c Christophe Christophe Bertault - MPSI
Ensem Ensemble bles s finis finis et dénom dénombre breme ment nt Définition (Ensemble fini/infini) Soit E un ensemble. On dit que E est fini s’il est vide ou si, pour un certain n ∈ N ∗, il existe une bijection de l’ensemble 1, n sur E . On dit dans le cas contraire que E est infini .
Explication
Idée fondamentale du chapitre : l’idée l’idée selon laquelle laquelle une bijection de E sur F établit une correspondance parfaite entre les éléments de E et les éléments de F et qu’ainsi E et F ont le même « nombre d’éléments ». On pourrait aussi parler des ensembles infinis avec cette idée, mais ce n’est pas au programme et c’est plus compliqué — cf. le paragraphe « Equipotence » du chapitre « Injections, surjections, bijections ».
1
Cardin Cardinal al d’un ensemble ensemble fini
cardinal de E ou nombre (Cardina (Cardinall d’un ensemble ensemble fini) Soit E un ensemble fini non vide. On appelle cardinal ∗ d’éléments de E E tout entier n ∈ N pour lequel il existe une bijection de 1, n sur E .
Définition
Par convention, l’ensemble vide est de cardinal 0.
Hélas il se pourrait pourrait bien, à ce stade, stade, qu’un ensemble ensemble fini possède plusieurs plusieurs cardinaux cardinaux ! Le théorème théorème suivant suivant montre que non. Théorème
(Unicité du cardinal) cardinal)
m , n ∈ N ∗ . S’il existe une bijection de 1, m sur 1, n , alors m = n = n . (i) Soient Soient m,
# E ). (ii) Soit E un ensemble fini. Il existe un et un seul cardinal de E , noté | noté | E | (ou card E ou #E ).
Démonstration (i) Pour tout n ∈ N∗ , nous allons montrer par récurrence la proposition P proposition P n : « pour tout m ∈ = n ». une bijection de 1, m sur 1, n , alors m = n Initialisation Initialisation : Facile.
∗
N
, s’il existe
Hérédité : Soit n ∈ N ∗ . On suppose P suppose P n vraie, qu’en est-il de P de P n+1 ? Soit m ∈ N ∗ . Faisons l’hypothèse qu’il = n + 1 . existe une bijection f de 1, m sur 1, n + 1 . Il s’agit de montrer que m = n
• Premier cas :
f ( f (m) = n + 1.
1
1
2
2
.. .
f
.. .
m−2
n−1
m−1
n
m
n+1
Alors f 1,m−1 est bijective de 1, m − 1 sur 1, n , donc m − 1 = n
= n + 1. par hypothèse de récurrence, et enfin m = n
• Deuxième cas : f ( f (m) = n + n + 1 . −1 = f (n + 1) et b = f = f ((m) et notons τ la transposition (b ( b n + 1) de S n+1. Posons a = f 1
1
1
2
2
2
.. .
f
.. .
τ
.. .
b
a
.. . m
La composée τ ◦f est est alors bijective de 1, m sur 1, n + 1 et envoie m sur n + 1. Nous sommes ainsi ramenés au cas précédent.
b
.. .
.. . n+1
n+1
(ii) Soient Soient m et n deux cardinaux de E , i.e. deux entiers naturels non nuls pour lesquels existent une bijection −→ E et une bijection g : 1, n −→ −→ E . Alors g −1 ◦ f est une bijection de 1, m sur 1, n , donc f : 1, m −→ = n d’après (i). aussitôt m = n
1
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Exemple Soient m, n ∈ Z tels que m n. Alors m, n est fini de cardinal n − m + 1.
La fonction k −→ k + m − 1 est bijective de 1, n − m + 1 sur m, n de réciproque k −→ k − m + 1.
En effet
Théorème Soient E et F deux ensembles. Si E est fini et s’il existe une bijection de E sur F , alors F est fini et | E | = | F |.
Démonstration Si E est vide, alors F l’est aussi. Supposons donc E non vide, et puisque E est fini, donnonsnous une bijection g de 1, |E | sur E . Par hypothèse il existe par ailleurs une bijection de E sur F , disons f . Alors f ◦ g est une bijection de 1, |E | sur F donc F est fini et, par unicité du cardinal, | F | = |E |.
Théorème (Parties d’un ensemble fini) Soient E un ensemble fini et A une partie de E . Alors A est finie et | A| |E |. De plus A = E si et seulement si | A| = |E |.
Pour montrer que deux parties finies A et B d’un ensemble E sont égales, au lieu de montrer que En pratique A ⊂ B et que B ⊂ A , on peut se contenter de montrer, grâce au théorème précédent, que A ⊂ B et que | A| = | B |. Démonstration Pour tout n ∈ N ∗ , nous allons montrer par récurrence la proposition P n : « pour tout ensemble fini E de cardinal n et toute partie A de E , A est finie et | A| |E |, et de plus A = E si et seulement si | A| = | E | ». • Initialisation : Facile. • Hérédité : Soit n ∈ N . On suppose P n vraie, qu’en est-il de P n+1 ? Soient E un ensemble fini de cardinal n + 1 et A une partie de E . Nous pouvons supposer A = E et nous donner du coup un élément ω de E \ A. Par hypothèse, il existe une bijection f de 1, n + 1 sur E . Quitte à composer f par une transposition de 1, n + 1 , nous pouvons même supposer que f (n + 1) = ω , et donc en particulier que f (n + 1) ∈ / A .
Alors f
1
A
2
.. .
1,n
est bijective de 1, n sur E \ ω , donc
en particulier E \ ω est de cardinal n, et comme A est une partie de E \ ω , | A| n < n + 1 = |E |.
f
Au passage, l’inégalité stricte prouve l’implication « | A| = |E | =⇒ A = E ».
n−1 n n+1
E
ω
Théorème (Injectivité, surjectivité et ensembles finis) Soient E et F deux ensembles et f : E −→ F une application. (i) Si f est injective et si F est fini, alors E aussi est fini et | E | |F |. Si de plus | E | = | F |, f est en fait bijective de E sur F . (ii) Si f est surjective et si E est fini, alors F aussi est fini et |F | | E |. Si de plus | E | = | F |, f est en fait bijective de E sur F . (iii) Si E et F sont finis
de même cardinal :
f est bijective
⇐⇒
f est injective
⇐⇒
f est surjective.
Explication
• Tâchons de comprendre intuitivement l’assertion (i). Dire que f est injective, = x ′ alors f (x) = f (x′ ), i.e. que deux c’est dire que pour tous x, x′ ∈ E , si x points distincts dans E sont envoyés par f sur deux points distincts de F . Cela veut dire aussi que f (E ) est comme une copie de E dans F . Une telle copie n’est possible que si F est assez gros, en l’occurrence « plus gros » que E , i.e. si | E | |F |. • L’assertion (iii) vous rappelle certainement un théorème du chapitre « Espaces vectoriels de dimension finie » que nous avons beaucoup aimé car il était très utile et facile à manipuler. De même qu’on avait alors impérativement besoin de la condition « dim E = dim F », on a dans le cas présent besoin de la condition « | E | = |F | ».
2
F E x
f
f (x) Im f
f est injective, Im f est comme une copie de E à l’intérieur de F .
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Démonstration
(i) Supposons f injective de E sur F . Comme f (E ) est une partie de F , f (E ) est fini et f (E ) | F |. Or f est bijective de E sur son image f (E ), donc la finitude de f (E ) implique celle de E et de plus f (E ) = | E |. Finalement : |E | |F |.
(ii) Supposons f surjective de E sur F et donnons-nous ϕ une bijection de 1, |E | sur E . Alors f ◦ ϕ est surjective de 1, |E | sur F par composition, donc nous pouvons nous donner pour tout y ∈ F un antécédent µ(y) de y par f ◦ ϕ dans 1, |E | . Nous héritons ainsi d’une application µ de F dans 1, |E | , injective car pour tous y , y ′ ∈ F tels que µ(y) = µ(y ′ ) : y = f ◦ ϕ µ(y) = f ◦ ϕ µ(y ′ ) = y ′ . Aussitôt, d’après (i), F est fini et | F | |E |.
(iii) Supposons E et F finis de même cardinal. Alors bien sûr, si f est bijective, f est injective et surjective. • Supposons f injective. D’après la preuve de (i) : F , donc en fait f (E ) = F , i.e. f est surjective.
f (E ) = | E | = | F |, or f (E ) est une partie de
• Supposons f surjective et reprenons l’application µ construite en (ii) injective de F dans 1, card E . Comme E et F sont supposés finis de même cardinal, nous venons de voir en (iii) que µ est bijective. L’égalité f ◦ ϕ ◦ µ = IdF peut donc s’écrire f = µ −1 ◦ ϕ−1 et ainsi f elle-même est bijective.
Théorème
(Parties finies de
N)
Soit A une partie de
N.
Alors A est finie si et seulement si A est majorée.
= ∅, il existe une et une seule bijection strictement croissante de 1, |A| sur A . Dans ce cas, si de plus A
Explication
A quoi ce théorème sert-il ? Quand on travaille avec une partie finie A de N, on a naturellement envie d’écrire A sous la forme A = a1 , a2 , . . . , an où n = | A| et où a 1 < a2 < . . . < an . Bref, on a bien envie de ranger les éléments de A dans l’ordre croissant. Mais est-ce au moins possible ? Eh bien oui, c’est justement ce que nous dit le théorème. La b ijection strictement croissante dont il parle n’est autre que l’application i −→ a i — dont il s’agit de justifier l’existence — qui classe les éléments de A dans l’ordre croissant.
Démonstration • Supposons A finie non vide et posons n = | A|. La seule et unique bijection strictement croissante ϕ de 1, n sur A est définie récursivement pour tout k ∈ 1, n par : ϕ(k) = min A \ ϕ(1), ϕ(2), . . . , ϕ(k − 1) .
∅
par convention si k=1
Son existence et son unicité se montrent sans difficulté majeure par analyse-synthèse.
• Si A est finie, de deux choses l’une : ou bien A est vide, donc évidemment majorée par tout entier, ou bien A est non vide, donc majorée par ϕ(n). Réciproquement, si A est majorée, disons par M ∈ N , alors A ⊂ 0, M . Or 0, M est fini, donc A aussi.
2
Dénombrement
2.1
Réunion, intersection et différence d’ensembles finis
Théorème (Cardinal de la réunion/intersection/différence de deux ensembles finis) Soient A et B deux ensembles finis. (i) Alors A ∪ B est fini et :
En particulier, si A et B sont disjoints :
(ii) A \ B = | A| − A ∩ B .
A ∪ B = | A| + |B | − A ∩ B . A ∪ B = |A| + |B |.
En particulier, si B est une partie de A :
B c = A \ B = | A| − |B |.
Explication
• Pour calculer A ∪ B , on additionne | A| et | B | pour tenir compte des éléments de A et de ceux de B , mais en faisant cela on compte deux fois les éléments de A ∩ B , donc il faut en retrancher le cardinal une fois.
n
• Plus généralement, si A 1 , A2 , . . . , An sont des ensembles finis deux
à deux disjoints :
i=1
3
n
Ai =
i=1
|Ai |.
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Démonstration Posons m = | A| et n = | B |. • Dans le cas où A et B sont disjoints, les figures ci-dessous indiquent sommairement comment on peut construire, à partir d’une bijection α de 1, m sur A et d’une bijection β de 1, n sur B , une nouvelle bijection γ de 1, m + n sur A ∪ B . L’existence d’une telle bijection γ prouve comme voulu que A ∪ B est fini de cardinal m + n = | A| + |B |.
α(1)
1 2
.. .
α
α(2)
.. .
α(1)
1
.. .
α(m)
m
.. .
γ
m
α(m) β (1)
m+1
.. .
β (1)
1 2
.. .
β
β (2)
.. .
m+n
.. .
β (n)
β (n)
n
• Démontrons (ii). Comme parties de A , A \ B et A ∩ B sont des ensembles finis disjoints. Or par ailleurs A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), donc : |A| = (A \ B) ∪ (A ∩ B) = A \ B + A ∩ B .
• Finissons-en avec le cas général de l’assertion (i). En tant que partie de A , A \ B est un ensemble fini, mais par ailleurs A ∪ B = A \ B ∪ B avec A \ B et B disjoints, donc A ∪ B est fini et A ∪ B = A \ B + |B |. Finalement, d’après (ii) : A ∪ B = | A| + |B | − A ∩ B .
2.2
Produit cartésien d’ensembles finis
Théorème
(Cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis) Soient E et F deux ensembles finis.
Alors E × F est fini et :
E × F = | E | × |F |.
n
Explication
Plus généralement, si E 1 , E 2, . . . , En sont des ensembles finis :
En particulier, si E est un ensemble fini et si k ∈ N ∗ :
n
E k = | E |k .
|E i |.
E i =
i=1
i=1
Démonstration Se donner deux bijections conformes à la définition de la finitude de E et F , c’est au fond simplement numéroter les éléments de E et F : E = e1 , e2 , . . . , em et F = f 1 , f 2 , . . . , fn avec m = | E | et n = |F |. Dans ces conditions :
E × F = (ei , f j )
1im, 1j n
Pour tout i ∈ 1, m , posons alors A i = ei × F = (ei , f j )
1j n
.
, partie de E × F de cardinal | F | via la bijection
f −→ (ei , f ) de F sur A i . Enfin, remarquons que E × F est la réunion disjointe des ensembles A 1 , A2 , . . . , Am .
m
Il en résulte que E × F est fini de cardinal :
E × F =
m
|Ai | =
Ai =
i=1
m
i=1
|F | = m × |F | = |E | × |F |.
i=1
Ce résultat est souvent utilisé en théorie des probabilités ou lorsqu’on fait du dénombrement. On Explication introduit alors souvent le vocabulaire suivant : si E est un ensemble fini et si p ∈ N ∗ , on appelle p -liste de E ( p-uplet de E ) toute famille de p éléments de E , c’est-à-dire tout élément de E p . On rappelle ci-après deux propriétés fondamentales des listes. – Dans une liste l’ordre des éléments compte, car une liste n’est jamais qu’une famille — et non pas un ensemble. Par exemple, (1, 2, 3) et (2, 1, 3) sont deux 3 -listes distinctes de l’ensemble 1, 2, 3, 4, 5 .
– Un même élément peut figurer plusieurs fois dans une liste. Par exemple, (1, 1, 2, 3) est une 4 -liste de l’ensemble Les listes servent souvent à modéliser des tirages successifs avec
remise dans
une urne, un jeu de cartes.. .
1, 2, 3 .
Le théorème précédent montre en particulier que tout ensemble fini de cardinal n possède n p p-listes distinctes. Par exemple, le nombre de façons de tirer 5 cartes successivement avec remise dans un jeu de 52 cartes est 52 5 .
4
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2.3
Applications entre ensembles finis (Nombre d’applications entre deux ensembles finis) Soient E et F deux ensembles finis.
Théorème
Alors l’ensemble F E des applications de E dans F est fini et :
Démonstration
F E = | F ||E| .
On pose n = | E |. Il existe alors une bijection ϕ de 1, n sur E . Idée de la preuve :
– F n est l’ensemble des applications de 1, n dans F et F E l’ensemble des applications de E dans F .
– Or il y a, via ϕ , le même nombre d’éléments dans E et dans 1, n . – Par conséquent F n et F E ont le même nombre d’éléments :
F E = F n = | F |n = |F ||E | .
Les définitions suivantes ont déjà été données dans les chapitres « Introduction aux structures algébriques » et « Déterminants ». Définition
(Permutation, groupe symétrique) Soit E un ensemble fini non vide.
• Une bijection de E sur E est souvent appelée une permutation de E . • L’ensemble des permutations de E est appelé le groupe symétrique de E et noté S E — ou plutôt S n dans le cas où E = 1, n pour un certain n ∈ N ∗.
Théorème
(Nombre de permutations d’un ensemble fini) Soient E un ensemble fini non vide.
Alors S E est fini et :
S E = | E | ! .
Explication
On peut expliquer ce résultat simplement en agitant les mains. Ce qu’il faut commencer par comprendre, c’est qu’une permutation de E — qui est fini — n’est en réalité jamais qu’une injection de E dans E . En effet, injectivité et bijectivité coïncident quand les ensembles de départ et d’arrivée sont de même cardinal (fini). Du coup, construire une permutation de E = x1 , x2 , . . . , xn revient à construire une injection de E dans E . Or comment construit-on une injection de E dans E ? On commence par associer à x 1 un élément f (x1 ) de E dont le choix est indifférent — n possibilités. Ensuite on associe à x 2 un f (x2 ) qu’il faut choisir différent de f (x1 ) si on veut l’injectivité de f — n − 1 possibilités. Vient ensuite un f (x3 ) différent de f (x1 ) et f (x2 ), etc. A la fin, on n’a plus qu’un seul choix pour f (xn ) car tous les éléments de E ont été appelés une fois, sauf un. Combien avons-nous eu de possibilités pour construire f ? Facile :
n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 2 × 1 = n!.
2.4
Parties d’un ensemble fini
Définition (Combinaison d’un ensemble fini) Soient E un ensemble fini et p ∈ (ou combinaison de p éléments de E ) toute partie de E de cardinal p .
N.
On appelle p-combinaison de E
Explication
• De toute évidence, il n’existe de p -combinaison d’un ensemble à n éléments que si p n. • Dans une combinaison, qui est un ensemble et non une famille, les éléments sont donnés sans ordre aucun. Quand on décide de numéroter les éléments d’une combinaison, le choix de la numérotation est totalement arbitraire, la combinaison en tant que telle n’a pas un premier élément, un deuxième élément, etc.
Rappelons que par définition, pour tous n, p ∈ N ,
n n! vaut 0 si p > n et si p n. p p!(n − p)!
5
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(Nombre de combinaison d’un ensemble fini) Soient E un ensemble fini de cardinal n et p ∈ n p -combinaisons distinctes de E . Il existe alors p Théorème
N.
Pour la clarté de l’exposition, nous nous contenterons d’une preuve avec les mains. Nous n pouvons bien sûr supposer p n car si p > n, il existe en effet = 0 p -combinaisons distinctes de E . p Démonstration
• On appelle p-arrangement de E toute p-liste de E dont les éléments sont distincts. Une p-liste n’étant au fond qu’une famille de p éléments de E , c’est-à-dire qu’une application de 1, p dans E , un p -arrangement de E n’est donc jamais qu’une application injective de 1, p dans E . Comptons le nombre des p -arrangements de E . Construire un p -arrangement de E , c’est tout d’abord remplir la première position du p-arrangement en y mettant un élément quelconque x 1 de E , et ceci peut être fait de n façons. C’est ensuite placer un x2 en deuxième position, lequel ne peut être égal à x1 par définition d’un p-arrangement — n − 1 possibilités. On continue ainsi jusqu’à n’avoir plus qu’au pème élément, à choisir parmi les n − ( p − 1) éléments de E non encore sélectionnés. Au final, nous avons pu construire n! n × (n − 1) × . . . × (n − p + 1) = p-arrangements distincts. Ce nombre est généralement noté A pn . (n − p)!
Apn . p! Or un p -arrangement de E n’est rien d’autre qu’une permutation d’une p -combinaison de E . Ainsi, se donner un p-arrangement de E , c’est : 1) choisir une p-combinaison C quelconque de E — Cpn choix possibles — puis 2) ayant fixé une telle p-combinaison C , qui n’est rien de plus qu’une partie de E à p éléments, choisir une façon d’ordonner les éléments de C , i.e. choisir une permutation quelconque de C — p! choix possibles. Bref, le nombre A pn des p -arrangements distincts de E satisfait la formule A pn = Cpn × p!.
• Notons alors C pn le nombre des p -combinaisons distinctes de E . Nous voulons montrer que C pn =
Explication
• Les combinaisons servent souvent, en théorie des probabilités par exemple, à modéliser des tirages simultanés dans une 52 urne, un jeu de cartes. . . Ainsi, le nombre de façons de tirer 5 cartes simultanément dans un jeu de 52 cartes est . 5
• En dénombrant les p-arrangements d’un ensemble à n éléments dans la preuve ci-dessus, notez bien que nous avons dénombré les applications injectives d’un ensemble d’un ensemble fini de cardinal p dans un ensemble fini de cardinal n .
Théorème L’ensemble
(Nombre de parties d’un ensemble fini) Soit E est un ensemble fini. P (E ) des
parties de E est fini et :
P (E )
= 2|E| .
Démonstration Posons n = | E | et notons
P k (E ) l’ensemble
des parties de E de cardinal k pour k ∈ 0, n
n . Evidemment, d’autre part, P (E ) est la réunion k disjointe des ensembles P 0 (E ), P 1 (E ), . . . , P n (E ). Nous en déduisons aussitôt que P (E ) est fini et que :
— nous venons de voir que
P k (E ) est
fini de cardinal
n
P (E )
=
n
P k (E )
k=0
=
k=0
n = k
6
n
k=0
n k n−k 1 1 = (1+1)n = 2n = 2 |E | . k
