CUPLIKAN KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL MATEMATIKA SMA PROGRAM IPA

CUPLIKAN KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL MATEMATIKA SMA PROGRAM IPA

Diijinkan memperbanyak untuk kepentingan pendidikan, asal tetap menyertakan alamat situsnya

COPYRIGHT © www.soalmatematik.com 2009

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com

1. PANGKAT RASIONAL, BENTUK AKAR DAN LOGARITMA SOAL 1. Nilai dari

36 2

27 3 −

PENYELESAIAN

1 2

(12 )− 2

adalah …

36 2

27 3 −

1 2

1

(12 )− 2

6 a. 13

e.

6 9−4 6 = ……………………………(e) 5

=

2. Diketahui a = 9; b = 16; dan c = 36. Nilai dari  − 13 a

 a. 1 b. 3 c. 9 d. 12 e. 18

−2

6

24 37 24 35 6 5

d.

( )

2

(33 ) 3 − 2 −1

= 2 3 − 22

b. 13 6 c.

=

(6 2 ) 2

−1 ⋅b 2

 − 13 − 12  a ⋅b ⋅c   

3

 ⋅c = … 

3

−1  − 13   9 ⋅ 16 2 ⋅ 36   

=

( ) ⋅ (2 )

 =  32 

− 23 ⋅ 32

=3

− 13

1 4 −2

⋅2

− 42 ⋅ 32

3

2

⋅ 3 ⋅ 2  

2⋅ 32

⋅3

2

⋅2

3 2

2⋅ 32

= 3−1 ⋅ 2−3 ⋅ 33 ⋅ 23 = 3−1+ 3 ⋅ 2−3+ 3 = 32 = 9 …………………..(c)

3

1

3. Nilai dari 3

625 a. b. c. d. e.

0, 25

× 81

0, 5

1

=…

3

3

2

25 2 × 16 4 × 27 3 625 0, 25 × 810,5

2 8 15 16 36

d. 24 –

2

1

1

(54 ) 4 × (34 ) 2

( )

6

a. – 6 – c. – 6 +

=3

= 23

2 −4 3

b. 6 –

3

1

(52 ) 2 × (2 4 ) 4 × (33 ) 3

5 × 23 × 32 =3 2

4. Bentuk sederhana dari

(3

2

25 2 × 16 4 × 27 3

)(

)

2+ 3 =…

(3

2 −4 3

)(

2+ 3

5×3

1 3

= 2 ………….(a)

)

⇔ 3 2 ( 2 + 3) − 4 3( 2 + 3) ⇔ 3( 2) + 3 6 − 4 6 − 4(3)

6 6

⇔ 6 − 12 + (3 − 4) 6 = – 6 –

6 …….. (a)

6

e. 18 + 6

Cermati secara seksama cara pengerjaannya 1 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 5. Bentuk sederhana

PENYELESAIAN

27 − 45 adalah … 3− 5

27 − 45 = 3− 5

9 ⋅3 − 9⋅5 3− 5

b. 7 c. 3

=

3 3 −3 5 3− 5

d. 14 e. 5

=

3( 3 − 5 ) = 3 …………... (c) 3− 5

a. 1

6

6. Nilai dari a. b. c.

1

1 log 3 36 + 2 log 64 =… 5 1 ) log 3 ( 25

6

1

2

1

1 6 log 3 36 + 2 log 64 log 6 3 + 2 log 2− 6 = 5 5 1 ) log 3 (5− 2 ) log 3 ( 25

9 20 20 9 − 10 3

2 ⋅6 3

=

(5) − 2⋅

5

log 3

2 +6 3 ⋅5 log 3− 2

=

d. 12 e. 60

−1

log 6 + 2 log 2 −6

(5) =

20 3

= − 10 ……….. (c) 3 −2

7. Diketahui log 2 = a dan log 3 = b, maka nilai 3

log 15 2 sama dengan …

a. b. c. d. e.

2 (a + b) 3 2 (a – b) 3 2 (1 – a + b) 3 2 (1 + a – b) 3 2 (1 – a – b) 3

a. b.

3 pq + 1 q 2

c. d.

3p2 + 3 q

e.

3p + q2 q

2

= = = =

8. Diketahui 2log 5 = p dan 3log 2 = q. Nilai 3 log 125 + 8log 27 = …

3p + q q p+q 3q

3

log 152 = log15 3 =

3

2 log 5 ⋅ 3 3 2 (log 5 + log 3) 3 2 (log 10 + log 3) 3 2 2 (log10 − log 2 + log 3) 3 2 (1 − a + b) ……… (c) 3

3 log 125 + 8log 27 = 3 log 53 + 2 log 33

= 3 ⋅3 log 5 + 2 log 3

1

= 3 ⋅3 log 2 ⋅2 log 5 + 3 log 2 = 3⋅ q ⋅ p + =

1 q

3 pq 2 + 1 …………….(c) q


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 9. Jika 7log 2 = a dan 2log3 = b, maka 6log 14 = … a. b. c. d.

a a+b a +1 b +1 a +1 a (b + 1) b +1 b(a + 1)

PENYELESAIAN 2 6

log 14 =

log14

2

2

=

log 6 =

=

log 2 + 2 log 7

log 2 + 2 log 3 1 + 1a 2

1+ b a +1 a

1+ b a +1 = ……………..(c) a (b + 1)



2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT SOAL PENYELESAIAN 1. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (a – 1)x + α = 2β 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a > 0 c (i) α ⋅ β = maka nilai a = … −b a α+β= a. 2 a 2 b. 3 2β⋅β = − (a − 1) 1 c. 4 2β + β = 2 1 2β = 2 d. 6 2 3β = 1 – a e. 8 β =1 3(–1) = 1 – a β=±1 a =1+3 β = 1 atau β = –1 = 4 ……...(c) 2. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0, mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan Pers kuadrat lama : kuadrat baru yang akar-akarnya (2x1 – 3) dan 2x2 + 3x – 5 = 0, a = 2, b= 3, c = – 5 (2x2 – 3) adalah … Akar-akar persamaan kuadrat baru a. 2x2 + 9x + 8 = 0 α = 2x1 – 3 dan β = 2x2 – 3 b. x2 + 9x + 8 = 0 2 c. x – 9x – 8 = 0 (i) α + β = 2x1 – 3 + 2x2 – 3 d. 2x2 – 9x + 8 = 0 2 = 2(x1 + x2) – 6 e. x + 9x – 8 = 0 = 2 ( −ab ) – 6 = 2 ( −23 ) – 6 = – 3 – 6 = – 9 (ii) α · β = (2x1 – 3) (2x2 – 3) = 4(x1·x2) – 6x1– 6x2 + 9 = 4(x1·x2) – 6(x1+x2) + 9 = 4 ( ac ) – 6 ( −ab ) + 9 = 4 ( −25 ) – 6 ( −23 ) + 9 = – 10 + 9 + 9 = 8

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x2 – (α + β)x + (α · β) = 0 ⇔ x2 – (– 9)x + 8 = 0 ⇔ x2 + 9x + 8 = 0 …………………………(b)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 3. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya a. b. c. d. e.

x2 – 6x + 1 = 0 x2 + 6x + 1 = 0 x2 – 3x + 1 = 0 x2 + 6x – 1 = 0 x2 – 8x – 1 = 0

α β dan adalah … β α

PENYELESAIAN Pers kuadrat lama : 2x2 – 4x + 1 = 0, a = 2, b = – 4, c = 1 Akar-akar persamaan kuadrat baru

α β dan x2 = β α α β (i) x1 + x2 = + β α x1 =

= =

=

α2 +β2 αβ (α + β ) 2 − 2(α ⋅ β )

αβ ( 42 ) 2 − 2( 12 ) 1 2

= 2(4 – 1) = 6 (ii) x1 · x2 =

α β · =1 β α

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x2 – (x1 + x2)x + (x1 · x2) = 0 ⇔ x2 – 6x + 1 = 0 ………………………..(a) 4. Persamaan kuadrat (k + 2)x2 – (2k – 1)x + k – Akar-akarnya nyata dan sama, maka 1 = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. x1 = x2 dan D = 0 Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah… (i) D = b2 – 4ac 0 = (2k – 1)2 – 4(k + 2) (k – 1) 9 a. 0 = (4k2 – 4k + 1) – 4(k2 +k – 2) 8 0 = 4k2 – 4k + 1– 4k2 – 4k + 8 8 0 = –8k + 9 b. 9 8k = 9

5 2 2 d. 5 1 e. 5 c.

k = 89 (ii) x1 + x2 =

()

9 −b 2k − 1 2 8 − 1 = = 9+2 a k+2 8

=

18 8

− 88 25 8

8 = 2 ….(d) = 10 × 25 8 5


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 5. Agar persamaan kuadrat x2 + (a – 1)x – a + 4 = 0 mempunyai dua akar nyata berbeda, maka nilai a yang memenuhi adalah … a. a < –5 atau a > 3 b. a < –3 atau a > 5 c. a < 3 atau a > 5 d. –5 < a < 3 e. –3 < a < 5

PENYELESAIAN Persamaan kuadrat memiliki dua akar nyata berbeda, maka D > 0 D>0 b2 – 4ac > 0 ⇔ (a – 1)2 – 4 (1)( – a + 4) > 0 ⇔ a2 – 2a + 1 + 4a – 16 > 0 ⇔ a2 + 2a – 15 > 0 ⇔ (a + 5)(a – 3) = 0 a = { –5, 3} karena tanda pertidaksamaannya > , maka HP menggunakan tanda hubunga atau ..………….(a)

6. Himpunan penyelesaian dari x(2x + 5) < 12 Pertidaksamaan : x(2x + 5) < 12 adalah … ⇔ 2x2 + 5x – 12 < 0 a. {x | x < –4 atau x > 32 , x ∈R} Pembentuk nol : 2x2 + 5x – 12 = 0 3 b. {x | x < 2 atau x > 4, x ∈R} ⇔ ( x + 4)(2x – 3)= 0 c. {x | –4 < x < – 32 , x ∈R}

x = {–4, 32 }

d. {x | – 32 < x < 4, x ∈R}

Karena tanda pertidaksamaannya <, maka HP ada di tengah ………..…………………………..(e)

e. {x | –4 < x < 32 , x ∈R} 7. Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi (i) Ordinat titik balik maksimum : ye = D −4a y = –x2 – (p – 2)x + (p – 4) adalah 6. Absis D = ye × (– 4)( a) titik balik maksimum adalah … 2 – 4(–1)(p – 4) = 6 (– 4)( –1) (p – 2) a. –4 2 (p – 4p + 4) + 4p – 16 = 24 b. –2 p2 – 12 = 24 1 p2 = 36 c. – 6 p=±6 d. 1 (ii) Absis titik balik maksimum : xe = −b2a e. 5 xe =

− ( p − 2) 6 − 2 = = – 2 ……….(b) − 2(−1) −2


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL PENYELESAIAN 8. Persamaan grafik fungsi kuadrat dari grafik di Karena grafik memotong sumbu X di (–1, 0), dan bawah ini adalah … (5, 0), serta memotong sumbu Y di (0, 3), maka 1 gunakan rumus: a. y = − 2 ( x + 1)( x − 5) y = a(x – x1)(x – x2) b. y = − 52 ( x + 1)( x − 5) (i) tentukan nilai a 3 y = a(x – x1)(x – x2) c. y = − 5 ( x + 1)( x − 5) 3 = a(0 + 1)(0 – 5) d. y = − 23 ( x + 1)( x − 5) 3 = –5a e. y = − 54 ( x + 1)( x − 5)

9. Grafik fungsi kuadrat dengan titik balik (–1, 4) dan melalui titik (–2, 3), memotong sumbu Y di titik … a. (0, 3) b. (0, 2½ ) c. (0, 2) d. (0, 1½ ) e. (0, 1)

a = −53 Dengan melihat nilai a, sudah dapat diketahui jika jawaban yang benar adalah ……………….. (c) Karena grafik memiliki titik ekstrim (–1, 4) dan melalui itik (–2, 3), maka gunakan rumus: y = a(x – xe)2 + ye (i) tentukan nilai a y = a(x – xe)2 + ye 3 = a(– 2 + 1)2 + 4 3–4=a a = –1 (ii) substitusikan nilai a ke rumus y = a(x – xe)2 + ye y = –1 (x + 1)2 + 4 = –1 (x2 + 2x + 1) + 4 = –x2 – 2x – 1 + 4 = –x2 – 2x + 3 (iii) grafik memotong sumbu Y, maka x = 0 y = –x2 – 2x + 3 y = 02 – 2(0) + 3 = 3 Jadi, grafik memotong sumbu Y di titik (0, 3) …………………………….(a)



3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR 1. Penyelesaian

SOAL dari sistem

3x + 7 y + 2 z = 8  4 x + 2 y − 5 z = −19 adalah …  6 y − 4 z = 14  a. b. c. d. e.

x = 5, y = 3, dan z = 1 x = 4, y = –5, dan z = 1 x = –3, y = 4, dan z = 1 x = –5, y = 3, dan z = 2 x = –5, y = 3, dan z = 1

PENYELESAIAN persamaan Untuk soal model seperti ini (ditanyakan nilai x, y, dan z) cukup lakukan cek point saja terhadap jawaban yang di sediakan. (i) Lihat dulu jawaban yang sudah pasti kebenarannya, Gunakan pers. 3, karena bentuknya yang paling sederhana 6y – 4z = 14 ⇔ 3y – 2z = 7 a. y = 3 dan z = 1 3y – 2z = 7 3(3) – 2(1) = 7 7 = 7 …..(OK) Nilai y dan z pada jawaban a dan e sama, maka kemungkinan jawaban yang benar ada di a atau e (ii) gunakan pers. 1 untuk memeriksa kebenaran jawaban a a. x = 5, y = 3 dan z = 1 3x + 7y + 2z = 8 3(5) + …+ … ≠ 8 ………. Salah karena ruas kiri ≠ ruas kanan maka dapat diketahui jika jawaban a adalah salah yang benar adalah ……………………….(e)



2. Diketahui

SOAL sistem persamaan

1 1 x + y = 2  2 1  − = −3 . Nilai x + y + z = … y z 1 1  − =2 x z a. b. c. d. e.

3 2 1 1 2 1 3

PENYELESAIAN linear Gunakan permisalan Misal

1 1 1 = a , = b , = c maka persamaan y x z

awal menjadi:

a + b = 2.............(1)  2b − c = −3...........(2) a − c = 2...............(3)  gunakan metode eliminasi (i) eliminasi (hilangkan) a

a + b = 2  a − c = 2 − b+c =0 b = – c ……………………..(4) (ii) substitusi (4) ke (2) 2b – c = – 3 2(– c) – c = – 3 3c = 3 c=1=

1 ⇒z=1 z

(iii) substitusi c = 1 ke (4) b=–c =–1=

1 ⇒y=–1 y

(iv) substitusi b = – 1 ke (1) a+b=2 a–1=2 a =3=

1 ⇒x= x

1 3

∴ Nilai x + y + z = 13 – 1 + 1 = 13 ………(e)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL PENYELESAIAN 3. Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke Masalah tersebut jika disajikan dalam tabel adalah: toko koperasi membeli buku tulis, Buku (x) Pena (y) Pensil (z) Bayar pena, dan pensil dengan merk yang Ali 3 1 2 11.000 sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil dengan harga Rp Budi 2 3 1 14.000 11.000,00. Budi membeli 2 buku Cici 1 2 3 11.000 tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1 Dedi 2 1 1 ? buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena, dan 1 Sistem persamaannya adalah: pensil. Berapa rupiah Dedi harus 3 x + y + 2 z = 11.000....................(1) 2 x + 3 y + z = 14.000....................(2) membayar?  a. Rp 6.000,00  b. Rp 7.000,00  x + 2 y + 3 z = 11.000....................(3) c. Rp 8.000,00 2 x + y + z = .................................. ? d. Rp 9.000,00 Untuk menyelesaikan permasalah di atas gunakan metode e. Rp 10.000,00 eliminasi berantai (i) (2) dan (3) ………….(2) 2 x + 3 y + z = 14.000

x + 2 y + 3 z = 11.000 − x + y − 2 z = 3.000 − y + 5 z = 8.000

………….(3) ……….…(4) ………….(5)

(ii) (1) dan (2)

(v) substitusi z = 1.000 ke pers (5) y + 5z = 8.000 y + 5(1.000) = 8.000 y = 3.000 (vi) substitusi y = 3.000 dan z = 1.000 ke pers. (2) 2x + 3y + z = 14.000 2x + 3(3.000) + 1.000 = 14.000 2x = 14.000 – 10.000 = 4.000 ∴2x + y + z = 4.000 + 3.000 + 1.000 = 8.000 …………..(c)

3 x + y + 2 z = 11.000

………….(1)

2 x + 3 y + z = 14.000 − x − 2 y + z = −3.000

………….(2) ……….…(6)

(iii) (4) dan (6)

x + y − 2 z = 3.000

………….(4)

x − 2 y + z = −3.000 − 3 y − 3 z = 6.000

………….(6)

y − z = 2.000

…………(7)

(iv) (5) dan (7) y + 5 z = 8.000 y − z = 2.000 − 6 z = 6.000

………….(5) ………….(7)

z = 1.000



4. TRIGONOMETRI I SOAL 1. Nilai cos ∠BAD pada gambar adalah …

a. 17 33 b. c. d. e.

17 28 3 7 30 34 33 35

PENYELESAIAN Gunakan bantuan tali busur BD

o

Jumlah dua sudut yang berhadapan dalam segi-4 adalah 180° , sehingga: ∠A + ∠C = 180° ∠C = 180° – ∠A

o

Panjang BD dapat dicari dengan menggunakan ∆ BCD dan ∆ BAD (i) ∆ BCD BD2 = 32 + 32 – 2 ⋅ 3 ⋅ 3 cos C = 9 + 9 – 18 cos (180° – A) = 18 – 18 (–cos A) = 18 + 18 cos A …………………(1) (ii) ∆ BAD BD2 = 42 + 62 – 2 ⋅ 4 ⋅ 6 cos A = 16 + 36 – 48 cos A = 52 – 48 cos A ………………..(2)

Dari pers. (1) dan pers. (2) diperoleh BD2 = BD2 18 + 18 cos A = 52 – 48 cos A 18 cos A + 48 cos A = 52 – 18 66 cos A = 34 cos A = 34 = 17 …………(a) 66 33


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL PENYELESAIAN 2. Seorang siswa SMA ingin menaksir tinggi Menentukan panjang P’Q gedung PQ yang tegak lurus permukaan tanah (i) ∆ A’B’Q horizontal AP. Di A ia melihat puncak P' Q tan 30º = gedung Q dengan sudut 30º dan di B dengan A' B ' sudut 60º. Jika AB = 10 meter dan tinggi mata P' Q 1 3 = siswa tersebut 1½ meter dari permukaan 3 10 + B' P' tanah, maka PQ terletak di antara ….. m P’Q = 13 3 (10 + B’P’) ……………(1) ( 3 = 1,7321). (ii) ∆ B’P’Q

P' Q B' P' P' Q 3 = B' P' P’Q = 3 B’P’ …………………….(2)

tan 60º =

a. b. c. d. e.

8½ – 9 9 – 9½ 9½ – 10 10 – 10½ 10½ – 11

Dari pers. (1) dan pers. (2) diperoleh: P’Q = P’Q { 13 3 (10 + B’P’) =

3 B’P’}×

3 3

10 + B’P’ = 3 B’P’ 3B’P’ – B’P’ = 10 2B’P’ = 10 B’P’ = 10 =5 2 Maka P’Q =

3 B’P’ = 5 3

Dengan demikian: PQ = P’Q + PP’ = 5 3 + 1,5 = 8,5 lebih + 1,5 = 10 lebih ……………..(d)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 3. Pada segitiga lancip ABC diketahui panjang sisi

PENYELESAIAN

x cos B = 4 = , maka

AC = 4cm, AB = 5 cm, dan cos B = 4 , 5

5

maka cos C = …

y=

a. 3 5 jadi: sin B =

b. 14 7

r

5 −4 =3 2

2

3 5

c. 3 4

d. e.

1 3 1 2

Gunakan aturan sinus

7

c b = sin C sin B 5 4 = sin C 35

7

4sin C = 3 sin C =

3 y = , maka x = 4 r

jadi: cos C =

7 = 4

1 4

4 2 − 32 =

7

7 ………………….(b)

4. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 60 mil dengan arah 40° dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 90 mil, dengan arah 160° dari B. Jarak terdekat dari pelabuhan A ke C adalah … mil a. 30 2 b. 30 5

c. 30 7 d. 30 10 e. 30 30

berdasarkan gambar di atas panjang AC dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus. AC2 = 602 + 902 – 2 ⋅ 60 ⋅ 90 cos 60 = 3.600 + 8.100 – 2 ⋅ 5400 ⋅ 12

= 11.700 – 5.400 = 6.300 = 7 ⋅ 9 ⋅ 100

BC

=

9 ⋅ 100 ⋅ 7 = 30 7 ……………..(c)



SOAL 5. Diketahui segiempat PQRS dengan PS = 5 cm, PQ = 12 cm, QR = 8cm, besar sudut SPQ = 90°, dan besar sudut SQR = 150°. Luas PQRS adalah …

PENYELESAIAN

(i) tentukan panjang sisi QS QS = = a. b. c. d. e.

2

46 cm 56 cm2 100 cm2 164 cm2 184 cm2

5 2 + 12 2 25 + 144 = 169 = 13

(ii) tentukan luas ∆PQS dan ∆QRS • luas ∆PQS = L1 L1 = 12 ⋅ 12 ⋅ 5 = 30 •

luas ∆QRS = L2 L2 = 12 ⋅ QS ⋅ QR sin 150° = 12 ⋅ 13 ⋅ 8 sin (180 – 30) = 13 ⋅ 4 ⋅ sin 30 = 13 ⋅ 4 ⋅ 12 = 26

Jadi: Luas PQRS = L1 + L2 = 30 + 26 = 56 ……………(b)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 6. Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF

PENYELESAIAN

dengan panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3 7 , dan AC = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …

(i) Tentukan luas alas ABC •

a. 55 2 b. 60 2 c. 75 3 d. 90 3

menentukan besar sudut A ( 3 7 )2 = 32 + 62 – 2 ⋅ 3 ⋅ 6 cos A 9 ⋅ 7 = 9 + 36 – 36 cos A 36 cos A = 45 – 63 = – 18

x = – 12 = , diperoleh cos A = − 18 36 r y=

2 2 − (−1) 2 =

e. 120 3 sehingga sin A =

3 = 2

1 2

3 3

luas ABC adalah: L = 12 AC ⋅ AB ⋅ sin A = 12 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 12

3

= 92 3 (ii) Volume Prisma V = luas alas × tinggi = 92 3 × 20 = 90 3 ………………(d)



5. TRIGONOMETRI II SOAL 1. Nilai dari

cos10

PENYELESAIAN

o

cos 40 o cos 50 o

adalah …

cos10 o cos 40 o cos 50 o

a. 3 b. 2 c. 1 d. 12

⇔

1 4

⇔

e.

sin 75o + sin15o cos105o + cos15o

= ….

cos105o + cos15o

b. – 2 1 3

⇔

3 2 3

⇔ ⇔

3. Diketahui sin A = 3 , cos B = 12 ; A dan B 5

13

2 sin 12 (90 o ) ⋅ cos 12 (60 o ) 2 cos 12 (120 o ) ⋅ cos 12 (90 o ) sin 45 o ⋅ cos 30 o cos 60 o ⋅ cos 45 o 1 2⋅1 3 2 2 1⋅1 2 2

b. c. d. e.

56 33 56 48 56 63 16 33 16 63

2

=

3

3 4 ⇒ cos A = 5 5

•

sin A =

•

sin A tan A = = cos A

•

cos B =

•

sin B tan B = = cos B

sudut lancip. Nilai tan (A + B) = … a.

+ 50 o ) + cos(50 o − 40 o )}

sin 75o + sin15o

3

a. –

d. e.

1 {cos( 40 o 2

2 cos 10 o cos 90 + cos 10 2 cos 10 o ⇔ = 2 ……………………………..(b) 0 + cos 10

2. Nilai dari

c.

cos 10 o

3 5 4 5

3 4

=

12 5 ⇒ sin B = 13 13 5 13 12 13

=

5 12

Gunakan rumus A.3) tan(A + B) = =

=

tan A + tan B 1 − tan A ⋅ tan B 3+ 5 4 12 5 1 − 34 ⋅ 12

9+5 12 5 1− 16

=

14 12 11 16

=

14 16 × 12 11

………………(a) = 56 33


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 4. Ditentukan sin A = 3 . Untuk π < 2A < π, 5 2

PENYELESAIAN

2

nilai tan 2A = … a. 2 6

sin2A =

3 5 3

sin A =

b.

2 5

c.

− 52 6

d.

−2 6

5

6

( 5 )2 − ( 3 )2

y ⇒x= r

=

5−3 =

= tan A =

5

e. –2 6

y = x

3 2

2

= 12 6

2 tan A

maka tan 2A =

1 − tan 2 A 2 × 12 6 6 = = 3 − 12 1− 2 = –2 6 …………..….(e)

5. Diketahui sin α· cos α = 8 . 25

1 sin α 3 25 9 25 5 8 3 5 15 8

Nilai a. b. c. d. e.

− 1 =… cos α

Dimislkan N = N2 =

=

=

N=

1 sin α

− 1

cos α

= N, maka

1 1 cos α − sin α − = sin α cos α sin α ⋅ cos α 2 (cos α − sin α )

(sin α ⋅ cos α ) 2 cos 2 α + sin 2 α − 2 sin α ⋅ cos α (sin α ⋅ cos α ) 2 8 1 − 2 × 25 8 )2 ( 25 3 5 8 25

=

(35 )2 = = (258 )2 (258 )2 9 25

3 25 15 × = 5 8 8

………………………..(e)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com PEMBAHASAN

SOAL 6.

Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 54 dan sin B = 12 , maka sin C = … 13 a. 20 65 b. 36 65 c. 20 65 d. 56 65 e. 63 65

4 x = , ⇒ y = 52 − 4 2 = 5 r 3 maka sin A = 5 12 y = ⇒ x = 13 2 − 12 2 • sin B = 13 r = 25 = 5 5 maka cos B = 13

• cos A =

9=3

Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°, maka • A + B + C = 180° C = 180° – (A + B) sehingga sin C = sin {180° – (A + B)} = sin (A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B

3 5 4 12 ⋅ + ⋅ 5 13 5 13 15 + 48 63 = = …………..(e) 65 65 =



6. TRIGONOMETRI III SOAL 1. Hasil penjumlahan dari semua anggota himpunan penyelesaian persamaan 3tan x + cot x – 2 3 = 0 dengan 0 ≤ x ≤ 2π adalah … a. 5π b. c. d. e.

3 4π 3 7π 6 5π 6 2π 3

PENYELESAIAN 3tan x + cot x – 2 3 = 0 ⇔ {3tan x +

1 – 2 3 = 0}× tan x tan x

⇔ 3tan2x + 1 – 2 3 tan x = 0 ⇔ 3tan2x – 2 3 tan x + 1 = 0 ⇔

( 3 tan x – 1)2 = 0

⇔

3 tan x – 1 = 0

⇔

3 tan x = 1

⇔

tan x = 13 3

⇔

tan x = tan 30°

Lihat rumus A.3) (i) x = 30º + k ⋅ 180º untuk k = 0 ⇒ xº = 30º + (0 ⋅ 180º) = 30º untuk k = 1 ⇒ xº = 30º + (1 ⋅ 180º) = 210º (ii) x = (180º + 30º) + k ⋅ 180º = 210º + k ⋅ 180º untuk k = 0⇒ xº = 210º + (0 ⋅ 180º)= 210º Jadi, jumlah HP adalah : o 30º + 210º = 240º = 240o π = 4π ……………(b)

180

3


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 2. Diketahui persamaan 2cos2x + 3 sin 2x = 1 + 3 , untuk 0 < x < π . Nilai x yang memenuhi adalah … 2

a. b. c. d. e.

π dan π 6

2 π dan 5π 3 12 π dan 5π 12 12

π dan π

12

4

π dan π 6

4

PENYELESAIAN Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut 2cos2x +

3 sin 2x = 1 +

3

⇔

2{ 12 (1 + cos 2x)} +

3 sin 2x = 1 +

3

⇔

1 + cos 2x +

3 sin 2x = 1 +

3

⇔

{cos 2x +

⇔ ⇔ ⇔

3 }× 12

3 sin 2x =

1 cos 2x + 1 3 sin 2x = 2 2 1 cos 2x · 2 + sin 2x · 12 3 = sin 2x · 12 3 + cos 2x · 12 =

1 2 1 2 1 2

3 3 3

⇔ sin 2x · cos 30° + cos 2x · sin 30° = sin 60° ⇔ sin (2x + 30°) = sin 60° (i) 2xº + 30º = 60° + k · 360° (kwadran I) 2xº = 30° + k · 360° x° = 15° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 15° + (0 · 180°) o π = 15° = 15 o π = 12 180

(ii) 2x° + 30° = 180° – 60 ° + k · 360° (kw II) 2x° = 90° + k · 360° x° = 45° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 45° + (0 · 180°) o = 45° = 45 o π = π4 180

π , π } ………….…………(d) Jadi, HP = { 12 4


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 3. Himpunan penyelesaian persamaan

PENYELESAIAN Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut

2 3 cos 2x – 4 sin x·cos x = 2 dengan 0 ≤ x ≤ 2π adalah … a. π , 3π , 13π

⇔ 2 3 cos 2x – 2(2sin x·cos x) = 2

b.

⇔ 12 3 cos 2x – 12 sin 2x = 12

c. d. e.

{12 4 12 } {34π , 56π , 1312π } {136π , 56π , 42π } {32π , 34π , π6 } {34π , 54π , 1312π }

2 3 cos 2x – 4 sin x·cos x = 2 ⇔ {2 3 cos 2x – 2· sin 2x = 2}× 14 ⇔ cos 2x · 12 3 – sin 2x · 12 = 12 ⇔ cos 2x · cos 30° – sin 2x · sin30° = cos 60° ⇔ cos (2x +30)° = cos 60° (i) 2x° +30° = 60° + k · 360° (kwadran I) 2x° = 60° – 30° + k · 360° x° = 30° – 15° + k · 180° x° = 15° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 15° + (0 · 180°) o π = 15º = 15 o π = 12 180 untuk k = 1 ⇒ xº = 15° + (1 · 180°) o = 195º = 195 π = 1312π 180o

(ii) 2x° +30° = –60° + k · 360° (kwadran IV) 2x° = –60° – 30° + k · 360° x° = –30° – 15° + k · 180° x° = –45° + k · 180° untuk k = 1 ⇒ xº = –45° + (1 · 180°) o = 135º = 135o π = 34π 180 untuk k = 2 ⇒ xº = –45° + (2 · 180°) o = 315º = 315o π = 74π 180

π , 3π , 13π , 7π } ……………(a) Jadi, HP = { 12 4 12 4

catatan: Jika Anda jeli, sebenarnya jawaban sudah π , nampak pada saat diperoleh nilai x = 12

yang hanya dimiliki oleh poin (a) sehingga perhitungan selanjutnya tidak perlu dilakukan supaya lebih menghemat waktu.


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 4. Himpunan penyelesaian persamaan sin 4x – cos 2x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah … a. {15°, 45°, 75°, 135°} b. {135°, 195°, 225°, 255°} c. {15°, 45°, 195°, 225°} d. {15°, 75°, 195°, 225°} e. {15°,45°,75°,135°,195°,225°,255°, 315°}

PENYELESAIAN sin 4x – cos 2x = 0 ⇔ sin 2(2x) – cos 2x = 0 ⇔ 2sin 2x · cos 2x – cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2sin 2x – 1) = 0 (a) cos 2x = 0 cos 2x = cos 90° (i) 2x° = 90° + k · 360° (kwadran I) x° = 45° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 45° + (0 · 180°) = 45º untuk k = 1 ⇒ xº = 45° + (1 · 180°) = 225º (ii) 2x° = –90° + k · 360° (kwadran IV) x° = –45° + k · 180° untuk k = 1 ⇒ xº = –45° + (1 · 180°) = 135º untuk k = 2 ⇒ xº = –45° + (2 · 180°) = 315º (b) 2sin 2x – 1 = 0 sin 2x = 12 sin 2x = sin 30º (i) 2xº = 30° + k · 360° (kwadran I) x° = 15° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 15° + (0 · 180°) = 15° untuk k = 1 ⇒ xº = 15° + (1 · 180°) =195° (ii) 2x° = 180° – 30 ° + k · 360° (kw II) x° = 90° – 15° + k · 180° x° = 75° + k · 180° untuk k = 0 ⇒ xº = 75° + (0 · 180°) = 75° untuk k = 1 ⇒ xº = 75° + (1 · 180°) =225° Dari langkah (a) dan (b) diperoleh: HP = {15°,45°,75°,135°,195°,225°,255°, 315°} …………………………………………….(e)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan cos 2xº > ½, untuk 0 ≤ x < 180 adalah … a. {x | 30 < x < 150} b. {x | 0 ≤ x < 60} c. {x | 150 < x < 180} d. {x | 0 ≤ x < 15 atau 165 < x ≤ 180} e. {x | 0 ≤ x < 30 atau 150 < x < 180}

PENYELESAIAN cos 2xº > ½, untuk 0 ≤ x < 180 untuk menyelesaikannya kedua ruas rubah menjadi fungsi kosinus. cos 2xº > 12 ⇔ cos 2xº > cos 60º ⇔ cos 2xº – cos 60º > 0 •

cari nilai x pembentuk nol persamaan cos 2xº = cos 60º

(i) 2xº = 60º + k ⋅ 360º (kwadran I) xº = 30º + k ⋅ 180º untuk k = 0 ⇒ xº = 30º + (0 ⋅ 180º) = 30º (ii) 2xº = –60º + k ⋅ 360º (kwadran IV) xº = –30º + k ⋅ 180º untuk k = 1 ⇒ xº = –30º + (1 ⋅ 180º) = 150º Jadi, pembentuk nolnya xº = {30º, 150º} • Buat grafik himpunan penyelesaiannya

Berdasarkan grafik di atas maka: HP = {x | 0 ≤ x < 30 atau 150 < x < 180} ……(e)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 6. Himpunan penyelesaian dari sin (3x + 75)º < 1 2

3 untuk 0 ≤ x ≤ 180º

adalah … a. {x | 15 < x < 115, 135 < x ≤ 180} b. {x | 0 ≤ x < 15, 115 < x < 135} c. {x | 0 ≤ x < 115, 135 < x ≤ 180} d. {x | 0 ≤ x < 15, 135 < x ≤ 180} e. {x | 25 < x < 105, 145 < x ≤ 180}

PENYELESAIAN sin (3x + 75)º < 1 2

3 untuk 0 ≤ x ≤ 180º

untuk menyelesaikannya kedua ruas rubah menjadi fungsi sinus. sin (3x + 75)º < 1 3 2

⇔ sin (3x + 75)º < sin 60º ⇔ sin (3x + 75)º – sin 60º < 0 •

cari nilai x pembentuk nol persamaan sin (3x + 75)º = sin 60º

(i) 3xº + 75º = 60º + k ⋅ 360º (kwadran I) 3xº = 60º – 75º + k ⋅ 360º xº = 20º – 25º + k ⋅ 120º xº = – 5º + k ⋅ 120º untuk k = 1 ⇒ xº = – 5º + (1 ⋅ 120º) = 115º (ii) 3xº + 75º = (180º – 60º) + k ⋅ 360º (kw II) 3xº = 120º – 75º + k ⋅ 360º xº = 40º – 25º + k ⋅ 120º xº = 15º + k ⋅ 120º untuk k = 0 ⇒ xº = 15º + (0 ⋅ 120º) = 15º untuk k = 1 ⇒ xº = 15º + (1 ⋅ 120º) = 135º jadi, pembentuk nolnya xº = {15º, 115º, 135º} •

Buat grafik himpunan penyelesaiannya

Berdasarkan grafik di atas maka: HP = {x | 15 < x < 115, 135 < x ≤ 180} …..…(a)



7. LOGIKA MATEMATIKA SOAL 1. Diketahui tiga premis sebagai berikut P1 : p ⇒ q ………………….(1) P2 : ~r ⇒ q ………………….(2) P3 : ~ r___ …………………..(3) ∴………. Kesimpulan berikut yang tidak sah adalah..... a. q ∨ r b. q c. p ∧ ~ q d. p ∨ q e. p ∨ ~ r

PENYELESAIAN

Uraian di samping jika diringkas adalah sbb: P1 : ( p ⇒ q ) = B ……………(iii) B/S ⇒ B = B P2 : ( ~r ⇒ q ) = B …………….(ii) B⇒B =B P3 : ( ~ r )___ = B …………….(i)

(1) Bentuk penarikan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan metode penarikan kesimpulan yang ada, baik dengan MP, MT, ataupun silogisme.

Maka diproleh data ~r = B, q = B, dan p = B/S

(2) Untuk menyelesaikannya gunakan prinsip utama penarikan kesimpulan, yaitu “kesimpulan suatu dari data yang telah diperoleh kemudian pernyataan akan bernilai benar jika semua dicek jawabannya satu persatu premisnya adalah benar” a) q ∨ r sehingga P1, P2, dan P3 harus benar B ∨ S = B ………….rumus C.2) (i) Pertama-tama pilih bentuk yang paling b) q = B sederhana yaitu P3 P3 : ~r = B c) p ∧ ~ q B/S ∧ S = S ………… rumus C.1) (ii) pilih premis yang memuat ~r , yaitu P2, P2 juga harus benar. Dari langkah (i) Jadi, jawaban yang salah adalah ……..(c) diperoleh hasil ~r = B P2 : (~r ⇒ q) = B B⇒…=B supaya P2 benar, maka q = B (iii) terakhir ke P1, P1 juga harus benar dari langkah (ii) diperoleh hasil q = B P3 : (p ⇒ q) = B …⇒B =B supaya p3 benar, maka P = B atau S


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 2. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1: Jika Anik lulus ujian, maka ia kuliah di perguruan tinggi negeri. Premis 2: Jika Anik kuliah di perguruan tinggi negeri, maka Anik jadi sarjana. Premis 3 : Anik bukan sarjana Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah … a. Anik lulus ujian b. Anik kuliah di perguruan tinggi negeri c. Anik tidak lulus ujian d. Anik lulus ujian dan kuliah di perguruan tinggi negeri e. Anik lulus ujian dan tidak kuliah

PENYELESAIAN Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: Premis 1 Premis 2 Premis 3

:p⇒q :q⇒r : ~r_____

Kesimpulanany adalah Premis 1 : p ⇒ q Premis 2 : q ⇒ r Premis 4 p ⇒ r ………… (1) dan (2) silogisme Premis 3 : ~r___ ~p ………….…(4) dan (3) MT ~p Jika diuraikan adalah ………………..….(c)

3. Diberikan premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka semua bahan pokok naik Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak senang

Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: Premis 1 : p ⇒ q Premis 2 : q ⇒ ∀(~r) ………….silogisme Kesimpulan : p ⇒ ∀(~r)

Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah … a. Harga BBM tidak naik Negasi dari p ⇒ ∀(~r) adalah: b. Jika harga bahan pokok naik, maka ada ~( p ⇒ ∀(~r)) ≡ p ∧ ~(∀(~r)) orang orang tidak senang ≡ p ∧ ∃r c. Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang p ∧ ∃r Jika diuraikan adalah ………………….(e) d. Jika semua orang tidak senang, maka harga BBM naik e. Harga BBM naik dan ada orang yang senang



8. DIMENSI TIGA (JARAK) SOAL 1. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. Titik K pada perpanjangan DA sehingga KA = 13 KD. Jarak titik K ke

PENYELESAIAN

bidang BDHF adalah … cm a. 14 a 2 b. 34 a 2 c. 23 a 3 d. 34 a 3 e. 54 a 3

Jika KA = 13 KD, maka AD = 23 KD

{23 KD = a}× 32 KD = 32 a

KL = KD 2 = 32 a 2 Berdasarkan gambar , Jarak titik K ke bidang BDHF adalah ruas garis KP, panjangnya adalah KP = 12 KL = 12 ⋅ 32 a 2 = 34 a 3 ……………………(d)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 2. Diketahui limas segi empat beraturan

PENYELESAIAN

T.ABCD dengan AB = 6 2 cm dan AT = 10 cm. Apabila P titik tengah CT, maka jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah … cm

AC = (6 2 ) 2 = 12 OC = 12 AC = 6 a. 5 b. 6 c. 7

OT = =

10 2 − 6 2

=

100 − 36 =

cos α =

OC 6 3 = = CT 10 5

d. 3 2 e. 2 3

CT 2 − OC 2

64 = 8

Berdasarkan gambar, jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah ruas OP yang panjangnya dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus sbb: OP2 = CP2 + OC2 – 2CP ⋅ OC cos α = 52 + 62 – 2 ⋅5⋅ 6⋅

3 5

= 25 + 36 – 36 = 25 OP = 5 ………………………………………(a)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 3. Diketahui limas beraturan T.ABCD rusuk

PENYELESAIAN

TA = 4 2 dan AB = 4. Jarak A ke TC adalah …

AC = 4 2 OT =

a. b.

1 2

6 6

c. 2 6

AT 2 − AO 2 =

(4 2 )2 − (2 2 )2

=

22 ⋅ 22 ⋅ 2 − 22 ⋅ 2

=

2 2 (8 − 2)

=2 6

d. 3 6 e. 4 6

Berdasarkan gambar , Jarak titik A ke TC adalah ruas garis AP, panjangnya dapat dicari dengan bantuan luasan segitiga sbb:

1⋅ 2

l ∆ ACT = l ∆ ACT TC ⋅ AP = 12 ⋅ AC ⋅ OT

4 2 ⋅ AP = 4 2 ⋅ 2 6 AP = 2 6 …………………………(c)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2CG. Panjang proyeksi CP pada bidang BDP adalah … cm

a. b. c. d. e.

14 9 2 8 2 7 2 3 6

PENYELESAIAN

( )2

12 2 + 3 2

PR = =

3 2 ⋅ 4 2 + 32 ⋅ 2

=

3 2 (4 2 + 2) = 3 4 2 + 2 = 3 18 = 9 2

Posisi benda dengan bayangannnya adalah selalu tegak lurus, maka proyeksi CP terhadap bidang BDP adalah PQ. Panjang ruas garis PQ dapat dicari dengan menggunakan bantuan kosinus sudut α ∆ PQR dan ∆ PCR sbb: Cos α ∆ PQR = cos α ∆ PCR

PQ PC PQ 12 PQ 12

= = =

PC PR 12 9 2 4 3 2

3 2 PQ = 12 × 4 2 PQ = 4 × 4 PQ =

16 2

=

16 2 = 8 2 ……(c) 2



9. DIMENSI TIGA (SUDUT) SOAL 1. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10cm, BC = 5cm dan CG = 10cm. Jika titik P pada pertengahan AB dan titik Q pada pertengahan CG, maka kosinus sudut yang dibentuk oleh PQ dengan alas adalah …

PENYELESAIAN

a. 12 3 b.

3

c. 13 6 d. 23 6 e. 3 2

CQ = 5 2 PQ =

CQ 2 + CP 2 =

(5 2 )2 +52

=

5 2 ⋅ 2 +5 2

=

5 2 (2 + 1)

=5 3 Berdasarkan gambar di atas sudut yang dibentuk garis PQ dan bidang alas adalah α. Sehingga: cos α =

CQ 5 2 = PQ 5 3 = 13 6 …………………………(c)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 2. Limas segitiga T.ABC pada gambar, dengan alas segitiga sama sisi. TA tegak lurus bidang alas. Sudut antara bidang TBC dan ABC adalah α, maka sin α adalah …

PENYELESAIAN

AD =

a. b. c. d. e.

5 7 2 6

6 10 2 10 1 6

AB 2 + BD 2

=

(4 2 ) 2 + (2 2 ) 2

=

22 ⋅ 22 ⋅ 2 + 22 ⋅ 2

=

2 2 ⋅ 2(2 + 1) =

TD = =

22 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2 6

AT 2 + AD 2

=

4 2 + (2 6 ) 2

=

22 ⋅ 22 + 22 ⋅ 2 ⋅ 3

=

2 2 ( 4 + 6) = 2 10

Berdasarkan gambar di atas, sinus sudut antara bidang TBC dan ABC adalah : sin α =

4 AT = = TD 2 10

2 10

………………(d)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 3. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus antara bidang TAB dan bidang ABC adalah … a. b. c. d. e.

PENYELESAIAN

69 2 69 6 138 24 138 12 138 6

PC =

BC 2 − PB 2 =

6 2 −3 2

=

3 2 ⋅ 2 2 −3 2

=

32 (4 − 1)

=3 3 OP = 13 PC = 13 ⋅ 3 3 = PT =

BT 2 − PB 2 =

3 9 2 −3 2

=

3 2 ⋅ 3 2 −3 2

=

32 (9 − 1)

=

32 ⋅ 2 2 ⋅ 2

=6 2 Berdasarkan gambar di atas, misal sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah α, maka: sin α =

OT 69 = PT 6 2 138 138 = = …………(d) 6⋅2 12


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 4. Perhatikan gambar limas beraturan T.ABCD. P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB, AD, BC, dan CD. Nilai sinus sudut antara bidang TPQ dengan bidang TRS adalah …

PENYELESAIAN

AC = 12 2

12 AK = KL = LM = MC = 14 AC = 2 =3 2 a. b. c. d. e.

2 5 3 5 4 5 3 5 4 5

4 12 KM = AL = LC = 12 AC = 2= 6 2 2 TL =

( )2

AT 2 − AL 2 = 12 2 − 6 2

5

=

6 2 ⋅ 2 2 − 6 2 ⋅2

=

6 2 (4 − 2)

= 6 2

5 KT =

(6 2 )2 +(3 2 )2

TL2 + KL 2 = =

3 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 + 3 2 ⋅2

=

32 (8 + 2)

= 3 10 Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: KM2 = KT2 + MT2 – 2 ⋅ KT ⋅ MT cos α (6 2 )2 = (3 10 )2 + (3 10 )2 – 2 ⋅ 3 10 ⋅ 3 10 cos α

32 ⋅ 22 ⋅ 2 = 2 ⋅ 32 ⋅ 2 ⋅ 5 – 2 ⋅ 32 ⋅ 2 ⋅ 5 cos α 2 = 5 – 5 cos α 5 cos α = 3 cos α = jadi: sin α =

3 x = , maka y = 5 2 − 3 2 = 4 5 r

y 4 = ………………………..(c) r 5



10. STATISTIKA SOAL 1. Berat (kg) Titik tengah fi ui fi·ui 40 – 49 …… 3 … … 50 – 59 …… 10 – 1 … 60 – 69 64,5 13 0 … 70 – 79 …… 9 … … 80 – 89 …… 5 … … …… … … Berat badan dari 40 siswa dalam kg tercatat pada tabel di samping. Rataan berat badan tersebut adalah … a. 65 b. 65,25 c. 65,75 d. 66,5 e. 67

PENYELESAIAN Soal ini meminta pengerjaan nilai rataan hitung menggunakan cara sandi. Titik-titiknya tidak perlu di isi semua, isi saja yang dibutuhkan. Berat (kg) Titik tengah fi ui fi·ui 40 – 49 …… 3 –2 –6 50 – 59 …… 10 –1 –10 60 – 69 64,5 13 0 0 70 – 79 …… 9 1 9 80 – 89 …… 5 2 10 ∑ …… 40 3 Dari tabel di atas dapat diperoleh data sbb:

Xs c

∑ fi ∑ f i ⋅ ui

= 64,5 = 50 – 40 = 59 – 49 = 10

= 40 =3

jadi,

 ∑ f i ⋅ ui  c X = Xs +    f ∑ i    3  = 64,5 +  10  40  3 = 64,5 + = 64,5 + 0,75 = 65,25 ………..(b) 4 Amati histogram dengan seksama: kelas modus ada di kelas ke-3 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 14

2.

Modus dari data pada gambar adalah … a. 13,05 b. 13,50 c. 13,75 d. 14,05 e. 14,25

(ii) dari kelas ke-3 diperoleh data Lmo = 10,5 c = 15,5 – 10,5 = 5 d1 = 14 – 8 = 6 d2 = 14 – 12 = 2 1 Mo = L mo +   d1 + d 2

d

c  

 6  5 6+2 30 = 10,5 + 8 15 = 10,5 + 4

= 10,5 + 

= 10,5 + 3,75 = 14,25 ……………………..(e) Cermati secara seksama cara pengerjaannya 36 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 3. Perhatikan tabel berikut! Median dari data yang disajikan berikut adalah … Nilai Frekuensi a. 32 20 – 24 2 b. 37,625 25 – 29 8 c. 38,25 30 – 34 10 d. 43,25 35 – 39 16 e. 44,50 40 – 44 12 45 – 49 8 50 – 54 4

PENYELESAIAN Untuk mencari nilai median atau kuartil ke-2 (Q2) dibuat tabel frekuensi kumulatif (fk) Nilai fi fk 20 – 24 2 2 25 – 29 8 10 30 – 34 10 20 35 – 39 16 36 40 – 44 12 48 45 – 49 8 56 50 – 54 4 60 60 Σ (i) menentukan letak kuartil Median XQ2 =

2 i × n = × 60 = 30 4 4

Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke4 memuat data ke-21 s.d data ke-36 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: LQ2 = 35 – 0,5 = 34,5

i n 4

= XQ2 = 30,

∑ fk

= 20

fQ2 c

= 16, = 25 - 20 = 29 - 24 = 5

Jadi:

 4i N − ∑ f k  c  f Qi    30 − 20  Q2 = 34,5 +  5  16  2× 5× 5 1 = 34,5 + 3 = 34,5 + 2×8 8 Qi = L Qi +  

= 37,625 ………………(b)

(jangan repot-repot menghitung nilai

1 8

berapa,

cukup menghitung nilai pendekatannya saja, yaitu 34,5 + 3,… = 37,5 lebih……………………………………..(b)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 4.

Nilai ulangan harian dari suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Kuartil bawah data tersebut adalah… a. 76 b. 74,5 c. 73,5 d. 72,5 e. 71,5

PENYELESAIAN Cara penyelesaiannya sama seperti no. 10 fi fk (i) menentukan letak kuartil bawah 3 3 1 i XQ1 = × n = × 40 = 10 5 8 4 4 10 18 9 27 Data ke-10 terletak di kelas ke8 35 3, karena kelas ke- 3 memuat 5 40 data ke-9 s.d data ke-18 40 Dari kelas ke-3 (lihat diagram) diperoleh data sbb: LQ1 = 12 (75 + 70) = 72,5

i n = XQ1 = 10 4 ∑ f k = 8 ………………..lihat tabel di atas = 10 fQ1 c = 75 – 70 = 5 Jadi:

 4i N − ∑ f k  c  f Qi    10 − 8  Q1 = 72,5 +  5  10  10 = 72,5 + = 72,5 + 1 = 73,5……………(c) 10 Qi = L Qi +  


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 5. Simpangan baku dari 3,4,4,4,5,5,5,7,8 adalah … a. 23 2 b. c. d. e.

1 3 2 3 1 3 2 3

data: •

PENYELESAIAN tentukan dulu nilai rata-ratanya

3 + 3(4) + 3(5) + 7 + 8 9 3 + 12 + 15 + 7 + 8 45 = = =5 9 9

x=

5 5

•

Tentukan nilai variannya 2 ∑ (x i − x ) S = n

6

2

6

•

=

(3−5)2 +3( 4−5) 2 +3(5−5)2 + ( 7 −5)2 + (8−5)2 9

=

4 + 3 + 0 + 4 + 9 20 = 9 9

Nilai simpangan baku S=

S2 =

20

9 4⋅5 = 3 2 5 = = 3

2 3

5 ………………(d)



11. PELUANG SOAL 1. Dari angka-angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak ada angka yang berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah … a. 60 b. 80 c. 96 d. 109 e. 120

PENYELESAIAN Angka yang disediakan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Masalah ini diselesaikan dengan aturan perkalian Bilangan yang lebih besar dari 320 kemungkinannya adalah: (i) ratusan : 3…………………………ada 1 pilihan puluhan : 2 ………………….……..ada 1 pilihan satuan : x > 0, x ≠ {3, 2}..……….ada 4 pilihan 1 1 4 :1×1×4=4 (ii) ratusan : 3………………………...ada 1 pilihan puluhan : x1 > 2, x1 ≠ 3……….……ada 3 pilihan satuan : x2 ≠ {3, x1}, …………….ada 5 pilihan 1 3 5 : 1 × 3 × 5 = 15 (iii) ratusan : x1 > 3………………….ada 3 pilihan puluhan : x2 ≠ x1……….………...ada 6 pilihan satuan : x3 ≠ { x1, x2}, ………….ada 5 pilihan 3 6 5 : 3 × 6 × 5 = 90 Jadi, jumlah seluruh bilangan yang mungkin adalah: 4 + 15 + 90 = 109

2. Dua buah dadu dilempar undi satu kali. • S = 2 dadu, dadu memiliki 6 buah sisi (1,2,3,4,5,6) Peluang munculnya mata dadu jumlah 5 n(S) = 62 = 36 atau 9 adalah … • A = muncul mata dadu berjumlah 5 a. 1 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} 18 n(A) =4 b. 5 36 • B = muncul mata dadu berjumlah 9 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} c. 2 9 n(B) = 4 d. 1 4 pada soal, peluangnya menggunakan kata atau 1 e. sehingga peluangnya adalah P(A∪B) 3 • P(A∪B) = P(A) + P(B)

n( A) n( B) + n( S ) n( S ) 4 4 1 1 2 = + = + = ………..(c) 36 36 9 9 9

=


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL PENYELESAIAN 3. Tiga buah mata uang logam dilepar undi • S = 3 uang logam, uang memiliki 2 buah sisi bersama-sama sebanyak 40 kali. Frekuensi (angka A, dan gambar G) harapan munculnya dua angka dan satu n(S) = 23 = 8 gambar adalah … • A = muncul 2 angka 1 gambar a. 12 = {AAG, AGA, GAA} b. 13 n(A) =3 c. 15 d. 37 n( A) 3 • P(A) = = e. 38

n( S )

8

• Fh(A) = P(A) × n =

3 × 40 = 3 × 5 = 15 ………………..(c) 8

4. Dalam sebuah kotak terdapat 10 bola S = 10 (4 rusak + 6 hidup) lampu yang 4 diantaranya rusak. Jika A = 3 hidup dipilih 3 bola lampu, maka peluang terpilih (i) n(S) = mengambil 3 dari 10 = C310 lampu yang tidak rusak adalah … a.

1 6

b.

2 21 1 12 1 20 1 30

c. d. e.

C310 =

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7! = 3!⋅(10 − 3)! 3 ⋅ 2 ⋅ 7! = 10 · 3 · 4 = 120

(ii) n(A) = mengambil 3 dari 6 = C36

C36 = (iii) P(A) =

6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 6! = = 2 · 5 · 2 = 20 3!⋅(6 − 3)! 3 ⋅ 2 ⋅ 3!

n( A) 20 1 = = …………………(a) n( S ) 120 6


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL PENYELESAIAN 5. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng S = 12 (7m + 5p) merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu A = 3 (sekurang-kurangnya 1p) diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 (i) n(S) = memilih 3 dari 12 = C 12 3 kelereng putih adalah … a. b. c. d. e.

7 44 10 44 34 44 35 44 37 44

C312 =

12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9! 12! = 3!⋅(12 − 3)! 3 ⋅ 2 ⋅ 9!

= 2 · 11 · 10 (ii) n(A) = mengambil 3, minimal 1 putih, kemungkinannya yaitu •

1p dan 2m = C15 × C 27 = 5 ×

7 ⋅ 6 ⋅ 5! 2 ⋅ 5!

=5·7·3 •

2p dan 1m = C 25 × C17 =

5 ⋅ 4 ⋅ 3! ×7 2 ⋅ 3!

= 105

=5·2·7 •

3p dan 0m = C35 × C 07 =

5 ⋅ 4 ⋅ 3! ×1 2 ⋅ 3!

=5·2 jadi, n(A) = 105 + 70 + 10 = 185 (iii) P(A) =

= 70

= 10

n( A) 185 37 = = n( S ) 2 ⋅ 11 ⋅ 10 2 ⋅ 11 ⋅ 2 37 = …………(e) 44

6. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola • SI = 5 (3m + 2p) putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 5 ⋅ 4 ⋅ 3! = 10 n(SI) = ambil 2 dari 5 = C 25 = bola biru. Dari masing-masing kotak 2 ⋅ 3! diambil 2 bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola merah dari • n(SII) = 8 (3h + 5b) 8 ⋅ 7 ⋅ 6! kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah n(SI) = ambil 2 dari 8 = C 28 = = 28 … 2 ⋅ 6! a. b. c. d. e.

1 10 3 28 4 15 3 8 57 140

• A

= ambil 2 bola merah dari kotak I

n(A) = C 23 = 3 • B

= ambil 2 bola biru dari kotak II

n(B) = C 25 =

5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3! = 10 2!⋅(5 − 2)! 2 ⋅ 3!

pada soal, peluangnya menggunakan kata dan sehingga peluangnya adalah P(A∩B) • P(A∩B) = P(A) × P(B) =

n( A) n( B ) × n( S I ) n( S II )

3 ……………….(b) = 3 × 10 = 10

28

28



12. LINGKARAN SOAL 1. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0 di titik yang absisnya 3 adalah … a. x + y + 2 = 0 b. x – y – 2 = 0 c. x + y – 2 = 0 d. x – y + 2 = 0 e. –x + y + 2 = 0

PENYELESAIAN •

Menentukan titik singgung lingkaran Absis = x = 3, untuk mendapatkan nilai y maka substitusikan nilai x = 3 ke persamaan lingkaran l : x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0 32 + y2 – 4(3) + 4y + 6 = 0 y2 + 4y + 3 = 0 (y + 1)(y + 3) = 0 y = {– 1, –3} jadi, titik singgungnya adalah di (3, –1) dan (3, –3)

•

Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0 (i) di titik (3, –1) xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 3x – y + ½(–4)(x + 3) + ½(4)(y – 1) + 6 = 0 3x – y – 2x – 6 + 2y – 2 + 6 = 0 x + y – 2 = 0 …………………………..(c)

2. Persamaan garis singgung melalui titik (9,0) • pada lingkaran x2 + y2 = 36 adalah … a. 2x +y 5 = 18 dan 2x – y 5 = 18

b. 2x +y 5 = 18 dan –2x + y 5 = 18 c. 2x +y 5 = –18 dan –2x – y 5 = –18 d. x 5 + 2y = 18 dan x 5 – 2y = 18 e. x 5 + 2y = –18 dan x 5 – 2y = –18

periksa posisi titik (9, 0) terhadap lingkaran l : x2 + y2 = 36 x2 + y2 = 92 + 02 = 81 > 36, maka titik ada di luar lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan rumus B.2)

•

Menentukan persamaan garis kutub Pada titik (9, 0) xx1 + yy1 = r2 x(9) + y(0) = 36 x =4

•

Menentukan titik singgung Substitusikan nilai x = 4 ke lingkaran l : x2 + y2 = 36 42 + y2 = 36 y2 = 20 y = ± 2 5 , Jadi titik singgungnya (4, 2 5 ) atau (4, − 2 5 )

•

Menentukan persamaan garis singgung Pada lingkaran l: x2 + y2 = 4 di titik (4, ± 2 5 ) xx1 + yy1 = r2 4x ± 2 5 y = 36 2x ± 5 y = 18……….…………………. (a)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 3. Salah satu garis singgung yang bersudut 120º • terhadap sumbu X positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2) adalah … a. y = – x 3 + 4 3 +12

•

b. y = – x 3 – 4 3 +8

PENYELESAIAN Gradien garis singgung m m = tan 120º = tan (180 – 60) º = tan (–60)º = − 3 Ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2), maka (i) Diameter lingkaran D

c. y = – x 3 + 4 3 – 4

D=

d. y = – x 3 – 4 3 – 8

=

e. y = – x 3 + 4 3 + 22

(7 − 1) 2 + (6 − (−2)) 2 100 = 10

jari-jari r = ½D = ½(10) = 5 (ii) Pusat lingkaran P(a, b) Pusat = 12 (7 + 1, 6 + (–2)) = 12 (8, 4) = (4, 2) •

Persamaan garis singgung lingkaran Dari perhitungan di atas diperoleh: Pusat P(4, 2) , gradien m = − 3 dan jari-jari r = 5, maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3) y – b = m(x – a) ± r m 2 + 1 y – 2 = − 3 (x – 4) ± 5 ( 3 ) 2 + 1 y–2= −x 3 + 4 3 ±5⋅2 y = − x 3 + 4 3 + 2 ± 10, jadi: (i) y = − x 3 + 4 3 – 8 atau (ii) y = − x 3 + 4 3 + 12 …………….(a)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran • x2 + y2 – 4x – 8y + 15 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 6 adalah … a. 2x – y + 3 = 0 b. 2x – y + 5 = 0 c. 2x – y + 7 = 0 d. 2x – y + 13 = 0 e. 2x – y + 25 = 0

PENYELESAIAN Gradien m Garis h : x + 2y = 6 ⇔ y = – ½x + 3, maka mh = – ½ garis singgung g ⊥ h, maka mg ⋅ mh = – 1 {mg ⋅ (– ½) = – 1}× (–2) mg = 2

•

pusat P = (– ½A, – ½B) = (– ½(–4), – ½(–8)) = (2, 4)

•

jari-jari r = =

a2 + b2 − C 2 2 + 4 2 − 15 =

5

maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3) y – b = m(x – a) ± r m 2 + 1 y – 4 = 2(x – 2) ± 5 ⋅ 2 2 + 1 y – 4 = 2x – 4 ± 5 2x – y ± 5 = 0 ……………………….(b)



13. SUKU BANYAK SOAL 1. Suku banyak f(x) = 4x3 – 4x2 + 10x – 3 dibagi 2x2 – x + 1, maka hasil bagi dan sisnya berturut-turut adalah … a. 2x – 1 dan 7x – 2 b. 2x + 1 dan 9x – 4 c. 2x – 3 dan 5x d. 2x – 1 dan 9x – 4 e. 2x – 3 dan 5x – 6

PENYELESAIAN Gunakan metode bagan Pembagi : 2x2 – x + 1 = 12 (2x2 –x + 1) = x2 – 12 x + 12 , maka a = 1, b = – 12 , c = 12

berdasarkan bagan di atas diperoleh : hasil bagi H(x) = 12 (4x – 2) = 2x – 1 Sisa = 7x – 2 Sehingga jawaban yang benar adalah ………(a) 2. Suatu suku banyak F(x) dibagi (x – 2) sisanya 5 dan (x + 2) adalah faktor dari F(x). Jika F(x) dibagi x2 – 4, sisanya adalah … a. 5x – 10 b.

5 x+ 5 4 2

c. 5x + 10 d. –5x + 30 e.

−5x+7 4

2

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x – 2) ⋅ H(x) + 5………………………(1) f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 0……………………...(2) (x + 2) merupakan faktor dari f(x) sehingga sisa = 0 f(x) = (x – 2)(x + 2) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh: f(2) = 5 = 2a + b f(–2) = 0 = –2a + b_ – 5 = 4a a = 54 substitusi a = 54 ke f(–2) 0 = – 2a + b 0 = –2( 54 ) + b b = 52 Jadi, sisa = 54 x + 52 …………………….(a)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 3. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 4, jika suku banyak tersebut dibagi (2x – 1) sisanya 6. Sisa pembagian suku banyak tersebut oleh 2x2 + 3x – 2 adalah … a. 4 x + 5 3

5 5 4 b. x+22 5 5

c. 4x + 12 d. 4x + 4 e. 4x – 4

PENYELESAIAN Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: 2x2 + 3x – 2 = (x + 2)(2x – 1) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 4.....……………………(1) f(x) = (2x – 1) ⋅ H(x) + 6……………………...(2) f(x) = (x + 2)(2x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:

f (−2) = 4 = −2a + b f ( 12 ) = 6 = 12 a + b

{−2 = − 52 a} × − 25

−

a = 54 substitusi a = 54 ke f(–2) 4 = –2a + b 4 = –2( 54 ) + b 4 = – 85 + b b = 4 + 1 53 = 5 35 Jadi, sisa = 54 x + 5 35 …………………….(a) 4. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x + 1) bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Suku banyak q(x) jika dibagi (x + 1) bersisa –9 dan jika dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x) = f(x)·g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 – 2x – 3) adalah … a. –x + 7 b. 6x – 3 c. x – 4 d. 11x – 13 e. 33x – 39

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: (x2 – 2x – 3) = (x – 3)(x + 1) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x + 1) ⋅ H(x) + 8………………………(1) f(x) = (x – 3) ⋅ H(x) + 4………………………(2) q(x) = (x + 1) ⋅ H(x) – 9………………………(3) q(x) = (x – 3) ⋅ H(x) + 15…………………….(4) f(x)·g(x) = (x – 3)(x + 1) ⋅ H(x) + (ax + b) …..(5) dari (1), (3), dan (5) serta (2), (4), dan (5) diperoleh: f(–1)·g(–1) = 8 (–9) = – a + b f(3)·g(3) = 4 (15) = 3a + b_ – – 132 = – 4a a = 33 substitusi a = 3 ke f(–1)·g(–1) – 72 = – a + b – 72 = – 33 + b b = –39 Jadi, sisa = 33x – 39 ………………………….(e)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 5. Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 4 dan bila dibagi (x + 3) bersisa – 5. Suku banyak g(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 2 dan bila dibagi (x + 3) bersisa 4. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 + 2x – 3) adalah … a. 6x + 2 b. x + 7 c. 7x + 1 d. –7x + 15 e. 15x – 7

PENYELESAIAN Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: (x2 + 2x – 3) = (x + 3)(x – 1) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 4………………….……(1) f(x) = (x + 3) ⋅ H(x) – 5………………….……(2) q(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 2………………………(3) q(x) = (x + 3) ⋅ H(x) + 4………………….…...(4) f(x)·g(x) = (x + 3)(x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) …...(5) dari (1), (3), dan (5) serta (2), (4), dan (5) diperoleh: f(1)·g(1) f(–3)·g(–3)

= 4(2) = a + b = –5(4) = –3a + b_ – 28 = 4a a=7

substitusi a = 7 ke f(1)·g(1) 8=a+b 8=7+b b=1 Jadi, sisa = 7x + 1 ………………………….(c) 6. Diketahui x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan 2x3 – bx2 – 18x + 36 = 0. Jika x1 dan x2 berlawanan, nilai b adalah … a. 36 b. 18 c. 9 d. 4 e. 1

•

Persamaan 2x3 – bx2 – 18x + 36 = 0 memiliki Nilai a = 2, b = – b, c = – 18 dan d = 36

•

x1 dan x2 berlawanan, maka x1 = – x2 x1 + x2 = 0

•

x1 + x2 + x3 = − b ……………….rumus C.1) a

( −b )

0 + x3 = − 2 x3 = b2 •

x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 = c ….….rumus C.4 a

x1 · x2 + (x1 + x2 )x3 = −218 x 1· x 2 +

•

(0 )x3 x 1· x 2

=–9 =–9

x1 · x2 · x3 = − da ….………….rumus C.3 –9 · b2 = −236 b = 36 = 4 ………………………..(d) 9



14. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS SOAL 1. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –2x2 + 8x – 6 dengan daerah asal {x| –2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}. Daerah hasil fungsi f adalah … a. {y| –30 ≤ y ≤ 2, y∈ R} b. {y| –30 ≤ y ≤ –14, y∈ R} c. {y| –14 ≤ y ≤ 0, y∈ R} d. {y| 30 ≤ y ≤ 0, y∈ R} e. {y| 0 ≤ y ≤ 2, y∈ R}

PENYELESAIAN Untuk menyelesaikannya harus dicari nilai f(x) optimum dan nilai f(x) di ujung-ujung interval (i) nilai optimum, f(x) optimum saat f’(x) = 0 f(x) = –2x2 + 8x – 6 f’(x) = –4x + 8 0 = –4x + 8 4x = 8 x=2 maka: f(2) = –2(2)2 + 8(2) – 6 = –8 + 16 – 6 = 2 (ii) nilai f(x) di ujung interval –2 ≤ x ≤ 3 f(–2) = –2(–2)2 + 8(–2) – 6 = –8 – 16 – 6 = –30 f(3) = –2(3)2 + 8(3) – 6 = –18 + 24 – 6 = 0 Dari perhitungan diperoleh nilai min = f(–2) = –30 maks = f(2) = 2 jadi daerah hasilnya adalah ………..……..(a)

2. Diketahui fungsi-fungsi f : R → R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R → R didefinisikan dengan g(x) =

x −1 ,x ≠ 2. 2− x

Hasil dari fungsi (f o g)(x) adalah … a. b. c. d. e.

2 x + 13 , x ≠ −8 x+8 2 x + 13 , x ≠ −2 x+2 − 2 x − 13 ,x ≠ 2 −x+2 8 x − 13 ,x ≠ 2 −x+2 8x + 7 ,x ≠ 2 −x+2

(fοg)(x) = f(g(x)) = f 2x−−1x

( ) = 3(2x−−1x ) − 5

3 x − 3 5(2 − x) − 2−x 2− x 3 x − 3 − 10 + 5 x = 2− x 8 x − 13 = ,x ≠ 2 −x+2 =


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 3. Diketahui (f o g)(x) = 42x+1. Jika g(x) = 2x – 1, maka f(x) = … a. 4x+2 b. 42x+3 c. 44x+1 + 12

4

2× 12 ( y +1)+1 (y + 2)

d. 42x+1 + 12 2x+1

e. 4

4 4x + 2

+1

4. Fungsi f ditentukan oleh f(x) = 4 x + 3 , x ≠– ½. 2 x +1

Jika f-1 invers dari f, maka f-1(x + 1) = … a. b. c. d. e.

2− x , x 2x + 5 2−x , x 2x − 2 x −2 , x 2x + 6 x −3 ,x 2x − 4 x −3 ,x 2x + 4

PENYELESAIAN = f(g(x)) = f(2x – 1)………misal 2x – 1 = y x = 12 ( y + 1)

(fοg)(x) 42x+1

≠

−5 2

≠1 ≠ −3

f(x) f– 1(x)

= f(2· 12 ( y + 1) – 1)

= f(y) = f(x) …………………………..(a)

= 4 x + 3 , maka 2 x +1

=

f– 1(x + 1) =

≠2

=

≠ −2

=

− x+3 2x − 4 − ( x + 1) + 3 2( x + 1) − 4 − x −1+ 3 2x + 2 − 4 −x+2 , x ≠ 1 …………………..(b) 2x − 2



15. LIMIT FUNGSI SOAL 1. Nilai lim

x → −1 2 −

a. b. c. d. e.

x +1 4+x +x

2

=…

PENYELESAIAN Kalikan dengan sekawan penyebut

lim

x +1

x→−1

4 2 0 –1 –2

⇔ lim

x→−1

⇔ lim

x→−1

2 − 4 + x + x2

×

2 + 4 + x + x2 2 + 4 + x + x2

( x + 1)(2 + 4 + x + x 2 ) 4 − (4 + x + x 2 ) ( x + 1)(2 + 4 + x + x 2 ) − (x + x 2 )

( x + 1)(2 + 4 + x + x 2 ) x→−1 − x(1 + x)

⇔ lim

(2 + 4 + x + x 2 ) ⇔ lim x→−1 −x ⇔ ⇔

4 + 2x − 4 − 2x =… x x →0

4 2 1 0 –1

2+ 4 = 4 ……………………………..(a) 1

Kalikan dengan sekawan pembilang

2. Nilai lim a. b. c. d. e.

2 + 4 + (−1) + (−1) 2 ) − (−1)

lim

x →0

⇔ lim

x →0

⇔ lim

x →0

⇔ lim

x →0

⇔ ⇔

4+ 2 x − 4− 2 x x

×

( 4+ 2 x + 4−2 x ) ( 4+ 2 x + 4−2 x )

4 + 2 x − (4 − 2 x) x( 4 + 2 x + 4 − 2 x ) 4x x( 4 + 2 x + 4 − 2 x ) 4 4 + 2x + 4 − 2x 4

4 + 2( 0) + 4 − 2( 0) 4 4 = = 1 …………………..(c) 2+2 4+ 4



PENYELESAIAN Gunakan dalil l’Hospital

1 − 1 sin x cos x =… lim 1π 1 x − x→ 4 π 4

lim

x → 14 π

a. –2 2 b. – 2 c. 0

⇔

2 e. 2 2

⇔

d.

1 sin x

− cos1 x

x − 14 π

lim x→ 14 π

csc x − sec x ……………… turunkan x − 14 π

lim

− csc x ⋅ cot x − sec x ⋅ tan x 1

x→ 14 π

⇔ − csc 14 π ⋅ cot 14 π − sec 14 π ⋅ tan 14 π ⇔ − 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 = –2 2 ………………(a)

cos x − cos 5x =… x tan 2 x x →0

4. Nilai dari lim a. b. c. d. e.

–4 –2 4 6 8

⇔

x tan 2 x 2 sin 3x ⋅ sin 2 x ⇔ lim x tan 2 x x→0 2 sin 3x sin 2 x ⇔ lim × x tan 2 x x →0 sin 3x × 1 = 2 ⋅ 3 = 6 .................(d) ⇔ lim 2 × x x→0 sin 12 x

x → 0 2x(x

2

+ 2 x − 3)

=…

–4 –3 –2 2 6

cos x − sin π 6. Nilai lim

x → π3

a. – 1

2 1 b. – 3

c.

lim0 x→

5. Nilai lim a. b. c. d. e.

cos x − cos 5x x tan 2 x x →0 − 2 sin 12 (6 x) ⋅ sin 12 (−4 x) lim

3

π x − 6 2

6

lim

sin 12 x

Gunakan dalil l’Hospital

cos x − sin π

=…

lim

x → π3

π x − 6 2

6

=

limπ x→ 3

=

− sin x − 0 0 − 12

limπ 2 sin x x→ 3

3

= 2 sin π3

3

d. –2 3

2

+ 2 x − 3) 1 sin 12 x ⇔ lim × 2 2x x →0 x + 2 x − 3 1 12 ⇔ lim × 2 2 x →0 x + 2 x − 3 1 ⇔ × 6 = − 13 × 6 = – 2 …………….(c) 0+0−3 x → 0 2x(x

= 2 ⋅ 12 3 =

3 …………(c)

e. –3 3 Cermati secara seksama cara pengerjaannya 52 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN


16. TURUNAN (DERIVATIF) SOAL 1. Diketahui fungsi f(x) =

x +6 x

PENYELESAIAN Ubah f(x) menjadi bentuk pangkat

•

2

. Turunan f(x) =

pertama fungsi f(x) adalah f’(x) = …

x+

a.

x−

b.

x− 3 2

e.

3 2

2

x 3

x2 1

x

=

a. b.

c.

x y

x

2

y

2

y

2 2

x x2

d. –

e. –

y2 y2 x2

= x

1

− 12

( x 2 + 6) = x

112

+ 6x

− 12

Turunkan f(x) f(x) = x

112

+ 6x

− 12

−1 f’(x) = 32 x 2 − 3 x 2 1

1

1 3 = 32 x 2 − 1 = 32 1

x

x , 1− x

y = y’ =

=

x−

2

= 32

2. Turunan pertama fungsi y = adalah y’ = …

x x2 + 6

x2

•

x

x 3x 2 1 x+ 2 x 3x 3 x− 2 x x

c. d.

6

x2 + 6

x−

3

x x 3 x

x2

×

x x

…….(e)

x u ……………..: 1− x v (1 − x)(1) − x(−1)

(1 − x) 2 1− x + x (1 − x) 2

1

=

=

(1 − x) 2 x2

(1 − x) 2

× ×

x2 x2

1 x2

2

1  x   × 2 1− x  x 1 y2 = y2 × = …………… (c) x2 x2 =

3. Diketahui f(x) = (1 + sin x)2(1 + cos x)4 dan Sin π2 = 1 dan Cos π2 = 0 f’(x) adalah turunan pertama f(x). nilai f’( π2 ) = … f(x) = (1 + sin x)2(1 + cos x)4 ..………….: u ⋅ v a. –20 f’(x) = v⋅ u’ + u ⋅ v’ b. –16 = (1 + cos x)4 ⋅ 2(1 + sin x) ⋅ cos x + c. –12 (1 + sin x)2 ⋅ 4(1 + cos x) ⋅ (– sin x) d. –8 f’( π2 ) = (1 + cos π2 )4 ⋅ 2(1 + sin π2 ) ⋅ cos π2 + e. –4 (1 + sin π2 )2 ⋅ 4(1 + cos π2 ) ⋅ (– sin π2 ) f’( π2 ) = (1 + 0)4 ⋅ 2(1 + 1) ⋅ 0 +

(1 + 1)2 ⋅ 4(1 + 0) ⋅ (– 1) = 0 + 4 ⋅ 4 ⋅ (–1) = –16 ……………….(b)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL

PENYELESAIAN

4. Garis l menyinggung kurva y = 3 x di titik • yang berabsis 4. titik potong garis l dengan sumbu X adalah … a. (– 12, 0) b. (– 4, 0) c. (4, 0) d. (6, 0) • e. (12, 0)

Menentukan titik singgung pada kurva (a, b) Absis x = 4, maka y = f(x) y = f(x) = 3 x y = f(4) = 3 4 = 3 ⋅ 2 = 6 jadi, titik singgungnya di (4,6) Menentukan gradien garis singgung m f(x) = 3 x 1

= 3 x 2 ……………………..: un − f’(x) = 32 x 2 = 1

3

2 x 3 3 m = f’(4) = = 4 2 4 •

Menentukan persamaan garis singgung Dengan titik singgung (4, 6) dan m =

3 4

y – y1 = m (x – x1) y – 6=

•

3 (x – 2) 4

Menentukan titik potong garis l dengan sb X Garis akan memtong sumbu X jika y = 0, maka:

3 (x – 2) 4 3 {0 – 6 = (x – 2)}× 4 4 y – 6=

– 24 = 3x – 6 3x = –18 x = –6 Jadi, titik potongnya di (–6, 0)……………(d) 5. Fungsi y = 4x3 – 6x2 + 2 naik pada interval … a. x < 0 atau x > 1 b. x > 1 c. x < 1 d. x < 0 e. 0 < x < 1

•

f(x) naik pada saat f’(x) > 0 f(x) = 4x3 – 6x2 + 2 f’(x) = 12x2 – 12x

•

12x2 – 12x > 0 12x(x – 1) > 0 pembentuk nol x = {0, 1}

tanda pertidaksamaan >, maka jawabannya menggunakan kata atau dengan batas {0, 1} ………………………………………………..(a)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 6. Koordinat titik balik maksimum grafik fungsi • y = x3 – 3x + 4 berturut-turut adalah … a. (–1,6) b. (1,2) c. (1,0) d. (–1,0) e. (2,6) •

PENYELESAIAN nilai stasioner pada saat f’(x) = 0 f(x) = x3 – 3x + 4 f’(x) = 3x2 – 3 0 = 3x2 – 3 0 = x2 – 1 0 = (x + 1)(x – 1) x = {– 1, 1} Nilai fungsi pada saat stasioner x = {– 1, 1} f(x) = x3 – 3x + 4 f(–1) = (–1)3 – 3(–1) + 4 = –1 + 3 + 4 = 6 ………maksimum …………...titik (–1,6) ……………….(a) f(1) = (1)3 – 3(1) + 4 = 1 – 3 + 4 = 2 ………minimum …………...titik (1,2)

7. Ditentukan fungsi f(x) = x3 – 3x2 + 5. Dalam • interval –1 ≤ x ≤ 1, nilai minimum fungsi itu adalah … a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 5 •

nilai stasioner pada saat f’(x) = 0 f(x) = x3 – 3x2 + 5 f’(x) = 3x2 – 3x 0 = 3x2 – 3x 0 = 3x(x – 1) x = {0, 1} Nilai fungsi pada saat stasioner x ={0, 1}dan di ujung interval x = {–1, 1} f(x) = f(x) = x3 – 3x2 + 5 (i) f(– 1) = (– 1)3 – 3(– 1)2 + 5 = –1 + 3 + 5 = 7 ……………………..maksimum (ii) f(0) = 03 – 3(0)2 + 5 =0–0+5 =5 (iii) f(1) = 13 – 3(1)2 + 5 =1–3+5 = 3 ……………………….minimum

Jadi, nilai minimumnya = 3 ………………..(d)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 8. Santo ingin membuat sebuah tabung tertutup • dari selembar karton dengan volum 16 dm3. Agar luas permukaan tabung minimal, maka jari-jari lingkaran alasnya adalah … a. b. c.

3 4 π

2 3

π 4

dm

π 3 d. 2 π dm e. 4 3 π dm 3

t=

dm dm

PENYELESAIAN Volume tabung V V = luas alas × tinggi 16 = π r2 ⋅ t

•

16

π r2

Luas permukaan tabung S S = 2 luas alas + luas keliling = 2π r2 + (2π r ⋅ t) = 2π r2 + 2π r ⋅ = 2π r2 +

16

π r2

32 r

luas permukaan tabung akan minimum jika S’ = 0, maka: S = 2π r2 + S’ = 4π r –

32 r 32 r2 32

r2 {0 = 4π r – }× 4 r2 0 = πr3 – 8 πr3 = 8 r3 =

8

π 3

r=

3

8

π

=

2 3

π

………………………..(b)



17. INTEGRAL SOAL 1. Jika grafik y = f(x) melalui titik (1, 2) dan turunannya f’(x) = x2 + 1, maka grafiknya y = f(x) memotong sumbu Y di titik … a. (0, 0) b. (0, 1 ) c.

•

PENYELESAIAN f’(x) = x + 1 f(x) = ∫ (x2 + 1)dx 2

= 13 x 3 + x + c • Menentuan nilai c karena kurva melalui titik (1, 2), maka f(1) = 2

3 (0, 2 ) 3

f(x) = 13 x 3 + x + c

d. (0, 1) e. (0, 2)

f(1) = 13 (1) 3 + (1) + c 2 = 1 13 c = 23 Jadi, y = f(x) = 13 x 3 + x + 23 •

Titik potong kurva dengan sumbu Y Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0 y = 13 x 3 + x + 23 y = 13 (0) 3 + (0) + 23 = 23 jadi, titik potongnya di (0, 23 )…………….(c)

Selesaikan dengan metode substitusi karena selisih pangkat antara f(x) dan g(x) satu

2. Hasil ∫ x 9 − x 2 dx = … a.

− 1 (9 − x 2 ) 9 − x 2 + c

2 ∫ x 9 − x dx

b.

− 2 (9 − x 2 ) 9 − x 2 + c

⇔ x(9 − x 2 ) 2 dx

c.

2 (9 − x 2 ) 9 − x 2 + c 3

d.

2 (9 − x 2 ) 3

∫ ⇔ − 12 ∫ U

e.

1 (9 − x 2 ) 9 − x 2 + 1 3 9

3

1

∫

3

1

⇔ − 12 (9 − x 2 ) 2 (−2 x ⋅dx)

9 − x 2 + 2 (9 − x 2 ) 9 − x 2 + c 9

9 − x2 + c

⇔ − ⇔ −

1 2

du

1 1 11 × 3 ×U 2 + c 2 2 1 1 2 × ×U ×U 2 + c 2 3

⇔ − 13 × (9 − x 2 ) 9 − x 2 + c …………….(a)



3. Hasil dari ∫ ( x + 1) cos x dx = … 2

x2 sin x + 2x cos x + c (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c (x2 + 3) sin x – 2x cos x + c 2x2 cos x + 2x2 sin x + c e. 2x sin x – (x2 – 1)cos x + c

a. b. c. d.

PENYELESAIAN Selesaikan dengan metode parsial karena pangkat f(x) lebih tinggi dari g(x) 2 ∫ ( x + 1) cos x dx =

U x +1

dv cos x

2x

Sin x

2

– cos x

2 0

– sin x

Jadi: ∫ ( x 2 + 1) cos x dx ⇔ (x2 + 1) sin x + 2x cos x – 2sin x + c ⇔ (x2 + 1) sin x – 2sin x + 2x cos x + c ⇔ (x2 + 1 – 2) sin x + 2x cos x + c ⇔ (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c ………….(b) 4. Nilai a yang memenuhi persamaan 1

∫ 12 x( x

2

+ 1) 2 dx = 14 adalah …

Selesaikan dengan metode substitusi karena selisih pangkat antara f(x) dan g(x) satu 1

∫ 12 x( x

a

a. b. c. d.

–2 –1 0

+ 1) 2 dx = 14

a 1

∫

⇔ 6 ( x 2 + 1) 2 ⋅ 2 xdx = 14

1 2

e. 1

2

a 1

⇔

3∫ U 2 du = 7 a

⇔ ⇔

1 3U 3 = 3 a 1 2 3

( x + 1)

7

=7

a 3

⇔ (12 + 1) 3 − (a 2 + 1) = 7 ⇔

8 − (a 2 + 1) 3 = 7

⇔ ⇔ ⇔

(a 2 + 1)3 = 1 a2 + 1 = 1 a = 0 ……………………(c)



PENYELESAIAN

π 6

π 6

0

0

π π ∫ sin( x + 3 ) cos( x + 3 )dx = …

a. – 1 4 1 b. – 8 1 c. 8 d. 1 4 3 e. 8

π π ∫ sin( x + 3 ) cos( x + 3 )dx π 6

⇔

1 2

∫ 2 sin( x + π3 ) cos( x + π3 )dx 0 π 6

⇔ 12 sin 2( x + π3 )dx

∫ 0

π 6

⇔ 12 sin(2 x + 23π )dx

∫ 0

π 6

⇔ 12 ⋅ 12 sin( 2 x + 23π ) ⋅ 2dx

∫ 0

⇔ −

1 4

cos(2 x +

π

2π ) 6 3 0

{ ⇔ − 14 {cos π − cos( 23π )} ⇔ − 14 {− 1 − (− 12 )}

}

⇔ − 14 cos( 26π + 23π ) − cos( 2 ⋅ 0 + 23π )

⇔ − 14 × ( − 32 ) = 3 …………………………..(e) 8



PENYELESAIAN

p

p

1

1

6. Diketahui ∫ (3t 2 + 6 t − 2)dt = 14. Nilai (–4p) = … a. –6 b. –8 c. –16 d. –24 e. –32

2 ∫ (3t + 6t − 2)dt = 14

⇔ t 3 + 3t 2 − 2t

p 1

= 14

⇔ p 3 + 3 p 2 − 2 p − {13 + 3 ⋅ 12 − 2 ⋅ 1} = 14 ⇔ p 3 + 3 p 2 − 2 p − 2 = 14 ⇔ p 3 + 3 p 2 − 2 p − 16 = 0 f(x) = p 3 + 3 p 2 − 2 p − 16 untuk selanjutnya gunakan cek poin a. –4p = –6 ⇒ p = 32 b. c. d. e.

–4p = –8 ⇒ p = 2 –4p = –16 ⇒ p = 4 –4p = –24 ⇒ p = 6 –4p = –32 ⇒ p = 8

nilai-nilai p yang dihasilkan kemudian substitusikan ke f(x), jika f(p) = 0, maka p merupakan penyelesaian dari f(x). a. f( 32 ) = p 3 + 3 p 2 − 2 p − 16 ≠ 0 b. f(2) = p 3 + 3 p 2 − 2 p − 16 = 8 + 12 – 4–16 = 0 c. f(4) = p 3 + 3 p 2 − 2 p − 16 ≠ 0 d. f(6) = p 3 + 3 p 2 − 2 p − 16 ≠ 0 e. f(8) = p 3 + 3 p 2 − 2 p − 16 ≠ 0 dengan demikian jawaban yang benar adalah …….(b)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = – x2 + 2x dan sumbu X pada 0 ≤ x ≤ 3 adalah … satuan luas a. 1 b. c.

4 3 8 3

d. 3 e. 4

PENYELESAIAN Batas Integral • Titik potong kurva dengan sumbu X Kurva akan memotong sumbu X jika y = 0 y = – x2 + 2x 0 = x(–x + 2) ⇒ x = 0 atau x = 2 •

Karena luas derah yang ditanyakan adalah 0≤x≤3 Maka batas daerah integralnya ada dua yaitu 0 ≤ x ≤ 2 dan 2 ≤ x ≤ 3

(ii) luas daerah karena ada dua batas integral, maka ada dua luasan yang harus dicari, sehingga L = L1 + L2 2

L1 =

∫ (− x

2

+ 2 x)dx = − 13 x 3 + x 2

0

2 0

= (− 13 (2) 3 + 2 2 ) − 0 = − 83 + 4 = 43 3

L2 =

∫ (− x

2

+ 2 x)dx

2 3

= − 13 x 3 + x 2 2 = − 13 (3) 3 + 3 2 − (− 13 (2) 3 + 2 2 ) = − 9 + 9 + 83 − 4 = 83 − 4 = − 43 = 43 Jadi, L = 43 + 43 = 83 ……………………….(c)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 9x + 15 dan y = –x2 + 7x – 15 adalah … satuan luas a. 2 2 b. c. d. e.

3 22 5 1 2 3 32 3 1 4 3

PENYELESAIAN (i) Batas Integral • Titik potong dua kurva Pada saat kedua kurva berpotongan maka y1 = y2 x2 – 9x + 15 = –x2 + 7x – 15 x2 + x2 – 9x – 7x + 15 + 15 = 0 2x2 – 16x + 30 = 0 2(x2 – 8x + 15) = 0 2(x – 3)(x – 5) = 0 ⇒ x = {3 , 5} Jadi, batas integralnya x = {3 , 5} (ii) luas daerah 5

L =

∫ (2 x

2

− 16 x + 30)dx

3

= 23 x 3 − 8 x 2 + 30 x =

2 3

5 3

(5) − 8(5) + 30(5) − 3

2

( 23 (3)3 − 8(3) 2 + 30(3)) = 250 − 200 + 150 − (18 − 72 + 90) 3 = 83 13 − 50 − 36 = − 2 23 = 2 2 ………………….………(a) 3


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 9. Gambar berikut merupakan kurva dengan

PENYELESAIAN

persamaan y = x 30 − 30 x 2 . Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi sama dengan … satuan volum Kurva diputar mengelilingi sumbu X, maka: (i) Batas Integral Titik potong kurva dengan sumbu X diperoleh jika y = 0 a. b. c. d. e.

6π 8π 9π 10π 12π

y = x 30 − 30 x 2 0 = x 30 − 30 x 2 0 = x2(30 – 30x2) 0 = 30x2(1 – x2) 0 = 30x2(1 + x)(1 – x) ⇒ x = { – 1, 0, 1} maka batas integralnya yaitu – 1 ≤ x ≤ 0 dan 0 ≤ x ≤ 1 (ii) Volume benda putar Perhatikan gambar! karena V1 = V2, maka V = 2V1 b

V = π y 2 dx

∫ a

= 2π

∫ {x 30 − 30 x } dx 0

2

2

−1 0

= 2π {x 2 (30 − 30 x 2 )}dx

∫

−1 0

= 2π (30 x 2 − 30 x 4 )dx

∫

−1

= 2π 10 x 3 − 6 x 5

0 −1

= {0 − (10(−1) − 6(−1) 5 }2π = − ( −10 + 6) 2π = 8π……………...(c) 3


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 10. Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan y2 = 8x diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah … satuan volum. a. 2 4 π b. c. d. e.

5 34 5 44 5 54 5 94 5

PENYELESAIAN Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka: (i) Batas Integral • Titik potong dua kurva Pada saat kedua kurva berpotongan maka y1 = y2 x2 = 8 x x4 = 8x 4 x – 8x = 0 x(x3 – 8) = 0 ⇒ x = {0 , 2} karena

π π π π

y = x2, maka y = {0, 4} Jadi, batas integralnya y = {0 , 4} (ii) volume benda putar (y2 = 8x)2 y = x2 2 x =y y4 1 4 2 x = = y

43

64

Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva tersebut adalah: b

V = π ( x12 − x22 )dy

∫ a 4

= π {y −

∫ 0

=π

1 2

1 4

y − 2

2 = { 12 (4) −

=

{8 − 16 }π 5

3

y 4 }dy 4

1 43 ⋅ 5 1

y

5 0

(4) 5 − (0)}π

4 ⋅5 = {8 − 3 15}π 3

= 4 4 π………………..…..(c) 5



18. PROGRAM LINEAR

SOAL

PENYELESAIAN

1.

Pada gambar di atas, yang merupakan • himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan . x + 2y ≥ 6, 4x + 5y ≤ 20, 2x + y ≥ 6, adalah daerah … a. I b. II • c. III d. IV e. V

Persamaan linear g1 : y = 0 ………………………………m = 0 g2 : x = 0……………………………….m = 0 g3 : 6x + 3y = 18 ⇔ 2x + y = 6 ……….m < 0 g4 : 4x + 5y = 20 ………………………m < 0 g5 : 3x + 6y = 18 ⇔ x + 2y = 6 ……….m < 0

Pertidaksamaan linear x + 2y ≥ 6 : …………….…..HP di atas g5 4x + 5y ≤ 20 : ……………...HP di bawah g4 2x + y ≥ 6 : ………………...HP di atas g3 daerah HP yang sesuai dengan kriteria di atas adalah daerah II ………………………..(b) 2. Diketahui sistem pertidaksamaan x ≥ 0, y ≥ 0, Daerah himpunan penyelesaiannya adalah sbb: x + y ≤ 12, dan x + 2y ≤ 16. Nilai maksimum dari (2x + 5y) adalah … a. 12 b. 24 c. 36 d. 40 e. 52

Nilai obyektif 2x + 5y pada titik-titik pojok Titik f(x,y) = 2x + 5y ket A(0,8) f(0,8) = 0 + 40 = 40 C(12,0) f(12,0) = 24 + 0 = 24 B(8,4) f(8,4) = 16 + 20 = 36 maks Berdasarkan perhitungan di atas, maka nilai maksimumnya adalah 36 …………………(d)

Koordinat titik-titik pojok (i) titik A …………………………………(0, 8) (ii) titik C …………………………………(12, 0) (iii) titik B, perpotongan g1 dan g2 g2 : x + 2y = 16 g1 : x + y = 12_ _ y=4 substitusikan nilai y = 4 ke pers. g1 x + y = 12 ⇔ x + 4 = 12 x = 12 – 4 = 8 Jadi, titik B …………………………….(8, 4)



PENYELESAIAN

3. Nilai maksimum f(x,y) = x – 2y + 4 pada gambar di atas adalah … g1 : 2x – 2y = 2· (–2) ⇔ x – y = –2 a. 16 g2 : …………………………x = 3 b. 14 g3 : –x – 2y = 2 ⇔ x + 2y = –2 c. 12 ⇔x+y=4 g4 : 4x + 4y = 4·4 d. 5 e. 2 Koordinat titik-titik pojok (i) titik A …………………………………(–2, 0) (ii) titik B, perpotongan g2 dan g3 g3 : x + 2y = –2 g2 : x =3 _ 2y = –5 y = − 52 …………….titik B(3, − 52 ) (iii) titik C, perpotongan g2 dan g4 g4 : x + y = 4 =3 _ g2 : x y = 1 ………………….…titik C(3, 1) (iv) titik D, perpotongan g1 dan g4 g1 : x – y = –2 g4 : x + y = 4 + 2x = 2 x=1 y = 3 ………………….…titik C(1, 3) Nilai obyektif f(x,y) = x – 2y + 4 pada titiktitik pojok Titik f(x,y) = x – 2y + 4 ket A(–2, 0) f(–2, 0) = – 2 – 0 + 4 = 2 B(3, − 52 ) f(3, − 52 ) = 3 + 5 + 4 = 12 maks C(3,1) f(3,1) = 3 – 2 + 4 = 5 D(1,3) f(1,3) = 1 – 6 + 4 = –1 min Berdasarkan perhitungan di atas, maka nilai maksimumnya adalah 12 ……………………(c)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 4. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap jenis kue jenis I modalnya Rp 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap jenis kue jenis II modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya Rp 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah … a. 30% b. 32% c. 34% d. 36% e. 40%

PENYELESAIAN Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Kue I (x) Kue II (y) kapasitas Produksi 1 1 400 Modal 200 300 100.000 Untung 40% = 80 30% = 90 •

System pertidaksamaannya adalah: x + y ≤ 400 …………kemampuan produksi 200x + 300y ≤ 100.000 ⇔ 2x + 3y ≤ 1.000 ..........................modal x ≥ 0, y ≥ 0 ……....jumlah barang tidak mungkin negative,

•

fungsi obyektifnya adalah : f(x, y) = 80x + 90y

•

Daerah Himpunan penyelesaian

Nilai obyektif f(x,y) = 80x + 90y pada titiktitik pojok Titik f(x,y) = 80x + 90y ket A(0, 1.000 ) f(0, 1.000 ) = 0 + 30.000 3 3 = 30.000 C(400,0) f(400,0) = 32.000 + 0 = 32.000 B(200,200) f(200,200) = 16.000 + maks 18.000 = 34.000 Berdasarkan perhitungan di atas, maka nilai maksimumnya adalah 34.000 × 100% = 34%.........(c) Rp 34.000 = 100 .000

Koordinat titik-titik pojok ) (i) titik A ……………………………(0, 1.000 3 (ii) titik C ………………………….…(400, 0) (iii) titik B, perpotongan garis 2x + 3y = 1.000 x + y = 400_ _ x + 2y = 600_ _ –y = –200 y = 200 x = 200 Jadi, titik B ………………….(200, 200)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 5. Sebuah pabrik menggunakan bahan A, B, dan C untuk memproduksi 2 jenis barang, yaitu barang jenis I dan barang jenis II. Sebuah barang jenis I memerlukan 1 kg bahan A, 3 kg bahan B, dan 2 kg bahan C. Sedangkan barang jenis II memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahan B, dan 1 kg bahan C. Bahan baku yang tersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahan B, dan 360 kg bahan C. Harga barang jenis I adalah Rp 40.000,00 dan harga barang jenis II adalah Rp 60.000,00. Pendapatan maksimum yang diperoleh adalah … a. Rp 7.200.000,00 b. Rp 9.600.000,00 c. Rp 10.080.000,00 d. Rp 10.560.000,00 e. Rp 12.000.000,00

PENYELESAIAN Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Bahan Barang I (x) Barang II (y) Stok A 1 3 480 B 3 4 720 C 2 1 360 Harga 40.000 60.000 •

• •

System pertidaksamaannya adalah: x + 3y ≤ 480 …………...…………bahan A 3x + 4y ≤ 720………......................bahan B 2x + y ≤ 360 ……………………...bahan C x ≥ 0, y ≥ 0 ………….jumlah barang tidak mungkin negative, fungsi obyektifnya adalah : f(x, y) = 40.000x + 60.000y Daerah Himpunan penyelesaian

(iv) titik C, perpotongan garis 3x + 4y = 720 | × 2 ⇔ 6x + 8y = 1.440 2x + y = 360 | × 3 ⇔ 6x + 3y = 1.080 _ 5y = 360 y = 72 2x + y = 360 ⇔ 2x + 72 = 360 2x = 360 – 72 = 288 x = 144 Jadi, titik C ………………….(144, 72) •

Nilai obyektif f(x,y) = 40.000x + 60.000y pada titik-titik pojok Titik f(x,y) = 40.000x + 60.000y ket A(0,160) f(0, 160) = 0 + 9.600.000 = 9.600.000 D(180,0) f(180,0) = 7.200.000 + 0 = 7.200.000 B(48,144) f(48,144) = 1.920.000 + 8.640.000 maks = 10.560.000 C(144,72) f(144,72) = 5.760.000+ 4.320.000 = 10.080.000

Koordinat titik-titik pojok (i) titik A ………………………….……(0, 160) (ii) titik D ………………………….……(180, 0) (iii) titik B, perpotongan garis 3x + 4y = 720 | × 1 ⇔ 3x + 4y = 720 x + 3y = 480 | × 3 ⇔ 3x + 9y = 1.440 _ –5y = –720 y = 144 x + 3y = 480 ⇔ x + 3(144) = 480 x = 480 – 432 = 48 Jadi, titik B ………..…………………….(48, 144)

Berdasarkan perhitungan di atas, maka nilai maksimumnya adalah Rp 10.560.000….….(d)



19. MATRIKS SOAL PENYELESAIAN  4 − 6   a + b 6  16 0   4 − 6   a + b 6  16 0   ,  +   =    +   =   1. Diketahui   8 2   a + 1 c  10 1   8 2   a + 1 c  10 1  nilai a + b + c = …  a + b 6  16 0   4 − 6   =   −   ⇔  a. 11  a + 1 c  10 1   8 2  b. 12 c. 13  a + b 6  16 − 4 0 − (−6)   =   d. 14 a + 1 c   10 − 8 1 − 2   e. 16

 a + b 6  12 6    =    a + 1 c   2 −1

2. Diketahui persamaan matriks A = 2BT (BT adalah transpose matriks B), dengan  a 4  2c − 3b 2a + 1  dan B =  . A =  b + 7   2b 3c   a Nilai a + b + c = … a. 6 b. 10 c. 13 d. 15 e. 16

dari kesamaan di atas diperoleh: a + b = 12 dan c = – 1 maka: a + b + c = 12 + (– 1) = 11 ……………….(a) A = 2BT a   2c − 3b  a 4   = 2    2b 3c   2a + 1 b + 7 

dari kesamaan di atas diperoleh: (i) 2a = 4 (iii) 3c = 2b + 14 a=2 3c = 2(5) + 14 3c = 24 (ii) 2b = 4a + 2 c=8 2b = 4(2) + 2 2b = 10 b=5 Jadi, a + b + c = 2 + 5 + 8 = 15 …………………(d) A2 = xA + yI 3  4  dan 3. Diketahui matriks A =  3  4 3 3 1 0  4  4  − 2 − 1   ×   = x   + y   2 A = xA + yI, x, y, bilangan real, I matriks  − 2 − 1  − 2 − 1  − 2 − 1 0 1 identitas dengan ordo 2 × 2. Nilai x – y = …  16 − 6 12 − 3   4 x 3 x   y 0  a. –5   =   +    − 8 + 2 − 6 + 1  − 2 x − x   0 y  b. –1 c. 1 3x   ....... ......   4 x + y   =   d. 5 ........ − 5 − 2 x − x + y     e. 6 dari kesamaan di atas diperoleh: {– x + y = –5}× (–1) x – y = 5 ……………………………………(d)



SOAL PENYELESAIAN 4. Nilai (x + y) yang memenuhi  4 5   2 x − 9   2 1  1 − 3    +  =    4 5   2 x − 9   2 1  1 − 3  5   3 − 1 0 2     +   =   1 4y  2 5   3 − 1 0 2   1 4y   2 − 4   2 + 0 .......   4 + 2x adalah …  =  4 y + 5   ...... − 9 − 2   3 a. –5 b. –4 dari kesamaan di atas diperoleh: (i) 4 + 2x = 2 (ii) 4y + 5 = – 9 – 2 c. –3 2x = 2 – 4 4y = –11 – 5 d. –2 e. –1 2x = –2 4y = –16 x = –1 y = –4 Jadi, x + y = –1 + (–4) = –5 ……………………(a)

 a 2  , • 1 b 1  4 − 2 b   , C =  • B =  2   2 b + 1 − a b   0 2  dengan Bt adalah Jika A×Bt – C =  5 4  

5. Diketahui 3 matriks, A = 

1  4  ⇒ Bt = 2 b + 1  

2  4    1 b + 1 2   a 2  4    A×Bt =   1 b   1 b + 1  4a + 2 2a + 2b + 2   =  2  4+b 2+b +b  B = 

transpose matriks B, maka nilai a dan b 4a + 2 2a + 2b + 2   − 2 b  • A×Bt – C =   –  2 2 masing-masing adalah …   4 + b 2 + b + b  − a b  a. –1 dan 2  0 2 4a + 2 + 2 ....... b. 1 dan –2   =   c. –1 dan –2  5 4  4 + b + a ....... d. 2 dan –1 e. –2 dan 1 dari kesamaan di atas diperoleh: (i) 4a + 4 = 0 (ii) 4 + b + a = 5 4a = – 4 b –1 = 5 – 4 a = –1 b=1+1 =2 Jadi, a = –1 , dan b = 2 ……………………..(a)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL PENYELESAIAN (A – kI) matriks singular, maka 1 − 2   dan 6. Diketahui matriks A =  det (A – kI) = 0 1 4  1 − 2  1 0 (A – kI) adalah matriks singular. Bila I   − k   = 0 0 1 adalah matriks identitas, maka nilai k yang 1 4    memenuhi adalah … 1 − 2   k 0  a. 2 atau 3   −   = 0 b. 2 atau –3 1 4   0 k  c. –2 atau –3 1− k − 2 d. 6 atau –1 =0 1 4−k e. 1 atau –6 (1 – k)(4 – k) – 1(–2) = 0 4 – 5k + k2 + 2 = 0 k2 – 5k + 6 = 0 (k – 2)(k – 3) = 0 k = {2, 3} ………………….(a) 7. Matriks P yang memenuhi persamaan 1 2   2 − 4   P =   adalah … 1 4   − 2 4  a. b. c. d. e.

 12 − 24    8  −4  − 12 24     4 − 8  2 − 2   −2 1   6 − 12    −2 4   2 12     0 − 4

1 2   2 − 4   ⇔ AX = B ⇒ X = A–1⋅B P =   − 1 4 2 4    

1  4 − 2  2 − 4     2  − 1 1  − 2 4   4 − 2  1 − 2    =   − 1 1  − 1 2   4 + 2 − 8 − 4  =  −1−1 2 + 2   6 − 12   ……………………………..(d) =  4  − 2

P=



20. VEKTOR SOAL 1. Diketahui titik A(1, 2, 4), B(5, 3, 6), dan C(13, 5, p) segaris. Nilai P = … a. –15 b. –10 c. 10 d. 15 e. 25

PENYELESAIAN Titik A, B, dan C akan segaris jika

AB = n AC  5  1   4        AB = b – a =  3  −  2  = 1   6  4  2       13  1   12        AC = c – a =  5  −  2  =  3   p   4  p − 4       dengan demikian:

AB = n AC  4  12      1  = n 3   2  p − 4     dari kesamaan di atas diperoleh: (i) 1 = 3n n = 13 (ii) 2 = n(p – 4) {2 = 13 ( p − 4) } × 3 6=p–4 p = 10 ……………………………….(c)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 2. Diketahui titik A(4, –1, –2), B(–6, 4, 3), dan C(2, 3, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : PB = 3 : 2, maka vektor yang diwakili oleh PC adalah …  − 4   a.  1   4    b.

 − 2    2   1   

c.

0   5 6  

d.

 6     − 4  1   

e.

 4   1  4  

3 6 1 3 2 3 2 6 6 3

1)

 4   = 1  ……………………….…(e)  4  

2    1  , dan  − 1  

antara a dan b adalah α, maka cos α = … 2 a.

e.

2

 2  − 2     PC = c – p =  3  −  2  5  1     

6

d.

2(4 − 1 − 2) + 3(−6 4 3) 2+3 (8 − 2 − 4) + (−18 12 9) = 5 (−10 10 5) = 5 =

Dengan demikian:

panjang proyeksi a pada b adalah 2 . Sudut

c.

p=

p = (– 2

1    3. Diketahui vektor a =  x  , b = 2  

b.

PENYELESAIAN Bila AP : PB = m : n, maka:

(i) misal panjang proyeksi vektor a pada b adalah |r|, maka: |r| =

2

=

a ⋅b b (1 x 2) ⋅ (2 1 − 1)

2 2 + 12 + (−1) 2 2 2+ x−2 { = }× 6 6 6 6

x =2 maka: a⋅b =2+x–2=2+2–2=2 (ii) sudut antara vektor a dan b a ⋅ b = |a| |b| cos α 2 = 1 + 2 2 + 2 2 × 2 2 + 12 + (−1) 2 cos α 2 = 9 × 6 cos α 2 = 3 6 cos α cos α =

2 3 6

……………………………(a)



− 2    4. Diberikan vektor a =  p  dengan p ∈   2 2  1    Real dan vektor b =  1  . Jika a dan b    2 membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah … a. 12 7 4 b. c. d. e.

5 2 5 4 5 14 2 7

PENYELESAIAN a dan b membentuk sudut 60º maka: a ⋅ b = |a| |b| cos 60º a ⋅ b = (– 2 p 2 2 ) ⋅ (1 1

2) = –2⋅1+p⋅1+ 2 2⋅ 2=p+2

|a| = |b| =

sehingga diperoleh a ⋅ b = |a| |b| cos 60º p + 2 =  p 2 + 12 (2)( 12 )

7 7 7 7

( )2 = p 2 + 12 2 12 + 12 + ( 2 ) = 4 = 2 (−2) 2 + p 2 + 2 2





{p + 2 = p 2 + 12 }2 p2 + 4p + 4 = p2 + 12 4p = 12 – 4 = 8 p=2 a + b = (– 2 p 2 2 ) + (1 1

2) 2)

= (– 2 2 2 2 ) + (1 1 = (–1 3 3 2 ) |a + b| = = |a| =

(−1) 2 + 3 2 + (3 2 ) 2 1 + 9 + 18 =

p 2 + 12 =

28 = 2 7

2 2 + 12 = 4

dengan demikian: kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah a ⋅ (a + b) = | a | | a + b| cos θ (– 2 2 2 2 ) ⋅ (–1 3 3 2 ) = 4 ⋅ 2 7 cos θ 2 + 6 + 12 = 8 7 cos θ 20 = 8 7 cos θ cos θ =

20 8 7

=

5 7 2⋅7

5 7 ….…(d) = 14


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 5. Ditentukan koordinat titik A(1, 0, 2); B(5, 4, 10); C(4, 6, 4). P pada AB sedemikian sehingga AP : PB = 3 : 1. Panjang proyeksi PC pada AB adalah … a. 53 3 5

b.

c. d. e.

5 6 5 7 5 3

6 7

PENYELESAIAN Bila AP : PB = m : n, maka: p=

1(1 0 2) + 3(5 4 10) 1+ 3 (1 0 2) + (15 12 30) = 4 (16 12 32) = = (4 3 8) 4 =

6

PC = c – p = (4 6 4) – (4 3 8) = (0 3 –4) AB = b – a = (5 4 10) – (1 0 2) = (4 4 8) PC · AB = (0 3 –4) · (4 4 8) = 0 + 12 – 32 = –20 | AB | =

4 2 + 4 2 + 8 2 = 16 ⋅ 6 = 4 6

misal panjang proyeksi PC pada AB adalah | v |, maka: |v|=

PC ⋅ AB 20 = | AB | 4 6 =

5 6 = 6

5 6

6 ……………(c)

CATATAN: Ukuran Panjang selalu positf


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL PENYELESAIAN 6. Diketahui panjang proyeksi vektor misal panjang proyeksi vektor a pada b adalah |r|, maka: 2   4     a =  − 2  pada vektor b =  2  adalah 85 5 . | r | = a ⋅ b 4   p b     ( 2 − 2 4) ⋅ ( 4 2 p ) 8 Nilai P = … 5 = a. 25 2 2 2 5 b. 5 3

8 5 = 5

c. 5 d. 5 e.

8 5 = 5

1 5

4 +2 + p 8− 4 + 4p 20 + p 2 4+ 4p

20 + p 2 8 1 {4 + 4p = 5(20 + p 2 ) } × 5 4 2 {1 + p = 5(20 + p 2 ) }2 5 4 {5(20 + p2)} 1 +2p + p2 = 25 4(20 + p 2 ) {1 +2p + p2 = }× 5 5 5 + 10p + 5p2 = 80 + 4p2 5p2 – 4p2 + 10p + 5 – 80 = 0 p2 + 10p – 75 = 0 (p + 15)(p – 5) = 0 p = {–15, 5} …………………………………..(c)

7. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k

Misal vektor u = AB dan vektor v = AC , maka u = b – a = (–1 1 –11) – (2 –1 –3) = (–3 2 –8) v = c – a = (4 –3 –2) – (2 = (2 –2 1)

–1

–3)

2 2 + (−2) 2 + 12 = 9 = 3

|v|=

u ⋅ v = (–3 2 –8) ⋅ (2 –2

1)

= –6 – 4 – 8 = –18 misal proyeksi vektor u pada v adalah w, maka:

u⋅v v × |v| |v| − 18 (2 − 2 1) = × 3 3

w=

= –2(2 –2 1) = (–4 4 –2) = –4i + 4j – 2k ……………………….(c)



21. TRANSFORMASI SOAL 1. Lingkaran yang berpusat di (3, –2) dan berjari-jari 4 diputar dengan R[O, 90º], kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. persamaan bayangan lingkaran adalah … a. x2 + y2 + 4x – 6y + 3 = 0 b. x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 2

2

c. x + y + 6x – 4y – 3 = 0 d. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 e. x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0

PENYELESAIAN Jari-jari lingkaran akibat pencerminan dan rotasi adalah tetap

 0 − 1  dan 1 0 

T1 = R[O, 90º]= 

1 0   T2 = My = 0 =   0 − 1  x'   1 0   0   T2 ο T1 =   =   y '   0 − 1  1

 x'    =  y'

 0 − 1   −1 0 

− 1  x    0   y  3   2    =    − 2   − 3

dengan demikian bayangannya berpusat di (a, b) = (2, –3) dan jari-jari r = 4. x2 + y2 – 2ax – 2by + ( a 2 + b 2 − r 2 ) = 0 x2 + y2 – 2(2)x –2(–3)y + ( 2 2 + (−3) 2 − 4 2 )= 0 x2 + y2 – 4x + 6y + (4 + 9 – 16) = 0 x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 …………………….(e) 2. Garis dengan persamaan 3x + y – 2 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan  2 3  . Persamaan bayangannya matriks  1 2 adalah … a. 3x – y + 1 = 0 b. 2x + y – 1 = 0 c. x – 3y + 2 = 0 d. x – 3y – 2 = 0 e. x + 3y – 2 = 0

0 1  2 3  dan T2 =   T1 = My = x =  1 0 1 2  x'   2 3   0 1   x       T2 ο T1 =   =   y'  1 2   1 0   y 

 x'    =  y'  y   = x

 2 3  y      1 2  x  −1

 2 3   x'       1 2   y' 1  2 − 3   x'     = 4 − 3  − 1 2   y '   2 − 3   x'     =   − 1 2   y'  y   2 x'−3 y '    =    x   − x'+2 y '  g : 3x + y – 2 = 0 g’ : 3(–x’ + 2y’) + 2x’ – 3y’ – 2 = 0

–3x’ + 6y’ + 2x’ – 3y’ – 2 = 0 {–x’ + 3y’– 2 = 0} × (–1) x – 3y + 2 = 0 …………(c) Cermati secara seksama cara pengerjaannya 77 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 3. Persamaan bayangan garis 3x + 5y – 7 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan  1 − 1  dilanjutkan dengan matriks  −1 2   3 2   adalah … 2 1 a. 2x + 3y + 7 = 0

PENYELESAIAN  1 − 1  3 2  dan T2 =   T1 =  −1 2  2 1  x '   3 2   1 − 1  x       T2 ο T1 =   =  2 1 − 1 2 y '      y  

 x'    =  y'

1 1   x      1 0    y −1

 x  1 1   x '       =   y  1 0   y '  x 1  0 − 1  x '    =      y  0 − 1  − 1 1   y'  x   0 1   x'   y '    =     =    y   1 − 1  y '   x'− y ' 

b. 2x + 3y – 7 = 0 c. 3x + 2y – 7 = 0 d. 5x – 2y – 7 = 0 e. 5x + 2y – 7 = 0

Maka: g : 3x + 5y – 7 = 0 g’ : 3y’ + 5(x’ – y’) – 7 = 0 3y’ + 5x’ – 5y’ – 7 = 0 5x’ – 2y’ – 7 = 0 5x – 2y – 7 = 0 …………………..(d) 4. Luas bayangan persegi panjang PQRS dengan P(–1, 2), Q(3, 2), R(3, –1), S(–1, –1) karena dilatasi [O,3] dilanjutkan rotasi pusat O bersudut π2 adalah … a. b. c. d. e.

Rotasi diabaikan, karena rotasi tidak mempengaruhi luas bayangan yang terbentuk. Luas persegi panjang PQRS

36 48 72 96 106

PQ = 3 – (–1) = 4 QR = 2 – (–1) = 3 Maka L = 4 · 3 = 12 L’ = luas akibat dilatasi [O,3] = 3L = 3 · 12 = 36 ………………….(a)



 a a + 1  yang dilanjutkan − 2 

5. Transformasi  1

1  2  terhadap  − 1 − 3

dengan transformasi 

titik A(2, 3) dan B(4, 1) menghasilkan bayangan A’(22, –1) dan B’(24, –17). Oleh komposisi transformasi yang sama, bayangan titik C adalah C’(70, 35). Koordinat titik C adalah … a. (2, 15) b. (2, –15) c. (–2, 15) d. (15, –2) e. (15, 2)

PENYELESAIAN

 a a + 1  dan T2 = 1 − 2 

T1 = 

1  2    − 1 − 3

(i) titik A(2, 3) oleh transformasi T2 ο T1 menghasilkan bayangan A’(22, – 1)

 x'    y'  22     −1  22     −1  22     −1

T2 ο T1 = 

1   a a + 1  x     − 3   1 − 2   y  1   a a + 1  2     − 3   1 − 2   3  1   2a + 3a + 3    − 3   2 − 6  1   5a + 3    − 3   − 4 

2 −1 2 =  −1 2 =  −1 2 =  −1 = 

 22  10a + 6 − 4  10a + 2    =   =    −1  − 5a − 3 + 12   − 5a + 9  dari kesamaan di atas diperoleh: 10a + 2 = 22 10a = 20 a=2

 a a + 1  = 1 − 2 

dengan demikian T1 = 

2 3    1 − 2

(ii) titik C(x, y) oleh transformasi T2 ο T1 menghasilkan bayangan A’(70, 35)

 x'   2  =  y '   −1  70   5   =   35   − 5

T2 ο T1 = 

x    y x    y x    y x    y

1  2 3   x     − 3   1 − 2   y  4  x    3   y  −1

= = = =

 5 4   70      − 5 3    35  1  3 − 4   70     15 + 20  5 5   35  1  3 − 4   70     35  5 5   35  3 − 4  2  2      =   5 5   1  15 

……………………………….(a) Cermati secara seksama cara pengerjaannya 79 lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN


22. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA SOAL 1. Jika jumlah bilangan ganjil 5 + 7 + 9 + … + p = 525, maka p = … a. 20 b. 24 c. 23 d. 45 e. 49

PENYELESAIAN Diket: U1 = a = 5 b=7–5=2 Sn = 525 dit : p = Un jawab: • Sn = 12 n (2a + (n – 1)b) ………rumus B.2).(2) 525 = 12 ·n {2(5) + (n – 1)2}

525 = n(5 + n – 1) 525 = n(4 + n) 525 = n2 + 4n n2 + 4n – 525 = 0 (n + 25)(n – 21) = 0 n = {–25, 21}, nilai n yang memenuhi adalah n = 21 karena n selalu positif. • Un = a + (n – 1)b U21 = 5 + (21 – 1)2 = 5 + 20(2) = 5 + 40 = 45 …………………………(d) 2. Suku tengah deret aritmetika adalah 40. Jika Diket: Ut = 40 jumlah n suku pertama deret itu 1.000, maka Sn = 1.000 n=… dit : n a. 21 jawab: b. 23 Ut = 12 (a + Un) ……………...(1) c. 25 d. 27 Sn = n· 12 (a + Un) ……………(2) e. 29 Substitusikan pers. (1) ke (2)

Sn = n · Ut 1.000 = n · 40 000 = 25 ……………………………(c) n = 1.40


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL PENYELESAIAN 3. Jumlah sepuluh suku pertama deret log 2 + Diket: a = log 2 log 6 + log 18 + log 54 + … adalah … b = log 6 – log 2 = log( 62 ) = log 3 10 a. 5 log(4·3 ) dit : S10 b. 5 log(2·39) 10 c. log(4·3 ) jawab: d. log(4·345) • Sn = 12 n (2a + (n – 1)b) ………rumus B.2).(2) e. log(45·345) S10 = 12 · 10(2·log 2 + 9 log 3) = 5(2·log 2 + 9 log 3) = 5(log 22 + log 39) = 5log (4 ·39) = log (4 ·39)5 = log(45 ·345) ………………………….(e) 4. Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari deret aritmetika berturut-turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah … a. 117 b. 120 c. 137 d. 147 e. 160

Diket: U3 = 18 U5 = 24 dit : S7 jawab: U5 = a + 4b = 24 ……………(1) U3 = a + 2b = 18_ _ ………. (2) 2b = 6 b=3 substitusikan b = 3 ke pers (2) a + 2b = 18 a + 6 = 18 a = 18 – 6 = 12 •

Sn = 12 n (2a + (n – 1)b) ………rumus B.2).(2) S7 = 12 · 7 (2·12 + 6·3) = 7(12 + 3·3) = 7(12 + 9) = 7(21) = 147 …………………………..(d)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 5. Suku ke-5 sebuah deret aritmetika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke-8 dengan suku ke12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku yang pertama deret itu adalah … a. 68 b. 72 c. 76 d. 80 e. 84

PENYELESAIAN Diket: U5 = 11 U8 + U12 = 52 dit : S8 jawab: U8 + U12 = a + 7b + a + 11b 52 = 2a + 18b 26 = a + 9b ⇔ a + 9b = 26 …………(1) U5 = a + 4b = 11_ _ ……. (2) 5b = 15 b=3 substitusikan b = 3 ke pers (2) a + 4b = 11 a + 4(3) = 11 a = 11 – 12 = –1

Sn = 12 n (2a + (n – 1)b) ………rumus B.2).(2) S8 = 12 ·8 (2(-1) + 7·3) = 4 (–2 + 21) = 4(19) = 76 ………………………………...(c) 6. Diketahui suatu barisan aritmetika, Un Diket: U7 = 16 menyatakan suku ke-n. Jika U7 = 16 dan U3 + U9 = 24 U3 + U9 = 24, maka jumlah 21 suku pertama dit : S21 dari deret aritmetika tersebut adalah … jawab: a. 336 U3 + U9 = a + 2b + a + 8b b. 672 24 = 2a + 10b c. 756 12 = a + 5b ⇔ a + 5b = 12 …………(1) d. 1.344 U7 = a + 6b = 16_ _ ……. (2) e. 1.512 –b = –4 b=4 substitusikan b = 4 ke pers (1) a + 5b = 12 a + 5(4) = 12 a = 12 – 20 = –8 Sn = 12 n (2a + (n – 1)b) ………rumus B.2).(2) S21 = 12 ·21 (2(-8) + 20·4) = 21(–8 + 10·4) = 21(–8 + 40) = 21(32) = 672 …………………………..(b)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 7. Barisan bilangan aritmetika terdiri dari 21 suku. Suku tengah barisan tersebut adalah 52, sedangkan U3 + U5 + U15 = 106. suku ke-7 barisan tersebut adalah … a. 27 b. 30 c. 32 d. 35 e. 41 •

Substitusikan a = 2 pers. (1) 106 = 3a + 20b 106 = 3(2) + 20b 20b = 106 – 6 20b = 100 b=5

PENYELESAIAN Diket: n = 21 Ut = 52 U3 + U5 + U15 = 106 dit : U7 jawab: • U3 + U5 + U15 = a + 2b + a + 4b + a + 14b 106 = 3a + 20b………………….(1) 106 = 2a + (a + 20b) 106 = 2a + U21 U21 = 106 – 2a ………………….(2) •

Jadi, U7 = a + 6b = 2 + 6(5) = 2 + 30 = 32 ………………….(c) 8. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah dua, dan suku kedua dikurangi dua, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2 maka hasilnya menjadi empat kali suku pertama. Maka suku pertama deret aritmetika tersebut adalah … a. 4 b. 6 c. 8 d. 12 e. 14

52 = 12 (a + 106 – 2a) 104 = 106 – a a = 106 – 104 =2

Dik : 1) x, y, z ………: barisan aritmetika z + 2 = 4x z = 4x – 2 2) x, (y – 2), (z + 2) : barisan geometri dit : U1 Jawab: • beda b y–x=z–y y – x = (4x – 2) – y y + y = 4x + x – 2 –5x + 2y = – 2 ……………………..(1) •

• Dari pers. (1) dan (2) –5x + 2y = – 2 | × 1 ⇔ –5x + 2y = – 2 2x – y = – 2 | × 2 ⇔ 4x – 2y = – 4 –x = –6 x=6 Jadi, U1 = 6 ……………………………(b)

+

Substitusikan pers. (2) ke rumus Ut Ut = 12 (a + U2k – 1)

Rasio r

y−2 z+2 = x y−2 y − 2 4x − 2 + 2 = x y−2 y−2 4x = x y−2

4x2 = (y – 2)2 2x = y – 2 2x – y = – 2 ………………………………(2)



23. BARISAN DAN DERET GEOMETRI SOAL 1. Persamaan kuadrat x2 – 20x + m = 0, • mempunyai akar-akar p dan q. Jika p, q, pq membentuk barisan geometri, nilai m = … a. –125 atau 64 b. 125 atau –64 c. 75 atau –96 d. –75 atau 96 e. –60 atau 120 •

PENYELESAIAN x – 20x + m = 0 , akar-akarnya p dan q, maka 2

(i) p + q =

−b = 20 a

p = 20 – q …………………..(1) (ii) pq =

c = m …………………(2) a

p, q, pq …….. barisan geometri, maka

q pq = p q q =p p q = p2 ………………………….(3) •

dari pers. (1) dan (3) p = 20 – q p = 20 – p2 p2 + p – 20 = 0 (p + 5)(p – 4) = 0 p = {–5, 4} maka di peroleh q = {25, 16}

•

Substitusikan nilai p dan q ke pers. (2) m = pq = –5· 25 = –125 atau = 4·16 = 64 Jadi, m = {–125 atau 64} …………………(a)

2. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian Diket : n = 5 menurut deret geometri. Jika yang terpendek a = 10 10 cm dan yang terpanjang 160 cm, panjang U5 = 160 tali semula adalah … cm Dit: S5 a. 310 Jawab: b. 320 • U5 = a·r4 • c. 630 160 = 10·r4 d. 640 r4 = 16 = 24 e. 650 r=2

Karena r > 1, maka n Sn = a (r − 1) r −1 5 S5 = 10(2 − 1) 2 −1 = 10(32 – 1 ) = 10(31) = 310 …………(a)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL PENYELESAIAN 3. Jika x6 = 162 adalah suku keenam suatu log x2 + log x3 + log x4 + log x5 = 4 log 2 + 6 log 3 deret geometri, log (x2· x3 · x4 · x5) =2(2 log 2 + 3 log 3) log x2 + log x3 + log x4 + log x5 = 4 log 2 + 6 log (ar· ar2 · ar3 · ar4) =2(log 22 + log 33) log 3, maka jumlah empat suku pertama log a4r10 = 2(log 22·33) 2 log a2r5 = 2(log 22·33) deret tersebut sama dengan … log a2r5 = log 22·33 a. 80 23 a2r5 = 22·33 …………………….(1) b. 80 • x6 = 162 c. 27 ar5 = 162 = 2·81 = 2·34 …………………….(2) 2 d. 26 3

dari (1) dan (2)

e. 26

a 2r 5 ar 5

=

2 2 ⋅ 33 2 ⋅ 34

a = 23 •

substitusikan a = 23 ke pers. (2) ar5

= 2·34

{ 23 ·r5 = 2·34}× 32 r 5 = 35 r=3 •

deret 4 suku pertama S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = a + ar + ar2 + ar3 = 23 + 23 ·3 + 23 ·32 + 23 ·33

= 4. Jumlah lima suku pertama suatu deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu 2, hasil kali suku ke-3 dan ke-6 adalah … a. 4.609 b. 2.304 c. 1.152 d. 768 e. 384

2 3

+ 2 + 6 + 18 = 26 23 …………(d)

Diket : S5 = 93 r=2 Dit: U3· U6 Jawab: • Karena r > 1, maka n Sn = a (r − 1) r −1 5 S5 = a (2 − 1) 2 −1 93 = a(32 – 1) 93 = 31a a = 93 =3 31 •

U3· U6 = ar2· ar5 =3·22·3·25 =3·4·3·32 = 1.152 …………………………….(c)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 5. Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah … bakteri a. 640 b. 3.200 c. 6.400 d. 12.800 e. 32.000

PENYELESAIAN Diket : r = 2 U 15 = U3 = 400 5

Dit: U 35 = U7 5

Jawab: • U3 = ar2 400 = a·22 400 = a·4 •

a = 400 = 100 4

U7 = ar6 = 100×26 = 100×64 = 6.400 ……………………..(c) 6. Sebuah bola pingpong dijatuhkan ke lantai Diket : h = 2 dari ketinggian 2 meter. Setiap bola itu r = 34 memantul ia mencapai ketinggian ¾ dari a = 34 h = 34 ×2 = 32 ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola tersebut hingga bola Dit: S tot berhenti adalah … meter Jawab: a. 17 Stot = h + Snaik + Sturun b. 14 = h + 2(S∞) c. 8 2 ⋅ 32 2a d. 6 =h+ =2+ e. 4 1− r 1− 3 4

=2+

3 1 4

= 2 + 12 = 14 ………………..(b)



24. PERSAMAAN/PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN SOAL

PENYELESAIAN

1. Penyelesaian persamaan 3 x +5 x +1 = (27)x + 3 adalah p dan q, dengan p > q. nilai p – q = … a. –6 2

b. –4 c. –2 d. 2

⇔

3x

2

+5 x +1

3x

2

+5 x +1

= (27)x + 3 = (33)x + 3

⇔ 3 x +5 x +1 = 33x + 9 2 ⇔ x + 5x + 1 = 3x + 9 ⇔ x2 + 2x – 8 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 4) = 0 2

(i) x – 2 = 0 x=2=p

e. 6

(ii) x + 4 = 0 x = –4 = q

Jadi, p – q = 2 – (– 4) = 6 …………………(e) 2. Penyelesaian persamaan

8x

2

− 4 x +3

=

1 32 x −1

8x

2

− 4 x +3

adalah p dan q, dengan

=

1 32 x −1 1

2 ⇔ 23( x − 4 x + 3) = 5( x −1) 2

p > q. nilai p + 6q = … a. –17

3 (x2

− 4 x + 3)

= 2 − 5( x −1) ⇔ 22 ⇔ { 32 ( x 2 − 4 x + 3) = – 5(x – 1)} × 2

b. –1 c. 3

⇔ 3(x2 – 4x + 3) = – 10(x – 1) ⇔ 3x2 – 12x + 9 = – 10x + 10 ⇔ 3x2 – 2x – 1 = 0 ⇔ (x – 1)(3x + 1) = 0

d. 6 e. 19

(i) x – 1 = 0 x=1=p

(ii) 3x + 1 = 0 x = − 13 = q

Jadi, p + 6q = 1 + 6( − 13 ) = 1 – 2 = –1 …………………(b) 3. Himpunan penyelesaian dari 2x + 5 < 2 x +6 x +11 adalah … a. {x| x < –3 atau x > –2} 2

b. {x| x < 2 atau x > 3} c. {x| x < –6 atau x > –1} d. {x|–3 < x < –2} e. {x| 2 < x < 3}

bilangan pokok 2 >1, sehingga tanda pertidaksamaan tetap 2x + 5 < 2 x +6 x +11 , ⇔ x + 5 < x2 + 6x + 11 2 ⇔ – x + x – 6x + 5 – 11 < 0 ⇔ {– x2 – 5x – 6 < 0} × (–1) ⇔ x2 + 5x + 6 > 0 ……pertidaksamaan berubah ⇔ (x + 3)(x + 2) > 0 2

pembentuk nol x = {–3, –2} karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……...(a)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 4. Himpunan penyelesaian dari persamaan

x a. b. c. d.

2+ 2 log x

{ 13 , { 14 , { 18 , { 18 ,

= 8 adalah …

1} 2}

2}

log x 2 +

a.

2

log3

b.

3

log2

e.

3

log 3

log6

1 3

log 2

2

⇔

2

log x

=8

2

log x

= 2log 8

2 log x 2 + log x = 2log 23 ⇔ ⇔ (2 + 2log x)(2log x) = 3 ⇔ ( 2log x)2 + 2( 2log x) – 3 = 0 ⇔ ( 2log x + 3)( 2log x – 1) = 0 (i) 2log x + 3 = 0 (ii) 2log x – 1= 0 2 2 log x = –3 log x = 1 –3 1 x = 21 = 2 x=2 = 8 2

()

d.

2

x 2+

Jadi, HP = { 18 , 2}

x +1 5. Jika 6x – 1 = 23 , maka x = …

1 2

Karena bentuk x 2+ log x = 8 tidak bisa di ubah ke dalam bentuk baku persamaan eksponen bilangan pokok logaritma adalah 2, maka persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan logaritma dengan bilangan pokok 2

1}

e. {2}

c.

PENYELESAIAN

()

x +1 tidak bisa di ubah Karena bentuk 6x – 1 = 23

ke dalam bentuk baku persamaan eksponen, maka persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan logaritma

()

x +1 6x – 1 = 23

()

x +1 ⇔ log 6x – 1 = log 23

() ⇔ x log 6 – log 6 = x log (2 ) + log (2 ) 3 3 2 ⇔ x log 6 – x log (3 ) = log 6 + log (23 ) ⇔ x {log 6 – log (23 ) } = log 6 + log (23 ) ⇔ (x – 1)log 6 = (x + 1)log 23





(

6 ⇔ x log 2  = log 6 × 2 3   

3



)

⇔ x log 9 = log 4 ⇔x=

log 4 9 = log 4 log 9 2 = 3 log 2 2 = 3log2 ……………(b)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 6. Himpunan penyelesaian

1   3

x 2 −3 x −5

1 <  3

− x −2

PENYELESAIAN bilangan pokok 1 < 1, sehingga tanda 3

adalah …

pertidaksamaan berubah

(13 )x

a. {x| x < –3 atau x > 1}

2

−3x −5

(3 )

−x−2 < 1

d. {x|–3 < x < 1}

⇔ x – 3x – 5 > –x – 2 ⇔ x2 – 3x + x – 5 + 2 > 0 ⇔ x2 – 2x – 3 > 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) > 0

e. {x| x < 1 atau x > 3}

pembentuk nol

2

b. {x| –1 < x < 3} c. {x| x < –1 atau x > 3}

x = {–1, 3} karena tanda pertidaksamaannya >, maka HP ada di tepi, menggunakan kata hubung atau……...(c) 7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3

( 5 ) x < 25

x

2

− 34 x

3

( 5 ) x < 25

x 2 − 34 x

adalah … a. 1 < x < 3 atau x > 4

⇔ (5 2 ) x < 5

b. 0 < x < 1 atau x > 2

⇔ 52

c. 0 < x < 3 atau x > 4

⇔ { 12 x 3 < 2 x 2 − 32 x } × 2 ⇔ x3 < 4x2 – 3x ⇔ x3 – 4x2 + 3x < 0 ⇔ x(x2 – 4x + 3) < 0 ⇔ x(x – 1)(x – 3) < 0

d. x < 0 atau 1 < x < 3 e. 0 < x < 1 atau x > 3

1

1 x3

3

<5

2( x 2 − 34 x )

2 x 2 − 32 x

pembentuk nol (i) x = 0 (ii) x – 1= 0 x=1

(iii) x – 3 = 0 x=3

Jadi x = {0, 1, 3} Karena pembentuk nol ada 3, untuk menentukan daerah HP dibuat dulu grafiknya sbb:

berdasarkan garfik di atas, maka: HP = { x < 0 atau 1 < x < 3} …………………(d)



25. PERSAMAAN/PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA SOAL PENYELESAIAN 1. Penyelesaian persamaan 2 2 log(3x + 5x + 6) – 2log(3x + 1) = 2 2 log(3x2 + 5x + 6) – 2log(3x + 1) = 2 adalah α 2 ⇔ log(3x2 + 5x + 6) – 2log(3x + 1) = 2log22 dan β. Untuk α > β, nilai α – β = …  3x 2 + 5x + 6  2 2 a. 13  = log 4 ⇔ log b.

 

1 2

⇔

c. 1 23 d. 2 e. 3

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

  2 3x + 5x + 6 = 4 3x + 1 3x + 1

3x2 + 5x + 6 = 4(3x + 1) 3x2 + 5x + 6 = 12x + 4 2 3x + 5x – 12x + 6 – 4 = 0 3x2 – 7x + 2 = 0 (3x – 1)(x – 2) = 0

(i) 3x – 1= 0 x=

1 3

(ii) x – 2 = 0 x=2=α

=β

Jadi: α – β = 2 – 13 = 1 23 ……………………(c) 2. Akar-akar persamaan 4log(2x2 – 3x + 7) = 2 adalah x1 dan x2. Nilai 4x1· x2 = … a. –6

4

log(2x2 – 3x + 7) = 2

2 ⇔ 2 log(2 x 2 − 3 x + 7) = 2log 22

b. –18

⇔ 12 2 log(2 x 2 − 3 x + 7) = 2log 4

c. 10

⇔ 2 log(2 x 2 − 3 x + 7) = 2log 42 ⇔ 2x2 – 3x + 7 = 16 ⇔ 2x2 – 3x + 7 – 16 = 0 ⇔ 2x2 – 3x – 9 = 0

d. 18 e. 46

Bentuk akhir di atas adalah persamaan kuadrat, sehingga nilai 4x1· x2 dapat diketahui tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu.

c a

−9   2 

4x1· x2 = 4  = 4

= 2(– 9) = –18 ………………(b)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 3. Batas-batas nilai x yang memenuhi 3 log(x2 – 2x + 1) ≤ 2 adalah … a. –2 ≤ x ≤ 4, x ≠ 1 b. 1 ≤ x ≤ 4

c. 1 < x ≤ 4 d. –4 ≤ x ≤ 1 e. –4 < x < 4, x ≠ 1

PENYELESAIAN log(x2 – 2x + 1) ≤ 2 ⇔ log(x2 – 2x + 1) ≤ 3log 32 ⇔ 3log(x2 – 2x + 1) ≤ 3log 9 3 3

(i) pertidaksamaan x2 – 2x + 1 ≤ 9 x2 – 2x – 8 ≤ 0 (x + 2)(x – 4) ≤ 0 pembentuk nol • x+2=0 x = –2

•

x–4=0 x=4

x = {– 2, 4} (ii) numerus x2 – 2x + 1 > 0 ⇔ (x – 1)2 > 0 pembentuk nol x = {1} grafik himpunan penyelesaian

berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {–2 ≤ x ≤ 4, x ≠ 1} …………………..(a)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9 log(x2 + 2x) < ½ adalah … a. –3 < x < 1 b. –2 < x < 0

PENYELESAIAN 9

log(x2 + 2x) < 1

2

2

⇔ 3 log( x 2 + 2 x) < 12

c. –3 < x < 0

⇔ { 1 3 log( x 2 + 2 x) < 1 }× 2

d. –3 ≤ x ≤ 1 atau 0 < x < 2

⇔ log( x + 2 x) < 1

2

e. –3 < x < –2 atau 0 < x <1

3

2

2

⇔ 3 log( x 2 + 2 x) < 3log 3 i) pertidaksamaan x2 + 2x < 3 x2 + 2x – 3 < 0 (x + 3)(x – 1) < 0 pembentuk nol • x+3=0 x = –3

•

x–1=0 x=1

x = {– 3, 1} (ii) numerus x2 + 2x > 0 ⇔ x(x + 2) > 0 pembentuk nol x = {0, – 2} Grafik himpunan penyelesaian

berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {–3 < x < –2 atau 0 < x <1} …………..(e)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1 2

PENYELESAIAN 1 2

log( x − 8) > 0 adalah … 2

log( x 2 − 8) > 0 1 2

⇔

b. {x | – 2 2 < x < 2 2 } c. {x | x < –3 atau x < 3

(i) pertidaksamaan

d. {x | x < – 2 2 atau x < 2 2 } e. {x | –3 < x < – 2 2 atau 2 2 < x < 3}

1

log( x 2 − 8)> 2 log1

a. {x | –3 < x < 3

Karena bilangan pokok 1 < 1, maka tanda 2 pertidaksamaan berubah x2 – 8 < 1 ⇔ x2 – 9 < 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) < 0 pembentuk nol x = {– 3, 3} (ii) numerus x2 – 8 > 0 pembentuk nol x2 = 8 x= ± 8 x= ±2 2

berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {x | –3 < x < – 2 2 atau 2 2 < x < 3} ………………………………………..…..(e)


Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com SOAL 6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 1 2

1 2

log( x − x )≥ log( x + 3) adalah … 2

a. {x | –1≤ x ≤ 3, x ∈R

b. {x | –1≤ x < 0 atau 1< x ≤ 3, x ∈R c. {x | x < 0 atau x > 1, x ∈R d. {x | –1≤ x < 0 atau x ≥ 3, x ∈R e. {x | x ≥ 0 atau –1 ≤ x ≤ 3, x ∈R

PENYELESAIAN 1 2

1

log( x 2 − x )≥ 2 log( x + 3)

(i) pertidaksamaan Karena bilangan pokok 1 < 1, maka tanda 2 pertidaksamaan berubah x2 – x ≤ x + 3 ⇔ x2 – x – x – 3 ≤ 0 ⇔ x2 – 2x – 3 ≤ 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) ≤ 0 pembentuk nol x = {– 1, 3} (ii) numerus a) x2 – x > 0 x(x – 1)

b) x + 3 > 0 x > –3

pembentuk nol x = {0, 1}

berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {x | –1≤ x < 0 atau 1< x ≤ 3, x ∈R} ……………………………………………..(b)


CUPLIKAN KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL MATEMATIKA SMA PROGRAM IPA

Recommend Documents