DEBER Y PAPERS DE CV 2017/05/23
PROPIEDADES DEL GRADIENTE TEOREMA. TEOREMA. Sea f un campo campo eca!a" no no con#an#e $e"%&a'!e $e"%&a'!e en #o$o #o$o pun#o ()*+, + ea c una con#an#e. S% !a ecuac%-n ecuac%-n f()*+, c $ec"%'e una cu"&a $e n%&e! n%&e! C ue #%ene #anen#e en ca$a uno $e u pun#o* en#once e cump!en !a %u%en#e p"op%e$a$e %,
E! &ec#o"
%%,
S% a´
(
a´
y´
∇ f
e no"ma! a C en #o$o u pun#o.
e un pun#o $e !a cu"&a C* en#once !a $e"%&a$a $%"ecc%ona! f * y´
,
a!cana u m4)%mo &a!o" cuan$o e! &ec#o" un%#a"%o
#%ene !a m%ma $%"ecc%-n ue e! &ec#o"
∇ f ( ( a´ )
+ e %ua! a
‖∇ f ( ( a´ )‖ . %%%,
S% a´
(
a´
y´
e un pun#o $e !a cu"&a C* en#once !a $e"%&a$a $%"ecc%ona! f * y´
,
a!cana u mn%mo &a!o" cuan$o e! &ec#o" un%#a"%o ∇ f ( ( a´ )
#%ene !a $%"ecc%-n opue#a a! &ec#o"
+ e %ua! a
6
‖∇ f ( ( a´ )‖ . %&,
S% a´
(
a´
e un pun#o $e !a cu"&a C* en#once !a $e"%&a$a $%"ecc%ona! f * y´ , e %ua! a ce"o cuan$o e! &ec#o" un%#a"%o
pe"pen$%cu!a" pe"pen$%cu!a" a! &ec#o"
y´
e
∇ f ( ( a´ ) .
NOTA 1. De acue"$o con e! Teo"ema e cump!e ue
6 ‖∇ f ( ( a´ )‖
≤
f (
a´
*
y´
,
≤
‖∇ f ( ( a´ )‖
NOTA 2. De mane"a %m%!a" e#a p"op%e$a$e e cump!en en e! cao $e !a
upe"c%e $e n%&e!.
1
E8ERC9C9OS
f ()*+*, a)+ ; ') ; c+
1. :a!!a" un campo eca!a" f $e !a fo"ma #a! ue
a
!a $e"%&a$a $%"ecc%ona! $%"ecc%ona! $e f en e! pun#o
(1*61*1, con "epec#o a !a 3
$%"ecc%-n
& i ; j ; k e m4)%ma + &a!e
.
2. De#e"m%na" en ue $%"ecc%-n e %ua! a ce"o !a $e"%&a$a $%"ecc%ona! $e 2
2
x − y f ( ( x , y ) = 2 2 x + y
en e! pun#o (1*1,
a
3. Ca!cu!a" !a $e"%&a$a $%"ecc%ona! $%"ecc%ona! $e f ()*+, ) ; ) + ; + (62*1, 2
3
2
en e! pun#o
en !a $%"ecc%-n $%"ecc%-n $e un &ec#o" pa"a!e!o a !a "ec#a #anen#e a !a cu"&a + ) 2 ; 1* $on$e e! pun#o $e #anenc%a e (62* 5,.
<. =a #empe"a#u"a #empe"a#u" a en un pun#o $e R 2 e#4 $a$a po" T ()*+, )+ > ) .
a, :a!!a" !a "a-n $e cam'%o $e T a !o !a"o $e !a cu"&a C $en%$a po" α ⃗α
a
(#, (1 ; # * # , en e! pun#o 2
(2*1,.
a
', :a!!a" e! &a!o" m4)%mo $e !a "a-n $e cam'%o $e T en e! pun#o
.
2
5. Un insecto se halla en un medio ambiente tóxico. El nivel de toxicidad está dado por: T(x,y ! "x" # $y". %i el insecto está en a´ =¿ (&',", determinar en ue dirección respecto al punto
a´ deberá moverse para disminuir lo más rápido posible la
toxicidad.
?. =a #empe"a#u"a en un pun#o ()*+, $e un p!ano e#4 $a$a po" T ()*+, )2+ >2)+2 a, Ca!cu!a" !a "a-n $e cam'%o $e T en e! pun#o
a´ (1*0, a !o !a"o
$e !a
cu"&a
⃗α (#, (# * #2 > 2# ; 1, %, $%"%%@n$oe a! pun#o (2*1, $e !a cu"&a. %%, $%"%%@n$oe a! pun#o (0*1, $e !a cu"&a. ',
En u@ $%"ecc%-n e #%ene !a m4)%ma "a-n $e cam'%o + cu4n#o &a!e
@#a
REGLA DE LA CADENA
TEOREMA. Sea f()*+, $on$e f e una func%-n $%fe"enc%a'!e $e ) e +. S% ) (#, + + (#, * %en$o + func%one $e"%&a'!e $e #* en#once
dz dt
∂ z dx ∂ z dy + ∂ x dt ∂ y dt
TEOREMA. Sea f()*+, $on$e f e una func%-n $%fe"enc%a'!e $e ) e +. S% ) (u*&, + + (u*&, #a! ue + #%enen p"%me"a $e"%&a$a pa"c%a!e* en#once 3
∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u
+ a$em4
∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂v ∂x ∂v ∂ y ∂ v
E8ERC9C9OS
1. E! "a$%o " + !a a!#u"a $e un c%!%n$"o c%"cu!a" "ec#o aumen#a a "a-n $e 0.01 cm / m%n + 0.02 cm / m%n * "epec#%&amen#e. e !a "e!a $e !a ca$ena
pa"a
a , Ca!cu!a" !a #aa $e c"ec%m%en#o $e! &o!umen con "epec#o a! #%empo cuan$o " < cm + 7 cm. ' , Ca!cu!a" con u@ "ap%$e &a"a e! 4"ea $e !a upe"c%e.
2. En un c%"cu%#o e!@c#"%co %mp!e e #%enen una "e%#enc%a R + una #en%-n V . En c%e"#o momen#o V e %ua! a 0 V (&o!#, + c"ece a "a-n $e 5 V / m%n m%en#"a ue R e %ua! a <0 Ω (om, + $%m%nu+e a "a-n $e 2 Ω / m%n . a" !a !e+ $e Om 9 & / R pa"a ca!cu!a" !a "ap%$e $e &a"%ac%-n $e !a co""%en#e 9 (en ampe"%o * A, .
<
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES
EXTREMOS DE UN CAMPO ESCALAR A! con#"u%" !a "4ca $e una func%-n e necea"%o conoce" !o pun#o e)#"emo* e $ec%" aue!!o pun#o $on$e !a func%-n a!cana u m4)%mo + mn%mo &a!o" $en#"o $e un $e#e"m%na$o %n#e"&a!o o 'o!a. A con#%nuac%-n e e)pon$"4n $o c"%#e"%o ue pe"m%#en !oca!%a" !o e)#"emo "e!a#%&o $e !a func%-n. ETREMOS ABSO=TOS. Se ca"ac#e"%an po" & &
Se ana!%an en #o$o e! $om%n%o $e !a func%-n. E)%#en en pun#o %n#e"%o"e o en pun#o f"on#e"a $e! $om%n%o.
ETREMOS RE=AT9VOS. Se ca"ac#e"%an po" & &
Se ana!%an o!amen#e en %n#e"&a!o o 'o!a a'%e"#o u'conFun#o $e! $om%n%o. So!amen#e e)%#en en pun#o %n#e"%o"e $e! $om%n%o.
GOTA. A!uno e)#"emo a'o!u#o on #am'%@n "e!a#%&o* e#o ocu""e cuan$o e !oca!%an en pun#o %n#e"%o"e $e! $om%n%o. GOTA. A!uno e)#"emo a'o!u#o no on "e!a#%&o* pa"#%cu!a"men#e uce$e cuan$o e a!!an en !a f"on#e"a $e! $om%n%o. GOTA. E)%#en func%one ue no #%enen e)#"emo a'o!u#o o!o "e!a#%&o* o#"a ue no #%enen e)#"emo "e!a#%&o #an o!o a'o!u#o + na!men#e o#"a ue no #%enen e)#"emo a'o!u#o n% "e!a#%&o.
ESTUDIO DE LOS EXTREMOS RELATIVOS 5
DEH9G9C9OG. Sea f una func%-n $en%$a en R2. Se $%ce ue en e! pun#o c´ perteneciente al doinio de la !"nci#n e)%#e un punto crítico de
f % + o!o % e cump!e a! meno una $e !a %u%en#e
con$%c%one ∂ f (´c ) ∂x
%, %%,
∂ f (´c ) ∂y
0 $ ∂ f (´c ) ∂x
Go e)%#e
0
o no e)%#e
∂ f (´c ) ∂y
DEH9G9C9OG. Se $%ce ue e! pun#o c"#%co
c´
e un punto
estacionario % + o!o % cump!e ∂ f (´c ) ∂x
TEOREMA. S% en e! pun#o c´
c´
0 $
∂ f (´c ) ∂y
0
e)%#e un e)#"emo "e!a#%&o* en#once en
e)%#e un pun#o c"#%co.
GOTA. Go #o$o pun#o c"#%co e e)#"emo "e!a#%&o. c´
CORO=AR9O. S%
no e un pun#o c"#%co* en#once en
c´
no e)%#e
e)#"emo "e!a#%&o. DEH9G9C9OG. Se $%ce ue un pun#o e#ac%ona"%o
c´
e un punto de
silla o de ensilladura % en e#e pun#o no e)%#e e)#"emo "e!a#%&o.
E8ERC9C9OS En !a %u%en#e func%one $e#e"m%na" % e)%#en pun#o c"#%co. 1. 2. 3. <.
f ()*+, f ()*+, f ()*+, f ()*+,
2)2 ; +2 ; ) > ?+ ; 20. 1 > ( )2 ; +2 , 1/3. 65)2 ; <)+ > + 2 ; 1?) ; 10 )3 63)+ ; +3 ?
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES
TEOREMA. Sea f un campo eca!a" con p"%me"a + eun$a $e"%&a$a pa"c%a!e con#%nua en una 'o!a a'%e"#a B I R2* ue con#%ene un pun#o e#ac%ona"%o c´ . 2
Sean A
∂ f ( c´ ) 2 ∂x
2
J C
∂ f ( ´c ) 2 ∂y
2
J B
∂ f ( c´ ) ∂x∂ y
J D AC
> B2 %, %%, %%%, %&,
S% D ¿ 0 + A ¿ 0 * en#once en c´ e)%#e un mn%mo "e!a#%&o. S% D ¿ 0 + A ¿ 0 * en#once en c´ e)%#e un m4)%mo "e!a#%&o. S% D ¿ 0 * en#once en c´ e)%#e un pun#o $e %!!a. S% D 0 * en#once e! c"%#e"%o no $a %nfo"mac%-n.
METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS
Se !o emp!ea pa"a $e#e"m%na" !a "ec#a o !a cu"&a ue meFo" ap"o)%ma un conFun#o $e pun#o $a$o. CASO RECTA% $ & ' ( )
Sean !o pun#o ()1*+1, J ()2*+2, J ()3*+3, J K J ()n*+n,
Y ()n*+n, $ & ' ()
() 3*m)3;', ()n*m)n;', ()2*+2, 7
() 3*+3, ()1*m)1;',
()2*m)2;',
()1*+1,
A! #"aa" "ec#a pe"pen$%cu!a"e a! eFe e o'#%enen o'"e !a "ec#a !o pun#o ()1*m)1;', J
()2*m)2;', J
()3*m)3;', J K J
()n*m)n;',
A! ca!cu!a" !a $%#anc%a en#"e !o pun#o ()1*+1, + ()1*m)1,
e #%ene $1 √ ( y −m x +b )
2
1
1
()2*+2, + ()2*m)2;', e #%ene $2 √ ( y −m x + b )
2
2
2
()3*+3, + ()3*m)3;', e #%ene $3 √ ( y −m x + b )
2
3
3
* * *
()n*+n, + ()n*m)n;', e #%ene $n √ ( y n−m x n + b )
2
=a uma $e !o cua$"a$o &%ene $a$o po" i=n
2
2
2
2
S ($1, ; ($2, ; ($3, ; K;($n,
2
∑ [ y i− m x i−b ] i=1
=a "ec#a %$ea! e aue!!a $on$e S 0 =a func%-n ue e $e'e op#%m%a" ca!cu!an$o !o &a!o"e $e m + ' e
i =n
f(m*',
2
∑ [ y i− m x i−b ] i =1
E+ERCICIOS
1. De#e"m%na" !o e)#"emo "e!a#%&o $e f () * +, 2)2 ; +2 ; ) > ?+ ; 20. 2. De#e"m%na" !o e)#"emo "e!a#%&o $e f ()*+, 1 > ( )2 ; +2 , 1/3. 3. De#e"m%na" !o e)#"emo "e!a#%&o $e f ()*+, 65)2 ; <)+ > + 2 ; 1?) ; 10. <.
De#e"m%na" !o e)#"emo "e!a#%&o $e f ()*+, )3 63)+ ; +3
5. Emp!ean$o e! m@#o$o $e !o mn%mo cua$"a$o* a!!a" !a "ec#a ue meFo" ap"o)%ma !o pun#o ( 61 * 0 , J ( 0 * 1 , J ( 1 * 0 , J ( 2 * 1 , J ( 3 * 3 ,
PROB=EMAS DE AP=9CAC9LG 1. na #%en$a $e "opa &en$e 2 #%po $e ca!en#a$o"e ue on emeFan#e pe"o confecc%ona$o po" $%#%n#o fa'"%can#e. =a #%en$a a$u%e"e !o ca!en#a$o"e $e! p"%me" #%po a 20 $-!a"e* m%en#"a ue !o $e! eun$o #%po a 25 $-!a"e. Po" !a e)pe"%enc%a e a $e#e"m%na$o ue % e! p"ec%o $e &en#a $e !o ca!en#a$o"e $e! p"%me" #%po e ' + $e! eun$o #%po e $* en#once e! nme"o $e ca!en#a$o"e $e! p"%me" #%po ue e &en$e"4 menua!men#e e $e 3200 > 50) ; 25+ + $e! eun$o #%po e 25) > 25+. De#e"m%na" cua! $e'e"4 e" e! p"ec%o $e &en#a $e ca$a #%po $e ca!en#a$o" a n $e o'#ene" !a m4)%ma u#%!%$a$e. 2. Ca$a me una emp"ea p"o$uce r "ef"%e"a$o"a + t #e!e&%o"e a un co#o $e 2"2 ; " # ; 2#2 $-!a"e. S% una "ef"%e"a$o"a e &en$e a ?00 $-!a"e + un #e!e&%o"
N
a <00 $-!a"e* $e#e"m%na" cu4n#a "ef"%e"a$o"a + cu4n#o #e!e&%o"e $e'e"4 p"o$uc%" !a emp"ea pa"a ue !a ananc%a ea m4)%ma.
A. Fundamentación.
PROPIEDADES DEL GRADIENTE
TEOREMA. Sea f un campo eca!a" no con#an#e $e"%&a'!e en #o$o pun#o ()*+, + ea c una con#an#e. S% !a ecuac%-n !,'-$. & c $ec"%'e una cu"&a $e n%&e! C ue #%ene #anen#e en ca$a uno $e u pun#o* en#once e cump!en !a %u%en#e p"op%e$a$e &,
E! &ec#o"
&%,
S% a´
∇ f
e no"ma! a C en #o$o u pun#o.
e un pun#o $e !a cu"&a C* en#once !a $e"%&a$a $%"ecc%ona! f ( a´ * y´ , a!cana u m4)%mo &a!o" cuan$o e! &ec#o" un%#a"%o y´ #%ene !a m%ma $%"ecc%-n ue e! &ec#o" ´ ) + e %ua! a ‖∇ f ( a´ )‖ . ∇ f ( a
&%%,
S% a´
e un pun#o $e !a cu"&a C* en#once !a $e"%&a$a $%"ecc%ona! f ( a´ * y´ , a!cana u mn%mo &a!o" cuan$o e! &ec#o" un%#a"%o y´
#%ene !a $%"ecc%-n opue#a a! &ec#o" + e %ua! a / ‖∇ f ( a´ )‖. &%%%,
∇ f ( a ´)
S% a´
e un pun#o $e !a cu"&a C* en#once !a $e"%&a$a $%"ecc%ona! f ( a´ * y´ , e %ua! a ce"o cuan$o e! &ec#o" un%#a"%o y´
e pe"pen$%cu!a" a! &ec#o"
´). ∇ f ( a
NOTA 1. De acue"$o con e! Teo"ema e cump!e ue
10
/
‖∇ f ( a´ )‖
≤
! 0,
a´ -
y´ .
‖∇ f ( a´ )‖
≤
NOTA 2. De mane"a %m%!a" e#a p"op%e$a$e e cump!en en e! cao $e
!a upe"c%e $e n%&e!.
E8ERC9C9OS
1. :a!!a" un campo eca!a" f $e !a fo"ma #a! ue
f ()*+*, a)+ ; ') ; c+
a
!a $e"%&a$a $%"ecc%ona! $e f en e! pun#o a !a
(1*61*1, con "epec#o 3
$%"ecc%-n
& i ; j ; k e m4)%ma + &a!e
.
2. De#e"m%na" en ue $%"ecc%-n e %ua! a ce"o !a $e"%&a$a $%"ecc%ona! $e
2
2
x − y f ( x , y ) = 2 2 x + y
3.
en e! pun#o (1*1,
Ca!cu!a" !a $e"%&a$a $%"ecc%ona! $e f ()*+, )2 ; ) +3 ; +2 en e! a
pun#o (62*1, en !a $%"ecc%-n $e un &ec#o" pa"a!e!o a !a "ec#a #anen#e a !a cu"&a + )2 ; 1* $on$e e! pun#o $e #anenc%a e (62* 5,. 11
<. =a #empe"a#u"a en un pun#o $e R2 e#4 $a$a po" T ()*+, )+ > ) . a, :a!!a" !a "a-n $e cam'%o $e T a !o !a"o $e !a cu"&a C $en%$a po" ⃗α
a
2
(#, (1 ; # * # , en e! pun#o
(2*1,.
', :a!!a" e! &a!o" m4)%mo $e !a "a-n $e cam'%o $e T en e! pun#o a
. 5. Un insecto se halla en un medio ambiente tóxico. El nivel de toxicidad está dado por: T(x,y ! "x" # $y". %i el insecto está en a´ =¿ (&',", determinar en ue dirección respecto al punto
a´ deberá moverse para disminuir lo más rápido posible la
toxicidad.
?. =a #empe"a#u"a en un pun#o ()*+, $e un p!ano e#4 $a$a po" T ()*+, )2+ >2)+2 a, Ca!cu!a" !a "a-n $e cam'%o $e T en e! pun#o
a´
(1*0, a !o
!a"o $e !a
cu"&a ⃗α (#, (# * #2 > 2# ; 1,
%, $%"%%@n$oe a! pun#o (2*1, $e !a cu"&a. %%, $%"%%@n$oe a! pun#o (0*1, $e !a cu"&a. ', En u@ $%"ecc%-n e #%ene !a m4)%ma "a-n $e cam'%o + cu4n#o &a!e @#a DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
na $e"%&a$a pa"c%a! a! e" $e"%&a$a pe"m%#e ue apa"ecan nue&a $e"%&a$a. A po" eFemp!o
12
( )
∂ ∂ f ∂x ∂x
2
∂ f 2 ∂x
D1(D1 f ,
Se1"nda deri2ada parcial de
!
D2 (D2 f ,
Se1"nda deri2ada parcial de
!
re3pecto a '*
( )
∂ ∂ f ∂y ∂y
2
∂ f 2 ∂y
re3pecto a $*
A$em4 e)%#en !a $enom%na$a deri2ada3 parciale3 i'ta3 o cr"4ada3 ue e %n$%can a con#%nuac%-n.
( )
∂ ∂ f ∂x ∂ y
2
∂ f ∂x ∂ y
D1 (D2 f ,
Seun$a $e"%&a$a pa"c%a! $e f
"epec#o a ) "epec#o a +.
( )
∂ ∂ f ∂y ∂x
2
∂ f ∂y∂x
D2 (D1 f ,
Seun$a $e"%&a$a pa"c%a! $e
f
"epec#o a + "epec#o a ).
A a! $e"%&a" pa"c%a!men#e pue$en o'#ene"e $e"%&a$a $e o"$en n ue e e)p"ean n
∂ f n ∂x
n
y
∂ f n ∂y
DI5ERENCIALES DE CAMPOS ESCALARES
13
A! a'!a" $e func%one "ea!e e $en%- !a diferencial de y como $+ f 0(), $)
En e! cao $e func%one $e 2 o m4 &a"%a'!e e emp!ea"4 una ∆x
#e"m%no!oa %m%!a". Se $enom%na"4n
+
∆y
a !o
incrementos de x + de y . S% f ()*+,* e! incremento de z &%ene
$a$o po" ∆z
f (); ∆ x * +; ∆ y , > f()*+,
DEH9G9C9OG. S% f ()*+, +
∆x
∆y
+
on !o %nc"emen#o $e x +
$e y * en#once !o $%fe"enc%a!e $e !a &a"%a'!e %n$epen$%en#e ) e + on $) ∆ x
$
$+ & ∆ y
+ !a diferencial total $e !a &a"%a'!e $epen$%en#e e
$
∂z ∂x
$) ;
∂z ∂y
$+
E8EMP=O =a $%fe"enc%a! #o#a! $e )2+ ; +3) e
1<
$
∂z ∂x
$) ;
∂z ∂y
$+ (2)+ ; + 3, $) ; ()2 ; 3+2), $+
DEH9G9C9OG. Se $%ce ue e! campo eca!a" f()*+, e $%fe"enc%a'!e en ()*+, % + -!o % ∆ z ∆ z &
∂ f ∂x
pue$e e)p"ea"e $e !a fo"ma
()*+, ∆ x
;
∂ f ∂y
()*+, ∆ y
; E1 ∆ x ; E2 ∆ y
$on$e E1 + E2 #%en$en a 0 cuan$o ( ∆ x ,∆ y ¿ → (0*0,.
GOTA. E! #@"m%no $%fe"enc%a'!e en !a func%one $e 2 o m4 &a"%a'!e e ap!%ca $e mane"a $%fe"en#e a !o ue uce$e en !a func%one "ea!e. En func%one "ea!e e" $e"%&a'!e %mp!%ca e" $%fe"enc%a'!e + &%ce&e"a. S%n em'a"o en func%one $e &a"%a &a"%a'!e !a e)%#enc%a $e !a $e"%&a$a pa"c%a!e no %mp!%ca ue f ea $%fe"enc%a'!e.
CONDICION SU5ICIENTE DE DI5ERENCIA6ILIDAD
TEOREMA. S% f e un campo eca!a" con p"%me"a $e"%&a$a pa"c%a!e con#%nua en una 'o!a a'%e"#a B* en#once f e $%fe"enc%a'!e en #o$o pun#o c´ ∈ B. E8EMP=O =a func%one po!%n-m%ca %emp"e #%enen $e"%&a$a pa"c%a!e con#%nua en #o$o pun#o $e u $om%n%o* po" #an#o on $%fe"enc%a'!e en u $om%n%o.
TEOREMA. To$a func%-n $%fe"enc%a'!e en una 'o!a B e #am'%@n $e"%&a'!e en #o$o pun#o $e B* en !a $%"ecc%-n $e cua!u%e" &ec#o" ⃗y . GOTA. E! #eo"ema "ecp"oco no %emp"e e &e"$a$e"o.
15
TEOREMA. S% e! campo eca!a"
f
e $%fe"enc%a'!e en e! pun#o
c´
*
en#once f e con#%nua en c´ . CORO=AR9O. S% f no e con#%nua en c´ * en#once f no e $%fe"enc%a'!e en c´ .
E8ERC9C9O
Sea f()*+,
{
xy
si x ≠ 0 2 2 x + y 0 si x = 0
Demo#"a" ue f no e $%fe"enc%a'!e en (0*0,* %n em'a"o $e ue e)%#en !a $e"%&a$a en (0*0, en !a $%"ecc%-n $e #o$o &ec#o"
⃗y (a*',.
REGLA DE LA CADENA
TEOREMA. Sea f()*+, $on$e f e una func%-n $%fe"enc%a'!e $e ) e +. S% ) (#, + + (#, * %en$o + func%one $e"%&a'!e $e #* en#once
dz dt
&
∂ z dx ∂ z dy + ∂ x dt ∂ y dt
TEOREMA. Sea f()*+, $on$e f e una func%-n $%fe"enc%a'!e $e ) e +. S% ) (u*&, + + (u*&, #a! ue + #%enen p"%me"a $e"%&a$a pa"c%a!e* en#once
1?
∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u
+ a$em4 ∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂v ∂x ∂v ∂ y ∂ v
E8ERC9C9OS
1. E! "a$%o " + !a a!#u"a $e un c%!%n$"o c%"cu!a" "ec#o aumen#a a "a-n $e 0.01 cm / m%n + 0.02 cm / m%n * "epec#%&amen#e. e !a "e!a $e !a ca$ena
pa"a
a , Ca!cu!a" !a #aa $e c"ec%m%en#o $e! &o!umen con "epec#o a! #%empo cuan$o " < cm + 7 cm. ' , Ca!cu!a" con u@ "ap%$e &a"a e! 4"ea $e !a upe"c%e.
2. En un c%"cu%#o e!@c#"%co %mp!e e #%enen una "e%#enc%a R + una #en%-n V . En c%e"#o momen#o V e %ua! a 0 V (&o!#, + c"ece a "a-n $e 5 V / m%n m%en#"a ue R e %ua! a <0 Ω (om, + $%m%nu+e a "a-n $e 2 Ω / m%n . a" !a !e+ $e Om 9 & / R pa"a ca!cu!a" !a "ap%$e $e &a"%ac%-n $e !a co""%en#e 9 (en ampe"%o * A, .
CRITERIO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 17
TEOREMA. Sea f una func%-n $en%$a en una 'o!a B I Rn con p"%me"a $e"%&a$a pa"c%a!e con#%nua #a! ue f #%ene un e)#"emo "e!a#%&o en e! pun#o B. a´
S% e una "e#"%cc%-n $e f $en%$a #am'%@n en B #a! ue ()*+*K, c $on$e c e con#an#e* en#once e)%#e un nme"o "ea! #a! ue
a´ ∇ f ¿
A! nme"o
λ
,
´a
,
∇g¿
e conoce como multiplicador de Lagrange.
GOTA. E! c"%#e"%o $e !a eun$a $e"%&a$a pa"c%a!e #%ene como !%m%#an#e ue o!amen#e pue$e ap!%ca"e a func%one con $o &a"%a'!e %n$epen$%en#e* m%en#"a ue e! c"%#e"%o $e mu!#%p!%ca$o"e $e =a"ane e cump!e pa"a func%one $e $o o m4 &a"%a'!e %n$epen$%en#e.
E8ERC9C9OS
'. Un paralelep)pedo descansa sobre el plano *+ tal ue un vrtice se halla en el ori-en mientras ue el vrtice opuesto pertenece al plano $x /y 30 ! "$. 1allar las dimensiones del paralelep)pedo de mayor volumen su2eto a las condiciones antes indicadas. ". Una planta en araboo, 4isconsin , de la ompa6)a 7nternacional de %ouvenir%.8. emplea aluminio ( 8l , hierro ( 9e y ma-nesio ( - para producir souvenirs de alta calidad. ;a cantidad de souvenirs ue puede producir usando x toneladas de 8l , y de 9e y 0 de - es < ( x, y , 0 ! x y 0 . El costo de la materia prima es: 8l = dólares por tonelada , 9e $ dólares por tonelada, - / dólares
1
por tonelada. >uántas toneladas de 8l , 9e , y - deberán usarse para manu?acturar '@@@ souvenirs al menor costo posible. 3. 1allar un vector en el espacio de ma-nitud /, tal ue la suma de sus componentes sea lo más -rande posible. $. 1allar el punto sobre la curva ( cos t , sen t , sen (tA" más ale2ado del ori-en. 5. Beterminar las dimensiones de la ca2a rectan-ular de mayor volumen ue se puede construir con un material cuyo costo es de "@ dólares el metro cuadrado, si para ello se cuenta con un presupuesto de '5@ dólares.
?. :a!!a" !o pun#o en !a %n#e"ecc%-n $e! pa"a'o!o%$e 2 ( ) ; 1 ,2 ; ( + > 2 ,2 + e! p!ano 10 ue e#4n m4 ce"cano + m4 !eFano a! o"%en $e coo"$ena$a. :a!!a" cu4n#o &a!en ea $%#anc%a.
7. Se $eea con#"u%" un "ec%p%en#e me#4!%co en fo"ma $e un pa"a!e!eppe$o* e! cua! e u#%!%a"4 pa"a a!macena" u#anc%a &o!4#%!e + $e'e"4 #ene" un &o!umen $e 10 me#"o c'%co. =a pa"e$e $e! "ec%p%en#e "ec%'en ca!o" a "a-n $e 5 ca!o"a po" m%nu#o po" me#"o cua$"a$o.* e! #eco a "a-n $e 3 ca!o"a po" m%nu#o po" me#"o cua$"a$o + e! p%o a "a-n $e 1 ca!o"a po" m%nu#o po" me#"o cua$"a$o. De#e"m%na" !a $%men%one $e! "ec%p%en#e #a! ue e! uFo $e ca!o" ue en#"a ea mn%mo.
ECED77% F8D7%
1. n fa'"%can#e #%ene un pe$%$o $e 1000 un%$a$e ue an $e fa'"%ca"e en $o !ua"e $%#%n#o. Sean )1 + )2 !o nme"o $e un%$a$e p"o$uc%$a en ca$a !ua". :a!!a" e! nme"o $e un%$a$e ue $e'e"4n p"o$uc%"e en ca$a !ua" pa"a a#%face" e! pe$%$o + m%n%m%a" e! co#o $e p"o$ucc%-n e! cua! &%ene $a$o po" 0.25 )12 ; 10)1 ; 0.15)22 ; 12)2. 2. na #%en$a $e "opa &en$e 2 #%po $e ca!en#a$o"e ue on emeFan#e pe"o confecc%ona$o po" $%#%n#o fa'"%can#e. =a #%en$a a$u%e"e !o ca!en#a$o"e $e! p"%me" #%po a 20 $-!a"e* m%en#"a ue !o $e! eun$o #%po a 25 $-!a"e. Po" !a e)pe"%enc%a e a $e#e"m%na$o ue % e! p"ec%o $e &en#a $e !o ca!en#a$o"e $e! p"%me" #%po e ' + $e! eun$o #%po e $* en#once e! nme"o $e ca!en#a$o"e $e! p"%me" #%po ue e &en$e"4 menua!men#e e $e 3200 > 50) ; 25+ + $e! eun$o 1N
#%po e 25) > 25+. De#e"m%na" cua! $e'e"4 e" e! p"ec%o $e &en#a $e ca$a #%po $e ca!en#a$o" a n $e o'#ene" !a m4)%ma u#%!%$a$e. 3. Ca$a me una emp"ea p"o$uce r "ef"%e"a$o"a + t #e!e&%o"e a un co#o $e 2"2 ; " # ; 2#2 $-!a"e. S% una "ef"%e"a$o"a e &en$e a ?00 $-!a"e + un #e!e&%o" a <00 $-!a"e* $e#e"m%na" cu4n#a "ef"%e"a$o"a + #e!e&%o"e $e'e"4 p"o$uc%" !a emp"ea pa"a ue !a ananc%a ea m4)%ma. <. Se $eea con#"u%" !a #o!&a $e un %!o en fo"ma $e un cono c%"cu!a" "ec#o $e 2 p%e $e "a$%o* co"ona$o po" un c%!%n$"o c%"cu!a" "ec#o. E! &o!umen $e !a #o!&a $e'e e" $e 100 p%e c'%co. Ca!cu!a" !a $%men%one + $e! c%!%n$"o + $e! cono "epec#%&amen#e* pa"a ue !a can#%$a$ $e !4m%na me#4!%ca emp!ea$a ea mn%ma. (Sean a!#u"a $e! c%!%n$"o * a!#u"a $e! cono,. 5. :a!!a" !a cu"&a + m)2 ; ' ue meFo" ap"o)%ma !o pun#o ( 61 * 0 , J ( 0 * 1 , J ( 1 * 0 , J ( 2 * 1 , J ( 3 * 3 ,
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