INTERES COMPUESTO – VALOR ACTUAL ECUACIONES DE VALOR S = P. FSC; P = S.FSA
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
MATEMATICAS FINANCIERAS TEMA:
INTERES COMPUESTO VALOR ACTUAL 35
INTERES COMPUESTO – VALOR ACTUAL ECUACIONES DE VALOR S = P. FSC; P = S.FSA
INTERES COMPUESTO Y VALOR ACTUAL NOTA
ALGEB
CION
RAICA
EXCEL
FUNCION
LOGARITMO
(1 + i ) ∧ n
VF = (i %, n, ,− P )
S = P.FSC ni S = ( S / P, i %, n)
S = P(1 + i)
P = S .FSAni
1 P=S (1 + i ) n
P = ( P / S , i %, n)
i=
n
LogS = LogP + nLog (1 + i )
S = Anti log
LogP = LogS − nLog (1 + i )
(1) / (1 + i ) ∧ n
P = Anti log
VA = (i %, n, ,− S )
j m
S = P(1 +
m = número de períodos de capitalizaciones en el año para n años nm = número de períodos Econ. Máximo Calero Briones
j nm ) m
P=S
1 j (1 + ) nm m
(LOGARITMO)
N
NOTACION S = P.FSC ni
ó
S = ( S / P, i %, n) ó
S = P(1 + i ) n P = S .FSA
i n
ó
P = ( P / S , i %, n) ó
P=S
1 (1 + i ) n
S = P.FSC ni =
I S Log ( ) P (1 + i ) = n
S nLog (1 + i ) = Log ( ) P S Log ( ) P n= Log (1 + i )
i = Anti log− 1
nLog (1 + i ) = LogS − LogP LogS − LogP n= Log (1 + i )
LogS − LogP n i = Anti log− 1
NPER(Tasa, Pago, 0, − S , 0) Tasa ( Nper , 0, P, − S , 0)
(1 + i ) =
P = S .FSAni =
NPER(Tasa, 0, P, − S , 0) Tasa ( Nper , 0, P, − S , 0)
Econ. Máximo Calero Briones
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INTERES COMPUESTO – VALOR ACTUAL ECUACIONES DE VALOR S = P. FSC; P = S.FSA
1. INTERES COMPUESTO El Interés Compuesto es el proceso mediante el cual el interés generado por un capital en una unidad de tiempo, se capitaliza, es decir se adiciona al capital anterior, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el plazo pactado experimentando al final de cada unidad de tiempo un crecimiento Geométrico. El Intereses Compuesto es una sucesión de operaciones a Interés simple, en la que después de la primera, su monto constituye el capita inicial de la siguiente. Al final del primer periodo de capitalización, el monto de una operación a interés compuesto coincide con el monto a Interés simple, si son iguales las tasas y los capitales iniciales. El interés compuesto es una formula exponencial y en todas las fórmula derivada de ella debemos operar únicamente con la tasa efectiva. La tasa periódica tiene la característica de ser a la vez efectiva y nominal, ésta tasa es la que debemos utilizar en las fórmula del interés compuesto Con el interés compuesto, pagamos o ganamos no solo sobre el capital inicial sino también sobre el interés acumulado, en contraste con el interés simple que sólo paga o gana intereses sobre el capital inicial Para el cálculo del interés compuesto es necesario tener en consideración: a) La Tasa Nominal ( j ) b) La Tasa Efectiva ( i ) c) El número de períodos de capitalización en el año ( m), el cual se halla relacionando el año bancario y la frecuencia de capitalización de la tasa de interés. d) La frecuencia de capitalización ( f ) número de días del período capitalizable e) El Horizonte de tiempo (H): número de días de la operación. Si un contrato de préstamo se amortiza en cuotas o partes, entonces H = H1 + H2 + …. Hn ; donde lo Hk representan el número de días de cada cuota. Al vencimiento de cada cuota procede el cobro del Interés moratorio en adición al Interés compensatorio. f) El número de períodos de capitalización (n ) en el horizonte temporal. Se entiende que el número de capitalizaciones debe ser un número entero dado por el cociente H/f. m aplicable a una tasa j anual Capitalización Operación Anual 360/360 Semestral 360/180 Trimestral 360/90 Bimestral 360/60 Cada 45 días 360/45 Mensual 360/30 Quincenal 360/15 Diario 360/1
M 1 2 4 6 8 12 24 360
m aplicable a una tasa j mensual Capitalización Operación m Anual 30/360 0.0833333 Semestral 30/180 0.1666666 Trimestral 30/90 0.3333333 Bimestral 30/60 0.5000000 Cada 45 días 30/45 0.6666666 Mensual 30/30 1.0000000 Quincenal 30/15 2.0000000 Diario 30/1 30.000000
Si la tasa j se expresa mensualmente, entonces m tendría que obtenerse relacionando un mes bancario de 30 días y la frecuencia de capitalización de la tasa de Interés mensual. 37
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
1.1. MONTO COMPUESTO Sea un capital P invertido a la tasa i por periodo de conversión y designemos con S al monto S1 0
i
S =P + S2 = S1 + S3 = S2 + Sn = Sn-1 +
1
Pi S1 i S2 i Sn-1 i
S3
S2 i
2
3
i
= S1 (1+ i ) = S2 (1+ i ) = Sn-1 (1+ i )
i
Sn-1
Sn
n-1
n
= P (1+ i) (1+ i ) = P (1+ i)2 (1+ i ) = P (1+ i)n-1 (1+ i )
= P (1+ i ) = P (1+ i )2 = P (1+ i )3 = P (1+ i )n
En esta fórmula y las demás del Interés compuesto que utilizaremos, la tasa de Interés compuesto i se refiere al período de capitalización. El número de períodos a capitalizar n y la tasa i, necesariamente debe estar expresados en la misma unidad de tiempo (años, trimestres, meses, días, etc.)
1.2. TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA Cuando una tasa es susceptible de proporcionarse (dividirse o multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, con el objeto de capitalizarse una o más veces, recibe el nombre de tasa nominal. En este caso la tasa nominal es una tasa referencial mientras la tasa efectiva refleja el número de capitalizaciones que ha experimentado durante un plazo determinado.
2. VALOR PRESENTE Valor Presente es el valor actual de un capital que no es inmediatamente exigible es (por oposición al valor nominal) la suma que, colocada a Interés Compuesto hasta su vencimiento, se convertiría en una cantidad igual a aquél en la época de pago. Comúnmente se conoce como el valor del Dinero en función del tiempo. El valor presente de una suma que se recibirá en una fecha futura es aquel capital que a una tasa dada alcanzará en el período de tiempo, contado hasta la fecha de su recepción, un monto igual a la suma a recibirse en la fecha convenida. El valor presente a la tasa i, por período de conversión, de un monto S con vencimiento en n períodos de conversión es la suma P tal que invertida ahora a la tasa dada de Interés alcanzaría el monto S después de n períodos de conversión. El factor (1+i)-n es el Factor Simple de Actualización Compuesto FSA y se lee: EL FSA a una tasa de i de n períodos transforma una cantidad futura S en un valor presente P o capital inicial.
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INTERES COMPUESTO – VALOR ACTUAL ECUACIONES DE VALOR S = P. FSC; P = S.FSA
EJEMPLOS AUTOR : Zima Petr/ Brown, Robert . Matemáticas Financieras Valor Acumulado 1. Calcular: a. El Interés Simple sobre $ 1 000 por 2 años (Resp. I = $ 240 ) b. El interés compuesto de $ 1 000 a 12% durante 2 años, capitalizable semestralmente ( esto es, J2 = 12%) (Resp. I = $ 262.48) 2.
3.
Calcular el interés compuesto de $ 1 000 a. J12 = 6% por 5 años b. J12 = 15% por 30 años
(Resp. S = $ 1 348.85) (Resp. S = $ 87 541.00)
Tabular y graficar el crecimiento de $ 100 a las tasas de interés compuesto J12 = 6%, 8%, 10%, 12% y con tiempo de 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 y 50 años.
P = Años 5
100 n 60
J12 = 6% 0.005 134.89
J12 = J12 = 8% 10% 0.0066667 0.0083333 148.98 164.53
J12 = 12% 0.0100 181.67
4.
Una persona depositó $ 1 000 en una cuenta de ahorros para el retiro, el 4 de febrero de 1978, ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta el 4 de febrero de 1998, a 11. 4% compuesto diariamente, suponiendo que a. El tiempo aproximado es(1 año = 360 días) (Resp. S = $ 9 773.15) b. El tiempo es exacto (1 año = 365 días)? (Resp. S = $ 9 773.20)
5.
John tiene una cuenta de ahorro que paga interés de 13 ¾% por año. El interés se calcula diariamente sobre el saldo diario mínimo, y se paga en la cuenta al final de cada mes. Dadas las siguientes transacciones en esa cuenta, abierta el 15 de marzo, calcular el interés ganados al final de julio. (Resp. I = $ 51.10) FECHA DEPÓSITO RESULTADO mar-15 800 abr-30 300 jul-07 200
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Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
6.
Interés Compuesto- Valor Actual
Se invierten 1500 dólares durante 18 meses a una tasa nominal de 13%. Calcular el valor acumulado, si el interés se compone a. Mensualmente (Resp. S = $ 1 821.06) b. Continuamente (Resp. S = $ 1 822.97) Fórmula:
S = Pein
e = 2.7182818
7.
Se invierten 2 000 dólares durante 10 años a J2 = 10% durante los primeros 3 años, a J4 = 8% durante los 4 años siguientes, y a J12 = 9% por los últimos años. Calcular el valor acumulado después de 10 años. (Resp. S = $ 4 814.94)
8.
La población de East Euclid era de 15 000 al 31 de diciembre de 1980. Durante el período de 1980 a 1990 el pueblo creció a una tasa de 2% por año. Suponiendo que la tasa de crecimiento haya permanecido constantes, estimar a. La población al 31 de diciembre de 2000 (Resp. Poblac = 22 289) b. El aumento de población en el año de 1998 (Resp. Poblac. = 420) Formula:
PoblacEstimada = Pob(1 + TC ) n
Tasas Equivalentes 9. Calcular los valores acumulados y las cantidades de interés compuesto ganado por una inversión de $ 10 000 durante 10 años a una tasa nominal de 12%, compuesta con las frecuencias m = 1, 2, 4, 12, 52 y 365 m 1
P i = 12% 0.12
= n = 10 10
10000 S 31058.48
I 21058.48
10. Calcular la tasa a. J12 equivalente a J1 = 10.08% (Resp. = 9.64%) b. J2 equivalente a J4 = 9% (Resp. = 12.18%) c. J4 equivalente a J∞ = 9% (Resp. = 9.10%) d. Por mes equivalente a 5% por medio año (Resp. = 0.82%) En cada caso se igualan los valores acumulados de $ 1 al final de un año 11. Calcular la tasa anual efectiva de interés J que corresponde a a. 15% compuesto continuamente b. Una tasa nominal Jm . Formula:
= TEA
(Resp. = 16.18%)
i e n − 1 100
12. ¿Qué tasa de interés simple r es equivalente a J365 = 12% si el dinero se invierte durante 3 años?. Nota: Si a la tasa r durante 3 años se acumulará hasta 1+3r; $ 1 a la tasa J365 =12% durante 3 años se acumulará hasta (1+0.12/365)1095 . (Resp. = 14.44%) 40
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
13. Una asociación de ahorros y préstamos ofrece certificados de inversión garantizados que pagan intereses a J12 = 11 ¼%, J2 = 11 1/2% y J1 = 11 3/4%, ¿Cuál es la mejor? (Resp. J12 = 11.14% mejor tasa de rendimiento) 14. Se invierte una suma de dinero durante 3 años. En el primer año, gana interés a J12 = 15%; en el segundo año, la tasa de interés es J4 = 10%; y en el tercer año, la tasa de interés cambia a J365 = 12%. Calcular la tasa efectiva de interés J que acumularía la misma cantidad de interés al final de 3 años. (Resp. = 13.04%) Nota: Esta tasa equivalente uniforme también se llama tasa de rendimiento medio geométrico para una inversión. Fórmula:
n1 n2 n3 J J J 100 + − TE = n 1 + 1 + 1 1 m1 m2 m3
Valor descontado 15. ¿Cuánto habría que depositar hoy en un fondo de inversión que paga J12 = 10.4% para tener $ 2 000 dentro de 3 años? (Resp. P = $ 1 465.93) 16. Calcular el valor presente de $ 8 000 pagaderos en 5 años a 7% compuesto a. Trimestralmente (Resp. P = $ 5 654.60) b. Diariamente (Resp. P = $ 5 637.69) c. Continuamente (Resp. P = $ 5 637.50) Formula:
P = Se
− in
P = S
1 ein
17. Un pagaré por $ 2 500 con fecha del 1 de agosto de 1993 se vence con interés compuesto de J12 = 15 ¼% después de 4 años de la fecha inicial. El 1 de noviembre 1994, el tenedor del pagaré lo descontó con un prestamista que cobra J4 = 13 ½%. Calcular los réditos y el descuento compuesto (Resp. S = $ 4 583.43, P = $ 3 181.41, D = $ 1 402.02) 18. Una persona puede comprar un lote ahora en $ 30 000, o bien, por $ 12 000 de enganche, $ 12 000 en 2 años y $ 12 000 en 5 años, ¿Cuál opción es la mejor, si el dinero se puede invertir a a. J12 = 12% ? (Resp. X = $ 28 056.19) b. b) J12 = 8% durante los 3 primeros años y J4 = 6% durante los 2 años siguientes? (Resp. X =$ 30 617.42) 19. La administración de una empresa debe decidir entre dos propuestas, con base en la siguiente información: Propuesta A B
Inversión Entrada neta de fectivo al final del Hoy Año 1 Año 2 Año 3 80000 95400 39000 12000 100000 35000 58000 80000
Aconsejar a la administración acerca de qué propuesta debe seleccionar, suponiendo que en proyectos de este tipo la empresa puede ganar J1 = 14%. (Resp. = Propuesta A)
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Interés Compuesto- Valor Actual
Valores acumulados y descontados para periodos de intereses fraccionarios 20. Calcular el valor acumulado de $ 1 000 durante 5 años 7 meses a J2 = 13 ½%, usando el método exacto (Resp. S = 2 073.84) 21. Calcular el valor descontado de $ 2 800 pagaderos en 3 años 7 meses si el dinero vale 10% efectivo y se usa el método exacto (Resp. P = $ 1 989.91)
22. Resolver el problema el problema 20 con el método aproximado(datos según diagrama de tiempo) (Resp. S = $ 2 074.46) P = 1000
S=? Interes compuesto para 11 períodos a J2 = 3 1/2%
Interes simple para el primer mes a 13 1/2%
5 años 6 meses
(
)
5 años 7 meses
S = P (1 + i )
Fórmula: = S P FSCni (1 + in)
n1
(1 + in2 )
23. Resolver el problema 21 con el método aproximado (datos según diagrama de tiempo (Resp. P = $ 1992.12)
Interes Simple para 5 meses a 10% -5 meses
0 P
(
S = 2800 Descuento compuesto para 4 períodos a J2 = 10%
)
i P = Fórmula:= P S FSA n .(1 + in)
3 años 7 meses
1 1 + in2 S n1 ( (1 + i )
)
24. Un pagaré por $ 2 000, fechado el 5 de abril de 1994, se vence el 1 de octubre de 1998, con intereses a una tasa de J1 = 12% (Interés Simple). El 7 de junio de 1995 el tenedor del pagaré lo descuenta en un banco, que cobra J4 =14%. Calcular el valor presente y el descuento compuesto (Resp. D = $ 1 220.86) 25. Despejar: a. La tasa de interés i desconocida b.
La tasa desconocida
= S P(1 + i ) n S = Pe j∞t
26. Un fondo de inversión anuncia que triplicará el dinero en 10 años ¿Qué tasa de interés compuesto mensualmente tiene? (Resp. = 11.04%) 27. Desde 1988 hasta 1993, las ganancias compartidas por acciones de una empresa aumentaron de $ 4.71 a $ 9.38, ¿Cuál fue la tasa anual compuesta de aumento? (Resp. = 14.77%)
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Interés Compuesto- Valor Actual
28. ¿A qué tasa nominal compuesta continuamente una inversión aumentará 50% de su valor en 3 años? (Resp. = 13.52%)
Fórmula:
nj∞ = ln S
j∞ =
1 ln S n
29. Juana invirtió $ 1 000 durante un año a J1 = 10%. La tasa anual de inflación en ese año fue de 4% a. ¿Cuál fue la tasa anual real de rendimiento de su inversión? (Resp. = 5.77%) b. ¿Cuál fue su tasa anual real de utilidad, después de impuestos, si los impuestos son 40% de la tasa marginal (Resp. = 1.92%)
Fórmula:
r =
Te − π 1+ π
r =
Te(1 − t ) − π 1+ π
30. ¿Cuánto tardarán $ 2 000 en acumular $ 800 de intereses a 10% compuesto trimestralmente, si se tiene en cuenta el interés compuesto para la parte fraccionaria de un período de conversión? (Resp. n = 13.62 Trim) 31. Resolver el problema 30, suponiendo que se considera el interés simple durante la parte fraccionaria de un período de conversión. (Resp. n = 3ª,4m,26d) 32. ¿En qué fecha $ 800, depositados el 4 de febrero de 1994, valdrán cuando menos $ 1 200 a. A 12% compuesto continuamente? (Resp. n= 3.37887 años) b. A 12% compuesto diariamente? (Resp. n = 1234 días)
Fórmula:
j∞ =
1 P ln( ) i S
33. Si una inversión se duplica en 6 años a determinada tasa de interés compuesto mensualmente, ¿Cuánto tardará la misma inversión en triplicar su valor? (Resp. = 114.1173 meses) 34. Una obligación de $ 2 500 se vence al final de 7 años. Si el dinero vale J12 = 10%. Calcular una deuda equivalente al final de a. 3 años (Resp. = $ 1 678.58) b. 10 años (Resp. = $ 3 370.45) 35. Una persona debe $ 1 000 pagaderos al final de 18 meses, y $ 1500 pagaderos al final de 4 años. Si el dinero vale J4 = 6%, ¿Qué pago único a. Hoy (Resp. = $ 2 096.59) b. Dentro de 2 años, (Resp. =$ 2 361.79) Liquidará esas obligaciones? 36. Un consumidor compra mercancía con valor de $ 1 500, pagando $ 500 al contado y $ 500 al final de 6 meses. Si la tienda cobra intereses a J12 = 18% sobre saldo insolutos, ¿Qué pago final será necesario hacer al final de 1 año? Resp. X = $ 648.90)
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Interés Compuesto- Valor Actual
37. Un hombre estipula en su testamento que $ 50 000 de su patrimonio se pongan en un fondo del cual cada una de sus tres hijas debe recibir la misma cantidad, a la edad de 21 años. Cuando el hombre muere, las mujeres tiene 19, 15 y 13 años ¿Cuánto recibirá cada una, si el fondo gana intereses de J2 = 12%? Resp. X= $ 29 713.99) 21-13 = 8 años 21-15 = 6 años 21-19 = 2 años
50000 0
13 X
15 X
19 X
21 Años
Valor de los Pagos = Valor del Patrimonio X
1 1 1 +X +X = 50000 0.12 4 0.12 12 0.12 16 (1 + ) (1 + ) (1 + ) 2 2 2
38. Si el dinero vale 10% compuesto continuamente, ¿Qué pagos iguales X al final de 5 meses y 2 años sustituidos equitativamente las obligaciones siguientes? $ 1 000 pagaderos hoy y $ 2 000 con intereses de J2 = 11% pagaderos en 3 años? (Resp. X = $ 1 719.22) Fórmula:
P = S
P = Se − in
1 ein
3 años Deudas 1000
2757.69
0
1 5 meses X
Pagos
3 Años
2 X
6m 2 años
X
1 1 1 + X = 1000 + 2757.69 ein ein ein
39. ¿Cuál es el tiempo equiparado para pagar deudas de $ 1 000 pagaderos en 1 año y $ 3 000 en 2 años, si el dinero vale J12 = 6%? (Resp. = 20.93 meses) 24 m 12 m 1000 0
3000
1
2 años
1 1 1 4000 = 1000 + 3000 0.06 12 n 0.06 12 0.06 24 (1 + ) (1 + ) (1 + ) 12 12 12
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Interés Compuesto- Valor Actual
40. Calcular el valor descontado de $ 100 pagaderos en 2 años a a. d(12%) = 12% b.
(Resp. P = $ 785.68)
d(365) = 7%
Fórmula:
= P
(Resp. P = $ 869.35) d (m) S 1 − m
n
41. Determinar el valor acumulado de $ 500 al final de 3 años a. A 8% de descuento simple b. d(2) = 8% Fórmula:
1 S=P (1 − dn)
S = P
(Resp. S =$ 657.89) (Resp. S = $ 638.77) 1 d (m) − 1 m
n
42. Determinar la tasa de descuento anual efectivo d que corresponde a a. d(m) b. d(12) = 9% (Resp. d= 8.64%)
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INTERES COMPUESTO – VALOR ACTUAL ECUACIONES DE VALOR S = P. FSC; P = S.FSA
EJEMPLOS AUTOR: FORTUS GOVINDEN, Lincoyan. Matemáticas Financieras 1.
Un banco ofrece la tasa del 10% para los depósitos en cuenta de ahorros. Calcular el monto de un depósito de $ 1 000 al cabo de 10 años, utilizando: (Resp S = $ 2 593.74) a.- Formula del Interés Compuesto b.- Método del Logaritmo
2.
Calcular el valor futuro de un capital de $ 6 000 a interés compuesto en 8 años, a la tasa del 10% capitalizable semestralmente. (Resp. S = $ 13 097.25) a.- Formula del Interés Compuesto b.- Método del Logaritmo
3.
Calcular el valor futuro al cabo de 20 años para una deuda de $ 4 000, al 9% de interés, con capitalización bimensual. (Resp. S = $ 23 877.29)
4.
Calcular el valor futuro de $ 6 000 depositados al 9% de interés compuesto, capitalizable semestralmente durante 14 años 6 meses. (Resp. S = $ 21 504.22)
5.
Una persona obtiene un préstamo de $ 30 000 a 5 años, con un interés del 8% capitalizable semestralmente. Calcular el valor futuro que debe pagar en la fecha de vencimiento. (Resp. S = $ 44 407.33)
6.
Calcular el valor futuro de $ 5 000 al 6%, con capitalización mensual en 6 años 3 meses (Resp. S = $ 7 268.16)
7.
Calcular el valor futuro en el problema anterior, para 30 años. Sólo varía el número de períodos; m =12; n = 20; mn = 360. (Resp. S = $ 30 112.88)
8.
En un juicio civil por cobro de una deuda de $ 12 000, el juez falla ordenando el pago de la cantidad adeudada con acumulación anual de intereses al 8.3% por 4 años, contados desde la fecha de su vencimiento. Calcular el monto acumulado de la deuda. (Resp. S = $ 16 508.62)
9.
En el problema anterior, calcular el valor futuro para 24 años
10.
Calcular el valor futuro de $ 6 000 para 4 años 8 meses al 7% con capitalización anual (Resp. S = $ 8 227.65)
11.
En el problema anterior, calcular (Resp. S = $ 8 231.80) a.- El valor futuro según la regla comercial de determinar la fracción de período a interés simple b.- Método Logarítmico Formula: = S
P.FSCin (1 + if )
[
(Resp. S = $ 81 332.52)
S = P (1 + i ) n (1 + if )
46
]
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
12.
Una deuda de $ 100 000 convenida al 6% con capitalización anual se paga los 2 años 4 meses a.- Regla Comercial (Resp. S = $ 114 607.20) b.- Regla Teórica (Resp. S = $ 114 563.70) c.- Método Logarítmico
13.
¿Qué banco es aconsejable para depositar dinero en cuenta corriente: A que ofrece el 7% con capitalización trimestral, o B que ofrece el 7 ¼ % con capitalización semestral? (Resp. Banco A: i = 7.19%; Banco B: i = 7.38%)
14.
Un prestamista desea ganar el 8% efectivo anual sobre un préstamo, con interés capitalizable trimestralmente. Hallar la tasa nominal que debe cobrar (Resp. i =7.77%)
15.
¿En qué tiempo se duplica un capital depositado al 7%, con capitalización semestral? a.- Método del Tanteo (Resp. n = 20.15) b.- Método Logarítmico (Resp. n = 20.15 )
16.
En el problema anterior, proceder calculando el monto compuesto en períodos enteros y los interés simples para la fracción de tiempo. (Resp. 10.0744: 10 años, 26 días. Año de 360 días) Nota: 1.9898 se determina interpolando (corresponde a 20 periodos)
17.
Resolver el problema 16 utilizando calculadora que tenga memoria y la función ln (Resp. 10.0744: 10 años, 26 días. Año de 360 días) Fórmula:
n =
LnS = mnLn(1 + i )
LnS Ln (1 + i ) m
18.
Una persona deposita $ 7 500 en una cuenta de ahorros que paga el 9%, con capitalización bimensual, ¿En qué tiempo tendrá un valor futuro de $ 10 500?. (Resp. 3.76655: 3años, 9meses, 6 días)
19.
Resolver el problema Nº 18, utilizando calculadora con memoria y función ln (Resp. 3.76655: 3años, 9 meses, 6 días)
20.
Alguien deposita $ 1 000 el 20 de enero en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% de interés capitalizable trimestralmente para el 31 de marzo (Intereses Simple), 30 de junio, 30 de setiembre (Interés Compuesto) y 31 de diciembre. Calcular el monto que podrá retirar el 15 de diciembre (Interés Simple) del año siguiente. (Resp. S =$ 1 120.03)
21.
Al morir, alguien deja a su hija de 7 años de edad un legado de $ 100 000 para que con sus intereses compuestos le sean entregados cuando cumpla los 18. Si ella al cumplir la edad fijada recibe $ 190 071.20, ¿Qué interés con capitalización anual ganó la herencia?(Resp. i = 6.0122%) a.- Método del Tanteo b.- Método Logarítmico c.- Método Radicales d.- Método de la Interpolación Fórmula:
Log (1 + i ) =
Log
S P
i = (n
n
47
S − 1)100 P
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
22.
¿En que tiempo un depósito de $ 1 000 se convertirá en $ 1 500 al 6% con capitalización semestral? (Resp. n = 13.72) a.- Método del Tanteo b.- Método Logarítmico c.- Método interpolación lineal
23.
Hallar el valor de la fuerza de interés que corresponda al interés compuesto del 8%(Utilice ln) (Resp. σ = 7.696) Formula:
δ = ln(1 + i )
24.
Hallar el valor futuro de $ 5 000 en 10 años: a.- A la tasa efectiva del 6% b.- A la tasa del 6% con capitalización mensual c.- A la tasa continua del 6% Fórmula:
25.
S = P (e δ ) n
(Resp. S = $ 8 954.24) (Resp. S = $ 9 096.98) (Resp. S = $ 9 110.59)
e = 2.7182818
En el problema anterior, calcular el valor futuro según la regla comercial de determinar la fracción de período a interés simple. (Resp. S = $ 8 231.80) Fórmula:
[
S = P.FSCin (1 + i. f )
S = P (1 + i ) n (1 + if )
]
26.
Calcular la tasa de interés simple equivalente al interés compuesto del 6% durante 12 años (Resp. i = 8.43) (1 + iC ) n − 1 Fórmula: iS = n
27.
Una persona compra por S/. 109 000 una mercancía que le será entregada dentro de un año, para ello paga hoy S/. 40 000 comprometiéndose a pagar el saldo, al recibir la mercancía, por medio de un pagaré a un año de plazo. Ocurre que en el instante de recibir la mercancía la vende de inmediato en S/. 106 000, a.- ¿Qué porcentaje de utilidad obtuvo en este negocio? (Resp. Sin solución) b.- Si los S/. 106 000 obtenidos al final del primer año se pueden invertir al 10%(Tasa de oportunidad), ¿Cuánto se tendrá la final del segundo año? (Resp. i = 9.09%)
Fórmula:
−b± i =
aX 2 + bX + C = 0
b 2 − 4ac − 1100 2a
40(1 + i ) 2 − 106(1 + i ) + 69 = 0
i = (
S 1/ n ) −1 P 48
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
a 106 2 años
40 i a b c
= = = =
109 - 40 = 69
40(1 + i) − 106(1 + i) + 69 = 0
¿? 40 (106) 69
2
aX 2 + bX + C = 0 i=(
− b ± b 2 − 4 ac − 1)100 2a
i
± 80
106
=
14
i1 = 50.00% i2 = 15.00% La tasa interna carece de sentido y se trata de una solución matemática ajena a los principios financieros. b i S P n
28.
= = = =
¿? 47600 40000 0.5
i =( 1/2
S 1/ n ) −1 P
i
=
9.087%
En un cultivo el número de bacterias crece proporcionalmente al número presente de ellas. Si en determinado instante hay 1 000 bacterias y una hora después 2 000, Calcular la cantidad 3 horas después.(Utilice ln) (Resp. Y = 8 000) Y t
= =
1000 0
Y t
= =
1000 1
Y = Ae Kt A
Y = Ae
=
K = El número presente de bacterias es un tiempo t es: Y =
Sea ln = b b t entonces, por definición e =2 Remplazando b, se tiene eln2t
t
=
1000
Kt
ln2 tln2
e
1000
donde:
Y Y
3
49
t
1000(2 ) = = 8000 bacterias al cabo de 3 horas
INTERES COMPUESTO – VALOR ACTUAL ECUACIONES DE VALOR S = P. FSC; P = S.FSA
EJEMPLOS AUTOR: FORTUS GOVINDEN ,Lincoyan. Matemáticas Financieras 1.
Hallar el valor presente de $ 5 000 pagaderos en 5 años, a la tasa efectiva anual del 6% (Resp. P = $ 3 736.29)
2.
Hallar el valor presente de $ 5 000 pagaderos en 5 años, a la tasa del 6% capitalizable trimestralmente (Resp. P = $ 3 712.35)
3.
Hallar el valor presente de $ 100 000 pagaderos dentro de 20 años, al 6% capitalizable trimestralmente (Resp. P = $ 30 389.01)
4.
¿Cuál es el valor presente de un pagaré de $ 60 000 pagaderos dentro de 2 años 8 meses, si la tasa es del 8% capitalizable semestralmente? a.- Regla Comercial (Resp. P = $ 48 666.74) b.- Calculo Teórico (Resp. P = $ 48 675.09)
5.
¿Cuánto debe invertirse hoy al 9% con capitalización semestral, para obtener $ 60 000 dentro de 10 años? (Resp. P = $ 24 878.57)
6.
¿A qué valor de contado equivale la oferta de $ 120 000 pagaderos dentro de 2 años por un bien raíz, si las inversiones locales producen el 10% capitalizable trimestralmente? (Resp. P = $ 98 489.59)
7.
Un inversionista negocia un pagaré de $ 20 000 a intereses simples del 12%, con vencimiento a dos años; hallar el valor que debe pagar a la tasa nominal comercial del 10%, con capitalización semestral. (Resp. P = $ 20 403.02)
8.
El 1º de marzo de 2011 se firmó un pagaré por $ 40 000, con vencimiento a 4 años, a un interés simple del 12%. El 1º de setiembre de 2012 se negocia con un inversionista que cobra el 14% nominal, con capitalización semestral; Hallar el valor pagado por el inversionista. (Resp. P = $ 42 208.78)
9.
Una deuda de $ 200 000 se cobra judicialmente y se paga 5 años después. Si la tasa bancaria para cuentas es del 16% nominal con capitalización trimestral, hallar a.- La suma que basta consignar en una cuenta de ahorro al iniciarse el juicio para cancelar la deuda en la fecha del fallo. (Resp. P = $ 91 277.39) b.- La pérdida que sufre el acreedor (Resp. Perd.=$ 23 8224.6)
10. Un deudor debe un pagaré por $ 300 000; 18 meses después de su vencimiento, conviene con su acreedor cancelar con un pago de $ 45 000. Hallar la tasa nominal con capitalización semestral que corresponde a esta operación comercial. (Resp. i = 31.03%)
50
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
11. Calcular, 3 años antes de su vencimiento, el valor presente, al 8% capitalizable semestralmente, de un pagaré de $ 100 000 firmado a 5 años plazo, con el 6% de interés capitalizable anualmente. (Resp. P = $ 105 761.91) 5a P = 100000
S =?
0
1
2
4
3
5 años
3a=6s
12.
Una persona debe $ 10 000 pagaderos dentro de 2 años y $ 20 000 a 5 años plazo. Con su acreedor pacta efectuar un pago único al final de 3 años a la tasa del 8%, capitalizable semestralmente. Calcular el valor único del pago. (Resp. P = $ 27 912.08) 1a 2a 0
1
2
3
10000
5
X
X = P.FSC ni + S .FSAni X = 10000(1 +
4 20000
X = P (1 + i ) n + S .
1 (1 + i ) n
0.08 2 1 ) + 20000 0.08 4 2 (1 + ) 2
13. ¿Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad? a.- $ 90 000 de contado b.- $ 40 000 de contado y el saldo en tres pagarés iguales de $ 20 000 cada uno a 1, 2 y 3 años de plazo, si el rendimiento del dinero es del 8%, capitalizable semestralmente. (Resp. P = $ 91 393.5) a
=
90000 Contado
b '1x2=2 semestres '2x2=4 semestres X
'3x2=6 semestres 1
2
20000
20000
3 años
0
40000
X = 40000 + S .FSAni + S .FSAni + S .FSAni 40000 + 20000 X =
1 1 1 + 20000 + 20000 0.08 2 0.08 4 0.08 6 (1 + ) (1 + ) (1 + ) 2 2 2
51
20000
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
14. Calcular la fecha de vencimiento promedio del siguiente conjunto de obligación: $ 5 000 a 2 años plazo, $ 6 000 a 4 años plazo y $ 10 000 a 5 años plazo, al tipo del 6% con capitalización anual. (Resp. X = $ 3años, 11meses, 15días) 21000
(5000 + 6000 + 10000)
1 = S .FSAni + S .FSAni + S .FSAni (1.06) n
1 1 1 1 = 5000. + 6000 + 10000 4 2 n (1.06) (1.06) (1.06) (1.06) 5
15. Un deudor tiene a su cargo los siguientes pagarés: $ 20 000 a 4 años de plazo, $ 50 000 a 3 años de plazo, $ 40 000 a 1 año de plazo y $ 50 000 exigibles de inmediato. El ofrece cancelar de contado $ 30 000 y el saldo a 2 años de plazo. Hallar este valor, si el tipo de interés es el 7% capitalizable semestralmente. (Resp. X = $ 129 903.8) X 30000 2
4
6
8 Semestres
0 40000
50000
20000
50000
30000 + X .FSAni = 50000 + S .FSAni + S .FSAni + SFSAni
30000 + X
1 1 1 1 = + + + 50000 40000 50000 20000 (1.035) 4 (1.035) 2 (1.035) 6 (1.035) 8
16. ¿Con qué pagos iguales a 1,2 y 3 años de plazo puede remplazarse una obligación de $ 120 000 que vence dentro de 4 años, si la tasa de interés es del 8%, con capitalización anual? (Resp. X = $ 34 225.95) 120000 1
2
3
X
X
X
0
X .FSC ni + X .FSC ni + X .FSC ni = 120000
X (1.08) 3 + X (1.08) 2 + X (1.08) = 120000
52
4 Años
INTERES COMPUESTO – VALOR ACTUAL ECUACIONES DE VALOR S = P. FSC; P = S.FSA
EJEMPLOS AUTOR: VIDAURRI AGUIRRE, Héctor. Matemáticas Financieras Interés Compuesto: 1.
Tomás invierte $ 500 000 a 15% anual capitalizable cada mes, a un plazo de 6 meses. Calcule a.- El monto compuesto al cabo de 6 meses (Resp. S =$ 538 691.59) b.- El interés compuesto ganado (Resp. S = $ 38 691.59) c.- Compare el monto compuesto con el monto simple (Resp. S = $ 537 500.00) d.- Tabla de Capitalización
2.
Determine el monto compuesto después de 4 años, si se invierten $ 100 000 a una tasa de 18% con capitalización trimestral. (Resp. S = $ 202 237.02)
3.
¿Qué cantidad de dinero se habrá acumulado al cabo de 10 años si se invierten $ 28 000 a 1% mensual con intereses capitalizables cada bimestre? (Resp. S = $ 91 868.86)
4.
¿Qué interés producirá un capital de $ 50 000 invertido a 15% anual compuesto cada 28 días, en 2 años? Utilice el año natural? (Resp. S =$ 67 377.43; I = $ 17 377.43)
5.
Si el costo de la energía eléctrica va a aumentar 3.16% mensual durante los próximos 12 meses, ¿de cuánto será el aumento total expresado en porcentaje?. El Kilowatt-hora actual tiene un costo de $ 2. Resp. S = 2.9051; X = 45.26%)
6.
Si se invierten $ 200 000 en un banco por 5 años. Cuando se realizó el depósito , el banco pagaba 16.8% capitalizable cada trimestre. Tres años y medio después, la tasa cambió a 14% capitalizable cada mes. Calcule el monto al finalizar los cinco años. (Resp. S = $ 438 381.28) P=200000 0
16.8% trim. 3 1/2 año
14% Mes 1 1/2 año
14 tr. S P i n
S P i n
5 años
18 m
= = = =
? 200000 4 .2 0 % (1 6 .8 /4 )% 14 3 .5 *4
S = P .F S C
= = = =
? 355777 1 .1 7 % (1 4 /1 2 )% 18 12+6
S = P .F S C
S
S
53
i n
=
=
S = P .( 1 + i ) n 3 5 5 7 7 7 .1 6
i n
S = P .( 1 + i ) n 4 3 8 3 8 1 .2 8
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
7.
Interés Compuesto- Valor Actual
El 1º de abril de 2000 se efectuó un depósito de $ 8 000 en un banco que pagaba 25% de interés capitalizable cada mes. El 1º de octubre de 2001 se depositaron $ 21 000 en la cuenta y ese mismo día la tasa de interés cambió a 18% capitalizable cada quincena, ¿Cuál fue el saldo el 1º de noviembre de 2003, si la tasa de interés volvió a cambiar el 1º de enero de 2003 a 9% capitalizable cada mes? (Resp. S = $ 43 949.66) P=8000
21000
0 01/04/2000
18 m
01/10/2001
30 Quinc 01/04/2000 01/10/2001 01/11/2003
S P i n
S P i n
= = = =
? 8000 2 .0 8 % 18
= = = =
? 21000 2 .0 8 % 0
01/01/2003
10 m
Tasa Efectiva TEM 25% TEQ 18% TEM 9%
S = P .F S C (2 5 /1 2 )% 12+6
S
01/11/2003
i n
=
S = P .F S C
$ 8000 2100
S = P .( 1 + i )
n
1 1 5 9 5 .1 7
i n
S = P .( 1 + i )
n
(2 5 /1 2 )% S
=
2 1 0 0 0 .0 0
S = 3 2 5 9 5 .1 7 M o n to a l 1 º e n e ro 2 0 0 3 S P i n
S P i n
= = = =
? 3 2 5 9 5 .2 0 .7 5 % (1 8 /2 4 )% 1 5 *2 30
S = P .F S C
= = = =
? 4 0 7 8 5 .4 0 .7 5 % 10
S = P .F S C
i n
4 0 7 8 5 .4 2
=
S
S = P .( 1 + i ) n
i n
S = P .( 1 + i ) n
(9 /1 2 )% S
=
4 3 9 4 9 .6 6
Interés Compuesto con Períodos de capitalización Fraccionarios: 8.
Obtenga el monto compuesto de 12 500 a 20% capitalizable cada semestre al cabo de 2 años y 3 meses. (Resp. S = $ 19 194.51)
9.
Resuelva el ejemplo anterior según la regla comercial
54
(Resp. S = $ 19 216.31)
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
Tasa de Interés Nominal, Equivalente y Efectiva 10.
Hallar la tasa de interés nominal con capitalización semestral que sea equivalente a la tasa de 20% capitalizable cada mes. (Resp. TNS= 20.85%) Fórmula:
11.
i = n[(1 +
i ) m
m n
− 1]
¿Cuál es la tasa efectiva del dinero invertido a la tasa nominal de 21.4% capitalizable en forma trimestral? (Resp. TEA = 23.18%) Fórmula :
TEA = [(1 +
i m ) − 1]100 m
12.
¿En cuál banco invertirá usted su dinero: en el Banco ABC que ofrece un 26% con capitalización diaria; o en el banco XYZ que ofrece un 27.5% capitalizable cada 28 días? (Resp. Banco ABC= 29.68%; Banco XYZ = 31.28%)
13.
Determine la tasa de interés nominal que produce un rendimiento de 16.1292% anual efectivo, si el interés se capitaliza cada quincena. (Resp.TNA = 15%) Fórmula:
(1 + TE ) = (1 +
j n ) m
J = m[(1 + TEA )1 / n − 1]
14.
¿Cuál será el monto de $ 20 000 en 4 años si se invierten a una tasa efectiva de 8% anual? Los intereses se capitalizan cada mes. (Resp. S = $ 27 209.96)
15.
Se invierten $ 85 000 a una tasa nominal de 18% capitalizable cada mes, durante 9 meses. Calcule: a.- El monto al final de los 9 meses (Resp. S = $ 97 188.15) b.- La tasa efectiva anual (Resp. TEA = 19.56%) c.- La tasa efectiva en el período de 9 meses (Resp. TEA = 14.34%)
16.
La tasa de interés cobra un banco en los préstamos personales es de 21% capitalizable cada mes. Calcule: a.- La tasa efectiva (Resp.TEA = 23.14%) b.- La tasa efectiva por período semestral. (Resp. TES = 10.97%)
Interés Continuo a Capitalización Continua: 17. Se invierten $ 50 000 a una tasa de interés de 25% anual. Calcule el monto compuesto después de 3 años si el interés se capitaliza. a.- Trimestralmente (Resp. S = $ 103 494.50) b.- Mensualmente (Resp. S = $ 105 037.49) c.- Semanalmente (Resp. S = $ 105 659.95) d.- Continuamente (Resp. S = $ 105 850.00)
55
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
18.
Encuentre el monto y el interés compuesto de $ 24 780 invertidos durante 8 meses a 14.7% capitalizable continuamente. (Resp. $ 27331.42; I = $ 2551.42)
S = P.e in
Fórmula:
19.
Interés Compuesto- Valor Actual
e = 2.7182818
¿Por qué cantidad deberá hacerse un pago único dentro de 6 meses que sustituya a los siguientes pagarés? (Resp. X =$ 21 650.95) $ 5 385 a pagar dentro de 4 meses $ 7 240 a pagar dentro de 8 meses $ 10 315 a pagar dentro de 11 meses La tasa de interés es de 2.5% mensual capitalizable continuamente 7m 3m 5385 0
1
2
3
4
7240 5
6 X
7
8
10315 9
10
11 Meses 5m
P . e i n + P . e in + P . e i n = X . e i n 5 3 8 5 .e 2 .5 0 x 7 + 7 2 4 0 .e 2 . 5 0 x 3 + 1 0 3 1 5 .e 2 . 5 0 x 0 = X . e 2 .5 0 x 5 20.
¿Qué tasa de interés nominal es necesaria para que un capital se duplique en 3 años, suponiendo que los intereses se capitalizan de manera continua? (Resp. S = 1.08)
21.
Calcular la tasa efectiva correspondiente a 18% con capitalización continua(Resp.TEA =19.72%) Fórmula:
TE = e i − 1
Inflación: 22. Si el índice de precios de diciembre del año 2000 fue de 93.2482 y el de diciembre de 2002 fue de 102.9040, calcule la tasa de inflación ocurrida en esos dos años. (Resp. π = 10.35%) Fórmula :
23.
IPC
n − 1 π = 100 IPC m −1
La economía Mexicana experimento una inflación anual de 51.97% en 1995. Suponiendo que esta tasa de inflación se hubiera mantenido constante a partir de entonces, obtenga el precio que habría alcanzado un escritorio a principios de enero de 2003, se sabe que en los primero días de enero de 1996 tenía un precio de $ 780. (Resp. S = $ 14 601.57)
56
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
24.
La inflación del mes de enero de 2002 fue de 0.92%. Si esta tasa de inflación mensual hubiera sido la misma todos los meses del año, ¿qué tasa de inflación acumulada se hubiera tenido a fin de año? (Resp. π = 11.62%) Fórmula :
25.
Interés Compuesto- Valor Actual
[
]
π Pr oyec = (1 + π )n − 1100
Cuál fue la inflación en el primer trimestre del año 2003, si las inflaciones mensuales fueron las siguientes: (¿Resp. π = 1.32%) MES Enero Febrero Marzo Fórmula:
26.
π Trimestre = [(1 + π )(1 + π )(1 + π ) − 1]100
Si el Índice de Precios de diciembre de 2001 fue de 97.3543 y el de junio de de 2002 fue de 99.9172, calcule: a.- La tasa de inflación en el primer semestre de 2002 (Resp. π = 2.63%) b.- La tasa promedio de inflación mensual para el primer semestre de 2002(Resp. π = 0.434%) Fórmula:
27.
INFLACION 0.40% 0.28% 0.63%
IPC
n − 1100 π = IPCn −1
IPC
n − 1100 π = n IPC n −1
Si la tasa de inflación anual fue de 4.4% y se ganó en una inversión por el mismo plazo una tasa de 2.4% anual capitalizable cada mes, ¿Cuál fue la tasa real obtenida en el año?(Resp.r = -1.89%)
Fórmula:
[
]
TEA = (1 + i ) − 1100 n
(Te − π ) r = (1 + π )
57
INTERES COMPUESTO – VALOR ACTUAL ECUACIONES DE VALOR S = P. FSC; P = S.FSA
EJEMPLOS AUTOR: VIDAURRI AGUIRRE, Héctor. Matemáticas Financieras Valor Actual: 1. ¿Cuál es el valor presente de $ 16 000 que vencen dentro de 2 años, si la tasa de interés es de 38% y los interés se capitalizan cada bimestre (Resp. P = $ 7 657.50)
2.
Luís recibió una herencia de medio millón de dólares y quiere invertir una parte de este dinero en un fondo de jubilación. Piensa jubilarse dentro de 25 años y para entonces desea tener $ 12 000 000 en el fondo, ¿Qué parte de la herencia deberá invertir ahora si el dinero estará ganando una tasa de interés compuesto cada mes de 13.25% anual? (Resp. P = $ 44 5107.66)
3.
En la compra de un automóvil, el señor Soto de un enganche de $ 20 000 y acuerda pagar $ 106 577.73 cuatro meses después (cantidad que incluye los interés por el financiamiento). Si la tasa de interés es de 35% compuesto cada mes, encuentre el precio de contado del automóvil. (Resp. P = $ 115 000) i S Fórmula: P = CI + S .FSAn P = CI + (1 + i ) n
4.
Alejandro está vendiendo un departamento y recibe las siguientes ofertas: a. Daniel ofrece $ 210 000 al contado b. Armando le ofrece un anticipo de $ 100 000 y el saldo en dos pagarés de $ 71 430 cada uno a 6 y 10 meses de plazo (Resp. P = $ 229 894.31) Si Alejandro puede invertir a 1.2% mensual con capitalización mensual, ¿Cuál alternativa le conviene más? S1 S1 i i P = Anticipo + + Fórmula: P = Anticip + S .FSAn + S .FSAn n1 n2 (1 + i1 ) (1 + i1 )
5.
El 10 de marzo de 2011, el señor Aldo prestó al Señor Cruz $ 50 000, cobrándole una tasa de interés de 28.44% con capitalización diaria. El señor Cruz firmó un pagaré con vencimiento al 10 de septiembre de 2011. El 18 de julio de 2011, el señor Aldo descontó el documento en un banco a una tasa de 25.18% capitalizable cada día, ¿Cuánto dinero recibió el señor Aldo por el pagaré? Utilice el año comercial? (Resp. P = $ 55 677.09)
184d
10-mar
18-jul
10-sep 54d
58
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
6.
¿A qué tasa de interés compuesto se deben depositar $ 11 500 para disponer de $ 13 000 en un plazo de 15 meses ?Considere que los intereses se capitalizan cada quincena. (Resp. i =0.410%; TNA=9.828%)
7.
Se desea duplicar un capital en un año. Si la capitalización se lleva a cabo cada semana, ¿A qué tasa de interés debe invertirse? (Resp. i= 1.3419%; TNA = 69.779%) Fórmula :
8.
i = (n
S − 1)100 P
En el mes de enero de 2002 la renta diaria de películas en DVD era de $ 24 en el videoclub Azteca. Durante el año la renta se incrementó al final de cada trimestre, de la siguiente manera:
TRIMESTRE 1 2 3 4
Interés 10% 7% 6% 4%
a.- Calcule la renta diaria de una película a principios de enero de 2003 (Resp. P = $ 31.14) b.- Calcule el porcentaje total de aumento en el año (Resp. X = 29.75%) c.- Calcule la tasa trimestral de incremento promedio en el precio de la renta (Resp.i = 6.7276%) a
Trimestres 1
a
b
% 10%
Renta 24.00
c axb Interes 2.40
d b+c Cuota 26.40
A principios de enero de 2003, la renta diaria de películas en DVD costaba $ 31.14
9.
¿En cuánto tiempo se triplicará un capital si la tasa de interés es de 18% compuesto cada cuatrimestre? (Resp. n = 18.85) a.- Método del Tanteo b.- Método Logarítmico
Interés Compuesto con Períodos de capitalización Fraccionarios: 10. Encuentre el valor presente de $ 71 644.95 que vencen dentro de un año y diez meses, si la tasa de interés es de 1.5% mensual capitalizable cada cuatrimestre. Utilice a.- El cálculo teórico (Resp. P = $ 52 000) b.- La regla comercial. (Resp. P = $ 51 977.93)
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Interés Compuesto- Valor Actual
Ecuaciones de Valor: 11. Una persona tiene una deuda que debe saldarse de la siguiente forma: $ 9 000 en este momento y $ 13 800 dentro de dos meses. Si desea saldar completamente su deuda el día de hoy, ¿cuánto tendrá que pagar, si la tasa de interés es de 24% anual capitalizable cada mes? (Resp. X = $ 22 264.13) 13800
9000 0 X
1
X = S .FSAni + S .FSAni
X =
2 Meses
X =S
1 1 +S (1 + in) (1 + in)
9000 + 13800
1 0.24 2 (1 + ) 12
12. Con el fin de mostrar que la elección de la fecha focal no influye en el resultado, resuelva el ejemplo anterior, utilizando el mes dos como fecha focal. (Resp. X = $ 22 264.13)
9000
13800
0
1
2 Meses X
P.FSC ni + P.FSC ni = X .P.FSCni
P (1 + i) n + P (1 + i ) n = XP (1 + i) n
9000(1 .02) 2 + 13800 = (1 .02) 2 X 13. Una deuda de $ 25 000 con intereses incluidos, vence en un año. El deudor da un abono de $ 8 000 a los 4 meses y otro de $ 10 000 a los 9 meses. Encuentre la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento, si se acuerda un interés de 2.5% mensual capitalizable cada mes. (Resp. X = $ 4 483.87) Deuda Original 3 meses 25000 0
1
2
3
4
5 1
6 2
7 3
8000 Deuda Propuesta
8 4
9 5 10000
10
11
5 meses 3 meses
SFSAni = 10000 + PFSC ni + X .SFSAni
25000
S
1 1 = 10000 + P (1 + i ) n + X n (1 + i ) n (1 + i )
1 1 =+ 10000 8000(1.025)5 + X (1.025)3 (1.025)3
60
12 Meses X
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14.
Interés Compuesto- Valor Actual
Rigoberto debe pagar $ 15 700 dentro de 4 meses y $ 27 440 dentro de 8 meses. Rigoberto propone a su acreedor pagar mediante dos pagos iguales; el primero dentro de 3 meses y el otro al cabo de 9 meses. Obtenga el valor de los pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interés de 21% capitalizable cada quincena. (Resp. X = $ 21 349. 33) Deuda Original 5 meses 15700 0
1
2
3
27440
4 1
5 2
6 3
7 4
8 5
1
2
3
4
5
9
X
10
11
12 Meses
X 6
Deuda Propuesta
X .FSCni + X 15700.FSCni + 27440.FSCni =
P.FSCni + P.FSCni = X .FSCni + X
15700(1 +
0.21 10 0.21 2 0.21 12 ) + 27440(1 + ) = ) +X X (1 + 24 24 24
15. Gabriela contrajo una deuda hace 5 meses por $ 13 500 a 28% de interés simple y con fecha de vencimiento dentro de 3 meses. Además, debe pagar otra deuda contraída hace un mes por $ 12 350 a 23% capitalizable cada mes y que vence dentro de 2 meses. Gabriela desea modificar las condiciones originales de sus deudas y llega con su acreedor al siguiente acuerdo: Pagar $ 10 000 en este momento y, para saldar el resto de la deuda, hacer un pago final dentro de 6 meses. Si la tasa de intereses para la reestructuración de la deuda se fija en 26% capitalizable cada mes, determine el valor del pago final convenido (Resp. X = 19 955.78) S P i n
= = = =
? 13500 28.00% 0.6666667
S P i n
= = = =
? 12350 1.92% 3
= S P (1 + in) (5+3)/12
S
=
S = P.FSC ni
S = P.(1 + i) n
(23/12)% S
Deuda Original
=
4 meses 3 meses
0 10000
13073.82
16020
2
3
1
4
5
6 Meses X
6 meses Deuda Propuesta P.FSCni + P.FSCni = P.FSCni + X
13073.82(1 +
13073.82 FSCni + 16020.FSCni = 10000.FSCni + X
0.26 4 0.26 3 0.26 6 ) + 16020(1 + ) = 10000(1 + ) +X 12 12 12
61
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Interés Compuesto- Valor Actual
16. Tomás tiene las siguientes deuda con el señor De La Vega: $ 36 110 que pagará dentro de 6 meses y $ 52 430 que debe pagar dentro de 10 meses. El señor De la Vega aceptó recibir un abono, el día de hoy, de $ 25 000 que Tomás tenía disponibles. Si Tomás desea liquidara su adeudo mediante un segundo pago de $ 55 000, ¿en que fecha deberá realizarlo? La tasa de interés acordada es de 24% capitalizable cada quincena (Resp. n = 9.549) Deuda Original 10 meses=10*2 = 20 6 meses= 6*2 = 12 36110 0 25000
1
2
3
4
5
52430
6
7
n
8
9
55000
Deuda propuesta
SFSAni + SFSAni = 25000+ SFSA?i
1 1 1 +S = 25000 + S n n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) X
S
1 1 1 36110 + 52340 = 25000+ 55000 12 20 (1.01) (1.01) (1 + i) n
17. Calcule el tiempo equivalente para el siguiente conjunto de obligaciones: a. $ 95 000 a pagar en 2 años b. $ 146 000 a pagar en 3 años c. $ 311 000 a pagar en 5 años La tasa de interés es de 7.7% anual capitalizable cada semestre
(Resp. n = 7.79348)
Deuda Original 5 años 3 años 2 años
0
1
95000 2
146000 3
n
4
311000 5 Años
52000
S .FSAni + S .FSAni + S .FSAni = S .FSAxi
95000
S
1 1 1 1 + S + S = S n n n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) x
1 1 1 1 + 146000 + 311000 = 552000 4 6 10 (1 .0385) (1 .0385) (1 .0385) (1 .0385) n
62
10 Meses
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Interés Compuesto- Valor Actual
Interés Continuo a Capitalización Continua: 18. Se invierten $ 50 000 a una tasa de interés de 25% anual. Calcule el monto compuesto después de 3 años si el interés se capitaliza a.- Trimestralmente (Resp. S = $ 103 494.50) b.- Mensualmente (Resp. S = $ 105 037.49) c.- Semanalmente (Resp. S = $ 105 659.95) d.- Continuamente (Resp. S = $ 105 850.00)
19. Encuentre el monto y el interés compuesto de $ 24 780 invertidos durante 8 meses a 14.7% capitalizable continuamente (Resp. S = $ 27 331.42; I = 2 551.42)
20. Un pagaré por $ 1 000 vence dentro de un mes. Calcule su valor presente a 8% compuesto continuamente (Resp. P = $ 993.36)
P =
S = P.e in
Fórmula:
S e in
21. ¿Por qué cantidad deberá hacerse un pago único dentro de 6 meses que sustituya a los siguientes pagarés? • $ 5 385 a pagar dentro de 4 meses • $ 7 240 a pagar dentro de 8 meses • $ 10 315 a pagar dentro de 11 meses La tasa de interés es de 2.5% mensual capitalizable continuamente (Resp.X = $ 21 650.95)
5385 0
1
2
3
4
P.ein + P.ein + P = X .ein
7240 5
6 X
7
8
10315 9
10
11 Meses
5385.ein + 7240.ein + 10315 = X .ein
5385.e0.025 x 7 + 7240.e0.025 x3 + 10315 = X .e0.025 x5 22. ¿Qué tasa de interés nominal es necesaria para que un capital se duplique en 3 años, suponiendo que los intereses se capitalizan de manera continua? (Resp. i = 23.1049% anual)
23. Calcular la tasa efectiva correspondiente a 18% con capitalización continua Fórmula:
r =
ei − 1
63
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Interés Compuesto- Valor Actual
Inflación: 24. Si el índice de precios de diciembre del año 2010 fue de 93.2482 y el diciembre de 2012 fue de 102.9040, calcule la tasa de inflación ocurrida en esos dos años (Resp. ᴫ = 10.35%) Fórmula :
IPC
n 100 π = − 1 IPCm −1
25. La economía Mexicana experimento una inflación anual de 51.97% en 2003. Suponiendo que esta tasa de inflación se hubiera mantenido constante a partir de entonces, obtenga el precio que habría alcanzado un escritorio a principios de enero de 2011, se sabe que en los primeros días de enero de 2004 tenía un precio de $ 780 (Resp. S = $ 14 601.57) 26. La inflación del mes de enero de 2011 fue de 0.92%. Si esta tasa de inflación mensual hubiera sido la misma todos los meses del año, ¿Qué tasa de inflación acumulada se hubiera tenido a fin de año? (Resp. = $ 11.62% anual) Fórmula:
π Acumulada= (1 + π ) n
27. ¿Cuál fue la tasa de inflación en el primer trimestre del año 2011, si las inflaciones mensuales fueron las siguientes: (Resp. ∏ = 1.32%)
Mes Enero Febrero Marzo
Inflación 0.40% 0.28% 0.63%
28. Si el índice de precio de diciembre de 2011 fue de 97.3543 y el de junio de 2012 fue de 99.9172, calcule: a.- La tasa de inflación en el primer semestre de 2012 (Resp. ∏ = 2.63%) b.- La tasa promedio de inflación mensual para el primer semestre de 2012 (Resp.∏Pro = 0.434%) 29. El señor Rizo le prestó a su hijo $ 10 000, sin interés, a principios de julio de 2011. Si el hijo le pago a su padre a principios de enero de 2013, calcule la pérdida del poder de compra que tuvo el señor Rizo debido a la inflación. A principios de enero de 2011 el IPC era de 95.2145 y a principios de enero de 2013 era de 102.9040 a.- Pérdida del poder de compra del Señor Riso (Resp. P = $ 9 252.75) b.-¿Cuánto debería cobrar el Sr. Riso a su hijo, para mantener su poder de compra de su dinero? (Resp. S = $ 10 807.60) c.- Perdida del Valor de Dinero, expresado en porcentaje (Resp. Perd. = 7.47%)
Fórmula:
1 P = S IPC n IPC n −1
IPCn S = P IPC n −1
64
P PèrdidaValorDiner o = n Po
100
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Interés Compuesto- Valor Actual
30. Eduardo presta $ 30 000 con un interés simple de 15% anual y 15 meses de plazo. Suponga que en el momento de efectuarse el préstamo el índice de precios era de 90.18 y en la fecha de vencimiento es de 97.22. Halle: a.- El monto que recibe Eduardo, expresado en pesos corrientes (Resp. I = $ 5 625) b.- El monto expresado en pesos constantes (Resp. P = $ 33 045.28 c.- La tasa de interés real obtenida en el período (Resp. i = 10.15%) Fórmula:
Pn ir = P − 1 100 o
31. Utilizando la fórmula de Fisher, obtenga la tasa de interés real del ejemplo anterior (Resp. r = 10.15%) Fórmula:
(Te − π ) r = (1 + π )
32. Si la tasa de inflación anual fue de 4.4% y se ganó en una inversión por el mismo plazo una tasa de 2.4% anual capitalizable cada mes, ¿Cuál fue la tasa real obtenida en el año? (Resp. r = -1.89%) 33. El 7 de abril de 2012, Rodolfo vendió su automóvil en $ 104 000 y el mismo día, invirtió el dinero en una cuenta que le da una tasa de interés de 7% capitalizable cada mes. a.- ¿Cuál fue el valor final de su inversión el 7 de abril de 2013 en pesos constantes del 7 de abril de 2012, si la inflación mensual promedio en el año fue de 0.4583% (Resp.S = $ 105 563.98) b.- ¿Cuál es la tasa real efectiva de Rodolfo? (Resp. i = 1.49% anual) c.- ¿Cuál es la tasa real efectiva de Rodolfo, empleando la fórmula de Fischer (Resp. i = 1.50% anual) Fórmula:
ValorActual =
S (1 + π ) n
ValorActual =
P (1 + i ) n (1 + π ) n
P i r = n n − 1100 P 0
34. En enero de 2003, Mayra invirtió cierta cantidad de dinero en oro, a través de la compra de Centenarios 1, en $ 1 285 cada uno. En abril de 2013 los vendió en $ 4 400 cada uno. Calcule el rendimiento obtenido en el período de inversión. (Resp. r = - 18.75%) Mes y Año Diciembre 2002 Marzo 2013
1
IPC 24.7398 104.2610
El centenario es una moneda de oro, ley 0.900, que pesa 37.5 gramos y fue emitida por primera vez en 1921 para conmemorar el centenario de la Independencia de México
65
INTERES COMPUESTO – VALOR ACTUAL ECUACIONES DE VALOR S = P. FSC; P = S.FSA
EJEMPLOS AUTOR: VIDAURRI AGUIRRE, Héctor Manuel. Matemáticas Financieras 1.
Una persona tiene una deuda que debe saldarse de la siguiente forma: $ 9 000 en este momento y $ 13 800 dentro de dos meses. Si desea saldar completamente su deuda el día de hoy, ¿cuánto tendrá que pagar, si la tasa de interés es de 24% anual capitalizable cada mes? (Resp. X = $ 22 264.13) DEUDA ORIGINAL
9000
13800
0 X
1
2
DEUDA PROPUESTA
X = 9000 + PFSAni
X = P + PFSAni
X = 9000 + 13800
2.
1 0.24 2 (1 + ) 12
Con el fin de mostrar que la que la elección de la fecha focal no influye en el resultado, resuelva el ejemplo anterior utilizando el mes dos como fecha focal. (Resp. X = $ 22 264.13)
DEUDA ORIGINAL 9000
13800
0
1
XS = S + 13800
X (1 +
3.
2 Meses DEUDA PROPUESTA X
XFSCni = P.FSCni + 13800
0.24 2 0.24 2 ) = 9000(1 + ) + 13800 12 12
Una deuda de $ 25 000 con intereses incluidos, vence en un año. El deudor da un abono de $ 8 000 a los 4 meses y otro de $ 10 000 a los 9 meses. Encuentre la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento, si se acuerda un interés de 2.5% mensual capitalizable cada mes. (Resp. X = $ 4 483.87) 66
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
4.
Interés Compuesto- Valor Actual
Rigoberto debe pagar $ 15 700 dentro de 4 meses y $ 27 440 dentro de 8 meses. Rigoberto propone a su acreedor pagar mediante dos pagos iguales; el primero dentro de 3 meses y el otro al cabo de 9 meses. Obtenga el valor de los pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interés de 21% capitalizable cada quincena. (Resp. X = $ 21 349.33)
DEUDA ORIGINAL 5m 3m 25000 0
1
2
3
4 8000
5
6
7
8
9 10000
10
11
12 Meses X
DEUDA PROPUESTA
P1 = 10000 + S + P2
25000
5.
1 1 = 10000 + 8000(1 + 0.025) 5 + X 3 (1 + 0.025) (1 + 0.025) 3
Gabriela contrajo una deuda hace 5 meses por $ 13 500 a 28% de interés simple y con fecha de vencimiento dentro de 3 meses. Además, debe pagar otra deuda contraída hace un mes por $ 12 350 a 23% capitalizable cada mes y que vence dentro de 2 meses. Gabriela desea modificar las condiciones originales de sus deudas y llega con su acreedor al siguiente acuerdo: pagar $ 10 000 en este momento u, para saldar el resto de la deuda, hacer un pago final dentro de 6 meses. Si la tasa de interés para la reestructuración de la deuda se fija en 26% capitalizable cada mes, determine el valor del pago final convenido. (Resp. X = $ 19 955.78)
S P i n
= = = =
¿? 13500 28.00% 0.6666667
S P i n
= = = =
¿? 12350 1.92% 3
S = P(1 + in) 8/12
S
=
S = P.FSC ni
16020
S = P.(1 + i ) n
(23/12)% S
=
13073.82
16020 13500 -5
12350 -4
-3
-2
-1
13073.8 0
67
1
2
3
4
5 Meses
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual DEUDA ORIGINAL 13074 16020
0
1
2
3
4
5
6 Meses
10000
X DEUDA PROPUESTA
PFSC ni + P.FSC ni = PFSC ni + X
P (1 + i ) n + P (1 + i ) n = P (1 + i ) n + X
S1 + S 2 = S 3 + X
13073.82(1 +
6.
0.26 4 0.26 3 0.26 6 ) + 16020(1 + ) = 10000(1 + ) +X 12 12 12
Tomás tiene las siguientes deudas con el señor De la Vega: $ 36 110 que pagará dentro de 6 meses y $ 52 430 que debe pagar dentro de 10 meses. El señor De La Vega, aceptó recibir un abono, el días de hoy, de $ 25 000 que Tomás tenía disponibles. Si Tomás desea liquidar su adeudo mediante un segundo pagó de $ 55 000, ¿en qué fecha deberá realizarlo? La tasa de interés acordada es de 24% capitalizable cada quincena. (Resp. n = 9.54943) DEUDA ORIGINAL
52430
36110
0
1
2
3
4
5
6
7
n
8
55000 DEUDA PROPUESTA
P1 + P2 = 25000 + P3
36110
1 1 1 + 52430 = 25000 + 55000 0.24 n 0.24 12 0.24 20 ) (1 + ) (1 + ) (1 + 24 24 24
68
9
10 Mese
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
7.
Interés Compuesto- Valor Actual
Calcule el tiempo equivalente para el siguiente conjunto de obligaciones (Resp. n = 7.79348) • 95 000 dólares a pagar en 2 años • 146 000 dólares a pagar en 3 años • 311 000 dólares a pagar en 5 años La tasa de interés es de 7.7% anual capitalizable cada semestre DEUDA ORIGINAL 311000 146000 95000 0
1
2
3
n
5
5 Años
552000 DEUDA PROPUESTA
P1 + P2 = P3 + P4
95000
1 1 1 1 + 146000 + 311000 = 552000 0.077 10 0.077 n 0.077 4 0.077 6 (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) 2 2 2 2
69
INTERES COMPUESTO – VALOR ACTUAL ECUACIONES DE VALOR S = P. FSC; P = S.FSA
EJEMPLOS AUTOR: ALIAGA VALDEZ, Carlos. Matemáticas Financieras. 02
S = P. FSC 1. Calcular el monto acumulado al cabo de 4 años, a partir de un capital inicial de S/. 10 000, a una TEA de 18%. (Resp. S = S/. 19 387.78) 2.
Calcular el monto que produjo un capital inicial de S/. 10 000, colocado en un banco durante 5 meses a una TEA de 18%. (Resp. S = S/. 10 713.98)
3.
Calcular el monto de un capital inicial de S/. 10 000, colocado en un banco durante 15 días, a una TET de 4% (Resp. S = S/. 10 065.58)
4.
Calcule el monto que produjo un capital inicial de S/. 10 000, colocado en un banco durante 45 días, a una TEM de 2% (Resp. S = S/. 10 301.50)
5.
Calcule el monto que produjo un capital inicial de S/. 10 000 colocado en un banco desde el 3 de abril al 15 de junio del mismo año. El capital genera una TET de 2% (Resp. S = S/. 10 161.92)
6.
¿Qué monto deberá pagarse por un sobregiro bancario de S/. 20 000, vigente desde el 24 al 30 de junio del mismo año, si el banco cobra una TEM de 2.5% (Resp. S = S/. 20 099.01)
P = S.FSA 7. Calcule el valor presente en la fecha 30 de abril, de un bono cuyo valor nominal es S/. 10 000, que genera una TEA de 7% y debe redimir el 30 de diciembre del mismo año. (Resp. P = S/. 95 517.80) Calculo de i 8. ¿A qué tasa efectiva mensual un capital de S/. 10 000 se convirtió en un monto de S/. 10 519.24, si se colocó en un banco desde el 5 de agosto al 15 de noviembre del mismo año?(Resp. i =1.5%)
Calculo n 9. ¿En cuánto tiempo un capital de S/. 10 000 se habrá convertido en un monto de S/. 10 300, si dicho capital original se colocó en un banco y percibe una TEA de 8%? (Resp. n= 0.38407años)
Monto con principal constante y tasa efectiva variable 10. Se requiere calcular el monto compuesto que originó un depósito de ahorro de S/. 5 000, colocado a plazo fijo en el Banco Norte el 02 de julio al 30 de setiembre del mismo año, con una TEA de 24%. En ese plazo la TEA que originalmente era 24%, bajó a 22% el 15 de julio y a 20% el 16 de setiembre. (Resp. S = S/. 5 254.55)
70
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
11. Una empresa abrió el 26 de mayo una cuenta con un principal de S/. 1 000, a un plazo fijo de 90 días, en un banco que pagaba una tasa de interés efectiva variable. Se requiere conocer el monto al término del plazo si se sabe que las tasas de interés son las siguientes: (Resp. S = S/. 1 061.02) Tasa TEA 24% TET 6.50% TEM 2.10%
A Partir del 26-May 30-Jun 31-Jul
12. Se requiere conocer con cuánto debe abrirse una cuenta el día 20 de mayo, si se desea acumular al 30 de diciembre un monto de S/. 20 000, dado que la TEA de 8% en la actualidad se incrementará a 10% el 30 de julio. (Resp. P = S/. 18 916.74) Monto con principal y tasa efectiva variable 13. El 11 de julio se abrió con un principal de S/. 5 000, una cuenta bancaria que devenga una TEA de 10%; a partir de esa fecha se efectuaron los siguientes cambios: (Resp. S= S/. 3 108.70) Fecha Operación 01-Ago Retiro 2000 16-Sep Cambio de Tasa 12% 31-Oct Cancelación
Monto en función de tasa nominal 14. Calcule el monto compuesto que rindió un capital de S/. 1 000 en el plazo de medio año, el mismo que se colocó a una TNM de 2% capitalizable cada quincena (Resp. S = S/. 1 126.83) 15. Calcule el monto compuesto devengando en un trimestre por una inversión de S/. 3 000 colocada a una TNA de 18%, con capitalización bimestral (Resp. S = S/. 3 136.01) 16. ¿Qué capital se convertirá en un monto de S/. 10 000 en el plazo de 45 días, si ese capital devenga una TNA de 18% capitalizable mensualmente? (Resp. P = S/. 9 779.15) 17. Un capital de S/. 20 000 se convirtió en un monto compuesto de S/. 21 224.16, en un plazo de 90 días. Se requiere conocer la TNA capitalizable mensualmente que se aplico en esta operación (Resp. J =24% ) 18. Un sobregiro bancario de S/. 25 000 que devenga una TNA de 18% capitalizable mensualmente se cancelo con un importe de S/. 25 299.55 ¿Durante cuántos días estuvo sobregirada la cuenta? (Resp. n = 24) Interés compuesto con principal y tasa efectiva constantes 19. Un banco otorgó a una empresa un préstamo de S/. 10 000 para que lo devuelva en un año, con una TEA de 24% ¿Cuál será el interés compuesto que pagará la empresa al vencimiento del plazo?(Resp. I = S/. 2 400) 20. Si una persona deposita S/. 10 000 en una institución financiera y devenga una TEM de 2% ¿Qué interés compuesto habrá acumulado en tres meses? (Resp. I = S/. 612.08) Formula:
I = P (1 + i ) n − 1
21. ¿Cuál es el interés compuesto acumulado en 180 días generado por un depósito de ahorro de S/. 1 000 que devenga una TEA de 24% (Resp. I = S/. 113.55)
71
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
22. El 20 de marzo se abrió una cuenta con un principal de S/. 8 000 en el Banco Oriente, en una cuenta a una TEA de 18%. Se requiere conocer el interés compuesto que generó eses capital hasta la fecha de cancelación, el 15 de abril del mismo año. (Resp. I = S/. 96.20) 23. Calcule el importe con que se abrió una cuenta a una TEM de 2% en la cual 7 meses luego se su apertura se acumuló un interés compuesto de S/. 112. (Resp. P = S/. 753.27) Formula :
P =
I (1 + i ) n − 1
24. ¿Qué capital colocado a una TEM de 2% producirá un interés compuesto de S/. 96 en el período comprendido entre el 19 abril y 30 de junio del mismo año (Resp. P = S/. 1 972.31) 25. Calcule la TEA que se aplicó en una cuenta abierta con S/. 5 000 en la cual 3 meses después de su apertura se acumuló un interés compuesto de S/. 300 (Resp. i = 26.25%) Formula:
i =
n
I + 1 − 1 100 P
26. Calcule la TET que se aplicó a un capital inicial de S/. 4 000, el cual durante el plazo comprendido entre el 5 de marzo y 17 de julio del mismo año produjo un interés compuesto de S/. 301.39 (Resp i = 5%) 27. Calcule el plazo que se colocó un capital de S/. 4 245.93 que, al generar una TEM de 2%, rindió un interés compuesto de S/. 350 (Resp. n = 4 ) 28. Determinar el interés compuesto incluido en el monto de S/. 10 000 obtenido el 2 de junio; este monto se generó por un capital colocado el 1 de mayo del mismo año en un banco que paga una TEA de 18%. (Resp. I = S/. 146.05) 1 Formula: I = S 1 − n
(1 + i )
Interés devengado en el período K 29. Se coloco un capital de S/. 5 000 a plazo fijo por un período de 720 días, al cabo del cual se devolvería su respectivo monto. El capital ganará una TEM de 1.5% y se requiere conocer el interés que se devengará en el octavo mes. (Resp. I = S/. 83.24) Formula:
[
I Kd = Pi (1 + i ) K −1
]
30. Se requiere calcular el interés compuesto que generó un capital de S/. 8 000, el cual se colocó el 5 de abril a una TEA de 12% que varió a 10%, el 31 de marzo; esta operación se canceló el 16 de junio.(Resp. I = S/. 176.85) 16d 56d TEA = 12%
TEA = 10% 31-may
05-abr
[
]
I = P (1 + i1 ) n1 (1 + i2 ) n 2 − 1
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16-jun
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC
Interés Compuesto- Valor Actual
31. El día 01 de junio una persona abre una cuenta de ahorros en el Banco Oriente con el importe de S/. 1 000, bajo un régimen de interés compuesto por el cual percibe una TEA de 24%. A partir de esa fecha efectúa los siguientes movimientos(Aplicar el método tradicional y el método de los numerales): FECHA 09-Jun 21-Jun 01-Jul
OPERACIÓN Depósito Retiro Cancelación
S/. 200 500
Se requiere calcular: a.- El interés que se devengó durante el horizonte temporal b.- El principal y el interés que componen el monto final de la cuenta c.- El saldo en la fecha de la cancelación de la cuenta de ahorros Día 01-Jun 09-Jun 21-Jun 01-Jul
TASA %
DÍAS 8 12 10 30
24% 24% 24%
PRINCIPAL DEBE HABER SALDO 1000 1000 200 1200 486.54 713.46 713.46 1200 713.46 486.54
S/. 1000 200 500
D/R D D R
= = =
(Resp. I = S/. 17.74) (Resp. Saldo =S/. 713.46; S/. 4.28) (Resp. Saldo Acreedor = S/. 717.74) DEBE
INTERES HABER 4.79 8.67 4.28 17.74
13.46 13.46
1/ 2/ 3/
4.79+8.67 500-13.46 1204.79-486.54-4.79
a b c
El interés que se devengó durante el horizonte temporal es S/. 17.74 El saldo en la fecha de cancelación de la cuenta de ahorros es S/. 717.74 El principal es S/. 713.46 y el interés es S/. 4.28
SALDO 4.79 4.28 4.28
SALDO ACREEDOR 10000 1204.79 713.46 717.74
13.46 486.54 713.46
32. Un depósito de ahorro se abrió el 20 de julio y se canceló el 30 de noviembre del mismo año en el Banco Multinacional. En ese periodo se ha efectuado los cambios en principales y tasas de interés que se presentan en el siguiente cuadro(Aplicar el método tradicional y el método de los numerales):: FECHA 20-Jul 27-Ago 30-Sep 31-Oct 30-Nov
PRINCIPAL OPERAC S/. Depósito 1000 Depósito 500 Retiro 300 Cancelación
TASA OPERACIÓN Tasa Inicial Cambio de Tasa Cambio de Tasa Cambio de Tasa
% TEA = TEA = TEM = TEM =
24% 23% 1.80% 1.70%
Se requiere calcular: a.- El interés compuesto que se generó durante todo el plazo de la operación (Resp. I = S/. 93.50) b.- El saldo acreedor en la fecha de la cancelación de la cuenta de ahorros (Resp. Saldo Acree.=S/. 1 293.50) c.- El saldo del principal y el saldo de interés que compone el saldo acreedor (Resp Saldo= S/. 1 271.9; 21.60) Día 20-jul 27-ago 30-sep 31-oct 30-nov
DÍAS 38 34 31 30 133
TASA % 24% 23.0% 1.8% 1.7%
D/R D
S/. 1000
D R
500 300
DEBE
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PRINCIPAL HABER SALDO
DEBE
INTERES HABER
SALDO SALDO ACREEDOR
Econ. Máximo Calero Briones .UNAC 1/ 2/ 3/ 4/
23+20.2 43.2+28.7 300-71.9 1543.2-228.1-43.2
Interés Compuesto- Valor Actual = = = =
43.2 71.9 228.1 1271.9
33. El día 29 e setiembre, la empresa Lidel SRL tiene con el Banco del Exterior una deuda de S/. 4 000 que vence el 15 de octubre y otra deuda de S/. 5 000 que vence el 15 de noviembre. Lidel renegoció sus deudas con el Banco del Exterior y se fijó como nueva fecha de pago de ambas el 30 de diciembre del mismo año; las mismas que devengarán una TEA de 24%. Se requiere saber el monto que cancelará Lidel el 30 de diciembre. (Resp. S= S/. 9 322.11) 76 d 45d S=? 28-sep
15-oct
15-nov
4000
30-dic
5000
S = P.FSC ni + P. FSCni
S = 4000 (1 + 24%)
S = P (1 + i ) + P (1 + i ) n
76 360
+ 5000 (1 + 24 %)
n
45 360
34. Determinar si los importes de S/. 537.17 y S/. 566.85, ubicados al final de los meses 4 y 7 respectivamente, son equivalentes en el presente. Utilice una TEA de 24% (Resp. P= S/. 500)
210d 120d
0
1
2
3
4 537.17
5
6
7 566.85
35. El señor Carlos Cervantes solicitó en préstamo S/. 5 000 que genera una TEM de 2.5%, para cancelarlo dentro de 180 días. Si el señor Cervantes se adelanta al vencimiento del préstamo y amortiza S/. 2 000el día 35 y S/. 1 000 el día 98 a.- ¿Cuánto deberá pagar el día 180 para cancelar su deuda? (Resp. X = S/. 2 475.12) b.- Si se toma como fecha focal el inicio del horizonte temporal(día cero) (Resp. X = S/. 2 475.12) a
145d 82d X P = 5000 35 2000
98 1000
180 días 180d
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Interés Compuesto- Valor Actual
X = P.FSC ni + P.FSC ni + P.FSC ni X = P (1 + i ) n + P (1 + i ) n + P (1 + i ) n
180 30
145 30
X = 5000(1 + 2.50%) − 2000(1 + 2.50%) − 1000(1 + 2.50%) b
82 30
180-35 = 145d 180-98 = 82d X P = 5000 35 2000
98 1000 180d
5000 = S .FSAni + S .FSAni + X .FSAni 5000 = S
5000 = 2000
1 35
+ 1000
(1.025) 30
180 días
1 1 1 +S +X n n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n
1 98
(1.025) 30
75
+X
1 180
(1.025) 30
INTERES COMPUESTO – VALOR ACTUAL ECUACIONES DE VALOR S = P. FSC; P = S.FSA
EJERCICIOS AUTOR: .VILLALOBOS, José Luis. Matemática Financiera 1. Explique los conceptos de interés compuesto, periodo de capitalización y frecuencia de conversión de intereses. 2. Señale qué es más productivo, ¿invertir con interés simple o con interés compuesto? ¿Por qué? 3. ¿Por qué es más redituable el 20% anual compuesto por meses, que el 20% capitalizable por trimestres? 4. ¿Qué será más productivo: 14.3% compuesto por semestres o 13.9% compuesto por semanas? ¿Por qué? 5. ¿Cuánto dinero se genera por concepto de intereses en un plazo de 9 meses si al final se tienen $ 23 256, considerando 6.25% de intereses anual capitalizable por semanas? (Resp. I = $ 1 064.35) 6. ¿Cuál es la fecha de vencimiento de un documento que se endosó el 13 de junio, su valor nominal es de $ 34 365 incluyendo los intereses del 25.74% anual capitalizable por días y ampara un préstamo por $ 31 360.57?(Resp = 19 Octubre) 7. ¿Cuál es la tasa de interés anual capitalizable por días si un refrigerador de $ 8 650 se paga con un enganche y $ 6 245 los 6 meses de la compra? Suponga que el enganche fue del 35 por ciento. (Resp. = 21.00708%) 8. ¿Cuál es el monto de un pago único por el refrigerador del problema 7, a 3 meses de la compra? (Resp. S= $ 5 925.58) ) 9. ¿Cuál fue el costo para el comprador del problema 7 por no pagar de contado? (Resp. = $ 622.50) 10. Se compran 12 computadoras y equipos periféricos con un anticipo del 40%, un pago a los 7 meses de $ 75 000 que corresponden al 35% del precio de contado, y otro a 5 meses después del anterior. ¿Por qué cantidad es este pago si se cargan intereses del 18.9% capitalizable por meses? 11. En el problema 10, ¿de cuánto será cada uno de los 2 pagos posteriores a la compra si el primero es un 20% menor que el último? (Resp. = $ 59 632.92) 12. Obtenga los intereses, es decir, el costo por no pagar de contado en el problema 11. 13. ¿Cuál de las siguientes alternativas es más productiva para un empresario? a) Invertir en una cuenta que le ofrece el 4.2% capitalizable por meses con el atractivo de pagarle 7 meses de rendimiento contratando 5. b) Llevar su dinero a una institución financiera que le ofrece 5.77% de interés anual capitalizable por semanas. c) Comprar centenarios cu ya cotización crece a razón del 0.0159% cada día. (Resp. = La primera) 76
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Interés Compuesto- Valor Actual
En los problemas 14 a 20 conteste verdadero o falso justificando su elección. 14. En un periodo anual se gana más con intereses del 6.3% anual capitalizable por meses que con el 6.4% de interés simple anual. ( F ) 15. Un capital de $ 60 350 que se presta con el 15.9% anual capitalizable por días genere intereses de $ 7 641.64 en 9 meses. ( V ) 16. Invertir un capital de 13.26% anual capitalizable por semanas es más productivo que invertirlo al 0.255% semanal capitalizable por semanas.( V ) 17. Si un documento con valor nominal de $ 74 737.10 ampara un préstamo por $ 68 750 logrado 7 meses antes, entonces incluye intereses del 14.4% anual capitalizable por meses, aproximadamente. ( V ) 18. Si una camioneta se vende con un financiamiento del 60% y un documento con valor nominal de $ 165 000 y vencimiento a los 6 meses e intereses del 12.6% anual capitalizable por meses, entonces el precio de contado fue de $ 258 294.28. ( V ) 19. Un capital que se invierte con el 5.4% de intereses anual capitalizable por semanas crece aproximadamente un 4.13% en 9 meses.( F ) 20. Prestar un capital con el 19.2% anual capitalizable por meses es más redituable que hacerlo con el 19.1% compuesto por días. ( F ) En los problemas 21 a 33 seleccione la opción correcta justificando su respuesta. 21. ¿Cuál es la fecha de vencimiento de un pagaré que por un préstamo de $ 65 000 se firmó el 2 de abril con cargos del 24.84% compuesto por días? Suponga que su valor nominal es de $ 76 175. a) Diciembre 1º b)Octubre 10 c)Noviembre 18 d)Octubre 23 e)Otra (Resp. = c) 22. Encuentre el valor nominal del pagaré que por un préstamo de $ 37 000 se endosó 8 meses antes con intereses del 17.4% anual capitalizable por meses. a) $ 41 516.25 b) $ 40 937.08 c) $ 40 603.00 d) $ 41275.23 e) Otra. (Resp. = a) 23. ¿De cuánto fue un préstamo que se liquidó con 2 pagos de $15 200 cada uno a 4 y 7 meses de plazo con intereses del 11.4% mensual capitalizable por meses? a) $ 28 421.65 b) $ 29 723.41 c) $ 28 862.40 d) $ 27 975.32 e) Otra. (Resp. = c) 24. Para ampliar su consultorio el doctor Ildefonso consigue un préstamo con intereses del 13.2% anual compuesto por quincenas. ¿Cuánto dinero paga por interés si lo liquida con 2 abonos de $ 21 500 a 3 meses y $ 36 250 a 8 meses? a) $ 4 629.36 b)$ 4 721.43 c)$ 3 741.70 d)$ 3921.03 e)Otra (Resp. =c) 25. ¿De cuánto será cada pago en el problema 24 si son iguales? a) $ 27 965.65 b) $ 28 503.09 c) $ 28 672.76 d) $ 28 129.03 e) Otra. (Resp. = c)
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Interés Compuesto- Valor Actual
26. ¿Qué día vence un documento con valor nominal de $ 21 205 que el 23 de abril se endosó por un préstamo de $ 19 450.00 con intereses del 18.3% anual capitalizable por días? a) Octubre 22 b) Noviembre 5 c) Octubre 10 d) Noviembre 15 e)Otra (Resp. = c) 27. ¿En cuántos días un capital que se invierte con el 5.5% anual compuesto por días crece un 25%? a) 1 461 b) 1 395 c) 1 503 d) 1 409 e) Otra (Resp. = a) 28. ¿Qué tasa de interés anual compuesta por semanas produce los mismos intereses que el 13.8% anual capitalizable por semestres? a) 13.3618628% b) 13.4216908% c)13.8543217% d)13.5621082% e) Otra (Resp. = 29. Determine qué conviene más al comprador de una camioneta considerando intereses del 21.6% anual capitalizable por meses. a) Comprarla con un enganche del 35% y 2 abonos de $ 65 000.00 cada uno a 3 y 5 meses de la compra. b) Pagarla sin enganche y 3 abonos mensuales de $ 64 350 cada uno. c) Con un enganche de $ 70 000 y un pago a los 4 meses por $ 125 000. d) Comprarla con $ 187 000 de contado. (Resp. = a) 30. El contador González compra una pantalla de plasma con un anticipo de $ 4200 y un pago a los 3 meses por el 65% restante, ¿por qué cantidad es este pago si se cargan intereses del 1.67% mensual capitalizable por meses? a) $ 8 821.03 b)$ 8 629.43 c)$ 8 197.34 d)$ 9 205.75 e)Otra (Resp. = c) 31. Un crédito automotriz de $ 165 000 se logra con interés global total del 16.8%, ¿cuál es la tasa de interés anual compuesta por quincenas si el plazo es de 9 meses? a) 19.9863935% b)21.0345861% c)19.6893705% d)20.7952944% e) Otra (Resp. =d) 32. Patricia deposita $ 9 700 en una cuenta el 5 de marzo y el 19 de octubre siguiente le regresan $ 10 153, ¿cuál es la tasa de interés anual capitalizable por días? a) 7.43503% b) 7.20756% c) 8.40217% d) 8.07232% e)Otra (Resp. = b) 33. En su retiro laboral un empleado invierte el 50% de su indemnización, a los 4 años retira $ 42 750 y otros $ 75 250, 3 años después, ¿con cuánto lo indemnizaron? Suponga intereses del 7.24% anual compuesto por bimestres. a) $ 155 052.84 b)$ 170 095.00 c) $156 329.35 d)$158 935.75 e)Otra (Resp. = a)
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