Compania de Tornillos - MEtodo Simplex.pdf

Cátedra: Investigación Operativa Año: 2002

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Mendoza

RESOLUCION DE EJERCICIOS EJERCICIOS DEL CAPITULO CAPITULO 2

EJERCICIO 2.1:

Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa de cada variable. No necesita formular el modelo. Florida Citrus, Inc., procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congelado en tres plantas localizadas en Tampa, Miami y Jacksonville. De cualquiera de los dos huertos ubicados cerca de Orlando y Gainesville se pueden enviar libras de naranja hacia cualquier planta. Dado el costo de embarque y el precio de venta del concentrado, concentrado, el objetivo, sujeto a ciertas restricciones de oferta y demanda, es determinar como embarcar estas naranjas desde los dos huertos a las tres plantas procesadoras procesadoras para maximizar la ganancia ganancia total. Tampa = T

Miami = M

Plantas

Orlando = O Huertos

Jacksonville Jacksonville = J

Huertos

Gaineisville = G

Plantas

Variables de decisión: T O M G

XOT = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino T. XOM = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino M XOJ = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino J. XGT = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino T. XGM = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino M XGJ = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino J.

J

EJERCICIO 2.2:

Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa de cada variable No necesita formular el modelo. Pensión Planners, Inc., administra una cartera particular que consiste en 1800, 1000 y 500 acciones de fondos mutuos. Dadas ciertas suposiciones sobre las condiciones económicas en los siguientes 2 meses, el administrador de la agenda desea determinar el número de acciones de cada fondo por vender o comprar en cada uno de los siguientes dos meses, para maximizar el valor esperado de la agenda. 1



. Fondo1 Ventas Fondo2 Compras Fondo3

Variables de decisión:

X1 = cantidad de acciones del fondo 1 por vender en los siguientes dos meses. X2 = cantidad de acciones del fondo 2 por vender en los siguientes dos meses. X3 = cantidad de acciones del fondo 3 por vender en los siguientes dos meses. X4 = cantidad de acciones del fondo 1 por comprar en los siguientes dos meses. X5 = cantidad de acciones del fondo 2 por comprar en los siguientes dos meses. X6 = cantidad de acciones del fondo 3 por comprar en los siguientes dos meses. F1 = cantidad total de acciones del fondo 1 al final de los dos meses. F2= cantidad total de acciones acciones del fondo 2 al final de los dos meses. meses. F3 = cantidad total de acciones del fondo 3 al final de los dos meses. EJERCICIO 2.3:

Para el ejercicio 2.1, el huerto que está cerca de Orlando tiene 20000 libras de naranjas y el huerto cercano a Gainesville tiene 12000 libras de naranjas. La planta de Tampa requiere al menos 8000 libras de naranjas para cumplir su cuota de producción. Las plantas de Miami y Jacksonville requieren cada una al menos 11000 libras de naranjas. Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones. No necesita formular las restricciones; sin embargo, especifique el número de restricciones de cada grupo. Restricciones de no negatividad: neg atividad:

Xi >= 0 siendo i = 1

6

Restricciones de producción: produc ción:

XOT + XOM + XOJ < = 20000 XGT + XGM + XGJ < = 12000 naranjas

Orlando puede enviar hasta 20000 libras de naranjas Gainesville puede enviar hasta 12000 libras de

2



Restricciones de demanda:

XOT + XGT >= 8000 XOM + XGM >= 11000 XOJ + XGJ >= 11000 naranjas.

Tampa requiere al menos 8000 libras de naranjas Miami requiere al menos 11000 libras de naranjas. Jacksonville requiere al menos 11000 libras de

EJERCICIO 2.4:

Al determinar el número de acciones por comprar o vender en el ejercicio 2.2, la administración nunca desearía vender más acciones de las que tiene. Asimismo, el fondo 1 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo 2, y este último tampoco debe tener más del doble del número de acciones del fondo 3. Finalmente, la cantidad total invertida en cada fondo no debe exceder los $75 000. Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones. No necesita formular las restricciones; sin embargo, especifique el número de restricciones de cada grupo. Restricciones de no negatividad: neg atividad:


6

Restricciones de venta:

F1 = 1800 + X4 – X1 F2 = 1000 + X5 - X2 F3 = 500 + X6 - X3 X1 < = 1800 + X4 X2 < = 1000 + X5 X3 < = 500 + X6

El total del fondo1 es lo que tiene más lo que compra y vende. El total del fondo2 es lo que tiene más lo que compra y vende. El total del fondo3 es lo que tiene más lo que compra y vende. Lo que hay para vender del fondo1 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra . Lo que hay para vender del fondo2 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra. Lo que hay para vender del fondo3 debe ser al menos la suma de lo que tiene más lo que compra.

Restricciones de compra:

F1 < = 2 * F2 F2 < = 2 * F3

El fondo1 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo2 El fondo2 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo3

Restricciones de inversión: inversi ón:

F1 < = 75000 F2 < = 75000 F3 < = 75000

La cantidad total invertida en el fondo1 no debe exceder los $75 000. La cantidad total invertida en el fondo2 no debe exceder los $75 000 La cantidad total invertida en el fondo3 no debe exceder los $75 000

3



EJERCICIO 2.5

Para el ejercicio 2.1, use la técnica de descomposición para expresar la función objetivo de maximización de ganancias dados los siguientes datos de costo e ingresos: COSTO DE EMBARQUE ($/Ton) A

DESDE Orlando Gainesville

TAMPA 50 60

MIAMI JAKSONVILLE 75 60 90 45

INGRESOS

($/ton de naranjas procesadas) Tampa 550 Miami 750 Jacksonville 600 Función objetivo de maximización de ganancias:

Z = (XOT* Ingresos - XOT* Costos) + (XOM * Ingresos - XOM * Costos) + (X OJ * Ingresos - X OJ * Costos) + (XGT * Ingresos - X GT * Costos) + (X GM * Ingresos - X GM * Costos) + (X GJ * Ingresos XGJ * Costos) Z = (XOT* 550 - XOT* 50) + (XOM * 750 - XOM * 75) + (XOJ * 600 - XOJ * 60) + (XGT * 550 - X GT * 60) + (XGM * 750 - XGM * 90) + (XGJ * 600 - XGJ * 45) Mediante Lingo:

MAX = (Xot*550 - Xot*50)+(Xom*750 - Xom*75)+ (Xoj*600 Xoj*60)+(Xgt*550 - Xgt*60)+ (Xgm*750 - Xgm*90)+(Xgj*600 Xgj*45); Xot >=0; Xom >=0; Xoj >=0; Xgt >=0; Xgm >=0; Xgj >=0; Xot+Xom+Xoj <=20000; Xgt+Xgm+Xgj <=12000; Xot+Xgt >=8000; Xom+Xgm >=11000; Xoj+Xgj >=11000;

4



Solution Report Global optimal solution found at step: 10 Objective value: 0.1887000E+08 Variable Value Reduced Cost XOT 7000.000 0.0000000 XOM 13000.00 0.0000000 XOJ 0.0000000 25.00000 XGT 1000.000 0.0000000 XGM 0.0000000 5.000000 XGJ 11000.00 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.1887000E+08 1.000000 2 7000.000 0.0000000 3 13000.00 0.0000000 4 0.0000000 0.0000000 5 1000.000 0.0000000 6 0.0000000 0.0000000 7 11000.00 0.0000000 8 0.0000000 675.0000 9 0.0000000 665.0000 10 0.0000000 -175.0000 11 2000.000 0.0000000 12 0.0000000 -110.0000 Mediante Solver::

5


Celdas cambiantes Nombre


Valor final

Xot>=0 Xom>=0 Xoj>=0 Xgt>=0 Xgm>=0 Xgj>=0

Valor inicial

7000 13000 0 1000 0 11000

0 0 0 0 0 0

Restricciones Nombre

Valor final lado derecho Xot+Xom+Xoj<=20000 20000 Xgt+Xgm+Xgj<=12000 12000 Xot+Xgt>=8000 8000

Xom+Xgm>=11000 Xoj+Xgj>=11000 Función objetivo

13000 11000

Valor final lado Valor inicial lado Valor inicial lado izquierdo derecho izquierdo 20000 0 20000 12000 0 12000 8000 0 8000

11000 11000

0 0

11000 11000

Z = (Xot* 550 - Xot* 50) + (Xom * 750 - Xom * 75) + (Xoj * 600 - Xoj * 60) + (Xgt * 550 - Xgt * 60) + (Xgm * 750 - Xgm * 90) + (Xgj * 600 - Xgj * 45) Z= 18870000

EJERCICIO 2.6:

Para el ejercicio 2.2, suponga que al final del segundo mes se espera que el precio por acción del Fondo 1 sea $28, que el del Fondo 2 sea $60 y el del Fondo 3, $45. Formule una restricción para asegurar que con estos precios, el valor de la cartera al final del segundo mes sea al menos $ 125 000. Ilustre el uso de la descomposición. Restricción de ganancia:

28 * F1 + 60 * F2 + 45 * F3 > = 125000 Función Objetivo:

Z = 28 * ( 1800 + X4 – X1 ) + 60 * ( 1000 + X 5 – X2 ) + 45 * ( 500 + X 6 – X3 ) Z = 28* F1 + 60 * F2 + 45 * F3 Mediante Lingo:

MAX = 28*(1800 + X4 - X1)+ 60*(1000 + X5 - X2)+ 45*(500 + X6 X3); X1 >=0; X2 >=0; X3 >=0; X4 >=0; 6



X5 >=0; X6 >=0; 1800 + X4 - X1 <= 2*(1000 + X5 - X2); 1000 + X5 - X2 <= 2*(500 + X6 - X3); 28*(1800 + X4 - X1) <= 75000; 60*(1000 + X5 - X2) <= 75000; 45*(500 + X6 - X3) <= 75000; 28*(1800 + X4 - X1)+ 60*(1000 + X5 - X2)+ 45*(500 + X6 - X3) >= 125000;

Solution Report Global optimal solution found at step: 4 Objective value: 220000.0 Variable Value Reduced Cost X4 700.0000 0.0000000 X1 0.0000000 0.0000000 X5 250.0000 0.0000000 X2 0.0000000 0.3337860E-05 X6 1166.667 0.0000000 X3 0.0000000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 220000.0 1.000000 2 0.0000000 0.0000000 3 0.0000000 0.0000000 4 0.0000000 0.0000000 5 700.0000 0.0000000 6 250.0000 0.0000000 7 1166.667 0.0000000 8 0.0000000 28.00000 9 2083.333 0.0000000 10 5000.000 0.0000000 11 0.0000000 1.933333 12 0.0000000 1.000000 13 95000.00 0.0000000 7



Mediante Solver:

Celdas cambiantes Nombre X1>=0 X2>=0 X3>=0 X4>=0 X5>=0 X6>=0 Restricciones Nombre

Valor inicial 0 0 0 0 0 0

Valor final 1042 0 0 1742 250 1167

Valor inicial Valor Final Valor inicial Valor Final lado derecho lado derecho lado izquierdo lado izquierdo F3 500+X6-X3 500 625 F1 1800+X4-X1<= 2*F2 1800 2500 2000 2500 F2 1000+X5-X2<= 2*F3 1000 1250 1000 1250 F1 28*(1800+X4-X1)<=75000 50400 70000 75000 75000 F2 60*(1000+X5-X2)<=75000 108000 75000 75000 75000 F3 45*(500+X6-X3)<=75000 22500 75000 75000 75000 28*F1+60*F2+45*F3>=125 132900 220000 125000 125000 000 Función objetivo:

Z= 28*F1 + 60*F2 + 45*F3 Z= 220000

EJERCICIO 2.7:

World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $25 por barril, y petróleo pesado a $22 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo:

Crudo ligero Crudo pesado

GASOLINA 0.45 0.35

TURBOSINA 0.18 0.36

QUEROSENO 0.30 0.20

La refinería se ha comprometido a entregar 1260000 barriles de gasolina, 900000 barriles de turbosina y 300000 barriles de queroseno. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. Defina todas las variables de decisión. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión:

X1= cantidad de barriles de petróleo ligero X2= cantidad de barriles de petróleo pesado 8



Restricciones de no negatividad:


2

Restricciones de producción:

0.45 * X1 + 0.35 * X2 > = 1260000 0.18 * X1 + 0.36 * X2 > = 900000 0.30 * X1 + 0.20 * X2 > = 300000

cantidad de barriles de gasolina a entregar cantidad de barriles de turbosina a entregar cantidad de barriles de queroseno a entregar

Función objetivo:

Minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. MIN = 25 * X1 + 22 * X2

EJERCICIO 2.8

Reconsidere el ejercicio 2.7. Cada barril de petróleo crudo refinado produce un desecho de 0.07 de barril que se tira a un costo de $1 por barril de desecho. De manera similar, cada barril de petróleo crudo pesado produce un desecho de 0.09 de barril y su eliminación cuesta $1.50 por barril. Formule un nuevo modelo para incorporar estos costos adicionales usando los mismos datos del ejercicio 2.7. Función objetivo: Z= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50) Mediante Lingo:

MIN= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50); X1>=0; X2>=0; 0.45 * X1 + 0.35 * X2 > = 1260000; 0.18 * X1 + 0.36 * X2 > = 900000; 0.30 * X1 + 0.20 * X2 > = 300000; Resolución: Solution Report 9



Global optimal solution found at step: 8 Objective value: 0.7494100E+08 Variable X1 X2 Row 1 2 3 4 5 6

Value 1400000. 1800000.

Reduced Cost 0.0000000 0.0000000

Slack or Surplus Dual Price 0.7494100E+08 1.000000 1400000. 0.0000000 1800000. 0.0000000 0.0000000 -50.91818 0.0000000 -11.98232 480000.0 0.0000000

Mediante Solver:

Celdas cambiantes Nombre X1>=0 X2>=0

Valor Inicial 0 0

Restricciones Nombre 0.45 * X1 + 0.35 * X2 > = 1260000 0.18 * X1 + 0.36 * X2 > = 900000 0.30 * X1 + 0.20 * X2 > = 300000 Función objetivo

Valor final lado derecho 1260000

Valor final 1400000 1800000 Valor final lado Valor inicial lado Valor inicial izquierdo derecho lado izquierdo 1260000 0 1260000

900000

900000

0

900000

780000

300000

0

300000

Z= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50) Z= 74941000

EJERCICIO 2.9:

10



Carmac Company fabrica carros compactos y subcompactos. La producción de cada carro requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, como se especifica en la siguiente tabla: MATERIA PRIMA (libras) 200 150 10 80000

Compactos Subcompactos Costo unitario ($) Total disponible

MANO DE OBRA (horas) 18 20 70 9000

La división de comercialización ha estimado que a lo más 1500 compactos pueden venderse a $ 10 000 cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden venderse a $8000 cada uno. Como vicepresidente de programación, formule un modelo para determinar la cantidad a fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). Defina todas las variables de decisión. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Costo de un auto compacto: cant Materia Prima*costo + cant Mano de Obra*costo = 200*10 + 18*70 = $3260

Costo de un auto subcompacto: cant Materia Prima*costo + cant Mano de Obra*costo = 150*10 + 20*70 = $2900 Variables de decisión:

X1= cantidad de carros compactos X2= cantidad de carros subcompactos Función objetivo:

Maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). MAX = (X1*10000 + X2*8000) – (X1*3260 + X2*2900) Restricciones de no negatividad:


2

Restricciones de disponibilidad:

X1*2000 + X2*1500 <= 80000 X1*18 + X2*20 <= 9000 X1<= 1500 X2<= 200

Total disponible de materia prima Total disponible de mano de obra a lo más 1500 compactos pueden venderse a lo más 200 subcompactos pueden venderse

Mediante Lingo:

MAX = (X1*10000 + X2*8000)- (X1*3260 + X2*2900); 11



X1>=0; X2>=0; X1*200 + X2*150 <= 80000 ; X1*18 + X2*20 <= 9000 ; X1<= 1500; X2<= 200; Solution Report Global optimal solution found at step: 3 Objective value: 2705000. Variable Value Reduced Cost X1 250.0000 0.0000000 X2 200.0000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 2705000. 1.000000 2 250.0000 0.0000000 3 200.0000 0.0000000 4 0.0000000 33.70000 5 500.0000 0.0000000 6 1250.000 0.0000000 7 0.0000000 45.00000

Mediante Solver:

Celdas cambiantes Nombre X1>=0 X2>=0

Valor Inicial 0 0

Restricciones Nombre X1*200 + X2*150 <= 80000 X1*18 + X2*20 <= 9000 X1<=1500 X2<=200 Función objetivo

Valor final lado derecho 80000

Valor final 250 200 Valor final Valor inicial Valor inicial lado izquierdo lado derecho lado izquierdo 80000 0 80000

8500

9000

0

9000

250 200

1500 200

0 0

1500 200

Z= (X1*10000 + X2*8000) – (X1*3260 + X2*2900) Z= 2705000

EJERCICIO 2.10:

12



Fresh Dairy Farms tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla: LECHE DESCREMADA 0.2 min/gal 0.3 min/gal $0.22/gal

Máquina 1 Máquina 2 Ganancia neta

MANTEQUILLA

QUESO

0.5 min/lb 0.7 min/lb $0.38/lb

1.5 min/lb 1.2 min/lb $0.72/lb

Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como gerente del departamento de producción, formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso. Variables de decisión:

X1= cantidad de leche descremada X2= cantidad de mantequilla X3= cantidad de queso Función objetivo: Maximice las ganancias corporativas netas. MAX = 0.22 * X1 + 0.38 * X2 + 0.72 * X3 Restricciones de no negatividad:


3

Restricciones de producción:

X1>= 300 X2>=200 X3>=100 X1*0.2 + X2*0.5 + X3*1.5 <=480 X1*0.3 + X2*0.7 + X3*1.2 <=480

producción mínima de leche producción mínima de mantequilla producción mínima de queso producción diaria en máquina 1 producción diaria en máquina 2

Mediante Lingo:

MAX = 0.22 * X1 + 0.38 * X2 + 0.72 * X3; X1>= 300; X2>=200; X3>=100; X1*0.2 + X2*0.5 + X3*1.5 <=480; X1*0.3 + X2*0.7 + X3*1.2 <=480; Global optimal solution found at step: 7 Objective value: 309.3333 Variable Value Reduced Cost X1 733.3333 0.0000000 X2 200.0000 0.0000000 X3 100.0000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 309.3333 1.000000 2 433.3333 0.0000000 3 0.0000000 -0.1333333 13


4 5 6


0.0000000 83.33333 0.0000000

-0.1600000 0.0000000 0.7333333

Mediante Solver:

Celdas cambiantes Nombre X1>=0 X2>=0 X3>=0 Restricciones Nombre

Valor Inicial 0 0 0

Valor final 733 200 100

Valor final lado Valor final lado Valor inicial lado Valor inicial lado derecho izquierdo derecho izquierdo X1>=300 733 300 0 300 X2>=200 200 200 0 200 X3>=100 100 100 0 100 X1*0.2 + X2*0.5 + 397 480 480 X3*1.5 <=480 X1*0.3 + X2*0.7 + 480 480 0 480 X3*1.2 <=480 Función objetivo

Z=0.22 * X1 + 0.38 * X2 + 0.72 * X3 Z= 309

EJERCICIO 2.11:

Cada galón de leche, libra de queso y libra de manzanas proporciona un número conocido de miligramos de proteínas y vitaminas A, B y C. La siguiente tabla incluye esos datos junto con los requerimientos diarios de los ingredientes nutricionales, según lo recomendado por el Departamento de Agricultura de los EE.UU. La tabla también incluye la cantidad mínima de cada alimento que debe incluirse en la comida y su costo.

Proteínas Vitamina A Vitamina B Vitamina C Cantidad mínima Costo unitario ($)

LECHE (mg/gal) 40 5 20 30 0.5gal 2.15

QUESO (mg/lb) 30 50 30 50 0.5lb 2.25

MANZANAS (mg/lb) 10 30 40 60 0.5lb 1.25

REQUERIMIENTOS MÍN. DIARIOS (mg) 80 60 50 30

Como dietista de una escuela pública, formule un modelo para determinar la comida de costo mínimo que reúna todos los requerimientos nutricionales. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión:

X1= cantidad de leche a consumir. X2= cantidad de queso a consumir 14



X3= cantidad de manzanas a consumir Función objetivo:

Costo mínimo de comida que reúna todos los requerimientos nutricionales. MIN = 2.15 * X1 + 2.25 * X2 + 1.25 * X3 Restricciones de no negatividad:


3

Restricciones de consumo mínimo:

40 * X1 + 30 * X2 + 10 * X3 >= 80 5 * X1 + 50 * X2 + 30 * X3 >= 60 20 * X1 + 30 * X2 + 40 * X3 >= 50 30 * X1 + 50 * X2 + 60 * X3 >= 30 X1 > = 0.5 X2 > = 0.5 X3 > = 0.5

requerimiento mínimo diario de proteínas requerimiento mínimo diario de vtamina A requerimiento mínimo diario de vitamina B requerimiento mínimo diario de vitamina C cantidad mínima de leche, a consumir diariamente cantidad mínima de queso, a consumir diariamente cantidad mínima de manzanas, a consumir diariamente

Mediante Lingo:

MIN = 2.15 * X1 + 2.25 * X2 + 1.25 * X3; 40 * X1 + 30 * X2 + 10 * X3 >= 80; 5 * X1 + 50 * X2 + 30 * X3 >= 60; 20 * X1 + 30 * X2 + 40 * X3 >= 50; 30 * X1 + 50 * X2 + 60 * X3 >= 30; X1 > = 0.5; X2 > = 0.5; X3 > = 0.5; Global optimal solution found at step: 7 Objective value: 5.147297 Variable Value Reduced Cost X1 1.297297 0.0000000 X2 0.7702703 0.0000000 X3 0.5000000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 5.147297 1.000000 2 0.0000000 -0.5202703E-01 3 0.0000000 -0.1378378E-01 4 19.05405 0.0000000 5 77.43243 0.0000000 6 0.7972973 0.0000000 7 0.2702703 0.0000000 8 0.0000000 -0.3162162 Mediante Solver:

Celdas cambiantes Nombre X1>=0 X2>=0 X3>=0

Valor Inicial 0,00 0,00 0,00

Valor final 1,05 1,09 0,50 15



Restricciones Nombre 40 * X1 + 30 * X2 + 10 * X3 >= 80 5 * X1 + 50 * X2 + 30 * X3 >= 60 20 * X1 + 30 * X2 + 40 * X3 >= 50 30 * X1 + 50 * X2 + 60 * X3 >= 30 X1 > = 0.5 X2 > = 0.5 X3 > = 0.5 Función objetivo

Valor final lado derecho 80,00

Valor final Valor inicial Valor inicial lado izquierdo lado derecho lado izquierdo 80,00 0,00 80,00

60,00

60,00

0,00

60,00

73,92

50,00

0,00

50,00

116,35

30,00

0,00

30,00

1,05 1,09 0,50

0,50 0,50 0,50

0,00 0,00 0,00

0,50 0,50 0,50

Z=2.15 * X1 + 2.25 * X2 + 1.25 * X3 Z= 5,35

EJERCICIO 2.13:

Rich Oil Company, cerca de Cleveland, suministra gasolina a sus distribuidores en camiones. La compañía recientemente recibió un contrato para iniciar el suministro de $800 000 galones de gasolina por mes a distribuidores de Cincinnati. La compañía tiene $500 000 disponibles para crear una flota consistente en tres tipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidad relevante, costo de compra, costo operativo y número máximo de viajes por cada tipo de camión: TIPO DE CAMIÓN 1 2 3

CAPACIDAD (galones) 6000 3000 2000

COSTO DE COMPRA ($) 50 000 40 000 25 000

COSTO DE OPERACIÓN ($/mes) 800 650 500

MÁXIMO DE VIAJES/MES 20 25 30

Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compañía no desea comprar mas de 10 vehículos para su flota. Asimismo, la compañía desearía asegurarse que se compren al menos tres de los camiones del tipo 3 (se requieren para su uso en las rutas de trayecto corto/baja demanda). Finalmente, la compañía no desea que más de la mitad de la flota sea de camiones del tipo 1. 16



Como gerente de operaciones, formule un modelo para determinar la composición de la flota que minimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfagan las demandas, no saliéndose del presupuesto y satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión:

XI :Nº de camiones tipo I Restricciones de costo: Restricciones de demanda:

X1+X2+X3 <= 10 X3 >=3 X1 - X2 - X3 <= 0

Inversión Inicial X1.50000+X2.40000+X3.25000 <= 500000 Restricciones de contrato X1.20.6000+X2.25.3000+ X3. 30.2000 >= 800000 Función objetivo: Min [800 X1 + 650 X2+

500 X3]

Mediante Lindo:

MIN 800 X1 + 650 X2 + 500 X3 ST 500000 X1 + 40000 X2 + 25000 X3 <= 500000 120000 X1 + 75000 X2 + 60000 X3 <= 800000 X1 + X2 + X3 <= 10 X3 >= 3 X1 X2 X3 <= 0 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1500.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 800.000000 X2 0.000000 650.000000 X3 3.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 425000.000000 0.000000 3) 620000.000000 0.000000 4) 7.000000 0.000000 5) 0.000000 -500.000000 6) 3.000000 0.000000 NO.ITERATIONS=1 EJERCICIO 2.14:

World Airlines reabastece sus aeronaves regularmente en los cuatro aeropuertos en donde da servicio. La turbosina puede comprarse a tres vendedores posibles en cada aeropuerto. La tabla 17



indica (1) el costo de entrega (compra mas embarque) por mil galones de cada vendedor a cada aeropuerto, (2) el número disponible de miles de galones que cada vendedor puede suministrar cada mes y (3) el requerimiento mensual de turbosina (en miles de galones) en cada aeropuerto. COSTO DE ENTREGA AEROPUERTO 1 2 3 4 Provisión máxima

Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 3 900 800 900 900 1200 1300 800 1300 500 1000 1400 1000 300 600 700

CANTIDAD DE COMBUSTIBLE REQUERIDO 150 250 350 480

Formule un modelo para determinar las cantidades que se deben comprar y enviar por parte de cada vendedor a cada aeropuerto para minimizar el costo total, satisfaciendo al mismo tiempo por lo menos la demanda mensual a cada aeropuerto y no excediendo el suministro de cualquier vendedor. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión XIj : cantidad de gasolina del vendedor j al aeropuerto i

Restricciones

X1 + X5 + X9 >= 150 X2 + X6 + X10 >= 250 X3 + X7 + X11 >= 350 X4 + X9 + X12 >= 480 X1 + X2 + X3 + X4 <= 300 X5 + X6 + X7 + X8 <= 600 X9 + X10 + X11 + X12 <= 700

Función Objetivo : Z= Min [X1. 900 + X5 . 800 + X9 . 900 + X2 . 900 + X6. 1200 + X10 . 1300 + X3 . 800 + X7 . 1300 + X11. 500 + X4 . 1000 + X9 . 1400 + X12 . 1000 ] Mediante Lindo:

MIN 900 X1 + 900 X2 + 800 X3 +1000 X4 + 800 X5 + 1200 X6 + 1300 X7 + 1400 X8 + 900 X9 + 1300 X10 + 500 X11 + 1000 X12 ST X1 + X2 + X3 + X4 <= 300 18



X5 + X6 + X7 + X8 <= 600 X9 + X10 + X11 + X12 <= 700 X1 + X5 + X9 >= 150 X2 + X6 + X10 >= 250 X3 + X7 + X11 >= 350 X4 + X9 + X12 >= 480 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP

5

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

869000.0

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1200.000000 X2 170.000000 0.000000 X3 0.000000 200.000000 X4 130.000000 0.000000 X5 0.000000 800.000000 X6 80.000000 0.000000 X7 0.000000 400.000000 X8 0.000000 1400.000000 X9 350.000000 0.000000 X10 0.000000 500.000000 X11 350.000000 0.000000 X12 0.000000 100.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 300.000000 3) 520.000000 0.000000 4) 0.000000 400.000000 5) 200.000000 0.000000 6) 0.000000 -1200.000000 7) 0.000000 -900.000000 8) 0.000000 -1300.000000 NO.ITERATIONS=5 EJERCICIO 2.15:

Mason Communication Commision ha recibido solicitudes de asignación de frecuencias de cuatro nuevas estaciones de radio. Dos frecuencias de radio interfieren si están a 0.5 megahertz de distancia. Las siguientes frecuencias (en meagahertz) están actualmente disponibles: 100.0, 100.1, 100.3, 100.7, 101.0, 101.1, 101.4, 101.8. Formule un modelo para determinar si la comisión puede 19



asignar cuatro nuevas frecuencias y, si es asi, cuáles. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. (Sugerencia: es usted libre para asignar o no cada frecuencia, así que considere las variables 0-1.) Variables de decisión:

100.0 X1

100.1 X2

100.3 X3

100.7 X4

101.1 X6

101.4 X7

101.8 X8

Xj = 0;1 son enteras X1 + X2 + X3 <= 1 X3 + X4 <= 1 X4 + X5 + X6 <= 1 X5 + X6 <= 1 X5 + X6 +X7 <= 1 X6 + X7 <= 1 X7 + X8 <= 1

Restricciones:

Función objetivo: Z= MAX

101.0 X5

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8

Mediante Lindo:

MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 ST X1 + X2 + X3 <= 1 X3 + X4 <= 1 X4 + X5 + X6 <= 1 X5 + X6 <= 1 X5 + X6 + X7 <= 1 X6 + X7 <= 1 X7 + X8 <= 1 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP

0

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

0.0000000E+00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.000000 X2 0.000000 1.000000 20


X3 X4 X5 X6 X7 X8 ROW 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)


0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000

NO. ITERATIONS=

0

EJERCICIO 2.16:

La cuidad de Dakota Heigts desea determinar cuántas subestaciones postales se requieren para dar servicio a su población. La ciudad ha sido dividida en ocho zonas postales. Se han identificado cinco ubicaciones posibles para las subestaciones. Cada ubicación puede dar servicio a un número de zonas, como se indica en la siguiente tabla: UBICACIÓN

ZONAS QUE SE PUEDEN ATENDER 1,2,3 1,4,5 2,4,5,8 3,5,6,8 6,7,8

1 2 3 4 5

Formule un modelo para determinar el menor número de subestaciones ( y sus ubicaciones) necesarias para dar servicio a las ocho zonas postales. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. (Sugerencia: defina una variable apropiada para cada ubicación.) Variables de decisión:

Xi : ubicación i ocupada / no ocupada ( 0 o 1) Restricciones:

X1 + X2 <= 1 X1 + X3 <= 1 X1 + X4 <= 1 X2 + X3 <= 1 21



X2 + X3 + X4 <= 1 X4 + X5 <= 1 X3 + X5 <= 1 Función objetivo:

Z= MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 + X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 Mediante Lindo:

MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 + X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 ST X1 + X2 <= 1 X1 + X3 <= 1 X1 + X4 <= 1 X2 + X3 <= 1 X2 + X3 + X4 <= 1 X4 + X5 <= 1 X4 + X5 <= 1 X3 + X5 <= 1 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.000000 X2 0.000000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000 X9 0.000000 1.000000 X10 0.000000 1.000000 X11 0.000000 1.000000 X12 0.000000 1.000000 X13 0.000000 1.000000 X14 0.000000 1.000000 X15 0.000000 1.000000 X16 0.000000 1.000000 22



X17 0.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 1.000000 0.000000 6) 1.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=

0

EJERCICIO 2.17:

Tres divisiones de Twinsburg Company fabrican un producto en el que cada unidad completa consiste en 4 unidades de componente A y 3 unidades del componente B. Los dos componentes (A y B) se fabrican a partir de 2 materias primas diferentes. Existen 100 unidades de la materia prima 1 y 200 unidades de la materia prima 2 disponibles c/1 . Cada una de las tres divisiones usa un método diferente para fabricar los componentes, dando como resultado distintos requerimientos de materia prima por corrida de producción en cada división y el numero de cada componente producido por esa corrida.

DIVISION 1 2 3

ENTRADA MATERIA PRIMA 1 8 5 3

SALIDA COMPONENTE 2 6 9 8

A 7 6 8

B 5 9 4

Por ejemplo cada corrida de producción de la división 1 requiere 8 unidades de la materia prima 1 y 6 unidades de la materia prima 2. El producto de esta corrida es 7 unidades de A y 5 unidades de B. Como gerente de producción, formule un modelo de producción para determinar el numero de corridas de producción para cada división que maximice el numero total de unidades terminadas del producto final. Variables de decisión:

XU: Número de corridas de la división de 1. XD: Número de corridas de la división de 2. XT: Número de corridas de la división de 3. A: Número del componente A. B: Número del componente B. 23



C: Número del componente C. 8 XU + 5 XD + 3 XT <= 100 6 XU + 9 XD + 8 XT <= 200 7XU + 6 XD + 8 XT = A  7 XU + 6 XD + 8 XT – A = 0 5 XU + 9 XD + 4 XT = B  5 XU + 9 XD + 4 XT – B =0

Restricciones

Mediante Lindo:

MAX 4 A + 3 B SUBJECT TO 6 XU + 9 XD + 8 XT >= 200 8 XU + 5 XD + 3 XT <= 100 7 XU + 6 XD + 8 XT - A = 0 5 XU + 9 XD + 4 XT - B = 0 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1466.667 VARIABLE VALUE REDUCED COST A 266.666656 0.000000 B 133.333328 0.000000 XU 0.000000 74.333336 XD 0.000000 22.333334 XT 33.333332 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 66.666664 0.000000 3) 0.000000 14.666667 4) 0.000000 -4.000000 5) 0.000000 -3.000000 NO. ITERATIONS=

2

EJERCICIO 2.18:

Los dos productos que produce case chemicals, CS-01 y CS-02, generan cantidades excesivas de tres contaminantes diferentes A, B, C. El gobierno estatal le ha ordenado a la compañía que instale y emplee dispositivos anticontaminantes. La siguiente tabla proporciona las emisiones diarias actuales en kg/1000 litros y el máximo de cada contaminante permitido en kg. CONTAMINANTE A

CS-01 25

CS-02 40

MAXIMO PERMITIDO 43 24



B C

10 80

15 60

20 50

El gerente del departamento de producción aprobó la instalación de dos dispositivos anticontaminantes. Las emisiones de cada producto pueden ser manejadas por cualquiera de los dos dispositivos en cualquier proporción. (las emisiones se envían a través de un dispositivo solamente una vez, es decir, la salida de un dispositivo no puede ser la entrada del otro o de si mismo). La siguiente tabla muestra el porcentaje de cada contaminante proveniente de cada producto que es eliminado por cada dispositivo. DISPOSOTIVO DISPOSOTIVO DISPOSOTIVO DISPOSOTIVO 1 1 2 2 CONTAMINA CS-01 CS-02 CS-01 CS-02 NTE A 40 40 30 20 B 60 60 0 0 C 55 55 65 80 Por ejemplo, si la emisión de CS-01 se envía a través del dispositivo 1, se elimina 40% del contaminante A, 60% del contaminante B y 55% del contaminante C. Las consideraciones de fabricación dictan que CS-01 y CS-02 deben producirse en la proporción de dos a uno. Formule un modelo para determinar un plan que maximice la producción diaria total (cantidad de CS-01 + CS02) al mismo tiempo que satisfaga los requerimientos gubernamentales. Variables de decisión:

CSUU: cantidad de producto CS-01 enviados CSUD: cantidad de producto CS-01 enviados CSDU: cantidad de producto CS-02 enviados CSDD: cantidad de producto CS-02 enviados

por el dispositivo 1. por el dispositivo 2. por el dispositivo 1. por el dispositivo 2.

Mediante Lindo:

MAX CSUU + CSUD + CSDU + CSDD SUBJECT TO 15 CSUU + 17.5 CSUD <= 43 24 CSDU + 32 CSDD <= 43 4 CSUU + 10 CSUD <= 20 6 CSDU + 15 CSDD <= 20 34.4 CSUU + 28 CSUD <= 50 27 CSDU + 12 CSDD <= 50 END Resolución: 25



LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3.577381 VARIABLE VALUE REDUCED COST CSUU 0.000000 0.228571 CSUD 1.785714 0.000000 CSDU 1.791667 0.000000 CSDD 0.000000 0.333333 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 11.750000 0.000000 3) 0.000000 0.041667 4) 2.142857 0.000000 5) 9.250000 0.000000 6) 0.000000 0.035714 7) 1.625000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 EJERCICIO 2.19:

Philadelphia Paint Company produce 3 tipos de pinturas: Standard, Quality y Premium. Las instalaciones actuales pueden producir un máximo de 18000 gal de Standard, 10000 gal de Quality y 500 gal de Premium al día. Debido a la economía de escala, el costo de producir cada tipo de pintura disminuye al aumentar el número de gal producidos. Por ejemplo si se producen X gal de pintura Standard, entonces el costo por gal es a-b*x. La siguiente tabla proporciona los valores de a y b; el precio de venta por gal, y la demanda diaria mínima por cada tipo de pintura. VALORES DE VALORES DE TIPO DE a b Precio de venta Demanda PINTURA ($/gal) minima (gal) Standard 3 0.0001 6.50 10000 Quality 4 0.0002 8.50 6000 Premiun 5 0.0003 11.00 2500 La compañía puede producir un total combinado de hasta 25000 gal de pintura al día. Como supervisor de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de pintura a producir para maximizar la ganancia (ingreso menos costo). Variables de decisión:

S: cantidad de galones de pintura Standad Q: cantidad de galones de pintura Quality P: cantidad de galones de pintura Premiun Mediante Lindo:

MAX 3.5 S + S 0.0001 S + 4.5 Q + Q 0.0002 Q + 6 P + P 0.0003 P ST S + Q + P <= 25000 S >= 10000 26



Q >= 6000 P >= 2500 S <= 18000 Q <= 10000 P <= 5000 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP

2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2665754. VARIABLE VALUE REDUCED COST S 16500.000000 0.000000 Q 6000.000000 0.000000 P 2500.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 158.500107 3) 6500.000000 0.000000 4) 0.000000 -152.999908 5) 0.000000 -151.499802 6) 1500.000000 0.000000 7) 4000.000000 0.000000 8) 2500.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 EJERCICIO 2.20:

Formule el problema de agenda de High Tech en el ejercicio 2.4 sección 2.2.3 usando como variable de decisión 1 sí High Tech no debe invertir y 0 si High Tech debe invertir. Proyectos

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

Bio-Tech Tele-comm Laser-Optics Compu-Ware Fondo de inversión

60 35 10 15 90

10 35 50 10 80

10 35 50 10 50

10 35 10 40 50

Rendimiento Total 250 375 275 140

Variables de decisión:

B = 1 si High Tech debe invertir en Bio-Tech B = 0 si High Tech no debe invertir en Bio-Tech T = 1 si High Tech debe invertir en Tele-comm T = 0 si High Tech no debe invertir en Tele-comm L = 1 si High Tech debe invertir en Laser-Optics L = 0 si High Tech no debe invertir en Laser-Optics 27



C = 1 si High Tech debe invertir en Compu-Ware C = 0 si High Tech no debe invertir en Compu-Ware Mediante Lindo:

MAX 250 B + 375 T + 275 L + 140 C SUBJECT TO 2) 60 B + 35 T + 10 L + 15 C <= 3) 10 B + 35 T + 50 L + 10 C <= 4) 10 B + 35 T + 50 L + 10 C <= 5) 10 B + 35 T + 10 L + 40 C <= 6) T + L <= 1 END Resolución: INTE 4 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE VALUE = 637.000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 525.000000 AT BRANCH RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 525.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST B 1.000000 -250.000000 T 0.000000 -375.000000 L 1.000000 -275.000000 C 0.000000 -140.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 20.000000 0.000000 3) 20.000000 0.000000 4) 20.000000 0.000000 5) 30.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000

90 80 80 50

0 PIVOT

4

NO. ITERATIONS= 4 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 EJERCICIO 2.21:

Containers Inc. ha recibido un pedido para hacer tambores de acero cilíndricos con la base y la tapa circulares. El volumen total de conteiner debe ser al menos de 10 pies cúbicos. El costo del acero para hacer el costado del contenedor es de 3 $/pie cuadrado. El costo de la base y la tapa es de 3.82 $/pie cuadrado. Formule un modelo para minimizar el costo de acero requerido. Variables de decisión:

28



R: radio del cilindro en [pie] H: altura del cilindro en [pie] Restricciones

R 3.1415 R 1 H > 10

Funcion Objetivo: MIN R 18.84 H + R 24 R

Mediante Lindo:

MIN R 18.84 H + R 24 R ST R 3.1415 R 1 H > 10 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 62.77919 VARIABLE VALUE REDUCED COST R 2.414584 0.000000 H 0.000000 12.562081 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -6.277919 NO. ITERATIONS= 1 EJERCICIO 2.24:

Lether Company produce guantes de béisbol, balones y correas de piel de cuero que es procesado en una maquina. Para la próxima semana se tienen en existencia 1000 metros cuadrados de cuero y 40 hs de maquina. Se desea determinar un plan de producción de la semana que maximice las ganancias netas. a- Identifique las variables. G: cantidad de guantes a producir. B: cantidad de balones a producir. C: cantidad de correas a producir. b- Identifique los datos adicionales. CG: cantidad de m 2 de cuero para producir un guante. CB: cantidad de m 2 de cuero para producir un balón. CC: cantidad de m 2 de cuero para producir una correa. TG: cantidad de hs para producir un guante. TB: cantidad de hs para producir un balón. TC: cantidad de hs para producir una correa. PG: precio de venta de un guante. PB: precio de venta de un balón. 29



PC: precio de venta de una correa. CoG: precio de costo de producción de un guante. CoB: precio de costo de producción de un balón. CoC: precio de costo de producción de una correa. c- Formule el modelo. Restricciones

G CG + B CB + C CC <= 1000 G TG + B TB + C TC <= 40 Función Objetivo

MAX (PG - COG)*G + (PB - CoB)*B + (PC - CoC)*C EJERCICIO 2.25:

Los nutriólogos de HealthNut Company están diseñando un nuevo bocadillo hecho de palomitas de maíz inflado y mantequilla de cacahuete natural. El objetivo es minimizar el costo total de estos ingredientes, pero el producto final debe contener al menos 4 gramos de proteína, no mas de 10 gramos de carbohidratos y 2 gramos de grasa saturada. a. Identifique las variables. b. Identifique y asigne un nombre a cada valor de datos adicional que tendrá obtener para poder formular un modelo matemático. c. Formule un modelo matemático usando los nombres de variables de (a) y los nombres simbólicos para los datos de (b). Mediante Lindo:

MIN A 1 D1 + N 1 D2 SUBJECT TO P1 1 A + P2 1 N >= 4 C1 1 A + C2 1 N <= 10 F1 1 A + F2 1 N <= 2 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST A 0.000000 1.000000 D1 0.000000 1.000000 N 0.000000 1.000000 30



D2 0.000000 1.000000 P1 4.000000 0.000000 P2 0.000000 0.000000 C1 0.000000 0.000000 C2 0.000000 0.000000 F1 0.000000 0.000000 F2 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 10.000000 0.000000 4) 2.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 0 EJERCICIO 2.26:

El departamento de Investigación ha identificado seis proyectos en los que Hight Tech puede elegir invertir o no. Cada proyecto ha sido evaluado para determinar la cantidad de capital que debe invertirse, la tasa esperada de devolución y también un factor de riesgo usando un algoritmo patentado. Estos datos se resumen en la siguiente tabla:

Proyecto 1 2 3 4 5 6

Capital requerido $ 100000 400000 170000 250000 200000 250000

Tasa de devolución (%) 10 5 20 15 7 30

Riesgo 0.50 0.40 0.70 0.65 0.45 0.80

Los socios generales han acordado que el riesgo total, obtenido añadiendo los factores de riesgo para cada proyecto respaldado, no debe exceder de 3, y que no deben emprenderse mas de dos proyectos con un factor de riesgo mayor de 0,6. Usando las variables: 1, si se emprende el proyecto i Pi = i = 1, ....., 6 0, si no se emprende el proyecto i un socio general ha formulado el siguiente modelo para determinar que proyecto respaldar para maximizar el rendimiento esperado en un año sobre la cantidad invertida y mantenerse en un presupuesto de $1 millón: Maximizar 10 P1 + 20 P2 + 34 P3 + 37.5 P4 + 14 P5 + 75 P6 Condicionado por 100 P1 + 40 P2 + 170 P3 + 250 P4 + 200 P5 + 250 P6 <= 100 0.50 P1 + 0.40 P2 + 0.70 P3 + 0.65 P4 + 0.45 P5 + 0.80 P6 >= 3 P1, P2, P3, P4, P5, P6 >= 0 31



¿ Es correcto este modelo? Si no es así, identifique y corrija todos los errores. Mediante Lindo:

MAX 10 P1 + 20 P2 + 34 P3 + 37.5 P4 + 14 P5 + 75 P6 SUBJECT TO 100 P1 + 400 P2 + 170 P3 + 250 P4 + 200 P5 + 250 P6 <= 1000 0.5 P1 + 0.4P2 + 0.7 P3 + 0.65 P4 + 0.45 P5 + 0.8 P6 <= 3 P1 <= 1 P2 <= 1 P3 <= 1 P4 <= 1 P5 <= 1 P6 <= 1 P1 >= 0 P2 >= 0 P3 >= 0 P4 >= 0 P5 >= 0 P6 >= 0 P3 + P4 = 1 P3 + P6 = 1 P4 + P4 + P6 <= 2 END Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 125.8333 VARIABLE VALUE REDUCED COST P1 1.000000 0.000000 P2 0.775000 0.000000 P3 0.333333 0.000000 P4 0.666667 0.000000 P5 1.000000 0.000000 P6 0.666667 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.050000 3) 0.540000 0.000000 4) 0.000000 5.000000 5) 0.225000 0.000000 6) 0.666667 0.000000 7) 0.333333 0.000000 8) 0.000000 4.000000 9) 0.333333 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.775000 0.000000 32



12) 0.333333 13) 0.666667 14) 1.000000 15) 0.666667 16) 0.000000 17) 0.000000 18) 0.000000 NO. ITERATIONS= 5

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -16.333334 41.833332 20.666666

EJERCICIO 2.27:

Chirality Company debe producir al menos 600000 tornillos pequeños y 400000 tornillos grandes para satisfacer de la demanda de las sig. 4 semanas. Estos tornillos pueden producirse en 2 maquinas distintas, cada una de las cuales esta disponible 40 horas a la semana. Los requerimientos de costo y tiempo para producir cada tamaño de tornillo en cada maquina y el precio de venta de cada tamaño de tornillo se muestran en la sig. Tabla: Tornillos pequeños Tornillos grandes Precio de venta($/1000) 27.50 32.50 Costo en la maquina 1 ($/1000) 6.25 7.75 Costo en la maquina 2 ($/1000) 8.00 9.25 Tiempo en la maquina 1 (min/lb) 1.50 1.75 Tiempo en la maquina 2 (min/lb) 1.00 1.25 En cada libra hay aproximadamente 60 tornillos pequeños y 40 tornillos grandes. Usando las variables: S1 = el numero de miles de tornillos pequeños por producir en la maquina 1 durante las sig. 4 semanas. S2 = el numero de miles de tornillos pequeños por producir en la maquina 2 durante las sig. 4 semanas. L1 = el numero de miles de tornillos grandes por producir en la maquina 1 durante las sig. 4 semanas. L2 = el numero de miles de tornillos grandes por producir en la maquina 2 durante las sig. 4 semanas. El gerente de producción ha formulado el sig. modelo para maximizar la ganancia y satisfacer la demanda con la disponibilidad limitada de tiempo de maquina en las sig. 4 semanas: Maximizar

27.50 S1 + 27.50 S2 + 32.50 L1 + 32.50 L2

Condicionado por:

S1 + 1.5 S1 S1 ,

S2

>= 600000 L1 + L2 >= 400000 + 1.75 L1 <= 40 1.0 S2 + 1.25 L2 <= 40 S 2, L1, L2 >= 0

¿Es correcto este modelo? Si no es así, identifique y corrija todos los errores. Mediante Lindo:

33

Compania de Tornillos - MEtodo Simplex.pdf

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