UNIVERSIDAD NACIONAL DEL RTE ARTE DEPARTAMENTO DE ARTES MUSICALES DE JULIO, 2016. CABA. 12 DE JULIO METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN PROF. CLAUDIA DALPINO INTEGRANTES : GARCÍA LEÓN, MARTÍN GUIDI, FRANCO
[ CLAUDE DEBUSSY Y LA DIVINA DIVINA PROPORCIÓN ] Aná!"!" "#$%& & Prélude à l'après-midi d'un faune ' La cathédrale engloutie.
1 Resumen El siguiente trabajo intentará demostrar o refutar el uso de la proporción áurea como recurso constructivo en la obra de Claude Debussy, tanto en el aspecto estructural, melódico, armónico, rítmico, textural, etcétera. El objetivo de esta investigación surge de la necesidad de conocer si el proceso compositivo cuenta con algn método a priori o si es producto de la intuición. Desde nuestro punto de vista, conocer estos aspectos es de gran importancia para lograr así un mejor entendimiento de la obra y, por lo tanto, una mejor interpretación. !uego de reali"ar los cálculos necesarios llegamos a la conclusión de #ue C. Debussy utili"a de manera consciente la proporción áurea en las composiciones anali"adas$ en el Prélude à l'après-midi d'un faune obtuvimos resultados relacionados a la estructura, cambios de secciones e introducción de nuevo material temático, mientras #ue en La cathédrale engloutie nos encontramos con cambios de tipo melódico, armónico y rítmico.
2 Introducción % lo largo de la &istoria, se &a atribuido la inclusión de la proporción áurea en el dise'o de diversas obras de arte como en la ar#uitectura, la pintura y la msica.( %simismo, como sostiene )y*rgy Doc"i, esta proporción también puede ser encontrada en la naturale"a, como en las flores de un man"ano, los pétalos de las rosas, las estrellas de mar y los caracoles. + Es posible encontrar el uso de la proporción áurea en C. Debussy- i lo fuera cómo es utili"ada-, el uso de ella se convierte en un elemento estructural y constructor de la obra- /epresenta importantes cambios melódicos, armónicos, rítmicos, dinámicos o texturales1 M!'(%(, F.) La música de las esferas: de Pitágoras a Xenakis… más acá : (*+n&" *(%( & C##-+!# & D&*(%(/&n# & M(&/á!(. Un!&%"!( N(!#n( & R#"(%!#, 200 3**. 14 ' 15. 2 D#!, G.) !l poder de los l"mites: proporciones arm#nicas en la naturale$a% el arte la ar&uitectura. E. T%#-+&, B+&n#" A!%&", 1776 3*. VII5.
0omando como punto de partida dos obras importantes de C. Debussy, las cuales son Prélude à l’après-midi d’un faune 12reludio a la siesta de un fauno3 y La cathédrale engloutie 1!a catedral sumergida3, nos proponemos demostrar si los cálculos reali"ados reflejan eventos musicales de importancia. !imitándonos solo a exponer nuestros resultados sin entrar en la disyuntiva antes mencionada.
3 Marco teórico 3.1 Proporción áurea
!a definición tradicional de proporción áurea está dada por la enunciación reali"ada por Euclides en el 455 %.C en los 6Elementos de )eometría7$ “Se dice de un segmento está divido en media y etrema ra!"n cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es la menor#
%$Esto es$ %8 está en ra"ón con %C, como %C es a C8. Corbalán, en su libro La proporci"n& arte y matemáticas, agrega #ue esa relación es igual al nmero áureo y se representa con la letra griega 9 1fi3$ %8: %C ; %C:%8 ; 9 1fi3, cuya expresión matemática se representa$
8 L!!#, M( La proporci#n áurea: La historia de Phi% el número más sorprendente del mundo E A%!&, B(%&#n( 320075. 4 G!/9n&, J. 3C##%.5 C#%$(án, F.) La proporci#n: arte matemáticas . E. G%(;, B(%&#n(, 2010 3**. 108 ( 105.
El nmero irracional 1nmero #ue no puede expresarse como fracción3 p&i es infinito y no periódico 1sus cifras infinitesimales no se repiten3. Esta proporción matemática se encuentra en la naturale"a y &a sido definida como sinónimo de belle"a, y muc&os la &an utili"ado como elemento constructivo en la ar#uitectura desde los griegos &asta la actualidad. %sí mismo en la pintura la proporción áurea fue utili"ada en el renacimiento por da
ngel y otros, en la relación entre la altura y anc&o de los objetos en la obra. ucesión de ?ibonacci$ !a sucesión de ?ibonacci es una sucesión infinita de nmeros en la cual a partir del tercer término cada uno de ellos es la suma de los dos anteriores$ (, (, +, 4, @, A, (4, +(, 4B, @@ Clap&am agrega “esta sucesi"n tiene la propiedad de (ue las ra!ones entre cada n)mero de *i+onacci y el anterior , . %/. 0/% 102 tiene como l3mite la ra!"n áurea#$ 1C!%2%=$ +55B3.
3.2 Proporción áurea en la Antigüedad
!a particularidad del sistema pitagórico fue encontrar en las matemáticas una clave para resolver el enigma del niverso y en el nmero, el principio de todas las cosas. !as teorías en torno a la msica ocupan un puesto de especial importancia para esta escuela pitagóricaF mantenía una posición central dentro de la metafísica y la cosmología pitagóricas. !as matemáticas y la msica se unen en el concepto pitagórico de GarmoníaG, #ue significa proporción de las partes de un todo. !os pitagóricos se guiaron siempre en sus investigaciones por el principio de #ue la msica debía ser reconducida &asta las proporciones más simples, ya #ue debía reflejar en todo la armonía universal.
3.3 Sección áurea en música en Mozart !ac"
?ederico =iyara, 1=HI%/%$ +55@3 enuncia, #ue muc&os trabajos en 8ac& o =o"art guardan relación estructural con la proporción áurea, en la cual la cantidad de compases está dividida en proporciones aproximadas con la ra"ón áurea. 0omando como ejemplo un par de obras de =o"art en las cuales las subdivisiones de los movimientos en cuanto a cantidad de compases, se encuentran en relaciones muy cercanas con la proporción áurea. in embargo no se llega a dilucidar si estos procedimientos eran reali"ados de manera intuitiva o de manera reflexionada.
3.# !arto$ la Música para cuerdas% percusión celesta
Jtro ejemplo donde se da la relación entre la proporción áurea y la msica es en la obra de 8artoK. 2or mencionar un caso, el primer mov. De su 4)sica para cuerdas percusi"n y celesta se genera y controla por la serie de
?ibonacci, el cual consta de AL compases, y en los primeros @@ genera la tensión para llegar al punto culminante y luego concluir en los 4B finales 1J!E/$ (LLA3$ %sí mismo en esta obra 8artoK controla el rango de intensidades de manera similar basándose en la serie de ?ibonacci y la proporción áurea. in embargo este compositor usaba comnmente este procedimiento como método formal de composición, no siendo un producto de la intuición.
3.& 'on respecto a (e)uss
emos encontrado encontramos un trabajo titulado 5e+ussy in proportion de /oy oMat, el cual &abla sobre el uso de la proporción en varias
de las obras de este compositor. Este autor &ace un análisis del Prélude à l’après-midi d’un faune tomando como valor de cálculo a la unidad indivisible
1en este caso la corc&ea3, capa" de atravesar las métricas tanto binarias como
ternarias propuestas por el compositor .@ Este cálculo otorga resultados distintos a nuestro trabajo reali"ado. En cuanto a La cathédrale engloutie, el autor toma como valor de cálculo la unidad de tiempo 1la negra3, al igual #ue nosotros.
3.&.1 (e)uss el Pr*lude + l,apr-smidi d,un /aune
2rélude N lOaprPsQmidi dOun faune, conocido comnmente bajo su título en espa'ol Preludio a la siesta de un fauno , es un poema sinfónico para or#uesta de aproximadamente (5 minutos de duración. u estreno tuvo lugar en 2arís el ++ de diciembre de (ALB !a composición fue inspirada por el poema !OaprPsQmidi dOun faune de tép&ane =allarmé. 2osteriormente Debussy adaptó la obra para ballet, coreografiado por
3.&.2 (e)uss 0a cat"*drale engloutie La cathédrale engloutie 1!a catedral sumergida3 es el décimo preludio
del primer libro publicado en (L(5. u armonía, forma y contenido son muy característicos del lenguaje de Debussy. Este preludio es un ejemplo de su estilo impresionista en el cual existe una representación, una ilusión, una imagen o una idea musical. El compositor suele darle el nombre a sus pie"as de la imagen sobre la cual compusiera así como !a =er, Des pas sur la neige, or Sardins sous la pluie. En todos los preludios para piano Debussy coloca el título de la pie"a al final de la misma en función de #ue el pianista #ue los interpretara respondiera de manera intuitiva e individual ante la msica antes de saber cuáles eran las intenciones musicales de Debussy. P. 147<18
La cathédrale engloutie puede considerarse como msica programática,
dado #ue se basa en un antiguo mito bretón donde una catedral, sumergida en las cosas de la isla de Is, emerge del mar todas las ma'anas cuando el agua es transparente. e pueden escuc&ar los sonidos de los monjes orando y las campanas y el órgano sonando a través del mar, representados mediante diversas armonías y giros melódicos.
# Metodologa análisis de las o)ras e tomó la partitura de las obras Prélude à l’après-midi d’un faune y de La cathédrale engloutie de '. (e)uss y se contabili"ó la cantidad de compases.
En un primer acercamiento se calculó la proporción >urea de dic&as obras y luego se corroboró si en los resultados se encontraba la existencia de material relevante 1cambios armónicos, rítmicos, melódicos, dinámicos3 2aralelamente con el fin de obtener cálculos más precisos también se &an contabili"ado las unidades de pulso 1solo en Prélude à l’après-midi d’un faune ya #ue a diferencia de La cathédrale engloutie esta presenta cambios de
compases y de unidades métricas3, siendo estas unidades la negra con puntillo en compases ternarios y la negra en compases binarios.
discurso musical de la obra. %claración en cuanto al concepto de clímax$ 2artiendo del concepto de #ue un clímax es a#uel punto culminante de una obra o sección en el cual se encuentra cargada la mayor cantidad de tensión se pueden sacar distintas conclusiones con respecto a esta obra. Tueremos aclarar también #ue bajo conclusiones propias un clímax no tiene por#ué referirse nicamente a un tutti or#uestal o a una dinámica en fortissimo. n clímax también puede generar una profunda tensión y ser de
carácter introspectivo en una or#uestación de pocos instrumentos y bajo dinámicas de piano o pianissimo. n claro ejemplo ajeno a este análisis es el clímax de la #uinta sinfonía de !.<. 8eet&oven 1cc 4+@3 es un clímax de índole introspectiva ya #ue cuenta solo con notas tenidas en pianissimo y una figuración en negras por parte del timbal, la fuer"a de este clímax radica en el acorde 0A) MAR 1
más pe#ue'as.
& Resultados 5.1 Prélude à l’après-midi d’un faune &.1.1 7nidad de compás Primer grado de pro/undidad. • • •
0otal de compases$ ((5 ección áurea$ UV,LA 1compás UA aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
0utti or#uestal en la mitad de un crescendo molto, centro tonal no definido momento de tensión dramática.
Segundo grado de pro/undidad.
0otal de compases$ UA ección áurea$ B+,5( 1compás B+ aprox.3
=aterial relevante en la proporción calculada$ Ro se encuentra en el compás indicado ningn cierre de sección ni tutti or#uestal solo se percibe un cambio en la or#uestación del motivo en semicorc&eas #ue va desde los primeros y segundos violines 1compás B(3 a primera flauta y primer clarinete 1compás B+3.
8ercer grado de pro/undidad
0otal de compases$ B+ ección áurea$ +@,LU 1compás +U aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$ Clara definición de la tonalidad MI MAR, además de eso no se encuentra #ue corresponda con delimitaciones de secciones o material temático novedoso, ni cambios de dinámica.
&.1.2 7nidad de pulso Primer grado de pro/undidad
0otal de pulsos$ 4U5 ección áurea$ +++,BA 1+++ aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$ !o más importante a destacar en este punto es la afirmación y la cadencia precedente de la tonalidad Si) menor el cual es el punto más alejado de la tonalidad de la obra 1 MI MAR3 y la culminación de un decrescendo con su respectiva or#uestación.
Segundo grado de pro/undidad
0otal de pulsos$ +++ ección áurea$ (4V,BL 1(4A aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
Este punto de la obra está construida sobre el acorde de Si) menor , aun#ue no se encuentre asentado como tonalidad, nos encontramos nuevamente sobre el punto más distante de la tonalidad de partida 1 MI MAR9, y se observa también un tutti or#uestal en *orte$
8ercer grado de pro/undidad • • •
0otal de pulsos$ (4A ección áurea$ AB,LV 1A@ aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
Este pulso está situado sobre el acorde de :A; MAR el cual es partícipe de la cadencia en el pulso posterior &acia SI MAR 1< grado de la tonalidad de partida3. uele &acerse un rallentando justo en el inicio de este pulso con fines expresivos ya #ue constituye el cierre de una sección. Rota$ Dado #ue el análisis con la unidad de pulso &a dado resultados #ue a nuestro entender son más contundentes &emos decidido someter esta unidad a más grados de profundidad.
'uarto grado de pro/undidad • • •
0otal de pulsos$ A@ ección áurea$ @+,@( 1@+ aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
En este pulso nos encontramos con un piano s)+ito #ue además de estar or#uestado 1ya #ue solo #ueda tocando el clarinete con un leve acompa'amiento de cuerdas, bronces y fagot3 es acompa'ado por un diminuendo y constituye a un cierre de sección más pe#ue'o
0otal de pulsos$ @+ ección áurea$ 4+,B@ 14+ aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
En este pulso es la primera ve" en toda la obra #ue se escuc&a con claridad la tonalidad de la obra 1 MI MAR9, acorde el cual se encuentra en la culminación de un crescendo, además de esto encontramos a#uí la entrada del primer corno.
Se=to grado de pro/undidad • • •
0otal de pulsos$ 4+ ección áurea$ +5,5@ 1+5 aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
Este pulso en el cual se puede ver claramente el dialogo entre el primer y segundo corno podemos encontrar una instancia de carácter pacífico lo cual nos lleva a la culminación de la introducción de la obra. Es necesario se'alar #ue (e)uss% como afirma /oy oMats, en muc&as ocasiones utili"aba el recurso de repetir compases con el fin de #ue la estructura pueda cerrar adecuadamenteU, como en este caso son los compases A y L 1en el cual se encuentra el pulso nW+53.
S*ptimo grado de pro/undidad • • •
0otal de pulsos$ +5 ección áurea$ (+,4L 1(+ aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
%#uí en este pulso nos encontramos con la culminación de la exposición del tema principal de la obra, cabe destacar también la nota máxima alcan"ada por el arpa y el advenimiento de nuevo material temático en el pulso siguiente da ra"ones para sostener el cierre de una sección minscula.
cta>o grado de pro/undidad •
0otal de pulsos$ (+
6 =#>(", R.) )e*uss in proportion. ED L#n#n N&> ?#%@ N&> R#&& 3**. 6 ' 5.
• •
ección áurea$ V,U@ 1A aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
En este pulso se puede observar un punto de máxima expresividad ya contiene la nota más aguda 1solX3 y la melodía se mueve diatónicamente a diferencia de los dos compases previos puramente cromáticos.
?o>eno grado de pro/undidad • • •
0otal de pulsos$ A ección áurea$ B,V4 1@ aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
Como ya &emos mencionado anteriormente la repetición literal era un recurso utili"ado por (e)uss con el fin de poder ser fiel a los cálculos de la estructura. Es la primera ve" en toda la obra #ue utili"a este recurso. En este pulso nos encontramos con la suspensión de la nota DoX, el &ec&o de #ue este sea una reincidencia del DoX del compás anterior nos da la pauta de ser un minsculo punto culminante #ue luego recaerá en los elementos diatónicos siguientes.
(*cimo grado de pro/undidad • • •
0otal de pulsos$ @ ección áurea$ +,L 14 aprox3 =aterial relevante en la proporción calculada$
Este punto lo consideramos de gran importancia debido a #ue a#uí recae en la nota ol por lo cual da la lugar a #ue por primera ve" en toda la obra se escuc&e la relación de tritono DJX Q J!, relación #ue será escuc&ada a lo largo de toda la obra en distintas tonalidades.
7nd*cimo grado de pro/undidad • • •
0otal de pulsos$ 4 ección áurea$ (,A 1+ aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
En los alrededores de este pulso es en donde (e)uss elige terminar la nota ligada DJX para proceder con el cromatismo del tema principal.
&.1.3 7nidades /ormales su relación con la proporción áurea
2or cuestiones prácticas &emos decido continuar el trabajo sólo teniendo en cuenta los resultados obtenidos con la unidad de pulso debido a #ue es la variable #ue &a otorgado datos de mayor interés. 0omando los principios generadores de formas de Clemens Yu&n delimitaremos las secciones más amplias de la obra 1 diversidad contraste vuelta al inicio repetici"n variaci"n3.
Disponemos así de 4 unidades formales, la primera % 1cc (Q@B3, encontramos #ue es delimitada por el contraste entre el moti>o propio del fauno 1compas (3 y por el moti>o #ue se desarrolla en los compases @@ y @U, así también como por la diversidad puesto #ue el primer motivo no consta de una tonalidad definida y el segundo ad#uiere un gran lirismo en la tonalidad de R@) MAR.
!a segunda unidad formal 8 1cc @@QVA3 es delimitada en el compás VL por la repetición del tema del fauno, el cual sufre en esta sección de la obra una ampliación puesto #ue está escrito sobre una figuración más extendida #ue en el inicio de la obra. !a tercer y ltima unidad formal es %Z 1cc VLQ((53 de carácter reexpositiva. /eali"ando el cálculo de la proporción áurea inversa obtenemos lo #ue es el clímax de la unidad formal % el cual corresponde al compás BU 1mismo punto #ue fue calculado anteriormente en el segundo grado de pro/undidad3 #uedándonos así la obra segmentada de la siguiente manera$ Exposición
Desarrollo [ /ecapitulación.
aciendo una comparación entre la serie de ?ibonacci original y los resultados de los distintos grados de profundidad, encontramos una discrepancia entre el nmero total de pulsos y la seria antedic&a.
RW total de pulsos$ 4U5. RW de la serie ?ibonacci$ 4VV.
5.2 Le chatédrale engloutie
Este preludio se estructura en @ secciones articuladas mediante los principios de variación relacionados con el tema principal. Hntroducción se extiende desde c. ( al (@ % 1principalmente en Do mayor3 se extiende desde el c. (U al BU, 8 1en =i mayor3 abarca los cc. BV al V(, %\ 1otra ve" en Do mayor3 se extiende desde el c. V+ al A4 y la culminación se extiende desde el c. AB al AL. /eali"ando el cálculo de la proporción áurea inversa obtenemos como resultado aproximado el compás 4B. El mismo se encuentra cerca del límite entre las secciones % y 8 El total de compases de la obra 1AL3 responde a uno de los RW de la serie ?ibonacci. %demás &emos observado #ue en los compases (, 4, y @ &ace su aparición el tema de las campanas 1acordes &uecos sobre una escala pentatónica ascendente3.
&.2.1 7nidad de 'ompas
Primer grado de pro/undidad. • • •
0otal de compases$ AL ección áurea$ compás @@ =aterial relevante en la proporción calculada$
i bien el contexto tonal y dinámico pareciera no ser relevante, se observa a#uí la primera aparición del acorde de fa sostenido menor 1m.d.3 sobre un pedal de sol sostenido 1m.i.3. !a fundamental de dic&o acorde guarda relación de tritono con la tónica principal 1do3. Como se &a mencionado anteriormente, dic&a relación es de gran importancia estructural en el lenguaje de Debussy.
Segundo grado de pro/undidad. • • •
0otal de compases$ @@ ección áurea$ 44,LL 1c. 4B aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
Encontramos una reiteración de los dos compases previos 1cc. 4+ y 443. Como anteriormente &emos mencionado, Debussy utili"aba este recurso con fines estructurales. Consideramos importante también #ue en dic&a sección calculada aparece por primera ve" el acorde de i bemol mayor.
8ercer grado de pro/undidad. • • •
0otal de compases$ 4B ección áurea$ c. +( =aterial relevante en la proporción calculada$
na nueva figuración rítmica se presenta a#uí, la cual consta de cuatro semicorc&eas. Este evento es acompa'ado por un engrosamiento de la textura otorgado por las octavas de la mano i"#uierda, #ue contribuye al crescendo general de la sección.
'uarto grado de pro/undidad. • • •
0otal de compases$ +( ección áurea$ (+,LA 1(4 aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
Cierre de sección previo a una repetición del tema principal, alcan"ado por un marcado diminuendo. El acorde &ueco =iQi anticipa la posterior aparición de la tonalidad de =i mayor.
0otal de compases$ (4
• •
ección áurea$ A,5+ 1c. A aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
Ro encontramos elementos #ue consideremos relevantes.
Se=to grado de pro/undidad. • • •
0otal de compases$ A ección áurea$ B,L@ 1c. @ aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
egunda reiteración del tema, sobre un pedal =iQi 1m.i.3.
S*ptimo grado de pro/undidad. • • •
0otal de compases$ @ ección áurea$ 4,5U 1c. 4 aprox.3 =aterial relevante en la proporción calculada$
2rimera reiteración del tema, sobre un pedal ?aQDo 1m.i.3.
5 'onclusión !uego de obtener los resultados podemos establecer las siguientes conclusiones$ e puede observar el uso de la proporción áurea en las obras anali"adas. in embargo, los resultados #ue obtuvimos no dan cuanta a un solo tipo de empleo de dic&a proporción. =ientras #ue en el Prélude à l’aprèsmidi d’un faune es usada con fines más estructurales y sintácticos, no podemos
decir lo mismo de La cathédrale engloutie, donde es utili"ada mayormente para la inserción de nuevo material melódico, armónico o rítmico. El primer grado de profundidad en el Prélude à l’après-midi d’un faune puede darnos a entender #ue a&í se encuentra el clímax general de la obra
debido a #ue el reposo #ue se escuc&a en ese punto responde a la tonalidad de ib menor 1un tritono de distancia de la tonalidad principal =i mayor3, esto nos da la pauta de #ue la tensión puede no radicar en la armonía y la dinámica sino en la estructura como lo &emos mencionado previamente. En cuanto a La cathédrale engloutie si bien no refleja una relación directa entre la proporción y la sintaxis musical es curioso encontrar por primera ve" una triada menor sobre faX, punto más alejado de la tonalidad Do mayor comparable con lo visto en Prélude à l’après-midi d’un faune. En vista #ue la cantidad total de compases en La cathédrale engloutie 1AL3 es un nmero #ue pertenece a la serie ?ibonacci 1doceavo nmero de la secuencia3 y la exactitud observada en el Prélude à l’après-midi d’un faune en los distintos grados de profundidad con relación a la forma, podemos afirmar #ue el uso de la proporción no es mera coincidencia, sino #ue da a entender una planificación a priori. in embargo esto es imposible de determinar con exactitud a los alcances de esta investigación. Tueda abierta una invitación a #ue otros investigadores comprueben el uso de la proporción áurea en el resto del trabajo compositivo de C. Debussy.
!i)liogra/a
J]%0, /oy$ 5e+ussy in proportion& a musical analysis. Cambridge niversity 2ress. Ed. !ondon ReM IorK ReM /oc&elle, idney 1(LAU3F
C!%2%=, C&ristop&er$ 5iccionario de 4atemáticas, Jxford niversity
2ress Q Ed. Complutense, =adrid 1+55B3F )H=^RE_, Soa#uín 1Coord.3 Q CJ/8%!>R, ?ernando$ La proporci"n& arte y matemáticas. Cap.$ !a proporción áurea, el dise'o y la naturale"a. Ed.
)raó, 8arcelona 1+5(53F !H
sorprendente del mundo. Ed %riel, 8arcelona 1+55L3F =HI%/%, ?ederico$ La m)sica de las esferas$ 5e Pitágoras a 7ena8is2 y más acá, %puntes para el Colo#uio del Departamento de =atemática.
niversidad Racional de /osario 1+55@3F J!E/, Sosep$ *uga 9écnica e :istoria. C%2 H<, 8ela 8artoK. Ed. %ntoni
8os&, 8arcelona 1(LLA3F DJC_H, )y*rgy$ ;l poder de los l3mites& proporciones arm"nicas en la naturale!a el arte y la ar(uitectura. Ed. 0ro#uel, 8uenos %ires 1(LLU3
