Comp

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CONTENIDO MATEMÁTICA MATEMÁ TICA I

1

MATEMÁTICA MATEMÁ TICA II II

81

FÍSICA

187

QUÍMICA

255

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

389

RAZONAMIENTO VERBAL

437















































































































Me es grato presentar el Compendio Académico del Centro Pre Universitario de la Universidad Nacional del Altiplano de Puno, elaborado por un equipo de docentes con alto nivel académico y de experiencia cur r i cular ul ar y profes profesional ional . El ins in st r umento ument o est á or ientado a est i mul ar y preparar a los estudiantes en los distintos conocimientos teóricos, que posibiliten el estudio y aprendizaje sustantivo para el desarrollo académico y de acuerdo a las exigencias de la formación universitaria. En las distintas asignaturas se vienen incidiendo en los contenidos más importantes y relevantes que se desarrollan en el CEPREUNA, en las áreas de l as Cienc Ci encii as B i om édic di cas, Cie Ci en ci as de l a I ngenie ngeni er ía y Cie Ci encias nci as Soc Soci ale al es, de tal forma que se constituya en un eficiente instrumento y de apoyo a vuestra formación. Esperamos, ahora, que han decidido ingresar a la Universidad Nacional del Altiplano de Puno y a través de su Centro Preuniversitario, aprovechen la información que alcanzamos a vuestra disposición. Estamos seguros, que este material le va a ser de importante ayuda y en este sentido, les deseamos éxito en lo que van a emprender.

Dr . Wenceslao Medina Espinoza















































































































AUTORIDADES UNIVERSITARIAS Rect Rect or Dr . Luc Lu cio Ávi la Rojas Rojas Vicerrector Académico Dr . Ge Ger mán Yabar Yabar Pilc Pil co Vicerrector Administrativo Dr . Edgar Edgar do Pine Pin eda Qui Quisspe

COMI TÉ EDI TOR TOR Dr. Wenceslao Teddy Medina Espinoza M .S .Scc. Edwin Edwi n Fe F eder der i co Orna Or na Rivas M g. Jul io Ce Cesar Vill Vi ll alt a Pac Pacor i M .S .Scc. Raúl Sanga Ca Catt un untt a Lic. Edgar Pacompia Belizario Est. Mariela Diane Lima Quispe Est. Husam Jeiel Flores Dueñas

EDICION Y DIAGRAMACIÓN Lucio Elías Flores Bustinza Elwin Luis Huamán Quispe















































































































MATEMÁTICA I































































































































































































































“Si la Matem Matematica ´ hablase, hablase, emplear´ ıa a la l´ ogica para comunicarse”... La logica consti titu tuye ye una una de las part partes es mas ´ importantes importantes del desarrollo desarrollo ´ tradicional o logica ´ Aristot´ elica cons de la matemática como ciencia exacta , estudiarla en detalle demandar´ıa ıa mucho tiempo y dedicación, on, as´ı que en esta parte solo tratare trataremos mos los aspectos aspectos básicos asicos pero importante importantess que todo estudiant estudiante, e, que aspira seguir seguir una carrera de ciencias o ingenier´ ingenier´ıas, ıas, debe saber. saber.

−

−

En general general,, un enunciado es toda toda fras frase e u orac oraci´ ión o n que que se utili utiliza za en el leng lengua uaje je com comun, ´ por consig consiguie uiente nte,, toda expresión on que decimos u o´ımos ımos (con sentido o carente de el) e ´ l) son ejemplos de enunciados. Luego, podemos definir a una proposici´ on como aquel enunciado que expresa un pensamiento o idea cabal y que en muchos casos es suceptible a ser demostrado. Entre las proposiciones destacan las llamadas cuya caracter´ caracter´ıstica ıstica fundamental es la se ser verdadera: “V” o falsa: “F” pero no proposiciones proposiciones logicas ´ ambas a la vez. Por ejemplo: 1. Juan borrador borrador cielo do re cuarzo tres. tres. 2. Vamos Vamos a jugar un partido de futbol. ´ 3. Jupiter ´ es un planeta más as grande que Marte. 4. Dos tercios es mayor que la unidad. Claramente, el ejemplo 1 es un enunciado sin sentido, 2 es una proposición, on, 3 es una proposición on verdadera y 4 es una proposición on falsa. Luego, solo 3 y 4 son proposiciones lógicas. ogicas. La veracidad o falsedad de una proposición lógica ogica se obtiene de la disciplina o suceso de donde proviene en base a raciocinios coherentes y sistemáticamente aticamente organizados. Convensionalmente, a las proposiciones lógicas ogicas se les representa mediante las letras minúsculas: p, q , r, s, t, etc. cada una de estas letras constituye una variable proposicional . Dada una proposición o n lógica ogica p, siempre es posible saber si es verdadera (V) o falsa (F), es decir, siempre se puede averiguar su valor de verdad, esto se dispone en una tabla llamada tabla de verdad: Valor Valor de verdad Verdadero Verdadero

p V

















































































































”; “ p La conjunci´ on: p q , se lee: “ p y q ”; además q ”; ”; “ p también en q ”; ”; “ p al mismo tiempo que ”; “ p as´ı como q ”; ”; etc. q ”;

”; “ p implica implicaci´ on, se lee: “si p entonces q ”; ”; “q puesto que p”; “q , si p”; “ p es suficiente suficiente para q ”; que q ”; ”; etc. A p se le llama antece antecedente dente y a q consecuente.

∧

en p q , llamada también La disyun disyunci cion: ´ ”; “ p saldisyunci´ on d´ ebil o inclusiva, se lee: “ p o q ”; vo q ”; ”; “ p a menos que q ”; ”; etc.

∨

La condicional: p

→ q

La bicondicional: bicondicional: p q , se lee: “ p si y solo si q ” o “ p es una condición on necesaria y suficiente para q ”. ”.

↔

, llamada también en

Tablas de verdad de los principales principales conectivo conectivoss logicos: ´

p V V F F

q V F V F

p

∧q

V F F F

p

∨q

V V V F

p

→q V F V V

p

↔ q V F F V

on “ ” es verdadera solo cuando las dos proposiciones son verdaderas, en Observe que: La conjunción cualquier otro caso es falsa. La disyunción “ ” es falsa solo cuando las dos proposiciones son falsas, en cualquier cualquier otro caso caso es verdadera. verdadera. La condicion condicional al “ ” es falsa solo cuando el antecedente antecedente es verdadero y el consecuente consecuente falso, falso, en cualquier cualquier otro caso caso es verdadera. verdadera. La bicondicional bicondicional “ ” es verdadera verdadera cuando las dos proposiciones son iguales y es falsa cuando son diferentes. Estas observaciones son muy prácticas acticas cuando se quiere evaluar la tabla de verdad de una proposición on compuesta.

∧

∨

→

↔

convensionalmente mente se lee: “ no p” cuando la proposición on es simple, por ejemplo, La negaci negacion ´ 1 : p convensional si p: Juan es médico. edico. edico. p: Juan no es médico.

∼

⇒ ∼

Y cuando la proposici on ´ es compuesta, compuesta, se suelen suelen usar las las expresione expresiones: s: “no es cierto cierto que p” o “es falso que on compuesta: p” o “no es el caso que p”, etc. Por ejemplo la proposición

No es el caso que Juan sea m´ edico y Miguel abogado. abogado. Tiene como proposiciones proposiciones simples a p: Juan es m´ edico. edico. y a q : Miguel es abogado. Luego, su enunciado inicial se representar´ıa ı a como como:: ( p q )

∼ ∧

La negaci´

“ ” cambia el valor de verdad donde se haga presente, es decir:

( V )

F ; tambi´

















































































































on de la conju conjunci´ nción, on, se lee lee “no p o no q ”. ”. La negaci negacion ´ alternat alternativa: iva: p q es la negación

|

La negaci negacion ´ conju conjunta nta:: p

on de la disyunción, on, se lee “ni p ni q ”. ”. ↓ q es la negación

Sus tablas de verdad son:

p V V F F

q V F V F

p∆q F V V F

p

←q

p q F V V V

|

V V F V

p

↓ q

F F F V

Observe Observe que con 2 proposicione proposicioness simples simples ( p total 4 combinaciones combinaciones posibles. posibles. En general, general, p y q ) existen en total si en una proposición on compuesta existen n proposiciones simples, entonces: Numero ´ de combinaciones = 2

n

on compuesta, compuesta, las operaciones operaciones se realizan realizan Jerarqu´ ıa de los conectivos l´ ogicos: En una proposición usandos los delimitadores: paréntesis “( )”, corchetes “[ ]” o llaves “ ”; se efectúan las proposiciones que se encuentran encuentran dentro dentro de estos delimitadores delimitadores y luego siguen sus negaciones negaciones de izquierda izquierda a derecha. derecha.

{}

Si en una proposición on compuesta se tiene un valor VERDADREO para cualquier combinación on de valores valores veritativos veritativos de sus sus componente componentess se le llama tautolog´ contrario es siempre FALSO FALSO,, se ıa, si por el contrario le llam llama a contradicci por lo menos menos existe existe una V y por por lo menos menos una F, F, se le llam llama a contingencia . contradiccion ´ , y si por Una implicaci´ condicional p ıa, en tal caso a la condicional on l´ ogica es toda condicional q que sea tautolog´ıa, se le denota por “ p ”. También, en, una equivale es toda bicondicional p equivalencia ncia l ogica ´ q ”. q que sea tautolog´ıa, ıa, en tal tal caso a la bicondicion bicondicional al se le denota por “ p ”. q ”.

→

⇒

↔

⇐⇒

Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes o logicamente ´ equivalentes equivalentes si sus tablas de verdad son id´ identicas. e´ nticas. Esto se simboliza por: “ p ”, lo significa que el resultado es el mismo si en lugar de p se q ”, considera a q .

≡

Leyes del algebra ´ proposicional:

1.

c)

Idempo Idempoten tencia cia::

a) b)

∧ ≡p p ∨ p ≡ p

d)

p p

5.

→ (q ∧ r) ≡ ( p → q ) ∧ ( p → r) p → (q ∨ r ) ≡ ( p → q ) ∨ ( p → r) p

De D’Mo D’Mo

















































































































8.

De la bicond bicondici iciona onal: l:

a) b) 9.

e) f )

↔ q ≡ ( p → q ) ∧ (q → p) p ↔ q ≡ ( p ∧ q ) ∨ (∼ p∧ ∼ q ) p

g)

Equiva Equivalen lencia ciass adicio adicional nales: es:

a) b) c) d)

∨ ∼ p ≡ V p ∧ V ≡ p p ∧ F≡ F p ∧ ∼ p ≡ F ∼ (∼ p) ≡ p p ∆ q ≡ ( p∧ ∼ q ) ∨ (q ∧ ∼ p) p ∆ q ≡ ( p ∨ q )∧ ∼ ( p ∧ q ) p

h)

∼ V ≡ F ∼ F ≡ V p ∨ V ≡ V p ∨ F≡ p

i) j) k)

verdad1 , es decir:

Si la proposición: on:

∼ {∼ [∼ (∼ p∨ ∼ q ) → (r∆q )])] ∧ (∼ s ∧ p)}

∼ [∼ (∼ p∨ ∼ q ) → (r∆q )])] ∧ (∼ s ∧ p ) ≡ V F

F

es una cantradicción, on, entonces entonces los valores de verdad de p, q , r y s; respectivament respectivamente; e; son: A) VVVV D) VVVF

B) VVFF

C) VFVF E) FFVV

Se define “ p

∗ q ” mediante la tabla: p q p ∗ q V V F F

V F V F

V V F V

F

V

F

V

V

F

⇒

V

V

revise esta deducción on de abajo hacia arriba. Si r y q deben ser iguales. (r∆q ) F

≡ ⇒

Si es una contradicción, on, entonces es falsa, por lo tanto la expresión on dentro de las llaves debe ser

V

                     

Claramente: p

≡ V

; q

≡ V

; r

≡V

; s

≡F

Rpta: D

molecular propuesto:

p V V F

q V F V

[(

∼ p ∗ F F V

F V V

q ) V F V

∗

F V V

p] V V F

→ V F V

(q p)

∗

V F V

















































































































Simplificar Simplificar la proposici´ proposición: on:

E = A) p q D) p q

∼ ∧∼ →

∼ [∼ ( p ∧ q ) →∼ q ] B) p ∧ q

justificaci´ justificacion: o´ n:

≡ ∼ [∼∼ ( p ∧ q )∨ ∼ q ] ≡ ∼ [( p ∧ q )∨ ∼ q ] ≡ [∼ ( p ∧ q )∧ ∼∼ q ] ≡ [(∼ p∨ ∼ q ) ∧ q ] ≡ (∼ p ∧ q ) ∴ E ≡ ∼ p ∧ q

E C) p q E) p q

∨ ∼ ∧

Reducimos Reducimos la proposici´ proposición on E empleando quivalencias cias logicas. o´ gicas. Note que en cada paso se da su correspondiente

Def. de la condicional Doble negación on D’Morgan D’Morgan, Doble neg. Absorción. on.

Rpta: E

Todo el el estudi estudio o de la Matem´ Matemática atica se realiza realiza sobre sobre determ determina inados dos objeto objetoss llamado llamadoss conjuntos, es as´ as´ı que los conjuntos tienen un rol muy importante en la Matemática. atica. En esta parte expondremos las ideas y conc concep epto toss mas ´ elementales elementales sobre la teor´ teor´ıa ıa de conjunto conjuntoss que todo todo estudia estudiante nte debe debe conocer conocer como como m´ınimo. ınimo.

Un conjunto es una colecci´ on o agrupaci´ on de objetos bien definidos (llamados sus elementos) que pueden ser abstractos y/o concretos. concretos. Todo conjunto se puede determinar por: 1.

elementos uno por uno. Por extensi´ on o en forma tabular: tabular: Cuando se citan a sus elementos

2.

Por comprensi´ on o forma constructiva: Cuando se indica una propiedad, cualidad o caracter´ısti ı stica ca com comun ´ de sus elementos.

Por ejemplo, si A es un conjunto 1 cuyos elementos son a, e, i, o, u , entonces: A = a, e, i, o, u es su representaci´ on por exten extensi´ sión. on. Y: A = x x es una vocal es su representación on por compre comprensi´ nsión. on.

{|

}

{

}

Cualqu Cualquier ier conjun conjunto to se puede puede repres represenentar gráficame aficamente nte haciendo haciendo uso de los conoci conoci-dos diagramas de Venn Euler. Un diagrama de Venn Venn Euler es cualquier figura plana cerrada. La figur figura a mues muestr tra a la repre represe sent ntac aci´ ióngr´ o ngráfica afica para el conjunto A del ejemplo anterior.

−

−

La relaci´ on de pertenencia se dá exclusivamente entre un conjunto y sus elementos. Si x es un elemento de un conjunto X , se dice que x “pertenence” al conjunto X y se escribe: “ x ” . Si por el X ”.

∈



















































































































Luego, se define el cardinal de un conjunto finito 1 como el número n de elementos no repetidos que posee. Notación: o n: card card(X ) = n Por definición, on, el cardinal del conjunto vac´ıo ıo Φ es cero: card(Φ) = 0 Naturalmente, un conjunto con un solo elemento se llama conjunto unitario, por ejemplo, si en X = 5;5;5;5;5 = 5 lo es. A = x, y, z es un conjunto unitario x = y = z ; también

{

}

⇒

{

} {}

3.

conjunto se llama llama infinito cuando no es finito. Conjunto Conjunto infinito: infinito: Un conjunto

4.

Conjunto universal: Convensionalmente se asume la existencia de un conjunto que contiene todo, todo, a tal conjunto conjunto se le llama conjunto univesal, en este sentido podemos definirlo como:

U = x x = x

{|

}

Sin embargo, por comodidad es frecuente frecuente emplear emplear un universo relativo como por ejemplo si se tratan intervalos de IR, entonces el universo ser´ıa ıa el propio IR.

Relacio Relaciones nes entre conjuntos conjuntos : 1.

La incl inclus usiion ´ : “A

conten enid ido o en B ” o “A es subconjun subconjunto to de B ”. Se define como: ⊂ B ”, se lee “A está cont A ⊂ B ⇐⇒ ( todo elemento de A está en B ) on A ⊂ B también en se escribe como B ⊃ A y se lee “B contie contiene ne a A”. Nota: La expresión Si X es un conjunto conjunto arbitrario arbitrario,, entonces entonces se cumple: cumple: Φ

2.

⊂ X

y también: en: X

La igualdad : “A = B ”, se lee “ A es igual a B ” y se define como:

A

B

(A

B

∧B

A)

⊂ X



















































































































Conjunto potencia: LLamado también partes de un conjunto, si X es un conjunto entonces el conjunto potencia de X es la familia P (X ) formada por todos los subconjuntos de X . Por consiguiente, para cualquier cualquier conjunto conjunto X se cumple:

Φ

∈ P (X )

∧

X

∈ P (X )

de modo que la familia P (X ) nunca es vac´ıa. ıa. Por ejemplo, si X = a; b; c P (X ) = Φ; a ; b ; c ; a; b ; a; c ; b; c ; a; b; c

{

}

⇒

{ {}{}{}{ }{ }{ }{

}}

Numero ´ de elementos de P (X ): Si X es un conjunto finito de n elementos, entonces el conjunto elementos.. Es decir: decir: card[P (X )] P (X ) tiene 2n elementos )] = 2card(X ) Operacio Operaciones nes entre conjunto conjuntos s:

1. Uni Union ´ de conjuntos:

A

∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}

2. Intersecci Intersecci´ on ´ de conjuntos:

A

∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}

3. Diferencia de conjuntos:

A

− B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B }

4. Diferencia sim´ etrica:

A∆B = xx

{ | ∈ A ∪ B ∧ x ∈ A ∩ B}

5. Complemento: Complemento:

AC = x x

{ | ∈ A} ¯, C (A) Otras notaciones notaciones : A , A 6. Producto cartesiano:

A

× B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}

donde (a, b) se llam llama a par ordenado e s la ordenado. “a” es primera primera compon component ente e y “b” es la segu segund nda a comcomponente.



















































































































Cuantificadores: en “para cualquier”. Si P (x) es una funci´ on proposicional1 , 1. Universal: “ ” se lee “para todo” o también entonces entonces la proposici´ proposición: on:

∀

∀ x ∈ A ; P (x) [esto se lee “para todo x en A tal que P (x)”], será verdadera si y solo si P (x) se cumple para todo x de entonces la proposici´ proposición on será falsa. A, y si algún (por lo menos uno) x de A no cumple P (x) entonces en “existe por lo menos uno”. Si P (x) es una función on proposi2. Existencial: “ ” se lee “existe” o también cional, entonces la proposición: on: x A ; P (x)

∃

∃ ∈

[lo que que se lee lee “exist “existe e un x (por lo menos uno) en A tal que P (x)”], será verdade verdadera ra si en A existe existe un x (por lo menos uno) tal que la proposición on P (x) se cumple, y si no existe x en A que verifique P (x) entonces será falsa. El hecho de que “exista por lo menos uno” significa que si existe más as de uno, la proposición on sigue siendo verdadera, basta que exista uno. on “ !” se lee lee “exi “exist ste e un unico ”. La proposición: on: Nota: La expresión ´

verdadera ra si y solo P (x) será verdade si en A existe un y solo un elemento x que cumple P (x), en cualqu cualquier ier otro otro caso será falsa.

∃

Negaci´ on de los cuantificadores: x A; P (x) [ x A ; P (x)]

∼ ∀ ∈

≡ ∃ ∈

∼

∼[∃x∈A;

∃! ∈ A ;

P (x)]

≡ ∀ x ∈ A ; ∼ P (x)

Algunas propiedades propiedades del algebra ´ de conjuntos: 1. 2.

∪A =A ; A∩A= A A∪B =B ∪A; A∩B = B ∩A A A

A

A

11. 12.

∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) A



















































































































tiene: n(A) = 35

;

n(B ) = 55

De la figura, nos piden x. Si el 50% prefiere solo una una de ell ellas as (par (parte te azu azul) l),, el otro otro 50 % ser sera´ el rest resto o la intersección on debe ser 50 x. Luego, es fácil acil darse darse cuenta cuenta de x 15 y 5 + x.

⇒

−

−

Porr consig Po consiguie uiente nte,, parte parte azul: azul: (x 15)+(5+ x) = 50 de donde x = 30

−

≡ 30 %

Rpta: B

Los cardinales de los conjuntos A, B y C son tres numeros ´ enteros y consecutivos. Si se verifica:

)] = 448 n[P (A)] + n[P (B )] + n[P (C )]

B) 24

a

a+1

C) 18 E) 27

a+2

⇒ 2 + 2 + 2 = 448 ⇐⇒ 2 (1 + 2 + 2 ) = 448 ⇐⇒ 2 = 64 = 2 a

Determine Determine el valor de: de: E = n(A) + n(B ) + n(C ) A) 21 D) 15

Si: n[P (A)] + n[P (B )] + n[P (C )] )] = 448

1

a

2

6

De donde a = 6.

Luego: E = n(A) + n(B ) + n(C ) = 6 + 7 + 8 = 21 Sean: n(A) = a ; n(B ) = a + 1

∧ n(C ) = a + 2.

Rpta: A



















































































































La adici´ on tal que: a, IR le hace corresponde corresponderr un numero: ´ IR llamado llama do a, b s on es una operación “suma” de a y b, y se escribe: a + b = s A los los n umeros ´ a y b se les llama “sumandos”. La suma de numeros ´ reales cumple las leyes:

∀ ∈

1.

Clau Clausu sura ra:: a + b

2.

Conm Conmut utat ativ iva: a: a + b = b + a

3.

Asoc Asocia iati tiva va:: a + (b + c) = ( a + b) + c = a + b + c

4.

Neutro Neutro aditivo aditivo:: a + 0 = a

∈ IR

5.

− 1) = n



2

n(n + 1) S 5 = 1 + 2 + 3 + . . . + n = 2 3

3

3

3

Invers Inverso o aditiv aditivo: o: a + ( a) = 0 , ( a)

− − ∈ IR Estas leyes se cumplen ∀ a, e´ n a , b, c ∈ IR. Tambi en ∀ a ∈ IR, ∃(−a) ∈ IR El neutro neutro e inverso aditivo aditivo son son unicos. ´

Algunas sumas notables: n(n + 1) S 1 = 1 + 2 + 3 + . . . + n = 2

S 3 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n

∈

S 2 = 2 + 4 + 6 + . . . + (2 n) = n(n + 1) S 4 = 1 2 + 2 2 + 32 + . . . + n2 =



2

n(n + 1)(2n + 1) 6





















































































































También: El n´ umero de unidades mayor que la base n del sistema de numeraci´ on forma tantas unidades unidades del orden inmediat inmediato o superior superior como grupos grupos de n unidades hay, hay, y si hay residuo (el (el cual debe ser criterio a cada cifra del numeral. numeral. menor que n ) este es la ultima ´ cifra. Se aplica este criterio Por ejemplo: El número 20 en base 5 es: 20 = 40(5) , pues con 20 se forman 4 grupos de 5 y no hay residuo (residuo= 0). El numer um ´ ero o 19 en base base 5 es: 19 = 34(5) , pues con 19 se forman forman 3 grupos grupos de 5 y queda 4 como residu residuo o (residuo= 4). El numer um ´ ero o 14 en base base 4 es: 14 = 32(4) , pues con 14 se forman forman 3 grupos grupos de 4 y queda 2 como residu residuo o (residuo= 2). El número 23 en base 3 es: 23 = 72(3) , pues con 23 se forman 7 grupos de 3 y queda 2 como residuo (residuo= 2). Pero cada cifra debe ser menor que la base, realizamos el mismo proceso a la primera cifra: 7 = 21(3) , finalmente: 23 = 212(3) El numero ´ 3 + 2 en base 4 es: 3 + 2 = 5 = 11 (4) , pues con 5 se forma 1 grupo de 4 y queda 1 como residuo (residuo= 1 ). Luego: Para sumar n´ umeros de m´ as de una cifra se realizan procesos similares a los ejemplos ante-





















































































































La sustracci´ (llamada tambi´ tambien ´ resta) es una una operaci´ operación tal que que M, corresponder un on (llamada M, S IR le hace corresponder numero ´ D IR llamado “diferencia” de M y S , y se escribe: M S = D al número M se le denomina “minuendo” y a S “sustraendo “sustraendo”. ”. Convensionaleme Convensionalemente nte,, a los numeros ´ en M , S y D se les conoce también como los “término erminoss de la sustracci´ sustracción” y son tales que cumplen cumplen las propiedades: propiedades:

∈

−

1.

M = D + S

3.

2.

M + D + S = 2M

4.

∀

∈

(M + x)

− (S + x) = D (M − x) − (S − x) = D

Si “ S ” es la suma y “ D” la diferencia de dos números, entonces: Numero ´ mayor =

S + R 2

;

Numero ´ menor =

S

−R 2

Resta Resta en sistemas sistemas de numeraci´ numeraci´ on diferente al decimal: Para ello observemos primero que al restar 1423 576 en base 10 (como se suele realizar desde la escuela) se procede as´ı: ı:





















































































































La multiplicaci o ntal que que a, hace corres correspon ponder der un numero ´ lla mado o multiplicacion ´ es una operacióntal a, b IR le hace p IR llamad “producto” “producto” de a y b, y se escribe: a b = p . En ocasiones ocasiones en lugar de a b, por brevedad, se escribe a.b o también en ab. Al número “a” se le llama “multiplic “multiplicando” ando” y a “ b” “multiplicad “multiplicador”. or”. El producto producto de numeros ´ reales reales goza de las leyes:

∀ ∈

×

1.

Clau Clausu sura ra:: ab

2.

Conm Conmut utat ativ iva: a: ab = ba

3.

Asoc Asocia iati tiva va:: a(bc) = (ab)c = abc

4.

Neutro Neutro multip multiplic licati ativo: vo: a1 = a

×

∈

± c) = ab ± ac Estas leyes se cumplen ∀ a, e´ n a , b, c ∈ IR. Tambi en − ∀ a ∈ IR − {0}, ∃a ∈ IR .

∈ IR

6.

Distri Distribut butivi ividad: dad: a(b 1

5. Invers Inverso o multip multiplic licati ativo: vo: aa−1 = 1 , a = 0



El neutro neutro e inverso inverso multiplicat multiplicativo ivo (escrito (escrito tam1 bi´ bien e´ n como a ) son unicos. ´

La divisi´ on tal que D, co n D D, d IN con d, le hace corresponder un número q on es una operación llamad llamado o “cocien “cociente” te” y un numero ´ r IN 0 llamado “residuo” tales que verifican:

∀ ∈ ∈ ∪{ }

D = dq + r , 0

≥

∈ IN

≤r
La igualdad igualdad anterior se denomina identidad fundamental o algoritmo de la divisi´ on. Al número “D” se





















































































































2.

Si al divi divide dend ndo o D y divisor d se les multiplica multiplica por x, el cocien cociente te no var´ıa ıa pero el resto queda multiplicado por x: (Dx) = (dx)q + (rx) . Similarmente, Similarmente, si al dividendo D y al divisor divisor d se les divide por x no nulo, el cociente no cambia pero el resto queda dividido por x:

3.

    D x

=

d x

q +

r x

Si solo solo al divi divide dend ndo o D se le multiplica multiplica por x, entonces:

(Dx ) = d(qx + q ∗ ) + r∗ el nuevo nuevo cociente cociente es: qx + q ∗ y el nuevo residuo es: r∗ , donde q ∗ y r ∗ son el cociente cociente y residuo que que ∗ ∗ resultan al dividir: rx d, esto es: rx = dq + r

÷

(C.A.) Es la cantidad que le falta a un número para ser igual a una Complem Complemento ento algebr algebraico ´ unidad del orden inmediato superior con respecto a su cifra de mayor orden. Ejemplo:

C.A.(80) = 20 C.A.(700) = 300

C.A.(4) = 6 C.A.(970) = 30

C.A.(1) = 9 C.A.(1300) = 8700 , etc





















































































































El divisor y residuo de una división on son respectivamente 48 y 36. Si se multiplica al dividendo por 25 y se efectúa nuevamente la división, o n, el cociente queda multiplicado por 26 y el residuo no se altera. ¿Cuál al fué el dividendo inicial? A) 600 D) 909

B) 900

C) 609 E) 800

cicio cicio se tiene: tiene: = =

D 25D

⇒

48q + 36 48(26q ) + 36

25(48q + 36) = 48(26 q ) + 36

⇒

q = 18

∴ D = 48(18) + 36 = 900

Rpta: B

Sea la divis divisi´ ión on D = dq + r. Del enunci enunciado ado del ejerejer-

Al dividir A entre B se obtiene un residuo máximo. Si el dividendo dividendo disminuye en 170, el cociente disminuye en 3 y el residuo es m´ınimo. ınimo. Siendo

cicio cicio se tiene: tiene:

A

=

Bq + ( B

− 1)























































































































Sean a on a b es exacta. Del ZZ y b ZZ+ , se dice que “ a es divisible por b” si y solo si la divisi´ algoritmo de la división, on, se puede concluir que: A es divisible por B si y solo si, existe k ZZ tal que:

∈

∈

÷

∈





















































































































12. Si : n =

 

◦ a +r ◦ b +r ◦ c +r

⇒

◦ n = M C M (a; b; c) + r

13. Principio de Arqu´ ımedes: Sean a, b ZZ ◦ ´ 0 . Si ab = n y además b n tienen como unico

{}

∧

∈ −

◦

diviso divisorr común un a la unidad, entonces: a = n.

diferentes residuos residuos positivos positivos que se obtienen obtienen al analizar analizar las potencias potencias Restos potenciales: Son los diferentes consecutivas de un número entero positivo mayor que la unidad con respecto a cierto módulo odulo (divisor). ◦ Esquema: an =m +rn Donde:





















































































































Halle el residuo de la división: on: 3828 A) 2 D) 3

38

28

B) 4

 

◦ = 7 +3

28

◦ ◦ ◦ ◦ =7 +(7 +1)4 (4) =7 +(7 +1)(4)

÷7

◦ ◦ =7 +328 =7 +(32 )14

C) 5 E) 6

⇒

◦ 3828 =7 +4

Luego, el residuo es 4.





















































































































A menos que se diga lo contrario, todos los numeros ´ considerados en este cap´ıtulo, ıtulo, serán a n números enteros enteros positivos positivos..





















































































































(PESI): LLaNumeros ume ´ ros primo primos s entres entres s´ ı (PESI): mados también en primos relativos o coprimos , son aquellos aquellos que tienen tienen como unico ´ divisor común a la unidad. unidad.

divisor que es diferente Divisor propio: es un divisor al mismo número.

Divisor elemental: es el menor divisor diferenete de la unidad.

Propiedades: 1.

Dos numeros ´ consecutivos en ZZ+ siempre son PESI.

2.

Si en un grup grupo o de de numeros ´ está la unidad,

Propiedades: C D(N ) = C Dsimples + C Dcompuestos

C Dpropios = C D(N )

−1























































































































Por otro lado también en se cumple: cumple:

on Teorema: Si : N = pa q b es la descomposición





















































































































Propiedades:





















































































































El algoritmo algoritmo de euclides se puede organizar organizar en el





































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Comp

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