Introducción a la Probabilidad Probabilidad Estadística: Ciencia del estado. Descripción y recogida de grandes conjuntos de datos y su presentación en tablas y gráficos. Actualmente es el resultado de la unión de: - Cálculo de Probabilidades (siglo XVII) - Estadística Que evolucionan conjuntamente desde el siglo XIX. Probabilidad: da una medida de la incertidumbre que puede ser debida a la aleatoriedad o al desconocimiento del estado del sistema.
Estadística Teórica: Desarrolla modelos Matemáticos. Estadística Metodológica o Práctica. Estadística Descriptiva: Resumen y descripción de datos. Estadística Inferencial: Toma decisiones a partir de los datos tomados en el contexto general del que provienen.
Fenómeno Natural: Es cualquier cosa que ocurre en la naturaleza. Existen 2 tipos de fenómenos: Deterministico y Probabilistico - Fenómeno Deterministico o no Aleatorio: Bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado es el mismo. Leyes físicas y químicas clásicas. - Fenómeno Aleatorio: Dadas unas condiciones iniciales el resultado no es el mismo. nº de partículas emitidas por una fuente radioactiva, Tiempo de vida de una lámpara, Resultado del lanzamiento de una moneda. Un experimento es un proceso mediante el cual se obtiene un resultado. Expe Ex peri ri men men t o
Dete Determi ni s tico Al eatori atori o
En la Estadística se estudian los experimentos aleatorios, en los cuales, no se puede anticipar el resultado.
Experimento Deterministico o no Aleatorio: Observación de un fenómeno no aleatorio. Experimento Aleatorio (E): Observación de un fenómeno aleatorio. Son rasgos esenciales:
Los posibles resultados son conocidos antes de su realización (Espacio Muestral), no se puede predecir con exactitud el resultado del experimento, se puede repetir indefinidamente en las mismas condiciones. Ejemplo el lanzar una moneda al aire.
Características de un Experimento Aleatorio - Que pueda repetirse n veces. - Conduce a diferentes resultados, pero se pueden conocer estos. - Posee regularidad estadística(de tanto que se repite tiende a un mismo resultado) Espacio Muestral de un Experimento Aleatorio (S): El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. E = Lanzar una moneda 2 veces S = {(c, s) (s, c) (s, s) (c, c)} Tipos de Espacios Muéstrales, de acuerdo al número de elementos, el espacio muestral se clasifica en: Espacio Muestral finito: El número de resultados posibles es un número entero determinado Espacio Muestral infinito: El número de resultados posibles es un número entero no determinado, y el mismo puede ser contable (numerable), o no contable (no numerable). Infinito Contable o Numerable: el número de resultados posibles no puede ser determinado pero puede ser numerado. Infinito no Contable o Numerable: el número de resultados posibles no puede ser determinado ni numerado. Ejemplos: 1.
E: Lanzar un dado 2 veces S: {(1,1)…….. (6,6)}; S es Finito.
2.
E: Observar los Alumnos del núcleo S: {1, 2, 3, 4………n} ; S es Finito.
3.
E: Observar los Vehículos que pasan frente a la universidad S: {1, 2, 3, 4,………….n……..} ; S es Infinito contable.
4.
E: Observar la duración de un bombillo. S: {t / t≥0} t es la duración del bombillo
; S es Infinito no contable.
Los posibles resultados son conocidos antes de su realización (Espacio Muestral), no se puede predecir con exactitud el resultado del experimento, se puede repetir indefinidamente en las mismas condiciones. Ejemplo el lanzar una moneda al aire.
Características de un Experimento Aleatorio - Que pueda repetirse n veces. - Conduce a diferentes resultados, pero se pueden conocer estos. - Posee regularidad estadística(de tanto que se repite tiende a un mismo resultado) Espacio Muestral de un Experimento Aleatorio (S): El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. E = Lanzar una moneda 2 veces S = {(c, s) (s, c) (s, s) (c, c)} Tipos de Espacios Muéstrales, de acuerdo al número de elementos, el espacio muestral se clasifica en: Espacio Muestral finito: El número de resultados posibles es un número entero determinado Espacio Muestral infinito: El número de resultados posibles es un número entero no determinado, y el mismo puede ser contable (numerable), o no contable (no numerable). Infinito Contable o Numerable: el número de resultados posibles no puede ser determinado pero puede ser numerado. Infinito no Contable o Numerable: el número de resultados posibles no puede ser determinado ni numerado. Ejemplos: 1.
E: Lanzar un dado 2 veces S: {(1,1)…….. (6,6)}; S es Finito.
2.
E: Observar los Alumnos del núcleo S: {1, 2, 3, 4………n} ; S es Finito.
3.
E: Observar los Vehículos que pasan frente a la universidad S: {1, 2, 3, 4,………….n……..} ; S es Infinito contable.
4.
E: Observar la duración de un bombillo. S: {t / t≥0} t es la duración del bombillo
; S es Infinito no contable.
Suceso o Evento: Es una colección de posibles resultados. Los sucesos aleatorios son subconjuntos del espacio muestral y se pueden utilizar entre ellos las operaciones habituales entre conjuntos. Se denota con una letra mayúscula a partir de la A; A S. Ejemplos: 1.- El espacio muestral asociado al experimento: lanzar una moneda es: S = {c, x} A = {Que aparezca cara.} A = {c} 2.- El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos monedas es: S = {cc, cx, xc, xx} A = {Que aparezca cara} A = {(c,c) (c,x) (x,c)} C
CC
X
CX
C
XC
X
XX
C
X
3.-Espacio muestral asociado al experimento: Lanzar un dado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {Que aparezca Par} A = {2, 4, 6} 4.- Espacio muestral asociado a al experimento. : Lanzar dos dados: S = { (1,1,),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} A = {Que aparezca Uno} A = {1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1 (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)}
Tipos de Eventos. EVENTO
Simple Compuesto
Eventos simples: Es un subconjunto que contiene un solo espacio muestral. Eventos compuestos: Es una combinación de eventos simples. Relación Entre Eventos. Eventos Solapados AB, son eventos solapados, si tienen elementos comunes, estos elementos comunes a AB, forman un subconjunto llamado intersección (A B) de AB. Eventos Mutuamente Excluyentes AB, son eventos excluyentes A B = (la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro, no pueden darse o no pueden ocurrir simultáneamente) P(A B) = P (A) + P (B). Eventos Dependientes: Dos o mas eventos son dependientes cuando el conocimiento de la verificación de uno de ellos altera la probabilidad de verificación del o de los otros. Si los eventos AB, son dependientes A, si la probabilidad de que “B” suceda, esta influenciada por A P (B) = P (B/A) P (A B) = P (A) x P (B/A).
Eventos Independientes: un evento B es independiente de un evento A, si la probabilidad de que “B” suceda, no esta influenciada por A P (B/A) = P (B) P(A B) = P (A) x P (B)
Eventos Complementarios: AB, son eventos complementarios, si el segundo es un subconjunto que contiene todos los elementos que no están en el primero. Los eventos complementarios son a su vez mutuamente excluyentes: AB = S y A B = . Operaciones con Eventos. 1. Unión de sucesos: A B: Sean A y B eventos, AB es otro evento, el cual ocurre cuando A ocurre, ocurre B o cuando ocurren ambos. Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamaremos suceso unión de A y B al suceso que se realiza cuando se realiza A o B. Por tanto A A E
Ejemplo Sea el Experimento "Lanzar un dado"
S = {1, 2, 3, 4, 5,6}
A ="Salir un número par" = {2, 4,6,}; B ="Salir un número primo = {1, 2, 3,5} A B= {1, 2, 3, 4, 5,6} 2. Intersección de sucesos. AB: Sean A y B eventos, AB es otro evento, cuando ocurre A y B simultáneamente. Llamaremos suceso intersección de A y B al suceso que se realiza si se realizan A y B (En el ejemplo anterior. A B = {2}) Si A B = , entonces se dice que A y B son incompatibles. Si A B , entonces se dice que A y B son compatibles. 3.- A: Se lee complemento de A y es el evento que ocurre cuando no ocurre A. n 4. - A1 A2 A3 ………. A = Ai i=1 n 5. - A1 A2 A3 ………. A = Ai i=1 6.- un evento que no ocurre. 7.- S Espacio Muestral. 8.- A S = S. 9.- A S = A. 10.- A
=
11.- A
=A
Ejemplos 1. Escribimos cada una de las letras de la palabras JUEGO en una ficha y las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar.
a) escriba los sucesos elementales de este experimento aleatorio. ¿tienen todos la misma probabilidad? b) Escriba el suceso obtener una vocal. Solución a) Los sucesos elementales son: (J), (U), (E), (G), (O) Todos tienen la misma probabilidad ya que las letras aparecen cada una, “una sola vez”.
b) A = Obtener vocal. A = {U, E, O}
2. En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el premio a) ¿Cual es el espacio Muestral? b) Escriba los sucesos A = Menor que 5 ; B = Par c) Hallar los sucesos A B ; A B ; A’ ; B’ ; A’ B’ Solución a) E espacio muestral es S: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 b) A: 0,1,2,3,4 B: 0,2,4,6,8 c) A B = 0,1,2,3,4,6,8 A B = 0,2,4 A’ = 5,6,7,8,9 B’= 1,3,5,7,9 A’ B’ = 5,7,9
3. Lanzamos tres veces una moneda y anotamos si sale cara o sello. a) b) c) d) e)
Escribir el espacio muestral. Escribir el suceso A = Salió cara la primera vez. Cual es el suceso contrario de A, escriba los puntos muéstrales. Escriba el suceso B = obtener el mismo valor tres veces. Escribir los sucesos B’, A B y A B.
Solución a) S ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss b) A ccc, ccs, csc, css c) A' la primera vez salio sello scc, scs, ssc, sss d) B ccc, sss e) B ccs, csc, csc, css, scc, scs, ssc
A B ccc, ccs, csc, css, sss A B ccc.
4. En una caja hay una bola blanca y una bola negra, en otra caja hay una bola negra, una bola blanca y una bola roja: se extrae una bola de cada una de las cajas y se anota su color: a) b) c) d)
Cual es el espacio muestral. Escriba los sucesos: A = la segunda bola es roja, B = alguna de las bolas es blanca. Escriba los sucesos: A’, B’, A B y A B.
Cual es el suceso contrario de C bn, br , nr
Solución: a) S = {(b, n) (b, b) (b, r) (n, n) (n, b) (n, r)}. b) A = {(b, r) (n, r)}. b = {(b,n)(b,b)(b,r)(n,b)} c) A’ = {(b, b) (bn) (n, b) (n, n)}; b’ = {(n, n) (n, r)}. A B . = {(b, r) (n, r) (b, b) (b, n) (n, b)} A∩B = {(b, r)}. d) C’ = {(b, b) (n, b) (n, n)}
Problemas Propuestos de Experimentos y Espacios Muéstrales 1. Determine el espacio muestral del siguiente experimento, lanzar un dado dos veces, estudiar el Evento: que aparezca el número uno. 2. Determine el espacio muestral del siguiente experimento, lanzar una moneda tres veces, estudiar los eventos: que aparezca un sello, que aparezca al menos una cara, que aparezca cara. 3. Determine el espacio muestral del siguiente experimento, se lanzan juntos una moneda y un dado una sola vez. 4. Considérese el experimento lanzar dos dados una sola vez y observar la suma de sus caras. Se pide: a.-El espacio muestral.
b.-Los eventos: i: se observa 2 ii: se observa 7 iii: se observa una suma menor a 7 iv: se observan ambos A y C c.-Que relación existe entre los eventos. 4. Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican como defectuosos (D), o no defectuosos(N). Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se continúa hasta que se produzca dos (2) artículos defectuosos consecutivos o se verifiquen cuatro (04) artículos, cualesquiera que ocurran primero. Describir un espacio muestral para este experimento. Determinar el experimento. 5. Considérese cuatro (4) objetos, con a, b, c, d, supóngase que el orden que se anotan esos objetos representa el resultado de un experimento, sea A el evento “a” esta en el primer lugar y B el evento “b” esta esta en el segundo lugar. Determinar todos los elementos del espacio muestral y
sus tipos. 6. Un lote formado por 15 unidades de las cuales se sabe que contiene tres unidades defectuosas, es inspeccionado por el consumidor tomando una a una hasta tres unidades. El lote se acepta al aparecer una unidad buena. 7. Sea el siguiente experimento: Lanzamos un dado y una moneda. a) Describir el espacio muestral b) Describir los sucesos A y B A = “Sacar uno o dos en el dado” B = “sacar sello en la moneda”
c) Hallar AUB, A∩B, AUD' 8. Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. prod ucto. a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento utilizando la letra “s” para las respuestas afirmativas y la “n” para las negativas. b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso “al menos dos de las
personas son partidarias de consumir el producto”? c) Describe el suceso contrario de “más de una persona es partidaria de consumir con sumir el producto”.
9. En familias de tres hijos, se estudia la distribución de sus sexos. a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral S ? b) Describe los siguientes sucesos: A = “La menor es mujer”, B mujer”, B = “El mayor es varón”. c) ¿En qué consiste A U B? 10. Describir el espacio muestral correspondiente a las siguientes experiencias aleatorias. Si es finito y tiene pocos elementos, enumérelos todos, y si tiene muchos, descríbelo y diga cual es el número total. a) Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el número. b) Extraemos una carta de una baraja bar aja española y anotamos la figura. c) Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos la figura de cada una. d) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultado. e) Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras. 11. Si A y B son dos sucesos de un experimento aleatorio y P [ [ A A] = 0: a) ¿Qué podemos decir de P [ [ A A ∩ B]? b) ¿Y de P [ [ A A U B]? c) Responde a las mismas preguntas si P [ [ A A] = 1.
Probabilidad
El Cálculo de probabilidades tiene por objeto la construcción y estudio de modelos estadísticos. La probabilidad es una medida de la posibilidad o certidumbre de la ocurrencia de un suceso
Definición de Probabilidad como Frecuencia Suponga una población homogénea y finita con N elementos, de los que k presentan la característica A. P(A)=k/N o Si la población no es finita, se repite el experimento una “cantidad grande” de veces. Frecuencia Relativa: f A = mA/m mA = nº de veces que apareció la característica A m = nº de veces que se realizó el experimento. La f A tiende a estabilizarse según crece m. Esta definición presenta problemas: - ¿Cuántas veces ha de repetirse el experimento? - La información es limitada - El sistema observado puede cambiar en el tiempo de observación. Por estas razones la probabilidad se introdujo axiomáticamente utilizando las propiedades de la frecuencia relativa. Este enfoque ayuda a simplificar los modelos teóricos, pero no ofrece una guía para calcular la probabilidad.
Idea Intuitiva de Probabilidad. Suponga que se lanza una moneda y se anota las veces que sale cara. Después de 10, 20,30,......,200 lanzamientos se obtienen los resultados: N de lanzamientos 10 20 30 40 N de caras obtenidas 6 11 16 20 frecuencia. relativa 0,6 0,55 0,53 0,5
50 60 70 80.................200 27 31 37 43.................101 0,54 0,51 0,52 0,53..............0,50
Si se repitiera el experimento se obtendrían resultados muy parecidos. Se puede sacar en conclusión que las frecuencias relativas del suceso cara tienden a estabilizarse hacia el valor 0,5. Este número al que la frecuencia relativa se acerca más cuanto mayor es el número de pruebas realizadas, se llamara probabilidad del suceso. La probabilidad de un suceso A, se representará p (A). Por tanto se puede interpretar la probabilidad de un suceso como el límite de frecuencias relativas.
Regla de LAPLACE. "La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles." p(A)
nº de caso s favorables nº de caso s posibles
Hay que tener en cuenta que los sucesos elementales tienen que ser igualmente probables (equiprobables).
Ejemplos: 1. Si se realiza el siguiente experimento “Lanzar un dado” Calcular la probabilidad de los eventos: a) A = {número par} = {2, 4, 6} b) B = {Obtener primo} = {2, 3, 5} c) C = {Obtener múltiplos de 3} = {3, 6} d) D = {Obtener múltiplo de 5} = {5}
p (A) = 3/6 = 1/2 p (B) = 3/6 = 1/2 p (C) = 2/6 = 1/3 p (D) = 1/6
2) Realizar el experimento siguiente: “Lanzar dos monedas” S = {cc, cs, ss, sc} Calcular la probabilidad de los eventos a) A = {Obtener dos caras} b) B = {Obtener dos Sellos} c) C = {Obtener una cara y un sello} d) D = {Obtener al menos un sello}
p(A) =1/4 p (B) = 1/4 p(C) = 2/4 p (D) = ¾
3) Sea el siguiente Experimento E = {"Extracción de una carta de una baraja española"} Calcular la probabilidad de los eventos: a) A = {Obtener un oro}
p(A) = 10/40 = 1/4
b) B = {Obtener un as}
p (B) = 4/40 = 1/10
c) C = {Obtener una sota de espadas}
p(C) = 1/40
d) D = {Obtener un as o una sota}
p (D) = 8/40 = 1/5
e) E = {Obtener bastos o espadas}
p(E) = 20/40 = 1/2
f) F = {Obtener una figura}
p (F) = 12/40 = 3/10
Definición axiomática de probabilidad Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A un número real entre 0 y 1, que llamaremos probabilidad de A y representaremos p(A). La probabilidad debe cumplir los siguientes axiomas: 1. - pA 0
A
2. - pE = 1 3. - Si A B =
pA B = pA + pB
Propiedades: i) pA 1 pA
A
ii) p 0 iii) Si A B pA pB iv) pA 1
A v) pA B pA pB pA B
Ejemplos: 1. Sea el siguiente experimento: E = "Extraer una carta de una baraja" y los sucesos siguientes:
A = "Obtener un oro" , C = "Obtener un as de espadas" ,
B = "Obtener un rey" D = "Obtener figuras"
i) A y B son compatibles, pues A B = "Obtener rey de oros" p( A B) p( A) p( B) p( A B)
10 40
4 40
1
40
13 40
ii) A y C son incompatibles, pues no se puede obtener un oro y el as de espadas a la vez. p A C p A pC
10 40
1 40
11 40
iii) B A P (B) = 4/40 = 1/10 < p (A) = 12/40 = 3/10 iv) A D ="obtener figura de oros" p( A D) p( A) p( D) p( A D)
10 40
12 40
3 40
19 40
2. Sea el experimento siguiente: Se lanza dos monedas y se anota el número de caras que se obtienen. El espacio muestral es S 0,1,2.
a. Tienen los tres sucesos elementales la misma probabilidad. b. Calcular la probabilidad de: 0 caras, 1 cara, 2 caras, compruebe que su suma es igual a uno. c. Cual es el suceso contrario de 0 caras. d. Cual es la probabilidad del suceso alguna cara.
Solución: a. No el suceso una cara tiene mas probabilidad que los sucesos o caras y dos caras. 1
2
4
4
b. P 0 Caras P (0) ; P 1Caras P (1) P (0) P (1) P (2)
1 4
1
1
2
4
1
1
2
4
; P 2 Caras P (2)
1
c. S = 0 Caras; S’ = Al menos una Cara. d. PAl menos una Cara 1 P( Ninguna Cara ) 1
1 4
3 4
METODOS DE ENUMERACION Combinatoria Se llama factorial de un número natural X y se representa por X! Al producto de X factores consecutivos y decrecientes a partir de x hasta el 1: Ejemplos: 0! 11! 1 2! 2.1 2 3! 3.2.1 6 4! 4.3.2.1 24 etc. VARIACIONES: Se llaman Variaciones ordinarias de n elementos tomados de m en m (m < n) a los grupos de m elementos que se pueden formar con los n elementos dados considerándose como distintos dos de ellos cuando difieran en algún elemento o en el orden de colocación de los mismos. El número de variaciones ordinarias se calcula así: m
Vn
n! (n m)!
Ejemplo: ?Cuántas palabras de 3 letras se pueden formar con las cinco letras vocales (tengan o no sentido)? Como influye el orden y n = 5; m = 3, se tiene: 3
V5
5! (5 3)!
5! 2!
5.4.3.2.1 2.1
60
Se Usa cando se quiere calcular cuantos grupos de m elementos se poden formar con m elementos (m
4 V 1 2 1 2 1 ........................... 12
12-4+1 121 11 091 1.8 80
Se llaman variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m al número de grupos que se pueden formar con los n elementos (pudiendo repetirse), contando cada grupo con m elementos y considerándose como distintos dos grupos cuando difieran en algún elemento o en el orden de colocación de los mismos. Su número se calcula así: m
RVn
nm
Ejemplo: Si en anterior ejemplo de las palabras formadas por las cinco vocales pudieran repetirse letras ¿Cuántas habría? RV 53 53 125
PERMUTACIONES: A las variaciones ordinarias de n elementos tomados n a n (n = m) se las llama permutaciones de n elementos y su número es: P n
n!
Las permutaciones permiten calcular de cuantas formas distintas se pueden ordenar m elementos. Ejemplo:¿ De cuantas formas distintas pueden sentarse 7 personas en un banco?. Solución:
P 7
7! 7.6.5.4.3.2.1 5040
Ejemplo: ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse con las 5 letras vocales? P 7
5! 5.4.3.2.1 120
COMBINACIONES: Combinaciones de n elementos tomados de m en m: m
C n
n m
n! m!(n m)!
Como en el caso de las variaciones también calcula el número de grupos de m elementos que se pueden formar con los n elementos dados considerándose como distintos dos de ellos cuando difieran en algún elemento pero no en el orden de colocación de los mismos. Ejemplo: ¿Cual es el número de apuestas diferentes que se pueden hacer en una lotería que tiene 49 números, si el numero ganador tiene 6 cifras? C nm
n m
49 49! C 496 m!(n m)! 6 6!.(49 6)! n!
48.48.47.46.45.44.43 6.5.4.3.2.1.43!
13.983.816
Ejemplo: Si en una clase de 40 alumnos queremos formar grupos de 5 sin que importe el orden en que se elige a los componentes ¿Cuántos grupos saldrían? C nm
n m
40 40! C 405 5 m!(n m)! 5 ! . ( 40 5 )! n!
40.3938.37.36.35! .5.4.3.2.1.35!
658008
En la mayoría de problemas de combinatoria, la dificultad estriba es saber si hay que aplicar las fórmulas de variaciones, permutaciones o combinaciones. La siguiente tabla nos ayudará a decidir:
Determinamos n y m ¿Es n = m? Sí P n
No
n!
¿Influye orden? No
el Sí ¿Pueden repetirse?
m
C n
n m
n! m!(n m)!
Sí
No m
RV n
nm
V nm
n! (n m)!
Principio de Multiplicación: Si se tiene un evento A y ese evento puede ocurrir de m maneras diferentes y un elemento B que puede ocurrir de n maneras diferentes, la Intercepción de esos eventos ocurrirá de m x n maneras diferentes.
Ejercicios resueltos de combinatoria 1) ¿De cuantas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles? Solución: Nótese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los cuatro sitios son diferentes, y que una persona no puede ocupar más de un sitio a la vez. Por lo tanto, hay V10; 4 = 10!/6! = 10 . 9 . 8 . 7 = 5040 maneras. 2) En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuantos modos puede hacerse si: a. los premios son diferentes; b. los premios son iguales. Solución: Hay dos supuestos posibles:
Si una misma persona no puede recibir más de un premio: a. hay V 10;3 = 10 . 9 . 8 = 720 maneras de distribuir los premios si estos son diferentes; b. En el caso de que los premios sean iguales, pueden distribuirse de C 10;3 = (10 . 9 . 8)/6 = 120 maneras. Si una misma persona puede recibir más de un premio: a. Se pueden distribuir los premios, si estos son diferentes, de V R10;3 =103 = 1000 maneras; b. Hay CR10;3 = 220 maneras de distribuir los premios si estos son iguales. 3) Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuantas maneras puede hacerse? Solución: Ya que la fila es de 9 individuos en total, hay 4 posiciones pares (que deben ser ocupadas por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los 5 hombres). Por lo tanto, pueden colocarse de P 4 . P 5 = 4! . 5! = 2880 maneras. 4) ¿Cuantos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0,1,. . . ,9 a. Permitiendo repeticiones; b. Sin repeticiones; c. Si el ultimo dıgito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones?
Solución: Asumiendo que para que un número sea de 4 dígitos su primer dıgito debe ser distinto de cero. a. Puesto que debe formarse un número de 4 dígitos, el primero de estos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueve posibilidades para el primer dıgito y diez para cada uno de los tres dígitos
restantes, obteniéndose un total de 9 . 103 = 9000 números posibles. b. Al igual que en el apartado anterior, el primer dıgito no puede ser cero. Como además no se permiten repeticiones, hay nueve posibilidades para el segundo dıgito: el cero y las ocho no escogidas para el primer dıgito. Por tanto, se p ueden formar 92 . 8 . 7 = 4536 números.
c. Fijando el último dıgito y, como no puede haber repeticiones, se obtiene un total de 9 . 8 . 7 . 1 = 504 números.
5) En un grupo de 10 amigos, ¿cuantas distribuciones de sus fechas de cumpleaños pueden darse al año? Solución: Considerando que el año tiene 365 días y que puede darse el caso de que varias personas cumplan en la misma fecha, el numero de maneras distintas es V R365;10 = 36510 6) Cuatro libros de matemáticas, seis de física y dos de química han de ser colocados en una estantería ¿Cuantas colocaciones distintas admiten si: a. Los libros de cada materia han de estar juntos; b. Solo los de matemáticas tienen que estar juntos? Solución: Suponiendo que los libros de cada materia también son diferentes (de distintos autores). a. Se considera cada conjunto de libros de una misma materia como una unidad. Entonces, hay 3! = 6 ordenaciones posibles de las materias. Además hay que considerar también las 4! = 24 permutaciones de los libros de matemáticas, así como las 6! = 720 y las 2! = 2 de los de física y química, respectivamente. Se concluye así que hay 3!.4!.6!.2! = 207360 colocaciones distintas. b. Si se consideran los cuatro libros de matemáticas como una unidad. Se tendría entonces una unidad correspondiente a matemáticas, 6 unidades diferentes de física y dos unidades diferentes de química. Por lo tanto, existen 9! = 362880 maneras de ordenar estas 9 unidades, y por cada una de ellas hay 4! ordenaciones posibles de los 4 libros de matemáticas, por lo que en total hay 9! . 4! = 8709120 formas de colocar los libros. Suponiendo que los libros de cada materia son idénticos. a. Consideremos cada conjunto de libros de una misma materia como una unidad. Nótese que entonces se tendría un total de 3 unidades, que pueden ordenarse de 3! = 6 formas distintas. b. En este caso se tiene una única unidad de matemáticas, además de 6 de física y 2 de química, que se considera diferentes para este cálculo inicial. Se tiene entonces un total de 9! = 362880 ordenaciones posibles y, puesto que los libros de cada materia son indistinguibles, nótese que deben tenerse en cuenta las 6! . 2! = 1440 formas de colocar los libros de física y matemáticas. Por lo tanto, hay un total de 9!/ (6! . 2!) = 252 ordenaciones. 7) Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuantas maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
Solución: El orden en que elija las preguntas, que además no podrán repetirse, es irrelevante. Así, puede elegir las preguntas de C 10;7 = (10.9.8) / (3 . 2) = 120 maneras. Por otra parte, si las 4 primeras son obligatorias, debe escoger 3 preguntas entre las 6 restantes para completar las 7 necesarias, resultando un total de C 6;3 = (6 . 5 . 4) / (3 . 2) = 20 maneras.
Problemas Propuestos de Cálculo de Probabilidades 1.
Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados.
2.
Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos dados.
3.
Se escriben a azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la “e” aparezca la primera y la “o” la última.
4.
¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída?
5.
Una caja contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?
6.
Una caja contiene 12 bolas blancas y 8 negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída?
7.
De una baraja española de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar un caballo seguido de un tres, reintegrando la primera carta? ¿Y sin reintegrarla?
8.
Si la probabilidad de que ocurra un suceso es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que se realice efectuando 4 pruebas.
9.
Se sacan dos cartas de una baraja de 40 ¿Cuál es la probabilidad de que sean un caballo y un tres, reintegrando? ¿Y sin reintegrar? 10. Una caja contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea saber: a) b)
La probabilidad de que las tres bolas sean blancas. La probabilidad de que dos sean blancas y una negra.
11. Se extraen 3 cartas de una baraja de 40: a) b) c)
¿Cuál es la probabilidad de que sean tres sotas. ¿Y de que sean un as, un dos y un tres? ¿Y de que salga un rey, seguido de un cinco y éste de un siete?
12.
Una caja contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis blancas y cuatro negras. si extraemos una bola de cada caja. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las dos negras?
13.
Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sea divisible por tres?
14.
Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se escriben todos los números posibles de tres cifras, sin repetir cifras en cada número. si se señala un número al azar: a) b)
¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 4? ¿Y de que sea múltiplo de 3?
15. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea saber: a) b) c) d) e)
La probabilidad de que las tres sean rojas. La probabilidad de que dos sean rojas y una verde. La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color. La probabilidad de que todas sean de distinto color. La probabilidad de que todas sean del mismo color.
16.
Se lanza un dado 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga algún 1 en los 6 lanzamientos?
17.
Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3 blancas, 5 negras y 4 rojas. Se toma una bola al azar de cada caja. ¿Qué probabilidad hay de que sean del mismo color?
18.
En una bolsa hay 50 bolas, aparentemente iguales, numeradas del 1 al 50. ¿Qué probabilidad hay de sacar, una a una, las 50 bolas en el orden natural?
19.
La probabilidad de acertar en un blanco de un disparo se estima en 0,2. La probabilidad de acertar en dos disparos será P1= 0,04; P2= 0,36; P3= 0,12. Determinar qué respuesta el la correcta.
20.
¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, si sólo se pueden lanzar tres torpedos y la probabilidad de impacto de cada uno se estima en un 30 %?.
21.
Se considera el experimento aleatorio “lanzar dos veces un dado”. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener número par en el segundo lanzamiento condicionado a obtener impar en el primero? ¿Son dependientes o independientes estos sucesos? ¿Por qué?
22.
Cierto analista de contabilidad tiene que revisar el movimiento contable de cuatro departamentos: A,B,C,D. de los cuales conoce el total de asientos contables de cada uno, siendo estos 100 de A, 200 de B, 300 de C y 400 de D. Además se sabe que estos asientos pueden presentar errores, estimándose en un 2%, 4%, 6% y 8% respectivamente para el A,B,C,D. Ahora bien el analista para comenzar su trabajo realiza el siguiente experimento, primero lanza un dado y si sale un número par, elegirá al azar un movimiento en las cuentas de los departamentos A o B; si sale por el contrario un número impar elegirá un asiento del movimiento de los departamentos C o D. se pide: a) Espacio Muestral y el cálculo de la probabilidad de elegir un asiento de B. b) Calcular la probabilidad de que el asiento elegido presente error. c) Si el asiento elegido presenta error cual es la probabilidad de que pertenezca al departamento A o D
23.
En una gran población de moscas, el 25% de ellas presenta mutación de ojos, el 50% presenta mutación de alas y el 10% presenta ambas mutaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que una mosca escogida al azar presente: a. al menos una de las dos mutaciones? b. mutación de ojos pero no de alas? c. mutación de alas pero no de ojos? d. ningún tipo de mutaciones? e. mutación de ojos dado que presenta mutación de alas? f. mutación de alas dado que no presenta mutación de ojos?
PROBABILIDAD CONDICIONAL Cada suceso aleatorio está asociado con un espacio muestral, su probabilidad depende de la información que se disponga. Si se sabe que ha ocurrido un suceso B, esta información modifica la probabilidad de los demás sucesos Lo importante es estudiar como queda modificada la probabilidad de un suceso cuando se dispone de información adicional de que ha ocurrido otro.
Ejemplo. "Lanzar dos monedas", cuyo espacio muestral es: S = {cc, ss, cs, sc} ; La probabilidad de {cc} es 1/4. Si se supone que salió una cara, entonces la p (cc)=1/2 puesto que el nuevo espacio muestral queda reducido a S = {cc, cs}. Cuando el experimento se considera resultado de varios experimentos (como en el caso anterior), se habla de experimentos compuestos. Se llama probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y se denota por p (B/A), a la probabilidad de que ocurra B, habiendo ocurrido A. Se calcula según la fórmula:
A p( p A( A) B)
p B
si p( A) 0
Se llama probabilidad condicionada del suceso A respecto del suceso B, y se denota por p (A/B), a la probabilidad de que ocurra A, habiendo ocurrido B. Se calcula según la fórmula:
p( p A( B) B)
p A B
si p( B)
0
Usando la formula de la probabilidad condicionada, se obtiene: pA B pA p(B/A)
= p(A) p(B/A) p(A B) = p(B) p(A/B)
pA B pB p(A/B)
Regla del Producto
Si A y B son eventos independientes → P(A/B) = P(A) y P (B/A) = P (B) entonces:
P (A∩B) = P(A) x P (B)
Ejemplo. "Lanzar un dado al aire". Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 3, sabiendo que ha salido un número par. Sea A = "Salir n° par" = {2, 4,6}
P (A) = 3/6 = 1/2
B = "Salir múltiplo de 3" = {3,6}
A
p B
P (B) = 2/6 = 1/3 p(A B) p(A)
1
1
6 2
2
1
6
3
Pues A B = "Salir un nº par múltiplo de 3" = {6}
Sucesos Independientes Dos sucesos son independientes si la realización de uno no modifica la probabilidad de realización del otro. Por tanto A y B son independientes si: P (A/B) = P (A) P (B/A) = P (B) Y entonces, por la regla del producto: P ( A B ) = P(A) P (B) En caso contrario se dirá que los Sucesos son dependientes.
Tablas de contingencia y diagramas de árbol En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol. Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos se puede construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él se puede construir el otro, que ayudará en la resolución del problema.
Conversión de una tabla en diagrama de árbol Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos. A B
P( A
B )
B TOTAL
P( A
B )
P( A )
TOTAL A P( B ) P( A B ) P( A B ) P( B ) 1 P( A )
En el caso de los sucesos A, A - B y B , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta. Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y A se les ha asociado los sucesos B y B .
Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:
A P (PB(A)A)
PB
Conversión de un diagrama en tabla de contingencia De manera recíproca, dado el diagrama de árbol se puede construir la tabla de contingencia equivalente si más que utilizar la expresión.
A P (A )
P ( B A) P B
Para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.
Ejemplo: Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de latonería, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de latonería. a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde. b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. c. Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana
ELÉCTRICOS MECÁNICOS LATONERÍA TOTAL MAÑANA 0.15 0.40 0.15 0.70 TARDE 0.10 0.15 0.05 0.30 TOTAL 0.25 0.55 0.20 1.00 ELÉCTRICOS MECÁNICOS LATONERÍA TOTAL MAÑANA
3
8
3
14
TARDE
2
3
1
6
TOTAL
5
11
4
20
Solución: En las tablas de contingencia, con las frecuencias absolutas y los porcentajes, respectivamente, pueden verse recogidos los datos del enunciado. Las respuestas a las interrogantes planteadas basta leerlas en las tabla. Así: El 30% de los automóviles acude al taller por la tarde. El porcentaje de vehículos ingresados con problemas mecánicos es el 55%. La probabilidad buscada es: P (acuda por la mañana/tiene problemas eléctricos) = 3/5 = 0.6 Ejemplos. 1. si se considera el experimento de "lanzar un dado al aire". Calcular, por ejemplo, la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar: Definiendo los sucesos A = "sacar 3" y B = {1, 3, 5}; entonces, P(A/B) = 1/3 puesto que si se sabe que ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A sólo 1.
2. Se lanzan dos dados: ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7? Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya salido un tres? Solución: Sean los sucesos A ="la suma de los puntos es 7" y B ="en alguno de los dados ha salido un tres". a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A ) = 6/36 = 1/6
b. En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Se observa que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, P (B/A) = 2/6 = 1/3 3. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el número cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, c. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero dos. Solución: El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuación; S = (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y B, siendo estos: A = Evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro, B = Evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete, (que es que es el evento que está condicionando) B = 21 elementos, los cuales son los que suman siete o más B = (6,1) (5,2) (6,2) (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) A = 6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro A = (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) Luego, AB = (3,4) (4,4) (5,4) (6,4), AB= 4 elementos Por tanto; P(A/B) = PAB/ PB= 4/21 = 0.19048
b. B = Evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete B = Conocemos de la parte a que el Evento consta de 21 elementos A = Evento de que ambos números sean pares A = (2,2) (4,2) (6,2) (2,4) (4,4) (6,4) (2,6) (4,6) (6,6) AB = (6,2) (4,4) (6,4) (2,6) (4,6) (6,6) AB= 6 elementos p(A/B) = PAB/ PB = 6/ 21 = 0.28571 c. B = Evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete B = (6,1) (5,2) (6,2) (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) A = Evento de que en el primer dado aparezca el número dos A = (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) AB= 2 elementos AB = (2,5),(2,6, P(A/B) = PAB/PB = 2/21 = 0.095238
4. Se seleccionan al azar dos números de entre los números del 1 al 9, si la suma de los números que aparecen es par, a. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares. Solución: S = (1,2) (1,3) (2,3) (1,4) (2,4) (3,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)
a. E = Evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par E = (1,3) (2,4) (1,5) (3,5) (2,6) (4,6)(1,3) (3,7) (5,7)(2,8) (4,8) (6,8) (1,9) (3,9) (5,9) (7,9) E = 16 elementos A = Evento de que ambos números sean pares A = (2,4) (2,6) (4,6) (2,8) (4,8) (6,8) A = 6 elementos AE = (2,4) (2,6) (4,6) (2,8) (4,8) (6,8) AE = 6 elementos, p(A/E) = PAE/ PE= 6/16 = 0.375 b. E = Evento de que la suma de los números seleccionados es par E = (1,3) (2,4) (1,5) (3,5)(2,6) (4,6)(1,3) (3,7) (5,7)(2,8) (4,8) (6,8)(1,9) (3,9) (5,9) (7,9) A = Evento de que ambos números sean impares
A = (1,3) (1,5) (3,5)(1,7) (3,7) (5,7)(1,9) (3,9) (5,9) (7,9) A = 10 elementos AE = (1,3) (1,5) (3,5) (1,7) (3,7) (5,7)(1,9) (3,9) (5,9) (7,9) AE= 10 elementos; p(A/E)= PAE/ PE= 10/16 = 0.625
5. Una pareja de recién casados ha decidido formar una familia de solo tres hijos, a. ¿Cual es la probabilidad de que tenga puros hijos varones?, b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga como máximo un hijo varón, c. ¿cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varón, d. Si esta familia tiene por lo menos una hija, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo hijo sea varón?, e. Si esta familia tiene como máximo un hijo varón, ¿cuál es la probabilidad de que tenga puras hijas? Solución: Lo primero que hay que obtener para resolver este problema es el espacio muestral, para lo cual se puede hacer uso de un diagrama de árbol en donde se representa uno tras otro el nacimiento de cada uno de sus hijos, solo se consideraran partos de un solo bebé, no múltiples y ademas que existe la misma probabilidad de que nazca un varón o una niña. El espacio muestral obtenido es: H = Niño M = Niña S = HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM
a. A = Evento de que la familia tenga puros hijos varones A = HHH P(A) = 1/8 = 0.125 b. B = Evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón B = ningún hijo varón o un hijo varón= MMM, HMM, MHM, MMH P(B) = 4/8 = 1/2 =0.5 c. C = Evento de que el segundo hijo de la familia sea varón C = HHH, HHM, MHH, MHM P(C) = 4/8 =1/2 = 0.5 d. Como en este caso se trata de calcular una probabilidad de tipo condicional, se requiere definir dos eventos, el evento E que es el que condiciona y el evento A; E = Evento de que la familia tenga por lo menos una hija E = tenga una o más hijas E = HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM = 7 elementos
A = Evento de que el segundo hijo sea varón A = HHH, HHM, MHH, MHM AE = HHM, MHH, MHM = 3 elementos Luego: P(A/E) = PAE/PE= 3/7 = 0.42857
e. E = Evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón A = Evento de que la familia tenga puras hijas E = MMM, MHM, MMH, HMM= 4 elementos A = MMM AE = MMM = 1 elemento P(A/E) = AE/E= 1/4 = 0.25 6. Según las estadísticas, la probabilidad de que un auto que llega a cierta gasolinera cargue gasolina es de 0.79, mientras que la probabilidad de que ponga aceite al motor es de 0.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es de 0.06, a. Sí un auto carga gasolina, ¿cuál es la probabilidad de que ponga aceite?, b. Sí un auto pone aceite al motor, ¿cuál es la probabilidad de que ponga gasolina? Solución:
a. E = Evento de que un auto cargue gasolina P(E) = 0.79 A = Evento de que un auto ponga aceite al motor P(A) = 0.11 AE = Evento de que un auto ponga gasolina y aceite P(AE) = 0.06 P(A/E) = P(AE)/P(E) = 0.06/ 0.79 = 0.07594 b. E = Evento de que un auto ponga aceite al motor P(E) = 0.11 A = Evento de que un auto ponga gasolina P(A) = 0.79 AE = Evento de que un auto ponga aceite al motor y ponga gasolina P(AE) = 0.06 P(A/E) = P(AE)/ P(E) = 0.06/0.11 = 0.5454
Partición de un Espacio Muestral S
Para que los eventos A1, A2, A3,….An, Sean una partición deben cumplir con:
a) A1, A2, A3,……An...Ai ≠ 0. b) A1∩ A2∩ A3∩……∩An = Ф. c) A1 A2 A3……An S.
-Formula o Teorema de las probabilidades Totales: B (A1 B) (A 2
B) (A3 B) ............. (A n B) P(B) P (A1 B) P(A 2 B) P(A3 B) .......... ... P(A n B) . P(B)
n
P(A
i
B)
i 1
p(B) p(A1 ) p(B / A1 ) p(A 2 ) p(B / A2 ) .................. p(A n ) p(B / A n )
Ejemplos 1. En un curso de matemáticas el 30% son varones, el 45% de los varones y el 20% de las hembras son de Carabobo. a) ¿Cual es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea de Carabobo? Solución: Sea: los eventos siguientes: A1 = {El estudiante seleccionado es Varón} A2 = {El estudiante seleccionado es hembra} B = {El estudiante seleccionado es de Carabobo} P (A1) = 0, 3
P (A2) = 0.7
P (B/A1) = 0, 45
P (B) = P (B/A1) P (A1) + P (B/A2) P (A2) = 0, 45.0, 3 + 0, 2.0, 7 = 0,275
P (B/A2) = 0, 2
2 Dos candidatos a la presidencia de de un club social, compiten por el control del club, la probabilidad de ganar estos candidatos es 0,7 y 0,3 respectivamente, si el primer candidato gana, la probabilidad de introducir cambios en los estatutos es de0, 8, si gana el segundo candidato esta probabilidad es de 0,4¿determine la probabilidad de que se introduzca cambios en los estatutos? Solución: Sea: los eventos siguientes: A1 = {El Primer candidato gana las elecciones} A2 = {El segundo candidato gana las elecciones} B = {Se introducen cambios en los estatutos} P (A1) = 0, 7
P (A2) = 0.3
P (B/A1) = 0, 8
P (B/A2) = 0, 4
P (B) = P (B/A1) P (A1) + P (B/A2) P (A2) = 0, 8 x 0, 7 + 0, 4 x 0, 3 = 0, 68
3. En cierta fabrica un articulo es producido por tres maquinas, una semiautomática y dos manuales, se sabe que la automática produce el doble de artículos que las otras dos, y que estas producen la misma cantidad de artículos (en un periodo de producción dado). Además se sabe que el 3% de los artículos producidos por la maquina semiautomática es defectuoso y el 4% de lo producido por las otras 2 maquinas también lo son. Si se selecciona al azar un artículo producido en la fábrica calcular: a) la probabilidad de que el artículo seleccionado sea defectuoso. Solución: A1= {El articulo seleccionado es producido en la maquina semiautomática} A2= {El articulo seleccionado es producido en la 1ra maquina manual} A3= {El articulo seleccionado es producido en la 2da maquina manual} B = {El articulo es defectuoso} P(A1) = 2[P(A2) + P(A3)] ; P(A2) = P(A3) → P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1 2[P(A2) + P(A3)] + P(A2) + P(A3) = 1 → 6P(A3) = 1 → P(A3) = 1/6
P(A2) = 1/6 ; P(A1) = 4/6 ; P(B/A1) = 0,03 ; P(B/A2) = 0,04 ; P(B/A3) = 0,04 P(B) = 0,03 x 0,66 + 0,04 x 0,16 + 0,04 x 0,16 = 0,0326
- Fórmula o Teorema de Bayes P (Aj/B) = P (Aj) P (B/Aj) / P (B) P (Aj/B) = P (Aj) P (B/Aj) / Σ P (Ai) P (B/Ai) P (Ai) probabilidades a priori
P (Aj/B) probabilidades a posteriori Las dos últimas fórmulas son especialmente útiles cuando se dan las circunstancias - El experimento aleatorio se produce en dos etapas. - Es sencillo encontrar una partición en el espacio muestral correspondiente a los resultados del primer experimento. - Son conocidas o se calculan fácilmente P (Ai) - Son conocidas o se calculan fácilmente P (B/Ai)
Ejemplos: 1. En el ejemplo anterior # 1 de probabilidad Total Si el estudiante seleccionado es de Carabobo ¿Cuál es la Probabilidad de que sea hembra? P (A2/B) =
P(B / A 2 ) P(A 2 ) P(B)
0,27 0,7 0,0326
0,509
2. En el ejemplo # 3 de probabilidad total Si el articulo seleccionado es defectuoso, cual es la probabilidad de que haya sido producido por la maquina semiautomática
P (A3/B) =
P(B / A 3 ) P(A 3 ) P(B)
0,04 0,16 0,275
0,02327
Problemas Propuestos de Probabilidad Condicional y Probabilidad Total 1.La probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuito en la primera media hora de recorrido es de 0.58, la probabilidad de que cambie de neumáticos en esa primera media hora de recorrido es de 0.16, la probabilidad de que cargue gasolina y cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido es de 0.05, a. ¿Cuál es la probabilidad de que cargue gasolina o cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido?, b. ¿cuál es la probabilidad de que no cargue combustible y de neumáticos en la primera media hora de recorrido, c. Si el auto cambia de neumáticos en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cargue combustible también?, d. Si el auto carga combustible en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cambie de neumáticos también?
2. Se tiene tres cajas de igual aspecto. En la primera hay 3 bolas blancas y 4 negras; en la segunda hay 5 negras y en la tercera hay 2 blancas y 3 negras. Se desea saber:
a)
Si se extrae una bola de una caja, elegida al azar, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra.
b)
Se ha extraído una bola negra de una de las cajas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido extraída de la 2ª caja?
3. En una población animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembras que de machos y se pide: a) Elegido al azar un individuo de esa población ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo? b)
Un individuo de esa población se sabe que está enfermo ¿Qué probabilidad hay de que el
citado individuo sea macho?
4. Se consideran dos cajas con bolas. La caja 1 contiene 3 bolas rojas y 2 azules, la caja 2 contiene 2 bolas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda, si se obtiene cara se saca una bola de la caja 1, y si se obtiene cruz se saca una bola de la caja 2. (a) Hallar la probabilidad que la bola extraída sea roja. (b) Si se sabe que la bola extraída es roja, ¿Cuál es la probabilidad que provenga de la caja 1?
5. De una caja que contiene 3 bolas rojas y 2 azules se extrae una bola al azar y se la coloca en una segunda caja que contiene 4 bolas azules y 2 rojas. A continuación se extrae una bola al azar de la segunda caja. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga la misma bola que se extrajo de la primera caja? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la segunda caja sea roja? (c) Si la bola extraída de la segunda caja es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea la misma bola que se extrajo de la primera caja?
6. Se tiene una caja con 10 tornillos, de estos 8 son buenos y 2 son defectuosos. Se extraen dos tornillos de la caja. Se pide: (a) Calcular la probabilidad de que la segunda extracción sea un tornillo bueno, sabiendo que la primera extracción ha sido un tornillo bueno.(sin reemplazo). (b) Calcular la probabilidad de que la segunda extracción sea un tornillo bueno, sabiendo que la primera extracción ha sido un tornillo bueno (con reemplazo).
7. Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto
manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?
8. Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad; Palacio del Puerto, El Palito o Fiesta Mar, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente, a. Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?,b. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Puerto?, c. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en e hotel Fiesta Mar?
9. La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A1 es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A2 es 0,3. Se sabe que la fábrica A1 produce un 4 por mil de artículos defectuosos y la A2 un 8 por mil. a) Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A2? b) Se pide un artículo a una de las dos fábricas, elegida al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso? c) Se piden 5 artículos a la fábrica A1 ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguno defectuoso?
10. En una fábrica de televisores las máquinas I, II y III producen respectivamente el 28%, el 32% y el 40% del total. En la producción de cada máquina el 3%, 4% y el 5% son televisores defectuosos. Se toma al azar un televisor de la producción total y se le encuentra defectuoso ¿Cuales son las probabilidades que haya sido producido por: (a) La máquina I, (b) la máquina II, (c) la máquina III
11. En un país hay cuatro partidos políticos que se dividen la opinión pública. Se sabe que: El 35% de la población adhiere al partido I El 31% adhiere al partido II El 28% adhiere al partido III El 6% adhiere al partido IV.
Entre los adherentes al partido I, un 36% corresponde a personas con ingresos inferiores a dos salarios mínimos Entre los adherentes al partido II, esa proporción es del 52% Para el partido III, es un 42% Para el partido IV, 11%. Si se elige una persona al azar y resulta tener ingresos inferiores a dos salarios mínimos. Calcular la probabilidad de que sea un adherente al partido I; al partido II; al partido III y al partido IV.
12. Suponga que en un país un 40% de los ciudadanos habilitados para votar es adherente al partido A, un 35% al partido B y un 25% al partido C. Se realiza de manera simultánea una elección interna en los tres partidos, pero como no se requiere acreditar la adhesión a cada partido, el voto "extrapartidario" es posible: un votante de un partido puede, si quiere, participar en la interna de otro partido. Supongamos que Ud. sabe que: Entre los adherentes de A, un 10% votó en la elección interna de otro partido Entre los adherentes de B, un 15% votó en la interna de A Entre los adherentes de C, un 5% votó en la interna de A (a) ¿Cuál fue el porcentaje de votos obtenidos por el partido A en las internas? (b) Si se elige al azar una persona dentro de todas las que en las votaron a A i. ¿cuál es la probabilidad que sea un adherente de B? ii. ¿cuál es la probabilidad que sea un adherente de C?
13. Un libro tiene 3 capítulos. El 85% de las páginas del 1er capítulo no tiene ningún error. El 90% del segundo y el 95% del tercero tampoco tienen ningún error. El primer capítulo tiene 125 páginas, el 2º 150 y el 3º 175. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una página al azar no tenga ningún error? (b) ¿Suponga que se elige una página al azar y se observa que no tiene ningún error ¿cuál es la probabilidad de que sea del capítulo 2º?
Variable Aleatoria Definición de Variable Aleatoria (V.A.): Se dice que se ha definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando se asocia un valor numérico a cada resultado del experimento. Sea E el espacio muestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a toda aplicación del espacio muestral E en el conjunto de los números reales (es decir, asocia a cada elemento de E un número real). Se utilizan letras mayúsculas X, Y,... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y,...) para designar valores concretos de las mismas. Si un experimento con espacio muestral E, tiene asociada la variable aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a establecer, por convenio, la siguiente notación: (X = x ); representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x " P (X = x ); representa "la probabilidad de dicho suceso". (X < x ); representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor a x " P (X < x ); representa "la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor a x ". (X x ); representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor o igual a x " P (X x ); representa "la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor o igual a x ".
Ejemplos 1. Sea X, la variable aleatoria que representa el numero de puntos obtenidos al lanzar un dado dos veces. E = Lanzar un dado dos veces ; X = El numero de puntos obtenidos al lanzar un dado dos veces. S = {(1,1)(2,1)(3,1)(4,1).......(1,2)(2,1)......(1,3)(2,3).....(1,4)(2,4)....(1,5).......(6,6)} (1,1) 2 ; (1,2) 3 ; (6,6) 12 Número de puntos obtenidos 2. Sea el experimento lanzar una moneda 3 veces, sea X: la variable que representa el número de caras obtenidas en el experimento. E = lanzar una moneda 3 veces. ; X = Numero de caras obtenidas al lanzar una moneda 3 veces. (c,c,c) 3 ; (c,c,s) 2 ; (c,s,s) 1 ; (s,s,s) 0 Número de caras obtenidas Rango de una Variable Aleatoria (Rx). Es el conjunto de números reales que puede tomar la Variable, en el caso de los ejemplos anteriores, tenemos: R x de 1 = {2, 3, 4,5,..........12} R x de 2 = {0, 1, 2,3}
Clasificación de las variables aleatorias Según la amplitud del campo de variación de la función se pueden distinguir: variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. De la misma forma que en estadística descriptiva, una variable aleatoria es discreta si toma valores en un conjunto finito o infinito numerable. Y una variable aleatoria es continua si puede tomar valores en un conjunto infinito no numerable. Como ejemplo típico de variable aleatoria discreta se tiene a la distribución binomial, y como ejemplo típico de variable aleatoria continua se vera a la distribución normal.
Ejemplos 1. Considerar el experimento aleatorio el cual consiste en lanzar tres monedas, se supone que a cada elemento de su espacio muestral S = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss} se le asigna un número real, el cual corresponde al número de caras (discreta ). Esta correspondencia que se acaba de construir es una función del espacio muestral S en el conjunto de los números reales R. A esta función se llamara Variable Aleatoria y será denota por X.
Si se supone el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, se puede asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (discreta ). Al considerar el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria (continua ). Si se estudia el experimento que consiste en elegir al azar 100 Tomates de una plantación y pesarlas. La ley que asocia a cada tomate su peso es una variable aleatoria (continua ).
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Si una variable aleatoria sólo toma valores enteros, es decir, un número finito de valores o infinito numerable diremos que es discreta.
Función de Probabilidad f(x) Considerando una V.A. discreta X, que toma los valores x1, x2,..., xn. y se supone que se conoce la probabilidad de que la variable X tome dichos valores, es decir, se conoce que: P(X = x1) = P1, P(X = x2) = P2, P(X = x3) = P3,..., P(X = x1) = Pn, en general P(X = xi) = Pi La función de probabilidad f(x) de la v.a. X es la función que asigna a cada valor xi de la variable (rango de la variable) su correspondiente probabilidad Pi. f : R R x f ( x) P ( X x)
I . P i 0,
i 1,2,....,n
n
II .
P 1 i 1
i
La representación gráfica más usual de la función de probabilidad es un diagrama de barras no acumulativo.
Función de Distribución F(x) En muchas ocasiones no interesa tanto conocer la probabilidad de que la v.a. X tome exactamente un determinado valor xi, cuanto la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución. Sea X una variable aleatoria discreta, cuyos valores se suponen ordenados de menor a mayor. Se llama función de distribución de la variable X, y se simboliza por F(x), a la función F : R R x F ( x) P ( X x) Es decir, asocia a cada valor de la v.a. discreta la probabilidad acumulada hasta ese valor (la Probabilidad de que la v.a. tome valores menores o iguales a xi).
Propiedades: F(x) es una probabilidad: 0 ≤ F(x) ≤1
F(x) = 0 para todo X < xi F(x) =1 para todo X ≥ xn Es constante en cada intervalo [xi,xi+1) Es continua por la derecha de cada punto Es creciente P(a < X ≤ b) = F (b) – F (a) Se puede expresar la función de distribución de la siguiente forma: Si una variable aleatoria tiene como función de probabilidad: X
X1
X 2 .................. X n
__________ __________ __________ ______ f ( x ) P( X
Su función de distribución es: 0 P 1 P1 P F( X ) P1 P2 .........Pn 1 1
x)
P1
P2 .................. Pn
xi si x 1 xx 2 si x 2 xx 3 si x
si x n 1 si x
x x n
xn
Su representación gráfica tiene forma escalonada, siendo los saltos coincidentes con las probabilidades Pi, correspondientes a los valores xi de la variable X.
Ejercicios. 1. Sea X la Variable Aleatoria que representa el número de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces. Determinar: a) Función de Probabilidad y su grafica. b) Probabilidad de obtener a lo máximo 2 caras. c) Probabilidad de obtener entre 1 y 3 caras. d) Si se obtiene como mínimo 1 cara, ¿cuál es la probabilidad de obtener como máximo 3 caras? Solución E = lanzar una moneda 3 veces. ; x = nº de caras obtenidas Rx = {0,1,2,3} ; S = {(c,c,c) (c,c,s) (c,s,c) (c,s,s) (s,c,c) (s,c,s) (s,s,c)(s,s,s)} a) P(x) X P(x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
Grafica: Y 3/8
1/8
0 b) P(X 2) =
1
2
X 2
P ( x) P (0) P (1) P (2)
X 0
c) P(1 X 3) =
X 3
3 1 8
x
3
3
7
8
8
8
3
3
1
7
P ( x) P (1) P (2) P (3) 8 8 8 8
X 1
d)
P X 3 X 1
P ( X 3 X 1) P ( X 1)
7 7
8
1
8
2. La venta de cierto articulo (en miles de unidades) es una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad, P(X) = ax + a ; x = 0,1, 2,3. Determinar:
a) La probabilidad de que se vendan más de mil artículos y no más de tres mil. b) Probabilidad de que se vendan a lo sumo mil artículos. c) Grafique P(x). Solución. P (0) = a ; P (1) = 2a ; P (2) = 3a ; P (3) = 4a 3
P(x) 1 a 2a 3a 4a 1 10a 1 a 101
X 0
x P(x)
0 1/10
a) P(1 x 3) = P(2 x 3) =
1 1/5
2 3/10
3 2/5
X 3
P ( x) P (2) P (3)
X 2
b) P(x 1) =
X 1
1
1
3 10
2
7
5
10
3
P ( x) P (0) P (1) 10 5 10
X 0
c) Grafica y 2/5 3/10 1/5 1/10 0
1
2
3
x
3. Se lanza un dado 2 veces, Determinar: a) Función de probabilidad del número de puntos obtenidos. b) La probabilidad de obtener no más de 5 puntos. c) Probabilidad de obtener mas de 7 puntos pero no mas de 11 Solución. a) X P(X)
2 1/36
b) P(x 5) =
3 2/36 X 5
4 3/36
5 4/36
6 5/36
7 6/36
8 5/36 1
9 4/36 2
10 3/36
3
11 2/36
4
12 1/36
10
P ( x) P (2) P (3) P (4) P (5) 36 36 36 36 36
X 2
X 11
c) P (7 x 11) = P ( x) P (8) P (9) P (10) P (11) X 8
5 36
4 36
3 36
2 36
14 36
Parámetros de una Variable Aleatoria Discreta. n
a) Esperanza Matemática o Valor Esperado E(x) x i p i
(Media)
i 1
n
b) Varianza V(x) x i 2 p i E(x)2 E( x 2 ) E(x)2 ; Desviación Típica: V( x) i 1
Tanto la varianza como la desviación típica son medidas de dispersión, de tal manera que cuanto menores son estos dos parámetros más agrupados se encuentran los valores de la distribución entorno a los valores centrales. Por el contrario, para valores grandes de la varianza o la desviación típica los datos de la distribución se encuentran muy dispersos. Ejemplos:
1º Un juego consiste en lanzar dos dados. Si la suma de sus caras es mayor o igual a 10 se gana 300 Bolívares, si está comprendida entre 7 y 9 se ganan 100 Bolívares. Para cualquier otro resultado no se gana nada. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que la ganancia esperada de la banca sea de 50 Bolívares? Solución El espacio muestral para el problema es E = {(1,1), (1,2), (1,3),..., (6,6)} con 36 puntos muéstrales. Todos los sucesos elementales tiene la misma probabilidad 1/36. Se define la v.a. X: suma de las dos caras. Esta variable puede tomar los valores 2, 3, 4,....,12. El espacio Muestral y la tabla con la P(x) es: (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) S = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Definiendo H(x) como la función premio tenemos: X P(x) H(x)
2 1/36 0
3 2/36 0
4 3/36 0
5 3/36 0
6 5/36 0
7 6/36 100
8 5/36 100
9 4/36 100
10 3/36 300
11 2/36 300
12 1/36 300
Por lo tanto el valor esperado del premio es: 12
E (h )
h(x)f (x) 100 x 2
6 36
100
5 36
100
4 36
300
3 36
300
2
300
36
1 36
91,7
En consecuencia, la apuesta debería costar 91,7 + 50 = 141,7 para que la ganancia esperada de la banca sea 50 Bolívares.
2º La siguiente tabla muestra la f(x) para la variable X: número de personas por día que solicitan un tratamiento innecesario en el servicio de urgencias de un pequeño hospital.
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
0,01
0,1
0,3
0,4
0,1 ?
a. Encontrar f (5) b. Construir F(x) c. Encontrar P(x 2) d. Encontrar P(x < 2) e. Encontrar P(x > 3) f. Calcular la media y la varianza
Solución a). Por la construcción de las f(x) es obvio que
f (x) 1. x
Para que se cumpla esta condición es necesario que f (5)=0,09
b). X
0
1
2
3
f(x) F(x)
0,01 0,01
0,1 0,3 0,4 0,11 0,41 0,81
c). P(x 2) = F(2) = 0,41 d). P(x < 2) = P(x 1) = F(1)=0,11 e). P(x > 3) = 1 - P(x 3) = 1- F(3) = 1 - 0,81 = 0,19
4
5
0,1 0,09 0,91 1
5
f). E ( x ) xf (x) 0x0.01 1x0.1 2x0.3 3x0.4 4x0.1 5x0.09 2,75 x 0
V(x ) E(x 2 ) E(x)
2
E( x ) 2
5
X f (x) 0 2
2
0.01 12 0.1 2 2 0.3 32 0.4 4 2 0.1 52 0.09 8.75
x 0
V(x) 8.75 (2.75) 2
1.1875
3º Se desarrolla un compuesto para aliviar cierta enfermedad. El fabricante afirma que es efectivo en un 90% de los casos. Se prueba en 4 pacientes. Sea x el número de pacientes que tienen alivio. a. Encontrar la f(x) para x, suponiendo que la afirmación del fabricante sea correcta. b. Encontrar P(x 1) c. Si el compuesto no alivia a ninguno de los pacientes ¿es esa una razón para poner en duda la eficacia afirmada por el fabricante? Razonar sobre la base de la probabilidad implicada. d. Calcular la media. ¿Qué significa en este ejemplo?
Solución a. Si a representa que un paciente tenga alivio y n que no lo tenga, el espacio muestral para el problema es E = {aaaa, naaa, anaa, aana, aaan,..., nnnn}(ver en un diagrama de árbol), Si es cierta la afirmación del fabricante P(a) = 0,9 y p(n) = 0,1 La V.A. x: número de pacientes que tienen alivio puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4. La tabla con la f(x) inducida es x f(x)
0 1 2 3 4 0.0001 0.0036 0.0486 0.2916 0.6561
P(x 1) = f (0) + f (1) = 0,14 + 4 x 0, 9 x 0, 13 = 0,0037 La probabilidad de que no alivie a ningún paciente es f (0) = 0,0001. Es una probabilidad tan baja que, efectivamente, si ese fuera el resultado hay suficientes razones para poner en duda la afirmación de que alivia al 90% de los pacientes. E( x) xf (x) 0x(0.1) 4 1x 4x(0.1) 3 x0.9 2x6x(0.1) 2 x(0.9) 2 3x 4x0.1x(0.9) 3 4x(0.9) 4 3.6 x
Si se repitiera un número suficientemente grande de veces la experiencia de administrar el fármaco a 4 pacientes, el número promedio de pacientes que experimentarían alivio sería 3,6.
4º. El beneficio obtenido en un negocio es una variable aleatoria x (en millones de bolívares) con la siguiente función de probabilidad.
x P(x)
-1 0.2
0 0.15
1 0.5
2 0.15
Determine: a) El Beneficio Promedio. b) El Valor más Probable. c) La Mediana del Beneficio. d) Si la inversión en el negocio es la mitad del beneficio, ¿cuál es la inversión promedio del negocio? e) Fractil punto 85.
Solución. X = beneficio obtenido en el negocio. a) E(x) =
2
X P ( x) (1)(0.20) (0)(0.15) (1)(0.50) (2)(0.15) 0.6 Millones de Bs .
X 1
b) Moda: como P(1) es máxima, la moda es x = 1Millon de Bs. El beneficio mas probable es de x = 1 millón. c) Mediana: P(x me) = 0.50 P(-1) = 0.20 0.50; P(-1) + P(0) = 0.20 + 0.15 = 0.35 0.50 P(-1) + P(0) + P(1) = 0.35 + 0.5 = 0.85 0.50, por tanto la mediana se encuentra ubicada entre x = 0 Millones y x = 1 millón de Bs. d) y = Inversión Promedio E (y) = Desconocida; y = x/2 E(x/2) = E(x)/2 0.6/2 = 0.3 millones de Bs. la cual es la inversión promedio del negocio. x (0.85) P (Xx (0.85)) = 0.85) P (-1)+P (0)+P (1) = 0.85, El fractil (0.85) es x = 1 millón de Bs.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Una variable aleatoria es continua si puede tomar valores en un conjunto infinito no numerable. Como hemos visto hay variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor de un intervalo real de la forma (a, b), (a, +∞), (-∞, b), (-∞, +∞) o uniones de ellos. A las variables de este tipo se las denomina variables aleatorias continuas. Ejemplos
1. Se Pretende observar la altura de un grupo de personas y se selecciona a una persona de forma totalmente aleatoria. La probabilidad de que la altura de esa persona sea exactamente 1,62894635
Mt. es cero. Pero la probabilidad de que la altura de esa persona esté entre 1,62 Mts. y 1,63 Mts. tendrá un valor concreto y casi con certeza que será mayor que la probabilidad de que esté entre 2,10 Mts. y 2,11 Mts. Por tanto, la densidad de probabilidad en el entorno de 1,625 Mts. es mayor que la densidad de probabilidad en el entorno de 2,105 Mts. Sin embargo, que el valor exacto 1,62894635 tenga probabilidad cero de ocurrir no implica que sea imposible que ocurra. De hecho, cualquier persona que se seleccione tendrá una altura concreta y exacta que tenía probabilidad cero de suceder.
2. Sea X la v.a. que describe la duración de los neumáticos de una determinada marca y modelo. Los valores de una variable estadística continua siempre se consideran agrupados en intervalos de clase, luego no tiene sentido plantearse la probabilidad de resultados "aislados" (como, por ejemplo, la probabilidad de que un neumático dure, exactamente, 56.000 Km., 235 Mt., 47 Cm. y 6 Mm.). En todo caso, esas probabilidades deben valer cero. Pero sí se puede preguntar, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que un neumático dure menos de 50.000 Km.? o ¿cuál es la probabilidad de que un neumático dure entre 60.000 y 70.000 Km.? Tanto en el ejemplo 1 como en el 2 si se quiere hallar esas probabilidades se tiene que recurrir a métodos empíricos y usar técnicas estadísticas: tomar una muestra, examinar y anotar las frecuencias observadas. Entonces se tomara como valor de la probabilidad de un suceso s1 la frecuencia observada de éste: p (s1) = fr (s1). Y así se puede construir un histograma de frecuencias relativas y un histograma de frecuencias relativas acumuladas. En el primero, la fr (X ≤ x) será la suma de las frecuencias de todas las clases anteriores a x; lo que, geométricamente, es el área bajo la curva de frecuencias entre el inicio de la gráfica y el valor x. La obtención de fr(X ≤ x) en la segunda gráfica es más rápido pues, fr (X ≤ x) es la frecuencia acumulada del valor x y se lee directamente de la gráfica. A partir de una situación real con densidades de frecuencias se crea un modelo teórico con asignación de probabilidades. Sea X una variable aleatoria continua que toma valores en un intervalo [a, b]. Si se procede a dividir el intervalo cada vez en más partes el polígono de frecuencias relativas (densidades de frecuencias) se va aproximando a una curva con un determinado aspecto. Una vez realizado este proceso de dividir sucesivamente el intervalo, las densidades de frecuencias pasan a ser, en el límite, densidades de probabilidad. La probabilidad de que la variable X tome los valores entre x0 y x0+h es P(x0 0+h) y corresponde al área bajo la curva en el intervalo [x0 , x0+h]. La función correspondiente a esta curva, y = f(x), se denominara Función de densidad. .
Función de Densidad Una función y = f(x) es una función de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones: Es positiva en todo su dominio: 0 f(x) 1 Permite obtener p(a X b) como área bajo la grafica entre X = a y X = b. Verifica la formula b P(a X b) = f (x)dx . a
El área total entre la grafica de f(x) y el eje x vale 1 f ( x)dx 1. Permite obtener F(x) como área bajo la grafica hasta el valor de x
Función de Distribución En general, la función de distribución de una variable aleatoria continua X es el modelo teórico de la curva de frecuencias acumuladas que se espera obtener para X, y debe cumplir, evidentemente, estas propiedades: Ser creciente Tomar valores de 0 a 1 Si X es una variable aleatoria continua con valores en un intervalo [a, b], entonces F(x) será la probabilidad de que la variable X tome valores entre a y x. F(x) = P(a ≤
0 x F( x) f ( x )dx a 1 f (t )
dF ( x) dx
si x a x
si a
x b
F( x ) p(X x) f ( x)dx
si x b
F ´( x) la probabilid ad P ( X x0 ) 0, siendo x0 un valor cualquira dea, b
Es decir, la función de distribución F(x) es una primitiva de la función de densidad f(x), o dicho de otra forma, la función de densidad es la derivada de la función de distribución. Indica la probabilidad de que la variable aleatoria continua X sea menor o igual que un valor dado, es decir, proporciona la probabilidad acumulada hasta un determinado valor de la variable.
Ejercicios 1. La longitud de una pieza (en metros) es una variable aleatoria X con la siguiente función de Densidad f(x) = 2(1-X), 0 X 1 y 0; para otro valor. Determinar: a) La probabilidad de que la pieza mida entre ½ metro y un metro.
b) Probabilidad de que la pieza mida más de ¾ de metro. c) Grafica de la función densidad.
Solución X = longitud de una pieza 1
1
a) P(1/2 X 1) = 2(1 X )dx (2 x x )
2
1
b) P(X 3/4) =
1
2
3
4
3
4
2 1
1
f ( x)dx
1
2(1 X )dx f ( x)dx
(2 x x 2 )
1
4
3
1 16
4
c) Grafica y 2 1
-ω
1
ω x
2. El peso de una caja (Kg.) es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
1 3 X 4 2 ; f ( x) x 4 ; 4 x 5 Determinar: 0 ; O.V . a) Grafica de la Función de Densidad. b) Probabilidad de que el peso de la caja este entre 3,5 y 4,5 Kg. c) Probabilidad de que el peso supere los 4 Kg. Solución. a) Grafica
y 1
3
4
5/8
x
4, 5
4 x 2 1 3 b) P(3,5 X 4,5) = dx ( x 4)dx x 4 x 2 2 3,5 2 4 8 3, 5 4 5 5 x 2 1 c) c) P(X 4) = f ( x)dx ( x 4)dx f ( x)dx 4x 2 4 2 4, 5 4 5 4
4, 5
1
3. La temperatura promedio (ºC) de cierta región es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
3 2 ( X 2) f ( x) 8 0 Calcular:
; 2 x 4 ; O.C .
a) Probabilidad de que la temperatura promedio sea menor de 3 ºC. b) Probabilidad de que la temperatura promedio este entre 2,5 y 3,5 ºC. c) Grafica de la función densidad.
Solución. X = Temperatura promedio de cierta región. 3
a) P(x < 3) =
2
f ( x)dx
f ( x)dx
3, 5
b) P(2,5 X 3,5) =
3
3
8
2 ( x 2) dx
2
1 8
3, 5
3
f ( x)dx 8 ( x 2) dx 0.41
2, 5
2
2, 5
c) Grafica f(x) 3/2
2
4
Parámetros de Una Variable Aleatoria Continua Por analogía con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas, se definen la esperanza matemática E(x) o media μ, la varianza V(x) o σ2 y la desviación típica σ de una variable aleatoria continúa de la siguiente forma:
Si toma valores en toda la recta real
Valor Esperado o Media E(x) x f (x )dx
x f (x)dx
Varianza V( x) E(x ) E(x) ; E(x ) 2
2
2
2
Si toma valores en (a, b) b
Valor Esperado o Media E(x) x f (x)dx a
b
Varianza V(x ) E(x ) E(x) ; E( x ) x f (x )dx 2
2
2
2
a
Ejemplo El peso de una caja (Kg.) es una variable aleatoria X con la siguiente función de Densidad, 2 x 0 x 1 f ( x) Calcular: o c 0 . . a) Peso promedio de la caja. b) Peso más probable. c) Mediana del peso de la caja. d) Varianza o Dispersión del peso. Solución. X = Peso de la caja. Grafica de f(x)
y 2
a) E(x) =
1
x3
x f ( x)dx x.2 xdx 2 3 )
1
0
1 0
2
Kg , peso Pr omedio de la caja 3
b) Moda. Como F (2) es máximo Moda es X = 1 Kg., entonces el peso de la caja mas probable es X = 1 Kg. c) Mediana P(X me) = 0.5
me
2 xdx 0.5 x )
2 me 0
0.5 me2 0.5 0.7 X 0.7 es la Mediana
0
1
d) V(x) = E ( x ) E ( x)
2
2
; E ( x ) x 2 xdx 2
2
0
2 x 4 4
x4 2
)10
1 2
2
2 1 4 1 corresponde al grado de dispersion del peso V(x) 2 3 2 9 18 Ejemplo. Sea X el tiempo de supervivencia en años después de un diagnóstico de leucemia aguda. La 1
x
función de densidad es f ( x) 1, para 0 x 2 . 2
a. Comprobar que es una fdp. b. Hallar P(X > 1) c. Hallar P(X = 1) d. Hallar P(X 1) e. Calcular la media y la varianza. Solución: a) La gráfica de la f(x) es La condición equivalente a:
f ( x) 1 x
para variables continuas es que el área bajo la f(x ) sea 1. De modo general esa área se calcula mediante cálculo integral, pero en este caso se puede calcular por la conocida fórmula del área de (b h) (2 1) un triángulo A , es decir A 1 2
2
Gráficamente, la probabilidad pedida es el área coloreada de negro, por lo tanto se puede calcular también con la fórmula del área del triángulo. Ahora b = 1 y para calcular h hay que ver que valor toma la f(x) cuando x = 1, y = -1/2 + 1 = 1/2. Por lo tanto, la probabilidad es (1x1/2)/2 = ¼
c- Como en toda variable continua la probabilidad de que tome un valor concreto es 0, por lo
tanto p(X = 1) = 0 d- Obviamente p(X 1) =1- p(X > 1) = 1 - 1/4 = 3/4 e- Media 2 2 x2 8 4 2 x x3 x2 2 xdx )0 x E ( x) x f ( x)dx x 1 dx 2 2 6 2 5 2 3 0 0 Varianza V(x) = E ( x 2 ) E ( x)2 o 2 E ( x 2 ) x 2 2 2 x3 2 16 8 2 x 4 x3 2 2 2 x E ( x ) x f ( x)dx x 1 dx x dx )0 2 8 3 8 3 3 2 0 0 2
2 3 3 2
2
2 9
Problemas Propuestos de Variable Aleatoria Discretas 1. Según estadísticas la probabilidad de que el motor de un auto nuevo, de cierto modelo, y marca sufra de algún desperfecto en los primeros 12 meses de uso es de 0.02, si se prueban tres automóviles de esta marca y modelo, encuentre el número esperado de autos que no sufren de algún desperfecto en los primeros doce meses de uso y su desviación estándar. 2. Se ha detectado en una línea de producción que 1 de cada 10 artículos fabricados es defectuoso; se toman de esa línea tres artículos uno tras otro, a) obtenga la distribución de probabilidad del experimento, b) encuentre el número esperado de artículos defectuosos en esa muestra y su desviación estándar. 3. Según estadísticas, la probabilidad de que un pozo petrolero que se perfore en cierta región pueda ser beneficiado es de 0.30. Se perforan tres pozos en esa región, encuentre el número esperado de pozos que pueden ser beneficiados y su desviación estándar. 4. La distribución de probabilidad de x , el número de defectos por cada 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme , es: x 0 p(x) 0.41
1 0.37
2 0.16
3 0.05
4 0.01
a) Determine la distribución de probabilidad acumulada de x; P(x). b) Determine el número esperado de defectos por cada 10 metros de tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme y la desviación estándar del número de defectos por cada 10 metros de tela. c) Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren como
máximo 2 defectos. d) Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren por lo menos 2 defectos.
5. Sea X una Variable Aleatoria que representa la demanda de horas extras en una empresa. La experiencia muestra que esta demanda se comporta de acuerdo a la siguiente función de probabilidad,
(2x 1) / 24 f (x ) 0
x 1,2,3,4 en otra parte
Encuentre la distribución de probabilidad y la distribución acumulada. 6. Un lote de 7 lámparas contiene dos defectuosas. Un restaurante adquiere tres de estas lámparas. Sea x el número de lámparas defectuosas. Encuentre la distribución de x. Grafique.
7. A continuación se presenta una función de probabilidad, de la variable aleatoria x, el número de errores de escritura en una página. 0 1 2 3 P(x) 0.40 0.35 0.16 0.09 Encuentre la distribución acumulada para x, El valor esperado La varianza La desviación estándar
8. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta x esta dada por:
(2x 1) / 16 f (x) 0
si x 0,1,2,3 en otra parte
Determine la función de distribución acumulada, la media, la varianza y la desviación estándar.
9. Una empresa de alimentos con la entrada de TLC, necesita modernizar su maquinaria para ser más competitiva pero no tienen el suficiente capital, por lo que decide ofrecer bonos, los cuales vencen al cabo de varios años. La distribución acumulada de x el número de año al vencimiento para un bono elegido al azar, es:
si x 1 0 1 / 6 si x 1 F ( x) si x 3 3 / 6 1 si x 7 Encuentre: P( x = 6), b) P( x > 4), c) P(2.1 < x < 6)
10. El número de semanas, X, en las que una inversión es de alto riesgo, durante cierto período de 8 semanas, tiene como modelo probabilístico a la función dada por: f (x)
c(5) x x!
, x R x.
También se sabe que por lo menos en una semana (de este periodo) la inversión es de alto riesgo pero no en todas será así. a) Determine el rango de la variable aleatoria y el valor de la constante b) Determine la probabilidad de que en más de la mitad de las semanas (de este periodo) la inversión sea de alto riesgo. c) ¿Cuál es el valor esperado del número de semanas en las que la inversión será de alto riesgo?
Continuas: 1. Para la siguiente función: f ( x)
1 9
x
2
Cuando 0 x 3 ,
f(x) = 0 para cualquier otro valor
a) Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad. b) Si la función define una distribución de probabilidad, entonces, determine su media y desviación estándar. c) Determine la probabilidad de que 1 x 2.
2. Suponga que el error en la temperatura de reacción, en oC, para un experimento controlado de laboratorio es una variable aleatoria continua x, que tiene la función de densidad de probabilidad: f ( x)
x
2
3
, para -1 x 2
y f(x) = 0 en cualquier otro caso
a) Verifique la tercera condición de la definición de una distribución de probabilidad continua. b) Determine la media o valor esperado de la distribución de probabilidad. c) Encuentre la probabilidad de que 0 x 1.
3. La variable aleatoria continua X está distribuida según: 1 si 1 x 4 f ( x) 3 0 otro valor Indique la probabilidad de que X: a) sea 3. b) sea menor o igual a 3. c) sea a lo sumo 3. d) sea menor a 3. e) sea mayor o igual a 3. f) sea como mínimo 3. g) sea mayor a 4. h) esté entre 3 y 6. i) sea menor que 2, sabiendo que es menor que 3. j) sea menor que 3.5, sabiendo que es mayor que 1.5. k) Sean los sucesos A y B: A: X < 2 B: X > 3 Determine si A y B son independientes 4. Determinar para qué valor de k las siguientes funciones son funciones de densidad de probabilidad: a)
kx 2 f (x ) 0
si 0 x 3 otro valor
b)
x 2 f (x ) 0
si 0 x k otro valor
5. El tiempo (en años) hasta la ocurrencia de cierto evento catastrófico puede considerarse como una variable aleatoria continua, X, con función de densidad dada por: f (x)
2x 25
,
0 x 5.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dicho evento ocurra después de 2 años? b) Una persona adquiere una póliza contra este tipo de evento. El contrato estipula que si el evento ocurre antes del primer año la compañía aseguradora debe pagarle una suma indemnizatoria de seis mil Bs., por única vez. La póliza cuesta dos mil Bs. Determine la utilidad esperada de la aseguradora.
6. El ingreso familiar mensual en miles de Bs. fuertes en una ciudad, es una variable aleatoria X con función de densidad:
4kx, f ( x ) k (5 x),
0 x 1 1 x 5
a) Determinar la constante k y calcule el porcentaje de familias con ingresos mensuales de a los más 2 mil Bs. Fuertes b) ¿Cuál es el ingreso familiar esperado y la varianza esperada? 7. La proporción diaria de veces que ciertos comerciantes evaden la entrega de una factura de pago es una variable aleatoria con función de densidad f ( x ) 6x (1 x ), 0 x 1. Una muestra aleatoria de 100 comerciantes fue supervisada durante un día y se registró, para cada uno de estos, la proporción diaria de evasiones: Proporción de evasiones 0 - 0,2 0,2 – 0,4 0,4 - 0,6 0,6 - 0,8 0,8 - 1 Número de comerciantes
9
26
30
25
10
a) Determine el valor esperado de la proporción diaria de evasión por comerciante. b) ¿Cuán frecuentemente la proporción de evasión diaria es menor que 0,2? c) ¿Cuán cercanos resultaron los valores observados respecto a lo esperado según la densidad dada?
Distribuciones de Probabilidad Discretas La Distribución Binomial o de Bernoulli En estadística la distribución binomial o de Bernoulli es una distribución de probabilidad discreta describiendo el numero de éxitos de n experimentos independientes con probabilidad P de un éxito. Una variable aleatoria se dice que es una distribución binomial o de Bernoulli si se cumple: En cada realización del experimento sólo son posibles dos resultados A y B (experimento dicotómico). El resultado obtenido en cada realización es independiente de los obtenidos en las anteriores. La probabilidad del resultado A, y por tanto la de B, no varía a lo largo del experimento. Si llamamos p a la probabilidad de que se verifique A y q a la de que se verifique B, entonces: p + q = 1 (A y B son sucesos contrarios).
Ejemplos: a. Al analizar productos que vayan saliendo de una línea de producción, usualmente se seleccionan algunos cuantos, por ejemplo 20, para ver si tienen algún defecto. Si, por ejemplo, el porcentaje de defectuosos en la producción es de 20%, podemos preguntar ¿cuál es la probabilidad de que al revisar los 20, se encuentren 4 defectuosos? b. Si se tiene una gran cantidad de facturas expedidas, se puede seleccionar algunas, por ejemplo 14, y analizarlas para ver si los clientes quedaron satisfechos con la venta que se hizo. Si, por ejemplo, el 3% de los clientes no quedan satisfechos, se puede preguntar ¿cuál es la probabilidad de que se tenga más de 3 clientes insatisfechos entre los 14? c. Si la probabilidad de que un movimiento financiero dé ganancia es de 78%, por ejemplo, se puede preguntar por la probabilidad de que de 12 movimientos 8 resulten buenos. d. Si la probabilidad de que un empleado llegue tarde un día es de 0.02, qué probabilidad hay de que llegue tarde más de 3 veces en 28 días seleccionados.
Condiciones del modelo Binomial En los ejemplos anteriores se usa el modelo binomial. Lo que tienen de común todos ellos es lo siguiente:
En a, se revisa un artículo, esto se repite 20 veces. En b, se analiza la venta asentada en una factura, se repite 14 veces. En c, un movimiento puede resultar malo, se repite 12 veces. En d, la llegada tarde de un empleado, se repite 28 veces.
En cada ocasión, el resultado sólo puede ser uno de dos: éxito o fracaso. En a, éxito es un artículo defectuoso. En b, éxito es un cliente insatisfecho. En c, éxito es que un movimiento resulte favorable. En d, éxito es la llegada tarde. Cada nueva repetición se hace de manera independiente de las otras. La probabilidad de un éxito en una repetición siempre es la misma, sin verse influida por los resultados de las otras. Esta condición es más o menos falsa en algunos de nuestros ejemplos, pero es parte esencial del modelo binomial. Si se cree que esta condición no se satisface, se debe usar algún otro modelo, no el binomial. En a, puede pasar que los artículos defectuosos vengan en lotes. Es posible que los artículos del mismo lote hayan sido elaborados en condiciones semejantes y entonces los defectos de fabricación harían que no haya independencia entre artículos sucesivos. Sin embargo, si se selecciona al azar productos de varios lotes, la independencia se mantiene. En b, puede ser que el malestar sea a causa de un empleado y los clientes atendidos por ese empleado tenderán a estar insatisfechos. Si se escoge al azar a las personas a las que se les va a pedir su opinión, se recupera la independencia. En c, podría pasar que el estado general de la economía influya en que los movimientos buenos se presenten por rachas. Si es así, no se ocurre como mantener la independencia. En d, el que un empleado llegue tarde no implica que el siguiente lo llegue. Se va a obtener la función de probabilidad de una variable aleatoria de tipo binomial, es decir, se va a calcular la probabilidad de obtener r resultados A si se realizan n pruebas: Uno de los posibles resultados es: A, A,A,A,...A,B,B,...B (A repetida r veces y B repetida n-r veces). La probabilidad de este suceso es: P(A).P(A)....P(A).P(B).P(B)...P(B) = pr qn-r
Siendo p la probabilidad de que aparezca A y q = 1-p la de que aparezca B. Pero la aparición de r valores de A pude producirse de Cnr maneras. Por tanto, la probabilidad de que la variable aleatoria que asigna el número de apariciones de A tome el valor r es: n r nr P( x r ) p q r En todos los casos hay un número de repeticiones que se denota por n. También hay una probabilidad de éxito en cada intento a la que se denotara por p. n y p son los parámetros del modelo. En a, n = 20, p = 0.20 En b, n = 14, p = 0.03 En c, n = 12, p = 0.78 En d, n = 28, p = 0.02 Los valores de n y p en cada situación específica cambian. A estas cantidades se les llamara parámetros.
Parámetros del Modelo Binomial. En cuanto a los parámetros de la distribución se tiene al valor esperado o la media y la desviación estándar o típica:
a) Valor Esperado. El valor esperado o media estadística de una variable aleatoria de probabilidad binominal es: E(x) np (El producto de n y p)
b) Desviación Estándar. La calculamos así: varianza V(x) np(1 p). o npq La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
Probabilidad. La variable aleatoria en el modelo binomial es el número de éxitos en las n repeticiones. Se denotara con X, y el símbolo n r nr P( x r ) p q r Se usa para denotar la probabilidad de que el número de éxitos sea igual a r. Como un ejemplo se calculara la probabilidad que se pide en el ejemplo a.
En ese ejemplo n = 20, p = 0.20. Se pide calcular P (X = 4). Resolviendo se obtiene: 0.2182. En ese mismo ejemplo: El valor esperado es 4.0 La desviación estándar es 1.79. Otro ejemplo de más cuidado es el b. En este ejemplo n = 14, p = 0.03 y se pide P(X > 3). Para calcularla es mejor hacer: P (X≤ 3) y restarla de 1. P(X ≤ 3) = P(X =0) + P(X =1) + P(X =2) + P(X = 3)
Verifique que el planteamiento indica P(X ≤ 3) = 0.9628. Y la respuesta a la pregunta es P(X > 3) = 0.0372 En el ejemplo: 5.
3 7
15 7
3 4 5. . 7 7
2,14
60 49
1.22 1
Ejercicios: 1. Se extraen cinco bolas con devolución de una caja que contiene 6 blancas y 8 negras. Hallar la probabilidad de obtener 3 bolas blancas. Solución: La probabilidad de extraer una blanca es p = 6/14=3/7 y la de obtener una negra es q = 8/14 = 4/7 (se cumple p+q=1), entonces: 3
2
5 3 4 5! 27 16 5 4 27 16 0,257 p( x 3) 3 7 7 3 ! ( 5 3 )! 343 49 2 343 49 La función de distribución de la distribución binomial será: n 0 n n 1 n 1 n r n r F ( xi ) P ( X xi ) P q P q .... p q 0 1 r Su función de densidad es: n P ( X x) p x q n x x Eso es por que en n experimentos hay n sobre x (el coeficiente binomial) posibilidades para un numero de x éxitos (probabilidad p k ) y n-x no éxitos ( (1 p) nx ). En el ejemplo, la probabilidad de obtener 2 bolas blancas o menos en la caja es:
5
4
2
5 4 5 3 4 5 3 4 F(2) P(x 2) 0 7 1 7 7 2 7 7
1024 16807
5
3 256 7 2401
10
9 64 49 343
3
0,061 0,228 0,343 0,632 2.
2. Una familia tiene seis hijos, hallar la probabilidad que sean: a) Tres varones y tres hembras. b) Menos varones que hembras. Solución: X = Numero de hijos varones de la familia X B (n, p) ; X B (6,1/2) a) P (tres varones) = P(X = 3) = 0,3125. b) P(menos varones que hembras) = P(X 2) = 0,34375
3. El 70% de los trabajadores de una empresa tienen más de 25 años de edad, si se seleccionan una muestra de 5 trabajadores, ¿Cuál es la probabilidad de que existan?: a) Tres trabajadores con más de 25 años. b) A lo sumo dos trabajadores con mas de 25 años. Solución: X = Numero de trabajadores con mas de 25 años. X B (n, p) ; X B (5, 0.7) a) P(X = 3) = 0, 3087. b) P(X ≤ 2) = 0,163
4. Un equipo A tiene 1/3 de probabilidad de ganar cuando juega. Si A juega 4 partidos, Determine: a) Probabilidad de que gane 2 partidos. b) Probabilidad de que gane por lo menos 1 partido. c) Numero mas probable de partidos que puede ganar A. Solución: X = numero de partidos ganados X B (n, p) ; X B (4, 1/3).
a) P(X = 2) = 0, 2963. b) P(X 1) = 1 – P(X < 1) 1 – P (0) = 1 – 0, 1975. c) Moda P(x) es Máximo ; como P (1) es Mediana Moda es 1 juego, que es el numero mas probable de juegos ganados. d) E(x) = n. p = 4 x 1/3 = 4/3. e) V(x) = n.p.q = 4 x 1/3 x 2/3 = 8/9.
5. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: a. ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? b. ¿y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? c. ¿cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? Solución: X = numero de unidades defectuosas X B (n, p) ; X B (10, 0.05). a) P(X = 2) = 0,0746 b) P(X 2) = 0,988 c) P(X 1) = 1 – P(X < 1) 1 – P (0) = 0,599
6. El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? Solución: En el caso particular de este problema, n = 25. Entonces, para que aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se tiene que: P(X 20) = 0,5799
Distribución de Poisson. La distribución de Poisson es otra función de distribución de probabilidad que tiene muchas aplicaciones prácticas importantes. Un proceso Poisson no sólo representa numerosos fenómenos discretos, sino que el modelo Poisson también se usa para proporcionar
aproximaciones a la distribución binomial. Se dice que un proceso de Poisson existe si se puede observar eventos discretos en un área de oportunidad, un intervalo continuo, de tal manera que si se acota el área de oportunidad o intervalo de manera suficiente: La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es estable. La probabilidad de observar exactamente más de un éxito en el intervalo es cero. La ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de aquella en cualquier otro intervalo.
Características En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc. - # de defectos de una tela por m2 - # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc. - # de bacterias por cm2 de cultivo - # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc. - # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc. Cada vez que se especifica el parámetro λ, puede generarse una distribución de
probabilidad de Poisson específica. Una distribución de Poisson estará sesgada a la derecha cuando λ es pequeña, y se aproximará a la simetría al crecer.
Una variable aleatoria que describe el número de sucesos ocurridos en una región, de tal modo que dichos sucesos ocurren independientemente y con una tasa constante decimos que sigue distribución de Poisson de parámetro λ. X ~ Р (λ)
Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería: P(X x)
x e x!
; con x 1,2,3.... Función de Probabilidad ; donde
P(X = x) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto e = 2.718 X = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra
Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.
Parámetros de la distribución de Poisson a) Valor Esperado. El valor esperado o media estadística de una variable aleatoria de probabilidad Poisson es: E( x)
b) Varianza. La calculamos así: varianza V(x) La distribución de Poisson Como una Aproximación de la Binomial El otro uso que se le da a la distribución de Poisson es la aproximación de la distribución binomial. En los casos en las que n es grande (mayor o igual a 20) y p es muy pequeña (menor a 0.05, la distribución de Poisson puede usarse para aproximar la distribución binomial. La variable aleatoria de Poisson puede variar teóricamente de 0 a ∞. Sin embargo, cuando se usa como una aproximación a la distribución binomial, la variable aleatoria de Poisson, el número de éxitos de n observaciones, claramente no puede exceder el tamaño de la muestra n. Características μ=λ=n*p
Ejercicios: 1. Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho, a. ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? b. ¿De que fallen no más de dos componentes en 50 horas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas? Solución: a) Sea la variable aleatoria X, con distribución de Poisson con parámetro λ = 8, que determina el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.
Considerando que se cumplen ciertas condiciones de regularidad, podemos asumir que una variable Y que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una distribución de Poisson con parámetro: λ = 8/4 = 2. Recordemos que 25 horas es una cuarta parte de 100 horas. Por lo tanto, la probabilidad deseada es la siguiente:
P (Y = 1) = 0,27067 b) Análogamente, se define una variable aleatoria Z con distribución de Poisson de parámetro: λ = 8/2 = 4, que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir las 50 horas de funcionamiento. Se tiene entonces que: P(Z 2) = P(0) + P(1) +P(2) = 0,2381 c) De la misma forma, definiendo una variable aleatoria W con distribución de Poisson de parámetro λ = 10., se obtiene: P(X 10) = 1 – P(X < 10) = 1- P(Z 9) = 1 - [P(0)+P(1)+…….+P(9)] = 0,41696
2. Supóngase que 220 errores están distribuidos al azar a lo largo de 200 páginas, hallar la probabilidad de que una pagina dada contenga: a) Ningún error. b) Más de 2 errores. c) Cual es la probabilidad de hallar un error en dos paginas Solución: X = Numero de errores por pagina X. Poisson con
a) b)
=
220 errores 200 paginas
1,1 err pag
P(X = 0) = 0.3329.
P(X > 2) = p( x) P (3) P (4) P (5) P (6) ........ 0,0995 x 3
c)
Y = Numero de errores en 2 paginas ; Y. Poisson con = 2 x 1,1 = 2,2
P(Y = 1) = 0,2438.
3. Supóngase que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro.
(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre. (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre. (c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de alambre Solución: a) Entonces λ = 2.3 imperfecciones P(X = 2) = 0.265 b) Sea que X denote el número de imperfecciones en 5 milímetro de alambre. Entonces, X tiene una distribución Poisson con λ = 5mmx2.3 imperfecciones/Mm. = 11,5 imperfecciones. Por lo tanto: P(X = 10) = 0.113 c) Sea que x denote el número de imperfecciones en 2 milímetros de alambre. Entonces, X tiene una distribución de Poisson con λ = 2mm x 2.3imperdecciones/Mm. = 4.6imperfecciones Por lo tanto: P(X 1) = 1 – P(X < 1) = 1- P(Z 0) = 1-P(0) = 0.9899
4. La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados. (a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio. (b) La probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio (c) Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo estudio. Solución: a. Sea que X denote el número de partículas en el área de un disco bajo estudio. Puesto que el número promedio de partículas es 0.1 partículas por cm2. La variable X tiene parámetro λ =100 cm2 x 0.1 partículas/ cm2 = 10 partículas Por lo tanto: P(X = 12) = 0.095 b. P(X = 0) = 4.54x10 −5 c. P(Z 12) = P(0) + P(1) +P(2)+……….+P(12) = 0,792
5. Supóngase que en una región se producen terremotos de acuerdo con una distribución de
Poisson con media λ = 2 terremotos/semana.
a. Calcular la probabilidad de al menos tres terremotos ocurran en un período de dos semanas. Solución: a. Si en una semana hay, en promedio, 2 terremotos, en dos semanas habrá, también un promedio de 4 terremotos. Entonces, debemos estudiar variable aleatoria, Y, de Poisson con media λ = 4: P [Y ≥ 3] = 1 − P [Y < 3] = 1 − [P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2)] = −4 −4 −4 = 1 − e − 4e −8e = 0.7618.
6. El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehiculo industrial tiene una distribución de Poisson con media 0.3 por cada 50000 kilómetros .Si el vehiculo recorre 100000 Km., se pide: a) Probabilidad de que no tenga pinchazos. b) Probabilidad de que tenga menos de tres pinchazos. c) Número de Km. recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningún pinchazo sea 0.4066. Solución: Si λ = 0.3 para 50000 Km., entonces para 10000km tendremos una X con λ = 0.6. a) P(X= 0) = 0.5488 b) P(X<3) = P(X= 0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.5488 + 0.3292 + 0.09878 = 0.9767 c) P(X= 0) = e- λ Por tanto, ln e- λ = ln 0.4066 y λ = 0.9 Si 0.3 → 50000 Km. , 0.9 → x Km., y por tanto x = 150000 Km.
DISTRIBUCION GEOMETRICA En estadística la distribución geométrica es una distribución de probabilidad cuya función de densidad para valores discretos x = 1,2,…. es: P(X x) p(1 p) X1
Su función de distribución es: P(X x) p X
El parámetro p (la probabilidad de éxito de un experimento) fija la media estadística (1 p) E(X) 1 y la varianza V(X) . p
p 2
Ejemplo El número de tirar una cifra determinada con un dado X veces seguidas es una distribución geométrica con el parámetro. p 1 6
Problemas Propuestos de Distribución de Probabilidades Discretas Binomial 1. Se tiene una familia con tres hijos. Determine la probabilidad de que: a) dos sean hombres. b) los tres hijos sean mujeres. c) uno de los hijos sea mujer. d) al menos dos de los hijos sean hombres. e) al menos uno de los hijos sea mujer. 2. Si el 20% de lentes para microscopio producidos por una máquina son defectuosos. a) Determinar la probabilidad de que de 4 lentes elegidos al azar : i) uno sea defectuoso. ii) ninguno sea defectuoso iii) a lo más 2 sean defectuosos. b) Si se envía un pedido de 400 lentes para microscopios ¿Cuál es el número esperado de lentes defectuosos en el pedido? 3. Al inocular ratas con una sustancia presumiblemente tóxica generalmente el 10 % muere. Si se inoculan 20 ratas con esta sustancia, a) ¿Cuál es la probabilidad de que: i) 5 ratas mueran? ii) a lo más 3 ratas mueran ? b) ¿Cuál es el número esperado de mortalidad? 4. Una máquina produce un tipo de artículo que generalmente resulta defectuoso en un 10% de la producción total. Hallar la probabilidad que de un total de 4 artículos producidos por esa máquina sean defectuosos: i) como mucho 3 iii) entre 1 y 3 ii) entre 2 y 4 inclusive iv) 2 o más. 5. Si el 20 % de la población tiene por lo menos un defecto físico. Determine la probabilidad de que 4 individuos elegidos al azar : i) uno tenga defectos físicos ii) ninguno tenga defectos iii) a lo más dos tengan defectos
6. Un cirujano tiene 25% de posibilidades de fracasar en una operación a) Si opera 4 veces. Halle la probabilidad que el cirujano fracase: i) en 2 operaciones ii) por lo menos en 1 operación iii) en más de la mitad de las operaciones. b) Si al mes opera 20 veces. ¿En cuántas operaciones se espera que tenga éxito? 7. Si el 10% de las conservas en tarro producidas por una máquina son defectuosas. El departamento de control de calidad escoge 4 conservas al azar a) ¿ Cuál es la probabilidad de : i) Una sea defectuosa ii) Ninguna sea defectuosa iii) A lo más dos sean defectuosas. b) Si se envía un cargamento de 4000 conservas ¿Cuál es el número esperado de conservas en mal estado en el cargamento? ¿Cuál es su desviación estándar? 8. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que: a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos. 9.
Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.
10.
La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que:
a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB. b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB. c) que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB. d) encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.
11.
Una máquina produce un tipo de artículo que generalmente resulta defectuoso en un 10% de la producción total .Hallar la probabilidad que de un total de 400 artículos producidos por esa máquina sean defectuosas: i) Como mucho 30 iii) Entre 35 y 45
ii) Entre 30 y 50 inclusive
iv) 55 o más.
Poisson 1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? 2. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos 3. La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes? 4. La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos? 5. El número de buques tanque que llegan en un día a una refinería tiene una distribución de Poisson con λ = 2. Si más de tres buques llegan en un día, los que están en exceso deben enviarse a otro puerto, pues las actuales instalaciones portuarias pueden despachar a lo sumo tres buques al día. a) ¿Cuál es la probabilidad de tener que hacer salir buques en un día determinado? b) ¿Cuál es el número esperado de buques que llegan en un día? c) ¿Cuál es el número más probable de buques que llegan en un día? d) ¿Cuál es el número esperado de buques atendidos diariamente? e) ¿Cuál es el número esperado de buques rechazados diariamente? f) ¿En cuánto deben aumentarse las instalaciones actuales para permitir la atención a todos los buques el 90% de los días? 6. Los errores de imprenta de una cierta editorial son en promedio de 2,5 por página, según una distribución de Poisson. Si un cierto libro tiene 50 páginas, ¿cuál es la probabilidad de que en alguna de ellas haya 5 ó más errores? 7. El porcentaje de rollos de tela de 150 metros de longitud que presenta fallas de teñido es del 2%. Por otra parte tienen una cantidad de fallas de tejido según una distribución Poisson con λ = 0,01 fallas/m. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un rollo sin fallas? ¿Qué condición entre sucesos debe presentarse? b) Si un cliente controla el 10% de los rollo de una partida de 100 y la rechaza si encuentra uno o más rollos con falla de teñido o más de dos rollos con alguna falla de tejido, ¿cuál es la probabilidad de aceptar la partida? 8. Cierto tipo de cable presenta en promedio 1 falla cada 250 metros. ¿Cuál es la probabilidad de que un rollo de 1000 metros tenga: a) ninguna falla?; b) menos de 4 fallas? c) 6 ó más fallas? 9. El proceso de fabricación de una tela genera en promedio 1 falla cada 100 metros. La longitud de cada rollo queda determinada por la aparición de la segunda falla, de modo que todos los rollos tienen una falla. Calcular: a) el porcentaje de los rollos con longitudes
inferiores a 150 m; b) la longitud superada por el 90% de los rollos; c) la longitud superada por el 10% de los rollos; d) la longitud mediana; e) la longitud modal. 10. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribución de Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 mensajes en una hora? b) Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso de tiempo sea 0.8.
Distribuciones de Probabilidades Continuas DISTRIBUCIÓN NORMAL Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n, p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. Tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,... Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muéstrales, por ejemplo: la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales,... Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.
FUNCIÓN DE DENSIDAD Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la fórmula:
f (x )
1 2
e
1 x 2
2
Media , Desviacion S tan dard , 2 Varianza
Representación gráfica de esta función de densidad La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su desviación típica y la representamos así: N(μ(σ), Para cada valor de μ y σ se obtiene una funcion de densidad distinta, por tanto la expresion N(μ(σ) representa una familia de distribuci ones normales
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Puede tomar cualquier valor (- , + ) Son más probables los valores cercanos a uno central que se llama media Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de un parámetro , que es la desviación típica.
F(X) P(X x)
x
1 2
1 x
e
2
2
x
F(x) es el área sombreada de esta gráfica
Tipificación de la Variable Normal Para simplificar los cálculos se sigue un proceso que consiste en obtener a partir de una N
(,) una N (0,1) (Normal Estándar o Tipificada) de media 0 y desviación típica 1. De ese modo la probabilidad desde - hasta 0 es de 0,5. La forma de hacerlo es la siguiente: Si se tiene una V.A. X, N (,), la variable Z
X
será una N (0,1). Y así:
X K K ) P ( Z ) , siendo Z una N (0,1). P ( X k ) P (
Por tanto el proceso que se sigue en un problema con una N (,), es primero tipificar la variable Z
X
será una N (0,1), es decir μ = 0 y σ =1, para luego calcular el valor con la
ayuda de la tabla: Por tanto su función de densidad es:
(z)
1 2
e
z2 2
; z
y su función de distribución es: F(z) P(Z z) (z)
1
z
e 2
z2 2
dz
Siendo la representación gráfica de esta función:
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X , y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada.
Ejemplo: X → N (3,5) P(X 7) P(
X3 5
73 5
) P(Z
73 5
) P(Z 0,8) 0,7881
Característica de la distribución normal tipificada (reducida, estándar) No depende de ningún parámetro Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. La curva f(x) es simétrica respecto del eje 0y Tiene un máximo en este eje Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1 Uso de las tablas de una N (0,1). Existen varios tipos de tablas, pero en todas, como la normal es simétrica respecto al 0:
P(Z k ) 1 P(Z k ) P(Z k ) P(Z k ) 1 P(Z k ) P(k Z q) P(Z q) P(Z k ) Las dos tablas fundamentales de una N (0,1) se diferencian en que mientras que una nos da la P (Z k), la otra nos da sólo la P (0 Z k) (por tanto habrá que añadir a la probabilidad observada en la tabla 0,5: P (Z k) = 0,5resultado de la tabla). En ambos casos, la tabla representa las unidades y décimas del valor en la columna vertical, y las centésimas en la fila horizontal.
Aproximación de la Binomial por la Normal (Teorema de De Moivre): Demostró que bajo determinadas condiciones (para n grande y tanto p como q no estén próximos a cero) la distribución Binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal N(np, npq por tan to Z
X np npq
es N(01)
Se debe tener presente que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto más próximo sea p a 0.5, tanto mejor será la aproximación realizada. Es decir, basta con que se verifique: nр ≥5 y nq ≥5
Gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales, que para valores grandes de n resulten muy laboriosos de calcular. Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta transformación de una variable discreta (binomial) en una variable continua (normal) es necesario hacer una corrección de continuidad.
MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES. La distribución de la variable Z se encuentra tabulada
DISTRIBUCION PROBABILIDAD GAMA. Los tiempos que tardan en revisar un motor de un automóvil ó avión tienen una distribución de frecuencias sesgadas. Las poblaciones asociadas a estas variables aleatorias frecuentemente tienen distribuciones que se pueden modelar adecuadamente por la función de densidad tipo gamma. Función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria tipo gamma:
f ( y )
y 1e y /
( )
, 0;0 y
0 En donde:
( ) 0 y 1e
y
dy
La cantidad de la función alfa se conoce como la función gamma. La integración directa nos da que la función uno igual a uno. La integración por partes nos da que la función de alfa menos uno alfa menos uno por la función alfa menos uno para cualquier intervalo de alfa mayor o igual a uno y que la función de n sea igual a n menos uno factorial, para un número entero n. En el caso especial cuando alfa es un número entero, se puede expresar la función de distribución de una variable aleatoria tipo gamma como una suma de ciertas variables aleatorias de Poisson. Si alfa no es un número entero, es imposible encontrar la antiderivada del integrando de la expresión:
d
c
y
1
e
y /
( )
dy Donde: 0 c d
Y por lo tanto es importante obtener las áreas bajo la función de densidad tipo gamma mediante integración directa. Hay dos casos especiales de las variables aleatorias tipo gamma que merece consideración particular: Una variable aleatoria tipo gamma que tiene una función de densidad con parámetros alfa igual a v entre dos y beta igual a dos se denomina variable aleatoria Chi – cuadrada o Ji cuadrada. Chi - cuadrada se presenta con frecuencia en la teoría de la estadística. El parámetro v se denomina número de grados de libertad asociado a la variable aleatoria Chi - cuadrada. La función de densidad gamma para el caso especial v = 1 se denomina función de densidad exponencial. 0;0 y f ( y )
1
y /
e
0
En cualquier punto.
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Los modelos matemáticos de situaciones de la vida real requieren de supuestos simplificadores que mantengan el análisis matemático en un nivel razonable. Sin embargo estas simplificaciones no deben llegar al nivel de romper el vınculo entre la teoría y la realidad. Un supuesto simplificador muy frecuente consiste en asumir que ciertas variables aleatorias se distribuyen exponencialmente, esta distribución es relativamente fácil de manejar y al mismo tiempo es una buena aproximación de la distribución real de la variable. Una de sus propiedades fundamentales es que no se deteriora con el tiempo (de hecho es la única distribución que presenta esta propiedad). Se encuentra, también, íntimamente relacionada con los procesos de conteo (o de Poisson), juega un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio (tiempo entre dos sucesos) y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos.
Los casos típicos donde se usa esta distribución son: el tiempo que tardara una maquina de cajero automático en entregar efectivo. Esta función puede usarse para determinar la probabilidad de que el proceso tarde como máximo un minuto. Sea X una variable aleatoria contınua. Se dice que X tiene una distribución exponencial con parámetro λ si su función de Densidad esta dada por:
ex f ( x) 0
,
x0
,
x0
Y la función de Distribución:
1 ex F(x) f (u)du , 0 x
.
x0
,
x0
Siendo el valor del parámetro y x el valor de la función. Relación de la distribución exponencial con el proceso de poisson. Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson, es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un período o
espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa el evento de Poisson. La relación entre la distribución exponencial y el proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro, donde puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de “tiempo”. Considérese ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta el tiempo t está dada por:
P(0, t )
e t (t )0 0!
e t
;
e 2.718
Ahora puede utilizarse lo anterior y hacer que X sea el tiempo para el primer evento de
Poisson. La probabilidad de que el período hasta que ocurre el primer evento de Poisson exceda x es la misma que la probabilidad de que no ocurra un evento de Poisson en x. Esto último por supuesto está dado por x . Como resultado,
P(X x) e x Entonces, la función de distribución acumulada para x es:
P(X x) 1 e x Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad:
f ( x) e x La cual es la función de densidad de la distribución exponencial con P
1
. E Nótese que la media de la distribución exponencial es el parámetro , el recíproco del parámetro en la distribución de Poisson. El lector debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de Poisson no tiene memoria, lo cuál implica que las ocurrencias en períodos de tiempo sucesivos son independientes. Aquí el parámetro importante es el tiempo promedio entre eventos. En teoría de la confiabilidad, donde la falla de un equipo concuerda con el proceso de Poisson, recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y entonces la distribución exponencial es aplicable. E
E
E
Propiedad de no memoria de la distribución exponencial Una variable aleatoria X no tiene memoria si: P X
s t
X
P X
t
s ; s , t
0
Para analizar el caso de la exponencial, vemos que la expresión de la izquierda se pude escribir como: P X
s t
P ( X X
t
Que en el caso de la exponencial será:
s t , X
P ( X
e
( s t ) t
P ( X
t
t )
P ( X s
e e t
s t ) t )
t
e
s
e e Es decir, la exponencial no tiene memoria. De hecho, se puede comprobar que la
exponencial es la única distribución que tiene esta propiedad. Si se pensara en términos de la vida de un componente, esta propiedad dice que la esperanza de que el componente sobreviva 15 periodos cuando ya ha sobrevivido 10, es igual a la probabilidad inicial de sobrevivir 5 periodos. Es decir, la distribución de la duración en cualquier periodo t es la misma que la distribución original de la vida útil.
Otras propiedades de la distribución exponencial 1. Sean X1 y X2 variables aleatorias exponenciales con tasas λ 1 y λ 2 respectivamente, entonces: P ( X 1
1
X 2) 1
2
2. Si X1, . . . ,Xn son variables aleatorias independientes, distribuidas exponencialmente con parámetro μi Entonces la mas pequeña de estas variables se distribuye como una exponencial con tasa igual a la suma de las μi. Es decir, si Z = min. {X1, . . . ,Xn}, entonces: Z ~ Exp (μ1+..…+μn)
Parámetros de la distribución exponencial 1. Media
E(X) = l / λ
2. Varianza V(X) = 1 / λ 2
Ejemplos: 1. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con promedio de falla de 5 componentes por año, sí 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años? Solución: La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es: P (T
8)
1 5
t
8
5
5
e dt
e
0.2
8
Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución Binomial,
n=5 p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años P(X 2) = P(X= 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)] =1-0.7373 = 0.2627
2. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en un establecimiento comercial es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 5 de los 6 días siguientes? Solución: P (T
3)
1 4
3
t
1
4
4
e dt 0
e
3
3
1
e
4
0.5276
0
X = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos X = 0, 1, 2,...,6 días p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 0.5276 q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 1- p = 0.4724 P(X 5) = P(X= 5) + P(X = 6) = 0.11587 + 0.02157 = 0.13744
3. Supóngase que los tiempos transcurridos entre llegadas a cierta estación de peaje se distribuye de manera exponencial con una media de ½ minuto. a. Cual es la varianza de los tiempos entre llegadas b. Cual es la probabilidad de que el tiempo transcurrido entre dos llegadas consecutivas este comprendido entre 0 y 1 minuto. c. Cual es el valor de P(X ≥ 2) Solución: a. Como la media es ½ minuto entre llegadas →
1 2
V(x )
1
1 2
2
b. P(X 1) 1 e x 1 e 2 1 0,1353 0,8647 c. P(X 2) e 4 0,0183
4. Una maquina textilera produce con 10 defectos en cada 50 m de tela.
4
a. Cual es la probabilidad de que la longitud entre 2 defectos consecutivos sea menor a 4 m. b. Cual es la probabilidad de que la longitud entre 2 defectos consecutivos este entre 6 y 8 m Solución:
e
10 50
1 def 5 m
a. P(X 4) 1 e
x
1 e
b. P(6 X 8) 1 e
4 5
1 0,4493 0,5507
8 5
(1 e
6 5
)e
6 5
8
e 5 0,3012 0,2019 0,0993
5. A una peluquería acude un promedio de 16 clientes entre las 8 y la 12 de la mañana. Los clientes llegan de acuerdo a una distribución de Poisson. a. Cual es la probabilidad de que el tiempo entre 2 llegadas consecutivas de clientes sea superior a 3 minutos. b. Cual es la probabilidad de que el tiempo entre 2 llegadas consecutivas de clientes este comprendido entre 4 y 7 minutos. Solución:
p
16 4
4
pers hora
a. P(X 3) e
x
1 horas 4 pers
e
b. P(4 X 7) 1 e
3 15
e
15 min
1 1,2214028
7
15
1 pers
(1 e
0,8187
4 15
)e
4
15
e
7
15
0,7659 0,6271 0,1388
6. Supóngase que en una entidad bancaria, se atiende en promedio a cuatro clientes cada seis minutos, supóngase también que el número de clientes atendidos sigue una distribución de Poisson. a. Cual es la probabilidad de que se empleen más de tres minutos en atender a un cliente. b. Cual es la probabilidad de que el tiempo de atención a un cliente este comprendido entre dos y cuatro minutos. Solución: 4
2
1 pers
6
3
1,5 min
p e a. P(X 3) e
x
e
3 1, 5
0,1353
b. P(2 X 4) 1 e
4
1, 5
(1 e
2
1, 5
)e
2
1, 5
e
4 1, 5
0,2636 0,0694 0,1942
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD I CUADRADA Considerando nuevamente las muestras aleatorias independientes de distribuciones normales, sabemos que : 12 n1 1S 12 / 12 y 22 n2 1S 22 / 22 Tienen distribuciones 2 independientes con: v 1
n 1
1
y v 2
1
n 2
Grados de libertad, respectivamente. Esto implica que: F
12 / v1 22 / v 2
n 1S n 1S
2
1
1
2
2
2
Tiene una distribución F con
1 S / / n 1 S / / 1 n1 2
2
1
2
2
2
n 1 grados 1
2
1
2
2
2
2
de libertad del numerador y n2 1
grados de libertad del denominador. En al figura Siguiente se muestra la gráfica de una típica función de densidad F . Los valores de F tales que P F F se dan en las tablas de la distribución F, para los valores de 0,100, 0,050, 0,025, 0,010 y 0,005. En esas tablas, los encabezados de las columnas corresponden a los grados de libertad del numerador, en tanto que los grados de libertad del denominador se encuentran como los encabezados principales de los renglones. Frente a los grados de libertad del denominador (los encabezados de los renglones), se encuentran los valores de 0,100, 0,050, 0,025, 0,010 y 0,005. Por ejemplo, si la variable F estudiada tiene 5 grados de libertad del numerador y 7 grados de libertad del denominador, F 0.100 = 2.88, F 0.050 = 3.97, F 0.025 = 5.29, F 0.010 = 7,46 y F 0.005 = 9.52. Luego la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución F con 5 grados de libertad del numerador y 7 grados de libertad del denominador exceda de 7.46 es 0,01. Lo correspondiente se afirma para los demás casos. f u
Una típica función de densidad De probabilidad F
F
u
DISTRIBUCION "T DE STUDENT" Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media µ y varianza x es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la 2 x distribución z es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la
n
desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de este estadístico si se reemplaza σ por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta. La media y la varianza de la distribución t son = 0
para >2,
respectivamente. La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media = 0 la distribución t tiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.
Propiedades de las distribuciones t Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0. Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar z. A medida que aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye. A medida que ∞, la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl = ∞ La distribución de la variable aleatoria t está dada por:
v 1 / 2 t 2 1 h(t ) (v / 2) v v
( v 1) / 2
t
Esta se conoce como la distribución t con grados de libertad. Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes que son todas normales con x media µ y desviación estándar σ. Entonces la variable aleatoria t tiene una distribución t s
n
con = n- 1 grados de libertad. La distribución de probabilidad de t se publicó por primera vez en 1908 en un artículo de W. S. Gosset. En esa época, Gosset era empleado de una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibición, publicó su trabajo en secreto bajo el nombre de "Student". En consecuencia, la distribución t normalmente se llama distribución t de Student , o simplemente distribución t. Para derivar la ecuación de esta distribución, Gosset supone que las muestras se seleccionan de una población normal. Aunque esto parecería una suposición muy restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones no normales que poseen distribuciones en forma casi de campana aún proporcionan valores de t que se aproximan muy de cerca a la distribución t. La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamaño de la muestra y siempre es mayor a uno. Únicamente cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas. Se acostumbra representar con t el valor t por arriba del cual se encuentra un área igual a α. Como la distribución t es simétrica alrededor de una media de cero, tenemos t 1 t ; es decir, el valor t que deja un área de 1-α a la derecha y por tanto un área de α a la izquierda, es igual al valor t negativo que deja un área de α en la cola derecha de la distribución. Esto es, t 0.95 = -t0.05, t0.99=-t0.01, etc.
Ejemplo: El valor t con = 14 grados de libertad que deja un área de 0.025 a la izquierda, y por tanto un área de 0.975 a la derecha, es t0.975=-t0.025 = -2.145
Si se observa la tabla, el área sombreada de la curva es de la cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de 1-α. La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de α en el primer renglón de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se
intercepten α y se obtendrá el valor de t.
Ejemplo: Encuentre la probabilidad de – t0.025 < t < t0.05. Solución:
Como t0.05 deja un área de 0.05 a la derecha, y – t0.025 deja un área de 0.025 a la izquierda, encontramos un área total de 1-0.05-0.025 = 0.925. P ( – t0.025 < t < t0.05) = 0.925
Ejemplo: Encuentre k tal que P (k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamaño 15 que se selecciona de una distribución normal. Solución:
Si se busca en la tabla el valor de t =1.761 con 14 grados de libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un área de 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Entonces si se resta el primer renglón con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor de α está en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = -2.977 por lo tanto: P (-2.977 < t < -1.761) = 0.045
Ejemplo: Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre – t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por
milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. Solución: De la tabla encontramos que t0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711. El fabricante queda satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre – 1.711 y 1.711. Se procede a calcular el valor de t: x 518 500 t 2,25 s
40
n
25
Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aquí que es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa.
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BETA. La distribución de probabilidad beta es una función de densidad con dos parámetros definida en el intervalo cerrado 0 <= y <= 1. Se utiliza frecuentemente como modelo para fracciones, tal como la proporción de impurezas en un producto químico o la fracción de tiempo que una maquina está en reparación. Función de densidad probabilidad: , 0;0 y 1
y (1 y) f ( y ) { B( , ) 1
1
En cualquier otro punto donde B( , )
y 1 (1 y ) 1 dy
( ) ( ) ( )
Nótese que la definición de (y) sobre el intervalo 0≤ y ≤ 1 restringe su aplicación. Si c≤ y ≤ d, y = (y- c) / (d- c) definirá una nueva variable en el intervalo 0≤ y ≤ 1. Así la función de densidad beta se puede aplicar a una variable aleatoria definida en el intervalo c≤ y ≤ d mediante una traslación y una medición en la escala. La función de distribución acumulativa para la variable aleatoria beta se llama comúnmente función beta y esta dada por: 1 1 y t (1 t ) F ( y) 0 dt I y ( , ) B( , ) Para valores enteros de alfa y beta, Iy (alfa, beta) está relacionada con la función de probabilidad binomial. Cuando y = p, se puede demostrar que:
y 1 (1 y )
F ( p)
1
B( , )
dy
n
p
y
(1 p)
n y
y
En donde 0 < p < 1 y n igual a alfa más beta menos uno.
DISTRIBUCIÓN WEIBULL Devuelve la probabilidad de una variable aleatoria siguiendo una distribución de Weibull. Esta distribución se aplica en los análisis de fiabilidad, para establecer, por ejemplo, el periodo de vida de un componente hasta que presenta una falla. La ecuación para la función de distribución acumulada de Weibull es:
F x, , 1 e x
La función de densidad de probabilidad es: f x, ,
1 x e
x
.
Cuando = 1 la distribución de Weibull devuelve la distribución exponencial con: 1 .
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD F Supóngase que deseamos comparar las varianzas de dos poblaciones normales basados en la información contenida en muestras aleatorias independiente de las dos poblaciones. Supóngase que una muestra aleatoria contiene n1 variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianza común 12 y que la otra muestra aleatoria contiene n 2 variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianza común 12 y que la otra muestra aleatoria contiene n2 variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianza común 12 . Si calculamos S 12 de las observaciones en la muestra 1, entonces S 12 es una estimación de 12 . De manera similar, S 22 calculada a partir de las observaciones de la segunda muestra es una estimación para 22 . Así intuitivamente podríamos pensar en utilizar S 12 / S 22 para hacer inferencias con respecto a las magnitudes relativas de 12 y 22 . Si dividimos cada S i2 por i2 , entonces la razón siguiente
/
2 2 S 1 / 1 2
S 2
2 2
2
2
2
1
S S 2
1
2
2
Tiene una distribución F con n1 1n2 1 grados de libertad. La definición general de una distribución F es como sigue:
Definición Sean 12 y 22 variables aleatorias ji - cuadrada con v1 y v 2 grados de libertad. Respectivamente. Entonces si 12 y 22 son independientes, 12 / v1 F
22 / v 2 Se dice que tiene una distribución F con v1 grados de libertad del numerador y v 2
grados de libertad del denominador. La función de densidad para variables aleatorias con la distribución F es un miembro de la familia de las distribuciones beta. Omitimos la formula para la densidad de una variable aleatoria con la distribución F , pero el método para obtenerla se indica en los ejercicios al final del capitulo.
Problemas Propuestos de Distribución de Probabilidades Continuas Normal 1.
2.
Si X se distribuye N (0,1) Hallar: a) P(1.2 X 2.4) b) P(1.23 X 1.87) c) P(2.35 X 0.5)
d) P( X 1.64) e) P(1.96 X 1.96)
La longitud de los peces de un río sigue un modelo normal con media 6,8 pulgadas y varianza 0.09 pulgadas cuadradas. Si se extrae una muestra de 300 peces ¿Cuántos peces de la muestra tendrán una longitud : i) Mayor que 7,2 pulgadas? ii) Menor o igual a 6,4 pulgadas? iii) Entre 6,5 y 7,1 pulgadas? 3.
El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?
4.
Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida Normalmente, con una media
de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida Normalmente con una media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas. a. ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor de 9,000 horas? b. ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5,000 horas? 5. Supongamos que el peso de los habitantes de una población sigue un modelo normal con media 71.3 kilos y una desviación estándar de 20,2 kilos. Hallar porcentaje de habitantes con un peso: i) Inferior o igual a 46 kilos. ii) Entre 55,2 y 59,8 kilos iii) Entre 69 y 80,5 kilos. iv) Mayor o igual a 92 kilos. 1. La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad Normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución Normal, con una media de 200 y una desviación estándar de 50. a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores? b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores? c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuantos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día? 7. Supongamos que una máquina fabrica tapas para tarros cuyo diámetro sigue un modelo normal con una media de 2,5 pulgadas y una desviación estándar de 0,25 pulgadas. El departamento de control de calidad considera defectuosa una tapa si su diámetro es menor o igual 2 pulgadas o mayor o igual a 2,8 pulgadas. ¿Hallar el porcentaje de tapas defectuosas producidas por esa máquina? 8. Para aplicar un tratamiento se toma una muestra de 200 ratas cuya longitud promedio fue de 2,1 pulgadas con una varianza de 0,01 pulgadas cuadradas. Si el tamaño de las ratas sigue un modelo normal. a.¿Cuántas ratas de la muestra tienen un tamaño: i) Que exceda las 2 pulgadas?
ii) Menor o igual a 1.98 pulgadas? iii) Entre 1.98 y 2.23 pulgadas? b. ¿Cuál es el tamaño mínimo del 5% de las ratas más grandes? 9. El peso verdadero de prematuros nacidos en una clínica, sigue un modelo normal con media 2.8 kilos y desviación estándar 0.46 kilos. ¿Cuál es la probabilidad de que un prematuro que nazca en la clínica pese por lo menos 2.5 kilos? 11. Si las alturas de 300 estudiantes sigue un modelo normal con media 68 pulgadas y varianza 9 pulgadas 2 ¿Cuántos estudiantes de la muestra tienen alturas : a) Mayor de 72 pulgadas ? b) Menor o igual a 64 pulgadas? c) Entre 65 y 71 pulgadas? d) Menor o igual a 68 pulgadas? 11. En un quiosco de periódicos se supone que el número de ventas diarias se distribuye normalmente con media 30 y varianza 2. Determinar: a) Probabilidad de que en un día se vendan entre 13 y 31 periódicos. b) Determinar el máximo número de periódicos que se venden en el 90% de las ocasiones. c) Supongamos que en una ciudad hay 10 quioscos independientes del mismo tipo y con las mismas características. Determinar la probabilidad de que más de dos quioscos vendan entre 13 y 31 periódicos.
Exponencial 1.
El tiempo de reparación de unas máquinas de escribir tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media 22 minutos. a. Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que diez minutos. b. Para efectuar una programación, ¿cuanto tiempo se debe asignar a cada reparación para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparación mayor que el tiempo asignado sea solo de 0.1? 2. El personal de la compañía Onda S.L. usa una Terminal para realizar sus pedidos internacionales. Si el tiempo que cada comercial gasta en una sesión en la Terminal tiene una distribución exponencial con media 36 minutos, encontrar: a) Probabilidad de que un comercial utilice la Terminal 30 minutos o menos. b) Si un comercial a estado 30 minutos en la Terminal, ¿Cuál es la probabilidad de que pase al menos una hora más en la Terminal?. c) El 90% de las sesiones terminan en menos de R minutos. ¿Cuánto vale R?
