COORDENADAS POLARES.docx

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UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA” FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

Cuando se va a calcular una integral doble en coordenadas polares, podemos considerar tres tipos diferentes de regiones: 

Regiones de Rectángulos Polares, en las que los 4 límites son constantes.



Regiones Tipo I, en las que debe integrarse primero la variable r.



Regiones Tipo 2, en las que debe integrarse primero la variable θ.

DIFERENCIAL DE AREA EN COORDENADAS POLARES Recordando la relación entre el radio y la longitud de arco en un sector circular está dada por: s = rθ , tenemos entonces que el diferencial de área en coordenadas polares está dado por dA = (dr)(rdθ ) como se muestra en la figura. Se acostumbra escribir como dA = r dr dθ.

EJEMPLO 1: Evalúe la integral

, en donde D es la región limitada por el semicírculo

y el eje y , pasando a coordenadas polares.

SOLUCION:

“


EJEMPLO 2: Encuentre el volumen del sólido limitado por el plano Z = 0, y el paraboloide Z = 1 – X2 – Y2

SOLUCION:

EJEMPLO 3: Encuentre el volumen del sólido debajo del paraboloide Z = X 2 + Y2, arriba del plano xy, y dentro del cilindro X2 + Y2 = 2X.

SOLUCION:

“


EJEMPLO 4: Use coordenadas polares para calcular el volumen del sólido dentro de la esfera y fuera del cilindro

..

SOLUCION:

“


“


Área en coordenadas polares

El área de una región cerrada y acotada R en el plano de coordenadas polares es

Esta fórmula es consistente con todas las fórmulas anteriores.

Cálculo de un área en coordenadas polares Ejemplo: Determine el área encerrada por la leminiscata

r

2 

4cos 2u

Resolución:

Graficamos la leminiscata para determinar los límites de integración y vemos, a partir de la simetría de la región, que el área total es 4 veces la parte del primer cuadrante.

“


Cambio de integrales cartesianas a integrales polares

El procedimiento para cambiar una integral cartesiana

  f ( x, y ) d xdy a una integral polar tiene

dos pasos. Primero, en la integral c artesiana, se sustituye dx dy por

r

dr du

x



r cos u

y

x



rsenu

y se reemplaza

y luego se dan los límites de integración de ambas coordenadas polares

para la frontera de R. La integral cartesiana se convierte entonces en

donde G denota la región de integración en coordenadas polares. Esto es como el método de sustitución del capítulo 5, excepto que ahora se sustituyen dos variables en lugar de una. Observe que dx dy no se reemplaza por

dr du

sino por

r

dr du

Ejemplo Calcular el momento polar de inercia con respecto al origen de una placa delgada de densidad d (x; y) 1 acotada por el cuarto de círculo 

x

2



y

2

1

en el primer cuadrante.

Resolución

Trazamos la placa para determinar los límites de integración. En coordenadas cartesianas, el momento polar es el valor de la integral

La integración con respecto a y da

“


una integral difícil de evaluar sin tablas. Las cosas mejoran si cambiamos la integral original a coordenadas polares. Al sustituir y reemplazar dx dy por

r

dr du

x



r cos u

y

x



rsenu

, obtenemos:

Evaluación de integrales por medio de coordenadas polares Ejemplo: Evaluar

 e

x 2  y 2

dydx

R

donde R es la región semicircular acotada por el eje x y la curva y P1 x 



2

Resolución:

En coordenadas cartesianas, la integral en cuestión es una integral no elemental y no hay una forma directa de integrar

x

e

2

y

2

con respecto a x o a y . Pero estas integrales y otras similares

son importantes en matemáticas (en estadística, por ejemplo) y necesitamos hallar una forma de evaluarla. Las coordenadas polares nos ayudan en este caso. Al sustituir x



rsenu

y reemplazar dy dx por

r

dr du



r cos u

podemos evaluar la integral como:

La r en era justo lo que se necesitaba para integrar hecho.

x

e

r

2

. Sin esto, no lo hubiésemos

y

“


EJERCICIOS

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