Cours de « Résistance des matériaux » Tire du chapitre :
LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX EN TANT QUE DISCIPLINE PROFESSIONNELLE
A. DESCRIPTION SOMMAIRE DE L’ACTIVITE PEDAGOGIQUE Compétence visée : Objectif global : Objectifs spécifiques :
Démarche atteindre objectifs :
pour les
Préparer, organiser, gérer et suivre le chantier Comprendre Comprendre le comportement comportement mécanique mécanique des matériaux matériaux et éléments éléments utilisés utilisés dans la construction des ouvrages Connaître les types et fonctions des différents ouvrages de Génie Civil Comprendre Comprendre comment sont schématisés schématisés les différents différents ouvrages de Génie Civil pour leurs études Connaître les différentes actions qui peuvent agir sur des ouvrages de Génie Civil Comprendre les types de ruines que peuvent subir les ouvrages de Génie Civil eu égard aux actions agissantes. Défini Définirr les object objectifs ifs de la Résist Résistanc ance e des matéri matériaux aux en tant tant que discip disciplin line e professionnelle 1. Les différents ouvrages de Génie Civil 2. La schématisation des ouvrages et parties d’ouvrages 3. Les actions sur les ouvrages 4. Les ruines des ouvrages 5. Les objectifs de la Résistance des matériaux
B. CONTENU DETAILLE DU COURS 1. Les différents ouvrages de Génie Civil Ci vil Les ouvrages de Génie Civil sont des produits (éléments) crées par l’homme pour plusieurs raisons : pour pour se prot protége égerr ou prot protéger éger ses bien biens s contre contre les forces forces de de la nature nature ; pour pour utili utiliser ser les forces forces de de la nature nature à ses ses besoi besoins ns dive divers rs ; pour pour fac facil ilit iter er ses ses act activ ivit ités és de de trav travai ail, l, etc etc.. .. ; Comme ouvrages de Génie Civil, on peut citer : les bâ bâtiments di divers ; les ponts ; les routes ; les barrage barrages, s, digu digues, es, canaux canaux et et autre autres s ouvrag ouvrages es hydr hydro-ag o-agrico ricoles les ; les les ouvr ouvrag ages es port portua uair ires es ; Les Les tun tunnel nels s et autr autres es ouvrag ouvrages es sout souter errai rains ns Les rése réservoi rvoirs, rs, les les châte châteaux aux d’ea d’eau, u, les les condui conduites tes d’ea d’eau u et autre autres, s, etc… etc… Ces ouvrages diffèrent selon la destination. Par exemple : - les bâtiments sont destinés à se protéger et protéger les biens matériels contre les intempéries. - Les ponts sont faits pour traverser les cours d’eau, les bas fons et autres obstacles. - Les routes sont conçues pour faciliter la circulation des véhicules, de même que les tunnels qui, en plus servent à contourner un obstacle.
-
Les barrages et autres ouvrages hydro-agricoles sont réalisés pour utiliser les forces de
-
la nature : utilisation de l’énergie de l’eau, de l’eau pour l’irrigation, etc… Les réservoirs et châteaux d’eau sont utilisés pour le ravitaillement des populations en eau potable.
2. La schématisation des ouvrages et parties d’ouvrages Les éléments des ouvrages et machines constitués sont, en général, schématisés comme (voir fig. 1.1) : une barre ; une plaque ; une coque ; un corps massif
Les barres sont des éléments dont une dimension, appelée dimension longitudinale est plus grande que les deux autres dimensions, appelées dimensions transversales. Les barres peuvent être rectilignes, brisées ou courbes.
Les plaques sont des corps limités par deux surfaces planes dont la distance entre elles (appelée épaisseur de la plaque) est petite par rapport aux dimensions des plans. Donc ici, il y a deux dimensions qui sont grandes par rapport à la troisième. Les plaques peuvent être rectangulaires, circulaire, triangulaire, polygonale ou de forme quelconque.
Les coques sont des corps limités par deux surfaces curvilignes dont la distance entre elles (appelée épaisseur de la coque) est petite par rapport aux dimensions des surfaces. Donc ici, il y a une dimension qui est petite par rapport aux deux autres dimensions. Il existe des coques cylindriques, coniques, sphériques, hyperboliques, etc...
Un corps massif est un corps dont les trois dimensions sont du même ordre de grandeur. Ce sont par exemple certaines fondations, digues, barrages, murs de soutènements.
Fig. 1.1.
3. Les actions sur les ouvrages Les actions sur les corps sont constituées par les forces et effets agissant sur le corps. Ces actions sont, souvent appelées charges sur le corps ou charges sur la structure. Ce sont ainsi les forces d’interaction entre le corps considéré et d’autres corps.
Une force est une grandeur qui mesure quantitativement l’action mécanique réciproque des corps. C’est une grandeur vectorielle caractérisée par : son son mod modul ule e (ou (ou inte intens nsit ité) é),, sa dir direc ecti tion on (ou (ou sa sa lign ligne e d’a d’act ctio ion) n),, son sens et, son son poi point nt d’ap d’appl pliicati cation on.. Les forces peuvent être surfaciques ou massiques. Les forces surfaciques s’appliquent à la surface du corps; ce sont les forces ponctuelles ou réparties.
Une force ponctuelle ou concentrée est une force dont la surface d’application est petite (c’est-àdire négligeable) par rapport aux dimensions du corps sur lequel agit cette force. Une force répartie est une force dont la surface d’application n’est pas petite par rapport aux dimensions du corps sur lequel agit cette force. Cette force est ainsi répartie soit sur toute la surface (ou la longueur) du corps, soit sur une partie seulement de la surface (ou de la longueur) du corps. Les lois de variation d’une charge répartie d’un point à l’autre peuvent être les plus variées ; c’est ainsi qu’on a : des charges charges unifor uniformém mément ent réparti réparties: es: réparti répartitio tion n const constant ante e; des charges charges linéai linéairem rement ent réparti réparties: es: réparti répartitio tion n linéai linéaire re ; des char charges ges répart réparties ies suiva suivant nt une une loi quel quelcon conque: que: vari variati ation on quelc quelconqu onque. e. Les forces massiques ou volumiques se rapportent à la masse du corps; ce sont par exemple le poids propre du corps et la force d’inertie du corps en mouvement. Les charges peuvent être aussi statiques ou dynamiques. Les forces statiques s’appliquent lentement sur la structure, alors que les forces dynamiques sont caractérisées par un très court temps d’application; c’est-à-dire qu’elles s’appliquent de façon instantanée.
Fig. 1.2.
Un peu de terminologie des forces : Concept Forces équivalentes Force résultante Force d’équilibrage Forces extérieures Forces intérieures Force concentrée Forces réparties
Explication C’est des forces dont l’action de chacune d’elles provoque le même état cinématique du corps (état de mouvement ou de repos). C’est la force équivalente à un système de forces C’est la force de même module et de direction que la résultante, mais de sens opposé C’est des forces issues de l’action des corps extérieurs au corps considéré Ce sont les forces agissant entre les points du système ou du corps C’est une force appliquée en un point déterminée du corps C’est des forces agissant sur tous les points d’un volume donné (forces massiques) ou d’une partie donnée de la surface (forces surfaciques) du corps
Les actions sont les forces et certains effets qui agissent sur les différents ouvrages de Génie Civil. Selon leur fréquence, on distingue : les les act actio ions ns perm perman anen ente tes s; les ac actions va variables ; les les acti action ons s acci accide dent ntel elle les. s.
Les actions permanentes sont celles qui agissent sur l’ouvrage de façon permanente durant toute la durée de vie de l’ouvrage. C’est le cas par exemple du poids propre de l’ouvrage, de certains équipements fixes sur l’ouvrage ou de certaines déformations imposées à l’ouvrage.
Les actions variables sont celles dont l’intensité varie dans le temps ; elles sont subdivisées en plusieurs sous-groupes qui sont : actions d’exploita d’exploitation tion qui sont sont cell celles es qui qui agis agisse sent nt sur sur l’ouv l’ouvra rage ge pend pendan antt son son - les actions exploitation : poids des personnes sur les planchers des bâtiments, poids des véhicules sur les ponts, poids du liquide dans les réservoirs, etc… - les actions climatiques qui sont liées au climat : poids de la neige et action du vent ; les action actions s dues aux variat variation ions s de températ température ure : variati variations ons journa journaliè lières res et saison saisonniè nières res de la température ; - les actions de montage ou d’essai ou encore appliquées en cours d’exécution de l’ouvrage : poids des ouvriers et des matériaux ; actions de certains équipements, etc… Les actions accidentelles sont celles qui sont dues à des phénomènes très rares comme les tremblements de terre, les explosions, les chocs, les incendies, etc… Pour déterminer les valeurs totales des actions qui agissent sur un ouvrage, on fait des combinaisons des différentes actions possibles.
4. Les ruines des ouvrages La ruine = c’est quant l’ouvrage cesse de répondre aux fonctions pour lesquelles il a été conçu. La ruine intervient à la suite de : d’un d’un effond effondrem rement ent ou écra écrasem sement ent (pert (perte e de résist résistanc ance e ou de forme forme)) de l’ouvr l’ouvrage age ; d’un d’une e rupt ruptur ure e quel quelco conq nque ue (pert (perte e de résist résistan ance ce)) d’u d’un n élém élément ent de l’ouv l’ouvra rage ge ou parti partie e de l’ouvrage ; d’un d’un renvers renverseme ement nt ou d’un d’un basc bascule ulemen mentt (perte (perte de de positi position) on) de de l’ouvr l’ouvrage age ; d’une d’une déforma déformatio tion n très import important ante e empêcha empêchant nt ou genant genant l’explo l’exploita itatio tion n de l’ouvrag l’ouvrage e; de tout tout autre autre désor désordre dre empêch empêchant ant l’explo l’exploita itatio tion n de l’ouvra l’ouvrage. ge. Les ruines sont toujours suivies de : perte rte en en vi vies hu humaines ; perte rtes économiques ; impact pacts s envi enviro ronn nnem emen enta taux ux ; cons conséq éque uenc nces es soci social ales es néfa néfast stes es.. Il apparaît donc nécessaire de concevoir les différents ouvrages de façon à éviter toute sorte de ruine. Cette conception des ouvrages passent par : un choix choix judi judicie cieux ux des des matéri matériaux aux de de constr construct uction ion pour pour sa sa réalis réalisati ation on ; donn donner er les dimens dimensio ions ns adéqu adéquat ates es et la forme forme qu’il qu’il faut faut à l’ouv l’ouvra rage ge et à ses ses diffé différe rents nts éléments ; une exécu exécutio tion n profess profession ionnel nelle le des trav travaux aux en en respect respectant ant les les règles règles de l’ar l’art. t.
5. Les objectifs de la Résistance des Matériaux L’objectif fondamental de la Résistance des Matériaux, comme comme dicipline professionnelle, est de donner la forme la plus rationnelle à un ouvrage et déterminer ses dimensions en f onction du matériau choisi pour pour que cet ouvrage puisse puisse résister, rester stable et rigide sous l’action des différentes actions qui peuvent agir sur lui.
La Résistance des Matériaux est Matériaux est une discipline fondamentale d’ingénieurs qui traite des méthodes employées pour le calcul de résistance, de rigidité et de stabilité des éléments des ouvrages et des machines.
La résistance est la capacité d’une structure et de ses éléments de supporter une charge déterminée sans se rompre ou sans s’écraser.
La rigidité est la capacité d’une structure et de ses éléments de s’opposer à l’action déformatrice (modification de la forme et des dimensions de l’élément) des charges extérieures. Il s’agit donc de limiter les déformations des éléments sous l’action des forces extérieures.
La stabilité est la capacité d’une structure ou d’un de ses éléments de conserver une forme ou une position initiale donnée correspondant à l’état d’équilibre. Il y a donc de types de stabilité: la stabil stabilité ité de positio position n (basc (basculem ulement ent,, renve renverse rsemen ment) t) ; la stab stabiilit lité de form forme e (per (perte te de la form forme e de l’él l’élém émen ent: t: voil voilem emen ent, t, déve dévers rsem emen ent, t, flambement).
Pour atteindre son objectif, la Résistance des Matériaux se fonde sur des données théoriques (Mathématiques, Mécanique) et expérimentales (Physique, Technologie des matériaux de construction).
Titre du chapitre :
HYPOTHESES ET PRINCIPES DE CALCUL
A. DESCRIPTION SOMMAIRE DE L’ACTIVITE PEDAGOGIQUE Compétence visée Objectif global Objectifs spécifiques
Déma Démarc rche he atteindre objectifs
pour pour les
Préparer, organiser, gérer et suivre le chantier Comprendre Comprendre le comportemen comportementt mécanique mécanique des matériaux matériaux et éléments éléments utilisés dans la construction des ouvrages Connaître les matériaux utilisés pour réaliser des maçonneries Maîtriser les techniques de mise en œuvre des maçonneries Suivre les travaux de maçonneries réalisées Identi Identifier fier et exploit exploiter er les outils outils et équipe équipemen ments ts utilis utilisés és dans dans les travau travaux x de maçonneries 1. Définitions de quelques concepts 2. Les liaisons des structures planes et leurs schématisations 3. Les axiomes de la statique 4. Système de forces. Equilibre du corps solide
B. CONTENU DETAILLE DU COURS 1. Définitions de quelques concepts Concept La mécanique rationnelle : La statique :
Définition
Un corps est en équilibre :
C’est la science qui étudie les lois générales du mouvement et de l’interaction mécanique des corps matériels. C’est la partie de la mécanique rationnelle qui étudie les lois de la composition des forces et les conditions d’équilibre des corps soumis à l’action des forces. s’il se trouve en état de repos par rapport à d’autres corps matériels immobiles (équilibre absolu) ou non (équilibre relatif).
Un corps solide :
C’est un corps pour lequel la distance entre deux de ses points ne varie pas.
Liaisons :
Ce sont tous ceux qui peuvent empêcher le mouvement libre d’un corps. corps.
Les réactions des liaisons : Un corps lié : Un corps libre Une structure : Structure plane
Elles expriment l’action mécanique des liaisons sur les corps = corps non libre : C’est un corps auquel sont appliquées des liaisons. = corps non lié : C’est un corps sans liaisons. représente l’ossature porteuse d’un ouvrage; c’est l’ensemble des éléments de l’ouvrage qui supporte les différentes actions qui sont appliquées à l’ouvrage. quand tous ses éléments constitutifs sont situés sur un même plan.
2. Les liaisons des structures planes et leurs schématisations Les liaisons sont tous ceux qui peuvent empêcher le mouvement libre d’un corps. Sur un corps sont appliquées deux catégories de forces : - les forces actives constituées par les charges données agissant sur le corps ; les forces réactives réactives consti constituée tuées s par les réactio réactions ns de liaiso liaisons ns qui exprim expriment ent l’acti l’action on mécanique des liaisons sur le corps.
La réaction d’une liaison s’exprime donc sous forme de force ; de plus, cette force est appliquée au corps ( = action de la liaison sur le corps).
Retenons ceux-ci : La réaction d’une surface plane lisse est toujours perpendiculaire á cette surface (voir fig. 2.1, a, b ,c). La réaction d’une barre est toujours dirigée le long de cette barre (voir fig. 2.1, d).
Fig. 2.1
Pour les structures planes, on rencontre, généralement, les liaisons suivantes : les ap appuis si simples ; les les appu appuis is dou doubl bles es ou ou arti articu cula lati tion ons s; les les enca encast stre reme ment nts s ou app appui uis s trip triple les. s.
Fig. 2.2.
Les appuis simples empêchent le mouvement dans une seule direction; la réaction est donc dirigée suivant cette direction (voir fig. 2.2, a, b, c, d).
Les articulations ou appuis doubles empêchent tout déplacement linéaire (translation) du corps; la réaction R a R a donc deux composantes: une horizontale H et H et une verticale V (voir V (voir fig. 2.2, e, f, g, h).
Les encastrements empêchent tout mouvement du corps (déplacements linéaire et rotation); la R avec ses deux composantes H et H et V et V et un moment réactif M réaction comprendra une force R avec réactif M R (voir fig. 2.2, i).
3. Axiomes de la statique Axiome de l’inertie. Un corps isolé est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme sous l’action des forces qui s’autoéquilibrent .
Axiome d’équilibre de deux forces. Si deux forces agissent sur un corps solide parfait, celui - ci ne peut se trouver en équilibre que dans le cas où ces deux forces sont de même intensité, de même direction et de sens opposé (voir fig. 2.3). Fig. 2.3.
Axiome d’addition et d’enlèvement des forces équilibrées. L’action d’un système de forces sur un corps ne changera pas si l’on ajoute à ce système ou si l’on lui enlève un système de forces équilibrées.
Conséquences des trois axiomes. Sans changer l’action d’une force sur un corps solide, on peut transporter le point d’application de cette force le long de sa ligne d’action en un autre point du corps (voir fig. 2.4). Fig. 2.4.
Axiome du parallélogramme des forces. Deux forces concourantes appliquées sur un corps ont la résultante appliquée au point d’intersection des lignes d’action et représentée par la diagonale du parallélogramme ayant ces forces comme côtés (voir fig. 2.5). On obtient, ainsi : Fig. 2.5.
R = F1 + F2
et
R =
2 2 F ϕ 1 + F 2 +2 F 1 F 2 cos
F sur un corps correspond une réaction Axiome d’égalité entre l’action et la réaction. A toute action F sur R de R de même intensité, mais de sens contraire. ( F = R ).
Axiome de libération des liaisons. Tout corps solide non libre peut être considéré comme libre si l’on le libère des liaisons et remplacer leur action par les forces de réaction correspondantes.
4. Systèmes de forces. Equilibre du corps solide 4.1. Système de forces concourantes Les forces concourantes sont des forces dont les lignes d’action ont un point d’intersection.
La projection sur un axe de la résultante R d’un R d’un système de forces F i (i = i = 1, 2, ... n) est égale à la somme des projections des forces sur cet axe; c’est-à-dire que si R = ∑ F i alors = X = ∑ X i ; Y = ∑ Y i ; Z = ∑ Z i , où, X, où, X, Y, Z sont les projections de R sur R sur les axes x, axes x, y et y et z ; X i i ; Y i i ; Z i i - sont les projections de F i sur les mêmes axes. R est : Le module de R est
R =
X2 + Y2 + Z2
Des forces concourantes s’équilibrent si leur résultante est nulle, c’est-à-dire si le polygone des forces (polygone construit avec ses forces comme grandeurs vectorielles) est fermé. R = 0,
Si les forces s’équilibrent, alors on a
donc
X2 + Y2 + Z2 = 0, cela est possible si et
seulement si on a X =0 Y =0 Z =0
ou encore
∑ Xi = 0 ∑Yi = 0 ∑Zi = 0.
Ce sont ainsi les trois conditions utilisées pour résoudre les problèmes sur l’équilibre des forces concourantes dans l’espace. Avec ces trois équations, on peut résoudre le problème si le nombre d’inconnues ne dépasse pas trois. Pour les forces concourantes coplanaires, on obtient deux équations seulement: ∑Xi = 0 et ∑Yi = 0; donc, le nombre d’inconnues ne doit pas dépasser deux.
4.2. Systèmes de forces parallèles a) Génér énéral alit ités és.. La résultante R de R de deux forces parallèles F 1 et F 2 est déterminée comme suit.
Deux forces de même sens
R est égal à : Le module de R est R = F 1 + F 2 2 Fig. 2.6.
Deux forces de sens opposés
R est égal à : Le module de R est R = F 1 - F 2 2 Fig. 2.7.
b) Couple de forces Dans le cas où les forces F 1 et F 2 sont de même module, la résultante R est R est nulle, mais les deux forces ne peuvent pas s’équilibrer, car leurs lignes d’action ne sont pas confondues. Dans ce cas, on est en présence d’un couple de forces. Donc, un couple de forces est un système de deux forces parallèles de même intensité et de
sens opposé.
Le couple de forces tend toujours à produire une rotation du corps solide et son action M qui est défini comme suit: caractérisée par son moment M qui M = F 1 d
ou encore
M = F 2 d (car F 1 = F 2)
est
où, d est d est la distance entre les deux forces; on l’appelle bras de levier (voir fig. 2.8). Le vecteur M vecteur M est est dirigé perpendiculairement au plan d’action du couple dans le sens tel que si l’on regarde à la rencontre de ce vecteur, on voit le couple de forces tourner son plan d’action dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Généralement, à la place du vecteur M vecteur M , on montre seulement le sens de la rotation du plan d’action; dans ce cas, le moment M est M est compté positif si les forces tendent à tourner leur plan d’action dans le sens contraire des aiguilles d’une montre (voir fig. 2.8, b). Il est négatif dans le cas
Fig. 2.8.
contraire.
Sans changer l’action d’un couple, on peut le transporter en un endroit quelconque du plan d’action, tourner son bras de levier d’un angle α quelconque, de même que changer le bras de levier et les modules des forces, sans changer les valeurs de leurs moments et le sens de la rotation(voir rotation(voir fig. 2.9).
Fig. 2.9. L’action d’un couple ne change pas si l’on transporte ce couple du plan donné P 1 dans un autre plan P 2 parallèle au premier plan P 1. Un système de couples coplanaires M i (i = M tel i = 1, 2,...) est toujours équivalent à un couple résultant M tel que: M = M i i = F i i d i i = F d Un système de couples est en équilibre si et seulement si le couple résultant est nul M = M i i = F i i d i i = F d = 0
4.3. Moment d’une force a) Moment d’une force par rapport à un point F par rapport à un point O est égal au produit de la force par le bras de Le moment M o d’une force F par levier, c’est-à-dire que M o = F d où, d est d est la distance entre le point O et O et la force F . Le moment M o O la force F tourne dans le sens contraire des aiguilles est compté positif si par rapport au point O la aiguilles
d’une montre (voir fig. 2.10).
Fig. 2.10.
Fig. 2.11.
b) Moment d’une force par rapport à un axe Le moment M x d’une force F par F par rapport à un axe x est défini comme suit: M x = F 1 d 1 où, F 1 est la projection de F sur F sur le plan P 1 perpendiculaire à l’axe x et d 1 est la distance de F 1 au O d’intersection de l’axe x point O d’intersection l’axe x et et du plan P 1 (voir fig. 2.11). Le moment M x est compté positif si F 1 tourne dans le sens contraire des aiguilles d’une montre par rapport au point O . M d’un système de forces par rapport à un point O ou O ou un axe x Le moment principal M d’un axe x est le moment égale à la somme des moments de toutes les forces par rapport à ce point ou à cet axe: M o = M io M x = M ix io ; ix
4.4. Conditions d’équilibre d’un système de forces F sur un corps solide en déplaçant cette force de son point On ne change pas l’action d’une force F sur C du corps à condition d’ajouter un d’application A d’application A parallèlement à elle même en un point quelconque C du couple dont le moment est égal au moment de la force par rapport au point en lequel on désire la déplacer (voir déplacer (voir fig. 2.12). Soient F i un système de forces et O un O un point quelconque. En translatant les forces F i au point O, on R et est appelé le vecteur principal aura les forces F i’ et les moments M ioio = F id i ; la résultante de F i est R et du système des forces. De même les couples M i peuvent être remplacer par un moment M o = ∑M ioio appelé moment principal.
Fig. 2.12. Ainsi, tout système de forces agissant sur un corps solide peut être remplacer par une force résultante R égale R égale au vecteur principal du système appliqué à un centre de réduction O et O et par un couple dont le moment M o est égal ai moment principal du système par rapport au centre O . On a donc : R =
X2 + Y2 + Z2 et M =
M 2x + M 2y + M 2z
Pour qu’un système de forces disposées arbitrairement dans l’espace s’auto équilibrent, il faut et il suffit que le vecteur principal R et le moment principal soient tous deux nuls, c’est-à-dire que les deux conditions suivantes doivent être remplies simultanément: s imultanément: 2 2 2 R = M x + M y + M z = 0 X2 + Y2 + Z2 = 0 et M = Cela est possible si et seulement si :
X = Xi = 0 ; Y = Yi = 0 ; Z = Zi = 0. ;
Mx = Mix = 0 My = Miy = 0 Mz = Miz = 0
Ces équations expriment les conditions d’équilibre d’un système de forces disposées arbitrairement dans l’espace. Ainsi, par ces équations, les projections des forces dans les différentes directions x, (x, y et y et z ) sont nulles ; de même les moments par rapport à ces axes sont nuls; autrement dit les déplacements suivant les différentes directions sont nulles, de même les rotations autour de ces axes sont nulles, par conséquent le corps solide est en équilibre: il ne bouge pas. Ces équations sont appelées équations d’équilibre de la statique. Pour les systèmes de forces coplanaires, on a les formes suivantes des équations d’équilibre:
1ère forme :
Xi = 0 ;
Yi = 0 ;
Mio = 0 ;
le point O étant O étant un centre de réduction quelconque; x quelconque; x et et y sont deux axes orthogonaux.
2ème forme :
MiA = 0 ;
MiB = 0 ;
Xi = 0 ;
A et B étant deux centres quelconques; l’axe x n’est pas perpendiculaire à la droite AB). AB ( ).
3ème forme :
MiA = 0 ;
MiB = 0 ;
MiC = 0 ;
A, B et C sont C sont trois centres quelconques non alignés. Pour les forces coplanaires parallèles, on successivement: 1ère forme: Yi = 0 ; Mio = 0; l’axe y est parallèle aux forces.
2ème forme:
MiA = 0 ;
MiB = 0 ;
AB) ne doit pas être parallèle aux forces. la droite ( AB)
Application : Détermination des réactions des appuis Exercices en classe Devoirs de contrôle