TP Analyse des structures
Projet plaques n°1 Etude de plaques rectangulaires
Borowski Aurélie Gisselbrecht Pierre-Ernest 13/04/2007
Sommaire
1. ETUDE COMPARATIVE PLAQUE / POUTRE……..
………………………………………………………3 2. ETUDE d’UN PLANCHER
CHAMPIGNON…………………………………………………………………10 3. CONCLUSION………………………………………………………………………
………………………………..13
1.ETUDE COMPARATIVE PLAQUE / POUTRE 1.1. Vérification des résultats théoriques Nous nous sommes tout d’abord assurés que les conventions de signe utilisées par Robot correspondent bien à celles que nous avons employées en cours, afin de pouvoir comparer nos résultats théoriques à ceux de ce projet.
Nous avons ensuite commencé notre étude sur Robot par le cas d’une plaque mince carrée uniformément chargée transversalement et appuyée simplement sur les 4 côtés, le but étant de retrouver la valeur trouvée en TD1 suite à l’application de la théorie des plaques minces : Flèche
Moment
où α = 0.312
où β = 0.382
Nous pouvons identifier cette formule à celle valable en théorie des poutres d’Euler-Bernoulli pour une poutre sur 2 appuis simples soumise à une charge linéique :
Il est important de choisir des dimensions de plaque qui respectent le domaine de validité des plaques minces :
Nous prendrons donc :
a=2m h=10cm
E=32000MPa Valeurs Robot pour un béton n=0.2
Ω= -10kN/m² (c’est la seule charge que nous appliquerons lors de notre étude Robot, nous ferons attention à ne pas prendre en compte le poids propre de l’élément !!)
Nous obtenons une rigidité flexionnelle de : La valeur de la flèche sur Robot pour un maillage de 40 vaut :
w = -0,245 mm
Ce résultat respecte bien la condition de déformations faibles : Nous avons au final : théorique α = 0.312
α = 0.327
soit 4.8% d’écart avec la valeur
Nous pouvons cependant optimiser cette valeur en faisant varier le maillage en éléments finis. Il est important de définir un maillage judicieux dès le début (ni trop gros, ni trop fin), car les résultats peuvent subir de grandes différences. Ainsi, en faisant diminuer le maillage jusqu’à 10, on se rapproche de la valeur théorique : α = 0.317 soit 1.6% d’écart
Une autre solution pour s’approcher de la valeur théorique serait de diminuer l’épaisseur de la plaque tout en restant dans le domaine de validité de la théorie des plaques minces. Cependant, pour atteindre une valeur proche de 0.312, nous devons aller jusqu’à h=8cm, ce qui est très faible pour une épaisseur de plaque étant donné que cela ne suffirait pas à disposer le ferraillage avec un enrobage suffisant. Nous pouvons alors vérifier que nous obtenons bien le coefficient β=0.382 dans cette configuration.
1.2. Comparaison poutre / plaque Nous étudierons maintenant les moments fléchissant et les flèches maximales de plaques sous Robot sous quatre conditions d’appuis différentes : •
la plaque appuyée simplement sur ses quatre côtés ;
•
la plaque appuyée simplement sur deux de ses côtés ;
•
la plaque encastrée sur ses quatre côtés ;
•
la plaque encastrée sur deux de ses côtés.
En effet dans la réalité nous ne rencontreront que très rarement des plaques avec des conditions d’appuis mixtes (combinant encastrement(s) et appui(s) simple(s)) ; d’autant plus que les conditions d’appuis choisies sont les appuis de base, on pourrait alors avoir une idée par extrapolation d’un « mélange » de ces appuis. Nous aurions cependant également pu étudier le cas de quatre appuis ponctuels, cas qui sera en partie étudié pour le plancher champignon. Dans le cas de la plaque appuyée sur deux côtés, nous choisissons d’appuyer les côtés « longs », car l’autre solution présenterait des flèches et des moments atteignant des valeurs aberrantes pour des rapports de ρ = 3 déjà, ce qui
1.2.1.
Démarche de notre étude
y Afin de faire varier la plaque d’une plaque carrée à une plaque rectangulaire, nous fixons la cote b à b = 5m et faisons varier a entre 5 et b
~Ω~
25 m. En posant
, ρ variera
alors de ρ = 1 à ρ = 5.
x a
L’épaisseur de la plaque est de 25 cm. La plaque étudiée, c’est-à-dire une plaque de 5x5m sur 25 cm d’épais vérifie bien les hypothèses des plaques minces :
En appliquant une charge surfacique de 10 kN/m², nous nous assurons également de rester en théorie des plaques minces puisque les déformations resteront faibles :
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Afin de nous référer à une poutre de référence sur deux appuis simples pour toute l’étude qui va suivre, nous relèverons les valeurs des flèches maximales et des moments fléchissant dans la plaque.
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Nous étudierons uniquement les moments de flexion Myy étant donné que dans le cas d’une poutre, Mxx est toujours nul et que le moment de torsion Mxy n’existe pas dans une poutre, le chargement étant centré sur son axe. En effet, Mxx=0 en poutre alors que ce moment de flexion existe bien en plaque qu travaille selon les 2 directions et non selon un seul comme les poutres. Le moment de flexion selon x augmente avec le rapport ρ en théorie des plaques.
Modèle de référence : poutre sur deux appuis : •
Moment en mi-travée :
P
L •
Flèche en mi-travée :
Pour une plaque carrée, ρ = 1 : •
Moment au centre de la plaque :
•
Flèche au centre de la plaque :
Avec D la rigidité flexionnelle : D = 4,34.107 N.m
Comparaison plaque/poutre : Nous allons nous attacher à calculer et vérifier les valeurs des rapports des termes entourés en pointillées rouge, c’est-à-dire pour une plaque carrée 0,3832 pour les moments et 0,312 pour les flèches.
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C’est pourquoi nous poserons :
Ainsi pour les valeurs de α = 1 et β = 1/8 = 0,125, le calcule en théorie ne sera plus intéressant pour une plaque sur appuis simples.
1.2.2.
Analyse de nos résultats
(Les résultats figurent en annexes : tableaux et courbes) Nous constatons assez rapidement que d’une manière qualitative, les plaques appuyées sur deux côtés réagissent de la même manière, et de même pour les plaques appuyées sur quatre côtés.
Plaque appuyée sur ses quatre côtés : Les moments et les flèches sont minimales lorsque la plaque est carrée, ce qui est logique puisque les deux directions agissent de la même manière. Lorsque la plaque tend vers une plaque très élancée (ρ = 5), les moments et flèches tendent vers une valeur maximale.
Plaque appuyée sur deux de ses côtés opposés : Quelles que soient les dimensions de la plaque (carrée ou élancée), les moments et les flèches restent sensiblement constants dans celle-ci. Nous constatons d’ailleurs que les valeurs de ces moments et de ces flèches sont respectivement les valeurs limites des moments et des flèches d’une plaque très élancée (ρ = 5) appuyée sur ces quatre côtés. Nous remarquons (en toute logique) que les moments et flèches dans une plaque sur appuis encastrés sont inférieurs à ceux dans une plaque sur appuis simples.
Explication du phénomène : Lorsque la plaque est élancée (ρ = 5) et appuyée sur quatre côtés, elle réagit de la même manière qu’une plaque appuyée sur deux côtés : deux de ses appuis se trouvant plus loin du centre de la plaque par rapport aux deux
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autres, ils n’interviennent plus que très peu dans la résistance, presque comme s’ils n’existaient plus (cas d’une plaque appuyée sur deux côtés). Rapport moments (appuis encastré/appuis simples) et flèches (appuis encastré/appuis simples) :
2 modèles de référence :
La flèche théorique d’une poutre bi-encastrée est 5 fois plus petite que celle d’une poutre sur 2 appuis simples, et le moment en milieu de travée 3 fois plus petit. Ces rapports sont bien visibles sur les courbes fournies en annexe (α en fonction de ρ, et β en fonction ρ). La courbe bleue (rouge) est bien environ 5 fois plus importante que la verte (violette) pour le rapport des déformations. Cette observation est également valable pour le rapport de 3 sur les moments.
Comparaison poutre/plaque : analyse des courbes : Nous constatons que le calcul en plaque est plus intéressant pour des valeurs de ρ comprises entre 1 et 2 exclu, au-delà de cette valeur, les résultats convergent vers un calcul en poutre, plus simple.
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Remarque : 1. Il est plus intéressant d’après nos résultats d’appuyer une plaque carrée ou quasi-carrée sur ses quatre côtés (interactions des deux directions optimum), en revanche une plaque plus élancée ne présente pas de raison particulière (d’un point de vue flèche et moment) d’être appuyée sur la totalité de ses côtés. 2. Nous pouvons expliquer les écarts relatifs de 5 % entre les valeurs théoriques de α et β et celles données par Robot par le fait que la plaque carrée de 5x5m pour une épaisseur de 25 cm est aux limites des conditions de plaque mince, c’est-à-dire le rapport de L par h est de 20.
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2.ETUDE d’un PLANCHER CHAMPIGNON Un plancher champignon est une plaque de grande dimension appuyée ponctuellement sur un réseau de poteaux, modélisés sous Robot par des appuis simples ponctuels. La différence majeure avec un plancher traditionnel est l’absence totale de poutres ! Nous allons mener notre étude sur les parties courantes du plancher et plus précisément sur les zones au-dessus des poteaux, où nous pouvons remarquer l’importance du ferraillage mis en œuvre. Pour justifier ces dispositions constructives, nous allons observer l’allure des moments ainsi des efforts tranchants.
Configuration : Pour s’approcher au maximum d’un cas réel, nous travaillons sur un plancher carré de 25cm d’épaisseur et de 49m de côté. Nos poteaux suivent un maillage de 7m sur 7m. Nous soumettons la plaque à un chargement uniforme transversal de 10 kN/m². Nos résultats sont obtenus pour un maillage d’éléments finis de 50.
Déformation de la plaque :
Nous remarquons que la déformation est maximale en périphérie du plancher (zone foncée sur l’illustration), et plus particulièrement sur les 4 zones de coin, où les effets de 2 travées sur appuis simples de rive se chevauchent. Le ferraillage devra donc être accentué à ce niveau (en ceinture) afin de contrer ces déformations importantes. La valeur de la flèche est en effet deux fois plus importante en périphérie qu’au milieu de notre plancher.
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Moments dans la plaque :
Le moment atteint des valeurs extrêmes sur appuis et plus particulièrement sur ceux situés au centre de la plaque (les appuis de rive sont bien moins sollicités). On remarque ainsi qu’il sera nécessaire de ferrailler de façon importante en partie haute des appuis, afin de contrer l’effet de poinçonnement sur les poteaux. Nous observerons alors une nouvelle « ceinture » carrée de ferraillage qui se profilera sur les premières lignes d’appuis intérieurs. Nous pouvons également remarquer que notre plancher champignon suit un comportement assimilable à celui que suivrait un ensemble de poutres continues croisées reposant sur des appuis simples.
Efforts tranchants dans la plaque : On observe la même augmentation considérable de ses valeurs à l’approche des appuis alors que les travées subissent largement l’influence de l’effort tranchant (environ 10 fois moins).
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Avantage de ce type de plancher :
C’est un système de plancher portant directement sur les poteaux et ne nécessitant pas de poutres porteuses. Ainsi, les délais d’exécution peuvent être raccourcis. Cette technique est pratique dans la construction de parkings où la circulation est laissée libre, et les retombées de poutres ne sont alors pas dérangeantes (limite sur la hauteur des voitures moins stricte). Ceci nous permet d’optimiser les hauteurs d’étage. Cette solution allie donc esthétique et performance en autorisant de grandes portées. D’un point de vue budgétaire, bien que le ferraillage soit très lourd au-dessus des poteaux, nous économisons sur la mise en œuvre des poutres (ferraillage + bétonnage) ainsi que sur les éléments porteurs des étages qui sont alors de hauteur plus faible.
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3. CONCLUSION Au cours de ce projet, nous avons pu mettre en relation le comportement d’une plaque mince rectangulaire avec le comportement d’une poutre (sur 2 appuis ou encastrés) et ce pour différentes dimensions de plaques (carré à rectangulaire en faisant varier a) et différentes conditions d’appuis. Nous avons ainsi mis en évidence le fait qu’avec un certain rapport de dimension (r~2), la plaque atteint un comportement comparable à celui d’une poutre classique. La théorie des plaques minces perd alors tout son intérêt au-delà de cette valeur, et la théorie des poutres est à nouveau de rigueur. Le fait de limiter le nombre de bords appuyés à 2 est désavantageux dans le domaine de validité de la théorie des plaques minces. Il est ici préférable d’appuyer les 4 bords. En effet, l’intérêt d’une plaque est de travailler dans les 2 directions, contrairement à une poutre. C’est pourquoi nous avons observé une divergence des résultats pour b et a quand r=1. Cependant, au-delà de ce rapport de dimension, les valeurs de a et b convergent vers les résultats obtenus avec 4 bords appuyés. 2 bords appuyés suffisent alors à obtenir des caractéristiques de résistances identiques à celles disponibles avec 4 bords appuyés. Cette étude nous a conduits à relever une similitude des réactions d’un plancher champignon avec le comportement d’un réseau de poutres continues.
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