl entre A y B, figura 12.22b. Ya se puede enunciar el segundo teorema del momento de área, como sigue:
~ l B/A
lanA
Teorema 2~ La desviación vertical de la tangente en un punto (A) sobre la curva elástica, con respecto a la tangente prolongada desde otro punto (B) es igual al momento del área bajo el diagrama MfEl entre esos dos puntos (A y B). ESle momento se calcula con respeclO al punto (A), donde se va a determinar la desviación vertical (tAlB)' La distancia tAlB que se usa en el teorema también se puede interpretar como el desplazamiento vertical desde el punto ubicado en la tangente prolongada en B, hacia el punto A de la curva elástica. Nótese que IAlB no es igual a tBIA. lo que se ve en la figura 12-22c. En forma específica, el momento del área bajo el diagrama MjEI entre A y B se calcula respecto al punto A, para determinar tAlB , figura 12-22b, y se calcula con respecto al punto B para determinar IBIA, figura 12-22c. Si el momento de un área positiva M / EI de A a B se calcula para tBIA, indica que el punto B está arriba de la tangente trazada desde el punto A , figura 12-22a. De igual forma, las áreas M / EI negativas indican que el punto B está abajo de la tangente prolongada desde el punto A. Esta misma regla se aplica para lAlB'
f¡
(e)
Fig.12-22
622
•
CAPiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁUSIS El siguienfe procedimiento es un método para aplicar los dos teoremaS del momento de área. ...
Diagrama MIEl. • Determinar las reacciones en los apoyos y trazar el diagrama M ¡El de la viga. Si la viga se carga con fuerzas concentradas, el diagrama MIEl consistirá en una serie de segmentos de recta, y las áreas y sus momentos necesarios en los teoremas del momento de área serán relativamente fáciles de calcular. Si la carga consiste en una serie de cargas distribuidas, el diagrama M /El consistirá en curvas parabólicas, o quizá de orden mayor, y se sugiere usar la tabla del interior de la pasta anterior para ubicar el área y el centroide bajo cada curva.
Curva elástica. • 'frazar un esquema exagerado de la curva elástica de la viga. Recordar que los puntos de pendiente cero y desplazamiento cero siempre están en un soporte fijo, y que el desplazamiento cero está en todos los soportes con pasador p con rodillo. • Si es difícil trazar la forma general de la curva elástica, usar el diagrama de momento (o de M jEl). Tener en cuenta que cuando la viga se somete a un momento positivo, se flexiona en forma cóncava hacia arriba, mientras que los momentos negativos flexionan la viga en forma cóncava hacia abajo. Además, se presenta un punto de inflexión o un cambio de curvatura donde el momento (o M jEl) en la viga es cero.
• En la curva se deben indicar el desplazamiento y la pendiente desconocidos que se van a determinar. • Como los teoremas del momento de área sólo se aplican entre dos tangentes, t)e oebe poner atención a cuáles tangentes deben trazarse para que los ángulos o las desviaciones entre ellas conduzcan a la solución del problema. A este respecto, se deben considerar las tangentes en los soportes, ya que en general la viga tiene desplazamiento cero y/o pendiente cero en los apoyos.
Teoremas del momento de área. • Aplicar el teorema 1 para determinar el ángulo entre dos tangentes cualesquiera de la curva elástica, y el teorema 2 para determi.... nar la desviación tangencial. • El signo algebraico del resultado se puede comprobar con el ángulo o la desviación indicados en la curva elástica. • Un ángulo 8B1A positivo representa una rotación en sentido contra-
rio al de las manecillas del reloj, de la tangente en B con resp-ecto a la tangente en A , y un tBIA positivo indica que el pUQto B en la curva elástica está arriba de l..prolongación de la tangente al pun-
toA .
SECCIÓN 12.4 Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área
•
623
EJEMPLO Determine la pendiente de la viga que se ve en la figura 12-23a, en los puntos B y C. El es constante. p
~~~B. .~. .~te
.A . .
~--i ---+---i---41
A
(a)
PL
-2EI
PL
- El
(b)
Fig.12-23
Solución
Diagrama MIEl.
Vea la figura 12-23b.
Curva. elástica.. La fuerza P hace que la viga se flexione como se ve en la figura 12-23c. (La curva elástica es cóncava hacia abajo, porque MIEl es negativo.) Las tangentes en B y e se indican allí, porque se pide calcular OB y Oc. También se muestra la tangente en el soporte (A). Esta tangente tiene una pendiente cero conocida. Por la construcción, el ángulo entre tan A y tan B, es decir, (JBfA, equivale a OB, o sea, OB ~ OBIA
tan B A
También
S8p.
tan A
B
e
(Jc = OCIA
(o)
Teorema del momento de área. Al aplicar el teorema 1, OBIA es igual al área bajo el diagrama MIEl entre los puntos A y B; esto es, OB
~ O'IA ~ (- ;~ )(~) +
H- ;~ )(~)
3PL' - -8EI
Resp.
El signo negativo indica que el ángulo que se mide a partir de la tangente en A hacia la tangente en B es en sentido de las manecillas del reloj. Esto es lo que debe ser, ya que la viga está inclinada hacia abajo en B. De forma parecida, el área bajo el diagrama MIEl entre los puntos A y e es igual a OCIA' Entonces,
1 ( - PL) Oc ~ OC/A ~ 2: El L -
PL' --2EI
Resp.
Be tan
e
624
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
EJEMPLO Determine el desplazamiento de los puntos B y e de la viga de la figura 12-24a. El es constante. M El
B
A
t
L
b
2
2
eIf
A
Mo El
-
(, )
x
(b)
Fig.12-24
Solución
Diagrama MIEl.
Vea la figura 12-24b.
Curva elástica. E l momento del par en e hace que la viga se flexione como indica la figura 12-24c. Se indican las tangen tes en B y en e, ya que se pide calcular /lB y /le. También se indica la tangente en el soporte (A) porque es horizontaL Ahora se pueden relacionar en forma directa los desplazamientos que se piden con las desviaciones entre las tangentes en B y en A, yen e yen A. En forma específica, /l B es igual a la desviación de tan A a partir de tan B , esto es, tan 8 A
tan A 18/A=A8
(e)
!!l8
t C;A=6 c
B
e
!!l e tan
= tn/A = tC¡A
e
Teorema del momento de área. A l aplicar el teorema 2, tB/A es igual al momento del área sombreada bajo el diagrama MIEl entre A y B , calculado con respecto al punto B (el punto en la curva elástica), ya que es el punto donde se va a determ inar la desviación tangencial. Por consiguiente, de la figura 12-24b, MoL' - -SE!
Resp.
De igual manera, para 'CJA se debe determinar el momento del área bajo todo el diagrama MiEl, desde A a e, respecto al punto e (el punto en la curva elástica). En este caso
de
~ tCf A ~ (~)[(- ;~)( L) ]
~
MoL' - -2E!
Resp.
Como ambos resultados son negativos, indican que los puntos B y e es tán abajo de la tangente en A . Eso coincide con la figura 12-24c.
SeCCIóN 12.4 Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área
•
625
EJEMPLO Determine la pendiente en el punto e de la viga de la figura 12-25a. El es constante. p
B
IDb
I--- b
le b
2-+-4+ 4 (,)
M
PL
'VK D
e
x
f--+ --1
(b)
..&-----__::==-_D=__~=-e=~ ---="=----- tan Be
tan
D (horizontal)
9c/o
e (o)
Fig.12-25
Solución
Diagrama MIEl.
Vea la figura 12-25b.
Curva elástica.
Ya que la carga se aplica en forma simétrica a la viga,la curva elástica será simétrica, y la tangente en D es horizontal , figura 12-25c. También se traza la tangente en e, ya que se debe determinar la pendiente Oc. Por construcción, el ángulo OCID entre la tangente a D y la tangente a e es igual a Oc: esto es,
Teorema del momento de área. Al aplicar el teorema 1, OOD es igual al área sombreada bajo el diagrama MIEl, entre los puntos D y C. Entonces,
Oc ~
°C/D
~
PL )(L) PL - 8EI PL )(L) 3PL' (8EI '4 + '12 ( 4EI '4 ~ 64EI
¿Qué indica e l resultado positivo?
Resp.
·.iiiiI
tJn~ _
~UJl L H",T ti,
t: A
626
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
EJEMPLO Determine la pendiente en el punto e, para la viga de acero de la figura 12-26a. Suponer que E" = 200 GPa, 1 = 17(106) mm'.
16kN
B
Solución
2m -L-4m---t2
Vea la figura 12-26b.
Diagrama MIEl,
(.)
Curva elástica. La curva elástica se ve en la figura 12-26c. Se muestra la tangente en e,ya que se pide determinar Oc- Las tangentes en los apoyos, A y B, también se muestran. El ángulo OC/A es el que forman las tangentes en A y en C. La pendiente OA en A , en la figura 12-26c, se
puede determinar con IOAI = ItB/A I/L AB . Esta ecuación es válida, porque tBIA en realidad es muy pequefio,por lo que OA en radianes se puede aproximar con la longitud de un arco circular definido por un radio
8 m, y una rotación 0A' (Recuérdese que s = 1Jr.) Según la geometría de la figura 12-26c, L AB =
(1)
Nótese que también se hubiera podido resolver el ejemplo 12-9 con es-
24
M
El
te método.
Teoremas del momento de área. Al aplicar el teorema 1, OC/A es equivalente al área bajo el diagrama MIEl entre los puntos A y C; esto es,
El
L J
A I"""=-----+,,--------{---";-;;-- x
2m
4m
OC¡A
. Fig.12·26
(8 kN' m) = 8kN· m' El
El
jo el diagrama MIEl entre B y A, respecto al punto B (el punto sobre la curva elástica), ya que ese es el punto donde se debe determinar la desviación tangencial. Entonces,
B
(e)
= "2(2 m)
Al aplicar el teorema 2, tBIA es equivalente al momento del área ba-
2m
(b)
ex e
1
J B
tan
B
tRIA = (2 m
'op.
+ ~(6 m) )[~(6 m)C
+
1M A
-
4
~. m) 1
G(2m))[~(2m)C4~.m)l
320 kN ' m' El
Cuando se sustituyen estos resultados en la ecuación 1, se obtiene
Oc
=
320 kN . m' 8 kN . m' (8 m)EI El
32 kN . m2
=
El
J
Hemos calculado este resultado en kN y en m, así que al convertir El a esas unidades se obtiene
Oc
=
32kN'm' 200(10') kNj m'17(10-6) m'
= 0.00941 rad
J
Resp.
SECCIÓN 12.4 Pendi ente y desplazamiento por el método del momento de área
EJEMPLO Determine el desplazamiento en e para la viga de la figura 12-27a. El es constante. M
, -L-k , L
B
Ca)
tanA A I
IAIB [
, L
L
El Mo
Mo
El A
'El
,
k
Cb)
2
,,"'
lanC
""e e
'C/D
Fig.12-27
(e)
lanB
Solución
Diagrama MIEl,
Vea la figura 12-27b.
Curva elástica. La tangente e n ese traza sobre la curva elástica, porqué se pide calcular Ll e , figura 12-27e. (Nótese que e no es el lugar de la deflexión máxima de la viga, por las cargas, y en consecue ncia, la curva elástica no es simétrica.) También se indican en la figura 12-27c las tangentes en los apoyos A y B. Se ve que 6. e = 6.' - tClB. Si se determina tAlB, entonces se puede calcular 6.' con triángulos proporcionales, esto es, 6.'/(LI2) = tAlB/ L, 06.' = tA/B / 2. Por consiguie nte,
(1)
Teorema del momento de área. nar tA/B y tClB. como sigue:
tC¡B=
Se aplica e l teorema 2 para determi-
G(;))[H;)(2~~) l = ~~;
Al sustituir estos resultados e n la ecuación 1 se obtiene
Lle =
1
2:
le
(Mo L') - (MoL') 6E I 48EI Resp.
, L
. lB
x
•
627
628
•
CAPiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
EJEMPLO Determine el desplazamiento en el punto e, de la viga de acero en voladizo que muestra la figura 12-28a. Tomar E" = 29(1(}') klb /puli, l = 125 pulg4 M
5 klb
El
1-5 Idb
12 pi., - - - 'f--
1 --
12 pi.,--,,"
12 pies - - 1 - -12
Piesi
A ~-----+B '-----~.~e--x
10 kIb
(,¡ -60
El
(b)
Solución
Diagrama MIEl.
Vea la figura 12-28b.
Curva elástica. La carga hace que la viga se flexione como muestra la figura 12-28c. Se pide calcular d e. Si se trazan tangentes en e y en los apoyos A y B , se ve que d e = Ito AI - d'. Sin embargo, d ' se puede relacionar con lB/A con triángulos proporcionales; esto es, 6. ' / 24 = ItB/A I/12, o sea que d' = 21tB/AI. Por consiguiente.
Teorema del momento de área. nar tO A y tOlA ' Entonces,
Se aplica el teorema 2 para determi-
tan A
1 ( 60 klb· pie )) telA = (12 pies) ( 2(24 pies) El 'e/l. = (o)
Fig.12-28
e
8640 klb . pie 3 El
tan e
tBIA
=
1 ~[ 1 (60klb' Pie'l El ) ( '3 (12 piesy 2( 12 pies) -
= -
1440klb'pie
3
El
¿Por qué esos términos son negativos? Sustituyendo estos resultados en la ecuación 1 se obtiene
_ 8640 klb· pie 3 _ (1440 klb· pie 3 , _ 5760 klb· pie' de El 2 El) El t Como los
cál~ulos
de =
se hicieron en unidades de kip y pies, entonces
5760 klb· pie 3(1728 pulg 3/ pie3 ) = 2.75 [29(103 ) klb/ pulg' ](125 pulg4 )
pulg~
Resp.
PROBLEMAS
629
•
PROBLEMAS Determine la pendiente y la deflexión en C. El es constante.
12-54.
12-57. Determine la pendiente en B y la deflexión en C. El es constante. 12-58. Determine la pendiente en e y la deflexión en B. El es constante.
15 klh
p
Mo = Pa
A,~ ~~~~ B 1----- 30 p;,, - - - -+
-
15 pies
1--
- a_ _c_I--_ _ a ~
Prob.12·54 Probs. 12-57158
12-55.
Detennine la pendiente y la deflexión en B. El es cons-
tante.
p
12-59. Si los coj inetes en A yen B s610 ejercen reacciones verticales sobre el eje, determine la pendiente en B y la deflexÍón en C. El es constante. p
p
!
~
!
B
e
:::L, I ~ a~'1-1 a --J-a I a--l - - - -
Prob.12·59 Prob.12-SS
'*12-60. El eje compuesto de acero, simplemente apoyado, está sometido a una fuerza de 10 kN en su centro. Deter-
*12-56. Determine la pendiente y la deílexión en B, si la viga de acero A-36 es (a) un cilindro sólido con diámetTo de 3 pulg, (h) un tubo de 3 pulg de diámetro exterior y 0.25 pulg de espesor.
mine su deflexión máxima. Eac = 200 GPa.
500 lb
B
1-- - - -- 5 pies - - - -- - -1 Prob.12-S6
Prob.12·60
630
•
CAPiTULO 12 Oeflexión de vigas y ejes
12-61. D etermine la pendiente máxima y la detlexi6n máxima de la viga. El es constante.
12-66. Calcule la deflexión en e y la pendiente de la viga en A, B Y C. El es constante.
j ~---------- L -----------4
8kN· m
B
, '4
*
f------- 6 m -------1--- 3 m
1)
~
Prob.12-66 Probo 12·61
12·62. La viga está formada por dos ejes, para los que el momento de inercia de AB es 1, y el de Be es 21. Determine la pendiente y la deflexión máximas de la viga , debidas a la carga. El módulo de elasticidad es E.
12-67. El muelle plano es de acero A -36, y tiene sección tran sversal rectangular, como se ve e n la fi gura. Calcule la carga elástica máxima P que se puede aplicar. ¿Cuál es la dcflexión en B cuando P llega a su valor máximo? Suponer que el muelle está empotrado en A .
p
p
~---- ~ -------I---14 pulg
Probo 12·62
12-63. D etermine la deflexión y la pendiente en C. El es constante.
e
B
A
~L
)M o
L~
Prob.12-67
*12-68. El gimnasta pesa 150 lb, Y se cuelga uniformemente en el centro de la barra. D etermine el esfuerzo máximo de fl exión en el tubo (la barra) y su deflexión máxima . El tubo es de acero L2 , y tiene 1 pulg de diám etro exterior y un espesor de pared de 0.125 pulg.
Prob.12-63
*12-64. El eje soporta la polea en su extremo C. Determine la defl exión en e, y las pendie ntes e n los coj inetes A y B. El es constante.
"(' P;'1 I 3 pies
B
12-65. E l eje soporta la polea en su extremo C. D etermine su deflexi6n máxima en la región AB. El es constante. Los cojinetes sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje.
.___ k
2
- - t -- Probs. 12·64165
L
2
3 pies --j
p
Prob.12-68
PROBLEMAS
•
631
U-69. D etermine la pendiente en Cy la deflexión en B. El es constante.
B
A
Prob.12-72
U-73. D etermine la pendiente en B y la deflexi6n en C. El es constante.
Probo 12-69
p
U-70. La barra está soportada por un apoyo de rodillos en B, que permite desplazamiento vertical, pero impide la carga axial yel momento. Si la barra se somete a la carga indicada, determine la pendiente en A y la deflexión en C. El es constante.
p
P 2
T
p
Prob.12-73 B
A
U·74. El eje d e acero A -36 se somete a las cargas que transmiten las bandas que pasan por las dos poleas. Si los cojinetes en A y B s6lo ejercen reacciones verticales sobre el eje, calcule la pendiente en A. El diámetro del eje es 0. 75 pulg.
Proh_ 12-70
12-71. D etermine la deflexión máxima del eje. El es constante. Los cojinetes s610 ejercen reacciones verticales en el eje.
U -75. El eje d e acero A-36 se somete a las cargas que tmnsmiten las bandas que pasan por las dos poleas. Si los cojinetes en A y B s610 ejercen reacciones verticales sobre el eje, calcule la defl exión en C. El diámetro del eje es 0.75 pulg.
a -~t--~ I
I- ~ AF=~
==;QIB
p
p
e
450 lb
Prob.12-71 450 lb
*U -72. La viga está sometida a la carga P que se indica. D etermine la magnitud de la fu erza F que debe aplicarse en el extremo del voladizo C, para que la deflexió n en C sep cero. El es constante.
300 lb 300 lb
Probs. 12-74175
632
CAPiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
•
*12-76. El eje de aceroA-36 de 25 mm de diámetro está sostenido en A y B con cojinetes. Si la tensión en la banda de la polea en e es 0.75 kN,determinar la máxima tensión T en la banda de la polea en D, para que la pendiente del eje en A o en B no sea mayor que 0.02 rad. Los cojinetes s610 ejercen reacciones verticales sobre el eje. 12-77. El eje de acero A -36 de 25 mm de diámetro está soportado en A y B con cojinetes. Si la tensión en la banda de la polea en e es 0.75 kN, determine la máxima tensión T de la banda sobre la polea en D, para que la pendiente del eje en A sea cero. Los cojinetes sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje.
IOOrnm
I
300 mm --+-200 mm
I
1
*U·SO. Las dos barras están unidas con un pasador en D.Determine la pendiente en A y la deflexión en D. El es constante.
p
"-==-"~""~~~C B I,D
1--- a - -1- -
a
a
- --f-- a
-----1
Prob.12-80
U-S1. Una viga con El constan te está apoyada como se ve en la figura. Fija a la viga en A está un indicador, sin carga. Tanto la viga como el indicador están horizontales, originalmente, cuando no se aplica carga. Determine la distancia entre el extremo de la viga y la punta del indicador después de que cada uno se ha desplazado con la carga que se indica.
2'f Probs. 12·76/77
12-78. La viga está sometida a la carga que se indica. Determine la pendiente en B y la deflexión en C. El es constante.
m
--+-- 1m - - l
Prob. 12-81 Mo A
~
'L"'4@¡ª ~ a ~I__ __
a:ss ss
'#e " :ElM B
C______ b ______
~
U-S2.
Las dos barras de acero A-36 tienen 1 pu lg de espesor
y 4 pulg de ancho. Están diseñadas para funcionar como un muell e para la máquina, que ejerce sobre ellas una fuerza de 4 klb en A y en B. Si los soportes sólo ejercen fuerzas verticales sobre las barras, determine la deflexi6n máxima de la barra inferior.
Prob.12-78
U-79. Si los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje, determine la pendiente en A y la deflex ión máxima. 4klb
4klb
M o = Po B
~ a -I-- 2a --+-- a ~
A
B
f- 12
p Prob.12-79
PUlg~36 PUlg~12 Probo 12-82
pulg-j
PROBLEM AS
12-83. Puede ser que algún día las vigas hechas de plástico reforzado con fibra reemplacen a muchas de las de acero A-36, porque su peso es la cuarta parte de las de acero, y son resistentes a la corrosión. Usando la tabla del apéndice B, con a adm = 22 klb /pulg2 y 'Tadm = 12 klb /pulg2, seleccione la viga de acero de ala ancha más ligera que sostenga la carga de 5 klb Y a continuación calcule su deflexión. ¿Cuál seria la deflexión máxima de esta viga si estuviera hecha de un plástico reforzado con fibra de vidrio con El' = 18(loJ) klb /pulg2 y tuviera el mismo momento de inercia que la viga de acero?
•
633
12-86. La viga está sometida a la carga que mu estra la figura. Determine la pendiente en B y la defl exión en C. El es constante.
Prob.12-86
1--- 10 pies
10 pies - 1
12-87. Las dos barras están conectadas con un pasador en D. Determine la pendiente en A y la deflexión en D. El es constante.
Probo U-S3
*U-84. Determine la pendiente en es constante.
e y la deflexión en B. El
p
!
w
c))[! ! ! t! ! L 1---- - "
I
a
A•
ID
B
l·
L
L
I
2:
c ~ --I
2
Prob.12-87
Prob.12-84
12-85. Un eje de acero A-36 se usa para soportar un rotor que ejerce una carga uniforme de 5 kN/m dentro de la región CD del eje. Determine la pendiente del eje en los cojinetes A y B. Esos cojinetes sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje.
"'12-88. Determine la defl exión máxima de la viga. El es constante.
w
w
)~I!=!= 1! ~I!:== A~B~~ D ~a -r- " -r- a~
Prob.12-8S
Probo 12-88
634
•
12.5
CAPiTU LO 12 Deflexión de vig as y ejes
Método de superposición La ecuación diferenc ial El d 4 tidx 4 = -w(x) satisface los dos requisitos
necesarios para aplicar el prin cipio de la superposición, que son que la carga w(x) tenga una relación lineal con la deflexi6n v(x), y que se supone que la ca rga no cambia en forma importante la geometría origi nal de la viga o el eje. El resultado es que las deflexiones para una serie de ca rgas separadas que actúan sobre una viga se pueden sobreponer. Por ejemplo, si VI es la de flexión para una carga y v2 es la de flexión para otra carga, la deflexión total para ambas cargas, cuando actúan juntas, es la suma algebraica VI + V2. Usando los resultados tabul ados para di versas cargas en vigas, como los del apéndice e, o los que se encuentran en diversos manua les de ingeniería, es posible, entonces, calcular la pendiente y el desplazamiento en un punto de una viga sometida a varias cargas distintas, sumando algebraicamente los efectos de sus diversas partes componentes. E n los ejemplos siguientes se ilustra cómo usar el método de la superposición para resolver problemas de deflexión , cuando la deflexión no sólo se debe a deformaciones de vigas, sino también a desplazamientos de cuerpo rígido, que se pueden presentar cuando la viga está apoyada en resortes, o partes de una viga segmen tada están soportadas por articulaciones.
La dellex ión resultante e n cualquier punto de esta viga puede determi · narse a partir de la superposición de las deflexiones causadas por cada una de las cargas por separado, que actúan sobre la viga .
Sección 12.5 Método de superposición
•
EJEMPLO Detenninar el desplazamiento en el punto e y la pendiente en el apoyo A de la viga que muestra la figura 12-29a. El es constante. 8kN 2kN/ m
B
r---- 4m ----~----- 4m ----~
r---- 4 m ---~---- 4 m ----~
(a)
(b)
+ Fig.12-29
r---- 4m -----+---- 4 m----~ (o)
Solución La carga se puede separar en dos partes componentes, como se ve en
las figuras 12-29b y 12-29c. El desplazamiento en e y la pendiente en A
se determinan usando la tabla del apéndice
e para cada parte.
Para la carga distribuida, 3wL' 3(2 kN/ m)(8 ID)' 24 kN· m' (OAh ~ 128EI ~ 128EI El J 5wL' (vch ~ 768EI
5(2 kN/ m )(8 m)' 768EI
~
53.33 kN· m' El
1
Para la fuerza concentrada de 8 kN,
PL' 8 kN(8 m)' 32 kN· m' (OAh ~ 16EI ~ 16EI ~ El J PL' 8 kN(8 m)' 85.33 kN · m' (veh ~ 48EI ~ 48EI ~ El 1
El desplazamiento total en e y la pendiente en A son las swnas algebraicas de esos componentes. Por consiguiente.
( +J)
OA~(OAh+(OAh~
(+ 1)
ve~(veh+(veh ~
56 kN·
El
m'J
139 kN ·m'
El 1
Resp.
Resp.
635
636
•
CAPiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
EJEMPLO IOkN
Determinar el desplazamiento en el extremo
e de la viga en voladizo
de la figura 12-30a, El es constante,
5 kN / m
Solución
Como la tabla en el apéndice e no incluye vigas con voladizos, esta viga se separará en una viga simplemente apoyada y una parte en voladizo. 11
Primero calcularemos la pendiente en B, causada por la carga distri-
buida que actúa sobre el tramo simplemente apoyado, figura 12-30b,
e
5kN j m A
t9J)ll tVcll
H H ¡ H H ¡¡ (6n ) 1 F-- - 4 m
wL' 5kNj m(4m)' 13.33kN'm2 (BBJ¡ ~ 24EI ~ 24EI ~ El ~
:--.. B
I
2m
tb)
+
Como este ángulo es pequeño, (88 ) 1 = tan( (JB)¡ , Yel desplazamiento vertical en el punto e es
kN· m ( ve ) 1 ~ (2 m)(13.33 El ' to)
+ IO kN
2 )
~ 26,67 kN· m' ¡ El
A continuación, la carga de 10 kN en el voladizo causa una fuerza estáticamente equivalente de 10 kN Yun momento de par de 20 kN . m en el apoyo B del tramo simplemente apoyado, figura 12-30c. La fuerza de 10 kN no causa un desplazamiento o una pendiente en B; sin embargo, el momento de par de 20 kN . m sí causa una pendiente. La pendiente en B debida a este momento es
td)
20kN·m(4m) · 26,67kN'm2 (BB h ~ 3EI ~ 3EI ~ El J MoL
Fig.12-30
Entonces el punto saliente e se desplaza
~ (2m )(26,7 kN· m (Ve )2 El
2
)
~ 53,33 kN· m'
1
El'
Por último, la parte empotrada Be se desplaza debido a la fuerza de
10 kN, figura 12-30d. El desplazamiento es 10 kN(2 m)' 26,67kN'm' (Ve h ~3EI~ 3EI ~ El PL'
t
Al sumar algebraicamente esos resultados se obtiene el desplazamiento final del punto C.
(+ t )
~ _ 26,7 + 53.3 + 26,7 ~ 53.3 kN· m' ! Ve El El El El
Resp.
SECCIÓN 12.5 Método de superposición
EJEMPLO Determinar el desplazamiento en el extremo de la figura 12-31. El es constante.
e de la viga empotrada
4kN/ m
A
B
~~~~~]VC
~--------10m--------~1--3:~ Fig.12.31
Solución Al usar la tabla en el apéndice C, para la carga triangular, se ve que la pendiente y el desplazamiento en el punto B son
wOL 3
08 ~ 24EI ~ woL'
v - -- 8 - 30El -
4 kNj m(10 m )3 24EI
166.67 kN·
m'
El
4 kNj m(1O m)' 1333.33 kN· m 3 30EI El
La región no cargada Be permanece recta, como se ve en la figura 12-31. Como Os es pequeño, el desplazamiento en e es
1333.33 kN . m3 El
~ 1833 kN . m3 t El
+
166.67 kN ·
El
m' ( ) 3m
Resp.
•
637
638
•
CAP[TUl O 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L 0]11-- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - , La barra de acero de la figura 12-32a está apoyada en dos resortes, en sus extremos A y B. Cada resorte ti ene una rigidez de k = 15 klbj pie, y originalmente no está deformado. Si la barra se carga con una fuerza de 3 klb en el punto e, determine el desplazamiento vertical de ese punto. No tener en cuenta el peso de la barra, y suponer que E" = 29(10') klb /pulg' e 1 = 12 pulg4 Solución
3 klb 3 pies-~6 piCS I
1
!_
A k == 15 kJb jpie
e
B
Las reacciones en los extremosA y B se calcu lan y se muestran en la figura 12-32b. Cada resorte se deforma en una cantidad
k = 15 klb jpie ~
(.)
3
11
2 klb (VAl! = 15 klbj pie
0.1333 pie
1 klb 15 klbj pie
= 0.0667 pie
(VB)¡
t 2
klb
Desplazamiento
de cuerpo rígido (b)
1 klb
=
Si se considera que la barra es rigida, esos desplazamientos la hacen moverse a la posición que muestra la figura 12-32b. Para este caso, el desplazamiento vertical en e es
+ 3 klb
¡-3 pios
f
J.
6 pios
;;;=-~~~cr~~-~~ •
~ch
= 0.0667 pie
2
+ 3 [0.1333 pie - 0.0667 pie] = 0.1111 piet
Desplazamiento de cuerpo deformable
Se puede calcular el desplazamiento en e causado por la deforma-
(o)
ción de la barra, figura 12-32c, usando la tabla del apénd ice C. En-
tonces,
Hg. 12-32
(V)
e'
_
-
=
Pab (L' _ b' _ a') 6E IL
3 klb(3 pies)(6 pies)[(9 pies)' - (6 pies)' - (3 pies)'] 6[29( 103 )] klbj pulg' (144 pulg'j1 pie') 12 pulg4 (1 pie 4j 20 736 pulg4 )(9 pies) =
0.0149 piest
Sumando los dos componentes de desplazamiento se obtiene
(+ !)
Ve
= 0.1111 pie + 0.0149 pie = 0.126 pie = 1.51 pulg t
Resp.
PROBLEMAS
•
639
PROBLEMAS U-89. La viga en voladizo W8 X 48 es de acero A~36, y se somete a la carga que muestra la figura. Determine la deflexión en su extremo A.
1---8 p;" --
c~__-+__
15 klb·pie ~__ . 6 pies -
-
Proh.12-93 B
Prob.12-89
12-9ft La viga W12 X 45 simplemente apoyada es de acero A-36, y se sujeta a las cargas que muestra la figura . D etermine la deflexión en su centro, C.
12-94. La viga sostiene las cargas que muestra la figura. Por restricciones de código, para que un delorraso sea de yeso, se requiere que la deflexión máxima no sea mayor que 1/360 de la longitud del claro. Seleccione en el apéndice B la viga de patín ancho, de acero A-36, de menor peso y que satisfaga este requisito y sostenga con seguridad la carga. El esfuerzo admisible de flexión es ifadm - 24 klb/pulg2 , Yel esfuerzo cortante admisible es Tadm = 14 klb /pulgl. Suponga que A es un rodillo y que B. es un pasador.
12 klb 50 klb·pic
A~ l
e
1-- - 12 pies,---'¡'-- - - 12 pies ---1 Prob.12-90
12-91. La viga W14 X 43, simplemente apoyada, es de acero A-36, y está sometida a la carga que muestra la figura. Determine la deflexión en su centro C. *12-92. La viga W14 X 43, simplemente apoyada, es de acero A-36 y está sometida a las cargas que muestra la figura. Determine la pendiente en A y en B.
Prob.12-94
12-95. La viga simplemente apoyada soporta una carga uniforme de 2 klb/pie. Por restricciones de código, para que un cielorraso sea de yeso, se requiere que la deflexión máxima no sea mayor que 1/360 del claro. Seleccione la viga de patín ancho, de acero A-36, con el mínimo peso que satisfaga este requisito y que soporte con seguridad a la carga. E l esfuerzo flexionante admisible es Uadm = 24 kIb/pulgl, y el esfuerzo cortante admisible es Tadm = 14 klb/pulg2 • Suponga que A es un pasador y que B es un soporte de rodillo.
1-- - - 10p;'s - - -+ - - - lOpics - -- ! ProM. 12-91192
12-93. La viga W8 X 24 simplemente apoyada, es de acero A-36, y está sometida a las cargas que muestra la fjgura. Calcule la deflexión en su centro, C.
Prob.12-95
640
•
CAPiTULO 12 Oeflexión de vigas y ejes
*U-96. La viga WIO x 30 en voladizo es de acero A-36, y está sometida a flexión asimétrica causada por el momento aplicado. Determine la deflexi6n del centroide en su extremo A, debido a la carga. Sugerencia: descomponga el momento en componentes y use la superposición.
12-99. El conjunto de tubos consiste en tres tramos de iguales dimensiones, con rigidez flexionant e El y rigidez de torsión GJ. Determine la deflexión vertical en el punto A.
y
e x M = 4.5 klb 'pie
Prob.12-96
12-97. Determine la de flexión vertical en el extremo A del soporte. Suponga que está empotrado en su base B, y no tenga en cuenta la deflexión axial. El es constante.
Prob.12-99
P A
I J
*12-100. Determine la deflexión vertical y la pendiente en el extremo A del soporte. Suponga que está empotrado en su base, y no tenga en cuenta la deformación axial de l segme nto AB. El es constante.
b
B
Prob. 12-97
12-98. La varilla está articulada en su extremo A, y está fija a un muelle de torsión con rigidez k, que mide el par de torsión por radián de rotación del resorte. Si siempre se aplica una fuerza P en dirección perpendicular al extremo de la varilla, calcule el desplazam iento de la fuerza. El es constante. p A
I - - -- - L
- --1,1
Prob.12-98
8 klb
Prob.12-l00
Sección 12.6 Vigas y ejes estáticamente indeterminados 12-101. La viga de patín ancho es en voladizo. Debido a un error se instala Cormando un ángulo (} con la vertical. Determine la relación de su deflexión en dirección x entre su deflexión en dirección y, en el punto A ,cuando en ese punto se aplica una carga P. Los momentos de inercia son Ix e Iy. Para la solución, descomponga P y use el método de la superposición. Nota: el resultado indica que pueden presentarse grandes deflexiones laterales (en dirección x) en vigas angostas con Iy« Ix , cuando no se instalan en forma correcta. Para verlo en forma numérica , calcule las de fl exiones en las direcciones x y y para una viga de acero A-36 WI0 X 15, con P = 1.5 klb, (J = 10° Y L = 12 pies.
•
641
12-102. E l marco consiste en dos vigas en voladizo de acero A-36, CD y BA , Yuna viga cn simplemente apoyada. Si cada viga es de acero, y su momento de inercia respecto al eje principal es Ix = 118 pulg4 , determine la deflexión en el centro G de la viga CB.
e Vertical
x
12.6
Prob.12-101
Prob. 12-102
Vigas y ejes estáticamente indeterminados
El aQ.álisis de barras cargadas axialmente y ejes cargados a la torsión, se ha descrito en las secciones 4.4 y 5.5, respectivamente. En esta sección ilustraremos un método general para determinar las reacciones en vigas y ejes estáticamente indeterminados. En forma específica, un miembro de cualquier tipo se clasifica como estáticamente indeterminado si la cantidad de reacciones incógnitas es mayor que la cantidad disponible de ecuaciones de equilibrio. Las reacciones adicionales en los apoyos sobre la viga o eje no se necesitan para mantenerlas en equilibrio estable, y se llaman redundantes. La cantidad de esas redundantes se llama grado de indeterminación. Por ejemplo, para la viga de la figura 12-33a, si se traza el diagrama de cuerpo libre, figura 12-33b, habrá cuatro reacciones incógnitas en apoyos, y como hay disponibles tres ecuaciones de equilibrio para la solución, la viga se clasifica como estáticamente indeterminada de primer grado. Ya sea A y, Byo MA se pueden clasificar como redundantes, porque si cualquiera de esas reacciones se elimina, la viga permanece estable y en equilibrio (A x no puede clasificarse como redundante, porque si se quitara, ¡Fx = O no quedaría satisfecha). En forma parecida, la viga continua de la figura 12-34a es indeterminada de segundo grado, porque hay cinco reacciones desconocidas y sólo hay tres ecuaciones de equilibrio disponibles, figura 12-34b. En este caso, se pueden elegir las dos reacciones redundantes en apoyos entre Ay, B y, C y YDy-
p
JB
A (a)
p
~:s;.1!" "~'
, !Q,~
!"''"",os!'' "!5tG"",_"""",a (b)
Hg. U-33
642
•
CApiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
r
P,
¡
I'
P,
l'
A, D
e
B
A,
(,)
e,
B, (b)
Fig.12-34
Para determinar las reacciones sobre una viga (o eje) estáticamente indeterminada, primero es necesario especificar las reacciones redundantes. Podemos determinarlas a partir de las condiciones geométricas, llamadas condiciones de compatibilidad. Una vez determinadas, las redundantes se aplican a la viga y las reacciones restantes se determinan a partir de las ecuaciones de equilibrio. En las siguientes secciones ilustraremos este procedimiento de solución, usando el método de integración, de la sección 12.7, el del momento de área, sección 12.8, y el de superposición, sección 12.9. Un ejemplo de una viga estáticamente indeterminada usada para apoyar la plataforma de un puente.
12.7
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de integración) w
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ A
• _ _<-1 -'-_ _ _ L
(, )
(b)
Fig.12.35
B,
El método de integración, descrito en la sección 12.2, requiere dos integraciones de la ecuación diferencial d 2vJdx2 = MIEl, una vez que el momento interno M de la viga esté expresado como función de la posición x. Sin embargo, si la viga es estáticamente indeterminada, M también se puede expresar en función de las redundantes desconocidas. Después de integrar dos veces esta ecuación, habrá para determinar dos constantes de integración y las redundantes. Aunque éste sea el caso, siempre se pueden determinar esas incógnitas a partir de las condiciones en la frontera y/o de continuidad para el problema. Por ejemplo, la viga de la figura 12-35a tiene una redundante. Puede ser Ay,MA o By, figura 12-35b. Una vez elegida, se puede expresar el momento interno M en función de esa redundante, y al integrar la relación entre momento y desplazamiento, se pueden determinar entonces las dos constantes de integración, y la redundante, a partir de las tres condiciones en la frontera v = O en x = O, dvjdx = O en x = O Y v = O en x = L. Los siguientes problemas de ejemplo ilustran aplicaciones específicas de este método, usando el procedimiento de análisis descrito en la sección 12.2.
Sección 12.7 Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de integración)
•
643
EJEMPLO La viga de la figura 12-36a está sujeta a la carga distribuida que se muestra. Determinar las reacciones en A. El es constante.
Solución
L - ----1
Curva elástica. La viga se flexiona como muestra la figura 12-36a. Sólo se necesita una coordenada x. Por comodidad la supondremos dirigida hacia la derecha, ya que así es fácil formular el momento interno.
(a)
Funci6n momento. La viga es indeterminada de primer grado. como se ve en el diagrama de cuerpo libre, figura 12-36b. Se puede expresar al momento interno M en función de la fuerza redundante en A, usando el segmento de la figura 12-36c. En ese caso,
----
--- ---
-------A. . _ _ _ _. ._ _~~B"
1--- h __-11- 13 3
L--I M
(b)
Pendiente y curva elástica.
Se aplica la ecuación 12-10 como sigue:
d 2v 1 x3 El dX2 = A yx - "6w0"L
dv 1 2 1 x' El - = - A Yx - - Wo - + dx2 24L
e1
A
Las tres incógnitas Ay> Cl y C2 se determinan a partir de las condicio-
nes en la frontera x = O, u= O;x = L,dujdx = Oyx = L , u= O.Al aplicarlas se obtienen
x = O,v = O;
0=o - o+o+e2
dv x -- L ,-=0' dx '
_ 1 2 1 3 0- "2AyL - 24woL
+ el
x=L,v=O;
Se despejan, 1 A y = 10 woL
el
=
1 3 woL - 120
Resp.
e2 =
O
Se usa el resultado de A y, y se pueden determinar las reacciones en B con las ecuaciones de equilibrio, figura 12-36b. Demuestre que Ex = 0,
By = 2woL j5y M B = woL 2 j15.
Fig.12-36
B
644
•
CAPiTULO 12 Oeflexión de vigas y ejes
EJEMPLO~
La viga de la figura 12-37a está empotrada en ambos extremos, y sometida a la carga uniforme que se indica. Determinar las reacciones en los soportes. No tener en cuenta el efecto de la carga axial. Solución
Curva elástica. La viga se flexiona como muestra la figura 12-37a. Como en el problema anterior, s6lo es necesaria una coordenada x para resolverlo, ya que la carga es continua en todo el claro.
(.)
Función momento. De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre, figura 12-37b, el cortante y los momentos de reacción en A y B deben ser iguales, ya que hay simetría tanto de carga como de geometría. Debido a ello, la ecuación de equilibrio 'rFy = Orequiere que
Resp. La viga es indeterminada en primer grado, y M ' es redundante. Al usar el tramo de viga de la figura 12-37c, se ve que el momento interno M se pued~ expresar en función de M ' como sigue: wL w 1 I M =-x --x - M 2 2 Pendiente y curva elástica.
Se aplica la ecuación 12-10 para obtener
d 2v wL w 1 , E l - = - x - - x -M dx 2 2 dv wL 1 w 3 El - = - x - -x - M ' X + dx 4 6 wL 3 Elv = 12 x
(b)
-
w 4 24 x
el
M'
-
'2 x' + C¡x + C,
Las tres incógnitas, M', et y el, se pueden determinar a partir de las tres condiciones en la frontera v = en x = 0, que define a e2 = O; la otra es dv/dx = en x = 0, que determina el = 0, y la tercera es v = en x = L, que determina
°
(o)
°
°
wL' 12
M'= - -
Fig.12-37
Resp.
Al usar estos resultados observe que debido a la simetría, la condición restante en la frontera dv/dx = en x = L , se satisface en forma automática. Se debe tener en cuenta que, en general, este método de solución es adecuado cuando s6lo se necesita una coordenada x para describir la curva elástica. Si se necesitan varias coordenadas x, se deben plantear ecuaciones de continuidad, complicando así el proceso de solución.
°
PROBLEMAS
•
645
PROBLEMAS U~103. Determine las reacciones en los apoyos A y B, y a continuación trace los diagramas de cortante y de momento. Use funciones de discontinuidad. El es constante.
U-I06. La carga sobre una viga de piso de un avión se ve en la figura. Use funciones de discontinuidad y determine las reacciones en los apoyos A y B, ya continuación trace el diagrama de momento para la viga. Es de aluminio y su momento de inercia es 1 = 320 pulg4 .
p
8
Ir -,- -
~ - -+-- - ~ --I Prob.12-103
*12-104_ Determine las reacciones en los apoyos A y B , ya continuación trace los diagramas de cortante y de momento. El es constante. No tenga en cuenta el efecto de la carga axial.
B
A 1 - - 120pul:. - - 1 --
120 pulg
p
Probo 12-106
~ ~L ---+----~
L
----1
Probo 12-104
U-107. Determine las reacciones en los apoyos A y B. El es constante. U-10S. Determine las reacciones en los apoyos A y B, Y a continuación trace los diagramas de cortante y de momento. El es constante.
B
A
1-- -- - -
L
-----1
Prob.12-105
~---- L ----~ Probo 12-107
646
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
*U-108. Use funciones de discontinuidad y determine las reacciones en los apoyos; después trace los diagramas de cortante y de momento. El es constante.
B ~----------- L,
SkN/ m
------------4
Prob.12-110
~--- "m ------4------- 4m ----4
Probo 12-108
12-111. Determine los momentos de reacción en los apoyos A y B, Ya continuación trace los diagramas de cortante y de momento. Resuelva el problema expresando al momento interno de la viga en función de A y y M A . El es constante.
U-109. Use funciones de discontinuidad y determine las reacciones en los apoyos; después trace los diagramas de cortante y de momento. El es constante.
w
B
A ~--------- L
----------4
Prob.12-111
"'12·112. Determine los momentos de reacción en los apoyos A y B. El es constante. Prob.12-109
A
12-110. La viga tiene Elll constante y está apoyada en el empotramiento en B y en la varilla AC. Si la varilla tiene área transversal A 2, y el material tiene módulo de elasticidad E 2, determine la fuerza en la varilla.
r----------- L ----------~
Probo 12-112
SECCIÓN 12.8
*12.8
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método del momento de área)
•
647
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método del momento de área)
Si se usa el método del momento de área para determinar las redundantes incógnitas de una viga o eje estáticamente indetenninados, entonces se debe tratar el diagrama M / EI de tal modo que se representen las redundantes como incógnitas en él. Una vez establecido el diagrama M / EJ, se pueden aplicar los dos teoremas del momento de área para obtener las relaciones adecuadas entre las tangentes de la curva elástica, para que cumplan con las condiciones de desplazamiento y/o pendiente en los apoyos de la viga o eje. En todos los casos, la cantidad de esas condiciones de compatibilidad será igual a la cantidad de redundantes, y de este modo se puede obtener una solución para las redundantes. Diagramas de momento trazados con el método de superposiComo la aplicación de los teoremas de momento de área requiere calcular tanto el área bajo la curva M / El como el lugar del centroide de esa área,con frecuencia conviene usar diagramas M / EI separados para cadiz una de las cargas y redundantes desconocidas, más que usar el diagrama resultante para calcular esas cantidades geométricas. Esto tiene . validez especial si el diagrama resultante de momento tiene una forma complicada. El método para trazar en partes el diagrama de momento se basa en el principio de la superposición. La mayor parte de las cargas sobre vigas o ejes serán una combinación de las cuatro formas que muestra la figura 12-38. La construcción de los respectivos diagramas de momento, que también se ven en esa figura, se ha descrito en los ejemplos del capítulo 6. Con base en esos resultados demostraremos ahora cómo usar el método de la superposición para representar el diagrama resultante de momento para la viga empotrada de la figura 12-39a , mediante una serie de diagramas de momento separados. Para hacerlo, primero se sustituirán las cargas por un sistema de cargas estáticamente equivalentes. Por ejemplo, las tres vigas en voladizo de la figura 12-39a son estáticamente equivalentes a la viga resultante, ya que clon.
p
M
"-----~----------~--x
- PL (.)
648
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
13 kN
et -
¡¡¡¡¡
30kN-m
•
A
58 leN'm
M(kN-m)
5 kN
4kN/ m
2m
2
+
4 x(m)
- 10
2m --l
-40
11
-58
11
M (kN 'm)
4kN / m
¡¡¡¡¡
8kN
el
SIeN'm
2
4
•
~2m----!
-8
+
+
e"-2m ----!
M (kN 'm)
4
2
301eN'm
x(m)
•
30 leN-m
+ 5kN
el
20kN'm
- 30
+ 5kN
+ A
x(m)
4m
M (kN'm )
2I
4
I
x(m)
-2J
Superposición de cargas
Superposición de diagramas de momento
(a)
(b)
Fig.12·39
la carga en cada punto de la viga resultante es igual a la superposición o suma de las cargas en las tres vigas separadas. En realidad, la reacción de cortante en el extremo A es 13 kN, cuando se suman las reacciones en las vigas separadas. Del mismo modo, el momento interno en cualquier pun-
to de la viga resultante es igual a la suma de los momentos internos en cualquier punto de las vigas separadas. Así, si se trazan los diagramas de momento para cada viga separada, figura 12-39b, la superposición de esos diagramas determinará el diagrama de momento para la viga resultante, que se ve en la parte superior. Por ejemplo, partiendo de cada uno de los diagramas separados de momento, el momento en el extremo A es M A =
-8 kN·m - 30 kN· m - 20 kN· m ~ - 58 kN· m, como se ve en el dia· grama de la parte superior. Este ejemplo demuestra que a veces es más fácil trazar una serie de diagramas de momento estáticamente equivalentes para la viga, y no trazar el diagrama de momentos resultan tes, el cual es más complicado. Es obvio que el área y la ubicación del centroide para cada parte es más fácil de determinar que la del centroide del diagrama resultante . •
SECCiÓN 12.8
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método del momento de área)
En forma parecida, también se representa el diagrama de momento resultante para una viga simplemente apoyada usando una superposición de diagramas de momento para una serie de vigas simplemente apoyadas. Por ejemplo, la carga de la viga en la parte superior de la figura 12-40a es equivalente a la suma de las cargas de las vigas abajo de ella. En consecuencia, se puede usar la suma de los diagramas de momento para cada una de esas tres cargas, y no el diagrama de momento resultante de la parte superior de la figura 12-40b. Para comprenderlos bien, se deben verificar estos resultados. Los ejemplos que siguen también deberían aclarar algunos de estos puntos, e ilustrar cómo se usan los teoremas del momento de área para obtener las reacciones redundantes sobre vigas y ejes estáticamente indeterminados. Las soluciones siguen el procedimiento de análisis descrito en la sección 12.4.
•
649
650
•
CAPiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
EJEMPL0JailLa viga está sometida a la carga concentrada que muestra la figura 12-41a. Determine las reacciones en los apoyos. El es constante. M
¡
B
A, 1------- L
El
I!l:: El
L~
I
f
2L
x
- El -----------",.-
_ 2EL.~
Ce)
El
P
~
B
L
fl.
(,)
L
r---------. :::-:..........
tB/A
""O
--J
tan A
~tanB
L- I
B,
(d)
(b)
Fig.12-41
Solución
Diagrama MIEl. En la figura 12-41b se muestra el diagrama de cuerpo libre. Usando el método de superposición, los diagramas M / El separados, para la reacción redundante By y la carga P, se ven en la figura 12-41c.
Curva elástica. La curva elástica para esta viga se ve en la figura 12-41d. Los tangentes en los apoyos A y B se han trazado. Ya que dB = 0, entonces tB/A = O
Se aplica el teorema 2, para obtener
Teorema del momento de área. tBIA =
GL)[H i~)L1 (~)[ -:¡L (L) 1 +
+GL )[H -:¡L )
Resp.
By = 2.5?
Ecuaciones de equilibrio. Al usar este resultado, se determinan como sigue las reacciones en A sobre el diagrama de cuerpo libre, figura 12-41b: '±;"'iF, = O·,
+¡
"'iFy = O;
Ax = O -Ay
+ 2.5? - ? Ay
-M A
=
Resp. = O
Resp.
J.5P
+ 2.5P(L)
- P(2L)
M A = 0.5?L
=
O
Resp.
SECCiÓN 12.8
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método del momento de área)
•
651
EJEMPLO La viga está sometida al momento del par en su extremo e,como muestra la figura 12-42a. Determine la reacción en B. El es constante.
€L
Solución
1
L
¿:¡)Mo
------1
C·)
Diagrama MIEl. En la figura 12-42b se muestra el diagrama de cuerpo libre. Por inspección se ve que la viga es indeterminada de primer grado. Para obtener una solución directa elegiremos a By como la redundante. Usando la superposición, los diagramas MIEl para By y Mo se ven en la figura 12-42c, aplicado cada uno a una viga simplemente apoyada. (Observe que para esa viga , Ax,A y y C y no contribuyen en el diagrama MIEl.)
A, 4
t=L A,
r L=t
) Mo
C,.
Cb)
Curva elástica. La curva elástica para la viga se ve en la figura 12-42d. Se han trazado las tangentes en A , B Y C. Como t. A = t. B = .6. c = O, las desviaciones tangenciales que se muestran deben ser proporcionales, es decir,
M
~
El
,, ,
'El
'L ~
2L
x
~
-----------
2EI
~
2E1
El
Co)
De acuerdo con la figura 12-42c, tA/ C
A
~~L~~~K~~~¡=~~C~ ~tanB L ...IL tanC
:;:- tan A
. B
Cd)
A
L
tanB B
tanC tB/A
L tejA
Ce)
Fig.12-42
Se sustituye en la ecuación 1 y se simplifica, para obtener 3Mo
By = 2L
Resp.
Ecuaciones de equilibrio. Ya se pueden determinar las reacciones en A y C a partir de las ecuaciones de equilibrio, figura 12-42b. Demuestre que Ax = O, Cy = SM o/4L Yque A y = Mo/4L. Observe que, de acuerdo con la figura 12-42e, este problema también se puede resolver en función de las desviaciones tangenciales.
tan A
652
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
PROBLEMAS 12·113. Detennine los momentos de reacción en los apoyos A y B. El es constante.
B
A
12-117. Determine las reacciones en los apoyos y a continuación trace los diagramas de cortante y de momento. El es constante.
~
~--- ~-----r----~----~
..
1----
na _
43 S l$SJ
L
------1------
]2.114. Determine los momentos de reacción en los apoyos A y 8 , Ya continuación trace los diagramas de cortante y de momento. El es constante.
A ~
~
1
12-118. Determine las reacciones en los apoyos A y B, y a continuación trace los diagramas de cortante y de momento, El es constante. p
Mo
r""'"'=:oo'7+'*,*"'==='j 1
~
-----1
Prob.12-117
Probo 12-113
MO
L
1
B
p
¡ B
A
~ --I
Prob.12·114 Probo 12-118
12-115. Determine las reacciones en los apoyos y trace después los diagramas de cortante y de momento. El es constante.
12-119. Determine el valor de a para el cual el momento positivo máximo tiene la misma magnitud que el momento negativo máximo. El es constante. p
r-a---i 1----------- L -----------1 Prob.12-115 Prob.12-119
*12-116. Determine las reacciones en los apoyos y a continuación trace los diagramas de cortante y de momento. El es constante.
*12-120. D etermine los momentos de reacción en los apoyos A y B. El es constante.
,
p
a
b
11
Bt·
A
1---4 Pies J - 6 pies---I1-- 6 pies - t -4 pies-l
L
Prob.12-116
Probo 12-120
SECCIÓN 12.9
/
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición)
•
653
12.9 Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición) El método de la superposición se usó antes para calcular las cargas redundantes en barras con carga axial y ejes con carga de torsión. Para aplicar este método a la solución de vigas (o ejes) estáticamente indeterminados, primero es necesario identificar las reacciones redundantes en los apoyos, como se explicó en la sección 12.6. Al eliminarlas de la viga se obtiene la
P
~:t~:~~~i~~:~:a;!~~~Ueex~=r~s~~~~:::t~t~i~:t;~7~:~~::ae~~:b;~'!e:t¿~ Afl'=='-------- .L.. _'~ B
de vigas igualmente apoyadas, cada una cargada con una fuerza red undante separada, entonces, por el principio de la superposición, se obtiene la viga cargada real. Por último, para determinar las redundantes, se de~ ben escribir las condiciones de compatibilidad que existen en los apoyos donde actúa cada una de las redundantes. Como las fuerzas redundantes se determinan en forma directa de esta manera, a este método de análisis se le llama a veces el método defuerza. Una vez obtenidas las redundantes, las demás rea¡,;dunes de la viga se determinan eI1tonces, con las tres ecuaciones de equilibrio. Para aclarar estos conceptos veamos la viga de la figura 12-43a. Si se elige la reacción By en el apoyo de rodillo como la redundante, la viga primaria se ve en la figura 12-43b, y la viga con la redundante By actuando sobre ella se ve en la figura 12-43c. El desplazamiento en el rodillo debe ser cero, y como el desplazamiento del punto B en la viga primaria es Vn, y como By hace que el punto B se desplace V'B hacia arriba, se puede escribir como sigue la ecuación de compatibilidad en B:
0=
( +j)
- VB
vB
, VB =
y
By L' 3El
Sustituyendo lo anterior en la ecuación de compatibilidad se obtienen
5PL' ByL' +-48EI 3EI
0= - --
5 By = 16 P Ahora que ya se conoce By, se determinan las reacciones en el muro con las tres ecuaciones de equilibrio aplicadas a toda la viga, figura 12-43d. Los resultados son Ax = O
A
I
. Viga real
~
~
4
(,)
11 p
~
A
L
I
L
2 2 Redundante By eliminada
É-
lB
(b)
+ VÉ
Se pueden obtener los desplazamientos Vn y v'n usando cualquiera de los métodos descritos en las secciones 12.2 a 12.5. En este caso Jos obtendremos en fonna directa con la tabla del apéndice C. Entonces,
5PL' = 48El
I -- ~ ~
y
=!.l:. p 16
'I--- -- L - - -- I 8, Sólo se apl ica la redundan te By (e)
654
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
p
~
(,)
/
< 2
'
-. B L
Viga real
'1
2'
11 p
B
(b)
L 8A 2
L
2 MA redundante eliminado
+
MA
«)
A~
.' A
Sólo se aplica MA redundante Fig. U-44
Como se dijo en la sección 12.6, la elección de cuál será la redundante es arbitraria, siempre y cuando la viga primaria permanezca estable. Por ejemplo, en la figura 12 ~44a también se puede escoger el momento en A para la viga como la redundante. En este caso se elimina la capacidad de la viga para resistir M A por lo que la viga primaria está soportada con un pasador en A, figura 12-44b. También, la redundante en A actúa sola sobre esta viga, figura 12-44c. Llamando eA a la pendiente en A , causada por la carga P, y eA a la pendiente en A causada por la redundante M A • la ecuación de compatibilidad para la pendiente en A requiere que
Es el mismo resultado que se determinó antes. E n este caso, el signo n e~ gativo de M A s6lo indica que M A actúa en sentido opuesto al que indica la figura 12-44e.
SECCiÓN 12.9
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición)
P,
P,
B
(a) A
•
e
D
e
D
Viga real
11 P,
P,
B
v,
•
ve
Redundantes By y C)' eliminadas
+ B,
e
B
VB
vé
... D
S610 se aplica la redundante By
+ C,
B
(d) A
d
D
ve
v,
S610 se aplica la red undante C ..
Fig.12-45
Otro ejemplo que ilustra este método se ve en la figura 12-45a. En este caso, la viga es indeterminada de segundo grado, y en consecuencia serán necesarias dos ecuaciones de compatibilidad en la solución. Elegiremos las fuerzas en los apoyos de rodillo B y e como las redundantes. La viga primaria (estáticamente determinada) se deforma como se ve en la figura 12-45b cuando se quitan las redundantes. Cada fuerza redundante deforma esta viga como muestran las figuras 12-45c y 12-45d, respectivamente. Por superposición, las ecuaciones de compatibilidad para los desplazamientos en B y e son:
va + VB
(+ t)
o=
(+ t)
O=vc +vc+vc
VB
+
(12-22)
En este caso, los componentes de desplazamiento v'B Y v'e se expresarán en y se expresarán en funfunción de la incógnita By, y los componentes ción de la incógnita Cr Cuando se han determinado esos desplazamientos, y sustituido en las ecuaciones 12-22, éstas se pueden resolver simultáneamente para obtener las dos incógnitas By y ey .
Va Ve
•
655
656
•
CAPiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS El siguiente procedimiento es para aplicar el método de la superposición (o el método de fuerza) en la determinación de las reacciones sobre vigas o ejes estáticamente indeterminados.
Curva elástica. • Especificar las fuerzas o momentos redundantes desconocidos que deben eliminarse de la viga, para hacerla estáticamente determinada y estable. • Usando el principio de superposición, trazar la viga estáticamente indeterminada mostrándola igual a una sucesión correspondiente de vigas estáticamente detenninadas. • La primera de esas vigas, la viga primaria, sostiene las mismas cargas que la viga estáticamente indeterminada, y cada una de las demás vigas se "suman" a la viga primaria para cargarla con una fuer~ za o momento redundantes. . • 'frazar la curva de flexión para cada viga, e indicar, en forma simbólica, el desplazamiento o la pendiente en el punto de aplicación de cada fuerza o momento redundante.
Ecuaciones de compatibilidad. • Formular una ecuación de compatibilidad para el desplazamiento o la pendiente en cada punto donde haya una fuerza o momento redundante. • Detenhinar todos los desplazamientos o pendientes, usando un método adecuado de los que se explicaron en las secciones 12.2 a
12.5. • Sustituir los resultados en las ecuaciones de compatibilidad, y despejar las redundantes desconocidas, • Si un valor numérico de una redundante es positivo, tiene el m;s~ mo sentido ;y dirección que el que se supuso en forma original. En fonna parecida. un valor numérico negativo indica que la redundan~ te actúa contraria a su supuesto sentido de dirección.
Ecuaciones de equilibrio. • Una vez determinadas las fuerzas y/o momentos redundantes, las restantes reacciones desconocidas se pueden determinar con las ecuaciones de equilibrio aplicadas a las cargas que se indiquen en el diagrama de cuerpo libre de la viga.
Los ejemplos que siguen ilustran la aplicación de este procedimiento. Para abreviar, se han determinado todos los desplazamientos y las pendientes con la tabla del apéndice C.
SECCIÓN 12.9
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición)
•
657
EJEMPLO Determinar las reacciones en el apoyo B de rodillo, en la viga de la figura 12-4-00, y a continuación trazar los diagramas de cortante y de momento. E l es constante. 8klb ~ 5pies ---=1.
Solución
.
_2 klbjpie
B
A~= ¡¡¡ UJJ IlJj !.t.i
W
1~·
Principio de superposición. Por inspección se ve que la viga es estáticamente indeterminada de primer grado. El soporte de rodillo en B se escogerá como la redundante, por lo que By se determinará en forma directa. Las figuras 12-46b y 12-46c muestran la aplicación del principio de la superposición. En este caso hemos supuesto que By actúa hacia arriba, en la viga. Ecuación de compatibilidad. Suponiendo que el desplazamiento positivo es hacia abajo, la ecuación de compatibilidad en B es (b)
10Ples---~ -"-l
Viga real
11 8 klb
1~~í5~Pi~"~~~~~~~2 klbj pie
l
1----10
1",
pi"',- - - - I I B
Redundante By eliminada
o=
(+ t)
"Un -
VE
(1)
+
~.
Los siguientes desplazamientos se obtienen en forma directa en la tabla del apéndice C. (e) wL 4
5PL3 18 (d) O
8EI
VB
Sólo se aplica la redundante By"
5(8 klb )( 10 pies )'
+
48EI
3333 klb. pie 3 El
klb'L¡;¡d:;l;;b~:!J!l[!y~2 klbjpie lB
40 klb"pie 1--5 pies- + - -S pies
10 klb
t
V (ldb)
18
,
10': :5:
B
8 Idb
v. = 8El + 48El
2 klbj pie(10 pies )4
B
PL3 By( 10 pies )3 333.3 pies 3By = 3ET = 3EI El t
(e) M (klbp'Pie>
El
By
~
-
25
5 Fig.12-46
333.3By ----=c:-'-
El
10 klb
-10
I---,"~"---+I------. - . -""-. . . . x(pies)
Se sustituye en la ecuación 1 y se despeja como sigue: 3333
tt::===::::=1~8L-===::-:-:x (pies) 5
-40
O= -
(ldb)
Resp.
Ecuaciones de equilibrio. Al usar este resultado y aplicar las tres ecuaciones de equilibrio, se obtienen los resultados que muestra el diagrama de cuerpo libre de la viga, en la figura 12-46d. E n la figura 12-46e se ven los diagramas de cortante y de momento.
658
CAP[rULO 12 Deflexión de vigas y ejes
•
EJEMPLO Determine las reacciones sobre la viga de la figura 12-47a. Debido a las cargas y a defectos de construcción, el apoyo de rodillo en B se asienta 12 mm. Suponer que E = 200 OPa e 1 = 80(106 ) mm'. Solución rTTTTl.:::24nkN 1m
1')
";A~~~~~~~ ¡'-----4m
, l·
12 mm 4m --1
Viga real
Principio de superposición. Por inspección, la viga es indeterminada de primer grado. El soporte de rodillo en B se escogerá como la red undante. El principio de superposición se muestra en las figuras 12-47b y 12-47c. En este caso se supondrá que By actúa hacia arriba, en la viga. Ecuación de compatibilidad. Con referencia al punto B , con metros como unidades, se requiere que
11 24 kN/m
( b)
A
tr trtrtrt;;,;;,::! tr~t1 ¡ ~~~ _, ¡ " - 4m
81 . "8
(+ ~)
4m----l
0.012 m =
De acuerdo con la tabla del apéndice
(1)
vÍl
vB -
e, los desplazamientos son:
Redundante By eliminada
+
VB
(C)~
5wL' 5(24 kN/ m )(S m)' 640kN·m3 = 76SEI = 76SEI = El ~
PL3 By(S m)3 10.67 m 3B y vÍl = -4S-E-/ = 4SE/ El t
4m Sólo se aplica la redundante By
Entonces, la ecuación 1 se transforma en
96kN
r-----+------¡ (d)
A
0.012EI = 640 - 10.67 By
t-2m~ 2m-t__4m =_=t Ay
42.0 kN
Cy
Se expresan E e 1 en kN 1m2 y en m\ respectivamente, como sigue: 0.012(200)(106 )[S0(10-6)J = 640 - 10.67By
Fig.12.47
By = 42.0 kN
t
Resp.
Ecuaciones de equilibrio. Al aplicar este resultado a la viga, figura 12-47d, se pueden calcular las reacciones en A y e, usando las ecuaciones de equilibrio. Así se obtienen -96 kN(2 m)
+ 42.0 kN(4 m) + Cy(S m)
C y = 3.00 kN
Ay
-
t
96 kN + 42.0 kN + 3.00 kN
A y = 51 kN
t
=
O Resp.
=
O
Resp.
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición)
SECCiÓN 12.9
•
659
EJEMPLO La viga de la figura 12-48a está empotrada a la pared en A , y está articulada a una varilla de pulg, Be. Si E = 29(103) klb /pulg' para ambos elementos, determine la fuerza desarrollada en la varilla, debida a las cargas. El momen to de inercia de la viga, respecto a su eje ne utro, es 1 = 475 pulg'.
t
e
8 Idb
A
A
A
Redundante F Be eliminada
Viga y varilla reales
Ca)
S610 se aplica la redundante F Be
Co)
Cb) Fig. 12-48
Solución I
Principio de superposición.
Por inspección, este problema es indeterminado de primer grado. En este caso B sufrirá un desplazamiento desconocido v'a, ya que la varilla se estira. Se considerará que la varilla es la redundante, y en consecuencia se quita la fuerza de la varilla en la viga, en B , figura 12-48b, para volverla a aplicar, figura 12-48c.
Ecuaci6n de compatibilidad. En el punto B se requiere que
vñ =
( + t)
VB -
va
(1)
Los desplazamientos VB Y v'B se determinan con la tabla del apéndice C. se calcula con la ecuación 4-2. En kilohbras y pulgadas se tiene que
v'a
VE
PL
= -
Fsd 8 pies)(12 pulgf pie)
( 7Tf4 )(~ pulg)'[29(103 ) klbf pulg' ]
AE
5(8 klb ) (10 pies )3(12 pulg f pie)3 48[29( 103) klbf pulg']( 475 pulg')
•
PL 3
VB = -
-
3E I
0.01686Fsc
= ---';-;'-'--'--;-:-'-'--'-:-=-'---'--:-- =
=
FBC (10 pies)3(12 pul g f pie)3
3[29(10)3 klbf pulg' ]( 475 pulg' )
=
=
t
0.1045 pulg
0.04181 F BC
t
t
Así, la ecuación 1 se transforma en
(+ t )
0.01686FBc = 0.1045 - 0.04181FBc FB C = 1.78 klb
Resp.
Contil1úa
660
•
CAPiTULO 12 Oeflexión de vigas y ejes
C
B Viga y varilla reales
A
Redundante FBe eliminada
Sólo se aplica la redundante
en
(e)
(d)
I<'BC
Solución 11
Principio de superposición. Este problema también se puede resolver quitando el soporte articulado en e, manteniendo la varilla fija a la viga. En e:sle casu, la cargi::llk 8 klb hara que los puntos B y e se desplacen hacia abajo la misma cantidad Ve. figura 12-48e, ya que no existe fuerza en la varilla Be. Cuando se aplica la fuerza redundante F Be en el punto e, hace que el extremo e de la varilla se desplace tic hacia arriba, y que el extremo B de la viga se desplace v'B hacia arriba, figura 12-48f La diferencia entre esos dos desplazamientos, VB C. representa el estiramiento de la varilla debido a F BC. por lo que v'e = VBC + VB" Por consiguiente, de acuerdo con las figuras 12-48d, 12-48e y 12-48f, la compatibilidad del desplazamiento en el punto e es
o=
(+ t)
Vc -
(VBC
+ vD)
(2)
De la solu ción 1 se tiene que
Vc = VB =
0.1045 pulg
t
VBC = VE =
0.01686FBC
t
V.
= 0.04181FBC
t
Por consiguiente, la ecuación 2 se transforma en
(+ t)
o=
0.1045 - (0.01686FBC + 0.04181FB cl
FBC = 1.78 klb
Resp.
SeCCIóN 12.9
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición)
•
661
EJEMPLO Determine el momento en B , en la viga de la fig ura 12-49a. El es constante. No tener en cuenta los efectos de cargas axiales. Solución
Principio de superposici6n. Como la carga axial sobre la viga no se toma en cuenta, habrá una fuerza vertical y un momento en A yen B. En este caso s610 hay dos ecuaciones de equilibrio disponibles (IM = O, ¡Fy = O), por lo que el problema es indeterminado de segundo grado. Supondremos que By y M B son redundantes, por lo que de acuerdo con e l principio de superposició n, la viga se representa como en voladizo, cargada por separado con la carga distribuida y las reacciones By y M B• figuras 12-49b, 12-49c y 12-49d. Ecuaciones de compatibilidad. Para el desplazamiento y la pendien(a) te en B , se necesita que
3 klblpie A
,~~:~~ -~~=~~ 6 pies 6 pies
(r + )
O = 8. + 8. + 88
(1)
Viga real
( +~ )
0= VB + Va + VE
(2)
JI
Con la tabla del apéndice C se calculan las pendientes y los desplazamientas siguientes:
:t-ri-TITT-T"I
wL' 3 klbj pie(12 pies)' 108 8. = 48El = 48El = El J
3
(b)A~~l;s l--6 6 pies • es Redundante,.'I M R Y By eliminadas
7(3 klbj pie )(12 pies)' 1134 7wL' v. = 384EI = 384EI = El ~
,
PL'
By(12 pies)' 8. = 2EI = 2EI
,
+
72By
(e ) A
=TI J
PL'
576By By(12 pies)' = El ~ • - 3EI 3EI
t ====!!!!!!!!!!I!!!!
1-----12Pies --=::¡EP:~98 Sólo se aplica la redu ndante B,.
v ----
+
" ML M.(12 pies) 12M. 8. = El = El = ----¡¡J "
M L'
v.
= 2EI =
M.(12 pies)' 72M. 2EI = El ~
S lo se aplica el M R redundante
Estos valo res se sustituyen en las ecuaciones 1 y 2, Y anulando el factor co mún El se obtienen
0= 108 + 72By + 12M.
(+n
O = 1134 + 576By + 72M.
Al resolver simultáneamente estas ecuaciones se llega a los resultados
By = -3.375 klb M.
=
11.25 klb- pie
•
Resp.
Fig.12-49
662
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
PROBLEMAS U-Ul. El conjunto está form ado por una barra de hierro y una de aluminio, cada una de las cuales tiene 1 pulg de espesor, empotradas en sus ex tremos A y B , conectadas con un eslabón corto y rígido, CD. Si se aplica una fuerza horizontal de 80 lb al eslabón, como se indica en la figura; determ ine los momentos que se crean en A y B. E" ~ 29(10' ) klb /pulg'; E" ~ 10(10' ) klb /pulg'.
12-123. Para sostener la carga de 8 ktb se usa la viga de acero A-36 y la varilla. Si se requiere que el esfuerzo normal permisible para el acero sea ifadm = 18 klb /pulg2 , y que la deflexión máxima no sea mayor que 0.05 pulg, determine la varilla de diámetro mínimo que se debe usar. La viga es rectangular, con 5 pulg de altura y 3 pulg de espesor.
e ~~O~I¡¡¡bo-i@ 1 Acero --....
0.5
-1
I pulg-
5 pies
30 pulg
v-
t-
pulg~
Aluminio
) . - - - 4 pies - -; !
B
A
Probo 12-121 8 klb
Prob.12-123
./ U-U2. Determine las reacciones en los apoyos y a continuación trace los diagramas de cortante y de momento. El es constante. Los cojinetes sólo ejercen reacciones verticales sobre el cje.
r
w
1¡ 11111:1
AlE I
I Prob.12-122
e
L2
:I1f
•
L
*12-124. La viga tiene E¡l¡ constante, y está soportada por el muro fijo en B y la varilla AC. Si la varilla tiene área transversal Al> y el módulo de elasticidad del material es El> determine la fuerza en la varilla.
L
I
1
w
o
B
A
L, Prob.12-124
PROBLEMAS
12·125. El conjunto consiste en tres vigas simplemente apoyadas, para las cuales el lecho bajo de la viga superior descansa sobre el lecho alto de las dos vigas inferiores. Si se aplica una carga uniforme de 3 kN1ma la viga superior, determine las reacciones verticales en cada uno de los apoyos. El es constante.
•
663
*12-128. Cada uno de los dos miembros es de aluminio 6061-T6, y tiene un corte transversal cuadrado de 1 X 1 pulg. Están articulados en sus extremos, y entre e llos se coloca un gato para abrirlas hasta que la fuerza que ejerce sobre cada miembro es 500 lb. Determine la fuerza máxima P que se puede aplicar en el centro del miembro superior sin hacer que haya fluencia en cualquiera de los dos miembros. En el análisis, no tener en cuenta la fuena axial en cada miembro. Suponer que el gato es rígido.
.
"
A E
r
B
Probo 12-12.5
e
D
F
6 pies
12-126. Determine las reacciones en A y B. Suponga que el soporte en A sólo ejerce un momento sobre la viga. El es constante.
6 pies
1
Probo U-128 p
A
12-129. La viga empotrada AS en ambos extremos se refuerza con la viga simplemente apoyada CD , y con el rodillo en P, que se ajusta en su lugar justo antes de aplicar la carga P. Determine las reacciones en los apoyos, si El es constante.
Prob.12-126
12-127. Los segmentos de la viga compuesta se encuentran en el centro, donde hay un contacto liso (rodillo). Determine las reacciones en los apoyos empotrados A y B , cuando se aplica la carga P. El es constante. p P
B
A A
e
~L
8
,1, Probo U·127
L
,1
l-
o
e
¡
.L
IF
Probo 12-129
¡ -I-- D ¡ - I
664
•
CAPiTULO 12 Oeflexión de vigas y ejes
12-130. El eje de acero A-36 de 1 pulg de diámetro está sostenido por cojinetes rígidos en A y C. E l cojinete B descansa en una viga 1 de acero sencillamente apoyada que tiene un momento de inercia de 1 = 500 pulg4 , Si
las bandas de la polea cargan 400 lb cada una, detennine las reacciones verticales en A , B Y C.
50N
1 - - - - ; -- 200 mm
-----l!
ll~~~~~~~~ B A
k =2N/mm
10 mm
Prob.12-132
12-133. La viga se hace con un material elástico suave con El constante. Si originalmente está a una distancia !l de la superficie del apoyo de su extremo, determine la distancia a que descansa sobre ese soporte, cuando se somete a la carga uniforme Wo, que es suficientemente grande como para que eso suceda.
Prob.12-130
12-131. Determine la fuerza en el resorte. El es constante en la viga.
~a}
~---------- L-----------=j~ Prob. 12·133
U -l34. La viga está apoyada en los soportes atornillados en sus extremos. Cuando hay carga, esos soportes no dan una conexión verdaderamente empotrada, sino que permiten una pequeña rotación a antes de funcionar como empotrados. Determine el momento en las conexiones, y la deflexión máxima de la viga.
A
I------ L p
Prob.12-131 A
"'12-132. Determine la deflexi6n en el extremo B de la barra de acero A-36 empotrada. La rigidez del resorte es k = 2 N/ mm. La solera tiene 5 mm de espesor y 10 mm de altura. También , trace los diagramas de cortante y de momento para la barra.
I---- ~ -----+-- - - ~ Prob.12-134
----1
REPASO DEL CApiTULO
REPASO DEL CApiTULO • La curva elástica refleja la flexión de la línea central de una viga o un eje. Se puede determinar su forma, usando el diagrama de momento. Los momentos positivos bacen que la curva elástica sea cóncava hacia arriba, y los momentos negativos hacen que sea cóncava hacia abajo. El radio de curvatura, en cualquier punto, se determina con IIp ~ MIEL • La ecuación de la curva elástica, y su pendiente, se pueden obtener de-
terminando primero el momento interno en el miembro, en función de x. Si sobre el miembro actúan varias cargas, se deben determinar por separado las funciones de momento entre cada una de las cargas. Al integrar una vez esas funciones, usando El (d 2 vjdx 2) = M(x), se obtiene la ecuación de la pendiente de la curva elástica, y al integrar otra vez se obtiene la ecuación de la cleflexión. Las constantes de integración se determinan con las condiciones en la frontera en los soportes. o en los casos en que intervienen varias funciones de momento, debe satisfacerse la continuidad de la pendiente y la deflexión, en los puntos donde se unen esas funciones. • Las funciones de discontinuidad permiten expresar la ecuación de la curva elástica como una función continua, independiente de la cantidad de cargas en el miembro. Este método elimina la necesidad de usar condiciones de continuidad, ya que se pueden determinar las dos constantes de integración únicamente a partir dejas dos condiciones en la frontera. • El método del momento de área ~s una técnica semigráfica para calcular la pendiente de las tangentes, o la desviación vertical de las tangentes, en puntos específicos de la curva elástica. Requiere determinar segmentos de área bajo el diagrama MIElo el momento de esos segmentos respecto a puntos en la curva elástica. El método funciona bien con los diagramas MIEl compuestos por formas sencillas, como los producidos por fuerzas concentradas o momentos de par. • La deflexión o la pendiente en un punlo de un miembro sometido a diversos tipos de cargas se pueden determinar con el método de la superposición. Para este fin está disponible la tabla en la parte final del libro. • Las vigas y los ejes estáticamente indeterminados tienen más reacciones desconocidas en los apoyos que las ecuaciones disponibles de equilibrio. Para resolverlas, primero se identifican las reacciones redundantes, y las demás reacciones desconocidas se escriben en función de esas redundantes. A continuación se pueden usar el método de integración o los teoremas de momento de área para determinar las redundantes desconocidas. También es posible determinarlas usando el método de superposición, donde se considera la continuidad del desplazamiento en la redundante. En este caso, se determina el desplazamiento debido a las cargas externas, quitando la redundante, y de nuevo con la redundante aplicada y la carga externa eliminada. Se pueden usar las tablas en la parte final de este libro para determinar esos desplazamientos necesarios.
•
665
666
•
CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
PROBLEMAS DE REPASO U-U5. El eje sostiene las dos cargas en las poleas, como se muestra. Use las funciones de discontinuidad para formular la ecuaciÓn de la curva elástica. Los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. El es constan,te.
12-137.
Determine la deflexión m áxima e ntre los soportes
A y B. El es constante. Use el método de integración.
w
jJ L!J.1.~i
B
.lit t 12
¡
PUlg~12
~~
-l,---36 PUlg~
pUlg
S ttt
2
Al
70 lb
ProboU-137
l80lb Prob.12-135
*12-136. Determine las ecuaciones de la curva elástica para la viga, usando las coordenadas XI y X 2. Especifique la pendiente en A y la de Oexión máxima. El es constan te. Use el método de integración.
JU..! ! ! l±
12-138. Si los cojinetes en A y 8 sólo ejercen reacciones vertica les sobre el eje, determine la pendiente en B, y la dcflexión en C. El es constante. Use los teoremas del momento de área.
w
b~ L
A
I Probo 12-136
P
L~X2
118
!
A
\J
.. . I
a
l.
B
'2 a
Probo 12-138
·1
e
"~
PROBLEMAS DE REPASO
•
667
U.139. Los coj inetes de apoyo A, B YCsóloejercen reacciones verticales sobre el eje. Determine esas reacciones y a continuación trace los diagramas de cortante y de momento.·E/ es constante. Use los teoremas del momento de área. Prob.12-141 B
A
~ 'm--~- lm--+,I'----- 2 m----~
12·142. Determine el valor de a para que la deflexión en C sea cero. El es constante. Use los teoremas del momento de área.
200 N
Prob.12-139 p
"' U-140. El eje está apoyado en un cojinete recto en A , que sólo ejerce reacciones verticales sobre ese eje, y por un cojinete axia l en B, que ejerce reacciones tanto horizontales como verticales sobre el eje. Trace el diagrama de momento .f1exionante del eje y a continuación, de acuerdo con este diagrama , trace la curva de deflexión, o elástica, para la línea de centro del eje. Formule las ecuaciones de la curva elástica usando las coordenadas Xl y X2' E/ es constante.
80lb
I
A
B
4pulg
r-Xl-J
4 pulg
80 lb
!---12pulg
-----.l 1,
Probo 12-142
"'U-143. Con el método de superposición, determine la magnitud de Mo en términos de la carga distribuida w y de la dimensión a, para que la deflexión en el centro de la viga sea cero. El es constante.
I
!--X2--j
12pulg ----!
Probo 12-140
12-141. Determine las reacciones en los apoyos. El es constante. Use el método de superposición.
Prob.12-143
las columnas de este edilicio se usan para soportar la carga del suelo. loS ingenieroS diseñan estoS miembros para resistir la posibilidad de pandeo. (el
zris
Baker(foll)' SrolZe IIJ1(1ges. )
