Deber 12

Andrés Miniguano Trujillo

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber 12: PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA Y LA VARIANZA 1. El peso de cierto tipo de soportes plásticos para cámaras fotográficas se supone tiene un comportamiento normal con media 22.5 [ g ] y varianza 3 [ g2 ] . Se toma una muestra y se obtienen los resultados: 20,18, 22, 21,23 . 1.1. Halle la media y la varianza de la muestra. n

5

1 1 104 X´ = ∑ x i= ∑ x i= =20.8 n i=1 5 i=1 5

s 2=

1 n−1

(

n

2

i=1

5

) (∑

∑ x 2i −n ( X´ ) =

1 4

i=1

)

x 2i −5 ( 20.8 )2 =3.7

1.2. En base a los resultados obtenidos en 1.1. plantee una hipótesis alternativa para la varianza y realice la prueba correspondiente.

H o : σ 2=σ 2o=3 [ g2 ] H a : σ 2 >3 [ g 2 ] ( n−1 ) s 2 4∗3.7 74 E . d . P .: χ 2o= = = ≈ 4.933 3 3 15 σ 2o 2 2 R . d . R .: χ o> χ α 2 2 χ α = χ 0.05 ( 4 )=9.487 7 ⇒ χ 2o < χ 2α Se acepta H o y rechaza H a ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el la varianza del peso de los soportes σ es posiblemente 3 [ g 2 ] . 1.3. En base a los resultados obtenidos en 1.1. plantee una hipótesis alternativa para la media y realice la prueba correspondiente en concordancia con lo obtenido en 1.2.

H o :μ=μo =22.5 [ g ] H a : μ< 22.5 [ g ] X´ −μo 20.8−22.5 −17 E . d . P .:t o= = = √ 15 ≈−2.1947 30 σ /√n √ 3/ √ 5 R . d . R .:t o <−t α −t α =−t 0.05 ( 4 )=−2.1318 ⇒ t o <−t α Se rechaza H o y acepta H a ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que la media del peso de los soportes μ es menor que 22.5 [ g ] . 2. Se propone que la varianza de una población normal es s 2=25 . Se toman los datos 18,20, 22, 21,23 . Proponga una hipótesis alternativa acorde con los resultados que obtenga de la muestra y pruebe la hipótesis con un nivel de significación del 5%.

X´ =20.8 s 2=3.7


2

2

H o :σ =σ o=25 H a : σ 2 <25 ( n−1 ) s 2 4∗3.7 74 2 E . d . P .: χ o= = = ≈ 0.59 2 25 125 σ 2o R . d . R .: χ 2o< χ 21−α χ 21−α = χ 21−0.05 ( 4 )=9.487 7 2 2 ⇒ χ o < χ 1−α Se rechaza H o y se acepta H a ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el la varianza del peso de los soportes σ es menor que 25 [ g 2 ] . Tomando:

H o :σ 2=σ 2o=3.7 2 H a : σ <3.7 ( n−1 ) s 2 4∗25 1000 E . d . P .: χ 2o= = = ≈ 27.027 3.7 37 σ 2o R . d . R .: χ 2o< χ 21−α χ 21−α = χ 21−0.05 ( 4 )=9.487 7 2 2 ⇒ χ o > χ 1−α No se rechaza H o ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el la varianza posiblemente 3.7 .

σ

es

3. Al hacer un estudio sobre el promedio diario de personas que asisten a cierta peluquería se obtuvo una media de 48, con una muestra de 36 días. ¿Es posible aceptar que la media de la población es 50, con un nivel de confianza del 90%, si se sabe que la desviación estándar de la población es 10?

1−α =0.90 ⇒ α=0.10 H o : μ=μo =50 [ personas ] H a : μ< 50 [ personas ] X´ −μo 50−48 6 E . d . P .: z o= = = ≈ 1. 2 σ √ 100 5 √n √ 36 R . d . R .: z o <−z α −z α =−z 0.10=−1.28 2 ⇒ z o >−z α No se rechaza H o ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que la media de los asistentes a la peluquería μ es 50 [ personas ] .

4. Se supone que una prueba para ingresar a una empresa tiene una media de 7 y una varianza de 1.7. Se aplica la prueba a 10 aspirantes y se obtienen los siguientes datos: 6, 5, 8, 9, 7, 5, 6, 7, 6, 8. Plantee hipótesis alternativas para la varianza y la media, acordes con los resultados y realice las pruebas con un nivel del 5%

X´ =6.7


161 ≈ 1.7889 90 μo=7 σ 2o =1.7 α α =0.5, =0.25, 2 2

s=

Para la varianza:

H o :σ 2=σ 2o=1.7 [ punto s2 ] H a : σ 2 >1.7 [ punto s 2 ] 9∗161 2 ( n−1 ) s 90 161 2 E . d . P .: χ o= = = ≈ 9.470 6 2 1.7 17 σo 2 2 R . d . R .: χ o> χ α χ 2α = χ 20.5 ( 9 )=8.3428 ⇒ χ 2o > χ 2α Se rechaza H o ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el la varianza mayor a 1.7 [ punto s 2] .

σ

es

Para la media:

H o :μ=μo =7 [ puntos ] H a : μ< 7 [ puntos ] X´ −μo 6.7−7 −3 E . d . P .:t o= = = √ 17 ≈−0.7276 σ √1.7 17 √n √ 10 R . d . R .:t o <−t α −t α =−t 0.5 ( 9 )=−0 ⇒ t o <−t α Se rechaza H o y acepta H a ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que la media del puntaje μ es menor que 7 [ puntos ] . 5. En un experimento se obtuvieron los siguientes datos, respecto al tiempo empleado (en minutos), en la ejecución completa de la prueba: 1.19, 1.23, 1.18, 1.21, 1.27, 1.17, 1.15, 1.14, 1.19, 1.20. Si se supone que la media de la prueba es 1.2, plantee la alternativa correspondiente y realice la prueba de hipótesis correspondiente. Halle la varianza de la muestra, plantee una hipótesis inicial con un decimal y una alternativa acorde con los resultados obtenidos y realice la prueba de hipótesis.

X´ =1.193 1301 2 s= ≈ 0.0014456 900000 μo=1.2 σ 2o =0.1 α =0.5 n=10 a) Media:


H o :μ=μo =1.2 [ minutos ] H a : μ< 1.2 [ minuto s ] X´ −μo 1.193−1.2 −7 E . d . P .:t o= = = ≈−0.07 σ 100 √0.1 √n √10 R . d . R .:t o <−t α −t α =−t 0.5 ( 9 )=0 ⇒ t o <−t α Se rechaza H o y acepta H a ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que la media del puntaje μ es menor que 1.2 [ minutos ] . b) Varianza:

H o :σ 2=σ 2o=0.1 2 H a : σ >0.1 9∗1301 ( n−1 ) s 900000 1301 2 E . d . P .: χ o= = = =0.1301 2 0.1 10000 σo R . d . R .: χ 2o> χ 2α χ 2α = χ 20.5 ( 9 )=8.3428 2 2 ⇒ χo < χ α No se rechaza H o ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el la varianza σ es posiblemente 0.1 [ minutos ]2 . 2

6. Se propone que la varianza de una población normal es 3. Se toman los datos 18, 20, 22, 21, 23. Proponga una hipótesis alternativa acorde con los resultados que obtenga de la muestra y pruebe la hipótesis con un nivel de significación del 5%.

X´ =20.8 s 2=3.7 σ 2o =3 α α =0.5, =0.25 2 n=5 2 2 H o :σ =σ o=3 Ha: σ2≠ 3

4∗161 2 ( n−1 ) s 90 161 2 E . d . P .: χ o= = = ≈ 9.470 6 2 1.7 17 σo R . d . R .: χ 2o> χ 2α 2

χ 2α = χ 20.25 ( 4 )=1.9235 2

⇒ χ 2o > χ 2α 2


Se rechaza H o ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el la varianza σ es 2 diferente a 3 . Cambiando H a por H a : σ >3 , se tiene que en efecto ésta se cumple. 7. Se conoce que la varianza de una población normal es s 2=25 . Si la hipótesis inicial es H o=40 y la alternativa H 1=35 . Halle el tamaño de la muestra para que la probabilidad de error tipo I y la probabilidad de error tipo II sean iguales a 10%.

n=

σ 2 ( zα + zβ ) 2 2

( μ1−μ2 )

=

25 ( z 0.10 + z 0.10 )2

( 40−35 )2

=7

8. En un experimento se obtuvieron los siguientes datos, respecto al tiempo empleado (en minutos), en la ejecución completa de la prueba: 1.19, 1.23, 1.18, 1.21, 1.27, 1.17, 1.15, 1.14, 1.19, 1.20. Si se supone que la media de la prueba es 1.2, plantee la alternativa correspondiente y la prueba usando α =5 .

X´ =1.193 1301 s 2= ≈ 0.0014456 900000 μo=1.2 α =0.5 n=10 H o :μ=μo =1.2 [ minutos ] H a : μ> 1.2 [ minutos ] X´ −μo 1.193−1.2 E . d . P .:t o= = ≈−0.5822 σ 1301 √n 900000 √10 R . d . R .:t o >t α t α =t 0.5 ( 9 )=0 ⇒ t o <−t α No se rechaza H o ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que la media del puntaje μ es probablemente 1.2 [ minutos ] .

√

9. Con los datos del problema 8, halle la varianza de la muestra, plantee una hipótesis inicial con un decimal y una alternativa, acordes con los resultados obtenidos y realice la prueba correspondiente con α =10 .

H o : σ 2=σ 2o=0.1 2 H a : σ >0.1 9∗1301 ( n−1 ) s 900000 1301 2 E . d . P .: χ o= = = =0.1301 2 0.1 10000 σo R . d . R .: χ 2o> χ 2α χ 2α = χ 20.10 ( 9 ) =14.6837 2 2 ⇒ χo < χ α 2


No se rechaza H o ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el la varianza 2 posiblemente 0.1 [ minutos ] .

σ

es

Deber 12

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