CURSO: FUNDAMENTOS DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
COMISIÓN FEDERAL DE ELECTRICIDAD SUBDIRECCIÓN DEL CENACE ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
21 AL 25 DE ENERO DE 2013
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
ÍNDICE CAPÍTULO 1 .......................................................................................................... 4 CONCEPTOS BÁSICOS Y MODELADO DE ELEMENTOS ................................. .................... ............. 4 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN .............................. ............................................... ............................... .............................. ................................ .................. 4 POTENCIA ELÉCTRICA, ACTIVA Y REACTIVA REACTIVA........................................ .............................................. ...... 4 POTENCIA COMPLEJA COMPLEJA .............................. ............................................ ............................... ................................. ...................... ...... 8 MODELADO DE REACTORES Y CAPACITORES ..........................................10 MODELADO DE TRANSFORMADORES ........................................................11
1.6
MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN ..................................................21
1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.6.1 1.6.2 1.6.3
Circuito equivalente del transformador monofásico ................................................... 11 Circuito equivalente del transformador trifásico ......................................................... 16 Conexión estrella-estrella aterrizada .......................................................................... 17 Transformador de tres devanados ............................................................................. 19 Conductores Compuestos y el Radio Geométrico ..................................................... 21 Resistencia Equivalente ............................................................................................. 22 Efecto Inductivo .......................................................................................................... 23
1.6.3.1 1.6.3.2 1.6.3.3
Inductancia debida al flujo interno ........................................................... ......................................................................................... .......................................... ............ 23 Inductancia en una linea de dos conductores. .......................................................... ..................................................................................... ........................... 24 Coeficientes de maxwell ................................ ............................................................ .......................................................... ......................................................... ........................... 25
1.6.5.1
Línea de transmisión de longuitud media ................................. .............................................................. .......................................................... ............................. 29
1.6.4 1.6.5 1.6.6
1.7
1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.7.4 1.7.5 1.7.6
Efecto Capacitivo ........................................................................................................ 27 Representación de líneas ........................................................................................... 28 Línea de transmisión larga ......................................................................................... 30
MODELADO DEL GENERADOR SÍNCRONO .................................................35
Introducción ................................................................................................................ 35 Generador de polos lisos (rotor cilíndrico).................................................................. 36 Generador de polos salientes ..................................................................................... 38 Curva de capabilidad del generador de polos lisos (rotor cilíndrico) ......................... 39 Curva de capabilidad del generador de polos salientes............................................. 43 Condensador síncrono ............................................................................................... 46
CAPITULO 2 ........................................................................................................ 49 SISTEMA POR UNIDAD ...................................................................................... 49 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN .............................. ............................................... ............................... .............................. ................................ ................49 49 SISTEMAS MONOFÁSICOS ...........................................................................50 SISTEMAS TRIFÁSICOS BALANCEADOS ....................................................50 CAMBIO DE BASE DEL SISTEMA POR UNIDAD ................................ ...........................................5 ...........511 EJEMPLO EJEMPLO ............................... ............................................... .............................. .............................. ................................ ...........................5 ...........522
CAPITULO 3 ........................................................................................................ 54 ANÁLISIS NODAL ............................................................................................... 54 3.1 3.2
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN .............................. ............................................... ............................... .............................. ................................ ................54 54 MATRIZ NODAL DE ADMITANCIAS ...............................................................54
3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
MATRIZ NODAL DE IMPEDANCIAS IMPEDANCIAS ............................... ............................................... ................................ ................57 57 CARACTERÍSTICAS DE MATRICES MATRICES .............................. .............................................. ................................ ................59 59 EQUIVALENTE THEVENIN THEVENIN .............................. ............................................. ............................... ................................ ................59 59 EQUIVALENTE DE NORTON NORTON ............................. ............................................. ............................... .............................6 ..............611 EJEMPLO EJEMPLO ............................... ............................................... .............................. .............................. ................................ ...........................6 ...........611
3.2.1
Ejemplo ....................................................................................................................... 56
CAPITULO 4 ........................................................................................................ 63 ANÁLISIS DE FALLAS ....................................................................................... 63 4.1 4.2
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN .............................. ............................................... ............................... .............................. ................................ ................63 63 COMPONENTES SIMÉTRICAS Y REDES DE SECUENCIA ...........................64 ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
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CAPÍTULO 1
ÍNDICE CAPÍTULO 1 .......................................................................................................... 4 CONCEPTOS BÁSICOS Y MODELADO DE ELEMENTOS ................................. .................... ............. 4 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN .............................. ............................................... ............................... .............................. ................................ .................. 4 POTENCIA ELÉCTRICA, ACTIVA Y REACTIVA REACTIVA........................................ .............................................. ...... 4 POTENCIA COMPLEJA COMPLEJA .............................. ............................................ ............................... ................................. ...................... ...... 8 MODELADO DE REACTORES Y CAPACITORES ..........................................10 MODELADO DE TRANSFORMADORES ........................................................11
1.6
MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN ..................................................21
1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.6.1 1.6.2 1.6.3
Circuito equivalente del transformador monofásico ................................................... 11 Circuito equivalente del transformador trifásico ......................................................... 16 Conexión estrella-estrella aterrizada .......................................................................... 17 Transformador de tres devanados ............................................................................. 19 Conductores Compuestos y el Radio Geométrico ..................................................... 21 Resistencia Equivalente ............................................................................................. 22 Efecto Inductivo .......................................................................................................... 23
1.6.3.1 1.6.3.2 1.6.3.3
Inductancia debida al flujo interno ........................................................... ......................................................................................... .......................................... ............ 23 Inductancia en una linea de dos conductores. .......................................................... ..................................................................................... ........................... 24 Coeficientes de maxwell ................................ ............................................................ .......................................................... ......................................................... ........................... 25
1.6.5.1
Línea de transmisión de longuitud media ................................. .............................................................. .......................................................... ............................. 29
1.6.4 1.6.5 1.6.6
1.7
1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.7.4 1.7.5 1.7.6
Efecto Capacitivo ........................................................................................................ 27 Representación de líneas ........................................................................................... 28 Línea de transmisión larga ......................................................................................... 30
MODELADO DEL GENERADOR SÍNCRONO .................................................35
Introducción ................................................................................................................ 35 Generador de polos lisos (rotor cilíndrico).................................................................. 36 Generador de polos salientes ..................................................................................... 38 Curva de capabilidad del generador de polos lisos (rotor cilíndrico) ......................... 39 Curva de capabilidad del generador de polos salientes............................................. 43 Condensador síncrono ............................................................................................... 46
CAPITULO 2 ........................................................................................................ 49 SISTEMA POR UNIDAD ...................................................................................... 49 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN .............................. ............................................... ............................... .............................. ................................ ................49 49 SISTEMAS MONOFÁSICOS ...........................................................................50 SISTEMAS TRIFÁSICOS BALANCEADOS ....................................................50 CAMBIO DE BASE DEL SISTEMA POR UNIDAD ................................ ...........................................5 ...........511 EJEMPLO EJEMPLO ............................... ............................................... .............................. .............................. ................................ ...........................5 ...........522
CAPITULO 3 ........................................................................................................ 54 ANÁLISIS NODAL ............................................................................................... 54 3.1 3.2
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN .............................. ............................................... ............................... .............................. ................................ ................54 54 MATRIZ NODAL DE ADMITANCIAS ...............................................................54
3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
MATRIZ NODAL DE IMPEDANCIAS IMPEDANCIAS ............................... ............................................... ................................ ................57 57 CARACTERÍSTICAS DE MATRICES MATRICES .............................. .............................................. ................................ ................59 59 EQUIVALENTE THEVENIN THEVENIN .............................. ............................................. ............................... ................................ ................59 59 EQUIVALENTE DE NORTON NORTON ............................. ............................................. ............................... .............................6 ..............611 EJEMPLO EJEMPLO ............................... ............................................... .............................. .............................. ................................ ...........................6 ...........611
3.2.1
Ejemplo ....................................................................................................................... 56
CAPITULO 4 ........................................................................................................ 63 ANÁLISIS DE FALLAS ....................................................................................... 63 4.1 4.2
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN .............................. ............................................... ............................... .............................. ................................ ................63 63 COMPONENTES SIMÉTRICAS Y REDES DE SECUENCIA ...........................64 ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
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CAPÍTULO 1
4.3 4.4 4.5
SIMPLIFICACIONES EN EL MODELO DEL SISTEMA ....................................67 FALLA BALANCEADA TRIFÁSICA TRIFÁSICA .............................. ............................................ .............................. ....................67 ....67 FALLA DE LÍNEA MONOFÁSICA A TIERRA TIERRA .............................. .............................................. ....................68 ....68
4.6
FALLA DE LÍNEA A LÍNEA..................... LÍNEA................................... .............................. ................................ ...........................7 ...........711
4.7
FALLA DE DOBLE LÍNEA A TIERRA.............................. .............................................. ................................ ................74 74
4.5.1 4.6.2 4.7.1
EJEMPLO ................................................................................................................... 69 EJEMPLO ................................................................................................................... 73 EJEMPLO ................................................................................................................... 76
CAPITULO 5 ........................................................................................................ 77 FLUJOS DE POTENCIA ...................................................................................... 77 5.1 5.2 5.3 5.4
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN .............................. ............................................... ............................... .............................. ................................ ................77 77 ECUACIONES DE FLUJO DE POTENCIA POTENCIA................................ .............................................. .......................78 .........78 CLASIFICACIÓN DE NODOS Y VARIABLES .................................................84 SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA ...................85
5.5 5.6
MANEJO DE NODOS PV ............................. ........................................... ............................... ................................. .....................94 .....94 CONCLUSION CONCLUSIONES ES ............................. .............................................. ............................... .............................. ................................ ................95 95
5.4.1 EL ALGORITMO NEWTON-RAPHSON..................................................................... 86 5.4.2 SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA MEDIANTE EL METODO DE NEWTON-RAPHSON ....................................................................................... 88 5.4.3 INICIALIZACIÓN DE LAS L AS VARIABLES DE ESTADO ................................................ 93
CAPITULO 6 ........................................................................................................ 96 CONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL DE VOLTAJE ..................................... ...................... ............... 96 6.1 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN .............................. ............................................... ............................... .............................. ................................ ................96 96 6.2 COMPORTAMIENTO DEL FLUJO DE REACTIVOS PARA EL CONTROL DE VOLTAJE VOLTAJE .............................. ............................................ ............................... ................................. ................................ .............................. .......................97 .........97 6.2.2
ECUACIONES DE FLUJO DE POTENCIA REACTIVA REACTIV A ........................................... 100
6.3 6.4
CONTROL DE VOLTAJE LOCAL LOCAL .............................. ............................................... ................................. ................... ...102 102 BALANCE DE POTENCIA REACTIVA REACTIVA ............................... .............................................. ........................... ............103 103
6.5 6.6 6.7
CONTROL DE VOLTAJE MEDIANTE TRANSFORMADORES .....................107 .....................107 CONDENSADOR SÍNCRONO. .............................. .............................................. .............................. .............................. ....................110 110 COORDINACIÓN DE CAMBIOS CAMBIOS ............................... ............................................... .............................. ..................... .......112 112
6.8
RESUMEN RESUMEN .............................. .............................................. .............................. .............................. ................................ ......................... .........116
6.4.2
6.7.1 6.7.2
INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA ............................................................ 107
Relación flujos de potencia reactiva – pérdidas de potencia activa ......................... 112 Margen de potencia reactiva .................................................................................... 115
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CAPÍTULO 1
CAPÍTULO 1 CONCEPTOS BÁSICOS Y MODELADO DE ELEMENTOS
1.1 INTRODUCCIÓN Para comprender la forma en que interactúan los diferentes elementos de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), es necesario analizar el comportamiento de cada uno de ellos en forma independiente, cada uno de ellos presenta un comportamiento característico que lo distingue de los demás. Para analizar la respuesta de cada componente del sistema eléctrico ante diferentes condiciones de operación, es necesario contar con modelos matemáticos adecuados que nos representen en forma aceptable su comportamiento. En este primer capítulo se revisan conceptos fundamentales para analizar fenómenos donde interviene de manera relevante la potencia reactiva. En los desarrollos se consideran modelos simplificados, lo que ayuda a la comprensión de las ideas principales. Se modelan los siguientes elementos: • Reactores • Capacitores • Transformadores • Líneas de Transmisión • Generadores 1.2 POTENCIA ELÉCTRICA, ACTIVA Y REACTIVA La definición de potencia en términos de energía es “la cantidad de energía consumida o generada por unidad de tiempo”. Para el caso particular de potencia eléctrica, se establece la definición: “la potencia eléctrica generada o absorbida por un elemento es el producto del voltaje en sus terminales y la corriente a través de él”, algebraicamente esta dada por: p = v i
Watts o Joule/seg
(1.1)
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
Una vez que se ha definido la potencia eléctrica, es interesante analizar como es consumida por los elementos pasivos. Por ejemplo para el caso de una resistencia a la cual se le aplica una señal del tipo alterna, es decir, v = V m sen ω t , por lo que la respuesta de este elemento ante una señal alterna es i = I m sen ω t , por lo tanto sustituyendo en (1.1) se tiene: p R = V m I m sen 2 ω t
(1.2)
Se observa que la potencia eléctrica consumida por una resistencia es positiva, aunque tenga una variación en el tiempo como lo muestra la expresión (1.2). En la Figura 1.1 se tiene gráficamente la variación de la potencia eléctrica consumida por la resistencia al aplicarle una señal de corriente alterna. v i
FIGURA 1.1
p
Variación con respecto al tiempo de v , i y p para una resistencia.
De igual forma se aplica una señal de voltaje de corriente alterna a un inductor de la forma v = V m sen t , obteniéndose como respuesta una corriente a través de él del tipo i = − I m cos t , recordando que la relación entre voltaje y corriente es v = L di / dt , por lo tanto la potencia instantánea a través del elemento se expresa mediante la ecuación (1.3). La Figura 1.2 muestra gráficamente las variables eléctricas de un inductor ante una excitación senoidal. p L = −V m I m sen
t cos ω t
(1.3) v i p
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FIGURA 1.2
CAPÍTULO 1
Variación con respecto al tiempo de v , i y p para una inductancia.
Es interesante observar a partir de la figura anterior que la potencia instantánea en un inductor varia en el tiempo con una frecuencia igual al doble de la frecuencia del voltaje aplicado. Además, toma valores positivos y negativos con amplitudes máximas iguales lo que lleva a concluir que la onda de potencia instantánea tiene un valor promedio cero. Caso similar ocurre cuando se le aplica en terminales de un capacitor un voltaje v = V m sen ω t , circulando a través del elemento una corriente de la forma i = I m cos ω t , la potencia instantánea es el producto de estas dos señales, por lo que se llega a la expresión (1.4), la Figura 1.3 presenta en forma gráfica las señales eléctricas en un capacitor. p L = V m I m sen ω t cos ω t
(1.4) v i p
FIGURA 1.3
Variación con respecto al tiempo de v , i y p para una capacitancia.
De las gráficas anteriores se observa que la potencia suministrada a un elemento puramente inductivo o capacitivo es absorbida durante un cuarto de la onda de voltaje y devuelta a la fuente durante el siguiente cuarto de la onda. Se puede decir que la potencia en estos dos elementos tiene un comportamiento reactivo, por lo que puede decirse que es una potencia reactiva. A diferencia de la potencia en un elemento puramente resistivo en el cual siempre es positiva, por lo que puede considerarse como una potencia activa. Si ahora se analiza el comportamiento de la potencia eléctrica instantánea en un circuito mas general, es decir, uno que contenga resistencia, inductancia y capacitancia como se muestra en la Figura 1.4, al cual se le energiza con una señal de voltaje alterna del tipo v = V m sen ω t , obteniéndose una respuesta también alterna de la forma i = I m sen(ω t + φ ) .
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CAPÍTULO 1
Circuito eléctrico con elementos R, L y C.
FIGURA 1.4
La potencia eléctrica en el circuito será entonces: p = V m I m sen
t sen (ω t + φ )
(1.5)
utilizando identidades trigonométricas y manipulando la ecuación anterior puede reescribirse como: p =
V m I m
2
[cosφ (1 − cos 2ω t ) + senφ sen2ω t ] (1.6)
La potencia instantánea se descompone en dos términos; recordando que los valores máximos pueden ser expresados como valores eficaces utilizando la relación V = V m / 2 , por lo tanto se tiene: p = V I cos φ (1 − cos 2ω t ) + V I senφ sen2ω t
(1.7)
En (1.7) se observa que la potencia instantánea oscila alrededor de un valor promedio dado por el primer término de la expresión, con la particularidad de que nunca se hace negativa, mientras que el segundo término tiene un valor promedio cero. Definiendo entonces las siguientes cantidades: P = V I cos φ
Potencia activa
Q = V I sen φ
Potencia reactiva
(1.8)
Sustituyendo (1.8) en (1.7) se simplifica la expresión: p = P(1 − cos 2 t ) + Qsen2 t
(1.9)
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CAPÍTULO 1
En la Figura 1.5 se tiene la variación de la potencia instantánea con respecto al tiempo, así como las variables voltaje y corriente para el circuito de la Figura 1.4. p
p
v i
P
Q
(b)
(a) FIGURA 1.5
Variación con respecto al tiempo de v , i y p para un circuito RLC.
En la Figura 1.5 (a) y (b) se observa que la potencia instantánea toma valores negativos durante ciertos periodos de tiempo, indicando con esto que la energía fluye en esos momentos de la carga al generador. De las expresiones y gráficas anteriores se puede concluir que la Potencia Activa se define como el valor promedio alrededor del cual oscila la potencia instantánea, por lo que representa la potencia útil, aquella que es capaz de realizar un trabajo o que se disipa en forma de calor. Mientras que la Potencia Reactiva se define como el valor pico de una de las componentes de la potencia instantánea, cuyo valor promedio es cero y que por lo tanto no es capaz de realizar trabajo útil, pero que se desplaza continuamente del generador a la carga y viceversa. 1.3 POTENCIA COMPLEJA Para facilitar el análisis de comportamiento de redes eléctricas en régimen permanente, cuando estas son excitadas por señales de tipo alterno, se desarrollo una transformación denominada fasorial, mediante la cual una función del tipo senoidal puede representarse por un número complejo denominado fasor. Considerando el circuito eléctrico elemental mostrado en la siguiente figura:
FIGURA 1.6
Circuito eléctrico monofásico.
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CAPÍTULO 1
El voltaje y la corriente del circuito se pueden expresar en forma fasorial como: V = V e jθ v = V (cosθ v + j sen θ v ) I = I e jθ i = I (cosθ i + j sen θ i ) (1.10)
De acuerdo con la condición original de potencia instantánea dada por p = vi , la potencia compleja se define como: S = VI ∗ = V e jθ v I e − jθ i = V I e j (θ v −θ i )
(1.11)
En la expresión anterior se introduce un concepto que se conoce como potencia aparente y se simboliza por la letra S . Además, de la misma expresión, el ángulo (θ v − θ i ) es el ángulo de defasamiento entre el voltaje y la corriente (φ ) , por lo que (1.11) se puede escribir como: S = V I cos φ + j V I sen φ S = P + jQ
(1.12)
La relación que existe entre potencia aparente, reactiva y activa puede ser visto en forma gráfica utilizando lo que se conoce como triángulo de potencia, el cual se muestra en la siguiente Figura:
FIGURA 1.7
Triángulo de potencia.
Del triángulo de potencia se obtienen las expresiones: ∗
S = VI = P + jQ S =
P2 + Q2
cos φ =
P S
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(1.13)
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CAPÍTULO 1
En donde φ representa una medida de la cantidad de potencia útil que esta siendo consumida por el elemento, por lo que al cosφ se le conoce como factor de potencia, el cual al multiplicarlo por la potencia aparente, resulta en la potencia activa que el elemento consume. 1.4 MODELADO DE REACTORES Y CAPACITORES La transmisión de potencia en corriente alterna presenta principalmente problemas de regulación de voltaje y de estabilidad. Esto obliga a buscar modos de operación de la red para resolver el problema de altos y bajos voltajes y de operación cerca del límite de estabilidad de estado estable, situaciones que se presentan cuando no se cuenta con los medios de compensación adecuados. En un esquema de compensación reactiva conectado a la línea de transmisión, como primer objetivo se tiene que, lograr una operación que este dentro de los márgenes de regulación de voltaje y de estabilidad. Como segundo objetivo, aumentar la capacidad de transmisión de líneas ya existentes. Un modelo típico de reactores y capacitores que se utiliza para simular su efecto es el de un elemento pasivo con un valor de impedancia fijo. Para un reactor, el cual se utiliza cuando las líneas presentan elevación de voltaje creciente desde el extremo de envío, hacia el extremo de recepción cuando operan con flujos bajos, la expresión que representa un reactor esta dada por: Q=
V
2
X L
=
V
2
2π f L
(1.14)
De la expresión anterior se observa que la potencia reactiva que consume un reactor varía proporcionalmente con el cuadrado del voltaje de operación, e inversamente con la frecuencia. De igual forma, para un capacitor la potencia reactiva esta dada por: 2
2
Q = − V X C = − V 2π f C
(1.15)
En donde la dependencia de la potencia reactiva es proporcional al cuadrado del voltaje y a la frecuencia de operación del sistema.
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CAPÍTULO 1
1.5 MODELADO DE TRANSFORMADORES Los transformadores constituyen los elementos de unión entre redes eléctricas de diferente nivel de tensión. La función primordial que desempeñan consiste en elevar los voltajes de generación a los niveles de transmisión que son requeridos para disminuir pérdidas; y en los puntos de carga disminuir los voltajes de transmisión hasta los niveles adecuados para las redes de distribución. Mediante estos equipos se logra principalmente el control sobre el voltaje y la distribución de potencia reactiva, aun cuando algunos diseños especiales permiten cierto control sobre la potencia activa. De acuerdo a la ley de Faraday, si se enrolla un segundo conductor en el núcleo de material ferromagnético se obtendrá una fuerza electromotriz inducida en las terminales de dicho conductor.
FIGURA 1.8
Representación esquemática de un transformador monofásico.
1.5.1 Circuito equivalente del transformador monofásico En esta sección se presenta el desarrollo del circuito equivalente del transformador monofásico, basado en una formulación matricial. No se modelan los efectos de la corriente de excitación, debido a que no influye sustancialmente en los estudios de flujos y fallas. La Figura 1.9 muestra el circuito equivalente de un transformador monofásico.
FIGURA 1.9
Circuito equivalente de un transformador monofásico.
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CAPÍTULO 1
Donde: ZH Impedancia del devanado H ZX Impedancia del devanado X e,e’ Voltajes inducidos en los devanados nH Número de vueltas del devanado H nX Número de vueltas del devanado X La relación de transformación se define en función del número de vueltas de cada devanado o de los voltajes a circuito abierto como sigue: a=
n H n X
=
V H V X
(1.16)
Considerando un transformador ideal, en el cual se mantiene el balance de ∗ ∗ potencia en ambos lados del transformador, es decir, V H I H =V X I X por lo que la relación de transformación puede también expresarse como: ∗
a=
I X ∗
I H
=
I X I H
(1.17)
De la relación de transformación y del circuito de la Figura 1.9 se obtienen las siguientes relaciones entre las variables de los devanados: I X = a I H
(1.18)
e' = a e
(1.19) e = I X Z X + V X V H = I H Z H + e'
(1.20) (1.21)
Sustituyendo (1.18) y (1.20) en (1.19): e' = a 2 I H Z X + aV X
(1.22)
Sustituyendo (1.22) en (1.20): V H = I H Z H + a 2 I H Z X + aV X V H = ( Z H + a 2 Z X ) I H + aV X V H = Z HX I H + aV X
(1.23)
donde: Z HX = Z H + a 2 Z X
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(1.24)
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CAPÍTULO 1
La impedancia Z HX es la impedancia total del transformador medida desde el lado H. El circuito equivalente que representa la expresión (1.23) se muestra en la Figura 1.10, además, si se desea conocer la impedancia del transformador medida desde el lado X, se sigue un procedimiento similar al anterior llegando a: Z XH = Z X + (1 / a 2 )Z H
(1.25)
FIGURA 1.10 Circuito equivalente con la impedancia referida al lado H.
Siempre será posible agrupar la impedancia de los dos devanados en uno sólo de ellos por medio de las ecuaciones (1.24) y (1.25). Un caso más general es el que contempla la posibilidad de tener cambio de tap en ambos devanados del transformador, como se muestra en forma reducida en la siguiente figura:
FIGURA 1.11 Representación unifilar del transformador con taps en ambos devanados.
Para este transformador con dos taps, se encontrará un circuito equivalente utilizando la técnica de superposición de efectos, que consiste en alimentar un voltaje en una terminal, aterrizar las restantes y encontrar la inyección de corriente en cada una de las terminales. En la Figura 1.12 el valor de impedancia del transformador se ha convertido en admitancia, con el objeto de formar mas fácilmente el circuito equivalente del transformador, construyendo la matriz de admitancias correspondiente.
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CAPÍTULO 1
Alimentando en la terminal a del circuito, se tienen las condiciones mostradas a continuación:
FIGURA 1.12 Representación del transformador monofásico.
Si para el circuito de la Figura anterior se considera por convención que las corrientes entrando a cada nodo son positivas, se tiene: I 1 = I 4 = I 2 = I 5 = I 3 =
I 1 b I 1 a
= =
y a y
ab y a2
V V = − I c = I d V = I a = − I b
(1.26)
El vector de corrientes es entonces: I a y / a 2 I 2 − / y a b V = I c − y / a b I d y / a b
Al excitar con un voltaje V cada una de las terminales del transformador monofásico, se obtienen las columnas de la matriz de admitancias del transformador en forma independiente. Ordenando cada una de las columnas dentro de una matriz se obtiene: y / a 2 − y / a 2 − y / ab y / ab 2 2 y / a y / ab − y / ab − y / a − y / ab y / ab y / b 2 − y / b 2 2 2 y / b y / ab − y / ab − y / b
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CAPÍTULO 1
Por inspección de esta matriz de admitancias se construye el circuito equivalente que se muestra en la Figura 1.13. Este circuito equivalente resulta adecuado para modelar al transformador monofásico en estudios de flujos y fallas, incluyendo los efectos de taps en ambos devanados.
FIGURA 1.13 Equivalente del transformador monofásico con taps en ambos devanados.
Para el caso particular de que las terminales b y d se encuentran aterrizadas, desaparecen la segunda y cuarta columnas, así como los respectivos renglones de la matriz de admitancias, por lo que se reduce a la forma siguiente: y / a 2 − y / ab 2 − y / ab y / b Nuevamente, por inspección se llega al siguiente circuito:
FIGURA 1.14 Equivalente del transformador monofásico con taps en ambos devanados.
Para analizar el efecto del cambio de tap en uno de los devanados se considera que tap en el otro devanado permanece sin cambio. Si el tap en el lado c-d es unitario, b=1, el circuito equivalente de la Figura 1.14 se simplifica al mostrado a continuación:
FIGURA 1.15 Equivalente del transformador monofásico con tap en un devanado.
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CAPÍTULO 1
Analizando las ramas del circuito equivalente de la Figura 1.15 se puede observar que dependiendo de la posición del cambiador de tap se tienen una rama en derivación con comportamiento capacitivo y otra con comportamiento inductivo, o viceversa. En la Tabla 1.1 se muestra la naturaleza de las ramas del circuito equivalente para diferentes valores de la relación de transformación. Rama y0 y1 y2
Tabla 1.1 a<1 Inductiva Inductiva Capacitiva
a>1 Inductiva Capacitiva Inductiva
El flujo de potencia reactiva en el transformador estará gobernado por la posición del cambiador de tap. Cuando la posición del tap sea diferente a la nominal, la tendencia natural del flujo de potencia reactiva será desde la rama capacitiva hacia la rama inductiva, a menos que las condiciones del sistema impongan otra restricción. 1.5.2 Circuito equivalente del transformador trifásico Un banco trifásico es la interconexión de tres unidades monofásicas para formar la unidad trifásica. Por ejemplo, en la Figura 1.16 se muestra una unidad trifásica con conexión delta-estrella. La conexión del transformador se representa en forma vectorial como se muestra en la Figura 1.17.
FIGURA 1.16 Conexiones de un transformador en conexión delta-estrella.
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16
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
FIGURA 1.17 Diagrama vectorial de la conexión delta-estrella.
Donde las líneas paralelas en el diagrama vectorial indican las conexiones magnéticas entre primario y secundario del transformador trifásico, de tal manera que la fase A-B de la delta está magnéticamente acoplada con la fase a-n de la estrella; B-C con la fase b-n y C-A con c-n; y así, con esta representación, y con el circuito equivalente generalizado de un transformador monofásico se parte para modelar una banco trifásico compuesto de tres unidades monofásicas. 1.5.3 Conexión estrella-estrella aterrizada Para modelar este tipo de conexión, Figura 1.18, se parte del modelado del transformador monofásico.
FIGURA 1.18 Circuito equivalente de la conexión estrella-estrella.
La matriz de admitancias del circuito mostrado en la figura anterior se construye por inspección y resulta:
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FUNDAMENTOS DE SEP
A y / a 2
CAPÍTULO 1
y / ab y / ab − y / b 2 − y / b 2 − y / b 2 − 3 y / ab 2 3 y / b + yl
− y / a 2
− y / ab
B y / a 2 C y / a 2 2 a − y / ab y / b b − y / ab c − y / ab N − y / a 2 − y / a 2 − y / a 2 y / ab 2 n y / ab y / ab y / ab − y / b
y / ab
− y / a 2
− y / ab
− y / a 2
− y / ab
y / ab 2 y / b
y / ab y / b 2
y / ab
y / ab
y / ab
3 y / a + y g
− y / b 2
− y / b 2
− 3 y / ab
2
Aplicando el método de reducción de Kron para eliminar los neutros, se obtiene una matriz equivalente de la forma: A D1
F 1
F 1 D 2
B F 1
D1
F 1
F 2 D 2
F 1
D1
F 2
F 2
F 2
F 2 D3
F 3
D 2
F 2
C F 1 Yeq = a D 2 b F 2 c F 2
F 2
F 3 D3
F 2 D 2
F 3
F 3
F 2
D 2 F 3 F 3 D3 F 2
(1.27)
en donde: D 2 = − y / ab + F 2
2 D1 = y / a + F 1 2
− F 1 =
y yl a4
−
y 2 y g
y 2 yl
a 2b 2
3 F 2 = a b
α α =
3 y 2
a b
2
( y
g
+
y 2 y g ab 3
α
2 D3 = y / b + F 3 2
y yl 2 2 F 3 = a b
−
y 2 y g b4
α
a 2 + y l b 2 ) + y g y l
De esta manera el sistema de ecuaciones resulta: I ABC V ABC [ ] Yeq = I V abc abc (1.28)
Separando las ecuaciones I ABC de I abc en la ecuación (1.28) y aplicando la transformación de componentes simétricas resultan: I P0 y / a 2 + 3F 1 V P0 − y / ab + 3F 2 V Q0 1 1 V 1 2 I = y a V + − y ab / / P P Q 2 2 2 I P − y / ab V Q2 y / a V P (1.29)
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18
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
I Q0 − y / ab + 3F 2 V Q0 V P0 y / b 2 + 3F 3 1 1 V 1 + − y / ab y / b 2 I Q = V Q P 2 2 2 2 I Q − y / ab V P y / b V Q (1.30)
Extrayendo las ecuaciones de secuencia positiva de (1.29) y (1.30) se tiene: I 1P y / a 2 − y / ab V P1 1= 2 1 I Q − y / ab y / b V Q (1.31)
La matriz de admitancias resulta idéntica a la de un transformador monofásico con dos terminales aterrizadas. El circuito equivalente es el siguiente:
FIGURA 1.19 Circuito equivalente de secuencia positiva.
1.5.4 Transformador de tres devanados En la Figura 1.20 se muestra un diagrama del circuito equivalente de un transformador de tres devanados que se designan como primario p , secundario s y terciario t . Las tres impedancias se pueden medir mediante las pruebas de corto circuito. Las impedancias son medidas en el lado al cual se le aplica el voltaje y se denominan como: Z ps Impedancia medida en el primario, con el secundario en corto circuito y el terciario abierto. Z pt Impedancia medida en el primario, con el terciario en corto circuito y el secundario abierto. Z st Impedancia medida en el secundario, con el terciario en corto circuito y el primario abierto.
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
FIGURA 1.20 Circuito equivalente de un transformador de tres devanados.
Si las tres impedancias medidas en ohms se refieren al voltaje de uno de los devanados, las impedancias de cada devanado por separado, referidas al mismo devanado, están relacionadas con esas impedancias medidas y referidas como sigue: Z ps = Z p + Z s Z pt = Z p + Z t Z st = Z s + Z t
(1.32)
En donde Z p, Z s y Z t son las impedancias de los devanados primario, secundario y terciario, referidas al circuito primario si Z ps , Z pt y. Z st son las impedancias medidas referidas al circuito primario. Resolviendo las ecuaciones, se obtiene: Z p = Z s = Z t =
1
( Z
+ Z pt − Z st )
( Z
+ Z st − Z pt )
( Z
+ Z st − Z ps )
2 1 2 1 2
ps
ps
pt
(1.33)
Las impedancias de los tres arrollamientos están conectadas en estrella para representar el circuito equivalente monofásico del transformador de tres devanados, despreciando la corriente magnetizante. p Zp
Zs
Zt
s t
Circuito equivalente de un transformador de tres devanados.
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
1.6 MODELADO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN Las líneas de transmisión ocupan un lugar importante en la operación de una red eléctrica. Tanto por el número, como por la extensión territorial que abarcan, constituyen los elementos del SEP que están sujetos a un mayor riesgo de falla. Por otro lado, aun cuando se conoce de manera práctica el comportamiento de líneas de transmisión típicas, ya sea por medio de curvas de cargabilidad o por experiencia operativa, la gran diversidad de condiciones de operación del SEP exige la obtención de modelos que la representen adecuadamente y que permitan obtener resultados de simulación confiables. 1.6.1 Conductores Compuestos y el Radio Geométrico Los conductores compuestos o haces de conductores son utilizados con frecuencia en líneas de transmisión de alto voltaje. Este recurso es más utilizado que el uso de conductores expandidos que utilizan un relleno de papel entre sus diferentes capas de aluminio y acero para incrementar el radio del conductor, reducir de esta manera el gradiente de potencial en la superficie del conductor y a su vez el efecto corona. 2π N
B
R
FIGURA 1.21 Disposición geométrica de conductores en un haz.
B R N
Espaciamiento entre conductores adyacentes Radio del haz de conductores Número de subconductores en un haz
Para un gran número de aplicaciones y en los cálculos correspondientes a haces formados por N subconductores, se puede reemplazar el arreglo por un conductor único con un radio equivalente. A este radio equivalente se le conoce como radio medio geométrico o simplemente radio equivalente y se calcula de la siguiente manera, como lo indica (1.34).
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21
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CAPÍTULO 1 1
r N r eq = R * N * R
(1.34)
r R
Radio de cada subconductor, suponiendo N subconductores iguales Radio de la circunferencia de la configuración del haz
La ecuación anterior describe el radio equivalente de una configuración de conductores, se considera que el ordenamiento de los conductores es equidistante de manera que una circunferencia imaginaria pase a través de los N subconductores del haz. Por ejemplo, para calcular el radio medio geométrico de un haz de conductores de una línea de alto voltaje, 1,000 kV, que tiene seis subconductores de diámetro de 4.6 cm cada uno y una distancia B = 12 d , de separación entre subconductores adyacentes, en configuración circular, y cada subconductor separado de conductores adyacentes en 60 grados. Si se observa la Figura 1.21, se tiene que para seis subconductores, el radio R es igual a la distancia B , que hay entre conductores adyacentes, de modo que el radio equivalente se calcula por: 0.046 5 [( 12 )( 0.046 )] = 0.4381 mts. 2
r eq = 6 6 r R 5 = 6 6
A medida que el número de subconductores se incrementa, el radio equivalente también aumenta, acercándose al radio R de la configuración del haz de conductores. 1.6.2 Resistencia Equivalente Las líneas de alto voltaje son siempre conductores trenzados y generalmente los conductores más utilizados son de aluminio con refuerzo de acero (ACSR) o conductor de aluminio con refuerzo de aluminio (ACAR). Si se utiliza refuerzo de acero, debido a su alta permeabilidad e inductancia, la corriente tiende a circular por los hilos de aluminio externos, de modo que en los conductores tipo ACAR la sección transversal es mejor utilizada. Diámetro total
FIGURA 1.22 Conductor trenzado 26 Al/7 Fe, en dos capas cada uno.
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
La resistencia de un conductor trenzado por cada kilómetro puede calcularse mediante la siguiente ecuación: 1.05 *103 R = ρ a * 2 n π * d s s 4
ρ a d s n s
(1.35)
Resistencia específica del aluminio, en ohms-km a una temperatura T Diámetro de cada hilo en metros Número de hilos de aluminio
El factor de valor 1.05 toma en cuenta el incremento en la longitud del hilo debido al trenzado, considerando así un 5 % de aumento en la longitud efectiva. Los efectos de la resistencia en conductores de alto voltaje se pueden listar como: • Pérdidas en la transmisión por calentamiento I 2 R . • Reducción de la capacidad de conducción de corriente en regiones geográficas con altas temperaturas ambientales. • Afecta la atenuación de la onda viajera debida a descargas atmosféricas y operaciones de maniobra. 1.6.3 Efecto Inductivo El efecto inductivo de conductores que llevan una corriente alterna se puede dividir en un efecto interno al conductor y otra porción debida al flujo magnético exterior que se establece por la corriente que lleva el conductor. 1.6.3.1 Inductancia debida al flujo interno La inductancia debida al flujo interno es la inductancia resultante al considerar el efecto piel del conductor.
FIGURA 1.23 Sección transversal de un conductor de radio r . ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
A una distancia Y del centro de conductor de radio r , donde Y < r , como lo muestra la Figura 1.23, la Ley circuital de Ampere está dada por:
∫ H ⋅ dL = I
encerrada
(1.36)
donde: H es la intensidad del campo magnético Considerando una densidad de corriente uniforme J , la corriente encerrada hasta la distancia Y es: 2
I Y =
Y I 2
r
(1.37)
Entonces:
∫ H ⋅ dL = H
Y
2
2π Y =
Y I 2
r
(1.38)
La densidad de energía almacenada en el campo magnético es: wY =
1 2
2
2
µ 0 µ r H Y =
I µ 0 µ r 2
4
8 π r
Y
2
Joules / m
3
(1.39)
Además, la energía total almacenada en el campo magnético, hasta el radio r , se puede calcular como: 1 2
r
2
Li I =
r
∫ dW =∫ 2π Y w
Y
0
dY =
0
µ 0 µ r 2 I 16 π (1.40)
Consecuentemente: Li =
µ 0 µ r 8 π
H / m
(1.41)
1.6.3.2 Inductancia en una linea de dos conductores. Si se considera dos conductores, cada uno de radio r y con una separación entre centros dada por D , conduciendo una corriente I y –I , se obtiene la expresión de los enlaces de flujo e inductancia. Se puede considerar que el mismo efecto se puede obtener con un conductor único a una altura H = D/2 sobre el plano de tierra. Observando que una línea de flujo, externa a ambos conductores enlaza una corriente total cero, de modo que la intensidad de campo magnético es cero. Por lo tanto, todo el flujo existe entre los dos conductores, desde r hasta D - r . ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
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CAPÍTULO 1
Los enlaces de flujo del conductor 1, tiene dos componentes, la primera debida a la corriente I, sin considerar el flujo interno. D − r
ψ 11 =
∫ r
−
µ 0 µ r D r dx µ 0 µ r D − r d ψ 11 = I ∫ I ln = x π r 2 π 2 r (1.42)
Al tomar en cuenta el efecto de la corriente en el segundo conductor y por la regla de Fleming, la cual muestra que el flujo debido a la corriente en el segundo conductor está en la misma dirección que el establecido por la corriente en el primer conductor. Entonces se encuentra que el flujo que enlaza al primer conductor, debido al segundo conductor, está dado por: D − r
ψ 12 =
∫ d ψ
12
r
=
µ 0 µ r D − r I ln 2 π r (1.43)
El flujo total que enlaza al primer conductor debido a las dos corrientes está dado por: ψ 11 + ψ 12 =
µ 0 µ r D − r µ 0 µ r D I ln I ln ≈ π π r r (1.44)
Entonces, la inductancia de cualquiera de los conductores se encuentra por medio de: L =
µ 0 µ r π
D r
ln
H / m
(1.45)
Para incluir el efecto completo de los haces de conductores se sustituye al radio r por el valor del radio geometrico medio, RMG. 1.6.3.3 Coeficientes de maxwell Para líneas con múltiples conductores, se considera una permeabilidad relativa µr = 1 en (1.45), L = 2 x10 −7
2 H 2 H es conocido (H/m), donde el factor P = ln r r
ln
como Coeficiente de Maxwell. Cuando varios conductores se encuentran a diferentes alturas sobre el plano de tierra, cada uno con su propia corriente, el sistema de n conductores se puede
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25
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
analizar como n conductores en el espacio y sus respectivas imágenes bajo tierra, conduciendo la misma corriente pero en dirección opuesta. A12
H 1
H 2 2H 1
I 1 FIGURA 1.24 Distancias en líneas multiconductores, con sus respectivas imágenes.
Los enlaces de flujo de cualquier conductor en una línea trifásica, tiene tres componentes: una componente debida a su propia corriente que se puede calcular por (1.42), y usando la permeabilidad relativa µ r = 1. ψ 11 =
µ 0 2 H I 1 ln 2 π r (1.46)
Usando el radio medio geométrico D s , en lugar de r se tomará en cuenta el flujo interno del conductor, que es la segunda componente del flujo total. Considerando solamente las líneas de flujo que enlazan al conductor, pero debidas a la corriente que circula en el segundo conductor y su imagen, pero ignorando la presencia del resto de los conductores, se puede calcular la tercer componente del flujo por medio de: I µ µ dx dx µ 0 µ r − I 2 I 2 ln 12 ψ 12 = 0 r I 2 = x 2π A x 2π A12 I ∞
∫
12
∞
∫
12
(1.47)
El coeficiente mutuo de Maxwell, entre los conductores 1 y 2, deberá ser I 12 . A 12
P12 = ln
En general, es evidente que los coeficientes mutuos de Maxwell, para los enlaces de flujo del conductor i con el conductor j (y viceversa), se pueden calcular mediante: I ij , , = 1, 2, 3, ....., n. Aij i j
Pij = ln
(1.48)
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
Así, para un sistema de n conductores, fases en el caso polifásico o polos en el caso de transmisión en CD, la matriz de enlaces de flujo queda expresada mediante: [Ψ ]n =
µ 0 µ r [ P ]nxn [ I ]n = [ L ]nxn [ I ]n 2 π (1.49)
Al considerar haces de conductores, el denominador de los coeficientes de Maxwell, debe sustituirse por un radio equivalente, radio medio geométrico, bajo las siguientes consideraciones. El espaciamiento B , entre subconductores adyacentes de un haz de configuración circular de radio R , es pequeño comparado con la altura H de los conductores de fase, sobre el plano de tierra. La corriente total en un haz es I y la corriente en cada subconductor es i = I/N . Observando las ecuaciones para el valor de la inductancia, se tiene que al incrementar el número de subconductores en un haz, el radio equivalente se incrementa como lo muestra (1.34). El coeficiente de Maxwell, dado por (1.48), se reduce dada la relación inversa respecto del radio equivalente, y por tanto la inductancia propia de cada fase disminuye. 1.6.4 Efecto Capacitivo Bajo la consideración de dos conductores separados una distancia D = 2 H , con una carga de Q Coulombs/m y de polaridad opuesta, la fuerza ejercida sobre una carga de prueba positiva de valor unitario, colocada en un punto F a una distancia x del conductor 1, esta dada por: E F =
1 1 + Newtons 2 π ε 0 x 2 H − x Q
(1.50)
En consecuencia, se puede calcular la diferencia de potencial entre los dos conductores por medio de (1.51). Por simetría se puede determinar la diferencia de potencial entre el conductor y el plano de tierra, (1.52). V =
Q
2 π ε 0
2 H − r
∫
r
1 1 x + 2 H − x
Q 2 H − r Q 2 H dx = π ε ln r ≈ π ε ln r 0 0
Volts
(1.51) V g = 0.5 V =
Q
2π ε 0
2 H r
ln
(1.52) ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
Como el logaritmo natural de 2H/r , está multiplicado por un coeficiente de la carga en el conductor (Q/2 π ε 0 ), a este factor se le conoce como coeficiente de potencial de Maxwell. El coeficiente es el mismo que el usado para el cálculo de la inductancia. Se puede usar la Figura 1.24 del cálculo de inductancias para líneas multiconductores, pero aplicada ahora para el cálculo de capacitancias. V 1 =
Q1
2 π ε 0
I I Qn Q2 2 H 1 ln 12 + ........... + ln 1n + 2π ε 0 r 2 π ε 0 A12 A1n
ln
M
M
M
M
V n =
Q1
2 π ε 0
I 1n I Q2 Qn 2 H n + ln 2 n + ........... + ln 2π ε 0 r A1n 2 π ε 0 A2 n
ln
(1.53)
En forma matricial: [ V ]nx1 =
1 2 π ε 0
[ P ]nxn [ Q ]nx1 (1.54)
La matriz de capacitancias de un sistema de n conductores es: −1 [ C ]nxn = 2π ε 0 [ P ]nxn = 2π ε 0 [ M ] (1.55)
Dado que: [ L ]nxn =
µ 0 [ P ]nxn 2 π (1.56)
Entonces: [ L ][ C ] = µ 0ε 0 [U ] =
1 c
2
[ U ] (1.57)
Donde [U ] es la matriz unitaria, y c es la velocidad de la luz en el vacío, 3x105 km/seg. 1.6.5 Representación de líneas Las líneas de transmisión pueden ser modeladas por un sencillo circuito cuando su longitud no es demasiado larga, para lo cual es suficiente conocer R, L y C como parámetros concentrados logrando suficiente exactitud en el modelo. Sin embargo, para líneas con una longitud considerable, requieren de cálculos en términos de constantes distribuidas para lograr un alto grado de exactitud.
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CAPÍTULO 1
1.6.5.1 Línea de transmisión de longuitud media En los cálculos de una línea de longitud media se incluye la admitancia paralelo. Si se divide en dos partes iguales la admitancia paralelo total de la línea y cada una se coloca en los extremos, se obtiene el llamado circuito π π nominal , como se muestra en la Figura 1.25.
FIGURA 1.25 Circuito π nominal de una línea de longitud media.
Del circuito de la Figura anterior se pueden establecer las siguientes relaciones entre voltajes y corrientes: Y ZY + I r Z + V r = + 1V r + ZI r 2 2
V s = V r I s = V s
Y
2
+ V r
Y
2
+ I r (1.58)
Al sustituir V s , se obtiene: ZY ZY + 1 + + 1 I r 4 2
I s = V r Y
(1.59)
La ecuación (1.58) puede escribirse entonces como: V s = AV r + BI r I s = CV r + DI r
(1.60)
en donde: A = D =
ZY
2
+ 1,
B = Z ,
ZY + 1Y 4
C =
Las constantes A, B, C y D son las constantes generalizadas de circuito de la línea de transmisión.
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
1.6.6 Línea de transmisión larga Para una mejor representación de una línea de transmisión, es necesario tomar en cuenta que los parámetros de la línea están distribuidos uniformemente en toda su longitud. Una forma comunmente utilizada es la suposición de que la línea está compuesta por n circuitos π equivalentes conectados en cascada; como lo muestra la Figura 1.26. El análisis se efectuá a través de un elemento diferencial de la línea, a una distancia x del extremo de recepción.
FIGURA 1.26 Línea de transmisión con parámetros distribuidos.
Con este procedimiento, el modelo del elemento diferencial de la línea tendrá como parámetros a z dx e y dx , elementos serie y en derivación respectivamente. V e I son los fasores de voltaje y corriente que varían con x . En la Figura 1.27, se muestra una sección elemental para la línea de transmisión que se modela con parámetros distribuidos. El objetivo es escribir las ecuaciones del circuito equivalente.
dV = z dx I + dI
2
=
y
2
dI
= z dx I + z 2
dx (V + dV ) = y
dx
2
dx dI
V + y
2
≈ z dx I
dx dV
2
≈ y
dx
2
V
(1.61)
FIGURA 1.27 Sección elemental de la línea de transmisión.
Despejando dx de las ecuaciones anteriores, se tiene:
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30
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
∂ V abc abc = Z abc I ( X , t ) ∂ X ∂ I abc abc = Y abc V ( X , t ) ∂ X
(1.62)
Derivando respecto a x y sustituyendo: abc ∂ 2 V abc abc abc ∂ I = = Z abc Y abc V ( X , t ) Z 2 ∂ X ∂ X abc ∂ 2 I abc abc abc ∂ V = Y = Y abc Z abc I ( X , t ) 2 ∂ X ∂ X
(1.63)
Se tiene una ecuación diferencial homogénea de la forma dada por: Y ' ' − a Y = 0
(1.64)
La solución a (1.64) tiene la forma siguiente: Y = A1 e
S 1 X
+ A2 e − S X 1
Donde: S 1, 2 = ± a
Al substituir la solución en las ecuaciones de las primeras derivadas, para determinar las constantes de la solución propuesta: dV dx
= z I =
d A1 e
zy x
+ A2 e
− zy x
(
= zy A1 e
dx
zy x
− A2 e
− zy x
) (1.65)
Despejando la corriente: I =
zy z
2
( A e 1
zy x
− A2 e −
zy x
) (1.66)
Si se toma como referencia el extremo receptor, cuando X = 0, V = V R e I=I R: V R = A1 + A2 I R =
1 z
( A1 − A2 ) =
1 Z C
( A1 − A2 )
y
(1.67)
Z C = z / y es la impedancia característica de la línea de transmisión.
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
Se despeja y se substituye para encontrar los valores de los coeficientes: A1 =
V R + Z C I R
A2 =
y
2
V R − Z C I R
2
(1.68)
Entonces, las ecuaciones quedan finalmente como: V = I =
V R + Z C I R
2 V R + Z C I R 2 Z C
e e
γ x
γ x
+ +
V R − Z C I R
2 V R − Z C I R 2 Z C
e e
−γ x
−γ x
(1.69)
γ = z y = α + j β (1.70)
Con γ como constante de propagación. Con α como constante de atenuación, se mide en nepers/km, y representa la atenuación exponencial de la onda electromagnética por unidad de longitud. β es la constante de fase, se mide en radianes/km, y representa un cambio de fase de β radianes por cada unidad de longitud que recorre la onda electromagnética. V =
V R + Z C I R
eα x e j β x +
2
V R − Z C I R
2
e
−α x
e
− jβ x
(1.71)
Se puede definir un voltaje E’ y E’’ : E ' =
V R + Z C I R
E ' ' =
2 V R − Z C I R 2
e
α x
e
β x
e j
−α x
e
− j β x
(1.72)
Al voltaje E’ se le conoce como voltaje incidente y a E’’ como voltaje reflejado. La longitud de onda entre dos puntos que difieren en 2 π radianes se le conoce como λ y tiene unidades de longitud. La velocidad de propagación de la onda es η . λ =
2π
β
m
(1.73)
η = λ f =
2π f
β
m / seg
(1.74)
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32
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
Una forma común de escribir las ecuaciones, es en forma hiperbólica: θ −θ e −e
sen h θ =
2 eθ + e
cosh θ =
−θ
2
(1.75)
Entonces: V = V =
V R + Z C I R
2 V R + Z C I R 2
eγ x +
(eγ
x
V R − Z C I R
2
e
−γ x
− e −γ x ) + V R e −γ x
V = I R Z C senh(γ x ) +
V R
(eγ
x
+ e −γ x )
2 V = I R Z C senh(γ x ) + V R cosh (γ x )
(1.76)
De la misma manera, para la corriente se tiene. I = I R cosh(γ x ) +
V R Z C
senh(γ x )
(1.77)
Para una longitud total de la línea d , las ecuaciones que relacionan el voltaje y la corriente en los extremos de envío y recepción son: V S = V R cosh (γ d ) + I R Z C senh (γ d ) I S = I R cosh(γ d ) +
V R Z C
senh(γ d )
(1.78)
El circuito π equivalente, para una línea de transmisión de parámetros distribuidos es mostrado en la Figura 1.28.
FIGURA 1.28 Equivalente π de la línea de transmisión, parámetros distribuidos.
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33
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
Donde: Z o = Z C senh (γ d ) Y o
2
=
1 Z C
γ d 2
tanh
(1.79)
Aplicando la teoría de redes de dos puertos, se establece que cualquier señal de entrada o de salida puede expresarse como una combinación lineal.
FIGURA 1.29 Red de dos puertos. V s = A V r + B I r I s = C V r + D I r
V s A B V r I = C D I r s (1.80)
Al resolver los circuitos equivalentes, para el circuito de la Figura 1.27, se obtiene: Y o Z o + 1 V R 0 + Z o I R 0 2 Y Y Y I S 0 = o Z o + 2 0 V R 0 + o Z o + 1 I R 0 2 2 2 V S 0 =
(1.81)
Al sustituir los valores para Z o y Y o /2 , se obtiene que las constantes ABCD de la red de dos puertos quedan de la siguiente forma: A = cosh (γ d ) B = Z C senh (γ d ) C =
1 Z C
senh (γ d )
D = cosh (γ d )
(1.82)
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34
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
Despejando las variables del extremo de recepción: −1
V r A B V s I = C D I s r −1
A B D − B 1 C D = AD − BC − C A AD − BC = 1 − Z C senh (γ d ) cosh (γ d ) V r V s I = − 1 senh (γ d ) cosh (γ d ) I s r Z C (1.83)
1.7 MODELADO DEL GENERADOR SÍNCRONO 1.7.1 Introducción La máquina síncrona trifásica esta formada por una parte fija donde se encuentran tres devanados espaciados 120 grados eléctricos y los cuales son excitados con corriente alterna. Esta parte se conoce como estator o armadura, y de una parte móvil conocida como rotor en la que se tiene un devanado excitado con corriente directa y en estado estable gira a velocidad constante. En la figura 1.30 se muestran las partes de una máquina síncrona de dos polos. Eje
de
campo
(CD)
Eje de la fase A
c’
b
Entrehierr o
Rotor Estator
a
a’ I f
Eje de la fase C
Eje de la fase B
b’
c
FIGURA 1.30 Máquina síncrona de dos polos
El generador puede clasificarse en dos tipos debido al rotor: generador de rotor cilíndrico o de polos lisos y generador de polos salientes. El primero se
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
35
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
caracteriza por tener un entrehierro constante entre rotor y estator, por lo tanto la reluctancia del circuito magnético por el que circula el flujo resultante de armadura es constante. En el segundo la reluctancia no es uniforme, esta varía de acuerdo a la posición del rotor. En la figura 1.31 se muestran los dos tipos de rotor. GENERADOR DE POLOS LISOS (ROTOR CILÍNDRICO)
GENERADOR DE POLOS SALIENTES
4 polos
4 polos S
S
N
N
N
N S
S FIGURA 1.31 Tipos de rotores
1.7.2 Generador de polos lisos (rotor cilíndrico) En la figura 1.32 se muestra el circuito equivalente de un modelo simplificado de generador síncrono de polos lisos para el análisis de estado estable. Ra
r
jX s
E
r
I
r
r
V
E
δ φ
r
r
V
jX s I r
r
Ra I
I FIGURA 1.32 Circuito equivalente y diagrama fasorial del generador síncrono de polos lisos.
La ecuación de voltajes del circuito es: r r r E = V + ( Ra + jX s ) I (1.84)
donde:
r
E = Voltaje interno. Ra = Resistencia de armadura. X s = Reactancia síncrona. r V = Voltaje de terminales. ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
36
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
En (1.84) se utiliza notación fasorial, esto es: r r o E = E ∠ δ V = V ∠0 La magnitud del voltaje interno es proporcional a la corriente de campo: E = k I f La potencia compleja en terminales se obtiene al desarrollar (1.85): S = V I ∗ (1.85)
Considerando que la impedancia de la maquina está dada como: r
Z = Ra + jX s = Z ∠α (1.86)
donde: Z = Ra2 + X s2
α = tan −1
Ra X s
Las componentes activa y reactiva de la potencia generada resultan: P= Q=
VE Z VE Z
cos(α − δ ) − sen(α − δ ) −
V 2 Z V 2 Z
cos α sen α (1.87)
Generalmente los valores de la resistencia de armadura son muy pequeños comparados con los valores de la reactancia síncrona, por lo que es usual eliminar la resistencia de las expresiones (1.87), resultando: P= Q=
VE X s V X s
senδ
[ E cos δ − V ] (1.88)
Considerando que V y E se mantienen constantes, las potencias activa y reactiva dependen solamente del ángulo δ, el cual se define positivo para la condición en que E está adelantado con respecto a V.
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37
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
1.7.3 Generador de polos salientes En el modelo del generador de polos salientes se distinguen dos trayectorias de flujo magnético; una que esta alineada con el eje de los polos (eje directo) y otra a 90 grados eléctricos de la primera, (eje en cuadratura). La reactancia síncrona se presenta ahora por las componentes X d y X q sobre estos ejes. En la figura 1.33 se muestra el diagrama fasorial de las variables del generador proyectadas sobre los ejes d y q. Se ha supuesto que el valor de la resistencia de armadura es despreciable.
I q
a
r
E
d
δ
e
φ
b
δ
I d
c
jI q X q
r
I
r
V
jI d X d
FIGURA 1.33 Diagrama fasorial del generador síncrono de polos salientes
Las componentes de la corriente se pueden obtener mediante: I d = I q =
E − V cos δ X d Vsenδ X q
(1.89)
La componente real de la corriente de armadura puede expresarse en términos de las corrientes I d e la figura 1.33 como sigue: I q de ac = ab + de I cos φ = I q cos δ + I d sen δ (1.90)
Por la definición de potencia activa y sustituyendo (1.90). P = VI cos φ P = V ( I q cos δ + I d sen δ ) (1.91)
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
Sustituyendo (1.89) en (1.91) y simplificando se obtiene: P=
VE X d
sen δ +
V 2
1 1 − ( ) sen(2δ ) 2 X q X d (1.92)
En una forma similar se deriva la expresión para la potencia reactiva. V 2 X d − X q V 2 1 1 + cos δ + ( ) cos(2δ ) − ( ) Q= X d X d X q 2 2 X d X q VE
(1.93)
El segundo término de (1.92) es conocido como la potencia de saliencia, el cual no aparece en la ecuación (1.88) del generador de polos lisos. 1.7.4 Curva de capabilidad del generador de polos lisos (rotor cilíndrico) Un generador síncrono es capaz de generar potencia activa y reactiva dentro de cierto rango de valores. Los límites de generación se pueden alcanzar cuando se opera a la máxima temperatura permitida en algún elemento del generador. La elevación de la temperatura depende de la disipación de las pérdidas en el hierro y en los devanados. Las pérdidas en el hierro son prácticamente constantes; por lo que el límite de temperatura y por lo tanto los límites de capacidad dependen de las pérdidas en los devanados del generador. Los puntos (P,Q) que corresponden a los límites de operación definen lo que se conoce como carta de operación o curva de capabilidad del generador síncrono. La curva de capabilidad de un generador se deriva de manera simplificada sin tomar en cuenta el efecto de saturación y despreciando la resistencia y capacitancia en los devanados. Cuando la máquina síncrona opera en sus valores nominales, es decir; valores a los cuales los devanados y el núcleo alcanzan la temperatura de régimen de diseño, se obtienen las fronteras de la región de operación dentro de la cual la máquina no sufre daño ni envejecimiento prematuro. La curva de capabilidad presenta los siguientes límites: Límite de corriente de estator: la corriente que circula por el estator produce pérdidas I2R y por lo tanto un calentamiento. Existe un límite de corriente, ya considerando el funcionamiento adecuado de los sistemas de enfriamiento, arriba del cual la máquina resultará dañada permanentemente. Dicha corriente se conoce como nominal (Inom). Asociada a la corriente nominal y evaluada a voltaje nominal se tiene la potencia aparente nominal:
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CAPÍTULO 1
S = 3 V nom I nom (1.94)
En la ecuación (1.94), el calentamiento debido a la corriente nominal, restringe la región de operación a puntos dentro del semicírculo con centro en el origen como lo muestra la figura 1.34. Límite de la corriente de campo: el calentamiento en el devanado de campo impone otro límite en la operación del generador. Recordando que el voltaje interno depende directamente de la corriente en el devanado de campo de acuerdo a: E = k I f (1.95)
Además partiendo de las ecuaciones (1.88): P= Q=
VE X s V X s
sen δ
[ E cos δ − V ]
Reescribiendo la segunda ecuación y elevando al cuadrado: 2
2 VE cos δ V + = Q X s X s
2
(1.96)
Además como: 2
VE P − sen δ = 0 X s 2
Podemos reescribir lo siguiente: 2 2 VE V 2 2 2 sen δ + Q + P − X X s s
2
VE cos 2 δ = 0 − X s (1.97)
Simplificando se tiene: 2
VE V 2 2 = P + Q + X X s s
2
(1.98)
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CAPÍTULO 1
El lugar geométrico que describe esta ecuación es un círculo: ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
V 2 con centro en P = 0, Q = − y radio X s
VE X s .
Los límites térmicos para las corrientes de campo y armadura se intersectan en el punto m , como se muestra en la figura 1.4. Este punto representa los MVA de placa de la máquina y el factor de potencia nominal. Limite de calentamiento en la región extrema de la maquina: si el límite térmico en el cuarto cuadrante se considera como la corriente de armadura, la región de operación se extendería hasta el punto e de la figura 1.34. sin embargo se debe considerar el calentamiento producido en los extremos de la armadura (cabezales de bobinas), el cual es importante en máquinas de rotor sólido subexcitadas. Este límite de calentamiento se determina experimentalmente, y en forma aproximada corresponde a una línea recta que se traza desde el punto de factor de potencia (0.9) en atraso sobre la curva del límite de corriente de estator(punto m’), hasta el punto en que se absorbe el 60 % de potencia reactiva (-0.6Q ), con cero potencia activa. Este límite se muestra en la figura 1.34. Límite práctico de estabilidad: el límite teórico de estabilidad ocurre en δ = 90 o . Sustituyendo este valor de δ en las ecuaciones (1.88) se obtiene las potencias activa y reactiva generadas: Pmax =
VE X s
Qmax = −
V
2
X s (1.99)
En la figura 1.34 este punto de operación corresponde a la intersección de la recta que se traza desde el punto e horizontalmente a la derecha con la curva del límite de corriente de campo (punto h). Los puntos que forman la recta horizontal desde el punto e hasta la intersección (punto h), son los puntos que forman el límite teórico de estabilidad. La característica común de estos puntos es que en todos ellos se absorbe una potencia reactiva igual a Qmax .
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
Para evitar los problemas que implica operar cerca del límite teórico de estabilidad. Se determina un límite práctico reduciendo las magnitudes de potencia activa y reactiva. La curva del límite práctico se traza considerando un margen del 5 al 10 % de la potencia nominal de la unidad, de acuerdo al siguiente procedimiento: Se divide la longitud del radio (e – h) en partes iguales (5 o más), y se trazan los semicírculos correspondientes a cada división. A cada división de los semicírculos sobre la recta (e – h) se resta el margen considerado en un principio, determinando un punto nuevo. Se trazan perpendiculares a (e - h) apoyadas sobre los puntos del inciso b). Los puntos de la curva del límite práctico (i - j), se forman por la intersección de estas perpendiculares con los semicírculos. Además de las restricciones anteriores se debe mencionar el límite de potencia mínima, para unidades térmicas, el cual es impuesto por la caldera; y el límite de potencia máxima, que es una restricción del primomotor. En la figura 1.4 también se muestran estos límites. Límite de corriente de campo
+Q
Límite de corriente en el estator
S = 3 V nom I nom
Límite mínimo de la fuente de energía mecánica
VE r
X s
MVAnom
m fp = 0.9
+
φ
δ
(0,−
V 2 X s
P
1 pu
0
m′
Límite máximo de la fuente de energía mecánica
j
)
− 0.6 Q i e
−Q
h
Límite de calentamiento de cabezales o de subexcitación
Límite práctico de estabilidad
FIGURA 1.34 Curva de capabilidad del generador síncrono de polos lisos (rotor cilíndrico)
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
1.7.5 Curva de capabilidad del generador de polos salientes La curva de capabilidad de capabilidad para un generador de polos salientes se determina de manera semejante que para la máquina de polos lisos. Los principales límites son: Límite de corriente de estator: es idéntico a del generador de polos lisos. El lugar geométrico es un círculo con radio S y centro en el origen de los ejes de potencia activa y reactiva, este se muestra en la figura 1.35. Límite de la corriente de campo: en este caso se consideran las ecuaciones de potencia activa y reactiva del generador de polos salientes (1.92) y (1.93), agrupadas en forma compleja: S =
VE X d
senδ +
V 2
(
1
2 X q
−
1 X d
) sen(2δ )
VE V 2 X d − X q V 2 1 1 cos δ + ( ) cos( 2δ ) − ( ) + X d X X X X 2 2 d q d q
+ j
(1.100)
Reordenando los términos de una manera más conveniente, se tiene: S = − j
+
V 2
(
1
2 X d
VE X d
+
1 X q
)+
V 2
(
1
2 X q
−
1 X d
)( sen(2δ ) + j cos(2δ ))
( senδ + j cos δ ) (1.101)
Cada uno de los tres términos de (1.91) se puede representar por un fasor: S = A + b + C
El fasor A es: A = − j
V
2
(
1
2 X d
+
1 X q
)
(1.102)
Para un generador de polos lisos es común considerar fasor A se convierte en: ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
X d = X q ;
por lo que el
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
A = − j
V
2
X d (1.103)
El ángulo de este fasor no cambia para ambos tipos de máquinas, y tampoco cambia durante la operación de la unidad. Es el ángulo de la impedancia del generador, en este caso es − 90 o . El fasor B es: B =
V 2
(
1
2 X q
−
1 X d
)( sen(2δ ) + j cos(2δ ))
(1.104)
Este fasor no existe prácticamente en las máquinas de polos lisos. Para las máquinas de polos salientes el fasor B da origen al llamado círculo de reluctancia. Si la corriente de excitación es nula, o aún con una pequeña excitación negativa, la unidad de polos salientes es capaz de desarrollar un par o potencia, que se debe a la diferencia de reluctancias entre el eje directo y el de cuadratura, llamado efecto de saliencia. El ángulo del fasor B varía en función del ángulo 2δ . El fasor C es: C =
VE X d
( senδ + j cos δ ) (1.105)
Este factor describe un círculo, llamado de excitación, ya que la magnitud de este fasor es proporcional a la corriente de excitación. En las máquinas de rotor sólido el fasor C es un círculo con centro fijo, situado en el extremo del fasor A. En las máquinas de polos salientes el fasor C no tiene un centro fijo, sino que se desplaza sobre la circunferencia que describe el fasor B, como se muestra en la figura 1.35. Límite de estabilidad permanente: para generadores de polos salientes el obtener los límites de operación en condiciones de baja excitación resulta más complejo que para los generadores de polos lisos, ya que para cada valor de corriente de campo, la magnitud y el ángulo del fasor C cambian. El límite teórico de estabilidad permanente se obtendría reduciendo paulatinamente la corriente de campo, desde su valor nominal, pasando por cero, hasta obtener valores de excitación negativa. El límite práctico de estabilidad se obtiene al dejar un margen de un 10 % sobre los valores de la curva teórica.
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CAPÍTULO 1
Sin embargo se debe considerar que en este cuadrante el límite crítico está dado por la corriente de estator, por lo que el límite práctico de estabilidad consiste solamente de un semicírculo con radio igual a la magnitud del fasor B más el margen del 10 % del valor de potencia nominal. De la figura 1.33, se puede observar lo siguiente: E 0 = V cos(δ ) + I d X d I d = Isen(δ + φ ) (1.106)
el ángulo δ se puede obtener de la misma figura, observando que: Vsen(δ ) = I q X q I q = I cos(δ + φ ) Vsen(δ ) = I X q cos(δ + φ ) (1.107)
de donde se obtiene: tan(δ ) =
I X q cos(φ ) V + I X q sen(φ ) (1.108)
de la misma figura 1.33, el voltaje interno de la maquina es el siguiente: E = V cos(δ ) + I X d sen(δ + φ )
(1.109)
También se puede calcular el valor máximo de δ apartir de la ecuación (1.92). Utilizando la derivada de esta ecuación con respecto a δ se puede saber donde se tiene una pendiente igual acero. Identificando terminos se tiene lo iguiente: 2
P=
1 1 VE − ( ) sen(2δ ) + senδ 2 X q X d X d
V
P = Bsen ( 2δ ) + Csenδ
(1.110)
∂P = 4 B cos 2 (δ m ) + C cos δ m − 2 B = 0 ∂δ
C + δ m = cos − 8 B −1
(1.111)
C 2 1 + 8 B 2 (1.112)
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CAPÍTULO 1
Este valor máximo que puede alcanzar el ángulo δ sirve para trazar la recta apartir de donde termina el fasor B a un angulo (2δ m ) hasta la curva del límite de corriente de campo, de la cual se traza el limite teórico de estabilidad permanente. En la figura 1.35 se muestran los límites de operación para el generador de polos salientes. +Q S = 3 V nom I nom
Límite de corriente de campo Límite de corriente en el estator MVAnom m
1 pu
0
C
Límite práctico de Estabilidad (margen de 10%)
P
Límite práctico de estabilidad permanente
δ
Circulo de reluctancia
10 %
2δ B A
δ m
2δ m
−Q
Límite teórico de estabilidad permanente
FIGURA 1.35 Curva de capabilidad del generador síncrono de polos salientes
1.7.6 Condensador síncrono Cuando la máquina síncrona se conecta a una barra infinita, su velocidad y voltaje de terminales permanecen fijos e inalterables. Sin embargo, dos variables controlables son la corriente de campo y el par mecánico en la flecha. La I
variación de la corriente de campo f (conocida como control del sistema de excitación), se aplica al generador para suministrar o absorber una cantidad variable de potencia reactiva.
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1
Suponga que el generador esta entregando potencia de manera que hay cierto ángulo δ entre el voltaje de terminales
V de
la máquina y el voltaje
generado E , como se muestra en la figura 1.36. La potencia compleja entregada al sistema por el generador está dada en por unidad por: rr
S = P + jQ = V t I ∗ = V t I (cos φ + jsenφ ) (1.113)
Donde: P = V t I cos φ Q = V t Isenφ )
(1.114)
Se puede observar que Q es positiva para factores de potencia en atraso ya que el ángulo φ es numéricamente positivo. Si se decide mantener un determinado suministro de potencia activa P desde el generador al sistema de voltaje constante, de debe conservar constante I cos φ como lo muestra la ecuación (1.114). En la figura 1.36 a) se muestra el lugar geométrico de potencia activa constante y bajo estas condiciones, conforme se varía la corriente de CD de campo I f , el voltaje generado E varía proporcionalmente, manteniéndose constante I cos φ . Se define como excitación normal, la condición en que: E cos δ = V
y se dice que la máquina esta sobreexcitada o subexcitada según
(1.115) E cos δ > V
E cos δ < V ,
o
respectivamente. Para la condición de la figura 1.36a), el generador está sobreexcitado y suministra potencia reactiva Q al sistema. Así desde el punto de vista del sistema, la máquina actúa como un capacitor. La figura 1.36b) corresponde a un generador subexcitado que suministra la misma cantidad de potencia activa a una corriente en adelanto al sistema, se puede considerar que esta tomando corriente en atraso del sistema. El generador subexcitado toma potencia reactiva del sistema y en este sentido actúa como un inductor.
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 1 r
E r
jX d I
δ
I X d cos φ
a)
r
φ
V
I X d sen φ
r
I r
E
I X d δ
E cos δ r
c)
Lugares geométricos de potencia constante para : E, I
r
V
I I X d sen φ r
E
r
I
r
I X d cos φ
b)
jX d I
φ
δ
FIGURA 1.36 Diagrama fasorial que muestra el lugar geométrico de un generador a)sobreexcitado, b) con excitación normal, c) generador subexcitado.
Se debe recordar que la potencia real P , se controla abriendo o cerrando las válvulas por las que el vapor o agua entran a la turbina. Si la potencia de entrada al generador se incrementa, la velocidad del rotor empezará a aumentar y si la corriente de campo
I f
, y por lo tanto
E
se mantienen constantes, se
incrementará el ángulo δ entre E y V . El incremento en δ da como resultado un mayor I a cos φ y por lo tanto el generador entrega mayor potencia activa P a la red.
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 2
CAPITULO 2 SISTEMA POR UNIDAD
OBJETIVO Al término del capítulo el ingeniero operador de subárea será capaz de utilizar el sistema por unidad para simplificar la representación de los elementos y en la solución. 2.1 INTRODUCCIÓN Una vez que se dispone de los modelos de los elementos que componen el SEP, este debe representarse interconectado de alguna manera los modelos correspondientes. Los fabricantes de equipo eléctrico especifican normalmente las características del mismo en forma porcentual o por unidad con respecto a valores nominales, esto es, valores en condiciones de carga u operación normal de diseño. Debido a la gran diversidad de equipo, surge la necesidad de establecer bases comunes con respecto a las cuales se refieran los parámetros de los circuitos equivalentes, para estar en posibilidad de interconectar los modelos. Esta convención introduce algunas simplificaciones en la representación de los elementos y en la solución computacional. Un sistema por unidad se especifica expresando la tensión, la corriente, la potencia y la impedancia de un circuito con referencia a un valor base que se elige para cada una de tales magnitudes. El valor por unidad de una magnitud cualquiera se define como la razón de su valor al valor base: Valor por unidad =
Valor real Valor base
(2.1)
El valor base siempre tiene las mismas unidades que el valor real, forzando al valor unitario a ser adimensional. El valor en por ciento es igual a cien veces el valor por unidad. Los métodos de cálculo que utilizan los valores por unidad o por ciento son mucho más sencillos que aquellos que emplean los valores reales en Volts, Ohms, KVA, etc.
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
49
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 2
Las tensiones, corrientes, potencias e impedancias están relacionadas entre sí, de tal forma que seleccionando dos cantidades base, de entre las cantidades de interés, se pueden encontrar las otras dos. Es común seleccionar el voltaje y la potencia como valores base. 2.2 SISTEMAS MONOFÁSICOS Se partirá de que se seleccionan el voltaje base (V B ) y la potencia base (S B ) y se requiere encontrar la corriente base ( I B ) y la impedancia base ( Z B ) de un sistema de potencia monofásico. Las magnitudes reales cumplen con: V = Z I
(2.2) S = V I
(2.3)
Despejando la corriente en la ecuación (2.3), en función de valores base, se tiene: I B =
S B V B
(2.4)
Despejando la impedancia en la ecuación (2.2): Z B =
V B I B
(2.5)
Sustituyendo la ecuación (2.4) en la (2.5) 2
Z B =
V B
S B
(2.6)
2.3 SISTEMAS TRIFÁSICOS BALANCEADOS En sistemas trifásicos también se partirá de que se seleccionó un voltaje y una potencia base y se quiere encontrar la corriente y la impedancia base. Se utilizará la siguiente notación: S φ
V LN
Potencia Monofásica Voltaje de Línea a Neutro
S 3φ V LL
Potencia Trifásica Voltaje de Línea a Línea
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50
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 2
En un sistema trifásico balanceado se tiene: V LN =
V LL
3
(2.7) S φ =
S 3φ
3
(2.8)
Sustituyendo las ecuaciones (2.7) y (2.8) en la ecuación (2.4) se tiene: I B =
S φ V LN
S 3φ
=
3 V LL
(2.9)
Sustituyendo las ecuaciones (2.7) y (2.9) en la ecuación (2.5) se tiene que la impedancia base resulta: Z B =
V LN I B
2
=
V LL S 3φ
(2.10)
2.4 CAMBIO DE BASE DEL SISTEMA POR UNIDAD Los datos de placa de la mayoría del equipo y elementos del sistema de potencia están especificados tomando generalmente como base los valores nominales de operación de cada uno de ellos, por lo que se hace necesario establecer una base común cuando se desea analizar un problema que los involucra a todos. Una vez elegidos los valores base comunes, es necesario expresar los parámetros de todos los elementos en esa base común. Esto es lo que se denomina como un “cambio de base2, y se realiza como se explica a continuación. (1)
(1)
( 2)
( 2)
Z = Z PU Z B Z = Z PU Z B
(1) (2) (1) Z B Z PU = Z PU ( 2) Z B
(2.11)
Sustituyendo la ecuación (2.6) en la ecuación (2.11) se expresa el cambio de base para impedancia en función de los voltajes y potencias base. 2
( 2) Z PU
(1) = Z PU
V B(1) S B( 2) V ( 2) S (1) B B (2.12)
Para corrientes se tiene que: (1)
(1)
( 2)
(2)
I = I PU I B I = I PU I B
(1) ( 2) (1) I B I PU = I PU ( 2) I B
(2.13)
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
51
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 2
Sustituyendo la ecuación (2.4) en la ecuación (2.13) se obtiene el cambio de base para corrientes en función de los voltajes y potencias base. ( 2) I PU
=
(1) I PU
(1)
( 2)
(2)
(1)
S B V B
S B V B
(2.14)
Para voltajes se tiene que: (1)
(1)
( 2)
( 2)
V = V PU V B V = V PU V B
(1) ( 2) (1) V B V PU = V PU ( 2) V B
(2.15)
Para potencia se tiene que: (1)
(1)
( 2)
(2)
S = S PU S B S = S PU S B
(1) ( 2) (1) S B S PU = S PU ( 2) S B
(2.16)
2.5 EJEMPLO Convertir al sistema por unidad los parámetros del S.E.P. siguiente, tomando como base de potencia 100 MVA y como voltaje base 115 kV en la línea de transmisión. T1
LT
T2
W
W
U1
FIGURA 2.1
U2
Sistema para el ejemplo
Para la Línea de Transmisión: se tiene que representar la impedancia en P.U. en la base requerida 2
Z B =
V B
S B
=
115 2 100
= 132.25 p.u.
Z p.u. =
Z Ω Z B
=
500 132.25
= 3.78 p.u.
Para Transformador 1: se tiene que representar la impedancia en P.U. del transformador en la base requerida. En 120 kV 2
V base = 115 kV
( 2) Z PU
(1) = Z PU
2 V B(1) S B(2) 120 100 V ( 2) S (1) = 0.1 115 100 = 0.1088 p.u. B B
En 14 kV
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FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 2
14 = 13.41 kV 120
V base = 115
2
( 2) Z PU
=
(1) Z PU
2 V B(1) S B( 2) 14 100 V ( 2) S (1) = 0.1 13.41 100 = 0.1088 p.u. B B
Para Transformador 2: se tiene que representar la impedancia en P.U. del transformador en la base requerida. En 120 kV 2
( 2)
V base = 115 kV
Z PU
2 (1) ( 2) 120 100 (1) V B S B = Z PU ( 2) V S (1) = 0.11 115 100 = 0.1198 p.u. B B
En 14 kV 13.8 = 13.22 kV 120
V base = 115 2
( 2)
Z PU
2 (1) ( 2) 13.8 100 (1) V B S B = Z PU ( 2 ) V S (1) = 0.11 13.22 100 = 0.1198 p.u. B B
Para el generador 1: se tiene que representar la impedancia en P.U. de la máquina a la base requerida 14 = 13.41 kV 120
V base = 115
2
( 2)
Z PU
2 (1) ( 2) 13.8 100 (1) V B S B = Z PU ( 2) V S (1) = 0.010 13.41 100 = 0.010590 p.u. B B
Para el generador 2: se tiene que representar la impedancia en P.U. de la máquina a la base requerida 13.8 = 13.22 kV 120
V base = 115
2
( 2)
Z PU
2 (1) ( 2) 14 100 (1) V B S B = Z PU ( 2) = 0.015 = 0.01529 p.u. (1) 13 . 22 110 V S B B
Sistema con los datos a la base de 115 kV y 100 MVA
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
53
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 3
CAPITULO 3 ANÁLISIS NODAL
OBJETIVO Al término del capítulo el ingeniero operador de subárea será capaz de utilizar la técnica de análisis nodal. 3.1 INTRODUCCIÓN El análisis nodal se basa en aplicar el balance de corrientes en cada nodo del sistema, y las variables de mayor interés son los voltajes nodales y las inyecciones de corriente. Un sistema eléctrico puede ser perturbado en diversas formas, pero los casos comunes se pueden simular eficientemente mediante cambios en las inyecciones nodales. Así un cambio de carga o generación equivale a modificar las inyecciones de corriente o potencia en el sistema. Otras modificaciones en la red de transmisión exigen alterar y determinar las inyecciones en diferentes puntos del sistema. En especial, para el estudio de fallas y flujos de potencia en un S.E.P. las técnicas modernas utilizan el análisis nodal como base para las formulaciones utilizadas. 3.2 MATRIZ NODAL DE ADMITANCIAS El análisis de la distribución de corrientes en una rede permite establecer ecuaciones que definen el comportamiento del sistema. En el caso multinodo se genera la matriz de admitancias para representar la red eléctrica. La ecuación matricial utilizada para el análisis nodal es la siguiente: Y BUS V = I
(3.1)
donde Matriz nodal de admitancias Y BUS V Vector de voltajes nodales I Vector
de inyecciones nodales
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
54
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 3
En la ecuación (3.1) el vector de corrientes representa la excitación del sistema y el vector de voltaje es el vector de respuesta ante un estímulo. La matriz de admitancias representa la topología de la red. Para comprender mejor la ecuación (3.1), se desarrolla en detalle la ecuación de corriente para el nodo 2. En la Figura 3.1 se muestra el caso estudiado. 3
1
2
4
5 REF
FIGURA 3.1
Determinación de la ecuación nodal para el nodo 2
La ecuación de corrientes para el nodo 2 se obtiene del balance nodal de corrientes. Y BUS V = I
I 2 = I 21 + I 23 + I 24 + I 25 + I REF
(3.2)
A la vez, cada corriente en una rama del sistema se puede expresar en función de los voltajes nodales (V 1,V 2,V 3,...) y de las admitancias de rama (Y 21,Y 23,Y 24,Y 25,Y 2 REF ) . I 2 = Y21 (V2 - V1 ) + Y23 (V2 - V3 ) + Y24 (V2 - V4 ) + Y25 (V2 - V5 ) + Y2REF (V2 - VREF )
(3.3)
Agrupando términos: I 2 = V2 (Y21 + Y23 + Y24 + Y25 + Y2REF ) - Y21V1 - Y23 V3 - Y24 V4 - Y25 V5 - Y2REF VREF
(3.4)
De la ecuación (3.4) se obtiene las reglas para la formación de la matriz de admitancias. El elemento propio (diagonal) está compuesto por la suma de admitancias de los elementos conectados a un nodo. Para el nodo 2 el elemento es: Y21 + Y23 + Y24 + Y25 + Y2REF .
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
55
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 3
Los elementos fuera de la diagonal se definen como el negativo de la admitancia entre un nodo y sus nodos vecinos. Para la conexión entre nodos i,j el elemento es Yij = - Yij . De las reglas anteriores se observa que la matriz de admitancias contiene información de conectividad de la red eléctrica. Es decir, el elemento (i,j ) tendrá calor si existe la rama ( i,j ). 1
2
3
4
5
1
X
X
2
X
X
X
X
X
3
X
X
4
X
5
X
3 2
1
4
5 REF
X X
3.2.1 Ejemplo Determinar la matiz de admitancia del siguiente sistema: 1
1 Ω
2 3
1
4 5
Ω
Ω
1
Ω
4
Ω
1 11 -3 2
7
8
Ω
Ω
2
3 9
Ω
1
Ω
6
Ω
3 5
2
Ω
4
5
6
7
-7
0
0
0
0
-5
0
0
0
-2
-9
0
-3 16 -8
3 -7
-8
26 0
0
-5
0
10 -4
0
0
5 0
0
-2
-4
9
0
-3
6 0
0
-9
0
0
10 0
7 0
0
0
0
-3
0
4 7
3
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
3
56
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 3
3.3 MATRIZ NODAL DE IMPEDANCIAS La ecuación (3.1) puede ser expresada en forma alterna de la manera siguiente: V = Z BUS I
donde
−1
Z BUS = Y BU
representa la matriz nodal de impedancias
La ecuación (3.5) permite un cálculo directo de los voltajes nodales en función de las inyecciones de corriente. corriente. En el caso lineal, lineal, los voltajes se expresan como una combinación lineal de las corrientes nodales inyectadas. La matriz Z se puede interpretar como una matiz de d e coeficientes de sensitividad. A diferencia de la matriz de admitancias, que se forma por inspección, la matriz de impedancias no se forma directamente y requiere de un proceso más elaborado. Generalmente en la matriz Z todos los elementos tienen valor, lo cual hace que el voltaje nodal en un punto del sistema dependa de todas las inyecciones nodales. Esto indica que la matiz de impedancias impedancias contiene información relacionada con la distribución de corrientes en toda la red. La matriz Z BUS como se ha comentado se puede calcular a través de la matriz inversa de Y BUS . Otra forma de poder calcular dicha matriz es a través de inyecciones de corriente en todos los nodos y superponer sus efectos. Del sistema mostrado en la Figura 3.2 se tomará como ejemplo para encontrar la matiz Y BUS y Z BUS . 2 1
J1 J1
J0.5
4
J2
3 J0.5
FIGURA 3.2
Sistema de prueba
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
57
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 3
1
2
3
4
1
2
-1
-1
0
2
-1
3.5
-0.5
3
-1
-0.5
4
0
1
2
3
4
1
1.25
1
0.5
1
-2
2
1
1.5
0.5
1.5
3.5
0
3
0.5
0. 5
0.5
0.5
0
2
4
1
1. 5
0.5
2
-2
ZBUS
YBUS V = Z BUS I
1.25
V1
1
0.5
1
2
I1
1 V2
1
1.5
0.5
I2
1.5
J1 J1
= V3
0.5
V4
0.5
1
0.5
1.5
4
J2
I3
0.5
0. 0 .5
J0.5
J0.5
I4
2
3
ZBUS
V1 = 1.25 I 1 + 1.0 I2 + 0.5 I3 + 1.0 I4 V2 = 1.00 I 1 + 1.5 I2 + 0.5 I3 + 1.5 I4 V3 = 0.50 I 1 + 0.5 I2 + 0.5 I3 + 0.5 I4 V4 = 1.00 I 1 + 1.5 I2 + 0.5 I3 + 2.0 I4
Si se desea obtener la circulación de corriente en la rama R-S , al inyectar una corriente unitaria en el nodo K se se calcula de la siguiente manera: 1
2
3
4
1
1.25
1
0.5
1
2
1
1.5
0.5
1.5
IRS = 3
0.5
0.5
0.5
0.5
4
1
1.5
0. 0 .5
2
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
ZRK - ZSK ZRS
58
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 3
3.4 CARACTERÍSTICAS DE MATRICES El análisis nodal se puede realizar utilizando las matrices de admitancias o de impedancias, cada una de las cuales tiene características propias. En la Tabla Tabla 3.1 se resume lo más importante de la comparación. Tabla 3.1 Característica de la Matriz Y BUS y Z BUS . MATRIZ
DETERMINACION
ADMITANCIAS
INSPECCION (Fácil)
IMPEDANCIAS
ALGORITMO (Complicado)
TIPO
INFORMACION
ELEMENTOS
DIRECTA
INFORMACION
MATRIZ CIRCUITO
LOCAL
SI
SISTEMA
NO
DISPERSA TOPOLOGÍA LLENA
RELACION
CON
SENSITIVIDAD V-I
En la Tabla 3.1 se observa características características deseables de ambas matrices. Se la matriz de admitancias, su fácil obtención y su dispersidad. Por otro lado, la la matriz de impedancias contiene información muy valiosa a nivel de sistema. 3.5 EQUIVALENTE THEVENIN Se examina la relación entre los elementos de Z BUS y la impedancia de Thevenin que representa la red en cada uno de los nodos. Con el fin de establecer una notación, se designara a los voltajes de nodo que corresponden a los valores iniciales I 0 de las corrientes nodales I mediante V 0 = Z BUS I 0 . Cuando las corrientes cambian de sus valores iniciales a sus nuevos valores 0 I = ∆ I , los nuevos voltajes nodales están dados por la siguiente ecuación de superposición.
)
V = Z BUS I 0 + ∆ I = Z BUS I 0 + Z BUS ∆I
(3.5)
donde representa los cambios que hay en los valores originales de los voltajes nodales. ∆V
En la Figura 3.3 se muestra la forma esquemática de un sistema con el el nodo k representativo representativo que se ha extraído del sistema junto con el nodo de referencia. En principio se considera que el circuito no está energizado, de modo que las corrientes y los voltajes son cero ( I 0 , V 0 ).
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
59
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 3 l
∆V1
Red original Zbarra
2
∆V2
3
∆V3
.
n
∆Vk
.
+
∆Vn
Vk 0
∆Ik
Referencia
-
FIGURA 3.3
Sistema con el nodo k y el nodo de referencia extraídos
Entonces, una corriente de ∆ I K se inyecta dentro del sistema por medio de una fuente de corriente que se conecta al nodo de referencia. Los cambio de voltaje resultantes en los nodos del sistema (∆V1, ∆V2 …∆VN) está dadas por : ∆V1
Z11
Z12
∆V2
Z21
Z22
∆Vk ∆Vn
=
…
ZK1
…
Zn1
Z1K
…
Z2k
…
Z1n
0
Z2n
0
…
…
… … … … …
Zk2
Zkk
…
Zkn
…
… … … … …
Zn2
Znk
…
…
Znn
Ik 0
(3.6)
Siendo ∆ I K en la fila k el único elemento diferente de cero en el vector de corriente. Los voltajes nodales incrementales se obtienen a través de la multiplicación de filas por columnas de la ecuación (3.7) que son numéricamente iguales a los elementos en la columna k de Z BUS multiplicados por la corriente ∆ I K . V k = V k 0 + Z kk ∆I K
(3.7)
El circuito que corresponde a esta ecuación se muestra en la Figura 3.4 de ,a que es evidente que la impedancia de Thevenin en el nodo k del sistema está dada por: Z th = Z zz
(3.8)
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
60
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 3
Red original Zbarra + Vk0 -
k +
Zth = Zkk
Vk ∆Ik
Referencia -
FIGURA 3.4
Circuito equivalente de Thevenin
3.6 EQUIVALENTE DE NORTON El equivalente de Norton supone: Una fuente de corriente en paralelo con la impedancia de Thevenin. La fuente de corriente se calcula con el voltaje V k 0 entre la impedancia de Thevenin. Para llevar a cabo el equivalente de Norton es necesario llevar a cabo el equivalente de Thevenin. k +
Vk 0 Zth
Zth = Zkk
∆Ik
Vk
Referencia
FIGURA 3.5
Circuito equivalente de Norton
3.7 EJEMPLO Encontrar el equivalente Thevenin y Norton visto desde la resistencia de 1KΩ del siguiente circuito: 2 KΩ
ww
4V
+ -
3 KΩ
ww
2 mA
w w 1 KΩ
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
61
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 3
Para llevar a cabo el equivalente se emplearan reducciones tipo Norton y Thevenin
2 KΩ
3 KΩ
ww
+
4V
3 KΩ
ww
ww
2 mA
-
w w 1 KΩ
NORTON
2 mA
w 2 KΩ w w
3 KΩ
4 mA
ww
w w 1 KΩ
2 KΩ w w
3 KΩ
2 KΩ
ww
w w 1 KΩ
2 mA
ww w w 1 KΩ
8V
THEVENIN
5 KΩ
ww
w w 1 KΩ
8V
≈
8/5 mA
w w 1 KΩ
5 KΩ w w
Para comprobar ambos circuitos son equivalentes se calcula la corriente que circula por la carga de 1 KΩ I1KΩ =
V = 8 A R 6 THEVENIN
I1KΩ =
8 5
( 5 5+ 1
(=
8 5
( 56
(=
8 A 6
NORTON
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
62
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
CAPITULO 4 ANÁLISIS DE FALLAS OBJETIVO Al término del capítulo el ingeniero operador de subárea identificará las diferentes tipos de fallas y utilizar las variantes en el proceso de solución.
4.1 INTRODUCCIÓN En el diseño, planificación y operación de los sistemas de potencia los estudios de fallas son comúnmente utilizados con diferentes propósitos. En algunos casos, para la especificación de equipo de interrupción, en otros, para definir estrategias de operación sin violar limites de corto circuito, también se emplean para definir el ajuste de protecciones o bien para analizar casos específicos de fallas. La ocurrencia de fallas en un sistema es de naturaleza aleatoria, de ahí que su estudio requiera bases sólidas para la definición del problema y la aplicación de los resultados. El momento en que ocurre la falla, el tipo de falla, el lugar en que ocurre, las fases involucradas, la evolución de la falla, etc., son aspectos importantes para el estudio. Las fallas son conexiones no planeadas que perturban el equilibrio del sistema, con lo cual se inicia un proceso dinámico y la reacción de elementos y controles. La falla tiene un impacto variable a lo largo del tiempo, teniendo los valores mayores de corriente en los primeros ciclos del disturbio. Aquí se debe señalar que el estudio de fallas clásico se realiza considerando sólo un punto en el tiempo, como si se tomará una fotografía de la respuesta del sistema en un momento dado. Un estudio de fallas completo involucra estudios dinámicos para observar el comportamiento de diversas diversas variables en el tiempo. tiempo. Sin embargo, si si se define específicamente el objetivo del análisis, el rango del tiempo de interés queda bien definido. En cualquier caso, la modelación del sistema es es muy importante, especialmente la red de transmisión y los generadores síncronos que son las fuentes de energía del sistema
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
63
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
4.2 COMPONENTES SIMÉTRICAS Y REDES DE SECUENCIA Una de las herramientas más poderosas para trata con un circuitos polifásicos desbalanceados es el método de las componentes simétricas desarrollado por Fortescue. Un sistema sistema desbalanceado de n fasores relacionados, relacionados, se puede resolver con n sistemas de fasores balanceados llamados componentes de los fasores originales. simétricas de De acuerdo con el teorema de Fortescue, tres fasores desbalanceados de un sistema trifásico se puede descomponer en tres sistemas balanceados de fasores. Los conjuntos conjuntos balanceados de componentes son: Componentes de secuencia positiva Componentes de secuencia negativa Componentes de secuencia cero Como cada uno de los fasores desbalanceados originales es la suma de sus componentes, los fasores originales expresados en términos de sus componentes son: V a = V a0 + V a1 + V a2 V b = V b0 + V b1 + V b2 0 1 2 V c = V c + V c + V c
(4.1)
El conjunto de tres fasores desbalanceados, a partir de los tres conjuntos de componentes simétricas se muestrea en la Figura 4.1. 1
2
V a
1
V c
V a
0
V a
0
V b
V b2
0
V c 2
V c 1
V b1 Componentes de
Componentes de
Componentes de
secuencia positiva
secuencia negativa
secuencia cero
FIGURA 4.1
Componentes simétricas de tres fasores desbalanceados
En la Figura 4.2 se observa la síntesis de tres fasores asimétricos a partir de tres conjuntos de fasores simétricos. simétricos. La síntesis se hace a partir de la ecuación ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
64
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
4.1, ahora se examinarán esta misma ecuación para determinar cómo descomponer tres fasores asimétricos en sus componentes simétricas. 2
V a
0 V a
1
V c
V a 1
2
V a
V c 0
V c
V c 1
V b
V b
V b2 0
V b FIGURA 4.2
Suma gráfica de las componentes para obtener tres fasores desbalanceados
Primero, se observa que el número de cantidades desconocidas se puede reducir al expresar cada componente de V b b y V c c como el producto de la componente de V a a y y alguna función del operador a = 1∠120° : 0
0
0
0
V b = V a
V c = V a
V b1 = a 2V a1
V c1 = aV a1
V b2 = aV a2
V c2 = a 2V a2
En forma matricial: V a 1 1 V = 1 a 2 b V c 1 a
1 V 0
2 a a
V 1 V 2
(4.2)
donde por conveniencia, se tiene 1 1 2 T = 1 a 1 a
1
2 a a
(4.3)
Entonces, como se puede verificar fácilmente:
T
−1
1 1 1 1 a = 3 1 a 2
1
a
a
2
(4.4)
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
65
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
Así, V 0 V = 1 1 3 V 2
1 1 1 a 1 a 2
1 V a
a
a
2
V b V c
(4.2)
La misma transformación se aplica para corrientes. 012 I abc = T I
I
012
(4.3)
= T −1 I abc
(4.4)
El efecto sobre la impedancia es: V abc = Z abc I abc T V
012
012
Z
= Z abcT I 012
= T −1 Z abcT
(4.5)
Los circuitos equivalentes de secuencia de transformadores trifásicos dependen de las conexiones de los devanados primario y secundario. Las diferentes combinaciones de los devanados ∆ y Υ determinan las configuraciones de los circuitos de secuencia cero y el defasamiento en los circuitos de secuencia positiva y negativa. Estas conexiones se resumen, junto con sus respectivos circuitos de secuencia cero en la Figura 4.3.
P
Q
Zo
P
Q
Barra de referencia
P
Q
P
Zo
Q
Barra de referencia
P
Q
Zo
P
Q
Barra de referencia
P
Q
P
Zo
Q
Barra de referencia
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
66
FUNDAMENTOS DE SEP
P
CAPÍTULO 4
Zo
P
Q
Q
Barra de referencia
FIGURA 4.3
Circuitos equivalentes de secuencia cero de banco transformadores trifásicos
4.3 SIMPLIFICACIONES EN EL MODELO DEL SISTEMA Los circuitos equivalentes de secuencia cero, positiva y negativa, se pueden hacer ciertas simplificaciones que no afectarán la exactitud del resultado. Estas simplificaciones incluyen lo siguiente: Se ignoran los elementos shunt o derivaciones en el modelo del transformador y que son responsables de las corrientes de magnetización y pérdidas en el núcleo. Se ignora la capacitancia shunt en el modelo de línea. Se utiliza técnicas de análisis de circuitos en estado estable. La llamada desviación cd, se considera mediante el uso de un factor de corrección. Las fuentes internas del sistema en 1∠0° 4.4 FALLA BALANCEADA TRIFÁSICA Para representar la falla trifásica balanceada a través de una impedancia Z f como se muestra en la Figura 4.4. C B A
Z
FIGURA 4.4
Z
Z
Falla trifásica balanceada
Las condiciones terminales que se presentan permiten escribir: 0 V a Z f 0 V = 0 Z 0 b f V c 0 0 Z f
I a I b I c (4.6)
Usando componentes simétricas tenemos: V 0 = Z f I 0
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
67
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
V 1 = Z f I 1 V 2 = Z f I 2
En la Figura 4.5 se muestra las conexiones correspondientes de los circuitos. Como los circuitos de secuencia cero y negativa son pasivos, solamente el circuito de secuencia positiva no es trivial: V 0 = V 2 = 0
I 0 = I 2 = 0
I1
Secuencia positiva
I2
+
V1
Zf
-
FIGURA 4.5
I0
+
Secuencia negativa
V2
Zf
-
+
Secuencia cero
V0 -
Circuitos de secuencia para una falla trifásica balanceada
4.5 FALLA DE LÍNEA MONOFÁSICA A TIERRA La falla monofásica de línea a tierra (que es el tipo más común de falla) es originada por las descargas atmosféricas o por los conductores al hacer contacto con las estructuras aterrizadas. Para una falla monofásica a tierra desde la fase a, a través de la impedancia Z f , los segmentos de las tres líneas se conectan como se muestra en la Figura 4.6. C B A
Z
FIGURA 4.6
Diagrama de conexiones de una falla monofásica a tierra.
Las condiciones terminales son tales que podemos escribir: I b = 0
V a = I a Z f
I c = 0
Con I b = I c = 0 , las componentes simétricas de las corrientes están dadas por: I 0 1 I 1 = I 3 2
1 1 1 a 1 a 2
1 I a
0 a 0
a
2
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
68
Zf
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
(4.7)
y al realizar la multiplicación, se llega a: I 0 = I 1 = I 2 =
I a
3
(4.8)
La ecuación V a = I a Z f requiere también que: ∴ V 0 + V 1 + V 2 = 3 I 1 Z f (4.9)
La ecuación (4.8) esta condición se puede satisfacer si se interconectan los equivalentes Thevenin de las redes de secuencia en serie , como se muestra en la Figura 4.7. I0 +
Secuencia cero
V0 -
I1 +
Secuencia positiva
V1
3Zf
-
I2 +
Secuencia negativa
V2 -
FIGURA 4.7
Conexión de las redes de secuencia para simula una falla a tierra
Al encontrar la solución para I 0 y al combinar el resultado con la ecuación (4.8) se obtiene: I 0 = I 1 = I 2 =
V f Z 0 + Z 1 + Z 2 + 3 Z f
(4.10)
4.5.1 EJEMPLO
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
69
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
Considerar el sistema que se muestra en la Figura 4.8. Los datos del sistema son los siguientes: Elemento
MVA nominal 100 100 100 100 100 100 100
G1 G2 T1 T2 LT12 LT23 LT13 G1
4
Voltaje nominal 25 kV 13.8 kV 25/230 kV 13.8/230 kV 230 kV 230 kV 230 kV
X1
X2
X0
0.20 0.20 0.05 0.05 0.10 0.10 0.10
0.20 0.20 0.05 0.05 0.10 0.10 0.10
0.05 0.05 0.05 0.05 0.30 0.30 0.30
1
T1
2 LT12 LT13
T2
5
G2
LT23
0.03
0.03
3
FIGURA 4.8
Ejemplo-sistema
1.- Los equivalentes de los circuitos de secuencia vistos del NODO3 j0.199
I0
j0.175
I1
1∠0°
I2
+
+
V1
V2
-
-
+
V0
j0.175
-
Calcular una falla monofásica de línea a tierra que ocurre en el NODO3, en el sistema de ejemplo. Calcular los voltajes y corrientes bajo condiciones de falla. SOLUCIÓN: Los circuitos de secuencia se interconectan como se muestra a continuación: I1 j0.199 j0.175 j0.175 j0.175
1∠0°
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
70
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
I 0 = I 1 = I 2 =
1∠0° j (0.199 + 0.175 + 0.175)
I a 1 1 I = 1 a 2 b I c 1 a
= − j1.82
1 − j1.82
a a 2
− J 5.46 − j1.82 = 0 − j1.82 0
Los voltajes de secuencia son: V 0 = − j 0199(− j1.82 ) = −0.362 V 1 = 1 − j 0175(− j1.82 ) = −0.681 V 2 = − j 0175(− j1.82 ) = −0.319
V a 1 1 V = 1 a 2 b V c 1 a
1 − 0.362
a 2 a
0 − 0681 = 1.022∠238° − 0.319 1.022∠122°
4.6 FALLA DE LÍNEA A LÍNEA Para representar una falla línea a línea a través de una impedancia Z f se conectan los segmentos de las tres líneas en la falla, de la manera mostrada en la Figura 4.9. C
B
A
Z
FIGURA 4.9
Falla Línea a Línea
La siguientes relaciones deben satisfacerse en el punto de falla I a = 0
− I c = I b
V b = I b Z f + V c
Dado que − I c = I b e I a = 0 , las componentes simétricas de la corriente son:
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
71
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
I 0 1 I 1 = I 3 2
1 1 1 a 1 a 2
1 0
a
a
2
I b − I b (4.11)
resolviendo la ecuación, se muestra que: I 0 = 0 I 1 = − I 2
(4.12)
Los voltajes a través de la red de secuencia cero deben ser cero ya que no hay fuentes de secuencia cero, y porque I 0 = 0 , la corriente no se inyecta a esa red debido a la falla.
Para satisfacer los requisitos de que
I 1 = − I 2 ,
se conectarán los equivalentes
de Thevenin de las redes de secuencias positivas y negativas en paralelo , como se muestra en la Figura 4.10. Con el fin de mostrar que esta conexión de las redes también satisface la ecuación de voltaje V b = I b Z f + V c . I0 +
Secuencia cero
V0 -
I1
Secuencia positiva
+
V1 -
Zf
I2
Secuencia negativa
+
V2 -
FIGURA 4.10 Conexión de las redes de secuencia para una falla línea a línea
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
72
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
La ecuación para la corriente de secuencia positiva en la falla se puede determinar directamente de la Figura 4.10, así que I 1 = − I 2 =
V f Z 1 + Z 2 + Z f
(4.13)
4.6.2 EJEMPLO Una falla línea a línea ocurre en el NODO3 del sistema de la Figura 4.8. Calcular los voltajes y corrientes bajo condiciones de falla. SOLUCION: Los circuitos de secuencia se interconectan como se muestra a continuación: j0.175 I1 j0.175 +
V1
1∠0°
-
I 1 = − I 2 =
1∠0° = − j 2.86 j (0.175 + 0.175)
I 0 = 0
Las corrientes de fase son: I a 1 1 I = 1 a 2 b I c 1 a
1
a a 2
0 0 − J 2.86 = − 4.95 J 2.86 4.95
También: V 1 = V 2 = I 1 ( j 0.175) = 0.5 V 0 = 0
Los voltajes de fase son: V a 1 1 V = 1 a 2 b V c 1 a
1 0 1.0 0.5 = − 0.5 a 2 a 0.5 − 0.5
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
73
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
4.7 FALLA DE DOBLE LÍNEA A TIERRA Para representar una falla de doble línea a tierra a través de una impedancia Z f se conectan los segmentos, de la manera mostrada en la Figura 4.11. Las condiciones son: I a = 0
V b = ( I b + I c )Z f
V b = V c
C
B
A
Z
Z
FIGURA 4.11 Falla doble línea a tierra
Como I a = 0 , la corriente de secuencia cero esta dada por
I 0 = ( I b + I c )
3 y
los voltajes de la ecuación anterior dan: V b = V c = 3 Z f I 0
(4.14)
Al sustituir V b en lugar de V c en la transformación de las componentes simétricas, se encuentra que V 0 V = 1 1 3 V 2
1 1 1 a 1 a 2
1 V a a
a
2
V b V c
La segunda y la tercera filas de esta ecuación muestran que V 1 = V 2
(4.15)
mientras la primera fila y la ecuación (4.14) muestran que 3V 0 = V a + 2V b = (V 0 + V 1 + V 2 ) + 2 3 Z f I 0
Se factoriza los términos de secuencia cero en un lado de la ecuación, haciendo V 2 = V 1 y al despejar V 1 se obtiene ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
74
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
V 1 = V 0 − 3 Z f I 0
(4.16)
I a
Al colocar juntas las ecuaciones (4.15) y (4.16) y al observar nuevamente que = 0 , se llega a los siguientes resultados V 1 = V 2 = V 0 − 3 Z f I 0 I 0 + I 1 + I 2 = 0
(4.17)
Las ecuaciones características de la falla doble línea a tierra se satisfacen cuando las tres redes de secuencia se conectan en paralelo como se muestra en la Figura 4.12. El diagrama de conexiones de la red muestra que la corriente de secuencia positiva, I 1, está determinada al aplicar un voltaje de pre-falla V f a través de la impedancia total, que consiste en Z 1 en serie con la combinación paralelo de Z 2 y ) (Z 0 + 3 Z f . Esto es, I 1 =
V f
Z 2 ( Z 0 + 3 Z f ) Z 1 + Z 2 + Z 0 + 3 Z f (4.18)
I0
Secuencia cero
+
3Zf
V0 -
I1
Secuencia positiva
+
V1 -
I2
Secuencia negativa
+
V2 -
FIGURA 4.12 Conexión de las redes de secuencia para una falla doble línea a tierra.
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
75
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 4
4.7.1 EJEMPLO Una falla doble línea a tierra ocurre en el NODO3 del sistema de la Figura 4.8. Calcular los voltajes y corrientes bajo condiciones de falla. SOLUCIÓN: Los circuitos de secuencia se interconectan como se muestra a continuación: I1
j0.175 +
V1
1∠0°
j0.175
j0.199
-
I 1 =
I 0 = I 2 =
1
( j 0.175)( j 0.199 ) j 0.175 + j (0.175 + 0.199) 0.175 0.175 + 0.199 0.199 0.175 + 0.199
= − j 3.73
( j3.73) = j1.75 ( j3.73) = j1.99
Las corrientes de fase son: I a 1 1 I = 1 a 2 b I c 1 a
1
2 a a
0 1.75 J − 3.73 = 5.60∠152.1° 1.99 5.60∠27.9°
Los voltajes secuencia son: V 1 = V 2 = V 0 = −( j1.75)( j 0.199 ) = 0.348
V a 1 1 V = 1 a 2 b V c 1 a
1
2 a a
0.348 1.044 0 J 0.348 = 0.348 0
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
76
Capítulo 5 Flujos de Potencia
5.1.
Introducción
La transmisión de energía eléctrica debe realizarse de una manera segura y confiable, tal que los consumidores siempre reciban la energía requerida dentro de los rangos de operación de los dispositivos eléctricos que la demandan. La seguridad del sistema está dada por el balance energético existente durante la transmisión de potencia, es decir, la potencia eléctrica que se genera debe ser igual a la potencia eléctrica que circula a través de la red de transmisión más la potencia eléctrica demandada por los consumidores. Debido a que la energía demandada esta cambiando continuamente es necesario calcular el punto de operación donde se logra este balance de energía, mediante un análisis de flujos de potencia. Este análisis es definido como el proceso de solución que proporciona la magnitud y ángulo de fase del voltaje en estado estacionario en cada uno de los nodos que conforman la red eléctrica, así como los flujos de potencia activa y reactiva inyectados en terminales de cada elemento de transmisión, lo anterior bajo condiciones conocidas de potencia generada y consumida. Las ecuaciones matemáticas usadas para resolver este problema son conocidas como ecuaciones de flujos de potencia, las cuales son derivadas al considerar la red de transmisión con parámetros concentrados lineales y balanceados, así como condiciones de operación conocidas en todos los nodos que
77
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA conforman al sistema. Sin embargo, debido a que la formulación matemática se realiza en base a inyecciones de potencia, las ecuaciones algebraicas resultantes son no lineales, requiriéndose de un método numérico iterativo para su solución. La solución final es obtenida cuando la magnitud y ángulo de los voltajes nodales tienen un valor tal que la suma de la potencia neta inyectada en cada nodo del sistema es cero.
5.2.
Ecuaciones de Flujo de Potencia
El punto de equilibrio en estado estacionario en un sistema eléctrico de potencia es formulado matemáticamente mediante ecuaciones en las cuales la suma de la potencia generada, la potencia demandada por la carga y la potencia que fluye a través de los elementos de transmisión debe ser igual a cero en cada nodo, tanto para la potencia activa como para la reactiva. Estas ecuaciones son conocidas como ecuaciones de balance de potencia o ecuaciones de desajuste de potencia, sp
∆Pk = PGk − P Lk − Pk cal = Pk − Pk cal = 0
(5.1)
sp
cal ∆Qk = QGk − Q Lk − Qcal k = Q k − Qk = 0.
(5.2)
Las variables PGk y Q Gk representan las potencias activa y reactiva que son inyectadas al nodo k por un generador, respectivamente. Para propósitos de la solución del estudio de flujos de poten-
cia, se considera que estas variables pueden ser controladas por el operador de la planta, y por lo tanto, son variables conocidas. Las variables P Lk y Q Lk representan las potencias activa y reactiva, respectivamente, extraídas por la carga conectada al nodo k . En el problema de flujos de potencia estas variables son conocidas y dan lugar a lo que se conoce como potencia activa especificada Pk sp y potencia reactiva especificada Qsp , k sp
Pk = PGk − P Lk
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
(5.3)
78
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA
sp
Qk = QGk − Q Lk .
(5.4)
Las potencias activa y reactiva, Pk cal y Qcal k , inyectadas en terminales de cada elemento de transmisión son función de la magnitud y el ángulo de los voltajes nodales, es por esto que deben ser calculadas por medio de las ecuaciones de flujos de potencia. Estas ecuaciones son deducidas a partir de las relaciones de voltaje y corriente nodales existentes en terminales de un elemento de transmisión. En base a la Figura 5.1, la corriente compleja inyectada en el nodo k , denotada por I k , es la suma de las corrientes que fluyen a través de los elementos en serie y en derivación que conforman la línea de transmisión, sh
I k = I km + I k .
(5.5)
Figura 5.1: Modelo π de la línea de transmisión. La ecuación (5.5) puede ser expresada en términos de los voltajes complejos V k y V m como,
I k =
V k − V m zkm
I k =
sh + ysh k V k = y km V k − V m + yk V k
ykm + ysh k
V k − ykmV m
(5.6)
(5.7)
de manera similar para el nodo m , ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
79
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA
I m =
ymk + ysh m
V m − ymk V k .
(5.8)
Las ecuaciones (5.7) y (5.8) se pueden escribir en forma matricial como,
o simplemente,
I k I m
=
I k I m
ykm + ysh k
− ykm
− ymk
ymk + ysh m
=
Y kk
Y km
Y mk Y mm
V k V m
V k V m
(5.9)
(5.10)
donde los elementos de la matriz de admitancia y los voltajes nodales pueden ser expresados de manera general en coordenadas rectangulares y polares, respectivamente,
Y i j = Gi j + j Bi j
V i = V i ejθ i = V i (cos θ i + j sin θ i )
(5.11)
(5.12)
donde i = k , m y j = k , m. Particularmente, la potencia compleja inyectada en el nodo k , se expresa en función del voltaje nodal y de la corriente inyectada al nodo, de la siguiente manera cal
S k
cal
S k
=
∗
Pk cal + jQcal k = V k I k
= V k Y kk V k + Y kmV m
(5.13)
∗
donde I ∗k es la corriente compleja conjugada inyectada en el nodo k . ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
80
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA Al sustituir (5.11) y (5.12) en (5.13) e igualar parte real e imaginaria de las ecuaciones resultantes, se obtienen expresiones para los términos Pk cal y Q cal k que aparecen en las ecuaciones (5.1) y (5.2),
Pk cal = V k 2 G kk + V kV m [Gkm cos (θ k − θ m ) + Bkm sin (θ k − θ m )]
(5.14)
2 Qcal k = −V k B kk + V k V m [Gkm sin (θ k − θ m ) − Bkm cos (θ k − θ m )]
(5.15)
Pmcal = V m2 Gmm + V mV k [Gmk cos (θ m − θ k ) + Bmk sin (θ m − θ k )]
(5.16)
2 Qcal Gmk sin (θ m − θ k ) − Bmk cos (θ m − θ k )] m = −V m Bmm + V mV k [
(5.17)
De manera similar, para el nodo m,
Las ecuaciones (5.14) y (5.15) son llamadas ecuaciones de flujos de potencia. Con estas ecuaciones es posible calcular la potencia inyectada en el nodo k , de manera similar para el nodo m . En general, un sistema eléctrico de potencia consiste en más de dos nodos. Para un sistema de N nodos, la relación entre voltajes y corrientes nodales está dada por
I 1 I 2
.. . I N
=
Y 11
Y 12
···
Y 1 N
Y 21
Y 22
···
Y 2 N
.. .
.. .
...
Y N 1 Y N 2 · · ·
.. . Y NN
V 1 V 2
.. . V N
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
(5.18)
81
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA o simplemente,
I = YbusV
(5.19)
donde I es un vector de N × 1 elementos complejos, el cual representa las inyecciones de corriente nodal, V es un vector de N × 1 elementos complejos que representa los voltajes nodales, y Y bus es la matriz de admitancia nodal de N × N elementos complejos Y i j . En este caso, la corriente total inyectada al nodo k es, N
I k = Y k 1V 1 + Y k 2V 2 + · · · + Y kN V N =
∑ Y k jV j
(5.20)
j =1
Así, las expresiones para las potencias netas calculadas Pk cal y Qcal k en el nodo k son,
Pcal k
Qcal k
N
= V k ∑ V j Gk j cos j =1 N
= V k ∑ V j Gk j sin j =1
θ k − θ j
+ Bk j sin
θ k − θ j
− Bk j cos θ k − θ j
θ k − θ j
.
(5.21) (5.22)
La complejidad del problema de flujos de potencia es patente de las ecuaciones anteriores, (5.21) y (5.22), que muestran que la potencia inyectada en un nodo cualquiera es función de la magnitud y ángulo de voltaje existente en todos los nodos del sistema. De igual manera, y opuesto al caso de dos nodos, estas ecuaciones representan la inyección de potencia neta, es decir, la suma de las potencias que fluyen por cada uno de los elementos de transmisión conectados al nodo k , tal como se muestra en la Figura 5.2.
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
82
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA
a) Balance de potencia activa.
b) Balance de potencia reactiva.
Figura 5.2: Balance de potencia en el nodo k . Una vez obtenidas las ecuaciones de flujo de potencia, es posible escribir las ecuaciones de balance de potencia para cada nodo del sistema. Para el caso del sistema de dos nodos,
∆Pk = PGk − P Lk − V k 2 G kk + V k V m [Gkm cos (θ k − θ m ) + Bkm sin (θ k − θ m )]
∆Qk = QGk − Q Lk − −V k 2 B kk + V k V m [Gkm sin (θ k − θ m ) − Bkm cos (θ k − θ m )]
.
(5.23)
(5.24)
Para el nodo m se obtienen ecuaciones similares, basta con intercambiar los subíndices k por m y viceversa. Finalmente, las ecuaciones generales de balance de potencia en el nodo k al cual están conectados son,
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
83
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA
∆Pk = PGk − P Lk −
N
V k ∑ V j Gk j cos θ k − θ j + Bk j sin θ k − θ j j =1
N
∆Qk = QGk − Q Lk − V k ∑ V j Gk j sin θ k − θ j − Bk j cos θ k − θ j
5.3.
j =1
=0
=0
(5.25)
(5.26)
Clasificación de Nodos y Variables
En la teoría de flujos de potencia cada nodo se caracteriza por cuatro variables: potencia activa, potencia reactiva, magnitud y ángulo de fase de los voltajes nodales. De la sección anterior se sabe que sólo se cuenta con dos ecuaciones por nodo, por lo tanto, dos de las cuatro variables deben ser especificadas para tener un problema que pueda ser resuelto. Desde el punto de vista matemático, se podrían especificar cualesquiera de las cuatro variables; sin embargo, en términos ingenieriles, la decisión se toma en base a cuales variables pueden ser controladas físicamente en cada nodo. De manera general, se consideran magnitud y ángulo de fase nodal como variables de estado, y las potencias activa y reactiva como variables de control. Los nodos se clasifican de acuerdo a las dos de las cuatro variables que son especificadas: Nodo PQ de carga:
En este tipo de nodo no hay generador conectado, por lo tanto, las variables
de control PG y Q G son cero. Además, las potencias activa y reactiva, P L y Q L extraídas por la carga son conocidas de mediciones disponibles. En este tipo de nodos, las potencias activa y reactiva son especificadas, y se resuelve para V y θ . Nodo PV generador:
En este caso, hay un generador conectado al nodo, el cual mantiene la mag-
nitud del voltaje nodal V en un valor constante mediante el ajuste de la corriente de campo del generador, es decir, el generador inyecta o absorbe potencia reactiva según se requiera. Además, la potencia activa generada PG se fije en un valor específico, y se resuelve para las otras dos cantidades, θ y Q G . La operación a voltaje constante es posible siempre y cuando los límites de potencia reactiva del generador no sean violados, es decir, QGm´ın < QG < QGm´ax . ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
84
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA Nodo PQ generador: Si
en un nodo PV el generador no puede brindar el soporte de potencia
reactiva necesario para mantener la magnitud de voltaje en el valor especificado, la potencia reactiva se fija en el límite violado y se libera la magnitud de voltaje. En este caso, se especifica la generación de potencia activa y reactiva, PG y QG , respectivamente, y se resuelve para la magnitud de voltaje nodal V y el ángulo de fase θ . Nodo Slack (Compensador): Uno de los nodos generadores del sistema se elige para ser el no-
do slack , en el cual se especifica la magnitud del voltaje nodal, V slack , y el ángulo de fase, θ slack .
Hay un solo nodo slack en el SEP, y su función es proporcionar la potencia suficiente
para satisfacer la demanda de potencia del sistema, así como las pérdidas existentes que son desconocidas al inicio del proceso de solución. Debido a esto, generalmente se escoge como nodo slack al generador de mayor capacidad nominal conectado al sistema. El ángulo de fase del voltaje del nodo slack , θ slack , se escoge como la referencia contra la cual serán medidos los demás ángulos de fase nodales, es normal fijar este valor en cero.
5.4.
Solución de las Ecuaciones de Flujos de Potencia
Desde el punto de vista del modelado matemático, la solución del problema de flujos de potencia consiste en resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no-lineales que describen el sistema de potencia en condiciones de estado estable. A través de los años se han presentado varias propuestas para la solución de las ecuaciones de flujo de potencia. Las primeras propuestas de solución se basan en métodos numéricos del tipo Gauss y Gauss-Seidel con factores de aceleración. El atractivo del empleo de estos métodos es su mínimo requerimiento de almacenamiento en memoria, y el hecho de ser fáciles de comprender y codificar en forma de programa de computadora. El inconveniente es que estos algoritmos presentan características de convergencia pobres cuando se aplican a la solución de redes de tamaño real. Para superar dichas limitaciones, se aplicó el método NewtonRaphson a principios de los 70’s, y desde entonces se ha establecido firmemente en la industria eléctrica. ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
85
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA 5.4.1.
El Algoritmo Newton-Raphson
En estudios de flujos de potencia a redes de gran tamaño, el método Newton-Raphson ha probado tener el mayor éxito, debido a su característica de convergencia cuadrática. Este algoritmo utiliza un proceso iterativo para resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales de la forma,
f 1 ( x1 , x2 , · · · , x M ) f 2 ( x1 , x2 , · · · , x M )
.. . f M ( x1 , x2 , · · · , x M )
, o F(X) = 0
(5.27)
donde F representa un conjunto de M ecuaciones algebraicas no lineales, y X es el vector de M variables de estado desconocidas. La esencia del método Newton-Raphson consiste en determinar el vector de variables de estado X por medio de la expansión en series de Taylor de F (X) alrededor de una condición inicial X (0) ,
F(X) = F (X(0) ) + J (X(0) )(X − X(0) ) + t .a.o
(5.28)
donde J (X(0) ) es la matriz de derivadas parciales de primer orden de F (X) con respecto de X evaluada en X = X(0) , esta matriz se conoce como Jacobiano. Esta expansión se adecua a una formulación apropiada para el cálculo del vector de variables de estado X asumiendo que X (1) es el valor calculado por el algoritmo en la iteración 1, y que este valor está lo suficientemente cerca de la condición inicial X (0) . Basado en esta premisa, todos los términos de alto orden asociados a derivadas en la ecuación (5.28) pueden ser despreciados. Por lo tanto,
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
86
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA
f 1 X(1)
f 1 X(0)
∂ f 1 (X)
∂ f 1 (X)
∂ x1
∂ x2
f 2 X(1)
f 2 X(0)
∂ f 2 (X) ∂ x1
∂ f 2 (X) ∂ x2
···
∂ f 2 (X) ∂ x M
.. .
.. .
...
.. .
∂ f M (X)
∂ f M (X)
∂ x1
∂ x2
≈
.. .
f M X(1) F(X(1) )
+
.. .
f M X(0)
∂ f 1 (X)
···
···
∂ x M
∂ f M (X) ∂ x M
F(X(0) )
J(X(0) )
(1)
(0)
(1)
(0)
x1 − x1 x2 − x2
.. .
(1)
(0)
x M − x M
X=X(0)
X(1) −X(0)
(5.29)
En forma compacta y generalizando la expresión anterior para la i-ésima iteración se tiene,
F X(i) ≈ F X(i−1) + J X(i−1)
X(i) − X(i−1)
(5.30)
donde i = 1, 2, . . . . Además, se asume que X (i) está suficientemente cerca de la solución X (∗) , por lo tanto F X(i) ≈ F X(∗) = 0. De manera que la ecuación (5.30) se puede escribir como, F X(i−1) + J X(i−1)
X(i) − X(i−1) = 0
(5.31)
la cual es resuelta para X(i) ,
X
(i)
= X
(i−1)
−1
− J X(i−1)
F X(i−1)
(5.32)
La solución iterativa puede ser expresada en términos del vector de correcciones ∆X(i) = X(i) − X(i−1) ,
∆X
(i)
−1
= −J X(i−1)
F X(i−1)
(5.33)
de esta manera, las condiciones iniciales son actualizadas usando la siguiente relación:
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
87
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA
X(i) = X(i−1) + ∆X(i)
(5.34)
Los cálculos se repiten tantas veces como sea necesario, usando los valores actualizados de X en la ecuación (5.33) para la iteración en curso. El proceso termina cuando los desajustes ∆ X son más pequeños que una tolerancia especificada (e.g. 1 × 10−12 ).
5.4.2.
Solución de las Ecuaciones de Flujos de Potencia mediante el Método Newton-Raphson (FPNR)
Para aplicar el método Newton-Raphson al problema de flujos de potencia, las ecuaciones relevantes deben ser expresadas en la forma de la ecuación (5.33), donde X representa el conjunto de magnitudes y ángulos de voltajes nodales desconocidos. Las ecuaciones de desbalance de potencia ∆P y ∆ Q se expanden alrededor de un punto base (θ (0) , V(0) ) y, por lo tanto, el algoritmo de flujos
de potencia Newton-Raphson (FPNR) queda expresado por la siguiente relación,
∆P1 ∆P2
.. . ∆P N ∆Q1 ∆Q2
.. . ∆Q N
=−
∂ ∆P1 ∂ θ 1
∂ ∆P1 ∂ θ 2
···
∂ ∆P1 ∂ θ N
∂ ∆P1 V 1 ∂ V1
∂ ∆P1 V 2 ∂ V2
···
∂ ∆P1 V ∂ V N N
∂ ∆P2 ∂ θ 1
∂ ∆P2 ∂ θ 2
···
...
∂ ∆P2 V 1 ∂ V1
∂ ∆P2 V 2 ∂ V2
···
.. .
∂ ∆P2 ∂ θ N
.. .
...
∂ ∆P2 V ∂ V N N
∂ ∆P N ∂ θ 1
∂ ∆P N ∂ θ 2
···
∂ ∆P N ∂ θ N
∂ ∆P N V 1 ∂ V1
∂ ∆P N V 2 ∂ V2
···
∂ ∆P N V ∂ V N N
∂ ∆Q1 ∂ θ 1
∂ ∆Q1 ∂ θ 2
···
∂ ∆Q1 ∂ θ N
∂ ∆Q1 V 1 ∂ V1
∂ ∆Q1 V 2 ∂ V2
···
∂ ∆Q1 V N ∂ V N
∂ ∆Q2 ∂ θ 1
∂ ∆Q2 ∂ θ 2
···
...
∂ ∆Q2 V 1 ∂ V1
∂ ∆Q2 V 2 ∂ V2
···
.. .
∂ ∆Q2 ∂ θ N
.. .
...
∂ ∆Q2 V N ∂ V N
∂ ∆Q N ∂ θ 1
∂ ∆Q N ∂ θ 2
···
∂ ∆Q N ∂ θ N
∂ ∆Q N V 1 ∂ V1
∂ ∆Q N V 2 ∂ V2
···
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
∂ ∆Q N V N ∂ V N
∆θ 1 ∆θ 2
.. . ∆θ N ∆V 1 V 1 ∆V 2 V 2
.. .
∆V N V N
(5.35)
expresando (5.35) de forma matricial, tenemos,
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
88
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA
(i)
(i)
∆P
∆Q
∂ ∆P ∂ θ
∂ ∆P V ∂ V
∂ ∆Q ∂ θ
∂ ∆Q V ∂ V
=−
F(X(i−1) )
J(X(i−1) )
(i)
∆θ ∆V
V
(5.36)
∆X(i)
Las cuatro submatrices del Jacobiano pueden consistir de hasta ( N − 1) × ( N − 1) elementos de la forma,
∂ ∆Pk ∂ θ m
∂ ∆Pk V m ∂ Vm
,
∂ ∆Qk ∂ θ m
,
∂ ∆Qk V m ∂ Vm
,
,
(5.37)
donde k = 1, . . . , N y m = 1, . . . , N omitiendo la entrada del nodo slack . Las filas y columnas correspondientes a potencia reactiva y magnitud de voltaje para nodos PV también pueden omitirse. Además, cuando los nodos k y m no están conectados directamente por un elemento de transmisión, el elemento k − m del Jacobiano es nulo. Debido al bajo grado de conectividad que prevalece en los sistemas de potencia reales, los Jacobianos de flujos de potencia son matrices altamente dispersas. Una característica adicional es que las matrices Jacobianas son simétricas en estructura pero no en valor. Debe notarse que los términos correctivos ∆V m están divididos por V m , esto para compensar el hecho de que los términos del Jacobiano ( ∂ ∆Pk /∂ V m)V m y ( ∂ ∆Qk /∂ V m)V m están multiplicados por V m , este artificio matemático resulta en útiles simplificaciones en el cálculo de los elementos de la
matriz Jacobiana, ya que permite establecer las siguientes relaciones, ∂ ∆Qk ∂ θ m
=−
∂ ∆Pk
∂ Vm
V m
∂ ∆Qk
∂ ∆Pk
∂ Vm
∂ θ m
V m =
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
(5.38)
(5.39)
89
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA En las siguientes expresiones, el signo negativo que precede a las derivadas parciales es el que multiplica al Jacobiano en la ecuación (5.36). Así, los elementos del Jacobiano están dados por, para k = m:
∂ ∆Pk ∂ θ m ∂ Pk cal ∂ θ m ∂ Pk cal ∂ θ m
=
−
∂ Pk cal ∂ V m ∂ Pk cal ∂ V m
PGk − P Lk − Pk cal
∂ θ m
=
∂ Pk cal ∂ θ m
2 Qcal k + V k B kk
=
V m =
−
∂ ∂ Vm
∂ Pk cal cal PGk − P Lk − Pk V m = V m
∂ Vm
V m = V k V m [Gkm cos (θ k − θ m ) + Bkm sin (θ k − θ m )]
Pk cal − V k 2 G kk
V m =
∂ ∆Qk ∂ θ m ∂ Qcal k ∂ θ m ∂ Qcal k ∂ θ m
= V kV m [Gkm sin (θ k − θ m ) − Bkm cos (θ k − θ m )]
∂ ∆Pk ∂ V m
∂
=
−
∂ ∂ θ m
QGk − Q Lk
− Qcal k
=
∂ Qcal k ∂ θ m
= V k V m [−Gkm cos (θ k − θ m ) − Bkm sin (θ k − θ m )]
=
−Pcal + V 2 G k
k
kk =
−
∂ Pk cal
∂ Vm
V m
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
(5.40)
(5.41)
(5.42)
90
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA
∂ ∆Qk
V m =
∂ V m ∂ Qcal k ∂ V m ∂ Qcal k ∂ V m
−
∂
∂ Vm
∂ Qcal k cal QGk − Q Lk − Qk V m = V m
∂ Vm
= V k V m [Gkm sin (θ k − θ m ) − Bkm cos (θ k − θ m )]
V m
Qcal + V 2 B
=
V m
k
k
kk =
∂ Pk cal ∂ θ m
para k = m:
∂ ∆Pk ∂ θ k ∂ Pk cal ∂ θ k ∂ Pk cal ∂ θ k
∂ ∆Pk ∂ V k ∂ Pk cal ∂ V k ∂ Pk cal ∂ V k
V k =
=
−
∂ ∂ θ k
PGk − P Lk − Pk cal
=
∂ Pk cal ∂ θ k
= V k V m [−Gkm sin (θ k − θ m ) + Bkm cos (θ k − θ m )]
−Qcal − V 2 B
=
k
−
∂ ∂ Vk
k
kk =
−
∂ Pk cal ∂ θ m
∂ Pk cal cal PGk − P Lk − Pk V k = V k
∂ Vk
V k =
2V k 2 G kk + V kV m [Gkm cos (θ k − θ m ) + Bkm sin (θ k − θ m )]
V k =
Pk cal + V k 2 G kk
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
(5.43)
(5.44)
(5.45)
91
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA
∂ ∆Qk ∂ θ k ∂ Qcal k ∂ θ k ∂ Qcal k ∂ θ k
∂ ∆Qk ∂ Vk ∂ Qcal k ∂ Vk ∂ Qcal k ∂ Vk
V k =
=
−
∂ ∂ θ k ,l
QGk − Q Lk
− Qcal k
=
∂ Qcal k ∂ θ k
= V k V m [Gkm cos (θ k − θ m ) + Bkm sin (θ k − θ m )]
Pcal − V 2 G
=
k
−
∂ ∂ Vk
k
kk =
∂ Pk cal
∂ Vm
V m
∂ Qcal k cal QGk − Q Lk − Qk V k = V k
∂ Vk
V k = −2V k 2 B kk + V k V m [Gkm sin (θ k − θ m ) − Bkm cos (θ k − θ m )]
V k =
2 Qcal k − V k B kk
(5.46)
(5.47)
Un punto importante que se debe tener presente es que las ecuaciones de balance de potencia ∆P y ∆ Q correspondientes al nodo slack no son incluidas en la ecuación (5.36), esto debido a que
las incógnitas asociadas a este nodo, V slack y θ slack , son datos especificados. Además, las variables desconocidas Pslack y Qslack son calculadas una vez que se han determinado los flujos y las pérdidas de potencia en la red de transmisión del sistema eléctrico. También, la potencia reactiva generada en nodos PV , Q G , es calculada en cada iteración, esto para verificar si los generadores se encuentran dentro de límites de generación de potencia reactiva. Sin embargo, las ecuaciones de balance de potencia reactiva correspondientes a nodos PV no son incluidas en la ecuación (5.36) ya que en este tipo se nodos se especifica la magnitud de voltaje. Una de las principales fortalezas del método Newton-Raphson es la confiabilidad en relación con la convergencia. Para la mayoría de los casos prácticos, y dadas las condiciones iniciales X (0) adecuadas, el método exhibe una característica de convergencia cuadrática; es decir,
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
92
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA
f ( x(1) ) =
1 × 10−1 ,
f ( x(2) ) =
1 × 10−2 ,
f ( x(3) ) =
1 × 10−4 ,
f ( x(4) ) =
1 × 10−8 .
para el valor del máximo desajuste ∆ x. Contrario a lo que sucede en técnicas de solución diferentes al Newton-Raphson, esta característica de convergencia es independiente del tamaño de la red a resolver y de la clase y número de equipos de control presentes en el sistema de potencia. Algunos de los aspectos que podrían mermar esta característica de convergencia son las violaciones de límites de potencia reactiva en los generadores de nodos PV y condiciones extremas de carga.
5.4.3.
Inicialización de Variables de Estado
La efectividad del método Newton-Raphson para lograr una solución factible, depende de la selección de valores iniciales adecuados para todas las variables de estado involucradas en el problema. En la solución de flujos de potencia, las magnitudes de voltaje generalmente se inicializan en 1 p.u. (por unidad) en nodos de tipo PQ, esto debido a que se espera que en estado estable los valores de magnitud de voltaje estén muy cercanos a 1 p.u. y por lo tanto esta sea una condición inicial en la cual el método Newton-Raphson tenga un buen desempeño. Para el nodo slack y nodos PV los
valores de magnitud de voltaje son datos especificados, los cuales permanecen constantes
durante el proceso iterativo si no hay violación de límites de potencia reactiva en los generadores. Los valores para los ángulos de fase de los voltajes nodales son inicializados en 0° para todos los nodos.
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
93
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA
5.5.
Manejo de Nodos PV
Aún cuando la ecuación de balance de potencia reactiva ∆Qk del nodo k del tipo PV no es requerida en la ecuación (5.36), dado que QGk = Q Lk + Qcal k , la solución de la ecuación (5.22) para nodos PV se realiza en cada iteración para evaluar si la potencia reactiva aportada por el generador conectado al nodo k se encuentra dentro de límites operativos, es decir
QGk m´ın < QGk < QGk ma´ x
(5.48)
Si durante el proceso iterativo ocurre alguna de las siguientes condiciones:
QGk ≥ QGk m´ax QGk ≤ QGk m´ın
(5.49)
el nodo k se convierte en nodo PQ generador , y en la ecuación (5.36) se incorpora una de las siguientes ecuaciones de balance de potencia reactiva,
∆Qk = QGk m´ax − Q Lk − Qcal k ∆Qk = QGk m´ın − Q Lk − Qcal k
(5.50)
dependiendo del límite violado, junto con los correspondientes elementos del Jacobiano. En este caso, se libera la magnitud del voltaje del nodo k , es decir, ya no permanecerá constante durante el resto del proceso iterativo, de manera que V k se convierte en una variable de estado. Se debe notar que el nodo k puede retornar a nodo generador PV si durante el proceso iterativo se obtiene una mejor estimación de Qcal k , calculada con valores de voltaje nodal más precisos, y que este valor indique que el generador conectado al nodo k puede aportar la potencia reactiva requerida por dicho nodo. Por lo tanto, la verificación de violación de límites de potencia reactiva en los generadores se realiza cada iteración. La experiencia programando algoritmos de flujos de potencia
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94
CAPÍTULO 5. FLUJOS DE POTENCIA indica que la verificación de límites debe comenzar después de la segunda o la tercera iteración, esto debido a que los valores calculados al inicio del proceso iterativo pueden distar mucho de los correctos, conllevando con ello a falsos requerimientos de potencia reactiva. El cambio de nodo PV a nodo PQ y viceversa suponen esfuerzo numérico adicional en la solución iterativa y retarda la convergencia.
5.6.
Conclusiones
Se presenta en detalle la formulación matemática del problema de flujos de potencia basada en inyecciones de potencia, así como su solución mediante el algoritmo Newton-Raphson (FPNR), dicha formulación es la más utilizada en la industria para realizar estudios de flujos de potencia. Para el análisis de flujos de potencia, la red eléctrica es modelada por: un conjunto de nodos interconectados por medio de líneas de transmisión y transformadores, además se tienen generadores y cargas conectadas a varios nodos del sistema. En general existen tres tipos de nodos: nodos PV (de generación), nodos PQ (de carga) y el nodo slack. Al efectuar un estudio de flujos de potencia, las pérdidas de potencia activa y reactiva en la red no son conocidas de antemano. Por este motivo la inyección de potencia real y reactiva de al menos un nodo debe ser determinada por la solución; el nodo que asume esta función es llamado nodo compensador. El modelo matemático del problema de flujos de potencia lo integran un sistema de ecuaciones algebraicas no-lineales. Para obtener la solución de este sistema de ecuaciones se utilizan métodos iterativos como el Newton-Raphson.
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95
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 6
CAPITULO 6 CONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL DE VOLTAJE OBJETIVO Al término del capítulo el Ingeniero Operador de Subárea y el Ingeniero Auxiliar de Turnos de Operación identificarán los aspectos críticos que influyen en el control de voltaje 6.1 INTRODUCCIÓN En la operación de Sistemas Eléctricos de Potencia el control de voltaje es una función primordial. El objetivo de este control es ajustar todos los voltajes nodales dentro de una banda operativa. Esto hace que la solución del problema sea más compleja, comparada con el control de frecuencia, ya que se tiene un problema multivariable. En el análisis de este tema se relaciona el flujo de potencia reactiva con el perfil de voltaje del sistema, siendo muy importante la localización de fuentes de potencia reactiva y la estructura del sistema de transmisión. Otra característica interesante del problema, que agrega complejidad a la solución, es la generación y consumo variable de potencia reactiva en los elementos de transmisión y transformación. En este capítulo se presentan conceptos básicos que ayudan a comprender mejor el comportamiento del voltaje en Sistemas Eléctricos de Potencia. Primeramente se presenta el efecto del flujo de potencia reactiva en la red de transmisión sobre el perfil de voltaje del sistema, posteriormente se describen las características de los diferentes elementos de control de voltaje.
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96
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 6
6.2 COMPORTAMIENTO DEL FLUJO DE REACTIVOS PARA EL CONTROL DE VOLTAJE En la literatura se asocia el problema de voltaje con la circulación de potencia reactiva. Esto se puede mostrar analizando el circuito de la Figura 6.1. Z = r + jx
Vg
I
FIGURA 6.1
Vc
Carga (P + jQ)
Circuito básico
Si en la Figura 6.1 se considera que la carga consume sólo potencia activa, entonces el diagrama fasorial que relaciona el voltaje de generación (Vg) y el de carga (Vc) es el mostrado en la Figura 6.2.
Vg Ix δ
Ir
Vc I FIGURA 6.2
Diagrama fasorial del circuito de la Figura 6.1
La relación entre la corriente y la potencia de carga se expresa en la ecuación (6.1). En todos los desarrollos se utilizan magnitudes de corriente y voltaje. I =
P V C
(6.1)
la relación entre voltaje se obtiene del diagrama fasorial de la Figura 6.2. V g = V C + (r + jx ) I
P V g2 = V C + V C
2
P r + x V C
2
(6.2)
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97
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 6
En la ecuación (6.2) se observa que las caídas de voltaje en fase y en cuadratura con Vc dependen de los valores de resistencia y reactancia del elemento de transmisión. Como generalmente la relación r/x es pequeña en sistemas de transmisión, la componente en fase será pequeña (P V C )r . Por otro lado, la componente en cuadratura (P V C ) x no cambia significativamente la magnitud de Vc, sólo causa el defasamiento entre voltajes. De esta forma: P=
V C V g x
sin δ
PARA ÁNGULOS PEQUEÑOS: δ
=
P V C V g
x
(6.3) V g − V C = ∆V = rI =
P V C
r
(6.4)
El análisis de las ecuaciones (6.3) y (6.4) muestra: • Que la carga activa afecta en mayor grado el defasamiento entre voltajes. • El cambio en la magnitud del voltaje depende del valor de la carga, pero su efecto se reduce debido al valor de la resistencia.
Otro aspecto importante que se debe observar es que aún cuando la carga no consume potencia reactiva, el generador si está aportando reactivos al sistema. Esto se observa del diagrama de la Figura 6.2, con el voltaje V g adelantado respecto a la corriente de carga. La potencia reactiva que se inyecta en el extremo de envío se consume en la reactancia del sistema de transmisión, causando una caída de voltaje (I x) en cuadratura con el voltaje de carga. Un caso que ilustra el efecto del flujo de reactivos se tiene cuando la carga demanda potencia reactiva inductiva (factor de potencia atrasado). El diagrama fasorial para este caso se muestra en la Figura 6.3.
Vg Ix δ
I
φ
FIGURA 6.3
Vc
Ir
Diagrama fasorial para carga con Fp. Atrasado
La relación entre voltaje y corriente en la carga es la siguiente: P V C
= I cos φ (6.5)
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98
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CAPÍTULO 6
Q
= I sin φ
V C
(6.6)
del diagrama fasorial de la Fig. 6.3 se obtiene la relación entre voltajes, utilizando las ecuaciones anteriores (6.5) y (6.6) se tiene: 2 2 V g2 = [V C + ( I cos φ )r + ( I sin φ ) x] + [( I cos φ ) x − ( I sin φ )r ] 2
P P Q Q V = V C + r + x + x − r V V V V C C C C
2
2 g
(6.7)
Al analizar la ecuación (6.7) y la Figura 6.3 se concluye que la componente en fase con el voltaje de carga es la que tiene mayor efecto en la caída de voltaje del punto de generación a la carga. ∆V ≅
P V C
r +
Q V C
x
(6.8)
en (6.8) se observa a su vez que la demanda de potencia reactiva tiene mayor efecto en el cálculo de ∆V debido a que está multiplicada por la reactancia del elemento de transmisión. Comparando los términos en (6.8) se obtiene: Q V α = C P V C
x
= r
Q x
P r
(6.9)
De aquí que a medida que la relación x/r aumenta (sistemas de transmisión de alta tensión) y que el factor de potencia difiere más de la unidad, el efecto de la corriente reactiva es mayor en el cambio de voltaje. Analizando el diagrama de la Figura 6.3 se observa que el ángulo entre el voltaje de generación y la corriente es (φ + δ ) , lo cual indica que el generador opera con un factor de potencia más atrasado que el de la carga. En este caso se debe generar y transmitir la potencia reactiva de la carga y la potencia reactiva que consume el sistema de transmisión. Otra condición operativa de interés se tiene cuando la carga en la Figura 6.1 sólo consume potencia reactiva inductiva. La relación fasorial para este caso se muestra en la Figura 6.4.
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CAPÍTULO 6
δ
I
Vc
φ FIGURA 6.4
Ir
Vg
Ix
Diagrama fasorial para carga reactiva inductiva
Del análisis de las condiciones mostradas en la Fig. 6.4 se obtiene: ∆V =
Q V C
x
(6.10)
donde se aprecia el gran impacto de la corriente reactiva en la caída de voltaje, en este caso prácticamente en fase con el voltaje Vc. Comparando las ecuaciones (6.4) y (6.10), que representan los casos extremos de tener una inyección activa y reactiva respectivamente, se observa que el mayor impacto de la inyección reactiva (6.10) es debido a la reactancia del elemento de transmisión, de esta forma la ecuación (6.10) es el término dominante en la caída de voltaje. En el caso general la ecuación (6.8) define las contribuciones de cada componente de la carga.
6.2.2 ECUACIONES DE FLUJO DE POTENCIA REACTIVA Si se consideran dos nodos unidos por una reactancia, Figura 6.5, El flujo de potencia reactiva se puede expresar en función de las magnitudes de voltaje y la diferencia angular.
Vi δi
V j δ j x ji Qij FIGURA 6.5
Q ji
δ = δ j -δ j
Conexión de nodos a través de una reactancia
La expresión resultante para el flujo de i a j es la siguiente S ij* = V i * I = Pij − jQij
V i − V j V i + jX − jX c ij
S ij* = V i *
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
100
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Pij =
CAPÍTULO 6
V iV j senδ
Qij =
X ij
V i
(V − V cos δ ) − V
2
i
X ij
i
j
X c
Despreciando el efecto capacitivo de la línea de transmisión, la expresión resultante es la siguiente: Qij =
V i X ij
(V − V cos δ ) i
j
(6.11)
En (6.11) se observa que el flujo de potencia reactiva depende del signo del término entre paréntesis. Es decir, de la diferencia de las magnitudes de voltaje entre los extremos del elemento. De esta manera, para diferencias angulares pequeñas, cos δ ≈ 1 , la potencia reactiva tenderá a circular del voltaje mayor al voltaje menor. El consumo de potencia reactiva en el elemento de transmisión se obtiene sumando los flujos en direcciones opuestas. QP = Qij + Q ji
de acuerdo a (6.11) se obtiene QP =
V i 2 X ij
+
V j2 X ij
−2
V iV j X ij
cos δ
(6.12)
Los requerimientos de potencia reactiva en (6.12) depende en forma aproximada de la diferencia de voltajes al cuadrado. Para ilustrar en forma esquemática el flujo de potencia reactiva se presenta los casos de la Figura 6.6. V1
V1 V2
V1 0
V1
0
V1 V2
I α>β α
V2
I
α
(a)
V1
V2
(b)
V2
0
V1 I
V2
V2
V1 α
V1
β
I
(c)
V2
β
(d) V2
V1 α
V2
β
(e)
FIGURA 6.6
Diagramas fasoriales para diferentes condiciones de operación.
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CAPÍTULO 6
Del análisis de las ecuaciones del flujo de reactivos y de los diagramas fasoriales se puede resumir lo siguiente: • El flujo de reactivos produce una caída de voltaje que depende de la reactancia del elemento de transmisión. •
La diferencia de voltaje incrementa el consumo de potencia reactiva en la reactancia del elemento.
•
Los requerimientos de reactivos tienen un comportamiento no-lineal, con cambios crecientes al tener una diferencia de voltaje mayor.
•
La distribución de flujos reactivos en los extremos de la línea depende de la corriente de carga y del consumo de reactivos en la reactancia de transmisión.
6.3 CONTROL DE VOLTAJE LOCAL De acuerdo a los conceptos presentados se puede decir que para evitar la degradación del perfil de voltaje es necesario eliminar o reducir el flujo de potencia reactiva en el sistema. Sin embargo, en sistemas reales las fuentes de reactivos no necesariamente están cerca de la carga, de ahí que se requiere cierto transporte de potencia reactiva. La primera fase en el control de voltaje es tener nodos de voltaje controlado que definan en forma general el perfil de voltaje del sistema. Este control de voltaje es de tipo local y trata de mantener el voltaje de un nodo en un valor especificado. Esto se logra a través de cambios en la excitación de generadores o la conexión continua de reactores o capacitores, en el caso de compensadores estáticos de vars (CEV). En la Figura 6.7 se presenta un esquema de control local típico. Efd
SISTEMA DE POTENCIA
S
V
GEN
CONTROL DE EXCITACION
REGULADOR DE VOLTAJE
CARGA
CARGA
Σ
Vref j
V CONTROL DEL CEV Σ
Vref i
FIGURA 6.7
Control de voltaje local
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
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CAPÍTULO 6
Si los esquemas de control se aplican en varios puntos del sistema se definirá la estructura básica del flujo de reactivos en la red. Los nodos de voltaje controlado sirven de referencia (soporte) al perfil de voltaje del sistema y mantienen el nivel de voltaje aportando la potencia reactiva requerida por las cargas y el sistema de transmisión. En estado estable los controles mantendrán el voltaje del nodo controlado en el valor especificado. En cambio, ante perturbaciones, se tendrán cambios en los voltajes y el regreso a los valores de referencia dependerá de la respuesta dinámica de los sistemas de control. En un caso real las fuentes de reactivos son limitadas y sólo podrán mantener el voltaje mientras los requerimientos de potencia reactiva del sistema estén dentro de la capacidad de la fuente. Si se llega a un límite, se pierde el soporte de reactivos y el control de voltaje en la zona donde se localiza la fuente. En un sistema de potencia es muy importante la localización de las fuentes de reactivos, el objetivo en la ubicación es tratar de lograr un soporte de voltaje adecuado y reducir la transmisión de potencia reactiva a los puntos de carga. Al tener pocas fuentes de potencia reactiva y estar alejadas eléctricamente de la carga, entonces se tendrá la degradación del perfil de voltaje debido a la transmisión de reactivos a grandes distancias. Este problema es acumulativo, ya que al tener mayores diferencias de voltaje también se incrementa el consumo de reactivos en los elementos de transmisión, lo que a su vez causa una caída de voltaje mayor.
6.4 BALANCE DE POTENCIA REACTIVA En un sistema de potencia los nodos de voltaje controlado actúan como compensadores de potencia reactiva, suministrando los reactivos necesarios, de acuerdo a las variaciones de la demanda, para mantener el voltaje especificado. La aportación de reactivos de las fuentes dependerá del voltaje de referencia especificado. Así, si se incrementa el voltaje interno del generador, como resultado de un cambio en la corriente de campo, se tendrá un caso como el que se muestra en el diagrama fasorial de la Figura 6.8.
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Xg
CAPÍTULO 6
Vt
Eg
I Eg
Eg
SISTEMA δ
I
Vt
δ1
Vt
φ
I (a)
FIGURA 6.8
(b)
Cambio en la excitación del generador
En la Figura 6.8(a) se presenta la condición antes del cambio, se tiene un factor de potencia unitario en terminales, sin embargo, internamente se tiene un inyección de potencia reactiva (corriente I atrasada con respecto a Eg) que se consume en la reactancia del generador. Esta es la condición que define el límite entre sobre-excitación o sub-excitación de un generador. En la Figura 6.8(b) se presenta el diagrama fasorial después de un cambio en la demanda de reactivos en el sistema, se mantiene la potencia activa sin cambio y el voltaje terminal constante. En este caso, a través del sistema de excitación se incrementa la corriente de campo, y el voltaje interno de la máquina, y para mantener la potencia activa constante se ajusta el ángulo δ a δ´. Esta relación entre la corriente (I) y el voltaje interno (E g) es el mecanismo compensador para la potencia reactiva. La inyección de potencia reactiva de la máquina parte se consume en la reactancia del generador y parte se inyecta al sistema (corriente atrasada con respecto al voltaje terminal). En este caso la máquina está sobreexcitada, ya que suministra los requerimientos internos del generador y los del sistema. Un análisis similar se puede realizar cuando se modifica el voltaje de referencia de un generador, manteniendo el resto de los generadores del sistema sin cambio. Para ilustrar este comportamiento se utiliza el sistema y el diagrama fasorial de la Figura 6.9. Vi Vi V j x ji δ
I FIGURA 6.9
V j
Sistema para analizar el efecto de cambios en el voltaje de generación.
En el diagrama fasorial de la Figura 6.9 se observa que la máquina i entrega potencia activa y reactiva al sistema, en cambio en el nodo j sólo se recibe potencia activa a través de la línea de transmisión.
ÁREA DE CONTROL ORIENTAL
104
FUNDAMENTOS DE SEP
CAPÍTULO 6
Si se incrementa el voltaje V i y se mantiene la potencia activa sin cambio, entonces se debe ajusta el ángulo δ para mantener la potencia activa (P). P=
V iV j X ij
sin δ ′
(6.13) sin δ ′ =
PX ij V iV j
(6.14)
como el denominador en (6.14) crece, el ángulo δ´ debe ser menor que δ. De esta manera, la corriente se debe ajustar en magnitud y fase para cumplir con la potencia activa trasmitida y con la relación de voltajes. En este caso la componente de la corriente en fase con el voltaje V j debe ser la misma que antes del cambio. En la Figura 6.10 se observa que la inyección de potencia reactiva en el nodo i aumenta, ya que crece la magnitud de V i, la corriente I y el ángulo entre estos fasores. Por otro lado el nodo j recibe potencia reactiva del sistema de transmisión, la cual se consume en la carga o la debe absorber el generador en ese nodo.
Vi
φ
δ1
V j
I FIGURA 6.10 Diagrama fasorial para analizar el cambio en le voltaje de Vi
El resultado de modificar el voltaje de generación es un cambio en el flujo de reactivos. Se tendrá un intercambio de potencia reactiva entre generadores y como consecuencia se altera el perfil de voltaje del sistema. La efectividad del cambio dependerá de que se reduzca el flujo de reactivos en las trayectorias de mayor impedancia. En forma natural se tiene la tendencia a suministrar la potencia reactiva requerida por la carga a través de las líneas con menor impedancia. Esto se puede mostrar utilizando las ecuaciones del flujo de potencia reactiva en el sistema de la Figura 6.11.
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CAPÍTULO 6
Vi
V j
xij
Vk
xkj
Qij
Qkj
FIGURA 6.11 Sistema de potencia elemental Qij =
V i X ij
(V − V cosδ ) i
j
ij
(6.15) Qkj =
V k X kj
(V − V cosδ ) k
j
kj
(6.16)
Si se considera que los voltajes de generación (V i=V k ) y las diferencias angulares (δij=δkj) son iguales, entonces: Qij Qkj
=
X kj X ij
(6.17)
La ecuación (6.17) muestra que la relación de flujos de reactivos dependerá de las reactancias de las ramas. A medida que la reactancia del elemento de transmisión es mayor, el flujo de reactivos disminuye. La distribución del flujo de reactivos trata de lograr el equilibrio de voltaje en el nodo j , la ecuación (6.17) también se puede escribir en forma aproximada como una caída de voltaje. ∆V =
Qij X ij V i
=
Qkj X kj V k
(6.18)
Al aumentar la demanda de potencia reactiva en el nodo j , ésta se obtendrá en mayor proporción de la fuente de reactivos más cercana eléctricamente a la carga, de manera de tener la menor desviación de voltaje en el nodo j . La acción de control recomendada sería modificar el voltaje de la fuente de reactivos más cercana a la carga, de manera de aumentar el flujo por la trayectoria con menor impedancia y al mismo tiempo descargar las trayectorias de alta impedancia.
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106
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CAPÍTULO 6
6.4.2 INYECCIONES DE POTENCIA REACTIVA En algunos casos se pueden tener elementos pasivos que consumen o generan potencia reactiva en función del voltaje del punto donde se conectan. La fuente variable de reactivos suministrará las necesidades de potencia reactiva en nodos cercanos, tratando de evitar el viaje de potencia reactiva desde puntos alejados. Este es el caso de capacitores y reactores, que alteran el balance nodal de potencia reactiva y causan cambios en la distribución de flujos reactivos, en la generación de potencia reactiva en nodos de voltaje controlado y como consecuencia en el perfil de voltaje del sistema. Si en cada punto del sistema se logra el balance de potencia reactiva (se genera y se consume lo necesario), se tendrá un perfil plano de voltaje, con pequeñas variaciones debidas a la caída por efecto de la resistencia de la línea de transmisión.
6.5 CONTROL DE VOLTAJE MEDIANTE TRANSFORMADORES Los transformadores constituyen los elementos de unión entre redes eléctricas de diferente nivel de tensión. La función primordial que desempeñan consiste en elevar los voltajes de generación a los niveles de transmisión que son requeridos para disminuir pérdidas; y en los puntos de carga disminuir los voltajes de transmisión hasta los niveles adecuados para las redes de distribución. Mediante estos equipos se logra principalmente el control sobre el voltaje y la distribución de potencia reactiva, aun cuando algunos diseños especiales permiten cierto control sobre la potencia activa. De acuerdo a la ley de Faraday, si se enrolla un segundo conductor en el núcleo de material ferromagnético se obtendrá una fuerza electromotriz inducida en las terminales de dicho conductor.
FIGURA 6.12 Representación esquemática de un transformador monofásico.
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CAPÍTULO 6
En esta sección se presenta el desarrollo del circuito equivalente del transformador monofásico. No se modelan los efectos de la corriente de excitación, debido a que no influye sustancialmente en los estudios de flujos y fallas. La Figura 6.13 muestra el circuito equivalente de un transformador monofásico.
FIGURA 6.13 Circuito equivalente de un transformador monofásico.
Donde: ZH Impedancia del devanado H ZX Impedancia del devanado X e,e’ Voltajes inducidos en los devanados nH Número de vueltas del devanado H nX Número de vueltas del devanado X La relación de transformación se define en función del número de vueltas de cada devanado o de los voltajes a circuito abierto como sigue: a=
n H n X
=
V H V X
(6.19)
Para controlar el voltaje es común cambiar la relación de transformación del transformador (tap) para modificar el voltaje en nodos de carga. El transformador no es una fuente de potencia reactiva, sin embargo, el cambio de tap altera la distribución del flujo de reactivos en el sistema, lo que permite obtener un cambio en el perfil de voltaje. Un caso más general es el que contempla la posibilidad de tener cambio de tap en ambos devanados del transformador, como se muestra en la siguiente figura:
a:1 H
1:b y
X
FIGURA 6.14 Representación unifilar del transformador con taps en ambos devanados.
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Para este transformador con dos taps, en la Figura 6.15, se muestra el circuito equivalente para el caso particular de que las terminales b y d se encuentran aterrizadas. a
H
c
y ab
1 − 1 a 2 ab
X
1 − 1 b 2 ab
b
d
FIGURA 6.15 Equivalente del transformador monofásico con taps en ambos devanados.
Para analizar el efecto del cambio de tap en uno de los devanados se considera que tap en el otro devanado permanece sin cambio. Si el tap en el lado c-d es unitario, el circuito equivalente de la Figura 6.15 se simplifica al mostrado a continuación: y0 a c y
H
1-a a 2
y1
X
a
y2
a-1 a
b
d
FIGURA 6.16 Equivalente del transformador monofásico con tap en un devanado.
Analizando las ramas del circuito equivalente de la Figura 6.15 se puede observar que dependiendo de la posición del cambiador de tap se tienen una rama en derivación con comportamiento capacitivo y otra con comportamiento inductivo, o viceversa. En la Tabla 6.1 se muestra la naturaleza de las ramas del circuito equivalente para diferentes valores de la relación de transformación. Tabla 6.1 Rama
a<1
a>1
y0
Inductiva
Inductiva
y1
Inductiva
Capacitiva
y2
Capacitiva
Inductiva
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El flujo de potencia reactiva en el transformador estará gobernado por la posición del cambiador de tap. Cuando la posición del tap sea diferente a la nominal, la tendencia natural del flujo de potencia reactiva será desde la rama capacitiva hacia la rama inductiva, a menos que las condiciones del sistema impongan otra restricción.
6.6 Condensador síncrono. Cuando la maquina síncrona se conecta a una barra infinita, su velocidad voltaje de terminales permanecen fijos e inalterables. Sin embargo, dos variables controlables son la corriente de campo y el par mecánico en la flecha. La variación de la corriente de campo I f (conocida como control del sistema de excitación), se aplica al generador para suministrar o absorber una cantidad variable de potencia reactiva. Suponga que el generador esta entregando potencia de manera que hay cierto ángulo δ entre el voltaje de terminales V de la máquina y el voltaje generado E , como se muestra en la Figura 6.17. La potencia compleja entregada al sistema por el generador está dada en por unidad por: rr
S = P + jQ = V t I ∗ = V t I (cos φ + j sen φ )
(6.20)
Donde: P = V t I cos φ Q = V t Isenφ
(6.21)
Se puede observar que Q es positiva para factores de potencia en atraso ya que el ángulo φ es numéricamente positivo. Si se decide mantener un determinado suministro de potencia activa P desde el generador al sistema de voltaje constante, de debe conservar constante I cosφ como lo muestra la ecuación (6.31). En la Figura 6.6 a) se muestra el lugar geométrico de potencia activa constante y bajo estas condiciones, conforme se varía la corriente de CD de campo I f , el voltaje generado E varía proporcionalmente, manteniéndose constante I cosφ . Se define como excitación norma l , la condición en que: E cos δ = V
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(6.22)
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y se dice que la máquina esta sobreexcitada o subexcitada según E cos δ > V o E cos δ < V , respectivamente. Para la condición de la Figura 6.6a), el generador está sobreexcitado y suministra potencia reactiva Q al sistema. Así desde el punto de vista del sistema, la máquina actúa como un capacitor. La Figura 6.6b) corresponde a un generador subexcitado que suministra la misma cantidad de potencia activa a una corriente en adelanto al sistema, se puede considerar que esta tomando corriente en atraso del sistema. El generador subexcitado toma potencia reactiva del sistema y en este sentido actúa como un inductor. r
E r
jX d I
δ
I X d cosφ
a)
r
φ
V
I X d sen φ
r
I
Lugares geométrico s de
r
E
I X d δ
E cos δ
c)
r
V
r
I I X d sen φ r
E
r
I
r
I X d cos φ
b)
jX d I
φ
δ
FIGURA 6.17 Diagramas fasoriales que muestran el lugar geométrico de un generador a) sobreexcitado, b) con excitación normal, c) generador subexcitado.
Se debe recordar que la potencia real P , se controla abriendo o cerrando las válvulas por las que el vapor o agua entran a la turbina. Si la potencia de entrada al generador se incrementa, la velocidad del rotor empezará a aumentar y si la corriente de campo I f , y por lo tanto E se mantienen constantes, se incrementará el ángulo δ entre E y V . El incremento en δ da como resultado un mayor I a cos φ y por lo tanto el generador entrega mayor potencia activa P a la red.
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6.7 COORDINACIÓN DE CAMBIOS En el problema de control de voltaje es muy importante seleccionar los voltajes de referencia en los nodos de voltaje controlado de tal manera que se mantenga un perfil de voltaje lo más uniforme posible. Esta acción de coordinación se realiza tratando de mantener cierto nivel de reserva de potencia reactiva, o bien minimizando el flujo de reactivos en el sistema. Este es un proceso de optimización, que trata de lograr un perfil de voltaje dentro de un rango operativo y al mismo tiempo obtener la mejor reserva de reactivos posible. Por otro lado, siendo el control de voltaje un problema de naturaleza local, es posible formular varios problemas de control de acuerdo a la estructura del sistema. Esto se basa en que la acción de controles sólo será efectiva si se realiza en puntos cercanos a los nodos con problemas de voltaje. Para simplificar el problema, en cada subsistema se puede seleccionar un nodo que servirá de indicador del nivel de voltaje en el subsistema. El objetivo en este caso es determinar la acción de control mas adecuada para mantener el voltaje en este nodo dentro de la banda operativa seleccionada.
6.7.1 Relación flujos de potencia reactiva – pérdidas de potencia activa En secciones previas se ha mostrado la relación entre el flujo de potencia reactiva y la caída de voltaje. Ahora se tratará de asociar el flujo de reactivos con las pérdidas de potencia activa. En el análisis se considera el sistema de la Figura 6.18. Gi
Vi
V j Z= r + jx
G j
FIGURA 6.18 Análisis de pérdidas de transmisión
Se considera que por la línea de transmisión (nodo j ) se recibe una potencia activa P y cero potencia reactiva. Los nodos i y j son de voltaje controlado. El diagrama fasorial correspondiente se muestra en la Figura 6.19.
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Vi
Ix δ
Ir
V j
I
FIGURA 6.19 Diagrama fasorial para el caso base
Si se incrementa el voltaje en V i y se mantiene constante la potencia activa de la carga y el voltaje V j , se alterará la distribución de reactivos en el sistema y por consiguiente la corriente. En la Figura 6.20 se presenta el diagrama fasorial con el cambio de voltaje. Vi
Ix δ
I
φ
V j
Ir
FIGURA 6.20 Efecto del cambio en el voltaje Vi
El análisis de la Figura 6.20 indica que la magnitud de la corriente debe crecer para mantener la misma componente de corriente en fase con V j , esto de manera de cumplir con la restricción de potencia activa. Al tener una corriente mayor se incrementan las pérdidas de potencia activa ( I 2 r ) . En este caso las pérdidas activas las proporcionará el generador G i, el generador G j tiene una aportación fija de potencia activa a la carga. El balance nodal en este caso es el siguiente. Pc arg a = PGj + Plínea
En cuanto a la potencia reactiva, ahora en el nodo j se recibe potencia reactiva que se consumirá en la carga o se tendrá que absorber en el generador G j . Si el voltaje V i se reduce se tendrá la situación que muestra en el diagrama de la Figura 6.21.
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Vi Ix I φ
Ir
V j
FIGURA 6.21 Efecto de la reducción del voltaje Vi
En este caso nuevamente la magnitud de la corriente aumenta para mantener la restricción de la potencia activa y las relaciones de voltaje, produciendo un incremento en las pérdidas de potencia activa. La expresión analítica de las pérdidas activas (P p) se puede obtener sumando el flujo de potencia activa de i a j y de j a i , el resultado se presenta en la ecuación (6.23) P p =
r 2
r + x
2
(V i
2
+ V j2 − V iV j cos δ ij ) (6.23)
Si sólo se considera V i como variable, la condición de pérdidas mínimas se obtiene derivando (6.24) en respecto a V i e igualando a cero. dP p dV i
=
r 2
r + x 2
(2V − 2V cos δ ) = 0 i
j
ij
(6.24)
simplificando se obtiene V i = V j cos δ ij
(6.25)
De (6.25) se concluye que para diferencias angulares pequeñas, las pérdidas se minimizan cuando las magnitudes de voltajes son iguales. En un caso general se puede decir que con un perfil uniforme de voltaje se reduce el flujo de reactivos y como consecuencia se minimizan las pérdidas de potencia activa en la transmisión.
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6.7.2 Margen de potencia reactiva Uno de los aspectos importantes a considerar cuando se realizan cambios en los voltajes de las fuentes de reactivos, es la reserva de potencia reactiva disponible en cada nodo controlado. Aquí lo importante es tener siempre disponible potencia reactiva para contrarrestar los cambios normales de la carga o cambios en el sistema de transmisión ocasionados por contingencias. Si como resultado de las acciones de control, tratando de mejorar el perfil de voltaje, se reduce la reserva de reactivos en una zona, se corre el riesgo de perder el control de voltaje en esa parte del sistema al no disponer del soporte de reactivos necesarios ante posibles cambios. De acuerdo a los principios presentados anteriormente, la potencia reactiva se debe tener disponible lo más cerca eléctricamente posible de la demanda, de esta forma el concepto de reserva sólo tiene significado en forma local. En el caso de una reserva de reactivos remota se tendrá la circulación de potencia reactiva en grandes distancias y en consecuencia la degradación del perfil de voltaje. La coordinación de voltajes en un sistema debe involucrar criterios preventivos de seguridad, siempre será necesario estar adelante del sistema, de manera de anticipar cambios posibles en la distribución de reactivos.
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