CONTROL II DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA. INTRODUCCIÓN. En este capítulo presentaremos los procedimientos para el diseño y compensación de sistemas de control lineales e invariantes con el tiempo, de una entrada y una salida utilizando el método de la respuesta en frecuencia.
Método de la respuesta en frecuencia para el diseño de un sistema de control En el método de la respuesta en frecuencia, se especifica el comportamiento de la respuesta transitoria de forma indirecta, estos es; en términos de las especificaciones que ofrecen una estimación razonable del amortiguamiento del sistema (margen de fase, el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia), de los que dan una estimación de la velocidad de respuesta transitoria (la frecuencia de cruce de ganancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda) y de las que proporcionan la precisión en estado estacionario (las constantes de error estático). Después de diseñar en lazo abierto mediante el método de la respuesta en frecuencia, debe verificarse las características de la respuesta transitoria y repetir el análisis si no se sat isface los requisitos en dominio del ti empo. Hay dos enfoques de diseño, uno es el del diagrama polar y el otro es el del diagrama de Bode; este último es el más conveniente. Un enfoque común del diagrama de Bode es que primero se ajusta la ganancia en lazo abierto para cumplir con el requisito en estado estacionario. Luego, se representan las curvas de magnitud y fase en lazo abierto sin compensar. Si no se satisface las especificaciones de margen de fase y margen de ganancia, se determina un compensador adecuado que modifica la función de transferencia en lazo abierto. Finalmente, si se deben cumplir otros requisitos, se intenta satisfacerlos a menos que entre ellos existan contradicciones.
Información que se obtiene de la respuesta en frecuencia en lazo abierto. - La región de bajas frecuencias (por debajo de la frecuencia de cruce de ganancia) indica el comportamiento en estado estacionario del sistema en lazo cerrado. - La región de frecuencias medias (cercana al punto -1 + j0) muestra la estabilidad relativa. - La región de altas frecuencias (muy por encima de la frecuencia de cruce de ganancia) informa sobre la complejidad del sistema. Requisitos sobre la respuesta en frecuencia. En muchos casos prácticos, la compensación es en esencia, un compromiso entre precisión en estado estacionario y estabilidad relativa. Para un valor alto de la constante de error de velocidad y estabilidad relativa satisfactoria, es necesario volver a dar forma a la curva de respuesta en frecuencia en lazo abierto. La ganancia en la región de bajas frecuencias debe ser suficientemente grande, cerca de la frecuencia de cruce de ganancia, la pendiente de la curva de magnitud logarítmica en el diagrama de Bode debe ser de – 20 dB/década que debe extenderse sobre un rango amplio de frecuencias, asegurando un margen de fase adecuado. Para la región de altas frecuencias, la ganancia debe atenuarse lo más rápido posible a fin de reducir los efectos del ruido.
Figura Nº 1.- (a) Ejemplos de curvas de respuesta en frecuencia en lazo abierto deseables y no deseables; (b) Ejemplos de curvas de respuesta en frecuencia en lazo cerrado deseables y no deseables.
Figura Nº 2.- Modificación de la curva de respuesta en frecuencia en lazo abierto. En la figura Nº 2, la curva de respuesta en frecuencia modificada sigue al de G 1(jω) en la región de altas frecuencias y a G2(jω) en la región de bajas frecuencias. El lugar geométrico modificado G c(jω)G(jω) debe tener márgenes de fase y de ganancias razonables o bien ser tangentes a un círculo c írculo M adecuado, tal como se muestra.
Características básicas de la compensación de adelanto.- Mejora la respuesta transitoria y un pequeño cambio en la precisión en estado estacionario. - Acentúa los efectos del ruido de alta frecuencia. - Aumenta en uno el orden del sistema (siempre que no haya cancelación de un polo por el cero del compensador) Características básicas de la compensación de retardo.- Mejora apreciable en la precisión en estado estacionario. - Aumenta el tiempo de respuesta transitoria. - Suprime los efectos de las señales de ruido a alta frecuencia. - Aumenta en uno el orden del sistema (siempre que no haya cancelación de un polo por el cero del compensador). Características de la compensación de retardo-adelanto.- Aumenta en dos el orden del sistema (siempre que no haya cancelación de un polo por el cero del compensador). - Combina las características de la compensación de adelanto con las de retardo. - El sistema es más complejo dificultando el control de la respuesta transitoria.
COMPENSACIÓN DE ADELANTO CARACTERÍSTICAS DE LOS COMPENSADORES DE ADELANTO.La función de transferencia de un compensador de adelanto se expresa como:
Gc ( s )
Ts
K c
s
1
K c
1
Ts
s
1 T 1
(0
1)
T
Donde se denomina factor de atenuación del compensador. El valor mínimo de está limitado por la construcción física del compensador de adelanto, su valor mínimo se toma normalmente alrededor de 0.05 (significa que la fase mínima que puede producir el compensador es de 65º). La figura Nº 3, muestra el diagrama polar de: Gc ( j )
K c
j T
1
j
1
T
(0
1)
Con Kc = 1.
Figura Nº 3.- Diagrama polar de un compensador de adelanto (jωT + 1)/(jω T + 1), donde 0 <
< 1.
Sea m el ángulo de adelanto de fase máximo, ωm la frecuencia en el ángulo de adelanto de fase máximo; entonces de la figura Nº 3 se tiene que: Sen
1 m
1
La figura Nº 4, muestra el diagrama de Bode del compensador con K c = 1 y = 0.1. Se observa que las frecuencias de quiebre son ω = 1/T y ω = 1/ T y que ωm es la media geométrica de las dos frecuencias de quiebre, entonces: log
1 m
2
log
1
log
T
Por tanto: 1 m
T
1 T
Figura Nº 4.- Diagrama de Bode de un compensador de adelanto
j T
1
j
1
T
, donde
= 0.1.
Nota.- El compensador de adelanto es básicamente un filtro pasa alta (pasan las frecuencias altas, pero se atenúan las frecuencias bajas).
TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN DE ADELANTO. Se pretende modificar la curva de respuesta de frecuencia para proporcionar un ángulo de adelanto de fase suficiente para compensar el excesivo retardo de fase asociado a los componentes del sistema fijo.
Figura Nº 5.- Sistema de control. Sea el sistema de la figura Nº 5, supóngase que se dan las especificaciones en términos del margen de fase, margen de ganancia, constante de error estático de velocidad, etc. El procedimiento de diseño se plantea del modo siguiente: 1. En el compensador de adelanto antes descrito, defina K c = K; entonces: Gc ( s )
K
Ts
1
Ts
1
La función de transferencia del sistema compensado es: Gc ( s)G ( s)
K
Ts Ts
1 1
G( s)
Ts Ts
1 1
K G ( s )
Ts Ts
1 1
G1 ( s)
Donde G1(s) = KG(s). La ganancia K se determina a partir del requisito sobre la constante de error dada 2. Usando la ganancia K, dibuje el diagrama de Bode de G 1(jω), el sistema con la ganancia ajustada pero sin compensar. Calcule el margen de fase
3. Determine el ángulo de adelanto de fase que es necesario se añada al sistema. Incremente un adelanto de fase adicional de 5º a 12º al ángulo de adelanto de fase requerido. La adición del compensador desplaza la frecuencia de cruce de ganancia hacia la derecha y disminuye el margen de fase. 4. De las ecuaciones anteriores, determine compensado G1(jω) es igual a
. Determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no 1
20 log
de ganancia. Esta frecuencia corresponde a
. Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce 1
m
(
T )
y el cambio de fase máximo de
m
corresponde
a esta frecuencia. 5. Determine las frecuencias de quiebre del compensador: ω = 1/T y ω = 1/ T. 6. Usando el valor de K y de determinados en el paso 1 y 4, respectivamente; calcule Kc a partir de: K
K c
7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. Caso contrario, repita el proceso modificando la localización de polos – ceros del compensador hasta que se obtenga el resultado satisfactorio. EJEMPLO. Sea el sistema de la figura Nº 6 cuya función de transferencia en lazo abierto es: 4
G(s)
s(s
2)
Figura Nº 6.- Sistema de control Se quiere diseñar un compensador para el sistema de modo que la constante de error estático de velocidad sea de 20 seg-1, el margen de fase sea al menos de 50º y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB. El compensador tendrá la forma: Gc ( s)
1
Ts
K c
s
Ts
K c
1
s
1 T 1 T
Solución.Sea Gc(s)G(s), la función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado. Definimos: G1 ( s)
KG ( s)
4 K s( s
2)
Donde K = Kc . Ajustando K para que cumpla la especificación de funcionamiento en estado estacionario: K v
O bien: K = 10.
Lim s Gc ( s ) G ( s) s
0
Lim s s
0
Ts Ts
1 1
G1 ( s)
Lim s s
0
4 K s( s
2)
2 K
20
Dibujando el diagrama de Bode del sistema con K = 10 (ajustando pero sin compensar) de: 40
G1 ( j )
20
j ( j
j (0.5 j
2)
1)
Figura Nº 7.- Diagrama de Bode de G 1(jω). Del diagrama se observa que MF = 17º y MG = . El bajo margen de fase, indica que el sistema es muy oscilatorio por tanto, necesitamos mejorarlo hasta llegar a los 50º requeridos para el cual requerimos de 33º, al que añadimos 5º para compensar el desplazamiento de la curva debido al retardo de fase; luego, el adelanto de fase máximo requerido es Φ = 38º. Calculamos el factor de atenuación desde: m
Sen
1 m
1
Resultando = 0.24. Calculamos las frecuencias de quiebre del compensador de adelanto a partir de: 1 1
1
j T j
T
1 (
T )
1
j j
1 1 1
1 0.24
1 0.49
6.2 dB.
Pero G1 ( j ) 6.2 dB corresponde a ω = 9 rad/seg. Seleccionamos esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por definición: 1 c
(
T )
De donde: 1 T
c
0.49(9)
4.41
Y 1
9
c
0.49
T
18 .4
Kc lo determinamos de: K c
10
K
0.24
41.7
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es: Gc ( s)G ( s )
41.7
s
4.41
s
18 .4 s( s
4 2)
A continuación se muestra el diagrama de Bode del sistema compensado con su correspondiente diagrama de bloques. Para sistemas tipo 1, el valor de la constante de error estático de velocidad K v es igual a la frecuencia resultante de intersecar la línea de pendiente inicial de -20 dB/década con la línea de 0 dB (ver el diagrama de Bode)
Figura Nº 8.- Diagrama de Bode del sistema compensado.
Figura Nº 9.- Sistema compensado. Las funciones de transferencia del sistema no compensado y del compensado s on: C ( s ) R( s)
4 s2
2s
4
Y 166 .8s
C ( s) R( s )
s3
20 .4 s 2
735 .588 203 .6s
735 .588
Los polos dominantes del sistema compensado en lazo cerrado son s imaginario, por tanto la respuesta se amortigua con rapidez.
6.9541
j8.0592 , lejos del eje
Cuadro Nº 1.- Programa MATLAB de respuesta al escalón unitario y a la rampa unitaria.
Figura Nº 10.- Curva de respuesta al escalón unitario del sistema compensado y no compensado.
Figura Nº 11.- Curva de respuesta a la rampa unitaria del sistema compensado y no compensado
COMPENSACIÓN DE RETARDO. CARACTERÍSTICAS.Sea el compensador de retardo cuya función de transferencia es:
Gc ( s )
K c
Ts 1 Ts 1
s K c s
1 T 1 T
(
1)
Figura Nº 12.- Diagrama polar del compensador de retardo.
Figura Nº 13.- Diagrama de Bode del compensador de retardo con K c = 1 y β =10. La función principal del compensador es proporcionar una atenuación en el rango de las altas frecuencias a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. La característica de retardo de fase no tiene importancia en la compensación por retardo. El compensador de retardo es esencialmente un filtro pas o baja.
TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN.1. Para el compensador de retardo indicado, se define: K cβ = K
Gc ( s)
T s 1
K
T s 1
La F.T de lazo abierto del sistema compensado: Gc ( s) G ( s) K
Ts 1 Ts 1
G( s )
Ts Ts
1 1
KG( s)
Ts Ts
1 1
G1 ( s)
Donde G1(s) = KG(s) Determine K se determina a partir de los requisitos sobre la constante de error estático. 2. Si el sistema no compensado pero ajustado en ganancia G 1(jω) = KG(jω) no satisface las especificaciones de MF y MG, halle la frecuencia donde el ángulo de fase de la F.T de lazo abierto es igual a –180 más el margen de fase requerido. El MF requerido es el especificado más 5°a 12° que compensa al atraso de fase del compensador. Seleccione esta frecuencia como nueva frecuencia de cruce de ganancia. 3. Para evitar efectos perjudiciales del desfase producido por el compensador de retardo, el polo y cero del compensador deben ubicarse sustancialmente por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por lo
tanto, seleccione la frecuencia d e quiebre ω = 1/T, entre una octava y una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. (Si las constantes de tiempo del compensador no se hacen grandes, ω = 1/T se puede escoger una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia). Al seleccionarse el polo y el cero del compensador suficientemente pequeños, el retardo de fase ocurre en la región de bajas frecuencias de manera que no afecta al margen de fase. 4. Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Si se considera que esta atenuación es de –20 log ; determine el valor de . Luego la otra frecuencia de cruce se determina de ω = 1/( T) 5. usando el valor de K determinado en 1 y determinado en 4; calcule KC de KC = K/
EJEMPLO: Si la F.T de lazo abierto: G( s )
1 s (s
1) ( 0.5 s
1)
Figura Nº 14.- Sistema de Control. Se desea compensar el sistema de forma que K v = 5 s-1. El MF por lo menos 40° y el MG al menos 10 dB. Utilizando un compensador de retardo.
Solución: Sea KC = K G1 ( s )
K
K G ( s )
s (s
1) (0.5 s
1)
Ajustando la ganancia K: K v
Lim Gc ( s)G ( s) s
0
Lim sG1 ( s) s
0
O bien: K = 5. Trazamos el diagrama de Bode de: G1 ( j )
5 j ( j
1) (0.5 j
1)
Lim s
0
s K s (s
1) (0.5 s
1)
K
5
Figura Nº 15.- Diagramas de Bode del sistema sin compensar y compensado. En la gráfica se observa un MF de –20° en G1(jω), entonces el sistema es inestable. Nótese que la adición de un compensador en atraso modifica la curva de fase en el diagrama de Bode. Se debe añadir 5° a 12° al MF especificado para compensar dicha modificación. La frecuencia para MF de 40° es 0,7 rad/seg. La nueva frecuencia de cruce de ganancia (del sistema compensado) debe elegirse cerca de este valor. Para evitar valores extremadamente grandes de constantes de tiempo para el compensador, se elige la frecuencia de cruce ω =
1/T de un valor de 0,1 rad/seg; como esta frecuencia no esta demasiado por debajo de la nueva frecuencia de cruce, la modificación en la curva de fase puede no ser pequeña. Por tanto se agregan 12° al MF requerido siendo ahora 52°. El ∟G1 (j ) es ahora –128° a ω = 0,5 rad/seg. Se elige ω del cruce de ganancia de 0.5 rad/seg, para bajar la magnitud a 0db, en esta nueva frecuencia de cruce de ganancia, el compensador en atraso debe producir la atenuación necesaria la que en este caso es –20 db, entonces: 20 log 1/β = - 20; o bien: = 10. La otra frecuencia de cruce ω = 1/ T = 0.01 rad/seg.
Entonces: Gc
K c (10)
10 s
1
100 s
1
Gc ( s ) G ( s )
K c
5 (10 s s(100 s
1)( s
K
5
0.5
10 1) 1)(0.5 s
1)
La función de transferencia del sistema compensado y sin compensar es, respectivam ente: 50 s
C ( s ) R( s)
Y
50 s 4
150 .5s 3
5 101 .5s 2
15 s
5
C ( s) R( s)
1 0.5s 3
1.5s 2
s
1
Cuadro Nº 2.- Programa MATLAB de la respuesta al escalón unitario y a la rampa unitaria.
Figura Nº 16.- Curvas de respuesta al escalón unitario para el sistema compensado y no compensado.
Figura Nº 17.- Curvas de respuesta a la rampa unitaria para el sistema compensado y no compensado. Los polos y ceros de lazo cerrado del sistema compensado son: Polos en: s 0.2859 j 0.5196, s 0.1228, s Ceros en: s 0.1
2.3155
Los polos dominantes están muy cerca al eje jω, por lo que la respuesta es lenta. Asimismo, el par formado por el
polo en lazo cerrado en s = -0.1228 y el cero en s = -0.1 produce una cola lentamente decreciente de amplitud pequeña.
COMPENSACIÓN DE RETARDO-ADELANTO. CARACTERÍSTICAS. Sea el compensador de retardo-adelanto: s Gc ( s)
K c s
1 T 1 T 1
s s
1 T 2 ; Donde 1 T 2
>1 y
El término: 1 T 1
s s
T 1
s s
1 T 2 1 T 2
1 T 1 s T 1 s
1
; γ > 1 ; produce el efecto de la red en adelanto.
1
T 2 s T 2 s
1 1
; β > 1 ; produce el efecto de la red en atraso.
Para el diseño, con frecuencia se elige = .
>1
Figura Nº 18.- Diagrama polar de un compensador de retardo-adelanto con K c = 1 y = . En el diagrama polar de la figura se observa que para 0 < ω < ω1 el compensador actúa como compensador de retardo. Si ω1< ω < ∞ actúa como compensador de adelanto. La frecuencia ω1 es aquella en la cual el ángulo de fase es cero y viene dado por: 1 1
T 1 T 2
Figura Nº 19.- Diagrama de Bode del compensador con K c = 1, = y T2 = 10T1. Del diagrama de Bode se observa que la curva de magnitud tiene un valor de 0 dB en las regiones de bajas y altas frecuencias.
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO Combina las técnicas de diseño de compensación en adelanto y compensación en atraso. Suponiendo que el compensador tiene la forma siguiente:
Gc
(T 1 s 1) (T 2 s 1) K c T ( 1 s 1) ( T 2 s 1)
1
(s
T 1
K c
(s
T 1
) (s
) (s
1 T 2
)
1 T 2
;
1
)
La porción que incluye T 1 altera la curva de respuesta en frecuencia, agregando cierto adelanto de fase, e incrementando el MF a la frecuencia de cruce de ganancia. La porción de atraso de fase que incluye T 2; produce atenuación cerca o por arriba de la frecuencia de cruce de ganancia en el rango de bajas frecuencias para mejorar el comportamiento en estado estacionario. El ejemplo ilustra los detalles de los procedimientos de diseño.
EJEMPLO: Considere el sistema con retroalimentación unitaria. G( s)
K s (s
1) ( s
2)
;
Se desea un Kv = 10 seg-1, MF = 50° y MG ≥ 10 db. Suponga que se usa un
compensador de retardo-adelanto.
Solución.En lazo abierto la F.T. es GC (s) G(s) 1. suponiendo KC = 1;
Lim G c ( s )
s
1
0
A partir del requisito sobre el error estático de velocidad, se tiene: K v
Lim s G c ( s ) G ( s )
s
0
K
2
10
K
20
Figura Nº 20.- Diagrama de Bode del sistema no compensado (G), compensado (G cG) y del compensador (Gc). Se observa que el margen de fase del sistema no compensado pero ajustado en ganancia es -32°, lo que indica que el sistema es inestable. 2. Se selecciona una nueva frecuencia de cruce de ganancia. De la curva de fase se determina que ∟G(jω) = 180° a ω = 1.5 rad/seg. Conviene que la nueva frecuencia de cruce de ganancia sea 1.5 rad/seg de modo que
el adelanto de fase de ángulo de fase requerido sea alrededor de 50° que es bastante posible utilizando sólo una red de atraso – adelanto. 3. se determina la frecuencia de cruce ω = 1/T2 una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce, entonces .ω = 0.15 rad/seg: 4. Determinamos a partir de : Sen
1 m
1
0.766
7.548
Elegimos β = 10 entonces, MF = 54.9°.
5. la frecuencia de cruce: 1/ βT2 = 0.015 rad/seg. La función de transferencia de la porción de atraso de fase del compensador es:
s
0.15
s
0.015
10
6.67 s
1
66.7 s
1
6. la porción de adelanto de fase se determina así: si la frecuencia de cruce de ganancia es ω = 1.5 rad/seg entonces: G(1.5) = 13 dB. A partir de este requisito, se traza una línea recta con pendiente de 20 dB/ década que pasa por el punto (1.5 rad/seg, –13 dB). La intersección de esta línea con las líneas de 0 dB y –20 dB determinan las frecuencias de cruce, que son: ω = 0,7 rad/seg. y ω = 7 rad/seg.
La F.T de la porción en adelanto es: 0.7
s s
1.43 s
1
1
10 0.143 s
7
1
Como KC = 1 (
s
0.15
s
0.015
)(
0.7
s
7
s
)
6.67 s
1
1.43 s
66.7 s
1
0.143 s
1 1
La F.T de lazo abierto del sistema compensado es: 10 1.43 s
Gc ( s) G( s)
s 0.143 s
1 6.67 s
1 66 .7 s
1 s
1 1 0 .5 s
1
Se observa que el Sistema compensado tiene MF = 50º y MG = 16 dB y K v = 10 seg -1, cumpliendo los requisitos de diseño. 7. Se examina las características de la respuesta transitoria, para ello la función de transferencia de lazo cerrado del sistema compensado es: 95.381s 2
C ( s) R( s)
4.769s 5
47.7287s 4
81s
110.3026s 3
10 163.724s 2
82s
10
Los polos y ceros en lazo cerrado son: Ceros en s = -0.1499, s = -0.6993. Polos en s = -0.8973 ± j1.4439, s = -0.1785,
s = -0.5425,
s = -7.4923
El polo en s = -0.1785 y el cero en s = -0.1499 se localizan uno muy cerca del otro, produciendo una cola larga de pequeña amplitud en la respuesta escalón (ver la figura Nº 21). También, el polo en s = -0.5425 y el cero en s = -0.6993 se localizan relativamente cerca uno del otro, añadiendo así amplitud a la larga cola.
Figura Nº 21.- Respuesta escalón unitario del sistema compensado.
Figura Nº 22.- Respuesta rampa unitaria del sistema compensado.
EJEMPLO: Considere el sistema mostrado. Diseñar un compensador en adelanto tal que el sistema en lazo cerrado tenga un MF de 50° y MG de al menos 10dB. Se desea que BW (ancho de banda) sea de 1 a 2 rad/seg.
Solución.-
Figura Nº 23.- Sistema de Control.
Gc ( j ) G ( j )
K c
1
T j 1 T j
1
0.2 2
j
1
0.2 j
1
El BW es cercano a la frecuencia de cruce ganancia se elige ω m = 1 rad/seg, entonces ∟G(j ) = 191,31°; entonces la red de adelanto debe proveer 50° + 11,31 ° = 61.31° a ω = 1 rad/seg. se determina de: 1 Sen m 0.87723 15.2906 1 Pero Φm se produce en la media geométrica de ambas frecuencias de cruce:
1 m
T T
T
Por tanto: Gc ( j ) G( j )
T
0.0654 K c
15 .2906 T
3.91 j 0.2557 j
T
1
1 j
3.91 .
1 0.2 2
0.2 j
1
Figura Nº 24.- Diagramas de Bode del sistema de la figura Nº 23. Del diagrama de Bode se observa que la curva de magnitud debe elevar: 2.306 db. Entonces: 20 log 0.06541Kc = 2.306 ; Kc = 19.94 BW = 1.98 rad/seg; Mr = 2.13 db y ωr = 0.54 rad/seg.
EJEMPLO.Considerando el sistema mostrado en la figura. Diseñar un compensador serie de manera que la constante de error de velocidad: Kv = 20 seg.-1; el margen de Fase MF = 50° y margen de ganancia MG ≥ 10 dB.
Figura Nº 25.- Sistema de Control. Solución.Probando con un compensador de adelanto. Se define Gc ( s)
1
Ts
K c
s
Ts
K c
1
s
1 T 1 T
Sea Gc(s)G(s), la función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado. Definimos: G1 ( s )
10 K
KG ( s )
s(s
1)
Donde K = Kc . Ajustando K para que cumpla la especificación de funcionamiento en estado estacionario: K v
Lim s Gc ( s) G ( s) s
0
Lim s s
0
Ts Ts
1 1
G1 ( s )
Lim s s
0
10 K s( s
1)
O bien: K = 2. Dibujando el diagrama de Bode del sistema con K = 2 (ajustando pero sin compensar) de: G1 ( j )
20 j ( j
1)
Cuadro Nº 3.- Programa MATLAB
10 K
20
Figura Nº 26.- Diagrama de Bode de G 1(jω). Del diagrama se observa que MF = 14º y MG = . El bajo margen de fase, indica que el sistema es muy oscilatorio por tanto, necesitamos mejorarlo hasta llegar a los 50º requeridos para el cual requerimos de 36º, al que añadimos 5º para compensar el desplazamiento de la curva debido al retardo de fase; luego, el adelanto de fase máximo requerido es Φ = 41º. Calculamos el factor de atenuación desde: m
Sen
1 m
1
Resultando = 0.2077. Para = 0.21 corresponde Φ = 40.76º, por tanto escogemos Calculamos las frecuencias de quiebre del compensador de adelanto a partir de: m
1 1
1
j T j
T
1 (
T )
1
j j
= 0.21
1 1 1
1 0.21
1 0.4583
6.7778 dB.
Pero G1 ( j ) 6.7778 dB corresponde a ω = 6.5 rad/seg. Seleccionamos esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
Cuadro Nº 4.- Programa MATLAB del diagrama de Bode de G 1(jω) para ω entre 1 y 10 rad/seg.
Figura Nº 26.- Diagrama de Bode de G 1(jω) para ω entre 1 y 10 rad/seg. Por definición: 1 c
(
T )
De donde: 1
6.5 0.21
c
T
2.9787
Y 1
c
T
6.5 0.21
14 .1842
Kc lo determinamos de: K c
K
0.21
La función de transferencia del compensador es: Gc ( s )
9.5238
2
s
2.9787
s
14 .1842
9.5238
2
0.3357 s
1
0.07050 s
1
Cuadro Nº 5.- Programa MATLAB del diagrama de Bode del Compensador de adelanto.
Figura Nº 27.- Diagrama de Bode de G c(s). La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es: Gc ( s)G ( s)
9.5238
s s
2.9787
95 .238 s
10
14 .1842 s( s
1)
s3
283 .6854
15 .1842 s 2
14 .1842 s
Cuadro Nº 6.- Programa MATLAB del diagrama de Bode del sistema compensado.
Figura Nº 28.- Diagrama de Bode del sistema compensado.
Se observa que el Margen de fase es aproximadamente 50º y que el margen de ganancia es infinito, también la constante de error estático de velocidad es 20 seg -1, cumpliéndose los requisitos de diseño. Las funciones de transferencia del sistema no compensado y del compensado son: C ( s ) R ( s )
10 s
2
s
10
Y 95 .238 s
C ( s ) R( s)
s3
15 .1842 s 2
283 .6854 109 .4222 s
283 .6854
El cero y los polos del sistema compensado en lazo cerrado son se ubican en: Ceros en s = -2.9787 Polos en s s = -4.7303. 5.2270 j 5.7141 ,
Cuadro Nº 7.- Programa MATLAB para la respuesta escalón unitario
Figura Nº 29.- Respuesta escalón unitario de los sistemas compensado y no compensado.
Cuadro Nº 8.- Programa MATLAB de la respuesta rampa unitaria
Figura Nº 30.- Respuestas rampa unitaria de los sistemas compensado y no compensado.
PROBLEMAS PROPUESTOS. 1.
Considere el sistema de la figura P-1. diseñe un compensador tal que la constante de error estático de velocidad K v sea de 50 seg-1 y el margen de fase sea de 50º y el margen de ganancia no sea menor que 8 dB. Grafique con MATLAB las curvas de respuesta escalón y rampa unitaria de los sistemas compensados y no compensados.
Figura P-1.- Sistema de control. 2.
Considere el sistema de la figura P-2. diseñe un compensador tal que la constante de error estático de velocidad sea de 4 seg-1, el margen de fase sea de 50º y el margen de ganancia sea de 10 dB o más. Grafique con MATLAB las curvas de respuesta escalón unitario y rampa unitaria del sistema compensado.
Figura P-2.- Sistema de Control. 3.
Considere el sistema de la figura P-3. Se desea diseñar un compensador tal que la constante de error estático de velocidad sea de 4 seg -1, el margen de fase sea de 50º y el margen de ganancia de 8 dB o más. Grafique con MATLAB las curvas escalón unitario y rampa unitaria del sistema compensado.
Figura P-3.- Sistema de control. 4.
Considere el sistema de la figura P-4. Diseñe un compensador de retardo-adelanto tal que la constante de error estático de velocidad Kv sea de 20 seg-1, el margen de fase sea de 60º y el margen de ganancia no sea menor que 8 dB. Grafique c on MATLAB las curvas de respuesta del sistema compensado.
Figura P-4.- Sistema de control. 5.
Remitiéndonos al sistema en lazo cerrado de la figura P-5, diseñe un compensador de adelanto G c(s) tal que el margen de fase se 45º, el margen de ganancia no sea menor que 8 dB y la constante de error de velocidad K v sea de 4.0 seg -1. Grafique con MATLAB las curvas de respuesta escalón unitar io y rampa unitaria del sistema compensado.
Figura P-5.- Sistema en lazo cerrado. 6.
Sea un compensador de retardo-adelanto G c(s) definido por: s Gc ( s)
K c s
1 T 1 T 1
s s
1 T 2 1 T 2
Demuestre que, en la frecuencia ω 1, donde:
1 1
T 1 T 2
El ángulo de fase de G c(jω) es cero. 7.
Sea el sistema de control que se muestra en la figura P-7. Determine el valor de la ganancia K tal que el margen de fase sea 60º. ¿Cuál es el margen de ganancia con este valor de la ganancia K?
Figura P-7.- Sistema de Control 8.
Sea el sistema con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es: K G (s) s ( s 1)( s 4) Diseñe un compensador G c(s) de retardo-adelanto tal que la constante de error estático de velocidad sea de 10 seg -1, el margen de fase sea de 50º y el margen de ganancia sea al menos 10 dB.
9.
Sea el sistema que se muestra en la figura P-9. Diseñe un compensador tal que la constante de error estático de v elocidad sea de 4 seg -1, el margen de fase sea de 50º y el margen de ganancia sea de al menos 10 dB. Obtenga las curvas de respuesta a un escalón unitario y una rampa unitaria del sistema compensado con MATLAB.
Figura P-9.- Sistema de Control 10. El proceso controlado de un sistema de control con realimentación unitaria es: K GP ( s ) s ( s 5) 2 Diseñe un controlador de atraso de fase en el dominio de la frecuencia para que las especificaciones de desempeño siguientes se satisfagan: Margen de fase ≥ 70º. Constante de error rampa K v = 10, 11. En este ejercicio se requiere analizar la estrategia de control propuesta (Red de adelanto) para actuar sobre el vehículo de la figura. Considerando que la estructura del vehículo se comporta como un rígido, un diagrama en bloques que representa el funcionamiento de todo el sistema seria:
Figura P-11(a).- Vehículo espacial.
Figura P-11(b).- Sistema de Control Teniendo:
M = 500 Kg T = 0.01 seg a) Calcular los márgenes de ganancia y de fase que posee el sistema a lazo abierto con Gc(s)=1. b) Agregar una acción de control Gc(s) que lleve al s istema a tener : Margen de ganancia: 20 db Margen de fase 15 12. Dado el proceso: G ( s )
4
, diseñar un compensador de adelanto de fase de modo que la s ( s 1) (0.5 s 1) constante de error estático de velocidad sea Kv = 5 seg -1, el margen de fase sea al menos de 40º y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB.
13. Considere un sistema con retroalimentación unitaria negativa con: G (s)
K
s ( s 2)( s 3) Donde K se iguala a 20 para lograr una K v = 3.33 especificada. Deseamos agregar un compensador de retardo-adelanto: ( s 0.15 )( s 0.7) Gc ( s ) ( s 0.015 )( s 7) Demuéstrese que el margen de ganancia del sistema compensado es 24 dB y que el margen de fase es de 75º.
