CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA * 1.
OBJETIVO Comprobar la ley de conservación de la energía mecánica para una esfera que rueda por un tobogán.
2.
FUNDAMENTO TEÓRICO La ley de conservación de la energía se expresa usualmente en dos formas: Para sistemas con rozamiento despreciable: Ef = Ei
(1)
y para sistemas con rozamiento apreciable : Ef = Ei + Wr
(2)
donde Ef es la energía final, E i es la energía inicial y W r es el trabajo realizado por las fuerzas de fricción produciendo calor que fluye hacia el ambiente y por tanto constituye una pérdida de energía. En este experimento analizaremos la ley de conservación de la energía para un cuerpo esférico que rueda sobre un tobogán (Figura 1).
4
vo = 0
3 2 1
y
m v
0
h O
x
Figura 1. Una esfera se deja caer y rueda desde lo alto de un tobogán.
Suponga que una esfera se deja caer desde una altura y medida con respecto al nivel de despegue en dirección horizontal. Si permitimos que la esfera en su caída solamente ruede pero no deslice, estaremos evitando la disipación de energía, ya que en este caso la fuerza de fricción no produce calentamiento, en cambio da origen a un torque que al actuar sobre la esfera le transmite una aceleración angular; por consiguiente podemos aplicar la ecuación 1. En este caso el móvil tiene energía cinética de traslación (½ mv2) y energía cinética de rotación (½ I ω2 ). En la Tabla 1 se muestran los términos de energía cinética y potencial en los puntos de partida y de despegue
*
Adaptado del Manual de Laboratorio de Física I - UPAO
1
2
Tabla 1
Altura
Velocidad
Energía Potencial
Energía Cinética
Energía Total
Punto de partida
y
0
mg y
0
mgy
Punto de despegue
0
v
0
½ mv2 + ½ Iω2
Posición
7 10
mv 2
Ahora la Ecuación 1, la escribimos en la siguiente forma: mg y = ½ mv2 + ½ I ω2 Como ω = v/R e I =
2 5
mR2 (momento de inercia de la esfera), la ecuación de conservación de energía
para este caso queda expresada así:
mg y =
7 10
mv2
(3)
La velocidad en el punto de despegue se puede calcular conociendo la altura h y el alcance x (ver la práctica de Movimiento en dos dimensiones):
2
v =
3.
g x2
MATERIALES E INSTRUMENTOS Materiales
4.
(4)
2h
Instrumentos
Precisión
PROCEDIMIENTO Y DATOS EXPERIMENTALES 4.1
Disponga el equipo como se muestra en la Figura 1. Usando la escuadra proyecte sobre el piso el borde inferior del tobogán y marque este punto como O.
4.2
Mida la masa m de la esfera y la altura h, respecto al punto O, del punto de despegue del móvil. Anote estos datos.
4.3
Pegue papel carbón sobre papel bond y fíjelos sobre el piso, en el lugar donde se producirán los impactos de la esfera. Marque también sobre el papel carbón el punto O. 2
4.4
Considere cuatro posiciones del punto de partida (ver Figura 1) y empezando con la mas baja mida la altura y. Dejar caer la esfera desde dicha posición unas tres veces a fin de evaluar el promedio del alcance, x.
4.5
Repetir el paso anterior para los otros puntos de partida.
4.6
Retirar con cuidado el papel carbón del papel bond y medir sobre una mesa los alcances de los impactos. Anotar sus mediciones en la Tabla 2. m = ............................... (Kg);
h = .....….....……………........... (m)
Tabla 2 Alcance horizontal por la esfera para diferentes puntos de partida n
y (m)
alcance horizontal, xi (m) x1
1 2 3 4
5.
x2
x3
Alcance promedio
x
(m)
0.100 0.200 0.300 0.400
PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS (
)
Método Gráfico 5.1.
Complete la Tabla 3 calculando las magnitudes requeridas: Ei (energía en el punto de partida), Ef (energía en el punto de despegue) Ver fórmulas en la Tabla 1 Tabla 3. N
y (m)
x (m)
v2 (m2 /s2)
Energía total en el punto de partida: Ei (J)
Energía total en el punto de despegue: Ef (J)
1 2 3 4 5.2.
En un papel milimetrado, graficar Ei vs. Ef . (Ei en el eje Y y E f en el eje X) Qué tipo de gráfica se obtiene? ..............................................................
5.3. Calcular en dicho gráfico la pendiente, el intercepto y la ecuación correspondiente. Interpretar los resultados A = ..............................................................
B = ....................................................................
Ecuación empírica: .................................................................................................................... Interpretación: ................................................................................................................................. .................................................................................................................................
3
4 Método Estadístico
5.4.
Calcular por regresión lineal la pendiente, el intercepto del gráfico Ei vs. Ef y la ecuación correspondiente. Interpretar los resultados (Usar las ecuaciones en la última página de este documento, donde X j = Ef (J) y Y j = Ei (J) y N = 4). Tabla 5 N
X j = Ef (J)
Y j = Ei (J)
X j Y j
X j2
1 2 3 4 Σ
A = ..........................
B = .................................
Ecuación empírica: ................................................................................................................... 5.5.
¿Cuál debería ser el valor esperado para la pendiente de esta recta? Fundamente. .....................................................................................................................................................
6.
RESULTADOS Magnitud
Método Gráfico
Método Estadístico
A B
± ±
Ecuación
7.
CONCLUSIONES 7.2
Evaluar la desviación porcentual del valor de B obtenido en el ítem 5.4 con respecto a su valor teórico. .....................................................................................................................................................
7.3
¿Cuál es el efecto de la fuerza de rozamiento en esta práctica? ..................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................
8.
BIBLIOGRAFÍA (Indique: Autor, Título, Editorial, año de publicación, edición, página)
............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................
4
METODO DE REGRESION LINEAL (O MINIMOS CUADRADOS) PARA OBTENER LA ECUACION DE UNA RECTA FÓRMULAS DEL INTERCEPTO Y LA PENDIENTE El método de los cuadrados mínimos permite calcular los parámetros A y B por medio de las fórmulas:
(∑ X )(∑ Y ) − (∑ X )(∑ X Y ) A= N (∑ X ) − (∑ X ) 2
j
j
j
j
2
j
B=
2
j
N (∑ X jY j ) − (∑ X j )(∑ Y j )
j
(
)
N ∑ X j − (∑ X j ) 2
2
Donde N es el número de datos. Este método, llamado también estadístico o de regresión lineal, es el empleado por las calculadoras, hojas de cálculo y analizadores gráficos. Este método minimiza los errores experimentales en la determinación de A y B.
Cálculo de los errores estadísticos de A Y B Sea δYi la diferencia de cada valor medido de Y i respecto al valor de Y que resulta de reemplazar el valor medido de X en la ecuación de la recta Y = A + BX. Entonces: δYi = Yi – (A + BXi)
(II)
La desviación estándar de estas diferencias es:
N
(
Σ ∑ δY j
2
j = 1
σy =
)
∑ (Y j
=
N−2
− A − BX j
)
N−2
Los errores absolutos de A y B son respectivamente: 2
Σ Xi
Δ A = σy
y
D
Donde D es el denominador de las fórmulas (I). Los errores porcentuales de A y B son: ΔA e%A = y × 100% |A|
D=N
e%B =
ΔB
|B|
Δ B = σy
N
(IV)
D
(∑ X ) − (∑ X )
2
2
j
j
× 100%
(V)
Para aplicar este método se hace necasario elaborar una tabla auxiliar N
X j
Y j
X j Y j
1 2 3
N Σ
5
X j2
Yi = Yi – A – BX i
