Segundo Cuat Cuat r im es estt r e de 2014 Departamento Transversal de comunicación y Tecnologías de la Información
Carrera: Ingeniería en Informática
Asignatura: Fí si ca I
Material de Trabajo Guía teórico-práctica Nº 5 – Cu er erp p o rí rí gido.
Ci n emá em át i ca y Diná Din ám i ca de d e ro r o t a ciones cio nes Parte I Elaboración
Gustavo Montero Miguel Dall´Osso Tomás Jovic Armagno Paulina
Cinemática rotacional de cuerpos rígidos ¿Qué tienen en común los movimientos de un disco compacto, una rueda, una sierra circular y un ventilador de techo? Que ninguno puede representarse adecuadamente con coordenadas cartesianas como lo veníamos haciendo para los diferentes movimiento estudiados en cinemática; por lo tanto para describir correctamente los movimiento circulares deberemos adoptar otro sistema de referencia. La rotación se da en todos niveles, desde el movimiento de los electrones hasta los movimientos de las galaxias enteras. Necesitamos métodos generales para analizar el movimiento en rotación. Los cuerpos reales son muy complejos a la hora de formalizar sus comportamientos, dado que al ser sometidos a la acción de fuerzas se pueden torcer, estirar, e incluso aplastarse, por lo que por ahora para simplificar un poco la cosa idealizaremos los cuerpos con forma y tamaño perfectamente definidos e inmutables, dicha simplificación define a los cuerpos como CUERPOS RÍGIDOS. Para comenzar el recorrido empezaremos con el lenguaje de la cinemática para describir el movimiento rotacional de un cuerpo rígido. Es decir vamos a estudiar a los cuerpos rígidos a partir de los datos que nos aportan sus relaciones de cambio de magnitudes, tales como: velocidad y aceleración angulares. Seguramente hemos visto que el movimiento rectilíneo es muy sencillo cuando la aceleración es constante. Lo mismo sucede con el movimiento rotacional sobre un eje fi jo. Si la aceleración angular es constante, podemos deducir ecuaciones para la velocidad y la posición angulares siguiendo el mismo procedimiento que usamos para el movimiento rectilíneo.
Velocidad y aceleración angular Para el estudio del movimiento circular debemos analizar en primer lugar cómo representar este movimiento, entonces tenemos dos posibilidades: una es hacerlo como lo venimos haciendo para el movimiento en el plano y representar las posiciones y la variación con el tiempo de estas coordenadas en un sistema (x;y) para las posiciones y x(t) o y(t) para las variaciones en el tiempo de las mismas. Otra es definir las posiciones de las partículas en el movimiento circular a partir de las coordenadas polares, lo que consiste en definir una posición a partir de señalar la distancia respecto del eje de rotación (radio de giro), el ángulo respecto de cierta referencia (coordenada angular θ ), además el sentido de giro (positivo: anti-horario, negativo horario) dará información sobre la variación que pueda realizar dicha coordenada angular ( θ(t)) Al describir un movimiento rotacional, la forma más natural de medir el ángulo θ no es en grados, sino en radianes. Como se muestra en la figura a), un radián (1 rad) es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco cuya longitud es igual al radio del círculo. En la figura b), un ángulo θ es subtendido por un arco de longitud s en un círculo de radio r . El valor de θ (en radianes) es igual a s sobre r : s s r r
2
Un ángulo en radianes es la razón de dos longitudes, así que es solo un número, sin dimensiones, es decir, sin unidades. Si s=3m y r =2m, entonces =1,5, pero a menudo escribiremos esto como 1,5 rad para distinguirlo de un ángulo medido en grados o revoluciones (vueltas). La circunferencia de un círculo (es decir, la longitud del arco que rodea el círculo) es 2 π veces el radio, así que hay 2 π (unos 6,283) radianes en una revolución completa (360°). Por lo tanto, 1 rad = 360°/2 π = 57,3° Asimismo, 180° = π rad, 90° = π/2 rad, etcétera. Al medir ángulos en radianes, mantenemos la relación entre el ángulo y la distancia a lo largo de un arco lo más sencilla posible. Para una vuelta completa
perímetro r
vuelta..completa
2 .r
r
vc
2
Velocidad angular y tangencial Si analizamos el cambio de posición de una partícula girando en una trayectoria circular con respecto al tiempo análogamente a como lo hicimos en los movimientos rectilíneos, hallaremos las relaciones de cambio entre la posición y el tiempo con lo que obtendremos la velocidad angular “ ”, a partir del cociente entre el desplazamiento (medido en coordenadas polares) y el tiempo. Si imaginamos una partícula en el extremo de una circunferencia, como podría ser la rueda que se observa en la figura, y definimos un ángulo 1 en t 1 y un ángulo 2 en un tiempo t 2, entonces la variación de en función del tiempo la podemos expresar como:
media
1 t 2 t 1
2
med
t
Velocidad angular media Y si planteamos lim t 0
t
d dt
Velocidad angular instantánea
3
Podemos observar que si la rueda gira con una velocidad angular constante todos los puntos ubicados sobre el radio de la circunferencia rotarán con la misma velocidad angular ya que todos recorrerán el mismo ángulo en un cierto intervalo de t iempo. Podemos medir la velocidad angular con diferentes unidades para el S.I. la velocidad angular se mide en rad/s. Otra unidad un poco más conocida son las revoluciones por minuto (rev/min o r.p.m.) . La manera de convertir una unidad a otra es la siguiente:
rad
Si
s
sabemos que una vuelta tiene 2 rad y que un minuto tiene 60 segundos, entonces
nos queda:
rad . 60 r . p.m 2
s
Representación vectorial de La velocidad angular es un vector y se lo representa en dirección perpendicular al plano de la circunferencia descripta. En relación al sentido de giro de la partícula se definirá si el vector es entrante o saliente respecto al plano. En términos generales si el sentido de giro es horario el vector será entrante respecto al plano, si el sentido de giro es anti-horario el sentido de será saliente respecto del plano. Hemos definido entonces:
d
2
dt 2
d
1
d .dt
.dt 2
1 = t 2 t 1
1
Movimiento circular uniforme Análogo al
(t t 0 )
M.C.U.
= 0
M.R.U.
x x 0 v(t t o )
Siguiendo con la analogía de las situaciones físicas del movimiento rectilíneo uniforme podemos plantear la variación de respecto del tiempo, lo cual definiremos como la aceleración angular “ ”. med
=
0
t t 0
t
d .dt
med
lim t 0
t
t
aceleración media
si integramos respecto de t
d dt
.dt 0
la primitiva es
0
t t 0 integral definida,
0
c .t siendo c 0
Tomando t 0=0 nos queda para un M.C.U.V.: 4
análogo al M.R.U.V.
vf = v0+a.t
Integrando esta ecuación, nos queda: d 0 .dt .t .dt
d 0 .dt t .dt c 0 .t M.C.U.V.
análogo al M.R.U.V.
0
0 .t
1 2
x x0 v0 .t
1 2
2
.t
siendo c= 0
2
.t
1 2 .a.t 2
Si de la primera ecuación horaria de M.C.U.V. despejamos la variable tiempo y la reemplazamos en la segunda ecuación horaria de M.C.U.V. obtenemos una ecuación complementaria independiente del tiempo: f 2 i2 2 . . Ejercicio resuelto. Ejemplo
Imagine que usted acaba de ver una película en DVD y el disco se está deteniendo. La velocidad angular del disco en t=0 es de 27,5 rad/s y su aceleración angular constante es de -10 rad/s2. Una línea PQ en la superficie del disco está a lo largo del eje + x en t=0. a) ¿Qué velocidad angular tiene el disco en t=0,3 s? b) ¿Qué ángulo se ha desplazado la línea PQ con respecto al eje + x en ese tiempo?
El ejercicio nos proporciona el dato de la velocidad angular inicial ω0z= 27,5 rad/s, el ángulo inicial 2 0 0 (entre la línea PQ y el eje + x), la aceleración angular α z = -10 rad/s y el tiempo t=0,3 s. Nota: la existencia de la aceleración angular , nos da cuenta de un movimiento circular uniformemente variado (M.C.U.V.). a) Para determinar la velocidad angular final utilizamos la ecuación horaria de M.C.U.V. = + . ya que es la expresión que relaciona las velocidades angulares. Para el tiempo t=0,3 s obtenemos el siguiente resultado: = + . = 27,5 ⁄ + ( −10 ⁄ ) .(0,3s) 5
= , ⁄
b) Para determinar el
ángulo de desplazamiento entre la recta
PQ y el eje + x utilizaremos la
ecuación horaria de M.C.U.V. = + . + . . que es la expresión de la posición con
respecto al tiempo. Para t=0,3 s, obtenemos el siguiente resultado: 1 = + . + . . 2 1 = 0 + (27,5 ⁄)(0,3 s) + .( −10 ⁄ ) .(0,3 s) 2 = ,
El ángulo medido en radianes de una vuelta completa (una revolución) está determinado por la siguiente expresión: 1 = 2.
A partir de esta expresión y mediante la regla de tres simple podemos calcular la cantidad de revoluciones realizadas en este intervalo de tiempo (t=0,3 s): (7,8 )
1 (2. )
= 1,24
El DVD ha girado una revolución completa más 0,24 de revolución, es decir, la línea PQ recorrió 180° más un ángulo adicional de: (0,24 rev) (360°/rev) = 87°. Por lo tanto, la línea PQ forma un ángulo de 87° con el eje + x.
Ejercicios de aplicación 1 - Dos puntos sobre un disco giran a velocidad angular constante: uno de ellos está en el borde del disco y el otro a mitad de distancia entre el borde y el eje. ¿Cuál de los dos puntos recorre una mayor distancia en un tiempo determinado? ¿Cuál gira un ángulo mayor?¿Cuál posee mayor velocidad?¿Y mayor velocidad angular?¿Cuál tiene mayor aceleración tangencial?¿Y mayor aceleración angular?¿y mayor aceleración centrípeta?
2. Una hélice de avión gira a 1900 r.p.m. (rev/min). a) Calcule su velocidad angular en rad/s. b) ¿Cuántos segundos tarda la hélice en girar 35°? -3 Rta: a) 199 rad/s b) 3,1x10 s
3. El volante de un motor de alta rapidez giraba a 500 r.p.m. cuando se interrumpió la alimentación eléctrica. El volante tiene una masa de 40 kg y un diámetro de 75 cm. El motor no recibe electricidad durante 30 s y, durante ese lapso, el volante pierde rapidez por la fricción con los cojinetes de su eje, describiendo 200 revoluciones completas. a) ¿Con qué rapidez está girando el volante cuando se restablece la alimentación eléctrica? b) ¿En cuánto tiempo después de la interrupción del suministro se habría parado el volante, si el suministr o no se hubiera restablecido, y cuántas revoluciones habría girado la rueda en ese tiempo? Rta : a) 300 r.p.m. b) 312 rev
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Relación asociarse
yv
Observar que para una partícula que rota describiendo una circunferencia con se dijo que es el mismo para cualquier punto ubicado sobre el radio.
constante,
En la siguiente figura observamos dos puntos p1 y p2 ubicados sobre el radio de un CD a diferentes distancias del centro y nótese que el arco recorrido no es el mismo ya que esta magnitud depende del radio. Entonces si analizamos que ambos puntos recorren en el mismo tiempo distintas longitudes, debemos pensar que tienen distintas velocidades, no distintas velocidades angulares sino distintas velocidades en términos de v= x/ t. A esta velocidad llamaremos velocidad tangencial ya que su dirección en un instante determinado será tangente a la trayectoria descripta.
Las velocidades tangenciales en cualquier punto del CD vendrá dada por la relación entre el arco recorrido (s) y el tiempo empleado ( t ). v
s t
(velocidad tangencial)
Dado que el arco recorrido dependerá de la velocidad angular podemos buscar una relación entre la velocidad angular ( ) y la velocidad tangencial ( v). Hemos definido
t
y
s .r
En t el punto p recorre un ángulo y un arco s
s v como se observa en la figura el módulo de v varía con respecto al radio y la t dirección cambia en todo momento de acuerdo al sentido de giro. La r elación entre v y es: Si v
s y s .r t
v
r t
v r
Para una constante a mayor radio, mayor velocidad tangencial.
Relación entre
y a
La relación entre la aceleración angular y la aceleración tangencial a vendrá dada por: 7
dv
Como a a
dt
d .r
y v .r a r .
dt
d
dv d w.r a r .
dt
Recordemos que además de la aceleración angular que caracteriza las ecuaciones horarias del movimiento circular debemos tener en cuenta la existencia de la aceleración radial o centrípeta exclusiva del movimiento circular la cual fue definida en la unidad de cinemática y resulta igual a: acent
v2
v r
y como
r
ac r
2
Ejercicio de aplicación 4. Un disco compacto (CD) almacena música en un patrón codificado de hoyos diminutos de 10 -7 m de profundidad, dispuestos en una pista espiral que va desde el centro hasta el borde del disco. Los radios interior y exterior de la espiral son de 25 mm y 58 mm, respectivamente. Dentro del reproductor de CD, mientras el disco gira la pista es barrida con velocidad lineal constante de 1,25 m/s. a) ¿Qué velocidad angular tiene el CD cuando se barre la parte interior de la pista? ¿Y la parte exterior? b) La duración máxima de un CD es de 74 min. ¿Qué longitud tendría la pista de tal CD si se estirara en línea recta? c) ¿Qué aceleración angular media tiene un CD de máxima duración durante los 74 min? Tome la dirección de rotación del disco como positiva. -3 2 Rta: a) 50 rad/s y 21,6 rad/s, b) 5,55 km, c) -6,41.10 rad/s
Energía cinética de un cuerpo en rotación Hemos definido la energía cinética Ec de un sistema de partículas como la sumatoria de cada una de las energías cinéticas individuales: Ec
1
1
2 m .v ........ ... Ec 2 m .v i
2 i
i
2 i
Para un cuerpo que rota, cada partícula tiene una velocidad
vi i .r 1...... Ec =
1 2
m .r
2
i
i
i
Si para un cuerpo se cumple que todas sus partículas (mi ) , rotan respecto del mismo eje, con la misma velocidad angular entonces se define éste como un cuerpo rígido.
Entonces
Ec
La magnitud
1 2 2
m .r o para un diferencial de masa 2
i
i
Ec=
dm .r , se conoce como momento de inercia I 2
i
i
1 2 2 dmi .r i 2
, se trata de una magnitud que
define la distribución de la masa de un cuerpo alrededor de su eje de rotación. Recordamos que un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, así que tiene una energía cinética asociada.
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I mi .r i
2
1 2
Ec I . 2
Energía cinética de rotación de un cuerpo rígido
Cuando el cuerpo que estamos analizando es una figura geométrica regular su momento de inercia estará tabulado y no será necesario integrar para calcularlo. Algunos de las expresiones de los momentos de inercia para figuras conocidas que rotan sobre su eje varicéntrico son los siguientes:
Ejercicio de aplicación 5. Una hélice de avión tiene un diámetro de 2,08 m (de punta a punta) y masa de 117 kg, y gira a 2400 r.p.m. (rev/min) alrededor de un eje que pasa por su centro. Trate la hélice como varilla delgada. a) ¿Qué energía cinética rotacional tiene? b) Suponga que, debido a restricciones de peso, usted tuviera que reducir la masa de la hélice a 75% de su masa original, pero siguiera requiriendo los mismos tamaño y energía cinética. ¿Cuál tendría que ser su velocidad angular en rpm? 6 Rta: a) 1,3.10 J b) 2771,28 r.p.m.
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos Si cualquiera de los cuerpos anteriores no girara sobre su eje varicéntrico sino que el eje de rotación se desplazara una distancia r respecto del centro entonces deberíamos calcular el nuevo momento de inercia para esta figura. Se ha dicho que el momento de inercia da cuenta de la distribución de la masa del cuerpo alrededor del su eje de rotación, por lo tanto si cambiamos de
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lugar el eje de rotación claramente el momento de inercia cambiará. Para calcular el nuevo momento de inercia en estas situaciones usaremos el teorema de los ejes paralelos, también conocido como Teorema de Steiner . La expresión para el nuevo momento de inercia será:
I I CM m D
2
Siendo D la distancia desde el eje que pasa por el centro de masas (varicéntrico) al nuevo eje de rotación.
Opcional : Deducción de la expresión para el cálculo de I según Steiner.
En principio ubiquemos en un plano x;y el plano de rotación del cuerpo en cuestión y los puntos para el CM, para una porción del cuerpo a la que llamaremos dm y pondremos el origen sobre el nuevo eje de rotación separado una distancia D respecto al eje varicéntrico de rotación. La expresión general para calcular I es
I r .dm 2
El momento de inercia respecto del centro de masa es
2 2 yCM I CM xCM .dm
2 2 I 0 x y .dm
I 0
x
CM
x´ yCM y´ .dm 2
2
I 0
2 2 I 0 xCM yCM .dm
x
2 CM
2 2 xCM . x´ x´2 yCM 2 yCM . y´ y´2 .dm
. y´2 xCM . x´.dm x´2 y´2 .dm
2 y
CM
El segundo término es 2. yCM y´.dm 2 xCM x´.dm y´.dm y Definición del centro de masa x´.dm y´
. M
´CM
. M
desde
y´CM y x´CM serían las posiciones del
CM
C.M., o sea cero
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I 0 xCM yCM .dm x´2 y´2 .dm 2
2
2 2 I 0 d .dm r ´ .dm
I 0 I CM r ´2 m
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
Si el sistema en rotación podemos definirlo como la suma de varios cuerpos o figuras regulares conocidas, entonces el momento de inercia del sistema será la suma de los momentos de inercia de cada uno de los cuerpos del sistema.
Ejercicios y problemas propuestos para esta unidad Ejercicio 1 Un cable ligero, flexible y que no se estira está enrollado en el tambor de un malacate, un cilindro sólido de 50 kg de masa y 0,12 m de diámetro, que gira sobre un eje fijo horizontal montado sobre unos rodamientos sin fricción. Una fuerza de magnitud constante de 9 N tira del extremo libre del cable a lo largo de una distancia de 2 m realizando un trabajo. El cable no resbala y hace girar al cilindro cunado se desenrolla. Si el cilindro estaba inicialmente en reposo, calcule su a) velocidad angular final y b) la velocidad tangencial final del cable.
Ejercicio 2 Unos ingenieros están diseñando un sistema en el que una masa m, al caer, imparte energía cinética a un tambor uniforme giratorio. Dicha masa está unida con un alambre delgado y muy ligero que inicialmente se encuentra enrollado alrededor del borde del tambor. No hay fricción considerable en el eje del tambor y todo el sistema parte del reposo. Este sistema se probó en la Tierra, pero debe utilizarse en Marte, donde la aceleración debida a la gravedad es de 3,71 m/s2. En las pruebas en la Tierra, cuando m es de 15 kg y se le permite caer una distancia de 5 m, imparte 250 J de energía cinética al tambor. a) Si el sistema se opera en Marte, ¿qué distancia tendría que caer la misma masa para impartir la misma cantidad de energía cinética al tambor? b) ¿Con qué rapidez se moverá la masa de 15 kg en Marte justo cuando el tambor gane 250 J de energía cinética?
Ejercicio 3 La banda de una aspiradora pasa por un eje con 0,45 cm de radio y una rueda con 2 cm de radio. La disposición de estas piezas es similar a la que se puede observar en el conjunto de corona, piñón y cadena de una bicicleta. El motor de la aspiradora gira el eje a 60 rev/s, y a su vez, la banda gira la rueda, que se conecta mediante otro eje al rodillo que saca el polvo de la alfombra que se está intentando limpiar. Suponiendo que la banda no resbala ni en el eje ni en la rueda. a) ¿Qué velocidad tiene un punto en la banda? b) ¿Qué velocidad angular tiene la rueda en rad/s? 11
Problema 1
La esfera de la Muerte es un atracción de circo en la que uno o varios motociclistas entran a la jaula y giran con las motos en forma horizontal, vertical o en el plano que lo deseen, acá tienes un link para poder ver lo que ocurre dentro de la jaula: http://www.youtube.com/watch?v=KXbaSH8Hjyk o http://www.youtube.com/watch?v=-iLliw7qPBs El objetivo de este problema es definir qué variables están involucradas en el fenómeno observado, estimar valores para estas variables y relacionar las ecuaciones del movimiento circular con las leyes de la dinámica para poder estimar cuál sería la velocidad mínima necesaria que debería desarrollar la moto para girar en un plano horizontal y en un plano vertical a la esfera y un valor aproximado de la aceleración que debería desarrollar la moto para poder dar una vuelta completa en el plano vertical partiendo del reposo.
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Problema 2
Investigar cómo funciona el sistema KERS de los autos de Fórmula 1. Si la búsqueda está difícil, acá tenés algunos links que te pueden servir para comenzar: http://www.taringa.net/posts/autos-motos/12634136/Formula-1-funcionamiento-del-DRS-yKers.html http://www.youtube.com/watch?v=9N-NKLz3mvo http://es.wikipedia.org/wiki/Freno_regenerativo http://www.formula1.com/inside_f1/understanding_the_sport/8763.html En base a la energía máxima que pueden acumular las baterías, estimar qué velocidad deberá alcanzar al auto para generar esa energía eléctrica a partir de energía cinética y qué dimensiones podrían tener los volantes de inercia en el caso que no acumulen la energía en baterías. Averiguar las dimensiones de algunos de los circuitos de fórmula 1, las dimensiones de las ruedas que utilizan estos autos y calcular cuántas vueltas darán las ruedas para completar una carrera.
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