Cuaderno de Trabajo - Nivelación Matemática (DUOC UC)

DUOCUC

CUADERNO DE TRABAJO NIVELACIÓN MATEMÁTICA

Dirección de Formación General Programa de Matemática Nivelación Matemática – MAT100 – MAT1001

Nombre: Sección: Profesor: Escuela: Carrera:

Nivelación Matemática

Página 1


PRESENTACIÓN “Formar personas en el ámbito técnico y profesional, con una sólida base ética inspirada en los valores cristianos, capaces de actuar con éxito en el mundo laboral y comprometidos con el desarrollo de la sociedad ” ”

(Misión de Duoc UC)

El Programa de Matemática tiene como finalidad justamente aportar en el logro de esta misión, pues sabemos que no es posible comprender y desenvolverse satisfactoriamente en el mundo actual si no se dispone de un mínimo de competencias matemáticas y que el desarrollo de estas competencias en un nivel superior es base para una formación profesional profesional de excelencia. El curso Nivelación Matemática pretende reforzar habilidades matemáticas indispensables para cualquier persona que inicia su formación profesional y este libro constituye una herramienta fundamental para este fin. El

presente

texto

“Cuaderno

de

Trabajo

Nivelación

Matemática”

recopila

explicaciones, ejemplos y problemas que facilitarán tus estudios, además cuenta con guías resumen de cada evaluación.

Programa de Matemática Dirección de Formación General Duoc UC

Página 2



CONTENIDO UNIDAD I: “LOS NÚMEROS EN NUESTRA VIDA” ......................... ...................................... .......................... ............... 4 Material de Estudio Guía N°1: ............................................................................................................ 4 Guía de Estudio N°1: “Números Enteros” ........................................................................................ 7

Material de Estudio Guía N°2: .......................................................................................................... 18 Guía de Estudio N°2: “Partes de un todo” ..................................................................................... 20

Material de Estudio Guía N°3: .......................................................................................................... 29 Guía de Estudio N°3: “Aplicaciones de los Números Decimales” ................................. ................ .............................. ............. 35

Material de Estudio Guía N°4: .......................................................................................................... 46 ............................................... 54 Guía de Estudio N°4: “Notación Científica, Potencias y Raíces” ...............................................

Guía Resumen Prueba N°1 ................................................................................................................ 66 UNIDAD II: “CANTIDADES PROPORCIONALES” ......................... ...................................... ......................... ............86 Material de Estudio Guía N°5: .......................................................................................................... 86 Guía de Estudio N°5: “Razones” ...................................................................................................... 93

Material de Estudio Guía N°6: ........................................................................................................ 104 Guía de Estudio N°6: “Trabajando con Proporciones” ............................................................... ............................................................... 111

Material de Estudio Guía N°7: ........................................................................................................ 124 Guía de Estudio N°7: “Aplicando Porcentajes” ........................................................................... 127

Guía Resumen Prueba N°2 .............................................................................................................. 143 UNIDAD III: “EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS” ........................ ..................................... ................. .... 160 Material de Estudio Guía N°8: ........................................................................................................ 160 Guía de Estudio N°8: “Evaluación de Expresiones Algebraicas” ............................................. ............................................. 163

Material de Estudio Guía N°9: ........................................................................................................ 177 Guía de Estudio N° 9: “Usando Símbolos para Representar Situaciones” ............................. ............................. 180 Material de Estudio Guía N°10: ...................................................................................................... 191 Guía de estudio N°10: “Planteando y Resolviendo Ecuaciones Lineales” ............................. ............................. 193

Guía Resumen Prueba N°3 .............................................................................................................. 204 Material de Estudio Guía N°11: ...................................................................................................... 219 Guía de estudio N°11: “Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones” ........................................ ........................................ 221

Guía Resumen Prueba N°4 .............................................................................................................. 242 Guía Resumen Examen .................................................................................................................... 257


Página 3


UNIDAD I: I:

“LOS NÚMEROS EN NUESTRA VIDA” VIDA ” Material de Estudio Guía N°1: “Números Enteros”

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El MCM de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes

Página 4




Página 5


Máximo Común Divisor (MCD) El MCD es el número más grande grand e por el cual dos o más número s e podrán dividir en forma exacta.

Página 6



Guía de Estudio N°1: “Números Enteros” 1. En un cierto día, a medianoche la temperatura es 0º. De las 12 a la 1 a.m., el termómetro registra un ascenso de 5 grados. Durante las horas 1 a 4 a.m., el termómetro registra un descenso de 8 grados, ¿cuál es la temperatura a las 4 a.m.? 2. La familia González compró un terreno en una localidad que está a 13 metros sobre el nivel del mar. mar. Contrató una compañía para que construya un pozo y así abastecerse de agua. Después de perforar 18 metros encuentran el líquido, ¿qué tan profundo es el pozo respecto del nivel del mar? 3. Una pelota rueda, cae de una mesa y sigue la trayectoria que se indica en la figura. Suponga que la altura máxima que alcanza la pelota en cada rebote es 1 pie menos que el rebote anterior.

a) Determine la distancia vertical total que recorre la pelota. b) Si se considera que la dirección de la pelota hacia abajo es negativa, y positiva hacia arriba, ¿cuál fue la distancia vertical total que recorrió, desde su punto inicial?

4. La distancia entre las ciudades Santiago y Lota es de 520 km. Un automóvil sale sal e desde Santiago en dirección a Lota a una velocidad media de 65 km/h. ¿Cuántas horas se demora en realizar el trayecto?


Página 7


5. José viaja con frecuencia a Concepción por motivos laborales. En uno de sus viajes debe desplazarse por varias varias zonas rurales, las cuales cuales tienen poca locomoción locomoción colectiva por lo que decide arrendar una camioneta. Para este efecto, cotiza en dos empresas, “Seguridad -Siempre” y “Rápido&Furioso” en las que los valores a pagar (en miles de pesos) dependen de la cantidad de días en que utilizará el vehículo según muestra el siguiente gráfico. Valor a pagar (Miles de $)

N° de días

a) Sí José se queda en Concepción 16 días, ¿cuánto debería pagar en la empresa “Seguridad Siempre”?

b) ¿En qué empresa pagaría menos si arrienda la camioneta por 10 días? c) ¿Cuánto días debería arrendar la camioneta para que el costo sea el mismo en ambas empresas? d) ¿Bajo qué condiciones le conviene a José contratar en la empresa “Rápido&Furioso”?

6. A partir de la información mostrada en la gráfica contesta las siguientes preguntas.

a) Cuál es el gasto total en US$ entre entre útiles, textos y ropa escolar escolar en el mes de Marzo? Marzo? b) ¿Qué ítem presenta la menor diferencia entre Marzo y el resto de los meses?

Página 8



Selección Múltiple 7. Una empresa que se dedica al remate de propiedades y automóviles publica en la prensa el siguiente anuncio:

Como el valor mínimo inicial no interesó mucho al público, este fue rebajado en $350.000. Al iniciarse el remate el primer postor ofreció $50.000 sobre el nuevo valor mínimo, el segundo postor ofreció $20.000 más que el primer postor, el tercero ofreció $30.000 más que el segundo postor y finalmente se adjudica el remate del auto un cuarto postor que paga un total de $3.177.117. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a) El valor del automóvil al inicio del remate es de $2.920.117 b) El tercer postor ofreció $ 3.020.117 c) El nuevo dueño del auto ofreció $187.000 más que el segundo postor d) El segundo postor ofrece $2.940.117 e) El dueño finalmente cancela $257.000 más sobre el valor inicial del automóvil. Responda las preguntas 8 y 9 con la siguiente afirmación: Dos trenes arrancan de la misma estación al mismo tiempo. Uno de ellos viaja a 78 km/h y el otro a 90 Km/h.

8. Si los dos trenes viajan en sentidos opuestos, ¿qué tan lejos estarán uno de otro en tres horas? a) 78 km b) 90 km c) 168 km d) 336 km e) 504 km


Página 9


9. Si los dos trenes viajan en el mismo sentido, ¿qué tan lejos estarán uno de otro en dos horas? a) 12 km b) 24 km c) 36 km d) 168 km e) 336 km 10. La familia Leiva abrió una cafetería. Sus ingresos y egresos durante los primeros tres meses de operación aparecen en la siguiente gráfica:

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) b) c) d) e)

En febrero hubo un ingreso de $260.000 En marzo la pérdida fue de $885.000 En el mes de enero se registra utilidad Al finalizar los primeros tres meses, la cafetería presenta pérdida de $255.000 La diferencia entre los ingresos y egresos es de $255.000.

11. Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta -16 (no existe piso cero). ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa? a) El ascensor baja 361 pisos b) El ascensor baja 360 pisos c) Sí el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos, se demorará en total 72 segundos d) Si cada piso tiene una altura de 3 metros, el ascensor recorre 1.080 metros. e) Si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos, se demoraría 1,2 minutos.

Página 10



12. Siete hermanos compran una propiedad en $24.062.500 dividiendo su costo en partes iguales. A los 5 años, venden la propiedad y cada uno de ellos recibe $5.055.000. ¿Cuánto ganó cada uno de ellos? a) $ 1.617.500 b) $ 2.715.357 c) $ 4.812.500 d) $ 5.055.000 e) $19.007.500 13. Francisco necesita comprar 4 neumáticos para su camioneta. Cada uno le cuesta $52.500 y pagará en 8 cuotas iguales, con un interés total de 30.000. ¿Cuál es el valor de cada cuota? a) $13.125 b) $26.250 c) $30.000 d) $41.250 e) $56.250 14. En una empresa frutícola, cada persona que trabaja en la revisión de los productos puede revisar 150 productos por hora. Si cada persona trabaja 8 horas diarias, ¿cuántos días se demorará una persona en revisar 10.800 productos? a) 9 días b) 18 días c) 19 días d) 36 días e) 72 días

Preguntas de Desarrollo 15. Andrea confeccionará collares para vender, tiene 25 perlas blancas, 15 azules y 90 plateadas. Debe hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre material. a) ¿Cuántos collares iguales hará? b) ¿Qué número de perlas de cada color tendrá cada collar?


Página 11


16. Dos corredores parten juntos de un mismo punto de una pista circular. El primero tarda 1 minuto y 30 segundos en dar una vuelta; el segundo tarda 1 minuto y 12 segundos en cada vuelta. ¿Cuánto tardarán en coincidir nuevamente en el punto de partida? 17. Se necesita colocar baldosas en el patio de la casa de Roberto quién hizo un dibujo con las dimensiones.

Tiene 2 alternativas; comprar baldosas grandes de 50 cm x 50 cm que vienen en cajas de 10 unidades o baldosas pequeñas de 25 cm x 25 cm que vienen en cajas de 15 unidades. Tipo baldosa Grande Pequeña

Precio por caja $9.000 $3.200

a) ¿Cuántas cajas de baldosas grandes se necesitarían para cubrir todo el patio? b) ¿Cuántas cajas de baldosas pequeñas se necesitarían para cubrir todo el patio? c) ¿Qué tipo de baldosa es más conveniente según precio?, si se opta por este precio y solo se venden las baldosas por caja, ¿qué valor se debe pagar?

Página 12



18. Don Carlos se dedica a instalar pasto y debe instalarlo en tres casas. Los patios de las casas son rectangulares y las dimensiones de los patios son las siguientes: Patio Casa 1: 3metros de ancho X 5metros de largo Patio Casa 2: 4metros de ancho X 6metros de largo Patio Casa 3: 2metros de ancho X 4 metros de largo Al cotizar, Don Carlos determinó que el valor del metro cuadrado de pasto más económico es $2.250 a) ¿Cuál es el total que debe invertir para comprar todo el pasto que necesita? b) Se sabe que Don Carlos cobra en la primera casa un total de $78.750 por el trabajo vendido, que contempla el costo del pasto y la mano de obra, ¿cuánto cobra por la mano de obra (por cada m2)? c) ¿Cuál es el total que cobra Don Carlos a la Casa 2 y a la Casa 3 por el trabajo vendido considerando que el valor de la mano de obra es siempre el mismo? mi smo?

19. Andrés compra libros en una tienda en la que a sus clientes habituales les da la opción de cambiar un libro por otro, sin tener que cancelar una diferencia. Andrés hará uso del beneficio anterior cambiando libros cuyo precio original fue de 8 dólares cada uno, por otros de 12 dólares. ¿Cuál es el menor número de libros que se podrá cambiar, sin que le sobre ni falte dinero?


Página 13


20. El

menú

del

corrientes

“El

restaurante Corrientazo”

de

comidas

ofrece

la

posibilidad de elegir como plato de fondo carne, pollo o pescado; acompañado de ensalada o arroz y de postre pastel o helado. Si no se permite omitir una opción:

a) ¿Cuántos menús diferentes ofrece el restaurante? b) Si a Diego no le gusta el pescado, ¿a cuántas opciones de menú puede optar? 21. Una logia de 156 cm por 96 cm debe cubrirse con cerámicas cuadradas y del mayor tamaño posible. ¿Cuál será la dimensión de estas cerámicas para no tener que romper ninguna? 22. Se quieren quieren dividir 3 piezas piezas distintas distintas de tela tela de 28 m, 35 m y 49 m en trozos iguales y los más grandes posibles. ¿Cuál es la longitud de cada parte? 23. Un comerciante solicita un presupuesto de un mismo producto a tres diferentes distribuidoras, la información que le enviaron se resume en la siguiente tabla: Distribuidora Distribuidora Nº1 Distribuidora Nº2 Distribuidora Nº3

Valor al Detalle $3.100 $2.900 $3.150

Valor x Mayor $3.000 $2.850 $3.050

Al mandarle el presupuesto se señala que en la primera tienda los valores al por mayor son aplicables cuando se compran más de 20 unidades, en la segunda distribuidora cuando se compran más de 30 unidades y en la tercera distribuidora cuando se compran más de 15 unidades. Si el comerciante desea comprar 25 unidades del producto: a) ¿Dónde le conviene realizar el pedido al comerciante?, ¿qué tipo de valor cancela en esta distribuidora? b) ¿Cuánto cancela por su pedido?

Página 14



Selección Múltiple 24. Para realizar una convivencia se dispone de 320 bebidas individuales, 260 completos, 120 empanadas y 80 churrascos. ¿Cuál es la máxima cantidad de personas que pueden participar en esta convivencia de modo que a cada participante, le corresponda una cantidad entera de cada producto disponible?

a) b) c) d) e)

2 4 8 10 20

25. Calcula la longitud total de los tres cordeles independientes que sujetan la caja de la siguiente figura, por cada cordel se deben considerar 10cm adicionales para el nudo que lo sujeta.

a) 140 cm b) 340 cm c) 480 cm d) 490 cm e) 510 cm 26. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados por cada 200 m que se avanza. ¿A qué qué altura habrá que ascender para alcanzar -15º C, si el punto de partida está a 300 m y la temperatura es de 5º C?

a) 2.000 metros b) 2.300 metros c) 3.000 metros d) 3.200 metros e) 4.000 metros


Página 15


27. Los buses a Valparaíso salen de la estación cada 24 minutos, los buses a los Ángeles cada 20 minutos y los buses a la Serena cada 10 minutos. Si los tres buses salen a la misma hora, ¿cuántos minutos después de la primera salida, parten juntos nuevamente? a) b) c) d) e)

60 80 120 180 240

28. Juan quiere pintar su pieza y para ello compró dos brochas a $678 cada una, dos tarros de pintura uno pequeño y otro grande por el que pagó $2.642. Si en total canceló $6.050, ¿cuánto le costó el tarro pequeño? a) b) c) d) e)

$2.052 $2.730 $3.408 $3.998 $5.372

29. Sara tiene en el bolsillo $1.560, Jorge tiene $690 menos que Sara y el primo de ella tiene $1.050 más que Jorge. El padre de Jorge tiene $5.600 más que el primo de Sara. ¿Cuál es la diferencia entre lo que tiene Sara y el padre de Jorge? a) b) c) d) e)

$870 $1.920 $4.040 $5.960 $7.520

30. El panel de control de un camión de basura registra que al finalizar el mes de Marzo ha recorrido un total 154.422 kilómetros. Si el camión trabaja 24 días al mes y cada día de trabajo recorre 42 kilómetros, ¿cuántos kilómetros registra el tablero al final del mes de Diciembre? a) b) c) d) e)

Página 16

159.462 162.486 163.494 164.502 166.518



Respuestas Guía de estudio N°1: “Números Enteros” 1. A las 4 a.m la temperatura es de -3ºC

17.

2. El pozo tiene 5 metros de profundidad con respecto al nivel del mar 3.

a) La distancia vertical es de 9 pies b) La distancia vertical neta es -3 pies

4. Se demora 8 horas en realizar el trayecto 5.

6.

15.

a) Debería pagar $120.000 en la empresa Seguridad-Siempre b) Pagaría menos en la empresa “Seguridad-Siempre” c) Si arrienda la camioneta por 8 días es costo será el mismo en ambas empresas d) Cuándo el tiempo sea menor o igual a 8 días

18.

a) Se necesitan 17 cajas de baldosas grandes b) Se necesitan 44 cajas de baldosas pequeñas c) Le conviene comprar la baldosa pequeña, cancelando un total de $140.800 a) Don Carlos invierte $105.750 b) Por mano de obra cobra $45.000 y por metro cuadrado $3.000 c) En la segunda casa cobra $126.000 y en la casa tres cobra $42.000

19. Se deben cambiar 3 libros de 8 dólares por 2 libros de 12 dólares 20.

a) Se pueden formar 12 diferentes menús b) Si no le gusta el pescado tiene 8 diferentes menús

a) El costo de útiles en Marzo en las categorías señaladas es de 141 millones de dólares. b) Seguros de Autos con una diferencia de 17 millones de dólares

21. La dimensión de la cerámica debe ser 12 cm x 12 cm

7 8 9 10 11 12 13 14 D E B E A A C A

23.

a) Hace 5 collares iguales. b) Cada collar tiene: 5 blancas – 3 azules – 18 plateadas

22. Cada parte mide 7 metros a) Le conviene comprar en distribuidora 2 al detalle b) Por el pedido cancela $72.500

la

24 25 26 27 28 29 30 E E B C A D C

16. Vuelven a coincidir, cuando ambos llevan recorridos 360 segundos = 6 minutos


Página 17


Material de Estudio Guía N°2: “Partes de un todo” todo” Para resolver ejercicios contextualizados es importante tener en cuenta las siguientes recomendaciones:

1. Leer completamente el enunciado del ejercicio. 2. Identificar los datos proporcionados en el enunciado. 3. Identificar “Qué es lo que debo Resolver”. Resolver” . 4. Identificar cuál (es) operaciones matemáticas debemos aplicar para poder resolver el ejercicio, es decir, crear un plan de acción. 5. Poner en práctica el plan de acción diseñado. 6. Analizar la pertinencia del resultado obtenido. 7. Responder la pregunta formulada en el enunciado.

Ejemplo: Laura contrata en una empresa el servicio de Triple Pack Hogar Digital que tiene un valor de $39.990 mensual. Laura cancelará 2/3 del total, del total, el resto lo cancelará Jorge su marido, ¿Qué cantidad de dinero cancelará Laura mensualmente por contratar este servicio?

Es importante reconocer que en matemática existen algunas palabras claves, que nos permitirán resolver un determinado ejercicio. Una de ellas es la palabra “Del o De”:

Del o De

Página 18

Significa

Multiplicar




Página 19


Con calculadora: Esta calculadora es amigable con el usuario ya que tiene “ modo matemático”, es decir,

escribe fracciones hacia abajo.

Laura cancela 2/3 del total La combinación de teclas es la siguiente 2a3$O39990

Tecla de fracción

Normalmente nos encontraremos con calculadoras que tienen un modo de escritura lineal, en este caso el modo de realizar la operación anterior es levemente diferente: La combinación de teclas es la siguiente 2a3O39990

Página 20



Guía de Estudio N°2: “Partes de un todo” 1. Juan vivió 60 años. ¿Qué fracción de un siglo vivió? 2. Rocío sale a caminar todas las mañanas. En 1/4 de hora recorre 1/5 del total de su recorrido, ¿cuántas horas demora en el trayecto total? 3. Lucas compra una bebida de 1 1/4 litros y la reparte entre él y sus 9 amigos. ¿Cuántos litros le corresponde a cada uno? 4. En una fiesta se repartieron 2 tortas, dividiendo cada una de ellas en octavos con lo que alcanzó un trozo para cada uno de los asistentes. ¿Cuántas personas había en la fiesta? 5. Para su cumpleaños, Luis reparte la torta de tal manera que 1/8 es para su mamá, 3/8 para el papá, 1/4 para su abuelo y el resto lo reparte en partes iguales para él y sus tres amigos. ¿Qué fracción del total de la torta le corresponde a Luis? 6. Una piscina contiene 1.200 litros cuando está llena hasta 1/4 de su capacidad. a) ¿Cuál es la capacidad total de la piscina? b) ¿Cuántos litros le faltan para llenarla? 7. Las ciudades de Santiago y Viña del del Mar están a una distancia de 120 km. Un automovilista sale desde Santiago en dirección a Viña pero cuando ha recorrido 7/12 partes del trayecto, su vehículo sufre un desperfecto que lo obliga a devolverse a la estación de servicio más cercana que se encuentra a 35 km de Santiago, ¿cuántos kilómetros recorrió en total hasta llegar a su destino?


Página 21


El siguiente gráfico te servirá para las preguntas 8 y 9

8. ¿Qué fracción del total de los gastos de Marcela corresponde a cada uno de los ítems? 9. Si el sueldo recibido por Marcela en el mes de Noviembre es de $960.000. a) ¿Cuánto dinero gasta en alimento? b) ¿Cuánto dinero gasta en Pasajes y vestuario? c) ¿Cuánto dinero gasta entre arriendo y deudas?

Selección Múltiple 10. Una empresa tiene un total de 256 trabajadores de los cuales 96 pertenecen a Fonasa y el resto pertenece a Isapres. ¿Qué parte del total de los trabajadores representa a los afiliados a Isapres? a) b) c) d) e)

5/8 3/8 3/4 3/5 3/11

11. Una joven muy ordenada ahorra al inicio de cada mes $12.000 de su mesada. Y gasta lo restante que corresponde a 2/3 del total. ¿Cuánto dinero recibe al inicio de cada mes? a) b) c) d) e)

Página 22

$24.000 $36.000 $48.000 $54.000 $72.000



12. Una botella de bebida contiene 1 3/4 litros del líquido. Se saca la bebida necesaria para llenar 5 vasos de 1/4 litro cada uno. ¿Cuántos litros quedan en la botella? a) b) c) d) e)

5/4 1 3/2 1/4 2/4

13. Julio ganó $550.000 en un concurso. Gastó la quinta parte para pagar sus estudios y la cuarta parte de lo que le quedaba en reparar su auto. ¿Cuánto dinero le queda? a) b) c) d) e)

$110.000 $137.500 $302.500 $330.000 $440.000

14. En una ciudad de Chile hay 5.467 vehículos de locomoción colectiva que equivalen a 7/16 del parque automotriz en esa zona. ¿Cuál es el total de vehículos en la ciudad? a) b) c) d) e)

2.392 4.523 12.496 16.526 18.325

15. Raúl reparte $620.000 entre sus tres hermanos. Felipe recibe 2/5 del total, Javiera recibe 1/4 del resto y Pedro recibe lo que queda. Si Pedro gastó 1/3 de su dinero en pagar su cuota de un plasma, ¿Con cuánto dinero se quedó? a) b) c) d) e)

$124.000 $139.500 $186.000 $232.500 $248.000


Página 23


16. Claudio puso un negocio de comida rápida. En el

primer mes de funcionamiento ganó $615.200, en el segundo ganó el doble que en el primero; en el tercer tercer mes ganó el triple triple que que en el segundo y en el cuarto mes perdió 2/5 de las ganancias totales registradas en los tres primeros meses. ¿Cuál es el saldo final después de los cuatro meses

a) b) c) d) e)

$3.322.080 $3.691.200 $3.998.000 $4.306.400 $5.536.800

Utiliza la siguiente información para las preguntas 17,18 y 19. Daniel quiere pintar las cuatro paredes de su pieza, determinó que la superficie de la puerta es 1/6 de la pared y que la superficie de la ventana es 1/5 de la pared.

17. Si sólo se quiere pintar la puerta, ¿Cuántos metros cuadrados habría que pintar? 18. ¿Cuántos metros cuadrados se deben pintar en la pared que tiene la ventana? 19. ¿Cuántos metros cuadrados debe pintar en total, contabilizando la puerta? 20. Una pelota de goma cae desde una altura de 80 cm. sobre el piso, luego que rebota se eleva a una altura igual a 3/4 de la altura que cayó. ¿A cuántos centímetros se eleva después del primer rebote? ¿A cuántos centímetros se eleva después del segundo rebote?

Página 24



21. María gana como secretaria $240.000 líquidos. Gasta la cuarta parte en alimentarse; 4/5 del resto en arriendo, 1/2 de lo que sobra lo gasta en pasajes y vestuario y el resto lo gasta en pago de deudas. ¿Cuánto dinero gasta en cada una de las cosas mencionadas? Selección Múltiple 22. Juan realizó una asesoría a una empresa de telecomunicaciones. Gastó 2/5 de lo que le pagaron y le quedaron $392.520. ¿Cuánto dinero recibió Juan por su trabajo? a) b) c) d) e)

$392.520 $523.360 $588.800 $654.200 $981.300

23. En la casa de Laura se consumen 80cm 3 de gas por cada hora y en promedio promedio lo utilizan por 4 horas diarias. diarias. El costo de de cada cm3 de gas es de $3. Si lo que Laura cancela por por el gas en un mes de 30 días corresponde a 1/9 de su ingreso mensual, ¿cuál es el ingreso que recibe mensualmente? a) b) c) d) e)

$21.600 $28.800 $194.400 $230.400 $259.200

24. Enrique invierte en tres tipos de acciones A, B y C. En las acciones de tipo A invirtió $140.000, en las de tipo B invirtió $84.000 y en las de tipo C invirtió $98.000. Después de un semestre obtuvo ganancias por 3/8 de lo invertido en acciones tipo A, 1/6 de lo invertido en acciones tipo B y 5/7 de lo invertido en acciones tipo C. Para el siguiente semestre, decide invertir 3/5 del dinero ganado en el periodo anterior en acciones tipo D y en esta transacción finalmente perdió 1/6 del dinero invertido. ¿Cuánto dinero ganó Enrique considerando todas las inversiones que realizó en ambos semestres? $54.600 a) $68.250 b) $81.900 c) $122.850 d) $136.500 e)


Página 25


25. Luis tenía asegurada su camioneta 4x4 en una empresa y sufrió un accidente que implicó la pérdida total de su vehículo. Por esta razón la aseguradora le entrega $5.900.000, lo que corresponde a 5/8 del valor original de la camioneta. ¿Cuál era el valor original de la camioneta de Luis? a) b) c) d) e)

$3.540.000 $4.440.000 $6.140.000 $9.440.000 $15.340.000

26. Luis corre 8 Km por día, para ello realiza trayectos cortos de 1/4 km. ¿Cuántos trayectos cortos debe realizar para completar su recorrido? a) b) c) d) e)

2 8 16 24 32

27. Un grupo de amigos compró 4 pizzas que dividieron en trozos tales que cada uno representara 1/6 de cada pizza. Si cada persona pudo comer un trozo. ¿Cuántas personas había en esa reunión? a) b) c) d) e)

4 6 24 36 48

28. Una empresa distribuye un total de $480.600 entre sus tres mejores trabajadores, según las ventas que realizaron durante el primer semestre del año. Al primer trabajador le corresponde 3/8 del total, al segundo le corresponden 2/5 del primero y al tercero le corresponde el resto. ¿Cuánto dinero recibe el tercer trabajador? t rabajador? a) b) c) d) e)

Página 26

$72.090 $120.150 $180.225 $192.240 $228.285



29. Ana quiere cambiar las cerámicas de su comedor, el cual tiene 8 metros de largo y 5 metros de ancho. Eligió cerámicas cuadradas de 0,4 metros de lado. En el lugar donde las cotizó, le indicaron que las cerámicas sólo se venden en cajas de 10 unidades y que el valor de cada caja es de $5.800. Al sacar las cuantas de lo que debe cancelar, Ana organizó el siguiente plan de pago:

-

1/4 del total lo cancelará al contado. 1/6 de lo que queda lo cancelará con cheque a 30 días El resto lo cancelará con la tarjeta de una casa comercial

¿Cuánto canceló con la tarjeta de la casa comercial? a) $36.250 b) $54.375 c) $58.000 d) $90.625 e) $108.750

30. Felipe realizó el recuento de las ventas en su negocio y se dio cuenta que en el mes de Marzo vendió 6/5 del mes anterior y en Febrero vendió 5/4 del mes anterior. Si en Enero vendió $4.500.000 ¿a cuánto ascendieron las ventas en el mes de marzo? a) b) c) d) e)

$4.320.000 $5.625.000 $6.750.000 $7.776.000 $11.025.000


Página 27


Respuestas Guía de estudio N°2: “Partes de un todo” 1. Vivió 3/5 2. Demora 5/4 horas o 1 1/4 horas 3. A cada uno le corresponde 1/8 litro 4. En la fiesta hay 16 personas 5. A cada uno le corresponde 1/16 partes de la torta 6.

a) 4.800 litros b) 3.600 litros

7. 190 kilómetros 8.

9.

a) b) c) d) e)

Alimento= 3/12 = 1/4 Arriendo = 2/12 = 1/6 Pasajes y vestuario = 4/12 = 1/3 Deudas = 1/12 Ahorro = 2/12 = 1/6

a) $240.000 b) $320.000 c) $240.000 10 11 12 13 14 15 16 A B E D C C A

17. 1,75 18. 5,712  19. 33,852  20. Primer rebote 60 cm y segundo rebote 45 cm 21. $60.000 en alimento, $144.000 en arriendo , $18.000 en pasajes y $18.000 en deudas 22 23 24 25 26 27 28 29 30 D E D D E C E D C

Página 28



Material de Estudio Guía N°3: “Aplicaciones de los Números Decimales” Transformación de Decimal a Fracción Podemos transformar un número fraccionario a su representación decimal o viceversa, pero…. ¿Cómo podemos hacer esa transformación?

Para responder esta interrogante, te invito a continuar con la revisión. Para transformar un número decimal a su representación fraccionaria, fraccionaria, primero debes reconocer de qué tipo de número decimal se trata. Estos pueden ser:

Decimal Finito: Un número decimal se clasifica como finito, cuando al realizar la división entre el numerador y el denominador, el resto que se obtiene es cero.

2 

5

2:5



0,4

20 0//

Resto 0

Decimal Periódico: Un número decimal se clasifica como periódico, cuando al realizar la división entre el numerador y el denominador, el resto que se obtiene se repite infinitamente.

1 

3

1: 3



0,333......

10

1 

10

3

Resto

0,333......



0, 3

10.... En este valor el período es el número 3


Página 29


Decimal Semi - Periódico: Periódico: Un número decimal se clasifica como semi periódico, cuando al realizar la división entre el numerador y el denominador, antes de que comience el período hay valores libres (fuera del período), llamado ante período. 7 30



0,2333....



0,23

En este número, se puede reconocer: 2: Ante período 3: Período

Ahora ya sabes cómo reconocer cada tipo de número decimal, esto es lo primero que debes hacer para para transformarlo transformarlo a su representación representación fraccionaria 

Transformación de un Número Finito a Fracción:

Me pregunto cómo se realiza el proceso de transformar un número finito a fracción

Veamos un ejemplo: Para transformar el número 1,42 a su representación fraccionaria, debes seguir las siguientes reglas:

Primera Regla

Segunda Regla

Anotar en el numerador de la fracción, el número entero que se genera al borrar la coma del número original:

En el denominador se anota una potencia de 10. Para saber cuál es esa potencia, se deben contar las cifras decimales que tiene el número.

142

Como el valor que se quiere transformar es el número 1,42 y tiene dos cifras decimales, la potencia de 10 asociada al denominador será 10 2 = 100 142

Obtenemos:

Página 30


100


Tercera Regla Simplificar la fracción que se obtiene, si es que se puede:

142 100 Así:



71 50 1,42 = 71 50

Transformación de un Número Periódico a Fracción:

No era tan difícil como lo pensé…

Ahora me pregunto cómo se transforma el número periódico en fracción.

Veamos un ejemplo Transformaremos el número periódico 2, 42 a fracción.

Para eso debes seguir las siguientes reglas.

Primera Regla Anotar en el numerador de la fracción, el número número entero que se genera al borrar la coma y el período del número original, además, se debe restar a este valor el número que queda antes del período:

242 - 2

Segunda Regla

Tercera Regla

En el denominador debes anotar un 9 por cada número que está en el período. Como el número que se quiere transformar es 2, 42 , y éste tiene dos cifras bajo el período. En el denominador debes anotar el valor 99. 242 - 2 99

Si es posible, simplifica la fracción que se obtiene:

240 





99



99


Página 31


Por lo tanto la fracción buscada es:

2, 42



80 

33

Transformación de un Número Semi Periódico a Fracción: Veamos un ejemplo. Transformaremos el número semi-periódico 6,84̅ a su representación fraccionaria. Para eso debes considerar las siguientes reglas:

Ahora me surge la duda de cómo se transforma un número semiperiódico en fracción.

Primera Regla: Anotar en el numerador de la fracción, fracción, el número entero entero que se genera al borrar la coma y el período del número original, además, se debe restar a este valor el número que queda antes del período: 684  68

Segunda Regla: En el denominador se anota un 9 por cada número que está bajo el período, y tantos 0 como cifras tenga el ante período. El número que se quiere transformar es 6,84 , éste tiene una cifra bajo el período y una cifra en el ante período. Por lo tanto, en el denominador debes anotar el valor 90. 684 - 68

616 

90

90

Tercera Regla: Simplifica la fracción que se obtiene, si es posible: 308 45

Página 32



Fácilmente puedes simplificar una fracción ingresándola a tu calculadora, ella devolverá la simplificación, siempre que exista de lo contrario devolverá el mismo valor ingresado.

Ahora veremos cómo a partir de la fracción, generamos su representación decimal. Para poder hacer esta transformación, debes realizar la división entre el numerador y el denominador de la fracción. Veamos unos ejemplos:

Ejemplo Nº2:

Ejemplo Nº1:

32 

9

32 : 9



3,555..... .

32 

9

3, 5

50 50

Decimal Semi Periódico

Decimal Periódico

50....

Ejemplo Nº3:

Ejemplo Nº4:

Decimal Periódico


Decimal Periódico

Página 33


Con la calculadora sería: En ambos casos ingresamos normalmente la fracción, la calculadora nos devolverá su forma fraccionaria o mixta, pero usando las teclas que se indican obtendremos el valor decimal.

Página 34



Guía de Estudio N°3: “Aplicaciones de los Números Decimales” 1. Un ciclista ha recorrido 145,8 km en una etapa, recorrió 136,65 km en otra etapa y recorrió 162,62 km en una tercera etapa, ¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer si la carrera es de 1.000 km en total? 2. De un depósito con agua se sacan 184,5 litros y después se sacan 128,75 litros, finalmente se sacan 84,5 litros, al final quedan en el depósito 160 litros, ¿Qué cantidad de agua había en el depósito? Utilizar FIX 1 3. Se tienen 240 cajas con 25 bolsas de café cada una, si cada bolsa pesa 0,62 kg., ¿Cuál es el peso total de las 240 cajas de café?

4. Si un Kilo de paltas cuesta $1.890, ¿Cuánto se debe pagar por 0,750 kilos?

5. De acuerdo a análisis químicos, se sabe que algunos de los componentes del plasma sanguíneo expresados en gramos por litro es:

A un laboratorio se le hizo entrega de 10 litros de plasma sanguíneo. Calcula la cantidad de: Sales minerales, Urea y Ácido úrico que contiene la muestra.


Página 35


6. Eva sigue un régimen de adelgazamiento y no puede pasar en cada comida de 600 calorías. Ayer almorzó: 125 gr. de pan, 140 gr. de espárragos, 45 gr. de queso y una manzana de 130 gr.

¿Respetó Eva su régimen?

7. Un hombre sale a andar en bicicleta en la mañana y en la noche, en la mañana recorre en bicicleta 15,8 km en una hora, y en la tarde recorre 12,4 km en una hora, si en la mañana dedica 1,5 1,5 horas y en la tarde 1,2 horas a andar en bicicleta, ¿Cuántos kilómetros recorre en total en un día? Utilizar FIX 1

8. En el taller de un mecánico están amontonadas varias láminas de cobre: una de 0,7 mm, tres de 2,4 mm, cinco de 1,75 mm y dos de 0,85 mm. ¿Qué altura tiene la pila de láminas? Utilizar FIX 1

Página 36



9. AUTO DE CARERRA

a) ¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de partida hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pista? b) ¿Dónde se registró la velocidad más baja durante la segunda vuelta?, ¿Qué velocidad se registra? c) ¿Qué se puede decir sobre la velocidad del auto entre el Km. 2,6 y 2,8?

10. El PIB (Producto Interno Bruto) representa la suma de todos los bienes y servicios finales producidos en un país durante un año, ya sea por nacionales o por extranjeros residentes.

a) ¿Cuál es el porcentaje de variación del PIB P IB acumulado desde 1997 hasta el 2009? b) ¿Cuál es promedio de porcentaje de variación de los últimos 10 años? (Promedio: división entre la suma de los números y la cantidad de números) c) ¿Cuáles son los tres años con mayor crecimiento del PIB?


Página 37


Selección Múltiple

11. Un edificio tiene 14 pisos, cada piso tiene una altura de 2,3 metros, ¿Cuál es la altura del edificio? a) 17,2 b) 29,9 c) 32,2 d) 44,8 e) 196

12. Don Jorge vende cemento a empresas constructoras, las ventas registradas durante cuatro meses son las siguientes: primer mes 18,2 Ton, segundo mes 21,4 Ton, tercer mes 16,6 Ton y cuarto mes 14,6 Ton, ¿Cuál es el promedio de toneladas de cemento vendidas? a) 8,85 b) 17,7 c) 18,7 d) 35,4 e) 70,8 13. Una empresa chilena dedicada al procesamiento del salmón, cultiva en sus piscinas de crecimiento dos tipos de salmón: Salmón Atlántico y Salmón Coho, en promedio el Salmón Atlántico pesa 2,4 kilos y Salmón Coho pesa 2,8 kilos. La empresa recibe un pedido de 82 unidades de Salmón Atlántico y 76 unidades de Salmón Coho. Para poder despachar el pedido, se debe introducir el salmón en cajas especiales que conservan en frío, las cuales tiene una capacidad de 15 kilos cada una, ¿Cuántas cajas se deben despachar para cumplir con el pedido, considerando que cada tipo de salmón va en cajas distintas? a) 13 b) 14 c) 15 d) 29 e) 42

Página 38



14. Una empresa dedicada al rubro de alimentación de animales tiene un total de 7.200 kilos de alimento para perros, los cuales se envasan en bolsas de 4,5 kilos. También tiene 5.400 kilos de alimento para gato, los cuales se envasan en bolsas de 2,5 kilos, ¿Cuántas bolsas en total se deben envasar? a) 1.600 b) 1.880 c) 2.160 d) 3.760 e) 5.360

15. Una persona recorre 5,12 metros cada 5 minutos, ¿Cuántos metros recorrerá en 1,5 horas? Utilizar FIX 1 a) 7,7 b) 46,1 c) 92,2 d) 115,2 e) 460,8

16. La familia Ortiz utiliza aproximadamente 878,4 litros de agua diarios, entre todas las labores hogareñas, ¿Cuántos litros de agua utilizan en un mes? (Considerar un mes de 31 días) a) 6.807,6 b) 13.615,2 c) 26.352 d) 27.230,4 e) 27.540,4

17. La temperatura a las 20:00 es de 10,4ºC, se sabe que la temperatura baja 0,26ºC cada 16 minutos, ¿Cuál será la temperatura que se registra a las 23:00? Utilizar FIX 1 a) −0,8 b) 2,9 c) 7,5 d) 8,5 e) 9,6


Página 39


18. Una empresa confecciona cables de conexión telefónica, los cuales son vendidos en rollo de 75,4 metros cada uno. Le encargaron a la empresa 16 rollos de cable de conexión, ¿Cuántos metros en total fueron entregados? a) 1.192 b) 1.200 c) 1.206,4 d) 1.216 e) 1.222,4

19. La dueña de un negocio compra 100 kilos de lentejas y decide envasarlos sólo en bolsas de 0,5 kg, cada bolsa la venderá a $2.100, ¿Cuánto recaudará la dueña del negocio con la venta de todas las bolsas de lentejas? a) $105.000 b) $210.000 c) $240.000 d) $400.000 e) $420.000

20. El rendimiento promedio de un cierto auto en carretera es de 14,5 Kilómetros por cada litro de gasolina, es decir, con un litro de gasolina puede recorrer 14,5 Km. Si en un determinado momento el estanque contiene 9,8 litros de gasolina. ¿Cuantos kilómetros como máximo alcanzará a recorrer el auto con la cantidad de gasolina que tiene en su estanque? a) 1,5 b) 24,3 c) 71,1 d) 142,1 e) 284,2

Página 40



21. Laura dispone cada semana de $6.000 para comprar bencina. Si el precio del combustible es de $789 por litro. ¿Para cuántos litros de bencina mensualmente le alcanza? Utilizar FIX 1 a) 7,6 b) 22,8 c) 30 d) 30,4 e) 32

22. Andrés tiene una camioneta para hacer fletes en la región donde vive. Andrés no acepta traslados de más de 112,6 kilómetros de distancia y cobra $415 por cada kilómetro recorrido. Durante una semana realizó dos viajes de 86,4 kilómetros y tres viajes de 108,52 kilómetros. Además decidió aceptar un traslado equivalente a 128,2 kilómetros, pero le cobra a la persona $615 por cada kilómetro adicional, ¿Cuánto dinero en total recauda Andrés por esta semana de trabajo? a) $206.819 b) $253.963 c) $263.142 d) $272.736 e) $285.662 23. Rita es química y está envasando un nuevo perfume, reparte 2,5 litros en frasquitos para muestra gratis de 0,2 ml. ¿Cuántos frasquitos puede llenar? (1 litro = 1000 ml.) a) 500 b) 5.000 c) 10.000 d) 12.500 e) 25.000


Página 41


24. Un objeto es lanzado desde la azotea de un edificio de 15 pisos, cada piso tiene una altura promedio de 2,63 metros, excepto el hall del edificio que tiene una altura de 3,42 metros, ¿Cuántos metros en total recorre el objeto que fue lanzado? Utilizar FIX 1 a) b) c) d) e)

39,5 40,2 42,9 43,7 84,7

25. A partir de la encuesta sobre delincuencia contesta las preguntas.

Fuente: Cámara Fuente: Cámara Nacional de Comercio, Adimark-GFK, 2008. a) ¿Cuánto suman los porcentajes que aparecen en el gráfico? b) ¿Cómo explica que el total de porcentajes sea superior al 100%? c) ¿Qué porcentaje ha sido víctima de algún acto delictivo?

Preguntas de Desarrollo 26. Sergio compró en la vega verduras para su restaurant, compró 8 cajas de tomates, 6 cajas de paltas, 5 cajas de papas. Cada caja de tomates pesa 8,6 kilos, cada caja de paltas pesa 7,4 kilos y cada caja de papas pesa 6,2 kilos. La camioneta en la cual viaja Sergio, sólo puede transportar como máximo 250 kilos en total, si Sergio pesa 85,3 kilos, ¿Puede transportar en la camioneta todas las verduras que compró?, ¿Por qué?

Página 42



27. María quiere pintar algunas de las paredes de su casa y determino que dos de las paredes que quiere pintar miden 5,2 metros por 2,4 metros cada una y las otras dos paredes que quiere pintar miden 4,1 metros por 2,4 metros cada una. El maestro que contrato le indicó que con 1 tarro de pintura alcanza a cubrir 4,3m2. ¿Cuántos tarros de pintura deberá comprar María para poder pintar las paredes de su casa?

28. Luis y Carlos deciden participar en una corrida por la ciudad de Santiago representando a su empresa. La empresa donde trabajan decide contratarles un entrenador, que va tres veces a la semana y el entrenamiento dura 2,12 horas cada día. a) El entrenador es contratado por un mes y se le cancela $8.540 cada hora trabajada, ¿Cuál es el total cancelado por la empresa al entrenador durante este mes de entrenamiento? b) El día de la carrera Luis completó el recorrido en 4,72 horas y Carlos lo completó en 4,54 horas. La empresa para premiarlos, decide cancelarles un bono de $9.220 y $11.540 por cada hora de su recorrido, según orden de llegada ¿Cuál es el bono que recibe cada uno? c) Carlos llego en tercer lugar y el ganador de la carrera completó el recorrido en 4,14 horas, ¿Cuántos minutos le faltaron a Carlos para ganar la corrida?


Página 43


29. Área y Perímetro. Considerando que los ángulos de todas las figuras siguientes son rectos.

a) ¿Cuál de las figuras tiene mayor área? b) ¿Cuál de perímetro?

las

figuras

tiene

mayor

30. Una tortuga se desplaza 1,17 metros por cada minuto, ¿Cuántos metros habrá recorrido en 12 minutos y medio? Utilizar FIX1 a) 10,7 b) 11,3 c) 13,7 d) 14,6 e) 15,2

Página 44



Respuestas Guía de estudio N°3: “Aplicaciones de los Números Decimales” Decimales” 1. Faltan por recorrer 554,93 kilómetros. 2. En el depósito había 557,8 litros.

18 19 20 21 22 23 24 C E D D C D B

3. El peso total de de 3.720 kg.

25. a) 154,2%

4. Por 0,750kg de palta, se deben cancelar $1.418.

b) Significa que las personas encuestadas fueron víctimas de más de un acto delictivo.

5. Sales Minerales = 92,5 gramos; Urea = 3 gramos; Ácido Úrico = 0,3gramos.

c) 55,1%

7. En total recorre 38,6 kilómetros.

26. Si puede transportar todo lo que compró, ya que en total transporta 229,5 Kilos, sin pasar el máximo de la camioneta.

8. La pila de láminas tiene una altura de 18,4mm.

27. María debe comprar 11 tarros de pintura.

6. Sí, respetó su régimen, ya que solamente consumió 578,9 calorías.

9. a) Aproximadamente 1,3 Km b) La velocidad más baja la registró en el kilómetro 1,3 y fue de 60 Km/h

28. a) Al entrenador se le canceló $217.258.

c) Se puede afirmar que la velocidad aumenta.

b) Luis recibe un bono de $43.518 y Carlos recibe $52.392

10. a) 45,6%. b) 3,64% c) 1997 – 2004 – 2005

c) A Carlos le faltaron 24 minutos para ganar la corrida. 29. a) La figura I tiene la mayor Área. b) Todas tiene igual perímetro. 30.

Habrá

recorrido

14,6

metros.

11 12 13 14 15 16 17 C B D D C D C


Página 45


Material de Estudio Guía N°4: “Notación Científica, Científica, Potencias y Raíces” Notación Científica: Veamos la siguiente situación: Laura se demora 2,4 horas diarias en total, en los traslados desde desde la casa al trabajo y viceversa. a) ¿Cuánto tiempo en total invierte Laura en los trayectos durante un mes? (considerar 22 días de trabajo en un mes) b) ¿Cuántas horas de traslado registra Laura en total durante un año de trabajo? Expresa ambos resultados en notación científica Ahora verás cómo escribir el número 512.000.000 en su representación de notación científica, por ello debes seleccionar cuál será el valor de “a”, “a”,

1 <  < 10 Lo PRIMERO PRIMERO que que debes hacer es ubicar correctamente la coma en el número original, original, para generar un número que cumpla la regla anteriormente mencionada. Tienes varias opciones, revisémoslas a continuación:

Página 46



Para poder determinar el valor del exponente n, debes contar los espacios desde la coma que ubicaste hasta ubicaste hasta el final del número.

Opción Nº3: 5, 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (espacios) Así, se obtiene que los espacios contabilizados son 8, por lo que el valor de n de n es 8 es 8

Ahora recordemos la situación Inicial: a)

1 día 22 días

2,4 horas 2,4 x 22 = 52,8 horas


Por lo tanto, Laura destina un total de 52,8 horas 52,8 horas en los traslados durante un mes

Página 47


Por lo tanto la representación en notación n otación científica del valor 52, 8 es:

5 28 x 101 En las calculadoras existe una función “SCI” que nos devuelve un número en “Notación Científica” simplemente debemos señalar cuántos números queremos en pantalla, por

ejemplo: Ingresamos la operación y vemos el resultado, luego seleccionamos el modo “SCI”

Página 48



En todas las calculadoras, cuando utilizamos una función específica, ellas seguirán trabajando con esa función, por ello siempre debemos volverla a modo “norm” “norm” (normal (normal 1) opción “1”.

Retomemos la situación pendiente: ¿Cuántas horas de traslado registra Laura en total durante un año de trabajo? b)

1 Mes 1 Año

52,8 horas 52,8 x 12 = 633,6 horas

Por lo tanto la representación en notación científica del valor 633,6 es:

6,336 x 102

Potencias: Primero:

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces

4

5



6

44444 3





1.024

6  6  6  21 216 6

Segundo: El número que multiplicamos se llama Base, Base, el número de veces que multiplicamos la base se llama Exponente


Página 49


Tercero:

Escrito en forma general: Si a es un número real y n un número natural, entonces:

a

n 

a a a a

    ... a (n veces)

Potencias en la Calculadora Para poder ingresar una potencia en la calculadora, primero debes ingresar el número “ BASE” BASE”,, luego seleccionar el botón “ELEVA” (ver imagen) y digitar el “EXPONENTE”. Con esto, obtendrás el “RESULTADO”.

3 ^ 4 = 81 Base

Eleva

Resultado

Exponente

Ejemplo: Si digitas el n° base 3 en tu calculadora, luego presionas el botón “eleva” y digitas el valor

del exponente, en este caso 4, obtienes el resultado 81

Según el modelo de tu calculadora consulta a tu profesor cuál es el botón correspondiente a “ELEVA”

Ejemplo: Anita trabaja 8 horas diarias, las llamadas solicitando servicio técnico se cuadruplican cada hora. Ayer, durante la primera hora de trabajo recibió 4 llamadas. Entonces cómo puede saber: a) ¿Cuántas llamadas solicitando servicio técnico ha recibido Anita a la quinta hora de haber iniciado su jornada laboral? b) ¿Cuántas llamadas de servicio técnico atiende Justo en un día de trabajo? Para poder resolver el problema, diseñamos el siguiente diagrama:

El cuádruple es multiplicar por 4 la hora anterior, así obtenemos el valor 16 y así sucesivamente los demás valores

Página 50



Del diagrama anterior, podemos identificar la potencia que modela esta situación:

Podemos observar que las horas de trabajo, coinciden con el exponente de la potencia.

Así podemos modelar por medio de una potencia las llamadas atendidas por Anita.

Ahora respondemos las preguntas de Anita: a) ¿Cuántas llamadas has recibido a la quinta hora de haber iniciado su jornada laboral? laboral?

Entonces; Anita atiende 1.024 llamadas cuando lleva 5 horas trabajando.


Página 51


Raíces: Analicemos la siguiente situación: En una habitación, se requiere instalar un punto de de cable, la pared de esta habitación es 2 cuadrada y su área es de 27,04m . a) El técnico asignado a esta orden orden necesita instalar el cable por por el contorno de la pared, ¿Cuántos metros de cable necesitará en total para bordear por completo la habitación?

Área Área

2

Cuadrado Cuadrado

= a

a: Lado del cuadrado

= Lado

2

2

2

27,04m = Lado

Con la Calculadora: Con la Casio “fx 82 es”

Primero se selecciona la tecla de raíz cuadrada , luego ingresamos el valor al cual le queremos calcular la raíz, en este caso 27,04 y 27,04 y obtenemos:

Con la tecla podemos conocer el valor decimal: Que corresponde al valor del lado!!!

Página 52



Con las calculadoras lineales: El procedimiento es el mismo, identificamos la tecla raíz cuadrada , calculamos la raíz de 27,04 (en la calculadora la coma decimal se ingresa con el punto) En este caso la calculadora devuelve de inmediato el valor decimal, correspondiente a la medida del lado. Con este valor, podrás responder la pregunta planteada por la situación: Y

Si

1 lado 4 lados

= =

5,2 metros, 5,2 x 4 = 20,8 metros

Entonces Entonces el maestro necesita necesita colocar colocar 20 8 met metro ross de cable.


Página 53


Guía de Estudio N°4: “Notación Científica, Potencias y Raíces” 1. En un pequeño pueblo de Chile hay cuatro familias dedicadas a criar caballos. Cada familia tiene cuatro caballos. ¿Cuántas herraduras de caballo hay que comprar para “herrar a todos los caballos del pueblo” ?

2. Una camioneta de reparto, entrega en 6 almacenes el mismo pedido que consta de “6 cajas con 6 bebidas cada una”, esto lo

realiza 6 veces a la semana. ¿Cuántas bebidas reparte en una semana?

3. El cubo de rubik es un rompecabezas mecánico tridimensional inventado por el escultor y profesor de arquitectura Erno Rubik. De acuerdo a los datos de la figura, responda las siguientes preguntas.

a)

¿Cuál es el volumen del cubo de rubik?

b) Sí construimos un nuevo cubo de rubik cuyas aristas miden el doble de la inicial, ¿cuántos cubos rubik podríamos guardar en una caja cuadrada de 16cm por lado? Arista: Es la línea que une los lados del cubo. Volumen del cubo = a 3. Donde “a” representa la medida de la arista

Página 54



4. La velocidad de la luz puede medirse al dividir la distancia desde el Sol a la Tierra (1,47x1011 m), con el tiempo que le toma a la luz del Sol llegar a la Tierra (4,9x10 2 s), es decir, la velocidad de la luz es 11 1,47  10 m 2 4,9  10 s ¿A cuántos metros por segundo equivale esta expresión? Exprese el resultado en notación científica. SCI 2 5. La

luz

que recorre aproximadamente 3  10 km en un segundo, tarda cerca de 2 5  10 s en llegar a la Tierra. ¿Cuál es la distancia aproximada del Sol a la Tierra? Expresa su resultado resultado en notación científica SCI 2 5

6. Sí

la

luz

recorre aproximadamente en un segundo ¿Cuántos 3  10 km segundos tarda en llegar la luz desde el Sol a Neptuno? USE MODO FIX 2 5

7. El estadounidense promedio consume 36Kg. de vegetales al año. Si hay unos 250 millones de estadounidenses, ¿cuántos kilogramos de vegetales se necesitan para abastecerlos cada año? Exprese el resultado en notación científica. SCI 1


Página 55


8. Plutón

queda

aproximadamente a 3,574 10 millas de la Tierra. Si una nave espacial pudiera viajar a 1,8 10 4 millas por hora, ¿cuánto tardaría en llegar a Plutón? Exprese su resultado en notación científica, SCI 1 9

9. Una unidad astronómica (UA) se define como la distancia promedio de la Tierra al Sol (aproximadamente 9,3  107 millas ). El cometa Halley logra acercarse a 0,6 UA del Sol y se aleja hasta las 18 UA desde el Sol. Expresa esas distancias en millas como notación científica, con SCI 2 para la primera y SCI 3 para la segunda distancia.

10. Un albañil quiere colocar 121 baldosas en una habitación cuadrada. ¿Cuántas baldosas tendrá que colocar en cada lado?

Selección Múltiple Con el siguiente enunciado contesta las preguntas 11, 12 y 13 Una bacteria cada una hora se reproduce 10 veces más que la hora anterior 11. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de dos horas? a) 10 b) 100 c) 1.000 d) 10.000 e) 100.000

Página 56



12. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 4 horas? a) 40 b) 100 c) 1.000 d) 10.000 e) 100.000

13. Si se tienen 10 millones de bacterias, ¿cuántas bacterias había en la hora anterior? a) 100 b) 10.000 c) 100.000 d) 1.000.000 e) 10.000.000 14. Los

expertos dicen que la tasa de crecimiento de la población mundial se encuentra entre un 2% y un 4% anual.

Según estudios estudios realizados se sabe que en los siguientes 8 años la tasa de crecimiento es exactamente de un 2%, lo cual nos permite predecir la población mundial para el año siguiente multiplicando la población actual del mundo por el factor 1,02. Si la población en el año 2009 era de 6.730 millones de personas, ¿cuál es la población al término del año 2013? Exprese el resultado en notación científica, SCI 3. a) 7,28  109 b) 7,14 109 c) 2,75  104 d) 7,28  103 e) 7,14  103


Página 57


15. El grosor de un cabello humano es de 2  10 mm , una persona en promedio tiene 9.000 cabellos, ¿cuál es el grosor total de los cabellos en milímetros? 2



a) 45 b) 180 c) 360 d) 4.500 e) 45.000

16. Un señor tiene una parcela cuadrada de 10.000 m2. Desea plantar árboles alrededor de ella cada 5m, considerando plantar uno en cada esquina. ¿Cuántos árboles necesitará para rodear su parcela? a) 20 b) 80 c) 100 d) 2.000 e) 8.000

Con el siguiente enunciado contesta las preguntas 17, 18 y 19 Pablo compra un terreno rectangular de 120.050 m2 de superficie, donde el largo es el doble doble del ancho. ancho. Además se sabe que cada metro cuadrado tiene un valor de 0,3 UF 17. ¿Cuántos metros de ancho tiene el terreno de Pablo? a) 141,45 b) 173,24 c) 245,00 d) 346,48 e) 490,00

Página 58



18. ¿Cuántos metros mide el largo del terreno de Pablo? a) 141,45 b) 173,24 c) 245,00 d) 346,48 e) 490,00 19. ¿Qué valor paga Pablo por el terreno, expresado en UF? a) 441,0 UF b) 9.003,8 UF c) 18.007,5 UF d) 30.012,5 UF e) 36.015,0 UF 20. Luis reparte pan en 8 comunas, en cada comuna reparte a 8 almacenes y en cada almacén entrega 8 kilos de pan y esto lo realiza 8 veces al día, ¿cuántos kilos de pan reparte Luis en 8 días? a) 40 b) 512 c) 4.096 d) 32.768 e) 262.144 Preguntas de Desarrollo 21. Juan compra un terreno cuadrado de 5041 m2 de superficie. ¿Cuántos metros de fondo tiene el terreno?

22. Pedro desea construir una piscina con forma de cubo y que contenga 125 m 3 de agua. ¿Cuántos metros de profundidad tendrá la piscina?


Página 59


23. Camila tiene una cartulina rectangular donde el largo es el doble del ancho. Ella debe cortar la cartulina en dos partes iguales, tal como lo indica el dibujo. Si la superficie total de la cartulina es de 2048 cm2, ¿cuáles serán las medidas de los trozos de cartulina después de recortarla?

24. Gabriela tiene una piscina rectangular de

volumen 384 m 3, en la cual el ancho es el doble de la profundidad y el largo es el triple de la profundidad. ¿Cuál es la profundidad de la piscina? (El volumen de una figura rectangular se obtiene multiplicando largo por ancho por alto)

25. Una

empresa decide expandirse a 7 regiones del país, abriendo dos nuevas sucursales en cada una de ellas. Para promover el negocio se instalan 4 afiches publicitarios en cada sucursal; cada afiche es cuadrado y tiene un área de 11,56 m 2. De acuerdo con los datos : a) ¿cuál es la medida del lado del afiche publicitario? b) Si el costo de producción de cada afiche es de $24.900, ¿cuál es el total invertido en publicidad por esta empresa?

26. Luis tiene un negocio de reparto de gas a

domicilio. En cada una de sus 7 sucursales trabajan 7 personas durante 7 horas diarias. Si cada una despacha 7 pedidos por hora, ¿cuántos pedidos en total realiza la empresa de Luis diariamente?

Página 60



27. Se desea construir una torre con cajas cuadradas. Si se sabe que el volumen de cada una de las cajas cuadradas es de 32.768 cm3, ¿cuánto mide el alto de la torre si se apilan 50 cajas iguales? 28. A Gabriel le regalaron un dado gigante y le dijeron que tiene 1.331 cm 3 de volumen. ¿Cuántos cm mide cada arista del dado?

29. Un insecto tiene un peso de 1,32  10 3 kg . Hay un animal que pesa 415 veces el peso de este insecto, ¿cuál es peso del animal expresado en notación científica? SCI 3 

30. Marcela necesita avisar a sus 30 compañeros de curso que no habrá clases, y para esto decide hacer una cadena telefónica. Llama a dos compañeros y les pide que le avisen a dos compañeros más y cada uno de estos debe avisar a otros dos más y así sucesivamente, hasta que todos estén enterados. ¿Cuántos compañeros serán los últimos en enterarse y no tendrán que llamar a algún compañero?

Selección Múltiple Con el siguiente enunciado contesta las preguntas 31 y 32 En un Call Center, se trabajan 8 horas diarias y se estima que las llamadas registradas en en un día se cuadruplican cada una hora. En la primera hora de trabajo se atienden 4 llamadas. De acuerdo a esta información: 31. ¿Cuántas llamadas se han recibido en la quinta hora después de haber iniciado la jornada laboral? a) 20 b) 24 c) 256 d) 1.024 e) 4.096


Página 61


32. ¿Cuál es el total de llamadas que atiende el

call center en un día de trabajo? a) 32 b) 21.884 c) 65.536 d) 87.376 e) 87.380

Con el siguiente enunciado contesta las preguntas 33, 34 y 35 Carlos contrató un servicio de telefonía para su casa que tiene un costo mensual de $27.900. Por la buena atención que recibió y por el buen plan que contrató, decide llamar a dos de sus amigos para contarles de su nuevo convenio. Sus dos amigos, al acercarse a la sucursal y recibir los mismos beneficios que Carlos, decidieron llamar a dos amigos más y así promover el buen servicio. servicio. Todos los amigos que fueron contactados, decidieron continuar con la cadena iniciada por Carlos. La cadena de contactos culmina en la octava etapa. De acuerdo a la información proporcionada 33. ¿Cuántas personas contrataron los servicios

de telefonía en la octava etapa del proceso iniciado por Carlos? a) 16 b) 64 c) 128 d) 256 e) 512

34. ¿Cuál es el total mensual recaudado por la

empresa, después de efectuados todos estos nuevos contratos ? a) b) c) d) e)

Página 62

$2.380.800 $7.142.400 $7.254.000 $14.229.000 $14.256.900



35. Una de las preguntas realizadas a las personas que contratan este servicio es: “Cómo usted obtuvo la información”. Los

ejecutivos al darse cuenta que este proceso fue iniciado por Carlos, deciden otorgarle un descuento de $20 en la boleta del siguiente mes por cada nuevo contrato que se firmó.

¿Cuál es el total que le descontaron a Carlos en su boleta? a) $2.048 b) $4.096 c) $5.120 d) $10.200 e) $10.220

36. Una cava de vino tiene una capacidad de 6 4,8  10 cc , se quieren llenar botellas que tienen una capacidad de 800cc ¿Cuántas botellas se pueden llenar? a) 60 b) 600 c) 6.000 d) 38.400 e) 384.000 37. Se calcula que en la vía láctea hay 11 1,2  10 estrellas aproximadamente. Si se cuenta una estrella por segundo. ¿Cuántos años tomaría contar todas las estrellas? a) 1.212,6 b) 1.902,6 c) 2.467,7 d) 3.333,0 e) 3.805,2


Página 63


Con el siguiente enunciado contesta las preguntas 38 y 39 En una oficina se quiere pintar una pared cuadrada cuya área es de 31,36m2. El maestro contratado necesita colocar por el contorno de la pared una huincha protectora. 38. ¿Cuántos metros de huincha necesitará en total para proteger los cuatro lados de la pared?

a) 5,60 b) 15,68 c) 22,40 d) 31,36 e) 62,72

39. Sí el valor del metro seleccionado es de $545.

de

huincha

¿Cuánto se debe cancelar por toda la huincha que se necesita? a) $3.052 b) $8.546 c) $12.208 d) $17.091 e) $34.182 40. ¿Cómo se puede expresar como potencia el siguiente enunciado?: “Pedro camina la cuarta parte de la cuarta parte de la cuarta parte del viaje que hace en bus” a)

3

1

4

b) 1 / 4 c) 1 / 4 3 d) 1 4  1 4 e) 3 4 3

2

Página 64



Respuestas Guía de Estudio N°4: “Notación Científica, Potencias y Raíces” 1.

4

3



B

64 herraduras.

2. En una semana reparte 6 4 = 1.296 bebidas. 3.

a) El volumen del cubo de arista 4 es 43=64 cm 3 . b) Alcanzan 8 cubos rubick.



m s



5. La distancia aproximada del sol a la tierra es 1,5 x 10 8 km. 6. El tiempo que tarda en llegar la luz de sol a Neptuno es 14,97 segundos aproximadamente. 7. La cantidad de vegetales consumidos en un año en Estados Unidos es 9 x 109 kg. 8. La nave tardaría 2 x 10 5 horas aproximadamente. 9. La distancia que recorre el cometa Halley desde el sol es entre 5,6 x 10 7 millas y 1,67 x 10 9 millas. 10. 11 baldosas. 12 D 17

13 D 18

14 A 19

E

E

D

21. El terreno tiene 71 m de fondo. 22. 5 metros de profundidad. 23. Serán dos cuadrados de 32 cm por lado. 24. La profundidad es 4 metros.

4. La velocidad de la luz es 3 x 10 8

11 B 16

C

15 B 20

25. a) La medida del lado del afiche es de 3,4 metros. b) Para instalar todos los afiches se debe cancelar $1.394.400. 26. Cada día se realizan 2.401 pedidos de gas. 27. La torre tiene un alto de 1.600cm = 16 metros. 28. 11cm de lado. 29. 5,48 x 10 -1 Kg. 30. 16 son los últimos en enterarse y no tendrán que llamar a otro compañero. 31 D 36 C


32 E 37 E

33 D 38 C

34 E 39 C

35 D 40 B

Página 65


Guía Resumen Prueba N°1 1. Andrés ha diseñado un esquema de trabajo para trotar todos los días. Se propone trotar cada día 12 minutos más que el día anterior. Si el primer día comenzó trotando 25 minutos, ¿cuántos minutos trota el sexto día? a) b) c) d) e)

72 73 97 85 109

2. Camila debe $15.820 a su hermana y $45.640 a una casa comercial, ¿a cuánto asciende su deuda? a) b) c) d) e)

$28.840 $29.820 $61.430 $61.460 $61.490

3. En un día de invierno, la temperatura mínima fue de - 3,9°C y la temperatura máxima 9,5°C. 9,5°C . ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas de ese día? a) b) c) d) e)

-5,6°C 5,6°C 13,4°C 56°C 134°C

4. Patricia se propuso recorrer en bicicleta 82 km durante tres días. El lunes recorrió 1/4 de la meta, el miércoles 1/2 de la meta y el sábado 16, 4 km. ¿Cuántos kilómetros le faltaron por recorrer para cumplir con lo planificado? planificado? a) b) c) d) e)

Página 66

0 km 4,10 km 20,50 km 67,65 km 77,90 km



5. Andrés ha diseñado un plan para andar en bicicleta de lunes a viernes y así completar un recorrido de 56 kilómetros. El lunes recorre 8,4 km, el martes recorre 7,2 km y el miércoles 12,6 12,6 km. km. ¿Cuántos ¿Cuántos kilómetros kilómetros podría recorrer el jueves y el viernes para completar su meta? De las siguientes opciones ¿cuál(es) de las siguientes opciones es(son) correctas? Podría recorrer 14,4 km tanto el día jueves como el viernes II. 15,8 km el jueves y 10,01 km el viernes III. Jueves 14,55 km y viernes 13,25 m. I.

a) b) c) d) e)

Solo I Solo II Solo III I y II I y III

6. ¿Qué fracción del día ha pasado cuando son las ocho de la noche? a) b) c) d) e)

1/3 2/3 5/6 8/1 1/8

7. Una empresa fabrica cada día 7 cajas de tornillos, cada caja tiene 7 estuches, cada estuche tiene 7 bolsas y cada bolsa tiene 7 tornillos. ¿Cuántos tornillos se fabrican en 7 días? a) b) c) d) e)

7

3

7

3 7

4

4

7

7

5


Página 67


8. Laura cancela $4 el primer mes por un préstamo que pidió al banco. Si cada mes pagó 4 veces lo del mes anterior, ¿cuánto cancela en la duodécima duodécima cuota? cuota?

a) $48 b) $80 c) $412 d) $4 e) $12 4 20

9. Pedro compró un terreno cuadrado cuya área es 153,76 m 2. ¿Cuánto mide el lado del terreno?

a) 12,40 m b) 38,44 m c) 51,25 m d) 76,88 m e) 124 m 10. ¿Con un cordel se quiere cubrir un área cuadrada que mide 15,21 m 2. ¿Cuántos metros de cordel se necesitan para dar una vuelta completa por esta región? a) 2,47 m b) 3,90 m c) 5,07 m d) 15,60 m e) 15,8 m

11. Un microempresario logra ganancias anuales de $1,14 108 Si otras microempresas logran doce veces esta ganancia, ¿a cuánto asciende esa cantidad? (USE SCI 4) 

Página 68

a)

$1,36810

9

b) c) d) e)

$1,36810

8

$1,36810

7

$9,500 10 7 $9,50010 6



12. Una biblioteca pública contiene 5,9 10 7 millones de libros, entre los cuales existe una sección dedicada a novelas que corresponde a 2/5 del total. Si cada novela tiene 270 páginas. 

¿Cuántas páginas en total reúnen todos los libros de esta sección? Utilizar SCI4 a) 2,360x107 b) 6,372x109 c) 6,372x1015 d) 2,360x1013 e) 6,362x107 13. En una imprenta se pueden empastar 5 libros de 250 páginas en una hora. Si se trabajan 10 horas diarias. ¿Cuántos días se demoran en empastar un total de 850 libros iguales a los anteriores? a) 17 b) 18 c) 80 d) 85 e) 170

14. El litro de bencina tiene un valor de $714.

Si el auto de Francisca rinde 7,5 kilómetros por litro.

¿Cuánto le costaría un viaje de Santiago a Melipilla (61 km.)? Use Fix 0 a) $4.355 b) $5.355 c) $5.783 d) $5.807 e) $8.133


Página 69


15. Pablo gastó 5/8 del dinero que tenía y le quedaron $307.500. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente? a) b) c) d) e)

$102.500 $192.187 $192.188 $492.000 $820.000

16. Marcos necesita hacer una orden de compra de tornillos para un proyecto inmobiliario en el cual trabaja. Él sabe que se utilizan 6 tornillos por cada puerta, que cada casa tiene 6 puertas, que hay 6 casas por manzana y que el proyecto consta de 6 manzanas. ¿Cuál es la cantidad de tornillos que debe señalar en la orden de compra? a) b) c) d) e)

62 63 64 65 66

17. Andrea desea construir una piscina con forma de cubo con una capacidad de 30,371 m 3. ¿Cuántos metros de profundidad tendrá la piscina aproximadamente? Use Fix 2 a) b) c) d) e)

3,12 m 5,06 m 5,51 m 10,12 m 15,19 m

18. Una persona vivió hasta los 85 años. Se sabe que en vida su corazón latía 70 veces por minuto. ¿Cuál es el número de latidos que produjo su corazón durante toda su vida? (Considerar cada año de 365 días) a) b) c) d) e)

Página 70

2,171750 x 10 5 3,127320 x 10 9 4,467600 x 10 7 5,212299 x 10 9 6,132000 x 10 9



19. El siguiente gráfico presenta información relacionada con las exportaciones anuales que realiza la empresa “Fruta Sana” desde Chile hacia Europa, expresadas en toneladas, durante el año

2010.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I. II. III. a) b) c) d) e)

El año 2010 se exportaron 1200 toneladas de manzanas Un 5/24 del total de las exportaciones corresponde a las “peras” La mitad de las l as exportaciones corresponde corresponde a las manzana y duraznos Sólo I I y II I y III II y III I, II y III

20. Pedro compró un terreno de forma rectangular de 12,4 metros de largo y 8,5 metros de ancho. En base a estos datos, ¿cuál de las siguientes alternativas es incorrecta? a) Tiene 105,4 m 2 de terreno b) Si compra 418 metros de alambre puede cercar el terreno con 10 vueltas c) Compra un nuevo terreno, cuya superficie es el doble del primero, entonces tendrán que utilizar necesariamente el doble de alambre para cercar el terreno d) Sí utiliza 1/4 del terreno para plantar tomates ocupará 26,35 m 2 e) Si construye una casa de 50 m 2, dispone para el patio de 55,4 m 2


Página 71


21. El sustento de una familia lo aportan Claudia y Jaime. Si Claudia tiene un ingreso mensual de $232.560 y Jaime recibe  más que Claudia ¿Cuál es el ingreso total de esa familia? a) $325.584 b) $465.120 c) $558.144 d) $558.148 e) $581.400

22. Ana decide aportar la mitad, de la mitad, de la mitad de lo que aporte su mamá a la beneficencia. ¿Cuánto dinero aporta Ana para este fin? Considere “x” como la cantidad de dinero que aporto la mamá. a)

1

x

2 3

b)

1

x

3

c)   1 

2

d)   1 

3

x

 2   2 

x

2

e)

1

x

3

2,25 × 10 23. Un contenedor de líquidos tiene 2,2 litros de leche. Si se quiere llenar botellas de 1,2 litros cada una,

¿Cuántas botellas de leche se necesitarán? a) b) c) d) e)

Página 72

1.875 2.700 5.454 18.750 27.000



24. Una empresa tiene sucursales en tres regiones de Chile. La empresa planifica un curso de perfeccionamiento para todos sus trabajadores. En la Primera Región trabajan 36 personas, en la Cuarta Región 48 personas y en la Décima Región 72 trabajadores. Se separaran los trabajadores en grupos de igual cantidad de personas para las tres sucursales, considerando que cada grupo tenga la mayor cantidad de participantes posibles y además tendiendo claro que por lejanía los trabajadores de las sucursales no se pueden mezclar. Determine cuántas personas conformarán cada uno de los grupos de perfeccionamiento. a) b) c) d) e)

2 3 4 6 12

25. Un hombre vende 1/6 de su terreno, arrienda 3/4 de lo que queda y lo restante lo cultiva. ¿Qué porción del terreno cultiva? a) b) c) d) e)

5/24 7/24 12/24 17/24 19/24

26. Desde un terminal salen buses en dirección a Valparaíso, Los Ángeles y La Serena cada 24, 20 y 10 minutos, respectivamente. Si la primera salida hacia los tres destinos es a la misma hora hora cada cada mañana, ¿cuántos minutos después de la primera salida, parten juntos nuevamente? a) b) c) d) e)

60 80 120 180 240


Página 73


27. Dos corredores parten juntos de un mismo punto en una pista circular. El primero tarda 1 minuto y 20 segundos en dar una vuelta; el segundo tarda 1 minuto y 15 segundos en cada vuelta. ¿Cuánto tardarán en coincidir nuevamente en el punto de partida? a) b) c) d) e)

5 minutos 12 minutos 16 minutos 20 minutos 25 minutos

28. Magdalena compra un terreno cuadrado de 973,44 m2 de superficie. Para protegerlo instalará un alambre por el contorno del terreno. ¿Cuánto tendrá que gastar si el alambre que pondrá tiene un valor de $1.250 el metro? a) b) c) d) e)

$39.000 $78.000 $156.000 $158.250 $234.000

29. El presupuesto de un país es de 1,5·10 19 euros (15 trillones). ¿A cuánto asciende el ingreso per cápita si, en promedio, el país tiene un total de 250 millones de habitantes? a) b) c) d) e)

$ 6 x 10 -3 $ 6 x 10 3 $ 6 x 10 10 $ 6 x 10 13 $ 6 x 10 16

30. Marcela compró una máquina congeladora para helados en forma de cubo, que tiene una capacidad de 1,728m 3 , ¿cuántos metros de ancho tiene la máquina? a) b) c) d) e)

Página 74

O,576 m 0,864 m 1,2 m 1,315 m 1,728 m



31. Un nuevo micro barrio de casas ubicado a las afueras de Santiago, se encuentra dividido en 12 sectores. Si en cada sector hay 12 pasajes y en cada pasaje hay 12 casas, ¿cuántas casas hay en este nuevo micro barrio? a) b) c) d) e)

36 144 1.024 1.728 20.736

32. El siguiente gráfico presenta la cantidad de productos importados desde China a Chile en junio de 2010. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsas? I. Llegaron 6.000 productos a Chile II. Si se incrementaron en en julio la cantidades de CD en 1/4, entonces entonces se importaron 375 375 CD III. Si se necesitan 1.875 teclados, se debe incrementar la cantidad cantidad de teclados en 1/4

a) b) c) d) e)

Sólo I Sólo II Sólo III II y III I y III

33. Juan ganó $36.000.000 en un juego de azar y decide distribuir el premio entre sus hermanos. Al mayor le regaló 2/5 del premio, al segundo 1/3 de lo que quedaba y él se quedó con el resto. ¿Con cuánto dinero se quedó Juan? a) b) c) d) e)

$7.200.000 $9.600.000 $14.400.000 $21.600.000 $28.000.000


Página 75


34. Antonio compró en la ferretería los siguientes materiales de construcción. 34 listones de madera, 38 sacos de cemento y 32 cajas de clavos. Cada listón de madera pesa 3,8 kilos, cada saco de cemento 12,4 kilos y cada caja de clavos 1,6 kilos. Si en cada viaje que realiza Antonio puede transportar sólo 120 kilos de materiales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correctas? I.En un viaje puede llevar 31 listones y 1 caja de clavos II.Si desea transportar los materiales por separado, necesita 4 viajes para llevar los sacos de cemento III.En dos viajes, puede llevar todos los listones y cajas de clavos a) Sólo I b) I y III c) II y III d) I y II e) I, II, III 35. Hay 6 bloques bloques grandes grandes y 4 pequeños. pequeños. Los bloques de igual tamaño pesan lo mismo. El peso de un bloque grande es el mismo que dos de los pequeños. Si todos los bloques juntos pesan 11,2 kg, ¿cuánto pesa el bloque b loque más grande? a) b) c) d) e)

0,70 kg 1,12 kg 1,40 kg 1,87 kg 2,80 kg

36. Andrea y Felipe reciben parte de una herencia. Andrea recibe 1/3 y Felipe 3/5 del resto. ¿Qué fracción de la herencia recibe Felipe? a) b) c) d) e)

Página 76

3/5 2/3 2/5 1/3 1/15



37. Joaquín quiere colocar césped en el patio de su casa e hizo un dibujo con las dimensiones para calcular la superficie. ¿Cuántos metros cuadrados debe cubrir? a) 25 b) 26 c) 28 d) 34 e) 42

38. Andrea vende 3/5 de un terreno de 9.540 m2. ¿Con cuántos m 2 se quedó Andrea ?

a) 1.590 b) 1.908 c) 3.816 d) 5.724 e) 7.950

39. En una empresa se encuestó a todos los trabajadores y se obtuvo que 42 tienen casa propia y 96 arriendan. ¿Cuál es la fracción que representa a los trabajadores de la empresa que tienen casa arrendada?

a) 7/16 b) 9/16 c) 7/23 d) 9/23 e) 16/23 40. Un maestro desea dividir una madera de 6,4 metros de largo en trozos que midan 0,4 metros. ¿Cuántos trozos obtendrá de esta madera? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16


Página 77


41. Enrique viajará a La Serena y lo hará en un auto arrendado. Para ello cotizó en dos empresas: la empresa “Arrienda Feliz” que cobra un cargo fijo de $24.900 y la empresa Camino Seguro Seguro que cobra un cargo fijo de $27.900 por el arriendo de cualquiera de sus autos. Además los valores diarios de los arriendos se registran en la siguiente tabla: EMPRESA

Modelo 1

Modelo 2

Arrienda Feliz

$23.800

$27.800

Camino Seguro

$21.600

$26.480

De acuerdo a los datos, ¿cuál de las siguientes alternativas es incorrecta? a)Si a) Si arrienda el modelo 1 por 1 día le conviene la empresa “Arrienda feliz”

b)Siempre b) Siempre será más económica la empresa “Arrienda Feliz”

c) Si arrienda el modelo 2 por 5 días, la diferencia entre las empresas es de $3.600 d)La d) La diferencia del cargo fijo entre las empresas es de $3.000 e)Por e) Por cada día la empresa “Arrienda Feliz” cobra $2.200 más por el modelo 1 que la empresa camino seguro.

42. Marta reparte $540.000 entre sus tres hijos: a Felipe le corresponde 1/3, a Andrea 2/5 y a Laura lo que queda. Los hermanos deciden gastar parte del dinero recibido para pagar algunas deudas. Andrea gastó 1/6, Felipe gastó el triple de Andrea y Laura gastó la mitad de lo que gastaron Andrea y Felipe juntos . Señale cuál de las siguientes afirmaciones es falsa. falsa. a) Felipe recibe de su mamá $180.000 b) Andrea recibe de su mamá $144.000 c) Andrea gasta $36.000 en pagar sus deudas d) Laura gastó $72.000 e) Laura recibe de su mamá $144.000

Página 78



43. Enrique vive en Maipú y sale desde su casa en dirección de su trabajo demorándose desde allí hasta que el tren comienza su viaje en la estación Las Rejas, 38 minutos. Desde esa estación viaja hasta la Estación Universidad de Chile. Considerando que el tren se demora 65 segundos en llegar de una estación a la otra; en cada estación permanece 30 segundos y que además desde la Estación Universidad de Chile debe caminar 12 minutos más para llegar a su oficina.¿Cuántos minutos se demora Enrique desde su casa a la oficina? a) b) c) d) e)

50,00 51,75 62,67 63,75 64,25

44. Una empresa de artículos computacionales recibe un pedido de 25 monitores, 32 CPU y 17 impresoras. Los valores unitarios de los productos son: $43.000, $109.000 y $37.000, respectivamente. Si el valor de la compra es superior a los 5 millones de pesos, entonces se les ofrece un descuento de 1/20 con respecto al total.¿Cuál es el valor que se debe cancelar por todos los productos? a) b) c) d) e)

$259.600 $1.075.000 $3.488.000 $4.932.400 $5.192.000

45. El letrero de un taxi señala que se cobran $250 de tarifa inicial más $110 por cada 200 metros recorridos. recorridos. ¿Cuál es el total que debe debe cancelar una persona que recorre 6 km en el taxi? a) b) c) d) e)

$3.050 $3.300 $3.550 $22.250 $25.000


Página 79


46. En el siguiente gráfico se presentan las ganancias obtenidas por una empresa en el año 2010 por la venta de bolsas reciclables.

Indique cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s). I. Si se venden 2.000 bolsas reciclables la ganancia será de 3.000 dólares II. Se estimó que para el año 2011 las ganancias incrementarán en un 1/5 respecto al año 2010, por lo que que se estima que si se venden venden 1.000 bolsas habrá habrá una ganancia de 1.200 dólares III. Se gana el doble cuando la cantidad de bolsas vendidas crecen de 1.000 unidades a 3.000

a) b) c) d) e)

Sólo I I y II I y III II y III I , II y III

47. El tiempo que tarda una mosca en batir sus alas una vez, es de tres milisegundos (0,003 segundos). ¿Cuántos segundos demora una mosca en batir sus alas 1.500 veces? a) 4,5 b) 45 c) 450 d) 4.500 e) 45.000

Página 80



48. Dos autos parten desde el mismo lugar y al mismo tiempo, uno viaja a una velocidad de 92 km/h y el otro a 76 km/h. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es correcta. I.Si los autos viajan en sentidos opuestos, en dos horas estarán a 168 km de distancia II.Si los autos viajan en el mismo sentido, en tres horas estarán a 48 km de distancia III.Si viajan en sentidos opuestos, y el que viaja a 76 km/h disminuye su velocidad a 60 km/h, después de cuatro horas de su partida estarán a 96 km de distancia a)Sólo a)Sólo I b)Sólo b)Sólo II c)Sólo c) Sólo III d)I d)I y II e)I, e)I, II y III 49. Una fábrica decide rematar algunos de sus productos. El valor inicial de uno de estos es de $578.420. El primer postor ofrece $10.000 sobre el valor inicial, el segundo $20.500 más que el primero; el tercero ofrece $45.200 más que el segundo postor y se lo adjudica un cuarto (Alberto) que cancela un total de $706.420. Indique cuál de las siguientes alternativas es falsa. a) El tercer postor ofrece $654.120 b) El dueño del auto ofreció $52.300 más que el tercer postor c) Si Alberto vende el producto en $847.704 gana un quinto del valor de la compra. d) El segundo postor ofreció $97.500 menos que Alberto e) El segundo postor ofrece $65.000 menos que el tercero


Página 81


50. Marcos trabaja repartiendo agua soda a las casas, entrega su producto en 8 comunas, en cada comuna entrega en 8 sectores distintos, en cada sector entrega en 8 casas y en cada casa que entrega le dan una propina de $50, ¿cuánto dinero reúne Marcos? a) $1.200 b) $3.200 c) $12.800 d) $25.600 e) $72.400 51. Cuatro amigos Luis, Enrique, Víctor y Diego deciden instalar una empresa de comida rápida. Para iniciar un negocio cuentan con un capital inicial de $16.483.200, aportando cada uno la misma cantidad al negocio. Después de dos años de trabajo venden el negocio en $25.928.000. ¿Cuánto dinero ganó cada uno con la venta del negocio si se reparten las utilidades en partes iguales? a) $2.361.200 b) $4.120.800 c) $6.482.000 d) $9.444.800 e) $7.083.600

52. Una máquina impresora de fotos puede imprimir 12 fotos por minuto. Si la máquina funciona dos horas diarias, ¿cuántos días se demorará en imprimir 12.960 fotos? a) 9 b) 18 c) 270 d) 540 e) 1.080

Página 82



53. Duoc UC inauguró una nueva sede “Duoc UC San Joaquín”. Para ese evento hubo un

coctel en el que sirvieron 1.520 canapés. Los organizadores presupuestaron que cada persona asistente consuma 5 canapés. ¿Cuántas personas participaron inauguración de la nueva sede?

de

la

a) 300 b) 304 c) 1.520 d) 1.525 e) 7.600 54. Una botella contiene 2,8 litros de jugo. Se saca el jugo necesario para llenar 6 vasos de 0,25 litros cada uno. ¿Cuántos litros de jugo quedan en la botella? a) 1,30 b) 1,50 c) 2,55 d) 3,20 e) 5,75 55. Se quieren pintar dos paredes iguales, las cuales miden 3,8 metros de largo y 2,2 metros de ancho. Al cotizar se obtiene que un tarro de pintura alcanza para cubrir 4,5 m2. ¿Cuántos tarros de pintura se deberán comprar? a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9


Página 83


56. La familia Tapia compra un terreno en una localidad que está a 5 metros sobre el nivel del mar y contrata una compañía para que construya un pozo. Después de encontrar agua, la compañía informa a los Tapia que perforaron 14 metros hasta el líquido. ¿Qué tan profundo es el pozo respecto del nivel del mar? a) 8 m b) 9 m c) 10 m d) 14 m e) 19 m 57. Al comprar 16 productos de igual valor, se canceló un total de $66.448. ¿Cuánto se debe cancelar si se quieren comprar 28 de los mismos productos? a) $4.153 b) $37.970 c) $116.270 d) $116.280 e) $116.284

Página 84



Respuestas Guía Resumen Prueba N°1 Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Respuesta D D C B C C E C A D A C A D E C A B B C C D D E A C D C C

Pregunta 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57


Respuesta C D B C E C C B C E E B B D D C C A B E D A A B A B B E

Página 85


UNIDAD II: II:

“CANTIDADES PROPORCIONALES” PROPORCIONALES” Material de Estudio Guía N°5: “Trabajando con Razones”

Una Razón: Es una comparación entre dos o más cantidades por medio de la división, se escribe de la forma a : b, donde “a” es el antecedente y “b” es el consecuente, es decir:

Ejemplo Nº1: En un curso existe un total de 42 alumnos, de los cuales 10 son mujeres y 32 hombres, se puede comparar estas cantidades de personas de distintas maneras o formas para hacer un razonamiento

Ejemplo N°2: En una fiesta la razón entre los hombres y las mujeres es 3 : 5 . Si en la fiesta hay 12 hombres, ¿Cuántas mujeres hay?, ¿Cuántas personas en total hay en la fiesta? Información: La razón

3

H 

M

5

Uniendo la información, remplazando los datos entregados y resolviendo:

Cantidad de hombres 12

Página 86



R: Así tenemos que la cantidad de mujeres es 20 Podemos contestar las preguntas iniciales:

Ejemplo N°3: Alberto y Esteban trabajan en la misma fábrica sellando cajas, en total ellos sellan 160 cajas diariamente, la razón entre las cantidades de cajas selladas por Alberto y Esteban diariamente es 3 : 2 , ¿Cuántas cajas semanalmente sella Alberto, si todos los días sella la misma cantidad y trabaja de Lunes a Viernes?

Lo primero es reconocer la información que se nos entrega en el enunciado: Datos: La razón entre Alberto y Esteban En total sellan 160 cajas diariamente

Si en el enunciado nos entregan el total, para poder resolver el ejercicio, debemos aplicar la siguiente técnica:


Página 87


Paso 1: 1: El total es dividido en 5 partes iguales, iguales, 3 partes para Alberto y 2 partes para Esteban

A E

3 

2

Alberto

Esteban

Paso 2: Para determinar el valor de Una parte, debemos dividir el total en el total de partes.

Así tenemos que cada una de las partes vale 32 Alberto

Esteban

Paso 3: Para determinar cuánto le corresponde a cada uno, debemos multiplicar el valor de UNA PARTE PARTE por la cantidad de partes que tiene cada uno.

Alberto

Esteban

El valor de cada parte es 32, por lo tanto:

Paso 4: ¿Cuántas cajas semanalmente sella Alberto, si todos los días sella la misma cantidad y trabaja de Lunes a Viernes? Alberto sella diariamente 96 cajas

1 día = 96 cajas 1 semana = 5 días 1 semana = 96 x 5 = 480

Tenemos entonces que Alberto en una semana de trabajo, trabajando de Lunes a Viernes y sellando la misma cantidad todos los días, sella en total 480 cajas

Página 88



Ejemplo Nº4: El siguiente esquema esboza la manera en que un padre de familia hace la distribución proporcional de sus gastos mensuales. Si el ingreso mensual del Padre es de $720.000, ¿Cuánto dinero destina al pago del colegio de sus hijos?

Luz y A ua

Arriendo

Locomoción Supermercad

Pago Colegio

Gastos Varios

Datos: - Del enunciado tenemos que el ingreso mensual total del padre es de $720.000. $720.000. - Del esquema, podemos determinar que el ingreso total se divide en 18 partes iguales (sumando iguales (sumando las partes de cada categoría).

Paso 1: El 1: El ingreso total dividirlo en 18 partes iguales 720000 : 18 = 40.000 (cada 40.000 (cada parte del esquema tiene un valor de 40.000) Paso 2: Para determinar cuánto le corresponde al pago del colegio, debemos multiplicar el valor de una parte parte por la cantidad de partes que le corresponde a esa categoría.

R: Por lo tanto, para pagar el colegio se destinan $160.000


Página 89


Ejemplo Nº5: Andrés y Felipe reciben cantidades de dinero que están en la razón , se sabe que Felipe recibe $128.000 más que Andrés, ¿Qué cantidad de dinero recibe Andrés? Lo primero identificar los datos que nos proporciona el enunciado : Datos: - La razón entre Andrés y Felipe

A F

4 

9

- Felipe recibe $128.000 más que Andrés , significa que NO tengo el total, si no que tengo en cuánto le gana Felipe a Andrés, por lo tanto lo que nos entrega el enunciado, corresponde a la diferencia de dinero entre dinero entre Felipe y Andrés. Paso 1: 1: Mostremos la distribución del dinero en un esquema.

Al observar el esquema, nos podemos dar cuanta que Felipe tiene 5 partes más más que Andrés, por lo tanto estas 5 partes de diferencia corresponden al dinero que tiene de diferencia, que son los $128.000.

Paso 2: El 2: El dinero que tienen de diferencia, se debe dividir por las partes que tienen de diferencia, para así encontrar el valor de una parte. 128.000 : 5 = 25.600 (este 25.600 (este es el valor de CADA PARTE) PARTE) Paso 3: Para saber cuánto dinero recibe Andrés, debemos multiplicar el valor de una parte, que es de $25.600 por la cantidad de partes que le corresponden a él.

ANDRÉS

FELIPE

Por lo tanto, podemos responder y decir que Andrés recibe $102.400

Página 90



FORMA Nº2 Andrés y Felipe reciben cantidades de dinero que están en la razón , se sabe que Felipe recibe $128.000 más que Andrés, ¿Qué cantidad de dinero recibe Andrés? Lo primero identificar los datos que nos proporciona el enunciado: Datos: - La razón entre Andrés y Felipe

A F

4 

9

- Felipe recibe $128.000 más que Andrés , significa que NO tengo el total, si no que tengo en cuánto le gana Felipe a Andrés, por lo tanto lo que nos entrega el enunciado, corresponde a la diferencia de dinero entre dinero entre Felipe y Andrés. Paso 1: 1: Mostremos la distribución del dinero en un esquema.

Al observar el esquema, nos podemos dar cuanta que Felipe tiene 5 partes más más que Andrés, por lo tanto estas 5 partes de diferencia corresponden al dinero que tiene de diferencia, que son s on los $128.000.

Andrés recibe

x

Felipe recibe x  128000

Paso 2: 2: Reemplazar las expresiones del paso anterior en la razón entregada en el enunciado.

Reemplazando los datos anteriores, en el lugar que les corresponde, tenemos A F

4 

9 x

x  128000

4 

Paso 3: Para determinar el valor de x , debemos multiplicar cruzado

9

x  9 

4



x  128000




Página 91


Paso 4: Ahora debemos resolver la ecuación que ha quedado planteada.

x  9 

9 x



4

5 x





512000

512000

512000

Andrés recibe x Felipe recibe



x  128000

4 x  512000

9 x  4 x

Paso 5: Del paso 1, tenemos que:



x 

x  128000

Al resolver la ecuación, obtuvimos que:

5

x  102.400

x  102.400

Por lo tanto, podemos responder y decir que Andrés recibe $102.400

Página 92



Guía de Estudio N°5: “Razones” 1. En un curso de 36 alumnos, 9 fueron reprobados, ¿cuál es la razón entre la cantidad de aprobados y la cantidad de alumnos del curso? 2. En un terreno, el área construida es de 120 metros cuadrados y el área libre es de 80 metros cuadrados, ¿cuál es la razón entre el área construida y el área del terreno total? 3. En un curso, la razón entre hombres y mujeres es 4:5. Si hay 20 hombres, ¿cuántas mujeres hay en el curso? 4. Luis ha invertido en la bolsa de valores y la razón entre la inversión y la ganancia es 3:7. Si Luis invirtió $420.000, ¿cuánto es la ganancia que obtuvo? 5. Alicia, Cristina y Paola reciben una herencia de 45 millones de pesos, la cual deben repartir en la razón 2:3:4. ¿Cuánto dinero recibe cada una? 6. Luis y Pedro participan en un acorrida familiar, las distancias recorridas por Luis y Pedro están en la razón 8:7, si en total entre los dos recorrieron 60 kilómetros, ¿cuántos kilómetros recorrió Pedro? 7. El siguiente esquema esboza la manera en que un padre de familia hace la distribución proporcional de sus gastos mensuales. Si el ingreso mensual del Padre es de $720.000, ¿cuánto dinero destina al pago del colegio de sus hijos?


Página 93


8. Los ahorros de Ignacio y Paula se encuentran en la razón 5:2. Si Ignacio tiene ahorrado $326.400 más que Paula, ¿cuánto dinero ahorrado tienen los dos en total? 9. El siguiente dibujo muestra los ingresos mensuales proporcionales entre Pablo y Alejandra. Se sabe que Pablo gana $250.000 más que Alejandra, ¿cuál es el ingreso mensual que recibe de cada uno ?

10. El siguiente gráfico, dividido en partes iguales, muestra la distribución correspondiente a la cantidad de oficinas que hay en una empresa. La empresa informa que la diferencia entre la cantidad de oficinas de Atención al Público y RRHH es 40, ¿cuántas oficinas en total tiene la empresa?

11. Una empresa exporta tres tipos de productos A, B y C, y las unidades exportadas mensualmente se encuentran en la razón 13:12:10. Determine: a) Si en total se exportan 8.400 unidades, ¿cuántas unidades de cada producto se exportan? b) Si el valor unitario de exportación del producto A es $3.440, ¿cuánto dinero se recibe por exportar este producto?

Página 94



12. En un estadio los espectadores se dividen en dos grupos, en un grupo son hinchas del equipo A y en el otro grupo del equipo B. Los hinchas del equipo A son 20.400 y los del equipo B son 12.000 más que los del equipo A. ¿Cuál es la razón entre el número de hinchas del equipo B con respecto al total de hinchas que hay en el estadio? 13. Durante un año determinado, las exportaciones de harina de pescado de dos pesqueras están en la razón de 13:7. Si la diferencia entre las exportaciones es de 96.000 toneladas, ¿cuántas toneladas fueron exportadas por la primera pesquera? 14. El

siguiente esquema muestra la distribución proporcional entre los dos tipos de contratos que tiene una empresa .

a) Establecer la razón entre los contratos indefinidos con respecto al total b) Establecer la razón entre los contratos a plazo fijo con respecto al total c) Establecer la razón entre los contratos indefinidos y los contratos a plazo fijo d) Si hay 12 trabajadores más con contrato fijo que con contrato Indefinido ¿Cuántos trabajadores hay con cada tipo de contrato?

15. Una empresa automotriz confecciona dos tipos de repuestos para autos A y B, las cantidades fabricadas mensualmente se encuentran en la razón 24:29, si del repuesto de tipo B se confecciona 2.784 unidades mensualmente, ¿cuántas unidades del tipo A se fabrican mensualmente?


Página 95


16. El siguiente esquema muestra la distribución de calificaciones en la Prueba de Diagnóstico de Nivelación Matemática en el año 2012. Cada esquema está dividido en partes iguales.

a) De un curso de 36 alumnos, ¿cuántos reprobaron la Prueba de Diagnóstico? b) De los que re probaron la Prueba de Diagnóstico, ¿cuántos fueron “Destacados”? Desarrollo:

17. La razón entre los viajes realizados y los litros de combustibles utilizados es 1:24. Si se han utilizado 4.800 litros de combustible, ¿cuántos viajes se realizaron? 18. Las medidas del largo y el ancho de un terreno rectangular están en la razón 10:7. Si la diferencia entre las medidas del terreno es de 18 metros, ¿cuál es el perímetro del terreno rectangular ? 19. El siguiente esquema muestra la distribución proporcional que Mónica hizo de un bono entregado por su empresa debido al cumplimiento de metas. Se sabe que la diferencia entre el pago del dividendo y la cena familiar es de $70.000. a) ¿Cuál es el total del bono que recibió? b) ¿Cuánto dinero destina al pago del préstamo?

Página 96



20. Las distancias recorridas por Camila y Daniela para llegar de su casa al trabajo se encuentran en la razón 4:7. Si en total entre las dos recorren cada día 66 kilómetros, ¿cuál es la distancia que recorre Camila para llegar de su casa al trabajo?

Selección Múltiple 21. En una librería se determinó que en un mes se venden 104 libros de ficción y 156 libros de novela. Establecer la razón entre los libros de novela con respecto al total de libros vendidos. a) 5 : 3 b) 2 : 5 c) 3 : 2 d) 2 : 3 e) 3 : 5 22. El largo y el ancho de una cancha de fútbol están en la razón de 5:2. Si entre el ancho y el largo se tienen en total 31,5 metros, ¿cuántos metros más mide el largo que el ancho de la cancha de fútbol? a) b) c) d) e)

4,5 9 10,5 13,5 22,5

23. Las velocidades máximas de un auto de ciudad y un auto fórmula 1 se encuentran en la razón de 2:5. Si la velocidad del auto de ciudad es de 68 km/h, ¿cuál es la velocidad en km/h del auto de Fórmula 1? a) 27 b) 136 c) 170 d) 204 e) 340


Página 97


24. El siguiente esquema refleja en forma proporcional la cantidad de personas encuestadas que contrataron y que no contratan los servicios de cuenta corriente de un banco en un mes. Si en total en ese mes se encuestaron a 132 personas, ¿cuántas personas contrataron los servicios de cuenta corriente del banco en ese mes? a) 33 b) 36 c) 66 d) 88 e) 96

25. Un comerciante de frutas ha determinado que la razón entre las manzanas y las peras que tiene para vender es de 8:3. Si se tienen 60 manzanas más que peras, ¿cuántas manzanas tiene el comerciante? a) b) c) d) e)

12 36 44 96 108

26. Una empresa entrega a sus trabajadores un bono semestral cuya cantidad depende del puesto que tiene el trabajador. La razón entre el bono recibido por dos personas de la empresa se encuentra en la razón 5:8, si la persona que recibe el mayor bono recibe $131.200. ¿Cuál es el bono que recibe la otra persona? a) b) c) d) e)

Página 98

$50.461 $65.600 $80.739 $82.000 $209.920



27. Dos hermanos, Carlos y Andrea, deciden comprar un regalo para su madre y pagarlo en forma proporcional al dinero que cada uno tiene. Si Carlos tiene $60.000 y Andrea $40.000 y el regalo tiene un valor de $54.000, ¿cuánto dinero debe aportar Carlos? a) b) c) d) e)

$10.800 $21.600 $32.400 $36.000 $43.200

28. Alberto y Rubén reciben cantidades de dinero que están en la razón 4:9, ¿cuánto dinero recibe Alberto, si se sabe que la diferencia de dinero entre ellos es de $62.500? a) $12.500 b) $19.230 c) $43.270 d) $50.000 e) $112.500 29. Andrea recibió su cartola cuatrimestral de la AFP y en ella le entregan el gráfico N°1 para mostrarle cómo están repartidos sus fondos entre los obligatorios y el APV. En la cartola le señalan que el total de sus ahorros asciende a $12.600.000. Considerando esta información Andrea construye el gráfico 2 en forma proporcional, para determinar la cantidad de dinero que gastará en sus vacaciones, considerando que utilizará solo sus fondos voluntarios. ¿Cuánto dinero destina Andrea a sus vacaciones?

a) b) c) d) e)

$525.000 $840.000 $1.680.000 $2.520.000 $3.360.000


Página 99


30. Una empresa confecciona mensualmente 56 mesas cuadradas y 48 mesas redondas. ¿Cuál es la razón entre el número de mesas redondas y cuadradas? a) 13 : 7 b) 7 : 6 c) 6 : 13 d) 6 : 7 e) 7 : 13 31. Los días trabajados en un año de Carlos y Esteban están en la la razón 11:14. Si Esteban trabajó 60 días más que Carlos, ¿cuántos días trabajó Esteban en el año? a)20 a) 20 b)120 b) 120 c) 220 d)280 d) 280 e)300 e) 300 32. Roberto gana mensualmente $640.000 y Laura $480.000, y pagan las cuentas básicas de su casa de acuerdo a la razón de sus ingresos. Si en total pagaron por las cuentas $453.600, ¿cuánto dinero aportó Laura? a) b) c) d) e)

$64.800 $129.600 $194.400 $226.800 $259.200

33. El siguiente esquema refleja en forma proporcional las edades de Ana y Julia. ¿Qué edad tiene Julia, si la suma de sus edades es 96 años? a) b) c) d) e)

Página 100

12 años 24 años 36 años 48 años 60 años



34. En una agencia de viajes, en la temporada de verano del 2013, se vendieron un total de 192 paquetes turísticos, de los cuales 72 tenían destino a Europa y el resto era con destino al Caribe. ¿Cuál es la razón entre los viajes al Caribe vendidos con respecto al total? a) b) c) d) e)

5:3 5:8 3:8 1: 4 3:5

35. La cantidad de toneladas exportadas de un cierto producto por dos dos empresas A y B, están en la razón 6:11. Si la empresa A exporta 12.000 toneladas, ¿cuántas toneladas exporta la empresa B? a) b) c) d) e)

11.000 14.400 22.000 26.400 40.800

36. Pedro tiene dinero ahorrado en el banco y lo retirará para realizar algunos proyectos de su casa. El siguiente esquema muestra la distribución del dinero en forma proporcional. Si Pedro sabe que gastará $350.000 más en baño que en el jardín, ¿cuánto dinero gastará Pedro en la cocina ?

a) b) c) d) e)

$175.000 $525.000 $700.000 $875.000 $2.275.000


Página 101


37. Sergio sabe que en su cuenta corriente tiene disponibles $712.500 y que en la línea de crédito cuenta con $850.000. Establecer la razón entre el dinero de la cuenta corriente y de la línea de crédito. a) b) c) d) e)

68 : 57 57 : 68 57 : 125 125 68 : 125 11 : 125

38. Laura y Pamela confeccionan poleras. Y la razón entre las poleras que fabrica Laura y las fabricadas por Pamela en un mes mes es 3:7.Si se sabe que Pamela confeccionó 144 poleras más que Laura, ¿cuántas poleras confeccionó Laura? a)36 a) 36 b)72 b) 72 c) 108 d)180 d) 180 e)252 e) 252 39. Luis tiene deuda en dos casas comerciales y éstas están en la razón 11:13. Si la diferencia entre los montos adeudados es de $11.000, ¿cuál es la deuda total que tiene Luis en ambas casas comerciales? a) b) c) d) e)

$60.500 $66.000 $71.500 $132.000 $137.500

40. Las temperaturas máxima y mínima de una ciudad de Chile en el mes de Noviembre de 2012 están en la razón 7:3. Si la temperatura mínima registrada ese día fue de 12°C, ¿cuál fue la temperatura máxima? a)16,0 a) 16,0 °C b)17,1 b) 17,1 °C c) 20,0 °C d)25,2 d) 25,2 °C e)28 e) 28 °C

Página 102



Respuestas Guía de estudio N°5: “Razones” 1. La razón es

3: 4

2. La razón es

3: 5

b) c) d)

3. Hay 25 mujeres

9 : 14 5:9 Contrato Indefinido 15 personas, Contrato a Plazo Fijo 27 personas

4. Gana $980.000

15. Del tipo A 2.304 unidades

5. Alicia 10 millones, Cristina 15 millones y Paola 20 millones

16.

6. Pedro recorrió 28 kilómetros

a) b)

9 aprobaron el diagnóstico 3 fueron destacados

17. Se realizaron 200 viajes

7. Canceló en el colegio $160.000

18. El perímetros es de 204 metros

8. En total $761.600 9. Alejandra $625.000 y Pablo $875.000 10. Hay 160 oficinas en total 11.

a) b)

A 3.120 unidades, B 2.880 unidades, C 2.400 unidades $10.732.800

12. La razón es

27 : 44

13. La primera pesquera 208.000 toneladas 14.

a)

5 : 14

19.

a)

Bono de $420.000 Paga por el préstamo $105.000

20. Camila recorre 24 kilómetros de su casa al trabajo 21 E 26 D 31 D 36 C


22 D 27 C 32 C 37 B

23 C 28 D 33 E 38 C

24 B 29 B 34 B 39 D

25 D 30 D 35 C 40 E

Página 103


Material de Estudio Guía N°6: “Trabajando con Proporciones” 

Proporcionalidad Directa En un día de invierno se determinó que si está lloviendo de manera constante en 5 minutos caen 8 mm de agua, ¿Cuántos mm de agua caerán en tres cuarto de hora?

Una inversión de $350.000 produce una ganancia de $42.000 en un año, ¿Qué ganancia producirá una inversión de $450.000 a la misma tasa de interés y durante el mismo tiempo?

Las dos situaciones planteadas anteriormente se resuelven aplicando una proporción directa. ¿Por qué cumple la regla de la proporcionalidad directa? ¿Cuál es la regla de la proporcionalidad directa?

Proporcionalidad Directa: Dos variables

x

e

y

son directamente proporcionales si su razón

y

es constante.

x

En este caso se dice que las variables

x

e y son directamente proporcionales.

Dicho de otra manera si una de las variables aumenta (

x

), la otra también aumenta

( y ); y si una de las variables disminuye ( x ), la otra también disminuye (

y

)

En los casos anteriores: En un día de invierno se determinó que si está lloviendo de manera constante en 5 minutos caen 8 mm de agua, ¿Cuántos mm de agua caerán en tres cuarto de hora?

Página 104


Aumentan los minutos y bajo las mismas condiciones aumentan los mm de agua caídos, por lo que cumple la regla de la PD.


Una inversión de $350.000 produce una ganancia de $42.000 en un año, ¿Qué ganancia producirá una inversión de $450.000 a la misma tasa de interés y durante el mismo tiempo?

Aumenta el dinero invertido y bajo las mismas condiciones aumenta la ganancia, por lo que cumple la regla de la PD.

Ejemplo Nº1: En un día de invierno se determinó que si está lloviendo de manera constante en 5 minutos caen 8 mm de agua, ¿Cuántos mm de agua caerán en tres cuarto de d e hora?

Paso 1: Identificar 1: Identificar las variables presentes en el problema. Minutos y mm de agua caídas Paso 2: 2: Como uno de los datos está en horas y la variable es minutos, debemos arreglarla. Tres cuarto de hora = 45 minutos Respuesta: Paso 3: Ordenar la información, de tal manera de armar una proporción En tres cuartos de hora si llueve de manera constante, caerán de agua. Minutos Mm72 demm agua 5 8 45 ? Paso 4: Para 4: Para encontrar el valor de la incógnita, que corresponde a la cantidad de mm de agua que se registran en tres cuartos de hora, en la proporción directa, se debe multiplicar cruzado: Respuesta: En tres cuartos de hora si llueve de manera constante, caerán 72 mm de agua.

Además podemos obtener la Constante de proporcionalidad, dada por

:

En ambos casos se debe cumplir que la constante de proporcionalidad sea la misma


Página 105


Ejemplo Nº2: El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de productos comprados (todos de las mismas características) y el valor a pagar. De acuerdo a la información, ¿Cuál es el valor que se debe cancelar si se compran 15 productos iguales?

Paso 1: 1: Como los datos del problema son proporcionados a través de un gráfico, debemos seleccionar un par ordenado para poder hacer la proporción y para esos tenemos varias opciones, observa los puntos marcado en azul a continuación. Si te fijas, hay varios pares ordenados que podrías elegir, nos sirven los que están justo en la intersección y donde se puede ver claramente cuáles con las coordenadas. Para formar la proporción basta con que elijas uno de ellos, ya que con cualquiera obtendrás el mismo valor, porque son parte de la misma recta. Para nuestro ejemplo, seleccionaremos el par (4,20.000)

Paso 2: Formar 2: Formar la proporción entre las variables presentes en el gráfico. Cantidad de productos

Valor a pagar

4 15

20000 x

Paso 3: Multiplicar 3: Multiplicar cruzado y despejar el valor de la incógnita: Respuesta: Al comprar 15 productos iguales, se debe cancelar un total de 75.000

Página 106



Además podemos obtener la Constante de proporcionalidad

y

:

x 20000

y 

5.000



5.000

75000

y 

x



4

x

15

En ambos casos SE DEBE cumplir que la constante de proporcionalidad sea la misma. misma. Con respecto al ejercicio anterior, podemos observar que la constante de proporcionalidad puede ser un número entero o un número decimal

Observación: Puedes observar que el gráfico de la proporción directa es una recta



Proporcionalidad Inversa Proporcionalidad Inversa: Dos variables e son inversamente proporcionales si su multiplicación es constante. En este caso se dice que las variables e son inversamente proporcionales. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.

Situación N°1 En una parcela hay 50 animales y el alimento les alcanza para 18 días. Si se compran 10 animales más, ¿Para cuántos días alcanzaría la misma cantidad de alimento?


Página 107


Identifiquemos los pasos a seguir: Paso 1: Identificar 1: Identificar a qué tipo de proporción corresponde. El enunciado cumple con las reglas de la proporción inversa, inversa, ya que si se tienen más animales el alimento alcanzará para menos días, entonces cuando aumenta una variable, disminuye la otra en la misma proporción. Paso 2: Ordenar 2: Ordenar los datos para establecer la proporción: Cantidad de Animales 50 60

Días 18 x

Paso 3: Como 3: Como en este caso se trata de una proporción inversa, inversa, para poder obtener el valor de la incógnita, se tienen dos alternativas:

Página 108



Podemos observar que se puede aplicar cualquiera de las dos técnicas y cualquiera de las dos que se aplique llegamos a los mismos resultados. Situación N°2 El siguiente gráfico presenta el valor en miles de pesos de la cuota que debe pagar cada integrante de un grupo familiar, al comprar un producto tecnológico para el grupo familiar. De acuerdo al gráfico, ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿Cuál será la cuota que deberá pagar cada integrante si el grupo familiar está compuesto por 12 personas? Paso 1: 1: Como los datos del problema son proporcionados a través de un gráfico, debemos seleccionar un par ordenado para poder hacer la proporción y para esos tenemos varias opciones, observa los puntos marcado marcad o en azul a continuación: Si te fijas, hay varios pares ordenados que podrías elegir, nos sirven los que están justo en la intersección y donde se puede ver claramente cuáles son las coordenadas. Para formar la proporción basta con que elijas uno de ellos, ya que con cualquiera obtendrás el mismo valor, porque son parte de la misma curva. Para nuestro ejemplo, seleccionaremos el par (20,30) Como el eje “y” está abreviado en Miles $, el par

ordenado a utilizar es (20,30000)

Paso 2: Formar 2: Formar la proporción entre las variables presentes en el gráfico: Cantidad de productos 20 12

Valor a pagar 30000 x

Paso 3: Para 3: Para encontrar el valor de la variable aplicamos cualquiera de las dos técnicas explicadas en el ejemplo anterior, aplicaremos la primera técnica, es decir multiplicaremos horizontal. 20 30000 



12




x

Página 109


Paso 4: Despejar 4: Despejar la incógnita Respuesta: Si hay 12 personas cada una pagará una cuota de $50.000 Además podemos obtener la Constante de proporcionalidad

:

En ambos casos se debe cumplir que la constante de proporcionalidad sea la misma

Observación: Puedes observar que el gráfico de la proporción inversa es una curva

Observación: En cambio el gráfico de la proporción Directa siempre será una línea recta.

Página 110



Guía de Estudio N°6: “Trabajando con Proporciones” 1. Teresa trabajó tres horas y ganó $8.100. ¿Cuántas horas debe trabajar en el mismo lugar y bajo las mismas condiciones para ganar $32.400?

2. En condiciones óptimas un alumno del taller de teatro necesita 25 minutos para aprender 15 líneas del texto, ¿cuántos minutos necesitará bajo las mismas condiciones para memorizar 180 líneas?, ¿cuántas horas se demora en memorizar este texto? 3. El arriendo de una cancha de tenis cuesta $5.500 la media hora. Si Juan y su hermano la arrendarán por 3 horas 15 minutos, ¿cuánto dinero deben pagar?

4. Un estudio determinó que 100 gramos de naranjas aportan al organismo 34 ml de de agua, ¿cuántos ml de agua aportarán al organismo 2 kilos de naranjas?

5. El siguiente gráfico presenta la relación entre los metros cúbicos consumidos de agua y el valor a pagar en pesos por tal consumo. De acuerdo a la información entregada en el gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuánto se debe cancelar si se consumen 7.552 metros cúbicos de agua?


Página 111


6. El siguiente gráfico presenta la distancia recorrida por un bus de pasajeros en relación a los litros de combustible consumidos durante el viaje, si mantiene una velocidad constante. De acuerdo a los datos de gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuántos litros de combustible gastará el bus si realiza un viaje de 375km?

7. Un acuario puede llenarse con 12 bidones de 15 litros cada uno, ¿cuántos bidones de 4,5 litros se necesitan para llenar el mismo acuario?

8. Una constructora sabe que para construir un edificio de 8 pisos se necesitan 72 trabajadores, los cuales se demoran 12 meses en terminarlo. ¿Cuántos trabajadores extra se deben contratar para terminar el mismo edificio en 9 meses? 9. En una parcela hay 50 animales y el alimento les alcanza para 18 días. Si se compran 10 animales más, ¿para cuántos días alcanzaría la misma cantidad de alimento?

10. Un bus demora 7,5 horas entre Valparaíso y Talca a una velocidad promedio de 84 km/h. ¿A qué velocidad promedio se desplazó otro vehículo que hizo el mismo recorrido en 6 horas?

Página 112



11. El siguiente gráfico presenta el valor en miles de pesos de la cuota que debe pagar cada integrante de un grupo familiar al adquirir un producto tecnológico. De acuerdo al gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, proporcionalidad?, ¿cuál sería la cuota que se debería pagar cada integrante, si el grupo familiar estuviera compuesto por 12 personas?

12. En el siguiente gráfico se presenta información que relaciona el tiempo de espera de los clientes en ser atendidos en una sucursal de telefonía celular, con respecto a la cantidad de trabajadores que están atendiendo. Si trabajan 12 personas en la sucursal, ¿cuántos minutos tendrá que esperar una persona para ser atendida?

13. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 1 minuto 12 segundos, si mantiene su rapidez constante?


Página 113


14. Una inversión de $350.000 produce un

rendimiento (ganancia) de $4.200 en un año. ¿Qué rendimiento producirá una inversión de $450.000 a la misma tasa de interés y durante el mismo tiempo ?

15. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de productos comprados (todos de las mismas características) y el valor a pagar. De acuerdo a la información, ¿cuál es el valor que se debe cancelar si se compran 15 productos iguales?

16. La rapidez de un automóvil es de 70 km/h y demora 5 horas en recorrer una cierta distancia. ¿Cuántas horas demorará en recorrer la misma distancia, otro automóvil, con una rapidez de 80 km/h? Utilice FIX1

17. Cuando una llave arroja 32 litros por minuto de cierto líquido, demora 3,5 horas en llenar un estanque. ¿Cuánto demora en llenarse este estanque, si ahora la llave arroja 24 litros por minuto? Utilice FIX1

18. Un estudio realizado sobre la salinidad del agua de mar determinó que 2 litros de agua de mar contienen 1,5 gramos de sal. Si se tiene una muestra que contiene 9,375 gramos de sal, ¿cuántos litros de agua de mar se extrajeron?

Página 114



19. Para pavimentar una calle de 800 metros de largo y 12 metros de ancho, se han utilizado 18.000 pastelones. ¿Cuántos pastelones se necesitan para pavimentar una calle de 1.000 metros de largo y 15 metros de ancho? 20. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de máquinas que se tienen para realizar un determinado trabajo y el tiempo que demoran en realizarlo. ¿Cuántas horas demorarán en hacer el mismo trabajo si se cuenta con 25 máquinas?

21. Una persona establece la relación entre el número de grifos necesarios y las horas que tardan en en llenar una piscina. Si se sabe que 5 grifos demoran 1,6 horas en llenarla, ¿cuál de los siguientes gráficos representa la situación planteada?


Página 115


22. Un instituto confecciona un gráfico donde se representa la relación entre la cantidad de alumnos matriculados y el dinero recaudado por este concepto. Se sabe que se si matriculan 15 alumnos la recaudación es de $750.000, ¿cuál de los siguientes gráficos establece la relación entre las variables?

Selección Múltiple 23. Un árbol de 1,8 metros de altura proyecta una sombra hacia el frente de 2,2 metros. ¿Cuánto mide mide la sombra de otro árbol de 1,5 metros que se encuentra al lado del primero a la misma hora? Utilizar FIX2 a) 0,54m b) 1,83m c) 2,06m d) 2,64m e) 5,94m 24. Una máquina puede etiquetar 4.096 envases en cuatro días de trabajo. ¿Cuántos días son necesarios para etiquetar 9.216 envases iguales a los anteriores? a) b) c) d) e)

Página 116

1 2 9 10 13



25. Una casa se pinta en 20 días con 60 hombres trabajando. Por problemas de presupuesto, al mes siguiente la empresa debe contratar a 45 personas menos bajo las mismas condiciones. ¿Cuántos días se demorarán en pintar una casa de iguales características? a) b) c) d) e)

5 15 26 60 80

26. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas de trabajo, ¿cuántas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela? a) b) c) d) e)

7,2 12,5 25,0 50,0 288,0

27. Para pintar una pared de 96m 2 se ocupan 8 tarros de pintura. ¿Cuántos tarros del mismo tipo de pintura se necesitan para pintar una pared de 28,8 metros de largo por 2,5 metros de ancho? a) 3 b) 5 c) 6 d) 11 e) 17 28. El pago por el consumo de la electricidad es proporcional a la electricidad que se consume mensualmente. Esta situación se refleja en el siguiente gráfico. Si una familia consume 1.550KW de electricidad en el mes, ¿cuánto es lo que debe cancelar? a) b) c) d) e)

$258 $7.750 $9.000 $9.300 $9.360


Página 117


29. Un jefe de obra construye el siguiente gráfico donde se relaciona la cantidad de operarios trabajando bajo las mismas condiciones, y el tiempo en horas que se demoran en realizar un determinado trabajo. ¿Cuánto tiempo se demorarán en realizar el mismo trabajo 16 operarios? a)9,37 a) 9,37 b)6,25 b) 6,25 c) 12,5 d)100 d) 100 e)800 e) 800

30. La cantidad de mg de medicamento en el organismo se relaciona en forma proporcional a las horas transcurridas desde que se ingiere. Pasadas 1,6 horas de haber sido ingerido quedan en el organismo 125mg, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? I. Pasada 1 hora hay en el organismo 200mg del medicamento. II. La constante de proporcionalidad es 50. III. El siguiente gráfico modela la situación.

a) b) c) d) e)

Página 118

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III



31. En una parcela hay 12 caballos que consumen 720 kg. de alfalfa durante el mes de “Abril” . El dueño de la parcela compró 3 caballos más, si tiene la misma cantidad de alfalfa, ¿para cuántos días le alcanzará?

a) b) c) d) e)

7,5 14 24 37,5 38,75

32. Laura quiere comenzar a andar en bicicleta y diseña un plan de acción que se ve representado en el siguiente gráfico, donde se relacionan en forma proporcional los minutos dedicados a andar en bicicleta y la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

I. Si hace ejercicio por media hora recorre 5 km en bicicleta. II. La constante de proporcionalidad es 6. III. Si Laura se dedica 1 hora y 24 minutos a andar en bicicleta, recorre 14 km.

a) Sólo I b) Sólo III c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III


Página 119


33. Un nutricionista le indica a un paciente que una porción de yogurt tiene 6,3 proteínas. Si el médico le indica a su paciente que debe consumir diariamente 5 porciones de yogurt con las mismas características, ¿cuántas proteínas debe consumir el paciente a la semana?

a) 8,82 b) 31,5 c) 126 d) 157,5 e) 220,5

34. Eugenia se quiere comprar una estufa a parafina que gasta 2 litros del combustible en 5 horas. Si el consumo de parafina es proporcional al tiempo de uso, ¿cuántos litros de parafina se gastarán en 8 horas? a) 1,25 b) 2 c) 3,2 d) 11 e) 15

35. Una cuenta se dividirá en forma proporcional a la cantidad de personas que la compartirán, la situación se ve reflejada en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la cuota que debe cancelar cada uno, si el grupo tiene en total 16 personas ?

a) b) c) d) e)

Página 120

$17.500 $18.750 $21.875 $50.000 $114.286



36. Un jardinero utiliza 74,4 metros cuadrados de pasto para colocar la misma cantidad en 6 casas, ¿Cuántos metros cuadrados de pasto necesitará el jardinero para colocar en 14 casas iguales a las anteriores?

a) 31,9 m2 b) 94,4 m2 c) 173,6 m 2 d) 297,6 m 2 e) 520,8 m 2

37. Jaime ahorra mensualmente la misma cantidad de dinero. Al consultar su saldo después de 15 meses, observa un total de $354.000. Si Jaime sigue ahorrando de la misma manera, ¿cuánto dinero tendrá ahorrado después de 32 meses? a) b) c) d) e)

$165.938 $377.600 $708.000 $755.200 $826.000

38. Para construir un edifico el capataz de una obra determina que si tiene 70 trabajadores trabajando bajo las mismas condiciones demorarán 24 meses en terminarlo. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? I. La constante de proporcionalidad es 1.680 II. Si el capataz contratara 14 trabajadores más, trabajando bajo las mismas condiciones, demorarían 20 meses en terminar el mismo edificio. III. Si se contrataran más trabajadores, trabajando bajos las mismas condiciones, se demorarán más en terminar el mismo trabajo. a)Sólo a) Sólo I b)Sólo b) Sólo III c) Sólo I y II d)Sólo d) Sólo I y III e)I, e) I, II y III


Página 121


39. El siguiente gráfico presenta la relación proporcional entre los litros de pintura utilizados para pintar un muro y la superficie que se puede cubrir al pintar. ¿Cuántos litros de la misma pintura se deben utilizar para pintar un muro de 68 metros cuadrados de superficie?

a) b) c) d) e)

0,6 L 6L 6,8 L 7L 10 L

40. Gonzalo necesita dejar su auto en un estacionamiento. Un letrero le indica que el costo por estacionar 30 minutos es de $800. Si el cobro del estacionamiento es proporcional al tiempo, ¿cuánto debe cancelar Gonzalo si permanece estacionado por 1 hora y 24 minutos ?

a) b) c) d) e)

Página 122

$ 640 $1.600 $1.720 $2.240 $3.040



Respuestas Guía de Estudio N°6: “Trabajando con Proporciones” Proporciones” 1.Debe trabajar 12 horas 12. El tiempo de espera es de 12,5 minutos

2.Se demora 300 minutos = 5 horas

13. La moto recorre 2.160 metros

3.Debe pagar $35.750 4.Aportan al organismo 680ml de agua 5.La constante de proporcionalidad es 2. Se deben cancelar $15.104 6.La constante de proporcionalidad proporcionalidad es 0,05. Se necesitan 18,75 litros de combustible. 7.Se necesitan 40 bidones

14. Produce una ganancia de $5.400 15. Por 15 productos cancela $75.000 16. Se demorará 4,4 horas 17. Se demorará 4,7 horas 18. Se extrajeron 12,5 litros de agua de mar 19. Se necesitan 28.125 pastelones

8.Se necesitan 24 trabajadores extra

20. Se demoran 16 horas

9.Les alcanza para 15 días

21. Gráfico B

10. Viaja a 105 km/h 11. La constante de proporcionalidad proporcionalidad es 600.000. Cada uno debe pagar $50.000

22. Gráfico C

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B C E D C D C D C E E C C C D C C D


Página 123


Material de Estudio Guía N°7: “Aplicando Porcentajes” 

Porcentajes

Para conocer el trabajo con los porcentajes, revisemos los siguientes ejemplos: EJEMPLO N°1: Juan contrata un Triple Pack, después de analizar las opciones él decide contratar el el Triple Pack Gold HD Digital, que tiene un costo mensual de $57.990. Además decide contratar 2 d- Box extra para las piezas de sus hijos, cada uno tiene un costo mensual de $3.990 a) A Juan le ofrecen un descuento del 5% al total de su boleta durante 6 meses, ¿Cuál será el total de la boleta después de aplicado el descuento? b) El valor del triple pack en el año 2013 presenta un incremento del 2% con respecto al año anterior, ¿Cuál era el valor del producto en el año 2012?

Del enunciado, podemos identificar los siguientes datos: 1. Valor del Triple Pack contratado 2. Cantidad de los d-box extra contratados 3. Valor de los d-box extra contratados 4. Porcentaje de descuento aplicado al total de la boleta 5. Porcentaje de aumento con respecto al año anterior También podemos identificar qué es lo que necesitamos resolver: Determinar el valor final de la boleta después del descuento: Debemos Aplicar Porcentajes Paso 1: Determinar el valor total de la boleta: Boleta = Triple Pack Gold HD + 2 d-Box Boleta = $57.990 + 2 x 3.990 = 57.990 + 7.980

TOTAL DE LA BOLETA $65.970

Paso 2: Podemos así, formar la proporción para plantear el ejercicio: Valor $65.970 x

Porcentaje 100 95

Observación: Cuando se aplica un descuento, SIEMPRE SIEMPRE se cancela menos del 100%, en este caso, como el descuento es de un 5%, se cancela 100% - 5% = 95%

Página 124



Paso 3: Multiplicar cruzado 65.970 x 95 = X (Valor a Pagar Después del descuento) 100 62.672 = x Así, podemos contestar la primera pregunta a) El valor que cancelará Juan los 6 primeros meses de contrato es de $62.672 Paso 4: Ahora contestaremos la pregunta b) Para contestar la segunda pregunta, debemos formar la siguiente proporción del ejercicio: Valor $57.990 x

Porcentaje 102 100

102% Corresponde al año 2013, presenta un aumento del 2% con respecto al año anterior. 100% Corresponde al año 2012, que no tenía el aumento.

Observación: Observación: Cuando hay un aumento, SIEMPRE se registra más del 100%, en este caso, como existe un incremento del 2%, se obtiene 100% + 2% = 102% Paso 5: Multiplicar cruzado 57.990 x 100 = x 102

(Valor correspondiente al año 2012)

56853 = x

Así, podemos contestar la primera pregunta b) El valor del triple pack el año 2012 era de $56.853

EJEMPLO N°2: El valor neto de un producto es de $18.000, para poder venderlo se le debe agregar el 19% de IVA, IVA, ¿Cuál es el valor de venta del producto? Paso 1: Tener en consideración que el VALOR NETO corresponde NETO corresponde al 100%, 100%, establecer la proporción: Debido a que el IVA corresponde a un 19% adicional, consideraremos 2 formas para desarrollar este ejercicio, estas son las que se detallan a continuación:


Página 125


FORMA 1

Cantidad 18.000 x

Valor de Venta = Neto + IVA Valor de Venta = 18.000 + 3.420

FORMA 2

Porcentaje 100 19

X= 18000 · 19 100 X= 3420

Así tenemos que el valor de venta es de $21.420

Cantidad 18.000 x

Porcentaje 100 119

X= 18000 · 119 100 X= 21.420

Así tenemos que el valor de venta es de $21.420 En este caso al anotar en la proporción directamente el 119%, lo que estamos haciendo es considerar el porcentaje asociado al valor de venta: NETO + IVA = 100 + 19 = 119% De este modo no es necesario agregarle el valor asociado al 19%, porque ya lo hicimos en el porcentaje, es por eso que llegamos directamente al resultado, valor de venta $21.420

Página 126



Guía de Estudio N°7: “Aplicando Porcentajes” Porcentajes” 1. El valor de un artículo en una tienda es de $45.800, por un día se le aplica un descuento del 12%, ¿A cuánto dinero corresponde el descuento realizado? 2. En una tienda el precio de un producto es de $52.500. Si su valor se incrementa en un 5%, ¿A cuánto asciende el aumento aplicado a este producto? 3. El valor de un producto es $38.000, si su valor se incrementa en un 15%, ¿Cuál es el nuevo valor del producto?

4. Al vender una multifuncional en $85.386 se gana el 14% sobre el valor de costo. ¿Cuál es el valor de costo de la multifuncional?

5. A Claudio le subieron el sueldo a partir del mes de Marzo de 2013 en un 12% con respecto al mes anterior. Si en el mes de Marzo el sueldo que recibió fue de $364.000, ¿Cuánto ganaba Claudio en el mes de Febrero del mismo año?

6. La familia García durante el año 2012 amplió la superficie de su casa en un 15% quedando una vivienda de 87,4 m 2 totales construidos. ¿Cuál era la superficie construida de la casa antes de realizar la ampliación? 7. El médico le señala a una madre que su hijo de 1 año y medio mide 79,5cm y que esta medida corresponde a un 6% más que la medida del control anterior. ¿Cuánto medía el niño en el control anterior? 8. Una persona pagó $5.192 por una bolsa de 50 CD después de recibir un descuento del 12%. ¿Cuál es el precio de lista de la bolsa de 50 CD?


Página 127


9.

Un corredor de propiedades cobra el 5% de comisión por la venta de una vivienda. Si recibió $1.800.000 por este concepto, ¿en cuánto vendió la vivienda?

10. La casa de Laura se incendió pero ella tenía contratado un seguro que cubría el 80% de su valor total, por esta razón, recibió por parte de la aseguradora $25.000.000. ¿Cuál era el valor original de su casa? 11. El siguiente gráfico presenta la información con respecto a la variación de l os salarios entre los años 2010 y 2011 en distintos sectores de la sociedad. Se ha determinado que en un sector rural de Chile hay 43.123 habitantes que se clasifican clasifican dentro del del 10% más pobre pobre de la población, recibiendo un ingreso mensual de $85.000, ¿cuál será el nuevo ingreso mensual que recibirán después de las variaciones presentadas en el gráfico?

12. Luis tiene ingresos mensuales variables debido a que su trabajo es por obra y ha diseñado un gráfico para ordenar sus gastos e ingresos mensuales. De acuerdo a la información del gráfico, ¿cuánto gasta Luis en cuentas básicas en el mes de Diciembre de 2012? Desarrollo:

Página 128



13. El siguiente gráfico presenta los pesos de cuatro personas antes y después de una dieta. De acuerdo a la información entregada en él, ¿Qué porcentaje de su peso perdió Paulina después de la dieta?

14. Laura decide arrendar su casa y al momento de firmar el contrato le indica al arrendatario que el valor del arriendo aumentará en un 5% cada año trascurrido desde el momento de la firma. Después de dos años recibe por concepto de arriendo $205.065, ¿Cuál era el valor inicial del arriendo pactado? 15. Las exportaciones pesqueras chilenas en el primer semestre del 2012 registran un aumento del 18,5% con respecto a igual período del año 2011. Si en el primer semestre del año 2012 se exportaron 1.232,4 millones de dólares, ¿A cuántos millones de dólares ascendieron las exportaciones en el primer semestre del año 2011? 16. Hoy el valor unitario de un producto es de $15.367, ¿cuál fue el precio exactamente 2 años antes si se considera un incremento en los precios del 10% anual durante ambos años?


Página 129


Selección Múltiple 17. Un comerciante compra computadores a $456.000 cada uno, ¿A qué precio tiene que venderlos para ganar el 15% del valor inicial? a) $387.600 b) $445.740 c) $524.400 d) $547.200 e) $592.800 18. Un trabajador recibe un aumento de $45.668, lo que corresponde al 7% de su ingreso mensual. ¿Cuál es el total del su ingreso mensual después del aumento? a) b) c) d) e)

$606.732 $652.400 $677.240 $698.068 $743.736

19. La siguiente tabla presenta las cantidades fabricadas por una empresa de tres de sus productos en el segundo semestre de 2014:

Los directivos de la empresa saben que estas cantidades muestran un aumento de un 15% respecto al primer semestre del mismo año. ¿Cuántas unidades del producto B se fabricaron el primer semestre de 2014? a) b) c) d) e)

Página 130

7.540 7.773 7.860 7.920 7.940



20. Pedro tiene participación en tres empresas y construye el siguiente gráfico donde se registra el porcentaje de distribución en el presupuesto anual de cada empresa y el presupuesto disponible para cada una. ¿Cuál es la diferencia en millones de pesos entre la empresa A y B, para el departamento de Personal?

a) b) c) d) e)

$30.000.000 $60.000.000 $120.000.000 $150.000.000 $300.000.000

21. Camila tenía disponibles $58.600. $58.600. Se compró un pantalón y le quedaron $33.600, ¿Qué porcentaje aproximado del dinero que tenía inicialmente gastó en comprarse el pantalón? a) b) c) d) e)

40,3% 42,7% 57,3% 59,7% 74,4%

22. En el presupuesto anual del año 2014 en educación, se determinó que el número de becas para la educación superior aumentarían en un 64% con respecto al año anterior resgistrándose 280.000 becas al finalizar el año. ¿Cuántas becas más se otorgaron en el año 2014 con respecto al año anterior? a) 100.800 b) 108.000 c) 109.268 d) 170.732 e) 179.200


Página 131


23. En una empresa todos los años los sueldos de los trabajadores se reajustan de acuerdo al IPC del año anterior. El año 2013 el IPC correspondió a un 2,5% y el sueldo que recibe un trabajador el año 2014 fue de un $436.240. ¿Cuál era el sueldo que recibía el trabajador el año 2013? a) b) c) d) e)

$414.694 $425.334 $425.600 $436.240 $447.146

24. Marcela compró un producto el día jueves a $33.264 y sabe que las variaciones en el precio del producto son las siguientes: con respecto al día lunes el martes subió en un 5% su valor, el día miércoles con respecto respecto al martes disminuyó disminuyó en un 10% su valor y el día jueves con respecto al día miércoles aumentó en un 10% su valor. ¿Cuál era el valor del producto el día lunes? a) b) c) d) e)

$26.611 $31.680 $32.000 $33.240 $33.600

25. El siguiente gráfico presenta las toneladas de basura retiradas en Santiago. ¿Cuál es el porcentaje de toneladas de basura del día día miércoles con con respecto al total de toneladas retiradas? UTILIZAR FIX1

a) b) c) d) e)

Página 132

11,8 % 14,7 % 17,6 % 20,6 % 23,5 %



26. Una empresa decide capacitar a parte de sus trabajadores en un nuevo sistema computacional de cobranza. solamente se capacitará a los trabajadores del departamento de finanzas, que corresponden al 16% de los trabajadores de la empresa. Si fueron capacitados 36 personas, ¿Cuántas personas en total trabajan en la empresa? a) b) c) d) e)

200 209 216 225 261

Para desarrollar los ejercicios tener presente. Valor del IVA = 19% Valor Neto = Valor SIN IVA = 100% Valor de Venta = Valor CON IVA = 119% Para vender un producto, al valor neto se le debe agregar el IVA 27. El valor neto de un producto es de $18.000, para poder venderlo, ¿cuánto dinero se le debe agregar a su valor por concepto de IVA?

28. El valor de venta un producto es de $21.301, ¿cuál es su valor neto?

29. El valor de un auto es de $5.400.000 sin IVA, si la automotora realiza un descuento del 10% al precio con IVA, ¿cuánto se paga por el auto después del descuento? 30. Mónica adquiere un producto para su negocio cuyo valor neto es $48.000. Ella desea vender este mismo producto en su tienda con una utilidad del 30% sobre el valor de venta, ¿A qué valor debe vender el producto para obtener la utilidad deseada? 31. Por un determinado artículo se canceló $7.201 de IVA. ¿Cuál es el valor neto del artículo? y ¿cuál es el valor de venta del artículo?


Página 133


32. Don Mario, tiene una empresa de confección de ropa deportiva. Una persona le encarga 20 buzos, 32 chaquetas deportivas y 48 poleras. Si los valores netos de un buzo, una chaqueta y una polera son $ 14.000, $12.000 y $4.000, respectivamente, ¿cuánto debe cancelar en total esta persona si el precio a pagar debe incluir el IVA?

Para los siguientes ejercicios tener en consideración las siguientes observaciones: SUELDO IMPONIBLE o SUELDO SIN LOS DESCUENTOS = 100% SUELDO LÍQUIDO = 100% - % DE DESCUENTOS = SUELDO IMPONIBLE – DSCTOS.

33. Un trabajador recibe al final de mes un sueldo líquido de $552.960, le descontaron un 12,6% de la previsión, un 7% de salud, un 3% del impuesto único y un 0,6% de seguro de cesantía. ¿Cuál es el sueldo imponible de este trabajador?

34. La planilla de liquidación de un trabajador contempla los descuentos legales correspondientes a Salud (7%) y a la Previsión (12,6%). Dichos montos se calculan en base al suelo imponible, de acuerdo a esto: a) Si el sueldo imponible de una persona es de $550.000, calcule los montos destinados a previsión y salud. b) Determina el monto total de los descuentos. c) Determina el sueldo líquido que recibirá esta persona.

Página 134



35. Luis recibe la siguiente planilla por concepto de Liquidación de sueldo. Tener presente que el bono por movilización y las cargas familiares no son imponibles. Completa la planilla de liquidación de sueldo de Luis y determina, ¿cuál es el sueldo líquido que recibe ese mes?

36. Francisco tiene un minimarket, para abastecerlo necesita comprar algunos jugos y al comprar le entregan la siguiente factura.

a) ¿Cuál es el total neto de los productos que Francisco quiere comprar? b) ¿Cuál es el total de la factura? c) Francisco quiere vender en su local los productos con un 55% de ganancia sobre el precio al que los compró, ¿cuál será el valor de venta de las cajitas de jugo de 200cc? d) ¿Cuál es el valor que cancela Francisco por cada jugo de 1500cc?


Página 135


37. El valor neto de un producto es de $20.000. La tienda ofrece un 10% de descuento sobre el precio de venta del producto y luego le aplican un 5% de descuento adicional, ¿cuál es el valor que se termina pagando por el producto ? 38. A continuación se presenta una factura de una empresa de ropa deportiva donde Joaquín compró algunos productos. Completa la factura y contesta: a) ¿Cuál es el valor total sin IVA que debe cancelar Joaquín por todos los productos detallados en la factura? b) ¿Cuál es el valor total con IVA que debe cancelar Joaquín? c) El dueño de la empresa le aplica un 15% de descuento al total con IVA de la factura, ya que Joaquín es un cliente habitual, ¿Cuál es el total que debe cancelar Joaquín después de aplicado el descuento?

39. Se emite la siguiente factura correspondiente al pago de productos avícolas. Completa la factura y contesta, ¿cuál es el total que se cancela por esta compra?

Página 136



Selección Múltiple 40. Carlos encargó para su negocio 50 cajas de té y 45 tarros de café. Los valores netos de estos productos son $420 y $1.300 respectivamente, ¿cuánto debe cancelar Carlos en total por todos los productos que pidió?

a) b) c) d) e)

$15.105 $24.990 $69.615 $79.500 $94.605

41. Un trabajador recibe al final de mes un sueldo líquido de $556.800 considerando los descuentos legales que se detallan: 12,6% de la previsión, un 7% de salud, un 3% del impuesto único y un 0,6% de seguro de cesantía. ¿Cuál es el sueldo imponible de este trabajador? a) b) c) d) e)

$650.000 $692.537 $719.380 $700.000 $725.000

42. Pedro compró para abastecer su negocio de abarrotes distintos productos, los cuales se muestran en la siguiente tabla:

¿Cuál es el valor total que debe cancela por la compra de todos los productos detallados en la tabla?

a) b) c) d) e)

$24.000 $28.500 $28.560 $33.915 $40.359


Página 137


43. Un trabajador recibe un sueldo imponible de $780.000, monto al que se le realizan los siguientes descuentos: 12,6% de previsión, 7% de salud, 5% adicional de salud, 3% de impuesto único y 0,6% se seguro de cesantía. Además se le asigna un bono de $33.000 por locomoción y de $44.000 por colación, si estos bonos no son imponibles, ¿cuál es el sueldo líquido que recibe este trabajador? a) b) c) d) e)

$560.040 $593.040 $604.040 $615.326 $637.040

44. Sebastián canceló por un producto $2.983 de IVA. ¿Cuánto debe cancelar por 15 productos iguales con IVA incluido? a) b) c) d) e)

$15.700 $18.683 $53.247 $235.500 $280.245

45. La empresa “Luz”, ubicada en Concepción compró una camioneta por $8.000.000 valor sin IVA en Santiago. La automotora le cobra $850.000 por el traslado de la camioneta desde Santiago a Concepción. ¿Cuál es el total que debe cancelar la empresa por comprar la camioneta y trasladarla? a) b) c) d) e)

$8.850.000 $9.520.000 $10.120.000 $10.370.000 $10.531.500

46. Un artículo tiene un valor de $12.000 sin IVA, le rebajan al precio con IVA un 15%, ¿cuál es el valor del artículo después de aplicado el descuento? a) b) c) d) e)

Página 138

$10.200 $12.138 $13.800 $14.280 $16.422



47. Andrés encargó a una distribuidora tres tipos de productos, A, B y C para su empresa los cuales comprará con factura. El detalle de la factura es el siguiente: los valores netos de estos productos son: A $3.200, B $4.300 y C $2.100. El pedido consta de de 20 unidades del producto producto A, 15 del producto B y 18 del producto C, ¿cuánto debe cancelar Andrés por todos estos productos? (El monto total a cancelar debe tener incluido el IVA) a) b) c) d) e)

$132.447 $166.300 $197.897 $201.824 $271.201

En la siguiente tabla, se presenta información relacionada relacionada con la cantidad de productos comprados por una empresa. Con esta información contesta la pregunta 48 y 49.

48. ¿Cuál es el total que se debe cancelar por la compra de todos estos productos? a) b) c) d) e)

$400.000 $402.000 $404.400 $478.380 $481.236

49. El día 18 de abril el dueño de la empresa decidió vender el 30% del total de los productos que había comprado de los detallados en la tabla anterior. Si el valor neto de los productos que se venden el 18 de Abril es de $5.200 cada uno. ¿Cuál es el total recaudado por la venta de los productos ese día? a) b) c) d) e)

$6.188 $204.204 $378.576 $476.476 $680.680


Página 139


50. El valor neto de un producto A es de $52.800, el valor del IVA de un producto B es de $12.255. ¿Cuál es la diferencia entre los valores de venta de estos productos? a) $10.032 b) $13.923 c) $22.287 d) $62.832 e) $76.755

51. La planilla de liquidación de Patricio contempla los descuentos correspondientes a Salud (7%), la Previsión (12,6%), préstamo 5%. Si su sueldo imponible es de $320.000. ¿Cuál es el sueldo líquido que recibe? a) $78.720 b) $220.136 c) $241.280 d) $257.280 e) $398.720

52. Una empresa comete un error al prestarle una factura a otra empresa del mismo rubro, por un valor de $750.000 valor Neto. Por ello el SII castiga a la empresa de la siguiente manera: Debe pagar el valor con IVA de la factura, reajustada de acuerdo al IPC del periodo que es de un 3,8% más una multa de $260.000. ¿Cuál es el total de que la empresa deberá cancelar? a) $892.500 b) $926.415 c) $1.186.415 d) $1.201.900 e) $1.247.572

Página 140



A continuación se presenta una factura de una panadería, complétala y contesta las preguntas 53 y 54.

53. ¿Cuál es el total neto de la factura ?

a) $64.950 b) $75.450 c) $76.420 d) $77.291 e) $89.786

54. ¿Cuál es el total que se debe cancelar en la factura de la panadería?

a) $61.114 b) $75.450 c) $76.250 d) $89.786 e) $106.845


Página 141


Respuestas Guía de Estudio N°7: “Aplicando Porcentajes” Porcentajes” 1. El descuento corresponde a $5.496

29. Se cancela $5.783.400

2. El aumento corresponde a $2.625

30. Debe venderlo a $74.256

3. El valor con aumento es $43.700

31. El valor neto es $37.900 y el valor de venta $45.101

4. El valor de costo $74.900 5. Antes del aumento ganaba $325.000 6. Antes de la ampliación medía 76m2 7. En el control anterior medía 75cm

32. Debe cancelar $1.018.640 33. El sueldo imponible $720.000 34.

a) Previsión $69.300 y Salud $38.500 b) Total de los descuentos $107.800 c) Sueldo líquido $442.200

8. el precio de lista era $5.900 9. la vendió en $36.000.000 10. El valor de la casa era $31.250.000 11. El nuevo ingreso mensual será de $96.900 12. Luis gasta básicas

$214.200

en

35. El sueldo líquido es $273.400 36.

cuentas

13. Paulina perdió el 8% de su peso 14. el valor inicial del arriendo era de $186.000 15. En el 2011 las exportaciones fueron de 1.040 millones de dólares 16. El valor hace dos año era de $12.700

a) Total neto $66.540 b) Total de la factura $79.183 c) Valor de venta de las cajitas de 200cc es $350 aprox. d) Francisco cancela por cada jugo de 1500cc $1.071

37. Se cancela $20.349. 38.

a) Total sin IVA $857.200 b) Total con IVA $1.020.068 c) Joaquín cancela $867.058 después del descuento

39. El total de la factura es $124.891 17 C 22 C

18 D 23 C

19 D 24 C

27. Se agrega $3.420 28. El valor neto es $17.900

Página 142

20 A 25 C

21 B 26 D

40 E 45 D 50 B


41 E 46 B 51 C

42 D 47 C 52 C

43 E 48 D 53 B

44 E 49 B 54 D


Guía Resumen Prueba N°2 1. Un granjero tiene gallinas y pavos, la razón entre gallinas y pavos es 13 : 6 . Si el granjero tiene 120 pavos, ¿cuántas gallinas tiene el granjero? a) b) c) d) e)

55 82 140 260 380

2. Un vehículo demora 2,4 horas para cubrir la distancia entre dos ciudades viajando a 90 km/h. ¿Cuánto tiempo tardaría, en cubrir la misma distancia, viajando a la máxima rapidez permitida en la carretera que es de 120 km/h? a) b) c) d) e)

1,8 h 2h 2,1 h 3,2 h 7,2 h

3. Diego quiere comprar una casa y después de cotizar elige una casa cuyo valor es de 2.250UF. Si pagará el 8% de su valor al contado y el resto con un crédito hipotecario, ¿qué cantidad de dinero, en pesos, pedirá Diego con el crédito hipotecario? Considerar que 1 UF = $22.892,52 a) b) c) d) e)

$4.120.654 $8.241.308 $25.754.085 $47.387.516 $55.628.824


Página 143


4. El siguiente gráfico presenta la distancia recorrida por un bus de pasajeros en relación a los litros de combustible consumidos durante el viaje. Si mantiene una velocidad constante, de acuerdo a los datos de gráfico, ¿cuántos litros de combustible gastará el bus si realiza un viaje de 425km?

a) b) c) d) e)

8L 10,6 L 17 L 20 L 21,25 L

5. Patricio tiene en el patio de su casa una pared divisoria que mide 1,45 metros de altura. Desea construir una nueva pared divisoria cuyo alto sea un 20% más que la que ya tiene, ¿cuál será la altura de la nueva pared? a) 0,29 m b) 1,16 m c) 1,65 m d) 1,74 m e) 2,08 m 6. Diego cotiza el mismo plan de telefonía celular en dos compañías distintas A y B, para comparar los valores de los planes cotizados, realiza el esquema que se muestra en la figura. De acuerdo al esquema. ¿Cuál es la razón entre los valores de los planes cotizados por Diego entre las compañías A y B?

a) b) c) d) e)

Página 144

7:5 5 : 12 5:7 2 : 12 7 : 12



7. A continuación se presenta una una factura de una tienda de ropa de niños, complétala complétala determina el total de la compra. a) b) c) d) e)

y

$19.671 $74.435 $335.580 $336.000 $399.840

8. Juan desea viajar a Europa y para ello necesita cambiar su dinero por euros. Una semana tiene $250.000 para cambiar y a la semana siguiente tiene $415.000, ¿cuántos euros en total obtendrá Juan con el cambio? Considerar 1 euro = $616 a) 267,9 b) 405,8 c) 539,75 d) 673,7 e) 1.079,5 9. En la empresa donde trabaja Ana han determinado que los ingresos de sus trabajadores aumentarán en un 5% cada año. En el año 2012 el sueldo que Ana recibía era de $575.505, ¿cuál era el sueldo que recibía en la empresa hace dos años? a) $517.954 b) $522.000

c) $523.186 d) $546.730

e) $548.100


Página 145


10. Alberto y Esteban trabajan en la misma fábrica sellando diariamente un total de 160 cajas. La razón entre las cantidades de cajas selladas por Alberto y Esteban diariamente es 3 : 2 , ¿cuántas cajas semanalmente sella Alberto, si todos los días sella la misma cantidad y trabaja de lunes a viernes? a) 64 b) 96 c) 320 d) 400 e) 480 11. En una casa de cambio se muestra la siguiente tabla de valores en pesos chilenos:

Andrés desea cambiar 1850€ a dólares.

¿Cuántos dólares aproximadamente debe

recibir Andrés? (Recuerda que al cambiar €

a $, te están comprando los euros) a) b) c) d) e)

1.681 2.153 2.277 2.505 2.369

12. En un gimnasio se inscribieron un total de 84 personas para cursos de natación de las cuales 30 personas tienen nociones de natación y el resto no sabe nadar. ¿Cuál es la razón entre las personas que no saben nadar con respecto al total? a) b) c) d) e)

Página 146

5:9 9 : 14 14 : 9 5 : 14 9:5



13. La cantidad de días de duración del alimento para vacas que se necesita en una granja se relaciona en forma forma inversamente proporcional proporcional a los días que dura el alimento. Si se tienen 15 animales el alimento durara para 60 días, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? I. Si hay 60 vacas el alimento durará para 15 días. II. La constante de proporcionalidad proporcionalidad es 900. III. El siguiente gráfico modela la situación.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) I, II y III 14. Un árbol crece cada año un 27% de su altura, si hoy mide 80,645cm, ¿cuánto medía el árbol hace dos años? a) b) c) d) e)

43,55 cm 50 cm 52,4 cm 55 cm 63,5 cm

15. En un día de invierno se determinó que si está lloviendo de manera constante en 5 minutos caen 8 mm de agua. ¿Cuántos mm de agua caerán en tres cuarto de hora? a) 0,9 mm b) 64 mm c) 72 mm d) 96 mm e) 360 mm


Página 147


16. El siguiente gráfico presenta la distribución de los gastos mensuales de Javiera y los ingresos mensuales que recibió en los últimos meses del 2012. De acuerdo a los datos proporcionados en el gráfico, ¿cuánto destina Javiera al ahorro a horro en el mes de Noviembre de 2012?

a) b) c) d) e)

$72.000 $75. $76.800 $78.000 $80.400

17. El valor del IVA de un producto $4.560, si se ofrece un 10% de descuento sobre el valor de venta del producto, ¿cuánto se cancela por este producto después del descuento? a) b) c) d) e)

$21.600 $24.000 $25.704 $27.120 $28.560

18. Doce trabajadores se demoran 45 días en pintar las casas de un condominio, ¿cuántos trabajadores se necesitarán si se quiere terminar de pintar el mismo condominio en 20 días? a) b) c) d) e)

Página 148

6 10 15 27 28



19. El siguiente esquema se divide en partes iguales y muestra la distribución de los gastos mensuales de Ana. En el mes de Enero de 2013 ella recibió un ingreso de $540.000. Observando el esquema, ¿cuánto destina Ana al pago del agua?

a) b) c) d) e)

$22.500 $45.000 $67.500 $90.000 $180.000

20. Un trabajador recibe un sueldo imponible de $780.000 y se le realizan los siguientes descuentos legales: 12,6% de previsión, 7% de salud, 5% adicional de salud, 3% de impuesto único y 0,6% se seguro de cesantía. Además se le asigna un bono de $33.000 por locomoción y de $44.000 por colación que no son imponibles. ¿Cuál es el sueldo líquido que recibe este trabajador? a) $560.040 b) $593.040 c) $604.040 d) $615.326 e) $637.040 21. El valor de un auto disminuye en un 10% cada año desde el año siguiente a su compra, si el valor inicial del auto es de $8.900.000, ¿cuál será su valor después de 4 años? a) b) c) d) e)

$5.340.000 $5.839.290 $6.488.100 $7.209.000 $8.010.000


Página 149


22. Tres hermanos Enrique, Víctor y Laura reciben una herencia de $102.600.000, la cual se reparten en base al siguiente esquema, ¿cuánto dinero recibe Laura?

a) b) c) d) e)

$11.400.000 $22.800.000 $34.200.000 $45.600.000 $68.400.000

23. Un jefe de obra construye el siguiente gráfico donde relaciona la cantidad de operarios trabajando bajo las mismas condiciones y el tiempo en horas que se demoran en realizar un determinado trabajo. ¿Cuánto tiempo demorarán en realizar el mismo trabajo 16 operarios?

a) b) c) d) e)

9,37 6,25 12,5 200 800

h h h h h

24. Un producto tiene un valor neto de $70.000 y se pone a la venta con una recargo del 22% sobre el valor neto. Después de una semana, se ofrece un 5% de descuento al valor de venta del producto para promocionarlo, ¿cuál es el valor de venta después de la oferta? a) $79.135 b) $83.300 c) $81.130 d) $96.545 e) $101.626

Página 150



25. Andrés y Felipe reciben cantidades de dinero que están en la razón 4 : 9 , si Felipe recibe $128.000 más que Andrés, ¿qué cantidad de dinero recibe Andrés? a) b) c) d) e)

$25.600 $102.400 $153.600 $230.400 $332.800

26. Se considera que una persona debería caminar diariamente una distancia de 2.500 metros. ¿Cuántos kilómetros al año debería caminar una persona para mantenerse sana? Considerar 1Km = 1.000m a) b) c) d) e)

2,5 km 30 km 900 km 912,5 km 9.125 km

27. Andrés encarga tres productos para su minimarket A, B y C, detallados en la siguiente factura. Al pagar con la tarjeta de crédito, le realizan un descuento del 10% sobre el valor de venta, ¿cuánto se debe cancelar por todos los productos? a) $104.196 b) $583.695 c) $587.336 d) $652.596 e) $654.126


Página 151


28. En el sector donde vive Pablo cortarán el agua debido a reparaciones en la matriz. Para estar preparados su familia ha juntado agua en 4 bidones de 5.000cm 3 cada uno y 12 botellas de 2.500.000mm 3 cada una. ¿Cuántos litros de agua juntaron en total? Considerar 1 Litro = 1.000cm3, 1cm3 = 1.000mm 3 a) b) c) d) e)

7,5 L 10 L 20 L 30 L 50 L

29. Juan tiene una cuenta en un banco europeo, al recibir la cartola del banco, le indican que tiene en su cuenta un total de 2.505 euros. Si retira del banco el 20% del dinero, ¿cuánto dinero le queda en el banco? Considerar que 1 euro = $616 a) $308.616 b) $771.540 c) $1.234.464 d) $1.543.080 e) $1.851.696 30. Largo de una columna es de 672 pu lg . ¿Cuál es la longitud de esta columna expresada en Pies? Considerando que y 1 pu lg 2,54cm 

pié 1 pié

a) b) c) d) e)



30,48cm

8,7 pies 22,04 pies 56 pies 264,56 pies 8.064 pies

31. Luis realiza instalaciones de teléfonos y para ello utiliza cable de conexión. La razón entre el cable utilizado en una instalación con respecto al total 5 : 12 , si en una de cable que tiene es instalación utilizó 15 metros de cable, ¿cuántos metros de cable tenía en total? a) b) c) d) e)

Página 152

6,25 m 21 m 25 m 36 m 900 m



32. Laura quiere vender un nuevo producto en su negocio, diseña un plan de acción que se ve representado en el siguiente gráfico, donde se relacionan en forma proporcional la cantidad de artículos del producto A y el valor que se cancela en pesos. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?

I. Si Laura adquiere 12 productos debe cancelar $180.000. II. Si Laura adquiere un producto debe cancelar $30.000. III. La constante de proporcionalidad es 1/15.000 a) b) c) d) e)

Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo I Y III I, II y III

33. Pedro recibe un sueldo líquido de $693.564. Se le descuenta un 7% de salud, un 3% adicional de salud, un 12,6% de previsión, un 0,16% de impuesto único y 0,03 de la cuota del sindicato, si además se le cancela un bono de locomoción de $45.000, ¿cuál es el sueldo imponible de Pedro? a) $796.372 b) $840.000 c) $845.000 d) $851.627 e) $898.283


Página 153


34. El valor de venta de un producto es de $96.271, ¿cuál es el valor neto del producto? a) b) c) d) e)

$77.980 $80.226 $80.900 $87.519 $90.000

35. Enrique tiene un producto en su librería cuyo valor de venta en el mes de Enero es $23.600. En el mes de Febrero decide bajar el valor del producto en un 5% y en el mes de Marzo aumentarlo en un 15%. 15%. ¿Cuál es el valor de venta de este producto en el mes de Marzo?

a) b) c) d) e)

$21.602 $22.420 $25.783 $25.960 $27.140

36. Laura desea ir a Buenos Aires a pasar unos días y dispone de $315.250 más 120 dólares para cambiarlos por pesos argentinos. Si se tiene que 1 peso argentino = $97 y 1US = $474, ¿cuántos pesos argentinos podrá cambiar en total Laura? Utilizar FIX 0

a) b) c) d) e)

586 2.264 3.250 3.251 3.836

37. Una inversión de $350.000 produce una ganancia de $42.000 en un año. ¿Qué ganancia producirá una inversión de $450.000 a la misma tasa de interés y durante el mismo tiempo? a) b) c) d) e)

Página 154

$12.000 $32.667 $54.000 $59.040 $96.000



38. El siguiente gráfico presenta las matriculas registradas en un instituto de educación superior en los últimos años. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en las matriculas entre los años 2011 y 2012?

a) b) c) d) e)

12% 14% 15% 25% 30%

39. Si cinco operarios logran descargar 1.200 cajas idénticas en 4,4 horas, ¿cuántos operarios extra se necesitan para descargar la misma cantidad de cajas pero que se demoren 2 horas? a) b) c) d) e)

2 4 6 8 11

40. Javiera rinde una prueba de nivelación el profesor le entrega el siguiente esquema para representar su situación y además le indica que la diferencia entre las preguntas buenas y malas es 6. ¿Cuántas preguntas buenas contesto Javiera?

a) b) c) d) e)

2 4 6 10 15


Página 155


41. María tenía una pulsera de plata de 450 gramos, unos pendientes de plata que pesan 0,081 kg. kg. el par y una cadena de 156.000 mg. Si ha fundido las tres cosas para hacer monedas de 25 gramos cada una, ¿cuántas monedas puede obtener con toda la plata que ha fundido? Considerar Considera r 1gr = 1.000mg, 1kg = 1.000grs a) 6 b) 15 c) 21 d) 24 e) 27

42. Una distribuidora de café decide realizar una promoción en sus productos agregando un 15% al contenido original de cada tarro. Si los tarros promocionales contienen 230 gramos gramos de café, café, ¿cuál es el contenido original del tarro de café en gramos? a) b) c) d) e)

173,9 g 195,5 g 192 g 200 g 210 g

43. Un comerciante adquiere para su negocio un producto cuyo valor unitario neto es de $15.000. Él determina que el valor de venta del artículo subirá en un 2% cada mes, ¿cuál será el valor del artículo pasados tres meses? a) b) c) d) e)

$17.850 $18.207 $18.571 $18.943 $19.321

44. Una empresa fabrica dos tipos de sillas con tres y cuatro patas de soporte. Las cantidades fabricadas semanalmente entre las sillas de tres y cuatro patas se encuentran en la razón 7 : 11. Si la diferencia entre las sillas de cuatro y tres patas es de 2.240 unidades semanalmente, ¿cuántas sillas con cuatro patas se fabrican semanalmente? a) b) c) d) e)

Página 156

3.920 5.040 6.160 7.8440 10.080



45. Sofía quiere pintar cuatro paredes de 87.500cm 2 de superficie cada una. Al ir a comprar la pintura le indican que con un tarro puede cubrir una superficie de 8m2. ¿Cuántos tarros de pintura debe comprar para pintar las 4 paredes, si a cada pared le quiere dar dos manos de pintura? Considerar 1m 2 = 10.000 cm 2. a) b) c) d) e)

2 5 8 9 12

46. Un estudio determinó que 10,5% de los niños de la comuna son menores a seis años y que de estos el 95% asiste a jardines infantiles y escuelas. Si la comuna tiene un total de 340.000 niños, ¿cuántos niños menores a seis años asisten a jardines y escuelas?

a) b) c) d) e)

1.798 32.130 32.300 33.915 35.700

47. Un horno a petróleo consume 18 litros en 5 días, funcionando 4 horas diarias. En cuántos días consumirá 50,4 litros, si funciona la misma cantidad de horas diarias bajo las mismas condiciones. a) b) c) d) e)

4 11 14 25 56

48. Luis tiene una deuda en una casa comercial de $215.600, decide pagar el 45% de la deuda al contado y repactar el saldo de la deuda. La tienda le ofrece pagar el saldo de la deuda en 5 cuotas de igual valor más un interés total de $12.000, ¿Cuál es el valor de la cuota que debe pagar Luis? a) b) c) d) e)

$19.404 $21.804 $23.716 $26.116 $35.716


Página 157


49. El valor neto de un producto se incrementa en un 5% cada año. En el año 2009 el valor neto del producto era de $16.000, ¿cuál será el valor de venta del producto en el año 2012 ?

a) $16.800 b) $18.400 c) $18.522 d) $21.896 e) $22.041 50. El valor neto de un producto es de $30.000 y se ofrece un 5% de descuento sobre el valor de venta del producto, después del descuento, se le aplica un 10% de incremento, ¿cuál será el valor final del producto?

a) b) c) d) e)

Página 158

$33.915 $35.700 $37.307 $37.485 $41.055



Respuestas Guía Resumen Prueba N°2 Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Respuesta D A D E D C E E B E B B E B C C C D B E B D C D B

Pregunta 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


Respuesta D C E C C D A B C C E C B C D E D D C D D C D E C

Página 159


UNIDAD III: III:

“EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS” MATEMÁTICAS ”

Material de Estudio Guía N°8: “Evaluación de Expresiones Algebraicas” 

Expresión Algebraica Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Algunos ejemplos: El quíntuple de un número aumentado en 8

5 x  8



Tres cuartos del cuadrado de un número, aumentado en el óctuple de otro.

3 x

4

2

El doble de la raíz cuadrada de un número, aumentado en 4

 8m

2

x 

Menos cinco octavos del cuadrado de un número, aumentado en el doble del producto de “el cuadrado de x, a e y”



4

5

8

m

2



2

2 x ay

Evaluación de Expresiones Algebraicas Algebraicas Cuando en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada, se obtiene un número, que es el valor numérico de la expresión algebraica para los valores dados.

Ejemplo N°1: Los meteorólogos usan la siguiente expresión N 

2  t t  8

para determinar la cantidad de

que han caído después de t horas de iniciado el evento, ¿Cuántos llovió durante 3,2 horas? 

3

ml

3

ml

de lluvia

de lluvia se han juntado si

A continuación te mostraremos los pasos a seguir para desarrollar este ejercicio de una manera correcta:

Página 160



Desarrollo: Paso 1: Reemplazar 1: Reemplazar la variable t , por el valor asignado, obteniendo

N 

2  3,2 3,2  8

Paso 2: 2: Como el denominador de la expresión tiene una operación de suma, para ingresar los datos a la calculadora, se debe agregar un paréntesis al denominador tal como se muestra a continuación

N 

Tenemos 2 opciones:

2  3,2 (3,2  8)

o bien

Paso 3: Ingresar 3: Ingresar los datos a la calculadora y obtener el resultado

¿Cuántos

3

ml

N 

2  3,2 (3,2  8)



0,57

de lluvia se han juntado si llovió durante 3,2 horas?

Respuesta: Durante 3,2 horas de lluvia, se han juntado 0,57ml 3 de lluvia Ejemplo N°2 Con la expresión

A



2  R  ( R  H ) se puede calcular el área de la superficie de un cilindro

de altura H y radio R . Pedro tiene en su parcela una bodega que tiene forma cilíndrica, si el radio de la bodega es 1,5 metros y la altura es 3,2 metros, ¿Cuál es la medida del área de la superficie de la bodega de Pedro? Paso 1: Reemplazar en la expresión los datos proporcionados en el enunciado obteniendo

A  2  R  ( R  H ) A  2 1,5  1,5  3,2

Paso 2: Ingresar los datos a la calculadora, en este caso no se ingresa el valor de  , al final sólo se agrega este valor. Pero tener en en consideración que algunas veces se indica que el valor de debe ser reemplazado, sólo en ese caso se reemplaza. A  2  1,5  1,5  3,2 Por lo tanto se debe ingresar a la calculadora la expresión


Página 161


Paso 3: Ingresar los datos en la calculadora y obtener el resultado: A  2 1,5 

1,5  3,2  14,1

Paso 4: ¿Cuál es la medida del área de la superficie de la bodega de Pedro? Respuesta: 2 El área de superficie de la bodega es de 14,1 m En el momento de responder, se agrega el valor de

 y

la unidad de medida.

Ejemplo n°3: En una cuenta de agua potable se consigna un cargo fijo de $1.061. Sabiendo que el modelo de cálculo de tarifas es un modelo lineal y que por un consumo de cada m 3 se cobra $35:

¿Cuál es la expresión que permite calcular el total a pagar, si x representa la cantidad de m3 consumidos?

Paso 1: 1: En este caso se debe formar la expresión, para ello considerar que: CT  CV  x  CF

Paso 2: Identificar 2: Identificar cuáles son los costos fijos y variables CARGO FIJO DE $1.061 CADA M3 SE COBRA $35 Paso 3: Con los datos anteriores, formar la expresión algebraica que permite calcular el total a pagar CT  CV  x  CF CT  35  x  1061

Página 162

¿Cuánto se facturó en la cuenta de diciembre si en ese mes el consumo ascendió a 780m 3?

Paso 1: Identificar 1: Identificar los datos que se deben reemplazar Datos: Consumo ascendió a 780m3, que corresponden al valor de x Paso 2: Reemplazar el valor en la expresión obtenida CT  35  x  1061 CT  35  780  1061

Paso 3: Ingresar los datos a la calculadora CT  35  780  1061  28.361 Respuesta: Por un consumo de 780m 3 de agua se debe cancelar $28.361



Guía de Estudio N°8: N°8: “Evaluación de Expresiones Algebraicas”

1. La expresión

V

1 

3

   R

2

 H

permite calcular

el volumen de un cono, conociendo la altura H y el radio R . Sabiendo que la altura del cono es 0,9m y el radio es 1,5m, ¿cuál es el volumen del cono en m 3? (Use ∏=3,14 y Modo Fix 3) n

2. La

expresión

M

 C

I

i    1   , 100  

permite

calcular el monto que se retirará después de un depósito con interés compuesto, donde C I es el capital inicial, i es la tasa de interés y n es el tiempo. Francisco depositó un capital de $1.200.000 durante 15 meses a una tasa de interés mensual del 2%, ¿cuál es el monto que retirará Francisco después de este periodo? 3. La expresión V  R 2 H permite calcular el volumen de un cilindro de altura H y radio R . Si la altura del cilindro es 0,4 m y el radio es 0,3 m, ¿cuál es el volumen del cilindro en m3? (Use ∏=3,14 y Modo Fix 3 ) 





4. Pablo quiere construir una piscina rectangular en su casa y debe determinar cuál será su capacidad total en m 3. La expresión V a b c permite calcular el volumen de la piscina, donde a es el ancho, b es el largo y c es su profundidad. Las dimensiones de la piscina por construir son 3 m de largo, 2 m de ancho y 2,5 m de profundidad. ¿Cuál es el volumen de la piscina? 





5. La expresión

A

d

2



2

permite calcular el área

de un cuadrado conocida la medida de su diagonal. ¿Cuál es el área (en cm2) de un cuadrado cuya diagonal mide 8cm?


Página 163


6. Un proyectil se lanza directamente hacia arriba desde el suelo. Después de transcurridos t segundos, su distancia en metros por encima del suelo está dada por la fórmula: d 192 t 16t 2 . Después de transcurridos 6 segundos, ¿cuál será la altura del proyectil expresada en metros? 





7. La cantidad de horas diarias H que debe dormir un niño en crecimiento se puede calcular con la expresión H 14 E , donde 



2

E es

la edad del niño en años. ¿Cuántas horas diarias debe dormir un niño de 9 años? 8. La expresión P 0,89 E 90,72 permite calcular el peso en kilos de un hombre conocida su estatura E en cm. ¿Cuánto pesa Diego si mide 1,7metros de altura ? 





9. Se ha determinado que para cierta calculadora la demanda semanal D (cantidad de unidades vendidas) se relaciona con el precio x (en pesos), de acuerdo a la siguiente expresión D  1.500 500  2 x . ¿Cuál es la demanda semanal de la calculadora si el precio es de $8.500? 10. A un pequeño empresario textil le cuesta $8.000 confeccionar cada chaqueta polar que fabrica y además debe asumir costos fijos mensuales de $150.000 por concepto de almacenaje. Si q representa la cantidad de chaquetas polar producidas mensualmente entonces la expresión que permite calcular el costo total de fabricación es C  8000  q  150.000. Calcule el costo total que debe asumir el empresario al confeccionar 148 chaquetas de polar.

Página 164



Antes de resolver la pregunta 11 y otras otra s en este contexto, revise los siguientes sigui entes Datos Importantes: Para definir una expresión de costos utilizar CT  CV  x  CF , donde CT representa Costos Totales, CV Costos Variables, CF Costos Fijos y  representa la cantidad de artículos Para definir la expresión de los Ingresos utilizar I V x , donde I representa los ingresos, V el Valor de venta del producto y x cantidad de productos vendidos. 







11. En un taller de mecánica se ofrecen repuestos para un modelo de auto en particular. El valor de venta de cada repuesto es de $10.500. Además, el arriendo del taller mensualmente es de $63.000 y el costo de producción (en pesos) de cada repuesto es de $7.500. Con esta información: a) Exprese el Costo total C , si se fabrican x repuestos mensualmente. b) Exprese el Ingreso I , si se venden x repuestos mensualmente. c) ¿Cuál es el costo de producción si se fabrican 352 repuestos en el mes de septiembre? d) ¿Cuál es el ingreso que recibe el taller por la venta de todos los repuestos fabricados en el mes de Septiembre?

12. Los servicios básicos de un hogar, como por ejemplo la electricidad, cobran sus tarifas a los usuarios sumando un cargo fijo (que se cobra exista o no consumo de electricidad), más un costo de acuerdo a la cantidad de Kwh (Kilowatt por hora) consumidos en el mes. Para una cierta empresa de electricidad, el valor total a pagar por el usuario es la suma del cargo fijo equivalente a $462 más un valor de $50 por cada Kwh consumido durante el mes: a) Determina la expresión que representa el total a pagar T , si se consumen x Kwh. b) ¿Cuánto se paga en un mes m es si se consumen 240 Kwh?


Página 165


Selección Múltiple 13. La expresión

D

P 

permite calcular la densidad

V

de un cuerpo, conocido el peso en gramos y el volumen en m3. ¿Cuál será la densidad de un cuerpo si su volumen es 8 m 3 y su peso es 8,24 gramos? a) b) c) d) e)

0,24 gr/m3 0,97 gr/m3 1,03 gr/m3 16,24 gr/m3 65,92 gr/m3

14. Con la expresión A  2  R  ( R  H ) se puede calcular el área de la superficie de un cilindro de altura H y radio R . Pedro tiene en su parcela una bodega que tiene forma cilíndrica, la cual tiene un radio de 1,2 metros y una altura de 3 metros. ¿Cuál es la medida del área de la superficie de la bodega de Pedro? a) b) c) d) e)

15. La

2,40 m2 3,20 m2 6,60 m2 10,08 m2 25,20 m2

expresión

n

i  ,  M  C I  1    100 

permite

calcular el monto que se retirará después de un depósito con interés compuesto, donde C I es el capital inicial, i es la tasa de interés y n es el tiempo. Si Felipe depositó un capital de $1.850.000 durante 2 años y medio a una tasa de interés mensual del 1,5%, ¿cuál es el monto que retirará retirará después de este periodo? periodo? (Obs: Recuerde que el periodo del depósito debe estar en la misma unidad que la tasa de interés) a) b) c) d) e)

Página 166

$1.877.750 $1.920.157 $2.885.369 $2.891.698 $28.906.250



16. La ganancia anual G de una empresa, en miles de dólares, debida a los negocios con otras entidades después de x años que se realiza este negocio, se puede calcular con  1  la expresión G  100  60    . ¿Cuál será  2  la ganancia en miles de dólares después de 5 años? (Use modo FIX 2) x

a) US$40,00 b) US$70,00 c) US$98,13 d) US$99,98 e) US$101,88 2

17. La expresión

A



L

4



3

permite calcular

el área de un triángulo equilátero, conocida la medida de su lado (L). ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero si su lado mide 12cm? (Use modo FIX 1) a) 0,43 cm2 b) 5,2 cm2 c) 15,6 cm2 d) 20,9 cm2 e) 62,4 cm2

18. Una persona que usa un taxi para ir de su casa al trabajo, encontró la fórmula V  1,8  m  250 , para calcular el valor V que debe pagar si ha recorrido m metros, considerando semáforos y flujo vehicular en ese horario. Si el día miércoles recorre 4.282 metros en el taxi, ¿cuánto debe cancelar por viajar en taxi? a)$4.287 a) $4.287 b)$4.532 b)$4.532 c) $7.708 d)$7.958 d)$7.958 e)$8.208 e) $8.208


Página 167


19. Un fabricante de DVD averigua que al producir x equipos mensualmente, el costo de producción mensual (en dólares) se puede determinar con la expresión C  150 150 x  500 500 . ¿Cuál es el costo (en dólares) de producción si se producen 544 equipos mensualmente? a) US$1.194 b) US$81.600 c) US$82.100 d) US$82.600 e) US$272.150 20. La expresión T  1.950  45  x  10 , permite calcular el total mensual ( T ) que se debe cancelar por la cuenta de telefonía celular. Si se hablan al mes x minutos, ¿cuánto se debe cancelar por la cuenta si en el mes una persona utilizó 310 minutos? a) $6.450 b) $15.450 c) $15.900 d) $16.350 e) $88.050 Con el siguiente enunciado, contesta las preguntas 21 y 22. Los costos fijos anuales de una empresa Ascienden a US$ 2.000 y cada unidad producida le cuesta US$8. El costo total anual en dólares se denota por C y por x las unidades producidas durante un año. 21. Determine la expresión que modela la función del costo total anual C al producir x unidades del producto. 000 a) C  28x  2.000 000 b) C  8x  2.000 000x  8 c) C  2.000 008 x d) C  2.008

e) C  2.000  x   8

Página 168



22. ¿Cuál es el costo total anual (en dólares) si se producen 50.000 unidades? a) b) c) d) e)

US$52.008 US$100.008 US$398.000 US$402.000 US$416.000

Con el siguiente enunciado, contesta las preguntas 23 y 24. Una compañía que fabrica dispositivos electrónicos introduce al mercado un nuevo producto. Durante el primer año los costos fijos de la nueva corrida de producción son de $140.000 y el costo de producir cada unidad es de $250 23. Exprese el Costo total (en pesos) de la compañía C al fabricar q unidades. a) C  140 140.000 000  q  250 250 b) C  250q  140 140.000 c) C  140.000250  q d) C  250 250  q  140 140.000 000 e) C  250 250  q  140 140.000 000 24. ¿Cuál es el costo si se fabrican 3.300 dispositivos electrónicos? a) $143.550 b) $685.000 c) $890.000 d) $965.000 e) $965.250 Preguntas de Desarrollo 25. Cuando un cuerpo está en movimiento posee energía cinética, la cual se determina por medio de la expresión E C  1  m  v 2 , donde E C 2

corresponde a la energía cinética medida en Joule, m es la masa del cuerpo en kilógramos y v la velocidad en m / seg . ¿Cuál es la energía cinética de un cuerpo que pesa 3.800 gramos y que lleva una velocidad de 25 m / seg ?


Página 169


26. Luis tiene un terreno de forma rectangular, aledaño a su casa donde los niños del sector realizan distintas actividades deportivas. Por razones de seguridad necesita cercarlo y para ello debe calcular su perímetro. La siguiente expresión P  2a  2b , permite calcular el perímetro de un rectángulo P, donde a es el ancho y b el largo. Si el largo del terreno mide 4,6m y su ancho 3,2 m, ¿cuál es el perímetro del terreno de Luis ? 27. A Pedro le regalaron un balón esférico. El volumen de una esfera se determina por la

expresión

V

4  



3

r

3

, donde

r

es su

radio. Si el balón tiene un radio de 12cm, ¿cuál es su volumen ? 28. El volumen de un cilindro se puede calcular 2 con la expresión V  r h , donde r es el radio y h es la altura. Una empresa productora en derivados del trigo comprará comprará un silo con forma cilíndrica. Si el radio del silo es 12,2m y su altura es de 17m, ¿cuántos m3 de capacidad dispondrá? Considere  3 







29. La ganancia expresada en pesos de una fábrica de mochilas por las ventas de este producto están dada por la expresión G  10 x 100 0  x  50 500 0.00 000 0 , donde es el número de mochilas vendidas. ¿Cuál es la ganancia si se venden 25.000 mochilas ? 30. La expresión L  0,45  t  47,5 permite calcular la longitud de un bebé en centímetros, dependiendo de las semanas de vida t . ¿Cuál es la longitud de un bebé que tiene 9 semanas ?

Página 170



31. La expresión

43,2 y





2x

permite calcular la

2

medida del largo de una cancha de fútbol “ y ” conocida la medida de su ancho “

x

”, ambas

medidas en metros. ¿Cuántos metros mide el largo de una cancha de fútbol, si se sabe que el ancho es 6,4 metros? 32. La temperatura mínima en una zona vitivinícola se estima mediante la expresión y  t 2  12t  32 , donde “ y “indica la temperatura en grados Celsius (°C) y t indica el mes del año. año. ¿Cuál ¿Cuál será la temperatura que se registra en el mes de Mayo? 33. La tarifa que permite obtener el precio que se debe cancelar por enviar una encomienda con entrega domiciliaria es de $600 de tasa fija más $40 por cada kilo que se envía. a) Determina la expresión que permite encontrar el precio ( P ) de la encomienda, conocido el número ( n ) de kilos enviados. b) ¿Cuánto se debe cancelar por una encomienda que pesa 412kg? 34. La expresión

P  110 

x

, se usa usa para para estimar la

2

presión sanguínea máxima normal (P) de una persona considerando su edad en años “ x ”.

¿Cuál es la presión de una persona que tiene 28 años de edad? 35. Un artesano vende los productos que fabrica a $3.500 cada uno. Se sabe que le cuesta $1.500 producir cada uno y mantiene costos fijos mensuales de $4.000. a) Determina la expresión que modela el costo C (en pesos) al fabricar x productos artesanales. b) ¿Cuál es el Costo total si se fabrican 300 productos artesanales? c) Determina la expresión que modela el ingreso i ngreso I al vender x productos artesanales. d) Si se fabrican y se venden 300 productos artesanales, ¿cuál es el ingreso que obtiene el artesano?


Página 171


36. Los costos fijos mensuales de la empresa ABC ascienden a $120.000 y se sabe que les cuesta $35.000 producir cada artículo. Si q representa la cantidad de artículos producidos por la empresa mensualmente: a) Exprese el costo total C al producir q artículos. b) Calcule el costo total de producir 1.000 artículos.

Selección Múltiple 37. La siguiente figura muestra un CD en el que pueden verse dos círculos concéntricos. En la práctica el círculo del centro, cuyo radio es 2 cm, no contiene grabación. Si el radio del círculo mayor es de 6 cm y considerando que el área de un círculo de radio “r” se calcula

con la expresión de la región del CD que está grabada?

A

2

   r

, ¿cuál es el área

a) 4  cm2 b) 32  cm2 c) 36  cm2 d) 40  cm2 e) 64  cm2 38. Un empresario empresario determina que el número de x unidades confeccionadas por sus trabajadores mensualmente está dada por u



60 x  x 8

2

. Además sabe que el ingreso

total en dólares que se recibe por la venta de u unidades fabricadas mensualmente, está dada por I 95 u . ¿Cuál es el ingreso mensual obtenido por la empresa si en ella trabajan 80 personas? 



a)$133.000 a) $133.000 b)$57.950 b) $57.950 c) $56.050 d)$7.600 d) $7.600 e)$1.400 e) $1.400

Página 172



39. El crecimiento de una planta está dado por la expresión H  0,5x  2 , donde H representa la altura de la planta en cm y x el tiempo que transcurre en semanas. ¿Cuál será la altura de la planta pasadas 110 semanas? a) b) c) d) e)

53 cm 56 cm 57 cm 112,5 cm 552 cm

40. Un fabricante concluye que la expresión total de C  8q  40 permite calcular el costo total producción ( C ) en dólares, de acuerdo a la cantidad de artículos producidos ( q ). ¿Cuál es el costo si se producen 1.375 artículos? a) b) c) d) e)

US$1.423 US$11.000 US$11.040 US$11.320 US$55.008

41. La expresión T  0,4t 2  4t  10 permite calcular la temperatura en grados Celsius T de un experimento, pasadas t horas desde el inicio de la medición. ¿Cuál era la temperatura pasadas 6 horas?

a) 19,6 °C b) 31,6°C c) 38,4°C d) 48,4°C e) 55,6°C 42. Un museo tiene una política de admitir grupos de visitas de entre 30 y 80 personas. La expresión que permite calcular el ingreso del museo es I  1600  p , donde p representa el número de personas que ingresan. ¿Cuál es el ingreso que recibe el museo si el grupo de visita tiene 42 personas? a) b) c) d) e)

$48.000 $60.800 $67.200 $80.000 $128.000


Página 173


Con el siguiente enunciado, contesta las preguntas 43 y 44 Una empresa de telefonía cobra un cargo fijo mensual de $3.800 y $70 por cada minuto hablado: 43. Determina la expresión que representa el total a pagar T en relación a los minutos hablados mensualmente m . a) T  3.800  m  70 b) T  70  m  3.800 c) T  3.800  m  70 d) T  70  m  3.800 800 e) T  70  m  3.800 800m 44. ¿Cuánto se debe cancelar en un mes si se hablaron 312 minutos? a) b) c) d) e)

$4.182 $18.040 $21.840 $25.640 $26.740

45. El área de un rectángulo de lados a y b , se determina por la expresión A  a  b . Pedro quiere comprar un terreno rectangular que mide 35,5m de largo y 28m de ancho y le cobran $18.400 por metro cuadrado. ¿Cuánto tendría que pagar por comprar este terreno?

a) $1.035.000 b) $2.336.800 c) $14.425.600 d) $18.289.600 e) $23.188.600 46. Roberto decide asistir a un gimnasio. Al realizar la cotización, le entregan la siguiente expresión expresión T  18.900x  8.000 para calcular el total a pagar, donde x representa la cantidad de meses que asistirá. ¿Cuánto pagará Roberto en total si desea inscribirse por 6 meses? a) b) c) d) e)

Página 174

Desarrollo:

$26.900 $66.900 $113.400 $121.400 $161.400



47. El volumen de un como de altura h y radio r se puede determinar con la expresión 1  r V h . ¿Cuál es el volumen de un 2







3

recipiente en forma de cono cuyo radio y altura son 2cm y 12,3 cm respectivamente? a) 8,2 cm3 b) 16,4 cm3 c) 49,2 cm3 d) 68,16 cm3 e) 100,86 cm3 48. La expresión V  720 720  540 540  h  6 , permite calcular el volumen de agua de una piscina conocida su altura h en metros. ¿Cuál es el volumen de la piscina, si su altura es de 5 metros?

a) 90 m3 b) 180 m3 c) 360 m3 d) 731 m3 e) 1.260 m3


Página 175


Respuestas Guía de Estudio N°8: “Evaluación de Expresiones Algebraicas Algebraicas” 1. El volumen es de 2,120 m 3

27. El volumen de la pelota es de 3

2.304 cm

2. El monto retirado es $1.615.042

28. El volumen del silo es de

3. El volumen del cilindro es 0,113 m 3

7.590,84m

3

4. La capacidad de la piscina es 15 m3 5. El área del cuadrado es 32 cm2

29. La ganancia es de $2.000.000

6. Después de 6 segundos el proyectil alcanza una altura de 576 metros.

30. El bebé mide 51,55cm

7. Debe dormir 9,5 horas diarias.

31. El largo de la cancha mide 15,2 metros

8. Diego pesa 60,6kg

32. La temperatura en Mayo es de -3°C

9. La demanda es de 18.500 unidades

33. 600 a) P  40  n  600 b) Se deben pagar por la encomienda $17.080

10. El costo total es de $1.334.000 11. 000 a) C  7500  x  63.000 500 x b) I 10.500 c) $2.703.000 d) $3.696.000 

34. La presión es de 124



35. 000 0 a) C  1500  x  4.00 b) $454.000 c) I 3500 x d) $1.050.000

12.



a) T  50  x  462 b) $12.462 13 C 19 C

14 D 20 B

15 D 21 B

16 C 22 D

17 E 23 D

18 D 24 D

25. La energía cinética es de 1.187,5 joules

36.

37 B 43 D

26. El perímetro es de 15,6 metros

Página 176




a) C  35.000 000  q  120 120.000 000 b) $35.120.000 38 A 44 D

39 C 45 D

40 C 46 D

41 A 47 B

42 C 48 B


Material de Estudio Guía N°9: “Usando Símbolos Para Representar Situaciones” Analicemos las siguientes situaciones: Situación 1: En una venta nocturna de un prestigiado Mall se lee la siguiente oferta: “Todos los pantalones pantalones tienen un 10% de descuento” descuento”

Escriba una expresión algebraica que represente los precios después del descuento. Para llevar a cabo el desarrollo de este problema, veamos los pasos que se detallan a continuación:

Paso 1: Definir 1: Definir Incógnita 

x: precio de un pantalón sin el descuento

Paso 2: Traducir 2: Traducir al lenguaje algebraico 

Todos los pantalones tienen un 10% de descuento

Esto quiere decir que al valor original del Pantalón, que denominamos “x” se le debe descontar un 10% de su valor, es decir un 10% de “x”. 

Valor del pantalón : x



Valor a descontar : 10% de x, lo que se traduce en 10%  x





10 100



x



0,10 x

Valor del pantalón menos el valor del descuento = valor final x

-

0,10x

=

0,9x

Paso 3: Responder 3: Responder a la pregunta 

El valor final del pantalón después de realizar el descuenta será de “0,9x”


Página 177


Situación 2: Un depósito tiene en su interior una cierta cantidad de litros de agua. De su interior se sacaron 12 litros y luego se repusieron 2 de lo que quedaba en el depósito. 5

¿Cuál es la expresión que representa el agua que hay en el depósito?

Paso 1: Definir 1: Definir Incógnita x: litros iniciales de un deposito



Paso 2: Traducir 2: Traducir al lenguaje algebraico 

Se sacan 12 litros y se reponen

2

de lo que quedaba

5

Para determinar la cantidad de litros que queda en el depósito la lógica a seguir sería la siguiente: Litros iniciales menos litros que se sacan más litros que se reponen   

Litros iniciales : x Litros que se sacan: 12 Litros que se reponen : se reponen

2

de lo que quedaba

5

Si se sacan 12 litros, quedan en el estanque “x -12” litros, es decir, litros iniciales menos lo que se saca, entonces la expresión “

2

de lo que quedaba”

5

Es igual a

2

de “x-12”,

5

2

Es decir

5 

Litros que se reponen :

2 5





( x 12) 

( x  12)

Litros iniciales menos litros que se sacan más litros que se reponen x

-

12

+

2 ∙

(x

−

12)

Paso 3: Reducir 3: Reducir la expresión algebraica 

La expresión

x 

12 

2 5



( x  12)

es la correcta, pero debemos reducirla

algebraicamente, como se indica a continuación:

Página 178



La fracción multiplica a todos los elementos del paréntesis.

Multiplicar usando la calculadora.

Juntar términos semejantes Es muy importante practicar estos ejercicios para evitar errores al momento de trabajar con los signos y la reducción de términos semejantes.

Reducir términos semejantes

Paso 4: Responder 4: Responder a la pregunta La expresión algebraica que representa la cantidad de agua que queda en el depósito es: 7 

x −

 


Página 179


Guía de Estudio N°9: N°9: “Usando Símbolos para Representar Situaciones” 1. En una venta nocturna de un prestigiado Mall se leen las siguientes ofertas: a) Todos los pantalones tienen un 10% de descuento. b) Todas las sandalias con 70% de descuento. c) Electrónica con 15% de descuento. Escriba una expresión algebraica que represente los precios después del descuento. 2. Debido a los últimos problemas en el país los supermercados subieron los precios, en cada caso determine el valor final del producto descrito. a) Todas las leches incrementan su valor en 12%. b) Carnes rojas aumentan en 25% sus precios. c) Pescados y mariscos aumentan en 18% sus precios Escriba una expresión algebraica que represente los precios después del aumento. 3. En la figura puedes observar una piscina rectangular. Considera que sus dimensiones son x , y , z (largo, ancho y profundidad expresados en metros).

a) En el fondo sus dueños quieren poner baldosas. ¿Cuál es la expresión que determina el área que cubrirán las baldosas? b) Las paredes llevarán pintura para piscina en color celeste. Determine la expresión que determina el área total que deberá pintarse. c) ¿Cuál es la expresión que determina la capacidad de la piscina? (La capacidad es el Volumen L arg o Anch Ancho o Pr ofundidad ) 

Página 180







4. Don Aurelio hace casas para perros a la medida de su mascota, para ello establece las medidas a partir de la puerta de la casa que construirá. El dibujo muestra las relaciones de medida para la construcción construcción de la casa. casa. Transforme las siguientes siguientes relaciones a lenguaje algebraico.

a) b) c) d) e) f)

La altura de la puerta. El ancho de la puerta. El triple del ancho de la puerta. 3,5 veces el ancho de la puerta. El doble del ancho de la puerta. 1,5 veces el alto de la puerta.

5. Si un padre tiene 22 años más que su hijo, ¿cuál es la expresión que representa la suma de sus edades?

6. En un curso se sabe que hay 12 mujeres más que hombres. ¿Cuál es la expresión que representa el total de alumnos del curso? 7. Juan tiene una cierta cantidad de dinero. Si gastó 3/4 del dinero que tenía, ¿cuál es la expresión algebraica que representa el dinero que le queda disponible? 8. Un depósito tiene en su interior una cierta cantidad de litros de agua. De su interior se sacaron 12 litros y luego se repusieron la 2/5 de lo que quedaba en el depósito. ¿Cuál es la expresión que representa el agua que hay en el depósito?


Página 181


Selección Múltiple 9. El largo de un terreno rectangular mide 6 metros más que su ancho. Si es el ancho del terreno, la expresión que representa el perímetro es: x

a) 2 x  6 b) 4 x  12 c) 14 x d) 7 x e) 4 x  6 10. Un trozo de madera debe dividirse en tres partes, de tal manera que cada parte mida 2/3 de la parte anterior. Si es la longitud de primera parte, la expresión que representa la medida de la tercera parte es: x

a)

4 x

3

b) c)

4 x 

3

2 x

3

d)

2 x

2

3

e)

4 x

9

11. Carlos tiene una cierta cantidad de dinero. De esta cantidad gastó $25.000 y luego 3/8 de la cantidad inicial. Si es la cantidad inicial de dinero, la situación está modelada por la expresión: x

a)

x

000  25.000

b)

x



x

 25.000 

c) d) e)

Página 182

x

3 8

 25.000 

3 8

3 x

8

3 x 

8

x



3

12. Sí la expresión x  x modela la siguiente 4

situación: Juan tiene x cantidad de dinero y gastó 3/4 del dinero que tenía. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? I) II)

3 x

4

representa el dinero dinero que gastó 3

x



x

4

representa el dinero que le

quedó III) a) b) c) d) e)

13. Sí

1 x

4

representa el dinero que le quedó

Solo I Solo II Solo III Solo I y II I , II y III

la expresión

3

x

 25.000  x  25.000 8

modela la siguiente situación: Francisca tenía x cantidad de dinero. Gastó $25.000 y luego 3/8 de lo que le quedaba, ¿cuál (es) de la (s) siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? I.

5 x

8

 15.625 representa el dinero que le

quedó II.

5 x

8

 34.375 representa el dinero que le

quedó III.

3 8

x 

34.375 representa el total dinero

que gastó a) b) c) d) e)

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II, y II


Página 183


14. Enrique compró 4 protectores de pantallas para computador, 12 teclados y 20 mouse. Los valores unitarios de los productos cumplen la siguiente relación: El protector de pantalla cuesta $25.600 más que el teclado y el mouse $2.000 menos que el teclado, si es el precio del mouse, la expresión que representa el monto total de la compra es: x

a) 3 x  29.600 600 b) 36 x  29.600 600 c) 36 x  134 134.400 400 d) 36 x  62.400 e) 36 x  27.600 600 15. María decide salir a caminar 3 días a la semana y cada día recorre 254 metros más que el día anterior. Sí la expresión 3 x representa el total recorrido en los tres días. ¿Cuál es la afirmación correcta? a)  es lo que corre el primer día b)  es lo que corre el segundo día c)  es lo que corre el tercer día d)  es lo que corre el primer y segundo día en conjunto e)  es lo que corre el segundo y tercer día en conjunto Represente algebraicamente cada uno de los siguientes enunciados. Recuerde definir cada una de las incógnitas que utilizará 16. Pedro cotizó en una empresa de telefonía móvil un plan de minutos mensual; le ofrecieron un cargo fijo de $5.990 más $50 por cada minuto a cualquier compañía. Determine la expresión que permite calcular el monto total que Pedro deberá pagar al final de cada mes. 17. Un informático repara computadores a distintas empresas. Por ello, cobra un cargo fijo de $5000 por concepto de traslado, más $15.000 por cada computador reparado. Determine la expresión que le permite calcular el monto total que cobrará por visitar una empresa y reparar una cantidad “c” de

computadores.

Página 184



18. Ariel trabajó tres días trasladando escombros en su camión y cada día ganó 4/3 del día anterior. ¿Cuál es la expresión que representa el total recaudado durante estos tres días de trabajo? 19. Luis vendió su casa y en la transacción perdió 2/7 de su valor original. ¿Cuál es la expresión que representa el valor de venta?

20. Alberto ahorro dinero durante tres meses. En el primer mes ahorró el triple del segundo y en el segundo ahorró $5.200 más que en el tercero. ¿Cuál es la expresión que representa el total del dinero ahorrado? ahorrado? 21. Tres hermanos deciden regalar un LCD a su mamá. El hermano mayor deberá aportar el quíntuple del hermano menor y el hermano del medio el triple del hermano menor. Determine la expresión que modela la suma del dinero reunido por los tres hermanos. Selección Múltiple 22. Tres hermanos tienen una diferencia de 4 años entre ellos. ¿Cuál (es) de la (s) siguientes afirmaciones es (son) falsa (s)? I. La expresión 3m representa la suma de las edades de los tres hermanos si  es la edad del hermano menor II. La expresión 3m representa la suma de las edades de los tres hermanos si m es la edad del hermano mayor III. La expresión 3m representa la suma de las edades de los tres hermanos si m es la edad del hermano del medio a) b) c) d) e)

Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II, III


Página 185


23. Francisca compró 3 kilos de manzanas, 4 kilos de papas y 2 kilos de tomates. Se sabe que un kilo de papas cuesta $800 menos que el kilo de tomates y que el kilo de manzanas cuesta la mitad del kilo de papas. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?

I. La expresión

15 2

t  4400 ,

representa el

monto a pagar por el total de la compra, donde t es el precio del kilo de manzanas. II. La expresión 15 p 1600 , representa el 2



monto a pagar por el total de la compra, donde  es el precio de un kilo de papas III. La expresión 15 M 1600 , representa el monto a pagar por el total de la compra, donde  es el precio de un kilo de manzanas 

a) Solo I b) Solo II c) Solo I y II d) Solo II y III e) I, II y III

24. Tres

amigas Camila, Javiera y Soledad se reparten el dinero de la venta de algunos productos. Camila recibe una cierta cantidad, Javiera recibe $120.000 más que Camila y Soledad recibe $142.000 más que Javiera. Si es la cantidad de dinero que recibe Javiera, la expresión que representa la suma de las cantidades recibidas por las tres es: x

a)

3 x  262 262.000 000

b) 3 x  382 382.000 000

c) 3 x  22.000 000 d) x  120.000 e) 3 x  22.000 000

Página 186



25. En una tienda un producto tiene un descuento del 35%. Si x es el precio del producto sin descuento, la expresión algebraica que determina el valor a pagar del producto después del descuento es: a) b) c) d) e)

0,65 x x  0,35

35 x 65 x 0,35 x

26. Pablo es 6 años mayor que Víctor. Si p es la edad de Pablo, la expresión que representa la suma de sus edades es: a) p  6 b) 2 p  12 c) 2 p  6 d) 2 p  6 e) p  6 27. Jaime tiene una deuda en dos casas comerciales. Si m es el monto adeudado en la primera casa casa comercial comercial y en la segunda debe $32.500 más que en la primera, ¿cuál de las siguientes expresiones representan el monto total adeudado? a) b) c) d) e)

2m

2m  32.500 500 32.500 500  m

32.500m 2m  65.000 000

28. Ana tiene $300 más que Felipe y Laura tiene el doble de Felipe. Si f es la cantidad de dinero que tiene Felipe, la expresión que representa la diferencia entre el dinero de Laura y Felipe es: a) f  300 b) f c) 2 f d) f  300 e)

2 f  300


Página 187


Respuestas Guía de estudio N°9: “Usando Símbolos para Representar Situaciones” Situaciones ” 1. a)

b)

c)

Definir Incógnita Incógnita valor inicial de un pantalón

Desarrollo

x :

x

p : valor inicial de las sandalias

p

valor inicial de un artículo electrónico





10% x



x

x



100 0,1 x



x



0,9 x



p





p





0,3 p



x



x



0,85 x

70% p



70 100



15% x

0,3 p corresponde al

p

valor las sandalias después del descuento realizado

0,7 p

x :

x

Resultado final 0,9 x corresponde al valor del pantalón después del descuento realizado

10

0,85 x corresponde al

15 



x

valor final del del producto

100 0,15 x

2. a)

Definir Incógnita Incógnita inicial de la leche

y : valor

Desarrollo y  12% x  y 

m:

valor inicial de la carne

valor inicial de los mariscos y pescados

1,12 y

m 

25%m  m 

25 m

de la carne

0,25m

1,25m



a



1,25m corresponde al valor final

100



a:

a  18%a

18 100

a

1,18a corresponde al valor final

de los mariscos y pescados

a  0,18a a

 1,18

3.

longitud del largo de la piscina y : longitud del ancho de la piscina z : longitud del profundidad de la piscina x :

a) b) c)

Página 188

Resultado final corresponde al valor final de la leche

1,12 y

 m

c)

y

100  y  0,12 y 

b)

12

xy : área

de la piscina a cubrir con cerámicas 2 xz   2 yz : área de la piscina a pintar xyz xyz : Volumen o capacidad de la piscina



4.

a) b) c) d)

y

e) f)

2 x

altura de la puerta Ancho de la puerta El triple del ancho de la puerta 3,5 veces el ancho de la puerta

x

3 x

3,5 x

el doble del ancho de la puerta 1,5 veces el alto de la puerta

1,5 y

5.

Forma 1

Forma 2

Edad Edad del Hijo : x

Edad del Hijo : x  22

Edad Edad del Padre Padre : x  22

Edad del Padre : x

El total que representa sus edades es 2 x  22

El total que representa sus edades es 2 x  22

6. Forma 1

Forma 2

Cantidad de Mujeres Mujeres : x  12

Cantidad de Mujeres Mujeres : x

Cantidad de Hombres : x

Cantidad de Hombres : x  12

La expresión que representa el total del curso es:

La expresión que representa el total del curso es:

2x + 12

2x - 12

7. Si  es el monto inicial del dinero, el dinero disponible de Juan se representa por

3 x



x

4

o bien

1 x

4

8. Sea la cantidad de agua que hay en el depósito inicialmente. Entonces la cantidad de agua que queda en el depósito, está representado por : 2 La expresión reducida es: x  12  ( x  12) x

x 

12 

5 2 5

7

x 

84

x

24

5

5

9

10

11

12

13

14

15

B

E

D

E

A

C

B



5

16. Si  es la cantidad de minutos que Pedro habla en el el mes, el monto a pagar se representa representa por 5.990 990  50  m

17. La expresión es:

5.000 000  15.000 000  c

18. dinero que gana el primer día : x dinero que gana el segundo día : dinero que gana el tercer día :

4 

3

4

4 

3

x  

3

x 

4 3

x

16 9

x

El total recaudado durante los tres días, está representado por 37

La expresión reducida es:

19. Sea

x



7



4 3

x



16 9

x

x

9

el valor inicial de la casa, entonces el valor de venta de la casa se representa por:

2 x

x

5 x



7

x

20. Nivelación Matemática

Página 189


Forma 1 Dinero Dinero ahorrado el tercer mes : x Dinero Dinero ahorrado el segundo mes : x  5200 Dinero Dinero ahorrado el primer mes : 3   x  5200  3 x  15.600

Por lo tanto la expresión que representa el total ahorrado es 5 x  20.800 800

Forma 2 Dinero Dinero ahorrado el tercer mes : x  5200 Dinero Dinero ahorrado el segundo segundo mes : x Dinero Dinero ahorrado el primer primer mes : 3 x

Por lo tanto la expresión expresión que representa el total ahorrado es 5 x  5200

Forma 3 1

Dinero ahorrado el tercer mes : x  5200 3

1

Dinero ahorrado el segundo mes : x 3

Dinero ahorrado el primer mes : x

Por lo tanto la expresión expresión que representa el total ahorrado es 5 3

x  5200

21.

Forma 1 Dinero Dinero que aporta el hermano mayor : 5 x Dinero Dinero que aporta el hermano medio : 3 x Dinero Dinero que aporta el hermano menor : x

Por lo tanto el dinero reunido por los tres hermanos es: 9 x

Forma 2 5

Dinero que aporta el hermano mayor : x 3

Dinero que aporta el hermano medio : x 1

Dinero que aporta el hermano menor : x 3

Por lo tanto el dinero reunido por los tres hermanos es: 3x 22 23 24 25 26 27 28 D D C A C B B

Página 190



Material de Estudio Guía N°10: “Planteando y Resolviendo Ecuaciones Lineales” ¿Qué es ecuación de primer grado? Una ecuación es es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en las que aparecen valores conocidos o datos y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Las incógnitas se representan por letras. Observa las siguientes ecuaciones: Aquí tenemos algunos ejemplos:

3 x



5

x  1

 12

2

 3 x 

5 4

¿Cómo resolver una ecuación de primer grado? Resolver una ecuación de primer grado significa encontrar el valor de la incógnita, este valor satisface la igualdad. • • • •

Para resolver una ecuación de Primer Grado, se recomienda tener presente los siguientes pasos:

Eliminar los Paréntesis Eliminar los Denominadores Agrupar los Términos Semejantes Despejar la Variable

Ejemplo 1 Resolver la siguiente ecuación:



4



x  1 

2x  3

Paso Nº1: Eliminar el paréntesis, debemos Multiplicar para eliminar el paréntesis

Paso Nº2: Agrupar los términos semejantes.

4 x  4  2 x  3

4 x

2

x



3  4

Paso Nº3: Reducir los Términos Semejantes. Al reducir la parte literal (4x – 2x), se deben reducir los números (4 – 2) y se conserva la letra (x). 2 x 7 

Paso Nº4: Despejar la Variable.

Al despejar la incógnita, obtenemos la solución de la ecuación de primer grado:


x = 7/2

Página 191


Ejemplo 2 Resolver la siguiente ecuación:

x 3



x  1



2

2

Paso Nº1: Eliminar las Fracciones Para eso, debemos multiplicar todos los elementos de la ecuación por el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores. En este ejemplo, el MCM entre 3 y 2 es 6, multiplicamos todos los términos de la ecuación por 6. x

3

6

x  1

2

6 

26

Paso Nº2: Simplificar los términos fraccionarios Al multiplicar la ecuación por el MCM se obtiene una ecuació lineal.



2 x  3



x  1  12

Paso Nº3: Eliminar el paréntesis. Debemos Multiplicar para eliminar el paréntesis

2 x  3x  3  12

Paso Nº4: Agrupar los Términos Semejantes 2 x

 3x



12  3

Paso Nº5: Reducir los Términos Semejantes. Al reducir la parte literal (2x + 3x), se deben reducir los números 5 x 9 (2 + 3) y se conserva la letra (x). 

Paso Nº6: Reducir los Términos Semejantes. 5 x



9

Al despejar la incógnita, obtenemos la solución de la ecuación de primer grado, así…

Página 192


x = 9/5


Guía de estudio N°10: N°10: “Planteando y Resolviendo Ecuaciones Lineales” 1. Sí x representa el valor en $ de un libro, entonces la ecuación x  3x  50.200 modela la siguiente situación: “El valor de un libro sumado al triple del valor del mismo libro resulta ser $50.200” . Resolviendo la ecuación

determine el valor de de un libro.

2. Sí x representa el dinero ahorrado en el banco 171.000 000 Futuro, entonces la ecuación x  4x  171 modela la siguiente situación: “ Ana tiene ahorrado un total de $171.000 en dos bancos, en el Banco Capital tiene ahorrado el cuádruple de lo ahorrado en el Banco Futur o” o” . Resolviendo la

ecuación determine el dinero depositado en el Banco Capital. 3. Sí

es la edad de Juan, entonces la ecuación la siguiente situación: x  x  5  43 modela x

“Pedro es 5 años mayor que su hermano Juan y la suma suma de sus edades es 43 años”. Resolviendo

la ecuación determine la edad de Pedro.

4. Sí x es el peso total de un pez, entonces la 1

1

x  x  4,6  x

4 3 modela la siguiente situación: “La cabeza del pez corresponde al

ecuación

tercio de su peso total, la cola a un cuarto del

peso y el resto del cuerpo pesa 4,6 kg.”

Resolviendo la ecuación determine el peso de la cabeza y cola del pez.

5. Tres hermanos reciben una herencia repartida de la siguiente forma: El monto de la herencia fue de $33.150.000 y se pagó en gastos de notaria la suma de $2.100.000, el menor recibe cierta cantidad, el segundo recibe $6.200.000 más que el menor y el mayor recibe $4.100.000 más que el segundo.

Si

x

es el dinero que recibe el hermano menor, la ecuación:

x+x+6.200.000+x+4.100.000+6.200.000 = 33.150.000-2.100.000 modela la situación, resuélvala para determinar el dinero que recibió el mayor de los hermanos.


Página 193


6. Sí

x

es la capacidad total de un estanque,

entonces la ecuación

1 8

x 

38

3 

modela la

x

5

siguiente situación “De un estanque lleno de bencina, un automóvil consumió una cantidad igual a 7/8 de su capacidad, luego se repusieron 38 litros, la cantidad de bencina que hay en el estanque corresponde a las 3/5 partes de su capacidad total ”. ”. Resolviendo la ecuación

determine la capacidad total del estanque.

7. Camila tenía una cierta cantidad canti dad de dinero, gastó $36.000 y luego gastó 2/3 de lo que le quedaba, después de gastar estas dos veces le quedaron disponibles $51.000. Si x es el dinero que inicialmente tenía Camila, la siguiente ecuación 2 modela la 36.000 ( 36.000) 51.000 x





3



x





situación, resuélvala para calcular la cantidad de dinero inicial que tenía Camila. Selección Múltiple 8. Para realizar un trabajo en madera, Mauricio debe cortar 3 piezas de un trozo que mide en total 70cm de largo. La pieza más larga debe ser el doble que la pieza mediana y la más pequeña debe tener 10cm menos que la pieza del tamaño medio. ¿Cuál (es) de las siguientes ecuaciones permite (n) determinar la longitud de cada trozo? I. 2 x  x  x  10  70 , si la pieza Mediana 1

1

2

2

II. x  x 

x

x  10  70 , si

es la longitud de x

es la longitud

de la pieza Grande III. 2( x  10)  x  10  x  70 , si longitud de la pieza Pequeña

x

es la

a) Solo I b) Solo III c) Solo I y II d) Solo I y III e) I, II y III

Página 194



9.

A lo largo de la historia de los Juegos Odesur, Chile ha obtenido 838 medallas entre oro, plata y bronce. Las medallas de plata son 68 más que las de oro y las de bronce 21 más que las de plata. ¿Cuál (es) de las siguientes ecuaciones permite (n) determinar la cantidad de medallas de cada tipo? Considere x como la cantidad de medallas de oro. I. II. III. a) b) c) d) e)

x  x 

68  x  21  838 838

x  x 

68  x  68  21  838

3 x  157 157



838

Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III

10. Carmen compró 8 cuadernos y 4 lápices, si el valor de un cuaderno es $560 más que el valor de un lápiz y en total por todos los productos comprados se pagó $8.320. ¿Cuál (es) de las siguientes ecuaciones permite (n) determinar el valor de un un cuaderno? cuaderno? I.

x 

8.320 320 ,

si

x

es el valor de un

x  x  560 

8.320 ,

si

x

es el valor de un

x 

560 560 

cuaderno II.

lápiz III. 4 x  8( x  560)  8.320 , si un lápiz a) b) c) d) e)

x

es el valor de

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III

11. Patricia compró un total de 14,4 litros de pintura de dos colores. De color ladrillo compró 5,2 litros más que de color verde pistacho. Si x representa la cantidad de pintura color pistacho, entonces la ecuación x  x  5,2  14,4 modela la situación. Resuélvela para determinar la cantidad de pintura color ladrillo.


Página 195


Para dar respuesta a los siguientes ejercicios debe plantear y resolver una ecuación. 12. Ignacia compró un escritorio para su oficina con la tercera parte del presupuesto que le asignaron y luego compró accesorios de oficina con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al terminar sus compras se da cuenta que le sobraron $28.000. Sí x es el presupuesto asignado entonces la ecuación 1 2  1        28.000 modela la situación. x

x

3

x

3 

x

3



Calcule cuál fue el presupuesto asignado . 13. Jaime tiene una deuda en dos casas comerciales. En una de ellas debe $32.500 más que en la otra, si en total su deuda asciende a $84.800, ¿cuánto debe debe en cada casa comercial?

14. En tres días un hombre ganó un total de $18.500. Si cada día ganó 3 4 del día anterior, ¿cuánto dinero más ganó el primer día con respecto al tercer día?

15. Un comerciante va a un centro de distribución de materiales de obra gruesa y compra 25 sacos de cemento, 32 listones de madera y 24 planchas de pizarreño, pagando un total de $228.800. Los valores unitarios de los productos cumplen la siguiente relación: el saco cemento vale el doble del precio de un listón de madera y una plancha de pizarreño vale $700 más que la madera. ¿Cuál es el precio de cada material? 16. Luis, Alberto y Carlos instalan un negocio de comida rápida. Luis aportó el triple de la cantidad que aportó Alberto y éste el doble de lo que aportó Carlos. En total reunieron un capital inicial de $5.760.000, ¿cuánto dinero más aportó Luis que Carlos?

Página 196



17. Andrea estudia en Chillan y está en primero medio; su hermana Claudia está en la Universidad y estudia en Concepción. Claudia envía 60 problemas de desafío cada semestre a su hermana Andrea y le da $300 por cada problema resuelto correctamente. En cambio por cada problema que Andrea resuelve mal, debe devolver a Claudia $20. Si al final del semestre Andrea respondió todas las preguntas y logró juntar $9.680, ¿cuál fue el número de respuestas correctas?

Selección Múltiple 18. Andrés paga 5 7 de una deuda que tiene y aún le falta por pagar $24.000.Si x representa el total de la deuda, ¿cuál es la ecuación que modela la situación y que permite calcular dicho total? a)

5 7

b) c) d) e)



24.000 

5 x 

x 

7

x 

x

24.000

24.000

24.000 

24.000 

5 

x

7

2 

7

x

5 7

x

19. Un equipo de trabajo de 54 personas es separado en dos grupos de tal manera que el segundo grupo tiene 16 personas más que el primero. ¿Cuántas personas tiene el segundo grupo? a) b) c) d) e)

12 19 26 32 35


Página 197


20. Jaime y Marta invierten en algunas acciones la misma cantidad de dinero. Jaime ganó $9.000 y Marta perdió $7.000, de tal manera manera que que la cantidad que le quedó a Marta es la mitad de lo que le quedó a Jaime. Considerando que x es la cantidad que invirtió cada uno, la ecuación 2( x  7.000 000)  x  9.000 000 resuelve el problema de determinar esa cantidad. ¿Cuál (es) de las siguientes ecuaciones es (son) equivalente (s) a la entregada en el problema? I.

x 

II. III.

7.000 

2 x  7.000 000 1 2

x 

x 

9.000 2

 x  9.000 000

4.500 

x 

7.000

a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) Solo I y III

21. Un hombre viajó 9.362 Km por barco, avión y tren. Por tren recorrió recorrió 4/9 de lo que que recorrió por por barco y en avión 5/8 de lo que recorrió en tren. La ecuación que permite determinar la cantidad de km que recorrió en cada medio de transporte es

4 x 

9

5 4 x 



8 9

x 

9.362 ,

donde

x

son los km

recorridos en barco. ¿Cuál (es) de las siguientes ecuaciones es (son) equivalente (s) a la entregada en el problema? I. II.

4 x 

31 x

18

Página 198

9

20 x 



72

x 

9.362

9.362

III.

72 x  32 x  20x

a) b) c) d) e)

Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III



9.362 362



22. Tres hermanos Luis, Diego y Andrés, deciden comprar un TV PLASMA de 32 pulgadas para el cumpleaños de su madre cuyo valor es de $258.970. Diego aporta aporta el 50% de lo que aporta Luis y Andrés el 80% de lo que aporta Diego. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite determinar el dinero que aportó cada uno para comprar el TV PLASMA? a)

x  0,5 x  0,8x



258 258.970 970 , donde x es el

dinero que aporta Luis b)

x  0,5 x  0,4x



258 258.970 970 , donde x es el

dinero que aporta Diego c) x  2 x  0,8x  258.970 , donde x es el dinero que aporta Diego d)

x 

5 x  8x



258 258.970 970 ,

donde x es el dinero

que aporta Luis e)

x 

5 x  4x



258.970 970 ,

donde x es el dinero

que aporta Luis 23. Para fabricar un mueble se necesitan materiales y mano de obra. Los materiales cuestan $20.200 más que la mano de obra. El costo total del mueble es de $41.100. ¿Cuánto dinero se necesita para para comprar comprar los materiales? materiales? a) b) c) d) e)

$10.100 $10.450 $20.200 $30.650 $61.300

Para dar respuesta a los siguientes ejercicios debe plantear y resolver una ecuación. 24. Una persona recorre en tres días un total de 6.600 metros. Si cada día recorrió 440 metros más que el día anterior, ¿cuántos metros recorrió cada día? 25. Una persona vende su casa en $90.000.000, al venderla perdió 1/5 de su valor original, ¿cuál era el valor inicial de la casa?


Página 199


26. Una empresa reparte sus excedentes entre

los departamentos de finanzas y contabilidad. En total reparte $4.200.000, de tal manera que al departamento de finanzas les corresponde 2/5 de lo que les corresponde al departamento de contabilidad. ¿Cuál es la diferencia entre los excedentes asignados a ambos departamentos?

27. El largo de un terreno rectangular mide 8

metros más que el ancho, además se sabe que al dar dos vueltas por el contorno del terreno se utilizaron un total de 88 metros de alambre. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?

28. Pamela tiene $8.200 más que Nicolás, si

entre los dos tienen $41.400, ¿cuánto dinero tiene Pamela?

Selección Múltiple 29. Jorge tiene ahorrado una cierta cantidad de

dinero, gastó 3/8 del dinero que tenía ahorrado, luego depositó $23.500, quedando en la cuenta un total de $101.875. Si x representa la cantidad ahorrada inicialmente. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite calcular dicha cantidad? a) b) c)

3 x 

x 

e)

5 8

Página 200

8

x 

x 

x

x 

3

3 8

d)

8

3 8 



23.500  101.875

23.500  101.875

23.500  101.875 x  23.500  101.875

23.500  101.875



30. Víctor invirtió en acciones durante tres meses; cada mes destinó 2/5 del mes anterior, si en los tres meses compró acciones por un total de $ 702.000, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite determinar el dinero que invirtió cada mes? Considere x como la cantidad invertida el primer mes. a) b) c) d) e)

3 x x



702.000

2 

5

2

x 

5 2

x 

5

2 

5

x

x 

2 x 

5



2

702.000



5 4

x

25

702.000 

2 x 

5

x 

702.000

702.000

31. Paulina debe dinero en tres casas comerciales, en la segunda debe el 75% de lo que debe en la primera y en la tercera el 30% de lo que debe en la segunda, si en total debe$ 193.550, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite determinar el dinero que debe en cada casa comercial? considere x como es el dinero que debe en el primer lugar. a)

x 

b)

x  0,75 x  0,225x

c)

x 

d)

x  0,75 x  0,30x

e)

x 

75 x  30x

 193 193.550 550

75 x  2250x



193.550

 193 193.550 

193.550

0,75  0,225  193.550

32. Esteban compró 12 neumáticos y 4 baterías para su taller mecánico pagando un total de $518.000. Si el valor de una batería es el doble de un neumático, ¿cuál es el valor de una batería?

a) b) c) d) e)

$25.900 $32.375 $51.800 $64.750 $77.700


Página 201


33. Camilo realizó una ampliación en su casa y

para ello pidió un préstamo, del cual ha pagado los cuatro quintos del total y aún le queda por pagar $800.000. ¿Cuál (es) de las siguientes ecuaciones permite (n) calcular cuál fue el valor total del préstamo? I.

4 5

 x 

800.000

, donde x es el total de

la deuda II.

4 5

x  x



800.000 ,

donde

x

es

el

préstamo III.

4 5

x  800.000  x ,

donde x es el total

de la deuda a) b) c) d) e)

Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III

34. Pedro trabaja en dos talleres mecánicos

diariamente. En el primer taller trabaja 2 horas más que en el segundo taller, en total en los dos talleres trabaja 12 horas diarias. ¿Cuántas horas a la semana trabaja Pedro en el primer taller? (Pedro trabaja de Lunes a Sábado) a) b) c) d) e)

Página 202

5 horas 7 horas 12 horas 30 horas 42 horas



Respuestas Guía de estudio N°10: “Planteando y Resolviendo Ecuaciones Lineales” Lineales ” 1. El valor de un libro $12.550 15. El cemento $4.000, listón $2.000 , plancha $2.700

2. Banco Capital $136.800. 3. Pedro tiene 24 años

16. Luis aporta $3.200.000 más que Carlos.

4. La cabeza pesa 3,68 kg y la cola 2,76 2,76 kg

17. Andrea respondió 34 preguntas correctamente.

5. El hermano mayor recibió $15.150.000 18 B

6. 80 litros 7. $189.000 8 E

19 E

20 E

21 D

22 C

23 D

24. El primer día 1.760m, segundo 2.200m, tercero 2.640m 9 D

10 C

25. $112.500.000

11. 9,8 litros

26. $1.800.000

12. El presupuesto es de $126.000

27. 7x15 metros

13. En la primera casa comercial $26.150 y en la segunda $58.650

28. $24.800

14. En el primer día ganó $3.500 más que en el tercero

29 A


30 D

31 B

32 C

33 C

34 E

Página 203


Guía Resumen Prueba N°3 1. La producción de un empresa es de m unidades en el mes de Mayo, al mes siguiente la producción disminuyó en un 12%, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la producción en el mes de Junio?

a) b) c) d) e)

0,12m 0,76m 0,88m 1,12m

1,88m

2. Camila cotizó en tres empresas de telefonía distintos planes para contratar. En la primera compañía le cobran el doble que en la segunda y en la segunda el triple que en la l a tercera. Si el total de los tres planes cotizados es de $99.000, ¿cuánto dinero más pagaría en la primera que en la tercera compañía?

a) $9.900 b) $19.800 c) $29.700 d) $49.500 e) $59.400 3. Raúl compró en la vega 20 cajas de tomates, 30 lechugas y 12 kilos de de palta. Los Los valores unitarios de los productos cumplen la siguiente relación: la caja de tomates vale doce veces el valor de una lechuga y el kilo de paltas $500 más que una lechuga. Si en total por todos los productos canceló $132.900, la ecuación que permite calcular el valor de cada producto es 20  12 x  30 x  12   x  500  132.900 . ¿Qué representa la variable

x

en la ecuación?

a) El valor de una caja de tomates b) El valor de 30 lechugas c) El valor de un kilo de paltas d) El valor de una lechuga e) El valor de 20 cajas de tomates

Página 204



4. El valor de un disco duro veces su valor resulta ser representa el valor de extraíble, selecciona la permite calcular su valor. a) b) c) d) e)

x  x 

4

163.000 000  163

4 x 

x 

4

x 

4x

x 

extraíble más 4 $163.000, si x un disco duro ecuación que

x  163 163.000 000 x 



163 163.000 000

163 163.000 000

4 x  4 

x  163 163.000 000

5. Una persona observa que al lanzar una piedra, la altura alcanzada se determina por la expresión ht   2t  12t , donde t es el tiempo medido en segundos y h la altura medida en metros. ¿Cuál es la altura alcanzada por una piedra después de 3 segundos se haber sido lanzada? 2

a) b) c) d) e)

18 m 21 m 30 m 43 m 102 m

6. De un depósito de agua que está lleno se saca una cantidad igual a 1 3 de su capacidad total, luego se reponen 25 litros y la cantidad de agua que hay después de la reposición corresponde a las 7 9 partes de su capacidad total. ¿Cuál es la capacidad total del depósito? a) b) c) d) e)

56,25 litros 75 litros 100 litros 225 litros 228 litros


Página 205


Con el siguiente enunciado, contesta las preguntas 7 y 8 En una cuenta de agua potable se consigna un cargo fijo de $1.061. Sabiendo que el modelo de cálculo de tarifas es un modelo lineal y por el consumo de cada m 3 se cobra $35: 7. ¿Cuál es la expresión que permite calcular

el total a pagar, si x representa la cantidad de m3 consumidos ?

a) b) c) d) e)

061  x  35 T  1.061

T  35  x  1.061 T  35  x  1.061

T  35  x  1.061 T  35  x  1.061

8. ¿Cuánto

se facturó en la cuenta de diciembre si en ese mes el consumo ascendió a 780m3?

a) b) c) d) e)

$1.876 $28.361 $28.711 $29.061 $64.435

9. Javiera tiene ahorros en una cuenta bancaria y en un APV. En el APV tiene $150.000 menos que en la cuenta del banco; en total tiene ahorrados $900.000. Si x representa la cantidad ahorrada en el banco, ¿cuál es la ecuación que permite calcular la cantidad de dinero que tiene ahorrado Javiera en cada cuenta? a)  150.000  900.000 b) x 150 150.000 000  x  150 150.000 000  900 900.000 000 c)   150 150.000 000  900 900.000 000 d) 3 x  150.000 000  900.000 e)  150 150.000 000   900.000 x

x

x

Página 206

x

x



10. El volumen de un cilindro se puede determinar con la expresión V  r h , donde r es el radio y h la altura. Una empresa desea almacenar su cosecha en un silo con forma cilíndrica cuyo radio mide 15,6m y su altura es de 21m. ¿Cuántos m 3 de capacidad tiene el silo? Considere  3 



2





a) b) c) d) e)

982,8 0 2.948,40 5.11 110 0,56 15.331,68 20.638 638,8 0

Con el siguiente enunciado, contesta las preguntas 11 y 12 La Compañía Eléctrica se vale del siguiente método para calcular las facturas mensuales de consumo eléctrico. Para cada cliente considera un cargo fijo mensual de $1.077 y cobra $57,05 por Kilowatt/hora de consumo. Si C es el cargo mensual en pesos y k indica el número de kilowatt/hora que se consumen durante un mes: 11. Determine la expresión que modela el

cargo mensual C para eléctrico de k Kwh.

el

consumo

a) C  1.077  k  57,05 b) C  57,05  k  1.077 c) C  57,05  k  1.077 d) C  57,05  k  1.077 077 e) C  1.077 077  k  57,05

12. ¿Cuánto debe pagar un cliente cuenta que consume 263 Kwh al mes ?

a) b) c) d) e)

$14.541 $16.068 $16.081 $16.199 $74.564


Página 207


13. Alberto desea poner una reja por el

contorno de su casa. El terreno es rectangular de largo 7,8 m y ancho 5,4 m. Si para calcular el perímetro du un rectángulo se utiliza la expresión P  2a  2b , donde P es el perímetro y a es el ancho y b es el largo, ¿cuál es el perímetro del terreno de la casa de Alberto? a) 10,8 m2 b) 13,2 m2 c) 15,6 m2 d) 26,4 m2 e) 42,12 m2

14. Enrique compró un TV LED

pagando al contado el 45% de su valor y queda debiendo $133.595. ¿cuál es el valor del TV LED que quiere comprar Enrique ?

a) b) c) d) e)

$60.118 $73.477 $109.305 $242.900 $276.495

15. Diego es 6 años mayor que su hermano

Joaquín, la suma de sus edades es 54 años. Si x representa la edad de Joaquín, identifica la ecuación que modela el enunciado y que permite calcular la edad de Diego.

Página 208

a)

x  x  6



54

Edad de Diego es 24 años

b)

x  x  6



54

Edad de Diego es 12 años

c)

x  x 

d)

x 

e)

x  6  x  6

6

6

x



54

6  54 

54

Edad de Diego es 30 años Edad de Diego es 27 años Edad de Diego es 21 años



16. Los

meteorólogos usan la siguiente expresión N  2  t para determinar la t  8

cantidad de ml de lluvia que han caído después de t horas de iniciado el evento. ¿Cuántos ml de lluvia se han juntado si llovió durante 3,2 horas ? 3

3

a)

0,25 ml

b)

0,54 ml

3

3

c) 0,57

3

ml

d)

0,8 ml

e)

10 ml

3

3

Con el siguiente enunciado contesta las preguntas 17 y 18. Una empresa fabrica lozas de cemento para casas prefabricadas. Don Elías, el dueño del negocio, estima que el costo fijo de la fabricación de la loza de cemento es de $7.500 y que fabricar cada loza de cemento le cuesta $4.000. 17. Represente el costo total mensual C de producir x lozas de cemento .

a) C  7.500 500x  4000 b) C  11.500 500 x c) C  4.000 000x  7.500 500 d) C  4.000  x  7.500 e) C  4.000 000  x  7.500 500

18. ¿Cuál es el costo si se quieren fabricar en un mes 150 lozas de cemento ?

a) $11.500 b) $11.650 c) $607.500 d) $1.129.000 e) $1.725.000


Página 209


19. Una molécula de azúcar está compuesta por átomos de hidrogeno, oxígeno y carbono. Se sabe que los átomos de hidrógeno son el doble de los átomos de oxigeno y que los átomos de carbono son uno más que los de oxígeno. Si la molécula de azúcar tiene en total 45 átomos, ¿cuántos átomos de hidrógeno tiene la molécula?

a) b) c) d) e)

10 11 12 22 23

20. Ricardo participó en la triatlón que contempla correr, nadar y andar en bicicleta. Corrió 1 3 de la distancia total, nadó 2 kilómetros y recorrió en bicicleta 3 5 de la distancia total. Si x representa la distancia total recorrida, ¿cuál es la ecuación que modela el enunciado y que permite calcular la cantidad de kilómetros que recorrió Ricardo en en bicicleta ?

a)

1

3

Ricardo

recorrió

10

kilómetros en bicicleta b) 1 x  2  3  x Ricardo

recorrió

20

kilómetros en bicicleta c) 1 x  2  3 x  x Ricardo

recorrió

18

3

x 

2

5

3

x  x

5

3

5

kilómetros en bicicleta d) 1  2  3 x  x Ricardo

recorrió

5,8

kilómetros en bicicleta e) 1  2 x  3  x Ricardo

recorrió

12

3

3

5

5

kilómetros en bicicleta

Página 210



21. Pamela tiene $2.700 más que Nicolás y Ana tiene el doble de dinero que Nicolás. Si entre los tres tienen $24.700, la ecuación que permite calcular la cantidad de dinero que tiene cada uno es 700 . ¿Cuál (es) de x  2700  x  2 x  24.700 las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. x representa la cantidad de dinero que tiene Pamela II. x representa la cantidad de dinero que tiene Nicolás III.Ana III. Ana tiene $11.000. a) Solo I b) Solo II c) Sólo III d) Solo I y III e) Solo II y III Con el siguiente enunciado contesta las preguntas 22 y 23 Un fabricante de tablas de surf, tiene gastos fijos mensuales $US1.800 y un costo unitario de producción de $US400. Las tablas de surf se venden $US700 cada una. 22. Determina la expresión del costo producir x tablas de surf

C

de

a) C  400x  1.800 b) C  400  x  1.800 c) C  1.800  x  400 d) C  1.800x  400 e) C  400 400 x  700

23. ¿Cuál es el costo (en US) si se fabrican 75 tablas de surf ?

a) b) c) d) e)

$US 2.275 $US 30.700 $US 30.000 $US 31.800 $US 52.900


Página 211


24. El IMC (índice de masa corporal) de una persona, se puede calcular utilizando la peso expresión IMC  peso , donde el peso de estatura 2 mide en kilos y la estatura se mide en metros. ¿Cuál es el IMC de una persona que pesa 65kg y mide 1,6 metros? USE MODO FIX2.

a) b) c) d) e)

0,04 25,39 40,63 62,44 166,40

25. La expresión

M

 C I

i    1    100 

n

, permite

calcular el monto que se retirará, donde C I es el capital inicial, i es la tasa de interés y n es el tiempo. Antonio depositó un capital de $1.125.000 durante 2 años y medio a una tasa de interés mensual del 1,2%, ¿Cuál es el monto que retirará Antonio después de este periodo? (El periodo del depósito debe estar en la misma unidad que la tasa de interés) USE MODO FIX 0 a) b) c) d) e)

$1.138.500 $1.159.054 $1.609.044 $1.754.616 $8.076.240

26. La expresión T  0,005x  4 , permite calcular el total a pagar (en Euros) por estacionar en un lugar privado dependiendo de la cantidad de minutos x . ¿Cuál es el total que se debe cancelar en pesos si se está estacionado por 1 hora y 44 minutos considerando que 1 euro = $612? USE MODO FIX1

a) b) c) d) e)

Página 212

$2.448 $2.451 $2.586 $2.766 $2.769



27. Con la expresión A  2  R  ( R  H ) se puede calcular el área de la superficie de un cilindro de altura H y radio R . Pedro tiene en su parcela una bodega que tiene forma cilíndrica, si el radio de la bodega es 1,5 metros y la altura es 3,2 metros, ¿cuál es la medida del área de la superficie de la bodega de Pedro? a) 3 m2 b) 4,7 m2 c) 7,7 m2 d) 14,1 m2 e) 30,08 m2 28. Francisco, Diego y Andrés están estudiando para una prueba de Nivelación. Francisco realiza el triple de ejercicios que Diego y Andrés realiza ocho ejercicios más que Diego de tal manera que en en total realizan 68 ejercicios. ¿Cuántos ejercicios realiza Andrés?

a) 8 b) 12 c) 20 d) 32 e) 36 29. Andrés paga 3/5 de una deuda que tiene en una casa comercial por pedir un avance en efectivo y aún le faltan por pagar $110.360. Si x representa el total de la deuda, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? I.

La ecuación que permite calcular la deuda 3 total que tiene Andrés es 110.360 x



x

5



II.

La ecuación que permite calcular la deuda total que tiene Andrés es 3 x  110.360  x

III.

La deuda total inicial que tiene tiene Andrés con la casa comercial es de $275.900

5

a) Solo I b) Solo II c) Solo I y III d) Solo II y III e) I , II y III


Página 213


30. María y Alejandra trabajan en la misma

empresa etiquetando productos. En un día de trabajo María etiqueta 3/5 de los productos que etiqueta Alejandra, si en total etiquetan 432 productos diariamente, ¿cuál es la ecuación que modela el enunciado y que permite calcular cuántos productos etiqueta diariamente María? 3

a)

5

x  x

432



María etiqueta 360

productos diariamente b) 3  x  432 María etiqueta 28 5

productos diariamente c) 3   432 María etiqueta 162 x

x

5

productos diariamente d) 3 x  x  432 María etiqueta 270 5

productos diariamente e) x  3 x  432 María etiqueta 230 5

productos diariamente

31. La edad de Bárbara es 3/5 de la edad de Andrés y la edad de Camila es 3/8 de la edad de Bárbara, si entre los tres suman 73 años y x representa la edad de Andrés, ¿cuál es la ecuación que modela el enunciado y que permite calcular la edad de cada uno? a)

3 5

x  x 

c)

x 

x 



8 5

3 3 

8 5

5

x 

73

73

73

3 3 x  x 

3 5

x 

3 x 

3 5

e)

8

3 3

b)

d)

Página 214

3 x  x 



8 5

x 

3 x  x 

5

x 

73

73



32. Daniela gasta la tercera parte de su sueldo en alimentarse y cuatro quintos del resto en arriendo. Si después de pagar estas cuentas se queda con $80.000, ¿cuál es el sueldo total que recibe Daniela?

a) $280.000 b) $400.000 c) $600.000 d) $680.000 e) $1.200.000 Con el siguiente enunciado contesta las preguntas 33 y 34 La gerencia de la empresa BACKUS S.A. determina que los costos fijos mensuales correspondientes a la división que fabrica la bebida VIVA ascienden a $US12.100. El costo de producción de cada caja de gaseosa es de $US32 y cada caja se vende a $US50. 33. Determina la expresión que permite calcular el costo C de fabricar x cajas de bebidas? a) b) c) d) e)

C  50  x  12.100 C  12.100 100  x  32 C  82  x  12.100 100





C  32  50  x  12.100 C  32  x  12.100 100

34. Determina la expresión que permite calcular el ingreso I si se venden x cajas de bebidas. a) I  32 x b) I  2.100 x c) I  50 x d) I  50x  32 e) I  82 x

35. Los costos totales mensuales de una guardería infantil, se pueden obtener con la expresión 000 x  50.000 000 , donde x es el número de C  18.000 niños inscritos. ¿Cuál es el costo mensual de la guardería si en un mes hay ha y inscritos 26 niños?

a) b) c) d) e)

$68.000 $518.000 $832.000 $1.318.000 $1.768.000


Página 215


36. Una camioneta transporta tomates y paltas entre los cuales hay 120 kilos más de paltas que de tomates. Si en total la camioneta transporta 632 kilos, ¿cuál es la ecuación que modela el enunciado y que permite calcular la cantidad de kilos de paltas que transporta la camioneta? a)

x  120 

632

Transporta 512 kilos de

paltas b) x  x  120  632 Transporta 376 kilos de paltas c) x  x  120 120  632 632 Transporta 256 kilos de paltas d) x  120  x  120  632 Transporta 316 kilos de paltas e) x  x  120  632 Transporta 496 kilos de paltas 37. El área de un rectángulo de lados a y b , se determina por la expresión A  a  b . Luis quiere comprar un terreno rectangular que mide 42m de largo y 25,5m de ancho, si le cobran $15.000 por metro cuadrado, ¿cuánto deberá cancelar por comprar este terreno?

a) $2.025.000 b) $4.083.750 c) $9.753.750 d) $16.065.000 e) $26.460.000

38. Andrés cotiza un plan de telefonía celular. La compañía realiza los cobros a sus clientes mediante la siguiente expresión V  6.000 000  0,55 x , donde x representa los segundos hablados en un mes. ¿Cuánto debe cancelar Andrés a la compañía en un mes si habla 224 minutos?

a) $6.123 b) $7.392 c) $13.440 d) $13.392 e) $19.440

Página 216



39. Tres socios reparten las ganancias anuales

de su empresa de tal manera que, el primero, recibe el triple que el segundo y éste, el doble que el tercero. Si en un año determinado reparten $17.550.000, ¿cuánto dinero más recibe el primero que el tercero?

a) $1.950.000 b) $5.850.000 c) $7.800.000 d) $9.750.000 e) $11.700.000 40. Sebastián

tiene ahorrado una cierta cantidad de dinero, gastó 3/8 del dinero que tenía ahorrado, luego depositó $23.500, quedando en la cuenta un total de $101.875. Si x representa la cantidad de dinero que tenía originalmente ahorrado Sebastián, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? I. La

ecuación

3 x 

8

x  23.500  101.875

permite calcular el total del dinero que tenía ahorrado Sebastián. II. 3 representa la cantidad de dinero x

8

que gastó III. El total del dinero ahorrado por Sebastián es $209.000 a) b) c) d) e)

Solo II Solo III Solo I y III Solo I y II I, II y III


Página 217


Respuestas Guía Resumen Prueba N°3 Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Página 218

Respuesta C D D D A D B B C D C C D D C C C C D C

Pregunta 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


Respuesta E A D B C D D C E C D C E C B B D D D D


Material de Estudio Guía N°11: “Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones” ¿Qué es un Sistema de Ecuaciones? Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o más más ecuaciones que tienen idéntica solución, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas. 100 x  50 y x  y



8400

 120

x

Aquí se presentan 2 ejemplos de sistemas de ecuaciones

1 3



y



53

y



21

3 x



7

¿Cómo Resolver un Sistema de Ecuaciones? Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existen varios métodos, a continuación se explicarán el Método de reducción 

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Se multiplica una ecuación por un número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema. El método de reducción consiste en eliminar una incógnita del sistema. Resolver el siguiente sistema: 2 x  5 y  3 x 

 3

4 y

 7

Paso Nº1: Decidir que incógnita eliminar: Elegiremos la “x” 

Paso Nº2: Hay que multiplicar tanto la primera ecuación como la segunda con el fin de que 

los valores que acompañen a la incógnita “x” sean el “mismo” pero con signos

distintos: Multiplicaremos la primer ecuación por 3 y la segunda por 2 2 x  5 y  3 x 

4 y

 3  7

/ 3

Luego de multiplicar se obtiene:

/ 2

6 x 


 15 y  9

6 x



8 y

 14

Página 219


Paso Nº3: Sumar términos semejantes entre las ecuaciones 

6 x  6 x

6 x  6 x

Eliminándose la incógnita



6 x  6 x

 15 y



 8 y



15 y  8 y



 14





 15 y  8 y 

23 y

9

9

9



14

 14

 23

Paso Nº4: Despejar variable y: 

23 y



y



y



23





23

23 1



Paso Nº5: Para calcular ”x” sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales el valor 

de “y” 

Sustituyendo en la primera, nos queda. 2 x 2 x





5 y

 3

5  1  2 x



5

3

 3

2 x

 3 

2 x



x



x

1

5

2 2 2

Paso Nº6: Comprobar: Reemplazamos los valores encontrados en el sistema  3 x  4 y  7 2 x  5 y  3 

2  1  5  1  25

 3

3

 3



Página 220

3



3  1  4  1  7 

34

 

7

 




7 7


Guía de estudio N°11: N°11: “Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones” 1. Ana y Carlos tienen ahorrado entre los dos

un total de $56.000, además se sabe que el triple de lo que tiene Ana más el doble de Carlos resulta ser $136.000. El sistema de ecuaciones que nos ayuda a identificar la cantidad de dinero que tiene a  c  56.000 000 . ¿Cuál es la cada uno es 3a  2c

 136 136 .000 000

diferencia entre sus ahorros? 2. J uan tiene un total 120 monedas de $100 y

$50, reuniendo la suma de $8.400. Considerando el sistema que modela la

situación

100 x  50 y



8400

x  y  120

.

¿Cuántas monedas de $100 tiene Juan?, ¿Cuánto dinero tiene en monedas de $50 ? 3. Cierta empresa emplea 53 personas en dos

sucursales. De estas personas, 21 son profesionales titulados. Si una tercera parte de las personas que trabajan en la primera sucursal y tres séptimo de los que trabajan en la segunda sucursal son profesionales x

titulados y el sistema

1 3

 y 

modela

3 x



7

53

y



21

dicha situación, ¿cuántos empleados tiene cada sucursal? 4. Al comenzar los estudios en DuocUc, a los

estudiantes se les toma un test con 50 preguntas de matemática. Por cada pregunta contestada correctamente se asignan seis puntos y por cada respuesta incorrecta o no contestada se restan dos puntos. Un alumno obtuvo un puntaje total de 180 puntos. Si el sistema que modela la

situación es

6 x  2 y x  y

 180 

50

, ¿cuánto puntaje

perdió?


Página 221


5. Una

empresa realizo un estudio en torno a la cantidad de horas promedio que una persona trabaja y los relacionó con los ingresos y costos que genera. Se sabe que con 1 hora de trabajo se percibe un ingreso de $1.000.000 y que el costo de no trabajarla es de $2.000.000. El gráfico que se presenta a continuación modela la situación antes planteada.

¿Cuál de los siguientes sistemas es modelado por la gráfica? a)

b)

c)

 1000 x  y  0  250 x  y  2000 2500



e)



0

250 x  y



2000

y



0

250 x  y



2000

1000



1,5 

d)

x  y

1,5

x



 1000 x  y   200 x  y 

0 2000



1000 x  y



100



2000 x  y



2000

6. Con respecto a la pregunta anterior: ¿qué

representa el punto de intersección de las rectas?

Página 222



7. En la sala de espera de una consulta médica

hay en total 70 personas entre adultos  x  y niños  y  . Se sabe que el doble de los adultos más el triple de los niños es igual a 180 personas. El gráfico que se presenta a continuación modela la situación antes planteada y permite calcular cuántos niños y adultos hay en la consulta .

¿Cuál de los siguientes sistemas representa el modelo dado por la gráfica?

a) b)

 x 

 5 x   x  

c)

e)

2 x

2 y





2 y

 3 x 

40

 120

 140

2 x  3 y

2 x  2 y

40

 120



3 y

2 x  2 y 

d)

2 y

 120

 140

4 y



480

2 x  2 y

 140

2 x  3 y

 180

8. Con

respecto a la pregunta anterior: ¿cuántos adultos esperan en la consulta médica?


Página 223


9.

Una persona tiene $8.000 en 200 monedas

de $10  x  y de $50  y  . El gráfico que se presenta a continuación modela la situación antes planteada y permite calcular cuantas monedas de cada tipo tiene .

¿Cuál de los siguientes sistemas es el que está representado en la gráfica? a)

10 x  y



8000

50 y



200

x

b) c) d) e)



10 x  50 y



8000

x  y



200

x  y



8000

10 x  50 y



200

10 x  y



200

x  50 y



8000

50 x  10 y x  y





8000

200

10. Con

respecto a la pregunta anterior: ¿cuánto dinero en monedas de $10 tiene ?

Página 224



11. En la sala de espera de una consulta médica hay en total 70 personas entre adultos

  y

niños  y  . Se sabe que el doble de los adultos más el triple de los niños es igual a 180 personas. Si el sistema que permite determinar la cantidad de adultos y x

niños que esperan en la consulta médica es

x  y



2 x  3 y

70  180

, ¿cuál de los tres gráficos

resuelve el sistema antes planteado? a)

b)

c)

12. De acuerdo a la pregunta anterior ¿cuántos niños esperan en la consulta médica ?

a) b) c) d) e)

10 20 30 35 40

13. Una empresa de lavados de autos en una semana atendió un total de 53 vehículos entre autos  x  y camionetas  y  . Además, se sabe que la cantidad de camionetas fueron 3 más que los autos. Si el sistema que permite calcular la cantidad de vehículos de cada categoría es: x  y  53 ¿Cuál de los tres gráficos resuelve el  x  y 

3

sistema antes planteado? a)

b)

c)


Página 225


14. Con respecto a la pregunta anterior, ¿cuántas camionetas atendió la empresa?

a) b) c) d) e)

3 24 25 28 30

15. Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros del segundo al primer estante, resulta que el segundo estante queda con el triple de libros que el primero. El sistema que permite calcular la cantidad de libros que tenía originalmente cada estante es:

x  y



40

3( x  5)  y  5

¿Cuál de los tres gráficos resuelve el sistema antes planteado?

a)

b)

c)

16. Con respecto a la pregunta anterior, ¿cuántos libros hay en el primer estante después del cambio?

17. En un día en hora punta en un carro del metro de Santiago, viajan hombres y mujeres. El doble de la cantidad de hombres más la cantidad de mujeres es igual a 214 personas y el triple de los hombres más el doble de las mujeres es igual a 370. El sistema que permite calcular la cantidad de hombres y la cantidad de mujeres que viajan en el carro del del metro es 2 x  y  214 3 x



2 y



370

¿Cuál de las tres gráficas modela modela y representa la cantidad de hombres y mujeres mujeres que viajan en el carro del metro?

a)

Página 226

b)

c)



18. Con respecto a la pregunta anterior, ¿cuántas mujeres viajan en el carro del metro? a) b) c) d) e)

18 58 98 156 185

19. El sistema de ecuaciones

6 x  5 y  2270

modela la

5 x  4 y  1880

siguiente situación: En una librería Miguel compra 6 cuadernos y 5 lápices gastando $2.270, Luis compra 5 cuadernos y 4 lápices (a los mismos precios) gastando $1.880. ¿Cuál es el valor de cuaderno?

20. Al dueño de un taller mecánico debe almacenar un lubricante de motor en 56 bidones de capacidad 4 y 5 litros. En total se desea almacenar 245 litros de lubricante. Si el sistema x  y  56

,

permite calcular la cantidad de

4 x  5 y  245

bidones de 4 y 5 litros requeridos para guardar el stock, determine la cantidad de bidones de 4 y 5 litros de capacidad necesarios para almacenar todo el lubricante. 21. La suma de las edades de Luis y Pablo es igual a 10 años. El doble de la edad de Luis más la edad de Pablo es igual a 14 años. El sistema que modela el enunciado es

x  y

 10

2 x  y

De los

 14

siguientes gráficos, ¿Cuál de ellos resuelve el sistema de ecuaciones.

a)

b)

c)


Página 227


22. Con respecto a la pregunta anterior, ¿cuál es la edad de Luis?

  e instalaciones de pisos de

23. Una empresa se dedica a realizar instalaciones i nstalaciones de piso flotante

x

cerámicas  y  . En un mes se realizaron un total de 14 instalaciones, por las cuales cobraron $160.000 y $135.000 por cada instalación de piso flotante e instalación de cerámica respectivamente, recaudando un total de $2.090.000. El gráfico que se presenta a continuación modela la situación antes planteada y permite calcular cuantas instalaciones de cada tipo se hicieron. ¿Cuál es el sistema que modela la gráfica?

a)

x  y

160000 x  135000 y

b)

x



2090000

 14

14 y  160000

x  135000 y

c)



160000 x



135000 y





2090000

14 2090000 x  y



14

135000 x  160000 y



2090000

d) e)

x



y



14

160000 x  135000 y  2090000

24. José viaja con frecuencia a Concepción por motivos laborales. En uno de sus viajes debe desplazarse por varias varias zonas rurales, rurales, las cuales tienen poca locomoción locomoción colectiva por lo que decide arrendar una camioneta. Para este efecto cotiza en dos empresas , “Seguridad-Siempre” y “Rápido&Furioso” en las que los valores a pagar dependen dependen de la cantidad de días y las horas horas

en que utilizará el vehículo, esta situación se se ve reflejada en el siguiente gráfico.

¿Cuál (es) de los siguientes sistemas tiene (n) como solución la intersección de las rectas?

I. II. III.

a) b) c) d) e)

Página 228

11.250 x



y

 

10.000

2.500 x



y

 

80.000

y

 11.250 x  10.000

y

 80.000 

0.,5 y

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II, III




52625 x

0,25 y



625 x

2500 x 

5.000



2.000


25. Camila trabajó en dos tiendas distintas un total de 48 días. En la primera tienda le pagaban $12.000 y en la segunda tienda $10.000 por cada día trabajado. Si en total recaudó $542.000, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? x  y



48

6 x  5 y



271 271

I. La solución al sistema

permite

determinar la cantidad de días que Camila trabajó en cada tienda II. Si “a” es la cantidad de días que trabajó en la primera tienda, el siguiente sistema resuelve la incógnita de cuantos días dí as trabajó Camila en cada tienda ab



48

10.000 000 a  12.000 000 b



542 542 .000 000

III. En la segunda tienda trabajó más días que en la primera a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) Sólo II y III 26. En una empresa trabajan personas a las que se les paga $10.500 diarios y otras personas que reciben $12.000 diarios cada uno. Si en total trabajan en la empresa 75 personas y el monto total de los salarios diarios es de $849.000, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta (s)? I. El sistema que modela la situación es a  b  75 , donde “a” “a” es la 10500  a  12000  b



849.000

cantidad de personas que reciben $10.500

diarios y “b” “b” es la cantidad de personas a

las que les pagan $12.000 diarios. II. La cantidad de personas que reciben $10.500 diarios es 34. III. El monto total diario de las personas que reciben $12.000 diarios es $492.000 a) b) c) d) e)

Sólo I Sólo I y II Sólo II y III Sólo I y III I, II y III


Página 229


27. Dos ciudades A y B se encuentran a 100 km de distancia. Juan debe correr desde la ciudad “A” a la “B” y José desde la “B” a la “A”. Sí ambos parten al mismo tiempo y se considera como

km 0 a la ciudad A, ambos recorridos recorridos se modelan con la siguiente gráfica.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? I. Los corredores se encuentran después de recorrer 40 km cada uno. II. El sistema

y

 10 x

y

 15 x  100

tiene como

solución la intersección de las rectas. III. Se encuentran Trascurridas 4 horas. a) b) c) d) e)

28. Una empresa se dedica a fabricar neumáticos que deben pasar por dos procesos para estar terminados: Pulido y Sellado. Cada neumático destina 7 horas en total al pasar por ambos procesos. Se sabe que las horas que pasa en el proceso de pulido son 5 2 de las horas que pasa por el proceso de sellado. El sistema que permite calcular la cantidad de horas que pasa un neumático por cada proceso es

x  y x 

5 2



7

.

y

Seleccione la alternativa que corresponda a la definición de las incógnitas.

a)

Horas proceso de Sellado y : Horas proceso de Pulido b) x : Cantidad de Neumáticos y : Horas proceso de Pulido c) x : Horas proceso de Pulido y : Horas proceso de Sellado d) x : Total de Horas y : Cantidad Neumáticos e) x : Horas proceso de Sellado y : Horas de Trabajo

Página 230

x :


Sólo I Sólo III Sólo I y III Sólo II y III I, II, III


29. La empresa EXPEND fabrica dos tipos de bicicletas, M y N. Para fabricar una del modelo M, se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio y para una del modelo N se necesitan 2kg de cada uno de esos materiales. La empresa EXPEND dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Si se pretende ocupar la totalidad de los materiales disponibles, el sistema que resuelve la situación es x  2 y

3 x  2 y



80

, entonces ¿cuál de las siguientes

 120

alternativas define las variables utilizadas en el sistema? a)

Cantidad de acero disponible Cantidad de aluminio disponible b) x  Cantidad de bicicletas del tipo M y Cantidad de bicicletas del tipo N c) x Cantidad de acero disponible para las bicicleta del tipo M y Cantidad de aluminio disponible para las bicicletas del tipo M d) x Cantidad de acero disponible para las bicicleta del tipo N y Cantidad de aluminio disponible para las bicicletas del tipo N e) x  Cantidad de acero disponible para las bicicleta del tipo M y Cantidad de aluminio disponible para las bicicletas del tipo N x



y















30. Un predio agrícola que tiene forma rectangular de dimensiones 800 m de ancho y 2.400 m de largo se divide en dos parcelas rectangulares distintas de 800 metros de ancho, de tal manera que la cantidad de metros cuadrados de la mayor excede a la menor en 480.000 m2. Si el problema se x  y  2.400 modela con el siguiente sistema 800 x  480000  800 y

entonces la definición de las variables es: a)

Parcela 1 : Parcela 2 x : Largo de la Parcela 1 y : Largo de la Parcela 2 x : Metros Parcela menor y : Metros Parcela mayor x : Cantidad de m 2 Parcela Menor y : Cantidad de m2 Parcela Mayor x : Valor de Parcela Menor y : Valor Parcela Mayor x :

y

b) c) d) e)


Página 231


31. El departamento de recursos humanos de una empresa, determina que como bono de navidad repartirá entre sus trabajadores un total de 120 tarjetas Gift Cards. Los montos de las tarjetas son de $5.000 y $10.000. En total la empresa repartirá $810.000. El sistema que permite calcular la cantidad de tarjetas Gift Cards de cada tipo es x  y  120 . Seleccione la 5000 x

 10000 y 

810000

alternativa que corresponda a la definición de las incógnitas. a) b) c) d) e)

Cantidad de Tarjetas de $10.000 y : Cantidad de tarjetas de $5.000 x : Cantidad de Tarjetas de $5.000 y : Cantidad de tarjetas de $10.000 x : Cantidad de Trabajadores y : Cantidad de tarjetas de $10.000 x : Cantidad de Tarjetas de $5.000 y : Cantidad de trabajadores x : Cantidad de Trabajadores y : Cantidad del bono x :

32. En una amasandería se venden dos tipos de panes amasados: Amasado Light  x  y Amasado Normal  y  . Se venden en total diariamente 54 kilos de pan y el doble de kilos del amasado Light más cinco veces los kilos del amasado normal es 156. Si el sistema de ecuaciones que permite calcular la cantidad de kilos de pan de cada tipo es el x  y  54 sistema , ¿cuántos kilos de pan 2 x



5 y



156

amasado normal se venden diariamente? 33. Pablo tiene un total de 140 productos entre CD  x  y DVD  y  , al contarlos se da cuenta que la cantidad de CD más el cuádruple de los x  y  140 DVD es igual a 428. El sistema x  4 y



428

permite calcular la cantidad de CD y DVD que tiene Pablo? ¿Cuántos DVD tiene Pablo?

Página 232



34. Para pagar una cuenta de $15.711, un extranjero entrega 9 libras esterlinas y 15 dólares, recibiendo $750 de vuelto. Otro extranjero paga su cuenta de $18.017, con 15 libras esterlinas y 9 dólares, recibiendo $250 de vuelto. ¿Cuál de los siguientes sistemas resuelve cuál es el valor de una libra esterlina en pesos? a) 9 x  15 y  15711 15 x  9 y

 18017

750  15711 b) 9 x  15 y  750 15 x  9 y  250 250

 18017

c) 9 x  15 y  16461 15 x  9 y

 18267

d) 9 x  15 y  14961 15 x  9 y

 17767

750  15711 e) 9 x  15 y  750 15 x  9 y  250 250

 18017

35. Enrique y Diego deciden hacerse socios en un nuevo negocio, juntos reúnen $2.172.000, sin embargo, antes de emprender el negocio Enrique gastó 3 4 partes de la cantidad que tenía y Diego gastó $774.500 y en ese momento ambos pudieron aportar la misma cantidad al negocio. ¿Cuál de los siguientes sistemas resuelve cuánto dinero tenía inicialmente cada uno? 172 .000 000 a) e  d  2.172 3

e

4

b)

172 .000 000 e  d  2.172 3

e

c)

d  774 774 .500 500



4



774 .500 500 d  774

172 .000 000 e  d  2.172

e

3 4

e



774 .500 500 d  774

172 .000 000 d) e  d  2.172 774 .500 500 e  d  774

e)

e  d  2.172 172 .000 000 1 4

e  d  774 774 .500 500


Página 233


36. Entre Rosa y Beatriz tienen 124 CD de

música. Si Rosa le diera 3 CD a Beatriz, entonces Rosa tendría el triple de CD que Beatriz. Si x es la cantidad de CD que tiene Beatriz ¿Cuál de los siguientes sistemas resuelve cuántos CD de música tiene cada una ?

a) x y



y





124

3  3( x  3)

124 b) x  y  124

c)

3( x  3) 124

y



x



y



y



3  3( x  3)

124 d) x  y  124 3 y

e)

 x  3

x  y



124 124

3( y  3)  x  3

37. Una empresa importa dos tipos de repuestos para autos de modelo A

  y modelo B x

 y  . En un mes se determinó que importó en total 22 unidades de repuestos y que la diferencia entre las unidades importadas para el modelo B y A es 2. El gráfico que se presenta a continuación modela y resuelve el problema de determinar la cantidad de repuestos para cada modelo que se importaron . ¿Cuál es el sistema de ecuaciones asociado a este gráfico? a) b) c)



y

 x 

2

x

 y 

22

x

 y 

2

x  y  22 

d) e)

Página 234

y



22

x

x  y  2

x  y



2

x  y



22

x  y



2

x  y



22



38. María debe correr desde la ciudad de de Santiago a viña del mar y José desde Viña hasta Santiago, entre ellas hay una distancia de 134 km. Sí ambos parten al mismo tiempo con velocidades en km/h y se considera como km 0 la ciudad de Santiago, el sistema de ecuaciones que permite encontrar cuanto tiempo debe transcurrir para que ambos se encuentren es



67 x  y

67 x  y



0

, encuentre cuál de estos tres es el gráfico que modela la

 134

situación.

a)

b)

c)

En los siguientes ejercicios defina las variables, plantee y resuelva. 39. En una granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 40. En un cine, 10 entradas de adultos y 9 de niños cuestan $50.800 y 12 de niños y 6 de adultos $45.000. ¿Cuál es el valor de una entrada de niño? 41. Una pizzería tiene dos tipos de pizzas familiares: Vegetarianas a $4.990 y Cuatro Quesos a $6.490. Una noche vendieron 38 pizzas y se recaudaron $222.620. ¿Cuántas pizzas Cuatro Quesos se vendieron? 42. Las temperatura máxima y mínima registradas en Viña del Mar en un día de invierto suman 24,9ºC y la diferencia de las temperaturas es de 8,1ºC. ¿Cuál es la temperatura máxima registrada ese día? 43. Javier recibe una comisión de $3.200 por cada producto que vende y sufre una pérdida de $500 por cada producto que le es devuelto. En el último mes vendió un total de 48 productos y recibió una comisión de $101.800, ¿cuánto dinero perdió por los artículos devueltos?


Página 235


Marque la alternativa correcta 44. Una prueba tiene un total de 60 preguntas, se sabe que por cada pregunta contestada en forma correcta  x  se asignan 4 puntos y por cada pregunta incorrecta o no contestada  y  se descuentan 2 puntos. Un alumno obtuvo en la prueba un total de 168 puntos. El sistema que permite calcular la cantidad de preguntas de cada tipo es

x  y



4 x  2 y

60

, ¿Cuántas preguntas

 168

contestó incorrectamente o dejó sin contestar?

a) b) c) d) e)

10 12 38 48 50

45. Los dos huracanes que más daño han causado en la historia de Estados Unidos han sido Andrew (1992) y Hugo (1989). En conjunto, provocaron daños por 27 millones de dólares y el huracán Andrew produjo daños por 13 millones de dólares más que el huracán Hugo. ¿Qué cantidad de dólares en daño produjo el huracán Andrew?

a) b) c) d) e)

US$ 7 US $10 US$ 13 US$ 14 US$ 20

46. Esteban asiste a un centro de distribución de materiales y compró 7 tarros de pintura rojo ladrillo y cinco tarros de barniz, cancelando $49.300. Como le faltaron materiales fue al día siguiente y compró a los mismos precios 2 tarros de pintura rojo ladrillo y 3 tarros de barniz, cancelando $19.570, ¿cuánto deberá cancelar por cuatro tarros de pintura roja y dos de barniz? a) $ 9.100 b) $19.570 c) $20.630 d) $25.180 e) $32.160

Página 236



47. Una empresa almacena archivadores y

carpetas, en total hay almacenados 4.800 ítems. El precio por almacenar archivadores es de $600 por unidad y el precio por almacenar carpetas es de $150 por unidad. Si el costo total por almacenamiento es de $2.160.000 ¿Cuál es la diferencia entre archivadores y carpetas que están almacenadas? a) b) c) d) e)

5920 1120 1200 1600 3200

48. Con una barril de vinagre de 110 litros se

quiere llenar 168 botellas, unas de 1 2 de litro y otras de 3 4 de litro. ¿Cuántas botellas de 1 2 se utilizarán? a)12 a) 12 b)40 b)40 c) 64 d)84 d)84 e)104 e) 104 En los siguientes ejercicios defina las variables, plantee y resuelva. 49. En una liga de fútbol amateur participan un

total de 18 equipos. Por cada partido ganado se asignan 3 puntos y por cada partido empatado se asigna 1 punto. Al final de la primera temporada uno de los equipos de la liga reunió un total de 39 puntos entre partidos ganados y empatados. Además se sabe que los partidos ganados por este equipo son 5 más que los partidos empatados. El

sistema

3 x  y x





39

5  y

, permite determinar

la cantidad de partidos ganados y empatados por el equipo ¿cuántos partidos ganó?


Página 237


50. Laura compra tomates y paltas para abastecer su negocio. Un día compró 15 kilos de tomates y 10 kilos de paltas cancelando un total de $29.500, al día siguiente compró a los mismos precios 6 kilos de tomates y 5 kilos de paltas, cancelando $13.400. El sistema que permite determinar el precio de un kilo de tomates  x  y el precio de un kilo de paltas

 y 

es

15 x

 10

6 x

5 y



y



29500

 13400

, si el

valor del kilo de tomates de de $900, ¿cuál es el valor de un kilo de paltas?

51. Dos hermanos Andrés y Pablo trabajan en una misma empresa. La suma de sus sueldos es de $840.000 y el sueldo de Andrés menos $80.000 es igual a la tercera parte del sueldo de Pablo, ¿cuál es el ingreso mensual que recibe Andrés? 52. La densidad del plomo menos la densidad de la plata es 0,88. Si al doble de la densidad de la plata le restamos 9,59 se obtiene la densidad del plomo, ¿cuál es la densidad del plomo? 53. Alberto tiene cuentas de ahorro en dos entidades bancarias por un total de $225.500. El primer banco le otorga un 5% de interés anual y el segundo banco le otorga un 7% de interés anual. Después de un año el interés total otorgado por los dos bancos es de $13.875. ¿En cuál de las dos entidades tiene la mayor parte del dinero? ¿cuánto dinero tiene en esta entidad bancaria?

54. El precio del cobre es de 65 euros la libra y el precio del zinc es de 30 euros la libra. Se quiere realizar una mezcla que contenga 70 libras y donde el precio de la libra de la mezcla sea de 45 euros. ¿Cuántas libras de cada material debe contener la mezcla?

Página 238



Marque la alternativa correcta 55. En una tienda se fabrican sólo dos tipos de mesas, de 3 y de 4 patas. En total se tienen 89 mesas para vender. Se sabe que el quíntuple de las mesas de 3 patas más la cantidad de mesas de 4 patas es igual a 277. El sistema x



y



89

5 x



y



277

permite calcular la cantidad de

mesas de cada tipo. Seleccione la alternativa que corresponde a la definición de las incógnitas. a)

x :

Cantidad de mesas de 4 patas

y : Cantidad de mesas de 3 patas b)

x :

Mesa con tres patas

y : Mesa con 4 patas c)

Cantidad de mesas de 3 patas y : Cantidad total de patas d) x : Cantidad de mesas de 4 patas y : Cantidad total de patas e) x : Cantidad de mesas de 3 patas y : Cantidad de mesas de 4 patas x :

56. Rocío es cajera de un banco, un día recibió un depósito en billetes de $2.000 y $5.000, en total contó 70 billetes y la cantidad del depósito fue de $320.000. Respecto del dinero recibido se puede afirmar que: a) Recibió la misma cantidad de cada tipo de billetes b) En billetes de $2.000 recibió $120.000 c) Recibió más billetes de $5.000 que de $2.000 d) En billetes de $5.000 recibió $50.000 e) En billetes de $2.000 recibió 6 veces lo que en billetes de $5.000

57. Un taller mecánico mecánico vende aceite para autos en dos formatos, formatos, bidones de 2 y 5 litros cada uno. uno. En total en el taller hay 26 bidones y un total de 100 litros de aceite, ¿cuántos bidones de 2 litros hay a la venta? a) b) c) d) e)

6 10 12 15 16


Página 239


58. Se preguntó a 200 personas ¿cuántos kilos de fruta consumían semanalmente?, la encuesta dividió al grupo en dos. Unas consumen 1,5 kilos de manzanas y otras consumen 3 kilos de duraznos semanalmente. El consumo total de fruta de estas personas es de 390 kilos semanalmente. ¿Cuántas personas consumen 3 kilos de duraznos a la semana? a) b) c) d) e)

36 60 80 140 233

59. Una ferretería ferretería vendió 50 planchas de zinc y recaudó un total de $133.500. Las planchas de la de marca A las vende a $2.000 cada una y las de marca B las vende a $3.000 cada una, ¿cuál de los siguientes sistema modela la situación? a) b)

x  3000 y



2000 x  y

 133500

x  3000 y



2000 x  y

 133500

x

c) d)

50



y



50

2000 x  3000 y

 133500

2000 x  3000 y



x

e)

50

2000 x  y x



3000 y





y

50

 133500

50

 133500

60. Alfredo invirtió $200.000 en dos bancos, en el primer banco invirtió una parte al 6% de ganancia mensual y la otra parte la invirtió en un segundo banco al 8% de ganancia mensual, al final de un mes obtuvo $13.160 de ganancia. ¿Cuál es la diferencia de lo que invirtió en cada banco? a) b) c) d) e)

Página 240

$58.000 $84.000 $142.000 $593.420 $793.420



Respuestas Guía de estudio N°11: “Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones” Ecuaciones” 1.

La diferencia es de $8.000

2.

Tiene 48 monedas de $100 y tiene un total de $3.600 en monedas de $50.

3.

La primera tiene 18 empleados y la segunda 35

4.

Perdió 30 puntos

5.

D

6.

Representa que la utilidad o ganancia es cero, debido a que los ingresos y costos son iguales

7.

E

8.

30 adultos

9.

32. Se venden 16 kilos de amasado normal 33. Tiene 96 DVD 34 C

35 C

36 A

37 A

38 C

39. Son 100 botellas de dos litros y 20 botellas de 5 litros 40. La entrada de niño tiene un valor de $2200 41. Se vendieron quesos 42. La temperatura 16,5°C

22

pizzas

máxima

cuatro es

de

43. Perdió $7000

B

44 B

10. Tiene $500 11

12

13

14

15

A

E

B

D

A

16. 10 libros tiene el primer estante 17. B

45 E

46 D

47 D

48 C

49. Ganó 11 partidos 50. El kilo de paltas tiene un valor de $1600 51. Andrés recibe $270.000

18. C 19. El cuaderno tiene un valor de $320 20. Son 35 de 4 litros y 21 de 5 litros 21. C

52. 11,35 es la densidad del plomo 53. En el segundo banco tiene la mayor parte de dinero y tiene $130.000 54. Contiene 30 libras de cobre y 40 libras de zinc

22. Luis tiene 4 años 23 24 25 26 27 28 29 30 31 D A A E D C B B B

55 E


56 C

57 B

58 B

59 C

60 B

Página 241


Guía Resumen Prueba N°4 1. Una empresa confecciona buzos talla M

  x

y

talla L  y  , para fabricar los buzos de talla M utiliza 80% de algodón y 20% de lycra y para los buzos de talla L utiliza 92% de algodón y 8% de lycra. En total la empresa tiene 144,08kg de algodón y 21,92kg de lycra. Si el sistema 0,8 x  0,92 y  144,08 permite calcular 0, 2 x  0,08 y



21,92

la cantidad de buzos de cada talla confeccionados, ¿cuántos buzos de talla L se confeccionaron? a) 22 b) 54 c) 72 d) 83 e) 94 2. El precio del del Cobre es de 65 euros la libra y el precio de Zinc es de 30 euros euros la libra. Se quiere realizar una mezcla que contenga 70 libras y donde el precio de la libra de mezcla sea de 45 euros. Si (X) representa la cantidad de libras de Cobre e (Y) la cantidad de libras de Zinc, el sistema

65 x  30 y x  y



70





45 x  y



, permite calcular la

cantidad las libras de cada material, ¿cuántas libras de Zinc se utilizaron? utili zaron? a) 15 b) 30 c) 40 d) 70 e) 80 3. En una canasta hay naranjas y limones. Una naranja pesa la cuarta parte de un kilogramo y un limón pesa la mitad de una naranja. Si en la canasta hay un total de 60 unidades y estás pesan 12 kg, ¿cuántos limones hay en la canasta? a) b) c) d) e)

Página 242

12 24 30 36 50



4. En una tienda se venden mesas de 3 patas y de 4 patas, en total se tienen 89 mesas para vender. Se sabe que el quíntuple de las mesas de 3 patas más la cantidad de mesas de 4 patas es igual a 277. Si el sistema

x  y



5 x  y

89



27 7


cantidad de mesas de 3 y 4 patas que hay para vender. Seleccione la alternativa que corresponda a la definición de las incógnitas. a) b) c) d) e)

: Cantidad de mesas de 4 patas y : Cantidad de mesas de 3 patas x : Mesa con 3 patas y : Mesa con 4 patas x : Cantidad de mesas de 3 patas y : Cantidad total de patas x : Cantidad de mesas de 4 patas y : Cantidad total de patas x : Cantidad de mesas de 3 patas y : Cantidad de mesas de 4 patas x

5. En un hotel hay un total de 296 habitaciones entre dobles y triples. Se sabe que la cantidad de habitaciones triples son 8 más que el triple de las dobles. El sistema

x y

 

y



29 6

8  3 x


cantidad habitaciones de cada tipo. Seleccione la alternativa que corresponda a la definición de las incógnitas. a) b) c) d) e)

: Habitación doble y : Habitación triple x : Cantidad de habitaciones dobles y : Cantidad de camas x : Cantidad de habitaciones dobles y : Cantidad de habitaciones triples x : Cantidad de camas y : Cantidad de habitaciones x : Cantidad de habitaciones triples y : Cantidad de habitaciones dobles x


Página 243


6. Una pizzería ofrece dos tipos de pizzas familiares, Vegetariana a $4.990 y Cuatro Quesos a $6.490. Una noche vendieron 38 pizzas y se recaudaron $222.620, ¿cuántas pizzas de Cuatro Quesos se vendieron? a) b) c) d) e)

14 16 18 20 22

7. En una distribuidora de insumos computacionales computacionales ofrecen dos precios precios de venta para un disco duro, dependiendo de la cantidad de compras en el mes. El primer precio para “CLIENTE NORMAL” de cada uno de los discos duros es de 50 mil pesos, mientras que el segundo precio para “CLIENTE FRECUENTE” es de 40 mil pesos por disco duro, considerando un costo fijo

mensual de 30 mil pesos. Esta situación se ve reflejada en la siguiente gráfica donde el dinero está expresado en miles de pesos. Considere la información entregada en el gráfico.

¿Cuál de los siguientes sistemas tiene como solución la intersección de las rectas y modela la situación? I. II. III.

 50 x 

y



0



40 x  y



30

y



50000 x

y



40000 x  30000

100 x  2 y  80 x 

a) b) c) d) e)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II, III

Desarrollo:

8. Luis debe enviar al sur un cargamento de 350 cajas que contienen un total de 8.500 pilas. Para realizar el despacho Luis envía cajas con capacidad para 20 y 30 pilas, ¿cuántas cajas con capacidad para 20 pilas se envían en total? a) b) c) d) e)

Página 244

150 175 180 200 250


y



0



60


9.

Hugo y Amalia juntan dos tipos de monedas

  x

e  y  , al contar sus ahorros se dan cuenta que Hugo tiene un total de $3.500 con 20 monedas del primer tipo y 3 monedas del segundo tipo, mientras que Amalia tiene un total de $4.000 con 5 monedas del primer tipo y 7 del mismo valor que los de Hugo. El gráfico que se presenta a continuación continuación modela modela la situación y permite determinar la cantidad de monedas de cada tipo. ¿Cuál de los siguientes siguientes sistemas representa el modelo dado por la gráfica? a)

20 x 7 x

b)



3 y

5 y



4.000

3 x  20 y



3.500



5 x  7 y

c)



20 x  3 y 5 x  7 y

d)

4.000 

20 x  3 y





20 x  7 y 5 x  3 y

3.500

4.000



5 x  7 y

e)

3.500



3.500





4.000

3.500

4.000

10. En la función de estreno de la película “Linterna Verde” asistieron 500 personas entre adultos

  y niños  y  . Cada adulto pagó 3 dólares y x

cada niño pagó 2 dólares por su entrada. La recaudación de esa función fue de 1.300 dólares. El siguiente permite modelar la situación y determinar la cantidad de adultos y niños que asistieron al estreno. ¿Cuál de los siguientes sistemas es modelado por la gráfica de la función? a)

x  y



500

4 x  6 y

b)

 180

x  y  500 2 x  3 y  1300

c) d)

2 x  3 y



500

x  y  1300 x  y  500 2 x  3 y  1300

e)

x  y  500 3 x  2 y  1300


Página 245


11. En la sala de espera de una consulta médica la atención diaria es de (Y) adultos y

 X  niños.

Un día la cantidad de adultos se cuadruplicó por lo que en total se atendieron a 104 pacientes. Se sabe que en relación al número normal de atenciones en un día crítico, podrían llegar a atenderse 20 veces la cantidad promedio de adultos y el triple de niños llegando así a 400 pacientes en total. El sistema que permite determinar la cantidad de adultos y niños que esperan en la consulta médica es 4 y 104 x . ¿Cuál de las dos gráficas resuelve el sistema antes planteado ? 

3 x





20 y



400

¿Cuántos niños esperarían en la consulta médica un día crítico? a) b) c) d) e)

12. La

11 60 33 180 120

empresa

fantasía “Frumalte Jugos”, tiene un total de 1.475 litros de jugo de naranja que quiere envasar en un total de 470 botellas de 1,5 litros y de 5 litros cada una. El sistema x  y  470 permite calcular la cantidad 1,5 x  5 y



de

bebidas

de

1.475

de envases de 1,5 y 5 litros disponibles. Si se sabe que la cantidad de envases de 5 litros son 220, ¿cuántos envases tienen capacidad de 1,5 litros? a) b) c) d) e)

Página 246

110 200 235 250 300



13. Una empresa de lavados de automóviles el día lunes atendió  x  camiones e  y  autos invirtiendo un total de 1774 dólares y ganando 750 dólares. El costo de lavar un camión es de 29 dólares y por por lavar un auto es de 9 dólares. Si la empresa empresa ganó 25 dólares por lavar un auto y perdió 3 dólares por camión, el sistema que permite calcular la cantidad de vehículos de cada categoría es: 29 x  9 y  1774 . 25 y

 3 x 

750

¿Cuál de los dos gráficos siguientes resuelve el sistema antes planteado? p lanteado?

¿Cuántos dólares ganó por lavar los autos? a) b) c) d) e)

25 36 50 150 900

14. En un centro médico se atienden diariamente un total de 265 personas entre adultos y niños. El triple de los adultos más la cantidad de niños es igual a 571. Si el sistema x



3 x

y





y

26 5



57 1

, permite calcular la cantidad

de adultos y niños que consultan diariamente, seleccione la alternativa que corresponda a la definición de las incógnitas. a) b)

: adulto y : mujer x : Cantidad de adultos y : Cantidad de niños c) x : Cantidad de niños y : Cantidad de hombres d) x : Cantidad de niños y : Cantidad de adultos e) x : Cantidad de hombres y : Cantidad de mujeres x


Página 247


15. José viaja con frecuencia a Concepción por motivos laborales. En uno de sus viajes debe desplazarse por varias zonas rurales, rurales, las cuales tienen poca poca locomoción colectiva colectiva por lo que decide arrendar una camioneta. Para este efecto, cotiza en dos empresas, “Seguridad Siempre” y “Rápido&Furioso” en las que los valores a pagar dependen de la cantidad de horas diarias en que utilizará el vehículo, esta situación situación se ve reflejada en el siguiente gráfico. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? I. El sistema

 5000 x  y  150000  15000 x  y 

tiene

50000

por solución la intersección de las rectas. II. Si arrienda el vehículo por 10 horas, entonces el valor a pagar es el mismo en las dos empresas III. El valor a pagar por el arriendo de la camioneta por 10 horas en la empresa “Seguridad-Siempre” es 200.000 a) b) c) d) e)


16. Paulina trabajó en dos tiendas distintas un total de 50 días. En la primera tienda le pagaban $24.000 diarios y en la segunda sólo $20.000. Si en total recaudó $1.084.000, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? I. La solución al sistema

x

6 x

y



50

5 y



271





determina la cantidad de días que Camila trabajó en cada tienda II. Si a es la cantidad de días que trabajó en la primera tienda y b es la cantidad de días que trabajó en la segunda tienda, el siguiente sistema resuelve la incógnita de cuantos días trabajó Paulina en cada 50 a b tienda 

24.000a



20.000b

 

1.084.000

III. En la segunda tienda trabajó más días que en la primera. a) b) c) d) e)

Página 248

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I,II y III



17. En un taller mecánico se realizó el cambio

de todos los neumáticos a un total de 40 vehículos entre autos  x  y motos  y  . El número total de neumáticos cambiados fue de 100. El gráfico que modela la situación y determina la cantidad de auto y motos es : ¿Cuál de los siguientes sistemas es modelado por la gráfica de la función ? a) b)

2 x  2 y



80

4 x  2 y



50

x  y

40



2 x  2 y

c) d) e)

 100

4 x  4 y

 160

2 x  1 y

 100

x  y

40



4 x  2 y x  y



2 x  4 y

 100

40  100

18. Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros del primer estante

  x

al segundo estante  y  , resulta que el segundo estante queda con el triple del primero. El sistema que permite calcular la cantidad de libros que habían en cada estante: x y 40 . ¿Cuál de los dos gráficos resuelve el sistema antes 

3 x



 15 

y



5

planteado? ¿Cuántos libros quedan en el segundo estante después del traspaso? a) 15 b) 25 c) 30 d) 10 e) 40


Página 249


19. Carlos es cajero de un banco, un día recibió un depósito en billetes de $2.000 y $5.000, en total le entregaron 70 billetes y la cantidad total del depósito era de $320.000. El sistema x  y  70 2.000 x  5.000 y



320.000

permite calcular la cantidad de billetes de $2.000 y $5.000 que tenía el depósito. Se sabe que la cantidad de billetes de $5.000 depositados fueron 60. ¿Cuántos billetes eran de $2.000? a) b) c) d) e)

10 20 30 50 70

20. Alfredo invirtió un total de $200.000, una parte al 6% y la otra al 8% de ganancia mensual. Al final de un mes obtuvo $13.160 de ganancia en total. El sistema 0,06 x  0,08 y  13.160 permite calcular la x



y



200.000

cantidad de dinero que tiene invertida en cada parte. ¿Cuánto dinero invirtió Alfredo al 6% anual? a) b) c) d) e)

$29.000 $58.000 $100.000 $142.000 $150.000

21. Una fábrica automóviles produce modelos Zeta

Página 250



y Omega. El modelo Z requiere de 1 hora de mano de obra para pintarlo y 1/2 hora de mano de obra para pulirlo. Por otro lado el modelo Omega requiere de 1 hora de mano de obra para pintarlo y 1 hora de mano de obra para pulirlo. En total existen 100 horas de mano de obra disponibles para la pintura y 80 horas de mano de obra para pulirlo. El sistema x  y  100 , permite calcular la cantidad de 1 2 x  y



80

automóviles de cada modelo. Seleccione la alternativa que corresponda a la definición de las incógnitas. a)

x :

Cantidad de modelos Omega

y : Cantidad de modelos Zeta b)

x :

Horas de Pintura

y : Horas de Pulido c)

x :

Horas de Pulido

y : Horas de Pintura d)

x :

Cantidad de modelos Zeta

y :

Cantidad de modelos Omega e) x : Cantidad de modelos Zeta y :

Horas de Pintura

22. La tienda El Sol se especializa en frutos secos; vende a $700 el kilo de maní y a $1.600 el kilo de almendras. Al final del mes el propietario se entera que el maní no se vende bien y decide mezclar maní con almendras para producir 45 kilos en total, que se venderá a $1.000 el kilo. 700 x  1600 y  1000 x  y  El sistema , permite x

 y 

45

calcular los kilos de cada producto que deben mezclarse. Seleccione la alternativa que corresponda a la definición de las incógnitas. a)

: Precio del kilo de maní :Precio del kilo de mezcla b) x : Cantidad de kilos de maní y :Cantidad de kilos de almendras c) x : Maní y : Almendra d) x : Cantidad de kilos de almendras y :Cantidad de kilos de maní e) x : Almendras y :Maní x

y


Página 251


23. Una pequeña compañía constructora ofrece dos tipos de casas. El primer primer tipo requiere 3 unidades de concreto C y 5 unidades de madera ( M ) para cancelería y estructura. El segundo tipo requiere 4 unidades de concreto y 6 unidades de madera. Si cada mes la compañía dispone de 150 unidades de concreto y 240 unidades de madera y necesita utilizar todo el material. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta (s)? I. El sistema que modela la situación es 3C  5 M  150 , donde C es la cantidad 4C  6 M  240

casas del primer tipo y M es la cantidad de casas del segundo tipo. II. El sistema que modela la situación es 3C  4 M  150 , donde C es la cantidad 5C  6 M  240

casas del primer tipo y M es la cantidad de casas del segundo tipo. III. Se pueden hacer 15 casas más del segundo tipo que del primero. a) b) c) d) e)

Sólo I Sólo I y II Sólo II y III Sólo I y III I, II y III

24. En una empresa trabajan 600 personas en total. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 110, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? I. Hay 350 mujeres en la empresa. II. Hay 350 hombres en la empresa. III. Si “ x ” es la cantidad de mujeres que hay en la empresa e “ y ” es la cantidad de

hombres que hay en la empresa, entonces el sistema que modela la situación es x  y  600 0,16 x  0,2 y  110

a) b) c) d) e)

Página 252

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III Sólo II y III



25. Una empresa decide hacer una capacitación a su personal fuera de Santiago y necesita trasladar a todo el personal en 7 buses entre los cuales, tienen una capacidad para 25 y 30 personas. El total de personas que se trasladará es 185 trabajadores. El gráfico que se presenta a continuación modela y determina la cantidad de buses para 25 personas (x) y para 30 personas (y). ¿Cuál de los siguientes sistemas es modelado m odelado por la gráfica de la función? a)

x  y

7



20 x  30 y

b) c)

1

x 

1

y



2 2 25 x  30 y 2 x  2 y

x  y



x  y

185

 14  180

7

30 x  25 y

e)

3,5



25 x  30 y

d)

 185

 185

 185

25 x  30 y



7

26. En una automotora hay un total de 30 vehículos entre autos y camionetas 4x4. Un día se vendieron 9 vehículos. Se sabe que un medio de los autos y un quinto de las camionetas 4x4 se vendieron ese día. El gráfico que se presenta a continuación modela y determina la cantidad e autos(x) autos(x) y camionetas (y): a) b)

2 x  2 y



60

2 x  5 y



9

3 x  3 y



90

1 2 x  1 5 y

c)

x  y



2 x

e)





9



30

5 y



x  y

9

30

5 x  2 y

d)



3 x  3 y

9



2 x  1 5 y

90 

9


Página 253


27. En un carro del metro de Santiago un día en hora punta viajan hombres y mujeres. El doble de la cantidad de hombres más la cantidad de mujeres es igual a 214 personas y el triple de los hombres más el doble de las mujeres es igual a 370. El sistema que permite calcular la cantidad de hombres  x  y la cantidad de mujeres  y  que viajan en el carro del metro es 1

x  y 2

3 x  2 y

 107



. ¿Cuál de las dos gráficas modela y resuelve la cantidad de hombres que viajan

370

en el carro del metro?

¿Cuántas mujeres más que varones viajan en el carro del metro? a) b) c) d) e)

98 58 40 20 10

28. Se realizó una encuesta a 200 personas con respecto al consumo de kilos de frutas semanales, la encuesta se dividió entre las personas que consumen 1,5 kilos de manzanas (X) y las personas que consumen 3 kilos kilos de duraznos (Y) semanalmente. Si en total todas todas las personas encuestadas consumen un total de 390 kilos de fruta semanalmente, ¿cuál es el sistema de ecuaciones que permite determinar la cantidad de personas que consumen 3 kilos de duraznos semanalmente? a) b)

x  y



200

x  y



390

1,5 x  3 y  200 x  y  390

c)

x  y  200 3 x  1,5 y  390

x  y  200

d) e)

Página 254

1,5 x  3 y



390

x  y  390 1,5 x  3 y  390



29. La suma de las edades de Luis

  y Pablo  y  es igual a 55 años. El doble de la edad de Luis x

más la edad de Pablo es igual a 85 años. El sistema que modela el enunciado es

x  y  55 2 x  y



85

.

Uno de los dos gráficos gráficos siguientes modela modela y resuelve el sistema de ecuaciones planteado. planteado. ¿Cuál es este?

¿Cuántos años tendrá pablo en 5 años más? a) b) c) d) e)

25 30 35 40 45

30. Se sabe que el aceite es más denso que la leche. La diferencia entre las densidades del aceite y la leche es 0,058, mientras que la suma de sus densidades es 2,022. ¿Cuál es el sistema de ecuaciones que permite determinar las densidades del aceite y la leche? a)

x  y



2,022

x  y



0,058

x  y  0,058

b) x  y  2,08

x  y  0,058

c) x  y  2,022 d)

x  y  0,05 8



x  y  2,02 2

e) Ninguna de las anteriores.


Página 255


Respuestas Guía Resumen Prueba N°4

Página 256

Pregunta 1 2 3

Respuesta E C B

Pregunta 16 17 18

Respuesta E D

4 5 6 7 8 9 10 11

E C E A D C E

19 20 21 22 23 24 25 26

A D D B C A B B

Gráfico B, Alternativa B

Gráfico A, Alternativa C

12

D

27

Gráfico A, Alternativa C

13

Gráfico B, Alternativa E

28

D

14

B

29

Gráfico A, Alternativa B

15

E

30

C



Guía Resumen Examen 1. Un médico recetó a un paciente una dosis de medicamento de un comprimido de 3,1 miligramos, 4 veces al día, durante 7 días, ¿Qué cantidad de medicamento tomará en total el paciente? a) b) c) d) e)

12,4 49,7 62 86,8 99,2

2. Un bidón contiene contiene 23,5 litros de agua, se saca el agua necesaria para llenar 15 botellas de 0,75 litros cada una, ¿Cuántos litros de agua quedan en el bidón? a) b) c) d) e)

6,375 8,5 9,25 11,25 12,25

3. En una empresa hay 78 personas afiliadas a una isapre, lo que corresponde a 2/7 del total de los trabajadores, ¿Cuántos trabajadores en total tiene la empresa? a) b) c) d) e)

195 162 254 273 312

4. Laura tiene tres hijos y debe contratar un seguro escolar. La clínica que contactó le indica que el valor del seguro por cada niño es de $58.000 anuales pagaderos en una cuota en el momento de firmar el contrato. Como se trata de tres niños le ofrecen aplicarle un descuento de 1/6 sobre el total a pagar en forma normal, ¿Cuánto cancelará en total por el seguro escolar de sus hijos después de aplicado el descuento? a) b) c) d) e)

$29.000 $87.000 $116.000 $145.000 $174.000


Página 257


5. Luis es técnico electricista y trabaja de lunes a sábado. Para ordenar. Confeccionó el gráfico, que muestra la cantidad de metros de cable de conexión utilizados en una semana de trabajo. Esta cantidad de metros de cable, corresponde a 2/15 del total del cable utilizado en un mes de trabajo, ¿Cuántos metros de cable utilizó Luis en ese mes?

a) b) c) d) e)

119,8 1198 1557,4 1677,2 1797

6. En una sala de reuniones hay 8 hombres y 3 mujeres más que hombres. Si del total de personas que hay en la sala se retiran 7, ¿Cuántas personas quedan en la sala de reuniones?

f) g) h) i) j)

4 9 12 15 19

7. Un nuevo micro barrio de casas ubicado a las afueras de Santiago, se encuentra dividido en 12 sectores, en cada sector hay 12 pasajes y en casa pasaje hay 12 casas, ¿Cuál es la expresión que representa el total de casas que hay en este nuevo micro barrio? a) b) c) d) e)

12 12 + 12 + 12 123 124 12 x 3

8. Una empresa fabrica cada día 7 cajas de tornillos, cada caja tiene 7 estuches, cada estuche tiene 7 bolsas y cada bolsa tiene 7 tornillos, t ornillos, ¿Cuántos tornillos se fabrican en 7 días? a) b) c) d) e)

73 37 74 47 75

9. Magdalena compra un terreno cuadrado de 973,44 m 2 de superficie. Para protegerlo instalará un alambre por el contorno del terreno. ¿Cuánto tendrá que gastar si el alambre que pondrá tiene un valor de $1.250 el metro? a) b) c) d) e)

Página 258

$39.000 $78.000 $156.000 $158.250 $234.000



10. Un árbol tiene 20 ramas principales y cada una de ellas tiene 5 ramas secundarias, las cuales a su vez tienen 6 hojas. Si un bosque tiene 100.000 árboles con estas características, y en una ciudad hay 3 bosques, ¿Cuántas hojas en total habrá en los 3 bosques? Utilizar Modo SCI 2 6 a) 9,3  10 b) 6  106 c) 6  107 d) 1,8 108

e)

3,110

6

11. Para que una persona permanezca sana, se recomienda que debe dar 6,94 pasos por minuto, ¿Cuántos pasos debe dar una persona en 194 minutos? Exprese su resultado en notación científica. Utilizar Modo SCI 3 a) 12,6 104 b) 1,26 103 c) 1,33  103 d) 1,35  103 e) 1,36 104 





12. Una empresa entrega un bono de navidad, para entregarlo el personal de la empresa es separado en dos grupos dependiendo de los años de antigüedad. En el primer grupo hay 75 personas y en el segundo grupo hay 105 personas, ¿Cuál es la razón entre las personas del primer grupo con respecto al total de trabajadores de la empresa? a) 2:12 b) 7:12 c) 5:7 d) 5:12 e) 7:5

13. El siguiente esquema muestra la l a distribución proporcional que Mónica hizo de un bono de $420.000 entregado por su empresa debido al cumplimiento de metas, ¿Cuánto dinero destina Mónica al pago del préstamo? a) $35.000 b) $70.000 c) $105.000 Pago Cena Pago del Ahorro d) $120.000 Préstamo Familiar Dividendo e) $140.000

14. Camila averiguó que dos manzanas rojas de tamaño medio le aportan al organismo 90,4 calorías, por instrucciones de su médico Camila Camila debe consumir consumir diariamente 226 calorías en este tipo de fruta, ¿Cuántas de estas manzanas debe consumir Camila diariamente para respetar la alimentación dada por su doctor? a) 1,8 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6


Página 259


15. Laura quiere comenzar a andar en bicicleta y diseña un plan de acción que se ve representado en el siguiente gráfico, donde se relacionan en forma proporcional los minutos dedicados a andar en bicicleta y la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? I) Si hace ejercicio por media hora, recorre 5 km en bicicleta

II)

Si la cantidad de minutos dedicados a andar en bicicleta aumentan de manera proporcional, entonces la cantidad de kilómetros recorridos deberá aumentar.

III) Si Laura se dedica 1 hora y

24 minutos a andar en bicicleta, recorre 18 kilómetros.

a) b) c) d) e)

Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

16. La cantidad de mg de medicamento en el organismo se relaciona en forma proporcional a las horas transcurridas desde que se ingiere. Pasadas 1,6 horas de haber sido ingerido quedan en el organismo 125mg, ¿Cuánto mg de medicamento quedarán en el organismo de una persona, pasadas 10 horas? a) 10 b) 20 c) 35 d) 75 e) 781,3

17. Andrés se dirige al supermercado y canceló un total de $72.312 después de haber recibido un descuento del 8% por pagar con la tarjeta del supermercado, ¿Cuál era el total de la boleta antes del descuento? a) $75.400 b) $76.120 c) $78.090 d) $78.600 e) $80.340

18. En una tienda están con un u n 35% de descuento todos los pantalones, Isabel aprovecho esta oferta y se compró uno, teniendo que pagar $16.250. ¿Cuál era el precio del pantalón antes de ser rebajado? a) $8.750 b) $21.938 c) $25.000 d) $26.250 e) $41.250

Página 260



19. En un edificio en construcción se han vendido 70 departamentos en verde, lo que corresponde al 20% del total de departamentos que tiene el edificio, ¿Cuántos departamentos en total tiene el edificio? a) b) c) d) e)

270 276 323 345 350

20. En una empresa todos los años los sueldos de los trabajadores se reajustan de acuerdo al IPC del año anterior. El año 2011 el IPC correspondió a un 2,5% y el sueldo que recibe un trabajador el año 2012 fue de un $436.240. ¿Cuál era el sueldo que recibía el trabajador el año 2011? a) b) c) d) e)

$414.694 $425.334 $425.600 $436.240 $447.146

21. Un artículo tiene un valor de $12.000 sin IVA, le rebajan al precio con IVA un 15%, ¿cuál es el valor del artículo después de aplicado el descuento? a) b) c) d) e)

$10.200 $12.138 $13.800 $14.280 $16.422

22. Andrés encargó a una distribuidora tres tipos de productos, A, B y C para su empresa los cuales comprará con factura. El detalle de la factura es el siguiente: los valores netos de estos productos son: A $3.200, B $4.300 y C $2.100. El pedido consta de 20 unidades del producto A, 15 del producto B y 18 del producto C, ¿cuánto debe cancelar Andrés por todos estos productos? (El monto total a cancelar debe tener incluido el IVA) $132.447 $166.300 $197.897 $201.824 $271.201 23. El valor del IVA de un producto $4.560, si se ofrece un 10% de descuento sobre el valor de venta del producto, ¿cuánto se cancela por este producto después del descuento? a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

$21.600 $24.000 $25.704 $27.120 $28.560


Página 261


24. A continuación se presenta una factura de una tienda de ropa de niños, complétala y determina el total de la compra. compra. Confecciones Los Peques

RUT: 56.210.121-1 56.210.121-1 FACTURA N° 225

Señores: Pablo Vergara Dirección: AV Recoleta 2.215 Giro: Vestuario Comuna: Santiago RUT: 12.124.021-2 Código Artículo

Descripción

Unidades Precio Neto

565

Polera Manga Corta Niño talla 18

25

2100

570

Polera Manga Corta Niña talla 18

35

2000

572

Polera Manga Corta Niño talla 24

10

2700

576

Polera Larga Corta Niña talla 24

25

2500

577

Short Niño Talla 18

20

3500

580

Short Niña Talla 24

15

3600 Total Neto IVA Total Factura

a) $19.671 b) $74.435 c) $335.580 d) $336.000 e) $399.840

Página 262


Total


25. Pedro está planificando la reconstrucción del patio trasero de su casa. El maestro que contrató, le encargo los siguientes materiales: 4 sacos de cemento de 45500grs cada uno, 11 cajas de tornillos de 1600grs cada una y 3 bolsas de yeso de 5,1 kg cada una. Estime, ¿Cuántos kilogramos de materiales debe comprar en total, para cumplir con el pedido y que no le falte? 1Kg = 1000grs 1000g rs a)200 a) 200 b)210 b) 210 c) 220 d)230 d) 230 e)240 e) 240 26. El año pasado una empresa exportó cada mes del año 413,6 toneladas de fruta. Del total de toneladas exportadas después de un año, la empresa determinó que el 18,8% fueron exportadas a Sudamérica y el resto fue exportada a Europa. Estime la cantidad de toneladas de fruta anuales que exportó la empresa a Europa a) 3500 b) 4000 c) 4500 d) 5000 e) 5500 27. Una camioneta de reparto traslada en cada viaje 125 cajas de 72,1 kilogramos cada una. Si realiza este viaje siempre sólo dos veces por semana, estime, ¿Cuál es el total de kilogramos que traslada en un mes? ( 1 mes = 4 semanas) a) b) c) d) e)

18.000 70.000 72.000 73.000 74.000

28. En una cuenta de agua potable se consigna un cargo fijo de $1.061 y por el consumo de cada m3 se cobra $35. La expresión que permite hacer el cálculo del cobro es T  35  x  1.061, ¿Cuánto se debe cancelar si en un mes se consumieron 785m 3 de agua? a) b) c) d) e)

$1.181 $24.611 $28.536 $28.571 $28.641


Página 263


29. La expresión IMC

peso 

estatura 

2

, permite calcular el IMC de una persona conocido su peso

y estatura. Si una persona pesa 78 kilos y mide 1,6 metros, ¿Cuál es su IMC? Utilizar Modo FIX 2 a) 19,04 b) 28,42 c) 30,47 d) 32,54 e) 48,75 30. Raúl compró en la vega 20 cajas de tomates, 30 lechugas y 12 kilos de palta, se sabe que los valores unitarios de los productos cumplen la siguiente relación: la caja de tomates vale doce veces el valor de una lechuga y el kilo de paltas vale $500 más que una lechuga. Si x representa el valor de una lechuga, ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular el total a pagar por todos los productos que compró?

a) b) c) d) e)

12 x  x  x  500 500 20  x  30 x  12 

x  500

32 x  30 x  12  x  500 500

20  12 x  30 x  12 



x



500

20  x  x  12 x

31. Un hotel tiene cuatro pisos y en cada piso hay tres habitaciones más que en el piso anterior, en total el hotel tiene 42 habitaciones, ¿Cuántas habitaciones tiene el tercer piso? a) b) c) d) e)

6 8 9 12 15

32. Tres amigos Daniel, Felipe y Esteban deciden invertir en un nuevo negocio, en total entre los tres invirtieron $6.750.000. Se sabe que Felipe invirtió el doble de Esteban y que Daniel invirtió $500.000 más que Felipe, ¿Cuánto dinero invirtió ESTEBAN en el negocio? a) b) c) d) e)

Página 264

$1.250.000 $2.250.000 $2.500.000 $3.000.000 $4.250.000



33. Sebastián tiene ahorrado una cierta cantidad de dinero, gastó 3/8 del dinero que tenía ahorrado, luego depositó $23.500, quedando en la cuenta un total de $101.875. Si x representa la cantidad de dinero que tiene ahorrado ahorrado Sebastián, Sebastián, ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones afirmaciones es (son) VERDADERA (s)? I)

La ecuación

3 x



8

x



23.500  101.875

permite calcular el total del dinero ahorrado por

Sebastián. II) 3 representa la cantidad de dinero que gasto x

8

III) El total del dinero ahorrado por Sebastián es $209.000 a) b) c) d) e)

Sólo II Sólo III Sólo I y III Sólo I y II I, II y III

34. Una camioneta transporta tomates y paltas entre los cuales hay 120 kilos más de paltas que de tomates. Si en total la camioneta transporta 632 kilos, ¿Cuál es la ecuación que modela el enunciado y que permite calcular la cantidad de kilos de cada verdura que transporta la camioneta? a) x  120 120  632 632 b) x  120 120  632 632 c) x  x  120 120  632 632 d) x  120 120  x  120 120  632 632 2

e)

x  x  120  632

35. Pamela tiene $2.700 más que Nicolás y Ana tiene el doble de dinero que Nicolás. Si entre los tres tienen $24.700, la ecuación que permite calcular la cantidad de dinero que tiene cada uno es x  2700  x  2x  24.700 700 . ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. II. III.

x

representa la cantidad de dinero que tiene Pamela x representa la cantidad de dinero que tiene Nicolás Ana tiene $11.000

a) Solo I b) Solo II c) Sólo III d) Solo I y III e) Solo II y III


Página 265


36. Laura recibe una cierta cantidad de dinero como ingreso mensual, gastó 1/8 de su sueldo en pagar cuentas y luego gastó 1/3 de lo que le quedaba para pagar el dividendo de su casa, después de gastar estas dos veces, le quedaron disponibles $446.250, ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) VERDADERAS (S)? I. Sí

x

representa

1 x

1 7 x



8





x



446250

el

ingreso

mensual

que

recibe

Laura,

entonces

la

ecuación

, permite calcular cuál es el ingreso mensual de Laura.

3 8

II. El ingreso total de Laura es de $765.000 III. Laura gastó la primera vez $95.625

a) b) c) d) e)

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

37. Una molécula de azúcar está compuesta por átomos de hidrogeno, oxígeno y carbono. Se sabe los átomos de hidrógeno son el doble de los átomos de oxígeno y que los átomos de carbono son uno más que los de oxígeno. Una molécula de azúcar tiene en total 45 átomos. La ecuación que permite calcular la cantidad de átomos de cada tipo es: 2 x  x  x  1  45 , ¿Qué representa la variable x en la ecuación? a) La cantidad de átomos de carbono b) La cantidad de átomos de hidrogeno y oxigeno c) La cantidad de átomos de oxigeno d) La cantidad de átomos de hidrogeno y carbono carb ono e) La cantidad de átomos de carbono 38. El capataz de una obra ordenó repartir un pallet de clavos de 3 pulgadas en 35 cajas de madera. Estas cajas tienen capacidad de 9 kilos (x) y 12 kilos (y). En total se desea repartir 372 kilos de clavos. El sistema x  y  35 , permite calcular la cantidad de cajas de 9 kilos y 12 kilos 9 x  12 y



372

necesarios para guardar guardar los clavos. clavos. ¿Cuántas cajas de 9 kilos son son necesarios? a) b) c) d) e)

3 8 16 19 35

39. Luis debe enviar al sur un cargamento de 350 cajas que contienen un total de 8.500 pilas. Para realizar el despacho Luis envía cajas con capacidad para 20 y 30 pilas, ¿cuántas cajas con capacidad para 20 pilas se envían en total? tot al? a) b) c) d) e)

Página 266

150 175 180 200 250



40. Un taller mecánico mecánico vende vende aceite aceite para autos en dos formatos, bidones de 2 y 5 litros cada uno. En total en el taller hay 26 bidones y un total de 100 litros de aceite, ¿cuántos bidones de 2 litros hay a la venta? a) b) c) d) e)

6 10 12 15 16

41. Por un semáforo en verde en un momento determinado pasaron un total de 70 vehículos entre camionetas y autos. Además se sabe que la cantidad de camionetas corresponde al 40% de la cantidad de autos. El gráfico que modela la situación antes planteada es el que se presenta a continuación, ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones es modelado por el gráfico? a) b)



70

x



y

x



40 y



0

x  0,4 y



70

x  0,4 y



0



70



y

x



0,4 y

x



y

d)

x



0,4 y

e)

x

 y 

x



c)



0

x



70 

0

70

0,4 y



0

42. Hugo y Amalia juntan dos tipos de monedas

  e  y 

, al contar sus ahorros ahorros se dan cuenta que Hugo tiene un total de $3.500 con 20 monedas del primer tipo y 3 monedas del segundo tipo, mientras que Amalia tiene un total de $4.000 con 5 monedas del primer tipo y 7 del segundo tipo y del mismo valor que los de Hugo. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones es modelado por el gráfico?

a) b) c)

20 x  3 y 7 x  5 y 

20 y

5 x



7 y

20 x  3 y

20 x  7 y 5 x  3 y



3.500

4.000





3.500

4.000





20 x  3 y 5 x  7 y

e)





3.500

4.000



3 x

5 x  7 y

d)



x

4.000

3.500



3.500

4.000


Página 267


43. José viaja con frecuencia a Concepción por motivos laborales. En uno de sus viajes debe desplazarse por varias varias zonas rurales, las cuales tienen poca locomoción colectiva por lo que decide arrendar una camioneta. Para este efecto, cotiza en dos empresas, “Seguridad -Siempre” y “Rápido&Furioso” en las que los valores a pagar dependen de la cantidad de horas diarias d iarias en que

utilizará el vehículo, esta situación se ve reflejada reflejada siguientes afirmaciones es (son) VERDADERAS? VERDADERAS?

en el siguiente gráfico. gráfico. ¿Cuál (es) de las

I)

Si arrienda el vehículo por 10 horas, entonces el valor a pagar es el mismo en las dos empresa II) La recta que modela a la empresa seguridad Siempre, tiene un cargo fijo de $150.000 III) Si José arrienda el auto por más de 10 días, entonces le conviene contratar la empresa Seguridad Siempre.

a) b) c) d) e)


44. Un agricultor compró para su tractor un día 40 litros de aceite y 20 litros de anticorrosivo, cancelando un total de $260.000. Al día siguiente compró a los mismos precios 20 litros de aceite y 30 litros de anticorrosivo, cancelando un total de $190.000. El siguiente gráfico modela y resuelve la situación antes planteada. De acuerdo a la información, ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) VERDADERAS? I. El sistema de ecuaciones

40 x  20 y



260.000

20 x  30 y



190.000

modela y resuelve el enunciado II. La variable  y  representa el valor del litro de anticorrosivo comprado. III. La solución al sistema de ecuaciones es: Valor de un litro de aceite $5.000 y valor de un litro de anticorrosivo es $3.000. a) b) c) d) e)

Página 268

Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo II y III I, II y III



45. En la sala de espera de una consulta médica hay en total 82 personas entre adultos y niños. Se sabe que el doble de los adultos más el triple de los niños es igual a 188 personas. El sistema x



2 x

y





3 y

82

, permite determinar determinar la cantidad de adultos adultos y niños niños que esperan esperan en la consulta

 188

médica. Seleccione la alternativa que corresponde a la definición de las incógnitas: a) b) c) d) e)

Cantidad de niños x : Cantidad de hombres x : Cantidad de adultos x : Cantidad de mujeres x : Cantidad de niños

y : Cantidad de adultos y : Cantidad de mujeres y : Cantidad de niños y : Cantidad de niños y : Cantidad de hombres

x :

Respuestas Guía Repaso Examen Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Respuesta D E D D E C C E C D D D C D C B D C E C B C C

Pregunta 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45


Respuesta E C B C C C D D A D C E E C C D B D C E E C

Página 269

Cuaderno de Trabajo - Nivelación Matemática (DUOC UC)

Recommend Documents