Criterios de Estructuración Sismo Resistente en Edificios

Capítulo 11

CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN SISMO RESISTENTE EN EDIFICIOS

11.1

INTRODUCCIÓN

La forma del edificio, tamaño, naturaleza y localización de los elementos resistentes, es decir: muros, columnas, pisos, núcleos de servicio, escaleras; y elementos no estructurales como: cantidad y tipo de divisiones interiores, la forma en que los muros exteriores se disponen sólidos o con aberturas para iluminación natural y ventilación; es a lo que se denomina configuración. Predominan también: geometría, geología y clima del lugar de construcción, reglamentos de diseño urbano y aspectos arquitectónicos de estilo. Estas decisiones arquitectónicas, tal como se ha podido observar en las edificaciones dañadas por los efectos de los terremotos, unidas a decisiones de diseño estructural y a las técnicas constructivas influyen determinantemente en el comportamiento sismo resistente de las edificaciones. Una adecuada selección del sistema estructural, del material y de los componentes no estructurales es de mayor importancia que un análisis complejo. A pesar, e independientemente de todo lo sofisticado que sea el método de análisis utilizado por el ingeniero, no se puede hacer que un sistema estructural may concebido se comporte satisfactoriamente en un terreno severo. Si se trabaja conjuntamente desde el inicio de esquema en un proyecto de edificación entre arquitecto e ingeniero, entendiendo de qué manera las decisiones pueden afectar el comportamiento sismo resistente de ésta, escogiendo apropiadamente los materiales básicos a utilizarse, la configuración y la estructuración del edificio. El ingeniero estructural no tendrá que pasar por la desagradable situación de escoger entre proponer revisiones que pueden llevar hasta la reformulación del proyecto inicial, o tratar de usar soluciones estructurales muy complicadas para resolver el problema producido, a causa de concepciones arquitectónicas inadecuadas. Es decir, que se deben conocer los aspectos críticos a ser considerados para garantizar la seguridad sísmica del proyecto.

11.2

REQUISITOS DE CONFIGURACIÓN

Cada estructura debe designarse como regular o irregular desde el punto de vista estructural: Estructuras regulares. Las estructuras regulares no tienen discontinuidades físicas considerables en su configuración en planta y configuración vertical o en sus sistemas resistentes a las fuerzas laterales. Estructuras irregulares. Las estructuras irregulares tienen discontinuidades físicas considerables en su configuración o en sus sistemas resistentes a las fuerzas laterales. Las características irregulares incluyen, sin estar limitadas a ello, las descritas en la Tabla 11.1 y la Tabla 11.2.

136

Criterios de estructuración sismorresistente en edificios

11.2.1 Configuración en Elevación

F

Tipo 1A - Irregularidad de rigidez (piso blando)

E D

Rigidez KC < 0.70 Rigidez KD o Rigidez KC < 0.80 (KD + KE + KF)/3

C B A

F

Tipo 2A - Irregularidad de peso (masa)

E D

mD > 1.50 mE o mD > 1.50 mC

C B A

b F E

Tipo 3A - Irregularidad vertical geométrica

D C

a > 1.30 b

B A

a

F

Tipo 4A - Discontinuidad en el plano de los elementos verticales resistente a las fuerzas laterales

E D C

b a

B

b>a

A

F E

Tipo 1A - Discontinuidad en capacidad (piso débil)

D C

Resistencia Piso B < 0.70 Resistencia Piso C

B A

Figura 11.1

Irregularidades en elevación

La Tabla 11.1 define posibles irregularidades verticales, y requerimientos adicionales de detalle, que deben satisfacerse si las irregularidades están presentes. Cinco diferentes tipos de irregularidad estructural vertical están definidos: Irregularidad de rigidez (piso blando); Irregularidad de peso (masa); Irregularidad vertical geométrica; Discontinuidad en el plano de los elementos verticales resistentes a las fuerzas laterales y Discontinuidad en capacidad (piso blando)., puede considerarse de que no existen irregularidades de rigidez y de peso cuando para todos los pisos, la deriva de cualquier piso es menor de 1.3 veces la deriva del piso siguiente hacia arriba. Es conveniente que no existan cambios bruscos en las dimensiones, masas, rigideces y resistencias del edificio, para evitar concentraciones de esfuerzos en determinados pisos que son débiles con respecto a los demás. Los cambios bruscos en elevación hacen también que ciertas partes del edificio se comporten como apéndices, con el riesgo de que se produzca el fenómeno de amplificación dinámica de fuerzas conocido como chicoteo. En la Figura 11.1 se muestran las diferentes irregularidades con más detalle.

137


Tipo 1A

2A

3A

4A

5A

Definición de irregularidad Irregularidad de rigidez (piso blando) Un piso blando es aquel cuya rigidez lateral es menor del 70% de la rigidez del piso superior o menor del 80% de la rigidez promedio de los 3 pisos superiores al piso blando, en tal caso se considera irregular. Irregularidad de peso (masa) Debe considerarse que existe irregularidad de masa cuando la masa efectiva de cualquier piso es mayor del 150% de la masa efectiva de uno de los pisos contiguos. No es necesario considerar un techo que sea más liviano que el piso inferior. Irregularidad vertical geométrica Se considera que existe irregularidad vertical geométrica cuando la dimensión horizontal del sistema de resistencia a las fuerzas laterales en cualquier piso es mayor del 130% de la de un piso colindante. No es necesario considerar los pisos de azotea de un solo nivel. Discontinuidad en el plano de los elementos verticales resistente a las fuerzas laterales Se considera este tipo de irregularidad, cuando existe un desplazamiento en el plano de los elementos resistentes a las cargas laterales mayor que la longitud de esos elementos. Discontinuidad en capacidad (piso débil) Un piso débil es aquel en que la resistencia del piso es menor del 80% de la resistencia del piso inmediatamente superior, en tal caso se considera irregular. La resistencia del piso es la resistencia total de todos los elementos resistentes a las fuerzas sísmicas que comparten el esfuerzo cortante del piso en la dirección bajo consideración. Tabla 11.1

Irregularidades verticales estructurales

11.2.2 Configuración en Planta Tipo 1P

2P

3P

4P

5P

Definición de irregularidad Irregularidad Torsional por considerarse cuando los diafragmas no son flexibles Se debe considerar que existe irregularidad torsional cuando el máximo desplazamiento relativo del piso (deriva), calculado incluyendo la torsión accidental, en un extremo de la estructura transversal a un eje es más de 1.2 veces el promedio de los desplazamientos relativos del piso de los dos extremos de la estructura. Esquinas reentrantes La configuración del plano de una estructura y su sistema resistente a las fuerzas laterales que contienen esquinas reentrantes, se considera irregular, cuando ambas proyecciones de la estructura, más allá de una esquina reentrante son mayores del 15% de la dimensión en el plano de la estructura en dicha dirección, Discontinuidad de diafragma Se considera irregular, cuando los diafragmas con discontinuidades abruptas o variaciones de rigidez, incluyendo las causadas por áreas recortadas o abiertas mayores del 50% del área bruta encerrada del diafragma o cambios en la rigidez efectiva del diafragma mayores del 50% de un piso al siguiente Desviaciones fuera del plano Se considera irregularidad, cuando existen discontinuidades en una trayectoria de fuerza lateral, como desviaciones fuera del plano de los elementos verticales Sistemas no paralelos Se considera irregular, cuando los elementos verticales resistentes a las cargas laterales no son paralelos ni simétricos con respecto a los ejes ortogonales principales del sistema que resiste las fuerzas laterales. Tabla 11.2

Irregularidades estructurales en planta

138


La Tabla 11.2 define posibles irregularidades en planta y requerimientos adicionales de detalles, que deben satisfacerse si las irregularidades están presentes. Cinco diferentes tipos de irregularidades en planta son definidos: Irregularidad torsional a ser considerado cuando los diafragmas no son flexibles; Esquinas reentrantes; Discontinuidad de diafragma; Desviación fuera del plano y Sistemas no paralelos. Las estructuras regulares son definidas como aquellas que no tienen discontinuidades físicas significativas en su configuración en planta y vertical o en su sistema resistente a las fuerzas laterales. En la Figura 11.2 se muestra en forma gráfica detallada las irregularidades mencionadas en la Tabla 11.2.

Tipo 1P - Irregularidad Torsional Δ1

Δ 1 > 1.2 (Δ 1 + Δ 2 )/2

Δ2

Tipo 2P - Esquinas Reentrantes A > 0.15 B y C > 0.15 D

Tipo 3P - Discontinuidad de Diafragma

C B

A

B

C

D

D

A

B

D

A C

E

C · D > 0.5 A · B y (C · D + C · E) > 0.5 A · B

Dirección bajo estudio

Tipo 4P - Desviaciones Fuera del Plano Desplazamineto del plano de acción

Sistemas No Paralelos

Tipo 5P - Sistemas No Paralelos

Figura 11.2

Irregularidades en planta

Es importante la simplicidad para un mejor comportamiento sísmico de conjunto de una estructura, y resulta más sencillo proyectar, dibujar, entender y construir detalles estructurales. Otro factor importante es la simetría respecto a sus dos ejes en planta, es decir su geometría es idéntica en ambos lados de cualquiera de los ejes que se esté considerando. La falta de regularidad por simetría, masa, rigidez o resistencia en ambas direcciones en planta produce torsión, que no es fácil de evaluar con precisión. Es necesario mencionar que a pesar de tener una planta simétrica, puede haber irregularidades debido a una distribución excéntrica de rigideces o masas ocasionando también torsión.

139


En caso de que se tuviera entrantes y salientes, es decir plantas en forma de T, L, H, U, etc. es aconsejable utilizar juntas de dilatación, dividiendo la planta global en varias formas rectangulares y como segunda opción se puede restringir las mismas con limites máximos, como se indica en la Figura 11.2 Es preferible no concentrar elementos rígidos y resistentes, tales como muros de corte, en la zona central de las plantas, porque son menos efectivos para resistir torsión, si bien los muros ubicados en la zona central tienen un comportamiento aceptable, las columnas estarán sujetas a un cortante por torsión mayor que aquél proporcionado por la ubicación de los muros en la periferia. No es nada recomendable colocar las escaleras y elevadores en las partes externas del edificio ya que tienden a actuar aisladamente ante los sismos, con concentraciones de fuerzas y torsiones difíciles de predecir sin llevar a cabo un análisis complicado.

11.2.3 Poco Peso Las fuerzas producidas por los sismos son de inercia, que es el producto de la masa por la aceleración, así las fuerzas de inercia son proporcionales a la masa, por tanto al peso del edificio; por ello debe procurarse que la estructura y los elementos no estructurales tengan el menor peso posible y además sean resistentes. No se recomiendan voladizos debido a que producen fuerzas de inercia verticales de magnitud apreciable que sumadas a las fuerzas de gravedad llegarían a causar serios problemas. Debido al aumento de las cargas laterales la falla de los elementos verticales como columnas y muros podría ser por pandeo, es ahí que la masa ejerce un rol importante; cuando la masa, empuja hacia abajo debido a la gravedad, ejerce su fuerza sobre un miembro flexionado o desplazado lateralmente por las fuerzas laterales, a este fenómeno se conoce como el efecto P-delta. Cuando mayor sea la fuerza vertical mayor será el momento debido al producto de la fuerza P y la excentricidad delta.

11.2.4 Hiperestaticidad

Articulaciones Plásticas

Figura 11.3

Si existe continuidad y monolitismo en un sistema estructural, es decir, que sea hiperestático, entonces mayor será la posibilidad de que, sin convertirse en un mecanismo inestable, se formen articulaciones plásticas, con alta capacidad de absorción de la energía proveniente del sismo. Se evitan también fallas locales serias, debidos a grandes esfuerzos locales engendrados por lo grandes desplazamientos y rotaciones causadas por el sismo presentes en uniones entre vigas y losas, y entre vigas y columnas.

140


Puede convenir diseñar estructuras que durante un sismo intenso los daños se concentren en zonas previstas para servir como disipadores, mediante deformaciones inelásticas, sin que se produzcan daños graves en el resto de la estructura. Así, es preferible utilizar una serie de muros acoplados por trabes que se diseñen para que en ellas se formen articulaciones plásticas, ver Figura 11.3.

11.2.5 Columna Fuerte, Viga Débil En estructuras de edificios aporticados es requisito que los miembros horizontales fallen antes que los verticales, permitiendo de esa manera el retraso del colapso total de una estructura. Las vigas y las losas generalmente no fallan aún después de un daño severo en aquellos lugares que se hayan formado las articulaciones plásticas, en cambio las columnas colapsan rápidamente bajo su carga vertical, cuando haya ocurrido aplastamiento del hormigón. Esto conduce a que las vigas peraltadas sobre columnas ligeras, no son apropiadas en regiones sísmicas.

11.3

SISTEMAS ESTRUCTURALES

Los sistemas estructurales deben clasificarse como uno de los tipos enunciados en la Tabla 12.7 y se definen en esta sección:

(a) Pórtico Resistente a Momentos

(c) Sistema Doble (Dual)

Figura 11.4

(b) Sistema de Muros Portantes

(d) Sistemas de Estructuras de Edificación

Sistemas estructurales

11.3.1 Sistema de muros Portantes Es un sistema estructural sin una estructura espacial de soporte de cargas verticales. Los muros de carga o sistemas de arriostramiento proporcionan el soporte a todas o a la mayoría de las cargas por gravedad. La resistencia a las cargas laterales la proporcionan los muros de corte o las estructuras arriostradas.


141

11.3.2 Sistemas de Estructuras de Edificación Es un sistema estructural con una estructura espacial esencialmente completa que proporciona soporte a las cargas por gravedad. La resistencia a las cargas laterales la proporcionan los muros de corte o las estructuras arriostradas que no cumplen con los requisitos de un sistema doble.

11.3.3 Sistema de Pórtico Resistente a Momentos Es un sistema estructural con una estructura espacial esencialmente completa que proporciona soporte a las cargas por gravedad. Los pórticos resistentes a momentos proporcionan resistencia a las cargas laterales principalmente por la acción de flexión de sus elementos

11.3.4 Sistema Doble (Dual) Es un sistema estructural con las siguientes características: 1.

Estructura espacial esencialmente completa que proporciona apoyo a las cargas por gravedad.

2.

La resistencia a las cargas laterales la proporcionan los muros de corte o las estructuras arriostradas y pórticos resistentes a momentos (SMRF, IMRF, MMRWF, o OMRF en acero). Los pórticos resistentes a momentos deben diseñarse para resistir independientemente por lo menos el 25% del esfuerzo cortante basal máximo admisible de diseño.

3.

Los dos sistemas deben diseñarse para resistir el esfuerzo cortante basal máximo admisible total de diseño en proporción a sus rigideces relativas considerando la interacción del sistema doble en todos los niveles.

11.4

SELECCIÓN DEL MÉTODO DE ANÁLISIS

En base a los requisitos de configuración y los sistemas estructurales descritos anteriormente, se elige el método de análisis entre los que se tiene:

El método de la fuerza lateral estática puede utilizarse para las siguientes estructuras:

1

1.

Todas las estructura regulares e irregulares, en la Zona Sísmica 1 y clasificadas como Categorías de Destino 4 (destinos estándar) y 5 (destinos misceláneos) de la Zona Sísmica 2.

2.

Estructuras regulares menores de 73 m. (240 ft) de altura cuya resistencia a las fuerzas laterales la proporcionan los sistemas enunciados en la Tabla 12.7 1 , excepto edificaciones localizadas en lugares que tengan un perfil tipo de suelo SF y que tengan un periodo mayor de 0.7 segundos.

3.

Estructuras irregulares de no mas de 5 pisos o 20 m. (65 ft) de altura.

4.

Estructuras que tienen una parte superior flexible apoyada en una parte inferior rígida donde ambas partes de la estructura consideradas separadamente pueden clasificarse como regulares, la rigidez del piso promedio de la parte inferior es por lo menos 10 veces la rigidez del piso promedio de la parte superior y el periodo de la estructura total no es mayor de 1.1 veces el periodo de la parte superior considerada como una estructura separada fija en la base.

Referirse a la Tabla 12.7, pp. 165


142

El método de las fuerzas laterales dinámicas debe utilizarse para todas las demás estructuras, incluyendo las siguientes: 1.

2. 3. 4.

2

Estructuras de 73 m. (240 ft) o más de altura con excepción de estructuras en la Zona Sísmica 1 y en estructuras de destinos estándar y estructuras misceláneas como se define en la Tabla 12.8 2 de la Zona Sísmica 2. Estructuras que tienen una irregularidad de rigidez, peso o irregularidad vertical geométrica de los Tipos 1, 2 ó 3 como se define en la Tabla 11.1 u 11.2 Estructuras de más de 5 pisos o 20 m. (65 ft) de altura en las Zonas Sísmicas 3 y 4 que no tengan el mismo sistema estructural a través de toda su altura. Estructuras, regulares o irregulares, ubicadas en el Tipo de Perfil de Suelo SF que tengan un periodo mayor de 0.7 segundos. El análisis debe incluir los efectos del suelo en el sitio

Referirse a la Tabla 12.8, pp. 166

Capítulo 12

MÉTODO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE

12.1

DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS LATERALES

12.1.1 Factor de Zona Sísmica Cada lugar o región está dividida en diferentes zonas sísmicas, las cuales están demarcadas según la aceleración pico del suelo expresada en función de la constante de gravedad (g). Toda estructura a ser diseñada debe tener asignada un factor de zona sísmica Z de acuerdo con la Tabla 12.1. Estos valores se basan en registros históricos y datos geológicos y son también ajustados para proveer criterios de diseño consistentes con la región. Estos factores de zona sísmica son usados, conjuntamente con el tipo de perfil de suelo, para determinar el coeficiente de respuesta sísmica Ca y Cv dados en la Tabla 12.2. los cuales se utilizan para graficar el espectro de respuesta ilustrado en la Figura 12.1.

PERIODOS DE CONTROL

Aceleración espectral, g

2.5 C a

T s = C v / 2.5 C a T 0 = 0.2.5 T s

Cv / T

Ca

T

0

T

s

Figura 12.1

Periodo [s] Espectros de respuesta de diseño

Método de la fuerza horizontal equivalente

144

12.1.2 Coeficiente de Respuesta del Terreno Los coeficientes de respuesta del suelo Ca y Cv se asignan a cada estructura de acuerdo con la Tabla 12.2, son parámetros que reflejan la amplificación de la vibración del terreno causada por diferentes tipos de suelo; estos coeficientes están en función del factor de zona Z, del tipo de perfil de suelo y, cuando sea necesario, del factor de cercanía a la fuente de origen Na y Nv. El periodo fundamental de la estructura determina cual de los dos coeficientes Ca o Cv gobierna el diseño sísmico de ésta.

12.1.3 Tipo de Perfil del Suelo Las vibraciones del terreno causadas por un sismo tienden a ser mayores en suelos suaves que en suelos firmes o roca. Como las vibraciones se propagan a través del material presente debajo de la estructura éstas pueden ser amplificadas o atenuadas dependiendo del periodo fundamental del material. De este modo se identifican seis tipos diferentes de perfil de suelos (Tabla 12.3); la clasificación se la realiza determinando en el sitio la velocidad promedio de las ondas de corte a 100 [ft] de profundidad; alternativamente, para los tipos de perfil de suelo C, D y E esta clasificación se realiza midiendo la resistencia al corte no drenada en el material o mediante el ensayo de penetración standard. El tipo de perfil de suelo SF requiere una evaluación especifica del lugar, la cual es realizada según la división V, sección 1636 del código UBC. Cuando se desconocen las propiedades del suelo necesarias para determinar el tipo de perfil de suelo se debe emplear el tipo SD.

12.1.4 Tipo de Lugar de Origen del sismo Para clasificar el tipo de origen sísmico se toma en consideración la magnitud del momento máximo de la falla y su proporción de deslizamiento, se distinguen 5 tipos, desde el tipo o clase de origen más activo (tipo A) hasta el menos activo (tipo C) en la Tabla 12.4.

12.1.5 Factor de Cercanía a la Fuente de Origen En regiones sujetas a magnitudes sísmicas considerables, como las que tienen lugar en la zona sísmica 4, regiones cerca de la falla de ruptura pueden experimentar una elevación en la aceleración del suelo del doble en una distancia de 10 [km] a la redonda del origen. De acuerdo a esto, el código UBC introduce dos factores de amplificación en la Tabla 12.5, Na, el factor basado en la aceleración, para estructuras de periodo corto; y Nv, el factor basado en la velocidad para periodos que exceden 1 [s]. El código UBC 1 limita a 1.1 el valor de Na para estructuras regulares localizadas en tipos de perfil de suelo SA, SB, SC, o SD, con un factor de redundancia de 1 (ρ=1).

12.1.6 Periodo fundamental Cada estructura posee un único periodo natural o fundamental de vibración, el cual es el tiempo requerido para completar un ciclo de vibración libre. La rigidez, la altura de la estructura son factores que determinan o influyen en el periodo fundamental, y éste puede variar desde 0.1 [s], para sistemas simples, hasta varios segundos para sistemas de varios niveles. Como primera aproximación el periodo fundamental puede ser asumido igual al numero de niveles dividido por 10. El valor del periodo fundamental de la edificación debe obtenerse a partir de las propiedades de su sistema de resistencia sísmica, en la dirección a considerar; este requisito se puede suplir siguiendo los métodos presentados por el código UBC:

1

UBC, Sección 1629.4.2 [ref.15]

145


Método A: Para todas las edificaciones el valor de T puede aproximarse mediante la siguiente fórmula: T = C t ⋅ ( hn )

3

(12.1)

4

donde: hn= altura 2 en m. (ft), medida desde la base, del piso más alto del edificio. Ct= 0.0853 (0.035) para pórticos de acero resistentes a momento Ct= 0.0731 (0.030) para pórticos de hormigón armado resistente a momentos y estructuras arriostradas excéntricamente Ct= 0.0488 (0.20) para todas las demás edificaciones Método B: El periodo fundamental puede calcularse utilizando el procedimiento de Rayleigh: ⎛ T = 2π ⋅ ⎜ ⎜ ⎝

donde:

n

∑ i =1

⎞ ⎛ wi ⋅ δ i2 ⎟ ÷ ⎜ g ⋅ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

n

∑f

i

i =1

⎞ ⋅δi ⎟ ⎟ ⎠

(12.2)

δi= desplazamiento horizontal en el nivel i debido a la fuerza fi fi= fuerza lateral en el nivel i wi= carga muerta del nivel i

Nivel n Nivel n-1 Nivel i Nivel 2 Nivel 1

Pórtico

δn

wn δn-1

wn-1 δi

wi w2 w1

Peso de los pisos

Figura 12.2

δ2 δ1

Desplazamientos

fn f n-1 fi f2 f1

Fuerza Lateral

Procedimiento de Rayleigh

Los valores de fi representan cualquier fuerza lateral distribuida en forma racional como muestra la Figura 12.2; esta distribución en forma de triangulo invertido corresponde a la distribución de la cortante basal. Las deflexiones elásticas δi, deben calcularse utilizando las fuerzas laterales aplicadas fi. Si la contribución de los elementos no estructurales a la rigidez de la estructura es subestimada, el calculo de las deflexiones y el periodo natural son sobreestimados, dando valores demasiado bajos para los coeficientes de 2

Los coeficientes entre paréntesis son para unidades inglesas

146


fuerza. Para reducir el efecto de este error el código UBC 3 especifica que el valor de T del método B no debe exceder de un valor de 30% mayor que el de T obtenido del método A en la zona sísmica 4 y del 40% en las zonas sísmicas 1, 2 y 3.

12.1.7 Amortiguamiento y Ductilidad Los niveles de amortiguamiento son naturalmente dependientes del nivel de deformación o esfuerzo en una estructura, de los materiales empleados, la naturaleza del subsuelo, la forma de la estructura, la naturaleza de la vibración. La gran cantidad de valores de amortiguamiento determinados experimentalmente han sido obtenidos por lo general, ya sea de componentes estructurales individuales o a partir de vibraciones de baja amplitud. De ahí que para estructuras de conjunto sujetas a movimiento fuerte del suelo, será necesaria alguna extrapolación de los datos de amortiguamiento existentes. La Tabla 12.6 indica valores representativos del amortiguamiento para varios tipos de construcción.

Fuerza

La ductilidad es una medida de la habilidad del sistema estructural de deformarse mas allá de su límite elástico sin colapsar. Esto le permite a la estructura absorber energía y seguir soportando las cargas y resistiendo las fuerzas. En el caso de una carga sísmica cíclica, la estructura sufre sucesivas cargas y descargas y la relación fuerza-desplazamiento toma una secuencia histerética. Para un sistema elastoplástico idealizado esta relación es ilustrada en la Figura 12.3 donde el área encerrada es una medida de la energía disipada por el sistema.

Energia disipada

Fuerza

VE

Desplazamiento

VM VS

Elástica

Real Diseño

ΔS

ΔM

ΔE

Desplazamiento

(a) Figura 12.3

(b)

(a) Energía de disipación histerética. (b) Curva de fuerza-deformación asumida

Cuando una estructura es sujeta a un movimiento sísmico, ésta tiene la capacidad de absorber gran parte de la energía sísmica; una parte sustancial de energía es almacenada temporalmente por la estructura en forma de energía de deformación y energía cinética. Después de corto tiempo el movimiento sísmico puede ser tan fuerte que el punto de fluencia se excede en ciertas partes de la estructura y principia la disipación permanente de energía en forma de deformación inelástica (histerética). A través de todo el sismo la energía es disipada por amortiguamiento, el cual es, por supuesto, el medio por el cual la energía elástica es disipada una vez que cesa el movimiento del suelo. Es evidente que se requiere de una gran ductilidad para disipar en gran proporción la energía histerética generada por un sismo.

3

UBC, Sección 1630.2.2 [ref.15

147


Los factores de ductilidad para estructuras se utilizan en forma tal que implican una reducción en los valores espectrales de respuesta, por consiguiente se requiere una estimación razonable del factor de ductilidad permisible. Para este propósito se debe estar conciente de las diferencias entre los diferentes tipos de factores de ductilidad involucrados en la respuesta de las estructuras a carga dinámica. A este respecto debe hacerse una distinción entre el factor de ductilidad de un miembro, el factor de ductilidad de un entrepiso en un edificio y el factor de ductilidad global del edificio, para usarse en el cálculo del cortante basal a partir de los valores espectrales de respuesta. El factor de ductilidad de un miembro, de un entrepiso o el factor de ductilidad global, están todos gobernados por el desarrollo de una relación fuerza-desplazamiento, en la que el desplazamiento es la deformación longitudinal en un miembro a tensión o a compresión, la rotación de una junta o conexión en un miembro a flexión o la deformación por cortante en un muro de corte. El factor de ductilidad de entrepiso se define esencialmente por medio de una relación en la que el desplazamiento es la deflexión relativa entre el piso por encima y el piso por debajo del entrepiso que se trata. El factor de ductilidad global es, en general, un promedio ponderado de los factores de ductilidad de entrepiso, y la mejor manera de definirlo es considerando un patrón particular de desplazamiento que corresponda al modo preferible de deformación de la estructura, en una condición de respuesta que la energía inelástica sea absorbida de manera tan general como sea posible para desarrollar tal deformación por toda la estructura. El factor de ductilidad de miembro puede ser considerablemente más grande que el factor de ductilidad de entre piso, que a su vez puede ser algo más grande que el factor de ductilidad global. La asignación del factor de ductilidad global de la estructura deberá realizarse de manera conservadora y teniendo en cuenta que las posibilidades de disipación de energía por deformaciones inelásticas dependen de muchos factores como por ejemplo: configuración estructural, distribución de rigideces y resistencia, características de los componentes estructurales y uniones, materiales y otros.

12.1.8 Factor de Modificación de Respuesta Como resulta antieconómico el diseñar una estructura que permanezca dentro de su rango elástico durante un sismo; la capacidad de absorción de energía no lineal del sistema es una ventaja que permite limitar el daño estructural sin disminuir la capacidad de la estructura de soportar carga vertical. En adición, como ocurre la fluencia, el periodo natural y el coeficiente amortiguamiento se incrementan reduciendo de este modo la fuerza sísmica desarrollada en la estructura. El factor R de modificación de la respuesta es el coeficiente de la cortante basal sísmica, el cual debe desarrollarse en un sistema linealmente elástico, y es una medida de la capacidad del sistema para absorber energía y mantener un comportamiento cíclico de deformación sin colapsar. El código UBC proporciona una serie de valores para R, los cuales están tabulados en la Tabla 12.7; el valor de R se incrementa a medida que la ductilidad de la estructura aumenta y su capacidad de disipación de energía aumenta; R es un coeficiente numérico representativo de la capacidad de ductilidad global de los sistemas resistentes a fuerzas laterales.

12.1.9 Factor de Importancia Para propósitos de diseño resistente a movimientos sísmicos, cada estructura debe clasificarse de acuerdo a una de las categorías de destino enunciadas en la Tabla 12.8, la cual asigna factores de importancia I.

12.1.10Coeficiente de Respuesta Sísmica El coeficiente de respuesta esta definido por: Cs =

Cv ⋅ I R ⋅T

(12.3)

148


La forma de esta expresión indica que el coeficiente de respuesta se incrementa a medida que se incrementa el factor de importancia y a medida que se reducen el factor de modificación de repuesta y el periodo natural. Las estructuras de amortiguamiento bajo construidas de material quebradizo son incapaces de tolerar deformaciones apreciables y para ellas se recomienda un valor bajo de R; en cambio a las estructuras altamente amortiguadas construidas de materiales dúctiles se les asigna un valor mayor de R. Para periodos fundamentales que exceden aproximadamente al segundo de tiempo (1.0 s), la respuesta de aceleración de la estructura se atenúa proporcionalmente a su periodo, como se advierte en la forma de la expresión del coeficiente de respuesta sísmica. El coeficiente de respuesta sísmica no debe ser mayor que: Cs ≤

2.5 ⋅ C a ⋅ I R

(12.4)

Esta expresión es valida para periodos cortos de hasta 1 [s] aproximadamente. Para periodos mayores, la ecuación 12.4 da valores conservadores. Para prevenir que valores demasiado bajos del coeficiente de respuesta sísmica sean adoptados para estructuras de periodos grandes, este coeficiente no debe ser menor que: C s ≥ 0.11 ⋅ C a ⋅ I

(12.5)

Además, para la zona sísmica 4, el valor mínimo del valor del coeficiente de respuesta sísmica es: Cs ≥

0.8 ⋅ Z ⋅ N v ⋅ I R

(12.6)

12.1.11Carga Muerta Sísmica La carga muerta sísmica W, es la carga muerta total y las partes correspondientes a otras cargas que se enuncian a continuación:

En las bodegas y destinos de almacenamiento se debe aplicar un mínimo de 25% de la carga viva del piso. Cuando se utilice una carga de tabiques en el diseño del piso, se debe incluir una carga no menor de 0.48 kN/m2 (10 psf). La carga de diseño de nieve debe incluirse cuando ésta exceda los 1.44 kN/m2 (30 psf), pero puede reducirse hasta el 75 % dependiendo de la configuración del techo, las condiciones del lugar, duración de la carga. Debe incluirse el peso total del equipo permanente y accesorios.

12.1.12Procedimiento de la Fuerza Lateral Equivalente Las fuerzas laterales producidas en la estructura por la vibración del terreno pueden determinarse mediante la estática o el procedimiento de la fuerza lateral equivalente, la cual utiliza la segunda ley de Newton para estimar la fuerza cortante en la base de la estructura. Cv ⋅ I ⋅W R ⋅T V = Cs ⋅W

V =

(12.7)

149


esta fórmula esta basada en la suposición de que la estructura sufrirá varios ciclos de deformación inelástica y disipación de energía sin llegar a colapsar. Las fuerzas y desplazamientos en la estructura se calculan asumiendo un comportamiento linealmente elástico. La relación fuerza-desplazamiento idealizada es mostrada en la Figura 12.3(b). Ésta ilustra que la cortante basal desarrollada en una estructura ideal completamente elástica es: VE =

Cv ⋅W T

(12.8)

con un valor máximo de: V E = 2.5 ⋅ C a ⋅ W

(12.9)

La cual es modificada por el factor de modificación de respuesta y el coeficiente de importancia para el calculo de la cortante basal de diseño:

VS = V E ⋅

I R

(12.10)

Si el desplazamiento calculado para este valor de diseño es ΔS y el factor de amplificación es 0.7·R se asume que el desplazamiento real es: Δ M = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ S

(12.11)

esta expresión representa un valor promedio para el desplazamiento inelástico; sin embargo varios estudios indican que la ecuación 12.11 puede subestimar el valor real de algunas estructuras. En otros casos ΔM puede calcularse por análisis de historia de tiempo (cronológico) no lineal; correspondiente al análisis dinámico de estructuras.

12.2

ESTRUCTURAS DE VARIOS NIVELES

12.2.1 Distribución Vertical de la Fuerza Sísmica La distribución de la cortante basal sobre la altura de la edificación se obtiene como la superposición de todos los modos de vibración de un sistema de varios grados de libertad. La magnitud de la fuerza lateral que actúa sobre un nudo en particular depende de la masa del nudo, de la distribución de la rigidez sobre la altura de la estructura y del desplazamiento nodal en un modo dado, y esta dada por: Fx =

V ′ ⋅ wx ⋅φ x Σwi ⋅ φ i

(12.12)

donde: V’ = Cortante basal modal wi = Carga muerta sísmica localizada en el nivel i φi = Componente de la forma modal en el nivel i para un modo dado wx = Carga muerta sísmica localizada en el nivel x φx = Componente de la forma modal en el nivel x para un modo dado Para una estructura con una distribución de masas sobre su altura y asumiendo una forma modal lineal, como se observa en la Figura 12.4, la expresión anterior se reduce a: Fx =

V1 ⋅ w x ⋅ h x Σwi ⋅ hi

(12.13)

150


donde: hi = Altura sobre la base hasta el nivel i hx = Altura sobre la base hasta el nivel x

Nivel n Nivel n-1 Nivel x Nivel 2 hx

Nivel 1

wn

Ft

w n-1

Fn F n-1

wx

Fx H

Ø x= hx /H

w2 w1

F2 F1 V

Pórtico

Peso de los pisos

Figura 12.4

Desplazamiento de los pisos

Fuerza lateral

Cortante lateral

Distribución vertical de la fuerza sísmica

Si sólo se considera la forma modal fundamental, V1 representa la cortante basal de diseño para el modo fundamental y la distribución de la fuerza es lineal. Para tomar en cuenta el efecto de los modos altos en las edificaciones con periodos grandes, esto es cuando T excede a los 0.7 segundos, se debe añadir una fuerza Ft en la parte superior de la estructura, la cual esta dada por: Ft = 0.07 ⋅ T ⋅ V

(12.14)

donde: V = Ft + V1 V = Ft + ΣF x

(12.15)

donde : V = Cortante basal total de diseño que incluye la fuerza total adicional para tomar en cuenta el efecto de los modos altos Entonces la fuerza lateral de diseño en el nivel x esta dado por: Fx =

(V − Ft ) ⋅ w x ⋅ h x Σw i ⋅ h i

(12.16)

12.2.2 Volcamiento De acuerdo al código UBC 4 las estructuras deben ser diseñadas para resistir los efectos de volcamiento causados por las fuerzas sísmicas, las cuales deben transmitirse hasta la cimentación. Cuando se hacen presentes discontinuidades verticales en los elementos resistentes a fuerzas laterales, los elementos que soportan dichos

4

UBC, Sección 1630.8 [ref.15]

151


sistemas discontinuos deben tener la resistencia de diseño para soportar las cargas combinadas que resultan de las combinaciones de cargas sísmicas, las cuales son: 1.2 ⋅ D + f 1 ⋅ L + 1.0 ⋅ Ω 0 ⋅ E h

(12.17)

0.9 ⋅ D ± 1.0 ⋅ E m

donde: D = Carga muerta L = Carga viva, con excepción de la carga viva de techo f1 = 1.0 para pisos de reunión publica, para cargas vivas que exceden de 4.79 kN/m2 (100 psf) y para cargas vivas de garajes f1 = 0.5 para otras cargas vivas Em = Fuerza sísmica máxima que puede desarrollarse en la estructura Eh = Fuerza sísmica horizontal de diseño Ω0 = Factor de amplificación de la fuerza sísmica que se requiere para tomar en cuenta la sobreresistencia estructural en el rango inelástico, esta tabulado en la Tabla 12.7 S = Carga de nieve Cuando se determinan los esfuerzos en la interfase suelo-fundación puede omitirse la fuerza Ft en las estructuras regulares al determinar el momento de volcamiento, debido a que Ft representa la fuerza lateral debido a los modos altos y las fuerzas en todos los niveles no alcanzan su punto máximo simultáneamente 5 . Adicionalmente puede incrementarse una tercera parte en la presión admisible del suelo 6 . La presión del suelo se debe obtener de la combinación de carga: D + L + S + E / 1.4

(12.18)

12.2.3 Efecto P-delta El efecto P-delta en un piso dado es causado por la excentricidad de la carga gravitatoria presente por encima del piso, la cual produce momentos secundarios aumentando las deflexiones horizontales y las fuerzas internas. Este efecto debe tenerse en cuenta cuando el índice de estabilidad (θi) excede a 0.1, ó en zonas sísmicas 3 y 4 cuando la relación de desplazamiento de piso excede a 0.02/R. El índice de estabilidad esta dado por:

θi =

M si M pi

(12.19)

donde: Msi = Momento secundario del nivel en consideración Mpi = Momento primario del nivel en consideración El índice de estabilidad de cualquier piso no debe ser mayor a 0.3, si lo es, entonces la estructura es potencialmente inestable y debe rigidizarse. El momento secundario de un piso se define como el producto de la carga muerta total, carga viva y la carga de nieve por encima del piso multiplicada por el desplazamiento de piso. El momento primario de un piso se define como la cortante sísmica en el piso multiplicada por la altura del piso. Como se muestra en la Figura 12.5 el momento primario y secundario esta dado por:

5 6

Nivel

Mpi

Msi

θI

1

(F1 + F2)·hs1

2·(P1 + P2)·Δ1

Ms1/Mp1

2

F2·hs2

2·P2·Δ2

Ms2/Ms2

UBC, Sección 1809.4 [ref.15] UBC, Sección 1612.3.2 y 1802 y Tabla 18-I-A[ref.15]

152


Δ2

P2

P2 F2

h s2

Δ1

P1

P1 F1

h s1

Figura 12.5

Efecto P-delta

El efecto P-delta puede incluirse en el análisis elástico mediante el factor de amplificación, el cual esta dado por: ad =

θi 1−θ i

(12.20)

La cortante de nivel de cada piso es multiplicada por el factor (1-ad) correspondiente para ese nivel y las fuerzas internas y desplazamientos deben ser recalculados para la estructura. El efecto P-delta debe evaluarse utilizando las cargas de diseño, es decir las fuerzas que producen los desplazamientos Δs, es decir las fuerzas derivadas de la estática o fuerza lateral equivalente.

12.2.4 Desplazamientos de Piso El desplazamiento de piso es el desplazamiento lateral de un piso relativo al piso inferior de una estructura de varios niveles. Para edificaciones con periodo natural menor a 0.7 segundos, la sección 1630.10.2 del código UBC limita el desplazamiento relativo o la deriva a una máximo de 0.025 veces la altura del piso. Y para estructuras que tengan un periodo fundamental de 0.7 segundos o mayor, el desplazamiento relativo calculado del piso no debe exceder de 0.02 veces la altura del piso. El propósito de estas limitaciones es el asegurar un mínimo de rigidez para así controlar la deformación inelástica y la posible inestabilidad. Los desplazamientos relativos de piso o derivas deben calcularse utilizando el desplazamiento de respuesta inelástica máxima dado como: Δ M = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ s

(12.21)

donde: Δs = Desplazamiento de respuesta del nivel de diseño Para el cálculo del desplazamiento del nivel de diseño se debe preparar un análisis elástico estático del sistema resistente a las fuerzas laterales utilizando las fuerzas sísmicas de diseño; el modelo matemático debe cumplir con la sección 1630.1.2 del código UBC:

153


Las propiedades de rigidez de los elementos de hormigón y de mampostería reforzados deben considerar los efectos de las secciones agrietadas, y de acuerdo con la sección 1633.2.4 las propiedades de rigidez pueden asumirse igual a la mitad de las propiedades de la sección bruta a menos que se realice un análisis racional de la sección agrietada. En los sistemas de pórticos de acero resistentes a momentos, debe incluirse la contribución de las deformaciones de la franja de tablero al desplazamiento total del piso.

Adicionalmente se debe considerar el efecto P-delta en el cálculo del desplazamiento de respuesta inelástica máxima cuando el caso así lo requiera. El valor del periodo fundamental calculado por el método B (ecuación 12.2) es más realista que aquel calculado por el método A (ecuación 12.1); en pero la sección 1630.10.3 del código UBC afloja el requisito, para el cálculo de la deriva, en el cual TB puede no exceder el valor de TA por un 30% en la zona sísmica 4, y por un 40% en zona sísmica 1,2,3. Y no debe imponerse límite de desplazamiento para estructuras de acero de un solo piso clasificados como destinos de los grupos B, F y S o del grupo H división 4 o 5 7 . B

Cuando se diseña una estructura mediante el análisis dinámico, se debe utilizar el espectro de respuesta apropiado del terreno sin reducción por el factor de modificación de respuesta R. Esto da resultados de desplazamiento iguales a los valores elásticos correspondientes al espectro de respuesta elástico. Para estructuras de periodo grande con un periodo fundamental dentro de la región sensitiva de velocidad del espectro de respuesta, este desplazamiento de respuesta elástico es aproximadamente igual al desplazamiento total inelástico. Para estructuras de periodo corto con un periodo fundamental dentro la región sensitiva de aceleración del espectro de respuesta, este desplazamiento de respuesta elástico usualmente subestima el desplazamiento inelástico total. Cuando el análisis dinámico, aplicado a una estructura regular, utiliza el espectro de respuesta construido de acuerdo a la Figura 12.1, la sección 1631.5.4 del código UBC permite que la respuesta de desplazamiento elástico se reduzca a un valor correspondiente a la cortante basal equivalente del 90% de la cortante basal derivada del análisis estático. Cuando el análisis dinámico, aplicado a una estructura regular utiliza el espectro de respuesta especifico del lugar, el código permite que la respuesta de desplazamiento elástico se reduzca a una valor correspondiente a la cortante basal equivalente del 80% de la cortante basal derivada del análisis estático. En ningún caso los desplazamientos pueden ser menores a los desplazamientos de respuesta elástica divididos por el factor de modificación de respuesta.

12.2.5 Cargas en los Diafragmas Los diafragmas de piso y techo deben diseñarse para resistir las fuerzas determinadas según la siguiente formula: F px =

Ft + ΣFi ⋅ w px Σ wi

(12.22)

0..5 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px donde: Ft = Fuerza lateral concentrada en la parte superior de la estructura Fi = Fuerza lateral en el nivel i ΣFi = Fuerza cortante total en el nivel i wi = Carga muerta sísmica total localizada en el nivel i Σwi = Carga muerta sísmica total en el nivel i y por encima wpx = El peso del diafragma y el elemento tributario al mismo en el nivel x, no incluye muros paralelos a la dirección de la carga sísmica

7

UBC, Sección 1630.10.2 [ref.15]

154


Para una estructura simple ésta se reduce a: Fp =

V ⋅wp

W ⎛C ⋅I ⎞ F p = ⎜⎜ v ⎟⎟ ⋅ w p ⎝ R ⋅T ⎠

12.3

(12.23)

FUERZA CORTANTE BASAL PARA EL DISEÑO SIMPLIFICADO

Para pequeñas estructuras, la sección 1630.2.3 del código UBC permite un método de diseño alternativo. Este método provee resultados conservadores en comparación con el otro método disponible, pero permite un rápido y simple cálculo de la cortante basal sísmica. El método es aplicable a estructuras cuya categoría de destino corresponde a la 4 o 5 de la Tabla 12.8, de pórticos ligeros que no excedan los 3 niveles, o de cualquier construcción que no exceda los 2 pisos de altura.

12.3.1 Fuerza Cortante Basal La fuerza cortante basal de diseño en una dirección determinada debe calcularse según: V=

3.0 ⋅ C a ⋅W R

(12.24)

Cuando se desconoce los parámetros del suelo, para determinar el valor de Ca, debe utilizarse el tipo de perfil de suelo SD en zonas sísmicas 3 y 4, y el tipo SE en las demás. Para estructuras regulares ubicadas en la zona sísmica 4 el factor de cercanía a la fuente no necesita ser mayor de 1.3.

12.3.2 Distribución Vertical Las fuerzas en cada nivel deben calcularse utilizando la siguiente formula: 3 .0 ⋅ C a wi R V Fx = wi W Fx =

(12.25)

12.3.3 Calculo de los Desplazamientos de Piso El efecto P-delta y los desplazamientos de piso no son normalmente requeridos cuando se utilice el método simplificado. Si es necesario, en sistemas estructurales relativamente flexibles, se puede considerar los efectos Pdelta y los desplazamientos, y para ello el desplazamiento de respuesta inelástica máxima esta dada por: Δ M = 0.01 ⋅ h s

donde: hs = La altura de piso

(12.26)

155


12.3.4 Determinación de la Carga Sobre los Diafragmas De acuerdo a la sección 1630.2.3.4 del código UBC, la carga actuante en el diafragma horizontal se determina a partir de la expresión:

donde

12.4

F px =

3.0 ⋅ C a ⋅ w px R

(12.27)

F px =

V ⋅ w px W

(12.28)

: 0.5 ⋅ C a ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ w px

COMBINACIONES DE CARGA

12.4.1 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño por Resistencia Llamado también diseño por factores de carga y de resistencia. Cuando se utiliza el principio de resistencias de diseño, el requerimiento básico es de asegurarse que la resistencia de diseño de un miembro no sea menor que la resistencia ultima requerida. Para la resistencia requerida se considera las cargas de servicio multiplicadas por un factor de carga apropiado como los que indica el reglamento ACI y se presentan en la Tabla 12.9. No es necesario asumir que el viento y las cargas debidas al sismo actúan simultáneamente. La carga sísmica E es una función de ambas fuerzas sísmicas, horizontal y vertical, y esta dada por: E = ρ ⋅ Eh + Ev

(12.29)

donde: Eh = carga sísmica debida al esfuerzo cortante en la base Ev = fuerza vertical debida a los efectos de la aceleración vertical del suelo Ev = es igual a añadir 0.5·Ca·I·D al efecto de la carga muerta para el diseño por resistencia Ev = 0, para el diseño por esfuerzos admisibles ρ = factor de confiabilidad o redundancia. y

ρ = 2− ρ = 2−

6 .1 rmax ⋅ AB 20 rmax ⋅ AB

[SI] [unidades ingleasas]

(12.30)

1.0 ≤ ρ ≤ 1.5 donde: AB = area de la estructura en el nivel del suelo en m2 (ft2) rmax = máxima relación del esfuerzo cortante del elemento-piso B

El valor asumido para Ev representa la magnitud de la respuesta vertical debida a la aceleración vertical del suelo, la cual es considerada que tiene gran probabilidad de ocurrir simultáneamente con la respuesta horizontal máxima.

156


Para una dirección determinada de carga, la relación del esfuerzo cortante del elemento-piso es la relación del esfuerzo cortante del piso de diseño en el elemento individual de mayor carga dividido por el esfuerzo cortante total de diseño del piso. Para cualquier nivel esta relación se denomina ri. La relación máxima del esfuerzo cortante del elemento-piso rmax se define como la mayor de las relaciones ri que se da en cualquiera de los niveles de piso a un nivel igual a las 2/3 partes de la altura de la edificación o a una altura inferior. Para proporcionar en la estructura varias trayectorias de resistencia a cargas laterales se provee de un cierto grado de redundancia al sistema. La fluencia de un elemento del sistema deriva en una redistribución de la carga en los elementos que todavía permanecen, de este modo se controla los desplazamientos y la deterioración de la estructura y además se retarda la formación de mecanismos de colapso. De este modo para mejorar el rendimiento sismo resistente de las edificaciones es necesario proporcionar múltiples trayectorias de carga para hacer de este modo el sistema resistente a fuerzas laterales lo mas redundante posible. Es así que el factor de redundancia ρ penaliza a las estructuras que tiene un grado de redundancia bajo con un incremento hasta del 50% de la fuerza horizontal de diseño. Y cuando se calcula el desplazamiento o cuando la estructura esta ubicada en las zonas sísmicas 0, 1 ó 2, ρ debe considerarse igual a 1.0 Para estructuras arriostradas, el valor de ri se determina como se muestra en la Figura 12.6. asumiendo que cada tirante o abrazadera resiste igual cortante sísmica, la máxima relación del esfuerzo cortante del elemento-piso es:

rmax = 0.5 El factor de redundancia esta dado por:

ρ = 2−

6.1

0.5 ⋅ 10 ⋅ 20 ρ = 1.14

10 m

Arriostre 20 m

V/2

V/2

Figura 12.6

Pórtico arriostrado

Para pórticos resistentes a momentos, ri debe tomarse como el máximo de la suma de las fuerzas cortantes en dos columnas contiguas cualquiera en una nave del pórtico resistente a momentos dividida por el esfuerzo cortante del piso, como muestra la Figura 12.7 para una estructura de un nivel y 4 naves. Para una columna común a dos niveles se utiliza el 70% del esfuerzo cortante en esa columna en la suma. Asumiendo que cada nave resiste una fuerza sísmica como indica la Figura 12.7, rmax es:

rmax = 0.33

157


20 m Pórtico resistente a momentos

10 m

V/6

V/3

V/3

Figura 12.7

V/6

Pórtico resistente a momentos

El factor de redundancia esta dado por:

ρ = 2−

6.1

0.33 ⋅ 20 ⋅10 ρ = 0.69 ρ = 1.0 mínimo

En los pórticos especiales resistentes a momentos ρ no debe ser mayor que 1.25. En los muros de corte, ri se determina como en la Figura 12.8, el cual es el valor máximo del producto del esfuerzo cortante del muro multiplicado por 3.05/lw (para unidades inglesas 10/lw) y dividido por el esfuerzo cortante total del piso, donde lw es la longitud del muro en metros (ft). Asumiendo que cada muro de corte resiste la mitad de la cortante sísmica como indica la Figura 12.8, rmax es: rmax = 0.5 ⋅

3.05 lw

rmax = 0.5 ⋅

3.05 30

rmax = 0.05

60 m Muro de Corte

30 m

V/2

V/2

Figura 12.8

Estructura con muros de corte

158


El factor de redundancia esta dado por:

ρ = 2− ρ = 1.0

6.1 0.05 ⋅ 30 ⋅ 60 mínimo

En sistemas dobles (dual), ri se determina como se muestra en la Figura 12.9 y se toma como el valor máximo definido en párrafos anteriores, considerando todos los elementos resistentes a cargas laterales. El factor de redundancia se toma como el 80% del valor calculado normalmente. Asumiendo que la cortante es distribuida entre los elementos como se indica en la Figura 12.9, rmax es:

rmax = 0.375 El factor de redundancia esta dado por: ⎛

ρ = 0.8 ⋅ ⎜⎜ 2 − ⎝

⎞ ⎟ ⎟ 0.375 ⋅ 30 ⋅ 60 ⎠ 6. 1

ρ = 1.29

60 m

30 m

Arriostre

3V/8

3V/8

Pórtico Resistente a Momentos V/8

V/8

Figura 12.9

Sistema doble

Las combinaciones de carga presentes en la Tabla 12.9 no se aplican para elementos de concreto cuando en las combinaciones no esta incluida la carga sísmica; para esta situación la sección 1909.2 del código UBC especifica las combinaciones de carga a ser utilizadas. Las combinaciones de carga factorizadas deben multiplicarse por 1.1 para hormigón y mampostería cuando en las combinaciones de carga esta incluida la carga sísmica.

12.4.2 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño de Esfuerzo Admisible El requisito básico para el diseño por esfuerzos admisibles es que, los esfuerzos en los elementos no deben exceder a los limites permisibles cuando están sujetos a las cargas de servicio. Se debe permitir que las estructuras y parte de las mismas se diseñen para los efectos más críticos que resulten de las siguientes combinaciones de carga. Para las combinaciones de carga incluyendo viento y sismo se permite un incremento de 1/3 parte de los esfuerzos admisibles.

159


Para el diseño por esfuerzos admisibles Ev , la respuesta vertical debida a los efectos de la aceleración vertical, se toma igual a cero. Además las cargas de viento y sismo no necesitan asumirse simultáneamente

12.5

TORSIÓN

Para transferir las fuerzas sísmicas al suelo, se deben utilizar los elementos resistentes verticales y horizontales para proporcionar trayectorias de cargas continuas a partir del tope de la estructura hacia las fundaciones. Los componentes verticales consisten de muros de corte, pórticos arriostrados y pórticos resistentes a momentos. Los componentes horizontales consisten de techos y diafragmas de piso, los cuales distribuyen las fuerzas laterales a los elementos verticales. Los diafragmas se consideran flexibles cuando la deformación lateral máxima del diafragma, bajo carga lateral, es mas del doble del desplazamiento promedio por piso del piso asociado. Esto puede determinarse comparando el punto medio calculado en la deflexión en planta del diafragma mismo con el desplazamiento por piso de los elementos colindantes resistentes a las fuerzas verticales tal como ilustra la Figura 12.10. el diafragma puede modelarse como una viga simple entre soportes y la distribución de la carga a éstos es independiente de sus rigideces relativas y proporcional al área tributaria correspondiente.

δM

δA δM> 2δA

Muro de Corte

Diafragma

Carga Sísmica Figura 12.10

Diafragma flexible

Cuando la deformación lateral máxima del diafragma es menor del doble del desplazamiento promedio de piso, el diafragma se considera rígido. Se deben considerar los incrementos del esfuerzo cortante que resulta de la torsión horizontal cuando los diafragmas no son flexibles. La distribución de la carga a los soportes es proporcional a sus rigideces relativas y es independiente del área tributaria soportada.

12.5.1 Momento Torsor El centro de rigideces es aquel punto alrededor del cual la estructura tiende a rotar cuando esta sujeta a una fuerza excéntrica. En el caso de la fuerza sísmica, ésta actúa en el centro de masas de la estructura y el momento torsor es el producto de la fuerza sísmica y la excentricidad del centro de masas con respecto al centro de rigideces. La ubicación del centro de masas calculado no es exacta debido a la distribución imprecisa del peso de la estructura, lo cual conduce a una torsión accidental; y acontece algo similar con el centro de rigideces calculado debido a la rigidez despreciada de los componentes no estructurales. Para tomar en cuenta estas incertidumbres debe asumirse que la masa en cada nivel se ha desplazado del centro de masas calculado en cada dirección una distancia igual al 5% de la dimensión de la edificación en ese nivel perpendicular a la dirección de la fuerza bajo consideración. Esta excentricidad accidental se amplifica cuando

160


existe una irregularidad torsional, como se define en la Tabla 11.2, multiplicándola por un coeficiente de amplificación Ax determinado de acuerdo a la siguiente ecuación: 2

⎛ δ max Ax = ⎜ ⎜ 1.2 ⋅ δ avg ⎝ donde:

⎞ ⎟ ≤ 3.0 ⎟ ⎠

(12.31)

δavg = el promedio de los desplazamientos en los puntos extremos de la estructura en el nivel x δmax = el desplazamiento máximo en el nivel x

12.5.2 Centro de Masas y Centro de Rigideces

V=Fuerza Sísmica N-S ex

R

r

CM (calculada)

CR R

N

R

W

ea

B

E

ea

rS

N

R r

N

S

r =L·R /(R +R ) E

W

W

W

E

L ea = Excentricidad accidental = 0.05·L V Fuerzas en el Plano

R V/(R +R ) W

W

R V/(R +R )

E

E

W

E

R r V(ex+e a)/ΣR r 2 N

_ T=V(e x+e a)

N

Efectos de la Torsión

R r V(ex+e a)/ΣR r 2 S

-R r V(ex-ea)/ΣR r 2 W

R r V(ex+e a)/ΣR r 2

W

Figura 12.11

S

E

Efecto de la torsión

E

161


La ubicación del centro de rigideces se obtiene a partir de momentos estáticos alrededor de un origen conveniente. De la Figura 12.11 para la carga sísmica en la dirección Norte-Sur, los muros Norte y Sur, los cuales no tienen rigidez en esa dirección, se desprecian y sólo se consideran los muros Este y Oeste, es así que la ubicación del centro de rigideces con referencia al muro Este esta dada por: rE =

ΣR y ⋅ x ΣR y

rE =

RW ⋅ L + R E ⋅ 0 RW + R E

rE =

RW ⋅ L RW + R E

La ubicación del centro de rigideces con referencia al muro Sur esta dado por: rS =

ΣR x ⋅ y ΣR x

rS =

R N ⋅ B + RS ⋅ 0 R N + RS

rS =

RN ⋅ B R N + RS

El momento de inercia polar de los muros esta dado por: J = Σr 2 ⋅ R J = rN2 ⋅ R N + rS2 ⋅ R S + rE2 ⋅ R E + rW2 ⋅ RW

De forma similar se calcula la ubicación del centro de masas, ⎯x, ⎯y. Y la fuerza cortante total en la base de los muros Este y Oeste esta dada entonces por la suma de la cortante debida a las fuerzas en ese plano y los momentos torsores. Es importante que el momento torsor de diseño en un piso determinado debe ser el momento resultante de las excentricidades entre las fuerzas laterales de diseño aplicadas en los niveles por encima de ese piso y los elementos resistentes a las cargas verticales en ese piso más una torsión accidental.

12.5.3 Efectos de la Torsión La excentricidad entre el centro de masas y el centro de rigideces esta ilustrada en la Figura 12.11 como: e x = rE − x

La excentricidad accidental esta dada por: e a = 0.05 ⋅ L

La excentricidad máxima es: e maz = e x + e a

La excentricidad mínima es: e min = e x − e a

El momento torsor máximo para la carga sísmica Norte-Sur esta dado por: Tmax = V ⋅ e max Tmax = V ⋅ (e x + e a )

162


El momento torsor mínimo para la carga sísmica Norte-Sur esta dado por: Tmin = V ⋅ e min Tmin = V ⋅ (e x − e a )

La fuerza total en el muro Este, para la carga sísmica Norte-Sur es:

F = FS + FT (max) donde la fuerza cortante en la dirección considerada es: FS =

RE ⋅V R E + RW

La fuerza cortante debido al momento torsor más critico en el muro Este es: FT (max) =

Tmax ⋅ rE ⋅ R E J

Para el muro Oeste, debido a que el momento torsor actúa en sentido opuesto al plano de acción de las fuerzas, la fuerza cortante debido al momento torsor mas critico es: FT (min) =

Tmin ⋅ rW ⋅ RW J

Y la fuerza total de diseño es:

F = FS − FT (min)

12.6

TABLAS Zona

1

2ª

2B

3

4

Z

0.075

0.15

0.20

0.30

0.40

Nota.- La zona sísmica debe determinarse del mapa de zonas sísmicas Tabla 12.1

Perfil del

Zona 1

Zona 2A

Factor de zona sísmica Z

Zona 2B

Zona 3

Zona 4

suelo

Ca

Cv

Ca

Cv

Ca

Cv

Ca

Cv

Ca

Cv

SA

0.06

0.06

0.12

0.12

0.16

0.16

0.24

0.24

0.32·Na

0.32·Nv

SB

0.08

0.08

0.15

0.15

0.20

0.20

0.30

0.30

0.40·Na

0.40·Nv

SC

0.09

0.13

0.18

0.25

0.24

0.32

0.33

0.45

0.40·Na

0.56·Nv

SD

0.12

0.18

0.22

0.32

0.28

0.40

0.36

0.54

0.44·Na

0.64·Nv

B

SE SF

0.19 0.26 0.30 0.50 0.34 0.64 0.36 0.84 0.36·Na 0.96·Nv Se deben realizar investigaciones geotécnicas y análisis de respuesta dinámica del lugar para determinar los coeficientes de sismicidad Tabla 12.2

Coeficientes de respuesta del terreno

163


Tipo de perfil de suelos

Descripción

SA

Roca dura

SB

Roca

B

SC SD SE1 SF

Propiedades del suelo promedio para los 30 m. (100 ft.) superiores del perfil del suelo Ensayo estándar de Resistencia a corte no Velocidad de onda de penetración, N drenado, Su psf corte, ⎯vs, ft/s (m/s) (golpes/ft) (kPa) >5000 ⎯ ⎯ (1500) 2500 a 5000 ⎯ ⎯ (760 a 1500)

Suelo muy 1200 a 2500 >2000 >50 denso y roca (360 a 760) (100) blanda Perfil de suelo 600 a 1200 1000 a 2000 15 a 50 (180 a 360) (50 a 100) rígido Perfil de suelo <600 <1000 <15 (180) (50) sólido Suelo que requiere evaluación especifica del lugar. véase UBC 1629.3.1

1

El suelo del perfil Tipo SE también incluye cualquier perfil de suelo con mas de 3048 mm (10 ft) de arcilla blanda definida como un suelo con un índice de plasticidad, PI>20, wme≥40% y su<24 kPa (500psf). El índice de plasticidad, PI, y el contenido de humedad, wme, deben determinarse de acuerdo a la norma ASTM Tabla 12.3

Tipos de perfile de suelo

Definición a la fuente del sismo1 Magnitud del Proporción de momento deslizamiento, SR máximo M (mm/año)

Tipo de lugar de origen del sismo

Descripción a la fuente del sismo

A

Fallas que pueden producir eventos de gran magnitud y que tienen una alta relación de actividad sísmica.

M ≥ 7.0

SR ≥ 5

B

Otras fallas además de los tipos A y C

M ≥ 7.0 M < 7.0 M ≥ 6.5

SR < 5 SR > 2 SR < 2

C

Fallas que no pueden producir eventos de gran magnitud y que tienen una relación de actividad sísmica relativamente baja.

M < 6.5

SR ≤ 2

1 Tanto las condiciones de magnitud del momento máximo como de proporción de deslizamiento deben ser satisfechas simultáneamente cuando se determina el tipo de lugar de origen del sismo.

Tabla 12.4


Distancia más próxima a la fuente del sismo conocido


≤ 2 km

5 km

≥ 15 km

10 km

Na

Nv

Na

Nv

Na

Nv

Na

Nv

A

1.5

2.0

1.2

1.6

1.0

1.2

1.0

1.0

B

1.3

1.6

1.0

1.2

1.0

1.0

1.0

1.0

C

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

Nota.- Los factores de cercanía a la fuente pueden basarse en la interpolación lineal de valores para distancias diferentes a las que se muestran en la Tabla. Tabla 12.5

Factores de cercanía a la fuente

164


Amortiguamiento ξ

Descripción del tipo de Construcción

Pórtico de acero, soldado, con todos los muros de construcción flexible Pórtico de acero, soldado o apernado, con revestimiento rígido y con todos los muros interiores flexibles Pórtico de acero soldado o apernado, con muros de cortante de hormigón Pórtico de hormigón con todos los muros de construcción flexible Pórtico de hormigón, con revestimiento rígido y todos los muros interiores flexibles Pórtico de hormigón, con muros de cortante de hormigón o mampostería Edificios con muros de cortante de hormigón y/o mampostería Construcción de muros de cortante de madera Tabla 12.6

Sistema estructural básico

2. 1.

Sistemas de muros de carga

3. 4.

1. 2.

2.

Sistemas de estructura de la edificación

3.

4.

5. 3.

Sistema de 1. estructuras resistente a los momentos 2. 3.

0.05 0.07 0.05 0.07 0.10 0.10 0.15

Relaciones de amortiguamiento típico para estructuras

Descripción de los sistemas resistentes

1.

0.02

Muros de estructuras ligeras con paneles de corte a. Muros de paneles estructurales de madera para estructuras de 3 pisos o menos. b. Todos los demás muros con estructuras livianas Muros de corte a. Hormigón. b. Albañilería. Muros de carga de estructuras de acero ligero con arriostramiento solo para tensión. Estructuras arriostradas donde los arriostres transmiten cargas por gravedad a. Acero b. Hormigón. c. Maderos estructurales. Estructuras de acero arriostradas excéntricamente (EBF) Muros de estructuras ligeras con paneles de cortante: a. Muros de paneles estructurales de madera para estructuras de 3 pisos o menos b. Todos los demás muros con estructuras livianas Muros de cortante a. Hormigón. b. Albañilería Estructuras comunes arriostradas a. Acero b. Hormigón c. Maderos estructurales Estructuras especiales arriostradas concéntricamente a. Acero Estructuras especiales resistente a los momentos (SMRF) a. Acero b. Hormigón Estructuras de muros de albañilería resistente a los momentos (MMRWF) Estructuras intermedias de hormigón resistente a los momentos (IMRF)

R

Ωo

Altura límite para las zonas sísmicas 3 y 4 (ft) ×304.8 para mm.

5.5

2.8

65

4.5

2.8

65

4.5 4.5

2.8 2.8

160 160

2.8

2.2

65

4.4 2.8 2.8 7.0

2.2 2.2 2.2 2.8

160 ⎯ 65 240

6.5

2.8

65

5.0

2.8

65

5.5 5.5

2.8 2.8

240 160

5.6 5.6 5.6

2.2 2.2 2.2

160 ⎯ 65

6.4

2.2

240

8.5 8.5

2.5 2.5

N.L N.L.

6.5

2.8

160

5.5

2.8

⎯

165


4.

5. 1.

4.

Sistema doble (dual)

2.

3.

4.

Sistemas de edificación 1. de columnas en voladizo 6. Sistema de interacción de estructuras 1. y muros de cortante 7. Sistemas 1. indefinidos

Estructuras comunes resistentes a los momentos (OMRF) a. Acero b. Hormigón Estructuras de acero con cerchas especiales para momentos (STMF) Muros de cortante a. Hormigón con SMRF b. Hormigón con OMRF en Acero c. Hormigones con IMRF en hormigón d. Albañilería con SMRF e. Albañilería con OMRF en acero f. Albañilería con IMRF en hormigón g. Albañilería con MMRWF en albañilería EBF en acero a. Con SMRF en acero b. Con OMRF en acero Estructuras comunes arriostradas a. Acero con SMRF en acero b. Acero con OMRF en acero c. Hormigón con SMRF en hormigón d. Hormigón con IMRF en hormigón Estructuras especiales arriostradas concéntricamente a. Acero con SMRF en acero b. Acero con OMRF en acero

4.5 3.5

2.8 2.8

160 ⎯

6.5

2.8

240

8.5 4.2 6.5 5.5 4.2 4.2 6.0

2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8

N.L. 160 160 160 160 ⎯ 160

8.5 4.2

2.8 2.8

N.L. 160

6.5 4.2 6.5 4.2

2.8 2.8 2.8 2.8

N.L. 160 ⎯ ⎯

7.5 4.2

2.8 2.8

N.L. 160

Elementos de columnas en voladizo

2.2

2.0

35

Hormigón

5.5

2.8

160

Véase las secciones 1629.6.7 y 1629.9.2 UBC

⎯

⎯

⎯

5.

Tabla 12.7

Sistemas estructurales

166


Categoría de tenencia

1.

Instalaciones esenciales

2.

Instalaciones peligrosas

3.

Estructuras para destinos especiales

4.

Estructuras para destinos estándar 5. Estructuras misceláneas

Destino o funciones de la estructura Destinos del grupo I, División 1 que tienen áreas para cirugías y tratamientos de emergencia Estaciones de bomberos y policías Garajes y cocheras para vehículos y naves aéreas de emergencia. Estructuras y refugios en centros de preparación para emergencias Torres de control de aviación Estructuras y equipos en centros de comunicación del gobierno y otras instalaciones requeridas para respuestas de emergencia Equipos de generación de energía de reserva para instalaciones de la Categoría 1 Tanques u otras estructuras que albergan, contienen o soportan agua u otros materiales para combatir incendios o equipos requeridos para protección de estructuras de las Categorías 1, 2 ó 3 Destinos del grupo H, Divisiones 1, 2, 6 y 7 y las estructuras de las mismas que albergan o contienen productos químicos o sustancias toxicas o explosivas Estructuras que no forman parte de edificaciones que albergan, soportan o contienen cantidades de sustancias toxicas o explosivas de las cuales, si estuvieran contenidas dentro de una edificación, harían que dicha edificación se clasificara como Destino del Grupo H, Divisiones 1, 2 ó 7 Destinos del Grupo A, Divisiones 1, 2 y 2.1 Edificaciones que contienen destinos del Grupo E, Divisiones 1 y 3 con capacidad mayor de 300 estudiantes. Edificaciones que contienen destinos del Grupo B utilizadas para educación superior o de adultos con capacidad mayor de 500 estudiantes. Destinos del Grupo I, Divisiones 1 y 2 con 50 o más pacientes residentes incapacitados, pero no incluidos en la categoría I. Destinos del Grupo I, División 3 Todas las estructuras con un número de ocupantes mayor de 5000 personas. Estructuras y equipo en estaciones de generación de energía y otras instalaciones de servicios públicos no incluidos en las categorías 1 ó 2 anteriores, pero requeridas para operación continua. Todas las estructuras que contiene destinos o tienen funciones no indicadas en las Categorías 1, 2 ó 3 y las torres de destinos del Grupo U Destinos del Grupo U excepto las torres

Factor de Factor de Factor de importancia importancia importancia sísmica, I sísmica, Ip sísmica, Iw

1.25

1.50

1.15

1.25

1.5

1.15

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

Ip Coeficiente de importancia para elementos no estructurales Iw Coeficiente de importancia cuando se diseña por cargas de viento. Tabla 12.8

Categoría de destino (coeficientes de importancia)

167


Factores de carga

Combinación de carga

D + L + Lr (ó S) D + L + Lr (ó S) D + Lr (ó S) + W D + L + Lr (ó S) + W D+L D+L+E D+L+S+E D+W D+E

D

L

Lr

W

S

E

1.2 1.2 1.2 1.2 1.4 1.05 1.2 0.9 0.9

1.6 f1 ⎯ f1 1.7 1.275 f1 ⎯ ⎯

0.5 1.6 1.6 0.5 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ ⎯ 0.8 1.3 ⎯ ⎯ ⎯ ± 1.3 ⎯

(0.5) (1.6) (1.6) (0.5) ⎯ ⎯ f2 ⎯ ⎯

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ± 1.4025 1.0 ⎯ ± 1.43

D = Carga muerta, L = Carga viva, Lr = carga viva de techo, W = carga de viento, S = carga de nieve, E = carga sísmica, f1 = 1.0 para garajes, áreas ocupadas como lugares públicos de reunión y todas las áreas donde la carga viva sea mayor de 48 kN/m2 (100 psf), f1 = 0.5 para otras cargas vivas. f2 = 0.2 para configuraciones de techo que soportan nieve = 0. 7 para otras configuraciones E = ρEh + Ev Para concretos y estructuras de mampostería, los factores de carga mencionados arriba son multiplicados por 1.1, donde las combinaciones de carga incluyen fuerza sísmica. Para estructuras de concreto, donde las combinaciones de carga no incluyen fuerzas sísmicas, las combinaciones de carga del código UBC sección 1909.2 son aplicables. Tabla 12.9

Combinación de carga

D + L + Lr (ó S) D+L+W D+L+E D+L+S+W D+L+S+W D+L+S+E

Factores de carga para el método de diseño por resistencia

Factores de carga D

L

1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

Lr 1.0 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯

W

S

E

Esfuerzo >

⎯ 1.0 ⎯ 1.0 0.5 ⎯

(1.0) ⎯ ⎯ 0.5 1.0 1.0

⎯ ⎯ 1/1.4 ⎯ ⎯ 1/1.4

0.0 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3

D = Carga muerta, L = Carga viva, Lr = carga viva de techo, W = carga de viento, S = carga de nieve, E = carga sísmica, Para cargas de nieve que no exceden 14.5 kN/m2 (30 psf) no necesitan comobinarse con cargas sismicas E = ρEh Tabla 12.10

Factores de carga para el método de diseño por esfuerzos admisibles

168


12.7

EJEMPLOS

Ejemplo 12.1

Determinación del coeficiente de respuesta sísmica

El pórtico de acero resistente a momentos, cuyas propiedades se muestran en la Figura 12.12, tiene una altura de 12 m. y un coeficiente de amortiguamiento de 5%; está ubicado en un sitio, el cual pertenece a una zona sísmica de 3 con un perfil indeterminado de suelo. Calcular el valor del coeficiente de respuesta sísmica. w3 =400 [t] 3

k3=50 [t/cm]

w2 =400 [t] 2

k2=70 [t/cm]

w1 =400 [t] 1

k1=100 [t/cm]

Figura 12.12

Solución:

Los coeficientes de respuesta del suelo se obtienen a partir de la Tabla 12.2, utilizando el perfil del tipo de suelo SD para perfiles de suelo indeterminados: Ca = 0.36 Cv = 0.54 El período natural de la estructura, utilizando el método A, es: T A = C t ⋅ hn3 / 4 donde: entonces el periodo natural es:

Ct = 0.0853 hn = 12 [m]

para pórticos de acero resistentes a momentos altura del techo

T A = 0.0853 ⋅ (12) 3 / 4 = 0.55 [s] El coeficiente de respuesta sísmica está dado por: C ⋅I Cs = v R ⋅T donde el valor del factor de modificación de respuesta R, para pórtico resistente a momentos, se obtiene a partir de la Tabla 12.7, de este modo se tiene que: 0.54 ⋅1 Cs = = 0.115 8.5 ⋅ 0.55 El valor mínimo permitido para el coeficiente de respuesta sísmica es: C s ≥ 0.11 ⋅ C a ⋅ I C s ≥ 0.11 ⋅ 0.36 ⋅1 = 0.04

169


El valor máximo permitido para el coeficiente de respuesta sísmica es: 2. 5 ⋅ C a ⋅ I Cs ≤ R 2.5 ⋅ 0.36 ⋅1 Cs ≤ = 0.106 ... el que gobierna 8. 5

Determinación de la cortante basal

Ejemplo 12.2

El pórtico de acero resistente a momentos de la Figura 12.12 está ubicado en un sitio correspondiente a una zona sísmica 4, con un tipo de perfil de suelo SB; el sitio está ubicado a 7.5 km del origen sísmico tipo A. Calcular el valor de la cortante basal sísmica. B

Solución:

De las Tablas 12.2 y 12.5 se obtienen los coeficientes requeridos para el cálculo, correspondientes al tipo de perfil de suelo SB para un sitio ubicado a 7.5 km del origen sísmico tipo A: B

N a = 1.1 N v = 1.4 C a = 0.4 ⋅ N a = 0.44 C v = 0.4 ⋅ N v = 0.56

Los valores de T correspondientes a la Figura 12.1 son: Cv 0.56 Ts = = = 0.509 2.5 ⋅ C a 2.5 ⋅ 0.44 Ta = 0.2 ⋅ Ts = 0.102

[s]

[s]

El periodo natural utilizando el método A está resuelto en el ejemplo 12.1, el cual es: TA = 0.55 [s] TA > Ts De la Tabla 12.7 se obtiene el factor de modificación de respuesta R = 8.5 para el pórtico de acero resistente a momentos; entonces la cortante basal está dada por: C ⋅I V = C s ⋅W = v ⋅W R ⋅T 0.56 ⋅1 V = ⋅ W = 0.12 ⋅ W = 143.74 [t ] 8.5 ⋅ 0.55

170


Distribución vertical de la fuerza sísmica

Ejemplo 12.3

La estructura mostrada en la Figura 12.13 es de muros portantes de mampostería, tiene una cubierta y un segundo piso que pesan 100 [kg/m2], los muros pesan alrededor de 500 [kg/m2]. La edificación está localizada en una zona sísmica 3 con un perfil de suelo desconocido. Determinar la distribución vertical de la fuerza.

30 x 30 [m] 4m

nivel 2

4m

nivel 1

estructura de muros portantes Figura 12.13

Solución:

El período natural de la estructura, utilizando el método A, es: T = C t ⋅ hn3 / 4 = 0.0488 ⋅ (8) 3 / 4 = 0.23

T < 0.7

[s]

[s]

Por tanto el valor de la fuerza Ft=0, y la ecuación 12.16 para la distribución de la fuerza sísmica se reduce a: w ⋅h Fx = V ⋅ x x Σwi ⋅ hi Para ello, la carga muerta sísmica localizada en el nivel 1 es: 0.100·30·30 = 90 [t] 2º piso : muros : 4·0.5·30·4 = 240 [t] w1 = 330 [t] La carga muerta sísmica localizada en el nivel 2 es: techo : muros : w1 = 210 [t]

0.100·30·30 = 90 [t] 4·0.5·36·4/2 = 120 [t]

El coeficiente de respuesta sísmica está dado por: C v ⋅ I 2. 5 ⋅ C a ⋅ I ≤ R ⋅T R 0.54 ⋅1 2.5 ⋅ 0.36 ⋅1 Cs = ≤ 5.5 ⋅ 0.23 5. 5 C s = 0.420 ≤ 0.164 Cs =

C s = 0.164 ... gobierna

171


La cortante basal está dada por: V = C s ⋅ W = 0.164 ⋅ 540 = 88.56

[t ]

y F x = 88.56 ⋅

wx ⋅ hx = 0.02952 ⋅ w x ⋅ h x 3000

La distribución vertical de la fuerza sísmica está dada en la siguiente tabla: Nivel 2 1 Total

wx 210 330 540

hx 8 4 -

wx·hx 1680 1320 3000

Fx 49.59 38.97 88.56

Efecto P-Δ

Ejemplo 12.4

Del pórtico de acero detallado en el ejemplo 10.1, determinar si es necesario considerar el efecto P-Δ. w2 =70 [t] 10.27 [cm]

4m

2

k2=3 [t/cm]

w1 =70 [t]

4.60 [cm]

1

4m

22.25 [t]

30.20 [t]

k1=7 [t/cm]

Figura 12.14

Solución:

El momento primario para el primer piso es: M p1 = ( F1 + F2 ) ⋅ hs1 = (22.25 + 30.20) ⋅ 4 = 209.80 El momento secundario para el primer piso es: M s1 = ( w1 + w 2 ) ⋅ x1 = 2 ⋅ 70 ⋅

4.60 = 6.44 100

El índice de estabilidad está dado por:

θ1 =

M s1 6.44 = = 0.031 < 0.1 M p1 209.80

Por tanto no es necesario considerar el efecto P-Δ

[t ⋅ m]

[t ⋅ m]

172


Desplazamiento de entrepiso

Ejemplo 12.5

Dado el pórtico especial resistente a momentos como se ilustra en la Figura 12.15. El módulo de elasticidad E=2038900 [kg/cm2]. Todas las columnas están fijas en la parte superior. La viga continua es infinitamente rígida.

viga infinitamente rígida 40 [t]

+7.60 m

D

C I = 74920

E

I = 124870

I = 74920

I = 62435

B

I = 87400

A

+3.30 m +2.50 m empotramiento

+1.00 m articulación 0.00 m

articulación empotramiento

Figura 12.15

Se requiere: 1. 2. 3.

Calcular el desplazamiento de piso debido a la carga sísmica de 40 [t] Determinar si los desplazamientos calculados están en conformidad con los requisitos del código UBC. Si se rellenan cada uno de los tramos con muros de mampostería no estructural, cuales son los espaciamientos mínimos recomendados entre el muro y la columna para estar de acuerdo con los requisitos del código UBC.

Solución:

La rigidez del pórtico se obtiene a partir de la sumatoria de las rigideces individuales de cada columna. La rigidez de la columna A está dada por: E⋅I 2038.900 ⋅ 62435 k A = 12 ⋅ = 12 ⋅ = 19.21 [t/cm ] 3 l (4.3 ⋅ 100) 3 La rigidez de la columna B está dada por: 2038.900 ⋅ 74920 E⋅I k B = 3⋅ 3 = 3⋅ = 3.45 [t/cm ] (5.1 ⋅100) 3 l La rigidez de la columna C es cero, puesto que tiene dos articulaciones: k C = 0.00

[t/cm]

173


La rigidez de la columna D está dada por: k D = 3⋅

E⋅I l

3

= 3⋅

2038.900 ⋅ 87400 (6.6 ⋅ 100) 3

= 1.86

[t/cm]

= 6.96

[t/cm ]

La rigidez de la columna E está dada por: k E = 12 ⋅

E⋅I l

3

= 12 ⋅

2038.900 ⋅124870 (7.6 ⋅100) 3

La rigidez total del pórtico, para la carga lateral, es: kT = k A + k B + k C + k D + k E k T = 31.49

1.

El desplazamiento lateral del pórtico debido a una carga sísmica V de 40 [t] es: Δs =

2.

[t/cm ]

V 40 = = 1.27 k T 31.49

[cm]

Desplazamiento lateral admisible. Asumiendo que la edificación tiene un periodo fundamental menor a 0.7 [s], la relación del desplazamiento admisible está limitado a: Δ R = 0.025

La respuesta de desplazamiento del nivel de diseño es: Δ RS =

Δs 1.27 = = 0.002953 hs 4.3 ⋅100

Para pórticos especiales de acero resistentes a momentos, el factor de modificación de respuesta R es 8.5, de este modo la relación de respuesta de desplazamiento inelástico es: Δ RM = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ RS = 0.7 ⋅ 8.5 ⋅ 0.002953 = 0.0176 < Δ R

Por tanto la relación de desplazamiento calculado está de acuerdo con los requisitos del código UBC.

3.

Separación de la edificación. Es un requisito el que todas las partes de la edificación estén separadas una distancia suficiente de tal modo que les permita un movimiento sísmico independiente sin dar lugar al impacto entre partes adyacentes. Considerando despreciable el desplazamiento de los muros de mampostería y tomando en cuenta sólo el desplazamiento del pórtico de acero. La separación admisible entre los elementos estructurales está dada por el desplazamiento de respuesta inelástica: Δ M = 0.7 ⋅ R ⋅ Δ s Δ M = 0.7 ⋅ 8.5 ⋅1.27 Δ M = 7.56

[cm]

174


Cargas en los diafragmas

Ejemplo 12.6

Determinar las cargas sobre los diafragmas para la estructura de dos niveles detallada en el ejemplo 12.3.

Solución:

Debido a que la fuerza lateral en el nivel superior es cero, la ecuación 12.22 se reduce a: F px = w px ⋅

ΣFi Σw i

La carga muerta sísmica tributaria sobre el diafragma correspondiente al nivel 2 es:

0.100·30·30 = 90 [t] cubierta : muros : 2·0.5·30·4/2 = 60 [t] wp2 = 90+60 = 150 [t] La carga muerta sísmica tributaria sobre el diafragma correspondiente al nivel 1 es: 2º piso : 0.100·30·30 = 90 [t] muros : 2·0.5·30·4 = 120 [t] wp1 = 90+120 = 210 [t] Los valores máximos y mínimos estipulados son: F p min ≥ 0.5 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px = 0.5 ⋅ 0.36 ⋅1 ⋅ w px = 0.18 ⋅ w px F pmáx ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px = 1.0 ⋅ 0.36 ⋅1 ⋅ w px = 0.36 ⋅ w px

Los valores correspondientes a las fuerzas están dados en la siguiente tabla:

Nivel

Σwi

ΣFi

2

210

49.59

1

540

88.56

ΣFi

Máx.

Mín.

wpx

Fpx

0.236

0.36

0.18

150

35.40

0.164

0.36

0.18

210

37.80

Σw i

Capítulo 13

MÉTODO DINÁMICO SUPERPOSICIÓN MODAL

13.1

INTRODUCCIÓN

El análisis debe basarse en una representación apropiada del movimiento del suelo y debe realizarse utilizando los principios aceptados de la dinámica.

13.2

VENTAJAS DEL ANÁLISIS MODAL

El procedimiento de análisis modal es apropiado para calcular la respuesta de estructuras complejas de varios grados de libertad a movimientos sísmicos. La respuesta estructural es modelada como la máxima respuesta de un número de oscilaciones de un simple grado de libertad, cada uno representando un modo específico de vibración de la estructura real. Combinando la respuesta de los modos individuales se obtienen las fuerzas externas equivalentes, la cortante basal y el cortante de piso, que pueden usarse de la misma forma como en el procedimiento de fuerza lateral estática. El procedimiento de análisis modal tiene la ventaja de determinar la distribución real de las fuerzas laterales, de las masas y una distribución de rigideces a lo largo de la altura de una estructura irregular, que puede diferir apreciablemente de la distribución lineal simplificada asumida en el método de la fuerza lateral estática. Además, considera los efectos de los modos más altos de la respuesta de una estructura, alguno de los cuales puede contribuir significativamente en la respuesta global de la estructura.

13.3

PROCEDIMIENTO DEL ANÁLISIS MODAL

Las fases necesarias en el procedimiento del análisis modal se basan en seleccionar un espectro de respuesta sísmica apropiado, aplicando una técnica de análisis dinámico para un modelo matemático de la estructura, combinando la respuesta de un número suficiente de modos para asegurar de que por lo menos el 90% de la masa participante de la estructura esté incluido en el cálculo de respuesta para cada dirección horizontal principal. El espectro de diseño presentado en el código UBC e ilustrado en la Figura 13.1, puede utilizarse después de aplicarse valores apropiados de Ca y Cv consistentes con el lugar específico. Las ordenadas de aceleración del espectro de diseño deben multiplicarse por la aceleración de la gravedad. Alternativamente, se pueden utilizar espectros de diseño de lugares específicos como el ilustrado en la Figura 10.6. El espectro de diseño debe suavizarse para eliminar reducciones de respuesta para periodos específicos, debe tener como mínimo 10% de probabilidad de ser excedido en 50 años, además, el espectro debe desarrollarse para una relación de

176

Método dinámico, superposición modal

amortiguamiento de 5%, a menos que se demuestre que un valor diferente sea consistente con el comportamiento estructural anticipado a la intensidad de vibración establecida para el sitio.

PERIODOS DE CONTROL

T s = C v / 2.5 C a T 0 = 0.2.5 T s

Aceleración espectral, g

2.5 C a

Cv / T

Ca

T

T

0

s

Periodo [s]

Figura 13.1

Espectro de respuesta de diseño

Como se dijo anteriormente es necesario una cantidad suficiente de modos para asegurar que el 90% de la masa participante de la estructura este incluida en el cálculo. De este modo el peso total de la estructura está dado por:

W = Σwi

(13.1)

y el peso efectivo para un modo dado esta definido por:

WE =

(Σwi ⋅ φ i ) 2 Σwi ⋅ φ i2

(13.2)

W E = P ⋅ Σwi ⋅ φ i W E = P 2 ⋅ Σwi ⋅ φ i2

(13.3)

W E = g ⋅V Sa

donde:

P = Factor de participación para un modo dado = (Σwi·φi)/Σwi·φi2

Para una forma modal normalizada, el factor de participación se reduce a:

P=

Σwi ⋅ φ i g

(13.4)

Por tanto la ecuación 13.2 se reduce a:

WE =

(Σwi ⋅ φ i ) 2 g

La relación entre el peso efectivo y el peso total de la estructura está dado por:

(13.5)

177


ΣW E = W

donde:

(13.6)

ΣWE = es la suma de los pesos efectivos para todos los modos.

Por consiguiente, debe definirse un número suficiente de modos para asegurar que la suma de sus pesos efectivos sea: Σ W E ≥ 0 .9 ⋅ W

(13.7)

Para asegurar consistencia con los principios básicos de diseño adoptados en el procedimiento de fuerza lateral estática, el código UBC estipula un valor mínimo del cortante basal calculado por un análisis dinámico, y todos los parámetros correspondientes de respuesta deben estar de acuerdo con:

Para una estructura regular, usando el espectro de respuesta que presenta el código UBC, el cortante basal determinado por un análisis dinámico no debe ser menor que 90% del obtenido por el procedimiento de fuerza lateral estática.

Para una estructura regular, usando un espectro de respuesta específico de un sitio, el cortante basal determinado por un análisis dinámico no debe ser menor que 80% del obtenido por el procedimiento de fuerza lateral estática.

Para una estructura irregular, el cortante basal adoptado no debe ser menor que el obtenido por el procedimiento de fuerza lateral estática.

Para cualquier estructura, el cortante basal adoptado no debe ser menor que el obtenido por un análisis dinámico dividido entre un valor apropiado de R.

El código UBC proporciona dos métodos de análisis dinámico: el análisis espectral y el análisis por historia del tiempo, que se describen a continuación.

13.4

ANÁLISIS ESPECTRAL 1

Es un análisis dinámico elástico de una estructura que utiliza la respuesta dinámica máxima de todos los modos que tienen una contribución importante a la respuesta estructural total. Las respuestas modales máximas se calculan utilizando las ordenadas de la curva de espectro de respuesta apropiada que corresponda a los periodos modales. Las contribuciones modales máximas se combinan de manera estadística para obtener una respuesta estructural total aproximada. Los parámetros de respuesta correspondientes incluyendo fuerzas, momentos y desplazamientos, deben denominarse Parámetros de Respuesta Elástica.

13.4.1 Numero de Modos Debe satisfacerse el requisito de incluir todos los modos importantes, demostrando que en los modos considerados, por lo menos el 90% de la masa participante de la estructura este incluida en el cálculo de respuesta para cada dirección horizontal principal, ver la ecuación 13.7. Los modos de vibración deben obtenerse utilizando metodologías establecidas de dinámica estructural, tales como: el Análisis de Eigenvectores o el Análisis de los Vectores de Ritz 1



178

13.4.2 Combinación de Modos Las fuerzas máximas del elemento, desplazamientos, fuerzas cortantes por piso y reacciones de base para cada modo, deben combinarse mediante métodos reconocidos, tales como: El método CQC, Combinación Cuadrática Completa, método descrito por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo. (1981). El método GMC, Combinación Modal General, método descrito por Gupta (1990). El método SRSS, Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados. El método de La suma de valores absolutos, ABS Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el análisis, los efectos de interacción modal deben considerarse cuando se combinen las máximas modales

13.4.3 Efectos de Dirección En las zonas sísmicas 2, 3 y 4, deben considerarse los efectos de las fuerzas sísmicas que actúan en direcciones diferentes a los ejes principales en cada una de las siguientes circunstancias:

La estructura tiene irregularidad de planta del Tipo 5 como se indica en la Tabla 11.2 La estructura tiene irregularidad de planta del Tipo 1 en ambos ejes principales como se indica en la Tabla 11.2 Cuando una columna de una estructura forma parte de dos o más sistemas interceptantes de resistencia a las fuerzas sísmicas

Los efectos ortogonales pueden tenerse en cuenta suponiendo la concurrencia simultanea del 100% de las fuerzas sísmicas en una dirección y el 30% de las fuerzas sísmicas en la dirección perpendicular. Debe utilizarse la combinación que requiera la mayor resistencia del elemento. Alternativamente, los efectos de las dos direcciones ortogonales pueden combinarse basándose en la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados, SRSS. Cuando se utilice el método SRSS en la combinación de los efectos direccionales, a cada término calculado se le debe asignar el signo del resultado más conservador.

13.4.4 Torsión El análisis debe considerar los efectos torsionales, incluyendo los efectos torsionales accidentales como se describe en la sección 12.5.1. Cuando se utilicen modelos tridimensionales para el análisis, los efectos de torsión accidental deben incluirse haciendo los ajustes apropiados en el modelo, como ajustes de ubicaciones de masas o mediante los procedimientos estáticos equivalentes.

13.4.5 Sistemas Dobles Cuando las fuerzas laterales son resistidas por un sistema doble, tal como se define en la sección 11.3.4, el sistema combinado debe tener capacidad para resistir el esfuerzo de corte basal que se obtiene por medio del análisis dinámico. El pórtico resistente a momentos debe diseñarse para resistir independientemente por lo menos el 25% del esfuerzo cortante basal máximo admisible de diseño, y puede llevarse a cabo por medio de un análisis dinámico apropiado o por medio de un análisis de fuerza horizontal equivalente.

13.5

EL ANÁLISIS POR HISTORIA DEL TIEMPO (CRONOLÓGICO) 2

Determina la respuesta de la estructura a través de una integración numérica sobre pequeños incrementos de tiempo, cuando la base está sujeta a una cronología específica del movimiento del suelo. 2


179


La metodología de un análisis dinámico cronológico puede ser utilizada cuando a juicio del ingeniero diseñador ella describe adecuadamente las propiedades dinámicas de la estructura y conduce a resultados representativos de los movimientos sísmicos de diseño. El modelo matemático empleado puede ser linealmente elástico o inelástico.

13.6

SIMULADOR ESTRUCTURAL.

Esta sección describe los tipos básicos de análisis disponibles en el Programa SAP2000 Diferentes tipos de análisis son disponibles en el Programa:

Análisis estático Análisis P-delta Análisis Modal para los modos de vibración, usando eigenvectores o vectores de Ritz - Análisis del espectro de respuesta para una respuesta sísmica - Análisis dinámico cronológico: lineal, no lineal y periódico. Análisis de cargas móviles para cargas vivas de vehículos en puentes

Estos diferentes tipos de análisis pueden desarrollarse en la misma ejecución del programa, con las siguientes excepciones:

El análisis modal requiere realizar un análisis espectral o un análisis dinámico cronológico. Solamente un análisis modal puede realizarse en una sola corrida: el análisis de eigenvectores o el análisis de vectores de Ritz

Cuando se realiza el análisis del efecto P-delta, afecta los resultados de todos los otros análisis realizados en la misma ejecución del programa.

13.6.1 Análisis de Eigenvectores El análisis de eigenvectores determina las formas modales para vibración libre no amortiguada y frecuencias del sistema. Estos modos naturales proporcionan una visión excelente en el comportamiento de la estructura. Éstos también pueden usarse como base para el análisis del espectro de respuesta o el análisis dinámico cronológico, aunque se recomiendan los vectores de Ritz para este propósito. El análisis de Eigenvectores involucra la solución de la ecuación de eigenvalores generalizado dado por la ecuación 10.17:

([K ] − Ω

2

)

⋅ [M ] ⋅ {Φ} = 0

donde: K = es la matriz de rigidez M = es la matriz diagonal de masa Ω = es la matriz diagonal de eigenvalores Φ = matriz de los correspondientes eigenvectores (formas modales) Cada par de Eigenvalor-Eigenvector es llamado modo de vibración natural de la estructura. Los Modos se identifican por los números del 1 al n, en el orden en que los modos son encontrados por el programa. El eigenvalor es el cuadrado de la frecuencia circular, ω, para ese modo, (a menos de que se utilice un cambio de frecuencia). La frecuencia cíclica, f, y periodo, T, del modo se relacionan con ω por medio de:

180


T=

1 f

y

f =

ω 2 ⋅π

Se puede especificar el número de modos a ser encontrado, una tolerancia de la convergencia, y el rango de frecuencia de interés. Estos parámetros se describen a continuación:

Numero de Modos Se puede especificar el número de modos, n, a ser hallado. El programa busca los n Modos de frecuencias bajas (periodos largos). Si un cambio de frecuencia diferente de cero ha sido especificado, el programa buscará los n modos más cercanos al cambio de frecuencia. El número de modos realmente hallados, n, esta limitado por:

El numero de modos requerido, n, para un adecuado análisis dinámico, ver la sección 13.4.1 El número de modos presentes en el rango de frecuencias especificado. El número de grados de masa de libertad en el modelo.

Un grado de masa de libertad es cualquier grado activo de libertad que posee masa traslacional o el momento de masa rotacional de inercia. La masa puede asignarse directamente a un nudo o puede venir de los elementos conectados. Sólo los Modos que realmente se encuentran estarán disponibles para cualquier subsecuente análisis del espectro de respuesta o el análisis dinámico cronológico.

Rango de frecuencia Se puede especificar un rango de frecuencia restringido, en el que se buscarán los Modos de vibración, usando los parámetros:

Shift: centro del rango de frecuencias cíclico, conocido como la frecuencia de cambio cut: radio del rango de frecuencia cíclico.

El programa buscara sólo los modos con las frecuencias que satisfacen: ⏐ f − shift ⏐ ≤ cut El valor por defecto de cut = 0 no restringe el rango de frecuencia de los modos. Los modos son hallados en el orden creciente de distancia de la frecuencia de cambio (shift). Esto continúa hasta alcanzar, cut , el número definido de modos, o el el número de grados de masa de libertad. Una estructura estable tendrá todas las frecuencias naturales positivas. Al realizar un análisis sísmico y más otros análisis dinámicos, los modos de bajas-frecuencia son normalmente de mayor interés. Es entonces apropiado usar un shift igual a cero, resultando en modos de frecuencias bajas de la estructura calculada. Si el programa detecta modos de frecuencias negativas, éste detendrá el análisis puesto que los resultados no tienen sentido. Para evitar problemas es recomendable usar siempre valores positivos de shift con un análisis Pdelta, es recomendable también que un análisis preliminar P-delta sea realizado usando shit igual a cero.

181


Tolerancia de convergencia El SAP2000 resuelve para el par de Eigenvalor-Eigenvector usando un algoritmo de iteración. Durante la fase de solución, el programa proporciona un eigenvalor aproximado después de cada iteración. Para mayores detalles del algoritmo, ver Wilson y Tetsuji (1983). Se puede especificar la tolerancia de la convergencia relativa, tol, para controlar la solución; el valor por defecto es tol =10-5, que es un valor aceptable, para obtener buenos resultados y relativa rapidez en la solución del modelo. Se puede establecer valores más pequeños de tol, para obtener mejores aproximaciones en los resultados del par de Eigenvalor-Eigenvector a costa de mayor tiempo de computo.

13.6.2 Análisis del Vector de Ritz Las investigaciones han indicado que las formas modales en vibración libre no son las mejores bases para el análisis de superpoción modal de estructuras sujetas a cargas dinámicas. Ha sido demostrado (Wilson, Yuan, y Dickens, 1982) que el análisis dinámico basado en un juego especial de vectores de Ritz dependientes de carga, proporcionan resultados más exactos que el uso del mismo número de formas modales naturales. La razón de que los vectores de Ritz dan excelentes resultados, es que son generados tomando en cuenta la distribución espacial de la carga dinámica.

13.6.3 Resultados del Análisis Modal Varias propiedades de los modos de vibración son impresos en el archivo de resultados. Esta información es la misma independientemente si se usa un análisis de eigenvectores o un análisis de vectores de Ritz, y es descrito en las siguientes secciones:

Periodos y Frecuencias Las siguientes propiedades de periodos y frecuencias son impresas para cada Modo:

El periodo T, en unidades de tiempo. La frecuencia cíclica, f, en unidades de ciclos por tiempo. La frecuencia circular, ω, en unidades de radianes por tiempo. El eigenvalor, ω2, en unidades de radianes por tiempo al cuadrado.

Éstos pueden hallarse en el archivo de resultados bajo el título de: MODAL PERIODS AND FRECUENCIES

Factor de Participación Los factores de participación para los n modos correspondientes, son referidos al sistema de coordenadas globales X, Y y Z, y puede hallarse en el archivo de resultados bajo el título de: MODAL PARTICIPATION FACTORS Las magnitudes reales y los signos de los factores de participación no son importantes. Lo que es importante es el valor relativo de los tres factores para un modo dado.


182

Relación masa participación La relación masa participación para un Modo dado es una medida de cómo de importante es el Modo para calcular la respuesta para una carga de aceleración en cada una de las direcciones globales. Esto es útil para determinar la exactitud del análisis del espectro de respuesta y el análisis dinámico cronológico. La relación masa participación no proporciona una información sobre la exactitud de análisis dinámico cronológico sujeta a otras cargas. La relación masa participación es expresada en porcentaje y puede hallarse en el archivo de resultados bajo el título de: MODAL PARTICIPATING MASS RATIOS La suma acumulativa de la relación masa participación para todos los Modos hasta el Modo n es impreso con los valores individuales para cada Modo. Esto proporciona una medida simple de cuantos modos son requeridos para lograr un nivel dado de exactitud para una carga de aceleración del suelo.

13.6.4 Análisis del Espectro de Respuesta El análisis del espectro de respuesta busca la máxima respuesta probable. La aceleración sísmica del suelo en cada dirección es dada como una curva digitalizada del espectro de respuesta de seudo aceleración espectral de respuesta versus el periodo de la estructura. Aunque pueden especificarse las aceleraciones en las tres direcciones, sólo un resultado positivo es producido para cada cantidad de respuesta. Las cantidades de respuesta incluyen: desplazamientos, fuerzas y esfuerzos. Cada cálculo del resultado representa una medida estadística de la máxima magnitud probable para una cantidad de respuesta. El análisis del espectro de respuesta es realizado usando el método de la superposición modal (Wilson y Button, 1982). Los Modos pueden calcularse usando un análisis de eigenvectores o un análisis de vectores de Ritz. Se recomiendan los vectores de Ritz, puesto que éstos dan resultados más exactos para el mismo numero de Modos. Cualquier número de análisis del espectro de respuesta puede realizarse en una sola ejecución del programa. Cada caso de análisis es llamado Spec, para el que se asigna una única etiqueta. Cada Spec puede diferir en el espectro de aceleración aplicado y la manera en que sus resultados son combinados. Los resultados de cada Spec pueden imprimirse directamente o usados en combinaciones de carga. En las siguientes secciones se detallan los parámetros que se utilizan para definir cada Spec.

Sistema de coordenadas locales Cada Spec tiene su propio sistema de coordenadas locales del espectro de respuesta usado para definir la dirección de la carga de aceleración del suelo. Los ejes de este sistema local son denotados por: 1, 2 y 3, por defecto éstos corresponden a las direcciones globales X, Y y Z respectivamente. Se puede cambiar la orientación del sistema de coordenadas locales especificando:

Un sistema de coordenadas csys (por defecto es cero, indicando el sistema de coordenada global) Un ángulo de coordenada, ang (por defecto es cero)

El eje local 3 es siempre el mismo que el eje Z del sistema de coordenadas csys. Los ejes locales 1 y 2 coinciden con los ejes X y Y de csys si el ángulo ang es cero. Por otra parte, ang es el ángulo del eje X con el eje local 1, medido según la ley de la mano derecha.


183

Curva del espectro de respuesta La curva del espectro de respuesta para una dirección dada se define por los puntos digitalizados de una respuesta de seudo aceleración espectral versus el periodo de la estructura. Todos los valores para las abscisas y ordenadas de esta función deben ser mayores o iguales a cero. Se puede especificar un factor de escala, sf, para multiplicar las ordenadas (respuesta de seudoaceleración espectral) de la función. Esto es a menudo necesario para convertir los valores dados en términos de la aceleración debido a la gravedad para las unidades consistentes al resto del modelo. La curva del espectro de respuesta debe reflejar el amortiguamiento presente en la estructura a ser modelada. Note que el amortiguamiento es esencial en esta curva del espectro. Éste no es afectado por la relación de amortiguamiento, damp, usado para el método CQC o GMC de combinación modal, aunque normalmente estos dos valores de amortiguamiento deben ser el mismo.

Combinación Modal Para una dirección dada de aceleración los desplazamientos máximos, las fuerzas, y los esfuerzos son calculados a lo largo de la estructura para cada uno de los Modos de Vibración. Estos valores modales se combinan para una cantidad de respuesta dada para producir un solo resultado positivo para la dirección de aceleración dada utilizando uno de los siguientes métodos:

Método CQC Se especifica modc=CQC para combinar los resultados modales por la técnica de Combinación Cuadrática Completa descrita por Wilson, Der Kiureghian, y Bayo (1981). Es el método presente por defecto en el programa. El método CQC toma en cuenta el acoplamiento estadístico entre modos estrechamente espaciados causados por el amortiguamiento. Incrementando el amortiguamiento modal, incrementa el acoplamiento entre modos estrechamente espaciados. Si el amortiguamiento es cero para todos los modos, este método degenera en el método SRSS. Puede especificarse una relación de amortiguamiento modal para CQC, damp, medido como una fracción del amortiguamiento critico: 0≤damp≤1. Este amortiguamiento igualmente afecta a todos los modos, y debe reflejar el amortiguamiento presente de la estructura a ser modelada.

Método GMC SE especifica modc=CQC para combinar los resultados modales por la técnica de Combinación Modal General, descrito por Gupta (1990). Este método además de tomar en cuenta el acople estadístico entre modos estrechamente espaciados, (CQC), también incluye las correlaciones entre los modos con respuesta rígida. Adicionalmente, este método requiere especificar dos frecuencias, f1 y f2 que definen la respuesta rígida. Éstos deben satisfacer: 0
184


Método SRSS Se especifica modc=SRSS para combinar los resultados modales por la técnica de la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados. Este método no toma en cuenta el amortiguamiento, ni ningún acople de modos, como lo hacen los métodos CQC y GMC.

Método de la Suma Absoluta Se especifica modc=ABS para combinar los resultados modales tomando la suma absoluta de sus valores. Este método es normalmente muy conservador.

13.6.5 Resultados del Análisis del Espectro de Respuesta Los resultados para cada análisis del espectro de respuesta se encuentran en el archivo de resultados. Esta información es descrita en las siguientes secciones:

Aceleraciones y amortiguamiento El amortiguamiento modal y las aceleraciones del suelo actuando en cada dirección son impresos para cada modo bajo el título de: RESPONSE SPECTRUM ACCELERATIONS El valor del amortiguamiento para cada modo es el especificado para el Método CQC y GMC, más el amortiguamiento modal contribuido por el amortiguamiento efectivo en elementos no lineales, si es que hubiera. Las aceleraciones impresas para cada modo son los valores reales interpolados de la curva de espectro de respuesta para el periodo respectivo. Las aceleraciones son siempre referidos a los ejes locales del análisis del espectro de respuesta. Ellos son identificados en el archivo de resultados como U1, U2 y U3.

Amplitudes Modales Estos valores son impresos en el archivo de resultados bajo el título de: RESPONSE SPECTRUM MODAL AMPLITUDES

Factores de Correlación Modal Cuando el tipo de combinación modal CQC o GMC es definido, una matriz de correlación modal parcial es impreso en el archivo de resultados. Esta matriz muestra el acoplamiento asumido entre modos estrechamenteespaciados. Los factores de la correlación siempre están entre cero y uno. Los factores de correlación acoplando cada modo con los próximos nueve modos más altos son impresos en el archivo de resultados bajo el título de: RESPONSE SPECTRUM MODAL CORRELATIONS Esta matriz de correlación es simétrica.

185


Reacciones en la Base Las reacciones en la base son las fuerzas totales y momentos sobre los soportes (restricciones y resortes) para resistir las fuerzas de inercia debido a las cargas del espectro de respuesta (cargas laterales). Éstos son impresos en el archivo de resultados bajo el título de: RESPONSE SPECTRUM BASE REACTIONS Éstos están separadamente impresos para cada Modo individual y cada dirección de cargar sin ninguna combinación. Las reacciones totales están impresas después de realizar la combinación modal y la combinación direccional. Las fuerzas de reacción y momentos son siempre referidos a los ejes locales del análisis del espectro de respuesta. Éstos se identifican en el archivo de resultados como F1, F2, F3, M1, M2, y M3.

186


13.7

EJEMPLOS Número de modos

Ejemplo 13.1

Para el pórtico de 2 pisos mostrada en la Figura 13.2 determine el número de modos que deben combinarse para asegurar que todos los modos significantes estén incluidos en el análisis.

w1 = 70 [t]

W1 = 70 [t]

4 m.

k2 = 3 [t/cm] w1 = 70 [t]

k2 = 3 [t/cm] W1 = 70 [t]

k1 = 7 [t/cm]

4 m.

k1 = 7 [t/cm]

Figura 13.2

Solución: La matriz diagonal de los valores de diseño elástico del espectro de aceleración para los 2 periodos: T1 = 1.22 [s ]

T2 = 0.5 [s ] previamente calculado en el ejemplo 10.1, es: 0.23 0 ⎤ [A] = ⎡⎢ ⋅g 0.83⎥⎦ ⎣ 0 La cortante basal para ambos modos, previamente calculados en el ejemplo 10.1 es:

[V ] = [26.460 El peso total de la estructura es:

18.312]

W = (w11 + w22 ) W = (70 + 70) W = 140[t ]

V A 26.460 E w11 = g⋅ = 115 0.23 ⋅ g 18.312 E w12 = g⋅ = 22 0.83 ⋅ g La suma de los pesos efectivos debe ser igual al peso total, pero debido al redondeo no se constata esto. y en notación matricial, el vector de peso especifico es: W E = [115 22] expresado en porcentaje es: El peso efectivo para cada modo esta dado por: W E = g

[ ]

[W ] *100 = [84% E

16%] W Debido a que el 90% del peso total de la estructura debe tomarse en cuenta; Ambos modos deben ser incluidos en el análisis.

187


Fuerza lateral dinámica

Ejemplo 13.2

Una estructura de acero de 5 pisos resistente a momentos se muestra en la Figura 13.3. La forma modal fundamental ha sido determinada por un análisis en computadora, el periodo fundamental ha sido calculado por un análisis racional como T=0.90 [s]. Los datos de un espectro de respuesta para un sitio especifico son dados en la Tabla 13.1.

w5 =215 [t] w 4 =215 [t] w3 =215 [t] w 2 =215 [t] w 1 =215 [t]

w5

1.00

w4

0.78

w3

0.59

w2

0.40

w1

0.20

3m

3m

3m

3m

5.5 m

Estructura

Modelo Dinámico

Forma Modal

Figura 13.3

Considerar los siguientes criterios:

Zona sísmica 4 Tipo de perfil de suelo, SC Factor de importancia, I=1.0 Asumir solo la respuesta del modo fundamental necesario para el análisis dinámico Distancia al origen del sismo 15 km.

Periodo Segundos 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.50 2.00 2.50

A in/s2 308.80 386.00 386.00 386.00 386.00 347.40 301.10 258.60 231.60 208.40 154.40 115.80 96.50

V in/s 4.91 12.29 18.43 24.57 30.72 33.18 33.55 32.93 33.18 33.17 36.86 36.86 38.40 Tabla 13.1

D in 0.08 0.39 0.88 1.56 2.44 3.17 3.74 4.19 4.75 5.28 8.80 11.73 15.28

ω rad/s 62.83 31.42 20.94 15.71 12.57 10.47 8.98 7.85 6.98 6.28 4.19 3.14 2.51

188


Se requiere a)

Usando la distribución de masa dada, la forma modal, el periodo de la estructura y los datos del espectro de respuesta regional; determine el cortante total para la base de la estructura, basado en la respuesta elástica de la estructura. b) Usando los datos dados, determine la fuerza lateral de diseño (cortante para la base) usando el procedimiento de fuerza lateral estática. c) Usando el espectro de respuesta, determine la distribución de cortante de piso de diseño de acuerdo con el código UBC sección 1631.5.4 d) Usando el espectro de respuesta, determine el desplazamiento esperado para la parte superior de la estructura y las derivas.

Solución:

a.) Procedimiento dinámico Para el periodo fundamental de 0.90 segundos la aceleración espectral es: A = 231.6 in/s 2

[

[

]

A = 588.264 cm/s 2

]

Para determinar el peso efectivo WE se realiza la siguiente Tabla 13.2: Nivel Techo 4 3 2 1 Sumatoria

Wi 215 215 215 215 215

φi 1.0 0.78 0.59 0.40 0.20

Wi·φI 215 167.70 126.85 86 43 638.55

Wi·φi2 215 130.81 74.84 34.40 8.60 463.65

Fi [t] 21.18 16.52 12.49 8.47 4.24

Tabla 13.2

WE = WE =

(ΣWi ⋅ φ i )2 ΣWi ⋅ φ i2 638.55 2 = 879.43 463.65

[t ]

asumiendo un comportamiento elástico el cortante basal total es: A VD = W E ⋅ g 588.264 V D = 879.43 ⋅ = 527.36 [t ] 981 b.) Procedimiento estático En el procedimiento de la fuerza lateral estática, existen 2 procedimientos para el calculo del periodo fundamental(sección 12.1.6) y cualquiera de estos valores puede usarse para determinar el cortante basal.

189


Método A: El periodo fundamental es dado por:

T A = C t ⋅ (hn )

3

4

T A = 0.853 ⋅ (17.5)

3

4

= 0.729[s ]

donde: Ct = 0.853 para pórticos de acero resistente a momentos hn = altura total de la estructura De la Tabla 12.2, para el tipo de perfil de suelo SD y para la Zona sísmica 4 determinamos los coeficientes de respuesta: C a = 0.4 ⋅ N a

C v = 0.56 ⋅ N v el factor de cercanía a la fuente Na = 1.0 para una distancia ≥15 km. el factor de cercanía a la fuente Nv = 1.0 para una distancia ≥15 km. Por tanto:

C a = 0.4 C v = 0.56 Del espectro de diseño, Figura 13.1, el periodo de control es: Cv Ts = 2.5 ⋅ C a Ts =

0.56 = 0.56[s ] < T A = 0.729[S ] 2.5 ⋅ 0.4

El factor de modificación de respuesta R, se obtiene de la Tabla 12.7 como: R = 8.5 El cortante basal esta dado por: Cv ⋅ I ⋅W R ⋅T 0.56 ⋅1.0 V= ⋅1075 = 97.152 8.5 ⋅ 0.729 V=

[t ]

Método B De acuerdo con el código UBC sección 1630.2.2, para una estructura en la zona sísmica 4 el periodo fundamental TB obtenido por el método B es limitado al valor de: T B = 1.3 ⋅ T A

T B = 1.3 ⋅ 0.729 = 0.948 [s] > 0.9 [s]

por tanto TB = 0.9 es un valor aceptable El cortante basal es: VB = VB =

Cv ⋅ I ⋅W R ⋅ TB 0.56 ⋅ I ⋅1075 = 78.693[t ] 8.5 ⋅ 0.9 el que gobierna

190


c.) La distribución del cortante por piso El mínimo cortante basal aceptable para una estructura regular usando el espectro de respuesta regional, de acuerdo con el código UBC sección 1631.5.4 es dado por el máximo valor de: V = 0.8 ⋅ V B

V = 0.8 ⋅ 78.693 = 62.954 [t ] o VD R 527.36 V= = 62.042[t ] 8.5 V=

Por tanto la fuerza lateral de diseño para cada nivel es dado por: Fi =

V ⋅ Wi ⋅ φ i ΣW i φ i

62.954 ⋅ Wi ⋅ φ i 638.55 Fi = 0.0985 ⋅ Wi ⋅ φ i Fi =

Fc = 0.0985 ⋅ 215 = 21.18 [t ]

F4 = 0.0985 ⋅167.70 = 16.52 [t ] F3 = 0.0985 ⋅126.85 = 12.49 [t ] F2 = 0.0985 ⋅ 86 = 8.47 [t ] F1 = 0.0985 ⋅ 43 = 4.24 [t ]

estos valores están resumidos en la Tabla 13.2

d.) Desplazamientos esperados Para el periodo fundamental dado, T = 0.90 [s], el desplazamiento espectral especifico es: D = 4.75 [in ] D = 12.065 [cm]

asumiendo un comportamiento elástico, el desplazamiento para cada nivel es dado por: xi = P ⋅ φ i ⋅ D

donde el factor de participación es: P=

WE ΣW i ⋅ φ i

P=

879.43 = 1.377 638.55

x i = 1.377 ⋅12.065 ⋅ φ i x i = 16.62 ⋅ φ i

191


La deriva para un piso dado es definido como el desplazamiento relativo del piso superior respecto al piso inferior inmediato, y la deriva elástica para un piso especifico es dado por: Δ Ei = x i − x i −1

la relación de la deriva para un piso dado es definido como la relación de la deriva del piso con la altura de tal piso y la relación de la deriva elástica para un nivel especifico es dado por: Δ REi =

Δ Ei hi

estos valores son mostrados en la Tabla 13.3 Nivel Techo 4 3 2 1 base

hi

⎯ 3 3 3 3 5.5

φi

xi 16.62 12.96 9.80 6.65 3.32

1.0 0.78 0.59 0.40 0.20

⎯

⎯

ΔEi ⎯

ΔRei (%) ⎯

3.66 3.16 3.16 3.32 3.32

1.22 1.05 1.05 1.11 0.60

Tabla 13.3

Los máximos desplazamientos de diseño inelástico son dados por el código UBC sección 1630.9.2 como: x M = 0. 7 ⋅ R ⋅ Δ s

donde:

Δs = desplazamiento de respuesta del nivel de diseño, que es el desplazamiento total de piso que ocurre cuando la estructura esta sujeta a las fuerzas sísmicas de diseño. Δ s = x i ⋅ 0.8 ⋅

VB VD

Δ s = x i ⋅ 0.8 ⋅

78.693 = 0.119 ⋅ x i 527.36

x Mi = 0.7 ⋅ 8.5 ⋅ 0.119 ⋅ x i x Mi = 0.710 ⋅ x i Similarmente la deriva de diseño inelástico es dado por: Δ Mi = 0.710 ⋅ Δ Ei

192


Fuerza lateral dinámica

Ejemplo 13.3

Una estructura de acero de 3 pisos, (pórtico dúctil resistente a momentos), simétricamente en ambas direcciones es mostrada en la Figura 13.4. Considerar una zona sísmica 4 y 15 km de distancia a la fuente potencial sísmica

w3 =317 [t] w 2 =385 [t] w 1 =385 [t]

Estructura

w3

1.00

1.00

w2

0.675

0.250

w1

0.252

Modelo Dinámico

-0.350

Modo 1 T = 1.50 [s]

Figura 13.4

Considerar los siguientes criterios: Para T ≤ 0.65 [s] Para T > 0.65 [s]

A = 0.3·g Sv = 12 [in/s]

Se requiere I

Método estático

a) Determinar la cortante basal sísmica usando el tipo de perfil de suelo SD. b) Distribuir la cortante basal sísmica sobre la altura de la estructura. c) Determinar las fuerzas en los diafragmas para cada nivel. II

Método dinámico.- Usando las 2 formas modales de la Figura 13.4

d) Determinar el peso efectivo, la fuerza de piso y la cortante en cada modo. e) Determinar la fuerza de piso combinado usando el método SRSS

Solución: I

Método estático

a) Cortante basal sísmica Según la Sección 12.1.6 (método A) el periodo es dado por:

T = C t ⋅ (hn )

3

4

T = 0.0853 ⋅ (11.8) donde:

3

4

= 0.584 [s]

Ct = 0.0853 para pórticos de acero resistente a momentos

Modo 2 T = 0.64 [s]

193


de la Tabla 12.2 para el tipo de perfil de suelo SD y para la zona sísmica 4, los coeficientes de respuesta sísmica son: C a = 0.44 ⋅ N a

C v = 0.64 ⋅ N v el factor de cercanía a la fuente Na = 1.0 para una distancia ≥15 km. el factor de cercanía a la fuente Nv = 1.0 para una distancia ≥15 km. Por tanto:

C a = 0.44 C v = 0.64 Del espectro de respuesta de diseño de la Figura 13.1, el periodo de control es: Cv Ts = 2.5 ⋅ C a Ts =

0.64 = 0.582 [s ] < T = 0.584 [s ] 2.5 ⋅ 0.44

El factor de modificación de respuesta R, se obtiene de la Tabla 12.7 como: R = 8.5 El cortante basal esta dado por: Cv ⋅ I ⋅W R ⋅T 0.64 ⋅1.0 V= ⋅ (317 + 385 + 385) = 140.145 [t ] 8.5 ⋅ 0.584 V=

b) Distribución de la cortante basal La cortante basal es distribuido sobre la altura de la estructura de acuerdo con la sección 12.2.1: (V − Ft ) ⋅ w x ⋅ h x Fx = Σwi ⋅ hi donde: Fx = fuerza lateral para el nivel x V = cortante basal Ft = fuerza concentrada en la parte superior =0 para T < 0.7 [s] Wx = carga muerta de la estructura al nivel x hx = altura por debajo del nivel x En la tabla 13.4 se resumen todo los cálculos: 140.145 ⋅ w x ⋅ h x Fx = = 0.01474 ⋅ w x ⋅ h x 9511 Nivel Techo 2 1 Base Sumatoria

wx 317 385 385

⎯

hx 13 9 5

⎯

1087 Tabla 13.4

wx·hx 4121 3465 1925

Fx 60.723 51.057 28.365

9511

140.145

⎯

⎯

Vx

⎯ 60.723 111.780 140.145

194


c)

Fuerzas en los diafragmas

La fuerza en el diafragma para el nivel x es dado según la sección 12.2.5 como: F px =

Ft + ΣFi ⋅ w px Σ wi

0..5 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ C a ⋅ I ⋅ w px 0.5 ⋅ 0.44 ⋅1.0 ⋅ w px ≤ F px ≤ 1.0 ⋅ 0.44 ⋅1.0 ⋅ w px 0.22 ⋅ w px ≤ F px ≤ 0.44 ⋅ w px donde: Ft = Fuerza lateral concentrada en la parte superior de la estructura Fi = Fuerza lateral en el nivel i ΣFi = Fuerza cortante total en el nivel i wi = Carga muerta sísmica total localizada en el nivel i Σwi = Carga muerta sísmica total en el nivel i y por encima wpx = El peso del diafragma y el elemento tributario al mismo en el nivel x, no incluye muros paralelos a la dirección de la carga sísmica Asumiendo que el peso de los muros es despreciable comprados con el peso del diafragma para cada nivel, el peso tributario para cada diafragma es idéntico con la carga muerta de la estructura para tal nivel, por tanto: w px = w x En la tabla 13.5 se resumen todos los cálculos para determinar las fuerzas en los diafragmas. Nivel Techo 2 1

Fx 60.723 51.057 28.365

ΣFx 60.723 111.780 140.145

wx = wpx 317 385 385

Σwi 317 702 1087

ΣFi·/Σwi 0.192→0.22 0.159→0.22 0.129→0.22

wpx 317 385 385

Fpx 69.740 84.700 84.700

Tabla 13.5

II

Método dinámico

d) Peso efectivo, fuerza de piso y la cortante en cada modo La cortante basal y las fuerzas de piso pueden obtenerse por el método del análisis de respuesta. Para una estructura bidimensional, el número total de puntos nodales igual al número de pisos. Cada nodo es localizado para un nivel de piso y tiene un grado de libertad en la dirección horizontal.

Primer modo

El periodo fundamental del primer modo es dado como:

T = 1.5 [s] > 0.65 [s] por tanto la velocidad espectral es:

S v = 12 [in/s]

S v = 30.48 [cm/s]

195


y la correspondiente aceleración espectral es: 2 ⋅π ⋅ S v T 2 ⋅ π ⋅ 30.48 A= = 127.674 cm/s 2 1 .5 A = 0.13 ⋅ g A=

[

]

para determinar el peso efectivo se realiza la siguiente Tabla 13.6: Nivel Techo 2 1 Base Sumatoria

Wi 317 385 385

⎯

φI 1.0 0.617 0.252

⎯

Wi·φi 317 259.875 97.449

Wi·φi2 317 175.416 24.449

673.895

516.865

⎯

⎯

Tabla 13.6

WE = WE =

(ΣWi ⋅ φ i )2 ΣW ⋅ φ i2 673.895 2 = 878.633[t ] 516.865

la cortante basal esta dado por: V =W E ⋅

A g

V = 878.633 ⋅

0.13 ⋅ g = 114.222[t ] g

La fuerza para cada nivel y la cortante para cada piso Vi es calculado como: Fi =

Wi ⋅ φ i ⋅V ΣW i ⋅ φ i

Wi ⋅ φ i ⋅114.222 673.895 Fi = 0.169 ⋅ Wi ⋅ φ i Fi =

y resumido en la Tabla 13.6:

Segundo modo

El periodo natural del segundo modo es dado como:

T = 0.64 [s] < 0.65 [s] por tanto la aceleración espectral es:

A = 0.3 ⋅ g

Fi 53.730 44.048 16.444

⎯

Vi

⎯ 53.730 97.778 114.22

196


para determinar el peso efectivo se realiza la siguiente Tabla 13.7: Nivel Techo 2 1 Base Sumatoria

Wi 317 385 385

⎯

φI 1.0 0.250 -0.345

⎯

Wi·φi 317 96.250 -132.825

Wi·φi2 317 24.063 45.825

280.425

386.882

⎯

⎯

Fi 68.931 20.929 -28.882

⎯

Vi

⎯ 68.931 89.861 60.978

Tabla 13.7

WE = WE =

(ΣWi ⋅ φ i )2 ΣW ⋅ φ i2 280.425 2 = 203.259[t ] 386.887

la cortante basal esta dado por: A g 0 .3 ⋅ g V = 203.2 ⋅ = 60.978[t ] g

V =W E ⋅

La fuerza para cada nivel y la cortante para cada piso Vi es calculado como: Fi =

Wi ⋅ φ i ⋅V ΣW i ⋅ φ i

Wi ⋅ φ i ⋅ 60.978 280.425 Fi = 0.217 ⋅ Wi ⋅ φ i Fi =

y resumido en la Tabla 13.7:

e)

Fuerza de piso combinado

Como un porcentaje del peso total de la estructura, la suma de los pesos efectivos para los primeros 2 modos es dado por: W1E + W 2E (878.633 + 203.259 ) ⋅100 = 99.53% > 90% ⋅100 = W 1087

(

)

por tanto combinando los primeros dos modos se asegura que un mínimo de 90% de la masa de la estructura participa en la determinación de los parámetros de respuesta. La fuerza combinada para cada nivel para los modos puede obtenerse usando el método SRSS. Esto es aceptable para estructuras bidimensionales cuando la relación de periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es ≤ 0.75 0.64 = 0.427 < 0.75 1.5

por tanto la fuerza combinada para el nivel i es dado por:

(

Fci = F12i + F22i

)

1

2

197


donde: F1i = Fuerza lateral para el nivel i, para el primer modo F2i = Fuerza lateral para el nivel i, para el segundo modo la fuerza combinada para cada nivel es resumido en la siguiente Tabla 13.8 Nivel Techo 2 1 base

F1i 53.730 44.048 16.444 114.222 Tabla 13.8

F2i 68.931 20.929 -28.882 60.978

Fci 87.398 48.767 33.235 129.480

Capítulo 14

DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO

14.1

INTRODUCCIÓN

Este capítulo contiene especificaciones que se consideran como los requisitos mínimos para producir una estructura monolítica de concreto reforzado con los detalles y las dimensiones adecuadas que le permitan a ésta soportar una serie de oscilaciones dentro del campo inelástico de respuesta sin deterioro crítico de la resistencia. Como se vio con anterioridad, conforme una estructura apropiadamente detallada de concreto reforzado responde a fuertes movimientos del suelo, su rigidez efectiva decrece y se incrementa su capacidad de disipar energía. Por lo tanto, el empleo de fuerzas de diseño que representan efectos sísmicos demanda que el edificio este equipado con un sistema resistente a fuerzas laterales que retenga una porción sustancial de su resistencia conforme se le somete a inversiones de los desplazamientos dentro del campo inelástico. La elección práctica esta entre: (a) Un sistema con suficiente resistencia para responder al movimiento del suelo dentro del rango lineal o casi lineal de respuesta, y (b) Un sistema con disposiciones adecuados que permitan una respuesta no lineal sin perdida crítica de la resistencia. Este capítulo desarrolla una serie de requisitos relacionados con la segunda opción para su aplicación en zonas de elevado riesgo sísmico.

14.2

CARGAS DE DISEÑO

Las combinaciones de carga a ser utilizadas en el método de la resistencia para el diseño de los elementos de concreto están especificadas en la sección 9.2 del reglamento ACI y se dan a continuación: 1.4 D 1.4 D + 1.7 L 0.9 D ± 1.3 W 0.75 (1.4 D + 1.7 L ± 1.7 W) 0.9 D ± 1.3· 1.1 E 0.75 (1.4 D + 1.7 L ± 1.7· 1.1 E)

199


14.3

PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTES A MOMENTOS

14.3.1 Diseño por el Método de la Resistencia El requisito básico de este método es de asegurar que la resistencia de diseño de un elemento no sea menor que la resistencia última requerida. Para cargas sísmicas, la resistencia requerida consiste de las cargas de servicio multiplicadas por un factor de carga especificado en la Sección 14.2. La resistencia de diseño de un elemento consiste de la resistencia nominal, o la resistencia teórica última, multiplicada por un factor de reducción de resistencia φ. De este modo se tiene:

φ (resistencia nominal) ≥ U Los factores de reducción (φ) según el código UBC 1 son: 0.9 0.85 0.75 0.70

para flexión para cortante y torsión para miembros en compresión con refuerzo en espiral para miembros en compresión con estribos

En zonas sísmicas 3 y 4 el factor de reducción de resistencia al cortante debe ser 0.6 para el diseño de muros, losas superiores y elementos estructurales con una resistencia nominal al cortante menor que el corte correspondiente al desarrollo de su resistencia nominal a flexión. La resistencia nominal a flexión debe determinarse correspondiendo con las cargas axiales factorizadas más críticas incluyendo el efecto sísmico. El factor de reducción de resistencia al cortante para la unión viga-columna es 0.85. Consideraciones para el diseño de vigas: La resistencia nominal de un elemento se determina de acuerdo con los principios definidos en la Sección 19210.2.7 del código UBC y desarrollado con mayor claridad por George Winter 2 . La capacidad nominal de un elemento a flexión con sólo refuerzo a tensión esta dado por:

fy ⎞ ⎛ ⎟ M n = As ⋅ f y ⋅ d ⋅ ⎜⎜1 − 0.59 ⋅ ρ ⋅ f c′ ⎟⎠ ⎝

(14.1)

donde: As = área de acero a tensión, [cm2] fy = esfuerzo de fluencia del acero, [kg/cm2] ρ = cuantía =As/(b·d) f′c = resistencia del concreto a la compresión, [kg/cm2] d = peralte efectivo, [cm] b = ancho de la sección, [cm] A consecuencia de las cargas sísmicas se pueden formar rótulas plásticas en ambos extremos de las columnas de un nivel determinado, produciendo un mecanismo de deslizamiento el cual causa el colapso del piso, para prevenir este acontecimiento, se introduce el concepto de viga débil-columna fuerte. Una columna que forma parte del sistema resistente a fuerzas laterales y con una carga axial factorizada mayor a 0.1Ag·f′c , debe ser diseñada para satisfacer: ΣM e ≥ 65 ΣM g

donde:

1 2

UBC, Sección 1909.3.2 [ref.15] WINTER, George Cap. 1 pp. 11-15 [ref 19]

(14.2)

200


ΣMe = suma de momentos en el centro de la junta correspondiente a la resistencia de diseño a la flexión de las columnas que empalman en esa junta ΣMg = suma de momentos en el centro de la junta correspondiente a la resistencia de diseño a la flexión de las vigas que empalman en esa junta, y en el mismo plano de las columnas. En la Figura 14.1 se ilustra este concepto, la convención de signos adoptada en la figura es que los momentos en los extremos de un elemento se muestran actuando a partir del nudo hacia el elemento, se considera las reacciones de los soportes; la cabeza de las flechas apunta hacia la cara de los elementos, la cual esta en tensión.

Carga sísmica

Carga sísmica Mct

Mct Mbr

Mbr

Mbr

Mbr Mcb

Figura 14.1

Mcb

Concepto de Columna fuerte-Viga débil

Para asegurara la falla dúctil de un elemento y prevenir la falla frágil por cortante, es por tal motivo que, la fuerza cortante de diseño se determina a partir de la resistencia probable a flexión en las caras de la junta considerando las fuerzas estáticas en el elemento, y éste soporta la carga tributaria de gravedad a lo largo del claro. La resistencia probable a flexión se calcula suponiendo una resistencia a la tensión en las barras longitudinales de al menos 1.25 fy y un factor de reducción de la resistencia φ de 1.0. es así que la resistencia probable a flexión esta dada por: (1.25 ⋅ f y ) ⎞ ⎛ ⎟ M pr = As ⋅ (1.25 f y ) ⋅ d ⋅ ⎜⎜1 − 0.59 ⋅ ρ ⋅ ⎟ f c′ ⎠ ⎝ fy ⎞ ⎛ ⎟ M pr = As ⋅ f y ⋅ d ⋅ ⎜⎜1.25 − 0.92 ⋅ ρ ⋅ f c′ ⎟⎠ ⎝

(14.3)

En la Figura 14.2, los momentos de signo opuesto actúan en los extremos de la viga sometida a doble curvatura y el sentido de los momentos cambia debido a la característica reversible de la carga sísmica. De este modo se deben calcular ambos momentos probables resistentes (de ida y vuelta) en los extremos de la viga para determinar el valor del cortante crítico. La fuerza cortante de diseño en el extremo izquierdo de la viga para una carga sísmica que actúa de derecha a izquierda es:

Ve =

M pr1 + M pr 2 Ln

+ Vg

donde: Ln = claro de la viga Vg = cortante debido a la carga de gravedad no factorizada

(14.4)

201


Carga sísmica

Carga sísmica

Vp2

Vp1 Mpr1

Mpr4

Mpr2

Mpr3

Vp1

Vp2

Ln

Ln

Mpr1

Mpr4

Diagrama de Momentos

Mpr2 Mpr3 Vp1

Diagrama de Cortantes Vp2

Figura 14.2

Cortante en viga debido a la resistencia probable a flexión.

La fuerza cortante de diseño en el extremo derecho de la viga para una carga sísmica que actúa de izquierda a derecha es:

Ve =

M pr 3 + M pr 4 Ln

+ Vg

(14.5)

Consideraciones para el diseño de columnas:

De manera similar, la fuerza cortante de diseño para las columnas debe calcularse utilizando el momento probable resistente de la base y del tope de la columna; los máximos momentos probables se asume que ocurren bajo la carga axial máxima de 0.8 P0, la cual corresponde a la excentricidad mínima accidental. La fuerza cortante de diseño en el tope y en la base de la columna es:

Ve =

M pr1 + M pr 2 Hn

(14.6)

donde:

Hn = altura de la columna Sin embargo el cortante de diseño de la columna no necesita ser mayor que los valores determinados a partir del momento probable resistente de las vigas que forman marco en la junta 3 .

3

ACI, Sección 21.4.5 [ref.20]

202


Carga sísmica

0.8P0 Mpr1

Ve

Ve

Mpr1

Hn

Mpr2

Ve

Mpr2 Diagrama de Momentos

0.8P0

Figura 14.3

Ve Diagrama de Cortantes

Cortante en columna debido a la resistencia probable a flexión.

Carga sísmica

Mpr1 Ve Mpr2

Mpr1 + Mpr2 2

Ve

Mpr1 + Mpr2 2

Hn

Mpr3 + Mpr4 2 Ve Mpr4

Figura 14.4

Mpr3

Mpr3 + Mpr4 2 Diagrama de Momentos

Diagrama de Cortantes

Cortante en columnas debido a la resistencia probable a flexión de las vigas

203


Como se muestra en la Figura 14.4 la fuerza cortante para estas condiciones esta dada por:

Ve =

M pr1 + M pr 2 + M pr 3 + M pr 4

(14.7)

2H n

Para asegurar una falla dúctil se debe despreciar la resistencia a corte del concreto cuando la fuerza axial factorizada a compresión es menor que Agf′c/20 y cuando la fuerza cortante inducida por sismo calculada según las ecuaciones 14.6 ó 14.7 es igual o mayor a la mitad de la resistencia total de diseño al corte. Consideraciones para el diseño de la conexión viga-columna:

En las uniones viga-columna la fuerza cortante horizontal de diseño se determina según la Figura 14.5.

punto de inflexión

Mpr1 T1 = 1.25A s1 f y

C 2 = T2 T2 = 1.25A s2 f y

C1 = T1

Mpr2

V=

Figura 14.5

Hc=altura de piso a piso

V

Mpr1 + Mpr2 Hc

Fuerzas que actúan en el nudo

La fuerza cortante producida en la columna por el momento probable resistente de la viga en el nudo es: V=

M pr1 + M pr 2 Hc

El esfuerzo probable en el refuerzo a tensión en la cara derecha del nudo correspondiente a la viga es: T1 = 1.25·As1·fy La compresión probable en el concreto en la cara izquierda del nudo correspondiente a la viga es: C2 = T2 = 1.25·As2·fy De este modo la cortante neta que actúa en el nudo es: Ve = T1 + T2 – V Ve = 1.25·fy·(As1 + As2) − (Mpr1 + Mpr2)/Hc La resistencia nominal al cortante de la junta depende de la resistencia del concreto y del área efectiva del nudo, es así que está dada por:

204


V n = 5.3 f c′ A j

para nudos confinados en sus 4 caras

V n = 4 f c′ A j

para nudos confinados en 3 caras o en 2 caras opuestas

V n = 3.2 f c′ A j

para las otras

donde: Aj = área efectiva de sección transversal dentro de una junta En la Figura 14.6 se ilustra el área afectiva de la junta, donde las vigas están unidas a una columna de ancho considerable, donde el ancho efectivo del nudo es: be = b + h ≤ b + 2x donde: b = ancho de la viga h = profundidad de la columna x = menor de las distancias medidas desde el borde de la viga al borde de la columna

viga área efectiva del nudo

profund. efectiva del nudo = h

profund. de la columna = h

b

x

be ancho efectivo del nudo = be = b+h < b+2x

Figura 14.6

Área efectiva del nudo

14.3.2 Resistencia y ductilidad de secciones a flexión Se tiene que tener en consideración los siguientes principios de diseño sismorresistente:

Las vigas fallan antes que las columnas La falla es a flexión antes que a corte Debe esperarse una falla prematura de nudos Falla dúctil antes que frágil

El comportamiento dúctil es la habilidad de soportar grandes deformaciones inelásticas mientras la resistencia se mantiene esencialmente constante.

205


Se realiza un análisis previo de la viga para determinar los tipos de falla y éste es como sigue: Si el contenido de acero de tensión es pequeño y el acero de compresión es alto, el acero de tensión alcanza la resistencia de fluencia, pudiendo ocurrir entonces un gran incremento en la curvatura mientras que el momento flexionante se mantiene esencialmente constante. Este tipo de falla se conoce como “falla de tensión”, aún cuando ocurra finalmente aplastamiento del concreto. Por otra parte, si el contenido de acero de tensión es alto y el de compresión es bajo, el acero de tensión no alcanza a fluir y la falla será frágil si el concreto no se encuentra confinado. Lo anterior se conoce como “falla por compresión”. Al diseñar, las vigas siempre se proporcionan de manera que puedan exhibir las características dúctiles de una falla de tensión. Para ello se requiere como premisa que el acero de compresión esté por debajo del esfuerzo de fluencia.

b

εu ε's

d'

0.85 f ' c A' s f y

A' s

c

a=β1c

d

As

As f y

εs (a)

(b) Figura 14.7

(c)

Viga rectangular doblemente reforzada

Es necesario, en consecuencia, desarrollar ecuaciones mas generales para tener en cuenta la posibilidad de que el refuerzo a compresión no fluya cuando la viga doblemente reforzada falle en la flexión. A continuación se presenta el método para determinar si el acero a compresión fluye o no en la falla. Con referencia a la Figura 14.7b, y se toma como caso límite ε’s =εy, se obtiene por geometría:

εu c = d′ εu −ε y

c=

o

εu εu −ε y

d′

Si se suman las fuerzas en la dirección horizontal (Figura 14.7c) se obtiene la cuantía de acero a tensión mínima⎯ρcy que asegurará la fluencia del acero a compresión en la falla:

ρ cy = 0.85 β 1

f c′ d ′ 6300 + ρ′ f y d 6300 − f y

(14.8)

Si la cuantía de acero a tensión es menor que este valor límite, el eje neutro esta suficientemente alto de manera que el esfuerzo del acero a compresión en la falla es menor que el esfuerzo de fluencia. En este caso puede demostrarse fácilmente, en base a las Figuras 14.7b y 14.7c, que la cuantía balanceada de acero es:

ρb = ρb + ρ ′

f s′ fy

(14.9)

donde: d′ ⎡ ⎤ f s′ = E s ε s′ = E s ⎢ε u − (ε u + ε y )⎥ d ⎣ ⎦

y

≤ fy

de esta manera, la cuantía máxima de acero permitida por el código ACI 10.3.3 es:

(14.10)

206


ρ max = 0.75 ρ b + ρ ′

f s′ fy

(14.11)

Debe hacerse énfasis en que la ecuación 14.10 para el esfuerzo en el acero a compresión se aplica únicamente para una viga con la cuantía exacta balanceada de acero a tensión. Si la cuantía de acero a tensión es menor que ρb, de acuerdo con la ecuación 14.9, y es menor que⎯ρcy, entonces el acero a tensión se encuentra en el esfuerzo de fluencia en la falla pero el acero de compresión no, y deben desarrollarse nuevas ecuaciones para el esfuerzo en el acero de compresión y para la resistencia a flexión. El esfuerzo en el acero a compresión puede expresarse en termino de la aún desconocida localización del eje neutro: f s′ = ε u E s

c−d′ c

f s′ = 6300

o

a − β1d ′ a

(14.12)

donde del estudio del equilibrio de fuerzas horizontales se obtiene el valor de a:

a=

As f y − As′ f s′

a=

o

0.85 f c′b

dρ ( f y − Rf s′ )

(14.13)

0.85 f c′b

esta forma un sistema de ecuaciones con la ecuación de f’s, donde las incógnitas son: a y f’s; el valor de R es R=ρ’/ρ. La resistencia nominal a flexión se encuentra reaplazando el valor de a y f’s en la expresión: a⎞ ⎛ M n = 0.85 f c′ab⎜ d − ⎟ + As′ f s′ ( d − d ′) 2⎠ ⎝

(14.14)

esta capacidad nominal debe reducirse mediante el coeficiente φ=0.9 para obtener la resistencia de diseño. Ductilidad de curvatura

b

εc ε's

εu ε's

fc

d'

0.85 f ' c

f 's kd

A' s

f 's a=β1c

c

d

As

ϕu

ϕy

εs = f y/E s

εs > f y/E s (a)

Figura 14.8

fy

fy

(b)

Viga rectangular doblemente reforzada: (a) En la primera fluencia del acero de tensión (b) al alcanzarse la deformación unitaria última del concreto.

La ductilidad disponible de la sección puede expresarse mediante la relación de la curvatura última, ϕu, entre la curvatura en la primera fluencia, ϕy. La Figura 14.8 representa el caso general de una sección doblemente reforzada en la primera fluencia del acero de tensión, y en la deformación unitaria última del concreto. Cuando el acero de tensión alcanza por primera vez la resistencia de fluencia, la distribución de esfuerzos en el concreto aún puede ser lineal debido a que el máximo esfuerzo en el concreto es significativamente menor que su resistencia, y la profundidad del eje neutro, kd, puede calcularse utilizando la teoría elástica como: T=Cc + Cs

207


Asfy = kd·fc·b/2+A’s f’s

ρ fy = k·fc /2+ρ’f’s de la grafica de deformación se tiene:

ε s′ =

kd − d ′ εs d − kd

εc =

y

kd εs d − kd

entonces se tiene lo siguiente:

ρε s E s = kε c E c / 2 + ρ ′ε s′ E s reemplazando los valores de ε’s y εc, y definiendo n=Es/Ec se tiene: kd − d ′ k kd + ρ ′n 2 d − kd d − kd d′⎞ ⎛ d⎜k − ⎟ 2 d ⎠ 1 k ⎝ ρn = + ρ ′n d (1 − k ) 2 1− k

ρn =

ρn(1 − k ) =

k2 d′⎞ ⎛ + ρ ′n⎜ k − ⎟ d ⎠ 2 ⎝

donde resolviendo para k se tiene: 2

⎛ ⎛ ρ′ d′⎞ ⎛ ρ′⎞ ρ′ ⎞ ⎟⎟ − nρ ⎜⎜1 + ⎟⎟ k = n 2 ⎜⎜ ρ + ρ ⎟⎟ + 2nρ ⎜⎜1 + ρ ⎠ ρ d⎠ ρ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ d′⎞ ⎛ k = n 2 (ρ + Rρ )2 + 2nρ ⎜1 + R ⎟ − nρ (1 + R ) d ⎠ ⎝

(14.15)

La curvatura esta dada por la extensión por unidad de longitud del acero de tensión, en la primera fluencia (esto es, la deformación unitaria de fluencia), dividida entre la distancia que existe entre el acero de tensión y el eje neutro. f y / Es ϕy = d (1 − k ) en forma similar la curvatura ultima esta dada por:

ϕu =

εc a

β1

el factor de ductilidad de curvatura de la sección esta dada por:

ϕu ε c d (1 − k ) = ϕy f y / E s a / β1

(14.16)

es evidente que si se mantienen constantes otras variables, el factor disponible de ductilidad de curvatura aumenta al disminuir el contenido de acero de tensión, al aumentar el contenido de acero de compresión, con la disminución de la resistencia del acero y el aumento de la del concreto. Si la zona de compresión de un elemento se confina mediante estribos cerrados colocados a corta distancia, o espirales, se mejora notablemente la ductilidad del concreto.

14.3.3 Detalles Sismorresistentes para Vigas

208


Los elementos a flexión en marcos se definen como aquellos elementos en los cuales la fuerza de compresión axial factorizada del elemento es menor que 0.1Agf′c y el claro libre para el elemento es mayor a 4 veces su peralte efectivo. Se impone las siguientes restricciones de geometría con el objetivo de dotar de sección transversal compacta con buena estabilidad durante los desplazamientos no lineales: b/h ≥ 0.3 b ≥ 25 [cm] b ≤ bc + 0.75·h

en cada lado de la columna

donde: b = ancho de la viga h = altura de la viga bc = ancho de la columna Las siguientes limitaciones en la cantidad de refuerzo longitudinal se dan para prevenir la congestión de acero, asegurar el comportamiento dúctil y proveer un mínimo de capacidad de refuerzo mayor que la resistencia a tensión del concreto.

ρ min ≥

14 fy

ρ min ≥ 0.8

f c′ fy

ρ max ≤ 0.025 Además:

Un mínimo de 2 barras deben estar dispuestas en forma continua, tanto en el tope como en el fondo. La resistencia a los momentos positivos en la cara de la junta debe ser mayor o por lo menos igual a la mitad de la resistencia a los momentos negativos provista en esa cara de la junta. En cualquier sección, a lo largo de la viga, ni la resistencia a los momentos negativos ni positivos debe ser menor que una cuarta parte de la resistencia al momento máximo provista en cualquier extremo de la viga.

No se permite empalmes localizados en regiones donde el análisis indica una fluencia a flexión causada por los desplazamientos laterales inelásticos de la estructura. No deben utilizarse empalmes:

Dentro de las juntas o nudos Dentro una distancia del doble de la altura de la viga medida a partir de la cara de la columna.

Para prevenir el descascaramiento del concreto que recubre las zonas de empalme es que el espaciamiento máximo del refuerzo transversal que envuelve las barras traslapadas no debe exceder de d/4 ó 10 [cm]. La longitud de desarrollo, ldh, para una barra con un gancho estándar de 90º en hormigones con agregado de peso normal debe ser:

l dh =

f y ⋅ db 17.2 f c′

(14.17)

ldh ≥ 8 db ldh ≥ 15 [cm] donde: db = diámetro de la barra El gancho a 90º debe ubicarse dentro del núcleo confinado de la columna; para barras de diámetro de 9 [mm] a 35 [mm] (#3 al #11) la longitud de desarrollo, ld, para una barra recta no debe ser menor a:

209


ld ≥ 2.5·ldh Y si la profundidad del hormigón vaciado en una operación por debajo de la barra excede de 30 [cm] entonces, ld, debe ser menor a: ld ≥ 3.5·ldh Se requiere refuerzo transversal para proveer de resistencia al cortante y para proveer de confinamiento al concreto localizado dentro de la zona de rótula plástica y para controlar el pandeo lateral de las barras longitudinales. Lazos cerrados, como se ve en la Figura 14.9, proveen de confinamiento al hormigón y también de resistencia al cortante. Los estribos sísmicos con ganchos a 135º sólo proveen resistencia al corte. En los elementos estructurales deben proveerse lazos en las siguientes zonas:

Sobre una distancia 2d a partir de la cara de la columna Sobre una distancia 2d a ambos lados de la sección sujeta a rótula plástica.

horquilla 135º

135º

135º

135º

90º

6 db

6 db

6 db

6 db

estribo sísmico

lazo simple

6 db estribo sísmico

db

gancho sísmico

Figura 14.9

horquillas

lazo doble (2 pz)

Lazos y estribos sísmicos

El primer lazo debe localizarse a no mas de 5 [cm] de la cara de la columna; el espaciamiento máximo entre los lazos no debe ser mayor a: smax ≤ d/4 smax ≤ 8·db smax ≤ 24 dt smax ≤ 30 [cm] donde: d = peralte efectivo db = diámetro de la barra longitudinal dt = diámetro de la barra del lazo. Donde no se requieren lazos se pueden hacer usos de estribos sísmicos con ganchos a 135º, a través de la longitud del elemento en un espaciamiento máximo de d/2. El detalle de la disposición de lazos y estribos se muestra en la Figura 14.10.

210


s < d/4 s < 8 db s < 24 d t s < 30 cm

< 5 cm > 2d lazos

s < d/4 s < 10 cm

s < d/2

estribos sísmicos

< 5 cm

> empalme lazos

estribos sísmicos

> 2d lazos

> 2d lazos

> 2h

Figura 14.10

estribos sísmicos

> empalme lazos

> 2h

Disposición de los lazos y estribos

14.3.4 Detalles Sismorresistentes para Columnas Las columnas son aquellos elementos con carga axial factorizada mayor a 0.1Agf′c, estos elementos estructurales también tiene que satisfacer las siguientes condiciones: hmin ≥ 30 [cm] hmin / hperp ≥ 0.4 donde: hmin = menor dimensión de la sección transversal hperp = la dimensión perpendicular a la menor dimensión Para evitar la falla y controlar la congestión de acero y proveer resistencia a la flexión es que los límites para el refuerzo longitudinal son:

ρg ≥ 0.01 ρg ≤ 0.06 donde:

ρg = relación entre el área de refuerzo y el área de la sección transversal

< 35 cm

< 35 cm

El descascaramiento del concreto ocurre en los extremos de las columnas, lo cual hace de estas regiones nada recomendables para la localización de los empalmes. Se deben permitir empalmes dentro de la mitad de la longitud del elemento y deben dimensionarse como empalmes de tensión.

< 35 cm

Figura 14.11

< 35 cm

< 35 cm

Refuerzo transversal en la columna

211


El refuerzo transversal, que consiste de lazos cerrados y horquillas, debe estar dispuesto en toda la altura de la columna para proporcionar resistencia al corte y confinamiento. El espaciamiento máximo de los lazos debe ser: smax ≤ 6 db smax ≤ 15 [cm]

h

s/2

l0 > h l0 > Hn/6 l0 > 45 cm s

< 15 cm

empalme a tensión tipo A

s

Hn

s < 10 cm s < h/4 l0

s/2

Figura 14.12

Detalle del refuerzo en columnas

En la Figura 14.11 se ilustran los lazos cerrados y las horquillas las cuales deben estar espaciadas en un máximo de 35 [cm]. En el extremo de la columna el área requerida de refuerzo por confinamiento esta dada por el valor más grande de: ⎛ ⎞ f ′ ⎞ ⎛ Ag Ash = 0.3⎜ s ⋅ hc c ⎟ ⋅ ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎜ ⎟ f y ⎠ ⎝ Ach ⎠ ⎝ Ash = 0.09 ⋅ s ⋅ hc ⋅

f c′ fy

donde: s = espaciamiento entre lazos Ag = área bruta de la sección transversal de la columna

(14.18)

212


Ach = área transversal medida de extremo a extremo del acero de refuerzo transversal hc = dimensión transversal del núcleo de la columna medida de centro a centro del refuerzo confinante El refuerzo de confinamiento debe estar dispuesto a lo largo de una distancia, l0, a partir de la cara del nudo en ambos lados de cualquier sección donde pueda ocurrir fluencia a la flexión en conexión con los desplazamientos laterales no-elásticos de la estructura. l0 ≥ h l0 ≥ Hn / 6 l0 ≥ 45 [cm] donde: h = altura de la sección columna Hn = luz libre de la columna El espaciamiento de refuerzo de confinamiento esta limitado a: s ≤ hmin/4 s ≤ 10 [cm] donde: hmin = dimensión menor de la columna Los detalles de refuerzo en una columna se muestran en la Figura 14.12. Si el concepto de Columna fuerte-Viga débil no se cumple en una unión, las columnas que soportan las reacciones de dicha junta deben estar provistas de refuerzo de confinamiento en toda su longitud.

14.3.5 Unión Viga-Columna

s < h/4 < 10 cm

h ldh min

ldh min Figura 14.13

Unión Viga-Columna

La unión Viga-Columna esta sujeta a concentraciones elevadas de esfuerzos y por tal motivo requiere de un cuidado minucioso para asegurar el confinamiento del concreto. A excepción del nudo en el cual llegan a empalmar las vigas de l pórtico en sus 4 caras, se debe proveer de acero de confinamiento (Ash) a través de la altura del nudo con un espaciamiento máximo de 10 [cm]. Cuando las vigas empalman en los 4 lados de la junta y cuando el ancho de cada viga es por lo menos ¾ partes del ancho de la columna, debe proveerse un refuerzo transversal igual a Ash/2 con un máximo espaciamiento de 15 [cm]. El refuerzo longitudinal de una viga terminada en una columna debe extenderse hasta la cara alejada del núcleo confinado de la columna y anclarse bajo tensión. En la Figura 14.13 se detalla un nudo típico.

213


14.4

MUROS DE CORTE

14.4.1 Resistencia al corte La resistencia nominal al corte de los muros cortantes está dada por: V n = Acv (0.55 f c′ + ρ n ⋅ f y )

(14.19)

donde: Acv = área neta de la sección de hormigón limitada por el espesor del alma y la longitud de la sección en la dirección de la fuerza cortante considerada. [mm2]. ρn = cuantía de refuerzo de corte distribuido en un plano perpendicular al plano Acv La cuantía de refuerzo, ρv, para muros de corte no debe ser menor que 0.0025 a lo largo de los ejes longitudinales y transversales cuando Vu excede a: 0.265 Acv f c′ esto es:

ρ n = Asn Acn ≥ 0.0025 ρ v = Asv Acv ≥ 0.0025 donde: Asn = área del refuerzo horizontal sobre la longitud vertical considerada. Acn = área del alma sobre la longitud vertical considerada. Asv = área del refuerzo vertical sobre la longitud horizontal considerada.

El espaciamiento del refuerzo en cada sentido en los muros no debe exceder de 45 [cm]; además se deben disponer 2 cortinas de refuerzo en un muro si la fuerza cortante factorizada es mayor que: 0.53 Acv

f c′

Cuando la relación entre la altura del muro y la longitud de la base (hw/lw) es menor a 2, la resistencia nominal al cortante del muro debe determinarse a partir de: V n = Acv (0.265α c

f c′ + ρ n ⋅ f y )

(14.20)

donde el coeficiente αc varía linealmente desde 3.0 para un valor de (hw/lw)=1.5 hasta un valor de 2.0 para (hw/lw)=2.0

14.4.2 Muros de Corte para cargas a flexión y axiales Por la gran área de concreto en los muros es difícil llegar a una falla balanceada, por tanto se aumenta la capacidad de momentos por fuerzas de gravedad en muros de corte. Debe tomarse en cuenta que la carga axial reduce la ductilidad. Para aumentar la ductilidad en el muro de corte debe asemejarse el muro a las columnas con estribos que están sujetas a cargas combinadas de flexión y compresión y es así que deben diseñarse de cómo columnas con un factor de reducción φ de 0.6 cuando gobierna el cortante. En la Figura 14.14 se ilustra el análisis para el cual se asume una distribución lineal de deformaciones, con una deformación máxima para el concreto de 0.003.

214


El momento de diseño también se puede calcular utilizando la ecuación: ⎛ ⎜ ⎝

φM n = φ ⋅ As f y l w ⎜1 + c=

Pu As f y

⎞ ⎛ ⎟ ⋅ ⎜1 − c ⎟ ⎜⎝ l w ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Pu 0.85 f c′bβ 1

lw Sección del muro

b

c

ε P

β1c

0.85 f ' c

M Ts

Figura 14.14

Diagrama de deformaciones

Cc

Diagrama de fuerzas

Cs

Hipótesis utilizada en el diseño de muros de corte

El ancho efectivo del ala de la sección que contribuye a la resistencia a compresión no debe extenderse más allá de la cara del alma en una longitud igual a ½ de la distancia al alma de un muro de corte adyacente, ni más del 15% de la altura del muro para el ala en compresión, o más que el 30% de la altura del muro para el ala en tensión. Considerando la inestabilidad del muro puede por consideración de muros delgados analizarse los extremos como columnas separadas pudiendo inclusive aumentarse la rigidez por flexión del muro llegando a un muro tipo “I”. Es así que se deben disponer de este tipo de elementos frontera en los muros de corte cuando el esfuerzo máximo de la fibra extrema, correspondiente a fuerzas factorizadas, incluyendo el efecto sísmico, sea mayor que 0.2 f’c. El cálculo del área de acero de este tipo de muros se lo realiza utilizando los criterios y los diagramas de interacción similares a los utilizadas para el cálculo de columnas, o pueden confeccionarse con las ecuaciones respectivas de columnas para casos específicos. El código UBC 4 impone un límite superior para la fuerza axial de diseño por encima del cual el muro ya no se considera efectivo para la resistencia a las fuerzas laterales: Pu = 0.35P0 donde: P0 = resistencia nominal a carga axial con una excentricidad cero. P0 = 0.85·f′c(Ag – Ast) + fy·Ast Ag = área total de la sección. Ast = área del refuerzo vertical. 4

UBC, Sección 1921.6.6.3 [ref.15]

215


Con el objetivo de prevenir la falla frágil es que se adopta la carga axial balanceada de: Pb = 0.35P0 Este es el punto en el diagrama de interacción para columnas en el cual se alcanzan simultáneamente la máxima deformación del concreto (0.003) y la fluencia del acero de refuerzo a tensión. Incrementando la carga axial factorizada más allá de este valor trae como resultado el modo de falla por compresión del concreto, la cual es frágil y repentina.

216


14.5

EJEMPLOS Diseño de un elemento a flexión

Ejemplo 14.1

Determinar el refuerzo longitudinal y transversal para la viga A-B de la Figura 14.15. La viga soporta una carga equivalente no factorizada muerta y viva de: 2.40 [t/m] y 1.20 [t/m] respectivamente. El resumen de momentos de diseño se presenta en la Tabla 14.1. La viga tiene 50 [cm] de base y 60 [cm] de altura. La losa es de 20 [cm] de espesor. Utilizar f′c = 280 [kg/cm2], fy = 4200 [kg/cm2].

A

B

D

C

15.50 t·m

13.20 t·m

15.50 t·m 3º piso

-36.90 t·m

-44.60 t·m

-43.30 t·m

-43.30 t·m

-44.60 t·m

-36.90 t·m

4.00 m.

2º piso

col 55x55 col 55x55

6.70 m.

col 55x55

6.70 m.

6.70 m.

Figura 14.15

1.4 D + 1.7 L 0.75(1.4D+1.7L ± 1.7·1.1E) 0.9 D ± 1.3· 1.1 E

Viga A-B Ecuación (a) Ecuación (b) Hacia la derecha Hacia la izquierda Ecuación (c) Hacia la derecha Hacia la izquierda Viga B-C Ecuación (a) Ecuación (b) Hacia la derecha Hacia la izquierda Ecuación (c) Hacia la derecha Hacia la izquierda

A -13.50

(a) (b) (c)

Momento de Diseño [t·m] Tramo B 15.50 -21.70

11.45 -36.90

14.40 14.60

-44.60 4.15

18.60 -29.80 B -19.30

6.36 6.50 Tramo 13.20

-33.30 15.50 C -19.35

7.00 -43.30

12.40 12.40

-43.30 7.00

17.10 -33.20

5.50 5.50

-33.20 17.15

Tabla 14.1

217


Solución:

a) Verificación de dimensiones: b/h = 50/60 = 0.83 ≥ 0.3 b = 50 [cm] ≥ 25 [cm] b ≤ bc + 0.75·h b ≤ 56 + 0.75·60 50 ≤ 101 ln ≥ 4·d 609 ≥ 4·55.5 609 ≥ 222

→ cumple → cumple → cumple → cumple

b) Refuerzo longitudinal 1.

Refuerzo para momento negativo en B

Debido a que el refuerzo a flexión negativa para ambas vigas A-B y B-C en el nudo B será provista por las mismas barras continuas se utilizará el mayor de los momentos negativos en el nudo B. De este modo Mu = 44.60 [t·m]. Para el cálculo se desprecia el efecto del acero de refuerzo a compresión, es así que se tiene: a=

As ⋅ f y 0.85 ⋅ f c′ ⋅ b

=

4200 ⋅ As = 0.353 ⋅ As 0.85 ⋅ 280 ⋅ 50

M u ≤ φM n M u ≤ φAs f y (d − a 2) 44.6 ⋅10 5 = 0.9 ⋅ As ⋅ 4200 ⋅ (55.5 − 0.353 ⋅ As 2)

[ ]

As = 22.93 cm 2

utilizar 5 φ 25 (As = 24.54), que proporciona un momento φ Mn = 47.46 [t·m] Verificación de los límites del refuerzo: ⎧ f c′ 280 ⎪0.8 bd = 0.8 50 ⋅ 55.5 = 8.88 cm 2 fy 4200 ⎪ As min ≥ ⎨ ⎪ 14 bd = 0.0033 ⋅ 50 ⋅ 55.5 = 9.16 cm 2 → gobierna ⎪f ⎩ y

[ ]

[ ]

Asmax ≤ 0.025·bd Asmax = 0.025·50·55.5 = 69.37 [cm2] Asmin ≤ As ≤ Asmax → cumple 2.

Refuerzo para momento negativo en A

Mu = 36.90 [t·m] que requiere un área de refuerzo de: As = 18.70 [cm2] utilizar 4 φ 25 (As = 19.63), que proporciona un momento φ Mn = 38.60 [t·m] 3.

Refuerzo para momento positivo en los nudos:

La resistencia a momento positivo en la cara de la junta debe ser mayor o igual al 50% de la resistencia a los momentos negativos provista en esa cara de la junta.

218


Min. Mu+(A) = 38.6/2 = 19.30 [t·m], para el cual satisface 2 φ 25 (As = 9.82), que proporciona un momento φ Mn = 19.96 [t·m], el cual es mayor al momento positivo requerido en A de Mu = 18.60 [t·m] Min. Mu+(B) = 47.46/2 = 23.73 [t·m], para el cual satisface 3 φ 25 (As = 14.73), que proporciona un momento φ Mn = 29.40 [t·m], el cual es mayor al momento positivo requerido en B para ambos tramos de Mu = 17.10 [t·m]. Además notar que es mayor al momento positivo requerido en los tramos (A-B y B-C) 4.

Refuerzo para momento positivo en el tramo:

En cualquier sección a lo largo de la viga, ni la resistencia a los momentos negativos ni positivos debe ser menor que una cuarta parte de la resistencia máxima a momento provista en cualquier extremo de la viga. De este modo el valor mínimo de diseño para momento positivo es: 47.46/4 = 11.86 [t·m] En el tramo se tiene un Mu = 15.50 [t·m]el cual es cubierto con la resistencia a momento proporcionada por 2 φ de 25

c)

Cálculo de la longitudinal de anclaje requerida para el refuerzo a flexión en la columna exterior

La longitud de desarrollo mínima para gancho estándar a 90º es:

l dh

⎧ f y db 4200 ⋅ 2.5 = = 36.5 ≈ 37 [cm] → gobierna ⎪ ⎪17.2 f c′ 17.2 280 ⎪ ≥ ⎨8d b = 8 ⋅ 2.5 = 20 [cm] ⎪15 [cm ] ⎪ ⎪ ⎩ 55 cm.

37 cm.

12 d b

60 cm.

d) Calculo del refuerzo por cortante La resistencia probable a flexión Mpr (momento probable resistente), asociada a la formación de la rótula plástica, se calcula utilizando un factor de reducción φ = 1.0 y asumiendo que el esfuerzo del acero de tensión es fs = 1.25·fy.

219


M pr = 1.25 As f y (d − a 2) a=

1.25 As f y 0.85 f c′b

= 0.441As

el esfuerzo cortante de diseño en los extremos de la viga para las dos condiciones de carga a ser consideradas se determina a partir de: w = wD + wL = 2.4 + 1.2 =3.6 [t/m] y los momentos probables resistentes en cada nudo son: − M pr ( A)

para 4 φ de 25 (As = 19.63)

→ 52.7 [t·m]

+ M pr ( A)

para 2 φ de 25 (As = 9.82)

→ 27.5 [t·m]

− M pr (B)

para 5 φ de 25 (As = 24.54)

→ 64.5 [t·m]

+ pr ( B )

para 3 φ de 25 (As = 14.73)

→ 40.4 [t·m]

M

A

w ⋅ ln 2 B

-4.10 [t]

26.10 [t]

26.20 [t]

-4.32 [t]

Ve =

Carga

A 27.50 t·m

M ±pr ( A) + M mpr ( B )

±

ln

B w = 3.6 t/m

64.50 t·m

6.09 m. hacia la deracha

A 52.70 t·m

B 40.40 t·m

w = 3.6 t/m

6.09 m. hacia la izquierda

Para rotación al lado izquierdo, la cortante en A debido al momento probable resistente en ese extremo de la viga se calcula a partir de: VA =

M −pr ( A) + M +pr ( B ) ln

=

52.7 + 40.4 = 15.30 [t ] 6.09

debido a que VA = 15.30 [t] es mayor al 50 % de la cortante de diseño Ve = 26.2 [t] se desprecia la contribución del concreto a la resistencia al corte.

φV s + φVc = Vu

220


Vs =

Vu

φ

=

26.20 = 30.82 [t ] 0.85

verificación de la sección: V s ≤ 2.1 f c′ bd 30.82 ≤ 2.1 280 ⋅ 50 ⋅ 55.5 30.82 ≤ 97.50 →

cumple

el espaciamiento requerido para estribos cerrados considerando el diámetro del estribo φ=8 [mm] es: Av f y d s= Vs

1⋅ 4200 ⋅ 55.5

= 7.56 [cm] 30.82 ⋅10 3 ⎧d 4 = 55.5 4 = 13.87 [cm] gobierna ⎪8 ⋅ d = 8 ⋅ 2.5 = 20 [cm] ⎪ b s max ≤ ⎨ d 24 ⋅ t = 24 ⋅ 0.8 = 19.2 [cm ] ⎪ ⎪⎩30 [cm]

s=

con estribos de diámetro φ=10 [mm] se tiene un espaciamiento s=12 [cm], es decir para la zona de confinamiento desde la cara de al columna hasta una distancia 2h= 1.20 [m], se requieren estribos φ=10 c/ 12. Más allá de la distancia 2h se requieren estribos φ=10 c/24 que cumple el espaciamiento máximo de smax=d/2=27.75 [cm]. e)

Empalmes de barras longitudinales

Los empalmes deben ubicarse lejos de las regiones de máximo esfuerzo, es decir no deben estar junto al nudo, dentro una distancia 2h a partir de la cara de la columna o dentro de regiones potenciales de formación de rótula plástica. Considerar que todos los empalmes deben estar confinados por estribos cerrados con un espaciamiento máximo d/4 ó 10 [cm] a lo largo de la longitud del empalme. 1.

Empalme para barras de diámetro φ = 25 [mm] ubicadas en la base de la viga

Con el momento de 15.50 [t·m] se requiere un área de acero de 7.57 [cm2] para el cual área de refuerzo provista es de 9.82 [cm2], se tiene entonces la relación: Asprov 9.82 = = 1.3 < 2 Asreq 7.57 debido a ello el empalme se considera de tipo B con una longitud de empalme requerida de 1.3·ld≥30 [cm]. Donde: ld αβγλ 3 fy = d b 10.6 f c′ (c + k tr ) / d b donde:

α = factor de ubicación del refuerzo β = factor de revestimiento γ = factor de tamaño del refuerzo λ = factor de agregados ligeros del hormigón (c+ktr)/db ≤ 2.5

(1.0) (1.0) (1.0) (1.0)

221


ld 3 4200 1 = 2.5 10.6 280 2.5 l d = 71.03 [cm ]

la longitud del empalme es: 1.3·ld=92.35≈ 95 [cm] 2. Empalme para barras de diámetro φ = 25 [mm] ubicadas en la parte superior de la viga El empalme para esta ubicación se considera de clase A: con una longitud de empalme requerida de 1.0·ld [cm]. Donde: ld 3 4200 1.3 ⋅1 ⋅1 ⋅1 = 2.5 10.6 280 2.5 l d = 92.35 [cm] la longitud del empalme es: 1.0·ld=92.35≈ 95 [cm]

l1/4+ld = 2.50 m.

2Ø25

95 cm

3Ø25

l1/3+ld = 3.00 m.

l2/3+ld = 3.00 m.

2Ø25

2Ø25 2Ø25

1Ø25 5 cm

1.15 m. Ø10 c/12

1.45 m. Ø10 c/24

Ø10 c/10

1.30 m. Ø10 c/24

1.15 m. Ø10 c/12

5 cm

2Ø25

222


Diseño de columna

Ejemplo 14.2

Determinar el refuerzo transversal para la columna exterior de la Figura 14.15 correspondiente al segundo nivel de un pórtico resistente a momentos. La columna tiene las dimensiones de 55x55 [cm] con acero longitudinal de 8φ de 25 distribuido uniformemente a lo largo de la cara de la columna, asumir la sección de las vigas igual al del ejemplo 14.1 con el refuerzo de acero encontrado en dicho ejemplo. Las propiedades de los materiales son: f’c = 280 [kg/cm2] y fy = 4200 [kg/cm2]

Columna exterior A

Ecuación (a) Ecuación (b) Hacia la derecha Hacia la izquierda Ecuación (c) Hacia la derecha Hacia la izquierda

-470

Momento de Diseño [t·m] Eje x-x Eje y-y Tope Base Tope Base -11.90 12.06 -6.70 6.70

-390 -530

2.30 -15.00

-4.10 16.80

1.01 -5.33

-0.80 4.30

-180 -320

5.90 -11.50

-7.60 13.20

1.86 -4.18

-1.60 3.90

Carga axial [t]

Solución.

a)

La fuerza axial de compresión factorizada en la columna esta dada por: Pu=530 [t], la cual es mayor a 0.1Ag f’c =0.1·552·280 ·10-3= 84.70 [t], de este modo en el diseño del elemento gobierna la carga axial y flexión.

b) 1.

Verificación de los requisitos de limites del refuerzo y resistencia de momentos. Verificación de cantidad de refuerzo longitudinal: 0.01<ρg<0.06 0.01<39.27/552<0.06 0.01<0.013<0.06

2.

→ cumple

Verificación del concepto de columna fuerte − viga débil: 18.42 t·m

38.60 t·m

18.42 t·m

El momento resistente de diseño de la columna para 8φ25 (39.27 cm2) en la dirección transversal se obtiene por cualquier método de diseño racional y está dado por 18.42 [t·m], el momento resistente de la viga es de 38.60 [t·m] proveniente del ejemplo anterior. ΣM e ≥

6 ΣM g 5

223


6 ⋅ 38.60 5 36.84 ≥ 46.32 2 ⋅18.42 ≥

→ no cumple

∴ la columna debe estar provista por refuerzo transversal de confinamiento en toda su longitud según: ⎛ ⎞ f ′ ⎞ ⎛ Ag − 1⎟⎟ Ash = 0.3 ⋅ ⎜ s ⋅ hc c ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎜ f y ⎟⎠ ⎝ Ach ⎠ ⎝ ⎛ f′⎞ Ash = 0.09 ⋅ ⎜ s ⋅ hc c ⎟ ⎜ f y ⎟⎠ ⎝ donde: hc = 55-2·2.5-0.8 = 49.20 [cm] Ach = (55-2·2.5)2 = 2500 [cm2]

[ ]

⎞ 280 ⎞ ⎛⎜ 55 2 ⎛ − 1⎟ = 1.033 cm 2 Ash = 0.3 ⋅ ⎜ 5 ⋅ 49.20 ⋅ ⎟ ⋅⎜ 4200 ⎠ ⎝ 2500 ⎟⎠ ⎝

[ ]

280 ⎞ ⎛ 2 Ash = 0.09 ⋅ ⎜ 5 ⋅ 49.20 ⋅ → gobierna ⎟ = 1.476 cm 4200 ⎝ ⎠ donde el espaciamiento máximo entre estribos es: ⎧ b 55 = 13.75 [cm ] ⎪ = s max ≤ ⎨ 4 4 ⎪⎩10 [cm] → gobierna debido a ello se requiere de la colocación de una horquilla en la sección transversal para cada dirección. Ø8

55 cm

eØ8 c/5

8Ø25

c)

55 cm

Determinación del refuerzo transversal por cortante:

Las columnas solo necesitan diseñarse para resistir el cortante máximo que puede ser transferido a través de las vigas. Aún así el cortante producido por las columnas, que no necesita ser mayor al cortante transferido por las vigas es: Mpr = φ Mn · 1.25/0.7 Mpr = 18.42 · 1.25/0.7 = 32.89 [t·m] Vu = Σ Mpr / Hn = 2 · 32.89/3.40 = 19.34 [t]

224


el cortante máximo que puede ser transferido a través de las vigas es: Vu =

M pr1 / 2 + M pr 2 / 2 Hn

=

52.7 / 2 + 52.7 / 2 = 15.50 [t ] 3.40

→ gobierna

Aporte del concreto a la resistencia al corte. Para despreciar la resistencia del corte al concreto debe cumplirse con la siguiente condición: f′ Ag c > Pu 20 2 280 55 ⋅10 −3 > 530 20 42.35 > 530 → no cumple ⎛ Nu ⎞ ∴Vc = 0.55 ⋅ ⎜ + 1⎟ ⋅ f c′ ⋅ b ⋅ d ⎜ 2000 Ag ⎟ ⎝ ⎠ Conservadoramente se utiliza la menor fuerza de compresión Nu = 180 [t]: ⎛ 180000 ⎞ Vc = 0.55 ⋅ ⎜ + 1⎟ ⋅ 280 ⋅ 55 ⋅ (55 − 2.5 − 0.8 − 2.5 / 2) = 26.30 [t ] 2 ⎝ 2000 ⋅ 55 ⎠

φVc = 0.85 · Vc = 22.35 [t] > 15.50 [t] ∴ el refuerzo transversal dispuesto a lo largo de la columna es el de confinamiento y no aquel debido al corte d)

Empalmes de barras longitudinales:

Los empalmes deben localizarse en la mitad de la longitud del elemento. Los empalmes para barras longitudinales en columnas deben diseñarse como empalmes de clase B de tensión y el espaciamiento mínimo del acero de refuerzo transversal a lo largo del empalme debe ser de 10 [cm]. Empalme clase B:

1.3 ld ld αβγλ 3 fy = d b 10.6 f c′ (c + k tr ) / d b

ld 3 4200 1 = 2.5 10.6 280 2.5 l d = 71.03 [cm ]

la longitud del empalme es: 1.3·ld = 92.35 ≈ 95 [cm]

225


55 cm

95 cm

5 cm

3.40 m.

e Ø8 c/5

5 cm

60 cm

60 cm

55 cm

226


Conexión viga-columna

Ejemplo 14.3

Determinar el refuerzo transversal y la resistencia al cortante de la conexión exterior viga-columna entre la viga del ejemplo 14.1 y la columna del ejemplo 14.2.

Solución.

a)

Refuerzo por confinamiento.

El nudo debe tener la misma cantidad de refuerzo transversal por confinamiento proporcionada a la columna en sus extremos (lo) a menos que el nudo este confinado por nudos que formen marco. Una viga se considera que provee confinamiento si al menos cubre ¾ partes de la cara del nudo, para esta situación basta con la mitad de estribos por confinamiento. Debido a que no se cumple con el criterio de columna fuerte viga débil el nudo tiene la misma cantidad de acero por confinamiento que el de la columna b)

Resistencia al corte del nudo

Nu Mu

Vh 4Ø25 T = A s 1.25 f y x

x

M pr = 52.70 t·m C=T

Vh

Mu Nu

La fuerza cortante que actúa en la sección transversal x-x del nudo es: M prviga 52.70 Vh = = = 15.50 [t ] Hn 3.40 T = As · 1.25 fy =19.63 · 1.25 · 4200 ·10-3 = 103.06 [t] De este modo la fuerza cortante neta en la sección x-x del nudo es: Vu = T – Vh = 87.56 [t] La resistencia al corte del nudo está dada por: V n = 4 ⋅ f c′ A j donde: Aj es el área efectiva del nudo en la cual: h = 55 [cm] ⎧b + h = 50 + 55 = 105 [cm] be ≤ ⎨ ⎩b + 2 ⋅ x = 50 + 2 ⋅ 2.5 = 55 [cm]

→ gobierna

227


φVn = 0.85 ⋅ 4 ⋅ 280 ⋅ 552 ⋅10 −3 = 172.10 [t ] φVn > Vu → resiste

4Ø25

50 cm

eØ8 c/5

8Ø25

eØ8

60 cm

4Ø25

2Ø25 55 cm

Ejemplo 14.4

Diseño alternativo

Determinar el refuerzo longitudinal y transversal para la viga A-B del ejemplo 14.1 utilizando el método alternativo de diseño que implica el considerar el aporte del acero de compresión a la resistencia a flexión y la ductilidad. La viga soporta una carga equivalente no factorizada muerta y viva de: 2.40 [t/m] y 1.20 [t/m] respectivamente. El resumen de momentos de diseño se presenta en el ejemplo 14.1. La viga tiene 50 [cm] de base y 60 [cm] de altura. La losa es de 20 [cm] de espesor. Utilizar f′c = 280 [kg/cm2], fy = 4200 [kg/cm2] para una ductilidad requerida de μ = 2.

Solución.

El diseño es idéntico al ejemplo 14.1 con la única excepción que el cálculo para momento negativo considera el aporte a la resistencia a flexión del acero de compresión, debido a ello se arriba a un método iterativo, el cual es resuelto mediante la ayuda del programa computacional “Mathcad Profesional” que se muestra a continuación:

228


Datos generales: resistencia del hormigón [kg/cm2]

fc := 280

Módulo de elasticidad del acero [kg/cm2]

Es := 2100000

fluencia del acero [kg/cm2]

fy := 4200

ductilidad

ureq := 2

d [cm]

d := 55.5

d' [cm]

d' := 4.5

b [cm]

b := 50

Momento requerido [tm]

Mu := 44.6

eu := 0.003

y la deformación máxima:

Solución : relación de cuantías p'/p

R := 0.5

cuantía de acero a tensión

As := 24.54

Ec := 15100⋅ fc

Ec = 2.527 ×

k := n ⋅ ( p + p ⋅ R) + 2⋅ n ⋅ p ⋅ ⎛⎜ 1 + R⋅ 2

2

⎝

B1 := 0.85 −

0.05 ⋅ ( fc

n: Es/Ec

d' ⎞ d

⎟ − n ⋅ p ⋅ ( 1 + R) ⎠

− 280)

n :=

Es Ec

p = 8.843 ×

10− 3

n = 8.311

k = 0.296

f's=6300(a-d'B1)/a

se calcula los valores de a y f's

⎡⎣ d 2⋅ p2⋅ ( fy − 6300⋅ R) 2 + 4⋅ ( 5355⋅ fc⋅ d⋅ p⋅ R⋅ d'⋅ B1) + d ⋅ p ⋅ ( fy − 6300⋅ R) ⎤⎦ 2⋅ 0.85 ⋅ fc

f's := 6300⋅

As b⋅d

B1 = 0.85

70

entre a=(d*p(fy-Rs*f's))/0.85*f'c y

a :=

5 10

p :=

a − d'⋅ B1

a = 6.184 f's =

a

2.403

×

verificar el que f's sea menor que fy la ductilidad de curvatura θu/θy está dada por Q: Q := u :=

eu ⋅ Es⋅ B1⋅ d ⋅ ( 1 − k)

Q = 8.055

a⋅ fy Q

u = 2.014

4

p' := p ⋅ R

p' = 4.422 ×

−3 10

A's := p'⋅ b ⋅ d

A's = 12.27

⎡ 0.85 ⋅ fc⋅ a⋅ b ⋅ ⎛ d − a ⎞ + A's ⋅ f's⋅ ( d − d') ⎤ 2⎠ ⎣ ⎝ ⎦ Mn :=

Mn = 53.601

Mr := 0.9⋅ Mn

Mr = 48.241

100000

Nota:

Mr = φMn p’ = ρ’ p =ρ u =μ

103


229

229

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231

DIRECCIONES EN INTERNET

Información específica sobre sismología

Configuración de Edificios Comportamiento de estructuras ante sismos Daños provocados por el sismo Sistemas estructurales Diseño de elementos no estructurales Sismo de El Salvador, 13 de Enero 2001 Imágenes digitales y diseño sísmico Sismo de Loma Prieta Hagia Sophia Terremotos, mapa sísmico Zonificación sísmica Fallas geológicas Observaciones sobre conceptos estructurales Características de los sismos Licuefacción Pilotes ¿Qué hacer durante un sismo? Teoría de Placas los 10 sismos más grandes del planeta Falla de San Andrés

Programas para el cálculo estructural

SE-SISMO StruCAD*3D Análisis y Diseño de estructuras STAAD-III implementa

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España Universidad politécnica de Madrid

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Japón Universidad Internacional de Japón

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Norte América Universidad de Baltimore Universidad de Boston Universidad de Connecticut Universidad de Georgetown Universidad de Harvard Universidad de Florida Universidad de Newhaven Universidad de Nueva Inglaterra Universidad de Princeton Universidad de Toronto Universidad de Yale Universidad Estatal de Delaware Universidad Estatal de Florida Universidad Internacional de Florida

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Cuba Universidad de Oriente Universidad de La República de Cuba

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233

APÉNDICE A

234 Vibración libre no amortiguada

A-1 mu&& + ku = 0

m

d 2u + ku = 0 dt

d 2u k + u=0 dt m

D 2 u + ω n2 u = 0

(

)

u D 2 + ω n2 = 0 D = ± iω n → solución→ u = C1 cos ω n t + C 2 senω n t

Vibración libre con amortiguamiento

A-2 mu&& + cu& + ku = 0 c k u&& + u& + u = 0 m m

d 2u du + 2ξω n + ω n2 u = 0 dt dt

D 2 u + 2ξω n Du + ω n2 u = 0

(

)

u D 2 + 2ξω n D + ω n2 = 0 D= D= D=

D=

− 2ξω n ±

(2ξω n )2 − 4 ⋅1⋅ ω n2 2 ⋅1

− 2ξω n ± 4ξ 2ω n2 − 4ω n2 2

(

)

− 2ξω n ± 4ω n2 ξ 2 − 1 2

− 2ξω n ± 2ω n ξ 2 − 1 2

D = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 D = −ξω n ± iω n 1 − ξ 2

⎡ u ⎢ D + ⎛⎜ − ξω n + iω n 1 − ξ 2 ⎝ ⎣

⎞⎤ ⎡ D + ⎛ − ξω − iω 1 − ξ 2 ⎟⎥ ⎢ ⎜ n n ⎠⎦ ⎣ ⎝

u = e −ξω nt ⎛⎜ C1 cos ω n 1 − ξ 2 t + C 2 senω n 1 − ξ 2 t ⎞⎟ ⎝ ⎠

ω D = ω n 1−ξ 2

⎞⎤ = 0 ⎟⎥ ⎠⎦

235 u = e −ξω nt (C cos ω D t + Dsenω D t ) u (0 ) = e −ξω n ( 0) (C cos ω n (0) + Dsenω n (0) ) C = u (0 )

− ξω n e −ξω n t (C cos ω D t + Dsenω D t ) + e −ξω n t (− Cω D senω D t + Dω D cos ω D t ) = u& (0 ) −ξω n C + Dω D = u& (0 ) −ξω n u (0 ) + Dω D = u& (0 )

D=

u& (0 ) + ξω n u (0 )

ωD

Movimiento armónico forzado no amortiguado

A-3 mu&& + ku = P0 senω t P u&& + ω n2 u = 0 senω t m

Solución complementaria: D 2 u + ω n2 u = 0

(

)

u D 2 + ω n2 = 0 −ω n2

D = D = ± iω n u c = A cos ω n t + Bsenω n t 2

Solución complementaria: Método de los coeficientes indeterminados: P Q = 0 ω n2 senω t k

u = C P0 sen ω t + D P0 cos ω t u& = C P0ω cosω t − D P0ω senω t

u&& = −C P0ω 2 senω t − D P0ω 2 cos ω t

− C P0ω 2 senω t − D P0ω 2 cos ω t + ω n2 (C P0 senω t + D P0 cos ω t ) = P0 senω t P P P Cω n2 − Cω 2 0 senω t + Dω n2 − Dω 2 0 cos ω t = 0 senω t m m m

(

)

(

)

Dω n2 − Dω 2 = 0

→

D =0

Cω n2 − Cω 2 = 1

→

C=

up =

P0 2 ω n C senω t k

1

ω n2

−ω 2

236 P0 2 1 ωn 2 senω t k ωn −ω 2 P 1 up = 0 senω t 2 k ⎛ ω ⎞ ⎟ 1 − ⎜⎜ ⎟ ⎝ωn ⎠ La solución total es: P u t = A cos ω n t + Bsenω n t + 0 k up =

1 ⎛ ω 1 − ⎜⎜ ⎝ωn

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

senω t

Para condiciones de inicio: u (0 ) = A

u& (0 ) = − Aω n senω n t + Bω n cos ω n t +

u& (0 ) = Bω n +

P0 k

P0 k

1 ⎛ ω 1 − ⎜⎜ ⎝ωn

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

ω cos ω t

ω ⎛ ω 1 − ⎜⎜ ⎝ωn

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ P ω B = ⎜ u& (0 ) − 0 ⎜ k 1 − (ω ω n )2 ⎝ P ω ωn B = u& (0 ) − 0 k 1 − (ω ω n )2

2

⎞ ⎟ω ⎟ n ⎠

⎡ u& (0 ) P0 ω ωn ⎤ P0 1 u t = u (0 ) cos ω n t + ⎢ senω t − ⎥ senω n t + 2 k 1 − (ω ω n ) ⎥⎦ k 1 − (ω ω n )2 ⎢⎣ ω n Para u(0) = 0 y (condiciones en reposo) u& (0 ) = 0

u (t ) = − u (t ) =

P0 P ω ωn 1 senω n t + 0 senω t 2 k 1 − (ω ω n ) k 1 − (ω ω n )2

P0 1 k 1 − (ω ω n )2

⎡ ⎤ ω senω n t ⎥ ⎢ senω t − ω n ⎣ ⎦

Para resonancia ω = ωn la ecuación anterior no es valida, porque la elección de la solución particular forma parte de la solución complementaria: Q=

p0 2 ω n senω n t k23 1 Cte.

u = Ctsenω n t + Dt cos ω n t u& = Csenω n t + ω n cos ω n t ⋅ Ct + D cos ω n t − Dtω n senω n t

(

u&& = Cω n cos ω n t + Cω n cos ω n t − Ctω n2 senω n t − Dω n senω n t − Dω n senω n t + Dtω n2 cos ω n t en la ecuación diferencial:

)

237

Cω n cos ω n t + Cω n cos ω n t − Ctω n2 senω n t − Dω n senω n t − Dω n senω n t − Dtω n2 cos ω n t + Ctω n2 senω n t + Dtω n2 cos ω n t = Cte ⋅ senω n t 2 ⋅ Cω n cos ω n t − 2 ⋅ Dω n senω n t = Cte ⋅ senω n t 2 ⋅ Cω n = 0

→

C=0

−2 ⋅ Dω n = Cte. P − 2ω n D = 0 ω n2 k P0 ωn D=− 2k P ∴ u p = − 0 ω n t cos ω n t 2k ut = uc + u p P0 ω n t cos ω n t 2k u& (0) = 0

u t = A cos ω n t + Bsenω n t −

para:

u ( 0) = 0

u ( 0) = A = 0

→

∧

A=0

P ⎤ ⎡P u& ( 0) = − Aω n senω n t + Bω n cos ω n t − ⎢ 0 ω n cos ω n t − 0 ω n2 t senω n t ⎥ = 0 2 2 k k ⎦ ⎣ P0 ωn = 0 Bω n − 2k P B= 0 2k P P u (t ) = 0 senω n t − 0 ω n t cos ω n t 2k 2k P u (t ) = 0 (senω n t − ω n t cos ω n t ) ecc. para ω =ωn 2k

Movimiento armónico forzado amortiguado

A-4

mu&& + cu& + ku = p 0 senω t p c u&& + u& + ω n2 u = 0 senω t m m mω n p u&& + 2 ξ u& + ω n2 u = 0 sen ω t m m p0 p 2 u&& + 2ξω n u& + ω n u = sen ω t = 0 ω n2 ω t m k

solución complementaria:

238

D 2 u + 2ξω n Du + ω n2 u = 0 ( D 2 + 2ξω n D + ω n2 )u = 0 D=

D=

− 2ξω n ± 4ξ 2ω n2 − 4ω n2 2 ⋅1

− 2ξω n ± 2ω n ξ 2 − 1 2

D = −ξω n ± iω n 1 − ξ 2

⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎜ ⎜ ⎢ 2 ⎟⎥ ⎢ 2 ⎟⎥ u ⎢ D + ⎜ − ξω n + iω n 1 − ξ ⎟⎥ ⋅ D + ⎜ − ξω n − iω n 1 − ξ ⎟ 14243 ⎟ ⎢ 14243 ⎟⎥ ⎜ ⎜ ωD ωD ⎝ ⎠⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ ⎠⎦⎥ ⎣⎢ →

u c = e −ξω nt ( A cos ω D t + Bsenω D t )

la solución es:

Solución particular: p Q = 0 ω n2 senω t k u = C senω t + D cos ω t u& = Cω cosω t − Dωsenω t u&& = −Cω 2 senω t − Dω 2 cos ω t →

en la ecuación diferencial:

− Cω 2 senω t − Dω 2 cos ω t + 2ξω n Cω cos ω t − 2ξω n Dω senω t + Cω n2 senω t + Dω n2 cos ω t =

p0 2 ω n senω t k23 1 Cte.

(− Cω

2

)

(

( (

) )

C=−

D ω n2 − ω 2 2ξω n ω

D ω n2 − ω 2 + C 2ξω nω = 0 p C ω n2 − ω 2 − D 2ξω n ω = 0 ω n2 k

−

(

)

+ Cω n2 − 2ξω n Dω senω t + − Dω 2 + 2ξω n Cω + Dω n2 cos ω t = Cte. ⋅ senω t

(

D ω n2 − ω 2 2ξω n ω

(

)

)

2

− D 2ξω n ω =

)

p0 2 ωn k

⎡ ω 2 − ω 2 2 + 4ξ 2ω 2ω 2 ⎤ p n ⎥ = 0 ω n2 − D⎢ n ⎢ ⎥ k 2ξω n ω ⎣ ⎦ 2 ⎡ ω 4 1 − (ω ω )2 ⎤ p n − D⎢ n + 2ξω n ω ⎥ = 0 ω n2 ⎢ ⎥ k 2ξω n ω ⎣ ⎦ ⎡ ω 1 − (ω ω )2 2 ω ⎤⎥ p 0 2 n − Dω n2 ⎢ n + 2ξ = ωn ⎢ 2ξω ωn ⎥ k ⎣ ⎦

(

)

(

)

239 ⎡ ⎤ ⎢ 1 − (ω ω )2 2 ω ⎥⎥ p 0 n − D⎢ + 2ξ = ω ⎢ ωn ⎥ k 2ξ ⎢ ⎥ ωn ⎣ ⎦ 2 ⎡ 2 ⎛ ω ⎞ ⎤⎥ ⎢ 1 − (ω ω n )2 + ⎜ 2ξ ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎥ p ⎢ n ⎠ ⎝ 0 − D⎢ ⎥= ω ⎢ ⎥ k 2ξ ⎢ ⎥ ωn ⎣ ⎦

(

)

(

)

D=

−2ξ ω ω n p0 k 1 − (ω ω )2 2 + (2ξ ω ω )2 n n

D=

1 − (ω ω n )2 p0 k 1 − (ω ω )2 2 + (2ξ ω ω )2 n n

(

)

(

)

Secciones nominales de barras

A-5

Barra Nº

[in]

Diámetro nominal, [mm]

Peso nominal, [kg/m]

Área de la sección transversal, [cm2]

¼

6

0.222

0.28

Diámetro,

⁄16

8

0.395

0.50

3

⁄8

10

0.617

0.79

4

½

12

0.888

1.13

5

5

⁄8

16

1.578

2.01

6

¾

20

2.466

3.14

7

7

⁄8

22

2.980

3.80

8

1

25

3.853

4.91

9

1

1 ⁄8

28

4.830

6.16

10

1¼

32

6.313

8.04

11

1 3⁄8

36

7.990

10.18

14

1¾

45

12.480

15.90

18

2¼

55

20.239

23.76

5

3

240 Factores de conversión

A-6

Propiedades estructurales Dimensión de la sección transversal Área Modulo de sección Momento de inercia

1 in 1 in2 1 in3 1 in4

= = = =

2.54 cm 6.452 cm2 16.39 cm3 41.62 cm4

1 lb 1 lb/ft 1 lb/ft2

= 0.454 kg = 1.488 kg/m = 4.882 kg/m2

1kip 1 lb/in2 1 ksi 1 lb·ft 1 kip·in

= = = = =

Cargas Cargas concentradas Cargas lineales Cargas de superficie

Esfuerzos y momentos Fuerza Esfuerzos Momento

453.59 0.0703 70.307 0.1383 11.521

kg kg/cm2 kg/cm2 kg·m kg·m

Criterios de Estructuración Sismo Resistente en Edificios

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