Toán tử Laplace
1
Toán tử Laplace Trong toán học và vật lý, toán tử Laplace hay Laplacian, kí hiệu là
hoặc
được đặt tên theo Pierre-Simon
de Laplace, là một toán tử vi phân, dặc biệt trong các toán tử elliptic, với nhiều áp dụng. Trong vật lý, nó được sử dụng trong mô tả của quá trình truyền sóng, quá trình truyền nhiệt và tạo nên phương trình Helmholtz. Nó cũng có vai trò quan trọng trong tĩnh điện và cơ học chất lưu, thành phần chính trong phương trình Laplace và phương trình Poisson. Trong cơ học lượng tử, nó đại diện cho động năng trong phương trình Schrödinger. Trong Trong toán học, hàm số nào mà bằng không dưới toán tử Laplace được gọi là hàm điều hòa; toán tử Laplace ở trung tâm của lý thuyết Hodge và trong các kết quả của de Rham cohomology.
Định nghĩa Toán tử Laplace là toán tử vi phân bậc 2 trong không gian Euclid n-chiều, định nghĩa như là div ( ( ). Do đó nếu f là một hàm số thực có đạo hàm bậc 2, thì Laplacian của f được định nghĩa bởi
) của gradient
(1) Nói một cách tương đương, Laplacian của f là tổng cúa các đạo hàm riêng bậc 2 thuần thuần túy trong tọa độ Đề các (2)
Biểu diễn trong các tọa độ khác nhau Trong hai chiều Toán tử Laplace trong không gian hai chiều được viết như là
với x và y là tọa độ Cartesian trong mặt phẳng xy. Trong tọa độ cực,
Trong ba chiều Trong không gian 3 chiều, người ta thường viết toán tử Laplace sử dụng nhiều hệ tọa độ khác nhau. Trong tọa độ Cartesian,
Trong tọa độ trụ,
Trong tọa độ cầu:
:
Toán tử Laplace
(
2
là góc đo từ cực Bắc và
đương
là kinh độ).Biểu thức
có thể được thay bằng biểu diễn tương
.
Không gian N chiều Trongtọa độ cầu trong
mà
chiều , với cách đặt tham số
là toán tử Laplace –Beltrami trên mặt cầu trong không gian
cũng có thể viết
với
và
,
(còn gọi là Laplacian cầu). Người ta
một cách tương đương như là
Các hằng đẳng thức • Nếu f và g là hai hàm số, thì Laplacian của tích fg sẽ là Trong trường hợp đặc biệt khi f là một hàm phụ thuộc vào bán kính
và g là một hàm cầu điều hòa,
. Ta thường gặp trường hợp đặc biệt này trong nhiều mô hình vật lý. Gradient của
là một vectơ theo hướng bán
kính và gradient của một hàm chỉ phụ thuộc vào góc là tiếp tuyến với véctơ bán kính, do đó Thêm nữa, hàm cầu điều hòa có tính chất đặc biệt là eigenfunction của toán tử Laplacian trong tọa độ cầu.
Do đó,
Tham khảo • Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M (1970). "Chapter 12: Electrostatic Analogs". The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. • Gilbarg, D and Trudinger, N (2001). Elliptic partial differential equations of second order . Springer. ISBN 978-3540411604. • Schey, H. M. (1996). Div, grad, curl, and all that . W W Norton & Company. ISBN 978-0393969979.
Liên kết ngoài • Weisstein, Eric W., "Laplacian [1]" từ MathWorld. • Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates [2] by Swapnil Sunil Jain
Chú thích [1] http:/ / mathworld. wolfram.com/ Laplacian.html [2] http:/ / planetmath.org/ ?method=l2h& from=objects& id=9376&op=getobj
Nguồn và người đóng góp vào bài
Nguồn và người đóng góp vào bài Toán tử Laplace Nguồn: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?oldid=6764672 Người đóng góp: Doanmanhtung.sc, Meotrangden, QT, Tranletuhan, Volga, 3 sửa đổi vô danh
Giấy phép Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
3
