1.
PANDEO Y ESTABILIDAD: Suponiend Suponiendo o que debe diseñarse una columna AB de AB de longitud para soportar una carga P carga P imaginaremos imaginaremos que P que P es es una carga axial céntrica y que la columna es tal que el valor σ = P / A del esfuerzo en la sección transversal lo menor que el valor admisible
σ Admisible
para el material utilizado y si la deformación
σ
= PL / AE cae
dentro de las especificaciones dadas, podría concluirse que la columna se ha diseñado bien Sin embargo, puede suceder que al aplicar la carga la columna se pandee, en lugar de permanecer recta, y se curve repentinamente, !bviamente, una columna que se pandea ba"o la carga específicamente no est# bien diseñada
$ara ilustrar los conceptos fundamentales de pandeo y estabilidad analizaremos una estructura hipotética que consta de dos barras rígidas AB y BC , cada una de longitud ½, unidas en B en B por por un pasador y mantenidas en posición vertical por un resorte resorte rotatorio rotatorio con rigidez rigidez B elasticidad de esta estructura est# concentrada Br %a elasticidad en el resorte rotatorio, mientras que una columna real puede flexionarse en toda su longitud
&n la estructura, estructura, las dos barras est#n alineadas alineadas y la carga P carga P acciona acciona a lo largo del e"e longitudinal
&l resorte no est# sometido a esfuerzos que las barras est#n en compresión directa Supong Supongamo amoss que la estruc estructur turaa est# pertur perturbad badaa por alguna alguna fuerza fuerza extern externaa que desplaza al punto B punto B una una pequeña distancia %as barras giran #ngulos pequeños
θ
y un momento se desarrolla en el resorte &ste momento tiende a regresar a la estructura a su posición original, por lo que se llama momento restitutivo $ero al mism ismo tiem tiempo po la tend tenden enci ciaa de la fuer fuerza za axia axiall de comp compre resi sión ón aume aument ntaa el desplazamiento lateral &stas dos acciones tienen efectos opuestos &l momento restitutivo disminuye el desplazamiento y aumenta la fuerza axial
'onsiderem 'onsideremos os que se elimina la fuerza perturbadora perturbadora Si la fuerza P fuerza P es es pequeña y el momento restitutivo dominar# la acción de la fuerza, la estructura retornar# a su posición original entonces decimos que la estructura es estable, pero si la fuerza axial P axial P es es grande, el desplazamiento del punto B aumentar# y las barras girar#n
#ngulos mayores hasta que colapse la estructura &ntonces la estructura es inestable
%a transición entre las condiciones estable e inestable ocurre a un valor de fuerza axial conocido como carga crítica ( P cr ) $odemos determinar la carga crítica considerando la estructura en posición alterada $rimero consideramos la estructura como cuerpo libre, tomamos momentos respecto al punto A concluyendo que no hay reacción horizontal en el soporte C %uego consideramos la barra BC como cuerpo libre y notamos que est# sometida a la acción de fuerzas axiales P y al M B en el resorte
M o = 2 Br θ
(1)
'omo θ es una cantidad pequeña, el desplazamiento lateral del punto B es entonces sumando momentos en B+
M B
&ntonces (1) y (2)
θ L − P = , *
(2)
L * θ
* B − PL θ = , r * -na solución es, θ . 0, significa que la estructura est# en equilibrio si es perfectamente recta, cualquiera que sea la magnitud de la fuerza P !tra solución se obtiene igualando a cero el término entre paréntesis y despe"ando el valor de P +
P cr
=
Br
L
$ara este valor de P cr , la estructura est# en equilibrio la carga P cr representa la frontera entre las condiciones estable e inestable
Si P < P c , r la estructura es estable. Si P > P c , r la estructura es iestable.
2.
COLUMNAS ARTICULADAS: -na columna articulada de longitud L y de rigidez flexional constante E! sometida a una carga axial céntrica P Suponiendo que la columna se hubiera pandeado, se observa que el momento flector en " era igual a 0 P# y se deduce observando el gr#fico+
P ∂ # M = =− # ∂ $ E! E! *
la ecuación+
*
1esolviendo la ecuación diferencial, su"eta a las condiciones de fronteras correspondientes a una columna articulada, se determina la carga P m#s pequeña para la cual el pandeo podría ocurrir &sta carga, llamada carga crítica y denotada por P cr , est# dada por la fórmula de &uler+
P cr
=
*
E! L*
π
&n donde L es la longitud de la columna $ara esta carga, u otra mayor, el equilibrio de la columna es inestable y ocurren deflexiones transversales 1epresentando el #rea de la sección transversal de la columna por A y su radio de giro por r , se encontró el esfuerzo crítico
σ cr
correspondiente a la carga crítica
P cr
*
σ cr
=
π E *
L r
%a cantidad L%r se llama relación de esbeltez y se dibu"ó
σ cr
, como función de
L%& $uesto que el an#lisis se basó en esfuerzos que permanecen por deba"o del límite de fluencia del material, se observó que la columna fallar# por fluencia cuando
3.
σ cr
2
σ
#
COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES DE EXTREMO:
Se dedu"o anteriormente la fórmula para una columna con extremos articulados, ahora estudiaremos como puede hallarse P cr para columnas con diferentes condiciones de extremo
&n el caso de una columna com3n extremo libre A y empotrada en B, con carga P aplicada en A, se observa que la columna se comportar# como la mitad superior de una columna articulada, la carga crítica para la columna de la figura, es la misma que para la articulada y puede obtenerse por la fórmula de &uler usando una longitud igual al doble de longitud real L de la columna dada Se dice que la lo'itud e(ecti)a Le de la columna es igual a 2L y remplazamos Le = 2L en la fórmula de &uler+
P cr
=
π
*
E!
L*e
&n forma similar se encuentra el esfuerzo crítico mediante la ecuación
σ cr
=
π
*
E
( Le r )
*
%a cantidad Le %r es la relaci* e(ecti)a de esbelte+ de la columna y en el caso considerado aquí, es igual a 2L%r.
Longitu !"!#ti$% ! #o&u'n% %% i"!!nt!* #oni#ion!* ! !+t!'o Padeo e el lao $# &n la figura se observa que la longitud efectiva de la columna con respecto al pandeo en este plano es Le = 0.-L &l radio de giro r + de la sección transversal se obtiene escribiendo ! +
=
5 5*
ba 4
A = ab
y, como ! +
= Ar + , *
*
r +
=
! + A
=
5 ba 4 5*
ab
a =
4
r +
a
=
5*
5*
%a relación efectiva de esbeltez de la columna con respecto al pandeo en el plano $# es Le r +
=
,6 L
a
(,)
5*
Padeo e el lao $+ %a longitud efectiva de la columna con respecto al pandeo en este plano es Le = 2L, y el correspondiente radio de giro es r #
Le r #
%)
=
=
b
5*
* L
b
(,,)
5*
Di*!-o '* !"i#i!nt!: &l diseño m#s eficiente es aquel para el cual los esfuerzos críticos correspondientes a los dos posibles modos de pandeo son iguales Se tiene que éste ser# el caso si los dos valores obtenidos arriba para la relación efectiva de la esbeltez son iguales Se escribe
,6 L a
5*
a b
y, despe"ando a a%b,
/)
=
* L b
=
5*
,6 *
a b
=
,47
Di*!-o %% &o* %to* %o*: 'omo .S. . 2./, P cr
=
( . S ) P
=
( *7)(70i,s )
=
-sando a = 0.1/ b, se tiene A = ab = 0.1/b 2 y
σ cr
=
P cr A
=
5*7,,lb ,47b
*
5* 70i,s
8aciendo L = 20 ul' en la ecuación E, Le %r , y
σ cr
en la ecuación
*
σ cr
=
5* 7,, lb
π E
( L
e
/ r )
*
,47b
b = 1.620 pulg
0.
(,,), Le %r # = 13.4%b Sustituyendo
*
* 9 ) = π (5,5 × 5, ,si *
(54: 9 / b )
a = 0.35b = 0.567 pulg
COMPORTAMIENTO ELSTICO E INELSTICO DE COLUMNAS: ;l incluir en el an#lisis el pandeo inel#stico, es decir, el pandeo de columnas cuando se rebosa el límite proporcional &l valor de la relación de esbeltez arriba del cual la curva de &uler, es v#lida, se
obtiene igualando el esfuerzo crítico+ proporcional
σ
!,
σ cr
=
P cr A
=
π
*
E!
AL*
*
=
π E
( L γ )
*
, al límite
y despe"ando la relación de esbeltez ;sí, entonces si ( 5r )c
representa la relación de esbeltez crítica (figura), obtenemos+
L = γ c
π * E σ !,
(1)
'omo por e"emplo, consideramos el acero estructural con
σ !,
. 49
4
&ntre las regiones de columnas cortas y largas, hay un intervalo de relaciones de esbeltez intermedias muy pequeño para que domine la estabilidad el#stica y muy grande para que ri"an solo consideraciones de resistencia una columna de longitud intermedia falla por pandeo inel#stico, lo cual significa que los esfuerzos m#ximos est#n arriba del límite proporcional, lo cual significa que los esfuerzos m#ximos est#n arriba del límite proporcional, la pendiente de la curva esfuerzo>deformación unitaria para el material es menor que el módulo de elasticidad, por consiguiente, la carga crítica para pandeo inel#stico es siempre menor que la carga de &uler
%a capacidad m#xima de carga de una columna en particular se representa por la curva ;?'@ en la figura Si la longitud es muy pequeña (región ;?), la columna falla por pandeo inel#stico, y si es a3n m#s larga (región !@), falla por pandeo el#stico (es decir, pandeo de &uler) %a curva ;?'@ se aplica a columnas en varias condiciones de soporte si la longitud L en la relación de esbeltez se reemplaza en la longitud efectiva Le
0.1.
PANDEO INELSTICO: •
T!o% !& Mu&o T%ng!nt!: 'onsiderando para esto una columna ideal articulado en sus extremos y sometida a una fuerza axial P (fig a) Se supone que la columna tiene una relación de esbeltez L%& menor que la relación de esbeltez crítica (1), de suerte que el esfuerzo axial P%A llega al límite proporcional antes de que se alcance la carga crítica
&l diagrama esfuerzo>deformación unitario en comprensión para el material de la columna se muestra en la figura &l límite proporcional del material est# indicado por
σ !,
y el esfuerzo real
σ A
en la columna
(igual a P%A) est# representado por el punto A (que esta arriba del límite proporcional) Si la carga se incrementa, de manera que ocurra un pequeño aumento en el esfuerzo, la relación entre el incremento de esfuerzo y el correspondiente incremento de deformación unitaria, est# dada por la pendiente del diagrama esfuerzo>deformación unitaria en el punto A &sta pendiente, igual a la pendiente en A se llama módulo tangente y se denota con E c, en tonos
E t
= ∂σ ∂ε
&ste módulo tangente disminuye cuando el esfuerzo aumenta m#s alla del límite proporcional 'uando el esfuerzo es menor que el límite proporcional, el módulo tangente es el mismo que el módulo de elasticidad E ordinario
Aerificando las teorías del módulo tangente de pandeo inel#stico, la columna de la figura
(%) permanece recta en tanto no se alcanza la carga
crítica inel#stica &n tal valor de la carga, la columna puede experimentar
(/) 'omo la columna empieza a
una pequeña deflexión lateral
flexionarse desde una posición recta, los esfuerzos de flexión iniciales representan solo un pequeño incremento del esfuerzo, por lo tanto, la relación entre los esfuerzos de flexión y las deformaciones unitarias resultantes est# dada por el módulo E c
%as expresiones para la curvatura son las mismas que en el caso de flexión lineal el#stica, excepto que E c, reemplaza a E +
6 =
5 ρ
=∂
*
) * : $
= M
E t !
@ado el momento flexionante M = 7 P ) (vease figura b), la ecuación diferencial de la curva de deflexión es+ E!899 : P8 = 0 !bteniéndose la expresión para la carga del módulo tangente
P t =
π * E t !
L*
&sta carga representa la carga crítica para la columna de acuerdo con la teoría del módulo tangente &l esfuerzo crítico correspondiente es+
σ t
=
P t A
*
=
π E t
( L γ )
*
&l modulo tangente E t varía con el esfuerzo de compresión
σ
=
P A
(figura B) por lo general obtenemos la carga del módulo tangente
mediante un proceso iterativo $rimero estimando el valor de P t &ste valor de prueba, que llamaremos P , debe ser un poco mayor que que es la carga axial
σ !
=
σ !,
A,
P 5 A y determinar el módulo tangente E c del
diagrama esfuerzo>deformación unitaria Cr#fico (figura B)
•
T!o% !& Mu&o R!u#io: &l valor de E & depende no solo del esfuerzo por que E t depende de la magnitud del esfuerzo sino también de la forma de la reacción transversal de la columna ;sí entonces, el módulo reducido E r es m#s difícil de determinar que el módulo tangente E t
&n el caso de una columna con secci* tras)ersal recta'ular , la ecuación del módulo reducido es
E γ
=
E ε t
(
E +
ε t
)
*
$ara una viga de patín ancho en que se desprecia el #rea del alma, el módulo reducido por flexión respecto al e"e fuerte es
E γ
=
* E ε t E + ε t
&cuaciones para la carga del módulo reducido+
P =
π * E γ ! L*
&cuación correspondiente para el esfuerzo crítico es+
*
σ γ
=
π E γ
( L γ )
*
%a teoría del módulo reducido es difícil de usar en la pr#ctica por que E t depende de la forma de la sección transversal así como de la curva esfuerzo>deformación unitario y debe evaluarse para cada columna
particular ;dem#s, esta teoría tiene un defecto conceptual $ara que el módulo E & sea aplicable, el material en el lado convexo de la columna debe estar sufriendo una reducción en su esfuerzoD sin embargo, tal reducción en el esfuerzo no puede ocurrir hasta que la flexión no tenga lugar
•
T!o% ! S4%n&!5: Ei la teoría del módulo tangente ni la teoría del módulo reducido explican el fenómeno del pandeo inel#stico en forma totalmente racional &sta teoría supera a los dos anteriores reconociendo que no es posible que una columna se pandee en forma inel#stica de manera an#loga al pandeo de &uler &n este caso ni la carga P t del módulo tangente ni la carga P & del modulo reducido pueden representar este tipo de comportamiento
&n vez de equilibrio neutro, en que de repente es posible la s3bita presencia de una forma reflexionada sin cambio en la carga, debemos pensar que una columna siempre tiene una carga creciente
&ntonces, en vez de equilibrio neutro, donde la relación entre la carga y deflexión no est# definida, tenemos una relación definida entre cada valor de la carga y la deflexión correspondiente &ste comportamiento se muestra por la curva marcada Fteoría de ShanleyG (en la figura) Eote que el pandeo comienza en la carga del modulo tangenteD la carga aumenta a continuación, pero sin alcanzar la carga del módulo reducido, hasta que la deflexión se vuelve infinitamente grande (en teoría)
•
0.2. 6.
