Représentation graphique de la solution 1. Equipotentielles
Courbes d’égales charge hydraulique, h(x,z)
Equipotentielles (EP)
Représentation graphique de la solution 2. Lignes d’écoulement Chemins suivis par les particules d’eau – tangentiels à l’écoulement Ligne phréatique
Ligne d’écoulement(FL)
Equipotentielles (EP)
Propriétés des Equipotentielles
Ligne d’écoulement (FL)
Equipotentielles (EP)
h(x,z) = constant
(1a)
Propriétés des Equipotentielles
Ligne d’écoulement (FL)
Equipotentielles (EP)
h(x,z) = constant Alors :
h h dx dz 0 x z
(1a) (1b)
Propriétés des Equipotentielles
Ligne d’écoulement (FL)
Equipotentielles (EP)
h(x,z) = constant Alors :
h h dx dz 0 x z
h / x dz Pente équipotentielle h / z dx E P
(1a) (1b) (1c)
Propriétés des lignes d’écoulement z x Géométrie Ligne d’écoulement (FL)
vx
Equipotentielles (EP)
vz
Cinématique A partir de la géométrie
vx dx dz vz FL
(2b)
Propriétés des lignes d’écoulement z x Géométrie Ligne d’écoulement (FL)
vx
Equipotentielles (EP)
vz
Kinematics Cinématique A partir de la géométrie
Maintenant avec la Loi de Darcy
vx dx dz vz FL
vx
h k x
(2b)
vz
h k z
Propriétés des lignes d’écoulement z x Géométrie Ligne d’écoulement (FL)
vx
Equipotentielles (EP)
vz
Cinématique A partir de la géométrie
vx dx dz vz FL
h k x
(2b)
vz
h k z
Maintenant avec la Loi de Darcy
vx
Alors
h x dx (2c) dz h z FL
Orthogonalité entre lignes d’écoulement et équipotentielles
Ligne d’écoulement (FL)
Equipotentielles (EP)
Sur un équipotentiel
Sur une ligne de courant
h / x dz dx h / z EP
h x dx dz h z FL
Orthogonalité entre lignes d’écoulement et équipotentiels
Ligne d’écoulement (FL)
Equipotentielles (EP)
Sur un équipotentiel
h / x dz dx h / z EP
Sur une ligne de courant
h x dx dz h z FL
Alors
dx dx 1 dz dz FL EP
(3)
Propriétés géométriques du réseau d’écoulements
h+h
Y
h
Z
h+2h
FL T
EP t y X z
Q
X
FL Chaque espace compris entre deux équipotentiels correspond à une perte de charge Un tube de courant est l’espace compris entre deux lignes de courant
Q
Propriétés géométriques du réseau d’écoulements A partir de la définition de l’écoulement
h+h
Y
h
Z
h+2h
Q v yx FL
T EP
t y X z
Q
Q
X
FL
(4a)
Propriétés géométriques du réseau d’écoulements A partir de la définition de l’écoulement
h+h
Y
Q v yx
h
(4a)
A partir de la Loi de Darcy
Z
h+2h
FL T
EP t y X z
Q
Q
X
FL
h vk zt
(4b)
Propriétés géométriques du réseau d’écoulements A partir de la définition de l’écoulement
h+h
Y
Q v yx
h
(4a)
A partir de la Loi de Darcy
Z
h+2h
FL T
EP t y X z
Q
Q
X
FL
h vk zt
(4b)
En combinant (4a)&(4b)
yx Q kh zt
(4c)
Propriétés géométriques du réseau d’écoulements A partir de la définition de l’écoulement
h+h
Y
Q v yx
h
(4a)
A partir de la Loi de Darcy
Z
h+2h
FL T
EP t y X z
Q
X
FL
h vk zt
(4b)
En combinant (4a)&(4b)
yx Q kh zt
(4c)
En similaire
Q
Q YX kh ZT
(4d)
Propriétés géométriques d réseau d’écoulements A partir de la définition de l’écoulement
h+h
Y
Q v yx
h
(4a)
A partir de la Loi de Darcy
Z
h+2h
FL T
EP t
Q
X
y
FL
X z
Conclusion Q
yx YX zt ZT
h vk zt
(4b)
En combinant (4a)&(4b)
yx Q kh zt
(4c)
Similairement
(5)
Q YX kh ZT
(4d)
Propriétés géométriques des réseau d’écoulement Q Q
B
EP( h ) C D
FL A
d b a c
h) EP ( h + h
Propriétés géométriques du réseau d’écoulements A partir de la définition de l’écoulement
Q
EP( h )
Q
C D
FL A
d b a c
Q v cd
B
h) EP ( h + h
(6a)
Propriétés géométriques du réseau d’écoulements A partir de la définition de l’écoulement
Q
EP( h )
Q
C D
FL A
d b a c
Q v cd
B
h) EP ( h + h
(6a)
A partir de la Loi de Darcy
h vk ab
(6b)
Propriétés géométriques du réseau d’écoulements A partir de la définition de l’écoulement
Q
EP( h )
Q
C D
FL A
d b a c
Q v cd
B
h) EP ( h + h
(6a)
A partir de la Loi de Darcy
h vk ab
(6b)
En combinant (6a)&(6b)
cd Q kh ab
(6c)
Similairement
Q CD kh AB
(6d)
Propriétés géométriques du réseau d’écoulements A partir de la définition de l’écoulement
Q
Q v cd
B
EP( h )
Q
C D
FL A
d b
h) EP ( h + h
A partir de la Loi de Darcy
h vk ab
c
Conclusion cd ab
CD AB
(6b)
En combinant (6a)&(6b)
cd Q kh ab
a
(6a)
(6c)
Similairement
Q CD kh AB
(6d)
Propriétés géométriques du réseau d’écoulements En traçant le réseau d’écoulement à l’aide de la main, il faudrait se rappeler que :
Chaque tube de courant détient le même débit Q La perte de charge entre deux équipotentiels, h, est la même Alors le réseau d’écoulement est considéré comme des “CARRES”
Propriétés géométriques du réseau d’écoulements Démonstration des aires ‘carrés’ à l’aide des cercles circonscrites
Tracé du réseau d’écoulement
Pour calculer le débit ainsi que les pressions interstitielles dans le sol un réseau d’écoulement devrait être tracer.
Le réseau d’écoulement devrait comprendre une famille de lignes orthogonales (de préférence qui décrivent un maillage carré) et surtout devrait satisfaire aux conditions aux limites.
Conditions aux limites familières a. Une surface horizontale ou inclinée sur le contour immergé d’un bassin correspond à une équipotentielle
Eau
H-z
H
h
uw z w
z (7) Repère
Conditions aux limites familières a. Une surface horizontale ou inclinée sur le contour immergé d’un bassin correspond à une équipotentielle
Eau
H-z
H
h
z
w ( H z)
Maintenant uw
Repère
uw z w
(7)
Conditions aux limites familières a. Une surface horizontale ou inclinée sur le contour immergé d’un bassin correspond à une équipotentielle
Eau
H-z
H
h
z
w ( H z)
( H z) w z H w
Maintenant
uw Repère
uw z w
alors
h
(7)
Conditions aux limites familières b. Une limite imperméable correspond à une ligne de courant
Sol perméable
vn=0 Ligne de courant
vt
Matériau imperméable
Conditions aux limites familières c. Ligne à pression interstitielle constante - ex. Surface phréatique
La charge est donnée par
h
uw
w
z
Conditions aux limites familières c. Ligne à pression interstitielle constante - ex. Surface phréatique
La charge est donnée par
et alors
h h
uw
z
w
u w w
z
Conditions aux limites familières c. Ligne à pression interstitielle constante - ex. Surface phréatique
La charge est donnée par
h
uw
z
w
u w
et alors
h
maintenant si la pression interstitielle est constante
u w 0
w
z
Conditions aux limites familières c. Ligne à pression interstitielle constante - ex. Surface phréatique
La charge est donnée par
h
uw
z
w
u w
et alors
h
maintenant si la pression interstitielle est constante
u w 0
et ainsi
h z
w
z
(8)
Conditions aux limites familières c. Ligne à pression interstitielle constante - ex. Surface phréatique
Procédure pour tracer le réseau d’écoulement • Les conditions aux limites de l’écoulement doivent être respectées.
Procédure pour tracer le réseau d’écoulement • Les conditions aux limites de l’écoulement doivent être respectées. • Tracer un réseau grossier mettant bien en relief les conditions aux limites et ayant des équipotentiels et des lignes de courant orthogonaux. (il est commun de visualiser le mode d’écoulement, alors il faut commencer par dessiner les lignes de courant).
Procédure pour tracer le réseau d’écoulement • Les conditions aux limites de l’écoulement doivent être respectées. • Tracer un réseau grossier mettant bien en relief les conditions aux limites et ayant des équipotentiels et des lignes de courant orthogonaux. (il est commun de visualiser le mode d’écoulement, alors il faut commencer par dessiner les lignes de courant). • Modifier le maillage pour qu’il épouse les conditions définies plus haut et de telle sorte que les lignes de courant et les équipotentiels forment des quadrilatères curvilignes ayant une forme aussi carrée que possible.
Procédure pour tracer le réseau d’écoulement • Les conditions aux limites de l’écoulement doivent être respectées. • Tracer un réseau grossier mettant bien en relief les conditions aux limites et ayant des équipotentiels et des lignes de courant orthogonaux. (il est commun de visualiser le mode d’écoulement, alors il faut commencer par dessiner les lignes de courant). • Modifier le maillage pour qu’il épouse les conditions définies plus haut et de telle sorte que les lignes de courant et les équipotentiels forment des quadrilatères curvilignes ayant une forme aussi carrée que possible. • Affiner le réseau d’écoulement en répétant les étapes précédentes. Le réseau est tracé par approximations successives. Avec cette façon de procéder, la perte de charge entre deux équipotentielles voisines est constante.
Valeur de la charge hydraulique sur les équipotentielles h
H
(9)
Nombre d’intervalles équipotentiels
Ligne phréatique 15 m
Repère h = 15m
h=0
h = 12m
h = 9m
h = 6m
h = 3m
Calcul du débit Ligne phréatique
15 m h = 15m
h=0
h =12m
Pour un tube de courant de largeur 1m
:
h = 9m h = 6m
Q = k h
h = 3m
(10a)
Calcul du débit Ligne phréatique
15 m h = 15m
h=0
h =12m
Pour un tube de courant de largeur 1m pour k = 10-5 m/s et une largeur de 1m
:
h = 9m h = 6m
h = 3m
Q = k h
(10a)
Q = 10-5 x 3 m3/sec/m
(10b)
Calcul du débit Ligne phréatique
15 m h = 15m
h=0
h =12m
h = 9m h = 6m
h = 3m
Q = k h
(10a)
pour k = 10-5 m/s et une largeur de 1m
Q = 10-5 x 3 m3/sec/m
(10b)
Pour les 5 tubes de courant
Q = 5 x 10-5 x 3 m3/sec/m
(10c)
Pour un tube de courant de largeur 1m
:
Calcul du débit Ligne phréatique
15 m h = 15m
h=0
h =12m
h = 9m h = 6m
h = 3m
Q = k h
(10a)
pour k = 10-5 m/s et une largeur de 1m
Q = 10-5 x 3 m3/sec/m
(10b)
Pour les 5 tubes de courant
Q = 5 x 10-5 x 3 m3/sec/m
(10c)
Pour une largeur de barrage de 25m
Q = 25 x 5 x 10-5 x 3 m3/sec (10d)
Pour un tube de courant de largeur 1m
:
Calcul du débit Ligne phréatique
15 m h = 15m
h=0
h =12m
h = 9m h = 6m
h = 3m
Q = k h
(10a)
pour k = 10-5 m/s et une largeur de 1m
Q = 10-5 x 3 m3/sec/m
(10b)
Pour les 5 tubes de courant
Q = 5 x 10-5 x 3 m3/sec/m
(10c)
Pour une largeur de barrage de 25m
Q = 25 x 5 x 10-5 x 3 m3/sec (10d)
Pour un tube de courant de largeur 1m
En mètre linéaire
:
H Q k Nf Nh
(10e)
Calcul de la pression interstitielle Ligne phréatique
15 m
5m
h = 15m
h=0
P
h = 12m
5m La pression interstitielles à partir de
h = 9m
h = 6m
uw Ph z w
h = 3m
(11a)
Calcul de la pression interstitielle Ligne phréatique
15 m
5m
h = 15m
h=0
P
h = 12m
5m La pression interstitielles à partir de
À P, en utilisant la base du barrage comme côte de référence