Curso de Matemáticas dirigido a Estudiantes de Ingeniería de Sistemas. IRS - 101 Material Preparado Por: Jesús Del Valle Sierra Profesor Titular Departamento de Matematicas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia
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EL CENTRO DE CAPACITACIÓN INTERNET C.C.I 6. SECCIONES CÓNICAS
6.1. LA PARABOLA 6.1.1. Ecuaciones analíticas de la parábola. 6.1.2. Traslación de ejes. 6.1.4. Valores máximos y mínimos de la parábola. 6.2. LA ELIPSE 6.2.1. Ecuaciones analíticas de la elipse. 6.2.2. Construcción de la elipse. 6..3.LA HIPERBOLA 6.3.1. Ecuaciones analíticas de la hipérbola. 6.3.2. Asíntotas de una hipérbola. 6.4. ANALISIS DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.EN LAS VARIABLES X E Y 6.5. Ejercicios resueltos de la unidad N°6. 6.5.1. Ejercicios resueltos sobre la parábola. 6.5.1. Ejercicios resueltos sobre la elipse. 6.5.3. Ejercicios resueltos sobre la hipérbola.
6.5.4. Ejercicios resueltos sobre la ecuación de segundo grado en las variables x e y. 6.6. Ejercicios propuestos de la unidad N°6. 6. SECCIONES CÓNICAS
Una sección cónica, es la curva de intersección de un plano con un cono circular recto. Existen tres tipos de curvas que se obtienen de esta manera: La parábola, la elipse incluyendo la circunferencia como un caso especial) y la hipérbola. (Ver fig. 6.1.)
fig. 6.1. .. 6.1 LA PARABÓLA Definiciones i. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta DD. ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F. Esto es: PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1}
PD
fig. 6.1.1. Observaciones: i. Al trazar por F la perpendicular foco a la directriz.
a la directriz. Se llamará
ii. Sea V el punto medio del segmento . Como a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.
: la distancia del
, entonces el punto V pertenece
El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta
. En efecto, si P’
es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces, , lo cual nos muestra que P’ e PDD-F.
6.1.1. Ecuaciones Analíticas de la Parábola En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)
fig. 6.1.2. Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces,
Pero,
.
y
Luego, Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene:
, y simplificando queda finalmente, (1)
Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F. Por hipótesis, Se debe probar que
(2)
De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.
TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola) i. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamene si un punto P del plano, satisface (3) entonces P PDD-F ii. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4) iii. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P
fig. 6.1.3.
PDD-F
fig. 6.1.4.
Observaciones: i. En la fig. 6.1.3. aparecen las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba (en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), respectivamente y cuyos focos están localizados en el punto F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de ecuación y = -p/2. Además, todos sus puntos son simétricos con respecto al eje y: de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, presentan únicamente a la variable x elevada en una potencia par. ii. Igualmente, las gráficas de la fig. 6.1.4. corresponden a las gráficas de parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.
6.1.2. Traslación de Ejes En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se determinó que la ecuación de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era: ó Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio 5. Se obtiene . De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin cambiar la forma de la gráfica (fig. 6.1.5.).
fig. 6.1.5. Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los cambios que se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coorde- nadas x’ e y’ paralelo a los ejes x e y, se toma un punto fijo o’(h, k) que se llama: ORIGEN del nuevo sistema. Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x’, y’) referidas al sistema x’-y’ vienen dadas por las relaciones:
x = x’ + h (1) y = y’ + k (2) llamadas: ECUACIONES DE TRASLACIÓN DE EJES, y que pueden deducirse fácilmente de la fig. 6.1.6.
fig. 6.1.6. Observación: La traslación de ejes modifica la ecuación de una curva y algunas veces la simplifica, pero no altera la forma de la curva.
Una aplicación útil de la traslación de ejes se consigue cuando se obtienen las ecua- ciones generales de la parábola, con vértice en el punto V (h, k) referido al sistema x-y y para las cuales la directriz es perpendicular a uno de los ejes. Si se toma como referencia los ejes x’ e y’, hallar las ecuaciones de la parábola con vértice en V(h, k), equivale a encontrar las ecuaciones de la parábola con vértice en (0, 0) referido al nuevo sistema.
Las ecuaciones , permiten escribir las ecuaciones en forma general de la parábola, como lo afirma el siguiente teorema:
6.1.3. Teorema2 (Ecuaciones de la parábola. Forma general) i. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco en
y por directriz la recta: (fig. 6.1.7.) viene dada por: (1)
fig. 6.1.7.
ii. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco
en
y por directriz la recta: (fig. 6.1.8.) viene dada por: (2)
fig. 6.1.8.
Demostración: Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x’-y’ y luego hacer e
Observación: Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, después de simplificarlas, pueden expresarse en la forma: (3) (4) En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cua- drado y la otra lineal. La parábola siempre se abre en la dirección del eje cuya varia- ble aparece lineal. Así por ejemplo, la ecuación (3) representa una parábola que se abre hacia el semieje y positivo (si p > 0) o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuación (4) representa una parábola abierta hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0). 6.1.4. Valores máximos y mínimos de una parábola Se ha visto en la sección precedente que la ecuación
(1) puede
escribirse (completando cuadrados) en la forma (2) y representa una parábola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba (p > 0) ó hacia abajo (p < 0). Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente de x2), determina si la
parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y también determina si el vértice es un punto máximo o mínimo de la curva.
fig. 6.1.9. (a)
fig. 6.1.9. (b)
Si como en la fig. 6.1.9.(a), la parábola se abre hacia abajo, el vértice V (punto mas alto de la curva) es llamado el punto máximo de la parábola. El valor de la ordenada correspondiente es el valor máximo de la función que ella representa. Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba (fig. 6.1.9.(b)), el vértice V es llama- do el punto mínimo de la parábola; y el correspondiente valor de y, es el valor mínimo de la función. Toda función cuadrática, tiene un valor máximo o un valor mínimo, pero no ambos. 6. SECCIONES CÓNICAS
6.2 LA ELIPSE Definiciones: i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F . Se define la ELIPSE de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0). ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento SIMETRÍA DE LA ELIPSE.
se llaman EJES DE
iii. El punto de intersección O de los dos ejes de simetría, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A’, A, B y B’ se llaman VERTICES DE LA ELIPSE. Si el segmento es mayor que el segmento MAYOR y EJE MENOR de la elipse.
, ambos segmentos se llaman respectivamente EJE
fig. 6.2.1. Observaciones: i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x, eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.2.2.). ii. Nótese también que como Pitágoras).
, se sigue que
fig. 6.2.2. 6.2.1. Ecuaciones Analíticas de la Elipse
Caso 1. Elipses con focos. F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0 Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0) Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)
(teorema de
TEOREMA: La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por: (1)
fig. 6.2.3.
fig. 6.2.4.
Demostración Si p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la definición ique de distancia entre dos puntos)
, o equivalentemente,
Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene: Simplificando la última igualdad se llega a:
Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última ecuación, se obtiene:
La cual se reduce a:
(fórmula
Recordando además que
y al dividir ambos miembros de la última igualdad por
obtiene finalmente
, se
: que corresponde a la ecuación pedida.
Caso 2. Elipses con focos F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0 Eje mayor: Longitud 2a (a > 0) Eje menor: Longitud 2b (b > 0)
TEOREMA: La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b (fig. 6.2.4.), viene dada por:
(2) Demostración: Es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio. NOTA: Nótese que si en las ecuaciones (1) y (2) de la elipse, se hace a = b, las ecuaciones se transforman en la ecuación de una circunferencia de centro en el origen y radio a. Caso 3. (Caso General). Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuación de la elipse correspondiente, se transforma utilizando las ecuaciones de traslación (sección 6.1.2.) en:
(3) Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k) Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h)
(a) (x-h) + (y-k)
fig. 6.2.5.
b (x-h) + (y-
k) a
b
b
a
Observaciones: i. La ecuación (3) se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados. ii. Si a > b, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x (fig. 6.2.5. a). Si b > a, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y (fig. 6.2.5. b).
6.2.2. Construcción de la Elipse Existen muchas construcciones geométricas de la elipse, pero en la mayoría de ellas se requiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de la elipse que no han sido mencionados hasta ahora. Por esta razón, solo se presentan dos métodos geométricos sencillos para construir la elipse.
Construcción 1 Supóngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F’. Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entre los focos). Con la punta P de un lápiz se tensiona la cuerda. Al mover el lápiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida. (fig. 6.2.6.)
fig. 6.2.6. Construcción 2
Supóngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuación dada por b.
, con a >
Se procede entonces como sigue: Se trazan los llamados círculos directores, que son círculos concéntricos , con centro en 0, uno de radio
y el otro de radio
. (Ver fig. 6.2.7.)
fig. 6.2.7. Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, el cual intercepta a los círculos en los puntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm, ym).
Se puede afirmar que el punto M está en la elipse de ecuación
.
En efecto, basta demostrar que
.
Para ello, nótese que:
Sumando miembro a miembro las últimas igualdades, se concluye que 6. SECCIONES CÓNICAS .. 6.3 LA HIPERBOLA Definiciones i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F F’). Se define la hipérbola de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a. (a > 0). ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento F’F se llaman:Ejes de simetría de la hipérbola. iii. El punto de intersección 0 de dos ejes de simetría, se llama CENTRO de la hipérbola. Los puntos A y A’ se llaman: VERTICES de la hipérbola.
fig. 6.3.1.
Observaciones: i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una hipérbola. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente, aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x ó eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.3.1.). ii. Si
se obtiene la rama derecha de la hipérbola; mientras que
si
se obtiene la otra rama.
iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de un triángulo siempre es menor que el tercer lado. Además, se toma
.
6.3.1. Ecuaciones Analíticas de la Hipérbola caso 1. Hipérbola con focos F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0. TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por:
(1). Demostración: Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene de acuerdo a la definición i. que:
ó De donde, ó
Es decir, Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir:
Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:
Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir:
Recordando además que última igualdad por ecuación pedida.
(observación iii.) y al dividir ambos miembros de la , se obtiene finalmente,
que corresponde a la
Caso 2. Hipérbola con focos en F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0. TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F’(0, -c) y F(0, c) viene dada por:
(1).
fig. 6.3.2. La demostración es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio. Caso 3. (Caso General) Si en vez de considerar el centro de la hipérbola en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hipérbola correspondiente, se transformarán utilizando las ecuaciones de traslación (sección 6.1.2.) en:
(3)
(4)
Según que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente. Observaciones: i. En la figura 6.3.3., se ha trazado la hipérbola centrada en el origen y focos en los puntos F1(c,0) y F2(-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vértices de la hipérbola y sus coordenadas son V1(a, 0) y V2(-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas: M (a, b), N(-a, b), P(-a, -b) y Q(a, -b). El rectángulo MNPQ recibe el nombre de rectángulo auxiliar de la hipérbola.
fig. 6.3.3. ii. La gráfica de la hipérbola es simétrica con respecto al eje x y con respecto al eje y. iii. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asíntotas oblicuas de la hipérbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por:
y Una forma "nemotécnica" de obtener las ecuaciones de las los asíntotas de la hipérbola es la siguiente: En la ecuación de la hipérbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0 (cero).
Así, en el caso particular de la hipérbola
,
Hacemos:
(factorizando)
Estas son las ecuaciones de las asíntotas
iv. En el caso particular, cuando a = b, las ecuaciones de la hipérbola se transforman en:
ó
En ambos, la hipérbola se llama: Hipérbola Equilátera y tienen como asíntotas las rectas y = x e y = -x 6. SECCIONES CÓNICAAS . 6.4 ANALISIS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO Las secciones cónicas mencionadas hasta ahora, se refieren a curvas cuyas ecuaciones son casos particulares de la ecuación: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (1) Llamada: ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO. Asi, por ejemplo, la ecuación de la circunferencia (sección 5) (x – h)2 + (y – k)2 = r2, se obtiene de la ecuación (1) haciendo A = B = 1; D = -2h; E = -2k y F = h2 + k2 – r2. Igualmente, la parábola (sección 6.1.) de ecuación: (x – h)2 = 4p (y – k), se obtiene de la ecuación (1) haciendo: A = 1, B = 0, D = -2h,E = -4p y F = h2 + 4pk. Incluso, la linea recta aparece como un caso especial de la ecuación (1) haciendo A = B = 0.
Los términos Ax2y By2 de la ecuación (1) son de segundo grado o términos cuadráticos.La naturaleza de la curva determinada por la ecuación (1), cuando contiene al menos uno de estos términos, está expresada en el siguiente teorema.
TEOREMA (Análisis de la Ecuación de Segundo Grado). La ecuación: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (2)
Donde A, B, D, E y F son constantes reales, A y B no simultáneamente nulos, representa: i. Una circunferencia. Si A = B (diferentes de 0). (En casos especiales puede reducirse a un punto, o incluso carecer de puntos reales). ii. Una parábola. Si A . B = 0. (Recordar que si A . B = 0, implica que A = 0 ó B = 0). Esto significa que la ecuación (2) es de segundo grado respecto a una de las variables y lineal con respecto a la otra. iii. Una elipse. Si A . B > 0. (Recordar que si A . B > 0, entonces A y B tienen el mismo signo). En casos especiales, el lugar se reduce a un solo punto, o incluso, el lugar carece en absoluto de puntos reales. iv. Una hipérbola. Si A . B < 0. (Esto implica que A y B tienen signos opuestos). En casos especiales, el lugar puede reducirse a un par de rectas secantes, como sucede por ejemplo con la ecuación x2 – y2 = 0. Observación. El recíproco del teorema es igualmente válido, es decir, cualquiera de estas curvas, satisface una ecuación de segundo grado de la forma (2). 6.5 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 6 .. 6.5.1. Ejercicios Resueltos Sobre La Parábola 1. Usando la definición, hallar la ecuación de la parábola que tiene su foco en F(2,0) y su dirección DD es la recta de ecuación x= -2. Solución: Trácese la gráfica con los elementos dados.
De acuerdo a la definición, un punto
Pero, Luego,
Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene:
fig. 6.5.1. De donde y2 = 8x es la ecuación de la parábola pedida. 2. Dada la parábola que tiene por ecuación x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica. Solución: la ecuación x2 = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema 1. Entonces, 2p = -6, de donde p= -3 < 0.
Como p < 0, la parábola se abre hacia abajo. El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2). La ecuación de la directriz es la recta
,
es decir,
Fig 6.5.2 3. Dado el punto del plano B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B
pasa la parábola
(1).
Determine el foco y la ecuación de la directriz Solución: Como se sigue que el punto B(a, b) satisface la ecuación (1) y por lo tanto B pertenece a la parábola.
Ahora, de acuerdo a la parte ii del teorema 1.
con lo cual En consecuencia, el foco se encuentra localizado
en el punto ecuación de la directriz
y la
es la recta fig 6.5.3 4. Dada la ecuación (y’)2 = 4x’, referida al sistema x’-y’ en donde el nuevo origen es el punto (2, 3). Hallar la ecuación de la gráfica en términos de x e y. Solución: La ecuación (y’)2 = 4x’ representa en el sistema x’-y’ una parábola con vértice en O’(2, 3). La parábola se abre hacia la derecha y además 2p = 4, de donde p = 2. Con lo cual = distancia del vértice al foco.
Fig. 6.5.4. Dado que O’ (2, 3) se deduce de las relaciones (1) y (2) de la sección 6.1.2. que:
de donde
Sustituyendo los valores de x’ e y’ en la ecuación inicial, se obtiene:
Esta última ecuación, representa una parábola cuyo vértice es el punto V (2, 3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz es 1. 5. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2). Solución: Como la directriz es la recta de ecuación x = 2, paralela al eje y, se sigue que el eje focal es paralelo al eje x y como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tiene como ecua- ción y = 2. El vértice V de la parábola está sobre la recta y = 2 y localizado en el punto medio entre la directriz y el foco. Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas del vértice son V(3, 2).
fig. 6.5.5. Ahora, la ecuación de la parábola viene dada por: ó 6. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:
Solución: Se debe expresar la ecuación en la forma: (1) Así,
(Completación de cuadrados)
(2) (Factorizando)
Comparando (1) y (2) se deduce q ue:
Así que las coordenadas del vértice son . Como p = 4 > 0 y la variable lineal es y, se deduce entonces que la parábola se abre hacia arriba. El eje focal es la recta paralela al eje y de ecuación y el foco se encuentra localizado en el punto
, esto es, fig. 6.5.6. La directriz es la recta paralela al eje x, de ecuación
; esto
es, En la figura 6.5.6. aparece la gráfica de la parábola con todos sus elementos. 7. Para la parábola
demostrar que el vértice
está en el punto de acuerdo al signo de a.
y que corresponde a un máximo o un mínimo
Solución. La ecuación: forma:
, puede escribirse en la .
Completando un cuadrado perfecto en el primer miembro de la última igualdad, se tiene:
Con lo cual,
Al comparar esta última ecuación, con la igualdad (1) del teorema 2 (sección
6.1.3.), se deduce que el punto
son las coordenadas del
vértice de la parábola y además, Ahora, si a > 0, entonces p > 0 y la parábola se abre hacia arriba. En este caso, el punto V corresponde a un punto mínimo de la parábola. Si a < 0, entonces p < 0 y la parábola se abre hacia abajo. En este caso, el punto V corres- ponde a un punto máximo de la parábola. 8. (Propiedad óptica (o focal) de la parábola) Demostrar que la normal a la parábola en un punto Q, hace ángulos iguales con la recta que pasa por Q y F y con la paralela al eje focal trazada por el punto. Solución. Considere la parábola y2 = 2px que aparece en la figura 6.5.7., la normal nn y la tangente tt a la curva en el punto Q(x1, y1). Al trazar las rectas que pasan por Q y F y la paralela al eje focal, se forman los ángulos y .
fig. 6.5.7. Se debe probar que
= .
La ecuación de la tangente tt a la curva en el punto Q(x1, y1) viene dada por:
.
De aquí se deduce que
Ahora,
Asi que
Pero,
.
.
(1).
En el triángulo QFN, se tiene,
Luego,
y por lo tanto
, de donde
.
.
.
De esta forma:
(puesto que y12=2Px1)
Es decir,
Luego,
.
y por tanto
= .
La propiedad demostrada anteriormente, significa que si se supone un espejo parabólico perfectamente liso, como el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, todo rayo para- lelo al eje de simetría de la parábola, se refleja pasando por el foco. Esta propiedad conocida como la propiedad óptica (o focal) de la parábola es utilizada en la construcción de reflectores y de antenas parabólicas.
6.5 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 6
6.2 Ejercicios Resueltos Sobre La Elipse 1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). Solución: Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que,
y por tanto
.
fig. 6.5.8. De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por :
2. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 4y2 = 100 Solución: La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes: x
4
2
+ y 2= 1 (porqué?)
25
La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.
De otro lado,
, de donde
encuentran localizados en los puntos
y en consecuencia, los focos se y
.
Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0). La figura 6.5.9. recoge toda la información obtenida.
fig. 6.5.9. 3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0
Solución: La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:
(completación de cuadrado) (factorización y simplificación)
(dividiendo por 4)
Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;
a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig. 6.5.10.). Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1). Como puntos
, se tiene que los focos están localizados en los y
.
fig. 6.5.10. 4. Propiedad Óptica de la Elipse En geometría plana se demuestra el siguiente resultado: Si se tiene un triángulo ABC y un punto Dsobre BC (ver figura 6.5.11), entonces:
es Bisectriz del ángulo
.
Esta propiedad permite construir la normal y por ende la tangente en un punto cualquiera de la elipse. Al unir el punto P1 de la elipse con F’ y con F, puede demostrarse que la bisectriz del ángulo F’P1F es la normal nn a la curva por P1 (fig. 6.5.12.). fig. 6.5.11. Esta propiedad se conoce como la propiedad óptica o focal de la elipse y tiene interesantísimas aplicaciones:
fig. 6.5.12. 1) Considérese un rayo de luz que se enfoca desde un foco hacia un punto P1 de la curva. Comonn es bisectriz del ángulo F’P1F, entonces, ángulo de incidencia = ángulo de reflexión y por tanto el rayo se reflejará pasando por el otro foco. Este hecho es utilizado en la construcción de conchas acústicas. Supongamos que la elipse se hace rotar alrededor del eje x formando una superficie de revolución e imaginemos un salón cuyos techos y paredes son la superficie anterior. Cuando una persona habla desde un foco F, puede ser escuchada en el otro foco a pesar de estar muy lejos del anterior y puede no ser audible en otros puntos intermedios a causa de que las ondas de sonido chocan contra las paredes y son reflejadas en el segundo foco y llegan a él en el mismo tiempo ya que ellas viajan el mismo tiempo. 2) Estudiando una gran cantidad de datos experimentales, Kepler (1571 – 1630) determinó empirica- mente los tres siguientes hechos sobre el movimiento de los planetas conocidos como las leyes de Kepler: 1. La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de los focos. 2. El radio vector trazado desde el sol barre áreas iguales en tiempos iguales. 3. Los cuadrados de los períodos de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la órbita elíptica. Newton (1642 – 1727) partiendo de estas tres leyes empíricas y utilizando elementos del cálculo diferencial e integral pudo deducir la ley de gravitación universal: "la fuerza que ejerce el sol sobre un planeta es una fuerza de atracción radial e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los dos centros del sol y del planeta y viene dada por masa del planeta, M: masa del sol y constante de gravitación universal". Fijadas la directriz, el foco F y la excentricidad
donde m:
, sabemos que si llamamos p: distancia foco -
directriz, la ecuación de la elipse es (1) donde donde como se puede demostrar fácilmente que a > b.
y
Ahora, cuando , dejando fijos los demás elementos; directriz, foco y p, la elipse se aproxima a una circunferencia y por tanto la órbita es cada vez mas cercana a una circuferencia En efecto:
.
Si y y por tanto, a y b se acercan al mismo valor y la ecuación (1) tiende a ser la ecuación de una circunferencia. Esto puede verse también en el siguiente cuadro. p=1
0.5
0.6666
0.57735
0.4
0.4762
0.4364
0.2
0.2083
0.2041
0.1
0.1010
0.1005
0.01
0.0100
0.0100
0.002
0.002
0.002
0.001
0.001
0.001
Muchos de los planetas incluyendo la tierra tienen órbitas que son aproximadamente circulares:
Mercurio
0.21
Saturno
0.06
Venus
0.01
Urano
0.05
Tierra
0.02
Neptuno
0.01
Marte
0.09
Plutón
0.25
Júpiter
0.05
Uno de los objetos mas importantes del sistema solar es el cometa Halley que tiene una
excetrici- dad de y una órbita de alrededor de 7 U.A. de ancho x 35 U.A. de largo (1 U.A.: 150 millones de kilómetros = semieje mayor de la órbita de la tierra » distancia tierra – sol). El período de revolución de este cometa es de 76 años. Fue observado por el astrónomo Edmund Halley en 1682 el cual predijo que volvería a aparecer en 1758. Asi efectivamente fue pero Halley no pudo ver verificada su predicción ya que murió en 1742. Esta periodicidad de la órbita del Halley fue uno de los sucesos mas convincentes a favor de la teoría de Gravitación de Newton.
6.5 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 6
6.5.3. Ejercicios resueltos sobre la hipérbola 1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.
SOLUCIÓN Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma:
.
fig. 6.5.13. En este caso: a = 4; c = 5, de donde consecuencia, la ecuación de la hipérbola es:
Ahora,
(Ver fig. 6.5.13.) En .
Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas:
, y,
2. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica. SOLUCIÓN La ecuación:
, puede escribirse en las formas equivalentes:
La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y
(fig. 6.5.14.)
fig. 6.5.14. En este caso:
. Luego,
.
Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).
Además de la ecuación:
, se deduce que las ecuaciones de las asíntotas
son las rectas de ecuación: ..
e
.
3. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas. SOLUCIÓN Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 – a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.).
fig. 6.5.15. Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma:
Las coordenadas de los focos son:
y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F’(-3, 3).
Igualmente, las coordenadas de los vértices son: 3) yV2(-2, 3).
Además, de la ecuación: que:
y y = 3. Esto es, V1(6,
, se deduce ;y
son las ecuaciones de las asíntotas.
4. Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas. SOLUCIÓN La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:
Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2 (fig. 6.5.16.)
fig. 6.5.16. Además, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual: Las coordenadas de los focos son: x = 2 e
. . Esto es F(2, 5) y F’(2, -3).
Igualmente, las coordenadas de los vértices son: x = 2 e -1).
Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas:
. Esto es V1(2, 3) y V2(2,
, e,
.
5 .En el SISTEMA DE NAVEGACIÓN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglas en inglés), una estación principal de radio y una estación secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en el mar (ver fig. 6.5.17.). Aunque un barco recibe siempre las dos señales, por lo regular se halla mas cerca de una de las dos estaciones y, por lo tanto, hay cierta diferencia en las distancias que recorren las dos señales, lo cual se traduce en una pequeña diferencia de tiempo entre las señales registradas. Mientras la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia de las dos distancias también será constante. Si el barco sigue una ruta que mantenga fija la diferencia de tiempo, seguirá la trayectoria de una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones de
radio.
fig. 6.5.17. Asi que para cada diferencia de tiempo se tiene como resultado una trayectoria hiperbólica diferente, cada una llevando al barco a una posición distinta en la costa. Las cartas de navegación muestran las diferentes rutas hiperbólicas correspondientes a diferencias de tiempo distintas. Dos estaciones LORAN están separadas 250 millas a lo largo de una costa recta. a) Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 seg. entre las señales LORAN. Establezca un sistema de coordenadas rectangulares apropiado para determinar donde el barco alcanzará la costa si continúa sobre la trayectoria de la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo. b) Si el barco debe entrar a un puerto localizado entre las dos estaciones a 25 millas desde la estación principal, ¿qué diferencia de tiempo debe observar?. c) Si el barco está a 80 millas de la costa cuando se obtiene la diferencia de tiempo deseada, ¿cuál es su ubicación exacta? (Nota: la velocidad de cada señal de radio es de 186.000 millas/seg.). .. SOLUCIÓN a. Se puede establecer un sistema de coordenadas rectangulares de tal forma que las dos estaciones estén sobre el eje x y el origen de coordenadas en la mitad del camino entre ellas (Ver fig. 6.5.18.).
fig. 6.5.18.
Como la diferencia de tiempo constante de las señales desde cada estación implica unadiferencia constante en la distancia del barco a cada una de las estaciones, se deduce
entonces que el barco está localizado sobre una hipérbola cuyos focos son las estaciones e radio. Ahora, dif. dist. = Veloc. (dif. de tiempos)= 186.000 x 0.00086 = 160 millas. Esto indique que 2a = 160 (recordar la definición de la hipérbola) y de aquí a = 80, lo que indica que uno de los vértices de la hipérbola está en el punto V1(80, 0). Ahora, como uno de los focos está en el punto F(125, 0) se deduce entonces que el barco siguiendo la trayectoria hiperbólica alcanzará la costa a 125 – 80 = 45 millas de la estación principal. b. Si el barco desea entrar sobre la costa a 25 millas de la estación principal, esto indica que debe seguir una trayectoria hiperbólica cuyo vértice es el punto V(100, 0). Asi que 2a = 200(diferencia constante entre las distancias del barco a cada estación). De esta forma:
.
c. Para encontrar la ubicación exacta del barco, se necesita determinar la ecuación de la hipérbola cuyo vértice es V(100, 0) y uno de sus focos es F(125, 0). Asi que a = 100, c = 125. Con lo cual, b2 = c2 – a2 = 5625. De esta forma, la ecuación de la hipérbola viene dada por: Como el barco está a 80 millas sobre la costa, quiere decir que está en el punto (x, 80)sobre la hipérbola. En consecuencia, , de donde x = 146. Por lo tanto, la ubicación exacta del barco es sobre la hipérbola en el punto P(146, 80). 6.5 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 6
6.5.4. Ejercicios resueltos sobre la ecuación de 2º grado 1. Considere la ecuación de segundo grado:3x2 – 2y2 – 6x – 4y – 5 = 0, identificar la curva que representa y trazar su gráfica con todos sus elementos. SOLUCIÓN Comparando la ecuación dada con la ecuación (1) de la sección 6.4. se observa que A = 3, B = -2, D = -6, E = -4 y F = -5. Como A.B = 3(-2) = -6 < 0, se deduce entonces que la ecuación representa una hipérbola, o como caso especial dos rectas secantes. La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:
La última ecuación representa una hipérbola con centro en C(1, -1) y cuyo eje focal es la
recta y = -1 (Ver fig. 6.5.19.)
fig. 6.5.19. Las coordenadas de los focos son: y = –1, y
. Esto es
.
Las coordenadas de los vértices son: y = –1, es
y
. Esto
.
Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: e
.
2. Considere la ecuación de segundo grado: x2 + y2 + 2x – 2y + 2 = 0. Identificar la curva que representa y trazar su gráfica con todos sus elementos.
SOLUCIÓN 0, la ecuación representa una circunferencia o uno de los casos especiales.
uede escribirse en las formas equivalentes:
ón se ve claramente que el único punto que la satisface es el punto ue la ecuación original se reduce al punto P(-1, 1). 6.5 EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA UNIDAD .. 1. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas:
a. F(3, 0), V(2, 0) b. F(0, 0), V(-1, 0) c. F(2, 3), directriz: x = 6 d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2) e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parábola pasa por el punto (2, 2) f. Eje focal vertical, y la parábola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7) 2. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice. a. y2 + 4x – 4y – 20 = 0 b. y2 – 8x + 4y + 12 = 0 c. y2 + 4x + 4y = 0 d. 4y2 + 24x + 12y – 39 = 0 e. 8y2 + 22x – 24y – 128 = 0 f. x2 – 6x – 12y – 15 = 0 g. x2 + 4x + 4y – 4 = 0 h. x2 – 8x + 3y + 10 = 0 i. 6x2 – 8x + 6y + 1 = 0 j. 5x2 – 40x + 4y + 84 = 0 3. Demuestre que la ecuación de la tangente a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: px = 2c(y + q). 4. a. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: y2 = 4cx en el punto (p, q) de la curva, viene dada por:
.
b. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por:
.
5. a. Demuestre que la perpendicular desde el foco a la tangente trazada por un punto cualqui- era de la parábola corta a esta en un punto localizado sobre el eje y. b. Si Z denota el punto de intersección de la perpendicular desde el foco a la tangente, demuestre que: asociado al punto P.
, donde
: es el radio vector
6. Determine el punto máximo (mínimo) de las siguientes parábolas: a. y = x2 – 2x – 8 b. y = x2 – 6x + 9 c. y = 5 – 4x - x2 d. y = 9 – x2 7. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas determinando además los vértices y los focos: a. 16x2 + 25y2 = 100 b. 9x2 + 4y2 = 36 c. 4x2 + y2 = 16 d. x2 + 9y2 = 18 e. 4y2 + x2 = 8 f. 4x2 + 9y2 = 36 8. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica. Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vértice en (5, 0). Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vértice en (3, 0). Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vértice en (0, -2). Focos en (± 2, 0); longitud del eje mayor 6. Focos en (0, ± 3); las intersecciones con el eje x son ± 2. Centro en (0, 0), vértice en (0, 4); b = 1. Vértices en (± 5, 0); c = 2.
Centro en (2, -2), vértice en (7, -2); focos en (4, -2). Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es 8. Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2). 9. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos y los vértices de cada elipse. Trace la gráfica correspondiente.
10. Demuestre que una ecuación de la forma: Ax2 + Cy2 + F = 0 con A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son del mismo signo: a. Es la ecuación de una elipse con centro en (0, 0) si A ¹ C b. Es la ecuación de un círculo con centro en (0, 0) si A = C 11. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax 2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son del mismo signo: a. Es una elipse si b. Es un punto si
tiene el mismo signo que A.
c. No tiene puntos si
tiene el signo contrario de A.
12. La excentricidad e de una elipse se define: e = c/a donde c y a son los números dados en las ecuaciones de la elipse. Escriba un párrafo breve acerca de la forma general de cada una de las siguientes elipses. Justifique sus conclusiones. a. e cercana a 0. b. e = 0.5 c. e = 1 13. Considere la circunferencia C(o, r): centro en el origen y radio r. Sea Aun punto fijo en el interior de C con . Encontrar el lugar de los puntos P(x, y) del plano tales que d(P, A) = d(P, C) 14. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hipérboles, se pide dibujarlas, determinando además los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas. a. 16x2 – 25y2 = 100 b. 9x2 – 4y2 = 36 c. 4x2 – y2 = 16 d. x2 – 9y2 = 18 e. 4y2 – x2 = 8 f. 4y2 – 9x2 = 36 15. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica y las asíntotas. Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0). Centro en (0, 0); vértice en (-1, 0); foco en (-3, 0). Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3). Centro en (0, 0); vértice en (0, 3); foco en (0, 5). V1(-3, 2), V2(-3, -2); 2b = 6. F(-7, 3), F’(-1, 3); 2a = 4.
V1(4, 0), V2(-4, 0); asíntota la recta y = 2x. 16. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. Trace la gráfica correspondiente.
17. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma: Ax 2 + Cy2 + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son de signos opuestos, es una hipérbola con centro en (0, 0). 18. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son de signos opuestos:
a. Es una hipérbola si
b. Son dos rectas que se cortan si 19. La excentricidad e de una hipérbola se define como el número e = c/a, donde c y a son los números dados en las ecuaciones de la hipérbola. Como c > a, se deduce que e > 1. Describa la forma general de una hipérbola cuya excentricidad es cercana a 1. ¿Cuál será la forma si e es muy
grande?. 20. Dos estaciones LORAN están separadas 200 millas a lo largo de una costa recta: a. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00038 seg. entre las señales LORAN. Establezca un sistema de coordenadas rectangulares para determinar donde alcanzará el barco la costa si sigue la trayectoria de la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo. b. Si el barco quiere entrar al puerto localizado entre las dos estaciones a 20 millas de la estación central, ¿Qué diferencia de tiempo está buscando?. c. Si el barco se encuentra a 50 millas mar adentro al obtener la diferencia de tiempo deseada, ¿cuál es la ubicación exacta del barco? (Nota: la velocidad de cada señal de radio es de 186.000 millas/seg.). 21. En cada uno de los ejercicios siguientes identificar la curva que representa cada una de las ecuaciones dadas. Trazar la gráfica con todos sus elementos:
a. b. c. d.
e. f. g. h. i. j.
