Teoria de Columnas

&NIVER#I'A' CIENTÍ(ICA 'EL )ER* + (AC<A' 'E CIENCIA# E INGENIERÍA

INGENIERÍA CIVIL Curso:

Mecánica de Materiales II

Ingeniero:

,-./

Gilberto Aliaga Atalaya Tema:

Teoría Teoría de Columnas

Alumno:

Reyood Gue!ara Ta"ur

Ciclo:

#$%timo


Contenido I.

INTRODUCCIÓN0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,

II.

0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000000000000001 0000000000000000000000000000001 OBJETIVOS0000000000000000 2.1.

00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000001 000000000000000000000000000000001 OBJETIVO G GE ENERAL RAL:00000000000000000

2. 2.2. 2.

00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000001 0000000000000000000000000000000001 OBJ BJET ETIV IVOS OS ESPE ESPECÍ CÍFI FICO COS: S:00000000000000000 MARCO TEÓRICO00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002

III.

0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000000000000000000000002 00000000000000000000000000002 3.1. Definii!n "e C#$%&n' 0000000000000000 3.1.1 C#$%&n'( L')*'(:000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002

00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000003 000000000000000000000000000000000000003 3.1.2 C#$%&n'( In+e)&e"i'(:00000000000000000 3.2. COMPORTAMIENTO00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003

00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000/ 000000000000000000000000000000000000/ 3.3. CARGA CRÍTICA00000000000000000 3.,. E-CENTRICIDAD0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000004 3.. LONGITUD EFECTIVA00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000005 FORM RMUL ULA A DE DE EUL EULER ER PARA COLUM OLUMNA NAS S0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.-

IV. IV.

,.1. F!)&%$' "e E%$e) /')' #+)'( #n"ii#ne( en $#( e0+)e&#( 000000000000000000000000000000000.. ,.2. FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O MU ESBELTAS 000000000000000.1

0000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000.2 0000000000000000000000000000.2 ,.3. LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER 0000000000000000 V. COLUMNAS COLUMNAS DE LONGITU LONGITUD D INTERM INTERMEDIA EDIA FORMUL FORMULAS AS EMPÍRICA EMPÍRICAS S0000000000000000000000./

00000000000000000000000000 00000000000000000000000.6 00000000000000.6 .1. OTROS MTODOS PARA COLUMNAS INTERMEDIAS 00000000000000000 00000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000000000,6 000000000000000,6 COLU COLUMN MNA AS CA CARGA RGADAS DAS E-CE E-CENT NTRI RICA CAME MENT NTE E00000000000000000

VI. VI.

0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000,4 00000000000000000000000000000000,4 4.1. L' f!)&%$' "e $' Se'n+e0000000000000000 0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 000000000000000000000000000001. 0000000000000000000001. PRED PREDIM IMEN ENSI SION ONA ADO DE COLU COLUMN MNA AS00000000000000000

VII. VII.

A. C#$% #$%&n' &n' "e "e &'" &'"ee)'000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. B. C#$% #$%&n' &n' "e 'e e)# )#0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011

0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000000000000000000000000001/ 000000000000000000000000000000001/ C. C#$% C#$%&n &n'' "e "e #n #n) )e+ e+# # ')& ')&'" '"# #00000000000000000 VIII VIII..

0000000000000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 0000000000000000000000000000000000016 0000000000000000000000000016 TIPOS POS DE COLUMN LUMNA AS0000000000000000

I-. I-.

TIPOS POS DE FALLAS LAS EN COL COLUM UMNA NAS S000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000014

-. EJER EJERCI CICI CIOS OS DE APREND PRENDIS ISAJ AJE E00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000021 LINCOGRAFÍA000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000026

-I.

.


I.

INTRODUCCIÓN

La columna es el elemento estructural vertical empleado para sostener la carga de la edif edific icac ació ión. n. Es util utiliz izad ado o ampl amplia iamen mente te en arqui arquite tect ctura ura por la libe libert rtad ad que que proporciona para distribuir espacios al tiempo que cumple con la función de soportar el peso de la construcción; es un elemento fundamental en el esquema de una estructura estructura y la adecuada selección selección de su tamaño, forma, espaciamiento espaciamiento y composición influyen de manera directa en su capacidad de carga. Para la columna columna se indica las características características que la definen, así como el comportamient comportamiento o para definir los aspectos a tomar en cuenta en el diseño de las columnas de madera, acero y concreto armado. Estas pueden ser diseñadas para resistir las fuerzas laterales del viento o de los movimientos sísmicos. Las columnas son frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las partes superiores de las paredes o tecos descansan. descansan. Las primeras primeras columnas columnas eran construidas construidas de piedras, piedras, sacadas de una pieza simple de roca, usualmente rot!ndolas sobre un aparato parecido a un torno. "tras fueron creadas de m#ltiples secciones de roca, pegadas con mortero o en seco. Las Las col columna umnass mode modern rnas as son son cons constr trui uida dass de acer acero, o, conc concre reto to vert vertid ido o o pref prefab abri rica cado do,, o de ladr ladrilillo lo.. Lueg Luego o pued pueden en ser ser reve revest stid idas as en una una cubi cubier erta ta arquitectónica o de$adas sin cubrir.

,


II. II.1.

OBJETIVOS

OBJETIVO GEN GENERAL RAL:

 %eterminar

fuerzas rzas

inte nterna rnas

&a'i a'iales,

cor cortantes,

momentos(

y

deformaciones de una columna.

II.2. I.2.

OBJE OBJETI TIVO VOS S ESPE ESPECÍ CÍFI FICO COS: S:

)onocer la importancia de la fórmula de Euler.  *nalizar y verificar resultados de la solución de un problema sobre columnas.  +dentificar el comportamiento de una columna ante una carga aplicada sobre esta.

III. 3.1. Definii!n "e C#$%&n'

1

MARCO TEÓRICO


Los miem miembr bros os larg largos os y esbe esbeltltos os some sometitido doss a una una fuer fuerza za a'ia a'iall de  Los compresión se llaman columnas, y la defle'ión lateral que sucede se llama pandeo-. 5i66e$e)  na columna es una pieza estructural que soporta una carga a'ial por compresión y tiende a fallar como resultado de una inestabilidad el!stica, o pandeo, m!s que por trituración del material-. M#++ El t/rm t/rmin ino o colu column mna a se apli aplica ca a todo todoss los los elem elemen ento toss some sometitido doss a  El compresión, e'cepto en los que la falla sería por compresión simple o pura-. S7i*$e8 El efec efecto to geom geom/t /tri rico co de la colu column mna a se deno denomi mina nan n esbel esbelte tezz y es un fact factor or importante, ya que la forma de fallar depende de la esbeltez, para la columna poco esbelta la falla es por aplastamiento y este tipo se denomina columna corta, los elementos m!s esbeltos se denominan columna larga y la falla es por pandeo. La columna intermedia es donde la falla es por una combinación de aplastamiento y pandeo. *dem!s, los momentos flectores que forman parte del diseño de columna disminuyen la resistencia del elemento tipo columna 9G'$'&6#( Lin 8 J#7n(+#n

1; Sin*e) 8 P8+e$ 1<2=. )abe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de geometría, lo cuales influyen en el tipo de falla. Las columnas en este traba$o la dividiremos en0

3.1.1 C#$%&n'( L')*'(: 1e dice una columna larga cuando su longitud es mayor de 23 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mec!nica se mayor igual a 233.

3.1.2 C#$%&n'( In+e)&e"i'(:

2


1e dice una columna larga cuando su longitud es mayor a 23 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mec!nica se encuentre entre 43 y 233. En algunos casos las columnas cortas tambi/n forman parte de esta clasificación &se dice columna corta cuando no cumple que su longitud es mayor a 23 veces la menor dimensión transversal(. Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento, las columnas largas se rompen por pandeo o fle'ión lateral; las intermedias, por una combinación de aplastamiento y pandeo, y las columnas cortas, por aplastamiento.

3.2. COMPORTAMIENTO %entro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento estructural est!n0 equilibrio, resistencia, funcionalidad y estabilidad. En una columna se puede llegar a una condición inestable antes de alcanzar la deformación m!'ima permitida o el esfuerzo m!'imo. El fenómeno de inestabilidad se refiere al pandeo lateral, el cual es una defle'ión que ocurre en la columna &v/ase 5igura 4(; cuando aparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de la defle'ión agranda la magnitud del momento flector, creciendo así la curvatura de la columna asta la falla; este caso se considera inestable. Por ello la resistencia de la columna sometida a compresión tiene dos límites, el de resistencia para columnas cortas y el de estabilidad para columnas largas &v/ase 5igura 2(. La estabilidad es así el nuevo par!metro que define adem!s de la resistencia y la rigidez, las dimensiones de la columna 9Bee) 8 J#7n(+#n 13;

P#/#> 14; Ti&#(7en?# 8 #%n* 2@@@=.

3


5igura esfuerzo

2.

%isminución de

traba$o

del a

compresión seg#n la esbeltez de la columna.

9Ti&#(7en?# 8 #%n* 2@@@ /. 2<2=

3.3. CARGA CRÍTICA La deformación de la columna varía seg#n ciertas magnitudes de cargas, para valores de P ba$os se acorta la columna, al aumentar la magnitud cesa el acortamiento y aparece la defle'ión lateral. E'iste una carga límite que separa estos dos tipos de configuraciones y se conoce como carga crítica Pcr &v/ase 5igura 6(.

(igura ,7 Carga crítica )cr

/


1upongamos un elemento recto vertical sometido una carga 7, esta carga produce una defle'ión &v/ase 5igura 4a(. 1i se aplica una fuerza vertical P que va aumentado y se disminuye el valor de 7, de tal forma que la defle'ión sea la misma al caso de la 5igura 4a &v/ase 5igura 4b(, el valor de Pcr es la carga necesaria para mantener la columna deformada sin empu$e lateral 7. Para valores mayores a la carga crítica aumentan la defle'ión asta que falla por pandeo, limitando

la

capacidad

de

la

columna.

(igura 17 Elemento !ertical sometido a carga 8 y )

Los factores que influyen en la magnitud de la carga crítica son la longitud de la columna, las condiciones de los e'tremos y la sección transversal de la columna. Estos factores se con$ugan en la relación de esbeltez o coeficiente de esbeltez &v/ase Ecuación 2(, el cual es el par!metro que mide la resistencia de la columna. %e esta forma para aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la sección que tenga el radio de giro m!s grande posible, o una longitud que sea menor, ya que de ambas formas se reduce la esbeltez y aumenta el esfuerzo crítico 9Bee) 8 J#7n(+#n 13; G'$'&6#( Lin 8 J#7n(+#n 1; P#/#> 14;

Sin*e) 8 P8+e$ 1<2; Ti&#(7en?# 8 #%n* 2@@@=.

6


&Ecuación 2(

%onde0 8 9 )oeficiente relacionado con el tipo de apoyo; L 9 Longitud de la columna;

r min 9 :adio de giro mínimo de la sección. 3.,. E-CENTRICIDAD )uando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es e'c/ntrica y genera un momento adicional que disminuye la resistencia del elemento, de igual forma, al aparecer un momento en los e'tremos de la columna debido a varios factores, ace que la carga no act#e en el centroide de la columna &v/ase 5igura (. Esta relación del momento respecto a la carga a'ial se puede e'presar en unidades de distancia seg#n la propiedad del momento4, la distancia se denomina e'centricidad. )uando la e'centricidad es pequeña la fle'ión es despreciable y cuando la e'centricidad es grande aumenta los efectos de fle'ión sobre la columna 9Sin*e) 8 P8+e$ 1<2=. &Ecuación 6( M

e =¿ P

¿

%onde0

e 9 e'centricidad, < 9
4


(igura 27 E9centricidad de la columna

3.. LONGITUD EFECTIVA La longitud efectiva combina la longitud real con el factor defi$ación de e'tremos; Lt = >L fue deducida para el caso de una columna con e'tremos articulados, o libres de girar. En otras palabras. L en la ecuación representa la distancia no soportada entre los puntos con momento cero. 1i la columna que, soportada en otras formas, la fórmula de Euler se puede usar para determinar la carga crítica, siempre que ?L- represente la distancia entre puntos con momento cero. * esta distancia se le llama longitud efectiva de la columna, Le. Es obvio que, para una columna con e'tremos, pero en figura &@Ad(. Para la columna con un e'tremo fi$o y uno empotrado que se analizó arriba, se encontró que la curva de defle'ión fue la mitad de la de una columna con sus e'tremos articulados, cuya longitud 6L y así tenemos m!s e$emplos con sus valores de longitud efectiva. Para calcular la longitud efectiva se usar!n las siguientes relaciones0 • • • •

5

)olumnas con e'tremos de pasador0 Le=>L= 2.3&L( = L )olumnas con e'tremos fi$os0 Le=>L = 3,B@&L( )olumnas con e'tremos libres0 L, =>L = 6.23&L( )olumnas con pasadores fi$os y el otro fi$o0 L, =>L=3.C3&L(


(igura 37 longitud e"ecti!a de columnas con di"erentes

IV.

FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS

La fórmula de Euler publicada en 2D@D por el matem!tico (%i# Le#n')" E%$e) , es v!lida para columnas largas, calcula lo que se conoce como la carga critica de pandeo; es decir, la carga #ltima que puede ser soportada por una columna larga. 1ea una columna * y se busca allar el valor crítico de la carga P es decir el valor de Pcr de la carga para para el cual la posición de la siguiente figura 2 de$a de ser estable si P F Pcr la menor falta de alineación o perturbación provocar! que la columna se doble es decir que adopte una forma curva figura 6.

(igura .7 Columna %osici:n

(igura ,7 Columna %osici:n

Para una columna soportada en sus dos e'tremos por articulaciones sometida a una carga a'ial P, inicialmente recta, omog/nea, de sección transversal

.-


constante en toda su longitud y se comporta cumpliendo la ley de 7oo8e, adem!s, que los esfuerzos son inferiores al límite de proporcionalidad del material, la carga crítica de pandeo es0 &2(

1iendo0 Pcr = carga crítica de pandeo &G, lb( E = módulo de elasticidad del material &GHm6, lbHplg6( + = menor momento de inercia de la sección transversal de la columna con respecto al e$e de pandeo &m, plg( L = longitud de la columna &m, plg(

,.1. F!)&%$' "e E%$e) /')' #+)'( #n"ii#ne( en $#( e0+)e&#( La figura 4 muestra los cuatro tipos de condiciones en los e'tremos m!s comunes en columnas0

5igura 4. )ondiciones de apoyo en los e'tremos en columnas

..


La longitud L cambia a una longitud efectiva Le- de la columna, seg#n el tipo de apoyo. La Le es la distancia entre los puntos de infle'ión de la curva deformada que adopta el e$e de la columna. ¿= KL

siendo > el factor de longitud efectiva %e manera general, la ecuación de Euler se e'presa0 &6(

R'"i# "e *i)#. El radio de giro es otra definición matem!tica que es enteramente #til en la solución de ciertos problemas de mec!nica. Es muy com#n la aplicación de esta cantidad, particularmente con respecto al diseño de columnas. El radio de giro se define como0 &4(

%onde0 r = radio mínimo de giro &m, plg( + = momento de inercia de la sección &m, plg( * = !rea de la sección &m6, plg6( El radio de giro se determina con respecto a un e$e, aquel con respecto al cual se toma el momento de inercia. El radio de giro con respecto a e$es particulares se describe como0

Ecuación para el esfuerzo crítico en función de la ecuación de Euler

.,


,.2. FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O MU ESBELTAS La fórmula de Euler es v!lida solamente para columnas largas y calcula lo que se conoce como Icarga critica de pandeoI, esta es la #ltima carga que puede soportar por columnas largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso. La columna articulada en sus e'tremos, inicialmente recta omog/nea, de sección transversal constante en toda su longitud se comporta el!sticamente. Puede tener dos posiciones de equilibrio0 recta o ligeramente deformada. 1e aplica una fuerza orizontal J para y de esto podemos inferir lo siguiente0

%e la ecuación de la el!stica0 1e obtiene0

7aciendo que0

Es una ecuación diferencial de segundo "rden cuya solución es

*plicando las condiciones de frontera tenemos que, '=3, y=3 que sustituyendo en la ecuación

Para '=L, y=3 por lo tanto 3 = sen &3(  no puede ser 3 así que, sen >L = 3

.1


La solución general seria0

%onde n describe todos los modos de pandeo, pero generalmente se toma n = 2, resultando la fórmula0

,.3. LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER na columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es m!s fle'ible. )omo la resistencia a la fle'ión varia con el momento de inercia, el valor de l en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al e$e principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La fórmula de Euler tambi/n demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende dc la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo el!stico. Por este motivo. %os barras de id/nticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandear!n ba$o la misma carga crítica, ya que, aunque sus resistencias son muy diferentes tienen pr!cticamente el mismo módulo el!stico. *sí, pues, para aumentar la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo m!s posible el momento dc inercia de la sección. Para un !rea dada, el material debe distribuirse tan le$os como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los e$es principales sean iguales, o lo m!s parecidos posible. &:ecu/rdese el e$emplo cl!sico de la columna ueca de sección circular.(

.2


Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe e'ceder al límite de proporcionalidad. Para determinar este esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia &por *r6, donde * es el !rea dc la sección recta y r el radio de giro mínimoK. Para el caso fundamental se tiene0

El valor PH* es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y se llama esfuerzo crítico. 1u límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad. La relación LHr se llama esbeltez mec!nica, o simplemente esbeltez, de la columna. )omo una columna cargada a'ialmente tiende a pandearse respecto del e$e + mínimo, para allar la esbeltez de una columna se divide la longitud equivalente o efectiva entre el radio de giro mínimo de la sección recta. Por conveniencia, se definen como columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula de Euler. La esbeltez mínima, que fi$a el límite inferior de aplicación de La fórmula dc Euler, se obtiene sustituyendo en la ecuación los valores conocidos de límite de proporcionalidad y del módulo el!stico de cada material. *sí, pues, el límite mínimo de La esbeltez varía con el material y tambi/n con los diferentes tipos dentro de cada material.

5igura B0 El esfuerzo crítico o admisible es representado por la línea continua. La parte punteada de la curva de Euler no es aplicable.

.3


Por deba$o de este valor, como se indica en la figura B, en la parte punteada de La curva de Euler el esfuerzo que daría la carga de Euler e'cederla al límite de proporcionalidad, por Lo que para LHr  233 la fórmula de Euler no es aplicable, y ay que considerar corno esfuerzo crítico el Mimite de proporcionalidad. La curva muestra tambi/n que el esfuerzo critico en una columna disminuye r!pidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que, al proyectar una pieza de este tipo, conviene que la esbeltez sea la menor posible. 5inalmente se debe observar que la fórmula de Euler da la carga crítica y no la carga de traba$o. Por ello es preciso dividir la carga crítica entre el correspondiente factor de seguridad, que suele ser de 6 a 4 seg#n el material y las circunstancias, para obtener el valor de la carga admisible.

V.

COLUMNAS DE LONGITUD INTERMEDIA FORMULAS EMPÍRICAS

Lo visto anteriormente es aplicable para columnas del cual la esbeltez mec!nica sea mayor que el valor para el que el esfuerzo medio alcance el límite de proporcionalidad. * continuación, veremos un gr!fico para ver la zona de las columnas intermedios en relación a las columnas largas y cortas 1e an desarrollado mucas fórmulas empíricas para las columnas intermedias de acero, por ser un material muy empleado en las estructuras. 1e e'aminan en primer lugar, y luego se ver! la aplicación a otros materiales. En uno de los m/todos propuestos el de la teoría del doble módulo- se generaliza la aplicación de la fórmula de Euler a las columnas intermedias, con esfuerzos sobre el límite de proporcionalidad, sustituyendo el módulo el!stico constante E por un módulo reducido E, es decir,

./


El módulo reducido E, que tambi/n se llama módulo de tangente o tangencial, es la pendiente de la tangente al diagrama de esfuerzoAdeformación en el punto que corresponde al esfuerzo medio en la columna. Esta fórmula proporciona una curva que empalma las dos gr!ficas representativas dc las columnas cortas y largas. *unque este m/todo es empírico, ya que la fórmula de Euler se basa en la proporcionalidad esfuerzoAdeformación, los ensayos reales demuestran una gran concordancia con la curva teórica.

.1. OTROS MTODOS PARA COLUMNAS INTERMEDIAS .1.1 M+#"# "e T.5. J#7n(#n Este m/todo consiste en a$ustar una recta a los valores medios de la serie de numerosos ensayos graficando los valores de PH* así poder encontrar el valor de rotura por pandeo, generando una ecuación de la siguiente forma0

En donde σ es el valor para LHr = 3 *sí Te+&'e) 8 B'%(7in*e) ensayaron en acero estructural encontrando la e'presión0 P L =330−1.45 A r

P L =110 −0.483 A r

*fectado con un factor de seguridad de 4

.6


.1.2. M+#"# "e R'n?ineG#)"#n. Nordon sugirió una fórmula empírica para los elementos comprimidos basada en datos e'perimentales. :an8ine modificó la fórmula de Nordon. La demostración siguiente desarrolla el razonamiento para esta fórmula. 2

π EI

P=¿ L

2

¿

5E = )arga crítica de Euler y se aplica a los puntales 5 =Oltima carga compresiva = &Q*( y se aplica a las columnas.  = #ltima tensión de compresión. * = !rea de la sección. :an8ine sugirió que una columna cargada falla en su parte intermedia debido a la compresión y al pandeo en m!s o menos grados. %e acuerdo con datos e'perimentales, se encuentra que una predicción razonable de la carga crítica es dada por la fórmula siguiente. F R=

1

+

1

F E F U

Jue arregl!ndola queda

F R=

F E + F U F E + F U

F R=¿

.4

)arga crítica de :an8ine


1abemos que0 2

π EI

F E=¿ L

F U =σ U A

2

¿

Entonces0 2

F R=

σ u A π EA 2

[( ) ] 2

L π EA + σ U A 2 r L r

%e esta manera aciendo acomodos0 P =¿σ A 1+ u

( ) 2

∅

¿

L r

%onde la forma muy utilizada de esta e'presión, que se a llamado :an8ineA Nordon, es0 P 124 =¿ A 1+

18∗10

( ) 2

1 3

L r

¿

%onde detallaremos a continuación un gr!fico de comparación entre Euler y :an8ine.

.5


Gra
.1.3. M+#"# "e R#(B)%nne) El m/todo :osArunner &2R6B( es el utilizado como base de c!lculo del m/todo que se utiliza en el presente proyecto de >Spplein. Es una base estructural a la que >Spplein le incorporó el an!lisis t/rmico. La base de c!lculo es la misma que el anterior sobre la carga crítica de Euler, pero en sus c!lculos tiene en cuenta adem!s la e'centricidad. Tsta tiene en cuenta la provocada por la desviación entre la pared interna y e'terna de la columna y adem!s la e'centricidad del centro de la columna respecto a los e'tremos &pandeo inicial(. * partir de aí elaboró una serie de gr!ficos adimensionales para el c!lculo de las columnas.

,-


La figura anterior muestra un e$emplo de uno de los gr!ficos de :osArunner. Uienen en cuenta los siguientes par!metros0 2. la relación entre el espesor de la columna y su di!metro e'terior. El e$emplo de la figura anterior tmHda= 3.2 6. la esbeltez reducida

γ´ =

√

γ R D π E 0 donde los par!metro son0

γ´ =¿ esbeltez mec!nica de la columna y se calcula mediante la

a(

fórmula0 γ´ =

b(

R D

L i %onde L es la longitud física de la columna e i &radio de giro(

es la capacidad #ltima a compresión del material.

c( E0 es el módulo de elasticidad del material. 4. 8r es el valor de la tensión admisible, es el valor que buscamos a partir de :% teniendo en cuenta las disminuciones por esbeltez reducida y por e'centricidades referidas. . m es el valor de la e'centricidad referida de la columna. 1e calcula mediante la siguiente e'presión0

m =

K E donde

1=¿

De + Di 2

−t siendo D e y Di

1+¿ e2 y e¿

el di!metro e'terior e

e = e¿

interior respectivamente y t min el espesor mínimo de la sección; y e6 es la desviación de la pared e'terior de la columna en su longitud media respecto a los e'tremos. &Puede interpretarse como pandeo inicial( m=

K E

%onde V es el módulo resistente de la sección y * es

el !rea de la sección. 1abiendo que el módulo resistente es igual al momento de inercia dividido por el radio, la fórmula anterior queda simplificada a la siguiente e'presión

,.


k ¿

De + D i 2

2

De

.1.,. M+#"# "e De('))#$$# "e$ !&/%+# ' /')+i) "e //$ein 91<= La base de la prueba de cómputo de la capacidad de carga de las columnas de fundición a temperatura ambiente se basa en la teoría a partir de :osH runner &2R6B(. Para su uso pr!ctico se desarrolló un diagrama adimensional de la capacidad de tensión portante. Para poder utilizar el procedimiento a partir de :osH runner, es necesario conocer la curva tensiónAdeformación. La capacidad de carga a temperatura ambiente ser! proporcional a temperaturas m!s altas. +gualmente, los coeficientes relativamente altos de una aleación de fundición gris van acompañado a la temperatura ambiente tambi/n de rigideces superiores en temperaturas altas.
,,


(ig0 57 gra
.1.. M+#"# "e F!)&%$' "e T)e"*#$" Es una de las m!s antiguas. 1e la conoce desde 2CCB. 5ue adoptada por Nordon para representar los resultados e'perimentales de 7odg8inson, si bien posteriormente fue modificada por :an8ine. La tensión media compresora  admitida, seg#n este autor, deber! ser0 σ u =

a 2

1 + b . γ

1iendo a y b dos constantes, función del material utilizado. El +nstituto *mericano para la )onstrucción en *cero en 2R6C la e'presó así0

,1

&NIVER#I'A' CIENTÍ(ICA 'EL )ER* + (AC<A' 'E CIENCIA# E INGENIERÍA 18.000

γ > 60,

σ u

=

1+

x

libras / ul!adas

2

2

18.000

γ > 60, σ u=15.000 libras / ul!adas

2

.1.4. M+#"# "e F!)&%$' "e O(+enfe$" %ata de 2CRC. La 5atiga )rítica para el acero de construcción, seg#n este autor, se e'presa así0 2

σ UR =2.650 −0.09 . γ k! / "m

2

Esta par!bola es tangente a la curva de Euler en W = 266,@ y da lugar a σ #R =2.650 k! / "m

2

Los coeficientes de seguridad a adoptar, seg#n "stenfeld, se sit#an entre 6.@ y 4

.1.. F!)&%$' "e $' A(#i'i!n A&e)i'n' "e In*enie)#( "e Fe))#'))i$e( En este caso, las fórmulas se refieren a la 5atiga admitida .

.1.<. F!)&%$' "e$ C#$%&n Re(e')7 C#%ni$ 9CRC=

,2


*plicable solamente para barras y columnas de acero. En todo lo que sigue, ): representa el valor límite o I)ríticoI de la tensión media PH*. 1 define a0

que, seg#n esta organización, fi$a el límite entre el pandeo el!stico e inel!stico. 1eg#n el valor de W de la columna de acero se aplicar!0

.1. F#)&%$' De$ S+)%+%)'$ S+'6i$i+8 Re(e')7 C#%ni$ 9SSRC= Este organismo propuso en 2RDB, como consecuencia de sus resultados e'perimentales, un con$unto de fórmulas distintas, seg#n material, tipo de perfil y proceso de fabricación. %e entre todas ellas, la m!s utilizada para construcciones de acero es la denominada nX 6.

%efiniendo a

,3

se aplican las siguientes reglas0


.1.1@ M+#"# AISC. El *+1)K &*merican +nstitute of 1teel )onstruction( define el límite entre columnas intermedias y largas como el valor de la relación de esbeltez )c dado por # " =

√

2

2 π E

σ P#

%onde E es el módulo de elasticidad &633 NPa para la mayoría de los tipos de acero( y σ P#

es el esfuerzo en el pun lo de cedencia para el tipo particular de

acero empleado. Para columnas dc longitud efectiva L, y radio dc giro mínimo r, cl *+1) especifica que para LHrF)c, el esfuerzo de traba$o σ $ , est! dado por 2

σ $ =

12 π E 23

( )

L e 2 ❑ r

&Gótese que /sta es la fórmula de Euler con un factor de seguridad de 64H26 =2.R6.( Para LeHr  )r, el *+1) especifica la fórmula parabólica donde el factor de seguridad, 51, est! dado por0 3

Le Le 3( ) ( ) r r 5 F%= + − 3 3 8 # # 8 # #

,/


"bs/rvese que el factor de seguridad es 2 .R6 cuando LeHr = c y disminuye al aumentar la relación de esbeltez. La

σ $

variación de con LeHr para diferentes

tipos

de

acero

se

muestra.

,6


VI.

(igura .-7 Es"uer=o de traba?o %ara columnas @es%eci
COLUMNAS CARGADAS E-CENTRICAMENTE Las columnas se suelen diseñar para soportar cargas a'iales, y las fórmulas que se an e'puesto lo an sido con este criterio. 1in embargo, en ocasiones las columnas pueden estar sometidas a cargas con una determinada e'centricidad, por e$emplo, cuando se remaca una viga al ala de una columna en la estructura de un edificio. La fórmula de la secante que se estudia lo veremos a continuación es especialmente adecuada para tales casos, pero su aplicación num/rica es tan engorrosa que suele emplearse con frecuencia el procedimiento simplificado que se indica a continuación 1e estudia la columna e'c/ntricamente cargada como si fuera, en lo que se refiere a los esfuerzos, un elemento )orto cargado e'c/ntricamente. Pero para eliminar la posibilidad del pandeo, de manera que pueda despreciarse el efecto de la fle'ión en el brazo de momento de la fuerza o carga e'c/ntrica, se limita el esfuerzo m!'imo

,4


de compresión a la carga unitaria calculada con una cualquiera de las fórmulas e'puestas en las secciones anteriores. *plicando este procedimiento a la columna, que soporta una carga a'ial

P0

y una carga P con e'centricidad e, el criterio de

dimensionado debe ser0 σ&

∑ A P

+

M # L

=

P0 + P P e A

+

%

En donde  es la carga unitaria de seguridad, calculada por una de las fórmulas dadas de las columnas &tomando como radio de giro para la determinación de la esbeltez siempre el menor, aunque la e'centricidad no sea en esa dirección(, l momento de inercia correspondiente al e$e con respecto al que se produce la fle'ión &e$e YAY en la 5ig. 22( y 1 el módulo resistente respecto del mismo e$e. Los modernos criterios de diseño an refinado el planteamiento de m!'imo esfuerzo para incluir los momentos, llamados secundarios, que se introducen debido a la defle'ión del e$e neutro &el llamado efecto PAZ(. Estos efectos toman la forma, muy frecuentemente, de ecuaciones de interacción, que intentan sopesar la importancia relativa del esfuerzo a'ial y del esfuerzo por fle'ión.

,5


P

4.1. L' f!)&%$' "e $' Se'n+e La fórmula de Euler fue deducida suponiendo que la carga P siempre se aplica pasando por el centroide del !rea transversal de la columna, y que columna es perfectamente recta. En realidad, esto no es realista, ya que las columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni la aplicación de la carga se conoce con gran e'actitud. Entonces, en realidad las columnas nunca se pandean de repente; m!s bien comienza a

doblarse, aunque

siempre en

forma

muy insignificante,

inmediatamente despu/s de aplicarla carga. El resultado es que el criterio real para aplicación de la carga se limita ya sea a una defle'ión especificada de la columna, o no permitiendo que el esfuerzo m!'imo en la columna rebase un valor admisible. Para estudiar este efecto aplicaremos la carga P a la columna, a una corta distancia e'c/ntrica e del centroide de la sección transversal. Esta carga en la columna es equivalente. Est!ticamente a la carga a'ial P y a un momento de fle'ión
1-


)omo se ve, en ambos casos los e'tremos * y  est!n soportados de modo que son libres de girar &est!n articulados(. )omo antes, sólo se considerar!n pendientes y defle'iones pequeñas, y que el comportamiento del material es el!stico lineal. *dem!s, que el plano 'Av es plano de simetría para el !rea transversal. %e acuerdo con el diagrama de cuerpo Libre de la sección arbitraria, el momento interno en la columna es <= AP&e[v(

1e puede considerar que estas columnas de madera est!n articuladas en su base y empotradas en las vigas en sus e'tremos superiores. La fle'ión de las vigas ar! que las columnas est/n cargadas e'c/ntricamente En consecuencia la defle'ión es 2

d ' EI 2 =− P ( e + ' ) dx

%e la ecuación diferencial de 6do grado resolvemos y tenemos0

1.


:esolviendo obtenemos que la curva de defle'ión de la siguiente manera0

%ebido a la simetría cuando '= LH6 obtenemos el valor m!'imo.

El esfuerzo m!'imo se puede allar al tener en cuenta que se debe tanto a la carga a'ial como al momento. El momento m!'imo est! en el centro de la columna

El esfuerzo m!'imo es de compresión y su valor es

1,


)omo el radio de

giro es

de esto podemos de la secante0

deducir la fórmula

2

r=

I y A

VII. PREDIMENSIONADO DE COLUMNAS A. C#$%&n' "e &'"e)' Las columnas de madera pueden ser de varios tipos0 maciza, ensamblada, compuesta y laminadas unidas con pegamento. %e este tipo de columnas la maciza es la m!s empleada, las dem!s son formadas por varios elementos.

M+#"# /')' /)e"i&en(i#n') #$%&n' "e &'"e)' La ecuación de an!lisis se realiza seg#n los esfuerzos y se e'presa de forma simple tal como lo indica la Ecuación 4 9P')?e) 8 A&6)#(e 1=.

%onde ( a=es(uer)ode traba*o axial (

11

P a= A

&NIVER#I'A' CIENTÍ(ICA 'EL )ER* + (AC<A' 'E CIENCIA# E INGENIERÍA # ∗¿ # P a=¿ F ¿ F a =es(uer)oadmisble a "omresi+n F ¿

( b=es(uer)odetraba*o a(lexi+n (

b=

m s

( b=es(uer)odetraba*o a(lexi+n

( "=es(uer)o admisible ara"omrensi+n aralelaa beta

#  =(a"torde estabilidad de"olumnasse!un # =m−√ m + n 2

%onde0

F "e = Es(uer)o de andeo de Euler se!un e"ua"i+n5

12

&NIVER#I'A' CIENTÍ(ICA 'EL )ER* + (AC<A' 'E CIENCIA# E INGENIERÍA " =0.8 maderaaserrada , 0.85 se""iones"ir"ulares - 0.9, maderalaminadaunida "on e!amento

F "e

.

K "E E

()

2

L d

%onde0 K "E =0.3 madera "lasi(i"ada , 0.418, madera unida"on* e!amento E= m+dulo de elasti"iad L=lon!itud sin arriostar d = menor dimensi+n de la se""i+ntrans'ersal

B. C#$%&n' "e 'e)# El diseño de las columnas de acero se basa en la desigualdad de la ecuación del diseño por estados límites y se presenta en la forma indicada en la Ecuación B. La esencia de la ecuación es que la suma de los efectos de las cargas divididas entre la resistencia minorada debe ser menor o igual a la unidad 9Se*%i 2@@@=. γ i i

∑ ∅ R

/1

n

%onde0 γ i i=¿ %uma delos e(e"tosde las "ar!as -

∑¿

R n= Resisten"ia disminuida dela"olumna.

∅

13


Sei!n "e $' #$%&n' La resistencia correspondiente a cualquier modo de pandeo no puede desarrollarse si los elementos de la sección transversal son tan delgados que se presenta un pandeo local. Por lo tanto, e'iste una clasificación de las secciones transversales seg#n los valores límite de las razones ancoAespesor y se clasifican como compactas, no compactas o esbeltas. En general, dentro de los límites de los m!rgenes disponibles y teniendo en cuenta las limitaciones por espesor, el diseñador usa una sección con el radio de giro m!s grande posible, reduciendo así la relación de esbeltez e incrementando el esfuerzo crítico.

9G'$'&6#( Lin 8 J#7n(+#n 1; Se*%i 2@@@=

M+#"# /')' /)e"i&en(i#n') $' #$%&n' "e 'e)# Para perfiles que no se encuentren en las tablas de cargas para columnas debe usarse un procedimiento de tanteos. El procedimiento general es suponer un perfil y luego calcular su resistencia de diseño. 1i la resistencia es muy pequeña &insegura( o demasiado grande &antieconómica(, deber! acerse otro tanteo. n enfoque sistem!tico para acer la selección de tanteo es como sigue0 • • •

1eleccione un perfil de tanteo. )alcule 5cr y \cPn para el perfil de tanteo. :evíselo con la fórmula de interacción &v/ase Ecuación (, si la resistencia de diseño es muy cercana al valor requerido puede ensayarse el siguiente tamaño tabulado. %e otra manera, repita todo el procedimiento. 9Se*%i

2@@@=.

1/


%onde0 u=¿ #ar!a axial de"omresi+nmayorada ( ¿ Pn=#ar!aaxial de andeo,

Pn= ∅" F "r A

∅n

u=¿ Momento (le"tor mayorado M ¿ n =¿ Momento (le"tor resistente - ∅b M n=∅b F y 0 M ¿ F y = Es(uer)o de"eden"ia dela"ero " =¿ Es(uer)o"r1ti"o de andeo F ¿

2 3 Fa"tores de minora"i+n ,

∅"

=0.85, ∅b=0.90

C. C#$%&n' "e #n)e+# ')&'"# Las columnas de concreto armado pueden ser de tres tipos que son0  Elemento reforzado con barras longitudinales y zuncos &v/ase 5igura B.a(,  elementos reforzados con barras longitudinales y estribos &v/ase 5igura B.b(,

16


 elementos reforzados con tubos de acero estructural, con o sin barras longitudinales, adem!s de diferentes tipos de refuerzo transversal &v/ase 5igura B.c(. Para las columnas de concreto armado, la cuantía de acero oscila entre 2 y C] con un mínimo de  barras longitudinales 9Ni$(#n 8 Hin+e) 1,=.

VIII.

TIPOS DE COLUMNAS

Las columnas de concreto se presentan, con mayor frecuencia, como elementos verticales de apoyo en una estructura eca generalmente de concreto colado en sitio. Las columnas tambi/n se presentan como elementos precoladas. Las columnas muy cortas, llamadas pedestales, se utilizan en ocasiones en el sistema de apoyo para columnas u otras estructuras. El pedestal com#n se analiza como un dispositivo de cimentación de transición. Los muros que sirven como apoyos verticales sometidos a compresión, muros de carga. La columna de concreta colada en sitio se encuentra por lo com#n dentro de una de las siguientes categorías0 2. )olumnas cuadradas con refuerzo zuncado. 6. )olumnas oblongas con refuerzo zuncado.

14


4. . @. B.

)olumnas redondas con refuerzo zuncado. )olumnas redondas con refuerzo en espiral. )olumnas cuadradas con refuerzo en espiral. )olumnas con otras formas geom/tricas &perfil L o U, octagonales, etc.( con refuerzo zuncado o en espiral.

"bviamente, la selección de la forma de la sección transversal de la columna es una decisión arquitectónica, lo mismo que estructural. 1in embargo, tambi/n abr! que considerar los m/todos y los costos de la cimbra, la disposición y la instalación del refuerzo y las relaciones de la forma y las dimensiones de la columna con otros componentes del sistema estructural. En las columnas zuncadas, el refuerzo longitudinal se mantiene en su lugar mediante zuncos cerrados ecos con varillas de refuerzo de di!metro pequeño, com#nmente del Go. 4 o Go. . Esta columna est! representada por la sección cuadrada que se muestra en la figura C.2 a. Este tipo de refuerzos se puede adaptar con facilidad a otras formas geom/tricas, lo mismo que a la cuadrada.

I-.

15

TIPOS DE FALLAS EN COLUMNAS


a( 5alla fr!gil de cortante y tensión diagonal en columnas o en vigas Es muy importante que las edificaciones cuenten con una capacidad de deformación suficiente para soportar adecuadamente la solicitación sísmica sin desmeritar, obviamente, su resistencia. )uando la respuesta sísmica de la edificación es d#ctil, se presentan elevadas deformaciones en compresión debidas a efectos combinados de fuerza a'ial y momento

flector. Efecto combinado de carga a'ial y momento fle'ionante sobre columna sin y con esfuerzo transversal. )on sólo colocar refuerzos transversales estrecamente separado y bien detallado en la región de la rótula pl!stica potencial, puede evitarse que el concreto se astille seguido del pandeo por inestabilidad del refuerzo a compresión. Esto implica el detallado de las secciones para evitar una falla fr!gil y proporcionar suficiente ductilidad. 1e ilustran el colapso de columnas de planta ba$a indebido al deficiente confinamiento del n#cleo de concreto en su base. 1e pude apreciar como el concreto, ante la falta de confinamiento por estribos, se desconca al abrirse /stos seguidos del pandeo lateral del refuerzo longitudinal. Este tipo de falla se origina debido a la gran concentración de refuerzos que se producen precisamente en los e'tremos de las columnas por las elevadas acciones internas como son una carga a'ial, fuerza cortante y momento flector, causadas por las fuerzas sísmicas.

2-


b( 5alla por aderencia del bloque de unión en las cone'iones vigaAcolumna debida al deslizamiento de las varillas ancladas o a falla de cortante. )on frecuencia, las cone'iones entre los distintos elementos estructurales se presentan elevadas concentraciones y comple$as condiciones de refuerzos,

mismos que an conducido a distintos y numerosos casos de falla especialmente en las uniones entre muros y losas de estructuras a base de paneles, entre vigas y columnas en estructuras de marcos, entre columnas y losas planas, y entre columnas y cimentaciones. En la figura se muestra una falla por desconcamiento del concreto debido a un ancla$e defectuoso entre viga y columna.

2.


La falla de una cone'ión vigaAcolumna debida a la escasez del ancla$e del refuerzo de la columna en su unión con el sistema de puso se ilustra en la figura

2,


c( 5alla en columnas de pisos superiores por la amplificación de los desplazamientos en la c#spide de los edificios. *l propagarse las vibraciones inducidas por el sismo desde la base asta la c#spide de los edificios, se presentan amplificaciones de la vibración a lo largo de su altura, que se acent#an en sus niveles superiores, principalmente en edificios altos, lo que conduce a una elevada concentración de acciones de acciones internas que provocan el colapso de una parte del edificio a partir de determinada altura.

21


5alla fr!gil de cortante en columnas acortadas por el efecto restrictivo al desplazamiento acusado por elementos no estructurales La intersección entre elementos no estructurales, tales como muros divisorios de mampostería, y las columnas de marcos de concreto, provoca concentraciones de fuerza cortante en los e'tremos libres de las columnas, mismas que tienden a fallar fr!gilmente por cortante. La figura ilustra la forma en que los muros divisorios adosados a la columna restringen a /sta asta donde llega la altura de ellos. Esto conduce a que la porción libre de la columna a /sta donde llega la altura de ellos. Esto conduce a que la porción libre de la columna adquiera muca mayor rigidez en comparación de las dem!s columnas del mismo piso, que no est!n confinadas ni restringidas, en ninguno de sus lados, por elementos no estructurales, gener!ndose así elevados esfuerzos de corte en la columna corta dando lugar a consecuencias desastrosas.

22


-.

23

EJERCICIOS DE APRENDISAJE


2/


26


24

Teoria de Columnas

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