Comportamiento Estructural de Columnas

2014 DEPTO. DE ING. CIVIL BLOQUE DE ESTRUCTURAS

COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL Y DISEÑO DE COLUMNAS DE CONCRETO REFORZADO

Dagoberto Lopez Lopez itson 01/09/2014

itson | Confidencial

COLUMNAS Las columnas son elementos estructurales principales que tiene la función de soportar y transmitir la carga de los entrepisos hacia la cimentación. Por lo regular son verticales y soportan carga axial de compresión, flexión y cortante.

Columna

Las columnas se clasifican en: a. Por su forma:  Triangulares  Cuadradas  Rectangulares  Circulares  Ovaladas  Irregulares

TRIANGULAR

CUADRADA

RECTANGULAR

CIRCULAR

OVALADA

Fig. 1 Clasificación de columnas según su forma

IRREGULAR

b. Por la distribución del acero de refuerzo longitudinal  Refuerzo en las esquinas  Refuerzo en dos caras paralelas al eje neutro ( Tipo E )  Refuerzo en dos caras perpendiculares al eje neutro ( Tipo L )  Refuerzo en 4 caras ( Tipo R )  Refuerzo circular ( Tipo C )  Columnas compuestas.

x

DOS CARAS (TIPO E)

x

DOS CARAS (TIPO L)

x

CUATRO CARAS (TIPO R)

CIRCULAR (TIPO C)

Fig. 2 Clasificación de columnas según la distribución del refuerzo longitudinal

Fig.3 Columnas compuestas

c. Por el tipo de refuerzo transversal  Con estribos. Comportamiento frágil.  Con refuerzo helicoidal, sunchos o espirales. Comportamiento dúctil

Fig.4 Columnas con estribos y con refuerzo helicoidal

El comportamiento estructural de columnas reforzadas con estribos difiere en mucho del comportamiento de columnas reforzadas con espirales. Si graficamos la carga axial resistente contra las deformaciones de la columna, se tiene el siguiente comportamiento:

Fig.5 Comportamiento de columnas con estribos y con refuerzo helicoidal

De la gráfica anterior se observa que: 1. Las columnas reforzadas con espirales presentan una ductilidad (Capacidad de deformación) antes de alcanzar la falla. 2. La ductilidad para este tipo columnas se debe al confinamiento que proporciona el acero helicoidal. 3. Después de que se desprende el recubrimiento, el núcleo de concreto confinado por la tensión desarrollada en el refuerzo helicoidal, logra desarrollar una resistencia mayor que la inicialmente alcanzada.

4. Este tipo de refuerzo en columnas se recomienda en zonas de alta sismicidad, donde el concepto de ductilidad cobra gran importancia. d. Por su esbeltez:  Cortas (kl/r <=22). Fallan por compresión. Es suficiente un análisis de primer orden.  Esbeltas (kl/r>22). Fallan por pandeo. Se requiere análisis de 2do orden ó determinación de momentos amplificados.

Fig.6 Efecto de segundo orden en columnas esbeltas e. Por el tipo de cargas que soportan:  Carga Concéntricas. Columnas centrales.  Flexo- compresión uniaxial. Columnas de lindero.  Flexo-compresión biaxial. Columnas de esquina.

Columna Central Compresión pura

Columna de lindero Flexo-Compresión uniaxial

Columna de esquina Flexo-Compresión biaxial

Fig.7 Áreas tributarias sobre columnas.

COLUMNAS CARGADAS CONCENTRICAMENTE COMPRESIÓN PURA Consideremos una columna de concreto sujeta a carga axial concentrada P

Po

Sección transversal

0.85 f ' c( Ag  As )

As f y P

Elevación Fig.7 Columna sometida a compresión pura.

   Fy  0 Po  0.85 f ' c( Ag  As )  As f y Esta ecuación nos permite determinar la carga axial resistente en una columna cargada concéntricamente en función de sus propiedades geométricas (b, h, As) y mecánicas (f´c, fy). En la práctica es muy improbable que la carga que actúe sobre una columna sea concéntrica. Siempre existe la posibilidad de tener excentricidades debido a: a. Errores en el proceso constructivo (Trazo de ejes, desplomes) b. Distribución de cargas no uniformes sobre los tableros de losa. El reglamento ACI-318 propone limitar la capacidad de resistir carga axial de las columnas para cubrir los efectos anteriormente señalados: 1. Si la columna está reforzada con estribos. Po  0.80Po Po  0.80 [0.85 f ' c( Ag  As )  As f y ] 2. Si la columna está reforzada con espirales. Po  0.85Po Po  0.85 [0.85 f ' c( Ag  As )  As f y ]

TESIÓN PURA Como el concreto no soporta tensiones, se desprecia su capacidad a tensión y la fuerza de tensión solo es soportada por el acero de refuerzo. P

P

Sección transversal P

As f y Elevación

Fig.8 Columna sometida a tensión pura.

   Fy  0 Po  As f y

COLUMNAS CARGADAS A FLEXO-COMPRESIÓN UNIAXIAL. h d d´

c

b

Perfil de deformaciones

As2

As1 e

Pn

Cc T

Perfil de esfuerzos

Fig.9 Columna sometida a flexo-compresión uniaxial

Cs

Equilibrio:

   Fy  0 Pn  Cc  Cs  T Pn  0.85 f 'c ab  A's f 's  As f s

  M c. p .  0   a     M n  Cc  x   C s  x d '   T  d  x  2         a     M n  0.85 f 'c ab x    A's f 's  x  d '   As f s  d  x       2

Ecuaciones de compatibilidad:

 cu

 cu

 s2

c c d

 s1

 cu



 s1

d c d c  s1   cu c d c f s1  E s  cu c d  c   f s1  6300   fy  c  c

 cu



 s2

c  d' c  d'  s 2   cu c c  d' f s1  E s  cu c c  d '   f ' s  6300   fy  c  c

d’

DIAGRAMAS DE INTERACCION La resistencia de una columna básicamente depende de:     

La forma de la sección transversal. (cuadrada, rectangular, circular, etc) Las dimensiones de la sección transversal (base, altura, recubrimiento) La cantidad de refuerzo (  ) La resistencia de los materiales (f’c, fy) La excentricidad con que se aplique la carga ( e  M n Pn )

Si definimos las propiedades geométricas y mecánicas de una columna, así como la cantidad de refuerzo. Se puede demostrar que existe un número infinito de combinaciones de carga axial y momento flexionante que producen la falla sobre la misma; una para cada valor de la excentricidad e o equivalentemente una para cada posición del eje neutro c. Si representáramos gráficamente el lugar geométrico que definen este conjunto de valores, estaremos construyendo lo que se denomina el diagrama de interacción para esa columna específica. Compresión Pura

Pn Punto Genérico

A( Pn ,0) Falla Balanceada

E ( Pn , M n )

Falla de Compresión

Pn

Compresión

D( Pnb , M n b )

1e Mn

C (0, M n ) Tensión

Flexión Pura

B(Tn ,0) Tensión Pura Fig. 1 Diagrama de Interacción para una columna típica.

Falla de tensión

Mn

Punto A. Compresión Pura. La resistencia de la columna viene dada por las ecuaciones deducidas para compresión Pura. [1] Pn  0.85 f ' c( Ag  As )  As f y Donde: Pn  Carga Axial resistente de la columna f ' c  Resistencia a compresión del concreto Ag  Área general de la sección Transversal

As  Área de Acero f y  Esfuerzo de fluencia del acero Punto B. Tensión Pura. Cuando la columna se somete a tensión, se considera que el concreto no tiene ninguna capacidad de resistir tensiones por lo que el acero tendrá que soportar la fuerza de tensión total. [2] Tn  As f y Punto C. Flexión Pura. (Comportamiento de Viga) El momento nominal resistente puede ser calculado a partir de las ecuaciones estudiadas en el tema de vigas sujetas a flexión, pero de manera mas genérica puede ser evaluado a partir del proceso general definido en el último paso (Punto E). Punto D. Falla balanceada. Esta condición corresponde al caso en que el acero alcanza la fluencia al mismo tiempo que el concreto su compresión máxima. Puede ser deducida al igual que el caso anterior con las ecs. de vigas sometidas a flexión, pero también será evaluado a través del proceso general que se desarrolla enseguida. Punto E. Punto Genérico. El punto E representa la resistencia ( Pn , M n ) que presenta una columna para una excentricidad dada. Esta resistencia puede ser evaluada a partir de las ecuaciones deducidas en el tema de Flexo-compresión. El procedimiento genérico es el siguiente: 1. Suponga un valor para la profundidad del eje neutro ( c ). 2. Determine la profundidad del bloque de esfuerzos ( a ). [3] a   1c Donde: 1  Factor de reducción de resistencia 1  0.85 Si f ' c  280 Kg / cm 2 1  1.05(1  f ' c / 1400) Si 280 Kg / cm 2  f ' c  560 Kg / cm 2 1  0.65 Si f ' c  560 Kg / cm 2

1 0.85

0.65

280 560 Fig. 2 Factor de reducción de resistencia  1 .

3. Determine el nivel de esfuerzo en cada línea de refuerzo. d c f s  6300   fy  c   c  d'  f ' s  6300   fy  c  4. Determine la fuerza de compresión en el concreto. Cc  0.85 f 'c ab

f 'c

[4] [5]

[6]

5. Determine la fuerza de Tensión o compresión en cada línea de acero, según sea el caso. [7] T  As f s

C s  A' s f ' s 6. Determine la resistencia de la columna. Pn  Cc  C s  T   a     M n  Cc  x   C s  x d '   T  d  x       2

[8] [9] [10]

b= h= d= d'=

30 60 56 4

f'c= fy= As1= As2=

200 4200 14.25 14.25

c

a

fs1

fs2

Cc

T

Cs

(cm)

(cm)

(Kg/cm2)

(Kg/cm2)

(Ton)

(Ton)

(Ton)

4 5 6.3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73

3.40 4.25 5.36 5.95 6.80 7.65 8.50 9.35 10.20 11.05 11.90 12.75 13.60 14.45 15.30 16.15 17.00 17.85 18.70 19.55 20.40 21.25 22.10 22.95 23.80 24.65 25.50 26.35 27.20 28.05 28.90 29.75 30.60 31.45 32.30 33.15 34.00 34.85 35.70 36.55 37.40 38.25 39.10 39.95 40.80 41.65 42.50 43.35 44.20 45.05 45.90 46.75 47.60 48.45 49.30 50.15 51.00 51.85 52.70 53.55 54.40 55.25 56.10 56.95 57.80 58.65 59.50 60.35 61.20 62.05

4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4009.09 3560.87 3150.00 2772.00 2423.08 2100.00 1800.00 1520.69 1260.00 1016.13 787.50 572.73 370.59 180.00 0.00 -170.27 -331.58 -484.62 -630.00 -768.29 -900.00 -1025.58 -1145.45 -1260.00 -1369.57 -1474.47 -1575.00 -1671.43 -1764.00 -1852.94 -1938.46 -2020.75 -2100.00 -2176.36 -2250.00 -2321.05 -2389.66 -2455.93 -2520.00 -2581.97 -2641.94 -2700.00 -2756.25 -2810.77 -2863.64 -2914.93 -2964.71 -3013.04 -3060.00 -3105.63 -3150.00 -3193.15

0.00 1260.00 2300.00 2700.00 3150.00 3500.00 3780.00 4009.09 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00 4200.00

17.34 21.68 27.31 30.35 34.68 39.02 43.35 47.69 52.02 56.36 60.69 65.03 69.36 73.70 78.03 82.37 86.70 91.04 95.37 99.71 104.04 108.38 112.71 117.05 121.38 125.72 130.05 134.39 138.72 143.06 147.39 151.73 156.06 160.40 164.73 169.07 173.40 177.74 182.07 186.41 190.74 195.08 199.41 203.75 208.08 212.42 216.75 221.09 225.42 229.76 234.09 238.43 242.76 247.10 251.43 255.77 260.10 264.44 268.77 273.11 277.44 281.78 286.11 290.45 294.78 299.12 303.45 307.79 312.12 316.46

59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 57.13 50.74 44.89 39.50 34.53 29.93 25.65 21.67 17.96 14.48 11.22 8.16 5.28 2.56 0.00 -2.43 -4.73 -6.91 -8.98 -10.95 -12.83 -14.61 -16.32 -17.96 -19.52 -21.01 -22.44 -23.82 -25.14 -26.40 -27.62 -28.80 -29.93 -31.01 -32.06 -33.08 -34.05 -35.00 -35.91 -36.79 -37.65 -38.48 -39.28 -40.05 -40.81 -41.54 -42.25 -42.94 -43.61 -44.26 -44.89 -45.50

0.00 17.96 32.78 38.48 44.89 49.88 53.87 57.13 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85 59.85

Pn (Ton) -119.7 -42.51 -20.22 0.24 8.97 19.72 29.04 37.37 44.96 52.02 56.36 60.69 65.03 69.36 73.70 78.03 82.37 86.70 91.04 98.09 108.81 119.00 128.72 138.03 146.97 155.58 163.90 171.95 179.76 187.35 194.74 201.96 209.01 215.91 222.67 229.31 235.82 242.23 248.53 254.75 260.87 266.91 272.88 278.78 284.61 290.37 296.08 301.74 307.34 312.89 318.40 323.87 329.29 334.67 340.02 345.33 350.61 355.86 361.08 366.27 371.43 376.57 381.68 386.77 391.83 396.88 401.90 406.91 411.89 416.86 421.81 420.855

Mn (Ton.m) 0 20.47 26.27 31.54 33.77 36.46 38.74 40.73 42.49 44.07 44.91 45.72 46.48 47.21 47.91 48.56 49.18 49.76 50.31 50.11 48.92 47.83 46.83 45.90 45.02 44.20 43.42 42.66 41.94 41.23 40.54 39.85 39.18 38.50 37.83 37.15 36.46 35.77 35.06 34.35 33.62 32.87 32.11 31.33 30.52 29.70 28.86 27.99 27.10 26.19 25.25 24.28 23.29 22.28 21.23 20.16 19.06 17.93 16.77 15.58 14.37 13.12 11.84 10.53 9.19 7.82 6.42 4.98 3.52 2.02 0.49 0

fPn (Ton) -83.79 -29.76 -14.15 0.16 6.28 13.80 20.33 26.16 31.48 36.41 39.45 42.48 45.52 48.55 51.59 54.62 57.66 60.69 63.72 68.66 76.17 83.30 90.11 96.62 102.88 108.91 114.73 120.36 125.83 131.14 136.32 141.37 146.31 151.14 155.87 160.51 165.07 169.56 173.97 178.32 182.61 186.84 191.02 195.14 199.22 203.26 207.26 211.22 215.14 219.03 222.88 226.71 230.50 234.27 238.01 241.73 245.43 249.10 250.41 250.41 250.41 250.41 250.41 250.41 250.41 250.41 250.41 250.41 250.41 250.41 250.41 0.00

fMn (Ton.m) 0.00 14.33 27.28 28.34 28.33 25.52 27.12 28.51 29.74 30.85 31.44 32.00 32.54 33.05 33.53 33.99 34.43 34.83 35.22 35.08 34.24 33.48 32.78 32.13 31.52 30.94 30.39 29.86 29.36 28.86 28.38 27.90 27.42 26.95 26.48 26.00 25.52 25.04 24.55 24.04 23.53 23.01 22.47 21.93 21.37 20.79 20.20 19.59 18.97 18.33 17.67 17.00 16.31 15.59 14.86 14.11 13.34 12.55 11.74 10.91 10.06 9.18 8.29 7.37 6.43 5.47 4.49 3.49 2.46 1.41 0.34 0.00

e cm -48.15 -192.77 17191.17 451.23 184.89 133.40 109.00 94.50 84.73 79.70 75.33 71.49 68.07 65.01 62.23 59.71 57.40 55.26 51.08 44.96 40.19 36.38 33.25 30.63 28.41 26.49 24.81 23.33 22.01 20.82 19.73 18.74 17.83 16.99 16.20 15.46 14.77 14.11 13.48 12.89 12.32 11.77 11.24 10.72 10.23 9.75 9.28 8.82 8.37 7.93 7.50 7.07 6.66 6.24 5.84 5.44 5.04 4.69 4.36 4.02 3.67 3.31 2.94 2.57 2.19 1.79 1.39 0.98 0.56 0.14

500

DIAGRAMA DE INTERACCION

Nominal

400

Diseño

300

Pn

200

100

0 0

10

20

30

-100

-200

Mn

40

50

60

FLEXO-COMPRESIÓN BIAXIAL. Esta es la condición de trabajo más común en columnas. Aquí además de carga axial existen momentos flexionantes alrededor de dos ejes principales de la sección transversal. y ex Pn  0 Mn x  Pn e y ° Mn y  Pn e x ey Pn x

DISEÑO DE COLUMNAS BAJO FLEXO-COMPRESION BIAXIAL METODO DE LA CARGA RECÍPROCA (BRESLER) El diagrama de interacción de una columna bajo flexo-compresión biaxial tiene a forma de la superficie S2, si se expresa en términos de las variables 1 / Pn , e x , e y  , (Ver fig. 1).

1 / Po

S2

S '2

A B

1 / Poy

C

1 / Po

1 / Pn

1 / P' n

1 / Pox ey

ex

ex ey Fig. 1. Diagrama de interacción para flexo-compresión biaxial, considerando las variables ( 1 / Po , e x , e y ).

El problema consiste en determinar la carga axial resistente Pn , la cual actúa con las excentricidades e x y e y , respectivamente. Se supone que Pn es igual a P ' n del plano S ' 2 , el cual queda definido por los puntos: A(e x , 0, 1 / P0 y )

[1]

B( 0, e y , 1 / P0x )

C ( 0,

0, 1 / P0 )

Nota. Cada punto en la superficie real se aproxima mediante un plano diferente, por consiguiente, la superficie total se aproxima utilizando un número infinito de planos. Punto A. Representa un punto ( P0 y , Mn y ) del diagrama de interacción en flexocompresión en una dirección (dirección y). Punto B. Representa un punto ( P0 x , Mnx ) del diagrama de interacción en flexocompresión en una dirección (dirección x). Punto C. Es un punto común a ambos diagramas y representa la resistencia a compresión pura. La ecuación del plano S ' 2 puede ser definido en términos de los tres puntos A, B y C. Haciendo el siguiente cambio de variable:

x  ex ,

y  ey ,

z  1 / Pn

[2]

La ecuación general del plano en un espacio tridimensional queda representada por:

Ax  By  Cz  D  0

[3]

Sustituyendo las coordenadas de los puntos A, B y C en la ec. [3]: Ae x

 0  C (1 / P0 y )  D  0

0

 Be y

 C (1 / P0 x )  D  0

0

 0

 C (1 / P0 )  D  0

Resolviendo el sistema de ecuaciones, para A,B, C y D.  1 P A   0  1 D  e x  P0 y   1 P B   0  1 D e y  P0 x 

[4]

[5]

c   P0 D

Sustituyendo las ecs. [5] en [3],

x D  e x

 P0  y   1  P  e y  0y 

  P0    1  P0 z  1  0   P0 x 

 D0

[6]

Dividiendo entre P0 y considerando las ecs.[1],  1 1  1 1 1 1          0 P  P P P P P 0 y 0 0 x 0 n 0    

[7]

Despejando Pn :

1 1 1 1    Pn P0 x P0 y P0

[8]

La ec. [8] representa la ecuación de diseño para columnas bajo flexo-compresión biaxial cuando se emplea el método de Bresler o método de la carga recíproca. Bresler encontró a través de ensayes experimentales que la ec. [8] da excelentes resultados con errores máximos de  1% . La ec. [8] es sencilla en su forma y las variables se determinan fácilmente, pero tiene el inconveniente que el método es mejor para revisión que para diseño. Las variables P0 x , P0 y y P0 se determinan directamente de los métodos ya establecidos bajo flexo-compresión uniaxial. La ec. [8] debe ser utilizada solamente cuando se cumpla la siguiente condición: Pn  0.1 f 'c Ag Para valores de la carga axial menores, se considera que rige mas el comportamiento de viga que de columna y el elemento debe ser diseñado como tal.

Ejemplo: Una columna de un edificio soporta los siguientes elementos mecánicos. M Dy  6 Ton  m M Dx  8 Ton  m N D  45 Ton

N L  21 Ton

M Lx  4 Ton  m

M Ly  3 Ton  m

N E  12 Ton

M Ex  12 Ton  m

M Ex  8 Ton  m

Determine aplicando el método de Bresler, las dimensiones de la sección y el refuerzo requerido. Detalle la sección con los armados longitudinal y transversal. Procedimiento: 1. Descomponga el problema original en sus partes componentes: y y y ex ex

P0 x

Pn °

P0 y

ey

ey x

1 Pn

y





x +

1 P0 x

+

P0 x -

1 P0 y

-

1 P0

2. Determine los elementos mecánicos últimos de diseño. Carga Axial: NU  1.2 N D  1.6 N L  1.2(45)  1.6(21)  87.60 Ton Rige!! NU  1.2 N D  1.0 N L  1.0 N E  1.2(45)  1.0(21)  1.0(12)  87.00 Ton NU  0.9 N D  1.0 N E  0.9(45)  1.0(12)  52.50 Ton Momento flexionante alrededor de x: M Ux  1.2 M Dx  1.6 M Lx  1.2(8)  1.6(4)  16.00 Ton  m M Ux  1.2 M Dx  1.0 M Lx  1.0 M Ex  1.2(8)  1.0(4)  1.0(12)  25.60 Ton  m Rige!! M Ux  0.9 M Dx  1.0 M Ex  0.9(8)  1.0(12)  19.20 Ton  m Momento flexionante alrededor de x: M Uy  1.2 M Dy  1.6 M Ly  1.2(6)  1.6(3)  12.00 Ton  m

M Uy  1.2 M Dy  1.0 M Ly  1.0 M Ey  1.2(6)  1.0(3)  1.0(8)  18.20 Ton  m Rige!! M Uy  0.9 M Dy  1.0 M Ey  0.9(6)  1.0(8)  13.40 Ton  m

3. Proponga: La dimensiones de la columna ( b, h ) El tipo de armado ( E, R , C ) La cantidad de refuerzo ( As, r ) El recubrimiento ( g ) La resistencia de los materiales (f’c, fy ) Primer tanteo: Proponiendo una columna de 30x40 cm Con armado en las cuatro caras (Tipo R) debido a que se requiere resistencia a flexión alrededor de los 2 ejes. 4 7 4

7

7 4 4 11

4 0

11 11 4 3 0 Enseguida se propone un área de acero que cumpla con los límites de refuerzo entre (1% y 8%) y el espaciamiento de varillas longitudinales (<= 15 cm) y entre ramas de estribos (<= 35 cm)

Proponiendo: As= 12 vars 5/8” = 12 (1.98) = 23.76 cm2  = As/bh = 23.76 / (30) (40) = 0.0198

Proponiendo un recubrimiento de 4 cm, nos lleva e tener: h = 2r + h  = (h - 2r) / h = [40 -2 (4)] / 40 = 0.80 Finalmente proponemos una resistencia para el concreto y acero de: f’c= 280 Kg/cm2 (4 Ksi) fy = 4200 Kg/cm2 (60 Ksi) 4. Determinar la resistencia respecto al eje x: (Pox) y Nu = 87.60 t Mux =25.60 t-m ey = Mux / Nu =25.60 / 87.60 = 0.292 m ey /h = 29.2 / 40 = .73 x  =0.02 Usando los diagramas R4-60.75 y R4-60.90 e interpolando P0 x = (0.73) (30) (40) (70) / 1000 = 61.32 t

P0 x ey h

5. Determinar la resistencia respecto al eje y: (Poy) y

P0 y

Nu = 87.60 t Muy =18.20 t-m

ey = Muy / Nu =18.20 / 87.60 = 0.208 x ex / b = 20.8/30 =.69 ex

b

 =0.02 Usando los diagramas R4-60.75 y R4-60.90 e interpolando P0 y = (0.85) (30) (40) (70) / 1000 = 71.40 t

6. Determinar la resistencia a compresión pura: (Po) y P0  0.85 f ' c( Ag  As )  As f y

P0  {0.85 (280) [(30) (40)-23.76] + (23.76) (4200)}/1000 x P0  379.74 t

7. Determinar la resistencia a flexo-compresión biaxial. ( Pn)

Pu   Pn Pu  87.60 t 1 1 1 1    Pn P0 x P0 y P0 1 1 1 1     Pn 65.32 71.40 379.74

 Pn  37.48 t  Pu  87.60 t NoPasa!!  Pn 37.48

%error 

1   1  57% Pu 87.60 La sección está escasa en un 57%, por tanto se debe proponer otra sección. Nota: Cuando el error es grande (>±10%)es recomendable cambiar las dimensiones de la sección. Tanto como grande sea el error. Cuando el error es pequeño (<±10%), conviene cambiar la cantidad de refuerzo o la resistencia del concreto. La solución correcta será aquella que tenga un error entre (0% y +5%). Segundo tanteo: Proponiendo una columna de 40x60 cm Con armado en las cuatro caras (Tipo R) debido a que se requiere resistencia a flexión alrededor de los 2 ejes.

5 10 5 5

10

10 5 15

6 0

15 15 5 4 0 Enseguida se propone un área de acero que cumpla con los límites de refuerzo entre (1% y 8%) y el espaciamiento de varillas longitudinales (<= 15 cm) y entre ramas de estribos (<= 35 cm) Proponiendo: As= 12 vars 3/4” = 12 (2.85) = 34.20 cm2  = As/bh = 43.20/ (40) (60) = 0.014 Proponiendo un recubrimiento de 5 cm, nos lleva e tener: h = 2r +h  = (h-2r) / h = [60 -2 (5)] / 60 = 0.83 Finalmente proponemos una resistencia para el concreto y acero de: f’c= 280 Kg/cm2 (4 Ksi) fy = 4200 Kg/cm2 (60 Ksi)

8. Determinar la resistencia respecto al eje x: (Pox) y

P0 x ey h

x

Nu = 87.60 t Mux =25.60 t-m ey = Mux / Nu = 25.60 / 87.60 = 0.292 m ey / h = 29.2 / 60 =.49  = 0.014 Usando los diagramas R4-60.75 y R4-60.90 e interpolando P0 x = (0.97) (40) (60) (70) / 1000 = 162.96 t

9. Determinar la resistencia respecto al eje y: (Poy) y

P0 y

Nu = 87.60 t Muy = 18.20 t-m

ey = Muy / Nu =18.20 / 87.60 = 0.208 x ex / b = 20.8 / 40 = .52 ex

b

 = 0.014 Usando los diagramas R4-60.75 y R4-60.90 e interpolando P0 y = (0.93) (40) (60) (70) / 1000 = 156.24 t

10. Determinar la resistencia a compresión pura: (Po) y P0  0.85 f ' c( Ag  As )  As f y

P0  {0.85 (280) [(40) (60)-32.20] + (32.20) (4200)}/1000 x P0  698.78 t

11. Determinar la resistencia a flexo-compresión biaxial. ( Pn)

Pu   Pn Pu  87.60 t 1 1 1 1    Pn P0 x P0 y P0 1 1 1 1     Pn 162.96 156.94 698.78

 Pn  90.27 t  Pu  87.60 t Pasa!! %error 

 Pn Pu

1 

90.27  1  3%  5% Ok!! 87.60

La sección propuesta tiene una sobre-resistencia de solo el 3% por lo que se considera adecuada para soportar las cargas últimas de diseño. 12. Se detalla el armado de la sección. 5

10

10

10

5 5 12

13 60 13

12 5

40

COLUMNA C-1 SECCIÓN TRANSVERSAL