introduccion a las ecuaciones diferencialesDescripción completa
Descripción: aplicacion de las ecuaciones diferenciales al modelamiento del vaciado, drenado de un tanque, recipiente.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Ejercicios de ecuaciones diferenciales resueltos
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Descripción: Autores: Ibarra de Gomez, Sanguedolce y Nabarro... es un aporte para Scribd
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Descripción: ecuaciones diferenciales
ejercicios
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS -ESPE
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Nombre: Cristian Roberto Benalcazar López
NRC: 1116
Fecha: 09 de noviembre del 2015
Crecimiento y ecaimiento
Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográico !"mano lo !izo #!omas $alt!"s% economista ingl&s en 1'9() *n esencia% la idea del modelo malt!"siano es la !ipótesis de +"e la tasa de crecimiento de la población de "n pa,s crece en orma proporcional a la población total% -.t/% de ese pa,s en c"al+"ier momento t) *n otras palabras% mientras más personas !aa en el momento t% !abrá más en el "t"ro) *n t&rminos matemáticos% esta !ipótesis se p"ede epresar dP dt
∝
P
dP
sea
dt
=
kP
3onde 4 es "na constante de proporcionalidad) pesar de +"e este sencillo modelo no tiene en c"enta m"c!os actores .por eemplo% inmigración emigración/ +"e p"eden inl"ir en las poblaciones !"manas% !aci&ndolas crecer o dismin"ir% predio con m"c!a eactit"d la población de *stados Unidos desde 1'90 !asta 1(60) La ec"ación dierencial .1/ a7n se "tiliza con m"c!a rec"encia para modelar poblaciones de bacterias de animales pe+"e8os d"rante cortos intervalos) *l n7cleo de "n átomo está ormado por combinaciones de protones ne"trones) $"c!as de esas combinaciones son inestables esto es% los átomos se desintegran% o se convierten en átomos de otras s"stancias) :e dice +"e estos n7cleos son radiactivos por eemplo% con el tiempo% el radio Ra 226% intensamente radiactivo% se transorma en gas radón% Rn 222% tambi&n radiactivo) -ara modelar el enómeno de la desintegración radiactiva% se s"pone +"e la tasa con+"e los n7cleos de "na s"stancia se desintegran .decaen/ es proporcional a la cantidad .con más precisión% el n7mero/ de n7cleos% .t/% de la s"stancia +"e +"eda c"ando el tiempo es t.o en el momento t/; dA dt
∝
A
sea
dA dt
=
kA
-or s"p"esto +"e las ec"aciones .1/ .2/ son eactamente ig"ales la dierencia radica en la interpretación de los s,mbolos de las constantes de proporcionalidad) *n el caso del crecimiento% como cabe esperar en .l/% 4 < 0% en el caso de la desintegración% en .2/% 4 = 0) *l modelo de desintegración .2/ tambi&n se aplica a sistemas biológicos por eemplo% la determinación de la >vida media? o >periodo medio? de "na medicina) @os reerimos al tiempo +"e tarda el organismo en eliminar 50A de ella% sea por ecreción o metabolización) eremos el mismo modelo básico de .1/ .2/ en "n sistema económico)
M!too e "o#$ci%n e a#&$no" e'em(#o" e crecimiento y ecaimiento
*l problema de valor inicial dx dt
=
kx
%
x .t 0 /
=
x0
)*+
*n donde 4 es "na constante de proporcionalidad% se emplea como modelo de distintos enómenos donde intervienen crecimiento o decaimiento .desintegración/) nteriormente describimos +"e% en biolog,a% se !a observado +"e en cortos periodos la tasa de crecimiento de alg"nas poblaciones .como las de bacterias o de animales pe+"e8os/ es proporcional a la población presente en c"al+"ier momento) :i conocemos "na población en cierto momento inicial arbitrario% +"e podemos considerar deinido por t 0% la sol"ción de )*+ nos sirve para predecir la población en el "t"ro% esto es% para t < 0) La constante de proporcionalidad 4% en )*+% se p"ede !allar resolviendo el problema de valor inicial% con "na determinación de en "n momento t 1 > t 0 ) PRO,LEMA Crecimiento e bacteria" e co#.
*n "n principio% "n c"ltivo al inicio tiene determina +"e el n"mero de bacterias es
P 0
D 2
cantidad de bacterias) *n t 1 se
P 0
) :i la rapidez de crecimiento es
proporcional al n"mero de bacterias -.t/ presentes en el tiempo t% determine el tiempo necesario para +"e se tripli+"e el n7mero de bacterias) Solución:
-rimero se res"elve la ec"ación dierencial en .1/% donde el s,mbolo se reemplaza por -) Con t 0 = 0 % la condición inicial es P .0/ = P 0 ) *ntonces se "sa la observación emp,rica de +"e
P .1/
=
D 2
P 0
para determinar la
constante de proporcionalidad k. bserve +"e la ec"ación dierencial
dP dt
=
kP es
tanto separable como lineal)
C"ando se pone en la orma estándar de "na *3 lineal de primer orden% dP dt
−
kP = 0
:e ve por inspección +"e el actor integrante es e kt ) l m"ltiplicar ambos lados de la ec"ación por este termino e integrar se obtiene a s" vez% −
d
[e
dt
− kt
) P ]
=
0
e
− kt
) P = c
-or tanto P .t / = ce kt ) *n t0 se ded"ce +"e *n consec"encia *n t1 se tiene
P 0
P .t /
D 2
P 0
=
=
ce
= P 0e
P 0 e
0
kt
=
c
)
k
la "ltima ec"ación se obtiene
k
=
ln
D 2
=
0)E055
0)E055t -or tanto P .t / = P 0 e ) -ara determinar el tiempo en +"e se !a triplicado el n7mero de bacterias% se res"elve t P e D P para t) :e ded"ce +"e
0
t =
=
0)E055
0
ln D 0)E055
=
2)'1h
bserve en el eemplo 1 +"e el n"mero real P de bacterias presentes en el tiempo t0 no t"vo +"e ver en el calc"lo del tiempo +"e se re+"irió para +"e se triplicara el n"mero de bacterias en el c"ltivo) *l tiempo necesario para +"e se tripli+"e "na población inicial de% por eemplo 100 bacterias o 1)000)000 es de mas o menos 2)'1 Foras) 0
bservamos la graica de crecimiento decaimiento poblacional)
Como se ilustra en la grafica, la función exponencial e kt se incrementa cuando aumenta t para k y disminuye cuando aumenta t para k<0. Así, los problemas ue describen el crecimiento !ya sea de poblaciones, bacterias o incluso capital" se caracteri#an por un $alor positi$o de k, mientras ue los problemas relacionados con el decaimiento !Como en la desintegración radiacti$a" generan un $alor k negati$o. %n consecuencia, se dice ue k es una constante de crecimiento !k&0" o una constante de decaimiento !k<0".
,I,LIO/RAFIA - *c"aciones 3ierenciales con aplicaciones de modelado) ctava edicion) 3ennis G) Hill