República Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Extensión Maturín
Profesora:
Ing. Lourdes Leal.
Bachilleres:
Alcalá María Flores Bárbara Orence María. Guerra Bladimir Aguilera Edeannis Edeannis Castro María
Maturín, Septiembre del 2014
Definición d e la form a Estándar de un Modelo de Transp orte La programación lineal es un campo tan amplio que se extiende a subclases de problemas para los cuales existen métodos de solución especiales. Una de estas subclases se conoce como problemas de transporte. El método simplex de programación lineal, puede servir para resolver estos problemas. Pero se han desarrollado métodos más sencillos que aprovechan ciertas características de los problemas. Entonces, el método del transporte son sólo técnicas especiales para resolver ciertos tipos de problemas de programación lineal. El transporte desempeña un papel importante en la economía y en las decisiones administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de transporte económico es crítica para la sobrevivencia de una empresa. ¿Qué significa problema de transporte? Supóngase que un fabricante tiene tres plantas que producen el mismo producto. Estas plantas a su vez mandan el producto a cuatro almacenes. Cada planta puede mandar productos a todos los almacenes, pero el costo de transporte varía con las diferentes combinaciones. El problema es determinar la cantidad que cada planta debe mandar a cada almacén con el fin de minimizar el costo total de transporte. La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o estructura “de -hacia”: d e un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia el futuro, de aquí hacia allá. Al enfrentar este tipo de problemas, la intuición dice que debe haber una manera de obtener una solución. Se conocen las fuentes y los destinos, las capacidades y demandas y los costos de cada trayectoria. Debe haber una combinación óptima que minimice el costo (o maximice la ganancia). La dificultad estriba en el gran número de combinaciones posibles. Identificación del Origen y el destino Para describir el modelo general del problema de transporte es necesario emplear términos que sean mucho menos específicos que los que se usaron para los componentes del ejemplo prototipo. En particular, el problema general de transporte se refiere (literal o en sentido figurado) a la distribución de cualquier bien desde cualquier grupo de centros de
abastecimiento, llamados orígenes, a cualquier grupo de centros de recepción, llamados destinos, de tal manera que se minimicen los costos totales de distribución. La correspondencia en terminología entre el ejemplo prototipo y el problema general se resume en la siguiente tabla:
Así, por lo general, el origen i (i = 1, 2, ..., m) dispone de si unidades para distribuir a los destinos y el destino j (j = 1, 2, ..., n) tiene una demanda de dj unidades que recibe desde los orígenes. Una suposición básica es que el costo de distribución de unidades desde el origen i al destino j es directamente proporcional al número distribuido, donde cij denota el costo por unidad distribuida. Igual que para el ejemplo prototipo, estos datos de entrada se pueden resumir en forma muy conveniente en la tabla de costos y requerimientos que se muestra enseguida:
EJEMPLO:
Suponga que una compañía tiene m plantas de producción (i ), de capacidad a i (i = 1…m) y n almacenes de distribución j ( ), con demanda bj (j
= 1…n). El costo de transporte entre la planta i y el almacén es conocido como c ij .
El problema es determinar la cantidad ( x ij ) que debe suministrar la planta i al almacén j , de tal manera que el costo de transporte total sea mínimo. Las consideraciones de costos de producción e inventario se pueden incorporar al modelo básico. El modelo típico tiene cuatro componentes: 1. 2. 3. 4.
Un conjunto de m fuentes Un conjunto de n destinos Costos de transporte entre las fuentes y los destinos Cantidades de producto para enviar entre las fuentes y los destinos.
El modelo general que representa el modelo de transporte es: Min z = S iS j c x ij ij Sujeto a: S j x ij = ai (fuentes i = 1..m) S i x ij = b j (destinos j = 1..n ) x ij >= 0 Defin ición d e la solu ción b ásic a inic ial Al iniciar, todos los renglones de los orígenes y las columnas de destinos de la tabla simplex de transporte se toman en cuenta para proporcionar una variable básica (asignación).
1. Se selecciona la siguiente variable básica (asignación) entre los renglones y las columnas en que todavía se puede hacer una asignación de acuerdo a algún criterio. 2. Se hace una asignación lo suficientemente grande como para que use el resto de los recursos en ese renglón o la demanda restante en esa columna (cualquiera que sea la cantidad mas pequeña). 3. Se elimina ese renglón o columna (la que tenga la cantidad mas pequeña en los recursos o demandas restantes) para las nuevas asignaciones. Si el renglón y la columna tienen la misma cantidad de recursos y demandas restantes entonces, arbitrariamente se elimina el renglón. La columna se usara después para proporcionar una variable básica degenerada, es decir, una asignación con cero (0) unidades encerradas en un circulo. 4. Si solo queda un renglón o una columna dentro de las posibilidades, entonces el procedimiento termina eligiendo como básicas cada una de las variables restantes; es decir, aquellas variables que no sean elegido ni eliminado al quitar su renglón o columna; asociadas con ese renglón o columna que tienen la única asignación posible. De otra manera se regresa al paso 1. Identificación de la regla Esqu ina Noreste El método de la esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar problemas de transporte o distribución mediante la consecución de una solución básica inicial que satisfaga todas las restricciones existentes sin que esto implique que se alcance el costo óptimo total. Este método tiene como ventaja frente a sus similares la rapidez de su ejecución, y es utilizado con mayor frecuencia en ejercicios donde el número de fuentes y destinos sea muy elevado. Pasos para su aplicación: 1. En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la máxima cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.
2. En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso. 3. Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse".
Ident ific ación d el Mé tod o d e apro xim ación d e Vog el El método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo producen mejores resultados iniciales que los mismos.
Pasos para su aplicación: 1. Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas. 2. Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal). 3. De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0). Ejemplo:
Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.
Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte. Solución paso a paso: El primer paso es determinar las medidas de penalización y consignarlas en el tabulado de costos, tal como se muestra a continuación.
El paso siguiente es escoger la mayor penalización, de esta manera:
El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos
observar como el menor costo es "2" y que a esa celda se le pueden asignar como máximo 60 unidades "que es la capacidad de la planta 3".
Dado que la fila de la "Planta 3" ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades) esta debe desaparecer.
Se ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el proceso
Iniciamos una nueva iteración
Continuamos con las iteraciones,
Iniciamos otra iteración
Al finalizar esta iteración podemos observar como el tabulado queda una fila sin tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables básicas y hemos concluido el método.
Los costos asociados a la distribución son:
De esta manera hemos llegado a la solución a la cual también llegamos mediante programación lineal, definitivamente desarrollar la capacidad para modelar mediante programación lineal y apoyarse de una buena herramienta como WinQSB, STORM, LINGO, TORA etc. termina siendo mucho más eficiente que la utilización de los métodos heurísticos para problemas determinísticos; sin embargo cabe recordar que uno de los errores más frecuentes en los que caen los ingenieros industriales es en tratar de adaptar a sus organizaciones a los modelos establecidos, cabe recordar que son los modelos los que deben adaptarse a las organizaciones lo cual requiere de determinada habilidad para realizar de forma inmediata cambios innovadores para sus fines, en pocas palabras un ingeniero industrial requiere de un buen toque de heurística en su proceder.
