Cuadernillo de Ejercicios de Matematica de 1 Bachillerato

CUADERNO DE EJERCICIOS MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 1º BACHILLERATO

ÍNDICE DE EJERCICIOS PÁG. TEMA 1 – POLINOMIOS POLINOMIOS Y RADICALES

3

TEMA 2 – MATRICES MATRICES

5

TEMA 3 – DETERMINANTE DETERMINANTESS

10

TEMA 4 – SISTEMA SISTEMA DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES

13

TEMA 5 – INECUACIONES INECUACIONES

19

TEMA 6 – FUNCIONES FUNCIONES

22

TEMA 7 – LÍMITES LÍMITES

24

TEMA 7 – CONTINUIDAD CONTINUIDAD

29

TEMA 8 – DERIVADAS DERIVADAS

33

TEMA 9 – REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES FUNCIONES

37

TEMA 10 – COMBINATORIA COMBINATORIA

39

TEMAS 11 y 12 – PROBABILIDAD PROBABILIDAD

42

2

ÍNDICE DE EJERCICIOS PÁG. TEMA 1 – POLINOMIOS POLINOMIOS Y RADICALES

3

TEMA 2 – MATRICES MATRICES

5

TEMA 3 – DETERMINANTE DETERMINANTESS

10

TEMA 4 – SISTEMA SISTEMA DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES

13

TEMA 5 – INECUACIONES INECUACIONES

19

TEMA 6 – FUNCIONES FUNCIONES

22

TEMA 7 – LÍMITES LÍMITES

24

TEMA 7 – CONTINUIDAD CONTINUIDAD

29

TEMA 8 – DERIVADAS DERIVADAS

33

TEMA 9 – REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES FUNCIONES

37

TEMA 10 – COMBINATORIA COMBINATORIA

39

TEMAS 11 y 12 – PROBABILIDAD PROBABILIDAD

42

2

TEMA 1 - POLINOMIOS Y RADICALES 1.�� 1. �� : �.

(8 x

4

− 9 x

3

) (2 x + 3 x

+1 −

3

− 5x

4

)

 3  2 x 

�.

1

−

2

x

2

  3 3  −  x 2   4

+

1  5 x −  3 

+

��. �) 13 x 4 − 12 x 3 − 2 x + 1 � �) 2 x3 − 5 x 2 4

− 5x +

10 3

2.�� 2. �� : �.

(5 x

2

+ 3 x − 5

) (7 x

3

)

− 6x + 3

 2  x 

�.

−

3  2 x −  ( x 4 8 

1

��. �) 35 x 5 + 21 x 4 − 65 x 3 − 3 x 2 + 39 x − 15 � �) x 4

−

− 5 x − 14

21 3 x 4

−

)

105 8

x 2

43

+

8

x+

21 4

3.�� 3. �� : �.

( x

7

− x

) : ( x + 2)

�.

x 5 + x − 2 x 3 ) : ( x − 1)

(3 x

�.

�

�

�

�

4

−6

) : ( x + 1)

�

��. �) �(�) � � � 2� + 4� � 8� + 16� � 32� + 63� �(�) � �126 � � � � � �) � + � � � � �� 0� �) 3� � 3� + 3� � 3� �� 3

4.�� 4. �� : P ( x)

3

= x + 3 x −

2; Q( x)

=

2 x 2

− 5 x +

3; R( x)

4 x 2

=

2x − 1

+

�. 3�(�) 3�(�) + �(�) �(�)

�.

�(�) �(�) � �(�) �(�)

�. 2�(�) 2�(�) � 3�(�) 3�(�)

�. �(�)��( �(�)��(�) �) � �(�) ��. �) 3 x 3 �) 2 x 5

− 5 x

4

+ 9 x

3

− 19 x

+ 2 x

2

2

+ 4x − 3 �

+ 19 x − 6 �

�) 2 x 2 + 19 x − 11

�) 8 x 4 − 17 x 3 + 8 x − 1

5.F�� 5. F�� : �.

3 x 2

�.

4 x 5 + 2 x 4

+ 14 x − 5 − 2x

3

3

�.

x

�.

2 x3

2

+ 5 x + 8 x 2

− 10 x + 14 x −

�

6

�

��. �) 3(� � 1/3)(� + 5)� �) 4� (� � 1/2)(� + 1)� �) �(� + 5� + 8)� �) 2( x − 1) 2 ( x − 3)

6.F�� 6. F�� : �.

P ( x) = −5 x

2

−

x

�.

P ( x) = 4 x

4

+ 10 x

2

�.

P ( x) = 10 x �

3

− 250 x

�

��. �) � � (5� + 1)� �) 2� (2� + 5)� �) 10�(� + 5)(� � 5)

7.��: 7. ��: �.

x 2

+

6 x − 7

2 x − 2

�.

4 x 2

−

4 x

40 x + 100 2

− 100

3

�.

3 x 3 3 x 4

+

−

6 x 2

24 x 3

−

60 x 2

x + 7

��. �)

2

x − 5

� �)

x + 5

� �)

1 x + 10

8.�� 8. �� : �.

�.

21 x 2

3 x 2

�.

7 x − 14 x 2 4 − x

x

3

3 x 1 − 2 x

� �) −

1 3

� �)

3 x − 4

( x − 1) 2

x 2

x

2( x − 2)

� �)

− 12

x + 2

�.

2 x

3 x − 12

3 x 2

�.

4 x − 8

�.

��. �)

4 x

−

x

2

−1

� �)

x − 1

3( x − 2) � �)

x + 1

9.�� 9. �� :

x

�.

�.

x + 1

2 x

1 − x

�.

x

+1

x

��. �)

x

2

� �)

( x + 1) x

� �)

x

− x − 1 +

2 x

x − 1

10. �� : �.

3 5 − 80 + 2 45 − 125

�.

2 3

−

1

12

2

+

4 27 ��. �) 0 �)

13 3

11. ��:

2 2

�.

�.

1− 3

�.

2 3

3 2 3

2 5−2

3

��

5

�.

2

�.

3

1+ 3 2 �)

��. �)

3 2

�)

3 − 3 6

5

3 −3

�)

−2

22 5+ 5

�)

8

5

�)

8 3

12. �� . ��. �� .

�.

�.

3

34 3 3 5

3

�.

1

1

1

3

3

3

�. 3

5

a b ab

⋅

8

x 3

2 2 2 2

�.

x

37 �.

�. 6

x 4

7

2

3

a

⋅

2 3 6

4

2

a2 a

⋅

�. 4

3

16ab 2

+

3

250ab 2

+

3

2ab 2

a3

4

2

��. �)

3

− 21

40

�)

18

3

�)

ab �) x 29 / 24

= x

4

24

x 5 �) 217 24 �) a 5 4 �) 2 15 16 �) 8 3 2ab 2

TEMA 2 – MATRICES

HOJA 1

1.D�� :

 3

A = 

 2

− 1 

 1 5   0 ; B =  ; C =  4   − 3 5   − 2

−

4 



3 

H��: �. A + B �. C � A + B

��. �.

�. A�B � �. A

 4 4    � �. − 1 9  

�

�. �.

 − 2 2   6 10    � �.   � �. − 7 4 − 10 30    

 7 − 7    � �. 14 14  

B �C A�B � C

 6   − 10

− 13 

 6 14   � �.   − 5  − 8 27  

2.D�� :

 2  A =  0 −1 

1 

 1   − 6 − 2 ; B =  5 4 2 3   5

−

2

0 



3

− 3

9

− 1 



H��: �

�. A � �. B

�. B�A �. A�B

�. �.

 3 ��. �.   2 − 5 

− 18

32 − 11

 31 �.  − 38   21 

− 5 

 � �. 6  4 

20 − 36

35

 − 25   − 156  −9 

− 16 

 � �. 20   − 9 

48 − 154 −

294

 − 2   − 13  1 

�

B �A A�I � B

18   2  � �.  90  13 −

4 

− 17

9 

3 

 − 10 19  �. 16 3 

5   � − 10 

17 1



− 36

 1  − 5 − 5 

− 17 

7

1 

−9

1



4 

−7

3.�� :

 2  A =  0 −1 

5 −

6

2

1 



 1

−3

3 

 2

4

−

2 ; B = 

5 



0 

C�� A�B � B�A ��. ��

5

 − 3   4

33 − 14

22 



−

6 

4.D�� :

 2

− 1 

 0 ; B =  2   4

A = 

 3

1  ; − 2 

 1

3

 2

−1

C = 

5 



1 

C��: �.

 1  �. B t  A − B   2 

ABC

4 ��. �.    6

− 16

25

− 16 

 − 10

 � �.  39   6

�.

 � �. 2  A . − 15 / 2  12

=

 1   12

2

2

2

A ; B ; C

− 4 

; B 2 1 

=

 4   − 8

− 2 

; C 2 8 

= No

tiene

5.�� , A � B, �� : �, � � �. �� A: 400 �� , 200 �� 50 �� . �� B: 300 �� , 100 �� 30 �� . �� 25 �� 1 �� . �� 30 �� 1.2 �� . �� 33 �� 1.3 �� . �. �� . �. H�� .

 25 1   400 200 50  � �� :    30 1,2   300 100 30     33 1,3   

��. �� : 

 17.650 705    11.490 459 

�� :  

6. C�� :

 3

A = 

 2

��. A−1

=

− 1 

 1 5   0 ; B =  ; C =  4   − 3 5   − 2

 2 / 7 1 / 14   ; B 1 / 7 3 / 14 −  

−1

=

4   4 ; D =  3   8

−

 1 / 4 − 1 / 4   ; C 1  3 / 20 1 / 20  −

6

=

 − 3 / 8   − 1 / 4

− 1 



2 

− 1 / 2 

; D 0 

−1

=

 1 / 8 1 / 16    1 / 2 1 / 4 −  

7. �� :

 1 1   2 1   1 2  ; B =  ; C =   3 4 1 1 1 3      

A = 

�. �A=B+I �. A� + B = C

�. �A + B = 2C �. A� + B� = C

��. �.  

9

 − 2

2   � �. 1 

−

 − 4   3

�. �AB � �C = 2C

2 

 − 9 3  � �.  � �.   − 1   − 11 4 

 3 / 7   − 1 / 7

−

4 / 7 

 − 7 / 2

1 

 � �.   1 / 7  − 23 / 4 3 / 2  

8. �� A � B �� :

  1 2 2   2 A + B =    − 2 1 0   − 4 − 3 − 2   A − 3 B =     1 0 1 − −   

 − 1 / 7 3 / 7

��. A =  



1   x ; B A =  1 + 1 x  

9. �� :

=

−1

3 / 7

4 / 7  ; B − 1 / 7 

=

 9 / 7 8 / 7 6 / 7    0 1 / 7 2 / 7  

 0 1    1 1  

�

�) H�� B = A �) H�� A � I = B�I �)

H�� AB = I ��: �) � � 1� �) � � 0� �) � � �1

10. C�� :

 2  A =  1 3 

−1

0 2

 2 3   1 3 ; B =  3 5 1 2 7 7   0

7 

 2   7 ; C =  1 −1 5 3 − 1   0

− 1 

 1   4 ; D =  2 −3  3 − 1 10   1

3 

−

2

3 1 

−

4

6

−

6

9



2

3 

��. �� 2� �� 3� �� 2� �� 1

11. C��

 2 1 1   1 2    A =  3 2 4 ; B =  4 3 1 1 a − 2 1    ��. �: �� 3

�� (�) � 2� �� ≠ 3

− 3 

 m ; 3 

a   2   C =  6 4 + a  4 6  

�� (�) � 3� �: �� 9 �� (�) � 2� �� ≠ �9 �� (�) � 3 �: �� 2, 3 �� (�) � 1� �� ≠ 2,3 �� (�) � 2

7

TEMA 2 – MATRICES

HOJA 2

1. D�� :

 4

A = 

 −

2

2   − 1 2  ; B =  ; 1  3 0 −  

 1

C = 

 −

2 



4

−

2 

H��: �. 2C � 3B � �. C

�

�. �.

��. �.

 5   1

−

2 

 � − 4 

�

B �C A�B � I

 − 7   4

�.

−

2 

 � − 4 

�

 − 7 10    � − 2 8  

�

 − 11   − 1

8 



− 5 

2. D�� :

 1  A =  3 − 2 

 2   − 3 4 ; B =  3  1 − 1 3  

−

0 

2

−

1 

4



− 1

2

2 

0

H��: �

�. B �. B�A

��.

�. �.

 − 7  �.  11  4 

− 16 −8 −

4

8 

 − 1 � 5 

�.

 − 12   11  −3 

7 − 11 −

4

�

B �A 2A�� 2B + I

− 13 

 5  � �. 6 

 9   2 − 6 

15 

− 14

 8  � 2 

2 −1

 − 1  �.  0 − 6 

4 −9 −

2

−

2 



6  3 

3. C�� :

 4

A = 

 1

2   6 3  ; B =   3  − 3 2  

−

 2 / 21  � �.   1 / 7  − 1 / 14 2 / 7   3 / 14

1 / 7 

��. �.  

 2

4. C�� A =  

 − 1

B

=

 14 14     − 7 14 

4 



2 / 7 

 , ��

5 

 7 1   0 3  

��.  

8

− 1 / 7 

5. �� .

 4 1   1   ⋅ X −   − 1 0   2

2

0

−1

0

− 1 

 0  =  1   1

−1

2

0

−3

1 



0 

 − 3

1

3

 13

−3

− 10

��. X =  

− 1 



4 

6. H�� B, �� (1, 0), � �� : A ⋅ B

=

 1 0  , ��  − 1 2 2     A =  1 0 2 1 0    

 1 0    ��. B =  − 1 0   2 0   7. �� :

  2 − 2   3 X − 5Y =  7 4    (�)  2 4  − X + 3Y =     3 0   

  2 0   5 X + 3Y =  − 4 15    (�)  1 − 1  3 X + 2Y =     − 2 9   

 4 7 / 2   2 5 / 2   1 3   1 ; Y =   � �� X =  ; Y =  3   9  4 1   − 2 3   2

��. �� X =  

− 5 



0 

8. C�� :

 3 2  A =  3 0 3 4 

−1

2 0

4 

 3   − 2 ; B =  1 −1 6  

4

5

7 

0

−1

4

−

4

−7



1  ��. �� 3� �� 2

9. C��

 − 2 3  A =  − 1 5  −1 1 

1 

 − 1 2 0 1     − 2 ; B =  − 4 3 2 4   2 1 3 k  k    ��. �: �� 6/7: �� (�) � 2� �� ≠ 6/7: �� (�) � 3 �: �� 17/4: �� (�) � 2� �� ≠ 17/4: �� (�) � 3

 a 1 1    10.C�� :  1 a 1  1 1 a   ��. �� 1: �� (�) � 1� �� 2: �� (�) � 2� �� ≠ �2, 1: �� (�) � 3

9

TEMA 3 – DETERMINANTES

HOJA 1

1. �� :

A

=

D

=

0 5 2 6

3 −

2

; B

8 −

4

=

3 2

−

; E =

5

9 −

4

7

2

−

;

−3

0

C =

;

F =

−1

5

6

−1

0

7

−

��. A

;

2 = −15;

B

= 31;

C = −7;

D

= −56;

E = −12;

F = 2

2. �� :

A

=

5

2

−1

4

0

6

3

2

−1

8 D

= −3

4

−

3 B

2

4

8

−

−3

2

1

5

9

1

5

6

2

2

0

5

6

= −5

−

E = 5

4

3

−

3

−9

−5

−

��. A

−9

1

C = 3

7

6

5

5

4

4 F =

B

= 3;

2

4

1

3

2

C = −172;

D

= 18;

−

2

−

0

7

= −24;

5

E = −4;

F = 4

3. C�� :

 3  A =  0 4 

−1

5 6

2 

 5   1 ; B =  2  − 2 − 3    − 21 ��. A =  9   − 11 

−

2

1 3

3 

 2 6   4 ; C =  3 5  − 4 0 − 3  

 − 15   − 17 − 22 ; B =  − 3  − 11 15  −3  4

−

20 

− 1 



6  7 

 35   −9 − 11; C =  − 42  41 9  − 14  −

2

8 

−

45

10

20 



−

24 



− 15

− 8 

4

23 

−3

− 17 

4. C�� :

 8  A =  − 3 − 5 

−3

3 5

6 

 4 6 2   4     − 6 ; B =  − 1 1 8 ; C =  − 2   3 4 0 −6 − 4     ��.

10

 5   − 1 − 2 ; D =  2 3 2 4   2

8 

 1 / 5  A = 1 / 5  0  −1

1 / 5

7

4 

−7

2

0

0 

 − 1 / 45 1 / 3 ; B  − 5 / 18 1 / 6 

−1



3   − 16  =  12  − 7 / 2 

1



5 

 0  C =  − 1 / 2  1 / 4  −1

− 1 / 10 

− 1 / 5

 1  D =  0 −1 

 1 / 5 ; 0 

− 8 / 5

1 / 2

−1

1

−

− 1 / 7

2 



2 / 21 7 / 3 

−1

 1 3 3    5. E�� : M =  1 2 3  2 5 a   ��. � � 6.

6. �� :

 1 0 2   − 1 2 0      A =  3 3 4 ; B =  − 3 1 2  1 2 1  − 2 2 2     �. A� + B = I �. �A + B = I ��. �)

 − 12 10  X =  − 21 16  − 15 12 

− 16 

 � �) − 24  X =  − 19 

 − 10   3  6 

22 −

−

2 



0  1 

6

− 12

7. �� : �A + 3B = 2C, ��:

 − 1  A =  5  3 

 5   − 2 − 4 ; B =  − 2 − 7 1 2   2

3 

−1

0 6

3 

 6   4 ; C =  3 − 2 1  

2 −

4

2

0 



− 1

3 

 23 ��. X =  − 2   − 31 

137 / 11 2 − 158 / 11

− 155 / 11 

  212 / 11  0

8. C�� (�� ):

 − 1 2  A =  6 2  4 6 

5 

 2   − 1; B =  − 3  5 9  

 2 3 0    D =  − 5 9 9 ;  −1 4 3  

 3  E =  − 3 − 6 

−1

3 

6

 0 ; 1 

−4

2 

4

4 8

 3  C =  9 6 

2

− 1 

−8

7  3 

5

 − 12 18   9 − 2 ; F =  − 6   6 −9 − 4  



6 



− 3

3 

��. �� (�) � 2� �� (�) � 3� �� (�) � 3� �� (�) � 2� �� (�) � 1� �� (�) � 1

11

TEMA 3 – DETERMINANTES

HOJA 2

1. C�� :

A

=

1

2

1

4

0

2

7

−1

1

2 B

= −1

3

0

−3

2

1

5

4

3

2

1

C = 0

2

−5

1

4

−2

��. A

= 18;

= 39;

B

C = 63

2. C�� (�� ):

 − 6 7  A =  3 5  2 0 

2 

 − 2 ;  − 1 

 3  B =  − 9  6 

 2 3   3 − 6 9 ; C =  − 3 5  1 11 −2 4 − 6   −1

− 3 

2

−1

4 

 0 − 4 ; −2 4 

 1   5 D =  −2  −3 

2

4 

−1

0

9   −4

4

−

 

2 

��. �� (�) � 3� �� (�) � 1� �� (�) � 2� �� (�) � 2

3. C�� :

 8  A =  − 3 −5 

−3

3 5

6 

 4 6 2   4     − 6 ; B =  − 1 1 8 ; C =  − 2   3 4 0 − 6 − 4    

8 

 5   − 1 − 2 ; D =  − 2  3 2 4   2

7

4 

−7

2

0



6 

0  4  1 / 5 1 / 5  − 16    1 −3 A = 1 / 5 − 1 / 45 1 / 3 ; B =  12  0 − 5 / 18 6   − 7 / 2 1 ��.    − 1 / 5 − 1 / 10   0   1 1 / 5 ; D 1 = No tiene C =  − 1 / 2 − 8 / 5  1 / 4 1 / 2 0   −1

−

−

23 



− 17 ;

5 

−

4. �� :

 − 2  A =  4  4 

− 5 

6 −2

3

 2   3 ; B =  0 1 1  

−1

4 5

3 

 3   − 2 ; C =  4  2 − 6  

5

0 

−3

6   − 2 

−1



�. A� + B = C � I �. �A � 2B = 3C �. �A + I = 3B � C ��. �)

�)

 38 / 15  X =  − 29 / 15  − 10 / 3 

 − 27 / 10  X =  − 1 4 / 3  196 / 15  12

− 9 / 5

37 / 10 

2 / 5

− 13 / 15 

0



−4

 

 − 47 /15   �) − 27 / 5 17 / 3  X =  14/ 5  223 / 30 111 / 5 − 163/15   1/ 2

33/5 

− 14 / 15

4/5 81 / 10

26 / 15 

   − 62/15  −2/5

TEMA 4 – SIST. ECUAC. LINEALES

HOJA 1

1. �� C��

2 x + 3 y − 3 z = −10  a) 3 x + 2 y − z = 1 − x + 4 y = 7 

2 x − 3 z = 2  b) 3 x + y − 2 z = −1 − x + 3 y − 3 z = 3 

 x + y + z = 3  c) 2 x − y − 3 z = −5 − 3 x + 4 y + 5 z = 2 

− x + 2 y + z = −6  d ) 2 x − 3 z = 2 − 3 x + 3 y − z = −3 

− 4 x + 3 y − z = 2  e) 3 x − 2 z = −5 − 3 x + 2 y = 7 

2 y + 3 z = −9  f ) − x + 3 y + 5 z = −15 6 x − 4 y − 4 z = 2  ��. �) � � 1; � � 2; � � 6; �) � � �1; � � �2/3; � � �4/3; �) � � 2; � � �3; � � 4;

�) � � �26/19; � � �55/19; � � �30/19; �) � � 6; � � 25/2; � � 23/2; �) � � �1; � � 3; � � �5.

2. �� G��

3. E��

4 x + 3 y − z = 0  a) 8 x − 5 y − 5 z = 10 2 x − 4 y − 2 z = 5 

3 x − 2 y + 4 z = 2  b) 6 x + 3 y − 7 z = 1 5 y + 3 z = 4 

2 x + 5 y − 3 z = 2  c) 4 x + 3 y − 6 z = −3 8 x + 13 y − 12 z = −1 

− x + 3 y + 5 z = 2  d ) 4 x + z = 3 7 x + 3 y + 7 z = 8 

3 x − y + 2 z = 3  e) 5 x + 4 y − 2 z = 2 3 x + z = 4 

2 x + y − 5 z = 5  f ) 3 y − 3 z = 3 2 x − 5 y + z = 4 

��. �) ��. �� ; �) ��. �� ; �) ��. ��; �) ��. �� ; �) ��. �� ; �) ��. ��.

13

4. �� G��:

2 x + 3 y − z = 5  a) 6 x − 4 y = −3 12 x + 5 y − 3 z = 12 

− 4 x + 3 y = −5  b) − x − 5 y + 6 z = 2 − 6 x − 7 y + 12 z = −1 

2 x + 5 y − 6 z = 2  c) − x + 4 y + 3 z = −2 3 x + 14 y − 9 z = 2 

4 x − 3 y + 2 z = 6  d ) − 2 x + 3 y + 5 z = 1 − 2 x + 6 y + 17 z = 9 

��. �) x =

11 26

+

2 13

; y =

α

18

+

13

�) x =

18 13

3

;z

α

13

= α ;

+ 3α ; y =

−

2

13

�) x =

;z

19 23

= α ;

+

18 23

�) x =

; y =

α

7

−

7

2

− 13

23 ; y =

α

2

+

24

8 3

;z

α

= α

− 4α ;

z = α

23

5. E�� :

 x + y + z = 0  a) mx + 2 z = 0 2 x − y + mz = 0 

 x + y + z = 1  b) mx + y + z = 1  x + my + 3 z = m 

3 x − y + 2 z = 1  c)  x + 4 y + z = m 2 x − 5 y + mz = −2 

(m + 1) x + y + z = 3  d )  x + 2 y + mz = 4  x + my + 2 z = 2 

mx + 3 y = 0  e) mx + my + z = 0 3 x + 3 y + z = 0 

3 x + y − z = 0  f ) 4 x − 2 y + z = 0 mx − 4 y − 2 z = 0 

��. �) �� 2; �. �. ��.; �� 3; �. �. ��.; �� ≠ 2 � �3; �. �. ��. �) �� 1; �. �. ��.; �� 3; �. �. ��.; �� ≠ 1 � 3; �. �. ��. �) �� 1; �. ��; �� ≠ 1; �. �. �� ) �� 3; �. ��.; �� 0; �. �. ��.; �� 2; �. ��.; �� ≠ 0, 2 � �3; �. �. ��. �) �� 3; �. �. ��; �� ≠ 3; �. �. �� ) �� 48; �. �. ��; �� ≠ 48; �. �. ��

14

6. E��

2 x + y − 2 z = 0  a)  x + y + z = 0 4 x − 5 y + mz = 0 

�� = �32 � � = 2

 x + 2 y + 3 z = 5  b) − y + 4 z = 2 − 2 x + my − 2 z = 1 

�� = 2

 x + 2 y − 3 z = m  c) 2 x + z = 2 mx − 2 y + 7 z = 1 

�� = 7

��. �) �� 32; �. �. ��; �� ≠ �32; �. �. �� 32; x = 3α ; y = −4α ; z

= α ;

�� 2; x = 0; y = 0; z = 0

�) �� 5; �. ��; �� ≠ �5; �. �. �� 2; x = −1 / 28; y = 9 / 7; z = 23 / 28 �) �� 7; �. �. ��; �� ≠ 7; �. �. �� 7; x = 1 +

15

1 2

; y = 3 +

α

7 4

; z = α

α

TEMA 4 – SIST. ECUAC. LINEALES

HOJA 2

1. �� C��

 x − y − 2 z = −1  a) 2 x − 3 y + 4 z = 4 5 x − y + 3 z = 16 

 x − 2 y + z = 3  b) − x + y − 2 z = 1 2 x − 3 y + z = 2 

4 x − y + 3 z = 2  c) 2 x − 2 y + z = 3 3 x − 3 y + 2 z = 1 

5 x + y − z = 1  d ) − 2 x − 3 y − 3 z = 5 − x − y − 5 z = 7 

��. �) � � 3; � � 2; � � 1; �) � � �5; � � �4; � � 0; �) � � 6; � � 1; � � �7; �) � � 0; � � �1/3; � � �4/3.

2. �� G�� 3. E��

3 x − y + z = 2  a) − x + 2 z = −3 5 x − 2 y + 4 z = 1 

2 x − y − 3 z = 0  b) 4 y − 5 z = −1 2 x + 3 y − z = 1 

− x + 2 y − z = 0  c) 2 x + 3 y − 4 z = 1 − x + 9 y − 7 z = 3 

4 x + 2 y − z = 3  d ) − x − y + 2 z = −2 2 x + 3 z = −1 

− 3 x + 2 y − z = 1  e) 3 x + 2 z = 2 6 x + 2 y − z = −1 

− 2 x − 2 y + 2 z = 3  f )  x − 3 y + z = −2 − 3 x − 7 y + 5 z = 6 

��. �) ��. �� ; �) ��. �� ; �) ��. ��; �) ��. �� ; �) ��. �� ; �) ��. ��.

4. �� G��

 x − y + 3 z = 4  a) 2 x − y − z = 6 3 x − 2 y + 2 z = 10 

2 x + 2 y + z = 1  b) 2 x + 3 y + z = 1 2 x + 5 y + z = 1 

 x − 9 y + 5 z = 33  c)  x + 3 y − z = −9  x − y + z = 5 

2 x + 3 y + 6 z = 24  d ) − 3 x + 5 y + 9 z = 40  x + 2 y − 3 z = 16 

16

��. �) x = 2 + 4α ; y = −2 + 7α ; z = α ; �) x =1/ 2 −α / 2; y = 0; z = α �) x = 3 / 2 − α / 2; y

= −7 / 2 + 1 / 2α ;

z = α ; �) x = 3α ; y = 8; z

= α

5. E��

2 x − 3 y + z = 0  a)  x − ky − 3 z = 0 5 x + 2 y − z = 0 

c)

4 x − y + mz = −3  b) − mx + 4 z = 1 8 x − y + 6 z = −1 

(a − 2) x − 2 y + 3 z = 1  − 2 x + az = 2 − 4 y + 9 z = 4 

d )

− 3 x − 2 y + z = 2  4 x + y + 2 z = 0 − x − y + p 2 z = 4  2 3

��. �) �� ≠ �8; �. �. ��.; �� 8; �. �. ��. �) �� ≠ �2 � 8, �. �. ��.; �� 2, �. �. ��.; �� 8, �. ��. �) �� ≠ �1 � 3, �. �. ��.; �� 1; �. ��; �� 3, �. �. ��. �) �� ≠ �2, 2; �. �. ��.; �� 2; �. �. ��.; �� 2; �. ��.

6. E��

3 x + ay + z = a − 2  a)  x + y + 2 z = 0 ax + y − z = a − 2 

�� = 2 � � = 1

3 x + 2 y − z = 1  b)  x − z = 1 2 x + 2 y + (m + 1) z = 0 

�� = �1

c)

2 x − 2 y + z = 2  − 3 x + (m + 1) y + 4 z = 1 mx − 2 y + 6 z = 5 

�� = 1

��: �) �� ≠ �2, 2 �. �. ��.; �� 2, �. �. ��.; �� 2; �. ��. �� 2; x = 3α ; y

= −5α ; z = α ;

�� 1; x

= −1 / 3; y = −1 / 3;

z

= 1 / 3

�) �� ≠ �1; �. �. ��; �� 1; �. �. �� 1; x = 1 + α ; y = −1 − α ; z = t �) �� ≠ 1, 2; �. �. ��; �� 1; �. �. ��; �� 2; �. ��.

17

TEMA 4 - PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. �� 1� �� B�� , �� , �� . E� �� . �� , �� . D�� , �� . ��

2. �� 9,50 �� 5 ��, �� 10 �� 50 ��. E� �� 10 �� 9 �� 50 ��, � �� 3 �� 10 �� 4 �� 5 �� C�� ? ��

3. �� 32 ��. �� . D�� 8 ��, �� . C�� . ��

4. �� 13. �� 4 �� . �� , �� 495 ��. �D� �� ? ��

5. C�� 450 ��. �� 60 �� : ��, �� . �� 20 ��., �� 10 ��. � �� 5 ��. �� , �� ? ��

6. �� 95 �� 10, 20 � 50 �� 2.000 ��. �� 10 �� 20, �� . ��

7. E� �� , �� A, B � C, �� 5, 10 � 12 ��, ��. C�� , �� 11.045 ��. �� , ��, �� A �� B � C ��, � �� B �� C, �� . ��

18

TEMA 5 – INECUACIONES 1. �� ) x 2

�)

�)

−

(3 x + 1) ≤ ( x − 1)( x + 2)

3( x − 1)

−

2 x − 1

+

−3

1 5

 

4 x < 1 −  x −

≤

x

−

2

3

1 

 2 

�)

�)

�)

3 x − 5 4

x−6

<1

12

x − 1

> x + 1

2 x − 4

4

��. �)  1 , ∞  ; �) 4  

−

+1<

(− 2, ∞ ) ;

x+4

8 106  21  �)  ; �)   − ∞,  ; �)  25 , ∞  8  

(− ∞,−3) ;

�) (− ∞,4)

2. �� 60� �� 50� �� . �� , �� 600�, �� . �� . �� 10,8 ��.

3. �� 3.000 ��. �� 20.000 ��. �� . �� 2.223 � 3.000 ��.

4. �� . �� 2,5� �� . �� 4� �� . �� . �� 7.

5. �� )

− x

2

+

5 x > −6

�) 3 ≥ x(2 x + 1) �)

x ( x + 1)

2

< 5 − x

2 �) 3 x

− 2

�)

− x

�)

2 x 2

27 > 0

+

2x + 3 > 0

− 3x + 1 ≤

0 ��. �) (− 1, 6 ) ; �) − 3 ,1 ; �)  2 

19

(− 5,2) ;

�)

(− ∞,−3) ∪ (3, ∞ ) ;

1 �) (−1, 3) ; �)  , 1 2 





6. ��

�)

�)

x − 3

≥

x − 4 x − 2

<

x + 1

0

�)

0

�)

x

2

2

+ x −

x

5 − x

>

x − 3

≥

0

0

��. �) (− ∞,3] ∪ ( 4, ∞) ; �) ( −1,

�. �� ) 3 x − 2 y ≤ 1

�)

1 − 4 x 4

< y

�)

x

2

+ y ≥

�) 2 x − y

2

≤

�)

�)

�)

�)

20

4

2) ; �)

[− 2, 0) ∪ [1, ∞ ) ;

�)

(3, 5)

�. ��

2 x − y > 1 �)   x ≤ y

 y − x ≤ 1  �)  y − 2 x ≤ −3  x ≥ 0; y ≥ 0 

− 3 x + y ≤ 1 4 x + y ≤ 16  �)   y ≤ 4  x ≥ 0; y ≥ 0

  x + y ≥ 2  �) 2 x − y ≤ 4  x  ≥ y − 2 2

�)

�)

�)

�)

21

TEMA 6 – PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 1. ��

��

f ( x ) =

��

f ( x ) =

��

f ( x ) =

��

f ( x ) =

��

f ( x ) =

x

2

+ x −

x

2

2

−1

x − 2 x

2

− 3 x −

4

x x 2

+1

��

f ( x ) =

x2

−

4

��

f ( x ) = x 2

−

6x + 8

��

f ( x ) =

��

f ( x ) =

��

f ( x ) =

2 x

2

−

2 x + 1

x −8

x + 7 x 2 + x − 12

x + 3 x − 2 x + 2

1 − 1 − x

�� R − {− 1,1} � �� R − {− 1,4}� �� R � �� R − {1}� �� [8, ∞ ) � �� ( − ∞ ,−2] ∪ [2, ∞ ) � ��

(− ∞,2] ∪ [4, ∞ ) � �� [− 7, ∞ ) − {− 4,3} � �� (− ∞,−3] ∪ [2, ∞ ) � �� (− ∞,1] − {0}

��

�� f ( x) =

x 4

+ x

x 2

�� f ( x ) = 2 x 3

�� f ( x) =

�� f ( x ) =

+

x

−

2

�� f ( x) =

��

2

3 x

2 x 3

− 3 x

x 3

−

4

f ( x ) = 3 x 4

+

2x 2

�� f ( x) =

x 2 −

−

−1

x + 1

x 4

2

�� f ( x) =

−1

4 x + 1 x 2

+

x 3

+ x

x 2

2 2

− x

+1

��

22

��

 − x 2 �� f ( x ) =   x + 3

si x < 0 si x ≥ 0

 x − 3  �� f ( x ) =  2  − x 

2 x − 1

si x < 1

− x + 3

si x ≥ 1

�� f ( x ) = 

 x + 1  si 0 < x < 3 �� f ( x ) =  x 2  4 si x ≥ 3 

si x ≤ −3

si x ≤ 0

si x ≤ 0 − 3  2 �� f ( x ) = − x + 3 x si 0 < x < 3 − x + 3 si x ≥ 3 

si

− 3 < x ≤

2

si x > 2

si x ≤ 3  x + 4  �� f ( x ) = 7 − 2( x − 3) si 3 < x < 6 1 si x ≥ 6 

��

��

��

��

��

��

�� 2 �� f ( x ) = x

−

�� f ( x ) = − x 2

�) f ( x ) =

4x + 3

+

4x − 4

2 �� f ( x ) = − x

�� f ( x) =

4x + 5

+

1 x 2

−1

x x

2

−1

�� ( − 1, 5) � ��

23

(− ∞,1) ∪ (3, ∞ ) �

��

(− ∞, − 1) ∪ (1, ∞ ) � �� (− 1, 0) ∪ (1, ∞ )

TEMA 7 - LÍMITES

HOJA 1

1. ��

�.

 x 2 + 1 si x ≤ 1 lim f ( x) si f ( x)  x 1 4 x − 2 si x > 1 →

�� 2

�.

 x 2 − 3 x si x < −2 si f ( x)  si x ≥ −2  2 x

lim f ( x)

x → −2

��

�.

− x + 2 si x ≤ −2  si f ( x)  3 si − 2 < x ≤ 0  x 2 + si x ≥ 3 0 4

lim f ( x ) y lim f ( x)

x →0

x → −2

��

�.

− x + 1 si x < −1 si f ( x ) 3 x + 5 si x ≥ −1

lim f ( x )

x → −1

�� 2

2. ��

1.

lim

x 2

− 6 x + 8

x

x→∞

2

−

�� 2 =

2

�� 1

2.

lim

x→∞

x 4 − 1 x 2 − 1

�.

lim

x→∞

2

�.

4.

lim

x→∞

x

3

− x + 2 2

�.

�.

lim

x→∞

x

2

2

+

x→∞

3

2 x − 2

+8 2

=

− 2 x

x 2 − 6 x + 5 lim x →1 x 2 − x

=

�� 2 =

11. lim x →1

lim

− x + 2 2

x 2 − 1 10. lim = x →1 x − 1

�� ∞

�.

− 3 x

x→∞

+ x − 7

4 x 3 − x 2

2

��

�� 0 − 3 x

lim

− 6 x

=

+ 2 x − 3

3 x 3

=

+7

�� 2

− 5 x − 6 x

2

2

x

x→∞

=

�� 0

x

− 5 x + 1

��

6 x 3 − 7 x + 8 3 x 6

lim

=

�� ∞

3.

9 x 2

x + 1

x

2

=

+1

�� 1 =

− 2 x + 3 x − 1

24

x

3

x

2

12. lim x →1

−1

22. lim

=

x →1

−1

13. lim

+ 1)

x

x →0

2

−1

2

=

x − 1

��

�� /2

( x 2

5

3 x

23. lim

=

�� ∞

�� 2

x + 1 − 2

14. lim

24. lim

=

1�.

3 

2�. lim

= x 

→∞

x →−1

x

1�. lim

1 − x

−

�� − ∞

2�. lim

=

x →1

3 x

x→0

x + 1

x 2

1�. lim x →0

=

+1

�� 1

�� 1/�

x

=

( x + 1)2

��

1 + x

=

x + 1

��

�� 1/�

 lim  5 − x 

2 x + 1

x → −1

x − 3

x→3

=

( x − 2)2

x →2

2�.

=

 x + 3 x 2 + x − 2   = ⋅ lim 2 x − − x x 1 3   →∞

1 − x + 1

�� 1

�� 2 2

1�. lim x + x + 1 − x =

x

2�. lim

x →∞

x→∞ 3

�� 1/2

2

8 x

+3

3

=

−2

�� 1/2 2

1�. lim x + 1 − x = x →∞

20. lim 9 x

2

x →∞

1

2�. lim

�� 0

x → ∞

x

2

=

x

−

2

+1

�� 0 + 3 − 3 x =

�� 0

30. lim = x →2

x − 3   2 − 2 = 1 x + 1 x − 1  

x x

2

2

− x − 2 − 4 x +

4

��

21. lim  x →−

�� 1/2

3. ��

�.

f ( x) =

− 3 x

�.

x + 2

��.� �.�� 2 �.��

�.

f ( x ) =

x

2

+

f ( x ) =

2 x x

2

+

4

��.� �.�� 0

2 �.

x + 1

f ( x) =

4 x 2

+1

2 x + 2

��.� �.�� 1 �.�� 2� � 2

��.� �.�� 1 �.�� 1

25

TEMA 7 - LÍMITES

HOJA 2

1. ��

�.

 x 2 − x + 2 lim f ( x ) si f ( x )  2 x 0  x − 1 →

si x < 0 si x ≥ 0

��

2 x 2 + x − 1 si x ≤ −1 si f ( x )   x 2 − 1 si x > −1

�. lim f ( x ) x → −1

�� 0

 x 2 + 1  si f ( x )  x 4 x − 2 

�. lim f ( x ) x →1

si x ≤ 1 si x > 1

�� 2

e 2 x + x 2  si f ( x )  x 2 + 1   x + 1

�. lim f ( x ) x → 0

si x < 0 si x ≥ 0

�� 1

2. ��

1.

lim

6 x

3

− x

2

+ 3 x + 8

3 x 3 − x 2

x→ ∞

4.

lim

x →∞

=

2 x 3

−

2 x + 1

4 x 3 − x 2

−

=

2 x

�� 1/2

−2

�� 2

2.

lim

x → ∞

3

−1

2 x 2

−1

2 x

�.

x →∞

=

lim

x → ∞

x + 1 x 2

4 x

4

+ x − 1 + x

3

− x

= 2

�� 1

�� ∞

3.

lim

2 x 2

=

+ x

�� 0

26

�.

4 x 4

lim

−

2 x 2

x → ∞

2 x − 3

=

2

−

�� 1

�.

8 x 2

lim

−

2 x 2

x → ∞

2 x + 1 +

=

5

�� 2

�.

lim

3 x 2

x → ∞

−

x − 1

x 2

+

2

=

x + 1

�� ∞

�.

lim x →1

x 3 x 3

+

− x

2 x 2

=

− 3 x

�� 1/2

10. lim

x 2 x 2

x → −1

+

−1

=

3 x + 2

�� 2

27

11. lim

x → −3

x

2

x

+

2

2 x − 3

1�. lim

=

x →1

+ x − 6

x + 2

( x − 1)

�� /�

�� ∞

1�. lim

12. lim x − 5 − x =

x → 2

x → ∞

x 2

( x

�� 0

2

13. lim x + 1 −

3 x

x → ∞

x → 4

x − 2

1�. lim

=

x → 2

=

1�. lim

x − 4

x →1

x → 2

x + 3 x

2

−

=

4)

2

−

x − 2 x + 2

=

−

2

��

��

1�. lim

2

−5

�� − ∞

�� ∞

14. lim

=

2

3 x 2 x

−

2

3

=

−1

��

=

20. lim

4

x 2

5

−3

=

x + 2

x → −2

��

+

�� 2/�

3. ��

�.

f ( x ) =

x + 2

�.

2 x + 2

��.� �.�� 1 �.�� 1/2

�.

f ( x ) =

x

4

x

2

− x +

f ( x ) =

2 x 4 + x − 2 x

2

+ x − 2

��.� �.�� 1� � � �2

�.

2

4

f ( x ) =

x 2

+1

x − 2

��.� �.�� 2 �.�� + 2

��.� ��

28

TEMA 7 - CONTINUIDAD

HOJA 1

1. ��

�.

 x 2 − 1 si x < 1 f ( x)  − 2 x + 2 si x ≥ 1

�.

 x 2 si x ≤ −2 f ( x)  2 x + 1 si x > −2

�.

 x  f ( x ) 1 3 x  2

�.

�.

�.

si x ≤ 0 3 f ( x )  x + 2 si x > 0

�.

 x 2 − 1  f ( x )3 x − 1 2 x 

si x < 0 si 0 ≤ x ≤ 2 si x

>

2

si x < 0 si x

=

0

si x

>

0

 x + 1 si x < −3  f ( x ) − 2 si x = −3  x 2 − 11 si x > −3  2 x 2 + 1 si x ≤ 1 f ( x)  2 x + 1 si x > 1

�.

si x ≤ −1 − 2 x  f ( x ) x 2 + 1 si − 1 < x ≤ 1  x + 1 si x > 1 

�.

 x + 1 si x < 1  f ( x ) x 2 x si x ≥ 1

�.

 x si x ≤ 0  f ( x ) x − 1 3 x si x > 0

�� ), �), �), �), �) �� ), �), �), �), �) ��

2. ��

�.

kx + 1 si x ≤ 1

f ( x ) 

2 x

si x

>1

�.

��.� � � 1

�.

kx 2 + k f ( x)  2 x + 3

si x < 0 si x ≥ 0

2k + 1 si x ≤ −2 f ( x ) si x > −2 3 x ��.� � � ��/2

�.

 x 2 + 2 x si x < 1 f ( x) (k + 1) x si x ≥ 1

��.� � � �

��.� � � 2

3. ��

�.

 x + a si x < −1  f ( x) 2 x − 1 si − 1 ≤ x ≤ 2 bx si x > 2 

�.

��.� � � �2 � � � �/2

29

ax + 1 si x < 1  f ( x)bx si 1 ≤ x < 3 2ax si x ≥ 3 

��.� � � 1 � � � 2

4. ��

�.

 x − 1 si x ≤ 0 f ( x )   x + 1 si x > 0

�.

��.� ��. �� 1� �� 0

�.

f ( x ) =

1 si x < 1  f ( x )  x  x + 1 si x ≥ 1 

��.� ��. �� 2� �� 0 � �� 1� �� 1

3 x + 1 si x < 0  f ( x) 2 si x = 0  x + 1 si x > 0 

1 �.

x 2

��.� ��. �� 0

��.� ��. �� 0

�.

1  f ( x ) x 1

 2 si x < 1  f ( x )  x  x − 1 si x ≥ 1

si x ≤ 0 �.

si x

>

0

��.� ��. �� 2� �� 0

��.� ��. �� 2� �� 1

�. ��

1

-3

-2

4

4

1

30

5

6

6

TEMA 7 - CONTINUIDAD

HOJA 2

1. ��

e x + 2 si x ≤ 0 f ( x )   x 2 − x + 3 si x > 0

�.

 x 2 + 2 si x < −1  x  2 f ( x )3 x + 2 si x = −1 2 x − 1 si x > −1  

�.

 x  f ( x ) x − 1 3 x − 3

2

�.

�.

�.

�.

�.

 x 2 − 1 si x ≤ −2  f ( x )  si − 2 < x ≤ 2 3  x 2 − x + si x > 1 2 2  x 2 − 1 f ( x )  2 x 2 − 3

si x ≤ −2

2 x 2 − 1  f ( x ) − 3 x − 2 − x 2  2

si x

3 x + 8  f ( x )  2  x 2 − 2 

si x

si

> −2

≤ −1

− 1 < x ≤

si x

>

si x

>

2

�.

�.

3 x 3 − 2 si x ≤ −1 f ( x ) 2  x + 4 x − 2 si x > −1

�.

 x − 3 f ( x )  0

2

2

= −2 > −2

si x

 x 2 + 1 si x < −1  f ( x ) x 2 x 2 + x − 1 si x ≥ −1 

si x < −2 si x

si x ≤ 2

si x ≤ 3 si x

>

3

�� ), �), �), �), �), �) �� ), �), �), �), ��

2. ��

�.

 e x + k f ( x )  2 2 x − 5 x − 4

si x ≥ 0 si x

>

�.

0

 x 2 + 3mx f ( x) 4 x + m

si x ≤ 1 si x > 1

��.� � � �/2

��.� � � ��

3. ��

�.

2ax − 1 si x ≤ −1  f ( x )  x 2 + 1 si − 1 < x < 1 bx + 2 si x ≥ 1 

�.

��.� � � ��/2 � � � 0

 x 2 + 2ax si x < 1  f ( x ) bx si 1 ≤ x ≤ 3  ax 2 si x > 3  ��.� � � 1 � � � �

31

4. ��

�.

 x 2 + 3 si x ≤ −2 f ( x)   3 x si x > −2

�. f ( x ) =

��.� ��. �� 1� �� 2

�. f ( x ) =

�. 2

��.� ��. �� 1

�.

 x 2 + 1  f ( x )  x   x − 1

x − 2

��.� ��. �� 2� �� 2

1 ( x + 1)

2

3 x − 1 si x < 2  f ( x ) x si x = 2  x 2 + 1 si x > 2  ��.� ��. �� 2

si x < 1 �.

si x ≥ 1

 3 x 2 f ( x)  x + 2

si x ≤ −1 si x

> −1

��.� ��. �� 1� �� 1

��.� ��. �� 2� �� 1

32

TEMA 8 - DERIVADAS

HOJA 1

�� 1. y =

4. y =

2

2. y = ( x − 3x + 2)

2x + 3

5 x 3

− 3 x

x

�. y = e

2

2

+1

�. y =

−1

�. y = a

 3 x + 1    x − 2 

10. y = cos

3

1�. y =

+

2

2 x)

+

�. y = Ln (3 x − 5 x + 6) 2

�. y = sen(3 x + 5 x − 1)

2

4

14. y = ( x + x ) ( x − 3)

2

 1 − e x   1�. y = Ln x  + e 1  

senx

x + cos x 2

22. y = sen ( Ln ( 3 x + 5))

23. y = sen

2

2�. y = cos 3 x ⋅ e

1 sen x

3

x

−e

x

+

e e

− x

x

e−

x

24. y = sen (tag

2

2�. y =

1

2�. y =

2

2

21. y = sen ( sen 2 x )

 sen x   x  

x

3

1�. y = sen 2 x + cos 3 x

1�. y =

1

20. y = ( sen 3 x) 2

2�. y = sen x ⋅ e

12. y = sen x

x+2

1�. y = Ln (cos( x + 3 x − 1))

2�. y =

4

2

x

11. y = tag

13. y = (sen x ) 2

(3 x

2

3. y = ( 2 x + 3)(3 x − 4)

2 x +1

5 x2 +7

x

3

4

x)

2 x 3

30. y = tag ( 2 x + 3)

x

e

3

1. �� y = x + 7 x + 2 �� x = 0 �� 2

2. �� y = 2 x − 5 x − 4 � �� 3. �� 2

3. �� y = 4 x + 5 x � �� y = −3 x + 2 ��

4. �� .

f ( x )

=

�.

f ( x )

=

3x

7

4 cos 3 x

�.

f ( x )

=

�.

f ( x )

=

x

2

+1

x x + 2

�� ) 126 x 5 � �) 2 x 3 � �) e x

x − 1 2

2

⋅ (16 x + 8) �

33

�)

− 36

�.

f ( x)

=

�.

f ( x )

=

x 4e

2

1 x

2

+3

3 cos (3x ) � �) 6 ( x + 1) � �) (6 x

2

−

6) ( x2

+

3) 3

�. �� . �.

f ( x ) = x 2 f ( x )

+ 3x +

= −2 x

2

+

�.

2

4x − 1

�.

f ( x ) =

x + 1

f ( x )

�.

x − 2

f ( x ) = 4 + 3 x − x

3

= x

f ( x ) =

�.

3

−

6 x 2

x 2

+3

x 2

−

+ 9x +

4

4

�� ) �(�� )� �) �� ) �(�� )� �(�� ) �) �(�� )� �) �(�� )� �(�� )� �) �(�� )

�. �� .

lim

x → ∞

8 x 4 x

4

2

− x + 5

�.

=

2

2

− x + x +

�.

lim

x → ∞

3

+8 2

�.

=

2 x 2

x → −1

lim

x →0

− 2 x + 3 x − 1

=

−2

sen x

=

x

��

��

�.

+ 5 x + 7

��

��

4 x 3 − x 2

lim

2 x 3

x 2 − 1 lim = x →1 x − 1

lim

�.

x →0

x

−1

2

− 2 x

e

3 x

=

��

�� 2

�. �� f ( x) = ax + bx + 2 , �� (1,�3) ��

�.

2

�� f ( x) = ax + bx + c , �� (0,4) � �� (�1,�2) ��

�. ��

�.

− 4 x − 4 si x ≤ −2 f ( x) 2 si x > −2  x

 x 3 + 2 si x ≤ −1 f ( x ) 2  x − 2 x − 2 si x > −1

c.

��

b.

 x 2 + 1  f ( x ) 2 x + 1 4 x − 3 

��

si x < 2 d.

si x = 2 si x > 2

 x 3 − 1 f ( x ) 2  x + 1

si x ≤ 2 si x > 2

��

��

10. ��

�.

ax + b si x < 1 f ( x)  2 si x ≥ 1  x

��

�.

 x 3 − 1 f ( x) ax + b

si x

<1

si x ≥ 1

34

TEMA 8 - DERIVADAS

HOJA 2

��

( x

��

y

��

y = 3 x

��

��

��

��

=

x

+

1

��

y = (3x + 2) 7

��

y

x ��

tan x

x

=

��

2

=

e

(1 + 4 x )3 ⋅ (1 + 2 x 2 )

y

=

��

y

=

y

e2

=

��

y

=

cos 2 x

y = (x

2

+

2)·e

x

3

3x 2

x + 3 x + 2 −e

y

=

��

y

=

��

y = Ln 

��

��

y = Ln3 x

4 x +5

��

y = Ln

(cos x )

2 2

��

 x 3 + 1   y = sen  x  

⋅e

3 x+2

��

y

 e x   x  1 + e  

��

y

=

��

y

=

��

y

=

cos( Ln ( x 3

+ 1))

��

y = Ln(sen(2 x

��

y

=

tag (cos 2 x + 3)

��

y

1 + senx x + cos x

2 x

=

5

2

+

4))

cos x 3 ⋅ Ln x 2

1. H�� y

tan x

2

sen x

2 ⋅ cos 2 x  1 + x 2   2  1 − x   1

4

=

−9

x2 + 4

2

sen x

y

=

��

x

1 − x

=

y

3

+

4

1 + x

y =

y

+ 1)

2

= − x + 3 x + −3

2

��

y

=

( sen 5 x ) 3

��

y

=

sen(3 x 2

��

y

=

cos( sen( x ))

��

y = x ⋅ Ln x

+5

)

3

�� x

=

3 �� 3� + 6

2

2. C�� y

= x − 4 x + 1

� �� 2. �� 2� � 8

3. C�� y

=

2 x 3 − 2 x 2 + x + 1 � ��

�� 3. �� 3� �1� � � 3� + 37/27

4. C�� : �.

f ( x ) = 4 x

5

�.

f ( x ) =

x 2 x

2

�.

f ( x ) = 3 sen 3 x

+1

(

�� ) f ' ' ( x ) = 80 x 3 � �) f ' '( x ) = − 6 x 2 x 2

35

1) � �) f ' '( x ) 4

+

= −27

sen (3 x )

5. C�� : �. �.

f ( x) = x 2 + 6 x + 2 f ( x) =

�.

x + 1

�.

x − 4

f ( x ) = −2 x 2 f ( x ) =

x

2

+

4x + 2

+1

x

�.

f ( x) = x 3 − x 2

�.

f ( x ) = −3 x 3

−

2x + 2

+ 3x

�� ) �(3, �7)� �) � (1, 4)� �) �(�1, 3), �(1, 0) �) �� ) �(�1, �2)� �(1, 2)� �) �(1, 1), �(�1, �1)

6. R�� L�H�� .

lim

x

2

+ 3 x − 10

�.

=

x − 2

x → 2

x →1

�� 7

�.

lim

x →∞

x

x

2

x

− x

=

−1

�� 0

2

��

=

lim

x → 0

Ln x

1 − cos x

(e

x

)

−1

2

=

�� 1/6

�� ∞

7.

lim

Ln e

H�� (�) = �� + �� + �, �� (1,1) �� 3 � � � 3

8. H�� 3, �� (0, 1) � �� (1, �1). �

�

�� (�) � � � 3� + 1

9. H�� 2� �� P(0, 1) � �� (�) �� Q(2, �1) �� 0. �

�� (�) � 1/2� � 2� + 1

10. E�� :

− x 2

�. f ( x)



1

+1

si x < 0

��

si x ≥ 0

��

− 5 x 2 + 5 x �. f ( x)  − 5 x + 5

− x 3 f ( x ) − x 2

si x ≤ −2 +1

si x > −2

��

 x 2 + x + 1 si x ≤ −1 �. f ( x )  si x > −1 − 2 x − 1

si x < 1 si x ≥ 1

��

��

11. C�� :

ax 2 + 2bx + 2 si x < 1 �. f ( x )  a si x ≥ 1 + bx   x

3ax 2 + 2bx �. f ( x)  (a + 1) x + b

�� 2/3 � �� 2

si x ≤ 2 si x > 2

�� 1/13 � ��12/13 36

TEMA 9 - REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

��

f ( x ) = x 2

+

x +1

��

f ( x ) = x 3

��

f ( x ) = x 4

−

2x 2

��

f ( x) = x + 1

��

f ( x ) =

��

f ( x ) = x 2

��

��

��

��

f ( x ) =

f ( x )

− x

f ( x ) =

+

4x + 1

x

��

1 + x 2

2

=

f ( x ) =

2

2

−1

x 2

−1

x 2

+1

2

−1

x

x

��

f ( x ) =

��

f ( x ) =

��

x

37

f ( x ) =

f ( x ) =

− 3x

2x − 1

+

x 2 x + 1 x 2 2 ( x − 1)

x

4 − x 2

− x

x 2

2

−

4

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

38

TEMA 10 - COMBINATORIA

HOJA 1

1. �C�� ? �� 210 ��

2. �� . �C�� ? �� 216 ��

3. R�� : �.

V x , 4

=

20 ⋅ V x , 2

�� 7

�.

V x ,5

=

6 ⋅ V x ,3

�� 6

�.

P x

42 ⋅ p x − 2

�� 7

=

4. �C�� ? D�� . �� 20 ��

5. �C�� ? D�� . �� 25 ��

6. �D� �� , �� 12 �� ? �� 1.320 ��

7. �C�� 2, 4, 6, 8 �� ?�C�� 64?�C�� 500? �� 24 ��. �� 64. 12 �� 500

8. �D� �� 10 �� ? �� 80.640

9. C�� , �, �, � � �. �Q�� ?�C�� 50? �� 120 ��. �� 37. �� 50 ��

10. P�� 111 223 �� ? �� 60 ��

11. A �� 30 ��. �� . �C�� ? �� 593.775 ��

12. �C�� 8 �� 40 ��? �� 76.904.685 �� 39


HOJA 2

1. �D� �� 6 �� ? �� 720

2. �C�� 5 �� , �� , �� C�ADERNO? �� 6.720

3. �C�� , �� , �� C�ADERNO? �� 40.320

4. �C�� MA�EMA�ICA? �� 151.200

5. E� �� 25 �� 3 ��. �C�� ? �� 2.300

6. �C�� 6 ��, �� 3 ��? �� 20

7. �� 10 ��, �� 7 �� . �D� �� ? �� 120

8. �C�� 4 �� 1 �� 9? �� 3.024

9. �D� �� 5 �� ? �� 120

10. C�� 14 �� . �� 4.782.969

11. �D� �� ? �� 9.880

12. C�� 0, 1, 2, 3 � 4, �� ? �� 96

13. D�� C = �1; 2; 3; 4; 5; 6�, �� 5 �� ? �C�� ? �� 720 � 360 40


HOJA 3

1. �C�� 5 �� 3 �� 2 �� M��? �� 10 ��

2. �D� �� AMA�A�? �� 60

3. H�� 5 �� 4 �� . �D� �� ? �� 2880

4. �� 7 �� 3 �� , � �� 3 �� ; �� , �� . �� 210

5. �� 7 �� 10 �� . �D� �� ? �� 4 �� ? �� 120 � 20 ��.

6. E� �� , �� . �� 25 ��, �� ? �� 625.000

7. �C�� 0, 2, 2, 3, 3, 3, 4? �� 360

8. �D� �� 7 �� ? �� 720

9. �C�� ? �� 504

10. �C�� 7 �� , �� ? �� 35

11. C�� E�ROPA, �� ? �C�� ? �� ) 48� �) 288

12. �� , �� ? �� 216

41

TEMA 11 - 12 - PROBABILIDAD

HOJA 1

1. �� : A = {2,5,6}; B = {1,3,4,5}; C = {4,5,6} . C��: �. A ∪ B

�. A ∪ ( B ∩ C )

�.

A ∩ B

�.

A ∩ ( B ∪ C )

�. A ∩ C

�. A ∪ B

�. A ∪ B

�.

A ∩ ( B ∩ C )

�. B ∪ C

�.

�.

( A ∩ B ) ∩ C

A ∩ B

�.

A ∪ ( B ∩ C )

2. �� . �Q�� ? �.

Q�� .

�. Q�� . �.

Q�� .

�. Q�� . �� ) 1/40� �) 1/4 � 3/10� �) 1/4 � 3/4� �) 3/10 � 7/10

3. �� . H�� : �. O�� . �. O�� . �.

O�� . �� ) 1/4� �) 1/4� �) 3/4

4. �� . D�� . �� 1/2

5. �� . �� : �. L� �� . �. L� �� . �� ) 1/21, 2/21,�6/21� �) 12/21

6. �� . �� : �. L� �� . �. L� �� 3. �� ) 60/147,�� ) 30/147

7. A �� 100 ��. D� ��, 80 �� 40 �� . �C�� ? �� 75/99

8. E� �� 10 �� , �� . H�� . �� 0,2

9. L�� . C�� : A = �� B = �� . C�� A � B. �� 2/3 � 1/3 42


HOJA 2

1. �� A � B �� p ( A) = 1 / 2 , p ( B ) = 1 / 3 �

p ( A ∩ B ) = 1 / 4 . H�� p ( A / B ) � p ( B / A) . �� ) 3/4� �) 1/2

2. C�� A � B �� p ( A) = 3 / 8 , p ( B ) = 5 / 8 �

p ( A ∪ B ) = 3 / 4 . H�� p ( A / B ) � p ( B / A) . �� )2/5� �) 2/3

3. �� A � B �� , �� p ( A) = 0,6 � p ( B ) = 0,3 . H�� A � B. �� 0,18

4. E� �� L�� P�� 1� �� B�� . E� �� , �� 90% �� . E� 30% �� 40%. E�� , �� ? �� 0,69 (69%)

5. D� �� 48 �� . C�� : �. L�� . �. A� �� . �. �� . �� ) 0,059� �) 0,441, �) 0,128

6. �� , � �� . �� . �C�� ? �� ? �� ) 0,48� �) 0,52

7. A�� , �� 15 �� 25 �� . E�� . H�� . �� 0,85

8. E� �� , A � B, �� , � �� , ��. �� , � �� . �C�� A, �� ? �� 8/11

9. �� 5 �� 8 ��. �� . A ��, �� . �� : �. P�� . �. P�� . �� ) 0,58� �) 0,41 43


HOJA 3

1. �� 40 ��. C�� : �) Q�� , �) Q�� , �) �� . �� ) 0,048� �) 0,28� �) 0,41

2. C�� . L�� , � �� , �� . C�� . �� 1/3

3. E� �� 5 �� 3 �� . �� . �� . C�� . �� 0,59

4. E� �� 10 �� 3 ��. �� , � �� , �� . C�� . �� 1/6

5. �� : �� 50 �� 50 �� . E� �� : �� , � �� 49 �� 50 ��. �C�� ? �� ? �� ) 74/99 �) ��

6. �� . E� �� . L� �� 1/3. P�� . C�� . �� 26/27

7. L� �� 1/3. H�� . �� 19/27

8. D�� : �� ; � �� 4 �� 6 ��. �� (�� ), �� , �� . E� �� , �� . H�� : �) Q�� , �) O�� , �) �� , �� . �� ) 7/15� �) 23/30� �) 0

44

Cuadernillo de Ejercicios de Matematica de 1 Bachillerato

Recommend Documents