I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Observación:
- Si la razón es constante en la sucesión arit aritmé méti tica ca,, se trat trata a de una una Prog Progre resi sión ón Aritmética. I. SUCESIONES - Toda sucesión aritmética o polinomial tiene por ley de formación un polinomio de grado 1. CONCEPTO “n”, pudiendo ser lineal, lineal, cuadrática, cuadrática, cúbica, Una sucesión es un conjunto ordenado de etc. elementos (números, letras o gráficos) cuyos términos obedecen a una “Ley de formación”. - Sucesión Lineal (o de primer Orden) Las sucesiones se clasifican en:
t1,
Numérica
tn = an2 + bn + c Donde: a, b y c son valores constante, y n ∈ .
t2, +r
t3, +r
t4, . . . t n
SUCESIÓN
t1, m
t2, n
t3, o
t4, p
r
r
t5, . . . q
→ 1° nivel
→ 2° Nivel r (razón constante)
r
tn = tn – 1 + r = t 1 + (n – 1) r
2a = r → a =
De donde se cumple la siguiente relación :
Solución:
1,
5, +4
9, +4
13, +4
17, x → x=17+4=21 +4 +4
Utilizando la formula tenemos: t n = 6 + (n – 1)5 = 6 + 5n – 5
t n = 5n + 1
60,
x
2
c = t0 t0 = término anterior al primero Halla el término general (t n) de la sucesión: 4, 9, 18, 31, 48, ... Solución :
3,
4, 1
9,
18,
9
13
5 4
4
4
x5
x4
x3
x = 60 x 2 = 120
x2
Observación: Observación: Si la razón razón es consta constante nte en la sucesi sucesión ón geom geomét étri rica ca,, se deno denomi mina na Prog Progre resi sión ón Geométrica.
Es aquella sucesión cuyos recíprocos; recíprocos; es decir, los inversos de sus términos forman una Progresión Aritmética.
r
a+b =m → b=m–a
tn = t1 + (n – 1) r
2.1. SUCESIONES NUMÈRICAS Son sucesiones formadas exclusivamente por Donde: números cuyos elementos guardan entre si t1 =primer término. una determinada determinada relación llamada “ley de tn = término enésimo, general o último formación” término. Se pueden clasificar así: n = número de términos. r = razón constante. a) SUCESIÒN ARITMÈTICA O POLINOMIAL Es aquella sucesión ordenada de cantidades Dada la sucesi sucesión ón lineal lineal,, halla halla el térmi término no en la que la difere diferenci ncia a de dos términos términos Dada enésimo. consecutivos es una razón. 6, 11, 16, 21, . . . ¿Qué ¿Qué núme número ro cont contin inúa úa en la sigu siguie ient nte e Solución: sucesión: 6 , 11 , 16 , 21,. . , t n 1,5, 9, 13, 17, . . . ? razón → +5 +5 +5
20,
c) SUCESIÓN ARMÓNICA
De donde se cumple que:
Alfanumérica Grafica
5,
→
t0
+r
t2 = t1 + r t3 = t2 + r = t 1 + 2r t4 = t3 + r = t 1 + 3r
Halla “x” en: 1, 5, 20, 60, x 1,
Donde: Alfabética
b) SUCESIÓN GEOMÉTRICA Es una sucesión ordenada de cantidades en la cual el primer primer término término y la razón son difere diferente ntess de cero; cero; y el cocien cociente te de dos térm términ inos os cons consec ecut utiv ivos os es una una razó razón n constante.
Solución:
Regla Práctica Sea la sucesión:
Notación:
2. CLASIFICACIÓN CLASIFICACIÓN
- Sucesi Sucesión ón Cuadrá Cuadrátic ticaa (o de Segund Segundo o Orden) En toda toda sucesi sucesión ón cuadrá cuadrátic tica, a, el térmi término no enésimo tiene la forma:
31,
48, ... , tn
17 4
→
→
1 1 1 1 , , , , .... Halla la 3 5 7 9
fórmula general del término enésimo. Solución:
1 1 1 1 , , , , ..., t n 3 5 7 9
De los denominadores se tiene: 3,5, 7, 9, ....., 2n + 1
1° Nivel
2° Nivel
Del segundo nivel : 2a = 4 → a = 2 Del primer nivel: a+b =1 →b =1 - a = 1–2 = -1 De la sucesión : c = t0 → c = 3 Por fórmula general: tn = an2 + bn + c
→ tn = 2n2 – n + 3
Sea la sucesión
→
t n =
1 2n + 1
d) SUCESIONES COMBINADAS Es aquella sucesión en la cual se combinan operaciones para hallar el término siguiente. Halla el número que continúa en la siguiente sucesión : 4,5, 10, 12, 24, 27, x Solución:
4,
5,
10,
12,
24,
27, x
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” +1
x2
+2
x2
+3 x2
→ x = 27 x 2 = 54 2.2. SUCESIONES ALFABÉTICAS O LITERALES Son sucesiones cuyos términos son letras que guardan una determinada ley de formación, basada generalmente en el número de orden que corresponde a cada letra en la sucesión fundamental del alfabeto, tal como se indica en el siguiente cuadro:
A = 1 B=2 C=3 D=4 E=5 F=6 G=7 H=8 I =9
J = 10 K = 11 L = 12 M = 13 N = 14 Ñ = 15 O = 16 P = 17 Q = 18
R = 19 S = 20 T = 21 U = 22 V = 23 W= 24 X = 25 Y = 26 Z = 27
¿Qué letra sigue en la sucesión A,D,G,J, . . .? Solución:
Reemplazando cada letra con el número de orden que le hemos asignado. Así: A, D, G, J, . . . 1 4 7 10 Luego, tenemos la sucesión numérica: 1,
4, +3
7, +3
10, . . .
+3
Entonces el número que sigue es: 10 + 3 = 13 → La letra que le corresponde es : M (ver tabla) ¿Cuál es el término que sigue a la sucesión: OQ, MS, JU, . . .? Solución :
Se observa que hay dos sucesiones: La primera sucesión: O, M,
J, . . .
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO (I) → 16 (II) →
D, 3, G, 5, J, 15, M, 17, O, 51, R, . . .?
13 10 -3
-3
En (II) el número que sigue es: -3 En (I) el número que sigue es: 10 – 3 = 7
Resolución : EF HI
20 22 +2
+2
+2
2.3. SUCESIÓN ALFANUMÉRICAS Es una sucesión formadas por una sucesión numérica y otra alfabética, cuyas relaciones de formación se pueden dar de diferentes formas. Halla los dos términos que siguen en la siguiente sucesión: A, 1, C, 2, F, 3, J, 4, ? , ? Solución : A, 1,
x3
;
*
+1
+1
?
+1
En la sucesión alfabética, los términos se saltean y van aumentando de 1 en 1. Entonces la letra que sigue es : Ñ. En la sucesión numérica, los términos van aumentando de uno en uno. Entonces, el número que sigue es : 5. Luego , los dos términos que siguen son : Ñ, 5. ¿Qué número sigue:
NIVEL I 1).- ¿Qué número continúa? 5;10;40;320;x
+2
*
;
*
a)5810 d) 5120
b)5310 e) 5060
c) 5080
2).- Halla “x” 9;28;65;126;x a) 208 d)203
b) 214 e) 217
c) 216
3).- ¿Qué número continúa? 2; 4; 8; 20; 68; ... a)68 d)42
b)64 e)48
c)40
4).- ¿Qué número falta? a)
b)
*
c)
*
a)2046 d)2640
* d)
1; 2; 18; 146; 658; 1682; ...
*
e)
*
GHI KLMN
C, 2, F, 3, J, 4, ?, +1
+2
En la siguiente secuencia, ¿qué figura continúa?
Luego el término que sigue es GW .
DE
x3
2.4. SUCESIONES GRÁFICAS Son aquellas cuyos términos son gráficos
En (I), el número que sigue es: 22 + 2 = 24 → La letra que le corresponde es: W (ver tabla)
B
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 01
PQ
En la sucesión alfabética, los términos se saltean de dos en dos. En la sucesión numérica , el término que sigue es : 51 + 2= 53.
La segunda sucesión: Q, S, U
(II) →
NÑ
D, 3, G, 5, J, 15, M, 17, O, 51, R, ….
→ La letra que le corresponde es: G (ver tabla)
(I ) → 18
KL
Resolución : - Se observa que la parte sombreada gira de 2 en 2 posiciones en sentido horario. - El cuadrado gira de 2 en 2 posiciones en sentido antihorario. - El “ ∗” gira de 3 en 3 posiciones en sentido horario, luego continúa.
c)2706
5).- ¿Qué número sigue en la secuencia? 4; 11; 17; 22; 26; 29;... a) 31 d) 28
b) 27 e)29
c) 30
6).- Calcula los dos números siguientes en: 6; 8; 10; 11; 14; 14; x; y Da “x + y” a)35 d) 43
*
b)2018 e)1910
7).- Calcula “x”
b) 41 e) 101
c) 44
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
8;11;15;20;x a) 24 d) 27
1; 2; 10; 37; x
b) 25 e) 23
c) 26
8).- Calcula “x + y” 14; 1; 15; 1; 16; 2; 17; x ; y a) 42 d) 40
b) 41 e) 24 ó 26
c) 43
b) 58 e) 56
11; 18; 33; 57; 92; 141; 208; 298; . . . a) 307 b) 467 c) 327 d) 609 e) 417 7).- Halla el número que sigue:
9).- Indica el valor de “x” 9; 8; 16; 15; 30; 29;x a) 50 d) 51
a) 51 b) 52 c) 118 d) 81 e) 101 6).- ¿Qué número sigue en la sucesión:
1;1; 1; 2; 4; 8; 3; 9; 27; 4; 16; . . . c) 64
a) 32
b) 35 e) 29
c) 38
1).- ¿Qué letra continúa en la siguiente sucesión? U; O; K; G; D; ... b) B e) N.A.
c) C
2).- Halla la letra que falta en: E ; G ; J ; N ; .... a) O b) P d) R e) S
b) J e) L
b) Y e) J
a) –16x-7 c) 10x-7
b) 16x+10 d) 16x-5
e) N.A.
a) 24 b) 23
c) 22
d) 25
e) 26
12; 18; 15; 14; 18; 10; 21; . . . a) 63 b) 16
c) 42
d) 48
c) I
c) Z
5).- Calcula “x” en la siguiente sucesión:
b) 540 e) 120
c) 900
2).- ¿Cuál es el número que sigue en la sucesión: 1; 17; 81; 337; . .
c) 1141
2; 5; (?); 17; 26 a) 7
b) 158 y 160 d) 159 y 161
b) 12
c) 10
d) 8
e) 14
10).- El número que falta en la sucesión es : 20; 21; 18; (?); 16; 25 a) 26 d) 22
b) 25 e) 29
c) 23
4).- ¿Qué número sigue en la sucesión : 8; 18; 39; 73; 123; 193; . . . b) 308 e) 1088
c) 208
5).- El número que sigue en: 6; 30; 28; 196; 193; 1737; . . . a) 3474 d) 2133
b) 1938 e) 4347
c) 1733
6).- Calcula la suma de los dos números siguientes de la sucesión: 26; 40; 60; 87; .?. ; .?. a) 122 d) 288
b) 132 e) 248
c) 166
7).- Calcula (x +y) en la sucesión : -10; -9; y; -4; 0; x; 11 a) 5
1).- ¿Qué número sigue en 5; 15; 30; 90; 180; . . . a) 360 d) 420
a) 61 y 53 c) 71 y 83 e) 84 y 86
e) 24
NIVEL III
b) 999 e) 1361
3).- Los números que siguen en la sucesión 1; 3; 5; 15; 17; 51; 53; ( ); ( );
a) 288 d) 428
9).- Juan observa grupos de hormigas y nota que el 1ro tiene 3 hormigas, el 2do 7, el 3ro 13, el 4to 21, y así sucesivamente hasta el último grupo que tiene 601 hormigas. ¿Cuántos grupos hay en total?
c) Q
4).- ¿Qué letra continúa en: E; H; L; P; ...? a) V d) R
e) 52
10).- Calcula el mínimo común múltiplo de 8 y del número que sigue la sucesión:
3).- ¿Qué letra continúa en: A; C; E; G; ... ? a) H d) K
d) 64
x+3; -2x+1; 4x-1; -8x-3; . . . es :
NIVEL II
a) A d) E
c) 0
8).- El término que continúa en :
10).- Halla el valor de “n” en : 5; 10; 17; 26;n a)37 d) 39
b) 5
a) 975 d) 1289
b) 7
c) 12
d) –2
e) -12
8).- En la sucesión: 18; 21; 84; 88; 352; 357; P; Q Calcula P + 2Q siendo P y Q los números que continúan respectivamente. a) 3575 d) 4296
b) 5365 e) 4288
c) 6675
9).- Indica el término que corresponde al espacio marcado con el signo (?):
CLAVES DE RESPUESTAS 1) c 2) c
3) b
4) c
5) a
6) b 7) e
8) d
9) c
10) c
11) c 12) a
13) d
14) c
15) b
16) b 17) e
18) c
19) c
20) d
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO S=1+
1 2
+
1 4
+
1+3+5+7+...+(2x-11)=1600
1 1 + +... 8 16
a) 36 d) 45
Solución
PROBLEMAS RESUELTOS II.
SERIES
1.
1.- CONCEPTO Es la suma de los términos de una sucesión. Al resultado de efectuar la serie se llama valor de la serie.
∗2 + 4+ 6 +8
Calcula : S = 32+42+52+…+102
Completando la suma
SERIES NOTABLES 1.
Suma de los “n” primeros números consecutivos. Sn=1+2+3+4+...+n
n=10
2.
+n2 3.
Suma de los cuadrados de los “n” primeros consecutivos. Sn2=12+22+32+42+...
Suma de los cubos de los “n” primeros consecutivos. Sn3=13+23+33+43+...
Valor
S=
FÓRMULA Sn=
n(n + 1)
Suma de los primeros impares. Si = 1+3+5+7+...+2n-1 ó Si =1+3+5+7+...+A
Suma de los “n” pares. Sp=2+4+6+8+...+2n 5. Suma de los productos consecutivos. Spc=1.2+2.3+3.4+...
Calcula :
S=0,1+0,3+0,5+...
+8,7
Sn2=
n(n + 1)(2n + 1
Multiplicando por 10 a ambos lados 10S = 1+3+5+...+87
6
10S= [
Sn3=[
n(n + 1) 2
]2
Si=n2 2 A + 1 2
Si=
4.
+n(n+1)
2.
⇒ S=380
Solución
+n3 4.
S=1+
10S=(44)2 3.
n(n
+ 1)(n + 2)
⇒ S=193,6
2
(2x − 5) +1 2 =18 , simplificando 2 ( 2 x − 5 ) +1 2 2x-4=36
=18
⇒ 2X=40 x = 20
3
4.
Completando la suma S=12+22+32+42+52+...+102-(12+22)
10(10 +1)(2.10 +1)
S=385-5
6
-(5)
⇒ S=380
Halla “S”
b) 1350 e) 1243
c) 1496
3).- Halla ”x”
c)2456
b) 450 e) 455
c) 44,1
7).- Halla: S=10+17+36+73+...+1340 b) 4353 e) 4352
c) 4454
8).-Halla m+n 1+2+3+...+m=210 1+3+5+...+n=400 b)48 e)59
c)49
9).- Calcula: S=0.1+0.3+0.5+0.7+...+9.9 a) 250 d) 240
b) 260 e) 275
c) 350
10).-Calcula:
2).- Calcula : P = 4+8+12+...+60 a) 430 d) 470
b) 43,2 e) 43,3
a)60 d)54
1).- Calcula : S = 1+4+9+...+256 a) 1450 d) 1245
a) 44,0 d) 40,2
a) 4450 d) 4455
n=10
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02
Aplicando la fórmula de los impares:
b)2500 e)2346
S = 0,001+0,008+0,027+...+8
Solución
S=
c) 350
6).- Calcula:
⇒ S=2
Halla “x” 1+3+5+7+…+(2x-5)=324
Solución
Sp=n(n+1) Spc=
87 +1 2 ] 2
a)2400 d)2436
Calcula : S=32+42+52+…+102
5.
b) 374 e) 360
5).- Calcula : S = 17+19+21+...+99
1 S S ⇒ S=1 2 2
S =1 2
c) 40
4).- Calcula : S = 14+15+16+...+30 a) 347 d) 355
S
10(10 +1)(2.10 +1) -(5) 6
S = 385-5
2
término:
S = 12+22+32+42+52+...+102- (12+22)
= 20
1 a partir del segundo 2
1 1 1 1 S=1+ (1+ + + +...) 2 2 4 8
Solución
↓
Serie
Factorizando
b) 38 e) 48
S=0.01+0.04+0.09+...+9 c) 480
a) 93.43 d) 87.41 11).- Efectúa :
b) 94.55 e)84.51
c) 97.61
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” E= (1 + 3 + 5 + ... + 19)(1 + 4 + 9 + 144)63 (3 + 6 + 9 + 12 + ... + 60)65
a) 10 d) 100
b) 400 e) 150
c) 420
b)2915 e) 2490
c) 2810
14).- Halla (x+y)en: 1+2+3+...+x=1275 1+3+5+...+y=1225 b) 121 e) 119
c) 124
15).- Calcula: 1 1 1 1 S= + + + +... 2 4 8 16 a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e)
16).- Calcula: 1 1 1 S= + + +... 3 12 48 7 4 a) b) 2 6 2 4 d) e) 7 9
5
5 8
17).- Calcula: +...
S=
2
+
1 10
+
e)
a) 4025 d) 3075
1 50
5
a) 360 d) 391
17
30 términos b) 295,45 e) 467,65
S=
c) 4078
c) 299
a) 3160 d) 3170
b) 3910 e) 3710
250
a) 300 d)361
2
3 b) 325 e) 276
a)4 π m2 b)4 π /3m2 c)2 π /3m2 d)3 π /2m2 e)16 π /5m2
1m
26).- Suma : S=1.15+2.14+3.13+...+15.1 a)415 d) 529
b) 218 e) 680
c) 469,65
b)52130 e)N.A
4 c) 351
...
a) 2 /5 d)1
S=
51
+
52
+
3 5
4
+
54
+
5 16
d)
23
2) c
3) d
4) b
5) d
6) c
7) --
8) e
9) a
10)b
11)d
12)a
13)e
14)a
15)a
16)e
17)d
18)b
19)b
20)d
21)c
22)b
23)b
24)e
25)b
26)e
27)c
28)c
29)c
30)c
III.
SUMATORIAS
c) 216
Es la forma abreviada de expresar una serie (síntesis).
2.- NOTACIÓN n
∑K =1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n Desarrollo de sumatoria K=1
c) 2(2 -1) 10
5 5
5
7 17
1.- NOTACIÓN
30).- Hallar la suma: 3
c)
K= 1
10
2
5
1) c
c)53130
b) 2 -1 e) N.A.
10
16
CLAVES DE RESPUESTAS
c) 724
28).- Calcular el valor de la siguiente serie: S=1.2.3.+2.3.4+3.4.5+...+20.21.22 a)51130 d)54321
b) 8
25).-Hallar la suma de las áreas de los infinitos círculos que se forman, tomando como radio la mitad del radio anterior (se considera también el círculo mayor).
1
23).- Hallar la suma: S=17+18+19+...+30
16 51
e)
29).- Calcular el valor de M: M=2+22+23+24+25+...+210
1
a)
c) 3810
27).-Halla :R.x si: 1+2+3+...+R = xxx a) 35 b) 37 d)38 e) 108
22).- Hallar el número de canicas que se observarán en la figura 25.
3 5
b) 329 e)282
24).- Calcular el valor de: M=1.5+2.6+3.7+...+20.24
21).- Hallar la suma total de: E = 1,01 + 2,02 + 3,03 + 4,04 + ...
1 2
+
c)
10
b) 3425 e) 5220
a) 455,95 d) 326,45 c)
4 7 7
18).Halla: 1 1 21 1 1 1 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 420 10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
1 1
b)
9
19).- Ronald recoge naranjas de la siguiente manera: el 1 er día 2 naranjas, el 2 do 6, el 3 ro 12 y así sucesivamente hasta el último en que recogió 110 naranjas. ¿Cuántas naranjas recogió en total? a) 420 b) 440 c) 380 d) 520 e) 580 er 20).- Un almacén recibe: el 1 día 6 cajas, el 2do 13, el 3 ro 32, el 4to 69 y así sucesivamente hasta el último en que recibe 1005 cajas. ¿Cuántas cajas llegó a almacenar?.
1(99)+2(98)+3(97)+...+A(A)=84575 a) 49 b) 51 c) 52 d) 48 e) 50
a) 118 d) 123
a) d)
12).- Calcula: S=10(11)+11(12)+12(13)+...+20(21) a)2750 d) 2570 13).- Halla “A”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
+...
: límite inferior
n
: límite superior
K
: término general
∑
: símbolo de sumatoria (sigma) Donde K = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... ; n
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 10
Valores Consecutivos Se Lee: Sumatoria de todos los números de la forma K, donde K toma valores desde 1 hasta n. Ejemplo
10
10
10
i =1
i=1
i =1
∑(3i −1) = ∑3i - ∑1
∑2a =2(1)+2(2)+2(3)+...+(2(20)
10
7
=3
∑3 = 3+3+3+3+3+3
∑i -(10-1+1)1 i= 1
x =2
6 veces
10(10 +1) -10 2
=3
3.- PROPIEDADES
3.2.- Sumatoria con término numérico o constante:
∑
x=
x =1
x =1
∑2( x +2)x = ∑( 2 x
q
C = #términos.C=(q-
5
5
5
x =1
x =1
∑(2x 2 + 4 x ) =2 ∑( x 2 ) + 4
3.3.- Sumatoria de un término general con coeficiente:
∑C.a x = C.
∑( x )
n
∑(ax =
n
2
+ bx − c ) =
∑ax + =
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcula :
x =1
∑ 2x 2 x =1
=1300
n(n + 1)( 2n +1) =1300 2 6
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 03
= 170
∑
x
x =1
8a 2
a =1
a) 404 d) 490
b) 330 e) 512
c) 440
6
∑
5x 3
a) 92480 d) 92120
b) 92840 e) 96043
7).- Halla “n” :
∑2x = 342
c) 2205
n
x =1
a) 24 d) 18
b) 21 e) 19
c) 20
n
8).- Halla “n” :
∑
x 2 = 91
x =1
a) 6 d) 8
b) 7 e) N.A
c) 5
a
30
1).- Calcula :
∑
x =1
n(n+1)(2n+1)= 12x13x25 n = 12
=2(55)+4(15)
c) 418 5
5).- Halla el valor de :
6).- Halla :
= 110 n
b) 513 e) 360
x =1
15(15 +1) 4( 4 +1) = 2 2 =120-10
n(n+1)(2n+1) = 6x650
5(5 +1) 2
3x
4
∑x - ∑x
x =1
5(5 +1)( 2.5 +1) =2 +4 6
∑
a) 518 d) 712 15
5. Halla “n” :
c) 52921
15
Solución:
3.4.- Sumatoria de un término compuesto:
b) 2331 e) 4356
x =1
=
5
n
x =1
∑x
Aplicando la sumatoria del término compuesto
x3
a) 51336 d) 51925
15
+ 4x)
c) 1495
∑
4).- Calcula :
x =5
2
b) 1785 e) 6685 11
3).- Halla :
n(n+1)=110=10.11 n = 10
general 5
i2
a) 1425 d) 1895
Simplificando se tiene: n(n +1) = 55 2
∑x
Solución: Multiplicando el término general
=
n(n +1) 2 2 2 = 55
15
x =1
∑x ⇒#términos=q-p+1
∑ i=1
Solución:
∑2( x +2)x
c) 843
17
x =5
5
2. Calcula :
q
b) 525 e) 465
2).- Calcula :
Solución:
4. Calcula:
= 155
3.1.-Número de términos de una sumatoria:
a) 460 d) 715
x =1
i =1
a =1
*
∑x3 = 3025
3. Halla “n” :
Solución: Aplicando la sumatoria de un término compuesto
20
*
n
∑(3i −1)
9).- Halla “a” :
∑
i3
i =1
= 225
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” a) 6 d) 8
b) 5 e) 20
c) 8
∑(x
c) 2640
b) 10 e) N.A. 30
k =2
b) 380 e) N.A.
c) 3210
12).- Halla el valor de
19).- Calcula :
∑x( x + 5 )
x =3
b) 900 e) 650
c) 640
∑
(3 x +1)
a) 60 d) 75
b) 175 e) 159
14).- Halla :
c) 185
a) 120 d) 240
b) 124 e) 130
c) 240
x =1
c) 29
∑
1 2 + x 49 x =1
∑
c) 149
3
15).- Calcula :
∑ k =1
a) 40 d) 18
b) 48 e) 20
c) 22
16).- Calcula la suma de todos los números de la forma (1 + 2k + k 2) donde: k=5, 6, 7, ….,12 a) 765 d) 760
b) 613 e) 764
c) 2921
Son operadores matemáticos definidos en tablas de doble entrada.
c) 15
Operador binario
a
27).- Halla “a” :
x y = xy - yx
∑
i3 = 14400
Forma del resultado
i =1
b) 15 e) 20 10
28).- Halla :
2da componente
c) 18
1ra componente
1 ( x ∑ 55 =
3
−
x 2
1 11
Expresado por medio de una tabla
x2 )
b) 26 e) 23
29).- Calcula :
c) 24
a d a r t n e e d a n m u l o ra C 1
(k ∑ =
2
+ 2k +1)
k 0
a) 600 d) 592
b) 506 e) 496
c) 531
18
30).-
b) 513 e) 716
c) 418
∑
c) 780
c) 24
1 3 x ∑55
x =1
a) 50 d) 45
b) 55 e) 70
valor
∑( 2 x + 2 y ) = n(n + 9 )
a) 8 d) 4
1 2 a 23).- Halla el valor de : 23 a =1
24).- Halla :
el
y =1 11
b) 42 e) 22
Halla
n
10
17).- Halla “S” si tiene 10 términos.
b) 17 e) 14
10
k =1
∑3x
a) 48 d) 23
OPERADORES
1.- CONCEPTO
2 =1240
x =1
3
b) 2331 e) 2366
a) 518 d) 712
30) d
BINARIOS
9
x =1
1 (8k −16) 8
∑x
a) 28 d) 20
∑x −∑k
22).- Calcula :
29) b
24
b) 139 e) 151 11
21).- Halla :
26).- Halla “n” :
a) 16 d) 21
1 2 i 20).- Calcula : 35 i =1
a) 1336 d) 1925
1 2 k 5
8
IV.
c) 20
1
b) 25 e) 30
x =1
∑ k =5
27
1
17
x =1
12
b) 21 e) 19
a) 16 d) 18
∑31 x +∑27 x
a) 142 d) 185
10
a) 165 d) 162
c) S.D.S.
x =1
10
13).- Halla :
x 1
28) c
n
x =2002
∑k(k +3)
a) 910 d) 710
2 x = 380 ∑ =
a) 24 d) 18
∑5
18).- Calcula : a) 5 d) 15
10
a) 560 d) 546
c) 520
25).- Halla “n” :
2004
b) 2610 e) 2530
11).- Calcula :
b) 460 e) N.A.
26) b 27) e
n
3 − x2 )
x =2
a) 2890 d) 2610
S = 1(5) + 2(6) + 3(7) + .... a) 480 d) 605
10
10).- Halla :
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
c) 60
b) 6 e) 5
c) 5
de
Fila de entrada
2da componente : y
c o Resultados ó m p elementos del o conjunto de n e llegada (cuerpo) Al conjunto de elementos que forman el 1er y n t 2do componente se llama : “Conjunto de e xy - yx partida” : x
Sea : A = {a, b, c} con su operador matemático(a) y su tabla respectiva : Fila de entrada
CLAVES DE RESPUESTAS 1) e 2) b
3) e
4) e
5) c
6) c 7) d
8) a
9) b
10) c
11) d 12) c
13) b
14) b
15) e
16) -- 17) e
18) --
19) d
20) d
21) c 22) e
23) b
24) b
25) e
∆ a b c Columna de entrada
a a b c
b b c a
c c a b
Cuerpo de tabla
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I.
2 3
32
Para operar de forma básica se realiza:
2
(Elemento de Columna)
3
1
• (Elemento de Fila)
∆
Ejemplo :
=
Intersección en la tabla.
II.
“x” en x 4 = 2
Si : m ∇ n = m + n Completar la siguiente tabla : 2
∇ 1 1 2 3 • • • • • • • • •
2
x=2
3
∇
Ejemplo Aplicativo 1. En el conjunto ; = {1;2;3;4} Se define :
Calcula :
III.
4 (2 1) = ...
IV.
En y m = 3
2 3 4 1 2
3 4 1 2 3
4 1 2 3 4
Halla V.
En general :
La operación es cerrada; todos los elementos del cuerpo pertenecen al conjunto de partida.
II).1
a a b c e
b b c d a
c c d a b
d d e b c
La adición en N es conmutativa
Si los elementos del conjunto de llegada (cuerpo) pertenecen al conjunto de partida, de lo contrario será abierta. I).a b c d a d a b c b a b c d c b c d a d c d a b
1 2
⊗ a b c d 2 )
∀ a, b M → a * b = b * a
Sea el conjunto :
•
3 2 3 1
Diagonal
El orden de los elementos en la operación binaria no altera el resultado.
2.- PROPIEDADES :
2 1 2 3
La operación es conmutativa, dado que lo que está sobre la diagonal es el reflejo de o que está debajo. (espejo)
2.2.- CONMUTATIVA
“x” en : x x = x x = .......
1 3 1 2
La adición en N, es cerrada.
N + N = N
2.1.- CERRADO (CLAUSURA)
Luego : Conjunto de partida : ........................ Conjunto de llegada : .........................
1 2 3 4
•
2
∆ 1 2 3 1)
∀ a, b ∈ M → a * b ∈ M
M = {a; b; c; c; d} El conjunto de partida con su operador “”
Colocar en la tabla :
1 2 3 4 1
4. Si al menos un elemento es diferente, entonces la operación no es conmutativa.
5 6
3 + 4 = 7
1∇ 1 = ............... = .............. 1∇ 2 = ............... = .............. 1∇ 3 = ............... = .............. 2∇ 1 = ............... = .............. 2∇ 2 = ............... = .............. 2∇ 3 = ............... = .............. 3∇ 1 = ............... = .............. 3∇ 2 = ............... = .............. 3∇ 3 = ............... = ..............
4 5
La operación es abierta; el cuerpo de la tabla contiene elementos que no pertenecen al conjunto de partida. En general :
4
3 4
2 3
3 4
4+3= 3+4
Diagonal
La operación no es conmutativa, porque :
La sustracción en N no es c onmutativa
a ≠e
5–3 ≠3–5 Regla practica Conmutatividad.
para
verificar
la
1. Se traza la diagonal principal (desde el vértice del operador) 2. Se verific a que ambos lados de la diagonal y en forma simétrica queden elementos iguales (espejo) 3. Si en todos los casos los elementos son iguales se dirá que la operación es conmutativa.
2.3.- ELEMENTO NEUTRO ( e) Se dice que “e” es el elemento neutro o elemento de identidad con respecto a “k” si: ∃ e∈ M/∀ a ∈ M → a * e = e *a = a
En la adición el elemento neutro es el cero, dado que : a +0 = 0 + a= a → e = 0 Ejemplo : Halar el elemento neutro en:
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
a∆b=a- b+1
a + ( -a ) = 0
Solución : Sea “∈” elemento neutro, se sabe que :
Inverso aditivo
Ejemplo : * Calcula : 3
a∆e=a
Elemento neutro
1=e 1-1 ∆ 1 = 2
2 ∆2=2
ELEMENTO NEUTRO EN TABLAS Se verifica que la operación sea conmutativa. b) En el cuerpo de la tabla se busca una fila y una columna igual a la fila y columna de entrada respectivamente. Donde se intersecten se encontrará el elemento neutro. a)
⊗
a
b
c
d
a
c
d
a
b
b
d
a
b
c
c
a
b
c
d
d
b
c
d
a
1. Calculamos “e” Como : a ∆ e = a a + e –5 = a e=5
3-1 ∆ 3 = 2
Elemento Inverso en Tablas Se verifica que la operación sea conmutativa 2. se busca el elemento neutro (e) 3. Se aplica lo indicado para el elemento inverso. Ejemplo : 1. Calcula : 1-1 ; 2-1 y 3-1 en :
El elemento neutro es “c”
∀ a ∈ M , ∃ a-1 ∈ M / a ∆ a-1 = a-1 ∆ a = e
e : Elemento neutro • En la adición
→ 3-1 = ........
2.5.- ASOCIATIVA Cuando se presenta más de dos elementos que pertenecen al conjunto de partida y se agrupa de diferentes maneras el resultado no cambia. En general :
(5 + 4) + 3 = 5 + ((4 + 3 b) Dada la siguiente tabla :
∆
1
2
3
⊕
1
3
1
2
2
1
2
3
3
2
3
1
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
∆
1
2
3
1
3
1
2
2
1
2
3
3
2
3
1
1 ⊕ (2 ⊕ 3) = (1 ⊕ 2) ⊕ 3 Solución : 1 Igual
⊕
1
(2 ⊕ 3) = (1 ⊕ 2) ⊕ 3 ⊕
5
=
3
⊕
3
6 4 6 5
c)5
2).- Se tiene: 1 9 1 14
1 4 9 Halla: 14949
4 4 9 9
9 19 4 1
44419
a)49811 d)41199
b)49111 e)N.A.
c)49911
3).- Se tiene: 4 5 6 7 8
Verifique la siguiente igualdad Solución :
5 6 5 4
b)6 e)1
∀ a, b, c ∈ A → a ∆ (b ∆ c) = (a ∆ b) ∆ c) Ejemplo : a) La adición asociativa dado que :
4 5 4 6
Halla: [(6*4)*(5*6)]*[(4*4)*(6*6)] a)4 d)0
2.4.- ELEMENTO INVERSO ( a -1) Se dice que a-1 es el elemento inverso o simétrico de “a”, con respecto a “ ∆” si :
* 4 5 6
→2 =2 -1
....
1.
Igual
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 04
2
2. Por elemento inverso se sabe a ∆ a-1 = e 3 ∆ 3-1 = 5 3 + 3-1 – 5 = 5 3-1 = 7
6
1).- Si:
-1
a =a–e+1 e=1
→ 1-1 = 3
3
Solución :
=
La operación es asociativa .
Luego : 1-1 ∆
-1
Si se define : a∆ b=a+b–5
Para el problema a∆b =a –b+1 a∆ ∈=a –e+1
6
∆1
3 10 3 3 30 5 0
1 3 5
5 5 0 50
Halla: 315 ∆ 135 a)330 d)303
b)300 e)301
c)333
4).-Si la tabla es conmutativa:
Λ 2
2 5
5 8 80
0
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 5 8 0
8 50 2 5
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) VFF d) FVV
20 2 8 0
8).- Si:
Halla la suma de cifras de: 255882 Λ 225585 a) 10
b) 18
d)20
e)24
0 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0
5).- Si: 0 1 2 3
2 1 2 2 3 3 10 10 11
0 1 2 3
3 3 10 11 12
a)322200
b)232200
d)33200
e)23330
c)222200
1
3
1
1
3
3
3
31
Halla: 1331 θ 3133 a) 13311
b)31113
d) 31131
e) 11331
c) 13331
7).- En A={1;2;3;4}, se define: % 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 1 1 2
3 3 1 1 3
4 4 1 4 4
Halla el valor de verdad de: I. x%2=1; tiene solución única. II. ∀x,y ∈ A ⇒ x%y=y%x III. (2%3)%[3%(4%1)]=4
1 3 4 3 2 1
2 2 3 4 3 2
3 1 2 3 4 3
c)3
b d c b a e
c c b a e d
d b a e d c
e a e d c b
(x α 1) θ (3 α 1)=(4 θ 3) a) 0 d) 3
b c d c + =2 b e
10).- Si: # 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 3 0 2
2 2 0 3 1
3 3 2 1 0
Resuelve: (3#x)#(2#0)=(3#3)#0
b) 1 e) 4
* 2 4 6 8
2 4 8 2 6
c) I y III
b) 30 e) 70
α 3 1 4 2 4 1 2 3
c) 2
4 6 4 8 2
6 2 6 4 8
0 0 1 2
1 1 1 1
8 8 2 6 4
III.
3 −1α2 −1
a +b a −b
d) a+b-ab
b)
c) 6
e) 2a-3b+ab
14).- Calcula: (1 ∆ 2)+(4 ∆ 9) si:
4 1 2 3
2 3 4 1
b) VFF e) VVF
16).- Si:
c) FVV
σ 1 2 3 1 2 3
2 2 1 0
2ab a + b −1
1 4 3 2
=1
4 −1α1−1
a) VVV d) FFF
1 2 3 2 3 1 3 1 2
Halla: [(2-1 σ 3-1)-1 σ 2-1]-1
Corresponde a la ley de formación para (a Θ b) a)
3 2 1 4
Indica el valor de verdad: I. La operación es cerrada II. La operación es conmutativa
13).- La tabla: 0 1 2
c) 76
15).-En el conjunto A={1;2;3;4}, se tiene:
12).- Se tiene el conjunto: M={2;4;6;8}
III.
b) I y II e) Ninguna
a) 66 d) 72
α (4 θ 1)
Halla “x” (x*2)*(6*8)=(8*2)*(6*4) a) 2 b) 4 d) 8 e) N.A.
¿Cuáles son verdaderas? I. es conmutativa II. [(a b) c] [a (b c)]=b
a) Sólo I d) I, II y III
∆ 2 3 4 2 10 11 12 3 29 30 31 4 66 67 68
c) 2
α 0 1 2 3 θ 1 2 3 4 0 2 3 0 1 1 1 1 1 1 1 2 3 0 1 2 2 4 1 2 2 0 1 1 1 3 1 1 4 2 3 3 2 1 0 4 1 2 2 4 Halla el mayor valor de “x” si:
4 0 1 2 3 4
b)2 e)1
a a e b d c c d b e a
b) 0 e)4
11).- En el conjunto: A={0;1;2;3}
9).- Se define: A = {a,b,c.d.e}
6).- Si: θ
a) 1 d) 3
Halla el número de relaciones verdaderas: 1. es conmutativa 2. es cerrada 3. tiene elemento neutro 4. tiene elemento simétrico a)0 d)4
Halla: 123321 ◊ 132213
c)VVV
A={0;1;2;3;4}
c)12
◊0 1
b) FFF e) FFV
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c)3
17).- Dada: c) a+b-1
∞ 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
4 5 4 3 2
3 4 5 4 3
2 3 4 5 4
1 2 3 4 5
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO e e a b c d
Halla: [(3-1 ∞ 5-1)-1 ∞ 2-1]-1 ∞ 4-1 a)1 d) 4
b) 2 e)5
c) 3
18).- Se define en A={a,b,c,d} la operación: µ a
b
c
d
a
a
b
c
d
b c
b c
a d
d a
c b
d
d
c
b
a
b) b e) 1
c) c
19).- Sea la operación (*) definida en:
1 1 3 1 2
2 3 1 2 1
3 1 2 3 4
4 2 1 4 3
Halla el elemento neutro y 4 -1 b) 2;3 e) 3;2
c) 3:4
20).- Con los elementos del conjunto: A={a;b;c;d;e}, se construye la siguiente tabla: x a b c d
a)VFFFF
b) FFFVF
d) VFVVF
e) VVVVF
a a b c d
b b c d e
c c d e a
d d e a b
e e a b c
c)FVVFF
NIVEL II
1) d
2) e
1) b
2) d
3) a
4) c
3) c
4) a
5) a
6) a
5) e
6) e
7) c
8) e
7) d
8) d
9) b
10) b
9) a
10) e
NIVEL III
1) b
A={1;2;3;4} mediante la tabla:
a) 1;2 d) 4;3
)La operación x es conmutativa )El elemento neutro es c )La operación es cerrada )la operación es asociativa )(axb)xc=(dxe)xa
NIVEL I
[(d µ a-1)-1 µ b-1]-1
* 1 2 3 4
( ( ( ( (
CLAVES DE RESPUESTAS
Halla el valor de :
a) a d) 0
Da el valor de verdad de:
2) e
3) d
4) a
5) c
6) e
7) d 9) c
8) d 10) c
