Cours d'analyse et probabilités - Résumé

Résumé d’analyse et probabilités - MP Essaidi Ali 6 avril 2015 K = R ou C

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Espaces vectoriels normés :

Proposition 1.1 Caractérisation séquentielle des normes équivalentes : Soient E un K-espace vectoriel et N, N 0 deux normes sur E. N et N 0 sont équivalentes si et seulement si ∃x ∈ E, ∀(xn ) ∈ E N , xn →0 x ⇔ xn → x. N

N

Définition 1.1 Soit E un K-espace vectoriel normé. On dit que : – O ⊂ E est un ouvert de E si ∀x ∈ O, ∃ε > 0, B(x, ε) ⊂ O. – F ⊂ E est un fermé de E si {F (complémentaire de F dans E) est un ouvert de E. – V ⊂ E est un voisinage de a ∈ E s’il existe un ouvert O de E tel que a ∈ O ⊂ V . Propriété 1.1 – ∅ et E sont à la fois des ouverts et des fermés de E. – Une union quelconque (resp. intersection finie) d’ouverts de E est un ouvert de E. – Une intersection quelconque (resp. union finie) de fermés de E est un fermé de E. – Les boules ouvertes de E sont des ouverts de E. – Les singletons, les parties finies, les boules fermées et les sphères de E sont des fermés de E. Proposition 1.2 Caractérisation séquentielle des fermés : Soient E un K-espace vectoriel normé et F ⊂ E. F est un fermé de E si, et seulement si, toute suite convergente à éléments dans F converge dans F. Définition 1.2 Soit A ⊂ E. On appelle : – Voisinage de a ∈ A dans A ou relatif à A tout ensemble de la forme A ∩ V où V est un voisinage de a dans E. – Ouvert dans A ou relatif à A tout ensemble de la forme A ∩ O où O est un ouvert de E. – Fermé dans A ou relatif à A tout ensemble de la forme A ∩ F où F est un fermé de E. Définition 1.3 Soit a ∈ E et A ⊂ E. – On dit que a est une valeur d’adhérence de A si ∀ε > 0, A ∩ B(a, ε) 6= ∅. L’ensemble A¯ des valeurs d’adhérences de A s’appelle l’adhérence de A. ˚ des points intérieurs à A s’appelle l’intérieur de A. – On dit que a est intérieur à A si ∃ε > 0, B(a, ε) ⊂ A. L’ensemble A ¯ ˚ – On appelle frontière de A l’ensemble A \ A. On la note Fr(A) ou ∂A. Propriété 1.2 Soit A, B ⊂ E, a ∈ E et r > 0. Alors : ¯ A ⊂ B ⇒ A¯ ⊂ B, ¯ A¯ est un fermé de E, A est un fermé de E ssi A¯ = A, A¯ = A, ¯ A¯ est le plus petit fermé de E – A ⊂ A, ¯ contenant A et A est l’intersection de tous les fermés de E contenant A. ˚ ˚ ⊂ A, A ⊂ B ⇒ A ˚ ⊂ B, ˚ A ˚ = A, ˚A ˚ est un ouvert de E, A est un ouvert de E ssi A ˚ = A, A ˚ est le plus grand ouvert – A ˚ contenu dans A et A est la réunion de tous les ouverts contenus dans A. z }| ˚ { – B(a, r) = Bf (a, r), Bf (a, r) = B(a, r) et ∂B(a, r) = ∂Bf (a, r) = S(a, r). z}|{ ˚ ˚ et {A = {A. ¯ – {A = {A Proposition 1.3 Caractérisation séquentielle de l’adhérence : Soit a ∈ E et A ⊂ E. a ∈ A¯ si, et seulement si, a est limite d’une suite d’éléments de A. Autrement dit, a ∈ A¯ ⇐⇒ ∃(an ) ∈ AN , an → a. Définition 1.4 Soient A, B ⊂ E. On dit que A est dense dans B (resp. E) si B ⊂ A¯ (resp. A¯ = E). Proposition 1.4 Caractérisation séquentielle des parties denses : Soient A, B ⊂ E. A est dense dans B si, et seulement si, ∀b ∈ B, ∃(an ) ∈ AN , an → b.

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Proposition 1.5 Caracrtérisations séquentielles de la limite : Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés, A ⊂ E, f : A → F , a ∈ A¯ et l ∈ E. lim f (x) = l ⇐⇒ ∀(xn ) ∈ AN , (xn → a ⇒ f (xn ) → l)

x→a

lim kf (x)k = +∞ ⇐⇒ ∀(xn ) ∈ AN , (xn → a ⇒ kf (xn )k → +∞)

x→a

Si A est non borné :

lim

kxk→+∞

f (x) = l ⇐⇒ ∀(xn ) ∈ AN , (kxn k → +∞ ⇒ f (xn ) → l)

Proposition 1.6 Caractérisations séquentielles de la continuité : Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés, A ⊂ E, f : A → F et a ∈ A. – f est continue en a ssi ∀(xn ) ∈ AN , (xn → a ⇒ f (xn ) → f (a)). – f continue sur A ssi l’image réciproque de tout ouvert (resp. fermé) de F est un ouvert (resp. fermé) relativement à A. Proposition 1.7 Soient E, F1 , . . . , Fn des K-espaces vectoeiels normés, A ⊂ E, a ∈ A, F = F1 × · · · × Fn muni de la norme produit et f : A → F . On pose f = (f1 , . . . , fn ). f est continue en a (resp. sur A) si et seulement si ses composantes f1 , . . . , fn sont continues en a (resp. sur A). Proposition 1.8 Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés, A, B ⊂ E avec A ⊂ B et f, g ∈ C (B, F ). Si f = g sur A et A dense dans B alors f = g sur B. Proposition 1.9 Caractérisation séquentielle de l’uniforme continuité : Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés, A ⊂ E et f : A → F . f est uniformément continue sur A ssi ∀(xn ), (yn ) ∈ AN , xn − yn → 0 ⇒ f (xn ) − f (yn ) → 0. Proposition 1.10 Caractérisation des applications linéaires continues : Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés et f ∈ L (E, F ). f continue sur E ssi f uniformément continue sur E ssi f Lipschitzienne sur E ssi f continue en 0 ssi ∃k > 0, ∀x ∈ E, kf (x)k ≤ kkxk. Proposition 1.11 Caractérisation des applications bilinéaires continues : Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels normés et B : E × F → G bilinéaire. On considère E × F muni de la norme produit. B est continue sur E × F si et seulement si ∃k ∈ R, ∀x ∈ E, ∀y ∈ F, kB(x, y)k ≤ kkxkkyk. Proposition 1.12 Caractérisation des applications multilinéaires continues : Soient E1 , . . . , En , F des K-espaces vectoriels normés et M : E1 × · · · × En → F une application multilinéaire. On considère E1 × · · · × En muni de la norme produit. M est continue sur E1 × · · · × En si et seulement si ∃k ∈ R, ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ E1 × · · · × En , kM (x1 , . . . , xn )k ≤ kkx1 k · · · kxn k. Définition 1.5 Soient E un K-espace vectoriel normé et A ⊂ E. On dit que A est compact dans E si de toute suite à éléments dans A on peut extraire une suite convergente dans A. Proposition 1.13 Soient E, F deux K-espace vectoriel normé et A ⊂ E et B ⊂ F . – Si A est compact dans E alors A est fermé borné dans E. – Si A est compact dans E alors tout fermé dans A est compact dans E. – Si A est compact dans E et B compact dans F alors A × B est un compact dans E × F muni de la norme produit. – Si A est compact dans E alors toute suite (xn ) de A converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d’adhérence. – Si A est compact dans E et f : A → F continue sur A alors f (A) est compact dans F . – Si A est compact dans E et f : A → F continue sur A alors il existe a, b ∈ A tel que kf (a)k = sup kf (x)k et x∈A

kf (b)k = inf kf (x)k. x∈A

– Si A est compact dans E et f : A → R continue sur A alors il existe a, b ∈ A, f (a) = sup f (x) et f (b) = inf f (x). x∈A

x∈A

– Théorème de Heine : Si A est compact dans E et f : A → R continue sur A alors f est uniformément continue sur A. Définition 1.6 Soit E un K-espace vectoriel normé A ⊂ E et (xn ) une suite de E. – On dit que (xn ) est une suite de Cauchy si ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀m, n ≥ N, kxn − xm k ≤ ε. – A est complet dans si toute suite de Cauchy à éléments dans A converge dans A. – E est un espace de Banach si E est complet. Propriété 1.3 Si E est un K-espace vectoriel normé alors : – Toute suite convergente de E est de Cauchy. – Toute suite de Cauchy de E qui admet une valeur d’adhérence l est convergente vers l. www.mathlaayoune.webs.com

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Théorème 1.1 Soient E, E1 , . . . , En , F, G des K-espaces vectoriels normés. – Si E est de dimension finie alors E est un Banach. – Tout sous-espace vectoriel de E de dimension finie est fermé. – Si E est de dimension finie alors toutes les normes sur E sont équivalentes. – Si E est de dimension finie alors les compacts de E sont exactement les fermés bornés de E. – Théorème de Bolzano - Weierstrass : Si E est de dimension finie alors de toute suite bornée de E on peut extraire une suite convergente. – Si E est de dimension finie alors une suite bornée de E converge si et seulement si elle admet une unique valeur d’adhérence. – Si E est de dimension finie alors les applications linéaires de E vers F sont continues sur E. – Si E et F sont de dimensions finies alors les applications bilinéaires de E × F vers G sont continues sur E × F . – Si E1 , . . . , En sont de dimensions finies alors les applications multilinéaires de E1 × · · · × En vers F sont continues sur E1 × · · · × En . Définition 1.7 Soit E un K-espace vectoriel normé, A ⊂ E et a, b ∈ A. – On appelle chemin de a à b dans A toute application continue γ : [0, 1] → A telle que γ(0) = a et γ(1) = b. – On dit que A est connexe par arcs si ∀x, y ∈ A il existe un chemin de x à y dans A. Proposition 1.14 Soit E, F deux K-espaces vectoriels normé, A ⊂ E, B ⊂ F et f : A → F continue sur A. – Si A convexe alors A est connexe par arcs. – Si A est connexe par arcs alors f (A) est connexe par arcs. – Si A est connexe par arcs dans E et B connexe par arcs dans F alors A × B est connexes par arcs dans E × F muni de la norme produit. – a ∼ b ⇐⇒ il existe un chemin de a à b dans A est une relation d’équivalence sur A. Si a ∈ A, la classe d’équivalence de a s’appelle la composante connexe par arcs de a et on la note C (a). Proposition 1.15 Soient E un K-espace vectoriel normé, A ⊂ E et f : A → R continue sur A. – Les connexes par arcs de R sont les intervalles. – Si A est connexe par arcs alors f (A) est un intervalle. – Théorème des valeurs intermédiares : Si A est connexe par arcs alors ∀a, b ∈ A, ∀m ∈ R entre f (a) et f (b) il existe c ∈ A tel que f (c) = m.

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Séries dans un espace vectoriel normé :

P Définition P 2.1 Soient E un K-espace vectoriel P normé et un ∈ S(E). On dit que : – P un converge absolument si P la série kun k est convergente. – un est semi-convergente si un converge mais pas absolument. P Proposition 2.1 P Soit E un K-espace vectoriel et un ∈ S(E). – Si la série un converge alors un → 0.

+∞ +∞

X

X P

un ≤ kun k. – On suppose que E est de dimension finie. Si un converge absolument alors elle converge et on a

n=0

n=0

Proposition 2.2 Soient A une K-algèbre normée de dimension finie et u ∈ A. +∞ X P Si kuk < 1 alors la série de Neumann un converge absolument, 1 − u est inversible et (1 − u)−1 = un . n=0

Proposition et définition 2.1 Si A une K-algèbre normée de dimension finie alors ∀u ∈ A la série +∞ n X u On note exp(u) = et exp : u ∈ A 7→ exp(u) s’appelle l’application exponentielle sur A. n! n=0

P un n!

converge absolument.

Proposition 2.3 Soient A une K-algèbre de normée de dimension finie et u, v ∈ A. Si uv = vu alors exp(u + v) = exp(u) exp(v) = exp(v) exp(u). En particulier, exp(u) est inversible et (exp(u))−1 = exp(−u). Définition 2.2 Un ensemble I est dit : – Dénombrable s’il existe une bijection entre N et I. – Au plus dénombrable s’il existe une bijection entre une partie de N et I. Proposition 2.4

– Un ensemble est au plus dénombrable si, et seulement si, il est fini ou dénombrable.

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– Un ensemble I est au plus dénombrable ssi il existe une application injective (resp. surjective) de I vers N (resp. N vers I). – Les parties infinies de N, Z, Q et N × N sont dénombrables. L’ensemble R n’est pas dénombrable. – Si E1 , . . . , En sont des ensembles dénombrables alors E1 × · · · × En est dénombrable. – Une union au plus dénombrable d’ensembles dénombrables (resp. au plus dénombrables) est dénombrable (resp. au plus dénombrables). Définition 2.3 Soient I un ensemble au plus dénombrable. X – Une famille (xi )i∈I de réels positifs est dite sommable si ∃M ≥ 0, ∀J ⊂ I finie, xi ≤ M . i∈J

X

sup

Dans ce cas,

J⊂I;J fini

xi s’appelle la somme de la famille (xi )i∈I et on le note

i∈J

X

xi .

i∈I

– Une famille (xi )i∈I de nombres réels ou complexes est dite sommable si la famille (|xi |)i∈I est sommable. Proposition 2.5 Critère de comparaison : Soient I un ensemble au plus dénombrable et (xi )i∈I X , (yi )i∈I deux familles de réels X positifs. Si (yi )i∈I est sommable et ∀i ∈ I, xi ≤ yi alors (xi )i∈I est sommable et on a xi ≤ yi . i∈I

i∈I

Proposition et définition 2.2 Soient I un ensemble au plusX dénombrable de K. X et (xi )i∈I une famille sommable d’éléments X − + − – Si K = R alors (x+ ) et (x ) sont sommables. x − x s’appelle la somme de (x ) et se note xi . i i∈I i i∈I i i∈I i i i∈I

– Si K = C alors (
i∈I i∈I X X
et se note

X

i∈I

xi .

i∈I

Proposition 2.6 Soit I un ensemble dénombrable, (xi )i∈I une famille de nombres réels ou complexes. X X – Si (xi )i∈I est sommable alors xi ≤ |xi |. i∈I

i∈I

– Soit σ : N → I une bijection. (xi )i∈I est sommable ssi

P

xσ(n) converge absolument. Dans ce cas,

X i∈I

xi =

+∞ X

xσ(n) .

n=0

Proposition 2.7 Sommation par paquets ou regroupement : Soient I un ensemble au plus dénombrable. Si (xi )i∈I est une famille sommable de nombres réels ou complexes et (Ik )k∈K une partition de I alors ∀k ∈ K, (xi )i∈Ik est ! X X XX sommable, xi est sommable et on a xi = xi . i∈Ik

i∈I

k∈K

k∈K i∈Ik

Proposition 2.8 Critère suffisant de sommabilité : Soient I un ensemble au plus dénombrable et!(Ik )k∈K une partition de I. X Si (xi )i∈I est une famille de nombres réels ou complexes telle que ∀k ∈ K, (xi )i∈Ik et |xi | soient sommables alors i∈Ik

k∈K

(xi )i∈I est sommable. Théorème 2.1 Soit (xpq )p,q∈N une famille de réels positifs. Les assertions suivantes sont équivalentes : – La famille (xpq ) est sommable. ! +∞ X X X – ∀q ∈ N, xpq et xpq convergent. – ∀p ∈ N,

q≥0

X

+∞ X X

xpq et

p≥0 q=0 +∞ X +∞ X

q≥0

X

Dans ce cas

p=0

p≥0

xpq =

(p,q)∈N2

! xpq

convergent.

xpq =

q=0 p=0

+∞ X +∞ X

xpq .

p=0 q=0

Théorème 2.2 Si (xpq )p,q∈N est une famille alors : ! sommable de nombres réels ou complexes +∞ +∞ X +∞ X X X X X – ∀q ∈ N, |xpq | et |xpq | convergent et on a xpq = xpq . – ∀p ∈ N,

p=0

p≥0

q≥0

X

+∞ X X

q≥0

|xpq | et

p≥0

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q=0

(p,q)∈N2

! |xpq |

convergent et on a

X (p,q)∈N2

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xpq =

q=0 p=0 +∞ X +∞ X

xpq

p=0 q=0

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P P Définition 2.4 Soient x! yn deux séries de nombres réels ou complexes. n et X X P P La série xp yq s’appelle le produit de Cauchy de xn et yn . p+q=n

Proposition 2.9 Soient

P

xn et

– La famille (xn ym )m,n∈N

P

yn deux séries de nombres réels ou complexes qui convergent absolument. Alors : +∞ +∞ X X X est sommable et on a (xm yn ) = xn yn . n=0

m,n∈N

– Leur produit de Cauchy converge absolument et on a

3

+∞ X

X

n=0

p+q=n

xp yq

n=0 !

=

+∞ X n=0

xn

+∞ X

yn .

n=0

Fonctions vectorielles d’une variable réelle :

Proposition 3.1 Soit I un intervalle de R, E un K-espace vectoriel normé de dimension finie n ∈ N∗ , B = (e1 , . . . , en ) une base de E, a ∈ I et f : I → E. On pose f = f1 e1 + · · · + fn en . f est dérivable en a ssi f1 , . . . , fn sont dérivables en a. Dans ce cas, f 0 (a) = f10 (a)e1 + · · · + fn0 (a)en . Proposition 3.2 Soit I un intervalle de R, E, F, G trois K-espaces vectoriels normés de dimensions finies et f, g : I → E dérivables sur I. – Si u ∈ L (E, F ) alors u ◦ f est dérivable sur I et on a (u ◦ f )0 = u ◦ f 0 . – Si B : E × F → G est bilinéaire alors B(f, g) : t 7→ B(f (t), g(t)) est dérivable sur I et on a ∀t ∈ I, (B(f, g))0 (t) = B(f 0 (t), g(t)) + B(f (t), g 0 (t)). – Si E est euclidien alors u : t 7→ hf (t), g(t)i est dérivable sur I et on a ∀t ∈ I, u0 (t) = hf 0 (t), g(t)i + hf (t), g 0 (t)i. – Si E est euclidien alors v : t 7→ kf (t)k2 est dérivable sur I et on a ∀t ∈ I, v 0 (t) = 2hf 0 (t), f (t)i. – Si E est euclidien orienté de dimension 3 alors w : t 7→ f (t) ∧ g(t) est dérivable sur I et on a ∀t ∈ I, w0 (t) = f 0 (t) ∧ g(t) + f (t) ∧ g 0 (t). Proposition 3.3 Soit k ∈ N∗ , I un intervalle de R, E, F, G trois K-espaces vectoriels normés de dimensions finies, B : E × F → G une application bilinéaire, f : I → E et g : I → F . Si f et g sont k-fois dérivables (resp. de classe C k ) sur I alors B(f, g) : t 7→ B(f (t), g(t)) est dérivable (resp. de classe C k ) k X Cpk B(f (p) (t), g (k−p) (t)). sur I et on a la formule de Leibniz : ∀t ∈ I, (B(f, g))(k) (t) = p=0

Définition 3.1 Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie n ∈ N∗ , B = (e1 , . . . , en ) une base de E et f : [a, b] → E continue par morceaux sur [a, b]. On pose f = f1! e1 + · · · + fn en . Z b Z b ! Z Z b Z b On appelle intégral de f sur [a, b] l’élément f1 e 1 + · · · + fn en de E. On le note f ou f ou f (t)dt. a

a

[a,b]

a

a

Proposition 3.4 Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie et f : [a, b] → E continue par morceaux sur [a, b]. !  Z b n−1  n−1  b−a b−a b−a X b−a X f a+k f a+k = converge et on a lim f. – Somme de Riemann : n→+∞ n n n n a k=0 k=0 n≥1 Z b ! Z b – Si u ∈ L (E, F ) alors u f = (u ◦ f ). a a

Z

b Z b

– Inégalité triangulaire : f ≤ kf k.

a a Proposition 3.5Z Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie et f : I → E continue sur I. x

f est de classe C 1 sur I et on a ∀x ∈ I, F 0 (x) = f (x). En particulier, f possède une primitive sur I. Z x – L’application F : x 7→ f est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a. a Z x f. – Si G est une primitive de f sur I alors ∀x ∈ I, G(x) = G(a) + – F : x 7→

a

a

Proposition 3.6 Inégalité des accroissements finis : Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension fini et f : [a, b] → E de classe C 1 sur [a, b]. Si ∃M ≥ 0 telle que ∀t ∈ [a, b], kf 0 (t)k ≤ M alors kf (b) − f (a)k ≤ M (b − a). www.mathlaayoune.webs.com

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Proposition 3.7 Soit n ∈ N, E un K-espace vectoriel normé de dimension fini et f : [a, b] → E. – Formule de Taylor avec reste intégrale : Si f est de classe C (n+1) sur [a, b] alors Z b n X f (k) (a) (b − t)n (n+1) k f (b) = (b − a) + f (t)dt. k! n! a k=0

– Inégalité de Taylor-Lagrange : Si f est de classe C (n+1) sur [a, b] alors

n

X (b − a)n+1 f (k) (a)

(b − a)k ≤ sup kf (n+1) (t)k .

f (b) −

t∈[a,b]

k! (n + 1)! k=0 n X f (k) (a) (x − a)k + o((x − a)n ). – Formule de Taylor-Young : Si f est de classe C n sur I alors f (x) = k! k=0

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Suites et séries de fonctions :

Définition 4.1 Soient X un ensemble non vide, E un K-espace vectoriel normé de dimension finie et (fn ) une suite de fonctions de X vers E. – On dit que que (fn ) converge simplement sur X si ∀x ∈ X la suite (fn (x)) converge. Dans ce cas, f : x ∈ X 7→ s lim fn (x) s’appelle la limite de (fn ) sur X et on note fn − → f sur X. n→+∞

– On dit que que (fn ) converge uniformément sur X s’il existe une application f : X → E telle que ∀ε > 0, ∃N ∈ u N, ∀n ≥ N, ∀x ∈ X, kfn (x) − f (x)k ≤ ε. Dans ce cas, f est unique et on note fn − → f sur X. Proposition 4.1 Soient X un ensemble non vide, E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, (fn ) une suite de fonctions de X vers E et f : X → E. Si (fn ) converge uniformément sur X vers f alors (fn ) converge simplement sur X vers f . Proposition 4.2 Soient a, b ∈ R avec a < b et E un K-espace vectoriel normé de dimension finie. – Si f ∈ C ([a, b], E) alors f est limite uniforme sur [a, b] d’une suite de fonctions en escaliers de [a, b] vers E. – Théorème de Weierstrass : Si f ∈ C ([a, b], K) alors f est limite uniforme sur [a, b] d’une suite de fonctions polynomiales. P Définition 4.2 Soient X un ensemble non vide, E un K-espace vectoriel normé de dimension finie et fn une série de foncP tions de X vers E. On dit que que la série de fonctions fnP converge : – Simplement sur X si la suite des sommes partielles de P fn converge simplement sur X. – Uniformément sur A si la suite des sommesPpartielles de fn converge uniformément sur X. – Normalement sur X si la série numérique kfn k∞,X converge. P Proposition 4.3 Soient X un ensemble non vide, E un K-espace vectoriel normé de dimension finie et fn une série de fonctions de X vers E. P P P – fn converge uniformément sur X si, et seulemnt si, fn converge simplement sur X et la suite des restes de fn converge uniformément vers 0 sur X. P – Si fn converge uniformément sur X alors kfn k∞,X → 0. P – Si la série de fonctions P fn converge normalement sur X alors elle converge uniformément sur X. P – Si la série de fonctions fn converge normalement sur X alors ∀x ∈ X, la série fn (x) converge absolument. Théorème 4.1 Théorème d’interversion des limites : Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés de dimensions finies, A ⊂ E, a ∈ A¯ et (fn ) une suite de fonctions de A vers F . Si ∀n ∈ N, fn admet une limite bn en a et (fn ) converge uniformément sur A vers une fonction f alors la suite (bn ) converge, f admet une limite en a et lim f (x) = lim bn . Autrement dit, lim lim fn (x) = lim lim fn (x). x→a

n→+∞

x→a n→+∞

n→+∞ x→a

Corollaire 4.4 Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés de dimensions finies, A ⊂ E et (fn ) une suite de fonctions de A vers F . Si ∀n ∈ N, fn est continue en a ∈ A (resp. sur A) et (fn ) converge uniformément sur A vers une fonction f alors f est continue en a (resp. sur A). Théorème 4.2 Théorème d’interversion limite-somme : Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés de dimensions finies, P A ⊂ E, a ∈ A¯ et fn une série de fonctions de A vers F . +∞ X P Si ∀n ∈ N, fn admet une limite bn en a et fn converge uniformément sur A alors fn admet une limite en a, la série n=0

numérique

P

bn converge et on a lim

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x→a

+∞ X n=0

fn (x) =

+∞ X n=0

bn =

+∞ X n=0

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lim fn (x).

x→a

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P Corollaire 4.5 Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés de dimensions finies, A ⊂ E et fn une série de fonctions de +∞ X P A vers F . Si ∀n ∈ N, fn est continue en a ∈ A (resp. sur A) et fn converge uniformément sur A alors fn est continue n=0

en a (resp. sur A). Proposition 4.6 Si A est une K-algèbre normée de dimension finie alors : – L’application a 7→ (1 − a)−1 est continue sur la boule unité ouverte B(0, 1). – L’application a 7→ exp(a) est continue sur A. Proposition 4.7 Interversion limite-intégral : Soit I un intervalle non vide de R, x0 ∈ I, E un K-espace vectoriel normé de dimension finie et (fn ) une suite de fonctions continues de I vers E. Si la suiteZ de fonctions (fn ) converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction f . Alors la suite de fonctions Z x

x

gn (x) = fn converge uniformément vers la fonction g(x) = Z x0 Z Z alors f = lim fn = lim fn . I n→+∞

I

n→+∞

f sur tout segment de I. En particulier, si I est un segment x0

I

Corollaire 4.8 Interversion somme-intégral : Soit I un intervalle non vide de R, x0 ∈ I, E un K-espace vectoriel normé de P dimension finie et fn une série de fonctions continues de I vers E. XZ x P fn converge Si la série de fonctions fn converge uniformément sur tout segment de I alors la série de fonctions x0

Z uniformément vers

+∞ xX

fn sur tout segment de I. En particulier, si I est un segment alors

x0 n=0

Z X +∞ I n=0

fn =

+∞ Z X n=0

fn .

I

Théorème 4.3 Interversion limite-dérivée : Soit I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel normé de dimension finie et (fn ) une suite de fonctions de classe C 1 de I vers E. Si (fn ) converge simplement sur I vers une fonction f et (fn0 ) converge uniformément sur I vers une fonction g alors f est de classe C 1 sur I et f 0 = g sur I (Autrement dit, ( lim fn )0 = lim fn0 ) et (fn ) converge uniformément sur tout segment de I n→+∞

n→+∞

vers f . Corollaire P 4.9 Interversion somme-dérivée : Soit I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel normé de dimension finie et fn une série de fonctions de classe C 1 de I vers E. !0 +∞ +∞ X X P P 0 1 fn est de classe C sur I, fn = Si fn converge simplement sur I et fn converge uniformément sur I alors n=0 +∞ X

fn0 et

P

n=0

fn converge uniformément sur tout segment de I.

n=0

Proposition 4.10 Interversion limite-dérivée d’ordre supérieur : Soit I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel de dimension finie et (fn ) une suite de fonctions de classe C k (k ∈ N∗ ) de I vers E. (k) (p) Si ∀p ∈ {0, . . . , k − 1}, (fn ) converge simplement sur I vers une fonction gp et (fn ) converge uniformément sur I vers une fonction gk alors la fonction f = g0 est de classe C k sur I et on a ∀p ∈ {0, . . . , k}, f p = gp . Autrement dit ∀p ∈ {0, . . . , k}, ( lim fn )(p) = lim fn(p) . n→+∞

n→+∞

Corollaire 4.11 Interversion somme-dérivée d’ordre supérieur) : Soit I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel P de dimension finie et fn une série de fonctions de classe C k (k ∈ N∗ ) de I vers E. +∞ X P (p) P (k) Si ∀p ∈ {0, . . . , k − 1} fn converge simplement sur I et fn converge uniformément sur tout segment de I alors fn n=0

est de classe C k sur I et on a ∀p ∈ {0, . . . , k},

+∞ X n=0

!(p) fn

=

+∞ X

f (p) .

n=0

Proposition 4.12 Si A une K-algèbre normée de dimension finie et a ∈ A alors l’application ea (t) = exp ta est de classe C ∞ sur R et on a ∀t ∈ R, e0a (t) = aea (t) = ea (t)a.

5

Séries entières :

P Théorème 5.1 (Lemme d’Abel) Soit une série entière an z n et ρP> 0. Si la suite (an ρn ) est bornée ∀z ∈ C tel que |z| < ρ, la série an z n est absolument convergente. En particulier, ∀z ∈ C P alors n tel que |z| < ρ, la série an z est convergente. www.mathlaayoune.webs.com

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P P Définition 5.1 Soit une série entière an z n . On appelle rayon de convergence de la série entière an z n l’élément R = n + sup{ρ ≥ 0/la suite (an ρ ) soit bornée} de R ∪ {+∞}. P Proposition 5.1 Soient an z n une série P entière de rayon de convergence R et u ∈ C. – Si |u| < R alors la série numérique P an un est absolument convergente. En particulier, convergente. – Si |u| > R alors la série numérique an un diverge grossièrement. P P P Proposition 5.2 Si an z n est une série entière et α ∈ R alors an z n et nα an z n ont même rayon de convergence. P n Proposition 5.3 (Règle de D’Alembert) Soit une série entière an z telle que ∀n ∈ N, an 6= 0. an+1 P ¯ alors le rayon de convergence de an z n est R = 1 avec la convention 1 = +∞ et 1 = 0. =l∈R Si lim l 0 +∞ n→+∞ an P P Proposition 5.4 Soient an z n et bn z n deux séries entières de rayons de convergences respectifs Ra et Rb . – Si an = O(bn ) ou an = o(bn ) alors Rb ≤ Ra . – Si an ∼ bn alors Rb = Ra . P P Proposition 5.5 Soient an z n et bn z n deux séries entières de rayons de convergences respectifs Ra et Rb . +∞ X P n – Si R est le rayon de convergence de (an + bn )z alors R ≥ min(Ra , Rb ) et on a ∀|z| < min(Ra , Rb ), (an + n=0

bn )z n =

+∞ X

an z n +

+∞ X

bn z n . Si, en plus, Ra 6= Rb alors R = min(Ra , Rb ). n=0 n=0 ! P X 0 – Si R est le rayon de convergence de ap bq z n alors R0 ≥ min(Ra , Rb ) et on a ∀|z| < min(Ra , Rb ), p+q=n

!

+∞ X

X

n=0

p+q=n

ap bq

zn =

+∞ X n=0

an z n

+∞ X

bn z n .

n=0

Proposition 5.6 Soit an z n une série de rayon de convergence R > 0 et de somme f . Alors : P entière n – ∀0 < r < R la série entière a z converge normalement sur D(0, r). En particulier, ∀0 < r < R la série entière n P an z n converge uniformément sur D(0, r). – f est continue R). P sur D(0, P – Si la série |an |Rn converge alors an z n converge normalement sur D(0, R). En particulier, f est continue sur D(0, R). P Proposition 5.7 Soit an xn une série entière réelle de rayon de convergence R > 0 et de somme f . ALors : Z x +∞ X an n+1 – f est continue sur ] − R, R[ et on a ∀x ∈] − R, R[, f (t)dt = x . n +1 0 n=0 P

– f est de classe C 1 sur ] − R, R[ et on a ∀x ∈] − R, R[, f 0 (x) =

+∞ X

nan xn−1 =

n=1

– f est de classe C ∞ sur ] − R, R[ et on a ∀x ∈] − R, R[, ∀k ∈ N, f (k) (x) =

+∞ X

(n + 1)an+1 xn .

n=0 +∞ X

k!Cnk an xn−k =

k k!Cn+k an+k xn .

n=0

n=k

– ∀n ∈ N, an =

+∞ X

f (n) (0) n! .

P P Corollaire 5.8 Soient an xn et bn xn deux séries entières réelles de sommes respectives f et g. Si ∃ε > 0 tel que ∀x ∈] − ε, ε[, f (x) = g(x) alors ∀n ∈ N, bn = an . Définition 5.2 Soient I un intervalle non vide de R et f P : I → C. On dit que f est développable en série entière : – Sur ]−r, r[ avec r > 0 s’il existe une série entière an xn de rayon de convergence R ≥ r telle que ∀x ∈]−r, r[, f (x) = +∞ X an xn . n=0

– En 0 s’il existe r > 0 tel que f soit développable en série entière sur ] − r, r[. – En x0 ∈ I si l’application x 7→ f (x0 + x) est développable en série entière en 0. Proposition 5.9 Soit I un intervalle non vide de R, r > 0 et f : I → C développable en série entière sur ] − r, r[. Alors : +∞ X – Pour tout n ∈ N, f admet un développement limité d’ordre n en 0. Si, de plus, f (x) = ak xk sur ] − r, r[ alors f (x) =

n X

k=0 k

n

ak x + o(x ).

k=0

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– f est C ∞ sur ] − r, r[. +∞ (n) X f (0) n – ∀x ∈] − r, r[, f (x) = x . En particulier, le développement en séries entière de f sur ] − r, r[ est unique. n! n=0 – Toutes les dérivées et primitives de f sont développables en séries entières sur ] − r, r[. +∞ X – On pose ∀x ∈] − r, r[, f (x) = an xn . Si f est paire (resp. impaire) sur ] − r, r[ alors ∀n ∈ N, a2n+1 = 0 (resp. n=0

∀n ∈ N, a2n = 0). Définition 5.3 Soient I un intervalle non vide de R tel que 0 ∈ I et f : I → C de classe C ∞ au voisinage de 0. P f (n) (0) n La série entière n! x s’appelle la série de Taylor de f en 0. Proposition 5.10

– L’exponentiel est développable en série entière sur R et on a ∀x ∈ R, ex =

– ch et sh sont développables en séries entières sur R et on a ∀x ∈ R, ch(x) =

+∞ n X x . n! n=0

+∞ +∞ X X x2n x2n+1 et sh(x) = . (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0

– ∀a > 0, f (x) = ax est développable en série entière sur R et on a ∀x ∈ R, ax =

+∞ X lnn a n x . n! n=0

+∞ +∞ X X (−1)n 2n+1 (−1)n 2n x et sin(x) = x . – cos et sin sont développables en séries entières sur R et on a ∀x ∈ R, cos(x) = (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0 – ∀α ∈ R, f (x) = (1 + x)α est développable en série entière sur ] − 1, 1[ et on a ∀x ∈] − 1, 1[, (1 + x)α = 1 + +∞ X α(α − 1) · · · (α − n + 1) n x . n! n=1

6

Calcul différentiel :

Proposition et définition 6.1 Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . On dit que f est différentiable en a si ∃u ∈ L (E, F ) telle que ∀a + h ∈ U, f (a + h) = f (a) + u(h) + o(khk). Dans ce cas, l’application u est unique, on l’appelle la différentielle de f en a ou l’application linéaire tangente à f en a et on la note df (a) ou dfa ou Df (a). U → L (E, F ) On dit que f est différentiable sur U si f est différentiable en tout poit de U . Dans ce cas, l’application x 7→ df (x) s’appelle la différentielle de f sur U et on la note df . Proposition 6.1 Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E et f : U → F . – Si f est constante sur U alors f est différentiable sur U et on a ∀a ∈ U, df (a) = 0. – Si f est la restriction d’une application linéaire alors f est différentiable sur U et on a ∀a ∈ U, ∀h ∈ E, df (a)(h) = f (h). Autrement dit, ∀a ∈ U, df (a) = f . Proposition 6.2 – Soient E, F, G trois R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E × F et f : U → G. Si f est la restriction d’une application bilinéaire alors f est différentiable sur U et on a ∀(a, b) ∈ U, ∀(h, k) ∈ E × F, df (a, b)(h, k) = f (a, k) + f (h, b). – Généralement, soient E1 , . . . , Em des R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E1 × · · · × En et f : U → F . Si f est la restriction d’une application multilinéaire alors f est différentiable sur U et on a ∀(a1 , . . . , an ) ∈ U, ∀(h1 , . . . , hn ) ∈ E1 × · · · × En , df (a1 , . . . , an )(h1 , . . . , hn ) = f (h1 , a2 , . . . , an ) + f (a1 , h2 , a3 , . . . , an ) + · · · f (a1 , . . . , an−1 , hn ). Proposition 6.3 Soient E un R-espace vectoriel normé de dimensions finies, I un intervalle de R, f : I → F et a ∈ I. f est différentiable en a si, et seulement si, f est dérivable en a. Dans ce cas, ∀t ∈ R, df (a)(t) = tf 0 (a). En particulier, df (a)(1) = f 0 (a). Proposition 6.4 Soient E, F1 , . . . , Fn des R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F1 × · · · × Fn et a ∈ U . On pose f = (f1 , . . . , fn ). f est différentiable en a si, et seulement si, f1 , . . . , fn sont différentiables en a. Dans ce cas, df (a) = (df1 (a), . . . , dfn (a)).

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Définition 6.1 Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F , a ∈ U et h ∈ E \ {0}. f (a + th) − f (a) On dit que f admet une dérivée en a suivant le vecteur h si lim existe. t→0 t Dans ce cas, cette limite s’appelle la dérivée de f en a suivant h et on la note Dh f (a). Proposition 6.5 Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F , a ∈ U et h ∈ E \ {0}. f est dérivable en a suivant h si et seulement si ϕ est dérivable en 0. Dans ce cas, Dh f (a) = ϕ0 (0). Proposition 6.6 Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . Si f est différentiable en a alors f est dérivable en a suivant tout vecteur non nul de E et on a ∀h ∈ E \ {0}, Dh f (a) = df (a)(h). Définition 6.2 Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, BE = (e1 , . . . , en ) une base de E, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . On appelle dérivées partielles de f en a les dérivées, si elles existent, de f en a suivant les vecteurs e1 , . . . , en . Dans ce cas, si i ∈ {1, . . . , n}, la dérivée de f en a suivant ei s’appelle la i-ième dérivée partielle de f en a. On la note : ∂f (a). Dei f (a) ou Di f (a) ou ∂x i ∂f Si f est dérivable suivant ei en tout x ∈ U alors l’application x ∈ U 7→ ∂x (x) s’appelle la i-ième application dérivée partielle i ∂f de f sur U . On la note : Dei f ou Di f ou ∂xi . Proposition 6.7 Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, BE = (e1 , . . . , en ) une base de E, U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . Si f est différentiable en a alors les dérivées partielles de f en a existent et on a ∀h = h1 e1 + · · · + hn en ∈ E, df (a)(h) = n X ∂f hi Dh f (a) = (a). ∂x i i=1 Définition 6.3 Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, BE une base de E, BF une base de F , U un ouvert de E, f : U → F et a ∈ U . Si f est différentiable en a alors la matrice mat(df (a), BE , BF ) s’appelle la matrice Jacobienne de f en a par rapport aux bases BE et BF . On la note Jf (a). Proposition 6.8 Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, f, g : U → F et a ∈ U . Si f et g sont différentiables en a. Alors : – f + g est différentiable en a et on a d(f + g)(a) = df (a) + dg(a). Matriciellement, Jf +g (a) = Jf (a) + Jg (a). – ∀λ ∈ R, λf est différentiable en a et on a d(λf )(a) = λdf (a). Matriciellement, Jλf (a) = λJf (a). Proposition 6.9 Soient E, F, G trois R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, f : U → F , a ∈ U , V un ouvert de F tel que f (U ) ⊂ V et g : V → G. Si f est différentiable en a et g différentiable en f (a) alors g ◦ f est différentiable en a et on a d(g ◦ f )(a) = dg(f (a)) ◦ df (a). Matriciellement, Jg◦f (a) = Jg (f (a)) × Jf (a). Corollaire 6.10 Soient E, F, G trois R-espaces vectoriels normés de dimensions finies respectives m, n, p ∈ N∗ , U un ouvert de E, f : U → F , a ∈ U , V un ouvert de F tel que f (U ) ⊂ V et g : V → G. n X ∂(g ◦ f )i ∂gi ∂fk Si f est différentiable en a et g différentiable en f (a) alors ∀i ∈ {1, . . . , p}, ∀j ∈ {1, . . . , m}, (a) = (f (a)) (a). ∂xj ∂xk ∂xj k=1

Corollaire 6.11 Soit I un intervalle de R, a ∈ I, E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E tel que f (I) ⊂ U et g : U → F . Si f est dérivable en a et g différentiable en f (a) alors g ◦ f est dérivable en a et on a (g ◦ f )0 (a) = dg(f (a))(f 0 (a)). n X ∂g Si (e1 , . . . , en ) est une base de E et f = f1 e1 + · · · + fn en alors (g ◦ f )0 (a) = dg(f (a))(f 0 (a)) = (f (a))fk0 (a). ∂xk k=1

Proposition et définition 6.2 Soit E un espace euclidien, U un ouvert de E, f : U → R et a ∈ U . Si f est différentiable en a alors ∃!b ∈ E, ∀h ∈ E, df (a)(h) = hb, hi. b s’appelle le gradient de f en a et on le note ∇f (a) ou gradf (a). Si f est différentiable sur U alors x ∈ U 7→ ∇f (x) s’appelle l’application gradient de f sur U . On la note ∇f ou gradf .

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Définition 6.4 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, A ⊂ E et a ∈ A. Un vecteur v de E est dit tangent à A en a s’il existe une suite (xn ) dans A \ {a} et une suite (αn ) de réels positifs telles que xn → a et αn (xn − a) → v. L’ensemble des vecteurs tangents à A en a se note Ta A. Si Ta A est un sous-espace vectoriel de E alors a + Ta A s’appelle l’espace affine tangent à A en a ou variété affine tangente à A en a. Proposition 6.12 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, A ⊂ E, a ∈ A et γ :] − ε, ε[→ A. Si γ(0) = a et γ dérivable en a alors γ 0 (0) est un vecteur tangent à A en a. Proposition 6.13 Soit U un ouvert de R2 et f : U → R différentiable sur U . ∂f Si (x0 , y0 ) ∈ U alors le plan d’équation : (x − x0 ) ∂f ∂x (x0 , y0 ) + (y − y0 ) ∂y (x0 , y0 ) − (z − z0 ) = 0 est l’espace affine tangent à la surface S d’équation z = f (x, y) au point (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). Proposition 6.14 Soit E un espace euclidien, U un ouvert de E, f : U → R, A une ligne de niveau de f et a ∈ A. Si f est différentiable en a alors les vecteurs tangents à A en a sont orthogonaux au gradient de f en a. Proposition 6.15 Soit U un ouvert de R2 , c ∈ R et f : U → R différentiable sur U . Supposons qu’il existe (x0 , y0 ) ∈ U tel que f (x0 , y0 ) = c. Si ∇f (x0 , y0 ) 6= 0 alors l’équation de la tangente à la courbe C ∂f d’équation f (x, y) = 0 en (x0 , y0 ) est (x − x0 ) ∂f ∂x (x0 , y0 ) + (y − y0 ) ∂y (x0 , y0 ) = 0. Proposition 6.16 Soit U un ouvert de R3 , c ∈ R et f : U → R différentiable sur U . Supposons qu’il existe (x0 , y0 , z0 ) ∈ U tel que f (x0 , y0 , z0 ) = c. Si ∇f (x0 , y0 , z0 ) 6= 0 alors l’équation du plan tan∂f gent à la surfance S d’équation f (x, y, z) = 0 en (x0 , y0 , z0 ) est (x − x0 ) ∂f ∂x (x0 , y0 , z0 ) + (y − y0 ) ∂y (x0 , y0 , z0 ) + (z − z0 ) ∂f ∂z (x0 , y0 , z0 ) = 0. Proposition et définition 6.3 Soient E, F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E et f : U → F . Les assertions suivantes sont équivalentes : – f est différentiable sur U et sa différentielle est continue sur U . – Les dérivées partielles de f existent et sont continues sur U . Dans ce cas, On dit que f est continûment différentiable sur U ou de classe C 1 sur U . Proposition 6.17 Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies et U un ouvert de E. L’ensemble C 1 (U, F ) des applications de U vers F continûment différentiables sur U est un R-espace vectoriel. Proposition 6.18 Soient E, F, G des R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F , V un ouvert de F tel que f (U ) ⊂ G et g : V → G. Si f ∈ C 1 (U, F ) et g ∈ C 1 (V, G) alors g ◦ f ∈ C 1 (U, G). Proposition 6.19 Soient E, F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F , I un intervalle de R et γ : I → E telle que γ(I) ⊂ U . Z β Si γ ∈ C 1 (I, E) et f ∈ C 1 (U, F ) alors ∀α, β ∈ I, si a = f (α) et b = f (β) alors f (b) − f (a) = df (γ(t))(γ 0 (t))dt. α

Corollaire 6.20 Caractérisation des applications constantes sur un ouvert connexe par arcs : Soit E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies non nulles, U un ouvert connexe par arcs non vide de E et f ∈ C 1 (U, F ) de composantes f1 , . . . , fp dans une base de F . f est constante sur U ⇐⇒ ∀x ∈ U, df (x) = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ U, Jf (x) = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ U, Jf (x) = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ U, ∀i ∈ ∂fi {1, . . . , p}, ∀j ∈ {1, . . . , n}, ∂x (x) = 0. j Proposition 6.21 Soit k ∈ N∗ ∪ {∞}, E, F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies et U un ouvert de E. L’ensemble C k (U, F ) des fonctions de U vers F de classe C k sur U est un R-espace vectoriel. Proposition 6.22 Soit k ∈ N∗ ∪ {∞}, E, F, G trois R-espaces vectoriels de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U → F , V un ouvert de F tel que f (U ) ⊂ V et g : V → G. Si f ∈ C k (U, F ) et g ∈ C k (V, G) alors (g ◦ f ) ∈ C k (U, G). Théorème 6.1 Théorème de Schwarz : Soient E, F deux R-espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E ∂2f ∂2f = sur U . et f : U → F . Si f ∈ C 2 (U, F ) alors ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi Proposition 6.23 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert E, f : U → R et a ∈ U tel que f soit différentiable en a. Si f admet un extremum local en a alors df (a) = 0.

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Définition 6.5 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert E, f : U → R et a ∈ U . On dit que a est un point critique (ou stationnaire) de f si f est différentiable en a et df (a) = 0. Théorème 6.2 Développement de Taylor-Young d’ordre 2 : Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie, U un n 1 X ∂2f ouvert E et f : U → R. Si f ∈ C 2 (U ) alors ∀a ∈ U, f (a + h) = f (a) + df (a)(h) + hi hj (a) + o(khk2 ). 2 i,j=1 ∂xi ∂xj Définition 6.6 E unR-espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert E, f ∈ C 2 (U ) et a.  Soit 2 ∂ f La matrice (a) s’appelle la matrice Hessienne de f en a. On la note Hf (a). ∂xi ∂xj 1≤i,j≤n Corollaire 6.24 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, U un ouvert E, f ∈ C 2 (U ) et a ∈ U un point critique de f . – Si les valeurs propres de Hf (a) sont strictement positives alors f admet un minimum local stricte en a. – Si les valeurs propres de Hf (a) sont strictement négatives alors f admet un maximum local stricte en a. Définition 6.7 Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, U un ouvert E, f ∈ C 2 (U ) et a ∈ U . On dit que f admet un point col ou un point selle en a s’il existe deux vecteurs h et k de E tels l’application t 7→ f (a + th) admet un maximum local stricte en 0 et l’application t 7→ f (a + tk) admet un minimum local stricte en 0.   r s 2 2 Corollaire 6.25 Soient U un ouvert non vide de R , f ∈ C (U ), (a, b) ∈ U un point critique de f et Hf (a, b) = . s t 2 – Si rt − s > 0 et r > 0 alors f admet un minimum local stricte en a. – Si rt − s2 > 0 et r < 0 alors f admet un maximum local stricte en a. – Si rt − s2 < 0 alors f admet un point col en a.

7

Intégrales dépendant d’un paramètre :

Théorème 7.1 Théorème de la convergence dominée : Soit I un intervalle non vide de R et (fn ) une suite de fonctions de I à valeurs réelles ou complexes. Si : – ∀n ∈ N, fn est continue par morceaux sur I. – La suite (fn ) convege simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I. – Il existe une fonction ϕ à valeurs positivesZ et intégrable sur I telle que ∀n Z Z ∈ N, |fn | ≤ ϕ (Condition de domination). Alors, la fonction f est intégrable sur I et on a

f= I

lim fn = lim

I n→+∞

n→+∞

fn . I

Théorème 7.2 Théorème d’intégration terme à terme : Si I un intervalle non vide et (fn ) une suite de fonctions de I et à valeurs réelles ou complexes telle que : – ∀n ∈ N, P fn est continue par morceaux sur I. – La série fn convege simplement sur I de somme continue par morceaux sur I. – ∀n ∈ N, P fnRest intégrable sur I. – La série |f | converge. I n Z X Z X Z X +∞ +∞ +∞ Z +∞ +∞ Z X X Alors, fn est intégrable sur I, fn = fn et fn ≤ |fn |. I I I I I n=0

n=0

n=0

n=0

n=0

Proposition 7.1 Soient I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, A ⊂ E, a ∈ A¯ et f : A × I → K. Si : – ∀x ∈ A, t 7→ f (x, t) est continue par morceaux sur I. – ∀t ∈ I, lim f (x, t) existe. x→a

– L’application t 7→ lim f (x, t) est continue par morceaux sur I. x→a

– ∃ϕ : I → R+ intégrable sur I telle que ∀(x, t) ∈ A × I, |f (x, t)|Z≤ ϕ(t). Z Alors l’application x 7→

f (x, t)dt admet une limite en a et on a lim

x→a

I

f (x, t)dt = I

Z lim f (x, t)dt.

I x→a

Corollaire 7.2 Théorème de continuité sous le signe intégral : Soient I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, A ⊂ E et f : A × I → K. Si : – ∀x ∈ A, t 7→ f (x, t) est continue par morceaux sur I. – ∀t ∈ I, x 7→ f (x, t) est continue sur A. – ∃ϕ : I → R+ intégrable sur I telle que ∀(x, t) ∈ A × I, |f (x, t)| ≤ ϕ(t). www.mathlaayoune.webs.com

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Z Alors l’application x 7→

f (x, t)dt est définie et continue sur A. I

Théorème 7.3 Théorème de dérivation sous le signe intégral : Soient I, J deux intervalles non vides de R et f : I × J → K telle que la dérivée partielle ∂f ∂x existe sur I × J. Si : – ∀x ∈ I, t 7→ f (x, t) est continue par morceaux et intégrable sur J. – ∀x ∈ I, t 7→ ∂f ∂x (x, t) est continue par morceaux sur J. – ∀t ∈ J, x 7→ ∂f ∂x (x, t) est continue sur I. + – ∃ϕ : J → R intégrables sur J telles que ∀(x, t) ∈ I × J, ∂f (x, t) ≤ ϕ(t). ∂x Z Z ∂f Alors l’application g : x 7→ f (x, t)dt est de classe C 1 sur I et on a ∀x ∈ I, g 0 (x) = (x, t)dt. J J ∂x Corollaire 7.3 Soient k ∈ N∗ , I, J deux intervalles non vides de R et f : I × J 7→ K telle que r – ∀r ∈ {0, . . . , k}, ∀x ∈ I, t 7→ ∂∂xfr (x, t) est continue par morceaux sur J. ∂k f (x, t) ∂xk +

– ∀t ∈ J, x 7→

∂k f ∂xk

existe sur I × J. Si :

est continue sur I.

k – ∃ϕ : J → R intégrable sur J telle que ∀(x, t) ∈ I × J, ∂∂xfk (x, t) ≤ ϕ(t). Z Z r ∂ f (r) k Alors l’application g : x 7→ f (x, t)dt est de classe C sur I et on a ∀r ∈ {1, . . . , k}, ∀x ∈ I, g (x) = (x, t)dt. r J J ∂x Z – x 7→

Proposition et définition 7.1

+∞

tx−1 e−t dt est définie sur ]0, +∞[. On l’appelle la fonction Gamma et on la

0

– – – – –

note Γ. ∀x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x). En
particulier, ∀n ∈ N, Γ(n + 1) = n!. √ Formule d’Euler-Gauss : Γ 21 = π (intégral de Gauss). Γ est continue sur ]0, +∞[. Z +∞ Γ est de classe C 1 sur ]0, +∞[ et on a ∀x > 0, Γ0 (x) = (ln t)tx−1 e−t dt. 0 Z +∞ +∞ (k) Γ est de classe C sur ]0, +∞[ et on a ∀k ∈ N, ∀x > 0, Γ (x) = (ln t)k tx−1 e−t dt. 0

– Γ est convexe sur ]0, +∞[.

8

Fonctions holomorphes :

Définition 8.1 Soit Ω un ouvert non vide de C et f : Ω → C. On dit que : f (a + h) − f (a) existe dans C. Dans ce cas, cette limite, notée f 0 (a), s’appelle la – f est C-dérivable en a ∈ Ω si lim h→0 h dérivée de f en a. – f est holomorphe sur Ω si f est C-dérivable sur Ω et l’application z 7→ f 0 (z) est continue sur Ω. Dans ce cas, l’application z ∈ Ω 7→ f 0 (z) s’appelle la dérivée de f et on la note f 0 . P – f est analytique sur Ω si pour tout z0 ∈ Ω il existe r > 0 et une série entière an z n de rayon de convergence R ≥ r +∞ X an (z − z0 )n . tels que ∀z ∈ D(z0 , r), f (z) = n=0

˜ = {(a, b) ∈ Proposition 8.1 Conditions de Cauchy-Riemann (Cas dérivable) : Soit Ω un ouvert non vide de C, f : Ω → C, Ω 2 ˜ ˜ ˜ ˜ R /a + ib ∈ Ω}, f : (a, b) ∈ Ω 7→ f (a + ib), u : (a, b) ∈ Ω 7→
∂ f˜ ∂x (x, y)

˜

= −i ∂∂yf (x, y) =

∂u ∂x (x, y)

∂v + i ∂x (x, y) =

∂v ∂y (x, y)

− i ∂u ∂y (x, y) =

∂u ∂x (x, y)

− i ∂u ∂y (x, y) =

˜ = Corollaire 8.2 Conditions de Cauchy-Riemann (Cas holomorphe) : Soit Ω un ouvert non vide de C et f : Ω → C, Ω 2 ˜ ˜ ˜ ˜ {(x, y) ∈ R /x + iy ∈ Ω}, f : (x, y) ∈ Ω 7→ f (x + iy), u : (x, y) ∈ Ω 7→
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– f est holomorphe sur Ω. ˜ et vérifie l’équation de Cauchy-Riemann ∂ f˜ + i ∂ f˜ = 0. – f˜ est de classe C 1 sur Ω ∂x ∂y ˜ et vérifient les équations de Cauchy-Riemann ∂u = – u et v sont de classe C 1 sur Ω ∂x

Dans ce cas, f 0 =

∂ f˜ ∂x

˜

= −i ∂∂yf =

∂u ∂x

∂v + i ∂x =

∂v ∂y

− i ∂u ∂y =

∂u ∂x

− i ∂u ∂y =

∂v ∂y

∂v ∂y

et

∂u ∂y

∂v = − ∂x .

∂v + i ∂x .

Proposition 8.3 Soient Ω un ouvert non vide de C et f, g ∈ H(Ω). Alors : – ∀α, β ∈ C, αf + βg ∈ H(Ω) et on a (αf + βg)0 = αf 0 + βg 0 . – f g ∈ H(Ω) et on a (f g)0 = f 0 g + f g 0 . – L’ensemble H(U ) des fonctions holomorphes sur Ω est une C-algèbre. Proposition 8.4 Soient Ω, Ω0 deux ouverts non vides de C, f : Ω → C tel que f (Ω) ⊂ Ω0 et g : Ω0 → C. Si f ∈ H(Ω) et g ∈ H(Ω0 ) alors g ◦ f ∈ H(Ω) et on a (g ◦ f )0 = f 0 × (g 0 ◦ f ). P Proposition 8.5 Si an z n est une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme f alors : +∞ X – f est holomorphe sur D(0, R) et on a ∀z ∈ D(0, R), f 0 (z) = nan z n−1 . n=1

– f est infiniment dérivable sur D(0, R) et on a ∀k ∈ N, ∀z ∈ D(0, R), f (k) (z) =

+∞ X n=k

– f est analytique sur D(0, R).

k!Cnk an z n−k =

+∞ X

k k!Cn+k an+k z n .

n=0

Proposition 8.6 Si Ω un ouvert non vide de C alors l’ensemble O(Ω) des applications analytiques sur Ω est une C-algèbre. Proposition 8.7 Soit Ω un ouvert non vide de C et f : Ω → C. Si f est analytique sur Ω alors : – f est holomorphe sur Ω si, et seulement si, f est analytique sur Ω. – Si f est holomorphe sur Ω alors f est indéfiniment dérivable sur Ω. – Si z0 ∈ Ω et R = sup{r > 0/D(0, r) ⊂ Ω} (0 ≤ R ≤ +∞) alors il existe une suite (an ) ∈ CN telle que ∀z ∈ +∞ X f (n) (z0 ) . an (z − z0 )n . On a, de plus, n ∈ N, an = D(z0 , R), f (z) = n! n=0 Définition 8.2 Soient Ω un ouvert non vide de C et f : Ω →∈ C. On dit que a ∈ Ω est un zéro isolé de f si a est un zéro de f et ∃ε > 0 tel que ∀z ∈ D(a, ε) \ {a}, f (z) 6= 0. Théorème 8.1 Soient Ω un ouvert non vide connexe par arcs et f ∈ H(Ω). – Principe des zéros isolés : Si f est non identiquement nulle sur Ω alors les zéros de f sont isolés. – Si ∃a ∈ Ω tel que ∀n ∈ N, f (n) (a) = 0 alors f est nulle sur Ω. – Principe du prolongement analytique : Si f admet un prolongement en une fonction holomorphe sur Ω alors ce prolongement est unique.

9

Equations différentielles :

Théorème 9.1 Théorème de Cauchy-Lipschitz : Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de R×E, f : U → E et (t0 , x0 ) ∈ U . ( x0 (t) = f (t, x(t)) 1 Si f est de classe C sur U alors le problème de Cauchy PC : admet une solution ([t0 − α, t0 + α], x) x(t0 ) = x0 avec α > 0. Si, en plus, (I, y) est une solution de PC alors ∀t ∈ [t0 − α, t0 + α] ∩ I, x(t) = y(t). Définition 9.1 On appelle équation différentielle à variables séparables toute équation de la forme E : x0 (t) = f (t)g(x(t)) où f : I → R et g ∈: J → R avec I, J deux intervalles ouverts de R. Proposition 9.1 Soient I, J deux intervalles ouverts de R, f ∈ C (I), g ∈ C 1 (J) et (K, x) une solution de l’équation E : x0 (t) = f (t)g(x(t)). Si ∃t0 ∈ K, g(x(t0 )) = 0 alors ∀t ∈ K, g(x(t)) = 0. Définition 9.2 Soient I, J deux intervalles de R, f ∈ C (I) et g ∈ C 1 (J). On appelle solution singulière de x0 (t) = f (t)g(x(t)) toute application constante x(t) = x0 sur I avec x0 une raçine de g. Définition 9.3 On appelle équation différentielle linéaire d’ordre un toute équation de la forme E : x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t) avec a : I → L (E) et b : I → E deux applications continues sur un intervalle I de R et E un K-espace vectoriel normé de dimension finie. E0 : x0 (t) = a(t)(x(t)) s’appelle l’équation homogène associée à E . www.mathlaayoune.webs.com

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Définition 9.4 Soient I un intervalle de R, a ∈ C (I, L (E)) et b ∈ C (I, E). Une solution (J, x) de l’équation différentielle x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t) est dite globale si J = I. Proposition 9.2 Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, I un intervalle de R, a ∈ C (I, L (E)) et b ∈ C (I, E). Si (J, x) est une solution de x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t) alors l’application x est de classe C 1 sur J. Proposition 9.3 Principe de superposition : Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, I un intervalle de R, a ∈ C (I, L (E)) et b1 , b2 ∈ C (I, E). Si (J, x1 ) et (J, x2 ) sont deux solutions de x0 (t) = a(t)(x(t)) + b1 (t) et x0 (t) = a(t)(x(t)) + b2 (t) respectivement alors (J, x1 + x2 ) est une solution de x0 (t) = a(t)(x(t)) + b1 (t) + b2 (t). Proposition 9.4 Forme intégrale d’un problème de Cauchy : Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, x0 ∈ E, I un intervalle de R, t0 ∈ I, a ∈ C (I, L (E)) et b ( ∈ C (I, E). x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t) (J, x) est une solution du problème de Cauchy si, et seulement si, ∀t ∈ J, x(t) = x0 + x(t0 ) = x0 Z t (a(u)(x(u)) + b(u))du. t0

Théorème 9.2 Théorème de Caucy-Lipschitz : Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, x0 ∈ E, I un intervalle de R, t0 ∈ I, a ∈ C (I, L ((E)) et b ∈ C (I, E). x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t) Le problème de Cauchy admet une et une seule solution globale. x(t0 ) = x0 Corollaire 9.5 Unicité locale des solutions : Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, I un intervalle de R, a ∈ C (I, L (E)), b ∈ C (I, E) et (J, x), (K, y) deux solutions de l’équation x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t). Si ∃t0 ∈ J ∩ K, x(t0 ) = y(t0 ) alors ∀t ∈ J ∩ K, x(t) = y(t). Proposition 9.6 Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, I un intervalle de R, a ∈ C (I, L (E)) et b ∈ C (I, E). – L’ensemble S0 des solutions globales de l’équation homogène x0 (t) = a(t)(x(t)) est un sous-espace vectoriel de C 1 (I, E). ϕ : S0 → E – Soit t0 ∈ I. L’application est un isomorphisme d’espaces vectoriels. En particulier, dim S0 = x 7→ x(t0 ) dim E. – L’ensemble S des solutions globales de l’équation E : x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t) est un sous-espace affine de C 1 (I, E) de direction S0 . Autrement dit, si x ∈ S alors S = x + S0 . Définition 9.5 Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, I un intervalle de R et a ∈ C (I, L (E)). On appelle système fondamental de solutions de l’équation E0 : x0 (t) = a(t)(x(t)) toute base (ϕ1 , . . . , ϕn ) de l’espace S0 des solutions globales de E0 . Proposition 9.7 Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, I un intervalle de R, a ∈ C (I, L (E)) et ϕ1 , . . . , ϕn des solutions globales de l’équation E0 : x0 (t) = a(t)(x(t)). Les assertions suivantes sont équivalentes : – (ϕ1 , . . . , ϕn ) de E0 est un système fondamental de solutions de l’équation E0 . – ∀t ∈ I, (ϕ1 (t), . . . , ϕn (t)) est une base de E. – ∃t0 ∈ I, (ϕ1 (t0 ), . . . , ϕn (t0 )) est une base de E. Proposition 9.8 Méthode de la variation de la constante : Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle, I un intervalle de R, a ∈ C (I, L (E)) et b ∈ C (I, E). Si (ϕ1 , . . . , ϕn ) est un système fondamental de solutions de l’équation homogène x0 (t) = a(t)(x(t)) alors, il existe β1 , . . . , βn ∈ C 1 (I, K) tel que x = β1 ϕ1 + · · · + βn ϕn soit une solution particulière de x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t). De plus, les applications β1 , . . . , βn vérifient la relation b = β10 ϕ1 + · · · + βn0 ϕn . Définition 9.6 On appelle système différentiel linéaires d’ordre un à coefficients constants toute équation de la forme x0 (t) = a(x(t)) + b(t) avec a ∈ L (E), b ∈ C (I, E), I un intervalle de R et E un K-espace vectoriel normé de dimension finie. Proposition 9.9 Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, x0 ∈ E, t0 ∈ R et a ∈ L (E). – L’espace des solutions globales de l’équation E0 : x0 (t) = a(x(t)) est S0 = {t ∈ R 7→ exp(ta)(x)/x ∈ E}. – x(t) = exp((t − t0 )a)(x0 ) est l’unique solution globale de E0 vérifiant x(t0 ) = x0 . Z t Z t exp((t0 − u)a)(b(u))du = exp((t − t0 )a)(x0 ) + exp((t − u)a)(b(u))du est – x(t) = exp((t − t0 )a) x0 + t0

l’unique solution globale de l’équation E : x0 (t) = a(x(t)) + b(t) vérifiant x(t0 ) = x0 . www.mathlaayoune.webs.com

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Définition 9.7 On appelle équation différentielle linéaire scalaire d’ordre n (n ∈ N∗ ) toute équation de la forme E : x(n) (t) + an−1 (t)x(n−1) (t) + · · · + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t) avec a0 , . . . , an−1 , b ∈ C (I, K) et I un intervalle de R. E0 : x(n) (t) + an−1 (t)x(n−1) (t) + · · · + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = 0 s’appelle l’équation homogène associée à E . Définition 9.8 Soit I un intervalle de R et a0 , . . . , an−1 , b ∈ C (I, K). Une solution (J, x) de l’équation E : x(n) (t) + an−1 (t)x(n−1) (t) + · · · + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t) est dite globale si J = I. Proposition 9.10 Soit I un intervalle de R et a0 , . . . , an−1 , b ∈ C (I, K). Si (J, x) est une solution de l’équation x(n) (t) + an−1 (t)x(n−1) (t) + · · · + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t) alors x est de classe C n sur J. Définition 9.9 Soit I un intervalle de R, a0 , . . . , an−1 , b ∈ C (I, K), t0 ∈ I et x0 , . . . , xn−1 ∈ K. On appelle problème de Cauchy en (t0 , x0 , . . . , xn−1 ) associé à l’équation différentielle E : x(n) (t)+an−1 (t)x(n−1) (t)+· · ·+ (n−1) a1 (t)x0 (t)+a0 (t)x(t) (t0 ) = ( = b(t) le problème qui consiste à chercher une solution (J, x) de E telle que x(t0 ) = x0 , . . . , x (n) (n−1) 0 x (t) + an−1 (t)x (t) + · · · + a1 (t)x (t) + a0 (t)x(t) = b(t) xn−1 . On le note . x(t0 ) = x0 , . . . , x(n−1) (t0 ) = xn−1 Théorème 9.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz : Si I est un intervalle de R, a0 , . . . , an−1 , b ∈ C (I, K), t0 ∈ I et x0 , . . . , xn ∈ ( (n) x (t) + an−1 (t)x(n−1) (t) + · · · + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t) K alors le problème de Cauchy admet une et une seule x(t0 ) = x0 , . . . , x(n−1) (t0 ) = xn−1 solution globale. Corollaire 9.11 Unicité locale des solutions : Soit I un intervalle de R, a0 , . . . , an−1 , b ∈ C (I, K) et (x, J) et (y, K) deux solutions de l’équation E : x(n) (t) + an−1 (t)x(n−1) (t) + · · · + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t). Si ∃t0 ∈ J ∩ K, ∀k ∈ {0, . . . , n − 1}, x(k) (t0 ) = y (k) (t0 ) alors ∀t ∈ J ∩ K, x(t) = y(t). Proposition 9.12 Soit I un intervalle de R, a0 , . . . , an−1 , b ∈ C (I, K). – L’ensemble S0 des solutions globales de x(n) (t)+an−1 (t)x(n−1) (t)+· · ·+a1 (t)x0 (t)+a0 (t)x(t) = 0 est un sous-espace vectoriel de C n (I, K). S → Kn – Soit t0 ∈ I. L’application 0 est un isomorphisme d’espaces vectoriels. En particulier, x 7→ (x(t0 ), . . . , x(n−1) (t0 )) dim S0 = n. – L’ensemble S des solutions globales de x(n) (t) + an−1 (t)x(n−1) (t) + · · · + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t) est un sousespace affine de C n (I, K) de direction S0 . Autrement dit, si x est une solution de E alors S = x + S0 . Théorème 9.4 Théorème : Si I est un intervalle de R, a, b, c ∈ C (I, K), t0 ∈ I et x0 , x1 ∈ K alors le  00 de Cauchy-Lipschitz x (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = c(t) problème de Cauchy admet une et une seule solution globale. x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1 Corollaire 9.13 Unicité locale des solutions : Soit I un intervalle de R, a, b, c ∈ C (I, K) et (x, J), (y, K) deux solutions de l’équation x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = c(t). Si ∃t0 ∈ J ∩ K, x(t0 ) = y(t0 ) et x0 (t0 ) = y 0 (t0 ) alors ∀t ∈ J ∩ K, x(t) = y(t). Proposition 9.14 Soit I un intervalle de R et a, b, c ∈ C (I, K). – L’ensemble S0 des solutions globales de x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = 0 est un sous-espace vectoriel de C 2 (I, K). S → K2 – Soit t0 ∈ I. L’application 0 est un isomorphisme d’espaces vectoriels. En particulier, dim S0 = x 7→ (x(t0 ), x0 (t0 )) 2. – L’ensemble S des solutions globales de x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = c(t) est un sous espace affine de C 2 (I, K) de direction S0 . Autrement dit, si x est une solution de E alors S = x + S0 . Définition 9.10 Soit I un intervalle de R, a, b ∈ C (I, K). On appelle système fondamental de solutions de l’équation homogène x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = 0 toute base (ϕ, ψ) de l’espace S0 des solutions globales de E0 . Proposition 9.15 Soit I un intervalle de R, a, b ∈ C (I, K) et ϕ, ψ deux solutions globales de l’équation E0 : x00 (t)+a(t)x0 (t)+ b(t)x(t) = 0. Les assertions suivantes sont équivalentes : – (ϕ, ψ) est un système fondamental de solutions de E0 . – ∃t0 ∈ I, ((ϕ(t0 ), ϕ0 (t0 )), (ψ(t0 ), ψ 0 (t0 ))) forme une base de K2 . – ∀t ∈ I, ((ϕ(t), ϕ0 (t)), (ψ(t), ψ 0 (t))) forme une base de K2 . Définition 9.11 Soit I un intervalle de R, a, b ∈ C (I, K) et ϕ, ψ deux solutions de l’équation E0 : x00 (t)+a(t)x0 (t)+b(t)x(t) = ϕ(t) ψ(t) . 0. On appelle Wronskien de (ϕ, ψ) l’application : W (t) = 0 ϕ (t) ψ 0 (t) www.mathlaayoune.webs.com

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Proposition 9.16 Soit I un intervalle de R, a, b ∈ C (I, K) et ϕ, ψ deux solutions globales de E0 : x00 (t)+a(t)x0 (t)+b(t)x(t) = 0 de Wronskien W . Les assertions suivantes sont équivalentes : – (ϕ, ψ) est un système fondamental de solution de E0 . – ∃t0 ∈ I, W (t0 ) 6= 0. – ∀t ∈ I, W (t) 6= 0. Proposition 9.17 Formule de Liouville : Soit I un intervalle de R, a, b ∈ C (I, K) et ϕ, ψ Rdeux solutions de E0 : x00 (t) + − t a(u)du a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = 0. Si W est le Wronskien de (ϕ, ψ) alors ∀t, t0 ∈ I, W (t) = W (t0 )e t0 . Méthode de Lagrange : Soit I un intervalle de R, a, b ∈ C (I, K), E0 : x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = 0 et on suppose connue une solution x de E0 qui ne s’annule pas sur I. La méthode de Lagrange consiste à chercher une solution y de E0 de la forme y = zx avec z non constante. Une fois trouvée le couple (x, y) forme un système fondamental de solutions de E0 . Proposition 9.18 Méthode de la variation de la constante : Soit I un intervalle de R, a, b, c ∈ C (I, K) et E : x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = c(t). Si (ϕ, ψ) est un système fondamental de solutions de l’équation homogène x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = 0alors l’équation différentielle E admet une solution de la forme x(t) = α(t)ϕ(t)+β(t)ψ(t) avec α, β ∈ C 1 (I, K) α0 (t)ϕ(t) + β 0 (t)ψ(t) = 0 qui vérifient . α0 (t)ϕ0 (t) + β 0 (t)ψ 0 (t) = c(t)

10

Probabilités :

¯ Définition 10.1 Soit Ω un ensemble. [ Une partie T de P(Ω) est dite tribu si ∅ ∈ T , ∀A ∈ T , A ∈ T et pour toute suite An ∈ T . Dans ce cas, tout élément de T est appelé un événement de T . (An )n∈N d’éléments de T on a n∈N

Définition 10.2 Soit Ω un ensemble et T une tribu de Ω. On appelle probabilité sur T toute application p : T → [0, 1] telle que p(Ω) = 1 et pour toute suite (An ) d’événements de T qui sont deux à!deux incompatibles (i.e ∀m, n ∈ N, m 6= n ⇒ +∞ X [ P Am ∩ An = ∅), la série p(An ) converge et on a p(An ) = p An . n=0

n∈N

Dans ce cas, le triplet (Ω, T , p) est appelé espace probabilisé. Propriété 10.1 Soit (Ω, T , p) un espace probabilisé. – Si A1 , . . . , An sont des événements de T deux à deux incompatibles alors p(A1 ∪ · · · ∪ An ) = p(A1 ) + · · · + p(An ). ¯ = 1 − p(A). – Si A est un événement de T alors p(A) – Si A et B deux événements de T alors p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B), p(B \ A) = p(B) − p(A ∩ B) et si A ⊂ B alors p(B \ A) = p(B) − p(A) et p(A) ≤ p(B). – Si A1 , . . . , An sont des événements de T alors p(A1 ∪ · · · ∪ An ) ≤ p(A1 ) + · · · p(An ). ! +∞ [ X P – Soit une suite (An )n∈N d’événements de T . Si la série p(An ) converge alors p An ≤ p(An ). n=0

n∈N

– Une union au plus dénombrable d’ensembles négligeables est négligeable. Théorème 10.1 (Continuité monotone séquentielle d’une probabilité) Soient (Ω, T , p) un espace probabilisé et (An ) une suite d’événements de T . ! [ – Continuité croissante : Si la suite (An ) est croissante alors la suite (p(An ) converge et on a lim p(An ) = p An . n→+∞

n∈N

– Continuité décroissante : Si la suite (An ) est décroissante alors la suite (p(An ) converge et on a ! \ p An .

lim p(An ) =

n→+∞

n∈N

Définition 10.3 Soit (Ω, T , p) un espace probabilisé. – Deux événements A et B de T sont dits indépendants si p(A ∩ B) = p(A)p(B).  – Une famille (Ai )i∈I d’événements de T est dite indépendante si ∀J ⊂ I finie, on a : p 

 \

Aj  =

j∈J

Y

p(Aj ).

j∈J

Définition 10.4 Soient (Ω, T , p) un espace probabilisé et B un événement de T tel que p(B) 6= 0. On appelle probabilité sachant B, l’application notée pB et définie sur T par pB (A) = p(A∩B) p(B) . Pour tout événement A de T , pB (A) se lit "la probabilité de A sachant B". pB (A) se note aussi p(A|B). www.mathlaayoune.webs.com

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Définition 10.5 Soit (Ω, T , p) un espace probabilisé. On dit qu’une famille [ (Ai )i∈I d’événements de T forme un système complet d’événements de T si ∀i, j ∈ I tels que i 6= j on a Ai ∩ Aj = ∅ et Ai = Ω. i∈I

Théorème 10.2 Soient (Ω, T , p) un espace probabilisé, A un événement de T et (Bi )i∈I une famille finie ou dénombrable qui forme un système complet d’événements ∀i ∈ I, p(Bi ) 6= 0. X de T telle queX – Probabilités totales : p(A) = p(A ∩ Bi ) = p(A|Bi )p(Bi ). i∈I

i∈I

– Formule de Bayes : Si p(A) 6= 0 alors ∀i ∈ I, p(Bi |A) =

p(A|Bi )p(Bi ) p(A|Bi )p(Bi ) =X . p(A) p(A|Bj )p(Bj ) j∈I

Définition 10.6 On appelle variable aléatoire réelle sur l’espace probabilisé (Ω, T , p) toute application X : Ω → R telle que ∀a ∈ R, X −1 (] − ∞, a]) ∈ T . Proposition 10.1 Si X1 , . . . , Xn sont des variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé (Ω, T , p) et f : Rn → R une application continue sur Rn alors l’application ω ∈ Ω 7→ f (X1 (ω), . . . , Xn (ω)) est une variable aléatoire réelle sur (Ω, T , p). On la note f (X1 , . . . , Xn ). Proposition 10.2 Si X est une variable aléatoire réelle sur l’espace probabilisé (Ω, T , p) et f : R → R monotone par morceaux alors f ◦ X est une variable aléatoire réelle sur (Ω, T , p). On la note f (X). Proposition 10.3 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé (Ω, T , p). Si (Xn ) converge simplement sur Ω vers une application X alors X est une variable aléatoire sur (Ω, T , p). Définition 10.7 Soit X une variable aléatoire réelle sur l’espace probabilisé (Ω, T , p). On appelle fonction de répartition de X l’application, notée FX , de R vers R définie par ∀t ∈ R, FX (t) = p(X ≤ t). Propriété 10.2 Si X est une variable aléatoire réelle sur l’espace probabilisé (Ω, T , p) alors FX est croissante sur R, continue à droite sur R, lim FX (t) = 0 et lim FX (t) = 1. t→−∞

t→+∞

Propriété 10.3 Soient X une variable aléatoire réelle sur l’espace probabilisé (Ω, T , p) et a, b ∈ R tels que a ≤ b. Alors : – p(X > a) = 1 − FX (a), p(X < a) = lim FX (t), p(X ≥ a) = 1 − lim FX (t). t→a−

t→a−

– p(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a), p(a ≤ X ≤ b) = FX (b) − lim− FX (t), p(a ≤ X < b) = lim− FX (t) − lim− FX (t), t→a

t→b

t→a

p(a < X < b) = lim− FX (t) − FX (a). t→b

– p(X = a) = FX (a) − lim FX (t). t→a−

Corollaire 10.4 Soit X une variable aléatoire réelle sur l’espace probabilisé (Ω, T , p). FX est continue en a ∈ R (resp. sur R) si, et seulement si, p(X = a) = 0 (resp. ∀x ∈ R, p(X = x) = 0). Définition 10.8 Soit (X1 , . . . , Xn ) une famille finie de variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé (Ω, T , p). On appelle fonction de répartition de la famille (X1 , . . . , Xn ) l’application, notée FX1 ,...,Xn , de Rn dans R, définie par ∀(t1 , . . . , tn ) ∈ Rn , FX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ) = p(X1 ≤ t1 , . . . , Xn ≤ tn ). Définition 10.9 Soit (Ω, T , p) un espace probabilisé et I(R) l’ensemble des intervalles de R. On appelle : – Loi d’une variable aléatoire réelle X sur (Ω, T , p) l’application I ∈ I(R) 7→ p(X ∈ I). n – Loi d’une famille (X1 , . . . , Xn ) de variables aléatoires réelles (Ω, T , p) l’application (I1 , . . . , In ) ∈ (I(R)) 7→ p(X1 ∈ I1 , . . . , Xn ∈ In ). – Loi d’une variable aléatoire réelle X sur (Ω, T , p) sachant un événement non négligeable A de T l’application I ∈ p((X ∈ I) ∩ A) . On la note (pA )X . I(R) 7→ p((X ∈ I)|A) = p(A) Définition 10.10 Une variable aléatoire réelle X sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) est dite de loi discrète s’il existe Ω0 ∈ T tel que p(Ω0 ) = 1 et D = X(Ω0 ) soit au plus dénombrable. Propriété 10.4 Soit un espace propbabilisé (Ω, T , p). – Si X est une variable aléatoire de loi discrète sur (Ω, T , p) et d’ensemble D de valeurs possibles alors ∀A ⊂ D, p(X ∈ ! [ X A) = p (X = x) = p(X = x). x∈A

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x∈A

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– Si X et Y sont deux variables aléatoires X de lois discrètes sur (Ω, T , p) et d’ensembles Xde valeurs possibles respectives D et D0 alors ∀x ∈ D, p(X = x) = p(X = x, Y = y) et ∀y ∈ D0 , p(Y = y) = p(X = x, Y = y). y∈D 0

x∈D

Définition 10.11 Une variable aléatoire réelle X sur l’espace probabilisé (Ω, T , p) est dite de loi à densité ou de loi continue si sa fonction de répartition FX est continue sur R et de classe C 1 sur R  privé d’un sous-ensemble F fini ou vide. 0 FX (t) si t ∈ /F Dans ce cas, l’application, notée fX , définie sur R par ∀t ∈ R, fX (t) = s’appelle la densité de X. 0 si t ∈ F Propriété 10.5 Si X est une variable aléatoire de loi à densité sur l’espace probabilisé (Ω, T , p) alors : fX est positive, Z +∞ fX (t)dt = 1 et pour tout intervalle I de R on a p(X ∈ I) = continue sur R privé d’un sous-ensemble fini ou vide, −∞ Z b fX (t)dt avec a = inf I et b = sup I. FX (b) − FX (a) = a

Définition 10.12 Une famille (Xj )j∈J de variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé (Ω, T , p) est dite indépendante ou mutuellement indépendante si, pour toute famille (Ij )j∈J d’intervalles de R, la famille (Xj ∈ Ij )j∈J des évémements de T est indépendante. Proposition 10.5 (Indépendance héritée) Soit (Xi )1≤i≤n une famille indépendante de variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé (Ω, T , p). Si n0 , n1 , . . . , nk ∈ N tels que 0 = n0 < n1 < · · · < nk−1 < nk = n et ∀i ∈ {1, . . . , k}, fi : Rni −ni−1 → R continue alors la famille (f1 (X1 , . . . , Xn1 ), f2 (Xn1 +1 , . . . , Xn2 ), . . . , fk (Xnk−1 +1 , . . . , Xnk )) est indépendante. Proposition 10.6 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé (Ω, T , p). – Si X et Y sont indépendantes, de lois discrètes et d’ensembles de valeurs possibles respectives D1 et D2 alors la variables aléatoire S = X + Y X est de loi discrète, l’ensemble desX valeurs possibles de S est D = {u + v/(u, v) ∈ D1 × D2 } et ∀s ∈ D, p(S = s) = p(X = u)p(Y = s − u) = p(X = s − v)p(Y = v). u∈D1

v∈D2

– Si X et Y sont indépendantes avec X de loi discrète, d’ensemble de X valeurs possibles D et Y de loi continue alors la variable aléatoire S = X + Y est de loi à densité et ∀t ∈ R, fS (t) = p(X = u)fY (t − u). u∈D

– Si X et Y sont Z +∞indépendantes de lois continues Z +∞ alors la variable aléatoire S = X + Y est de loi à densité et ∀t ∈ R, fS (t) = fX (u)fY (t − u)du = fX (t − u)fY (u)du. −∞

−∞

Définition 10.13 Soit X une variable aléatoire réelle de loi discrète ou continue sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p). – Si X est de loi discrète et d’ensemble de valeurs X possibles D alors on dit que X admet une espérance si la famille (kp(X = k))k∈D est sommable. Dans ce cas, kp(X = k) s’appelle l’espérance de X et on le note E(X). k∈D

– Si X est de loi continue alors on dit que X admet une espérance si l’application t 7→ tf (t) est intégrable sur R. Dans ce Z +∞ cas, tfX (t)dt s’appelle l’espérance de X et on le note E(X). −∞

Théorème 10.3 (Théorème de transfert) Soit X une variable aléatoire réelle sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) et g : X(Ω) → R telle que Y = g(X) soit une variable aléatoire. – Si X est de loi discrète et d’ensemble de valeurs possibles D Xalors Y admet une espérance si, et seulement si, la famille (g(k)p(X = k))k∈D est sommable. Dans ce cas, E(Y ) = g(k)p(X = k). k∈D

– Si X est de loi continue alors Y admet une espérance si, et seulement si, l’application t 7→ g(t)fX (t) est intégrable sur Z +∞ R. Dans ce cas, E(Y ) = g(t)fX (t)dt. −∞

Théorème 10.4 Théorème de transfert à deux variables discrètes Soit X, Y deux variables aléatoires de lois discrètes sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p), D et D0 les ensembles des valeurs possibles respectives et g : (X, Y )(Ω) → R. La variable aléatoire Z = g(X, Y ) admet une espérence si, et seulement si, la famille (g(xi , yj )p(X = xi , Y = yj ))(i,j)∈D×D0 X est sommable. Dans ce cas, E(Z) = g(xi , yj )p(X = xi , Y = yj ). i,j

Proposition 10.7 Soient X et Y deux variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé (Ω, T , p). – Si Y admet une espérance et |X| ≤ Y alors X admet une espérance et on a E(X) ≤ E(Y ). www.mathlaayoune.webs.com

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– Si X et Y possèdent une espérance alors ∀α, β ∈ R, αX + βY possède une espérance et on a E(αX + βY ) = αE(X) + βE(Y ). – Si X possède une espérance et X est positive alors E(X) ≥ 0. – Si X et Y possèdent une espérance et Si X ≤ Y alors E(X) ≤ E(Y ). – Si X et Y possèdent une espérance alors E(|X + Y |) ≤ E(|X|) + E(|Y |). – Si X et Y possèdent une espérance et X, Y indépendants alors E(XY ) = E(X)E(Y ). Définition 10.14 Soit X une variable aléatoire réelle sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) et k ∈ N∗ . – Si X k admet une espérance alors on dit que X admet un moment d’ordre k. Dans ce cas, E(X k ) s’appelle le moment d’ordre k de X. p – Si X admet un moment d’ordre 2 alors V (X) = E((X − E(X))2 ) et σ(X) = V (X) s’appellent respectivement la variance l’écart-type de X. Propriété 10.6 Si X est une variable aléatoire réelle de loi discrète ou continue sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) qui admet un moment d’ordre 2alors V (X) ≥ 0, V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 , V (X) = 0 ⇐⇒ p(X = 0) = 1 et ∀α ∈ R, V (X + α) = V (X). Proposition 10.8 Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) qui possèdent des moments d’ordre 2 alors : – Inégalité de Cauchy-Schwarz : XY possède une espérance et on a E(XY )2 ≤ E(X 2 )E(Y 2 ). – X + Y possède un moment d’ordre 2 et on a V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2E((X − E(X))(Y − E(Y ))). Définition 10.15 Soient X et Y deux variables aléatoires réelles sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) qui possèdent un moment d’ordre 2. – On appelle covariance du couple (X, Y ) la quantité C(X, Y ) = E((X − E(X))(Y − E(Y ))). C(X, Y ) . – On appelle corrélation linéaire du couple (X, Y ) la quantité ρ(X, Y ) = σ(X)σ(Y ) Propriété 10.7 Si X et Y deux variables aléatoires réelles sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) qui possèdent un moment d’ordre 2 alors : – V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2C(X, Y ) et C(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ). – Si X et Y sont indépendants alors C(X, Y ) = 0, ρ(X, Y ) = 0 et V (X + Y ) = V (X) + V (Y ). – ρ(X, Y ) = 1 ⇐⇒ ∃α > 0, ∃β ∈ R, Y = αX + β presque partout. – ρ(X, Y ) = −1 ⇐⇒ ∃α < 0, ∃β ∈ R, Y = αX + β presque partout. Définition 10.16 Soit X une variable aléatoire réelle sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) à valeurs dans N. +∞ X On appelle fonction génératrice de X la fonction GX (t) = E(tX ) = p(X = n)tn . n=0

Proposition 10.9 Soit X une variable aléatoire réelle sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) à valeurs dans N. – X admet une espérance si, et seulement si, GX est dérivable en 1. Dans ce cas, E(X) = G0X (1). – X admet un moment d’ordre 2 si, et seulement si, GX admet une dérivée seconde en 1. Dans ce cas, E(X 2 ) − E(X) = G00X (1). Proposition 10.10 – Soient X, Y sont deux variables aléatoires réelles indépendantes sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) à valeurs dans N alors GX+Y = GX GY . – Généralement, si (X1 , . . . , Xn ) est une famille indépendante de variables aléatoires réelles sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) à valeurs dans N alors GX1 +···+Xn = GX1 · · · GXn . Proposition 10.11 Soit X est une variable aléatoire réelle sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p). – Inégalité de Markov : Si X est positive et admet une espérance alors ∀α > 0, p(X ≥ α) ≤ E(X) α . – Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Si X admet un moment d’ordre 2 alors ∀α > 0, p(|X − E(X)| ≥ α) ≤ V α(X) 2 . – Inégalité de Jensen : Si X admet une espérance, f : R → R convexe et f (X) admet une espérance alors f (E(X)) ≤ E(f (X)). Définition 10.17 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires réelles sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p). On dit que (Xn ) converge : P – En probabilité vers une variable aléatoire réelle X si ∀ε > 0, limn→+∞ p(|X − Xn | ≥ ε) = 0. On note Xn −−−−−→ X. n→+∞

– En loi vers une variable aléatoire réelle X si en tout point t de continuité de FX on a lim FXn (t) = FX (t). On note n→+∞

L

Xn −−−−−→ X. n→+∞

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Proposition 10.12 Si X est une variable aléatoire réelle sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) et (fn ) est une suite de fonctions de R vers R qui converge simplement sur R vers une fonction f alors (fn (X)) converge en probabilité vers f (X). Proposition 10.13 Soit X et (Xn ) une suite de variables aléatoires réelles sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p) à valeurs dans N. (Xn ) converge en loi vers X si, et seulement si, ∀k ∈ N, lim p(Xn = k) = P (X = k). n→+∞

Corollaire 10.14 Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires telle que ∀n ≥ 1, Xn ,→ B(n, pn ). Si npn → λ > 0 alors la suite (Xn )n≥1 converge en loi vers une variable aléatoire X ,→ P(λ). n→+∞

Proposition 10.15 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires réelles sur l’espace propbabilisé (Ω, T , p). Si (Xn ) converge en propbabilité vers une variable aléatoire X alors (Xn ) converge en loi vers X. Théorème 10.5 Si (Xn )n≥1 est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, admettant un moment d’ordre 2, µ = E(X1 ) et σ = σ(X1 ) alors : ! n 1X – Loi faible des grands nombres : La suite de variables aléatoires Xk converge en probabilité vers la van k=1

n≥1

riable constante µ. – Théorème de la limite centrée : La suite de variables aléatoires

1 √

σ n

n X k=1

!! Xk − nµ )

converge en loi vers la n≥1

variable aléatoire suivant la loi Gaussienne standard.

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