Colegio La Presentación
MATEMÁTICAS I
UD FUNCIONES
1. Concepto de función. Dominio e Imagen. Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente x , le asocia un único valor de la variable dependiente y , que llamaremos imagen de x . Decimos que y es función de x y lo representamos por . En adelante usaremos la terminología función real de variable real, o sea, . Esta notación es necesario que quede muy claro lo que significa, vamos a explicarla con suficiente claridad:
:: : : , , ,
La primera que nos encontramos corresponde al espacio donde la toma sus valores, esto es donde va a estar incluido el dominio. La segunda nos indica el espacio a donde va la por , es decir, en este espacio están todos los valores “ ”, que es lo que venimos llamando el espacio imagen o recorrido. Vamos a recordar ahora dos conceptos ligados al de función, el dominio y la imagen aunque este último sea menos importante. El DOMINIO de una función es el conjunto de valores de para los cuales existe , esto es, La IMAGEN de una función es el conjunto de valores que puede tomar A) FUNCIONES POLINÓMICAS Son funciones de la forma su dominio es siempre 1
Ejemplo: f ( x) =
2
x 4 − 5 x3 +
B) FUNCIONES RACIONALES Son de la forma:
, esto es,
y
.
( x + 1)
6
1000
Donde
son funciones polinómicas. Su dominio es
.
Ejemplo:
f ( x ) =
+4 x − 4 x − 5 x 36 x
3
5
2
para calcular el dominio de una función racional tomo el
denominador y lo igualo a cero. Resuelvo la ecuación que me queda y automáticamente obtengo que el dominio es todos los números reales menos las soluciones que me hayan salido. En nuestro ejemplo:
⎧ x = 0 ⎪ x − 4 x − 5x = 0 → ⎨ x = −1 ⇒ Dom ( f ) = \ − {−1, 0, 5} ⎪ x = 5 ⎩ 3
2
C) FUNCIONES RADICALES f ( x ) =
n
g (x )
⎧⎪n par , { x ∈ \ / g ( x ) ≥ 0} → Dom ( f ) = ⎨ impar r , \ ⎩⎪n impa
Ejemplo: f ( x ) = −3x 2 − 9 x primero vamos a quedarnos sólo con lo que hay dentro de la raíz cuadrada y lo vamos a poner mayor o igual que cero. A continuación resolveremos la inecuación. −3 x 2 − 9 x ≥ 0 → ⇒ Dom ( f ) = [ −3, 0 ]
D) FUNCIONES LOGARÍTMICAS f ( x) = Loga ( g ( x ))⎫ f ( x) = Ln( g ( x))
⎬ → Dom( f ) = { x ∈ \ / g ( x ) > 0} ⎭
Ejemplo: f ( x ) = Ln ( −3x − 9 x ) primero vamos a quedarnos sólo con lo que hay dentro del logaritmo neperiano y lo vamos a poner mayor estricto que cero. A continuación resolveremos la inecuación y la solución es el dominio que queremos calcular. −3 x 2 − 9 x > 0 ⇒ Dom ( f ) = ( −3, 0 ) 2
1
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UD FUNCIONES
E) FUNCIONES EXPONENCIALES
⎫⎪ ⎬ → Dom( f ) = Dom( g ) g ( x) f ( x ) = e ⎪⎭ f ( x ) = a g
( x)
5 x
Ejemplo: f ( x) = π para calcular el dominio de cualquier exponencial lo que hacemos es calcular el dominio de la función que haya en el exponente. Por tanto calculamos el dominio x −1
de g ( x ) = F)
5 x
x − 1
Dom ( f ) = Dom( g ) =
\−
{1}
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO) f ( x) = sen( g ( x)) ⎫
⎬ → Dom( f ) = Dom( g )
f ( x) = cos( g ( x )) ⎭
⎧ f ( x) = sen( x) → Dom( f ) = \ ⎪ Ejemplos: ⎨ f ( x) = cos( x) → Dom( f ) = \ ⎪ ⎪⎩ f ( x) = cos( 4 x2 − 1) → Dom( f ) = Dom( 4 x2 − 1) = (−∞, −1] ∪ [1, ∞ ) G) FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TANGENTE 2k + 1 ⎫ ⎧ f ( x) = Tg ( g ( x)) → Dom( f ) = ⎨ x ∈ R / g ( x) ≠ π ⎬ 2 ⎩ ⎭ 2k + 1 ⎧ ⎪⎪ f ( x) = Tg ( x) → Dom( f ) = \ − 2 π Ejemplos: ⎨ ⎪ f ( x) = Tg (2 x) → Dom( f ) = \ − 2k + 1 π ⎪⎩ 4 H) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
||,, ||, ,
0 0 0 0
Se define la función valor absoluto
como
6 5
4 3
2 1
6
4
2
2
4
6
De aquí podremos directamente definir el valor absoluto de funciones de todo tipo. En este curso trabajaremos y encontraremos solamente valor absoluto de polinomios de grado no mayor a 2. Veamos algunos ejemplos que puedan ayudarnos a dominar este tipo de funciones. 4
3
1011 | 1|1, | 1| 1, 1, 1011 1, 1 1 | 2|
Ejemplo 1
Ejemplo 2 Imaginamos que sólo nos dan esto: “ ”, con esto no podemos hacer nada, primero hay que transformarla a una función a trozos. Una vez tenemos la función a trozos entonces estudiamos lo que nos pidan (continuidad, derivabilidad, …)
2
1
2
1
1
1
Vamos a transformarla:
2
2
2
3
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2012 | 2|2, 2, 2012 ∞ ,1, 1 ,2, 2 ,∞ 2, 1 | 2|2, 2, 12 2
Entonces nos quedaría esta función de la forma siguiente. Primero distinguimos y ordenamos los intervalos, éstos serían: . Ahora observando en la partición de valor absoluto que hemos hecho ahí arriba y al tener tres intervalos, obtenemos:
Cuya representación gráfica quedaría así:
4
3
2
1
2
1
1
2
3
Así pues para calcular el dominio de una función valor absoluto se hace como si no tuvieras el valor absoluto
2. Puntos de corte con los ejes
0 0
Para hallar los puntos de corte con los ejes de una función de la siguiente manera: Puntos de corte con el eje de ordenadas, :
, es decir,
Puntos de corte con el eje de abscisas,
, es decir,
. . Ejemplo: y
=
:
2 x − 6
x 2
−4
3
no hay más que igualar a cero
0 0
en la ecuación en la ecuación
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3. Monotonía de una función
Diremos que una función es creciente si para cada dos valores
UD FUNCIONES
Diremos que una función es decreciente si para cada dos valores
, se cumple que
, se cumple que
Diremos que una función es estrictamente creciente si para cada dos valores , se cumple que Diremos que una función es estrictamente decreciente si para cada dos valores , se cumple que
4
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4. Simetrías de una función
0,0
Diremos que una función es simétrica respecto: a) Origen de coordenadas si se cumple que
b) Eje
si se cumple que
5. Periodicidad de una función
Diremos que una función Ejemplos:
es periódica de período
f ( x ) = sen ( x ) → sen (x ) = sen (x + 2π ) →
Τ = 2π f ( x ) = cos( x ) → cos( x ) = cos(x + 2π ) → Τ = 2π f ( x ) = Tg ( x ) → tg (x ) = tg (x + π ) → Τ = π
5
si se cumple que
.
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6. Construcción elementales
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de
una
función
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por
transformaciones
Consideremos una función y su representación gráfica. También consideremos una constante real positiva . Entonces: a) es una función cuya gráfica es justamente la simétrica de respecto del eje b) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia arriba unidades c) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia abajo unidades d) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia la izquierda unidades e) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia la derecha unidades Ahora vamos a aprender estas cinco premisas para ampliar nuestro rango de representación de funciones. Hazte a la idea de que la línea curva negra es la gráfica de una función . Se pide calcular:
, , , ,
6
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7. Composición de Funciones
, de forma que
Supongamos A, B, C, D intervalos de . Entonces vamos a definir una nueva operación llamada composición entre funciones. Bien, pues sean dos funciones f : A → B y g : C → D . De forma que la Im( f ) ⊆ Dom (g ) . Entonces se tiene que: g ⎯⎯ → D ⎫⎪ ⎬ ⎯⎯→ g f A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → D ⎪⎭
→B ⊆ C A ⎯⎯ f
( g D f )(x ) = g ( f (x ))
D
¿Cómo compondremos nosotros dos funciones?, veámoslo con un ejemplo: f ( x) = − 3 x + 1 g ( x) = e12 x ( f
D g )( x )
= f (g (x )) = f (e12 x ) = − 3(e12 x ) + 1
( g D f )( x ) = g ( f (x )) = g (− 3x + 1) = e
8. Función Inversa
12 (−3 x +1)
La función inversa de una función componerla con , nos sale . f ( x ) = Ln ( x )⎫ g ( x) = e
x
⎬ ⎭
, se representa por
, es aquella función tal que al
= f (g (x )) = f (e x ) = Ln (e x ) = x Ln ( x ) =x ( g D f )( x ) = g ( f (x )) = g (− 3x + 1) = e ( f
D g )( x )
De esta forma decimos que
y
son funciones inversas la una de la otra
MÉTODO PARA HALLAR LA INVERSA
31
1) Partimos de 2) Cambio y me queda 3) Despejo en la igualdad del segundo paso 4) Me queda Practica con la función y
2) 3) = −3x + 1 ⎯⎯ → x = −3 y + 1 ⎯⎯ →
x − 1
−3
7
4 = y ⎯⎯ → y = f −1 (x ) =
−x +1 3
