Algèbre Algèbre tensoriel tensoriel et élasticité linéaire linéaire Marc François
!"#$% Algèbre Univ. de Bonn
Base canonique •
Rappels : est la base vectorielle orthonormée ~ i ~ j δ ij ei
~
e .e
•
=
= ( ) = Pour un vecteur : où les sont les composantes composantes de , qui dépendent du choix de la base. u
~
u.ei ~ ei
ui
•
ui~ ei
~ ~
u
~
Le produit scalaire s’exprime en fonction des composantes, comme une opération de contraction des indices : ~ ~ = ( i~ i ) ( j~ j ) u.v
u e
=
. v e
ui v j δ ij
•
Pour les tenseurs, tenseurs, la base canonique orthonormée est formée depuis la base vectorielle à l’aide du produit tensoriel ⊗ . Elle contient 9 termes : i
~
•
•
ej
~
Le produit scalaire associé aux tenseurs du second ordre est la double contraction : ~ p ⊗ ~ q ~ i ⊗ ~ j δ ip δ jq (1 si i=p et j=q) Un tenseur quelconque possède des composantes dans la base : e
•
⊗
e
: e
e
=
On les obtient, comme pour les vecteurs, vecteurs, par projection : preuve :
•
Calcul pratique matriciel :
•
Calcul trivial d’exemple : similitude avec un filtre
•
La double contraction de deux tenseurs :
•
revient à saturer les indices (produit scalaire)
•
Application 1 : construction des tenseurs :
Cas trivial : traction dans la direction
•
•
:
L’opérateur est intrinsèque : le calcul est valable dans n’importe quelle base Tractio ractionn dans la direction direction
:
À comparer au changement de base
•
Exercice : calculer le tenseur des contraintes pour un cisaillement avec et d’intensité
.
•
Application 2 : calcul de composantes :
Cas trivial : on cherche la composante 11 :
•
•
L’opérateur : est intrinsèque : le calcul est valable dans n’importe quelle base Ex. la composante 11 dans la base
où
sont les composantes de
est
•
Ex. 2 calcul du critère de Schmid :
•
pratiquement, on peut faire ce calcul :
•
En Matlab® : si ce sont des vecteurs ligne : n’*m si ce sont des vecteurs colonne : n*m’
•
Ex. 3 calcul de l’énergie méthode classique : méthode proposée :
•
En Matlab®, pour 1000 opérations : Methode 1 trace(S*E'); Elapsed time is 0.003963 seconds. Methode 2 sum(sum(S.*E)); Elapsed time is 0.001923 seconds.
•
on gagne un facteur 2
•
Application 3 : projecteurs :
L’expression peut se réécrire comme les trois tenseurs du second ordre ⊗ (i non sommé) représentent alors trois projecteurs sur les directions . La relation = ( ) entraîne : ei
~
=
ei
~
ei
~
i
~
u
~
u.ei ~ ei
~ ~
I = Pe1 + Pe2 + Pe3 ~
~
~
Cette équation se nomme la décomposition orthogonale de l’identité. L’espace R3 est somme directe des espaces générés par ces projecteurs.
•
On généralise à un vecteur quelconque : n
~
Pn ~
•
=
⊗
n
~
et on a aussi le projecteur sur l’espace orthogonal (ici un plan) : Pn⊥ ~
•
n
~
=
I−
n
~
⊗
n
~
Calcul rapide de projecteurs en Matlab ® : Pn = n’*n; Pn_orth = eye(3)-n’*n;
•
Ces projecteurs sont des tenseurs car ils changent de base avec les règles habituelles.
•
Exercice : calculer le projecteur sur la bissectrice de puis sur le plan orthogonal à cette bissectrice.
Objectivité •
Principe d’objectivité :
Un calcul physique ne doit pas dépendre de la base retenue pour le calcul car c’est un choix arbitraire.
Mémo changement de bases de b “ancienne” vers B “nouvelle”.
•
E j P
ei .E j
~
u
~
⇒
ui
•
ei
= (ei .E k )E k Décomp. orthog. de l’Id
ei
E i
= P ik E k = (E i .ek )ek
E i
=
~
~
~
~
ei
~
~
~
=
U k E k
=
U k P ik ei
=
P ik U k
~
~
~
~
~
~
~
P ki ek ~
u
~
~
~
Pour des bases orthonormées directes : det(P ) = 1
Décomp. orthog. de l’Id
⇒
U i
=
uk ek
=
uk P ki E i
=
P ki uk
~ ei
⇒
P ik P jk P.P T
~
~
=
P ik ~ E k
=
P ik P jk~ e j
=
δ ij I
•
Le produit scalaire est objectif : ~ u.~ u
•
=
U j U j
=
P kj uk P lj ul
=
δ kl uk ul
=
uk uk
La norme 2 aussi. Mais, par exemple, la norme 1 ne l’est pas. Contre-ex. : u
~ =
kuk1
e2
~
E 2
~
E 1
~
e1
~
|u1 | + |u2 | + |u3 |
=
k k =1 Base √ Base E k k = 2 Le produit vectoriel est objectif (preuve pages suivante). ~
e1
~
•
u
~
ei
~
~
i
u
1
u
1
~
~
•
Montrons que le produit vectoriel est objectif. (u ∧ v )i = Πijk u j vk ei ~
avec
Πijk
~
~
Πijk P jq U q P kr V r P ip E p
=
Πijk P ip P jq P kr U q V r E p
~
~
= 1 si (i j k) ∈ {(1 2 3) (2 3 1) (3 1 2)} = −1si(i j k) ∈ {(1 3 2) (3 2 1) (2 1 3)} = 0 sinon (symbole de Levi-Civita) ,
,
,
•
=
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Les termes où p=q : = Πijk δ ij P kr = 0 = 0, si (i = j) et δ ij = 0, si (i = 6 j)
Πijk P ip P jp P kr
car Πijk •
idem pour les termes ou q=r ou si p=r.
,
,
,
•
Si p, q et r sont différents : premier sous-cas, ils forment une permutation directe (1,2,3), (2,3,1) ou (3,1,2). Πijk P ip P jq P kr
•
•
Dans l’autre sous-cas de permutation indirecte (1,3,2), (3,2,1) ou (2,1,3) on trouve bien sûr -1. Donc, au bilan, on a : Πijk P ip P jq P kr
•
et donc
Πijk u j vk ei ~
•
= Πijk P i1 P j2 P k3 = det(P ) = 1
=
=
Πpqr
Πpqr U q V r E p ~
ce qui montre que le produit vectoriel est objectif.
•
σij
⇒ σij
•
•
Changement de base pour les tenseurs : ~ ei ⊗ ~ e j
=
σ :
=
P ik P jl σ
=
P ik P jl Σkl
:
Σij
~ ⊗ E ~ E k l ⇒ Σij
~ ⊗ E ~ E i j
=
σ :
=
P ki P lk σ
=
P ki P lj σkl
=
P ik σkl P lj
:
~ ek ⊗ ~ el
T
Pour des tenseurs d’ordre supérieur on a de même : cijkl
=
P ip P jq P kr P ls C pqrs
C ijkl
=
P pi P qj P rk P sl cpqrs
Remarque : pour un calcul rapide, utiliser les formules de Bond et une base tensorielle.
•
On nomme invariant d’un tenseur les fonctions scalaires objectives. On connait : trace(A) = Aii
Pour preuve de l’objectivité, on a le même résultat en calculant dans une autre base : aii
•
=
P ip P iq Apq
=
δ pq Apq
=
App
On montre que le déterminant est objectif en utilisant la propriété : det(P ) = 1 = P.A.P T det(a) = det(P )det(A)det(P T ) d t(A) a
•
•
Voici trois familles d’invariants (3 pour un tenseur du 2nd ordre). Les valeurs propres : (λ1
,
λ2 , λ3 )
•
Les invariants de Rivlin-Ericksen (plus méca. )
•
Ceux de Cayley-Hamilton (plus matheux)
J 1 = σ : I = trace(σ) J 2 = 12 (σ.σ) : I = 12 trace(σ.σ) J 3 = 13 (σ.σ.σ) : I = 13 trace(σ.σ.σ)
I 1 = trace(σ) 1 2 I 2 = 2 trace(σ) − trace(σ.σ) I 3 = det(σ)
qui présentent la propriété suivante :
det(σ − λI) = −λ3 + I 1 λ2 − I 2 λ + I 3
•
Toute fonction d’invariants est objective. Par exemple : le critère de Tresca : sup
σI
− σJ 2
est objectif. •
A. Einstein
6
σy
Plus généralement, toute opération de contraction de deux indices est objective. C’est l’intérêt de la notation d’Einstein. Exemple :
•
L’opération de sommation de deux indices répétés est aussi objective pour des opérations mixtes entre composantes et vecteurs. Par ex. : u
~
•
=
ui ei
=
P ik U k P il E l
=
U k E k
~
~
~
Enfin, tout calcul présenté de manière intrinsèque (sans composantes) et utilisant des opérateurs objectifs ( : ⊗ ∧ trace det est objectif (donc possible). .,
,
,
,
,
, . . .
)
•
•
Notes sur la double contraction. Ex. : Par convention, elle agit sur les deux indices proches. Ansi, pour deux tenseurs du second ordre : A
•
mais, si les tenseurs possèdent une symétrie indicielle (notre cas), on a aussi A
•
•
: B = Aij B ji = trace(A.B )
: B = Aij Bij = trace(A.B T )
Contracter avec l’identité, c’est la trace Pour les tenseurs d’ordre supérieur, la règle s’applique de même, par exemple : = C : (ε − εp ) ⇐⇒ σij = C ijkl εlk = C ijkl εkl
Rotations de tenseurs
•
Définition R(e j ) = Rij ei ~
Sur un vecteur
•
Sur un tenseur du 2ème ordre :
•
Sur un tenseur d’ordre qcq :
~
(vecteurs tournés en colonne). des angles • RConservation (~ e ).R(~ e ) = δ j
•
l
jl
= δ jl ~ ei .~ ek = δ ik Rij Ril = δ jl T R .R = I −1 R = RT et des orientations… Rij~ ei .Rkl~ ek
•
•
Exercice : calculer l’opérateur
•
l’appliquer à
•
•
l’appliquer à puis construire le tenseur avec la méthode du T5 et vérifier que l’on a le même résultat… Identifier que l’on a effectué : et
Tenseur d’élasticité •
Pour étudier le tenseur d’élasticité ou tenseur de Hooke nous ne considérons pour l’instant que des =0 transformations élastiques : = ε
R. Hooke
• •
W. Voigt
Rappel TPI :
p
,
ε
ou
Loi linéaire : potentiel quadratique. En tenant compte de la dimension tensorielle de la déformation, la loi anisotrope s’écrit : (démo*) 2ρψ =
•
e
ε
où
ε
:
:
ε +
. . . ⇒ σ
=
:
ε
est un tenseur du quatrième ordre
•
•
Démonstration* : C quadratique en et
est un potentiel d’état donc
cette relation se nomme la grande symétrie de •
Au final :
•
•
•
Par construction, il possède les petites symétries indicielles, dues à celles des tenseur des contraintes et des déformations : Il possède aussi la grande symétrie indicielle qui vient du fait que est un potentiel d’état : Ces symétries ramènent de 3 4=81 à 21 composantes indépendantes :
•
•
•
•
On se restraint maintenant au cas de l’élasticité isotrope car c’est le cas pour la pluspart des métaux à cause de leur structure polycristalline. On connaît la loi d’élasticité isotrope
Et la loi d’élasticité anisotrope générale que l’on vient de rappeler Quelle est la relation entre les deux ? Il y en a-t-il d’autres ? D’où vient la première ?
•
•
Le tenseur est générique. Il possède petites et grandes symétries indicielles : Si on suppose un comportement isotrope, doit en plus être invariant par toute rotation R (éléments de SO(3)). On a : C ijkl
•
=
Rip R jq Rkr Rls C pqrs
La seule forme invariante pour tout R est : vérifier cette invariance (T.D.)
LAM
•
On retrouve ici la forme de Lamé
•
La forme de Kelvin s’obtient depuis LAM avec : δ ij δ kl
C ijkl = 3K √
3
•
√
3
+ 2µ
δ ik δ jl + δ il δ jk
avec : le projecteur déviatorique et le projecteur hydrostatique
2
δ ij δ kl
− √ √ 3
3
KEL1
•
•
Ces projecteurs sont des tenseurs du 4è ordre.
On vérifie que associe à un tenseur du second ordre sa partie hydrostatique (sphérique)…
•
•
et
sa partie déviatorique
On remarque que PH+PD=I :
•
Par des calculs similaires on vérifie que PH et PD sont des projecteurs orthonaux H
:P
D
:P
H
:P
P
*
P
P
H
+ P
H
=
P
H
D
=
P
D
=
0
D
=
I
D
•
Rappels. Un tenseur déviatorique est un tenseur de trace nulle.
1 = σ − trace(σ )I σ 3 1 D trace(σ ) = trace(σ) − trace(σ)trace(I) = 0 3 D
•
La trace possède un sens physique 1 trace(σ) = p 3
trace(ε) = •
∆V V
pression moyenne variation relative de volume
La partie hydrostatique (sphérique) est 1 proportionnelle à l’identité = trace( σ
H
H ε
σ
=
)I
3 1 trace(ε)I 3
•
La loi d’élasticité linéaire isotrope sous forme de Kelvin : (depuis KEL1) KEL
•
La loi d’élasticité inverse est donnée par le tenseur des souplesses (de calcul simple !) preuve :
et
donne
S
::
C
=
I
•
La loi d’élasticité linéaire isotrope revient alors à : :
ε
H
=
3K P
=
3K ε
H
| {z } σ
•
•
H
:
ε +
D
2µP
:
ε
D
+ 2µε
| {z } σ
D
dans laquelle les parties H et D sont obtenues par projection H ε
=
P
D ε
=
P
et
H D
: ε : ε
KEL : la loi d’élasticité la plus simple !
• K est le module de compressibilité hydrostatique (GPa)
• µ est le module de cisaillement (GPa)
• Le critère de Von Mises •
Écriture classique…
•
D’où :
où
est, comme pour les vecteurs la norme euclidienne naturelle (c’est un invariant). •
Ce critère limite la norme (l’intensité) du déviateur. La partie hydrostatique n’intervient pas.
•
L’élasticité isotrope peut être vue comme deux homothéties dans l’espace des tenseurs symétrique du second ordre
Espace isotrope 1D
Espace des déviateurs 5D
•
•
Le coefficient en traction.
vient de l'identification
T.D. de cours : Montrer que ce coefficient permet de «caler» à l’essai 1D en calculant pour soit en prenant (méthode simple) soit en conservant générique (calcul intrinsèque, sans base).
Démo en calcul indiciel
Démo en calcul intrinsèque
• Une loi généralisable à tous les comportements isotropes :
•
Ex. : fluides visqueux compressibles :
•
Matériaux «incompressibles» (caoutchouc)
•
•
On verra que et simples à écrire.
sont en fait très
Remarque : l’espace des tenseurs du second ordre est à 6 dimensions. L’espace hydrostatique (H) a 1 dimension et l’espace déviatorique (D) en a 5.
•
Et les «bonnes vieilles» constantes d’élasticité ?
• E et
sont «calés» sur la traction des barres (milieu «1D»). En 3D ce n’est pas le jeu le plus adapté.
• Trouver (E,
)en
ν
fonction de (K, µ)*.
Bases des tenseurs s métri ues •
•
•
•
Bing (!)
On a utilisé jusqu’à présent la basecanonique C’est celle qui correspond à la notation indicielle. Est-ce la plus efficace ? Par exemple, un tenseur des contraintes n’a pas besoin de 9 composantes à cause de sa symétrie… Et n’a pas 81 composantes indépendantes mais seulement 15. On peux être plus efficace…
•
•
La base naturelle des tenseurs symétriques du second ordre est :
On vérifie que cette base est orhonormée* :
•
Les composantes d’un tenseur quelconque dans cette base sont données par contraction avec les tenseurs de base : Par exemple :
•
•
•
Dans cette base un tenseur du second ordre s’écrit en une matrice colonne 1x6 dont les composantes sont :
On trouve encore souvent la notation de Voigt (sans les ), qu’il vaut mieux éviter… Cette base possède de nombreuses propriétés* : dans Matlab…
•
37 µs au lieu de 76 µs pour
matrice 1x6
norm(SV);
matrice 3x3
norm(S,'fro');
•
•
•
On en déduit une base pour les tenseurs du quatrième ordre : Dans cette base, est une matrice 6x6 symétrique de composantes* :
On vérifie que possède 21 composantes indépendantes et que : *
•
Les projecteurs H et D * :
•
Et on vérifie les propriétés classiques* :
•
Le tenseur d’élasticité isotrope générique est :
ˆ C
•
3K +4µ 3 3K −2µ 3 3K −2µ 3
3K −2µ 3 3K +4µ 3 3K −2µ 3
3K −2µ 3 3K −2µ 3 3K +4µ 3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2µ
0
0
0
0
0
0
2µ
0
0
0
0
0
0
2µ
Pour les comportements anisotropes, voir : - cours de calcul tensoriel - poly sur l’anisotropie
•
En utilisant la table de conversion des constantes on obtient aisément : 1−ν (1+ν )(1−2ν )
σ11
ν
(1+ν )(1−2ν )
(1+ν )(1−2ν ) ν
ν
(1+ν )(1−2ν )
(1+ν )(1−2ν )
(1+ν )(1−2ν ) 1−ν (1+ν )(1−2ν )
0
0
0
0
0
0
0
ν
σ22 σ33
ν
(1+ν )(1−2ν ) 1−ν (1+ν )(1−2ν )
= E
√ √ 2σ23 √ 2σ31 2σ12
ε11
1
ε22
− −
ε33
√ √ 2 √ 2
ε23
ν
=
1 E
ν
0
ν
−
1 ν
−
0
0
0
ε11
0
0
0
ε22
0
0
0
0
0 1 1+ν 0
0
0
0 1 1+ν 0
ν
0 1 1+ν
ε
√ 33 √ 2ε23 √ 2ε31 2ε12
ν
0
0
0
σ11
ν
0
0
0
σ22
0
0
0
− −
1
0
0
1+
ν
0
ε31
0
0
0
0
1+
2ε12
0
0
0
0
0
σ33
0 ν
σ23
0 1+
√ √ 2 √ 2
σ31
ν
2σ12
Conclusion • •
•
Des base très adaptées au calcul numérique Les calculs de normes, d’inversion… sont cohérents avec la base canonique et bien plus rapides. Les calculs en élasticité anisotrope sont disponibles aussi (c.f. poly sur l’anisotropie sur MaDoc).
