Cuadernillo de Problemas Dibujo Técnico

Área de Expresión Gráfica SISTEMA DIÉDRICO Representación Representación del punt o, la recta y el plano mediante coordenadas Los ejercicios aquí propuestos están diseñados, salvo excepciones, para realizarlos en formato A4, en posi po sici ción ón vert ve rtic ical al,, sit uand ua ndo o la líne lí nea a de tier ti erra ra en el cent ce ntro ro de la hoja ho ja.. Al fina fi nall del de l enun en unci ciad ado o de cada ca da ejer ej erci cici cio o se indica la situación de un origen de coordenadas que se colocará sobre dicha línea de tierra. Representación Representación del pu nto

PV

+Z

Situado el origen O sobre la línea de tierra (fig. A), un punto queda definido por sus coordenadas diédricas P (x, y, z), donde: x Indi In dica ca la dist di stan anci cia a del de l orig or igen en a la líne lí nea a de referencia del punto. Si es + se toma sobre la línea de tierra a la derecha del origen. Si es - se toma sobre la línea de tierra a la izquierda del origen. y Señala el alejamiento, es decir, la posición de P 1 . Si es + se toma sobre la línea de referencia y por debajo de la línea de tierra. Si es - se toma sobre la línea de referencia y por encima de la línea de tierra. z Indica la cota, es decir, la posición de P 2 . Si es + se toma sobre la línea de referencia y por encima de la línea de tierra. Si es - se toma sobre la línea de referencia y por debajo de la línea de tierra.

P 2 2

P

z

O

-X

+X

x y P 1

+Y

PH

-Z (a) P 2 2 -Y +Z -X

O

(b)

+Y -Z

z +X

x

y

FIG. A

P 1

V B2

B

Representación de la recta

H

r 2

La recta queda determinada por dos puntos r: A (x, y, z) B (x', y', z'). Por tanto, una vez situadas las proy pr oyec ecci cion ones es de ambo am boss punt pu ntos os (fig (f ig.. B), la proy pr oyec ecci ción ón horizontal r 1 se obtiene al unir las proyecciones horizontales A1 y B1 y la proyección vertical r 2 2 es la que une las proyecciones verticales A2 y y B 2 .

B1

r A2

r 1

A

O

A1

B 2 r 2 2 A2

(a) O

Representación Representación del plano

B1

Establecido un origen O, como en el caso del punto, en la determinación del plano intervienen también tres coordenadas α  (x, y, z), pero el significado es distinto al de entonces (fig. C): x Indi In dica ca la dist di stan anci cia a del de l ori gen ge n al vérti vé rti ce del plan pl ano. o. Si es + el vértice está sobre la línea de tierra, a la derecha del origen. Si es - el vértice está sobre la línea de tierra, a la izquierda del origen. y Alejamiento de la traza horizontal α 1 en el origen. Si es +, está por debajo de la línea de tierra. Si es -, está por encima de línea de tierra. z Señala la cota de la traza vertical α 2 en el origen. 2 en Si es +, está por encima de la línea de tierra. Si es -, está por debajo de la línea de tierra.

r 1 A1

(b)

FIG. B V

+Z 2

z -X

+X

x

O y 1

+Y

H

-Z

(a)

-Y +Z 2

z O

-X y (b)

1

x

+X

1

+Y -Z

FIG. C

Área de Expresión Gráfica

SISTEMA DIÉDRICO EL PUNTO 1. Situar 1. Situar los siguientes puntos, indicando el octante o plano al que pertenecen: A (-70, 30, 10), B (-10, -30, 10), C (-50, 10, 30), D (-80, 40, 0), E (-20, -20, 20), F (10, -30, -10), G (0, 40, 0), H (-40, 0, 40), I (20, -20, -20), J (40, 0, -40), K (-30, -10, 30), L (50, 10, -30), M (-60, 20, 20), N (60, 20, -20), O (30, -10, -30) y P (70, 30, -10). Datos: cotas en milímetros; origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101009) 2. 2. Determinar las proyecciones de los siguientes puntos: a) Punto A, está en el tercer cuadrante, se encuentra en el primer bisector y tiene 3 cm de alejamiento (distancia al origen x=4); b) Punto B, está en el cuarto cuadrante, y tiene 4 cm de cota y 3 cm de alejamiento (x=6); c) Punto C, está en el segundo cuadrante, se encuentra en el segundo bisector y tiene 2 cm de cota (x=8). Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.101001) 3. 3. Determinar las proyecciones de los siguientes puntos: a) Punto D, está en la parte par te poste po steri rior or del plano pl ano horizo hor izont ntal al y tiene ti ene 5 cm de aleja ale jamie mient nto o (x=1 (x =10) 0);; b) Punto Pun to E, está en el primer cuadrante y tiene 4 cm de cota y 1'5 cm de alejamiento (x=12); c) Punto F, está en el segundo cuadrante y tiene 4 cm de cota y 1'5 cm de alejamiento (x=14). Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.101001) LA RECTA 4. En 4. En una hoja de tamaño A4 dibujar cuatro líneas de tierra y situar las siguientes rectas, hallando las trazas con los planos de proyección y con los bisectores, y señalando partes vistas y ocultas: r: A (-10, 10, 5) B (10, 5, 25), s :C (0, 0, 15) D (10, 5, 25), m: E (0, 10, 0) F (20, 20, 20) y n: G (-20, 0, 0) H (15, 20, 35). Datos: Origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101021) 5. En 5. En una hoja de tamaño A4 dibujar cuatro líneas de tierra y situar las siguientes rectas, hallando las trazas con los planos de proyección y con los bisectores, y señalando partes vistas y ocultas: r: A (-5, 0, 20) B (30, 20, 20), s: C (5, 20, 10) D (15, 20, 30), m: E (0, 20, 20) F (0, 30, 20) y n: G (0, 20, 20) H (0, 20, 30). Datos: Origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101022) 6. En 6. En una hoja de tamaño A4 dibujar cuatro líneas de tierra y situar las siguientes rectas, hallando las trazas con los planos de proyección y con los bisectores, y señalando partes vistas y ocultas: r: A (-20, 20, 15) B (20, 20, 15), s: C (0, 20, 5) D (0, 5, 10), m: E (0, 0, 5) F (35, 20, 25) y n: G (-35, 20, -20) H (35, -20, 20). Datos: Origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101023) 7. 7. Representar la intersección con los planos de proyección y los bisectores de la recta que pasa por los puntos A (-10, -10, - 30) y B (10, -30, -10). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101028) Examen 1995

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SISTEMA DIÉDRICO EL PUNTO 1. Situar 1. Situar los siguientes puntos, indicando el octante o plano al que pertenecen: A (-70, 30, 10), B (-10, -30, 10), C (-50, 10, 30), D (-80, 40, 0), E (-20, -20, 20), F (10, -30, -10), G (0, 40, 0), H (-40, 0, 40), I (20, -20, -20), J (40, 0, -40), K (-30, -10, 30), L (50, 10, -30), M (-60, 20, 20), N (60, 20, -20), O (30, -10, -30) y P (70, 30, -10). Datos: cotas en milímetros; origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101009) 2. 2. Determinar las proyecciones de los siguientes puntos: a) Punto A, está en el tercer cuadrante, se encuentra en el primer bisector y tiene 3 cm de alejamiento (distancia al origen x=4); b) Punto B, está en el cuarto cuadrante, y tiene 4 cm de cota y 3 cm de alejamiento (x=6); c) Punto C, está en el segundo cuadrante, se encuentra en el segundo bisector y tiene 2 cm de cota (x=8). Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.101001) 3. 3. Determinar las proyecciones de los siguientes puntos: a) Punto D, está en la parte par te poste po steri rior or del plano pl ano horizo hor izont ntal al y tiene ti ene 5 cm de aleja ale jamie mient nto o (x=1 (x =10) 0);; b) Punto Pun to E, está en el primer cuadrante y tiene 4 cm de cota y 1'5 cm de alejamiento (x=12); c) Punto F, está en el segundo cuadrante y tiene 4 cm de cota y 1'5 cm de alejamiento (x=14). Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.101001) LA RECTA 4. En 4. En una hoja de tamaño A4 dibujar cuatro líneas de tierra y situar las siguientes rectas, hallando las trazas con los planos de proyección y con los bisectores, y señalando partes vistas y ocultas: r: A (-10, 10, 5) B (10, 5, 25), s :C (0, 0, 15) D (10, 5, 25), m: E (0, 10, 0) F (20, 20, 20) y n: G (-20, 0, 0) H (15, 20, 35). Datos: Origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101021) 5. En 5. En una hoja de tamaño A4 dibujar cuatro líneas de tierra y situar las siguientes rectas, hallando las trazas con los planos de proyección y con los bisectores, y señalando partes vistas y ocultas: r: A (-5, 0, 20) B (30, 20, 20), s: C (5, 20, 10) D (15, 20, 30), m: E (0, 20, 20) F (0, 30, 20) y n: G (0, 20, 20) H (0, 20, 30). Datos: Origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101022) 6. En 6. En una hoja de tamaño A4 dibujar cuatro líneas de tierra y situar las siguientes rectas, hallando las trazas con los planos de proyección y con los bisectores, y señalando partes vistas y ocultas: r: A (-20, 20, 15) B (20, 20, 15), s: C (0, 20, 5) D (0, 5, 10), m: E (0, 0, 5) F (35, 20, 25) y n: G (-35, 20, -20) H (35, -20, 20). Datos: Origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101023) 7. 7. Representar la intersección con los planos de proyección y los bisectores de la recta que pasa por los puntos A (-10, -10, - 30) y B (10, -30, -10). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101028) Examen 1995

2


8. 8. Dado el punto A de cota 4 cm, en el segundo cuadrante y sabiendo que dista en el espacio 5 cm de la línea de tierra (x=6), y el punto B de cota 7 cm y alejamiento -1 cm, representar las proyecciones de la recta AB indicando partes vistas y ocultas, sabiendo que las líneas de referencia de ambos puntos distan 2'5 cm. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.101006) EL PLANO 9. Representar 9. Representar el plano perpendicular al primer bisector que contiene a los puntos A (0, 0, 10) y B (10, 10, 10). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101028) Examen 1995

10. Representar 10. Representar la recta de máxima pendiente del plano α (-10, -10, 10) que pasa por el punt pu nto o del de l plano pl ano de cota cot a 10 y alej al ejami amient ento o 10. Datos: Dat os: orig or igen en en el centr cen tro o de la línea de tierra. (ref.101028) Examen 1995 11. Dibujar 11. Dibujar el plano α (-35, 20, 35) y el punto P del plano, de cota 20 y alejamiento 20, y situar: a) una recta de máxima pendiente que contenga al punto P, b) una recta de máxima inclinación que contenga al punto P. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101027) 12. 12. Dados el plano α (60, 30, 60) y los punto pun toss A (30, (3 0, 0, 30), 30) , B (-30, (- 30, 25, 40) 40 ) y C (0, 30, 60), averiguar si dichos puntos están contenidos en el plano α . Datos: Cotas en cms. origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101017)

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6 3

13. Dadas 13. Dadas las proyecciones horizontal y vertical de la pieza de la figura 1, 1, hallar la tercera proyección. (ref.101033) 14. Dibujar 14. Dibujar el plano dado por las rectas r: A (-25, 20, 15) B (0, 0, 0) y s: B (0, 0, 0) C (15, -30, 30). Datos: Origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101029) Examen 1998

6 3 9

15. 15. Hallar las trazas de un plano dado por los lo s tres tr es punt pu ntos os sigui sig uient entes: es: A (-15, (- 15, 20, -20), B (0, -5, 20) y C (15, 25, 10). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101010) 4

FIG.1

3


16. 16. Partiendo del punto A (150, 50, 0), dibujar las proyecciones horizontal y vertical de los volúmenes representados en la figura 2 de modo que la recta r forme -60º con la línea de tierra. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.101030)

3 0

30

0 2

0 3

5 2

Examen 2002 0 1

17. 17. Dados los triángulos ABC, BCD y BDE, dibujar la trayectoria que describe una gota de agua que cae sobre sus superficies y parte del vértice E. Datos: A (-30, (- 30, 60, 0), 0) , B (60, (6 0, 70, 0), 0) , C (-20, (- 20, 45, 30), D (0, 30, 40) y E (10, 10, 60). Origen en el centro de la línea de tierra.

A 4 0

r 0 3

1 5

0 1

55

15

1 5

20

FIG.2

(ref.101031) Examen 2002

18. Dados 18. Dados los puntos A (0, 30, 50), B (-40, -10, -55) y C ( 40, -20, 20), dibujar las proye pr oyecci ccione oness de la parte par te vist vi sta a del trián tr iángul gulo o ABC. ABC . Dato Da tos: s: orige or igen n en el centr cen tro o de la línea de tierra. (ref.102032) Examen 2005 19. Dada 19. Dada la recta r: A (-30, 0, 30) B (0, 30, 30), a) Dibujar el plano α que que contiene a la recta r y es perpendicular al segundo bisector, b) Trazar por el punto B la recta s de máxima inclinación del plano α , y c) Señalar los puntos M y N de intersección de la recta s con los planos bisectores. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.101034) Examen 2008

INTERSECCIONES ∞ , 20, 35) y β ( ∞ ∞ ,30, 20. Hallar 20. Hallar la intersección de los dos planos siguientes: α ( ∞ ,30, 20). Datos: origen en el centro de la línea de tierr a. (ref.102010)

21. Hallar 21. Hallar la intersección del plano α dado dado por los puntos A (25, 35, 60), B (40, 45, 30) y C (50, 30, 45) con la recta r dada por los puntos M (65, 25, 20) y N (130, 25, 85). Datos: origen a 4 cm del margen izquierdo. (ref.102017) 22. Dados 22. Dados los planos α (-15, 25, 55) y β (-15, -8, -15), hallar su intersección. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.102002) 23. Hallar 23. Hallar la intersección del plano y la recta siguientes: α (-35, 30, 30) y r: A (-15, 0, 20) B (0, 20, 10). Datos: origen en el centro de la línea de tierr a. (ref.102018) 24. 24. Hallar la intersección del plano y la recta siguientes: α ( ∞ ∞ , 15, 20) y r: A (-15, 10, 5) B (10, 0, 15). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.102018) ∞ , 25, 30) y r: A (-30, 25. 25. Hallar la intersección del plano y la recta siguientes: α ( ∞ 15, 20) B (-30, 5, 5). Datos: origen en el centro de la línea de t ierra. (ref.102018)

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26. Dados los puntos A (-30, 67'5, 30), B (37'5, 15, 11), C (-7'5, 15, 45), D (15, 45, 3'5), E (30, 30, 52'5) y F (-18'5, 15, 15), hallar la intersección del triángulo ABC con el triángulo DEF, suponiendo ambos opacos. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.102028) Examen 1994.Examen 2005 27. Dada la recta r: A (80, 40, 50) B (120, 20, 0), que es la de máxima pendiente del plano α , hallar las rectas m y n de intersección del plano α con el primer y segundo bisector respectivamente. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.102009) Examen 1997 Examen 2005

28. Dados los planos α (-20, 35, 20) y β (-30, 30, ), hallar un punto del plano α que se encuentre en el primer cuadrante a 15 mm del plano β y del plano horizontal. Datos: origen en el centro de la línea de tierr a. (ref.102029) Examen 1998 ∞

29. Hallar la intersección de los planos α (-25, 10, 25) y β (-25, -25, -10). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.102030) Examen 1998 30. Hallar la intersección de los planos α (-40, 40, -40) y β (-40, 20, -20). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.102031) Examen 2000 31. Por el punto P (-25, 15, 20), trazar la recta que corta a la recta r: A (-50, 45, 10) B (-50, 15, 40) y a la línea de tierra. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.102032) Examen 2002

32. Trazar la recta m que corta a las rectas r: A (-40, 35, 25) B (-10, 10, 15) y s: C (25, 10, 50) D (20, 30, 15) y es paralela a la línea de tierra. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.102033) Examen 2002 33. Por un punto dado P (85, 25, 25) trazar una recta que corte a otras dos r: A (70, 55, 0) B (115, 0, 25) y s: C (35, -10, 0) D (45, 0,10). Datos: Origen en el margen izquierdo del papel. (ref.102011) Examen 2002 34. Hallar la intersección de l os tres planos siguientes: α (-15, 20, -20), β (40, 20, ∞ ) y el plano γ determinado por la línea de tierra y el punto A (20, 30, 40). Datos: origen a 70 mm del margen izquierdo. (ref.102034) Examen 2004 35. Hallar la intersección del cuadrilátero ABCD: A (-40, 45, 0), B (-20, 20, 30), C (20, 5, 30) y D (0, 30, 0) con el triángulo EFG: E (20, 20, 5), F (-30, 10, 5) y G (-5, 50, 40), determinando partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.102036) Examen 2008 36. Dados los puntos A (25, 45, 20), B (20, 10, 45), C (-25, 45, 60), E (35, 55, 35), F (-10, 20, 50) y G (0, 45, 15), hallar la intersección de los paralelogramos ABCD y EFGH. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.102039) Examen 2011

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PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 37. Determinar el centro de la esfera, definida por los cuatro puntos A (25, 50, 55), B (0, 70, 55), C (-35, 25, 40) y D (-10, 25, 10) [ y hallar la longitud del radio en verdadera magnitud ] . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.104024) Examen 1997

38. Trazar un plano paralelo a la recta r: A (100, 0, 85) B (140, 30, 0) y que contenga a la recta s: C (10, 40, 0) D (80, 0, 70). Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.103006) 39. Dados los puntos A (-50, 20, 30) y B (0, 30, 10): a) trazar un plano α que contenga a dichos puntos y sea paralelo a la línea de tierra, y b) trazar un plano β que contenga a los puntos A y B y sea perpendicular al segundo bisector. Datos: origen a 16 cm del margen izquierdo. (ref.103009) Examen 1996 40. Dado el plano α (-40, 20, 40) y la recta r: A (-20, 10, 20) B (0, 20, 40), hallar la intersección del plano α con el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano α . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.104013) Examen 1995 41. Por un punto M (60, 30, -20) trazar una perpendicular a la recta r: A (0, 40, 10) B (40, 10, 30). Datos: origen a 20 mm del margen izquierdo. (ref.104012) 42. Por el punto M (-50,-20,-10) hacer pasar un plano perpendicular a los planos α (10, -10, 20) y β (-10, -40, -10). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.104008). Examen 1996. Examen 2003 43. Por una recta dada r: A (-60, -10, -30) B (-20, -30, -10) hacer pasar un plano perpendicular a otro dado α (40, 20, 40). Datos: origen a 14 cm del margen izquierdo. (ref.104016) 44. Determinar un punto del plano vertical que equidiste de los puntos A (-15, 55, 10), B (20, 45, 35) y C (0, 35, 0) y hallar la verdadera magnitud de la distancia de dicho punto al triángulo ABC. Datos: Cotas en milímetros. Origen en el centro de la línea de tierra. (ref.104014) Examen 1998.Examen 2001 45. Hallar la recta simétrica de r: A (-70, -30, 0) B (-40, 0, 20) respecto del plano α (60, 20, 20). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.104026). Examen 1999 46. Dadas las rectas r: A (-40, 40, 20) B (0, 10, 50) y s: C (-20, 10, 20) D (20, 50, 10), trazar una recta que corte a las rectas r y s y sea perpendicular al plano α (60, -60, 40). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.104027) Examen 2000 47. Dadas las rectas r: H r (0, 30, 0) V r (-45, 0, 75) y s: H s (-15, -15, 0) V s (-15, 0, 15), y el plano α que contiene a la recta r y es perpendicular al primer bisector, hallar la recta i, del plano α , que corta a las rectas r, s y línea de tierra. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.103016) Examen 2000.

6


48. La recta r: A (90, 5, 30) B (110, 20, 10) es la recta de máxima inclinación de un plano α ; determinar un plano β que contenga al punto C (120, 15, 30) y sea perpendicular al plano α y al segundo bisector. Datos: origen en el margen izquierdo del papel. (ref.104011) Examen 2003 49. Dadas las rectas r: A (-20, 30, 25) B (0, 0, 15) y s: C (-25, 0, 45) D (20, 20, 0), trazar otra recta que corte a las dadas y sea paralela a la línea de tierra. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.103017) Examen 2004 50. Hallar las proyecciones de la recta que contiene al punto P (0, 20, 20), corta a la recta r: A (-50, 30, 60) B ( -25, 0, 25) y es paralela al plano α ( ∞, 15, 25). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.102035) Examen 2007 51. Dibujar la recta perpendicular común a las rectas r: A (0, 0, 20) B (35, 35, 45) y s: C (-50, 0, 60) D (-15, 35, 30). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.104029) Examen 2007

52. Dado el plano α (-40, 20, 40) y la recta r: A (-20, 10, 20) B (0, 20, 40), hallar la intersección del plano α con el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano α . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.104013) Examen 2008 DISTANCIAS 53. Dados los puntos A (10, -30, -10), B (20, 40, 40), C (0, 0, -40) y D (40, 0, 0), hallar la distancia del punto B al plano determinado por los puntos A, C y D. Datos: Origen a 70 mm del margen izquierdo. (ref.105034) Examen 1997 54. Dado el punto P (90, 30, 40) y la recta r: A (10, 0, 0) B (40, -50, 50), hallar la verdadera magnitud de la mínima distancia del punto P a la recta r. Datos: origen a 6 cm del margen izquierdo. (ref.105003) 55. Dada la perspectiva de la figura 3, dibujar las proyecciones y hallar la verdadera magnitud de la mínima distancia que hay desde el punto P a la cara determinada por los puntos A, B y C. (ref.105032) Examen 1995

30 C 3 0

P

0 3

B

56. Hallar las trazas de un plano α paralelo al plano β (40, 25, 40) y a una distancia de 35 mm por encima de él. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.105022)

A

FIG.3

57. Dado el tetraedro formado por los vértices A (-40, 20, 25), B (-30, 75, 10), C (25, 35, 10) y D (-10, 50, 60), hallar la verdadera magnitud de la altura correspondiente al vértice A. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.105033) Examen 1997

7


58. Dada la recta r: M (-20, 0, 65) N (20, 15, 60) y los puntos A (0, 40, 45) y B (30, 10, 20), hallar las proyecciones del baricentro de un triángulo isósceles cuya base es el segmento AB y el vértice C se encuentra en la recta r. Datos: Origen en el centro de la línea de tierra. (ref.105036) Examen 1999 59. Dibujar el plano que equidista de las rectas r: A (-20, 35, 5) B (0, 15, 45) y s: C (10, 17, 5) D (20, 30, 0). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.105038) Examen 1999

60. Dada la recta r: A (0, 30, 0) B (40, 0, 60) y los puntos M (-25, 5, 50) y N (40, 20, -10), trazar un plano α que contenga a la recta r y que equidiste de los puntos M y N. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.105037) Examen 1999 61. Dibujar el plano que equidiste de los puntos A (-20, 35, 80), B (25, 20, 5), C (0, 80, 60) y D (60, 5, 45) de manera que A y C queden a distinto lado del plano que B y D. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.105039) Examen 2000 62. Dada la recta r: A (0, 25, 50) B (40, 40, 30), hallar un punto P de ella que equidiste de los puntos C (-20, 40, 40) y D (15, 15, 15). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.105040) Examen 2001 63. Dada la proyección vertical B 2 de un punto B (-30, ?, 25), hallar la otra proyección sabiendo que dicho punto está en el segundo cuadrante a 25 mm del plano α que determinan la línea de tierra y el punto A(-60, 50, 40). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.105041) Examen 2001 64. Dada la pirámide recta, de altura 60 mm, cuya base es un cuadrado situado en el plano horizontal de lado AB: A (-10, 50, 0) B (30, 65, 0), determinar: a) la distancia del punto medio de un lado de la base a la cara opuesta, y b) el ángulo que forman dos caras laterales consecutivas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.105042) Examen 2002 65. Dada la pieza de la figura 4, hallar la verdadera magnitud de la mínima distancia que hay desde el punto P a la cara determinada por los puntos A, B y C. (ref.105031) Examen 2003

C 2

P 2

0 2

B 2 A 2 0 1

66. Dado un plano α que contiene a los puntos A (0, 50, 0) y B (60, 0, 40) y es perpendicular al segundo bisector, determinar las trazas de otro plano β que diste 30 mm de α . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.105028)

C 1

A1

0 1

Examen 2004 0 2

P 1

10

B1

30

FIG.4 8


67. Dada la pirámide formada por los vértices A (0, 40, 55), B (-50, 20, 0), C (-20, 100, 0) y D (45, 20, 0), hallar la verdadera magnitud de la altura correspondiente al vértice B. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.105044) Examen 2007 CAMBIOS DE PLANO 68. Dado el triángulo ABC: A (100, 40, 0) B (140, 10, 50) C (160, 60, 30), mediante cambios de plano colocarlo paralelo al plano vertical. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.106018) Examen 1995 69. Mediante cambio de plano, hallar la distancia entre las rectas r: A (-15, 20, 0) B (25, 0, 15) y s: C (-10, 0, 30) D (30, 25, 30). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.106024) 70. Hallar la nueva proyección vertical de la figura 5 , según el cambio de plano representado. (ref.106027) Examen 1994 71. Dada la pieza de la figura 6 , hallar la nueva proyección vertical en un cambio de plano cuya línea de tierra forma 30º con la primitiva. Datos: O (0, 60, 0). Origen en el centro de la línea de tierra. (ref.106034) Examen 1998

0 2

0 1

0 2

° 0 3

O

5

O2

0 4

0 2

0 1

20 O1

40

FIG.5

FIG.6

9


72. Dada la pieza de la figura 7 , hallar la nueva proyección vertical en un cambio de plano cuya línea de tierra forme 30º con la primitiva. (ref.106030) Examen 1996 73. Dada la pieza de la figura 8 , efectuar dos cambios de plano consecutivos: a) cambio de plano vertical, cuya línea de tierra forma 60º con la primitiva y b) cambio de plano horizontal, cuya línea de tierra forma -30º con la segunda. (ref.106032) Examen 1996 Examen 2004 Examen 2012 V' 60º 0 5 ' 4

0 3

H'' 0 5 ' 4

30º

4'50

FIG.8

FIG.7 74. Dada la pieza de la figura 9, hallar la nueva proyección vertical en un cambio de plano cuya línea de tierra forma 60º con la primitiva. Datos: A (40, 80, 0). Origen en el margen izquierdo del papel.

0 5

(ref.106003) Examen 2001

5 2

75. Convertir la recta r: A (0, 40, 0) B (60, 20, 40) en una recta perpendicular al plano horizontal, mediante cambios de plano. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.106002) Examen 2001.

60º A 2 50

0 3

0 5

A1

10

FIG.9


76. Dada la pieza de la figura 10 , efectuar los dos cambios de plano consecutivos que se indican. (ref.106005) Examen 2002 77. Dada la pieza de la figura 11, hallar la nueva proyección en un cambio de plano vertical cuya línea de tierra forma 45º con la primitiva. Partes vistas y ocultas. (ref.106010) Examen 2003 15

30

15

H

5 1

0 2

° 5 4

0 3

1 3 5 °

5 1

0 4

0 3

V

5 1

0 3

35

5 1

FIG.11

FIG.10

78. Dada la pieza de la figura 12 , efectuar dos cambios de plano consecutivos (no independientes): a) cambio de plano vertical cuya línea de tierra forma 30º con la primitiva y b) cambio de plano horizontal, cuya línea de tierra forma 90º con la primitiva. Partes vistas. (ref.106017) Examen 2004 79. Dada la pieza de la figura 13, efectuar dos cambios de plano consecutivos (no independientes): a) cambio de plano vertical cuya línea de tierra forma 30º con la primitiva y b) cambio de plano horizontal, cuya línea de tierra forma 90º con la primitiva. Partes vistas. (ref.106022) Examen 2005 H

10 H

0 4 0 4

V

0 2

° 0 3

° 0 3

0 1

5

0 2

20 40

0 2

40 20

0 1 0 1

FIG.13

FIG.12 11

V


80. Dada la pieza de la figura 14, determinar sus nuevas proyecciones en un cambio de plano horizontal cuya línea de tierra forma 30º con la original. (ref.106025) Examen 2005

81. Dada la recta r: A (0, 30, 0) F (52, 0, 0), situada en el plano horizontal, se pide: a) dibujar las proyecciones de la figura 15 dada sabiendo que está apoyada por la base en el plano horizontal y el segmento AB está situado en la recta r, y b) hallar la nueva proyección horizontal de la figura en un cambio de plano cuya línea de tierra forma -30º con la primitiva. Determinar las partes vistas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.106029) Examen 2006 40 5 0 1

0 5

10

3 2

30º

10

0 1

2 1

30º

0 1

5

0 1

0 1

A 2

B 2

A1

B1

5 0

5 0

0 1

FIG.15

FIG.14

82. Dibujar las proyecciones horizontal y vertical de la pieza de la figura 16 dada por su proyección vertical y perfil izquierdo. Hallar las nuevas proyecciones de la pieza después de efectuar dos cambios de plano consecutivos: a) primero, un cambio de plano vertical, cuya línea de tierra forma -30º con la primitiva, y b) segundo, un cambio de plano horizontal, cuya línea de tierra forma -60º con la segunda. (ref.106035) Examen 2007 83. Dada la pieza de la figura 17 , hallar la nueva proyección horizontal en un cambio de plano cuya línea de tierra forme -30º con la primitiva. (ref.106030) Examen 2009 32 36

24

9

12

30º

60º

FIG.16

FIG.17 12


84. Dibujar las proyecciones horizontal y vertical de la figura 18 y efectuar los dos cambios de plano consecutivos siguientes: a) primero, un cambio de plano vertical, cuya línea de tierra forme -30º con la primitiva, y b) segundo, un cambio de plano horizontal, cuya línea de tierra forme -45º con la segunda. (ref.106036) Examen 2010 85. Dada la pieza de la figura 19, efectuar a escala 2:1 dos cambios de plano consecutivos: primero un cambio de plano vertical y en segundo lugar un cambio de plano horizontal, y cuyas líneas de tierra se indican. (ref.106038) Examen 2012 45 C 2

B 2

A2 A1

C 1

15

B1

15

FIG. 19

cotas en mm.

FIG. 18 GIROS

86. Dado el eje e perpendicular al plano vertical y que lo corta en el punto (100,0,45), girar los puntos A (150, 50, 10), B (40, -30, -60) y C (160, 20, 50) 45º alrededor del eje e y en sentido contrario a las agujas del reloj, señalando a qué cuadrante pertenecen los puntos una vez girados. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.107012) 87. Dada la recta r: A (60, 30, 0) B (140, 0, 50), mediante un giro convertirla en una recta frontal que diste 20 mm del plano vertical. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.107015) 88. Hallar, mediante giros, la distancia del punto P (10, 30, 30) al plano α (-30, 20, 50). Datos: origen en el centro de la l ínea de tierra. (ref.107022) 89. Dado el plano α (-20, 20, 20), trazar, mediante giros, un plano β paralelo al anterior a 20 mm de distancia. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.107023)

90. Dada la recta r: A (-35, 10, 15) B (20, 55, 45) y el plano α (55, 55, 45), girar la recta dada alrededor de un eje vertical hasta situarla en el plano α . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.107016) Examen 2006

13


91. Dada la recta r: A (-35, 10, 15) B (20, 55, 45) y el plano α (55, 55, 45), girar el plano α alrededor de un eje vertical hasta que dicho plano contenga a la recta r. Datos: origen en el centro de la línea de tierr a. (ref.107015) Examen 2006 ABATIMIENTOS 92. El punto A (-30, 70, 50) es el vértice de un cuadrado ABCD que tiene la diagonal AC perpendicular al plano α (-35, 35, 35), estando el vértice C en el plano horizontal. La otra diagonal es paralela al plano horizontal. Dibujar el trozo de cuadrado que está por encima de α , indicando las partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110037) Examen 1997 93. Dados los planos α (-60, 50, 20) y β (20, 50, -30), hallar las proyecciones de un triángulo equilátero que tiene un vértice en el punto A (60, 75, 20) y el lado opuesto BC situado en la recta de intersección de α y β . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110033) Examen 1995 94. El segmento AB: A (0, 20, 20) B (40, 40, 30) es el eje mayor de una elipse contenida en el plano α definido por los puntos A, B y C (-20, 0, 20), cuyo eje menor vale 40 mm. Hallar las proyecciones de los puntos de t angencia entre la elipse y las rectas tangentes a la misma trazadas desde el punto C. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110.036) Examen 1997 95. Hallar las proyecciones de una circunferencia de radio 30 mm, situada en un plano perpendicular al segundo bisector, cuya traza vertical forma 30º con la línea de tierra y sabiendo que las trazas son tangentes a la circunferencia. Datos: origen en el centro de la línea de ti erra (ref.110001) Examen 1997 96. Dado el plano α (-30, 30, 52) y un punto P del mismo de cota 35 y alejamiento 25, dibujar en el plano α un polígono regular estrellado de ocho vértices, con centro en P y radio r = 30, de tal forma que dos vértices consecutivos sean paralelos a la traza horizontal α 1 del plano. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110030) Examen 1994

97. Dibujar las proyecciones de la figura que se forma cuando a la superficie del triángulo que determinan los puntos A (10, 40, 0), B (60, 60, 52) y C (0, 0, 52) se le resta la superficie correspondiente de un círculo cuyo centro es el punto medio M del segmento AB y radio r = 20 mm. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110031) Examen 1994 Examen 1999

98. Hallar los ejes de las elipses que son proyección de una circunferencia situada en el plano α (15,-15, 15), sabiendo que dicha circunferencia es tangente a los planos horizontal y vertical de proyección y conociendo el punto A (0, 0, 15) de tangencia con el plano vertical. Datos: Origen en el centro de la línea de tierra. (ref. 108014) Examen 1998

99. Hallar el ortocentro del triángulo dado por tres puntos A (-30, 45, -15), B (30, 105, -15) y C (30, 45, 45). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110035) Examen 1997

14


100. Dado el segmento determinado por los puntos A (80, 20, 10) y B (120, 60, 20), determinar las proyecciones de un triángulo rectángulo isósceles, con ángulo recto en el punto A, sabiendo que el segmento AB es un lado del triángulo, que el vértice opuesto está sobre el plano vertical y que el triángulo está en el primer cuadrante. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.110014) Examen 1999 101. Hallar los puntos de intersección de la circunferencia que pasa por los puntos A (-25, 50, 60), B (5, 20, 60) y C (-15, 60, 20) con el plano α (-65, 130, 97’5). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110041) Examen 1999 Examen 2012 102. Dados el plano α (-40, 40, 40) y los puntos P, de cota 20 y alejamiento 20, y Q, de cota 20 y alejamiento 60, pertenecientes al plano α , se pide: determinar las proyecciones del cuadrilátero que se forma al unir los puntos de tangencia de las rectas tangentes comunes interiores a las circunferencias de radio 15 y 20, con centro en P y Q respectivamente y que pertenecen al plano α . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110042) Examen 2000 103. Hallar las proyecciones de las rectas r: P (20, 50, ?) A (-40, 20, 0) y s: P (20, 50, ?) B (40, 30, 0) sabiendo que son perpendiculares entre sí. (ref.108015) Examen 2000 104. Hallar las proyecciones de una circunferencia que pasa por los puntos A (100, 20, 60), B (130, 50, 75) y C (150, 70, 20). Datos: origen en el margen izquierdo del papel. (ref.110016) Examen 2001 105. El segmento AB: A (0, 70, 15) B (45, 25, 15) es la base mayor de un trapecio isósceles de altura h = 55 mm y base menor b = 20 mm. La base menor está situada en el plano α (25, 25, 30) paralelo a AB. Dibujar las proyecciones del trapecio. Datos: origen a 50 mm del margen izquierdo. (ref.110043) Examen 2002 106. Dado el punto A (-45, 45, 10), dibujar las proyecciones de la figura 20 , sabiendo que el cuadrado ABCD tiene el lado AB situado en una recta horizontal que forma 30º con el plano vertical (siendo el punto B de menor alejamiento que el A) y que el punto C está situado en el plano vertical. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110044)

20 D

C

0 8

0 2

Examen 2004 0 1 0 1

A

B 40 10

80

FIG.20

15


107. Dibujar las proyecciones de un triángulo isósceles, contenido en el plano α (40, 40, 40), cuyos lados iguales miden AB = AC = 85 mm y la altura sobre el tercer lado BC mide 80 mm; el lado BC se halla situado en una recta frontal que dista 20 mm del plano vertical y el vértice A está en el plano horizontal. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110009) Examen 2004 108. Dado el segmento BC: B (0, 40, 50) C (-40, 20, 10), dibujar las proyecciones de un triángulo isósceles, cuya altura sobre el lado BC mide 80 mm, sabiendo que el vértice A está en el plano horizontal. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110045) Examen 2005 109. Dado el segmento AB: A (80, 15, 75) B (45, 30, 20), dibujar las proyecciones del cuadrado ABCD sabiendo que el vértice C está en el plano horizontal. Datos: origen en el margen izquierdo del papel. (ref.110046) Examen 2006 110. Determinar sobre la recta r: A (-40, 5, 100) B (0, 20, 0) un punto del primer cuadrante que diste del punto C (-30, 25, 35) una longitud de 50 mm. Datos: origen en el centro de la línea de tierr a. (ref.108016) Examen 2007 111. Hallar las proyecciones del centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC: A (55, 65, 5), B (20, 15, 25), C (75, 35, 50). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110047) Examen 2009 112. Los puntos A (0, 39, 18), B (22, 26, 45) y C (30, 54, 25) definen una circunferencia. Hallar las proyecciones del triángulo cuyos lados son tangentes a la circunferencia en dichos puntos. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110048) Examen 2009

113. El segmento AC: A (50, 10, 30) C (10, 30, 60) es la diagonal de un cuadrado ABCD. Dibujar las proyecciones de dicho cuadrado sabiendo que el vértice B está situado en el plano vertical y es el de menor cota posible. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.110049) Examen 2011 ÁNGULOS 114. Dada la recta r: A (0, 20, 20) B (-20, 40, 20), hallar el ángulo que forma el plano vertical con un plano α que contiene a la recta r y es perpendicular al primer bisector. Datos: origen en el centro de la línea de ti erra. (ref.109034) Examen 1996 115. Hallar el ángulo que forma la recta r: A (0, 0, 0) B (-30, 30, 30) con la línea de tierra. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.109035) Examen 1996 116. Hallar el ángulo que forma la línea de tierra con el plano α (30, -30, 30). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.109043) Examen 1999 117. Por la recta r: Hr (0, 35, 0) Vr (10, 0, 26) pasa un plano α cuya traza vertical α 2 forma 30º con la línea de tierra. Se pide: trazar un plano β que contenga a la recta r y forme 60º con el plano α . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.109038) Examen 2006

16


PIRÁMIDE 118. Dada la pirámide recta, de altura h = 80 mm, cuya base es un pentágono regular situado en el plano α (-40, 40, 22’5), cuyo centro es el punto O de 40 mm de alejamiento y 30 mm de cota, y un vértice de la base es el punto A de 40 mm de alejamiento y 10 mm de cota, y dado el plano β que forma 30º con el plano α y cuyas trazas horizontales coinciden ( α 1 ≡ β 1 ), dibujar el tronco de pirámide comprendido entre los planos α y β . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.111034) Examen 1995

119. Dada la pirámide heptagonal regular recta apoyada por la base en el plano horizontal, cuyo centro es el punto P (-40, 40, 0), un vértice de la base es el punto A (-40, 20, 0) y el vértice de la pirámide es el punto V (-40, 40, 60), hallar la mínima distancia, sobre la superficie de la pirámide (geodésica), entre los puntos M y N de intersección con la recta r: I (-40, 40, 17) J (0, 22, 37). Partes vistas y ocultas. Datos: línea de tierra a 7 cm del margen superior; origen en el centro de la línea de tierra. (ref.111032) Examen 1994 120. Una pirámide pentagonal regular tiene la base en el plano α (-40, 40, 30). Dos vértices contiguos de la base son los puntos A (?, 50, 0) y B (?, 80, 0). El vértice V se encuentra a 60 mm del plano α , en la perpendicular trazada por el punto A: Se pide: a) las proyecciones de la pirámide, b) el desarrollo lateral de la pirámide, y c) hallar las proyecciones de la geodésica de A y P (50, 60, ?), siendo P de la cara CDV. Datos: origen a 120 mm del margen izquierdo. (ref.111038) Examen 1997 121. Dada la pirámide recta cuya base es un pentágono regular estrellado situado en el plano horizontal y que tiene su centro en el punto O (0, 30, 0), un vértice de la base es el punto A (25, 30, 0) y el vértice de la pirámide es V (0, 30, 80), dibujar: a) el tronco que se produce al seccionar dicha pirámide con el plano α (-70, 70, 40), y b) el desarrollo lateral del tronco de pirámide, abriéndolo por la arista VA. Datos: línea de tierra a 120 mm del margen superior y origen a 130 mm del margen izquierdo. (ref.111040) Examen 1997 122. Dibujar el desarrollo del tronco de pirámide que se produce al seccionar con el pano β (-20, 20, 34’5) una pirámide recta, de altura 35’5 mm, cuya base es un triángulo equilátero ABC situado en el plano α (-20, 20, 11’5) sabiendo que un lado de la base es A (0, 20, ?) B (30, 0, ?). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.111043) Examen 1998 123. Determinar las proyecciones de una pirámide hexagonal regular recta de altura h = 50 mm, sabiendo que uno de los lados de la base es el segmento AB: A (0, 40, 15) B (15, 55, 15) y que el vértice de la pirámide está situado en el plano horizontal. Datos: origen a 13 cm del margen izquierdo. (ref.111044) Examen 1998

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124. Dado el plano α (45, 45, 30), dibujar: a) el heptágono regular, situado en el plano α , de centro P (x, 25, 25), radio 27’5 mm y con un lado paralelo al plano horizontal, b) la pirámide recta que tiene por base el heptágono anterior y altura 80 mm, c) el tronco de pirámide situado entre el plano α y el plano β ( ∞ , ∞ , 60), y d) el desarrollo del tronco de pirámide. Dibujar partes vistas y ocultas, dando como solución del ejercicio las proyecciones del tronco de pirámide y el desarrollo. Datos: origen a 130 mm del margen izquierdo. (ref.111046) Examen 2000 125. Dado el plano α (45, 45, 30), dibujar: a) el heptágono regular, situado en el plano α , de centro P (x, 25, 30), radio 30 mm y con un lado paralelo al plano horizontal, b) la pirámide recta que tiene por base el heptágono anterior y altura 80 mm, c) el tronco de pirámide situado entre el plano α y el plano β ( ∞ , 55, ∞ ), y d) el desarrollo del tronco de pirámide. Dibujar partes vistas y ocultas, dando como solución del ejercicio las proyecciones del tronco de pirámide y el desarrollo. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.111047) Examen 2000 126. Dada la pirámide cuya base es un pentágono regular paralelo al plano horizontal que tiene su centro en el punto Q (118, 30, 38), un vértice de la base es el punto A (118, 8, 38) y el vértice de la pirámide es V (74, 54, -24), dibujar: a) las proyecciones del tronco de pirámide situado entre el plano de la base y el plano horizontal, b) desarrollo de la pirámide. Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el margen izquierdo y línea de tierra a 10 cm del margen superior del papel. (ref.111048) Examen 2001

127. Dibujar el desarrollo del tronco de pirámide que se produce al seccionar con el pano β (-20, 20, 34’5) una pirámide recta, de altura 35’5 mm, cuya base es un triángulo equilátero ABC situado en el plano α (-20, 20, 11’5) sabiendo que un lado de la base es A (0, 20, ?) B (30, 0, ?). Datos: origen en el centro de la línea de tierra; dimensiones en mm. (ref.111043) Examen 2001 128. Sea un hexágono regular situado en el plano horizontal, de centro O (70, 55, 0) y vértice A (95, 65, 0). Dibujar las proyecciones de un macetero de chapa cuyas caras laterales son las del tronco de pirámide, de vértice V (70, 55, -55), comprendido entre el hexágono dado y un plano perpendicular a la arista VA que corta a ésta en el punto A’ de altura 15 mm. Datos: origen en el margen izquierdo del papel. (ref.111049) Examen 2002 129. Dado el plano α (45, 45, 30), dibujar: a) el heptágono regular, situado en el plano α , de centro P (x, 25, 30), radio 30 mm y con un lado paralelo al plano horizontal, b) la pirámide recta que tiene por base el heptágono anterior y altura 80 mm, c) los puntos M y N de intersección de la pirámide con la recta r: K (0, 30, 50) L (75, 0, 75). Dibujar partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.111036) Examen 2003 130. Dados los puntos A (-20, 0, 65) y B (-40, 0, 20), se pide: a) dibujar las proyecciones de una pirámide cuadrangular regular recta, cuya arista mide 60 mm, y cuya cara lateral VAB está situada en el plano vertical de proyección; b) las proyecciones de la geodésica entre el ortocentro de la cara VAB al punto medio de la arista VC. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.111051) Examen 2003 18


131. El punto P (-40, 30, 0) es el centro de la base hexagonal regular de una pirámide de vértice V (0, 70, 80), siendo el punto A (-20, 10, 0) uno de los vértices de la base; dibujar el desarrollo del tronco de pirámide que se produce al seccionar la pirámide anterior con el plano α (40, 40, 40). Partes vistas y ocultas. Datos: origen a 75 mm del margen izquierdo. (ref.111025) Examen 2004 132. Dada la pirámide octogonal regular recta apoyada en el plano horizontal, cuyo centro de la base es el punto Q (-40, 40, 0), siendo A (-15, 45, 0) un vértice de la base y V (-40, 40, 70) el vértice de la pirámide, hallar la intersección con el triángulo MNP: M (-15, 55, 0), N (0, 0, 30) y P (-70, 55, 30), determinando las partes vistas y ocultas suponiendo el triángulo opaco. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.111052) Examen 2007 133. Hallar las proyecciones de una pirámide hexagonal regular, cuyo vértice básico A está en el plano horizontal a 40 mm de la línea de tierra y el D en el plano vertical a la misma distancia de la línea de tierra; ambos puntos están situados en el mismo plano de perfil. El plano de la base corta a la línea de tierra a 100 mm del plano de perfil de A y D. La altura de la pirámide es de 60 mm. (ref.111002) Examen 2007 134. Dada la pirámide heptagonal regular recta apoyada por la base en el plano horizontal, cuyo centro es el punto P (-40, 40, 0), con un vértice de la base en el punto A (-40, 20, 0) y siendo el vértice de la pirámide el punto V (-40, 40, 60), hallar la mínima distancia sobre la superficie de la pirámide (geodésica), entre los puntos M y N de intersección con la recta r: I (-40, 40, 17) J (0, 22, 37). Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de t ierra. (ref.111032) Examen 2009 135. Dada la pirámide de vértice V (90, -25, 75), cuya base es un hexágono regular situado en el plano horizontal, de centro O (50, 30, 0) y vértice básico A (25, 30, 0), dibujar el desarrollo del tronco de pirámide situado entre los planos horizontal y vertical de proyección. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.111053) Examen 2010 136. Hallar: a) las proyecciones de un tronco de pirámide hexagonal regular recto (lado de la base mayor: 30 mm, lado de la base menor: 25 mm y altura: 20 mm) apoyada en el plano α ( ∞ , 60, 50), con un lado de la base mayor contenido en la traza horizontal de dicho plano; b) la sección con el plano β ( ∞ , 65, 120). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.111003) Examen 2012 PRISMA 137. Dibujar las proyecciones de un prisma exagonal regular recto de radio 30 mm y altura 24 mm, apoyado por su base en el plano α (-40, 40, 70), sabiendo que un vértice del prisma es el punto A del plano, de 40 mm de cota y 35 mm de alejamiento, y que el lado AB de la base es paralelo a la traza horizontal; el prisma tiene, además, un agujero cilíndrico de radio 15 mm cuyo eje coincide con el del prisma. Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.112001) Examen 1995 Examen 2008

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138. Dado un prisma recto apoyado por una de sus caras en el plano horizontal, cuya base es un heptágono regular de lado AB: A (-40, 30, 0) B (-40, 50, 0) y cuya altura vale 70 mm, dibujar: a) las proyecciones de la figura que se forma al seccionar dicho prisma con los planos α (-40, ∞ , 40) y β (35, ∞ , 60) y suprimir las partes del prisma que se encuentran por encima de dichos planos, b) hallar el desarrollo de la figura. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.112018) Examen 1996 Examen 2007

139. Dado un prisma recto cuya base es un pentágono regular estrellado de radio 20 mm, dibujar: a) las proyecciones del prisma apoyado por dos aristas laterales en el plano horizontal, sabiendo que una de ellas es AA’: A (0, 50, 0) A’ (55, 15, 0), y b) la sección que le produce a dicho prisma el plano α (-30, 30, 30). Datos: origen en el centro de la línea de tierr a. (ref.112020) Examen 1997 140. Los puntos A(-1,1,0) y B(1,3,0) son dos vértices de un rectángulo ABCD situado en el plano horizontal, cuyo lado menor BC vale 0’25 m. Dicho rectángulo es la base de un prisma de altura h que representa un muro. En el muro se apoya una escalera de mano de 9 peldaños, que tiene 1 m de anchura y 3’5 m de longitud. La escalera forma un ángulo de 60º con el plano horizontal, se apoya en la parte superior del muro y está centrada respecto al ancho del mismo. Dibujar a escala 1:50 las proyecciones del conjunto de muro y escalera. Datos: Cotas en metros; origen en el centro de la línea de tierra. (ref.109041) Examen 1998 141. Dibujar las proyecciones horizontal y vertical de un prisma exagonal regular recto de lado de la base l = 25 mm y altura h = 5 mm, situado de manera que un lado AB está situado en el plano horizontal y el lado opuesto DE en el plano α (-20, 20, ∞ ) y sabiendo que el plano de la base del prisma forma 60º con el plano horizontal y que el punto A tiene de alejamiento a = 40 mm. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.112021) Examen 1997 142. Dados el plano α (20, -20, 20) y los puntos O (x, 30, 30) y A (x, 35, 40), situados en dicho plano, dibujar: a) el pentágono regular de centro O y vértice A situado en dicho plano, b) el prisma que tiene por directriz el pentágono anterior, cuyas aristas son perpendiculares al plano α y limitado por los planos horizontal y vertical de proyección, y c) Desarrollo del prisma abriéndolo por la arista que pasa por el vértice A. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.112027) Examen 1999 143. Determinar las proyecciones de un prisma hexagonal regular recto de altura h = 50 mm, sabiendo que uno de los lados de la base es el segmento AB: A (0, 80, 15) B (15, 95, 15) y que el segmento A’B’ de la otra base está situado en el plano horizontal. Datos: Origen a 125 mm del margen izquierdo. (ref.112023) Examen 1998 144. El punto A (-20, 20, 0) es el vértice más cercano a la línea de tierra de un rectángulo situado en el plano horizontal cuyos lados miden 20 y 70 mm; el lado mayor forma -30º con la línea de tierra. Dicho rectángulo es la cara lateral de un prisma recto de base pentagonal. Hallar: a) las proyecciones del prisma, b) la sección que le produce el plano α (70, 60, 70); c) el desarrollo del prisma abriéndolo por la arista A; d) la transformada de la sección, y e) La geodésica entre el vértice A 20


y el punto medio de la arista de mayor cota. Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierr a. (ref.112003) Examen 1999 145. Hallar el desarrollo de un prisma cuya base inferior, apoyada en el plano horizontal, es un pentágono regular de centro O (30, 30, 0), sabiendo que un vértice de la base es el punto A (50, 25, 0) y el centro de la base superior es el punto O' (70, 50, 40). Abrir el prisma por la arista AA’, dibujando el desarrollo en el reverso de la hoja. Datos: origen en el margen izquierdo del papel. (ref.112015) Examen 2002 146. El segmento OO’: O (50, 30, 0) O’ (90, 30, 50) es el eje de un prisma cuya base es un octógono regular situado en el plano horizontal de proyección y el punto A (50, 10, 0) es un vértice de dicha base; la base superior es paralela al plano horizontal. Determinar sobre la superficie lateral del prisma la línea mas corta entre los puntos M y N: el punto M es el punto medio de la arista AA’ y el punto N está en la arista opuesta EE’ a 10 mm del extremo superior E’. Datos: o.m.i. (ref.112028) Examen 2000 Examen 2002

147. El segmento AA’: A (-20, 30, 15) A’ (15, 10, 50) es la arista de un prisma hexagonal regular recto cuyo lado de la base ABCDEF vale 30 mm. Se pide: a) dibujar las proyecciones del prisma sabiendo que el vértice B está en el plano horizontal, b) hallar la intersección del prisma con la recta r que pasa por el punto P (0, 25, 45) y es paralela a la línea de tierra. Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.112029) Examen 2004 148. a) Hallar el desarrollo de un prisma cuya base inferior es A (0, 50, 0), B (28, 60, 0), C (44, 35, 0) y D (15, 22, 0), sabiendo que las aristas forman en proyección horizontal -45º con la línea de tierra y en proyección vertical 60º. La distancia entre las bases paralelas es de 62 mm. b) Hallar la longitud de la transformada de la sección que le produce el plano α (120, 140, 65). Datos: origen a 30 mm del margen izquierdo. (ref.112004) Examen 2006 149. Los puntos A (-22, 75, 0), B (31, 32, 0), C (-25, 32, 0), D (44, 75, 0) y E (0, 13, 0) y son los vértices de un polígono irregular estrellado situado en el plano horizontal; dicho polígono estrellado es la base de un prisma recto de altura h = 55 mm. Se pide: a) Hallar las proyecciones de la sección que le produce el plano α (87, 95, 80) a dicho prisma; b) la verdadera magnitud de la sección anterior. Datos: origen a 70 mm del margen izquierdo. (ref.112031) Examen 2008 150. Sea la recta r situada en el plano horizontal, que pasa por el punto A (-30, 40, 0) y forma -45º con la línea de tierra. Dibujar la pieza que se forma al restar a la pieza de la figura 21 dada (con el segmento AB situado en la recta r) la de un prisma octogonal regular recto (con la base situada en el plano horizontal, centro en P, radio 25 y un lado paralelo a la línea de tierra). Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.112030)

P 2 B2

A2

P 1 A1

B1 60

FIG.21

Examen 2007

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151. Dado un prisma eneagonal de bases paralelas, cuyos centros son los puntos P (-25, 40, 0) y P' (15, 80, 70), siendo el punto A (-25, 65, 0) un vértice de la base, hallar la intersección con el triángulo RST: R (-25, 95, 0), S (70, 0, 0) y T (-25, 0, 95). Partes vistas y ocultas suponiendo el triángulo opaco. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.112017) Examen 2008 152. a) Dibujar en el plano α (-50, 85, 50) el hexágono regular de lado AB, sabiendo que el punto A tiene de cota 30 mm y alejamiento 50 mm, y el punto B tiene de cota 30 mm y alejamiento 70 mm (los puntos A y B del hexágono son los de menor cota). b) Dibujar las proyecciones del prisma recto que tiene por base el hexágono anterior y cuyo lado A’B’ está situado en el plano horizontal. c) Hallar los puntos de intersección del prisma con la recta r: G (0, 35, 20) H (80, 55, 40). Datos: origen en el centro de la línea de tierra (3’5 puntos). (ref.112032) Examen 2011 CONO 153. Dada la generatriz VA: V (0, 45, 80) A (-35, 45, 0) de un cono de revolución cuya base está situada en el plano horizontal y el plano α proyectante vertical que contiene al punto P (22’5, 40, 60) y es paralelo a la generatriz VA, dibujar las proyecciones de la sección. Datos: origen a 140 mm del margen izquierdo. (ref.113041) Examen 1998

154. La recta r: A (35, 47’5, 15) V (70, 11’5, 0) es la recta de máxima pendiente de un plano α . Determinar las proyecciones de un cono recto de revolución, de vértice V, sabiendo que el radio de la base es 15 mm y que el segmento AV es la generatriz de tangencia de dicho cono con el plano α . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.113042) Examen 2000 155. El segmento VP: V (35, 45, 75) P (-10, 45, 30) es el eje de un cono de revolución de radio 25 mm. Hallar la intersección del cono dado con la recta r: A (10, 60, 50) B (80, 0, 50), así como sus partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.113043) Examen 2001 156. El segmento VA: V (70, 60, 0) O (0, 60, 40) es el eje de un cono recto de revolución, de radio 30 mm y vértice V. Dibujar la figura que se forma al seccionar dicho cono con el plano paralelo al plano horizontal que pasa por el punto O y suprimir la parte superior del cono. Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.113033) Examen 2001 157. Sea un cono recto de revolución dado por su vértice V (0, 30, 60) y por su base cirular, de 25 mm de radio, situada en el plano horizontal; hallar: a) las proyecciones del tronco de cono que se produce al seccionar el cono dado con el plano paralelo a la linea de tierra cuya traza horizontal tiene un alejamiento de 65 mm y la vertical una cota de 30 mm, y b) el desarrollo del tronco de cono. Datos: origen a 60 mm del margen izquierdo. (ref.113004) Examen 2003

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158. La circunferencia de centro O (-40, 40, 0) y de radio 30 mm, situada en el plano horizontal, es la base de un cono de revolución de 80 mm de altura. Hallar la mínima distancia, sobre la superficie de la pirámide (geodésica), entre los puntos M y N de intersección del cono con la recta r: A (-70, 80, 0) B (10, 0, 70). Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.113034) Examen 2005 159. Dado el cono de centro P (0, 40, 0), radio 25 mm y vértice V (0, 40, 60), hallar: a) la sección que le produce el plano α (60, 40, 60), b) el desarrollo del cono, y c) la transformada de la sección. Partes vistas y ocultas de las proyecciones del cono considerando el plano α opaco. Datos: origen a 50 mm del margen izquierdo. (ref.113035) Examen 2006

160. La circunferencia de centro O (65, 40, 0) y radio 30, situada en el plano horizontal, es la base de un cono cuyo vértice es el punto V (95, 40, 80). Determinar: a) la intersección del cono con la recta r: I (30, 80, 35) J (120, 0, 0), y b) la mínima distancia, a través de la superficie del cono, entre los dos puntos de intersección hallados. Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el margen izquierdo del papel. (ref.113031) Examen 2006 161. La circunferencia de centro O (50, 30, 0) y radio 20 mm, situada en el plano horizontal, es la base de un cono de vértice V (70, 30, 50). Determinar: a) las proyecciones del tronco de cono que se produce al seccionar el cono dado con el plano α definido por los puntos A (60, 45, ?), B (55, 20, ?) y C (45, 35, ?) situados sobre la superficie del cono, y b) el desarrollo de la superficie lateral del tronco de cono. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.113036) Examen 2008 162. Dado el triángulo ABC: A (40, 0, 50), B (40, 110, 0), C (175, 110, 0) y el cono cuya base es una circunferencia contenida en el plano horizontal, cuyo centro es el punto O (130, 60, 0), el radio vale 45 mm y el vértice del cono es el punto V (30, 15, 100), determinar la intersección de ambas figuras. Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.113027) Examen 2009 163. Dibujar las proyecciones y el desarrollo de la superficie lateral del tronco de cono que se produce al seccionar el cono de revolución de vértice V (20, 40, 60), cuya base tiene por centro el punto O (20, 40, 0) y radio 30 mm, con el plano α (-80, 80, 45). Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.113025) Examen 2011

CILINDRO 164. Hallar el desarrollo del siguiente cilindro inclinado y apoyado en el plano horizontal: centro de la base inferior O (30, 30, 0), radio r = 15 mm y centro de la base superior O’ (50, 30, 40). Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.114010) Examen 1994

165. Dado un cilindro de bases paralelas, cuyos centros son los puntos P (-25, 40, 0) y P' (10, 75, 60) y radio r = 25 mm, apoyado en el plano horizontal por una de sus bases, hallar la intersección con el triángulo ABC: A (-25, 95, 0), B (40, 30, 0) y C (10, 0, 60). Partes vistas y ocultas suponiendo el triángulo opaco. Datos: origen en el centro de la línea de tierr a. (ref.114014) Examen 2003 23


166. Dado el cilindro de revolución de radio r = 20 mm, cuyo eje es e: O (-30, 30, 0) O' (-30, 30, 60), dibujar las proyecciones del trozo de cilindro que hay entre el plano horizontal y el primer bisector y su desarrollo. Datos: Línea de tierra a 120 mm del margen superior, y origen en el centro de la línea de tierra. (ref.114015) Examen 2004 167. La circunferencia de centro O (-40, 40, 0) y de radio 30 mm, situada en el plano horizontal, es la base de un cilindro de revolución de 80 mm de altura. Hallar la mínima distancia, sobre la superficie del cilindro (geodésica), entre los puntos M y N de intersección del cilindro con la recta r: A (-70, 80, 0) B (10, 0, 70). Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.114016) Examen 2005 Examen 2008

168. La recta r: P (-40, 40, 0) P’ (-40, 0, 40) es el eje de un cilindro de revolución de radio 20 mm. Determinar: a) las proyecciones horizontal y vertical del trozo de cilindro situado en el primer cuadrante, y b) el desarrollo de la superficie lateral del cilindro. Datos: origen en el centro de la lí nea de tierra. (ref.114018) Examen 2011 169. El punto O (40, 30, 0) es el centro de una circunferencia situada en el plano horizontal de radio 20 mm. Dicha circunferencia es la base inferior de un cilindro cuya base superior, paralela a la anterior, tiene por centro el punto P (90, 30, 60). Hallar: a) Las proyecciones del trozo del cilindro situado entre el plano horizontal y la sección que le produce el primer bisector, b) el desarrollo de la figura hallada en el apartado anterior. Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.114003) Examen 2012

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REPRESENTACIÓN DE FIGURAS 170. Dibujar las proyecciones de la pieza de la figura 22 sabiendo que la base está situada en el plano α (-40, 40, 40); el punto A tiene de cota 0 y alejamiento 30 y el punto B está en el plano horizontal. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.117006) Examen 1996

171. Dibujar las proyecciones de la pieza de la figura 23 colocada por su base ABCD en el plano α (-20, 35, 15), sabiendo que la arista AB está situada en la traza horizontal del plano. Partes vistas y ocultas. Datos: A (0, 35, 0); origen en el centro de la línea de tierra. (ref.111050) Examen 2002

0 2

0 3

B 2 -C 2

A2 -D 2 0 3

C 1

D1 A2

B2 0 4

0 6

B1

A1

0 6

60 80

A1

FIG.23

B1 60

FIG.22 172. Dado el plano α (-40, 40, 25), dibujar las proyecciones de la pieza de la figura 24 dada sabiendo que los puntos A, B, C y D de la misma están situados en el plano α , que el punto A tiene de cota 10 mm y de alejamiento 30 mm y que, además, los puntos A y B pertenecen a la misma recta horizontal. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.117014) Examen 2003

5 2

5 2

B 2 -C 2 C 1

A 2 -D2 D1

0 5

A1

B1

50

FIG.24 25


173. Dado el plano α (-40, 40, 25), dibujar las proyecciones de la figura 25 dada, sabiendo que los puntos A, B, C y D de la misma están situados en el plano α , que los puntos A y B están en el plano horizontal y que el punto D está situado en el plano vertical. Partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.117015)

C 2

D2

0 6

5 1

A 2

B 2

Examen 2004

8

30 0 3

60 A1

B1

C 1

D1

5 1

15

FIG.25 174. Se dan las proyecciones horizontales de dos triángulos ABD y BCD ( figura 26 ) cuyo lado BD es común. Hallar la intersección de ambos triángulos con el prisma de la figura, cuya planta es una cruz griega y la altura vale 40 mm. Datos: D (0, 20, 40). (ref.112022) Examen 1998 D2

0 4

A2

B2

C 2

A1

D1

C 1

FIG. 26

B1

26


175. Dado el plano α (-40, 40, 25), dibujar las proyecciones de la pieza de la figura 27 dada sabiendo que los puntos A, B y C de la misma están situados en el plano α , que el punto A tiene cota 0 y alejamiento 45 y que el punto C está además en el plano vertical. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.117012) Examen 2003 176. Dado el plano α (-40, 40, 40) y el punto M, de cota 40 y alejamiento 40, situado en dicho plano, dibujar las proyecciones de la pieza de la figura 28 sabiendo que la circunferencia de la base está situada en el plano α . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.117001) Examen 1996 60

0 1 0 4

0 3

0 2

A 2

0 3

B 2 -C 2 C 1

M 2

M 1

B1

A1 10

FIG.27

FIG.28 10

177. Dado el plano α (50, 50, -50), dibujar las proyecciones de la figura 29 dada, sabiendo que los puntos A, B, C y D están situados en el plano α , que el punto A tiene 20 mm de cota y 20 mm de alejamiento y que los puntos A y B están situados en una recta horizontal del plano α . Partes vistas y ocultas considerando el plano α transparente. Datos: origen a 50 mm del margen izquierdo. (ref.117016) Examen 2005

10

10

10

10

D2

C 2

0 4

A2

B2 10

D1

A1

10

10 B1

C 1 0 1

FIG.29

27

Área de Expresión Gráfica 40

178. Dado el plano α (-50, -50, 50), dibujar las proyecciones de la figura 30 dada, sabiendo que los puntos A, B, C y D están situados en el plano α , que el lado AB está situado en la recta r: A (80, 30, 0) E (-10, 0, 60) y que toda la figura está en el primer cuadrante. Determinar las partes vistas de la figura considerando el plano α transparente. Datos: origen a 50 mm del margen izquierdo. (ref.117007) Examen 2006

D 2

C 2 0 1

10

10

0 1

0 1

0 1

0 1

A 2 B 2

B1-C 1

A1-D1

0 1

179. Dado el plano α (-50, 50, 30), dibujar las proyecciones de la figura 31 dada, sabiendo que la base está situada en el plano α , que los puntos A y B están en la recta r: A (25, 75, 0) C (-25, 0, 15) del plano y que toda la figura está en el primer cuadrante. Determinar las partes vistas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.117008) Examen 2006

FIG.30 5

4 1

0 2

2 4

B2

A2 54

180. Dibujar las proyecciones horizontal y vertical de la figura 30 dada, situada de manera que el segmento AB está situado en la recta horizontal r: O (0, 0, 10) A (35, 20, 10), que otro vértice de la figura se encuentra en el plano vertical y que toda la figura se encuentra en el primer cuadrante. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.117013)

4 4

5

B1

A1 58

FIG.31 40

Examen 2006

181. Dado el plano α (-40, 40, 40), dibujar en el primer cuadrante las proyecciones de la figura 32 dada de manera que el rectángulo ABCD está situado en el plano α , que el punto A, situado en él, tiene de cota 20 y alejamiento 20 y que el segmento AB está situado en la recta r definida por los puntos M (-40, 0, 0) y A. Señalar las partes vistas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.117017) Examen 2009

10

A 2 -D2

28

10

B2 -C 2

D1

C 1

A1

B1

FIG.32


182. Dados el plano α (-20, 20, ∞ ) y el punto A (-35, 30, 0), dibujar las proyecciones de la figura 33 dada de manera que los puntos A y B estén situados en el plano horizontal y los puntos C y D en el plano α . Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.117009) Examen 2010 183. Dado el plano α (-40, 40, 40) y el punto P de cota 40 y alejamiento 40 mm, situado en dicho plano, dibujar, a escala 2:1, las proyecciones de la pieza de la figura 34, sabiendo que el hexágono de la base, con centro en el punto P, está situado en el plano α y que tiene un lado paralelo al plano horizontal. Datos: origen en el centro de la línea de tierr a. (ref.117004) Examen 2012 45 D2

C 2

P 2 A2 -F 2

B2 -E 2

A1-D1

B1-C 1 P 1

F 1

FIG.33

15

15

E 1

FIG.34

cotas en mm.

INTERSECCIÓN DE FIGURAS (solo mecánica)

184. Hallar la intersección pirámide-prisma siguiente: Pirámide: la base es un hexágono regular, el centro de la base es el punto O (75, 65, 0), un punto de la base es A (30, 65, 0) y el vértice de la pirámide es V (75, 65, 110). Prisma: Los vértices de la base inferior son G (105, 110, 0), H (135, 75, 0) e I (145, 105, 0) y un punto de la base superior es G’ (15, 45, 105). Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.118039) Examen 2005 185. Hallar la intersección prisma-prisma siguiente: Prisma 1: los vértices de la base inferior son A (40, 60, 0), B (55, 30, 0), C (95, 65, 0) y D (75, 80, 0) y un punto de la base superior es A' (105, 40, 105). Prisma 2: los vértices de la base inferior son E (115, 95, 0), F (130, 65, 0), G (165, 70, 0), H (170, 90, 0) e I (145, 110, 0) y un punto de la base superior es E’ (5, 30, 105). Datos: origen en el margen izquierdo (ref.118038)

29


186. El heptágono regular de centro O (0, 60, 0) y vértice A (0, 20, 0), situado en el plano horizontal, es la base de una pirámide de vértice V (0, 60, 90), y el hexágono regular de centro P (-12’5, 67’5, 0) y vértice B (-42’5, 67’5, 0), situado también en el plano horizontal, es la base de un prisma recto de altura 75 mm. Hallar la intersección de ambas figuras así como las partes vistas y ocultas de ambas figuras. Datos: origen a 85 mm del margen izquierdo. (ref.118047) Examen 2000 187. Hallar la intersección de las dos figuras siguientes: Pirámide 1: A (10, 25, 0) B (40, 5, 0) C (65, 35, 0) D (35, 60, 0) V (115, 70, 50). Pirámide 2: E (75, 20, 0) F (100, 10, 0) G (125, 20, 0) H (110, 50, 0) W (40, 90, 90). Partes vistas y ocultas. Datos: A4 vertical. O.M.I. (ref.118044) Examen 2002 188. Hallar la intersección de las dos figuras siguientes: a) cono de revolución cuya base es una circunferencia de centro O (0, 50, 0) y radio r = 40, y cuyo vértice es el punto V (0, 50, 80) y b) cilindro de revolución cuyo eje es el segmento CC’: C (10, 60, 0) C' (10, 60, 80) y radio r’ = 20. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.118004) Examen 2002.

189. Hallar la intersección de las dos figuras siguientes: Pirámide. Base: A (110, 75, 0) B (125, 115, 0) C (180, 105, 0) D (160, 45, 0). Vértice: V (100, 10, 115). Prisma. Base: E (70, 55, 0) F (105, 70, 0) G (95, 95, 0) H (60, 80, 0). Arista EE’: E' (125, 0, 95). Datos: A4 vertical y origen en el margen izquierdo del papel. (ref.118002) Examen 2003 190. Hallar la intersección de las dos figuras siguientes: Prisma: A (25, 85, 0) B (40, 65, 0) C (85, 90, 0) D (35, 105, 0) A' (95, 40, 95). Prisma: E (105, 105, 0) F (135, 80, 0) G (150, 105, 0) H (130, 115, 0) E' (40, 35, 95). Partes vistas y ocultas. Datos: A4 vertical. Línea de tierra a 140 mm del margen superior y origen a 10 mm del margen izquierdo. (ref.118041) Examen 2004 191. Hallar la intersección de las dos figuras siguientes: CONO de revolución: Base: circunferencia situada en el plano horizontal de centro O (0, 50, 0) y radio r = 40 mm. Vértice: V (0, 50, 80). CILINDRO de revolución: Base: circunferencia situada en el plano horizontal de centro P (10, 60, 0) y radio r' = 20 mm. Altura: h = 65 mm. Determinar partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.118048) Examen 2005

192. Hallar la intersección de las dos figuras siguientes: CILINDRO: Base: circunferencia situada en el plano horizontal, de centro O y radio r = 35. Eje: OO': O (90, 50, 0) O' (142'5, 50, 90). CILINDRO: Base: circunferencia situada en el plano horizontal, de centro C y radio r = 30. Eje: CC': C (155, 85, 0) C' (65, 32'5, 90). Partes vistas y ocultas. Datos: A4 vertical. Origen en el margen izquierdo del papel. (ref.118042) Examen 2006

30


193. Hallar la intersección de las dos figuras siguientes: PIRÁMIDE 1. Base: A (7, 33, 0) B (47, 13, 0) C (80, 33, 0) D (67, 73, 0) E (20, 73, 0). Vértice: V (100, 87, 67). PIRÁMIDE 2. Base: F (93, 53, 0) G (107, 13, 0) H (140, 40, 0) I (127, 60, 0). Vértice: W (40, 107, 113). Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.118037B) Examen 2007 194. El segmento AB: A (70, 10, 0) B (95, 35, 0) es el lado de un cuadrado situado en el plano horizontal; dicho cuadrado es la base de un prisma de arista AA’: A’ (160, 10, 80). El segmento EF: E (75, 35, 0) F (115, 10, 0) es el lado de otro cuadrado situado en el plano horizontal; este cuadrado es la base de una pirámide recta de altura 80. Hallar la intersección de ambas figuras, determinando las partes vistas y ocultas. Datos: origen en el margen izquierdo. (ref.118032) Examen 2007 195. Hallar la intersección de las dos figuras siguientes: 1) PIRÁMIDE recta que tiene por base un cuadrado ABCD situado en el plano horizontal, de lado AB: A (-52, 64, 0) B (5, 91, 0), sabiendo que C y D son de menor alejamiento que A y B, y de altura h = 87 mm. 2) PRISMA que tiene por base un triángulo equilátero EFG situado en el plano horizontal, de lado EF: E (-64, 24, 0) F (-52, 93, 0) y sabiendo que G está a la derecha de E y F; la base superior es paralela al plano horizontal, siendo una de las aristas EE’: E’ (15, 45, 87). Determinar partes vistas y ocultas. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.118049) Examen 2008

196. Hallar la intersección de las dos figuras siguientes: CONO de revolución. Base: circunferencia de centro O (0, 52’5, 0) situada en el plano horizontal y radio r = 45. Vértice: V (0, 52’5, 105). PRISMA. Base: A (0, 97’5, 0), B (30, 67’5, 0), C (0, 37’5, 0), D (-30, 67’5, 0). Arista AA': A' (0, 97’5, 90). Datos: origen en el centro de la línea de tierr a. (ref.118040) Examen 2008

31


SOMBRAS (solo diseño)

197. Hallar las sombras de la figura 35 . Datos: formato A4 vertical.

(ref.119002)


(ref.119003)

0 6

45º

0 6

d 2

d 2

30º 30º

d 1

15º

0 4

d 1 0 3

5 R 2

70

25

FIG.36

70

FIG.35


(ref.119004)


(ref.119010)

5 2

5 1

0 6

30º

5 2

d 2

30º 30º

15º

d 2 5 1

5 2 R

d 1

d 1

0 6

0 3

70

4 0 R

25 60

FIG.37

32

FIG.38


205. Hallar las sombras del objeto de la figura 43. Las cotas se tomarán directamente de la figura teniendo en cuenta que el dibujo está realizado a escala 1:2. La vista de perfil no interviene en el ejercicio y solo se facilita para mayor información. (ref.119068)

45º

45º

d 2

d 1

0 4

Examen 2002

FIG.43 206. Hallar todas las sombras de la figura 44 dada según la dirección de luz d. Datos: origen en el margen izquierdo del papel. (ref.119000) Examen 2002

5 0 1

0 2

30º 30º

d 2

0 2

0 1

d 1

Formato: A3

0 4

4 0

0 8

0 2

15º

70

45

60

FIG.44

207. Una caja paralelepipédica, sin tapa, tiene una arista AB: A (0, 85, 0) B (25, 55, 0) situada en el plano horizontal. El plano de la base ABCD forma 30º con el plano horizontal, siendo el punto C el de menor alejamiento. Dibujar: a) Las proyecciones de la caja, sabiendo que la longitud mide 60 mm y la altura 20 mm, y b) Las sombras producidas por una luz de izquierda a derecha, cuya dirección es paralela al plano vertical y forma 60º con el plano horizontal. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.119070) Examen 2003 34


208. Dibujar las sombras de la figura 45 según la dirección de luz d.

(ref.117071) Examen

2003

209. Dibujar las sombras de la figura 46 dada, según la dirección de luz d. Partes vistas. (ref.119032) Examen 2004

0 3

0 4

0 2

10

60 0 5

d 2 45º 30º

d 1

3 2

30º

0 2

30º

0 4

d 2

d 1

40 0 6

0 3

0 1 0 1 0 1

3 0

50

30º

FIG.46

FIG.45 210. Dibujar las sombras de la figura 47 , según la dirección de luz l. Datos: A (10, 10, 0) y origen en el centro de la línea de tierra. (ref.119072) Examen 2004 Examen

0 5 0 1

l 2

2012

30º

0 1

A2 A1 45º

l 1

1 0 2 0

1 0 1 0

5 0

5

5

1 0

2 0

FIG.47

35


211. Dibujar las sombras de la figura 48 dada, según la dirección de luz l.

(ref.119074)

Examen 2005

212. Dibujar las sombras de la figura 49 dada, según la dirección de luz l. Datos: A (60, 5, 0) y origen en el margen izquierdo del papel. (ref.119073. Examen 2005 213. Dibujar las sombras de la figura 50 según la dirección de luz l.

(ref.119075) Examen

2006

214. Dibujar las sombras de la figura 51 según la dirección de luz l.

(ref.119076) Examen

2006

0 5

30º

l 2

30º

l 1

5 7 0 6

l 2

30

45º

5 3

10

5 3

A 2 A1

0 4

30º

l 1

0 5

5 1

0 4

40

50

5 5

FIG.48

FIG.49

5 0 6

0 6

l 2 0 5

45º

l 2

30º

0 2

45º

l 1 5 4

30º l 1

0 4

R 2 5

15

1 5

0 3

40

15

15

15

15

15º

FIG.51 30

25

FIG.50

36



(ref.119080)

Examen 2007

216. Dada la recta r: A (5, 0, 0) B (-30, 35, 0): a) dibujar las proyecciones de la figura 53 dada sabiendo que los puntos B, C, D y E están situados en el plano horizontal y que el segmento BC está situado en la recta r, y b) determinar las sombras según la dirección de luz l. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.119079) Examen 2007


(ref.119078)

Examen 2007

218. Dibujar las sombras de la figura 55 dada, según la dirección de luz l. Datos: origen O en el centro de la l ínea de tierra. (ref.119081) Examen 2008 l 2 45º D2 -E 2

30º

l 2

l 1

30º

B2 -C 2 D1

B1

l 1 E 1 20

C 1 20

20

FIG.53

FIG.52

l 2 45º 45º l 2

O 35

l 1

30º 15º

l 1

75º 25

FIG.54 FIG.55

37



(ref.119082)

Examen 2008


(ref.119083)

Examen 2009


(ref.119084)

Examen 2009


(ref.119085)

Examen 2009

l 2 45º l 2 30º

30º

l 1

30º l 1

FIG.56 10

20

10

FIG.57

l 2 30º

l 1

l 2 30º 30º l 1

FIG.58 FIG.59 38


223. Dibujar, a escala 2:1, las sombras de la figura 60 dada, según la dirección de luz d. Datos: las medidas se tomarán directamente de la figura. (ref.119040) Examen 2010 224. Dado el punto A (-40, 40, 0): a) dibujar las proyecciones de la figura 61 dada, sabiendo que los puntos A, B, E y F están en el plano horizontal y que el segmento AB está situado en una recta que forma 30º con la línea de tierra, y b) hallar las sombras según la dirección de luz d, siendo d una recta frontal cuya proyección vertical forma 135º con la línea de tierra. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.119041) Examen 2010 225. Dado el punto A (-20, 20, 0): a) dibujar las proyecciones de la figura 62 y b) hallar las sombras según la dirección de luz d. Datos: origen en el centro de la línea de tierra. (ref.119042) Examen 2010 45 D2

C 2

d 2 45 30 d 1 30 A2 -F 2

B2 -E 2

A1-D1

B1-C 1

F 1

15

15

E 1

cotas en mm.

FIG.60

d 2 45º A2

30º d 1 A1 60º

FIG.62 39

FIG.61


226. Dibujar las sombras de la figura 63, según la dirección de luz d.

(ref.119087) Examen

2011

227. Dibujar las sombras de la figura 64, según la dirección de luz d.

(ref.119089 Examen

2011)

d 2 d 2

45º

45º 30º d 1

30º d 1

FIG.64

15º

FIG.63 228. Dibujar las sombras de la figura 65 , según la dirección de luz l. (ref.119088) Examen 2012 l 2 60º 60º l 1

FIG.65

40


NORMALIZACIÓN VISTAS •

•

•

Dibujar la planta, el alzado y el perfil de las piezas indicadas. 229. Figura 1, a escala 1:2. 237. Figura 9, a escala 1:1. 230. Figura 2, a escala 1:2. 238. Figura 10, a escala 1:1. 231. Figura 3, a escala 1:2. 239. Figura 11, a escala 1:1. 232. Figura 4, a escala 1:2. 240. Figura 12, a escala 1:1. 233. Figura 5, a escala 1:2. 241. Figura 13, a escala 1:1. 234. Figura 6, a escala 1:2. 242. Figura 14, a escala 1:1. 235. Figura 7, a escala 1:1. 243. Figura 15, a escala 2:3. 236. Figura 8, a escala 1:1. Dibujar las vistas necesarias de las piezas que se indican, incluyendo la vista auxiliar señalada con AS. 244. Figura 27, a escala 1:1. 247. Figura 30, a escala 1:1. 245. Figura 28, a escala 1:1. 248. Figura 31, a escala 1:1. 246. Figura 29, a escala 1:1. 249. Figura 32, a escala 1:1. Dibujar las vistas necesarias de las piezas que se indican, incluyendo la vista auxiliar señalada con AD. 250. Figura 33, a escala 1:1. 253. Figura 36, a escala 1:1. 251. Figura 34, a escala 1:1. 254. Figura 37, a escala 1:1. 252. Figura 35, a escala 1:1. 255. Figura 38, a escala 1:1. CORTES

•

Dibujar en cada caso los cortes que se indican. 256. Figura 39, a escala 3:2. 260. Figura 43, a escala 1:1. 257. Figura 40, a escala 3:2. 261. Figura 44, a escala 1:1. 258. Figura 41, a escala 3:2. 262. Figura 45, a escala 1:1. 259. Figura 42, a escala 1:1. 263. Figura 46, a escala 1:1. ACOTACIÓN.

•

Dibujar y acotar las vistas y cortes necesarios de las piezas que se indican para que queden correctamente representadas. 264. Figura 47, a escala 2:3. 270. Figura 53, a escala 1:4. 265. Figura 48, a escala 2:3. 271. Figura 54, a escala 2:3. 266. Figura 49, a escala 2:3. 272. Figura 55, a escala 2:3. 267. Figura 50, a escala 2:3. 273. Figura 56, a escala 2:3. 268. Figura 51, a escala 1:5. 274. Figura 57, a escala 2:3. 269. Figura 52, a escala 2:3.

41


PERSPECTIVA y SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA •

•

Dibujar la perspectiva axonométrica de las piezas que se indican con los siguientes datos: - Perspectiva isométrica. - Perspectiva dimétrica: XOY = 105º, YOZ = 105º, XOZ = 150º. - Perspectiva trimétrica: X OY = 135º, YOZ = 120º, XOZ = 105º. 275. Figura 68, a escala 2:1. 279. Figura 72, a escala 2:1. 276. Figura 69, a escala 2:1. 280. Figura 39 a escala 3:2. 277. Figura 70, a escala 2:1. 281. Figura 41, a escala 3:2. 278. Figura 71, a escala 2:1. Dibujar, sin reducción, la perspectiva isométrica de las piezas que se indican vistas desde otro ángulo, según los ejes siguientes (XOY = 240º, YOZ = 60º, XOZ = 60º): 282. Figura 1, a escala 1:2. Z Z 283. Figura 2, a escala 1:2. X Y 284. Figura 3, a escala 1:2. 285. Figura 4, a escala 1:2. O 286. Figura 5, a escala 1:2. O 287. Figura 6, a escala 1:2. X

Y

•

•

Dibujar, sin reducción, la perspectiva isométrica del trozo de pieza que queda al seccionar las piezas que se indican con el plano que definen los puntos A, B y C y suprimir la parte superior. 288. Figura 71, a escala 2:1. 291. Figura 74, a escala 1:1. 289. Figura 72, a escala 2:1. 292. Figura 75, a escala 1:1. 290. Figura 73, a escala 1:1. Dibujar, sin reducción, la perspectiva isométrica de las piezas que se indican (datos: XOY = 120º, YOZ = 120º, XOZ = 120º) correspondiendo el alzado de la pieza con el plano YOZ. Dibujar, encima de la perspectiva anterior y correspondiéndose con ella, la perspectiva isométrica del molde complementario (datos: XOY = 240º, YOZ = 60º, XOZ = 60º), de manera que la altura total del paralelepípedo que forman la unión de ambas piezas sea de 30 mm. 293. Figura 76, a escala 2:1. 294. Figura 77, a escala 2:1. 295. Figura 78, a escala 2:1. 296. Figura 79, a escala 2:1.

42


PERSPECTIVA CABALLERA. •

Dibujar la perspectiva caballera de las piezas que se indican. 297. Figura 68, a escala 2:1. Datos: ϕ = 210º, c r = 2:3. 298. Figura 69, a escala 2:1. Datos: ϕ = 210º, c r = 2:3. 299. Figura 70, a escala 2:1. Datos: ϕ = 210º, c r = 2:3. 300. Figura 71, a escala 2:1. Datos: ϕ = 210º, c r = 2:3. 301. Figura 72, a escala 2:1. Datos: ϕ = 210º, c r = 2:3. 302. Figura 39, a escala 3:2. Datos: ϕ = 225º, c r = 1:2. 303. Figura 40, a escala 3:2. Datos: ϕ = 225º, c r = 1:2. 304. Figura 41, a escala 3:2. Datos: ϕ = 225º, c r = 1:2. PERSPECTIVA CÓNICA. (sólo diseño)

•

Dibujar la perspectiva cónica de la pieza que se indica, teniendo en cuenta en cada caso los datos que se indican. En las figuras que no haya datos éstos se elegirán libre y correctamente (figuras 68 a 75 y 80 a 95). 305. Figura 68. 317. Figura 84. 306. Figura 69. 318. Figura 85. 307. Figura 70. 319. Figura 86. 308. Figura 71. 320. Figura 87. 309. Figura 72. 321. Figura 88. 310. Figura 73. 322. Figura 89. 311. Figura 74. 323. Figura 90. 312. Figura 75. 324. Figura 91. 313. Figura 80. 325. Figura 92. 314. Figura 81. 326. Figura 93. 315. Figura 82. 327. Figura 94. (ref.617034) Examen 2010 316. Figura 83. 328. Figura 95. (ref.617047) Examen 2011 SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS (sólo mecánica)

•

Resolver la cubierta del edificio cuya planta se representa en la figura y dibujar el alzado correspondiente para distintas pendientes. 329. Figura 96 333. Figura 100 330. Figura 97 334. Figura 101 331. Figura 98 335. Figura 102 332. Figura 99 336. Figura 103

43


1

2

Ref. A-7

3

Ref. A-8

4

Ref. A-9

5

6

Ref. A-11

44

Ref. A-10

Ref. A-12


7

9

11

8 Ref. A19

Ref. A20

10

Ref. A22

12

Ref. A21

45

Ref. A23

Ref. A24


13

14

Ref. A33

15

46

Ref. A43

Ref. A34


16

17

Ref. B27

18

Ref. B28

19 Ref. B31

Ref. B29

20 Ref. B44

47


21

22 Ref. C23

Ref. C22

23

24 Ref. C25

NOTA:En laspiezas 21-24 faltan líneas para su completa determinación

48

Ref. C26


25

Ref. C31

26

NOTA:En las piezas 25-26 faltan líneas para su completa determinación

49

Ref. C32


28

27 Ref. D2

Ref. D4

AS

AS

30

Ref. D8

29 Ref. D7

AS AS

32 31

Ref. D11

Ref. D9

AS AS

50


33

34

Ref. E1

Ref. E2

AD

AD

35

36

Ref. E3

Ref. E4

AD

AD

37

38

Ref. E5

Ref. E6

AD

AD

51


39

Ref. I1

40

A

A

A B B

A 41

Ref. I10

B B A

52

Ref. I2

A


42 A

Ref. I4

A

B

B

53


43

Ref. I5

A

B

B

A 54


44

Ref. I7

B

A

B

A

55


45

56

Ref. I8


46

Ref. I14

B

A

A

B C

C

57


47

AMCLP201

58


48

AMCLP201

59


49

AMCLP203

60


50 A-45 AMCLP204

61


51

A-46 AMCLP205

62


52 A-47 AMCLP206

63


53

A-48 AMCLP207

64


54

65

A-49 AMCLP208


55

A-50 AMCLP209

66


56

67

A-51 AMCLP210


57

68

A-52 AMCLP211


58

59

Ref. F1

60

61

Ref. F11

Ref. F24

62 Ref. F28

63 Ref. F33

69

Ref. F3


64

66

65

Ref. H4

Ref. H12

67

Ref. H20

Ref. H21

70


68

69

70

71


71

C B

A

C

B A

72

C

B A C

B

A

72


73

74 10

10

10

10

10

75

10

10

6

9

9

6

10

73

10

10

10

10


76

77

78

79

74


80 h

t 10

20

20

10

81 10

P

30º

25

10

85

30

20

15 h

50

82 h

30º t

1 2 1

8 30º

1 2 1

83

75

30


85

84

h

t

P

60º VP=6 V

86 h

87 t

h

t

P

e

76


88

89

E 2

A 2 -D2

E 2

B2 -C 2 A 2 -D2

D1

C 1

A1

B1-E 1

D1

B 2 -C 2

C 1

B1 A1

91 h

t

90 h

t

D

C

A

B

77

E 1


92

93 h

h

t

t P A e 45º

F

95 h

94

45

t

e

60º A

15

15

78


96

900

200

200

300

98

900

97

400

300

500

550 300

300

450

800

450

99

300

400

79

400

200

500

Cuadernillo de Problemas Dibujo Técnico

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