Andrés Miniguano Trujillo
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA DEBER 9: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA 1. ¿Qué tamaño de muestra se debe escoger para obtener un intervalo de confianza con un nivel del 99%, si el error máximo permitido es de 0.1 y la varianza de la población es 9?. Halle el intervalo de confianza para la media de la población, si la media de la muestra es 5.
̅ = 5 , = 3 , á = 0.1, − 1 = 0.99 → = 0.01, 0.01, = 0.005, = 2.5758 3 á = 0.1 = = 2.5758 ⇒ = 5972 √ √ ∈ ̅ ± √ ∈ 5 ± 0.1 ⇒ ∈ [4.9,5.1]
2. Se sabe que la población de la cual se obtiene la siguiente muestra es normal. 11, 9, 26, 27, 22, 21, 3, 13, 29 Halle intervalos de confianza para la media la población, con una confiabilidad del 90%
= 9, ̅ = , = 9.1575
= 0.05, = 1.8595 2 ∈ ̅ ± √ 161 9.1575 ⇒ ∈ ± 1.8595 1.8595 9 3 ⇒ ∈ [12.21,23.56]
− 1 = 0.90 → = 0.10, 0.10,
3. Para controlar el peso medio con el que se está empacando un producto, se toma una = libras. Si se supone que la varianza de muestra de tamaño 25 y se obtiene que la población es 256, halle el intervalo de confianza al 95%. ¿Podría asegurar el gerente de la empresa que se está empacando con una media de 100?. Si es así. ¿Cree usted que la empresa está dando más de 100 libras, porcentualmente a más clientes o a menos clientes?.
= 25, ̅ = 95 , = 16 0.05, = 0.025, = 2.064 a) − 1 = 0.95 → = 0.05, ∈ ̅ ± √ 16 ⇒ ∈ 95 ± 2.06 2.0644 5 ⇒ ∈ [88.4,101.6]
b) Explícitamente no pero se puede decir que es posible que sí. c) De acuerdo al intervalo de confianza lo más probable es que no.
4. Una población normal tiene desviación estándar igual a 100. El intervalo de confianza al 95% para la media es [360.5 ; 409.5] y otro intervalo de confianza para la misma media es [361.5 ; 408.5] 4.1. ¿Cuál es el tamaño de la muestra utilizada para los dos intervalos?
Andrés Miniguano Trujillo
= 0.025, 2 ∈ ̅ ± √ 409.5 + 360.5 ̅ = = 385 2 = 409.5 − 385 = 24.5 √ 100 ⇒ 24.5 = 1.96 ⇒ = 64 √
− 1 = 0.95 → = 0.05,
= 1.96
4.2. ¿Cuál es el nivel de confianza del segundo intervalo?
408.5 + 361.5 ̅ = = 385 2 = 408.5 − 385 = 23.5 √ 8 = 23.5 ∗ = 1.88 ⇒ = 0.0301 ⇒ = 0.06 100 2 ⇒ 1 − = 0.94
5. Al hacer un estudio sobre el promedio diario de personas que asisten a cierta peluquería se obtuvo una media de 48, con una muestra de 36 días. ¿Es posible aceptar que la media de la población es 50, con un nivel de confianza del 90%, si se sabe que la desviación estándar de la población es 10?
= 36, ̅ = 48 , = 10 − 1 = 0.90 → = 0.10,
= 0.05, 2 ∈ ̅ ± √ 10 ∈ 48 ± 1.6896 6 ⇒ ∈ [45.18,50.82]
= 1.6896
Es posible aceptarla ya que está dentro del intervalo de confianza determinado a partir de la muestra analizada.
6. ¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra si se desea analizar la media de una población con 95% de confianza, el error máximo aceptado es de 0.2 y la varianza de la población es 9?
= 3, á = 0.2, − 1 = 0.95 → = 0.05, = 0.025, = 1.96 3 á = 0.2 = = 1.96 ⇒ = 865 √ √
7. La dirección médica de una clínica deseaba estimar el número promedio de días necesarios para el tratamiento de pacientes con edades entre 25 y 34 años. Una muestra aleatoria de 500 pacientes de la clínica con esas edades proporcionó una media y una desviación estándar de 5.4 y 3.1 días, respectivamente. Obtenga el intervalo de confianza al 95% para el promedio del tiempo de estancia de la población de pacientes de la cual se obtuvo la muestra.
= 500, ̅ = 5.4, = 3.1 − 1 = 0.95 → = 0.05,
= 0.025, 2
= 1.96
Andrés Miniguano Trujillo
∈ ̅ ± √ 3.1 ∈ 5.4 ± 1.96 √ 500 ⇒ ∈ [5.13,5.67] 8. De una población normal se ha obtenido la siguiente muestra: 84 , 92 , 68 , 90 , 86 , 92 , 72 , 61 , 54 , 55 , 97 , 63 , 77 , 67 , 85 , 73 , 96 , 92 , 97 , 94 , 63 , 80. Halle los intervalos de confianza al 95% y 90% para la media de la población.
= 22, ̅ = 79 , = 14.2962 a) 95%
= 0.025, = 2.0796 2 ∈ ̅ ± √ 14.2962 ⇒ ∈ 79 ± 2.0796 √ 22 ⇒ ∈ [72.66,85.34]
− 1 = 0.95 → = 0.05,
b) 90%
= 0.05, = 1.7207 2 ∈ ̅ ± √ 14.2962 ⇒ ∈ 79 ± 1.7207 √ 22 ⇒ ∈ [73.76,84.24]
− 1 = 0.90 → = 0.10,
9. La desviación estándar en la producción diaria de latas de atún es 50. Con una muestra se obtuvo una media de 300 latas diarias y el intervalo de confianza [275, 325], con un nivel de confianza del 90% ¿Con cuántos días se obtuvieron los datos expuestos?
=? , ̅ = 300, = 50 − 1 = 0.90 → = 0.1, = 0.05, = 1.6449 2 ∈ [275,325] ∈ ̅ ± √ ⇒ = 325 − 300 = 25 √ 50 1.6449 = 25 ⇒ = 11 √ Muestra pequeña:
= . (10) = 1.8125 50 1.8125 = 25 ⇒ = 14 √ 50 = 25 ⇒ = 13 50 .(12) = 25 ⇒ = 13 √
. (13)
Entonces los datos expuestos se obtuvieron en 13 días.