QUE SON LAS COORDENADAS COORDENADAS ESFERCAS
Las coordenada coordenadas s esféricas esféricas constituyen constituyen otra generalización generalización de las coordenada coordenadas s polares del plano, a base de girarlas alrededor de un eje. Su denición es la siguiente: La coordenada radial : distancia al origen • •
La coordena coordenada da polar
•
. La coordenada aciutal fora con el eje
: ángulo ángulo que el vecto vectorr de posición posición fora fora con con el eje eje : ángulo que la proyección sobre el plano
.
Los rangos de variación de estas coordenadas son:
!l ángulo tabién intervalo "#,$%&.
puede
variar
en
el
ANALIZANDO POR PASOS Analicemos el punto el punto (x,y,z)
Ahora construyamos construyamos una esera con centro la coor!ena!a coor!ena!a (",",") y !e ra!io, la !istancia !el ori#en al punto$ Sea tam%i&n ra!io$
el 'n#ulo orma!o por el ee z y el
Analizan!o su proyeccin po!emos, *emos +ue se orma un tri'n#ulo rect'n#ulo con *&rtices el ori#en, el punto !e proyeccin ' y el punto (, con hipotenusa el ra!io
Pasar el puntero del ratón sobre la imagen para ver el efecto
emos +ue !e%i!o a +ue el tri'n#ulo !escrito es un tri'n#ulo rect'n#ulo entonces la proyeccin so%re el plano -./ es0
Pasar el puntero del ratón sobre la imagen para ver el efecto
Llamemos proyectemos
al
'n#ulo
entre
el
ee
-
y la
proyeccin
so%re el ee ) y so%re el ee * , entonces, ten!remos0
$
Ahora
Pasar el puntero del ratón sobre la imagen para ver el efecto
Pasar el puntero del ratón sobre la imagen para ver el efecto
Para encontrar cu'l es el *alor !e Z analicemos la proyeccin !e el cual, como *emos !el tri'n#ulo rect'n#ulo OPZ
so%re el ee Z,
Pasar el puntero del ratón sobre la imagen para ver el efecto
Lue#o entonces las transormaciones +ue!an expresa!as como0
MOVIMIENTO EN COORDEN! E!"ERIC!#
1RAN2OR3A4ION D5 4OORD5NADAS 5S25RI4AS A 4AR15SIANAS
Po!emos 'cilmente *er +ue como lue#o entonces las transormaciones +ue!an expresa!as como el ra!io !e la esera solo es la !istancia !e &l ori#en al punto entonces0
!e z po!emos !eterminar
como0
6na *ez +ue hemos !etermina!o tanto !e + o !e y
entonces po!emos !espear
4on*ersin !e coor!ena!as rectan#ulares a es&ricas
x y
⌊ OP OP ´ ⌋ =
Transformando rectangulares x,y,z $ esfericas ρ ,θ , ∅
X r . cos θ =
5n el plano y =r .senθ
7z ρ= √ x
2
θ
ϕ
y
+
2
7
7
2
z
+
arc tan
y x
2 2 x + y √ arc tan
Transformando esf%ricas
z
ρ ,θ , ∅
$ rectangulares
x,y,z
X ρ . senϕ . cos θ =
y = ρ . sen ∅ .senθ Z ρ . cos ∅ =
E&emplo ' !e !emostracin0 con*ertir en uncin !e ρ ,θ , ϕ x x
2
2
y
+
y
+
2
2
2
z
=
z
+
2
−
8allan!o
4 z =0
ϕ
hallan!o
8allan!o
ρ
θ
E&emplo (0 POSI4ION / 5LO4IDAD
E&emplo )0 POSI4ION / 5LO4IDAD
Año de la consolidación del Mar de Grau”
6NI5RSIDAD ALAS P5R6ANAS 2A46L1AD D5 AR96I15416RA 5 IN:5NI5R;A 4IIL 5S465LA A4AD<3I4O PRO25SIONAL D5 IN:5NI5R;A 4IIL
!-': -/0-0!1 2! 342!1'2'S !S5!403'S 46RSO0
DINA3I4A
DO45N150
IN:0 OR5
AL63NO0
2IOR5LA =RAO RA3IR5Z >6AN O/OLO 44A86ANA 15RR/
4ARR5RA0
IN: 4IIL 2016/PUCALLPA
