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´ AbdelMalek Essaadi Universite Facult´ e des Sciences et Techniques Tanger
´ Preface eface
´ D´ epartement Des Sciences Math ematiques epartement ematiques Ce polycop p olycopi´ i´e s’adress s ’adress e aux ´etudiants etudiants de la l a premi` pr emi`ere ere ann´ a nn´ee ee du d u DEUG scientifique. scientifiq ue. Il constitue co nstitue le programme du mo dule M111 enseign´ e a` la FSTT. Des exemples d’illustration y sont propos´es. es. Des d´emonstr emo nstrati ations ons de certa c ertains ins th´eor` eor`emes emes et prop p rop ositio osi tions ns sont s ont ´egalement egal ement present´ pre sent´ees. ees . Le polycopi´ po lycopi´e contient contie nt huit chapitres: cha pitres:
` ´ Introduction l’alg ebre ebre lineaire eaire
Modules M111
• Ensembles, Applications, Relations • Espaces Vectoriels • Applications Applica tions lin´eaires eaires • Matrices • D´eterminants etermin ants et leurs applications applic ations • Polynˆomes omes • Fractions Rationnelles • R´eduction eduction des endomorp e ndomorphismes hismes Une s´erie erie d’exercices d’exer cices est present´ee ee a` la fin de chaque chaque chapitre. chapitre. Cette Cette s´ erie erie d’exercice contient contient ´egalement egal ement des examens exam ens propos´ pro pos´es `a la FSTT depuis 1996.
A l’usage des ´etudiants etudiants du d u DEUG MIPC et DEUT
Nous vous remercions par avance pour toute remarque ou critique et/ou suggestion constructive et nous vous vous souhaitons souhaitons bon courage. courage.
Abdesslam ARHRIB Tanger le 10 Octobre 2007. Abdesslam ARHRIB e–mail:
[email protected]
5 7 Fractions Rationnelles 7.1 Corps des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 7.2 D´ecom e compo posi siti tion on en ´el´ e l´emen e mentt sim simpl ples es.. . . . . . . . . 7.2. 7.2.11 Divi Divisi sion on suiv suivan antt les les expo exposa san nts croi croiss ssan ants ts:: 7.2. 7.2.22 R´esul e sulta tats ts gen gen´erau e raux. x. . . . . . . . . . . . . 7.2.3 D´ ecomposition ecomposition dansC[X C[ l X ] . . . . . . . . . 7.3 D´ ecomposition ecomposition dans IR[ IR[X X ] . . . . . . . . . . . . . 7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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87 87 88 88 89 90 91 93
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8 R´ eduction des endomorphismes 8.1 8.1 Vecte ecteur urss prop propre ress et et val valeu eurs rs prop propre ress d’u d’un n end endom omor orph phis isme me . 8.1.1 Vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Sous espace propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 8.3 Poly Polynˆ nˆ ome o me car carac actt´eris e risti tiqu quee d’u d’un n endo endomo morp rphi hism smee . . . . . . 8.4 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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95 . 95 . 95 . 96 . 98 . 100 . 104 . 108
6
8 P V V F F
Chapitre 1
Q V F V F
P et Q et Q V F F F
Remarque:
Ensembles, Applications, Relations
Deux propositions sont incompatibles si leur conjonction est toujours fausse. Exemple: a. “P et P et non P non P ” ” sont incompatibles.
1.1 1.1
Noti Notion onss de de Log Logiq ique ue
b. “x < 3” et “x “x > 5” sont incompatibles. c. “x = 1” et “x “ x = 2” sont incompatibles.
Assertion D´ efini efi niti tion on:: Une assertion assert ion est l’´enonc´ enonc´e d’une propri´et´ et´e qui q ui est e st exclusi e xclusivement vement vraie v raie (V) ou fausse f ausse (F).
Disjonction: La disjonction de deux propositions P et Q que l’on note “P ou Q” est vraie si au moins l’une des propositions P, Q est vraie, fausse dans tous les autres cas.
Exemples: a. 2 = 3 est une assertion fausse. b. 6 > 2 > 2 est une assertion vraie. c. “Le Maroc est un pays du continent Americain” est une assertion fausse.
P V V F F
Proposition: D´ efini efi niti tion on:: Une proposition proposition P P est est un enonc´e contenant une variable, elle sera vraie pour certaines valeurs de la variable et fausse pour toutes les autres valeurs de la variable.
P ou Q ou Q V V V F
Implication:
⇒
Exemple x > 4 > 4 est une proposition, elle est vraie p our les nombres strictement sup´erieurs erieurs a` 4, fausse dans tous les autres cas.
⇒ ⇒
P V V F F
D´ efini efi niti tion on:: La n´egation egation d’une prop osition P osition P que que nous noterons non P (ou P (ou P )) est vraie lorsque P lorsque P est fausse, fausse lorsque P lorsque P est vraie. P V F
P F V
P F F V V
Q V F V F
⇒ ⇒ Q)
P ou Q o u Q (P ( P V F V V
⇒
Les deux derni`eres eres lignes de la table de v´erit´ erit´e de P de P Q montrent que P que P peut pe ut ˆetre etre fausse alors que l’implication reste vraie et ce peut importe la valeur de verit´e de Q de Q.. Exemple
Exemple: non nonP : x
≤3
Conjonction: D´ efini efi niti tion on:: Soien Soientt P et Q deux propositions. propositions. On appelle conjonction conjonction de P de P et Q et Q que nous notons “P et Q et Q”” la proposition qui est vraie si et seulement si P et Q et Q sont vraies simultanement et fausses
⇒ ⇒ Q
Il est un signe sur lequel il semble important de s’attarder: “ ”. Quelle est la signification signification de P de P ou P ou P et Q et Q sont deux propositions. D´ efini efi niti tion on:: La relation “(P “(P ou Q ou Q)” )” s’appelle l’implication de Q de Q par P et P et se note: P Q et s’enonce P implique Q .
N´ egation egation d’une proposition. proposit ion.
P : x > 3;
Q V F V F
Les assertions suivantes sont vraies 1. 6 est un nombre premier Rabat est la capitale du Maroc 2. Tanger est la capitale du Maroc 6 est un nombre premier. Si P Si P Q: on on dit que: P est une condition suffisante de Q, Q est une condition n´ ecessaire ecessaire de P.
⇒
⇒ ⇒
⇒
15
1.4.3
1.5
Relation d’´ equivalence
R R
D´ efinition: Une relation binaire d´ efinie par son graphe G est une relation d’´ equivalence si et seulement si elle est reflexive, sym´etrique et transitive. Exemples: Soit la relation binaire d´efinie sur IR par x, y G , x y si et seulement si x = y. i.) son graphe G = (x, y) IR2 ; x = y est la droite vectorielle y = x ii.) est reflexive, sym´etrique et transitive, c’est donc une relation d’´equivalence.
{
R
1.4.4
∈
∈
}
R
Classe d’´ equivalence
R
∈
1. Soit une relation d’´equivalence sur E . Pour x E , la classe de x modulo cl(x)) est d´efinie par x ¯ = cl(x) = y E ; x y E
{ ∈
R (not´ee x¯ ou
R}⊂
2. l’ensemble de toutes les classes d’´ equivalence est appel´e ensemble quatient de E par R not´ e: E/R. Propri`et´es:
R est une relation d’´equivalence sur E on a: ∀(x, y) ∈ E × E , xRy ⇔ cl(x) = cl(y)
1. Si
2. Les classes d’´ equivalence forment une partition de E, c’est a` dire (si cl(x) cl(x) = cl(y) et la r´eunion de toutes les classes est l’ensemble E : E =
∪
∩
∪∅
∪
∩
∪
− ∩
Exercice 2. A, B et C trois parties de E : A∩B A B A∪B A B a. Montrer que C E = C E C E et C E = C E C E b. Montrer que A (B C ) = (A B) (A C ) et A (B C ) = (A c. On d´efinit la diff´erence (B A) de deux ensembles A et B par:
∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ − B − A = {x ∈ B et x ∈ / A} Monter que B − A = B − (A ∩ B) = B ∩ C
Exercice 3. A et B e´tant deux parties quelconques de E , montrer que: B A a. A B C E C E b. A B = B A B = A B c. A B = A C E A d. A B = E C E B
⊂ ⇐⇒ ⊂ ∪ ⇐⇒ ∩ ∩ ∅ ⇐⇒ ⊂ ∪ ⇐⇒ ⊂ ∪ ⊂ ∪
∩ cl(y) = ∅ alors
∪ ∈IRcl(x) = ∪ ∈IR{x} = IR, on a donc bien une partition de IR
∩ ⊂ ∩
P
⊂
P
Exercice 5. On app elle diff´erence sym´etrique entre deux ´el´ements A et B de (E ), l’ensemble des ´el´ements de E qui appartiennent `a l’une des parties A ou B sans appartenir `a l’autre. On note
x E cl(x)
{ ∈ | ∈
∈
A∆B = x E (x A et x / B) ou (x
} {}
∩ B) ∪ (A ∩ C )
A E
∪∈
R { ∈ R } { ∈
x
Exercice 1. A ´etant une partie quelconque de E , donner le r´esultat de chacune des op´erations suivantes: A A A C E A; A A; A ; A E ; A E ; E C E ; E A C E .
Exercice 4. Soit A, B et C trois ´el´ements de (E ). prouver que: Si [(A B) (A C ) et (A B) (A C ) alors B C
Exemple: La relation d´efinie sur IR par: x y si et seulement si x = y est une relation d’´equivalence. x IR ; cl(x) = y IR/x y = y IR/x = y = x x
Exercices
∪ ∩
D´ efinition:
∀ ∈
16
∈ B et x ∈/ A)}
´ Etablir les relations: a. A∆B = (A B) (A B) b. A∆B = [A (A B)] [B A∆B A∪B c. C E = (A B) C E
∪ − ∩ − ∩ ∪ − (A ∩ B)] ∩ ∪
Exercice 6. Soient p et q deux assertions. On notera pαq l’assertion ( p et non q) et pδq l’assertion (( pαq ) ou (qαp)) 1) Ecrire la table de verit´ e de pαq . 2) Ecrire la table de verit´ e de pδq . 3) Soit r une assertion, montrer que les assertions “( pδq )δr)” et “ pδ (qδr)” sont ´equivalentes.
{ ∈ | }
{ ∈ | }
4) Soient E un ensemble et A et B deux parties de E d´efinies par A = x E p et B = x E q . B On pose A B = A C E et A∆B = (A B) (B A) Donner une nouvelle d´efinition de A B et de A∆B en utilisant les assertions p et q.
−
−
∩
− ∪ −
5) En d´eduire l’´egalit´e (A∆B)∆C = A∆(B∆C ). Exercice 7. Soient f une application de E dans F , A et B deux parties de E . Montrer que: a. si A B alors f (A) f (B) b. f (A B) = f (A) f (B) c. f (A B) f (A) f (B)
⊂ ∪ ∩ ⊂
∪ ∩
⊂
17 que si f n’est pas injective l’inclusion c est stricte. e. Si A B alors f −1 (A) f −1 (B) f. f −1 (A B) = f −1 (A) f −1 (B) g. f −1 (A B) = f −1(A) f −1 (B) A h. Montrer que: f injective A (E ): f (C E )
⊂ ∩ ∪
⊂ ∩ ∪
⇐⇒ ∀ ∈ P
⊆ C (
f A) F
→ F , A et B deux parties de F telles que B ⊂ A.
Exercice 8. Soient f une application de E Montrer que: f −1 (A
− B) = f −1(A) − f −1 (B) −1
f f −1 (C A ) = C E
→
(A)
E
→
→
Exercice 9. Soient f : A B , g: B C et h: C B trois applications. a. V´erifier que (hog)of = ho(gof ). b. Montrer que si f et g sont surjectives (respectivement injectives) alors g of est surjective (respectivement injective). c. Montrer que si gof est injective alors f est injective. d. Montrer que si gof est injective et f surjective alors g est injective. e. Montrer que si gof est surjective alors g est surjective. f. Montrer que si gof est surjective et g injective alors f est surjective. g. Montrer que si f et g sont bijectives alors g of est bijective et on a (gof )−1 = f −1 og−1 Exercice 10. Soient E , F deux ensembles et f une application de E dans F . 1. Montrer que pour toutes parties X , Y de F on a : a. f −1 (X Y ) = f −1 (X )
∩
b.
∩ f −1(Y )
f −1 (X ∪ Y ) = f −1 (X ) ∪ f −1(Y )
c. f −1 ( ) =
∅ ∅
d.
f −1 (F ) = E
2. Montrer que pour toute partie A de E , A f −1 (f (A)) 3. Montrer que les deux conditions suivantes sont ´equivalentes:
⊂
i.
∀ A ∈ P (E )
A = f −1 (f (A))
ii. f est injective Exercice 11. Pour d´ emontrer une suite d’assertions A(n), o` u n est dans IN, la m´ ethode dite “par r´ecurrence” consiste a` d´ emontrer d’ab ord l’assertion pour n = 0 [ou peut-ˆetre pour n = 1], puis `a montrer que, si l’assertion A(n) est vraie, alors A(n + 1) l’est aussi. Montrer par r´ecurrence que: a. An = 1 + +3 + . . . + (n 1) + n = n(n2+1) n+1) b. Bn = 12 + 22 + 32 + . . . + (n 1)2 + n2 = n(n+1)(2 6 c. Pour tout n IN, (1 + a)n 1 + na, a et n e´tant deux entier s naturels non nuls. d. La suite de Fibonacci (xn )n≥0 est d´efinie par:
−
∈
≥
−
x0 = 1 , x1 = 1 , xn = xn−1 + xn−2
pour tout n
Montrer par r´ecurrence que: xn =
√ √ √ 15 {( 1 +2 5 ) +1 − ( 1 −2 5 ) +1} n
n
≥2
18
20 b. (ZZ, T ) tel que :
× −→ ZZ −→ x ∗ y = xy + y
ZZ ZZ (x, y)
∈ ZZ, donc * est une l oi de composition interne.
xy + y
Chapitre 2
Propri´et´ es Soit (E , T ) un ensemble muni d’une loi de composition interne T. On dit que:
Espaces Vectoriels D`es notre jeune aˆge, nous avons appris que le mouvement du pendule simple peut ˆetre mod`elis´e par l’´equation diff´erentielle du second ordre suivante: y ′′ + w2 y = 0
(2.1)
Il est evident de se convaincre que si y 1 et y 2 sont solutions de (2.1) alors y 1 + y2 et aussi solution de (2.1). De mˆeme p our tout λ IR, si y 1 est solution de (2.1) λy 1 est aussi solution. En g´en´eral, un prob`eme qui v´erifie ce genre de propriet´es est dit lin´eaire. Par la structure d’espace vectoriel, nous abordons une s´ erie de chapitres d’alg`ebre lin´ eaire qui constituera, avec d’autres outils d’analyse, le cadre math´ ematique pour la r´ esolution de probl` emes lin´eaires. Tout au long de ce chapitre, K d´esi gnera k = IR ou C. l
∈
2.1 2.1.1
Loi de composition interne et externe: Loi de composition Interne
x est le sym´etrique de x dans E
Exemples: a. 0 est l’´el´ement neutre de ZZ p our la loi ”+” b. 1 est l’´el´ement neutre de ZZ p our la loi ”x” c. Tout ´el´ement x ZZ est sym´ etrisable pour la loi ”+”, il admet comme sym´ etrique x′ = (x + x′ = x x = 0; x′ + x = x + x = 0)
∈
−
−
− x
Partie stable Soit (E, T ) une loi interne et A une partie de E . On dit que A est stable pour la loi T si pour tout x, y A; xT y A.
∈
∈
Exemple
D´ efinition Soit E un ensemble. on appelle loi de composition interne entre ´el´ement de E , tout application de E E dans E . A tout couple (x, y) E 2 , la loi associe un ´el´ement unique z E appel´e le compos´e de x et y . Notation:
×
• T est associative si pour tout x,y, z ∈ E : xT (yT z) = (xT y)T z • T est commutative sipour tout x, y ∈ E , xT y = yT x. • e ∈ E est ´el´ement neutre pour la loi T si: pour tout x ∈ E , xT e = eT x = x. • un′ ´el´ement x ∈ E est dit Sym´etrisable pour la loi T s’il existe x′ ∈ E tel que xT x′ = x′ T x = e
∈
∈
{ } {− }
a. Dans (IN , +), la partie 1, 2 n’est pas stable. b. Dans (ZZ, ) la partie 1, 1 est stable pour la multiplication mais pas stable pour l’addition.
×
2.1.2
Loi de composition externe
D´ efinition: E un ensemble donn´e. On appelle loi de composition externe entre ´el´ ements de E et ´el´ements K = IR,C l toute application de K E vers E d´efinie par:
× K × E −→ (α, x) −→
× −→ E −→ xT y
E E (x, y)
(E, T ) signifie que E est muni de la loi de composition interne T . Exemple a. L’ensemble ZZ muni de la loi “+” et “.”
E α.x
L’ensemble K est appel´e le domaine d’op´erateurs. La loi externe sera not´ee par “α . x” ou simplement “αx”.
Exemple:
× ZZ −→ ZZ (x, y) −→ x + y (x, y) −→ x.y
ZZ
≤ n, soit
K = IR, E = IRn [X ] l’ensemble des fonctions polynˆomes a` co efficients dans IR de degr´e P IRn [X ], P (x) = a 0 + a1 x1 + ..... + an xn
∈
IR
× IR [X ] −→ n
(
P )
IRn [X ] P ( ) =
1
n
29 α et β dans (l3 ) nous donne: z = 2(2y est donc:
− x) + x − y. L’´equation du sous espace engendr´e par (u1 , u2 ) x − 3y + z = 0
autre m´ ethode: Les deux vecteurs u 1 et u 2 sont lin´eairement ind´ependant, < u1 , u2 > est un plan vectoriel. Dim< u 1 , u2 >= 2, l’´equation du plan vectoriel < u1 , u2 > est de la forme: ax + by + cz = 0
(2.13)
les vecteurs u 1 et u 2 doivent v´erifi´es (2.13). On a donc le syst`eme des deux ´equations suivantes:
On a plus de variables que d’´ equations. Pour r´esoudre ce syst` eme, on fixe c et on calcul a et b en fonction de c. Le syst`eme est ´equivalent a`:
− −
a + b = 2c 2a + b = c
−3c et a = c. Ses deux solutions remplac´ees dans (2.13) donne: cx − 3cy + cz = 0 0, ce qui donne: Les solutions non triviales sont obtenus pour c = x − 3y + z = 0 on a donc b =
(2.14)
(2.15)
comme ´equation du plan vectoriel. Compl´ eter une famille libre en une base 1. Compl´ eter u 1 = (1, 1, 2), u2 = (2, 1, 1) en une base de IR 3 Dans IR3 , on peut v´ erifier facilement que u 1 = (1, 1, 2), u2 = (2, 1, 1) est une famille libre. Comme toute les bases de IR3 contiennent trois vecteurs, on veut trouver un vecteur u3 = (x,y,z) IR3 de tel sorte que (u1 , u2 , u3 ) soit une base de IR3 . En fait, tout vecteur u 3 de IR3 qui n’appartient pas a` V ect(u1 , u2 ) peut compl´eter (u1 , u2 ) en une base de IR 3 . En effet: (u1 , u2 , u3 ) est une base de IR 3 si et seulement si pour tout α, β , γ IR tels que
∈
∈
αu1 + βu 2 + γu 3 = (0, 0, 0) alors α = β = γ = 0
(2.16)
L’´ equation eq. (2.16) nous donne un syst` eme a trois inconnues α, β et γ et trois ´equations, et dans lequel x,y, z sont des param´etres r´eels. 1
(S )
α + 2β + xγ = 0 α + β + yγ = 0 2α + β + zγ = 0
(c11 ) (c12 ) (c13 )
(2.17)
notre but c’est de trouver une condition sur x, y et z pour que la seule est unique solution du syst`eme (2.18) soit α = β = γ = 0. A cet effet, nous allons appliquer la m´ethode de Gauss. En effet, la premi`ere ´etape consiste a annuler les coefficients de α dans c 12 et c 13 . Ceci est possible en remplacant c12 par c 12 c11 et c 13 par c 13 2c11 . Le syst`eme S 1 devient S 2 :
−
−
2
(S )
α + 2β + xγ = 0 (c21 = c11 ) 0α β + (y x)γ = 0 (c22 = c12
−
−
A ce niveau on pro c´ede de la mˆeme mani`ere avec les ´equations c 22 et c 23 . On annule donc le coefficient de β dans c 23 en remplacant c 23 par c 23 3c22 . En effet, le syst`eme S 2 devient
−
(S 3 )
α + 2β + xγ = 0 (c31 = c21 ) 0α β + (y x)γ = 0 (c32 = c22 ) 0α + 0β + (z 3y + x)γ = 0 (c33 = c23
−
− −
− c11)
(2.18)
(2.19)
− 3c22 )
A ce stade, pour trouver α, β et γ on remonte le syst` eme a partir de c 33 . En fait, la derni`ere ´equation (c33 ) donne une condition sur les coordonn´ees x, y et z du vecteur u 3 qui compl´ete (u1 , u2 ) en une base (u1 , u2 , u3 ) de IR3 . Pour avoir γ = 0, (c33 ) implique que z 3y + x = 0. Ceci veut dire que le vecteur u 3 / < u 1 , u2 >. Avec γ = 0, c 32 et c 31 montrent que β = 0 et α = 0. Tout vecteur u 3 = (x,y,z) tel que z 3y + x = 0 permet de completer (u1 , u2 ) en une base (u1 , u2 , u3 ) de IR3 .
∈
a + b + 2c = 0 2a + b + c = 0
30
−
−
33
∈
et V 2 E 2 a) Soient les applications suivantes:
→ E → V 1
→ E → V 2
p E
q : E
V
V
p (resp q ) est appel´e projection sur E 1 parall`element a` E 2 (resp sur E 2 parall`element a` E 1 ) i) Montrer que p et q sont des applications lin´eaires. ii) D´eterminer ker p, kerq , Im p, Imq . iii) Montrer que p + q = I dE , poq = qop , p2 = p , q 2 = q . b) On consid`ere une application lin´eaire f telle que f 2 = f . Montrer que kerf et Imf sont suppl´ementaires et que f est la projection sur Imf parall`element a` kerf . Exercice 16. Montrer que l’ensemble des applications continues de IR dans IR est un espace vectoriel sur IR, et que dans cet espace vectoriel les fonctions f 1 (x) = e λ1 x , f 2 (x) = e λ2 x , f 3 (x) = e λ3 x , (λi )i=1,2,3 des scalaires deux `a deux distincts, sont lin´eairement ind´ependantes. Exercice 17. Soit E l’espace vectoriel des fonctions de IR dans IR, F le sous espace engendr´e par les fonctions f n : x cos(nx), n IN, et G le sev engendr´ e par les fonctions g n : x cos n x, n IN. Montrer que F = G. Probl` eme Primo: Soit E l’espace vectoriel des suites de nombres r´eels et E , l’ensemble des suites v´erifiant la relation de r´ecurrence: un+2 = un+1 + 2un n 0
→
∈
→
∈
E ⊂
≥
E
a. Montrer que est un sous–espace vectoriel de E . b. Montrer que les suites de termes g´en´eraux a n = ( 1)n et b n = 2n forment une famille libre de .
−
E
E
c. Tenant compte du fait que les suites de sont d´etermin´ees si on connaˆıt u 0 et u 1 , montrer que (an ) et (bn ) forment une base de .
E
d. D´ eterminer les suites de
E telles que u 0 = 1 et u 1 = 2
en´ eralisation secondo: G´
E
Soit l’ensemble des suites de nombres r´eels v´erifiant: un+2 = αu n+1 + βu n ,
∈
(α, β IR)
On suppose que α et β ne sont pas tous deux nuls.
E
a. Montrer que est une sous espace vectoriel de dimension 2 sur IR. b. Chercher une suite de du type a n = r n . Montrer que r doit v´erifier une ´equation de 2 e degr´e. Lorsque cette ´equation admet deux racines r´eelles et distainctes r 1 et r 2 , en d´eduire l’expression de u n en fonction de u 0 et de u 1 .
E
c. Montrer que lorsque l’´equation de 2e degr´ e admet une racine double r, les suites an = rn et bn = nr n forment une base de .
E
d. Montrer que si λ1 et λ 2 sont deux racines complexes conjugu´ ees de l’´equation de 2e degr´e et λ1 = ρeiθ , alors les suites a n = ρn cos nθ et b n = ρ n sin nθ forment une base de .
E
Application D´eterminer le terme g´en´eral des suites d´efinies a. un+2 = 5un+1
− 6u − −
n
b. un+2 = 4un+1 4un c. un+2 = un+1 un
−
34
36
F
vectoriel sur K = IR. On d´efinit sur ([a, b]) l’application Ψ qui, `a chaque fonction d´erivable g de ([a, b]) associe sa fonction d´eriv´ee g ′ :
F
Ψ
Chapitre 3
F
−→ F ([a, b]) −→ Ψ(g) = g ′
([a, b]) g
Ψ est une application lin´eaire.
Applications lin´ eaires
f
−→ F x −→
E
f (x) = 0F
est une application lin´eaire de E dans F , dite application lin´eaire nulle. La beaut´e des structures d’espaces vectoriels reste cach´ee tant qu’elles ne sont pas munies d’applications lin´eaires. Dans ce chapitre on se propose d’´etudier les applications lin´eaires et leurs caract´eristiques.
f + g
3.1
D´ efinitions et exemples
D´ efinition 1 Etant donn´ es deux espaces vectoriels E et F s ur le mˆeme corps commutatif K , on appelle application lin´eaire de E dans F toute application de E dans F telle que:
∀ x, y ∈ E , f (x + y) = f (x) + f (y) ii) ∀ x ∈ E , ∀α ∈ K f (αx) = αf (x) i)
,
, αf
−→ F −→ (αf )(x) = αf (x)
E x
est un espace vectoriel sur K .
3.2
Propri´et´es des applications lin´ eaires
Th´eor`eme 1: Si f est une application lin´eaire de E dans F , on a les propri´et´es suivantes:
∀x ∈ E
i.) f (0E ) = 0F
i) et ii) p euvent ˆetre rempl ac´es par:
∀x, y ∈ E
L(E, F ) muni des lois: E −→ F x −→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Proposition: L’ensemble
∀α, β ∈ K
−
f ( x) =
−f (x)
ii.) Si E 1 est un sous espace vectoriel de E , f (E 1 )
f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)
iii.)
• Si E = F on dit que f est un endomorphisme. • Si f E → F est bijective, c’est un isomorphisme de E sur F , si de plus E = F , f est un
⊂ F est un sous espace vectoriel de F .
Si F 1 est un sous espace vectoriel de F , f −1(F 1 ) ⊂ E est un sous espace vectoriel de E
∈
Preuve: i.)Soit y f (E ) x + 0E = 0E + x = x.
⊂ F , il existe x ∈ E tel que y = f (x).
On a : y + 0 F = 0F + y = y et
automorphisme.
• L’ensemble des applications lin´eaires de E dans F est not´e L
K (E,
F ).
des endomorphismes de E
L
K (E )
Exemples: 1.) E = F = IR, K = IR, m un param`etre r´eel quelconque, l’application f d´efinie par f (x) = mx. Pour tous x, y IR et α, β IR, f (αx + βy) = m(αx + βy) = αf (x) + βf (y). f est donc lin´eaire.
∈
px (x, y) = x
et
Pour tout x
f (x + 0E ) = f (x) + f (0E ) = f (x) = y = f (x) + 0F f (0E ) = 0F
∈ E , on a: −
⇒ ⇒
x + ( x) = 0E =
∅
=
∈
∈
y1
− −f (x)
f (x) + f ( x) = f (0E ) = 0F
−
f ( x) =
ii.) f (E 1 ) = . Soit α K un scalaire, y1 , y2 f (E 1 ), il existe x 1 , x2 fait que f est lin´ eaire, on a les relations suivantes:
py (x, y) = y
sont des applications lin´earires de IR2 dans IR.
f
=
∈
2.) E = IR2 , F = IR, les applications p x et p y d´efinies de IR2 dans IR par:
3.) l’application
⇒ ⇒
x + 0E = 0E + x = x =
est l’ensemble
∈ E 1 tel que:
y1 = f (x1 ) et y 2 = f (x2 ). Du
− y2 = f (x1) − f (x2) = f (x1 − x2 )
αy1 = αf (x1 ) = f (αx1 ) IR3 IR2 (x,y,z)
−→
−→
f (x,y,z) = (x2 + x, x + y
− z)
n’est pas li n´eaire. Ni i), ni ii) de la d´ efinition 1 n’est satisfaite a` cause du
E 1 est un sous espace vectoriel de E , alors x 1 un sous espace vectoriel de F .
terme x 2 . iii.) On proc`ede de la mˆeme fa¸con que ii).
− x2 ∈ E 1 et αx1 ∈ E 1 . On conclut donc que f (E 1 ) est
46 La matrice est donc rectangulaire de la forme:
M =
Chapitre 4
Soit x
Matrices
a11 a12 a13 a21 a22 a23
× × x1 x2 x3
∈ IR3, x = x1e1 + x2 e2 + x3 e3 =
, son image par f est donn´ee par: f (x) = x 1 f (e1 ) +
x2 f (e2 ) + x3 f (e3 ) = [x1 a11 + x2 a12 + x3 a13 ]f 1 + [x1 a21 + x2 a22 + x3 a23 ]f 2 =
y1
y2
A l’aide des matrices cela peut ˆetre retrouv´ e de la fa¸ con suivante:
4.1
Matrice d’une application lin´ eaire
D´ efinition: Soient E et F deux K espaces vectoriels de dimensions respectives n et p. Soient (e1 , e2 , . . . , e n ) une base de E et (f 1 , f 2 , . . . , f p ) une base de F. f une application lin´eaire de E dans F . Pour tout i = 1, . . . , n, f (ei ) F , donc il existe a i,j ... tels que:
∈
f (e1 ) = a 1,1 f 1 + a2,1 f 2 + . . . + a p,1 f p f (e2 ) = a 1,2 f 1 + a2,2 f 2 + . . . + a p,2 f p .. .= f (e j ) = a 1,j f 1 + a2,j f 2 + . . . + a p,j f p .. . f (en ) = a 1,n f 1 + a2,n f 2 + . . . + a p,n f p
2 3
f i .. . f p
a11 a12 a21 a22 .. .. . . ai1 ai2 .. .. . . a p1 a p2
. . . a1 j . . . a1n . . . a2 j . . . a2n . . . . . .. . . . .. . . . aij . . . ain . . . . . .. . . . .. . . . a pj . . . a pn
×
2 1
p
→ IR
.
a11 a12 a21 a22 .. .. . . ai1 ai2 .. .. . . a p1 a p2
. . . a1 j . . . a1n . . . a2 j . . . a2n . . . . . .. . . . .. . . . aij . . . ain . . . . . .. . . . .. . . . a pj . . . a pn
x1 x2 .. . x j .. . xn
=
y1 y2 .. . yi .. . y p
les y i sont donn´es par: y1 = x1 a11 + x2 a12 + . . . + x j a1 j + . . . + xn a1n y2 = x1 a21 + x2 a22 + . . . + x j a2 j + . . . + xn a2n
Le tableau des a ij s’appelle la matrice de f relativement aux bases (ei )i=1,...,n et (f j ) j =1,...,p . On note M = (aij )1≤i≤ p
y1 = x1 a11 + x2 a12 + x3 a13 y2 = x1 a21 + x2 a22 + x3 a23
3 1
Y = M X =
y1 y2
et soit M = (aij ) sa matrice relative aux bases x1 .. canoniques de IRn et IR p . Posons X = (x1 , x2 , . . . , xn ) = et Y = f (X ) = (y1 , y2 , . . . , y p ) = . xn y1 .. son image par f , les y i s’obtienent de la fa¸con suivante: . y p
f (e1 )f (e2 ) . . . . f ( e j ) . . . . f ( en ) f 1 f 2 .. .
=
Secondo: Soit f une application lin´eaire de IRn
En ´ecrivant en colonne les composantes des f (e j ) dans la base (f 1 ,. . .,f p )
x1 x2 x3
a11 a12 a13 a21 a22 a23
... , 1 j n
≤≤
yi = x1 ai1 + x2 ai2 + . . . + x j aij + . . . + xn ain ... y p = x1 a p1 + x2 a p2 + . . . + x j a pj + . . . + xn a pn
i indice de la i`eme ligne et j indice de la ji`eme colonne. Si n = p la matrice M est dite matrice carr´ee d’ordre n. Exemple: Ecriture matricielle d’une application lin´ eaire Primo: On consid´ere l’application lin´eaire f : IR3 IR2 donn´ee par:
→
f (e1 ) = a 11f 1 + a21 f 2 f (e2 ) = a 12f 1 + a22 f 2
4.1.1
Matrices particuli` eres
Matrice nulle Consid´erons IRn qui est un espace vectoriel de dimension n. L’application lin´eaire nulle Θ de IRn
47 par:
ΘIRn =
0 0 .. .
0 ... 0 ... 0 0 ... 0 ... 0 .. . . . . . . .. . . . .. 0 0 ... 0 ... 0 .. .. . . . . . . . .. . . . .. 0 0 ... 0 ... 0
cette matrice est not´ee ΘIRn et est appel´ee matrice nulle.
Matrice Sym´etrique, antisym´ etrique
Une matrice carr´ee M = (aij ) est dite s ym´etrique si a ij = a ji pour tout i, j.
M =
Matrice Identit´ e L’appli cation lin´eaire identit´e I IRn de IRn dans IRn tel que I IRn (x) = x pour tout x IRn . Consid´erons la base canonique (e1 , . . . , en ) de IRn . On a lors I IRn (ei ) = ei i = 1, . . . , n, la matrice de I IRn relativement a` la base canonique de IRn est:
∈
M I n = IR
1 0 ... 0 1 ... .. .. . . ... 0 0 ... .. .. . . ...
0 ... 0 ... .. . ... 1 ... .. . ...
0 0 .. . 0 .. .
0 0 ... 0 ... 1
48
Elle est dite antisym´etrique si a ij =
M =
4.1.2
a11 a12 .. . a1i .. . a1n
a12 . . . a1i . . . a1n a22 . . . a2i . . . a2n .. . .. . . . . .. . . . . a2i . . . aii . . . ain .. . .. . . . . .. . . . . a2n . . . ain . . . ann
−a
ji pour
− − −
0 a12 .. .
tout i, j.
a12 . . . 0 ... .. . ... a2i . . . .. . ...
a1i .. .
−
a1n
−a2
...
n
a1i a2i .. .
. . . a1n . . . a2n . . . . ..
0 .. .
. .. ain . . . . ..
−a
in
...
0
Des exemples classiques
Homoth´ etie
cette matrice est not´ee I n et est appel´ee matr ice unit´e.
Soit α un r´eel. hx une application lin´eaire de IR2 vers IR2 qui `a (x, y) IR2 fait correspondre α(x, y). Donc h x (e1 ) = αe1 et h x (e2 ) = αe2 , la matrice de h x relativement `a la base canonique de IR2 est:
∈
Matrice Diagonale Consid´erons l’application lin´eaire dIRn de IRn dans IRn tel que pour tout i = 1, . . . , n: d IRn (ei ) = λ i ei , λi IR. La matrice de d IRn relativement `a la base canonique de IRn est:
∈
M d
IRn
= λ i δ ij =
λ1 0 0 λ2 .. .. . . 0 0 .. .. . . 0
0
... ...
0 0 .. .
... ...
0 0 .. .
... ... . . . λi . . . 0 . . . . . .. . . . .. . . . 0 . . . λn
M hx =
α 0 0 α
= α
1 0 0 1
Projecteurs px une application lin´eaire de IR2 vers IR2 qui `a (x, y) IR2 fait correspondre (x, 0). Donc p x(e1 ) = e 1 et p x (e2 ) = (0, 0), la matrice de p x relativement a` la base canonique de IR 2 est:
∈
M px =
cette matrice est appel´ee matrice diagonale.
1 0 0 0
px est appel´ee projection sur ox. La projection p y sur oy est d´efinie par: py (x, y) = (0, y). Sa matrice est donn´ee par:
Matrice Triangulaire Une matrice carr´ee M = (aij ) est dite triangulaire sup´ erieure si on a a ij = 0 pour i > j .
M =
a11 a12 . . . a1i . . . 0 a22 . . . a2i . . . .. .. . . . . . . .. . . . 0 0 . . . aii . . . .. .. . . . . . . .. . . . 0 0 . . . 0 . ..
a1n a2n .. . ain .. . a nn
M py =
0 0 0 1
Consi d´erons f la projection sur la premi` ere bissectrice parall` element a` la seconde bissectrice. On a f (e1 ) = f (e2 ) = 1/2(e1 + e2 ). La matrice de f est: M f =
1 2
1 1 1 1
49
50
∈
1. A M 2,2 (IR),
Sym´ etries 2
2
2
∈
−
sx une application lin´eaire de IR vers IR qui, a` (x, y) IR fait correspondre (x, y). Donc s x (e1 ) = e1 et s x (e2 ) = e2 , la matrice de s x relativement a` la base canonique de IR2 est:
−
M sx =
1 0
0 1
−
A =
a b c d
= a
1 0 0 0
0 1 0 0
+b
E 11
sx est appel´ee sym´etrie par rapport a` l’axe ox parall`element a` l’axe oy. La sym´etrie s y par rapport `a l’axe oy parall`element a` l’axe ox est d´efinie par: sy (x, y) = ( x, y). Sa matrice est donn´ee par: 1 0 M sy = 0 1
−
−
E 12
A =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
E 22
× 2.
a b c d e f
+e
−
E 21
= a
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
+b
0 0 0 0 1 0
+f
+c
0 0 1 1 0 0
E 12
0 0 0 1 0 0
+d
E 13
E 21
0 0 0 0 0 1
E 22
E 23
(E 11 , E 12 , E 13 , E 21 , E 22 , E 23 ) est une base de M 23 (IR) et dimM 23 (IR) = 6 = 2
0 0 0 1
∈
E 11
M f θ =
+d
2. A M 2,3 (IR),
Consid´erons la rotation f θ de centre O et d’angle θ dans le plan IR 2 . D’apr`es la figure on voit facilement que: f θ (e1 ) = cos θe1 + sin θe 2 , f θ (e2 ) = sin θe 1 + cos θe 2 La matrice de f θ relativement `a la base canonique de IR2 est donn´ee par:
0 0 1 0
+c
(E 11 , E 12 , E 21 , E 22 ) est une base de M 22 (IR) et dimM 22(IR) = 4 = 2
Rotation de IR 2
4.2
× 3.
Proposition: Dans l’espace vectoriel M n,n (K ) des matrices carr´ees d’ordre n > 1: i) Le sous-ensemble des matrices sym´ etriques constitue un sous-espace vectoriel de dimension n(n + 1)/2.
Op´ erations sur les matrices
Soit M p,n (K ) l’ensemble des matrices a` coefficients dans K .
ii) Le sous-ensemble des matrices antisym´etriques constitue un sous-espace vectoriel de dimension n(n 1)/2.
−
4.2.1
iii) Le sous-ensemble des matrices diagonales constitue un sous-espace vectoriel de dimension n.
Addition des matrices
On d´efinit l’addition de la fa¸con suivante: M = (aij )
4.2.2
Preuve: Exercice. et N = (bij ) M + N = (aij + bij )
(4.1)
On d´efinit la loi externe par: λM = (λaij )
o` u M = (aij )
(4.2)
Th´eor`eme: M p,n (K ) muni de ces deux lois est un K espace vectoriel. L’´ el´ ement neutre pour la loi “+” est la matrice nulle (tous les coefficients sont nuls). L’oppos´e de M = (aij ) est M = ( aij )
−
Transpos´ ee d’une matrice
D´ efinition: La transp os´ee d’une (n, p)matrice M = (aij )1≤i≤n,1≤ j ≤ p est la matrice ( p, n), not´ee t M d´efinie par: t M = (bij )1≤i≤ p,1≤ j ≤n et b ij = a ji i, j. t M est donc une ( p, n) matrice. On a la propriet´e suivante: t t ( M ) = M
∀
Produit par un scalaire
∀λ ∈ K
4.2.3
−
Proposition: L’espace vectoriel M p,n (K ) est de dimension np et admet pour base la famille des matrices ´el´ementaires E ij (1 i n,1 j p).
≤ ≤ ≤ ≤
E ij = (δ ij,kl )1≤k≤n
≤≤
, 1 l n
en d’autres termes, l’´el´ement a ij de E ij vaut 1, et tous les autres ´el´ements sont nuls. En particulier l’espace vectoriel M n,n (K ) des matrices carr´ ees est de dimension n 2 .
Exemples: 1: La trans pos´ee de M =
1 2 3 4 5 6
2: La transp os´ee de la matrice carr´ee M =
4.2.4
a b c d
1 4 2 5 3 6 a c t est M = b d
est t M =
Produit des matrices
D´ efinition: Le produit de la (n,p) matrice M = (aij )1≤i≤n,1≤ j ≤ p et de la ( p, q ) matrice N = (bkl )1≤k≤ p,1≤l≤q est la (n, q ) matrice not´ee M .N ou M N d´efinie par : p
M N = (cij )1≤i≤n,1≤ j ≤q
,
cij =
aik bkj
(4.3)
51 Exemple:
Calcul pratique de l’inverse d’une matrice
− − × × ×
1 2 1 3 1 1
1 2 1 1 1 3 0 0
1 4 1 1 2 5 1 1 0 3 0 0
=
2 4
3 2
52
Soit A
∈ M (K ), X , X ′ ∈ K
n
n
deux vecteurs tels que
⇒ A−1X ′ = A−1 AX = X ⇒ X = A−1X ′
X ′ = AX
3 4
Produit successif La puissance m-i`eme d’une matrice carr´ee A ´etant d´efinie par:
Exemples: 1 2 1.) A = 1 3
A0 = I , A1 = A , A2 = AA , Am = A m−1 A
La matrice A est dite:
; X =
p
L’inverse de A est donc A −1 =
p
∈ • M (N 1 + N 2 ) = M N 1 + M N 2 • (M 1 + M 2)N = M 1N + M 2N • λ(M N ) = (λM )N = M (λN ) • (M N )P = M (N P ) • (M N ) = N M t
t
∈ M
p,q (IR); λ
M =
2 3 4 6
,
N =
3 2
−
x1 x′2
′
1 + 2x2 ⇒ { xx1′ = x = x 1 + 3x2
; X ′ = AX
2
−2
3 1
−
1
′
′
3x1 − 2x2 { xx12 = . = −x′ + x′ 1
2
1 ) = a 11 e1 + a12 e2 { f (e , f (e2 ) = a 12 e1 + a22 e2
la matrice de f relativement a` la base canonique B est
∈ K :
M [f, B] =
a11 a12 a21 a22
x1 . Sont image par f est Y = f (X ) = x2 f (x1 e1 + x2 e2 ) = x 1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) = x 1 (a11 e1 + a12 e2 ) + x2 (a12 e1 + a22 e2 ) = (x1 a11 + x2 a12 )e1 + (x1 a21 + x2 a22 )e2 , Y est donc d´efinie par: Soit X un vecteur de IR 2 : X = x1 e1 + x2 e2 = (x1 , x2 ) =
−3
Attention: En g´en´eral le pro duit M N = N M , en voici un exemple:
′
2.) Soit f une application lin´eaire de IR2 dans IR2 , B = (e1 , e2 ) la base canonique de IR 2 .
t
; X ′ =
On peut donc exprimer facilement x 1 et x 2 en fonction de x ′1 et x ′2 comme suit:
• involutive si A2 = I • nilpotente s’il existe un p tel que A = o • idempotente s’il existe un p tel que A = A Propri´ et´es du pro duit Soit M , M 1 , M 2 M n,p (IR); N , N 1 , N 2
x1 x2
2
,
M N =
0 0 0 0
et N M =
−
6 4
−3 6
Y = (y1 , y2 ) =
Proposition: Soient E et F deux espaces vectoriels sur K de dimensions n et p. B = (ei )i=1,...,n une base de E , B ′ = (f i )i=1,...,p une base de F . f une application lin´eaire de E sur F , g une application lin´eaire de E sur F alors: M [f + g , B , B′ ] = M [f , B , B′ ] + M [g , B , B′ ]
∀λ ∈ K :
Proposition: Soient E , F et G trois espaces vectoriels sur K de dimensions n, p et q . B = (ei )i=1,...,n une base de E , B ′ = (f i )i=1,...,p une base de F et B ′′ = (gi )i=1,...,q une base de G. f une application lin´eaire de E sur F , g une application lin´eaire de F sur G alors: M [gof,B,B ′′ ] = M [g, B′ , B ′′ ]M [f , B , B ′] D´ efinition: Une matrice carr´ee A M n (K ) est dite inversible s’il existe une matrice A ′ telle que: AA′ = A′ A = I . A′ est dite inverse de A et est not´ee A −1 .
∈
∈ M (K ) n
Proposition: Soient E et F deux espaces vectoriels de mˆ eme dimension n sur K . B = (e1 , . . . , en ) une base de E , B ′ = (f 1 , . . . , fn ) une base de F une application lin´eaire de E F est bijective (c.` a.d isomorphisme) si et seulement si M [f , B , B′ ] est inversible. De plus
→
1
M [f
1
B ′ B]
4.3.1
y1 = x1 a11 + x2 a12 y2 = x1 a21 + x2 a22
=
a11 a12 a21 a22
x1 x2
= M [f, B]X
Changement de base Matrice de passage
Soit E un espace vectoriel de dimension n. B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base de E . B ′ = (f 1 , f 2 , . . . , fn ) une nouvelle base de E d´efinie par :
M [λf,B,B ′] = λM [f , B , B′ ]
(M [f , B , B ′])
4.3
f 1 = p11 e1 + p21 e2 + . . . + pn1 en f 2 = p12 e1 + p22 e2 + . . . + pn2 en .. . f i = p1i e1 + p2i e2 + . . . + pni en .. . f n = p1n e1 + p2n e2 + . . . + pnn en
En utilisant les sommations on note: n
f j = p1 j e1 + p2 j e2 + . . . + pnj en =
pij ei
53 La matrice de passage de la base B `a la base B ′ est la matrice not´ee P B→B et dont les colonnes sont les composantes des vecteurs f i dans la base B : ′
P B→B = ′
p11 p21 .. .
a12 . . . a1 j p22 . . . p2 j .. . . . . . .. pi2 . . . pij .. . . . . . .. pn2 . . . pnj
pi1 .. . pn1
. . . p1n . . . p2n . . . . .. . . . pin . . . . .. . . . pnn
54 ce qui est ´equivalent a` ´ecrire:
X =
x1 x2 .. . xi .. . xn
=
B
4.3.3
Action du changement de base sur les composantes d’un vecteur
∈
n
X =
xi ei =
i=1
n
′
=
xi f i =
i=1
= P B→B X ′ ′
xi .. .
xn
(4.6)
B′
′
(4.7)
′
P B→B Y ′ = M [f , B , B]P B→B X ′ ′
par P −1
′
`a gauche on obtient: 1 ′ Y ′ = P B−→ B M [f , B , B]P B →B X ′
′
On conclut donc que la matrice de f dans la base B ′ est
xi .. .
donn´ee par:
1 M [f, B ′, B ′] = P B−→ B M [f , B , B]P B →B ′
B
′
Exemple:
x1 x2 .. .
(4.4)
B′
−
1 1 la matrice d’une application lin´ eaire relativement a` la base canonique B = 1 1 (e1 , e2 ) de IR2 . Soit B ′ = (f 1 = e1 e2 , f 2 = e1 e2 ) une nouvelle base de IR 2 . La matrice de passage de B `a B ′ est donn´ee par: Soit M B =
xi .. .
xn
... . . . pnn
′ ′
x′1 x′2 .. .
Action du changement de base sur la matrice d’une application lin´ eaire:
apr`es multiplication
′ ′ ′ ′
x1 x2 .. .
xn
pin .. .
Soit f une application lin´eaire de E dans E , B = (e1 , e2 , . . . , en ) et B ′ = (f 1 , f 2 , . . . , fn ) deux bases de E . Soit Y l’image de X par f , on a donc Y = M [f , B , B]X . D’apr` es les formules de changement de base: X = P B→B X ′ et Y = P B→B Y ′ , on aura donc la relation: ′
Soit x E un vecteur de E , de composantes (x1 , . . . , xn ) dans la base B et de composantes (x′1 , . . . , x′n ) dans la base B ′ . On a alors:
. ..
′
′
pn1
. . . p1n . . . p2n .. ... .
1 X ′ = P B−→ B X = P B →B X
(P B→B )−1 = P B →B
4.3.2
pi1 .. .
p12 . . . p1 j p22 . . . p2 j .. . . . . . .. pi2 . . . pij .. . . . . . .. pn2 . . . pnj
La matrice de passage ´etant inversible, de la relation (8.14) on montre facilement que:
Proposition: Une matrice de passage est toujours inversible et on a: ′
p11 p21 .. .
−
P B→B = ′
ceci est ´equivaut a`:
1 −1 − 1 −1
− −
,
P −1 = P B →B = ′
1/2 −1/2 −1/2 −1/2
Soit X un vecteur de composantes (x1 , x2 )B dans la base B et (y1 , y2 )B dans la base B ′. D’apr` es les r elations (8.14) et (4.7), on obtient: ′
n
X =
n
x j f j =
i=1 n
=
n
′ ′ ′ x j (
i=1
pij ei ) =
i=1
n
(
n
n
pij x′ ei j
j =1 i=1
pij x j )ei
i=1 j =1 n
=
xi ei
−
y1 = 1/2(x1 x2 ) y2 = 1/2(x1 + x2 )
(4.5) M B = P −1 M B P = ′
On conclut donc que: x1 = jn=1 p1 j x j′ x2 = jn=1 p2 j x j′ . . . = . . .
et
−
La matrice dans la nouvelle base est donn´ee par:
i=1
− − −
x1 = y 1 y2 x2 = y1 y2
1 1 1 1
−
Matrices semblables D´ efinition: Deux matrices carr´ees d’ordre n A et B sont semblables s’il existe une matrice carr´ ee inversible P d’ordre n telle que:
57
−
d.) Par d´efinition, B = A I 3 et comme AI 3 = I 3 A on peut donc utiliser la formule du binome pour calculer B 3 . En effet, B 3 = A 3 3A2 I 3 + 3AI 32 I 33 = A 3 3A2 + 3A I 3 = 0. On a donc
1 1 1 Exercice 3: Soit la matrice A = 0 1 1 . 0 0 1 a.) Calculer A 2 , A 3 et en d´eduire A n pour tout n IN. b.) D´eterminer KerA et ImA. c.) On pose B = A I 3 , Calculer B 2 , B 3 et en d´eduire l’inverse A −1 de la matrice A. R´ eponse: 1 2 3 1 3 6 1 4 10 a.) A2 = 0 1 2 , A 3 = 0 1 3 , A 4 = 0 1 4 . 0 0 1 0 0 1 0 0 1 De A 2 , A 3 et A 4 , on remarque que A n peut se mettre sous la forme:
A3
∈
4
A =
1 n 0 1 0 0
A partir de cette relation, on en calculer explicitement A −1 :
2
n 1
=
1 n 0 1 0 0
1 n+1 0 1 0 0
n(n+1)
2
n 1
(n+1)(n+2) 2
n+1 1
−
1 1 1 0 1 1 0 0 1
=
1 n + 1 n + 1 + n (n2+1) 0 1 n+1 0 0 1
P B→B = ′
(4.14)
An =
∀nIN b.) KerA =
{(x,y,z) ∈ IR3
} 2
n 1
1 1 1 0 1 1 0 0 1
x y z
=
−
0 0 0
B = A
B3 =
− I 3 =
0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0 0
,
2
B =
0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0 1 1
−
1 1 1
1 1 1
−
1 1 1
−
−
`a la base B. Pour
(c11 ) (c12 ) (c13 )
f 1 = e 1 + e2 + e3 f 2 = e 1 e2 + e3 f 3 = e 1 + e2 e3
−
(4.16)
−
P B →B = P −1 = ′
ImA = IR c.)
La question a.) nous permet de
une manipulation facile de ce syst`eme nous permet d’obtenir (e1 , e2 , e3 ) en fonction de (f 1 , f 2 , f 3 ). La somme (c12 ) + (c13 ) nous donne: e1 = 12 f 2 + 12 f 3 . La diff´erence (c11 ) (c13 ) nous donne: e3 = 12 f 1 12 f 3 . De l’´equation (c11 ) on tire e 2 = 12 f 1 12 f 2 . La matrice de passage inverse P −1 est:
{(x,y,z) ∈ IR3|x + y + z = 0 , y + z = 0 , z = 0} {(x,y,z) ∈ IR3|x = 0 , y = 0 , z = 0} = {(0, 0, 0)} (4.15) 3 3 Comme A est d´efini e de IR → IR , d’apr`es le th´eor`eme de la dimension: dimImA + dmkerA = 3, alors dimImA = 3. Et comme I mA ⊂ IR3 on conclut que I mA = IR3 . Autrement: comme KerA = {(0, 0, 0)}, A est injective, et par cons´equent A est surjective et donc 3 = =
− 3A + 3I 3 .
L’inverse P −1 de P n’est rien d’autre que la matrice de passage de la base B ′ calculer P −1 il suffit d’exprimer (e1 , e2 , e3 ) en fonction de (f 1 , f 2 , f 3 ). En effet,
n(n+1)
1 n 0 1 0 0
= A 2
−
le r´esultat est donc vraie `a l’ordre n + 1, on a donc
|
Exercice 3: Soit B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de IR 3 . B ′ = (f 1 , f 2 , f 3 ) avec f 1 = e 1 + e2 + e3 , f 2 = e 1 e2 + e3 et f 3 = e 1 + e2 e3 une nouvelle base de IR 3 . Calculer la matrice de passage de B `a B ′ ainsi que son inverse. R´ eponse: Par d´ efinition, la matrice de passage de B `a B ′ s’obtient en ´ecrivant les vecteurs f 1,2,3 en colonne en fonction de e 1,2,3 , ce qui donne:
supposons que c’est vraie et montrons que A n+1 prend la mˆ eme forme. En effet: An+1 = An A =
d´eduit que A −1
A−1 = (A2 − 3A + 3I 3 ) =
n(n+1)
− − − − − 3A2 + 3A = A(A2 − 3A + 3I 3 ) = (A2 − 3A + 3I 3) A = I 3 A−1
−
58
1 2
−
0 1 1
1
−1 0
1 0 1
−
65
5.2.4
la matrice de passage est toujours inversible, A est donc inversible.
Preuve: A et B sont semblables alors il existe une matrice inversible P tel que: A = P −1 BP . On a alors: d´et(B)d´et(P ) d´et(A) = d´et(P −1 )d´et(B)d´et(P ) = = d´et(B) d´et(P )
r´ egles pratique:
1. d´et 2.
∈ a c b d
=
d´et
• Si d´et(M ) = 0; rang(M ) = n • Si d´et(M ) = 0 on cherche le plus grand mineur d’ordre (n − 1) qui soit non nul. • Si tout les mineurs d’ordre (n − 1) sont nuls, on cherche un mineur d’ordre (n − 2) qui soit non nul.
5.2.5
σ S 2 ǫ(σ)aσ(1),1 aσ(2),2 = ad
a d g b e h c f k
∈ =
− bc
Exemples de calcul de d´ eterminants.
Soit a` calculer les d´eterminants suivants: 0 a b l1 D1 = a 0 c l2 b c 0 l3
ǫ(σ)aσ(1),1 aσ(2),2 aσ(3),3
σ S 3
− − −
−
−
= aek + dhc + gbf gec ahf dbk = a(ek hf ) b( gf + dk) + c(dh ge)
−
d´ etermination du rang d’une matrice:
Propri´et´ es:
Proposition: Si A et B sont deux matrices semblables alors d´ et(A)=d´et (B).
5.2.2
66
on va developper D 1 suivant la premi`ere colonne, mais avant de faire ainsi on remplace la ligne l 2 par l2 ab l3 (chose qui ne change pas la valeur de D 1 ):
−
−
0 D1 = 0 b
×
D´ efinition: soit M = (aij ) une matrice n n. On appelle mineur relatif au terme a ij le d´eterminant de la matrice (n 1, n 1) obtenu en supprimant dans M la i `eme ligne et la j `eme colonne.
−
−
D2 =
n
d´et(M ) =
−
( 1)k + j akj ∆kj
=
k =1
o` u:
=
• ∆ d´esigne le mineur relatif `a a . • (−1) + ∆ s’appelle le cofacteur de a . • La matrice form´ee par les cofacteurs s’appelle comatrice ij
ij
i j
ij
ij
c
D3 =
M
Exemples: Dans les exemples qui suivent on proc`ede a un developpement selon la premi` ere colonne: a c (+1)a c 1. = = (+1)ad + ( 1)bc b d ( 1)b d 2.
−
a d g (+1)a d g b e h = ( 1)b e h c f k (+1)c f k
−
= +a
e h f k
= +a (ek
Inverse d’une matrice carr´ ee
5.3
d g d g +c f k e h
−
a 1 c
− b)(b − c)
=
a b
0 =
−a b
c a
−
l1 + la2 l2 + ab l3 l3
−
a
−
a c b
a + a1 1 c
−
= b
−
0 a b b a l1 l2 1 b c+a l2 1 c a+b l3
− −
0 1 1 0 1 1 1 c a+b
b = 2abc c
−b + c −1
c a
a + 1a 1 ac b
−
=
l1 + la2 l2 l3
−b + c−
a b
− −
c a
− −
− −
0 a b b a l1 l2 0 b c c b l2 l3 1 c a+b l3
= 0
Application a ` la r´ esolution des ´ equations lin´ eaires
1. D´ efinition: Un syst´eme d’´equation lin´eaire de p ´equations n inconnues x i est de la forme:
∆21
c
b l1 c l 2 ab l3 = b 0 l3
a ac b
− hf ) −b (−gf + dk) +c (dh − ge)
∆11
5.2.3
−b
−a
1 a b + c l1 1 b c + a l2 1 c a + b l3
= (a
−
a c b
−b l1 c l2 b − −1 l3 0 a + 1 −b + 0 1− c− −c −1 b −1 − a2 + b2 + c2 1
D´ eveloppement d’un d´ eterminant suivant une ligne ou une colonne Th´eor`eme: soit M = (aij ) une matrice (n, n). Quels que soient les indices i et j on a:
a
−
∆31
Th´eor`eme: Soit M une matrice carr´ ee d’ordre n est inversible, si d´et(M ) diff´erent de z´ero. Son inverse est donn´ee par: 1 t c M −1 = ( M ) d´ (M )
S np =
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b 1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b 2 .. .. .. . . . . = .. ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = b i .. .. .. . . . ... . = .. an1 x1 + an2 x2 + . . . + a pn xn = b p
(5.1)
71
• pour m = 2 le syst`eme est incompatible (pas de solution).
le syst` eme est donc compatible si
Une autre fa¸con de r´esoudre le syst`eme dans cas est de calculer le d´eterminant caract´eristique. En effet 2 1 0 ∆1 = 1 m 1 = 2m 3 1 1
Le syst`eme admet des solutions si ∆1 = 0, c’est `a dire si m = 0 et pas de solution si m = 0. 4.) R´esoudre le syst`eme suivant:
(S ) =
− − − −
Rang du sys` eme: Pour d´eterminer le rang du syst`eme, on calcul le d´eterminant du syst`eme (S). En effet, 1 1 2 2
1
3
−1 −1 1 4 −2 −2
5 1 =0 8 2
On calcul les mineurs d’ordre 3; ∆11 =
−1 −1 1 4 −2 −2
1 8 2
,
−1 4 −2
1 8 2
,
1 ∆13 = 2 2
−1 1 −2
1 8 2
,
−1 −1 1 4 −2 −2
3 5 4 8 2 2
,
1
1 ∆22 = 2 2
3 5 4 8 2 2
,
1 5 1 8 2 2
,
∆31 =
− −
1 ∆12 = 2 2
1 ∆14 = 2 2
1 1 2
∆21 =
,
1 ∆23 = 2 2 1 ∆24 = 2 2
1 ∆32 = 1 2
−
1 ∆33 = 1 2
− 1 1 2
3 4 2
1 ∆34 = 1 2
,
− −
3
5 1 2
−1 −1 −2 −2 3
−1 −2 1
−1 −2 1
1 ,
∆41 =
5 1 2
,
5 1 2
,
4
1 ∆42 = 1 2
−1
1 ∆43 = 1 2
−1
3
−1 −1 −2 −2
3
−1 −1 1
1 ∆44 = 1 2
,
3 4 1 1
1
5 1 8
5 1 8 5 1 8 3
−1 −1 1
4
Un calcul trivial mais fastidieux montre que tout les ∆ij sont nuls. Le rang du syst`eme est donc 1 1 strictement inf´erieur a` trois. Il est clair que le mineur d’ordre deux δ = = 2 = 0, le rang 1 1 du syst`eme est deux. Le syst`eme est compatible si et seulement si tous les d´eterminants caract´eristiques associ´es a` δ sont nuls. Dans ce cas on a deux d´eterminants caract´eristiques qui sont donn´es par:
−
1 ∆1 = 1
1
−1
a b = 3a + b
− 2c
,
1 δ 2 = 1
1
−1
a b = 2(2b
− d)
−
d = 2b et 3a + b
− 2c = 0
(5.12)
l’ensemble des solutions est donn´ e par: x =
1 (2a + b 3
− 11t − 6z)
en tenant compte de l’´equation (5.12).
x + y + 3z + 5t = a x y z + t = b 2x + y + 4z + 8t = c 2x 2y 2z + 2t = d
det(S ) =
72
,
y =
1 (a 3
− b − 4t − 3z)
∈
z, t R
73
5.5
74
Exercices
−1
1 1 1 1 1 Exercice 1. D´emontrer que: D = 1 1 1 1 1 1 Exercice 2. Calculer les d´eterminants suivants: 1 a0 D(a0 , a1 , a2 ) = 1 a1 1 a2
−
−
a20 a21 a22
1 1 = 1 1
−16
a 0 c 0
,
−
b 0 d 0
a0 a1 a2 a3
a20 a21 a22 a23
0 b = (bc 0 d
Exercice 8. Montrer que pour n 2
− ad)
a30 a31 a32 a33
iii) Mˆeme question pour: m 1 1 1) A = 0 m 0 , X = 1 1 m 2 1 1 1 1 2 1 1 2) A = , X = 1 1 2 1 1 1 1 2
Exercice 3. On se prop ose de calculer le d´eterminant D n : a0 Dn =
0 .. . 0 0
a1 a2 x 0 1 x .. .. . . 0 0 0 0
−
. . . an−1 an ... 0 0 .. . 0 0 .. .. ... . . ... x 0 ... 1 x
−
3) A =
a. Montrer que D n = xDn−1 + an . b. En d´eduire D n en fonction de x, a i (i = 0, 1, . . . , an−1 ) et de n. Exercice 4. Inverser les matrices suivantes: A =
− −
3 2 2 0 1 2
−1 1 1
, B =
1 1 0 0 1 1 1 0 1
C =
1 0 0 1
1 1 0 0
0 1 1 0
≤
Exercice 6. Calculer le d´eterminent: .. . ... . ..
.. . ... ...
Γn =
0 0 0
... ... ... x 1 + x2 x 0 x 1 + x2
Exercice 7. Calculer le determinent suivant: 0 0 .. .
− b2 . . . − b2 . . .
an
− b1
an
−
.. .
.. .
a1 a2
−b −b
n n
=0 .. .. . . b2 . . . an bn
−
0 . .. . . . . . . an 0 . . . . . . an−1 0 .. .. .. .. .. . . . . . 0 . .. ai . . . 0 0 .. .. .. .. .. .. . . . . . .
3 4 1 2 6 8 2 2 9 12 3 10
, X =
x1 x2 x3 x1 x2 x3 x4
x1 x2 x3
et B =
et B =
x1 x2 x3 x4
1 0 1
et B =
et B =
− −
3 2 2 0 1 2
−1 1 1
.
1 1 . 1 3 1 . 2 4 3 7 13
.
Exercice 10. R´esoudre l es syst`emes suivants:
0 0 1 1
Exercice 5. Soient x 1 , x 2 , . . . , x n+1 n nombre r´eels deux a` deux distaincts. Montrer qu’il existe un et un seul polynˆome P `a coefficients r´eels de degr´e n qui prend en x 1 , . . . , xn+1 les valeurs α 1 , . . . αn+1 (c.` a.d P (xi ) = αi ) o` u les α i sont donn´es.
1 + x2 x 0 . .. x 1 + x2 x 0 2 0 x 1+x x ∆n = .. . ... 0 0 ... ... 0 0 ... ...
a1 a2
− − − − −− − −
ii) R´esoudre le syst`eme A.X = B, o` u X =
g´en´eraliser le r´esultat pour D(a0 , a1 , . . . , an−1 )
−1
≥ 3: ∆ =
− b1 − b1
Exercice 9. i) D´ eterminer le rang de la matrice suivante et calculer son inverse A =
1 1 D(a0 , a1 , a2 , a3 ) = 1 1
,
0 a 0 c
a1 a2
− − − −
2x 3y + z = 1 x + 4y 2z = 0 8x y z = 3.
,
3x + 4y + z + 2t = 3 6x + 8y + 2z + 5t = 7 9x + 12y + 3z + 10t = 13.
x y z = 1 2x + 2y 3z = 0 x + 2y z = 0 4x + 3y 5z = 1 ,
,
x y + z + t = 2 x + y z + 2t = 1 y + 2z = 0
x + my + z = 1 mx + y + (m 1)z = m x + y + z = m + 1
,
− −
x y z = 0 mx + my 2z = 1 mx + y 2mz = 1
Exercice 11. Soit M une matrice carr´ee antisym´etrique, c’est a` dire telle que, M t que M n’est pas inversible si n est impair.
− − = −M . Montrer
79 b. Exemples:
80 Exemple
a. Tout polynˆome de degr´e 1 est irr´eductible
− 2 = (X − √ 2)(X + √ 2) est r´eductible. Par contre dans Q[X b. Dans IR[X ]; le l ], X 2 − 2 est irr´eductible car si X 2 − 2 = (X − α)(X − β ) avec α, β ´el´ements de Q, l alors α + β = 0 et αβ = −2 ce qui donne α 2 = 2 et qui est en contradiction avec le fait que α ∈ lQ. c. Dans IR[X ]; le polynˆ ome X 2 + 1 est irr´ eductible. Par contre dans C[X l ], X 2 +1 = (X + i)(X − i)
Si P (X ) = 1 + 2X + 3X 2 , P ′(X ) = 2 + 6X
polynˆ ome X 2
est r´eductible.
6.4.3
Formule de Taylor pour les polynˆ omes
Th´ eor` eme
∈
∈ K , alors si degP ≤ n on a: (X − a) ′ (X − a)2 ′′ (X − a)3 (3) (X − a) P (X ) = P (a) + P (a) + P (a) + P (a) + . . . +
Soit P K [X ] et a
c. Th´ eor`eme de d’Alembert-Gauss
1!
Les polynˆ omes irr´eductibles de C[X l ] sont les polynˆomes de degr´e 1. Autrement: tout polynˆ ome de degr´e 1 de C[X l ] admet (au moins ) une racine dans C. l
≥
3!
n
3!
P (n) (a)
Exemple
Exemple
P (X ) = X 2 + 1, la formule de Taylor au point a = 1 s’´ecrit:
√
P (X ) = X 2 + X + 2 les racines de P sont z 1,2 = − 1∓2i 3 . Dans C [X ], P est r´eductible P (X ) = (X z1 )(X z2 ), alors que dans IR[X ] P est irr´eductible.
−
2!
−
P (X ) = P (1) +
(X 1) ′ (X 1)2 ′′ P (1) + P (1) = 2 + 2(X 1! 2!
−
−
− 1) + (X − 1)2
Corollaire Les polynˆ omes irr´eductibles de IR[X ] sont les polynˆ omes de degr´ e 1 et les polynˆomes de degr´e 2 a` descriminant n´egatif.
∈
IR[X ], P (X ) = X 2
+ X + 1 est irr´eductible (∆ =
−3 < 0). −
1 2 5 2. Dans IR[X ]√ ; P (X ) = X 4√ + X 2 1 = X 4 + 2X 2 12 + (√ ( 12 )2 1 = (X 2 + 12 )2 2) 4 = 5 2 + 1 + 5 ) est irr´ (X 2 + 12 + 25 )(X 2 + 12 ). Le polynˆ o me (X e ductible dans IR alors que 2 2 2
(X 2 + 12
−
6.4
√ 5
2 )
−
−
est r´eductible: (X 2 + 12
−
√ 5 2
√ − √ −
5 1 )(X + 2
) = (X
−
−
√√ −
5 1 ) 2
Fonction Polynˆ ome d’une variable, racine d’un polynˆ ome
6.4.1
Racine d’un polynˆ ome
D´ efinition 1 Soit P K [X ], si pour x
b. Exemples: 1. Dans
6.4.4
∈ K ; P (x) = 0 on dit que x est racine de P .
Exemples a. 1 est racine de P (X ) = X n b.
− 1 = (X − 1)(X −1 + x −2 + . . . + 1) n
− 1 est racine de P (X ) = X 2 +1 + 1 = (X + 1)(X 2 n
n
n
+ x2n−1 + . . . + 1)
Th´ eor` eme
∈
∈
− a) divise P
a K est racine de P K [X ] ssi (X
Fonction polynˆ ome
D´ efinition A tout polynˆ ome P = a 0 + a1 X + . . . + an X n de K [X ]. On peut faire correspondre une application ˜ K dans K d´efinie par: p de Pour tout x K p(x) ˜ = a 0 + a1 x + . . . + an xn K
∈
∈
appel´ee fonction p olynˆome associ´ee au polynˆome P
6.4.2
On app elle ordre de multiplicit´e d’une racine α P soit divisible par (X α)k .
−
∈ K d’un polynˆome P , le plus grand entier k tel que
• Si k = 1, on dit que α est racine simple de P • Si k > 1, on dit que α est racine multiple d’ordre k de P
D´ eriv´ee d’un polynˆ ome
D´ efinition
∈
D´ efinition 2
Th´ eor` eme
Soit P K [X ] donn´e par: P (X ) = a 0 + a1 X + a2 X 2 + . . . + an X n
le polynˆ ome d´eriv´ee de P (X ) not´e P ′ (X ) est donn´e par: P ′ (X ) =
X
n 1
X
∈ K
K
∈
P K [X ] un polynˆome de degr´e n i. α est racine d’ordre k de P
≥ k, l es deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:
83 c. P admet 1 comme racine triple, donc P est divisible par (X 1)3 = montre facilement que P (X ) = (X 1)3 ( 4 2X + X 3 )
−
−1 + 3X − 3X 2 + X 3, on
− − − et comme 2 est racine simple de P , alors (−4 − 2X +X 3 ) est divisible par X − 2. Il est facile de v´erifier que −4 − 2X + X 3 = (X − 2)(2+2X + X 2 ) avec 2+2X + X 2 est irr´eductible dans IR[X ] (car ∆ < 0). Dans C[X l ] , 2+2X + X 2 a deux racines z = −1 − i et z¯ = −1 +i et donc 2+ 2X + X 2 = (X − z)(Z − z¯).
84
6.6
Exercices
Exercice 1.. Effectuer les divisions euclidiennes de A par B dans IR[X ] avec: A = 7X 4 X 3 + 2X A = X 8 1,
− −
B = 2X 2 3X B = X 3 1
− 4,
− − 5 −
La d´ecomposition en polynˆ omes irr´eductibles de P est
− 1)3(X − 2)(2 + 2X + X 2) dans (X − 1)3 (X − 2)(X + 1 − i)(X + 1 + i)
P (X ) = (X =
IR[X]
Exercice 2.. Calculer le P.G.C.D de A et B pour: A = X 4 A = X 5
dans C[X] l
− 10X 2 + 1, − iX 4 + X 3 − X 2 + iX − 1,
B = X 4 B = X 4
− 4√ 2X 3 + 6X 2 − 4√ 2 + 1 − iX 3 + 3X 2 − 2iX + 2
Exercice 3. Pour les polynˆ omes A et B suivants, montrer que le P.G.C.D(A, B) = 1 et determiner des polynˆ omes U et V tels que AU + BV = 1. A = X 4 + X 3 2X + 1, A = (X + 1) 3 , A = X 3 + 1,
−
B = X 2 + X + 1 B = (X 1)3 B = X 2 + X + 1
−
Exercice 4. Soient A et B deux polynˆomes d´efinies par: A = X 6
− 3X 5 + 8X 4 − 7X 3 + 3X 2 − 8X + 6,
B = X 4
− 3X 3 + 9X 2 − 8X + 6
a. Calculer le P.G.C.D de A et B (on le note D), puis le quotient A 1 et B 1 de la division de A et B par D. b. Determiner des polynˆ omes U 1 et V 1 tels que : AU 1 + BV 1 = 1. c. En d´eduire des polynˆomes U et V tels que AU + BV = D. Exercice 5. Trouver la relation entre p et q de C pour que X 3 + pX + q ait une racine double α, quelle est alors cette racine double? Exercice 6. Montrer que A(X ) = X 2 + X + 1 divise B (X ) = X 6n+2 + X 3n+1 + 1. Exercice 7. Dans quel cas X 2n + X n + 1 est–il divisible par X 2 + X + 1 Exercice 8. Effectuer la division euclidienne de P (X ) = 4X 4 + 4X 3 11X 2 + 6X 1 par S (X ) = X 2 + 2X 1; puis factoriser P en produit de polynˆomes irr´eductibles sur IR[X ]. Exercice 9. Soit P (X ) = X 4 + 2X 3 3X 2 4X + 4. a. Montrer que 1 et 2 sont racines doubles de P et en d´eduire qu’il existe un polynˆomes S tel que P = S 2 . b. V´erifier que P divise [P ′ ]2 . c. Soit P lC[X ], montrer que s’il existe S lC[X ] tel que P = S 2 alors P divise [P ′ ]2 . Montrer aussi que si P divise [P ′ ]2 et degP = 4, alors il existe S lC[X ] tel que P = S 2 . Exercice 10. a. Soit P [X ] C[X l ] de degr´e 2, et x0 une racine de P [X ]. Montrer que: x0 est racine multiple de P (X ) ssi P ′ (x0 ) = 0. b. Soit l’´equation (E): X 3 X 2 + λ = 0 , λ IR. trouver les valeurs de λ pour lesquelles X 3 X 2 + λ a une racine multiple; pour ces valeurs de λ r´esoudre (E ). Exercice 11. Th ´ eor` eme de Gauss: Soient A, B , C trois polynˆ omes. Montrer a Si C divise AB et P.G.C.D(A, B) = 1, alors C divise B . b Si P.G.C.D(A, B) = 1 et P.G.C.D(A, C ) = 1 alors P.G.C.D(A,BC ) = 1 c Si P.G.C.D(A, B) = 1 alors P.G.C.D(Am , B n ) = 1 pour m, n IN. Exercice 12. Montrer que si A, B et C sont trois polynˆomes tels que A C soit un multiple de B ,
−
−
−
−
∈
−
∈
∈
−
−
≥
∈
∈
−
∈
−
85 a. Le reste de la division euclidienne de A par B est le reste de la division euclidienne de C par B . b. Le reste de la division euclidienne de A n par B est le reste de la division euclidienne de C n par B ( n IN). Exercice 13. Soit P (X ) = X 8 + X 4 + 1 a. Donner la d´ecomposition de P en produit de facteurs i rr´ eductibles dans IR[X ] b. Donner la d´ecomposition de P en pro duit de facteurs irr´eductibles dans C[X l ] Exercice 14. Soit les deux polynˆ omes P = X 3 +1 et Q = X 4 + 1. Montrer qu’ils sont premiers entre eux et d´ eterminer les deux polynˆomes U et V tels que P U + QV = 1 , degU deg Q, degV deg P . Exercice 15. Trouver les racines dans C l de P (X ) = X 5 1 et Q(X ) = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. Factoriser Q en produit de polynˆomes irr´eductibles sur C[X l ] puis sur IR[X ] Exercice 16. Montrer que pour tout polynˆomes P , P X divise P oP X . Application R´esoudre l’´equation:
∈
≤
≤
−
−
∈
X IR,
(X 2
−
− 3X + 1) 2 − 3X 2 + 8X − 2 = 0
Exercice 14. Soit n et p IN, p = 0, a IR∗ et q et r tels que n = pq + r. a. Montrer que le reste de la division euclidienne de X n par X p a est a q X r b. Calculer le reste de la division euclidienne de X n an par X p a p
∈
∈
−
− −
86
88 x2 +3x+1 x 1
− est une repr´esentation irr´eductible de F . On remarque que α est substituable dans F , n’entraˆıne pas que pour tout repr´esentant P de F , on Q ait Q(α) = 0; par exemple 1 est substituable de F car F ( 1) = 12 bien que Q( 1) = 0.
P Q
7.2
Dans ce chapitre nous consid´ erons (K, +, .) un corps commutatif et K [X ] l’ensemble des polynˆ omes a coefficient dans K , K ∗ [X ] = K [X ] 0K [X ] .
}
D´ efinition et th´eoreme: La relation d´efinie sur K [X ] K ∗ [X ] par: Pour tout (P, Q) K [X ] K ∗ [X ], (R, S ) K [X ] K ∗ [X ] (P, Q) (R, S ) si et seulement si P S = QR, est une relation d’´equivalence. L’ensemble quotient de cette relation K [X ] K ∗ [X ]/ est appel´e l’ensemble des fonctions rationnelles not´e K (X )
R
×
∈
×
×
∈
×
R
Repr´esentation irr´ eductible d’une fraction D´ efinition et th´ eor` eme: Pour toute fraction rationnelle F ; il existe (P, Q) K [X ] K ∗ [X ] telle que: F = P avec P.G.C.D(P, Q) = 1. (c.` a.d que P et Q n’ont pour diviseurs communs que des Q P ´el´ements de K ∗ ) Q est appel´ee repr´esentation irr´eductible de F .
∈
×
Remarque:
• Si F =
P 1 Q1
est une repr´esentation irr´eductible de F alors P et Q n’ont pas de racines communes.
P 2 est une autre repr´esentation irr´eductible de F alors P 2 = λP 1 et Q 2 = λQ 1 avec λ K ∗ ; Q2 donc toute racine de P 1 (respectivement de Q 1 ) est une racine de P 2 (resp ectivement Q 2 ).
• Si
∈
P 1 Soit α un ´el´ement de K , F une fraction de K (X ), il existe un repr´ esentant de F soit Q v´erifiant 1 P 2 Q1 (α) = 0: on dira que α est substituable dans F , on la note F (α). Si Q est un autre repr´ esentant 2 de F v´erifiant auss i Q 2 (α) = on aura:
( cette valeur commune
−
P 1 P 2 = Q1 Q2
P 1 (α) sera Q1 (α)
,
P 2 (α) ⇒ QP 11(α) = (α) Q2 (α)
Q1 (α)Q2 (α) = 0)
appel´ee valeur de f pour α, on la note F (α).
Exemple et remarque: X 3 + 4x2 + 4x + 1 si x = 1 et x = x2 1 (X 2 + 3X + 1)(x + 1) x 2 + 3x + 1 = =
F =
−
P S +QR QS P R . Q S
=
PR QS
est un corps commutatif. L’´ el´ ement neutre p our l’addition (resp pour la multiplication) est la fraction nulle 0K (resp 1K ).
Corps des fractions
−{
R S
• l’addition + = • et la multiplication
Fractions Rationnelles
R
−
Th´eor`eme: L’ensemble K (X ) muni des deux lois de compositions internes:
Chapitre 7
7.1
−
−1;
7.2.1
D´ ecomposition en ´el´ement simples. Division suivant les exposants croissants:
∈
∈
Th´eor`eme: Soient P et S K [X ], (S (0) = 0K ) et soit n IN. Il existe un couple unique (Q, C ) d’´el´ements de K [X ] v´erifiant: P = S.Q + X n+1 C avec degQ n. On dit qu’on a divis´e P par S suivant les exposants croissants `a l’ordre n. Q et X n+1 C sont appel´es resp´ectivement le quotient et le reste de la division selon les exposants croissants a` l’ordre n. Exemple: Soit `a diviser P = X 3 + 2X l’ordre 3:
≤
− 1 et S = X 2 − 3X + 2 suivant les exposants croissants a`
89
−1 + 2x + x3 3 1 +1 − x + x2 2 2
1 1 x + x2 + x3 2 2 1 3 1 3 x + x2 x 2 4 4 5 2 3 3 x + x 4 4 5 2 15 3 5 4 x + x x 4 8 8 21 3 5 4 x x 8 8 21 3 63 4 21 5 x + x x 8 16 16 53/16x4 21/16x5 53 21 x4 ( x) 16 16
−
Proposition 3: Soient (Q1 , Q2 , . . . , Qn ) une famille de polynˆome premier entre eux deux `a deux et P un polynˆome tel que deg(P ) < deg(Q1 .Q2 . . . . . Qn ); alors il existe une famille unique de polynˆome (P 1 , . . . , Pn ) tels que:
2 3x + x2 1 1 5 21 + x + x2 + x3 2 4 8 16
−
−
P P 1 P 2 P n = + + ... + avec degP i < degQi Q1 Q2 . . . Qn Q1 Q2 Qn Proposition 4: P et Q ´ etant deux polynˆomes non nuls tels que degQ alors il existe une famille unique de polynˆ ome (P 1 , . . . , Pn ) tes que:
−
−
90
P P 1 P 2 P n = + 2 + ... + n Qn Q Q Q
−
−
−
−
On a donc:
7.2.2
1 1 5 21 1 + 2x + x = ( + x + x2 + x3 )(2 2 4 8 16
−
−
53 3x + x ) + x ( 16 2
4
−
P Q
Le polynˆome E est la partie enti`ere de Exemple:
P Q
=
X 2 +1 X
= X +
1 X
P Q
et
, R sa Q
7.2.3
−
avec degR < degQ
− −
a b a(X 1) + b(X + 1) + = X + 1 X 1 (X 1)(X + 1)
−
(7.1)
D´ efinition: Un ´el´ement simple de K (X ) est une fraction rationnelle S = irr´eductible de K [X ], 0 degP < degQ et α IN∗ :
• Si degQ = 1, l’´el´ement simple S est dit de premi`ere esp`ece.
P et Q
les A ij
− ∈ lC
−
(7.3)
Preuve: On pose V i (X ) = (X ri )αi pour tout i = 1 . . . n, Q devient Q(X ) = V 1 (X )V 2 (X ) . . . Vn (X ). D’apr` es les propositions 3 et 4:
−
P R(X ) R(X ) = E + = E + Q Q(X ) V 1 (X )V 2 (X ) . . . Vn (X ) P 1 (X ) P 2 (X ) P n (X ) = E + + + . . . + avec degP i < degV i i = 1, . . . , n V 1 (X ) V 2 (X ) V n (X )
(7.4)
pour tout i = 1, . . . , n,
− 1) + b(X + 1) on trouve a = b = 12
En identifiant X avec a(X
∈
P s’ecrit: Q
α
E est la partie enti`ere de
=
−
n i P P Aij = i=n = E + Q (X ai ) j Πi=1 (X ri )αi i=1 j =1
partie fractionnaire.
; E = X
− 1)
−
avec des r i tous distincts et des α i > 0. la d´ecomposition en ´el´ements simples de
Exemple:
≤
D´ ecomposition dans C[ l X ]
Nous avons vu dans le chapitre pr´ecedent que les seuls polynˆ omes irr´eductible de C[X l ] sont les polynˆomes de degr´es 1. Alors la d´ecomposition en produit de facteurs irr´eductibles de tout polynˆ ome de C[X l ] peut s’ecrire: α1 α2 αn Q = (X r1 ) (X r2 ) . . . (X rn )
Proposition Si Q1 et Q2 sont deux polynˆomes premiers entre eux P.G.C.D (Q1 , Q2 ) = 1 et P un Polynˆome tel que: degP < deg(Q1 , Q2 ), alors il existe un couple unique (P 1 , P 2 ) de polynˆome tels P 1 P 2 que: Q1P Q2 = Q +Q , (degP 1 < degQ1 , degP 2 < degQ2 ) 1 2
X (X + 1)(X
(7.2)
−
∈ K (X ), il existe un couple unique (E, R) d’´el´ements de K[X] tel que: P R = E + Q Q
En identifiant les deux polynˆomes de (7.2), on trouve: a = 0 , 3a + b = 0 , 3a + 2b + c = 1 e t a + b + c + d = 0 ce qui donne: a = b = 0, c = 1 et d = 1
21 x) 16
R´ esultats gen´eraux.
Proposition 1. Soit
≥ 2)
, (n
degP i < degQ
X a b c d = + + + (X + 1) 4 X + 1 (X + 1) 2 (X + 1) 3 (X + 1) 4 X (X + 1) 4 = X = a(X + 1) 3 + b(X + 1) 2 + c(X + 1) 1 + d (X + 1) 4
−
−
n
Exemple:
−
3
≥ 1 et degP < degQ
P Qα
o` u Q est un ´element
P est une constante dans ce cas.
P i (X ) V i (X )
= =
P i (X ) (X ri )αi a1 a2 aαi + + . . . + (X ri )1 (X ri )2 (X ri )αi
− −
la combinaison de (7.4 et 7.5) donne (7.3).
−
−
(7.5)
91 Exemple: D´ecomposer dans C[X l ]: (X −1)21(X 2 +1)2 ; Q(X ) = (X 1)2 (X + i)2 (X i)2 , d’apr`es les th´eor`emes pr´ecedents on a:
−
−
1
− 1)2(X 2 + 1)2
=
a1 a2 a3 a4 a5 a6 + + + + + (7.6) X 1 (X 1)2 X + i (X + i)2 X i (X i)2
− − − − • multipliant a` droite et a` gauche de (7.6) par X et prenant la limite lorsque X tends vers l’infini (X
on obtient
92 Exemple: D´ecomposer dans IR[X ]: (X −1)21(X 2 +1)2 . La meilleure m´ethode est de faire la d´ecomposition dans Cl et en utilisant la remarque pr´ec´edente, le r´esultat se ram´ene facilement a` une d´ecomposition de IR[X ]. D’apr`es l’exemple pr´ec´edent on a: 1
=
− 1)2 (X 2 + 1)2
(X
−1 + 1 + 2 + i + i + 2 − i − i (7.11) − 1) 4(X − 1)2 8(X + i) 8(X + i)2 8(X − i) 8(X − i)2
2(X
En rassemblant les termes conjugu´es deux a` deux on trouve: a1 + a3 + a5 = 0
(7.7)
− −
2+i 2 i 1 + 2X + = 8(X + i) 8(X i) 4(1 + X 2 ) i i X = 8(X + i)2 8(X i)2 2(1 + X 2 )2
1 4
1)2
• multipliant `a droite et `a gauche de (7.6) par (X − et prenant X = 1, on trouve a 2 = • multipliant `a droite et `a gauche de (7.6) par (X − i)2 et prenant X = i, on trouve a 6 = − 8 • multipliant `a droite et `a gauche de (7.6) par (X + i)2 et prenant X = −i, on trouve a 4 = 8 • X = 0 dans (7.6) donne: −a1 + a2 − ia3 − a4 + ia5 − a6 = 0 −a1 − ia3 + ia5 = 34 (7.8)
−
i
i
• X = 12 dans (7.6) donne: −7/5 − 2a1 + 25 (1 − 2i)a3 + 25 (1 + 2i)a5 = 0
(7.9)
La r´esolution du syst`eme form´e par les ´equations (7.7,7. 8,7.9) donne a 1 , a 3 et a 5 . a1 =
−1/2 ,
a3 = 1/4 + I/8 , a5 = 1/4
− I/8
on a donc: 1
− 1)2 (X 2 + 1)2
(X
=
−1 + 1 + 2 + i + i + 2 − i − i (7.10) − 1) 4(X − 1)2 8(X + i) 8(X + i)2 8(X − i) 8(X − i)2
2(X
Remarque: D’apr`es l’exemple pr´ec´edent, les polynˆ omes mis en jeux dans le denomenateur sont `a coefficients r´eels. Lors de la d´ecomposition dans C, l on a deux pˆoles complexes +i et i et qui sont conjugu´ es l’un de l’autre. On montre facilement que a 3 et a 5 (resp a 4 et a 6 ) sont conjugu´es l’un de l’autres. Ce r´esultat apparait clairement sur l’exemple.
−
7.3
D´ ecomposition dans IR[X ]
Les polynˆ omes irr´eductibles de IR[X ] sont les (X a) et les (X 2 + pX + q ) avec p2 d´ecomposition en facteur irr´eductibles de Q s’ecrit comme
−
Q = Π m i=1 (X
− r )
La d´ecomposition en ´el´ements simples de
i
αi
P est Q
Πni=1 (X 2 + p j X + q j )β j
de la forme: β
m αi n i B jk X + C jk P Aik = E + + Q (X ai )k j =1 k=1 (X 2 + p j X + q j )k i=1 k =1
Aik , B jk et C jk sont des nombres r´eels.
−
− 4q < 0.
La
−
(7.12)
l’´equation (7.11) devient donc: 1
− 1)2(X 2 + 1)2
(X
=
−1 + 1 + 1 + 2X + X − 1) 4(X − 1)2 4(1 + X 2) 2(1 + X 2 )2
2(X
qui est en fait la d´ ecomposition dans IR[X ]
(7.13)
93
7.4
Exercices
Exercice 7: Soit P (X ) un polynˆome d´efini sur le corps C l et ayant tous ses z´ eros distincts. a.) D´ecomposer en ´el´ements simples sur C, l la fraction rationnelle P P u P ′ d´esignant le polynˆ ome (X ) ; o` d´eriv´e de P . b.) D´ecomposer de mˆeme la fraction P ′ 2 P P ′′ P 2 ′
A(X ) B (a) X a)n B2 (X ) 2
Exercice 1: Soit une fraction irr´eductible F (X ) = − = 0 montrer qu’elle admet un d´eveloppement: α1 α2 αn A 1 F = + + ... + + α a (α a)2 (α a)n B2
−
−
α1 , α2 ,...,αn sont des constantes, on pose f = f (a), α n−1 = f ′(a), α 1 = n!f (n−a) (a). pour n=2 montrer que: α2 =
A B2
−
verifier que ces constantes sont telsque:αn =
2A(a) 2 3A′ (a)B ′′ (a) A(a)B ′′′ (a) et α1 = B ′′ (a) 3 A′′ (a))2
−
− a)2 B2.
avec B = (X
Exercice 2: Soit F = uv un ´el´ement de C(X l ), u ¯ et v¯ d´esignant respectivement les polynˆ ome con jugu´ es de u et v. D´ emontrer que la fraction uv est ind´ependant du repr´esentant uv de F choisi, on pose ¯ = F ¯ = u¯ , D´emontrer que (λ C) ¯ G = F ¯ + G; ¯ F¯G = F¯ .G ¯ , λF ¯ = ¯λF ¯ , F F l F + ¯ v a.) D´emontrer que si a lC on a F (a) = F (a). b.) En d’eduire que si a, complexe non r´eel, est une racine ( resp un p ole) d’ordre α de F , a ¯ est une ¯ racine ( resp pole) d’ordre α de F que peut-on dire si F IR[X ].
∈
∈
∈
Exercice 3: D´ecomposer en ´e´ement simples les fractions suivantes: 1 X 4
− 1 dans
IR[X ]et dans C[X l ]
1 danslC[X ] 1 + X 4
G´enetaliser les r´esultats pour les fractions: 1 1 et X n 1 X n + 1
−
(7.14)
Exercice 4: D´ ecomposer dans IR[x] les fractions suivantes: X 2 + 1
,
− 1)4(X 2 − 2)2
X (X
1
(X 2
− a2)
n
,
n!
− 1) . . . (X − n)
X (X
1 (X 2 + a2 )n
∈
,
∈
1 X m (1 X )n
−
,
Exercice 5: D´ecomposer en ´el´ements simples sur Cl (n IN; a, b lC, a = b) 1 (X 2
n
− 1)
,
1 n
n
− a) (X − b)
(X
≤ h ≤ n) ´etant une famille de n nombres complexes tous distincts, on p ose Q(X ) = (X − x1 )(X − x2 ) . . . (X − x )
Exercice 6: (xh ) (1
n
D´emontrer que
94
n 1 Ah Bh = [ + ] [Q(X )]2 h=1 (X xh )2 (X xh )
Calculer A h et B h `a l’aide de Q ′ (xh ) et Q ′′ (xh )
−
−
−
103 M 3 est donc diagonale. Cet exemple correspond au cas iii) de la caract´erisation. 0 1 c. Soit `a diagonaliser la matrice M 4 [B] = dans IR et dans C. l Le polynˆome car act´eristique 1 0 de M 4 est donn´e par:
−
P M 4 (λ) = λ 2 + 1
104
−
λ = 1 est valeur propre double et λ = 2 est valeur propre simple. Calculons le sous espace propre asso ci´ e a` λ = 1: E 1 =
(8.17)
Ce polynˆome n’a pas de racines dans IR, donc M 4 n’est pas diagonalisable dans IR. P M 4 (λ) a deux racines simples dans C: l λ1 = i et λ 2 = i, donc M 4 est diagonalisable dans C. l Sous espaces propres:
= =
−
{
2
∈
E i = (x, y) lC ; M 4
∈
x y
= i
x y
}
−
−
−
pour tout vecteur (x, y) E i , on a y = ix. E i est engendr´e par u 1 = (1, i), E i =< (1, i) >. De mˆeme on montre que E −i est engendr´e par u 2 = (1, i), E −i =< (1, i) >. La base des vecteurs propres est B ′ = (u1 , u2 ) et la matrice M 4 dans cette base est: M 4 [B ′ ] = La matrice de passage de B `a B ′ est: P = son inverse est:
i 0
0 i
−
I
2
−
{(x,y,z) ∈ IR3 ; −4x − 2z = x , y = y {(x,y,z) ∈ IR3 ; 5x + 2z = 0 et y = 0}
∈ −
−
−
−
−
0 1 0 est elle diagonalisable dans IR. 5 1 3 Le polynˆome caract´eristique de M 6 est donn´e par: P M6 (λ) = det(M 6
P M6 (λ) =
0 5
}
(8.20)
−
8.5
Applications
Calcul de la puissance ni` eme d’une matrice
0
...
0
λm
(D[λ1 , λ2 , . . . , λm ])n = D[λn1 , λn2 , . . . , λnm ] =
la puissance ni`eme de matrice matrice M est donn´ee par:
λn1 0 . . . 0 0 λn2 . . . 0 .. .. . . . . .. . . 0 . . . 0 λnm
(8.21)
(M )n = P D[λn1 , λn2 , . . . , λnm ]P −1
−4 − λ
I
{(x, y) ∈ IR2 ; M 5 xy = 2 xy } = {(x, y) ∈ IR2 ; 3x + y = 2x et − x + y = 2y } = {(x, y) ∈ IR2 ; x + y = 0} (8.18) Tout vecteur de E 2 est donc de la forme: (x, y) = x(1, −1), E 2 est donc engendr´e par (1, −1) et est donc de dimension 1. La matrice M 5 n’est donc pas diagonalisable (dimE 2 = 1 = 2). −4 0 −2 d. M 6 [B] =
et 5x + y + 3z = z
tout vecteur (x,y,z) E 1 est donc de la forme (x,y,z) = (x, 0, 5x/2) = x(1, 0, 5/2). E 1 est donc engendr´e par (1, 0, 5/2) et est de dimension 1, dimE 1 = 1 = 2. La matrice M 6 n’est donc pas diagonalisable.
λ = 2 est donc valeur propre double de M 5 . Calculons la dimension du sous espace propre E 2 :
x y z
=
−2
E 2 =
x y z
La puissance ni`eme de D est facile `a calculer et est donn´ee par:
On p ourra v´erifier que M 4 [B ′] = P −1 M 4 [B]P . 3 1 d. M 5 [B] = est elle diagonalisable dans IR. Le polynˆ ome caract´eristique de M 5 est donn´e 1 1 par: P M5 (λ) = det(M 5 λI 2 ) = λ 2 4λ + 4 = (λ 2)2
; M 6
1 1 i i 1 2 1 2
{(x,y,z) ∈ IR
}
Soit M une matrice carr´ee d’ordre n. Si M est diagonalisable alors elle existe une matrice de passage P telle que: λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 D[λ1 , λ2 , . . . , λm ] = = P −1 M P .. .. . . . . .. . .
−
P −1 =
3
−2 1−λ 0 1 3−λ 0
= (1
− λI 3 ).
− λ) − 45− λ 3−−2λ
R´ esolution des syst`emes des suites r´ ecurrentes: Nous traitons cette application sur un exemple. Soient (un ), (vn ) et (wn ) trois suites r´ eelles de premiers termes u 0 = 1, v 0 = 1, w 0 = 1 tels que:
− − − −− − − −
un = un 1 + vn−1 + wn−1 vn = un 1 vn−1 + wn−1 wn = u n 1 + vn−1 wn−1
(8.22)
−
ce syst` eme de suites r´ecurrentes peut s’ecrire sous forme matricielle de la fa¸ con suivante: X n =
un vn wn
=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
−
un−1 vn−1 wn−1
= M 3 X n−1
On a donc la relation de r´ecurrence simple entre le vecteur X n et X n−1
