ALGEBRE LINEAIRE Cours & Exercices avec Solutions M. KACHKACHI Université Hassan 1er Faculté des Sciences & Techniques de Settat Département de Mathématiques & Informatique
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INTRODUCTION L’algèbre est l’une des branches principales des mathématiques. C’est une discipline systématisant les méthodes de résolution de problèmes mathématiques. Son domaine d’application s’étend des problèmes arithmétiques qui traitent de nombres, à ceux d’origine géométrique. Cet ouvrage s’adresse aux étudiants de première année de l’enseignement supérieur scienti…que. Il est conforme dans l’ensemble au programe d’algèbre. Il intéressera les étudiants travaillant seuls et ceux qui sont suivis par des eneignants. Ce cours d’algèbre linéaire se compose de 10 chapitres. Dans le premier chapitre on rappelle les dé…nitions sur les ensembles, les applications entre ensembles, les groupes, les anneaux et les corps. Dans le chapitre 2 on donne les dé…nitions et les dé…nitions de base des espaces vectoriels ainsi que des exemples d’applications. Le chapitre 3 introduit l’algèbre matriciel ainsi que le calcul du déterminant et la méthode de résolution des systèmes di¤érentiel à l’aide de pivot en se basant sur des exemples d’application. Dans le chapitre 4 on présente les applications des espaces vectoriels et le calcul matriciel à la géométrie pour dé…nir les angles entre les vecteurs, leurs produits scalaires et leurs produits vectoriels. Le chapitre 5 est basé sur les chapitres précédents et dans lequel on développe les applications linéaires en commençant par les dé…nitions classiques jusqu’à leurs applications en géométrie comme les rotations els di¤érents symétries dans le plan. C’est la base du chapitre 6 dans lequel on présente la diagonalisation des endomorphismes et leurs matrices associées. On souligne aussi l’utilité et l’importance de la diagonalisation dans des problèmes physiques et le rôle que joue le passage d’une base quelconque à une base diagonale là où la résolution d’un problème physique devient métrisable. On termine ce chapitre introduire la trigonalisation quand la dimension de l’espace vectoriel varie lors de passage d’une base à une autre. le chapitre 7est consacré à l’algèbre des polynômes pour l’application aux fractions rationnelles dans le chapitre 8. Le chapitre 9 est consacré aux problèmes avec solutions et aux problèmes proposés couvrant l’ensemble des chapitre de cet ouvrage. On termine par donner quelques références qu’on a utilisé pour développer cet ouvrage Je me suis attaché à donner la solution détaillée et parfois, que cela est possible, à indiquer plusieurs méthodes de résolution. Les exercices proposés sont de di¤érents niveaux; du facile aux di¢ cile et même des exercices et problèmes donnés à l’examen sont considérés.. Les problèmes proposés complètent la compréhension et l’application du cours.
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Comme tout travail scienti…que, l’utilisation d’un pareil recueil d’exercices nécessite la plus grande honnêteté intellectuelle, ainsi, il ne doit être fait usage des solutions qu’après une recherche approfondie des problèmes, suivie d’une rédaction minutieuse, a…n de comparer les résultats démontés aux solutions proposées. La plus grande rigueur doit accompagner cette comparaison. La résolution des problèmes de synthèse contenue dans le chapitre 9, nécessite une connaissance préalable de l’ensemble du programme. Dans la plus part de l’ouvrage, la notation indicielle de l’analyse tensorielle comme la sommation d’Einstein, la contraction indicielle est utilisée du moment qu’elle réduise énormément l’écriture des eéquations sous forme des égalités tensorielles.
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Chapitre I: Groupe & Anneaux Chapitre II: Espace Vectoriel Chapitre III: Matrices & Déterminants Chapitre IV: Applications à la Géométrie Chapitre V: Applications Linéaires Chapitre VI: Diagonalisation Chapitre VII: Anneaux de polynômes Chapitre VIII: Fractions Rationnelles & Applications Chapitre IX: Exercices corrigés & Problèmes proposés Chapitre X: Références
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Chapitre I GROUPES & ANNEAUX I.1. LOI DE COMPOSITION INTERNE (LCI) I.1.1. Dé…nition Une loi de composition interne f dans un ensemble E est une application linéaire dé…nie par: f : E E!E (x; y) 7! xf y tel que x f y existe et appartient à E: I.1.2. Exemples - l’addition (+) est une loi de composition interne sur N; Z; Q; R; C - la multipication ( ) est une loi de composition interne sur N; Z; Q; R; C - la soustraction ( ) est une loi de composition interne sur Z; Q; R; C mais pas sur N I.1.3. Propriétés d’une LCI Soit une loi de composition interne sur un ensemble E: 1 = La loi est associative si on a: 8 x; y; z 2 E; (x y) z = x (y z)
2
= La loi
est commutative si 8 x; y 2 E; x y = y x
3
= e est élément neutre de la loi
si on a:
e 2 E et 8 x 2 E; x e = e x = x I.1.4. Exercice d’application Véri…er que les lois (+) et ( ) sont associatives et commutatives sur N; Z; Q; R; C d’élément e neutre 0 et 1 respectivement I.1.5. Proposition L’élément neutre s’il existe est unique 0
En e¤et, soient e, e 2 E deux éléments neutres associés à loi :
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Ainsi, 8 pour 8 pour
x 2 E; x 0 0 x = e :e x 2 E; x x = e: e
e=e x=x 0 0 e=e e =e 0 0 e =e x=x 0 0 e =e e=e
En comparant les deux équations on trouve 0
e=e
I.2. ELEMENT REGULIER & ELEMENT SYMETRISABLES I.2.1. Dé…nitions - Un élément a 2 E est dit régulier pour la loi de composition interne s’il est régulier à gauche: 8 x; y 2 E; (a y = a y) ) (x = y) et à droite: 8 x; y 2 E; (x a = y a) ) (x = y) - Un élément a 2 E est dit symétrisable pour la loi b2 E tel que: a b=b a=e
sil existe un élément
I.2.2. Proposition Si la loi est associative, alors il y a unicité de l’élément symétrique Démonstration Supposons que b et b0 soient deux éléments symétrisables pour la loi d’élément neutre e. Alors on a: a b a b0
= b a=e = b0 a = e
Ainsi (a b0 ) b = (b0 a) b = e c’est-à-dire b
= b0 (a b) = b0 e = b0 6
I. 3. GROUPE I.3.1. Dé…nition Un ensemble G muni d’une loi de composition interne est un groupe s’il véri…e les propriétés suivantes: 1 = est une LCI sur G 2 = est associative sur G 3 = Il existe un élément neutre e 2 E pour 4 = Tout élément de G est symétrisable pour la loi dans G De plus, si la loi est commutative, le groupe (G; ) est dit abélien ou commutatif I.3.2. Exemples (Z; +) ; (Q; +) ; (C; +) ; (Q ; abéliens
) ; (R ;
) ; (C ;
) sont des groupes
I. 4. SOUS-GROUPE 1.4.1. Dé…nition Soit (G; ) un groupe et soit e l’élément neutre pour la loi . Soit x 1 2 G l’élément symétrique d’un élement x 2 G: Soit H une partie du groupe G : H G: Alors, (H; ) est un sous-groupe de (G; ) s’il véri…e les trois propriétés suivantes: 1 = H 6= ? ( H est non vide) 2 = est une LCI sur H
3
= 8 x 2 H; x
1
2 H:
7
I.4.2. Exemples (Z; +) ; (Q; +) ; (2Z; +) (2Z= l’ensemble des entiers pairs) sont des sousgroupes du groupe (R; +) : I.4.3. Proposition Si (H; ) est un sous-groupe du groupe (G; ), alors (H; ) est un groupe I.4.4. Remarque En pratique, pour montrer qu’un ensemble est un groupe, il su¢ t de prouver que c’est un sous-groupe d’un groupe connu pour cette LCI. I. 5. MORPHISME DE GROUPES I.5.1. Dé…nition Soient (G; ) un groupe de neutre e et (H; o) un groupe de neutre f . On appelle morphisme de groupes de G vers H; toute application ':G!H véri…ant la propriété suivante: 8 a; b 2 G; ' (a b) = ' (a) o' (b)
I.5.2. Exemples - La fonction exponentielle exp : (R; +) ! (R ;
)
est un morphismes du groupe (R; +) vers le groupe (R ; a; b exp (a + b)
2 R = exp a
):
exp b 2 R
- L’opération de conjugaison: (C; +) ! (C; +) z 7! z est un morphismes du groupe (C; +) vers le groupe (C; +) : z1 ; z2 z1 + z2
2 C = z1 + z2
8
I.5.3. Propriétés Soit (G; ) un groupe de neutre e pour la loi et soit (H; o) un groupe de neutre f pour la loi o Si ' : G ! H est un morphisme de groupes, alors on a: ' (e) x
= f; 2
G; ' x
1
= [' (x)]
1
I.5.4. Dé…nitions Soit ' : G ! H un morphisme de groupes (avec (H; o) un groupe de neutre f pour la loi o ) et (G; ) un groupe de neutre e pour la loi - On appelle noyau de ' et on note ker ' : ker ' = fx 2 G = ' (x) = f g = n '
1
(ff g) o
- On appelle image de ' et on note im' : im' = fy 2 H = 9 x 2 G; y = ' (x)g = n ' (G) o I.5.5. Caractérisation (x 2 ker ') , (x 2 G et ' (x) = f ) (y 2 im') , (y 2 H et 9 x 2 G; y = ' (x)) Si ' : G ! H est un morphisme de groupes, alors: ' est surjective , (im' = H) ' est injective , (ker ' = feg) Si l’application ' est à la fois injective et surjective, elle est bijective I.5.6. Dé…nitions - Un morphisme de groupe ' du groupe G vers isomorphisme si l’application ' est bijective - L’application ' : (G; ) ! (G; ) est endomorphisme du groupe (G; ) - L’application ' : (G; ) ! (G; )
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le groupe H
est un
I. 6. ANNEAUX I. 6. 1. Structure d’anneaux Soit A un ensemble muni de deux LCI + et . (A; +; ) est un anneau s’il véri…e les propriétés suivantes: - (A; +) est un groupe abélien de neutre 0 noté 0A - la loi ( ) est associative et possède un élément neutre 1 dans A noté 1A - la loi ( ) est distributive sur la loi +, c’est-à-dire 8 a; b 2 A a (b + c) = (a b) + (a c) et (b + c) a = b a + c a L’anneau est commutatif si en plus la loi ( ) est commutative. I. 6. 2. Exemples Z; Q; R; C sont des anneaux commutatifs pour les lois usuelles (+) et ( ) : RN = l0 ensemble des suites a valeurs reelles est un anneau commutatif pour les lois (+) et ( ), de neutre la suite constante nulle pour la loi (+) et de neutre la suite constante 1 pour la loi ( ) : I. 6. 3. Dé…nition Un anneau A est dit intègre s’il est commutatif et s’il véri…e: 8 a; b 2 A; (a
b = 0A ) ) a = 0A ou b = 0A
I.6.4 Exemple les ensembles Z; Q; R; C munis des lois usuelles sont des anneaux intègres. I. 6.5. SOUS-ANNEAUX Soit (A; +; ) un anneau et soit B A: B est sous-anneaux de (A; +; ) si + et sont des LCI sur B et si 1A et 1A appartiennent à B:Dans ce cas B est lui-mëme un anneaux. I.6.6 Exemple (Z; +; ) est sous-anneaux de (Q; +;
)
I. 7. STRUCTURE DE CORPS (IK; +; ) est un corps si (IK; +; ) est un anneau commutatif dans lequel tout élement sauf 0IK , est inversible de sorte que (IK ; +) avec IK = IK f0g, est un groupe commutatif I.7.1 .Exemples (Q; +; ) ; (R; +;
) ; (C; +;
) sont des corps.
I.7.2. Dé…nition Soit L IK avec (IK; +; ) un corps. L est un sous-corps de IK si (L; +; ) est un sous-anneaux de l’anneaux (IK; +; ) et si (L; +; ) est lui-même un corps.
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Chapitre II ESPACE VECTORIEL II.1. STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL On désignera par la suite par IK un corps commutatif quelconque. II.1.1.Dé…nition Un espace vectoriel E sur IK ( et on écrit que E est un IK ev) est un groupe additif muni d’un produit externe Les éléments de E sont appelés vecteurs ( notés ! x ) et ceux de IK sont appelés scalaires ( notés : IK E ! E ! ( ; ! x ) 7! x tel que l’on a: 8 ; 2 IK et 8 ! x; ! y 2E ! ! ( x ) = ( ) x associativite ! ( + )! x = x + ! x ! ! ! ! (x + y) = x + y distributivite a gauche et a droite
II. 1. 2. Scalaires Les scalaires sont des réels ou complexes. Ce sont des éléments du corps R ou C: Les opérations sur les scalaires sont la somme et le produit qui véri…ent les propriétés suivantes: +( + ) +0 + ( ) 1 ( + ) 0 De plus, tout scalaire
= ( + )+ = = + = ( ) = = = + = 0
possède un opposé +(
)=0 11
, tel que
et tout scalaire
1
6= 0 a un inverse
tel que 1
=1
et on a aussi (
)
=
II.1.3. Vecteurs Les vecteurs sont des éléments de Rn : En particulier, ce sont des éléments de R2 (plan) ou ceux de R3 (espace de la mécanique classique). Les opérations sur les vecteurs sont la somme et le produit externe (par un scalaire). Ainsi, pour R2 , on pose: (x; y) + (x0 ; y 0 ) (x; y)
= =
(x + x0 ; y + y 0 ) ( x; y)
! Le vecteur nul (0; 0) est noté 0 II.2. BASE D’UN ESPACE VECTORIEL II.2.1. Famille libre, famille liée Dans la suite, E désigne un R espace vectoriel II.2.1.1. Dé…nitions Dé…nition 1: une famille (! e 1; ! e 2 ; :::; ! e n ) de vecteurs de E est libre si: 8(
1;
2 ; :::;
n)
2 Rn ;
n X i=1
i
! ei=0)
1
= ::: =
n
=0
On dit aussi que les n vecteurs (! e i )i=1;:::;n sont linéairement indépendants. Dé…nition 2: Une famille qui n’est pas libre est dite liée. On dit aussi que les n vecteurs sont linéairement dépendants.
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Exemple 1: On considère dans R3 les deux vecteurs ! e 1 = (1; 3; 5) et ! e 2 = (6; 4; 0) 2 Soit ( 1 ; 2 ) 2 R , tel que 1
! e1+
2
! ! e2= 0
Cette équation vectorielle est équivalente aux système d’équations suivant: +6 3 5 1+4 1
= 0 = 0 = 0
2 1 2
dont l’unique solution est la solution triviale 1
=
2
=0
Ainsi, la famille (! e 1 = (1; 3; 5) ; ! e 2 = (6; 4; 0)) est libre. Exemple 2: On considère dans R2 la famille (! e 1 = (1; 2) ; ! e 2 = (3; 4) ; ! e 3 = (5; 6) ) 3 Soit ( 1 ; 2 ; 3 ) 2 R ; tel que 1
! e1+
2
! e2+
3
! ! e3= 0
Le système di¤érentiel équivalent s’écrit: 1
2
1
+3 +4
2 2
+5 +6
3 3
=0 =0
,
= 3 = 2 3
1 2
Ce système admet au moins une solution non triviale, ce qui donne: 3
! e1
2
3
! e2+
3
! e3
! ! 0 , 3 (! e 1 2! e2+! e 3) = 0 ! , (! e 1 2! e2+! e 3 ) = 0 avec 3 6= 0 =
Cette dérnière est une relation de dépendance linéaire et par conséquent la famille (! e 1; ! e 2; ! e 3 ) est liée. II.2.1.2. Propriétés ) Toute famille contenant le vecteur nul est liée ) La famille (! e 1; ! e 2 ; :::; ! e n ) est liée si et seulement si l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres ) Toute famille contenant une famille liée est liée ) Toute sous-famille d’une famille libre est libre.
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II.2.2. Famille génératrice, base d’un espace vectoriel II.2.2.1. Famille génératrice Soient ! e 1; ! e 2 ; :::; ! e n des vecteurs d’un espace vectoriel E. Alors l’ensemble F des combinaisons linéaires de ces vecteurs est engendré par ces vecteurs et on le note F = vect (! e 1; ! e 2 ; :::; ! e n)
Dé…nition 3 La famille (! e 1; ! e 2 ; :::; ! e n ) est une famille génératrice de l’espace vectoriel ! E si E = vect ( e 1 ; ! e 2 ; :::; ! e n ). Cela signi…e que tout vecteur de E peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs ! e 1; ! e 2 ; :::; ! e n: ! Ainsi, si v 2 E, alors 9 (
1;
2 ; :::;
! n n) 2 R = v =
n X
i
! ei
i=1
Cette écriture est une décomposition du vecteur ! v dans la famille (! e 1; ! e 2 ; :::; ! e n) Exemple 3 On considère dans R2 les vecteurs suivants: ! u = (1; 1) ; ! v = (1; 0) ; ! w = (0; 1) Véri…ons que la famille (! u = (1; 1) ; ! v = (1; 0) ; ! w = (0; 1)) engendre R2 : ! Soit le vecteur X = (x; y) 2 R2 , on cherche s’il existe ( 1 ; 2 ; 3 ) 2 R3 tel que ! X = 1! u + 2! v + 3! w Cette égalité vectorielle implique, en termes de composantes, les relations suivantes: 2 3
= x 1 = y+
1
On obtient donc ! X =
1
! u + (x
1)
! v +( y+
1)
! w;
Ainsi, la famille (! u;! v; ! w ) est bien génératrice de R2
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1
2R
II.2.2.2. Base d’un espace vectoriel Dé…nition 4 Une base d’un espace vectoriel E est une famille libre et génératrice de E: Exemple 4 Reprenons l’exemple précédent. Soient ! u = (1; 1) ; ! v = (1; 0) ; ! w = (0; 1) ! ! ! On a vu que la famille ( u ; v ; w ) est génératrice de R2 mais on constate que ! u +! w =! v ! Donc la famille est liée et par conséquent ( u ; ! v; ! w ) n’est pas une base de R2 : Exemple 5 Soit F le sous-ensemble de R3 dé…ni par: F = (x; y; z) 2 R3 =x =
F
=
2y + z
( 2y + z; y; z) ; (y; z) 2 R2
= y ( 2; 1; 0) + z (1; 0; 1) ; (y; z) 2 R2 = vect (( 2; 1; 0) ; (1; 0; 1)) L’ensemble F est le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs ! u = ( 2; 1; 0) et ! v = (1; 0; 1). De plus, ces vecteurs forment une famille libre. Donc (! u; ! v ) est une base de F . II. 2.3. Base canonique La base canonique de R2 est dé…nie par: ! e 1 = (1; 0) ; ! e 2 = (0; 1) Ainsi, tout vecteur ! u =(x; y) 2 R2 peut s’écrire sous la forme ! u = x! e 1 + y! e2 u dans cette base. Les scalaires x; y sont les composantes du vecteur ! Idem pour R3 qui a pour base canonique: ! e 1 = (1; 0; 0) ; ! e 2 = (0; 1; 0) ; ! e 3 = (0; 0; 1)
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Exercice En utilisant ce qui précède, montrer que si
! ! 6= 0 et ! u = 0 alors ! u = 0:
II. 2. 4. Combinaisons linéaires On dit qu’un vecteur ! v est combinaison linéaire des vecteurs ! u 1; ! u 2 ; :::! un s’il existe des scalaires 1 ; 2 , ..., n tels que ! v =
n X
i!
ui
i=1
II. 2.4. 1. Exemple Le vecteur
! w = a! e 1 + b! e 2 + c! e3
est combinaison linéaire des vecteurs ! u =! e1+! e2+! e3 et
! v = 2! e 1 + 3! e 2 + 4! e3
s’il existe deux scalaires
et
tel que ! w = ! u + ! v
c’est-à-dire, le système linéaire suivant a 8 < +2 +3 : +4 la solution est donnée par:
au moins une solution: 9 =a = =b ; =c
= b a = c b = 2a c C’est la cas pour le vecteur ! w = 2! e1+! e 2 + 0! e 3 = (2; 1; 0) mais pas pour
! w = (1; 0; 0) :
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II. 4. 2. 2. Remarques ! Le vecteur nul 0 est toujours combinaison linéaire des vecteurs ! u 1 ; :::; ! u n: 1 n Il su¢ t de poser = ::: = 0: On dit que le système de vecteurs ! u 1 ; :::; ! u n est lié, ou que les vecteurs sont linéairement dépendants, s’il existe une relation linéaire non triviale entre les vecteurs c’est-à-dire, s’il existe des scalaires 1 ; :::; n non tous nuls tels que l’on a: ! 1! u 1 + ::: n ! un = 0 Dans le cas contraire, on dit que le système est libre ou que les vecteurs (! u)
i i=1; :::; n
sont linéairements indépendants.
II.4.2.3. Théorème Un système de k + 1 vecteurs de Rk est toujours lié. II. 5. Sous-espace vectoriel II.5.1. Dé…nition Un sous -espace vectoriel E de Rk est un sous-ensemble de Rk qui contient le vecteur nul et qui est clos par les opérations sur les vecteurs. Autrement dit, si ! u; ! v 2 E; alors ! u +! v 2 E et si ! u 2 E alors ! u 2 E pour tout
Si ! u 1 ; :::; ! u n sont des vecteurs de Rk , l’ensemble E=
1!
u 1 + :::
n!
un =
1
; :::;
2 R:
n
2R
est un sous-espace vectoriel de Rk : C’est le sous-espace vectoriel engendré par ! u 1 ; :::; ! u n: II.5.2.1. Exemple Si ! u et ! v sont deux vecteurs non colinéaires, l’ensemble R! u + R! v =f ! u + ! v = ;
2 Rg
est le plan vectoriel engendré par ! u et ! v . En général, si un espace vectoriel V est engendré par le système libre ! u 1 ; :::; ! u n; on dit que ce système forme une base de V: II.5.2.2. Exemple On peut véri…er que le système (1; 1) ; (1; forme une base de l’espace vectoriel R2 :
1) est libre dans le plan R2 et
II. 6. Théorème (Unicité de la décomposition) Si les vecteurs ! u 1 ; :::; ! u n forment une base d’un espace vectoriel E alors ! tout vecteur v 2 E s’écrit de façon unique sous la forme: ! v =
n X i=1
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i!
ui
II.6.1. Exercice Montrer que toute droite vectoriel de R2 est engendrée par un vecteur de la forme: ! e 1 + a! e 2 ou bien ! e 2 avec (! e 1; ! e 2 ) est la base canonique de R2 : II. 7. Orthogonalité Si U = f! u g est un ensemble de vecteurs de Rk , alors l’ensemble ! ? u ?! v est un sous-espace vectoriel de Rk appelé orthogonal de U : U = v 2 Rk = ! II.7.1. Exemples - Si U = (a; b) 6= (0; 0), alors U ? = (x; y) 2 R2 = ax + by = 0 est une droite de R2 : - Si U = (a; b; c) 6= (0; 0; 0) alors, U ? = (x; y; z) 2 R3 = ax + by + cz = 0
est un plan vectoriel de R3 : Autrement dit: - Dans R2 ; une équation linéaire homogène non nulle dé…nit une droite vectorielle - Dans R3 , une équation linéaire homogène non nulle dé…nit un plan vectoriel.: 8 9 < (x; y; z) 2 R3 = x + 2y + 3z = 0 = ? 2y z; y; z = y; z 2 R f(1; 2; 3)g = : = ; = R! u + R! v avec ! u = ( 2; 1; 0) et
! v = ( 3; 0; 1)
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II.7.2. Propriétés 1. Si E est sous-espace vectoriel de Rk alors, son orthogonal lui est complémentaire: E E ? = Rk et dim E + dim E ? = k 2. Formule des quatre dimensions: Soit E un espace vectoriel de dimension …nie et soient F et G deux sousespace vectoriels de E. Alors dimensions satisfont la formule des quatre dimensions: dim (F + G) = dim (F ) + dim (G) dim (F \ G)
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Chapitre III MATRICES & DETERMINANTS
III.1. Matrices Dans ce chapitre, on dé…nit les matrices et les di¤érentes règles de calcul qui les accompagnent. III.1.1. Généralités III.1.1.1. Dé…nitions On appelle matrice à coe¢ cients réels, tout tableau ayant n lignes et m colonnes de la forme 0 1 a11 a12 ::: a1n B a21 a22 ::: a2n C C ; aij 2 R M =B @ ::: ::: ::: ::: A am1 am2 ::: amn
Une telle matrice est dite matrice de m 1 lignes et de n 1 colonnes. L’ensemble des matrices de m lignes et n colonnes de scalaires de R se note M m;n (R) : III.1.1.2. Exemples A = (a) 2 M 1;1 (R) ; 0
C=
1 2 B = @ 0 A 2 M 3;1 (R) ; 1 0
1 2 6 0 8 2 D=@ 5 0 7 4
2 M 1;4 (R) 1 1 1 A 1
III.1.1.3. Matrice nulle La matrice de M m;n (R) dont tous les éléments sont nuls est appelée matrice nulle de m lignes et n colonnes: 0 1 0 0 ::: 0 B 0 0 ::: 0 C C N =B @ ::: ::: ::: ::: A 0 0 ::: 0 20
III.1.1.4. Matrice colonne C’est une matrice qui une seule colonne et m lignes: 0 1 a1 B a2 C C C=B @ ::: A 2 M m;1 (R) am III.1.1.5. Matrice ligne Une matrice d’une seule ligne et de n colonnes est dite matrice ligne et est de la forme a1 a2 ::: an 2 M 1;n (R) III.1.1.6. Matrice carrée Une matrice M est carrée si le nombre de colonnes; m = n: 0 a11 a12 ::: B a21 a22 ::: M =B @ ::: ::: ::: an1 an2 ::: Exemple La matrice identité
0
1 B 1 B @ 0 4
2 2 6 5
lignes est égal aux nombre de 1 a1n a2n C C ::: A ann
1 5 0 3 0 C C 1 7 A 0 1
III.1.1.7. Matrice diagonale La diagonale d’une matrice carrée est constituée des termes de la forme: aii ; 1 i n Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les éléments en dehors de la diagonale sont nuls:
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Exemples - La matrice identité 0
1 1 0 ::: 0 B 0 1 ::: ::: C C = B @ ::: 0 ::: 0 A 2 M n;n (R) 0 ::: 0 1
In
Ii;j
=
ij
=
i si i = j 0 si i 6= j
I2 =
1 0
0 0
III.1.1.8. Matrice triangulaire Une matrice est dite triangulaire supérieure si tous ses termes en dessous de sa diagonale sont nuls. Une matrice est dite triangulaire inférieure si tous ses termes en dessus de sa diagonale sont nuls. Exemple 0
3 @ 0 0 0 5 @ 1 4
1 4 0 0 4 3
1 2 2 A 6 1 0 0 A 2
III.1.9. Matrice transposée On appelle matrice transposée d’une matrice A ayant m lignes et n colonnes une matrice notée AT ayant n lignes et m colonnes. A 2 M m;n ; A = (aij ) ; 1 AT 2 M n;m ; AT = (aji )
i
m; 1
j
Exemple 0
1 B 0 A=B @ 4 1
1 2 1 C C; 5 A 9
AT =
22
1 2
0 1
4 1 5 9
n
III.1.10. MATRICE SYMETRIQUE III.1.10.1. Dé…nition Une matrice carrée A est dite symétrique si elle est égale à sa transposée: A = AT
III.1.10.2. Exemple 0
5 A=@ 3 2
3 3 0
1 2 0 A 1
III.1.10.3. Trace d’une matrice La trace d’une matrice carrée A qu’on note T r (A) de dimension n est la somme des éléments de sa diagonale: T r (A) =
n X
aii
i=1
Proposition Soient A et B deux matrices carrées de dimension n et c 2 R: On a: T r (cA + B) = cT r (A) + T r (B) T r (AB) = T r (BA)
III. 2. Opérations sur les matrices On peut dé…nir sur les matrices trois opérations: - La somme de deux matrices de même type, - Le produit extérieur d’une matrice par un scalaire - Le produit de deux matrices dont le nombre de lignes de la première est égal au nombre de colonnes de la deuxième III. 2.1. Somme de deux matrices III.2.1.1. Dé…nition Deux matrice de même type lorsqu’elles ont le même de lignes et le même nombre de colonnes. Soient A; B 2 M m;n (R). Alors leur somme est une matrice C = A + B dont les éléments de matrices sont donnés par: Cij = (A + B)ij = Aij + Bij ; 1 i m; 1 j n 23
III. 2.1.2. Exemple 1 1 20 5
2 2
+
4 1
6 0
6 7
=
5 21
7 5
4 5
III. 2.1.3. Proposition 1. Associativité L’addition est associative dans M m;n (R): 8 A; B; C 2 M m;n (R) ; (A + B) + C = A + (B + C) 2. Commutativité 8 A; B; 2 M m;n (R) ; A + B = B + A 3. Elément nul Soit la matrice 0 2 M m;n (R) dont tous les éléments sont nuls, alors 8A 2 M m;n (R) ; A + 0 = 0 + A 4. Opposé Tout élément (toute matrice) de M m;n (R) admet un opposé: 8A 2 M m;n (R) , A 2 M m;n (R) tel que A + ( A) = 0; A = (aij ) , A = ( aij )
III. 2.2. Multiplication externe Soit 2 R un scalaire et soit A 2 M m;n (R) : Par dé…nition, la matrice :A notée aussi A est une matrice dont les éléments sont eux de A pultipliés par : ( A)ij = aij III.2.2.1.Exemple 2
1 20
1 5
2 2
=
24
2 40
2 10
4 4
III.2.2.2. Proposition 1. L’élément unité de R, noté 1R , laisse invariantes les matrices: 8A 2 M m;n (R) ; 1R :A = A (1R :A)ij = (A)ij 2. L’élément nul de R est un élément absorbant:
8A 2 M m;n (R) ; 0R :A = 0 (0R :A)ij = 0 3. La multiplication externe est distributive par rapport à l’addition sur R et sur M m;n (R) : 2
8 ( ; ) ; 8 (A; B) 2 M m;n (R) ; ( + )A = A+ A (A + B) = A+ B ( A) = A Ainsi, l’ensemble M m;n (R) muni de l’addition interne (+) et de la multiplication externe (:) est un espace vectoriel sur R: III.2.3. Produit de matrices On ne peut dé…nir le produit de matrices que lorsqu’elles sont conformes. Deux matrices A et B sont conformes si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B: Les éléments de M m;n (R) et M n;k (R) sont conformes. III.2.3.1. Dé…nition On dé…nit le produit d’une matrice ligne X de n colonnes par une matrice colonne de n lignes comme: 0 1 y1 B y2 C C x1 x2 ::: xn ; Y B X = @ ::: A ; yn XY = x1 y1 + x2 y2 + ::: + xn yn
III.2.3.2. Exemple
1
2
4
0
1 0 @ 4 A = (1 3
0) + ( 2
25
4) + (4
3) = 4
III.2.3.2. Dé…ntion Le produit d’une matrice A 2 M m;n (R) de m lignes et de n colonnes par une matrice B 2 M n;k (R) de n lignes et de k colonnes est une matrice C 2 M m;k (R) de m lignes et de k colonnes: C = AB; cij = (AB)ij
III.2.3.3. Exemple 0
1 @ 1 0
2 2 4
1 0 1 A 5
0
2 @ 3 1
1 0 0 8 2 A=@ 9 3 7
1 9 7 A 7
III.2.3.4. Remarques 1. Le produit de matrices est associatif: A(m;n)
B(n;k)
C(k;p) = A(m;n)
B(n;k)
C(k;p)
2. Une matrice nulle est absorbante, c’est-à-dire, que si O 2 M m;n (R) est une matrice nulle, alors pour toute matrice A 2 M m;n (R) qui lui est conforme on a: O A=O III.2.3.4. Exercices 1. Soit la matrice carrée d’ordre deux M=
1 2
1 2
a) Calculer M 2 et véri…er que M 2 = M avec une constante à déterminer b) Calculer M 3 et M 4 en fonction de M et c) Soit n un entier quelconque. Déduire de b) l’expression de M n en fonction de M; et n: d) Démontrer par récurrence la relation établie sous c) 2. Soit la matrice 1 2 M= 3 5 Déterminer la famille des matrices X telles que le produit M X soit une matrice diagonale.
26
III.3. Déterminant d’une matrice Le concept de déterminant d’une matrice est un outil qui sert essentiellement à étudier l’indépendance linéaire d’un ensemble de vecteurs et à calculer pratiquement l’inverse d’une matrice III.3.1. Déterminant d’ordre 2 III.3.1.1. Dé…nition Soit une matrice carrée d’ordre 2 de la forme a11 a21
A=
a12 a22
C’est une fonction des éléments de cette matrice. Il peut aussi être considéré comme une fonction de ses vecteurs colonnes Le déreminant de A est un nombre et est noté det (A)
a11 a12 a21 a22 = a11 a22 a12 a21 =
III.3.1.2. Exemple det
3 4
1 5
=3
5
4
1 = 11
III.3.2. Déterminant d’ordre 3 III. 3.2.1 Mineur Soit la matrice
0
2 A=@ 5 8
1 4 3 A 3
1 2 7
Le mineur M12 de la matrice A est le déterminant de la matrice obtenue en éliminant la 1ère ligne et la 2ème colonne de A: M12 =
5 8
3 3
= 5:3
3:8 =
9
Le mineur M22 est le déterminant de la matrice obtenue en éliminant la 2ème ligne et la 2 ème colonne de A : 2 8
4 3
= 2:3
27
4:8 =
26
III.3.2.2. Cofacteur Le cofacteur d’une matrice A est dé…ni par la relation i+j
Cij = ( 1)
Mij
Considérons à nouveau la matrice A. Le cofacteur correspondant au mineur M12 = 1+2
C12 = ( 1)
M12 = 9
le cofacteur correspondant au mineur M22 = 2+2
C22 = ( 1)
9 est
M22 =
26 est 26
III. 3.2.3. Expansion par cofacteur-méthode de calcul du déterminant Soit A une matrice carrée et Cij ses cofacteurs. Le déterminant est obtenu en suivant une expansion par cofacteurs comme suit: - choisir une ligne ou une colonne de A (s’il est possible la ligne ou la colonne contenant le plus grand nombre de zéros) - multiplier chacun des éléments aij de la ligne ou (de la colonne) choisie par son cofacteur, Cij , correspondant - faire la somme de ces résultats III.3.2.4. Calcul du déterminant d’une matrice 3x3 Pour une matrice 3 3, le calcul de son déterminant en utilisant une expansion le long de la 1ère ligne serait det A = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 Si l’on choisit de faire une expansion le long de la 2ème colonne, alors le déterminant est donné par: det A = a12 C12 + a22 C22 + a32 C32 Quoique le choix de ligne ou de colonne puisse di¤érer, le résultat du déterminant sera le même quel que soit ce choix.
28
III. 3..2.5. Exemple Calculons le déterminant de la matrice 0 2 1 A=@ 1 0 2 0
1 3 2 A 2
Utilisons le processus de l’expansion par cofacteurs: - Choisissons la première ligne - multiplier chacun des éléments de cette ligne par leurs cofacteurs correspondants: les éléments de la première ligne sont a11 = 2; a12 = 1 et a13 = 3 que l’on multiplie par les cofacteurs correspondants qui sont 0 2 0 2
1+1
M11 = 1
1+2
M12 = ( 1)
1+3
M13 = 1
C11
=
( 1)
C12
=
( 1)
C13
=
( 1)
1 0
= 0; 2 2
= 6;
1 0 =0 2 0
Finalement, on a: det A = a12 C12 + a22 C22 + a32 C32 = 0+6+0=6
III.3.2.6. Exercice Calculer le déterminant des matrices a) 0 1 3 @ 4 1 2 2
b)
0
1 @ 1 0
0 3 6
III.3.3. Déterminant d’ordre n
suivantes: 1 2 3 A 0
1 2 4 A 0
III.3.3.1. Dé…nition Le mineur jAij j de l’élément aij de la matrice A est le déterminant de la matrice Aij , obtenue en supprimant la ième ligne et la jème colonne de A: i+j Le cofacteur Aij de l’élément aij de la matrice A est égal à ( 1) fois le mineur de aij : i+j Aij = ( 1) jAij j 29
III.3.3.2. Exemple a11 a21
jA23 j = det
a12 a22
On obtient: 2+3
A23 = ( 1)
jA23 j =
a11 a21
det
a12 a22
III.3.3.3. dé…nition Le développement par rapport à la ième ligne du déterminant de la matrice A est donné par la formule: det (A) =
n X
i+j
( 1)
j=1
aij jAij j ; i étant f ixe
III.3.4. Propriétés du déterminant 1) Si un ligne ( ou une colonne) d’une matrice est multipliée par une constante c, le déterminant est également multiplié par c: 2) La permutation de deux lignes ou de deux colonnes change uniquement le signe du déterminant: 1 2 5 3) Une matrice qui nant nul 0 4 det @ 1 1
3 4 0
7 8 6
1 5 2
=
3 0 4
7 6 8
=
32
a deux lignes ou deux colonnes identiques a un détermi2 2 2
1 1 2 1 A =4 2 1
1 1
3 4
6 8
2 2
1 2 + 1 2
1 =0 1
4) Le déterminant d’une matrice est nul si et seulement si les vecteurs colonnes (respectivement les vecteurs lignes) sont liés: det
=0
En e¤et, la deuxième colonne est le double de la première colonne. 5) Si l’on ajoute à une colonne (respectivement à une ligne) un multiple scalaire d’une autre colonne (respectivement d’une autre ligne) on ne change pas le déterminant. 6) Si A est une matrice carrée alors, det (A) = det AT 7) Soient A et B deux matrices d’ordre n alors, det (AB) = det (A) det (B) 30
8) Le déterminant d’une matrice diagonale d’ordre n est égal au produit des éléments de la diagonale: D
= diag ( n Y det (D) = j
1;
2;
:::;
n)
j=1
9) Le déterminant d’une matrice triangulaire d’ordre n est égal au produit des éléments de sa diagonale. III. 4. Le pivot de Gauss III. 4.1. Principe général Le pivot de Gauss est une méthode qui peut s’appliquer sur des matrices ou sur des systèmes d’équations. Le but de cette méthode est de transformer une matrice ou un système de départ en une matrice ou un système qui soit triangulaire La matrice ou le système obtenus sont dit "équivalent" à la matrice ou le système de départ. III. 4.2. Opérations sur les lignes - On échange la ligne d’indice i avec la ligne d’indice j: Li ! Lj - On multiplie la ligne d’indice i par une constante a 6= 0 : Li ! aLi - On remplace la ligne d’indice i par la somme de la ligne d’indice i multipliée par a 6= 0 et de la ligne d’indice j multipliée par b
31
III. 4.3. Application aux matrices III. 4.3. 1. Déterminer si une matrice est inversible Principe La matrice équivalente obtenue après les opérations du pivot de Gauss possède les mêmes propriétés d’inversibilité que la matrice de départ. Méthode Pour répondre à la question "la matrice A est-elle inversible?" on commence par appliquer les opérations du pivot de Gauss à la matrice A pour la transformer en une matrice triangulaire B: s’il n’y a pas de 0 sur la diagonale de B alors B est inversible et donc A est inversible. S’il y a un ou plusieurs alors B n’est pas inversible et donc A n’est pas inversible. Exemple 1 Cherchons si la matrice 0
2 A=@ 3 1
est inversible. 0 0
2 @ 0 0
2 @ 3 1 7 3 3
7 9 5
1 3 4 A 3
1 7 3 L ! 3L1 2L2 9 4 A 2 L3 ! 2L3 L1 5 3 ! 1 0 1 2 7 3 3 1 A L3 ! L3 L2 @ 0 3 1 A ! 0 0 2 3
La matrice A est équivalente à une matrice triangulaire sans 0 sur la diagonale donc A est inversible Remarques - Si on trouve une matrice B qui véri…e A
B=I
alors on peut immédiatement dire que A est inversible et que A
1
=B
- Si les lignes de A sont liées ou si une ligne ne contient que des zéros, alors A n’est pas inversible. C’est possible aussi avec les colonnes. - Les valeurs de la constante pour lesquelles la matrice A I n’est pas inversible sont les valeurs pour lesquelles l’un des termes de la diagonale de la dérnière matrice du pivot de Gauss s’annule
32
Exemple 2 Soit la matrice
0
déterminer les valeurs de
A
I
2 @ 2 1
pour lesquelles la matrice A
0
= @ L1
L2
L3
1 1 2 A 2
2 1 2
2
2 2 1
0
! L3 @ ! 0
! 2L1 + L2 @ !
2
2 1 2
2 1
2
2
1 0
2 3
2
2
0
1 ! L3 + (2 + ) L1 @ 0 ! 0 0 1 L3 ! L3 2L2 @ 0 ! 0
1
1 2
1
2 3 6 2 2 3 0
I n’est pas inversible:
A
2 2 1
2 6 2 1
1 A
1 A
1 2 A 6 2 2 (2 + ) + 1 1 2 2 (3 + ) A 2 +9
Plusieurs cas se présentent: - si 3 = 0 , = 3 alors A I est équivalente à une matrice triangulaire possédant un zéro sur sa diagonale donc A I n’est pas inversible. 2 - Si + 9 = 0 , = 3 ou = 3 alors A I est équivalente à une matrice triangulaire possédant un zéro sur sa diagonale donc A I n’est pas inversible. - Sinon A I est équivalente à une matrice triangulaire sans zéro sur sa diagonale donc A I est inversible.
33
III. 4.3.2. Calcul de l’inverse d’une matrice Principe Lorsqu’une matrice est inversible, grâce aux opérations de pivot de Gauss on peut la transformer en la matrice identité. Si on applique exactement les mêmes opérations à la matrice identité, on obtient la matrice A 1 : Méthode On commence par écrire côte à côte la matrice A et la matrice identité. A l’aide des opérations sur les lignes il faut transformer la matrice A en la matrice identité. A chaque étape de la transformation de A il faudra e¤ectuer les opérations sur les lignes aussi sur la matrice identité qu’on a écrit à côté. A la …n, la matrice qu’on aura à côté de la matrice identité est la matrice A 1 : Exemple Soit la matrice 0
2 A=@ 3 1
1 3 4 A 3
7 9 5
#
0
1 @ 3 2
0
6 @ 0 0
0
6 @ 0 0
5 9 7 #
0 6 0
1 I=@ 0 0 L1
1 3 4 A 3
0
0 1 0
3L1
L2
L3
2L1
1 7 5 A 1
0
5 1 1
L1 + 7L3
L2 L2 5L3 1 0 0 14 12 0 A @ 10 6 1 2 1 1 L1 6 1 L2 6
L2 34
1 0 0 A 1
1 1 0 A 0
L3
0 @ 0 2
# L1
0 1 0
! L3
0 @ 0 1
L2
# L1 0 6 0
0
1 9 3 A 1
1 2 2 A 1
0 On a donc
1 @ 0 0
1 0 0 A 1
0 1 0
1
A
0
= @
0 @
7 3 5 3
2 1 1
2 1 1
1 3 1 3
2
7 3 5 3
2
1
c’est-à-dire, on peut véri…er que
A:A
1
1 3 1 3
1 1
1 A
A
=I
III. 4. 4. Application aux systèmes di¤érentiel III. 4.4. 1. Systèmes di¤érentiel sans paramètre Pour résoudre un systèmed’équations sans paramètre il existe deux grandes méthodes: la méthode par substitution et le pivot de Gauss. Voici un exemple de résolution par le pivot de Gauss Exemple Résolvons le système suivant: 8 9 < 4x + 2y z = 5 = 2x + y + 2z = 5 : ; x + 2y + 4z = 0 L1
L3
8 <
9 x + 2y + 4z = 0 = 2x + y + 2z = 5 : ; 4x + 2y z = 5
8 < :
8 < :
L2
2L1 + L2
L3
L3 + 4L1
9 x + 2y + 4z = 0 = 5y + 10z = 5 ; 10y + 15z = 5 1 L2 5
L2
L3
2L2
L3
9 x + 2y + 4z = 0 = y + 2z = 1 ; 5z = 15 35
8 9 < x= 2 = y=5 , : ; z= 3
III. 4.4.2. Systèmes di¤érentiel à paramètre Pour étudier proprement un système à paramètre il est très fortement conseillé d’utiliser le pivot de Gauss qui aide à éviter de faire des opérations du type division par 0 Exemple Etudions le nombre de solutions du système suivant en fonctions des valeurs du paramètre : 8 9 < (2 + ) x + 2y z = 0 = 2x + ( 1) y + 2z = 0 (S) : ; x + 2y + (2 + ) z = 0
Première étape Il fau mettre le système sous forme triangulaire en s’assurant bien de ne pas faire des opérations interdites. Par exemple il est interdit dans la première étape d’e¤ectuer l’opération L2 (2 + ) L2 2L1 car on ne peut pas remplacer L2 par une combinaison linéaire où nous ne sommes pas sûr que le coe¢ cient devant L2 est non nul.
9 8 < (2 + ) x + 2y z = 0 = 2x + ( 1) y + 2z = 0 L ; 1 : x + 2y + (2 + ) z = 0 L2 L3 8 <
8 <
9 x + 2y + (2 + ) z = 0 = 2x + ( 1) y + 2z = 0 ! L3 ! : ; (2 + ) x + 2y z = 0
9 x + 2y + (2 + ) z = 0 = 2L1 + L2 ( + 3) y + 2 ( + 3) z = 0 L3 + (2 + ) L1 : ; 2 ( + 3) y + 2 + 4 + 3 z = 0 ! 8 <
9 x + 2y + (2 + ) z = 0 = ( + 3) y + 2 ( + 3) z = 0 L : ; 3 2 ( + 3) y + 2 + 4 + 3 z = 0
36
L3
8 <
9 x + 2y + (2 + ) z = 0 = ( + 3) y + 2 ( + 3) z = 0 2L2 !: ; 2 9 z=0
Deuxème étape On résout le système en faisant bien attention aux di¤érents cas: - Si 2 9 6= 0 ( 6= 3 et 6= 3 ) alors on a: 8 9 < x + 2y = 0 = ( + 3) y = 0 (S) : ; z=0 ,x=y=z=0
(S) ()
8 < :
9 x + 2y + 5z = 0 = 6y + 12z = 0 ; 0=0
Donc l’ensemble des solutions du système est S = f(0; 0; 0)g - Si = 3; alors on a
(S) ()
8 < :
9 x + 2y + 5z = 0 = 6y + 12z = 0 , ; 0=0
x=z y = 2z
Donc l’ensemble des solutions du système est S = f(z; 2z; z) = z 2 Rg -Si = 3; alors on a
(S) ()
8 < :
9 x + 2y z = 0 = 0=0 , fz = ; 0=0
x + 2yg
Donc l’ensemble des solutions est S = (x; y; x + 2y) = (x; y) 2 R2
37
Chapitre IV APPLICATION A LA GEOMETRIE IV. 1. Produit scalaire IV.1.1. Dé…nition Soient ! u 1 = (x; y), ! u 2 = (x0 ; y 0 ) deux vecteurs de R2 : Le produit scalaire de ! u 1 avec ! u 2 = (x0 ; y 0 ) est donné par: ! u1 ! u 2 = xx0 + yy 0 C’est un scalaire qui véri…e les propriétés suivantes: 8! u; ! v; (! u +! v) ! 0 ! ( u) ! u
! w 2 ! w = ! u = ! v = ! v =
R2 ; 2 R ! u ! w +! v ! w 0 (! u ! v) ! ! v u
De même pour les vecteurs ! u = (x; y; z) et ! w = (x0 ; y 0 ; z 0 ) de R3 : ! u ! w = xx0 + yy 0 + zz 0 Dans la base canonique (! e 1; ! e 2 ) les vecteurs ! u1 ! et u 2
=
(x; y)
=
(x0 ; y 0 )
x1 ; x2 = x1 ! e 1 + x2 ! e2 10 20 10 ! x ; x = x e + x20 ! e 1
2
Ainsi, leur produit scalaire se réécrit: ! u1 ! u2
= x1 x10 + x2 x20 = x1 ! e + x2 ! e 1
2
0 x1 ! e 1 + x20 ! e2
Alors on en déduit les propriétés d’orthonormalité de la base canonique: ! ei ! ej
=
ij
= 1 si i = j = 0 si i = 6 j
38
IV.1.2. Exemple Le produit scalaire de ! u = (1; 2)= ! e1 2! e 2 et ! v = (0; 3) = 3! e2 est donné par: ! u ! v = 6 ! ! On dit que les vecteurs u et v sont orthogonaux et on écrit: ! u ?! v si
! u ! v =0
IV.1.3. Remarque ! e1?! e2 et
! 8! u 2 Rn ; 0 ? ! u
IV.1.4. Exercice Etant donné
! ! u 1 = x1 ; x2 6= 0 ! construire le vecteur ! v 6= 0 tel que ! u ?! v: IV. 2. Déterminant dans R2
IV.2.1. dé…nition 0 Soient deux vecteurs ! u 1 = x1 ! e 1 + x2 ! e 2 et ! u 2 = x1 ! e 1 + x20 ! e 2 de R2 : ! ! Le déterminant de u 1 et u 2 est dé…ni par: det (! u 1; ! u 2) =
x1 x10 x2 x20
= x1 x20
x2 x10
Le déterminant véri…e les identités suivantes: det (! u +! v; ! w ) = det (! u; ! w ) + (! v; ! w) det
! ! 0; u =0
det ( ! u; ! v )=
det (! u; ! v)
det (! u; ! u)= 0
39
det (! u; ! v )=
det (! v; ! u)
IV.2.2. Remarque Cette dérnière relation montre que le déterminant est antisymétrique IV. 3. Produit vectoriel IV.3.1. dé…nition Soient deux vecteurs de R3 donnés par ! u = xi ! e i et ! u 0 = xi0 ! e i. Leur produit vectoriel est dé…nie par: ! ek u ^! u 0 =2ijk xi xj0 ! avec 2 2 2
ijk ijk ijk
= 0 si i = j ou j = k = 1 si i j k = 1 pour une permutation de deux indices
IV.3.2. Exemple On peut montrer que pour les vecteurs: 0 ! u 1 = x1 ! e 1 + x2 ! e 2 et ! u 2 = x1 ! e 1 + x20 ! e 2 de R2 on a la relation ! u1^! u 2 = det (! u 1; ! u 2) ! e1^! e2 qui relie le produit vectoriel et le déterminant et qui montre aussi que le produit vectoriel est antisymétrique. IV.3.3. dé…nition Deux vecteurs ! u et ! v de R2 sont colinéaires s’il existe un scalaire que l’on a: ! u = ! v
2 R tel
IV.3.4. Remarque Pour déterminer si un système est lié, on peut utiliser les critères suivants: -! u et ! v de R2 sont colinéaires si det (! u; ! v)=0 ! ! ! ! ! 3 - u et v de R sont colinéaires si u ^ v = 0 ! ! ! ! ! - u , v ; w de R3 sont coplanaires si det ( u ; v ; ! w) = 0 - Pour les vecteurs ! u = (x; y; z) et ! u 0 = (x0 ; y 0 ; z 0 ) le critère de colinéarité s’écrit: x y
x0 y0
=
x x0 z z0 40
=
y z
y0 z0
=0
IV. 4. Norme & Distance D’après la dé…nition du produit scalaire, on peut véri…er que le produit scalaire du vecteur ! u = (x; y) de R2 avec lui-même s’écrit ! u ! u = x2 + y 2 0 IV. 4. 1. Dé…nitions - La norme du vecteur ! u 2 R2 est dé…nie par: p p k! uk= ! u ! u = x2 + y 2
- Un vecteur ! u est appelé vecteur unitaire s’il satisfait la relation k! u k = 1:
- De façon générale, si ! u = x1 ; x2 ; :::xn 2 Rn sa norme est donnée par: v u n uX i ! x kuk=t
2
i=1
IV. 4. 2. Remarque Les vecteurs (! e i )i=1; :::;
n
de la base canonique de Rn sont unitaires:
k! e i k = 1; i = 1; :::; n IV. 4. 3. Propriés de la norme La norme de tout vecteur ! u 2 Rn satisfait les propriétés suivantes: k ! u k = j j k! uk jk! uk
k! v kj
k! u +! vk
k! u k + k! vk
! k! u k = 0 ssi ! u = 0
41
IV. 5. Distance entre deux vecteurs La distance entre ! u et ! v est dé…nie par: d (! u; ! v ) = k! v
! uk
Des propriétés de la norme on en déduit celle de la distance: jd (! u; ! v)
d( ! v; ! w )j
d (! u; ! v ) + d( ! v; ! w)
d (! u; ! v ) = 0 ssi ! u =! v
IV. 6. Projection orthogonale Soit ! v est vecteur non nul. Tout vecteur ! u se décompose de façon unique selon ! v de la manière suivante: ! u = ! u0+ ! u" avec ? ! 0 u 2 R! v et ! u " = f! vg Il su¢ t de poser
! u ! v ! u0 = ! 2 kvk
et
! u"=! u ! u0 u sur Le vecteur ! u 0 (respectivement) ! u " est la projection orthogonale de ! ? ! ! R v (respectivement) sur f v g : ? La distance entre le vecteur ! u et la droite (ou le plan) f! v g est donnée par:
? det ! u ; f! vg = k! u 0k
De même, la distance entre le vecteur ! u et la droite R! v est det (! u ; R! v ) = k! u "k On a donc dans R2 : ? det ! u ; f! vg
det (! u ; R! v)
= =
42
j! u ! vj ! kvk jdet (! u; ! v )j ! kvk
Dans R3 :
k! u ^! vk det (! u ; R! v)= ! kvk
IV. 7. Angle entre deux vecteurs IV. 7. 1. Dé…nition Soient ! u et ! v de R2 non nuls. ! ! L’angle ( u ; v ) entre ! u et ! v est l’unique
2]
;
[ tel que
j! u ! vj cos = ! ! kukk v k sin =
jdet (! u; ! v )j ! k u k k! vk
si ! u et ! v sont deux vecteurs de R3 , l’angle (! u; ! v ) entre ! u et ! v est l’unique 2 [0; ] tel que j! u ! vj cos = ! ! kukk v k k! u ^! vk sin = ! ! kukk v k IV. 7. 2. Remarque On prend 2 [0; ] car, dans R3 il n’y a pas de façon unique pour distinguer les angles et ( ) alors que, dans R2 l’orientation permet de les distinguer. IV. 8. Aire & Volume On note A (! u; ! v ) l’aire du parallélogramme dé…ni par les vecteurs ! u et ! v 2 de R non nuls: A (! u; ! v ) = jdet (! u; ! v )j 3 u et ! v est donné par Dans R l’aire parallélogramme dé…ni par les vecteurs ! A (! u; ! v ) = k! u ^! vk Le volume du parallélépipède formé par les trois vecteurs ! u, ! v; ! w de R3 est dé…ni par V (! u; ! v; ! w ) = jdet (! u; ! v; ! w )j
43
Chapitre V APPLICATIONS LINEAIRES V. 1. Applications linéaires On désignera par la suite E; F; G des IK espaces vectoriels V.1.1. Dé…nition Soit f une application de E dans F ; on dit que f est IK linéaire (ou que c’est un morphisme de IK espaces vectoriels) si f est un morphisme pour les deux lois dé…nies sur E etF , c’est-à-dire si 1:8 ! x; 2: 8
! y 2 E; f (! x +! y ) = f (! x ) + f (! y) ! ! ! x 2 E 8 2 IK; f ( x ) = f ( x )
Vocabulaire - Une application linéaire de E dans lui-même est appelée un endomorphisme de E - Une application linéaire bijective est appelée un isomorphisme d’espaces vectoriels - Un endomorphisme de E bijectif est appelé automorphisme de E V.1.2. Remarques 1. On peut regrouper les deux conditions en une seule: 3: :8 ! x; ! y 2 E; 8
2 IK; f (! x + ! y ) = f (! x ) + f (! y)
2. La condition 1: signi…e que f est un morphisme du groupe (E; +) vers le groupe (F; +): mais ceci ne su…e pas pour que f soit linéaire. Par exemple C z
! C 7 ! z
est un morphisme additif, mais elle n’est pas C-linéaire ( par contre, elle est R-linéaire). V.1.3. Propriétés si l’application f est linéaire: ! ! 0E = 0F ! n n X X i! xi = f
f
i=1
i=1
V.1.4. Exemples 44
i
f (! x i)
a) Homothéties vectorielles L’application ha ! x
: E ! E; 8 a 2 IK 7! ha (! x ) = a! x
est appelée l’homothétie vectorielle de rapport a: Les homothéties sont linéaires et véri…ent les propriétés suivantes: h1 = idE ; ha = a:idE ha hb = hab = hb ha 1 ha est bijective ssi a 6= 0 et (ha ) = h a1 Si E est une droite (donc par exemple si E = IK) les homothéties sont les seules applications linéaires de E dans E: b) Projections vectorielles Les projections sont linéaires et véri…ent les propriétés suivantes: si E = F G, soient p (respectivement q) la projection de base F (respectivement G) et de direction G (respectivement F ) alors: 8 9 !0 < = !0 !0 x 2F :8 ! x ; x 2 E; x = p (! x), ! : x0 ! x 2G ; p p si f si g
= p; p q = h0 ; p + q = h1 = idE = E; p = h1 = idE = E; p = h0
V. 2. Espaces vectoriel d’pplications linéaires L’ensemble des applications linéaires de E dans F : L (E; F ) = f 2 F E = f est lineaire est un espace vectoriel. Par exemple, si comme ci-dessus p et q sont les deux projections associées à la décomposition E = F G; alors 8 ;
2 IK;
p + q est linéaire
L’application s = p q est appelée la symétrie vectorielle de base F et de direction G (ou symétrie par rapport à F et parallélement à G). Elle véri…ent
45
les propriétés suivantes: !0 8! x; x
2
8 < !0 E; x = s (! x), :
9 !0 = ! x + x 2F !0 ! x x 2G ;
s = 2p idE ; s s = h1 = idE (on dit que s est involutive si F = E; s = h1 = idE si G = E; s = h 1 = idE Plus généralement, l’application fa = p + aq est appelée la dilatation (ou a¢ nité) vectorielle de base F; de direction G et de rapport a: V. 3. Composition des applications linéaires La composée de deux applications linéaires est linéaire; plus précisément; si f 2 L (E; F ) et g 2 L (F; G) alors g f 2 L (E; G) La composition des applications dé…nit donc une loi de composition interne dans L (E). Ainsi, (L (E) ; +; ) est un anneau non commutatif et non intègre dès que dim E 2: V.3.1. Exemple Avec la notation des a¢ nités ci-dessus, la composition de deux homothéties est une homothétie: fa fb = fab
V. 4. Noyau et Image d’une application linéaire V.4.1. Noyau d’une application linéaire V.4.1.1. Dé…nition Le noyau d’une application linéaire est l’ensemble des vecteurs de l’ensemble de départ qui ont pour image le vecteur nul de l’espace d’arrivée: n ! o ! Si f 2 L (E; F ) ; ker f = ! x 2 E = f (! x) = 0F =f 1 0F V.4.1.2. Proposition On peut montrer que le noyau d’une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l’espace de départ. Cette proposition est souvent utilisée pour démontrer qu’une partie d’un espace vectoriel est en fait un espace vectoriel. V.4.1.3. Noyau & injectivité Lemme:
46
si f 2 L (E; F ) et ! y 2 F; alors la di¤érence de deux solutions de l’équation d’inconnue ! x 2E: (E) : f (! x) = ! y est un élément du noyau de f: ! est une solution particulière de l’équation (E), alors les autrement, si x 0 ! un élément de ker f ; sous forme autres solutions sont obtenues en ajoutant à x 0 symbolique: ! + ker f f 1 (! y)=x 0
Corrolaire: Si f 2 L (E; F ) et ! y 2 F , alors f a¢ ne de E de direction le noyau de F
1
(! y ) est soit vide soit un sous-espace
Proposition une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit à zéro: n! o f est injective , ker f = 0 E V.4.2. Image d’une application linéaire V.4.2.1. Dé…nition L’image d’une application linéaire est l’ensemble des images des vecteurs de l’espace de départ: Im (f ) = f! y 2F =9! x 2 E = f (! x) = ! y g = f (E) V.4.2.2. Proposition L’image d’une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée. V.4.2.3. Dé…nition Une application linéaire est surjective si et seulement si son image est égale à son espace d’arrivée: f est surjective , Im (f ) = F V.4.2.4. Proposition si B est une base de E alors, Im (f ) = V ect (f (B)) A retenir: Le noyau d’une projection est sa direction et son image est sa base. 47
V.4.3. Isomorphismes V.4.3. 1. Isomorphismes & espaces isomorphes Rappelons qu’un isomorphisme d’espaces vectoriels est une application linéaire bijective. Notons ISOM (E; F ) l’ensemble des isomorphismes de E sur F: Proposition La composée de deux isomorphismes est un isomorphisme, et la réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme: f f
2 ISOM (E; F ) ; g 2 ISOM (F; G) =) g f 2 ISOM (E; G) 2 ISOM (E; F ) =) f 1 2 ISOM (F; E)
Dé…nition Deux espaces vectoriels E et F sont dits isomorphes (notation E existe un isomorphe de E vers F , autrement dit:: E Proposition La relation d’isomorphie toriels.
F ) s’il
F , ISOM (E; F ) 6= ; est une relation d’équivalence entre espaces vec-
Exemple si E = F
G; alors E
F
G
V.4.3. 2. Isomorphismes & dimension Lemme Soit f 2 L (E; F ), B = (! e 1 ; :::; ! e n ) une base de E, alors: f est injective (1) () l’image (f (! e 1 ) ; :::; f (! e n )) de B par l’application f est une famille libre (2) f est injective (3) () l’image (f (! e 1 ) ; :::; f (! e n )) de B par l’application f est une famille génératrice de F (4) f est bijective (donc est un isomorphisme) () l’image (f (! e 1 ) ; :::; f (! e n )) de B par l’application f est une base de F . Théorème Deux espaces vectoriels de dimension …nie sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même dimension. V. 5. Théorème du rang V. 5. 1. Théorème de la restriction 48
La restriction d’une application linéaire à un supplémentaire de son noyau dé…nit un isomorphisme de ce supplémentaire sur son image, autrement dit f 2 L (E; F ) ; E = ker f
G et
G ! Im (f ) x 7! f (x)
alors f1 est bijective, donc c’est un isomorphisme. Remarque On peut aussi dire de façon équivalente que la restriction f0 :
G!F x 7! f (x)
est injective et que Im f0 = Im f Corollaires 1. Un supplémentaire du noyau d’une application linéaire est toujours isomorphe à l’image de cette application linéaire 2. Deux supplémentaires d’un même sous-espace vectoriel sont toujours isomorphes V. 5. 2. Codimension, hyperplans Théorème D’après le corollaire 2) ci-dessus, si un sous-espace vectoriel F de E possède un supplémentaire de dimension …nie, tous les autres supplémentaires ont la même dimension; cette dimension est par dé…nition la codimension de F: Remarque Si l’espace vectoriel E est de dimension …nie, alors: codimF = dim E
dim F
Dé…nition Un hyperplan de E est un sous-espace vectoriel de codimension 1 (autrement dit, un sous-espace vectoriel dont un supplémentaire est une droite) V. 5. 3. Théorème du rang Théorème (application directe du corollaire 1) ci-dessus) La somme des dimensions du noyau et de l’image d’une application linéaire (dont l’espace de départ est de dimension …nie) est égale à la dimension de l’espace de départ: dim ker f + dim Im f = dim E; si dim E Corollaire 3
49
+1
La dimension de l’image d’une application linéaire est inférieure ou égale à la dimension de l’espace de départ V. 5. 4. Rang d’une application linéaire Dé…nition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son image: si f 2 L (E; F ) ; rg (f ) = dim (Im f ) Remarque Le théorème du rang s’appelle ainsi car il peut s’enoncer sous la forme: rg (f ) = codim (ker f ) Propriétés du rang Si dim E = n; dim F = p; alors 1:rg (f )
min (n; p)
2:rg (f ) = n , f est injective 3: rg (f ) = p , f est surjective 4: rg (f ) = n = p , f est bijective V. 6. Automorphismes, Groupe linéaire Rappelons qu’un automorphisme (d’espaces vectoriels) est un endomorphisme bijectif. L’ensemble des automorphismes de l’espace vectoriel E est GL(E); ou parfois AU T (E): Proposition ( diverses caractérisations des automorphismes parmi les endomorphismes): Soit f 2 L(E); alors les 10 conditions suivantes sont des conditions nécessaires et su¢ santes pour que f 2 GL(E) : 1: f est bijective ( 8 ! y 2 E 9! ! x 2E = ! y =f(! x) 2: 9 g 2 L(E) = g f = f
g = idE
3: f est un element inversible de l0 anneau (L(E); +; ) Les 7 conditions suivantes ne sont valables que si E est de dimension …nie. 50
4: l0 image de toute base de E est une base de E 5: L0 image d0 une base donnee de E est une f amille libre 6: f est injective n! o 7: ker f = 0 E
8: f est surjective 9: une matrice de f est inversible 10: det f 6= 0 Propositions - L’ensemble des automorphismes d’un espace vectoriel est un groupe pour la loi de composition des applications linéaires : - C’est un sous-groupe des applications bijectives de E dans lui même qui est noté (BIJ(E); ). - Ce groupe des automorphismes est appelé le groupe lineaire de E (d’où la notation GL(E)): V. 7. Applications linéaires & Matrices carrées V.7.1. Dé…nition - Toute application linéaire est dé…nie par: f : R2 ! R2 (x; y) 7! f (x; y) = (ax + by; cx + dy) - Tout vecteur de R2
! u = x! e 1 + y! e2
est représenté par sa matrice colonne x y
! u =
En particulier, les vecteurs de base canonique sont représentés par les matrices unicolonnes suivantes: ! e1
=
1 0
! e2
=
0 1
- L’application linéaire f est représentée par sa matrice carrée d’ordre 2 (2 2 lignes, 2 colonnes: 51
2):
A=
a b c d
- L’application identique s’exprime par la matrice identité 1! u = ! u 1
=
1 0
0 1
- L’application nulle est représentée par la matrice nulle ! 0! u = 0 0
=
0 0
0 0
Une application f : Rk ! Rk est linéaire si elle véri…e les propriétés suivantes: ! u; ! v 2 f : 1 2 k x ; x ; :::; x 7 ! ! ! f(u + v) = f( ! u) =
Rk ; R k ! Rk f x1 ; x2 ; :::; xk f (! u ) + f (! v) ! f(u)
V.7.2. Remarque On peut véri…er que les images par l’application linéaire f des vecteurs de la base canonique sont données par: f (! e 1 ) = f (1; 0) = (a; c) f (! e 1 ) = f (1; 0) = (b; d)
V.7.3. Proposition L’ensemble des matrices carrées (2
2) est un espace vectoriel de dimension
4 V.7.4. Exercice Véri…er que les quatre matrices formant la base de cet espace vectoriel. sont: 1 0
0 0
;
0 0
1 0
;
0 1
De même, toute application linéaire sur R3 f : R3 ! R3 52
0 0
;
0 0
0 1
est représentée par une matrice carrée d’ordre 3: (3; 3) : 0
a b A=@ d e g h
53
1 c f A i
V. 8. Exemples dans R2 V. 8.1. Homothétie de rapport a 2 R Elle est dé…nie par la relation: f f x1 ; x2
: R2 ! R2 = ax1 ; ax2
Cas particuliers 1 = a = f x ; x = 1
2
1 x1 ; x2
Cette application peut se réécrire sous la forme vectorielle suivante: A! u =I ! u Le vecteur image est parallèle au vecteur d’origine et de même sens que lui. C’est la représentation matricielle de l’application linéaire avec la matrice identité (2 2) donnée par: 1 0 I= 0 1 C’est une matrice carrée qui a deux lignes et deux colonnes. 2 =
ou bien
a = f x1 ; x2 =
1
A! u =
1! u
x1 ; x2
Le vecteur image est parallèle au vecteur d’origine mais de sens contraire. 3 =: a = 0 ! ! Au = 0 Dans ce cas, l’application linéaire est représentée par la matrice nulle (2 0=
0 0
54
0 0
2)
V. 8. 2. a¢ nité orthogonale d’axe ! e 2 et de rapport a 2 R Cas particuliers 1 = a = f x ; x = 1
2
1 x1 ; x2
C’est la symétrie orthogonale d’axe ! e 2 . Sa représentation matricielle s’écrit: 1 0 Soit
0 1
x1 x2
x1 x2
=
! u = x1 ! e 1 + x2 ! e2
Alors,
A! u =
x1 ! e 1 + x2 ! e2 2 = La projection orthogonale sur l’axe ! e 2 est dé…nie par f x1 ; x2 = 0; x2 c’est-à-dire 0 0
0 1
x1 x2
0 x2
=
3 = La projection orthogonale sur l’axe ! e 1 est dé…nie par: f x1 ; x2 = x1 ; 0 10 00
x1 x2
=
x1 0
V. 8. 3. Symétrie orthogonale sur l’axe ! e1+! e2 Elle est dé…nie par f x1 ; x2 = x2 ; x1 01 10
x1 x2
55
=
x2 x1
V. 8. 4. Rotation d’angle Elle est dé…nie par: f x1 ; x2 = x1 cos
x2 sin ; x1 sin + x2 cos
qui peut s’écrire sous forme matricielle comme: R( )! u =! v avec x1 x2
! u = R( )
cos sin
=
sin cos
x1 cos x2 sin 1 x sin + x2 cos
! v = En particulier
1 0
R ( = 0) == I =
0 1
est la matrice identité R
=
2
0 1
=
1 0
et 0
R( = ) =
1 0
1
=
1
V. 8. 4. 1. Groupe des rotations d’angle L’ensemble des rotations d’angle : R ( ) forment un groupe: - La loi du groupe s’exprime par: R(
1
+
2)
= R ( 1) R ( 2)
- L’élément neutre est la rotation d’angle
=0:
R ( = 0) == I - L’élement symétrique est la rotation - : R( )
1
= R(
tel que R( )R( )
56
1
) =1
V. 8. 4. 2. Remarque Le groupe des rotations R ( ) est un groupe abélien puisque l’addition est une loi de composition interne commutative dans R: R ( 1) R ( 2) = R ( 2) R ( 1) En e¤et, à deux dimensions on a: cos ( sin (
R ( 1) R ( 2) =
+ + 1
2)
1
2)
sin ( 1 + 2 ) cos ( 1 + 2 )
V. 9. Opérations sur les matrices La somme et le produit externe sont dé…nis de façon évidente sur les matrices colonnes et les matrices carrées. V. 9. 1. Cas des matrices carrées d’odre 2 a b c d
+
a0 c0
b0 d0
=
a b c d
=
a + a0 c + c0 a c
Distributivité par rapport à l’addition: A + (B + C) = (A + B) + C A+0 = A A+B = B+A (
)A =
( A)
1A = A ( + )A = A + A 0A = 0 (A + B) = A + B 0=0
57
b + b0 d + d0 b d
V. 9. 2. Remarques - La multiplication de deux matrices n’est pas commutative: a0 c0
a b c d
b0 d0
aa0 + bc0 ca0 + dc0
=
ab0 + bd0 cb0 + dd0
- Si A est la matrice de l’application linéaire f : Rk ! Rk et B est la matrice de l’application linéaire g : Rk ! Rk alors, A + B est la matrice de l’application f + g et AB est la matrice de l’application f g: V. 10. Déterminant & inverse V. 10. 1. Dé…nition Le déterminant d’une application linéaire f : R2 ! R2 de matrice A=
a b c d
est dé…ni par: det f
= =
det A det (f (! e 1 ) ; f (! e 2 )) a b = c d = ad bc
Si ! u, ! v 2 R2 on a
det (f (! u ) ; f (! v )) = det f: det (! u; ! v)
Autrement dit, le déterminant det f est le facteur de changement d’aire de f: De même, le déterminant d’une application linéaire f : R3 ! R3 est le facteur de changement de volume de f V. 10. 2. Propriétés du déterminant d’une matrice carrée d’orde k det (AB)
= det (A) det (B) = det (BA) det I = 1
det ( A) =
k
det (A)
On dit qu’une matrice A est inversible s’il existe une matrice A0 telle que AA0
= I = A0 A 58
1
Cette inverse est unique et se note A AA
1
A
: On a donc
= I = A 1
1
1
A
=A
V. 10. 3. Théorème Pour une matrice carrée d’ordre k, les propriétés suivantes sont équivalentes: 1. La matrice A est inversible 2. Les colonnes de A sont linéairement indépendantes 3. Les lignes de A sont linéairement indépendantes 4. Le déterminant de A est non nul Pour la matrice a b A= c d avec det A = ad bc 6= 0 la matrice inverse A
1
=
1 det A
d c
b a
V. 10. 4. Exemple A= A
1
=
1 3
1 2
2 4 4 3
2 1
V. 10. 5. Remarque Si A est la matrice de f , alors A est inversible lorsque f est bijective. Dans ce cas, A 1 est la matrice de bijection f 1 V. 11. Matrices & Systèmes linéaires Si a b A= c d
alors l’équation vectorielle
! u =
x y
! v =
x0 y0
A! u =! v 59
correspond au système linéaire ax + by = x0 cx + dy = y 0 Si la matrice A est inversible, cette équation est équivalente à l’équation vectorielle ! v u = A 1! Autrement dit, on résout le système ci-dessus en inversant la matrice. Cela donne une méthode pour inverser les matrices. V. 11. 1. Exemple Pour inverser la matrice 1 3
A=
2 4
on résout le système = x0 = y0
x + 2y 3x + 4y
Par substitution on obtient la solution x y
2x0 + y 0 1 0 2y
=
3 0 2x
2
=
3 2
x0 y0
1 1 2
Ainsi, on obtient A
1
=
2 3 2
1 1 2
V. 11. 2. Remarque Si la matrice A n’est pas inversible, les équations du système linéaire ne sont pas indépendantes. On peut toujours résoudre le système mais on ne pas exprimer les composantes x et y du vecteur ! u en fonction de x0 et y 0 celles du vecteur image ! v
60
V. 12. Matrices & Changement de base Si les vecteurs
! e 01 = a! e 1 + c! e2
et
! e 02 = b! e 1 + d! e2
forment une base de R2 , c’est-à-dire s’ils sont linéairement indépendants alors tout vecteur ! u = x! e 1 + y! e2 s’écrit de façon unique ! e 01 + y 0 ! e 02 u = x0 ! Le passage d’une décomposition à une autre se fait en utilisant la matrice de passage P de la base (! e 1; ! e 2 ) à la base (! e 01 ; ! e 02 ) et son inverse: x y et
x0 y0
=P
x0 y0
=P
1
x y
avec a b c d
P =
V. 12. 1. Exemple Pour
! e 01 = ! e1+! e2
et
! e 02 =
! e1+! e2
la matrice de passage et son inverse sont données par: 1 1
P =
P
1
=
1 2
1 1 1 1 1 1
Si f est l’application linéaire de matrice A, on peut calculer la matrice e 02 ) à partir de la matrice colonne colonne ! v 0 de f (! u ) dans la base (! e 01 ; ! ! ! 0 u de u dans cette même base: ! v 0 = A0 ! u0
61
o¼ u A0 = P
1
AP
est la matrice de l’application linéaire f dans la base (! e 01 ; ! e 02 ) : 0 Les colonnes de la matrice A sont les matrices colonnes de f (! e 1 ) et f (! e 2) ! 0 !0 dans la base ( e 1 ; e 2 ) : V. 12. 2. Remarque En particulier, A est la matrice de l’application f dans la base canonique (! e 1; ! e 2) : Ainsi, les matrices A et A0 = P 1 AP représentent la même application linéaire f dans deux bases di¤érentes (! e 1; ! e 2 ) et (! e 01 ; ! e 02 ) : V. 12. 3. Dé…nition On dit que les matrices A et A0 = P 1 AP sont semblables. V. 12. 4. exemple Pour les vecteurs images ! e 01 = ! e1+! e2 ! e 02 =
! e1+! e2
et la matrice 01 10
A= sa matrice semblable est donnée par: A0 =
1 0
62
0 1
Chapitre VI DIAGONALISATION VI. 1. Exemples de problèmes Considérons les problèmes suivants: 1 = Calculer M n , où M est une matrice carrée, par exemple: 0 1 8 0 9 1 3 A M =@ 3 6 0 7 2 = Trouver les suites véri…ant les relations suivantes xk+1 yk+1 zk+1
= = =
8xk + 9zk 3xk yk 3zk 6xk 7zk
pour tout k et avec x0 ; y0 ; z0 sont donnés. 3 = Trouver les fonctions véri…ant le système di¤érentiel suivant. dx (t) dt dy (t) dt dz (t) dt
=
8x (t) + 9z (t)
=
3x (t)
y (t)
=
6x (t)
7z (t)
3z (t)
pour tout réel t et avec x (0) ; y (0) ; z (0) donnés. Les problèmes 1 = et 2 = sont équivalents. En e¤et, pour le problème 2 = on peut posr 0 1 xk ! V k = @ yk A 2 R3 zk On a alors la relation de récurrence suivante: ! ! V k+1 = M V k M étant la matrice du problème 1 = : Ainsi, il est d’en déduire par récurrence la relation suivante: ! ! V k = Mk V 0 La di¢ culté de ces problèmes tient au fait que la matrice utilisée n’estpas diagonale. 63
Comparons en e¤et les trois problèmes précédents aux trois problèmes suivants: 1 bis = Calculer Dk où D est une matrice diagonale, par exemple: 0 1 1 0 0 1 0 A D=@ 0 0 0 2 2 bis = Trouver les suites véri…ant les relations suivantes xk+1 yk+1 zk+1
= = =
xk yk 2zk
pour tout k 2 N et avec x0 ; y0 ; z0 donnés. 3 bis = Trouver les fonctions véri…ant le système di¤érentiel suivant: dxk (t) dt dyk (t) dt dzk (t) dt
=
xk
=
yk
=
zk
pour tout réel t 2 R et x0 ; y0 ; z0 donnés. La résolution est immédiate; on a respectivement 0 1 k ( 1) 0 0 Dk = @ 0 ( 1)k 0 A 0 0 2k 8 9 k < xk = ( 1) x0 = k y = ( 1) y0 : k ; zk = 2k z 0
Le principe de la diagonalisation consiste à passer d’une matrice quelconque (et d’un problème général ) à une matrice diagonale (et à un problème simple).
64
VI.2. Vecteurs propres, valeurs propres & sous-espaces propres Dé…nitions - Un endomorphisme u d’un espace vectoriel E est dit diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale. - Une matrice carrée M est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale D. - M est semblable à D s’il existe une matrice P inversible telle que 1
M = P DP
- M et D représente le méme endomorphisme dans des bases di¤érentes. - P est la matrice de passage d’une base à une autre. e 1; ! e 2 ; :::; ! e n ) est la base dans laquelle la matrice de l’endomorphisme Si (! u est diagonale: 1 0 1 0 0 ::: D = @ 0 2 0 ::: A : : n on a u (! e i) = i! ei On est donc amené à s’intéresser aux vecteurs transformés par l’endomorphisme u qui sont des multiples d’eux-mêmes - Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E: ! On appelle vecteur propre V de u tout vecteur non nul de E pour lequel il existe un scalaire tel que ! ! u V = V ! - Le scalaire s’appelle valeur propre relative au vecteur propre V : - On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre le sous-espace E = ! Si V est vecteur propre, En e¤et, si et alors,
n! ! !o V 2E =u V = V est unique. ! ! u V = V ! u V = ! V =
0!
V
0!
V
ce qui implique que = ! puisque le vecteur V est non nul. 65
0
- L’ensemble des valeurs propres d’un endomorphisme u s’appelle le spectre de u et est noté Sp (u) : Dé…nition det (u
XId) = uu (X)
s’appelle polynôme caractéristique de l’endomorphisme u. Ses racines sont les valeurs propres de u. L’ordre de multiplicité de cette valeur propre en tant que racine de ce polynôme s’appelle ordre de multiplicité d’une valeur propre. VI. 3. Méthode pratique Pour diagonaliser une matrice d’un endomorphisme, on procède comme suit: VI. 3. 1. Recherche des valeurs propres On calcule P ( ) = det (M Id) puis on cherche les racines de ce polynôme. Ce sont les valeurs propres. Exemple 1 9 3 A 7
0
8 0 1 M =@ 3 6 0 8 det (M
Id)
0 9
3
=
1 6 0
=
(
3 7 2
2) ( + 1)
Les valeurs propres sont donc 1
=
1 valeur propre double
2
= 2 valeur propre simple
et
66
VI. 3. 2. Recherche des sous-espaces propres Pour chaque valeur propre trouvée, on résout le système ! ! I) V = 0
(M
! L’ensemble des vecteurs V solutions de ce système constitut le sous-espace propre E associé à la valeur propre en question. - le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 = 1 est solution de l’équation vectorielle ! ! (M + I) V = 0 ce qui est équivalent à 9x + 9z 3x 3z 6x 6z
= = =
0 0 0
dont la solution est donnée par: z=
x
Ainsi le vecteur propre associé à 1 = 1 s’écrit: 1 1 0 0 x x ! V = @ y A=@ y A x z 1 0 1 0 0 1 = x@ 0 A + y@ 1 A 0 1
C’est le plan vectoriel engendré par les deux vecteurs 0 1 0 1 1 0 ! v 1 = @ 0 A et ! v2=@ 1 A 1 0
- le sous-espace propre associé à (M
2
= 2 est solution de l’équation
! ! 2I) V = 0
ce qui donne le système
3x
6x + 9z 3y 3z 6x 9z
67
= 0 = 0 = 0
qui a pour solution y
=
z
=
1 x 3 2 x 3
et donc 1 0 1 0 x x ! V = @ y A = @ 13 x A 2 z x 0 1 3 3 x@ 1 A = 3 2
Il s’agit de la droite vectorielle engendrée par le vecteur 1 0 3 ! v3=@ 1 A 2 VI. 3. 3. Recherche d’une base de vecteurs propres Dans chaque sous-espace propre E , on choisit une base. La réunion des vecteurs ainsi obtenus forme un système libre. C’est-à-dire les sous-espaces propres sont en somme directe: X dim (E) = dim (E i ) i
Dans l’exemple précédents, les trois vecteurs propres forment une base. Donc, la matrice M est diagonalisable et elle est semblable à une matrice diagonale: 1 0 1 0 0 1 0 A D=@ 0 0 0 2 La matrice de passage de la base canonique (! e ; ! e ; ! e ) où la matrice 1
2
3
de l’endomorphisme u est la matrice M à la base des vecteurs propres où la matrice de cet endomorphisme est D qui est diagonale est: 0 1 1 0 3 1 A P =@ 0 1 1 0 2
68
Remarque Les colonnes de la matrice P sont formées des composantes des vecteurs propres dans la base canonique. On a donc M = P DP avec 1
P Ainsi,
0
2 =@ 1 1
1
1 3 1 A 1
0 1 1
M k = P Dk P
1
Finalement, les solutions des problèmes précédents sont: - pour le problème 1 = on a: 10 10 0 k ( 1) 0 0 2 0 1 0 3 k A @ 1 1 1 A@ Mk = @ 0 1 0 ( 1) 0 k 1 1 1 0 2 0 0 2 0 1 k+1 k+1 2 ( 1) + 3:2k 0 3: ( 1) + 3: 2k B C k k k = @ ( 1) 2k ( 1) ( 1) 2k A k k ( 1) 2k 0 3 ( 1) 2k+1 On véri…e bien que pour
0; M k=0 = I 1; M k=1 = M
k k
= =
k+1
+ 3:2k
- pour 2 = on a: xk
=
2 ( 1)
yk
=
( 1)
zk
=
2 ( 1)
k
2k k
k+1
+ 3: ( 1) k
+ 3: 2k z0 k
x0 + ( 1) y0 + ( 1)
2k+1
k
x0 + 3 ( 1)
2k+1
! - pour 3 = Soit le vecteur V (t) donné par: 0 1 x (t) ! V (t) = @ y (t) A z (t) alors,
! d V (t) dt
=
()
! M: V (t) 0 1 B @
dx(t) dt dy(t) dt dz(t) dt
69
1 x (t) C A = M @ y (t) A z (t) 0
2k z0 z0
1 3 1 A 1
! d V (t) dt
=
1!
V (t)
Posons
=
!
(t) = DP dt ! DP 1 V (t)
, P d P dt
1
P DP
! W (t) = P
1 dV
1!
V (t)
1!
V (t)
on obtient l’équation vectorielle suivante: ! ! dW (t) = DW (t) dt qui est facile à résoudre. En e¤et, avec 0 1 X (t) ! W (t) = @ Y (t) A Z (t)
on obtient
0 B @
dX(t) dt dY (t) dt dZ(t) dt
1
0 1 C @ 0 A= 0
0 1 0
10 1 0 X (t) 0 A @ Y (t) A 2 Z (t)
d’où le système d’équation di¤érentielles suivantes: dX (t) dt dY (t) dt dZ (t) dt
=
X (t)
=
Y (t)
=
2Z (t)
qui a pour solution
avec
0 1 0 1 X (t) e t X0 ! W (t) = @ Y (t) A = @ e t Y0 A Z (t) e2t Z0 X0 Y0 Z0
= 2:x (0) 3:z (0) = x (0) + y (0) + z (0) = x (0) + z (0) 70
! Finalement, le vecteur V (t) est donné par: ! ! V (t) = P:W (t) c’est-à-dire, 0 1 0 x (t) ! V (t) = @ y (t) A = @ z (t)
1 + 3:e2t :x (0) + 3:e t + 3:e2t :z (0) e t e2t :x (0) + e t :y (0) + e t 2:e2t :z (0) A 2:e t 2:e2t :x (0) + 3:e t 2:e2t :z (0) 2:e
t
VI. 4. Condition de diagonalisation Soit u un endomorphisme sur l’espace vectoriel E: Alors il y a équivalence entre: i= u est diagonalisable ii= l’espace vectoriel E est la somme des sous-espaces vectoriels propres iii= Le polynôme caractéristique est scindé (égal au produit des polynômes de degré 1)et l’ordre de multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension du sous-espace propre correspondant iv= Il existe un polynôme annulateur ( P (u) = 0 ) de l’endomorphisme u scindé à racines simples v= le polynôme (X I) ; qui décrit le spectre de u; est un polynôme annulateur de l’endomorphisme u:
71
VI. 5. Trigonalisation Soit E un espace vectoriel sur le corps IK, de dimension n. Soit u un endomorphisme de E: L’endomorphisme u est triangonalisable s’il existe une base dans laquelle la matrice de l’endomorphisme u est triangulaire. Trigonaliser une matrice consite à réduire celle-ci sous la forme d’une matrice triangulaire supérieure ou inférieure. Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont tous les coe¢ cients situés strictement en dessous de la diagonale sont nuls: 0 1 a1;1 ::: a1;n ::: a2;n A T =@ 0 0 ::: an;n De la même manière, une matrice triangulaire inférieure est une matrice dont tous les coe¢ cients situés strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.
VI. 5. 1. Endomorphismes & matrices trigonalisables Soit M 2 Mn (IK) (l’ensemble des matrices à n lignes et n colonnes à coe¢ cients dans le corps commutatif ). On dit que la matrice M est triangulasable s’ilexiste une matrice inversible P et une matrice T triangulaire supérieure telles que: M = PTP
1
Théorème de trigonalisation de Schur Toute matrice carrée complexe est trigonalisable dans une base orthonormale. Condition de trigonalisation - une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé En particulier, si IK est algébriquement clos, toute matrice de Mn (IK) est trigonalisable. En particulier, si IK = C, toute matrice de Mn (C) est trigonalisable car C est algébriquement clos VI. 5. 2. exemples de trigonalisation - Matrice carrée d’ordre 2 Soit la matrice 1 3 M= 3 2 4 Son polynôme caractéristique est PM (X) = 72
X+
1 2
2
qui a comme unique racine 1 2 qui est donc l’unique valeur propre de la matrice M: L’espace propre associé est donné par: X=
E
1 2
x y
=
x y
2 R2 = M:
2x x
=
1 2
x y
=
=x2R
C’est donc un sous-espace vectoriel de dimension 1 qui a pour base le vecteur 2 1
! e 01 =
On peut alors compléter le vecteur ! e 01 par le vecteur 0 1
! e 02 = de manière à ce que
B 0 = (! e 01 ; ! e 02 )
forme une base de l’espace R2 tout entier. On sait déjà que 1 !0 e M:! e 01 = 2 1 et on a facilement 3 2
M:! e 02 =
=
3 !0 :e 2 1
1 !0 :e 2 2
Ainsi, la matrice M s’écrit dans la base B 0 = (! e 01 ; ! e 02 ) comme T =
1 2
3 2 1 2
0
La matrice P telle que M = PTP
1
est la matrice de passage de la base canonique B = (! e 1; ! e 2 ) à la base ! 0 !0 B = ( e 1; e 2) : Les colonnes de la matrice P sont constituées des composantes des vecteurs de la base B 0 = (! e 01 ; ! e 02 ) dans la base B = (! e 1; ! e 2) : 0
2 1 73
0 1
Pour avoir la matrice P la base B 0 . On a facilement:
1
il su¢ t d’exprimer les vecteurs de la base B dans
1 0 1 !0 e1+ ! e 2 2 2 = ! e 02
! e1 ! e
=
2
- Matrice carrée d’ordre 3 Soit la matrice 0
i N =@ 0 0
1 1 0 A 2 M3 (C) 2
2 i 1
Son polynôme caractéristique est PN (X) = (i
X) (2
X)
Comme dans l’exemple précédent on a après calculs: 0 1 1 ! e 01 = @ 0 A 2 Ei 0 0 1 1 ! e 02 = @ 0 A 2 E2 i 2 et
1 0 ! e 03 = @ 1 A 0 0
pour compléter une base
B 0 = (! e 01 ; ! e 02 ; ! e 03 ) de C3 On remarque que 8 N:! e 03 =
i! 2+i ! :e1+ :e2 5 5
La matrice M dans la base B 0 est donc 0 i 0 85 i T = @ 0 2 2+i 5 0 0 i et l’on a
N = PTP 74
1
1 A
i:! e3
avec P la matrice de passage de la base canonique B = (! e 1; ! e 2; ! e 3 ) à la 0 0 base B est constituée des vecteurs de B exprimés dans la base B : 0 1 1 1 0 0 1 A P =@ 0 0 i 2 0 et
P
1
0
1 =@ 0 0
75
0 0 1
2+i 5 2 i 5
0
1 A
Chapitre VII ANNEAUX DE POLYNOMES Les polynômes et les fractions rationnelles sont très utilisés en Génie Electrique, puisque les fonctions de transfert servant à l’étude des systèmes linéaires sont des fractions rationnelles. VII. 1. Anneaux - On appelle anneau un ensemble A muni de deux lois de composition internes notées + et telles que (A; +) est un groupe commutatif, d’élément neutre 0 et tel que la multiplication est associative: 8 a; b; c 2 A; (ab) c = a (bc) La multiplication est distributive par rapport à la loi + : 8 a; b; c 2 A; (a + b) c = ac + bc; c (a + b) = ca + cb La multiplication possède un élément neutre noté 1A ou 1 : 8 a 2 A; a
1=1
a=a
Si de plus la multiplication est commutative, on dit que A est anneau commutatif VII. 2. Polynômes VII. 2.1. Dé…nition On appelle polynôme tout fonction dé…nie par P (X) = an X n + an
1X
n 1
+ ::: + a1 X + a0
Les nombres an ; an 1 ; :::; a0 sont les coe¢ cients du Polynôme. Ils peuvent être réels ou complexes. Si an 6= 0, l’entier n est appelé degré du Polynôme et on note deg (P ) = n On note IK [X] l’anneau des polynômes à coe¢ cients dans le corps IK = R ou C: VII. 2.2.Exemples 3 X 11
P1 (X)
=
3X 5 + 2X 2
P2 (X)
=
3X 5 + (1 + 2i) X 2 76
p
10
3 X 11
p
10
VII. 3. Divisibilité VII..3.1. Dé…nitions - Soient A; B 2 IK [X] : On dit que B divise A ou que B est un diviseur de A ou que A est un multiple de B s’il existe un polynôme Q 2 IK [X] tel que A = BQ et on écrit: BnA - Si A 2 IK [X], on note AIK [X] l’ensemble des multiples de A:
77
VII. 3. 2. Théoème ( Division euclidienne ) Soient A; B 2 IK [X] avec B 6= 0: Il existe un unique couple (Q; R) de polynômes de IK [X] tel que: A = BQ + R avec deg (R)
deg (B)
On dit que Q est le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B: Remarque Si R = 0 on a par convention deg (R) = Lemme Soit A 2 IK [X] et soit x0 2 IK on a: A (x0 ) = 0 , (X
1:
x0 ) divise A
Demonstration Ecrivons la division euclidienne de A par (X A (X) = (X
x0 ),
x0 ) Q + R
avec deg (R)
deg (X
x0 ) = 1
Donc R est un polynôme constant R = r: Remplaçons X par x0 dans l’équation précédente: A (x0 ) = (x0 A (x0 ) = r
x0 ) Q + R !
Si A (x0 ) = 0 on a r = 0 et donc A (X) = (X Reciproquement, si (X
x0 ) Q
x0 ) divis A alors il existe Q tel que A (X) = (X
x0 ) Q
et donc A (x0 ) = (x0
x0 ) Q (x0 ) = 0
VII. 3.3. Dé…nitions m Soit a 2 IK: Soit P un polynôme. l’ensemble fm 2 N; tel que (X a) n P g admet un plus grand élément, noté m (a) et appelé multiplicité de la racine a de P .
78
VII. 4. Idéal VII. 4.1. Dé…nition - Soit (A; +; ) un anneau. Soit I une partie de A: On dit que I est un idéal de A si et seulement si: (I; +) est un sous-groupe du groupe (A; +) pour tout i2 I; et pour tout a 2 A on a: a:i 2 A et i:a 2 A VII. 4.2. Exemples - nZ est un idéal de Z pour tout n - AIK [X] est un idéal de IK [X] : - Plus généralement si A est un anneau commutatif et si a 2 A; alors aA: l’ensemble des multiples de a est un idéal de A VII. 4.3. Proposition Soit (A; +; ) un anneau commutatif. Soient I et J deux idéaux de A: I \ J est un ideal de A I + J est un ideal de A
VII. 4.4. Dé…nition - Un idéal I d’un un anneau commutatif A, est idéal principal s’il est formé des multiples d’un élément a 2 A; c’est-à-dire si I = aA - Un anneau A est dit principal si tous ses idéaux sont principaux.
79
VII. 4.5. Exemple Z est un idéal principal. En e¤et, si I est un idéal de Z c’est un sous-groupe de (Z; +) donc on a I = n:Z
VII. 4.6. Dé…nition On dit qu’un polynôme est unitaire s’il est non nul et si son coe¢ cient de plus haut degré est égal à 1: VII. 4.7. Proposition L’anneau IK [X] est un anneau principal VII. 5. PGCD de deux polynômes VII. 5.1.Dé…nition Soient A et B deux polynômes de IK [X] : AIK [X] + BIK [X] est un idéal de IK [X] : Donc il existe un D 2 IK [X] unitaire tel que AIK [X] + BIK [X] = DIK [X] : On appelle D le plus grand diviseur commun de A et B et on note D
=
pgcd (A; B) ou D = A ^ B
VII. 5.2. Proposition Soient A et B deux polynômes de IK [X] non tous nuls, alors D = pgcd (A; B) si et seulement si: - le polynôme D divise A et B - si D0 est un diviseur de A et de B alors D0 divise D VII. 5.3. Exemples pgcd 2X + 2; X 2 + 2X + 1 = X + 1 - Si A 2 IK , pour tout polynôme B on a pgcd (A; B) = 1 pgcd (X: (X
1) ; (X
1)) : (X + 2) = X
pgcd (X p ; X q ) = X min(p; 80
q)
1
VII. 5.3. Proposition Soient A, B 2 IK [X] : On a les propriétés suivantes: pgcd (A; B) = pgcd (B; A) - si A 6= 0;
pgcd (A; A) =
1 A a
où désigne le coe¢ cient dominant de A - pour tout a; b 2 IK pgcd (aA; b B) = pgcd (A; B) - pour tout polynôme unitaire C 2 IK [X] ; on a: pgcd (CA; C B) = C:pgcd (A; B)
VII. 6. Algorithme d’Euclide VII. 6.1. Proposition Soient A et B deux polynômes non nuls. On construit par récurrence une suite de polynômes (Rn )n2N de façon suivante: R0 = A; R1 = B R2 est le reste de la division euclidienne de R0 par R1 , et de proche en proche tant que Rn 6= 0: Rn+1 est égal au reste de la division de Rn 1 par Rn : Alors il existe un entier N tel que RN 6= 0 et RN +1 = 0: De plus, pgcd (A; B) =
1 RN cN
où cN désigne le coe¢ cient dominant de RN : VII. 6.2. Exemple Soient A, B 2 IK [X] donnés par: A = X5 + X3 + X2 + 1 et B = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 on a X 5 + X 3 + X 2 + 1 = (X
1) X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 + 2X 2 + 2
X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 =
1 2 1 1 X + X+ 2 2 2 81
2X 2 + 2 + 0
Le dernier reste non nul étant 2X 2 + 2, on obtient alors que pgcd (A; B) = X 2 + 1
VII. 6.3. Relation de Bézout Soient A et B deux polynômes de IK [X] : Alors il existe des polynómes U et V tels que pgcd (A; B) = A:U + B:V
VII. 7. Polynômes premiers entre eux
1:
VII. 7.1., Dé…nition Soient A, B 2 IK [X] : On dit que A et B sont premier entre eux si pgcd (A; B) = VII. 7.2. Exemples - Les polynómes 2 et 2X + 4 dans R [X] sont premiers entre eux. - Les polynómes X 2 + X + 1 et X 3 1 ne sont pas premiers entre eux car X3
1 = (X
1) X 2 + X + 1
VII. 7.3. Théorème de Bézout Deux polynômes A et B de IK [X] sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux polynómes U; V 2 IK [X] tel que A:U + B:V = 1
VII. 8. PPCM de deux polynômes VII. 8.1. Dé…nition Soient A, B 2 IK [X] ; il existe M 2 IK [X] unitaire tel que AIK [X] \ BIK [X] = M IK [X] M est appelé le plus petit multiple commun de A; B; ppcm (A; B) = A _ B VII. 8.2. Propositions Soient A et B deux polynômes sur IK. Soit M 2 IK [X] : Alors M = ppcm (A; B) si et seulement si: - M est un multiple de A et B - Si P est un multiple de A et de B alors M divise P
82
VII. 8.3. Exemples ppcm 2X 2 + 2; X 2 + X + 1 = X 2 + X + 1 ppcm (X: (X
1) ; (X
1) : (X + 2)) = X: (X
1) : (X + 2)
ppcm (X p ; X q ) = X max(p;
q)
VII. 9. Polynômes scindés Propositions 1 = Soit A 2 IK [X] non nul. Soient 1 ; 2 ; :::; n 2 IK distincts deux à deux. Soient m1 ; m2 ; :::; mn 2 N: - pour tout k 2 f1; :::; ng ; k est racine de A avec la multiplicité mk . - il existe Q 2 IK [X] tel que A = Q et Q ( k ) 6= 0
n k=1
mk k)
(X
; 8 k 2 f1; :::; ng
2 = Soit A 2 IK [X] ; deg (A) = n 1: Soient 1 ; 2 ; :::; n 2 IK ses racines distinctes dans IK. Soient m1 ; m2 ; :::; mn 2 N leurs multiplicités respectives (mk 1) : On n X suppose que mk = 1:Autrement dit, on suppose que A admet n racines dans k=1
IK, chacune étant comptée autant de fois que sa mmultiplicité. Alors A=
n k=1
(X
mk k)
où est le coe¢ cient dominant de A. On dit que le polynôme A est scindé dans IK. VII. 10. Polynômes irréductibles
si:
VII. 10.1. Dé…nition Un polynôme P 2 IK [X] est irréductible sur IK s’il n’est pas constant et 8 Q; R P
2 IK [X] ; = QR ) deg (Q) = 0 ou deg (R) = 0
c’est- à- dire que l’on peut pas écrire P comme le produit de deux polynômes no-constants.
83
VII. 10.2. Exemples - tout polynôme de degré est irréductible - le polynôme P = X 2 + X + 1 est irréductible sur R - le polynôme P = X 2 + X + 1 n’est pas irréductible sur C - les seuls polynômes irréductibles de C sont de degré 1 VII. 11. Relations entre coe¢ cients et racines d’un polynôme VII. 11.1. Dé…nition Soit un polynôme P (X) = X n + an
1X
n 1
+ ::: + a0
et soient x1 ; x2 ; :::; xn ses n racines (complexes), chacune d’elle étant écrite autant de fois que son ordre de multiplicité. On a donc: P (X) = X n + an
1X
n 1
+ ::: + a0 = (X
x1 ) (X
x2 ) ::: (X
xn )
En développant et en identi…ant les coe¢ cients on trouve: 1
=
n X
xi =
n X
xi xj = an
an
1
i=1
2
=
2
i j
3
=
n X
xi xj xk =
an
3
i j k
::: n
n
= x1 x2 :::xn = ( 1) a0
d’où l’égalité P (X) = X n +an
1X
n 1
+:::+a0 = (X
x1 ) (X
x2 ) ::: (X
xn ) = X n
1X
n 1
Réciproquement, si les nombres x1 ; x2 ; :::; xn véri…ent les relations précédentes alors ils sont racines du polynôme P (X) = X n + an 1 X n 1 + ::: + a0 : ( i )i=1;:::; n sont appelées fonctions symétriques des racines du polynôme P:
84
+
2X
n 1
n
+:::+( 1)
n
VII. 11.2. Exemples & applications 1. Ecrire les relations précédentes dans le cas où P (x) = ax2 + bx + c résoudre sans calcul l’équation 2x2
x
3
2. soient a; b et c les racines x3 + px + q: Calculer en fonction de p et q : a2 + b2 + c2 1 1 1 + + a b c 1 1 1 2 + 2 + 2 (a3 1) (b3 1) (c3 1) a3 + b3 + c3 Soit l’équation X3
2X 2 + X + 1 = 0
et x1 ; x2 ; x3 des racines (réelles ou complexes); former une équation du troisième degré ayant pour racines x21 ; x22 ; x23 : Même question avec x11 ; x12 ; x13 : 3. résoudre le système dans C3 : 8 9 < x+y+z =1 = x2 + y 2 + z 2 = 9 : 1 +1+1 =1 ; x y z prendre comme inconnues
1 2 3
= x+y+z = xy + xz + yz = xyz
85
Chapitre VIII FRACTIONS RATIONNELLES VIII.1. 1. Dé…nition Une fraction rationnelle sur IK estun couple de polynômes (A; B) 2 IK [X] IK [X] avec B 6= 0; noté sous forme de fraction: A B Le polynôme A se nomme le numérateur et B le dénominateur. A C et G = D sont dites équivalentes sil existe un Deux fractions F = B polynôme non nul P 2 IK [X] tel que F =
C PA = D PB On dit alors que F =
A B
et G =
C D
représentent la même fraction rationnelle.
VIII.1. 1. Exemple Les deux fractions suivantes F =
X5 X3
et G=
3X 4 + 3X 2 6X 2 + 11X 6 X4
X2
X2 3X + 2
sont équivalentes car X5 X3
(X 3) : X 4 X 2 3X 4 + 3X 2 = 6X 2 + 11X 6 (X 3) : (X 2 3X + 2)
VIII. 2. Forme irréductible VIII.2.1. Dé…nition On appelle forme irréductible d’une fraction rationnelle F non nulle tout (A; B) 2 IK [X] IK [X] avec A 6= 0; B 6= 0; tel que A et B ne possède pas de diviseurs communs.
86
VIII. 2. 2. Exemple La fraction rationnelle
X4
X2 3X + 2
X2 n’est pas irréductible car X4 X2
X2 X 2 (X 1) (X + 1) = 3X + 2 (X 1) (X 2)
Sa forme irréductible est
X 2 : (X + 1) (X 2)
VIII. 2.3. Convention & notation On convient de représenter une fraction rationnelle par sa forme irréductible et on désigne pa IK (X) l’ensemble des fractions rationnelles sur IK VIII. 2. 4. Immersion de IK [X] dans IK (X) On identi…e tout polynôme P 2 IK [X] à la fraction P 2 IK (X) IIK[X] et on note
P IIK[X]
=P
On dit que l’on immerge l’ensemble des polinômes dans celui des fractions. VIII. 2. 5. Structure de corps commutatif sur IK (X) On munit IK (X) de deux opérations ( notées + et ) dé…nies pour tous A1 A2 , appartenant à IK (X) par: B 1 B2 A1 A2 A1 + = B1 B2 Ainsi, (IK (X) ; +; 2 IK (X) ,
Alors, (IK (X) ; +;
B2 + B1 B1 B2
A2
) est un anneau commutatif. De plus, pour tout A B
1IK[X] B = = 1IK[X] A 1IK[X]
) est un corps commutatif.
87
A B
VIII. 3. Zéros & pôles d’une fraction rationnelle VIII. 3. 1. Dé…nitions Soit (A; B) 2 IK (X) une fraction rationnelle irréductible non nulle - On appelle zéro de la fraction (A; B) toute racine du polynôme A dans IK [X] : A - On appelle alors de multiplicité du zéro de la fraction B l’ordre de multiplicité de en tant que racine de A 2 IK [X] A s’il est une racine du - L’élément 2 IK est appelé póle de la fraction B polynôme B 2 IK [X] A - On appelle alors ordre de multiplicité du póle de la fraction B l’ordre de multiplicité de en tant que racine de B 2 IK [X] VIII. 3. 2. Exemple - Considérons dans R (X) la fraction rationnelle suivante: X 2 : (X + 1) (X 2) * Elle admet pour zéro X = 1 ( zéro simple ) et X = 0 (zéro double ) * Elle admet pour póle X = 2 ( póle ) - Considérons dans R (X) la fraction rationnelle suivante: 3
(X 4) X2 + X + 1 * Elle admet pour zéro X = 4 (zéro triple ) * Elle n’admet aucun póle dans R * Cependant, elle admet deux póles simples dans C qui sont les nombres 2i complexes X1 = j = e 3 et X2 = j VIII. 4. Partie entière d’une fraction rationnelle Soit (A; B) 2 IK (X) une fraction rationnelle irréductible. La division euclidienne de A par B implique qu’il existe (Q; R) 2 IK [X] IK [X] tel que et
A = BQ + R deg (R) deg (B) :
On obtient alors dans IK (X) l’égalité suivante: A R =Q+ B B Le polynôme Q se nomme partie entière de
88
A B:
Il est nul si deg (A)
deg (B)
VIII. 4. 1. Exemple La partie entière de la fraction rationnelle X4 (X 4
1)
n’est pas nulle. La division euclidienne de X 4 par X 4 X4 (X 4
1)
=
1 donne:Q = 1 et R = 1 c’est-à-dire,
X4 1 + 1 1 =1+ (X 4 1) (X 4 1)
VIII. 5. Première décomposition VIII. 5. 1. Lemme R Sot B 2 IK (X) une fraction rationnelle irréductible telle que deg (R) deg (B) et telle que le dénominateur B admet la décomposition en facteurs premiers dans IK [X] de la forme: B = P1n1
P2n2
nm Pm
:::
avec (Pi )i=1; :::; m sont des polynômes irréductibles. Alors il existe m polynômes L1 ; :::; Lm 2 IK [X] tels que: R L1 Lm = + ::: + nm B P1n1 Pm avec deg (Lk ) unique.
deg (Pknk ) pour tout k 2 f1; :::; mg : Cette décomposition est
VIII. 5. 2. Exemple On considère la fraction rationnelle: A = B (X
4X 2
2
1) (X 2 + 1)
2 R (X)
On a la factorisation irreductible suivante: B = P12
P22
avec P1 P2 Ainsi (Q = 0 car deg (A)
= X 1 = X2 + 1
deg (B)) :
A L1 L2 2 =Q+ 2 + 2 = B P1 P2 (X 89
X 2
1)
+
X3 + X
2 2
(X 2 + 1)
VIII. 6. Deuxième décomposition VIII. 6. 1. Lemme Soit PLn 2 IK (X) une fraction rationnelle irréductible telle que deg (L) deg (P n ). Alors il existe n polynômes S1 ; :::; Sn 2 IK [X] tels que: S1 Sn L S2 = + 2 + ::: + n n P P P P avec deg (S1 ) unique.
deg (P ) ; :::; deg (Sn )
deg (P ) : Cette décomposition est
VIII. 6. 2. Exemple Appliquons le lemme précédent à la fraction 2
X
(X
1)
2
= =
X
1 1
X
1
+
2 X , (X 1)2
on obtient:
2
(X
1) 1
+
(X
2
1)
puis appliquons leàla fraction: X3 + X (X 2
X3 + X
2 2
(X 2
+ 1)
2 2
+ 1)
X+ X+ + 2 X2 + 1 (X 2 + 1) X 2 + X 2 + 1 (X 2 + 1)2
= =
Bilan: on a obtenu la décomposition sur R : 4X (X
2
1)
(X 2
2
+ 1)
=
1 X
1
+
1 (X
90
2
1)
+
X 2 + 2 + 1 (X + 1)2
X2
VIII. 7. Décomposition en éléments simples (DES) Théorème R Sot B 2 IK (X) une fraction rationnelle irréductible telle que B admet une factorisation irréductible dans IK [X] de la forme: B = B = P1n1 Alors
R B
P2n2
:::
nm Pm
se décompose de manière unique comme suit: m
X R =Q+ B
k=1
Sk;n Sk;2 Sk;1 + 2 + ::: + nkk Pk Pk Pk
où Q 2 IK [X] est la partie entière et, pour tout k 2 f1; :::; mg : Sk;1 ; Sk;2 ; :::; Sk;nk 2 IK [X] et véri…ent: deg (Sk;1 )
deg (Pk ) ; :::; deg (Sk;nk )
deg (Pk )
VIII. 7. 1. Décomposition sur C - Les seuls polynômes irréductibles de C [X] sont les polynômes de degré 1: R Sot B 2 C (X) une fraction rationnelle irréductible avec B = bn X n + ::: + b1 X + b0 ; (bn 6= 0) Le polynôme B est nécessairement scindé sur le corps C : m k=1
B = bn avec
1;
:::;
m
hk k)
(X
dans C; tous distincts, et m n et h1 + h2 + ::: + hm = n
- Sur C, la décomposition en éléments simples de R =Q+ B X où
1;1
+ ::: + 1
1;h1
(X
h1
1)
+ ::: +
R B
m;1
X
est: + ::: +
m
1;h1 6= 0; :::; m;hm 6= 0: - Tout élément simple de C (X) est nécessairement du type:
k
(X avec ( ;
)
) 2 C2 et k 2 N : 91
m;hm
(X
hm m)
VIII. 7. 2. Exemple on considère sur C (X) la fraction rationnelle: 4 2
(X 2 + 1)
- La partie entière de la décomposition en élément simples est nulle puisque deg(4) = 0 deg((X 2 + 1)) = 4: - Le dénominateur se factorise comme suit: X2 + 1
2
2
2
= (X + i) (X
i) ;
1
= i;
2
=
i
La décomposition en éléments simples sur C s’écrit: i X
i
+
1 2
(X
i)
+
i 1 + X + i (X + i)2
VIII. 7. 3. Décomposition sur R - Le corps R n’est pas algébriquement clos. - Les polynômes irréductibles de R [X] sont: * les polynômes de degré 1 * les polynômes de degré 2 n’ayant aucune racine réelle. R - Sot B 2 R (X), irréductible. On suppose que le polynôme B se factorise sur R comme suit: m k=1
B = bn
m0 k=1
hk k)
(X
ak X 2 + bk X + ck
sk
avec h1 + ::: + hm + 2 (S1 +) ::: + sm0 8k
= n 2 f1; :::; mg b2k
On trouvera ainsi deux sommes partielles. R 2 R (X) admet un pôle - Dans le cas où B trouve: R = B X
1
+ ::: +
4ak ck
0
2 R de multiplicité h; on h
(X
h
)
avec 1 ; :::; h 2 R: - Dans le cas où la factorisation irréductible de B fait apparaître le polynôme aX 2 + bX + c on trouve: B= avec
1;
1;
:::;
S
1X 2 aX +
s
; (a; b; c) 2 R3 ; a 6= 0;
+ 1 SX + S + 2 bX + c (aX + bX + c)s
2 R: 92
VIII. 7. 3.1. Exemple Soit sur R (X) la fraction rationnelle: (X 1)24X (X 2 +1)2 - La partie entière de la DES sur R est nulle. - La décomposition en éléments simples sur R s’écrit ainsi: 4X (X
2
1)
(X 2
2
+ 1)
=
(X
1)
+
2
(X
1)
+
X+ X+ + (X 2 + 1) (X 2 + 1)2
VIII. 7. 3. 2. Cas d’un póle simple R Soit B 2 R (X), irréductible, possédant un póle simple - Le polynôme B s’écrit ainsi sous la forme:
B = (X
2 IK:
) C où C 2 IK [X] et C ( ) 6= 0:
On en déduit: A (X
)C
- En multipliant par (X
=
(X
)
+
T où T 2 IK [X] : C
) ; on a:
A = C - En évaluant en , on obtient:
+
=
(X
)T C
A( ) : C( )
VIII. 7. 3. 3 Exemple Considérons sur R la DES formelle suivante: (X
X 1) (X
2)
=
1
X
1
+
2
X
2
Déterminons les deux réels 1 et 2 : - En multipliant par (X 1) et en évaluant en 1, on a: - En multipliant par (X 2) et en évaluant en 2, on a: Finalement, on obtient: (X
X 1) (X
2)
=
93
1 X
1
+
2 X
2
1 2
= 1 =2
VIII. 7. 3. 4. Cas d’un pôe multiple Soit
A1 B1
2 IK (X) ; irréductible, possédant un póle
2 IK d’ordre h
h
- On a ainsi: B1 = (X ) C1 avec C1 ( ) 6= 0: - Dans la DES sur IK, la partie relative au póle 1
(X - Le calcul de on a:
h
A1 (X
h
) C1
)
2
+
2
(X
)
2:
sécrit: h
+ ::: +
h
(X
)
se¤ectue indépendament des autres coe¢ cients. En e¤et,
=
1
(X
où T 2 IK [X] : En multipliant par (X
)
2
+
2
(X
)
+ ::: +
h h
(X
)
+
T C1
h
) et en évaluant en ; on a: h
=
A1 ( ) C1 ( )
Procédons à présent au calcul des coe¢ cients
1;
2;
::: ;
h
- Étape 1 On e¤ectue un chagement d’indéterminée: Y =X On obtient ainsi A2 2 IK [Y ] et C2 2 IK [Y ] : A1 (X
h
) C1
=
A2 Y h :C2
- Étape 2 On e¤ectue ensuite une division selon les puissances croissantes à l’ordre A2 par C2 : A2 = C2 q0 + q1 Y + ::: + qh où q0 ; q1 ; :::; qh
1
1Y
h 1
+ Y h R2
qh Y
+
2 IK et R2 2 IK [Y ] :
- Étape 3 Retour à la fraction. On obtient: A2 q0 q1 = h+ h h Y :C2 Y Y
1
94
+ ::: +
1
R2 C2
Étape 4 Il reste en…n à revenir à l’indéterminée X A1 (X
h
) C1
q0
=
h
(X
)
+
q1 h 1
(X
)
+ ::: +
qh (X
1
)
+
R1 C1
On a ainsi obtenu: h
= q0 ;
= q1 ; :::;
h 1
1
= qh
1
Exemple Déterminons la somme partielle relative au póle 4X (X
2
1)
(X 2
2
+ 1)
- Étape 1 changement d’indéterminée: Y = X A1 2
(X
1) C1
= 1 de
A1
=
(X
2
1) C1
1: =
A2 Y 2 C2
où les deux polynômes A2 et C2 sécrivent: A2 = 4Y + 4 et C2 = 4 + 8Y + 8Y 2 + 4Y 3 + Y 4
- Étape 2 La division selon les puissances croissantes à l’ordre 1 de A2 par C2 donne: A2 = C2 (1 y) + Y 2 4Y + 3Y 2 + Y 3
- Étape 3 On a ainsi A2 1 = 2 Y 2 C2 Y
1 4Y + 3Y 2 + Y 3 + Y C2
95
Étape 4 changement inverse Y = X
1
4X 2
(X
1)
(X 2
=
2
+ 1)
1
1 2
(X
X
1)
1
+
X3 + X
2 2
(X 2
+ 1)
Remarque La partie relative au polynôme X 2 + 1 peut être obtenue 1 à partir de la fraction rationnelle R C1 : En e¤et, X3 + X (X 2
2 2
+ 1)
=
X X2 + 1 (X 2
2 2
+ 1)
=
X 2 + X 2 + 1 (X 2 + 1)2
VIII. 8. Réduction du nombre des coe¢ cients R Sot B 2 IK (X) (avec IK = R ou C) une fraction rationnelle irréductible. - Supposons que cette fraction possède (au moins) un pôle 2 IK d’ordre h 1: - La partie relative au pôle sécrit alors 1
(X avec
1;
:::;
h
)
+
2 2
(X
)
+ ::: +
h h
(X
)
2 IK:
VIII. 8. 1. Utilisation de la parité Supposons que la fraction rationnelle F est paire - Alors est aussi un pôle de F , de même multiplicité que : - La partie relative au pôle s’écrit: 0 1
(X + ) avec
0 1;
:::;
0 h
+
0 2 2
(X + )
+ ::: +
0 h h
(X + )
2 IK:
On a alors les résultats suivants: - Si F est paire alors 8 k 2 f1; 2; :::; hg ;
0 k
- Si F est impaire alors 8 k 2 f1; 2; :::; hg ;
96
k
= ( 1) 0 k
k k 1
= ( 1)
k
VIII. 8. 2. Utilisation de la conjugaison A Supposons B à coe¢ cients réels et 2 C n R: - Alors est un pôle de F , de même multiplicité que : - La partie relative au pôle s’écrit: 1
(X
)
2
+
2
(X
)
h
+ ::: +
h
(X
)
avec 1 ; :::; h 2 C Puisque F est à coe¢ cients réels, on a 8 k 2 f1; 2; :::; hg ;
k
=
k
Exemple X2 + 1 2
(X 2 + X + 1)
=
1
X (
j 1;
+ 2
(X 2 C)
97
2 2
j)
+
1
X
j
+
2
X
j
;
Chapitre IX EXERCICES AVEC SOLUTIONS PROBLEMES PROPOSES
IX. 1.
Espaces vectoriels
XI. 1.1.
Enoncés des exercices
Exercice 1 Parmi les ensembles suivant, lesquels sont, ou ne sont pas, des sous-espaces vectoriels? a/ E1 = (x; y) 2 R2 = xy = 0 b/ E2 , l’ensemble des solutions de l’équation di¤érentielle 0
y + a (x) y = 0 avec a (x) une fonction dérivable. Exercice 2 Trouver un système générateur des sous-espaces vectoriels de R3 suivants: 1. F = (x; y; z) 2 R3 = x + 2y z = 0 2. G = (x; y; z) 2 R3 = x
y + z = 0 et 2x
y
z=0
Exercice 3 Soient E un espace vectoriel de dimension …nie, et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que deux quelconques des trois propriétés suivantes entraînent la troisième: 1. F \ G = f0g 2. F +G=E 3. dim (F ) + dim (G) = dim (E)
98
Exercice 4 On considère les vecteurs ! u = ( 1; 1; 1) ; ! v = (1; 1; 1) ; et ! w = (1; 1; 1) 4 de R : a. Exprimer les composantes x0 ; y 0 ; z 0 du vecteur x! u +y ! v +z ! w en fonction 0 des scalaires x; y; z puis calculer x; y; z en fonction de x ; y 0 ; z 0 b. En déduire que les vecteurs ! u; ! v et ! w sont linéairement indépendants c. Quel est le sous-espace vectoriel de R3 engendré par ces trois vecteurs?
! v
Exercice 5 On pose ! u = (1; 2; 1) ; ! v = ( 1; 1; 2) ; et ! w 0 = (2; 1; 2) ! ! 1/ calculer l’angle ( u ; v ) 2/ Construire un vecteur non nul ! w orthogonal à ! u et à ! v 3/ Donner une équation cartésienne du plan vectoriel P engendré par ! u et 4/ Calculer la distance entre le point w0 et le plan P: 5/ Donner une équation cartesienne de la sphère de centre w0 et de rayon r Exercice 6 Soit f : R2 ! R2 l’application linéaire de matrice A=
2 2 2 2
dans la base canonique (! e 1; ! e 2 ). ! ! ! 0 a. Trouver un vecteur e 1 6= 0 tel que f (! e 01 ) = 0 ! b. Trouver un vecteur ! e 02 6= 0 et un scalaire 6= 0 tels que f (! e 02 ) = ! e 02 ! 0 0 !0 c. Calculer la matrice A de f dans la base ( e 1 ; e 2 ) d. L’application f est-elle injective? surjective? bijective?
99
XI. 1.2.
Solutions des exercices
Exercice 1 a/ E1 n’est pas un sous-espace vectoriel de R2 car il n’est pas stable par addition. En e¤et, X = (1; 0) et Y = (0; 1) sont tous les deux éléments de E1 mais X + Y = (1; 1) n’est pas élément de E1 : b/ remarquons d’abord que E2 est une partie de l’ensemble des fonctions dérivables. soient y1 et y2 deux solutions et 2 R: Posons y = y1 + y 2 : alors y 0 + a (x) y = (y10 + a (x) y1 ) + (y20 + a (x) y2 ) = 0 ce qui prouve que y 2 E2 : ainsi, E2 est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions dérivables sur R: Exercice 2 1. On a (x; y; z) 2 F , x =
2y + z
Donc 1 0 1 2y + z x A @ y A = @ y z z 0 1 0 1 2 1 = y@ 1 A+z@ 0 A 0 1 0
Donc ,0le système 1 générateur 0 de 1F est formé par les deux vecteurs 2 1 ! u 1 = @ 1 A et ! u 2 = @ 0 A et on écrit: 0 1 F = vect (! u 1; ! u 2)
2. On a (x; y; z)
Ainsi,
x y+z =0 G, 2x y z = 0 0 1 0 1 2 x 1 , @ y A = x@ 3 A 2 1 z 2
0
1 2 G = V ect (! u ) ; avec ! u =@ 3 A 1 100
Exercice 3 Tout repose sur la formule des quatre dimensions: dim (F + G) = dim (F ) + dim (G)
dim (F \ G)
et sur la propriété: si H est sev de E tel que dim (H) = dim (E) ; alors H = E - si 1. et 2. sont vraies, alors dim (F + G)
= dim (F ) + dim (G) = dim (F ) + dim (G)
dim (F \ G)
tandis que E =F +G implique dim (E) = dim (F ) + dim (G) 3. est donc véri…ée - Si 1. et 3. sont vraies, alors dim (F + G)
= dim (F ) + dim (G) dim (F \ G) = dim (E) 0 = dim (E)
Ainsi, F + G est un sev de E de même dimension que E : F +G=E - Si 2. et 3. sont vraies, alors dim (E)
= dim (F + G) = dim (F ) + dim (G) = dim (E) dim (F \ G)
dim (F \ G)
On en déduit que et donc
dim (F \ G) = 0 F \ G = f0g
Exercice 4 a. On a 8 0 9 8 < x = x+y+z = < y0 = x y + z , : 0 ; : z =x+y z 8 > < , > : 101
9 x y + z = x0 = 2z = x0 + y 0 ; 2y = x0 + z 0 9 0 0 > x = y +z = 2 0 0 y = x +z 2 0 > 0 ; z = x +y 2
b. D’après a., l’équation vectorielle ! x! u + y! v + z! w = 0 admet comme unique solution (x; y; z) = (0; 0; 0) autrement dit, les vecteurs ! u; ! v; ! w sont linéairement indépendants. De façon alternative ( sans utiliser a. ): les trois vecteurs sont linéairement indépendants car: det (! u; ! v; ! w)
= =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 6= 0
c. Comme ! u; ! v; ! w sont linéairement indépendants, le sous-espace vectoriel 3 de R engendré par ces trois vecteurs est l’espace R3 lui-même. Exercice 5 1/ Soit ! [ =! u v = (! u; ! v) On est dans l’espace tridimensionnel, donc 2
[0; ] et ! u :! v = ! k u k k! vk 3 1 = p p = 2 6 6
cos
d0 ou
=
3
2/ ! u ^! v =
2 1 1 2
;
1 1
1 ; 2
1 2
1 1
= (3;
3; 3 )
est orthogonal à ! u et à ! v : On peut poser ! w = (1; 1; 1) : 3/ P est l’orthogonal du vecteur ! w (ou de la droite R! w ). On obtient l’équation cartésienne x y+z =0 ! 4/ La distance entre w 0 et le plan P est donnée par: ! p w 0 :! w 3 =p = 3 ! kwk 3 102
5/ La sphère de centre w0 et de rayon r est l’ensemble des points ! s = (x; y; z) tels que 2 k! s ! w 0 k = r2 : On obtient l0 équation cartésienne (x
2
2
2) + (y
2
2) = r2
1) + (z
c’est-à-dire, x2 + y 2 + z 2
4x
4z + 9 = r2
2y
Exercice 6 u = (x; y), on a a. Étant donné ! ! f (! u ) = 0 si
2x + 2y = 0 2x + 2y = 0
c’est-à-dire si x+y =0 Par exemple, si on pose ! e 01 = (1; on a
1) = ! e1
! e 2;
! f (! e 01 ) = 0
b. Étant donné ! u = (x; y), on a 2x + 2y = x 2x + 2y = y
f (! u)= ! u si c’est-à-dire si
(2 ) x + 2y = 0 2x + (2 )y = 0 Ce système a des solutions non triviales lorsque le déterminant 2 2 2
2
=
2
4
est nul. Il su¢ t donc de poser =4 et
! e 02 = (1; 1) = ! e1+! e2 ! c. Comme f (! e 01 ) = 0 et f (! e 02 ) = 4! e 02 ; la matrice de f dans la base ! 0 !0 ( e 1 ; e 2 ) est 0 0 A0 = 0 4 103
On peut aussi utiliser la formule de changement de base A0 = P
1
AP
avec P =
1 1 1 1
! d. L’application f n’est pas injective car f (! e 01 ) = 0 = f 0 : elle n’est pas surjective car f R2 est la droite R! e0: 2
Elle n0 est pas bijective car elle n’est pas injective (ou car elle n’est pas surjective ).
104
XI. 2.
Applications linéaires
XI. 2.1.
Enoncés des exercices
Exercice 1 1/ Déterminer la forme linéaire f dé…nie sur R3 telle que f (1; 1; 1) = 0;
f (2; 0; 1) = 1;
f (1; 2; 3) = 4
2/ Donner une base du noyau de ker (f ) Exercice 2 Soient f1 et f2 les deux éléments de L R2 ; R dé…nis par f1 (x; y) = x + y et f2 (x; y) = x
y
1/ Montrer que (f1 ; f2 ) forme une base de R2 2/ Exprimer dans la base (f1 ; f2 ) les formes linéaires suivantes: g (x; y) h (x; y)
= x = 2x
6y
Exercice 3 Soit (! e 1; ! e 2; ! e 3 ) la base canonique de R3 et f : R3 ! R3 l’application linéaire dé…nie par: f (x; y; z) = (3x + 2y + z; x + z; 2x + 3z) a. Exprimer f (! e 1 ) ; f (! e 2 ) ; f (! e 3 ) en fonction des vecteurs ! e 1; ! e 2; ! e 3: b. Quelle est la matrice de f et quel est son déterminant? c. Quelle est la matrice de l’application linéaire réciproque f 1 ? Exercice 4 Soit f : R2 ! R2 l’application linéaire dé…nie par f (! e 1) = ! e 1 + a! e 2; et
a2R
f (! e 2 ) = a! e1+! e2
Soit g : R2 ! R2 l’aplication linéaire dé…nie par: g (! e 1) = ! e 01 et
g (! e 2) = ! e 02 105
avec
et
1 ! e 01 = p (! e1+! e 2) 2 1 ! e 02 = p ( ! e1+! e 2) 2
1/ Quelle est la matrice A de f dans la base canonique (! e 1; ! e 2 ) et quel est son déterminant? 2/ Quelle est la matrice B de g dans la base canonique (! e 1; ! e 2 ) et quel est son déterminant? 3/ Calculer les matrices AB et B 1 4/ Quelle est l’interprétation géométrique de g? e 01 ) et f (! e 02 ) en fonction des vecteurs ! e 01 et ! e 02 5/ Exprimer f (! ! 0 0 !0 6/ Quelle est la matrice A de f dans la base ( e 1 ; e 2 ) et quel est son déterminant? 7/ Exprimer A0 en fonction des matrices A et B, puis A en fonction des matrices A0 et B Exercice 5 On considère l’endomorphisme f de R3 ique est la matrice 0 0 1 A=@ 1 0 1 1
dont la matrice dans la base canon1 1 1 A 0
1/ Montrer que f est diagonalisable, trouver une base de R3 formée de vecteurs propres de f et la matrice A0 de f dans cette base 2/ Déterminer, pour tout entier n 2 N la matrice An : Exercice 6 Soit f l’endomorphisme de R2 de matrice dans la base canonique est dé…nie par: 2 2 3 C= 5 2 2
3
1/ Montrer que les vecteurs ! u 1 = ( 2; 3) et ! u 2 = ( 2; 5) forment une base 2 de R 2/ Déterminer la matrice B de f dans cette base 3/ Calculer C n pour tout n 2 N 4/ déterminer l’ensemble des suites réelles qui véri…ent: 8n
2
yn+1
=
2 xn+1 = 2xn + yn 3 5 2 xn yn 2 3
N;
106
Exercice 7 Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est donnée par 0 1 1 0 1 A=@ 1 2 1 A 1 1 1
1/ Montrer que f est trigonalisable 2/ Montrer que l’espace propre associé à la valeur propre = 1 est de dimension 1: Montrer que ! u = (1; 1; 0) est un vecteur non nul de cet espace propre 3/ Montrer que ! v = (0; 0; 1) est tel que (f
IdR3 ) (! v)=! u
4/ Chercher un vecteur propre ! w associé à la valeur propre Montrer que (! u; ! v; ! w ) est une base de R3 . Calculer la matrice T de f dans la base (! u; ! v; ! w ) k ! 5/ Calculer f ( v ) pour tout k 2 N:En déduire T k 6/ Calculer Ak pour tout k 2 N:
107
= 2:
XI. 2.2.
Solutions des exercices
Exercice 1 1/ La forme linéaire f est donnée par: f (x; y; z) = x + y + z En calculant f (1; 1; 1) f (2; 0; 1) f (1; 2; 3) on obtient le système suivant: 8 < :
= = =
0 1 4
9 + + =0 = 2 + =1 ; +2 +3 =4
On résout ce système et on trouve:
= = =
1 2 3
Ainsi, on a: f (x; y; z) =
x
2y + 3z
2/ On en déduit f (x; y; z) = 0 ,
8 < x= :
9 2y + 3z = y=y ; z=z
Une base de ker (f ) est donnée par la famille des deux vecteurs ( 2; 1; 0) et (3; 0; 1) Exercice 2 1/ Puisque R2 est de dimension 2, il su¢ t de montrer que la famille (f1 ; f2 ) est libre. Supposons qu’on a la relation f1 + f2 = 0 On la teste pour des valeurs de (x; y) particulières: pour (x; y) = (1; 0) puis pour (x; y) = (0; 1) ; on trouve successivement: f1 (1; 0) + f2 (1; 0) = 0 f1 (0; 1) + f2 (0; 1) = 0 108
,
+
=0 =0
On prouve facilement que ceci implique =
=0
et donc que la famille (f1 ; f2 ) est libre, à fortuori une base de R2 : 2/ Il est facile de voir que (f1 + f2 ) (x; y) = 2x et donc g= Pour h il faut trouver
et
2x
6y
1 (f1 + f2 ) 2
tels que, pour tout (x; y) 2 R2 ; on a: = =
(x + y) + (x ( + )x + (
y) )y
Par identi…cation, on doit résoudre le système +
=2 = 6
,
= 2 =4
Autrement dit, on a h=
2f1 + 4f2
Exercice 3 a. On se rappelle que la base canonique s’écrit: ! e 1 = (1; 0; 0) ; ! e 2 = (0; 1; 0) ; ! e 3 = (0; 0; 1) On trouve
f (! e 1 ) = f (1; 0; 0) = (3; 1; 2) f (! e 2 ) = f (0; 1; 0) = (2; 0; 0) f (! e 3 ) = f (0; 0; 1) = (1; 1; 3)
b. En mettant ces vecteurs images sous forme de matrices colonnes la matrice A de f est 0 1 3 2 1 A=@ 1 0 1 A 2 0 3 et
det f = det A =
2 0 0
3 1 2 109
1 1 = 3
2
1 2
1 3
=
2
c. Comme det f 6= 0; f 1 existe et sa matrice dans la base canonique est donnée par A 1 : Celle-ci se calcule en inversant le système 8 9 < 3x + +2y + z = x0 = x + z = y0 : ; 2x + 3z = z 0 On obtient:
d’où on lit
8 <
9 x = 3y 0 z 0 = y = 21 x0 27 y 0 + z 0 : ; z = 2y 0 + z 0 1
A
0
=@
0
1 1 1 A 1
3
1 2
7 2
0
2
Exercice 4 1/ Par dé…nition, A=
1 a a 1
et a2
det A = 1 2/ p1 2 p1 2
B=
p1 2 p1 2
!
et det B = 1 3/ AB = et B
1
=
1+a p 2 1+a p 2
ap 1 2 1p a 2
!
p1 2 p1 2
p1 2 p1 2
!
4/ La matrice B de l’application linéaire g est celle d’une rotation d’angle : En e¤et, la matrice d’une rotation d’angle est donnée par: 4 R( ) =
cos sin
110
sin cos
Exercice 5 1/ Pour déterminer les valeurs propres de f on calcule le polynôme caractéristique de f : Pcar;f (X) = det (A
X 1 1
XI3 ) =
1 X 1
1 1 X
En ajoutant à la ligne 1 la somme des deux autres lignes on fait apparaître une factorisation par 2-X: 2 Pcar;f (X)
=
X 1 1
=
(2
X)
2
X X 1
2
X 1 X
1 1 1 1 X 1 1 1 X
Ensuite, on retanche la ligne 1 de la lgne 3 on obtient: Pcar;f (X)
= =
(2 (2
1 X) 1 0
1 X 0
1 1 1
X
2
X) (X + 1)
Le polynôme caractéristique de f est scindé dans R: L’endomorphisme f de R3 a deux valeurs propres distinctes: 1 = 1 une valeur propre double, 2 = 2 est une valeur propre simple. L’endomorphisme f est diagonalisable si et seulement si, pour chaque valeur propre la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique. La dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre simple est égale à 1. Donc f est diagonalisable si et seulement si ladimension du sous-espace propre associé à la valeur propre double est égale à 2. Soit E 1 le sous-espace propre associé à la valeur propre double 1 = 1 et soit ! u = (x; y; z) un vecteur de R3 :
! u
2 ,
E 8 < :
0
1 0 1 x 0 ! ! @ A @ y 0 A , f ( u ) = u , (A + I ) = 3 1 z 0 9 x+y+z =0 = x+y+z =0 ; x+y+z =0
E 1 est un plan vectoriel de R3 : L’endomorphisme f est donc diagonalisable. 111
On détermine maintenant une base de R3 formée de vecteurs propres de f: Les vecteurs ! u 1 = (1; 0; 1) et ! u 2 = (0; 1; 1) sont deux vecteurs non colinéaires de E 1 , ils forment donc une base de E 1 : Soit E 2 le sous-espace propre associé à la valeur propre 2 = 2 et soit ! u = (x; y; z) un vecteur de R3 :
! u
2 ,
E
2
0
1 0 1 x 0 2I3 ) @ y A = @ 0 A z 0
, f (! u ) = 2! u , (A
8 <
9 2x + y + z = 0 = x 2y + z = 0 : ; x + y 2z = 0
Les opérations suivantes L2 L2 système en un système équivalent: ! u
2
E
L3 + 2L1 transforment le
2x + y + z = 0 3x 3y =0 3x + 3y =0
,
y=x z=x
, ! u 2E
2
L1 ; L3
, 9 x 2 R; ! u = x (1; 1; 1) ! E 2 est la droite vectorielle de base u 3 = (1; 1; 1) : (! u 1; ! u 2 ) est une base de E 1 ; ! u 3 est une base E 2 donc la famille (! u 1; ! u 2; ! u 3) ! ! ! 3 est libre et les vecteurs u ; u ; u forment une base deR : 2
1
2
3
Soit
B 0 = (! u 1; ! u 2; ! u 3) ! ! ! ! Comme f ( u 1 ) = u 1 ; f ( u 2 ) = u 2 , f (! u 3 ) = 2! u 3 la matrice A0 de f 0 dans la base B est donnée par: 0 1 1 0 0 1 0 A A0 = @ 0 0 0 2
La matrice de passage de la base canonique B à la base des vecteurs prores B 0 est donnée par: 0 1 1 0 1 1 1 A P =@ 0 1 1 1 et on a:
A = P A0 P
1
2/ A = P A0 P
1
, An = P A0n P 112
1
8n2N
A0n
0
n
( 1) 0 =@ 0
0 n ( 1) 0
1 0 0 A 2n
La matrice P 1 est la matrice de passage de la base B 0 = (! u 1; ! u 2; ! u 3) à ! ! ! la base canonique ( e 1 ; e 2 ; e 3 ) : ! u1 ! u2 ! u 3
= ! e 1 + 0! e2 ! e3 ! ! = 0e1+ e2 ! e3 = ! e1+! e2+! e3
d’où
Ainsi,
et …nalement, An = P A0n P
1
! e1
=
! e2
=
! e1
=
1 ! (2 u 1 ! u2+! u 3) 3 1 ! ( u 1 + 2! u2+! u 3) 3 1 ! ( u1 ! u2+! u 3) 3
0 2 1 1 1 1 P 1= @ 1 2 3 1 1 1 0 n ( 1) 0 n+1 0 ( 1) P A0n = @ n+1 n+1 ( 1) ( 1) 0
n
2n + 2 ( 1) 1@ n n+1 = 2 + ( 1) 3 n+1 2n + ( 1)
1 A
1 2n 2n A 2n
n+1
2n + ( 1) n 2n + 2 ( 1) n+1 2n + ( 1)
n+1 1 2n + ( 1) n+1 A 2n + ( 1) n 2n + 2 ( 1)
Exercice 6 1/ Les vecteurs ! u 1 = ( 2; 3) et ! u 2 = ( 2; 5) forment une base de R2 s’ils sont linéairement indépendants et s’ils forment un système générateur de R2 : Les deux vecteurs sont linéairement indépendants si 9 ; 2 R tel que ! ! u1+ ! u2 = 0 ,
=
= 0:
En e¤et, ! ! u1+ ! u2 = 0 ,
113
2 2 =0 3 +5 =0
La première équation implque que = et en l’insérant dans la deuxième équation donne: 2 = 0 ()
= 0 et donc
=0
Ainsi, les deux vecteurs sont linéairement indépendants. Ces deux vecteurs forment un système générateur de R2 si pour tout vecteur ! u = (x; y) 2 R2 9 un couple de scalaires ; 2 R; tel que : ! u = ! u1+ ! u2
En e¤et, cette équation implique que x = y =
2
2
3 +5
Il su¢ t de prendre = =
5 1 x y 4 2 3 1y x+ 4 2
Donc, les deux vecteurs forment une base de R2 : 2/ f (! u 1)
c’est-à-dire,
= f ( 2! e 1 + 3! e 2) ! = 2f ( e 1 ) + 3f (! e 2) = 2! e 1 + 3! e2 f (! u 1) = ! u1
et f (! u 2)
= f ( 2! e 1 + 5! e 2) ! = 2f ( e 1 ) + 5f (! e 2) 2! 5! e1+ e2 = 3 3 1! = u2 3 Ainsi, les vecteurs ! u 1 et ! u 2 sont des vecteurs propre de l’endomorphisme f associés aux valeurs propres respectives 1 = 1 et 2 = 13 et donc la matrice de l’application linéaire f dans la base (! u 1; ! u 2 ) est une matrice diagonale: B=
1 0 0 31 114
3/ det C
2 3
2
=
5 2
2 3
4 5 1 + = 3 3 3
=
Alors la matrice C est diagonalisable. Les valeurs prores de C sont solutions de l’équation det (C
2
I2 ) =
2 3
5 2
2 3
=0
c’est-à-dire (2
2 3
)
2
5 3 4 1 + 3 3 +
=
0
=
0
,
1
= 1 et
2
=
1 3
Ainsi la matrice B est la matrice diagonale associée à la matrice C: Donc, on a: C = P BP
1
, C n = P BnP
1
avec P est la matrice de passage de la base canonique (! e 1; ! e 2 ) à la base des ! ! vecteurs propres ( u 1 ; u 2 ). Les colonnes de la matrice P sont formées des composantes des vecteurs propres dans la base canonique: 2 3
P =
2 5
Pour déterminer la matrice inverse de la matrice P , on exprime les veceurs ! e 1; ! e 2 en termes des vecteurs ! u 1; ! u 2 . On trouve ! e1
=
! e2
=
Alors on en déduit P Alors Cn =
1 4
1
=
1 ( 5! u 1 + 3! u 2) 4 1 ! (u2 ! u 1) 2 1 4
10 2:3 15 + 5:3
5 3
2 2
n+1
4
n+1
115
4:3 n 6 + 10:3
n
4/ 8n
2
xn+1
=
yn+1
=
N; 2 2xn + yn 3 5 2 xn yn 2 3
En posant xn yn
Xn = Le système précédent se réécrit: Xn+1
= CXn , Xn = C n X0
avec x0 y0
X0 = Ainsi Xn
xn yn
= 1 4
=
=
1 4
10 2:3 15 + 5:3
10 2:3 15 + 5:3
n+1 n+1
n+1
4
n+1
4:3 n 6 + 10:3
x0 y0
n
x0 + (4 4:3 n ) y0 x0 + ( 6 + 10:3 n ) y0
Finalement les suites sont déterminées par: xn
=
yn
=
1 4 1 4
10
2:3
n+1
15 + 5:3
x0 + 4
n+1
x0 +
4:3
n
6 + 10:3
Autre méthode Reconsidérons le systèmes des suites 8n yn+1
2 N; xn+1 = 2xn + yn 3 5 2 = xn yn 2 3 2
De la première équation on en déduit 2 xn+2 = 2xn+1 + yn+1 3 Or de la deuxième équation on a: 3 yn = + xn+1 2 116
3xn
y0 ; n
y0
En substituant dans xn+2 on obtient: 4 1 xn+1 + xn = 0 3 3
xn+2 En résolvant sous la forme:
xn = rn on obtient l’équation caractéristique 1 4 r+ =0 3 3
r2
qui est exactement le polynôme caractéristique de la matrice C dont les racines sont les valeurs propres de cette matrice.Ainsi, on a: 1 3
xn = 1n +
n
avec la condition initiale x0 =
+
Ensuite on en déduit yn de l’équation 3 yn = + xn+1 2 on obtient: yn =
3xn
1 3 + 5 :3 2
n
et avec la condition initiale y0 =
1 (3 + 5 ) 2
Ainsi, on obtient les expressions …nales: xn =
yn =
1 4
1 4
2:3
n+1
x0 + 4
15 + 5:3
n+1
x0 +
10
117
4:3
n
6 + 10:3
y0 ; n
y0
Exercice 7 1/ On calcule le polynôme caractéristique de f . On trouve Pf (X) = (1
2
X) (2
X)
Puisqu’il a toutes ses racines dans R, l’endomorphisme f est trigonalisable. 2/ Posons ! u = (x; y; z), on a: 8 9 8 9 z=0 < = < x=x = x+y+z =0 y=x f (! u)=! u , , : ; : ; x y=0 z=0 Une base de ker (f 3/ On a
d’où
I) est donc donnée par le vecteur (1; 1; 0) f (! v ) = (1; 1; 1) f (! v)
! v =! u
4/ On cherche l’espace propre associé à la valeur propre = 2:On a pour ! w = (x; y; z), 9 9 8 8 x+z =0 = < x=x = < y=0 x+z =0 , f (! w) = ! w , ; ; : : z=x x y z=0
Le vecteur ! w = (1; 0; 1) est donc un vecteur propre de f associé à la valeur propre = 2: On véri…e facilement que la famille (! u;! v ;! w ) est une famille libre de R3 , donc une base. La matrice de f dans cette base est donnée par 1 0 1 1 0 T =@ 0 1 0 A 0 0 2 5/ On montre par récurrence sur k que f k (! v)=! v + k! u: En e¤et, c’est vrai pour k = 1 et si c’est vrai au rang k, alors f k+1 (! v)
= = = =
f (! v + k! u) ! f ( v ) + kf (! u) ! ! ! u + v +ku ! v + (k + 1) ! u
Puisque f k (! u) = ! u; k f (w) = 2k ! w; 118
on en déduit
0
1 k Tk = @ 0 1 0 0
1 0 0 A 2k
6/ Soit Q la matrice de passage de la base canonique de R3 à la base ! (u;! v ;! w ) : Q est donnée par: 0 1 1 0 1 Q=@ 1 0 0 A 0 0 1
et on a la relation
A = QT Q
1
Par récurrence, on montre que Ak = QT k Q Il reste à calculer Q trouve
1
1
et à utiliser le résultat de la question précédente. On 1 0 0 1 0 Q 1=@ 1 1 1 A 1 1 0
119
XI.3. Opérations sur les polynômes XI.3.1.Enoncés des exercices Exercice I Soit P un polynôme donné par: P (X) = X 4 + 2a:X 3 + b:X 2 + 2:X + 1; a; b 2 R Pour quelles valeurs de a; b le polynôme P est-il carré d’un polyôme de R [X]? Exercice II Résoudre les équations suivantes, où l’inconnue est un polynôme P de R [X] : 1/ P X 2 = X 2 + 1 :P (X) 2/ 2
P 0 = 4P
Exercice III Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de 1/ X 4 + 5X 3 + 12X 2 + 19X 7 par X 2 + 3X 1 2/ X5
X2 + 2
par X 2 + 1
Exercice IV On considère les deux polynômes suivants: P (X) = X 3
9X 2 + 26X
Q (X) = X 3
7X 2 + 7X + 15
24
et Décomposer ces deux polynômes en produits irréductibles de R [X] sachant qu’ils ont une racine commune.
120
Exercice V: Calcul du pgcd Déterminer le pgcd des polynômes suivants P (X) = X 4
3X 3 + X 2 + 4
Q (X) = X 3
3X 2 + 3X
et 2
Exercice VI: Equation de Bézout Trouver deux polynômes U et V de R [X] tels que AU + BV = 1 avec A (X) = X 7
X
1
et B (X) = X 5
1
Exercice VII Décomposer en produits irréductibles de R [X] les polynomes suivants: 1/ P (X) = X 4 + 1 2/ Q (X) = X 8
1
Exercice VIII Soit le polynôme P (X) = X 3
8X 2 + 23X
28
Déterminer les racines de P sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième
121
XI.3.2.
Solutions des exercices
Exercice I Si P = Q2 est le carré d’un polynôme, alors Q est nécessairement de degré 2, et son coe¢ cient dominant est égal à 1. On peut écrire Q (X) = X 2 + cX + d On a alors Q2 (X) = X 4 + cX 3 + d + c2 X 2 + dcX + d2 Par identi…cation, on doit avoir 2c = 2a; 2d + c2 = b; 2cd = 2 et d2 = 1 On trouve donc c = a et d =
1
Si d = 1; alors c = 1; et donc a = 1 et b = 3 Si d=
1; alors c =
1; a =
1 et b =
1
Les deux solutions sont donc P1 (X)
= X 4 + 2X 3 + 3X 2 + 2X + 1 = X 2 + x + 1
2
P2 (X)
= X4
2
2X 3
X 2 + 2X + 1 = X 2
X
1
Exercice II 1/ Le polynôme nul est évidemment solution. Sinon, si P est solution alors on a 2 deg (P ) = deg (P ) + 2 ce qui prouve que deg (P ) doit être égal à 2 Maintenant, si P (X) = aX 2 + bX + c alors P X 2 = aX 4 + bX 2 + c X 2 + 1 P (X) = aX 4 + bX 3 + (a + c) X 2 + bX + c On en déduit que b = 0 puisque a + c = 0
122
Les solutions sont donc les polynômes qui s’écrivent P (X) = a X 2
1 ; a2R
2/ Là encore, le polynôme nul est aussi solution, et c’est la seule solution constante. Par ailleurs, si P est une solution non constante, alors son degré véri…e l’équation 2 (deg (P ) 1) = deg (P ) ce qui entraîne que deg (P ) = 2 Maintenant, si P (X) = aX 2 + bX + c; alors P 02 4P
2
= (2aX + b) = 4a2 X 2 + 4abX + b2 = 4aX 2 + 4bX + 4C
ceci entraîne a2 = a;
donc a = 1 2
le polynôme est de degré 2, a 6= 0, puis c = b4 : Les polynômes solutions sont donc le polynôme nul et les polynômes P (X) = X 2 + bX +
b2 ; b2R 4
Exercice III 1/ Le quotient est X 2 + 2X + 7; le reste est nul 2/ Le quotient est X 3 X 1; le reste est X + 3 Exercice IV Si a est une racine commune de P et Q, alors X
a divise le pgcd de P et
Q: On commence donc par chercher ce pgcd, par exemple en appliquant l’algorithme d’Euclide. Ici, on a: X3
X3
9X 2 + 26X
24 = X 3
7X 2 + 7X + 15 =
2X 2 + 19X
7X 2 + 7X + 15 +
2X 2 + 19X
39 =
45X 4 123
39 135 4
X 2
2X 2 + 19X
5 4
+
8X 52 + 4 4
45X 4
39
135 4
Le pgcd de P et Q est donc le polynôme 45X 4 ou encore X
135 4
3:On divise alors P et Q par X
3; et on trouve:
3) X 2 6X + 8 3) (X 2) (X 4)
P (X)
= (X = (X
Q (X)
= (X 3) X 2 4X 5 = (X + 1) (X 3) (X 5)
et
Exercice V On applique l’algorithme d’Euclide. Le dernier reste non-nul donne un pgcd des deux polynômes. On a successivement: X4
3X 3 + X 2 + 4 = X 3
X3
3X 2 + 3X
3X 2 + 3X
2X 2 + 2X + 4 = (3X 6) ou (X
2X 2 + 2X + 4
X + 1 + 3X 2
2X 2 + 2X + 4
2=
Un pgcd est donc (3X
2 X+
2X 3
6)
6
2 3
2)
Exercice VI: Equation de Bézout On utilise l’algorithme d’Euclide. On a X7 X5
1 = X5
x
1 = X2 X2
X
X
1
1 X2 + X2
X
1
X 3 + X 2 + 2X + 3 + 5X + 2 X 5
1 = (5X + 2)
7 25
11 25
On remonte ensuite les calculs. On va partir de 11 =
25 X 2
X
1 + (5X
7) (5X + 2)
On trouve alors successivement: 11
= = =
25 X 2
X
5X 4 + 2X 3 4
5X + 2X 5X
6
5
3
1 + (5X
7)
X5
1
3X 2
4
X2
X
1 + (5X
4
7
X
1 +
3X 4
2
X X 3
X 2
2X + 3X + X + 4X + 5X 124
X2
7
X5
X
1
1 X 3 + X 2 + 2X + 3 7) X 5
1
Il su¢ t de diviser par 11 pour obtenir les polynômes U et V: Exercice VII 1/ Soit P (X) = X 4 + 1 On peut remarquer que X2 + 1
2
= X 4 + 2X 2 + 1
Donc X4 + 1
=
X2 + 1
2
=
X2 + 1
2
c’est -à-dire P (X) = X 2 + 1 +
p
2X 2 p 2X X2 + 1
2X
2
p
2X
2/ X8
1
=
X4
1
X4 + 1
=
X2
1
X2 + 1
=
(X + 1) (X
p X2 + 1 2X p p X 2 + 1 + 2X X 2 + 1 2X
X2 + 1 +
1) X 2 + 1
p
2X
Exercice VIII on écrit X3
8X 2 + 23X
28 = (X + a) (X + b) (X + c)
sachant que a+b=c ensuite on développe (X + a) (X + b) (X + c) = X 3 + (a + b + c) X 2 + (ab + ac + bc) X + abc puis on identi…e les coe¢ cients on obtient a+b+c=
8
ce qui donne c=
4
ensuite, on fait la division euclidienne de X 3 8X 2 + 23X 28 par X on trouve X 3 8X 2 + 23X 28 = (X 4) X 2 4X + 7 et donc X3
8X 2 + 23X
28 = (X
4) X
125
p 2+i 3
X
2
p i 3
4 et
XI. 4.
Fractions rationnelles
XI. 4.1.
Enoncés des exercices
Exercice I Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes: 1. 1 3 X X 2. X 2 + 2X + 5 X 2 3X + 2
Exercice II Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle: F (X) =
X4 X + 2 (X 1) (X 2 1)
Exercice III Décomposer en éléments simples dans C (X), F (X) =
Xn 1 Xn 1
Exercice IV a) Décomposer dans R (X) la fraction 1 X (X + 1) b) En déduire la décomposition dans R (X) de X3
1 (X 3 + 1)
Exercice V On considère une fraction rationnelle avec un pôle double: F (X) =
U (X
2
a) V1 (X) 126
;
V1 (a) 6= 0
La décomposition en éléments simples s’écrit F =
X
+
a
2
(X
a)
+
U1 V1
En dé…nissant la fraction 2
G = (X exprimer les coe¢ cients
et
a) F =
U ; V1
à l’aide de G: Généraliser à un pôle multiple
Exercice VI On considère un polynôme P 2 C [X] ayant n racines distinctes notées x1 ; x2 ; :::; xn : Soit un complexe a 2 C tel que P (a) 6= 0: exprimer les sommes S1 =
n X
k=1
S2 =
n X
k=1
en fonction de P; P 0 et a:
1 a
xk 1
(a
Exercice VII 1. Soit F =
2
xk )
P Q
Si 2 C est une racine simple de Q, montrer que le coe¢ cient de l’élément simple X 1 est QP0(( )) 2. Décomposer dans C (X) la fraction F =
X Xn 1
127
XI. 4.2.
Solutions des exercices
Exercice I 1. La partie entière est nulle, le dénominateur se factorise en X (X 1) (X + 1) : Multipliant par X et faisant X = 0, on trouve la partie polaire relativement à X 0 et ainsi de suite... On trouve …nalement 1 X3
X
=
1 1 1 + 2 + 2 X X 1 X +1
2. Il y a cette fois une partie entière, car le numérateur et le dénominateur ont même degré. Cette partie entière obtenue en faisant la division euclidienne vaut 1 et on a: X 2 + 2X + 5 5X + 3 =1+ 2 X 2 3X + 2 X 3X + 2 Le dénominateur se factorise en (X 1) (X 2) et on trouve …nalement utilisant les techniques décrites dans la question précédente X 2 + 2X + 5 =1 X 2 3X + 2
8 X
1
+
13 X 2
Exercice II Le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur. Il faut diviser X 4 X + 2 par (X 1) X 2 1 = X 3 X 2 X + 1 On trouve F (x) =
X4 X + 2 2X 2 X + 1 = X + 1 + (X 1) (X 2 1) (X 1) (X 2 1)
On pose G (X)
= =
2X 2 X + 1 2X 2 X + 1 = 2 2 (X 1) (X 1) (X 1) (X + 1) a b c + 2 + (X 1) X +1 (X 1) 2
On multiplie par (X 1) et on pose X = 1 on trouve a = 1 Ensuite on multiplie par X + 1 puis X = 1; on trouvec = 1 En…n,on multiplie par X et en tend X ! 1 on a: 2=b+c)b=1 alors F (X) = X + 1 +
1 (X
2
1)
128
+
1 (X
1)
+
1 X +1
Exercice III La décomposition s’écrit n X1
F (X) =
k
X
k=0
On utilise la formule
!k = e
! kn P (! k ) = Q0 (! k ) n! kn
=
k
!k
;
et donc F (X) =
1
1 n
=
1
i2k n
n 1 1X 1 n X !k k=0
Exercice IV a) Puisque 1 1 = X (X + 1) X
1 ; X +1
il vient que 1 X3
1 X3 + 1
et il ne reste qu’à décomposer 1 X3 + 1
= =
1 (X + 1) (X 2 1 3
1 X 2 3 X2 X + 1
X +1
Exercice V En multipliant la décomposition par (X G=
+
(X
X + 1)
2
a) ; on obtient
a) + (X
2
a)
U1 V1
On trouve = G (a) puis en dérivant on trouve = G0 (a) La généralisation est immédiate. Si la fraction F possède un pôle d’ordre k; F =
U (X
k
a) V1
=
1
X
a
+
2
(X
129
2
a)
+ ::: +
k
(X
k
a)
+
U1 V1
en multipliant par (X G
=
(X
=
k
k
a) ; on trouve k
a) F = +
k 1
U V1
(X
a) + ::: +
1
(X
k
a) + (X
k
a) :
U1 V1
d’où l’on tire en dérivant k fois, que k k 1 k 2
1
= G (a) = G0 (a) G00 (a) = 2 ::: G(k) (a) = k!
Exercice VI Regarder pour un polynôme de degré 2; puis utiliser formellement la dérivée logarithmique. En…n décomposer la fraction P 0 (X) P (X) On trouve S1 =
P 0 (a) P (a)
puis en dérivant, S2 =
(P P 0 ) 2P 02 (a) P2
Exercice VII 1. est une racine simple de Q donc il existe Q1 tel que Q = (X
F = En multipliant par X
) Q1 avec Q1 ( ) 6= 0
P P a = = Q (X ) Q1 X
+ :::
, puis en faisant X = , on trouve a=
P( ) Q0 ( )
130
2. Xn
1=
n Y1
X
e
2ik n
k=0
Donc il existe a0 ; a1 ; :::; an
tels que:
1
F =
n X1 k=0
ak X
e
2ik n
En appliquant le résultat de 1., avec etQ0 = nX n
P =X e
ak =
n e Donc F =
2ik n
n 1
2ik n
n X1 k=0
=
1
1 4ik e n n
1 4ik n ne
X
e
2ik n
Exercice VII Décomposer en éléments simples dans R les fractions rationnelles suivantes: 1
F1 =
(X 4
2
1)
X2 + 1
F2 =
4
(X
1) (X 3 + 1)
F3 =
1 X6 1
F4 =
X5
3X 3 + X 2 3
(X 2 + 2X + 2)
Solution 1
F1
= = =
1 (X 4
2
1)
1 (X 2 (X
2
2
1) (X 2 + 1) 1 2
2
1) (X + 1) (X 2 + 1)
131
On pose alors F1 =
a X
1
+
d eX + f b c + + + 2 2 2 X + 1 (X 1) (X + 1) (X 2 + 1)
De plus, la fraction F1 est paire: F1 (X) = F1 ( X) avec F1 ( X) =
a b c d eX + f + + + 2 + 2 X + 1 X 1 (X + 1)2 (X 1) (X 2 + 1)
Ceci donne comme équations: a = b c = d e = 0 Alors F1 se réduit à l’expression suivante: F1 (X) =
a X
1
+
a c c f + + + 2 2 2 2 X + 1 (X 1) (X + 1) (X + 1)
132
Problèmes Proposés Applications linéaires & Applications Problème 1 Soit R2 l’espace vectoriel muni de la base canonique (! e 1; ! e 2) : Soit la base polaire dé…nie par les vecteurs: ! e r ( ) = cos :! e 1 + sin :! e2 ! ! e = er + 2 Soit f l’endomorphisme de R2 dé…ni par: f (! e 1) = ! er( ) ! ! f ( e 2) = e 1 = Déterminer la matrice R( ) associée à l’endomorphisme f dans la base canonique 2 = Montrer que l’ensemble des matrices R( ) forme un groupe 3 = Calculer la matrice de l’endomorphisme f 2 dans la base canonique 4 = En déduire que la matrice de l’endomorphisme f n avec n 2 N; est R(n ) 5 = En déduire la matrice de l’endomorphisme f 1 6 = Montrer que l’endomorphisme f est diagonalisable ! 7 = Déterminer tous les vecteurs V qui satisfont ! ! f V = V;
2C
(1)
8 = Déterminer la matrice de l’endomorphisme f dans la base des vecteurs qui satisfont la relation (1) 9 = Déterminer la matrice de passage P de la base canonique à la base des vecteurs qui satisfont la relation (1) 10 = Montrer que 8 ! u ! ! u f(u)
2 R2 avec k! u k = 1, = cos
133
Exercice 1 Soit la suite numérique (Un ( )) dé…nie par U1 ( ) 8n
= 2 cos ; U2 ( ) = 4 cos2 1; 2 N; n 2; Un ( ) = 2 cos :Un
2 ] ; [ Un 2 ( ) 1( )
En posant Xn ( ) = 1 = Trouver la matrice
Un ( ) Un 1 ( )
;
( ) satisfaisant la relation Xn ( ) =
( ) :Xn
1
( )
2 = Montrer que 8n
2; Xn ( ) =
n 2
( ) :X2 ( )
3 = A l’aide des résultats du problème, montrer que le terme général de la suite (Un ( )) s’écrit: sin [(n + 1) ] sin
Exercice 2 Soit (! e 1; ! e 2; ! e 3 ) une base de R3 : On pose ! f1=! e 1 + 2! e2+! e3 ! f 2 = 3! e1 ! e 2 + 4! e3 ! ! ! f 1 = 7 e 1 + 27 e 2 + 5! e3 ! ! ! 1 ) Montrer que f 1 ; f 2 ; f 3 une base de R3 ! ! ! 2 ) Ecrire la matrice de passage de la base (! e 1; ! e 2; ! e 3 ) à la base f 1 ; f 2 ; f 3 : Calculer l’inverse de cette matrice. ! ! ! 3 ) Calculer les coordonnées du vecteur ! e 1 +! e 2 +! e 3 dans la bse f 1 ; f 2 ; f 3 :
134
Exercice 3 Considérons les vecteurs
! u 1 = (1; 2; 0) ! u 2 = (1; 1; 1)
! u 3 = ( 1; 0; 3) ! ! 1 ) Montrer que ( u 1 ; u 2 ; ! u 3 ) est une base de R3 : ! 2 ) Soit x le vecteur de matrice 0 1 1 @ 2 A 3
dans la base (! u 1; ! u 2; ! u 3 ) : Donner la matrice de ! x dans la base canonique. ! 3 ) Soit y le vecteur de matrice 0 1 1 @ 2 A 3
dans la base canonique. Expliciter la matrice de ! y dans la base (! u 1; ! u 2; ! u 3) : Problème 2 Soit u l’application de R4 vers R4 dé…nie pour tout vecteur (x; y; z; t) par la formule: u (x; y; z; t) = (2x + y
3z
2t; 2x + y
3z
4t; 2x + y
3z
3t; 0)
On pose ! ! a = (1; 1; 1; 0) ; b = (2; 4; 3; 0) ; ! c = (3; 0; 2; 0) 1 ) Montrer que u est endomorphisme de R4 : 2 ) Ecrire la matrice de u dans la base canonique (! e 1; ! e 2; ! e 3; ! e 4 ) de R4 : ! ! 3 ) Montrer que ! a et b sont des éléments de Im (u), puis que ! a; b constitue une base de Im (u) : L’application u est-elle bijective? Préciser la dimension du noyau Ker (u) : 4 ) Montrer que que ! a et ! c sont des éléments de Ker (u), puis que (! a ;! c) constitue une base de Ker (u) : 5 ) déterminer la dimension de Ker (u) \ Im (u) et fournir une base de ce sous-espace 6 ) On pose 0 ! ! ! e1= b e1 ! e3 0 ! e2=! a
135
0 ! ! e3= b 0 ! e4=! e4 0 0 0 0 0 0 0 0 Montrer que ! e 1; ! e 2; ! e 3; ! e 4 est une base de R4 : exprimer u ! e1 ; u ! e2 ; u ! e3 ; u ! e4 0 0 0 0 dans la base ! e 1; ! e 2; ! e 3; ! e 4 : en déduire la matrice de u dans cette base.
Exercice 4 Soit R2 ! R3 une application linéaire. On note = (! e 1; ! e 2 ) la base canonique de R2 et ! ! ! = f 1 ; f 2 ; f 3 celle de R3 : L’application u est dé…nie par: ! ! ! u (! e1+! e 2) = f 1 + 2 f 2 + f 3 ! ! u (! e1 ! e 2) = f 2 + f 3 1 ) Exprimer u (! e 1 ) et u (! e 2 ) dans la base ; en déduire la matrice de u par rapport aux bases canoniques et : 2 ) Déterminer Ker (u) : Calculer une base de Im (u) : 3 ) L’application u est-elle injective ? bijective? Justi…er. 4 ) soit v ! v(a)
: R2 ! Im (u) = u (! a ); ! a 2 R2
Montrer que l’application v est bijective Exercice 5 Soit T une application linéaire de R3 vers R3 : Soient r1 et r2 des réels avec r1 6= r2 : 1 ) Montrer que deux vecteurs non nuls ! v 1 et ! v 2 qui véri…ent ! ! ! T(v )=r v ; T(v )=r ! v 1
1
1
forment une famille libre. 2 ) On suppose que la matrice de 0 5 @ 1 3
2
2
2
T dans la base canonique de R3 est 1 6 6 4 2 A 6 4
a) Calculer T (x; y; z) b) trouver une base de chacun des sous-espaces suivants (on admettra que ce sont e¤ectivement des sous-ev): V = ! u 2 R3 j T (! u)=! u 1
c) Montrer que
V2 = ! u 2 R3 j T (! u ) = 2! u R3 = V 1 136
V2
Polynômes Exercice 1 1 ) E¤ectuer la division euclidienne de A (x) = x2 +2x 7 par B (x) = x 1 2 ) Donner 2 façons di¤érentes de caractériser la racine d’un polynôme P 3 ) Soit 1 5 2 1 x x+ P (x) = x3 2 2 2 Ver…er que
1 2
est une racine de P et trouver toutes les racines de P:
Exercice 2 Soit P (x) = 2x3
x2
4x + 3
1 ) Montrer que 1 est racine de P: 2 ) Déterminer son ordre de multiplicité, puis trouver les autres racines de P: Exercice 3 On donne un polynôme P et une racine complexe de P: Factoriser P dans R puis donner toutes ses racines dans C a) P (x) = x3 6x2 + 13x 10; P (2 j) = 0 b) P (x) = 2x3
3x2 + 2x
3; P (j) = 0
Exercice 4 Factoriser dans R les polynômes suivants: P1 (x) = 3x2
4x +
4 3
P2 (x) = x3 + x2 + x + 1 P3 (x) = x3 + x2
x
1
Exercice 5 Montrer que le polynôme P (x) = 4x4
12x3 + 9x2 + 2x
3
admet le nombre 1 comme racine double. En déduire les deux autres racines.
137
Exercice 6 Résoudre dans C les équations suivantes: (Eq1 ) 3x4
4x2 + 1 = 0
(Eq2 ) x4 + x2 + 1 = 0 (Eq3 ) x3 + x2 + x + 1 = 0
Fractions rationnelles Exercice 1 1 ) Qu’est-ce qu’une fraction irréductible? 2 ) Préciser si les fractions F1 (x) =
x2
1
x2
x 2 1 F2 (x) = 4 5x 7x3 + 5x2 2 3 x 2x + 11 F1 (x) = x4 sont irréductibles ou non et si elles sont non irréductibles les simpli…er Exercice 2 1 ) Dé…nir la partie entière d’une fraction rationnelle F (x) =
P (x) Q (x)
Dans quel cas est-elle non nulle? 2 ) Ramener la fraction D (x) =
x4 1) ( x2 + 1)
(x
à la somme d’un polynôme et d’une fraction rationnelle dont le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. Exercice 3: Pôles multiples Décomposer en éléments simples dans R les fractions rationnelles suivantes: G1 (x) = G2 (x) = G3 (x) =
x+1 x (x x2 x (x
2
3) 1
2
2)
1 x2 (x 1)
138
Exercice 4: Eléments simples de seconde espèce Décomposer en éléments simples dans R les fractions rationnelles suivantes: E1 (x) =
x (x + 3) (x2 + x + 1)
E1 (x) = E3 (x) =
1 1) (x2 + 1)
(x
(x
x2 + 1 2) (x2 + x + 1)
Exercice 5: Décomosition dans C Décomposer en éléments simples dans C les fractions rationnelles suivantes: H1 (x) = H2 (x) =
x x3
4x2 +1
x4
139
1
Références 1. Cours d’analyse Tome 4 compléments: Analyse vectorielle-calcul matriciel par Jean Massart, Collection DUNOD 2. Exercices d’algèbre, 1er cycle scienti…que par B. Calvo, J. Doyen, A. Calvo, F. Boschet, Armand Colin_Collection U 3. Algèbre linéaire, cours et problèmes par L. Seymour, Série Schaum 4. Cours de mathématiques du premier cycle par Jacques Dixmier, collection gauthier-villars 5. Algèbre linéaire, DEUG scienti…ques: 1ère et 2 ème années, Volumes 1 et 2, par H. Sureau et Y. Sureau, Editions Armand Colin 6. Algèbre linéaire. Tome 1: Exercices avec solutions, par J. Rivaud, Editions Vuibert 7. Chemins vers l’lagèbre. Tome 2: Exercices avec solutions et rappels de cours, par F. Pécastaings, Editions Vuibert 8. Compléments d’algèbre linéaire, maths spéciales: 1ère et 2ème années, par L. Lesieur, R. Temam et J. Levre, Editions Armand Colin, Collection U 9. Précis de mathématiques: Algèbre 2, par F. Aubonnet, D. Guinin et B. Joppin, 2ème édition, Editions Bréal 10. Mathématiques pour le DEUG, Algèbre et géométrie, 2ème année, Cours et exercices avec solutions, par F. Liret et D. Martinais, Editions Dunod Paris 11. Cours de mathématiques spéciales Tpme 2: Algèbre et applications à la géométrie, par C. Deschamps, E. Ramis et J. Odoux
140
