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COLUMNAS CON CARGA CONCENTRICA COLUMNAS Una columna es un elemento cargado axialmente, sometido a comresi!n, el cual cual tien tiene e su se secc cci!n i!n tran trans" s"ers ersal al mu# mu# e$u e$ue%a e%a co coma mara rada da co con n su longitud, or lo $ue al alic&rsele una carga, 'allara rimero or andeo, antes $ue or alastamiento( Las cargas cargas $ue uede uede soort soortar ar una column columna a ueden ueden ser conc)n conc)ntri tricas cas,, cuando se alican so*re su centroide, o exc)ntricas, cuando se alican a cierta distancia de su e+e centroidal( Seg Segn n el uso uso ac actu tual al de la co colum lumna na co como mo ele elemen mento to de un !rt !rtic ico, o, no necesariamente es un elemento recto "ertical, sino es el elemento donde la comr comresi esi!n !n es el rinci rincial al 'actor 'actor $ue determ determina ina el comor comortam tamien iento to del elemento( Es or ello $ue el re dimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones $ue sean caaces de resistir la comresi!n $ue se alica so*re el elemento as- como una .exi!n $ue aarece en el dise%o de*ido a di"ersos 'actores( Ca*e destacar $ue la resistencia de la columna disminu#e de*ido a e'ectos de geometr-a, lo cuales in.u#en en el tio de 'alla( Las columnas se di"iden en/ Columnas Largas/ Se dice una columna larga cuando su longitud es ma#or de 10 "eces la menor dimensi!n trans"ersal # su es*elte mec&nica se ma#or igual a 100( Columnas Intermedias/ Se dice una columna larga cuando su longitud es ma#or a 10 "eces lamenor dimensi!n trans"ersal # su es*elte mec&nica se encuentre entre 20 # 100(En algunos casos las columnas cortas tam*i)n 'orman ' orman arte de esta clasi3caci!n4se dice columna corta cuando no cumle $ue su longitud es ma#or a 10 "eces lamenor dimensi!n trans"ersal5(La di'erencia entre los tres gruos "ienen determinadas or su comortamiento,las columnas largas se romen or andeo o .exi!n lateral6 las intermedias, or una com*inaci!n de alastamiento # andeo, # las columnas cortas, or alastamiento(
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La de'ormaci!n de la columna "ar-a segn ciertas magnitudes de cargas ara "alores de 8 *a+os se acorta la columna, al aumentar la magnitud cesa el acortamiento # aarece la de.exi!n lateral( Existe una carga l-mite $ue seara estos dos tios de con3guraciones # se conoce como carga cr-tica( Los 'actores $ue in.u#en la magnitud de la carga cr-tica son la longitud de la columna, las condiciones de los extremos # la secci!n trans"ersal de la columna( Estos 'actores se con+ugan en la relaci!n de es*elte o coe3ciente de es*elte el cual es el ar&metro $ue mide la resistencia de la columna( 9e esta 'orma ara aumentar la resistencia de la columna se de*e *uscar la secci!n $ue tenga el radio de giro m&s grande osi*le, o una longitud $ue sea menor, #a $ue de am*as 'ormas se reduce la es*elte # aumenta el es'uero cr-tico :L ;rmin 9onde/ :< Coe3ciente relacionado con el tio de ao#o( L< Longitud de la columna( rmin< Radio de giro m-nimo de la secci!n(
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CRITERIO DE EULER La '!rmula de Euler es "&lida solamente ara columnas largas # calcula lo $ue se conoce como =carga critica de andeo=, esta es la ltima carga $ue uede soortar or columnas largas, es decir, la carga resente en el instante del colaso( La columna articulada en sus extremos, inicialmente recta >omog)nea, de secci!n trans"ersal constante en toda su longitud se comorta el&sticamente( 8uede tener dos osiciones de e$uili*rio/ recta o ligeramente de'ormada( Se alica una 'uera >oriontal ? ara # de esto odemos in'erir lo siguiente/
9e la ecuaci!n de la el&stica
Se o*tiene/
Se escri*e/ Orden cu#a soluci!n es
@aciendo $ue/
Es una ecuaci!n di'erencial de segundo
Alicando las condiciones de 'rontera tenemos $ue, x<0, #<0
?ue sustitu#endo 8ara x
en
la
ecuaci!n
B no uede ser 0 as- $ue, sen L < 0
La soluci!n general seria/ 9onde n descri*e todos los modos de andeo, ero generalmente se toma n < 1, resultando la '!rmula/
Limitaciones de la '!rmula de Euler Una columna tiende a andearse siemre en la direcci!n en la cual es m&s .exi*le( Como la resistencia a la .exi!n "aria con el momento de inercia, el "alor de l en la '!rmula de Euler es siemre el menor momento de inercia de la secci!n recta( La tendencia al andeo tiene lugar, ues, con resecto al e+e rincial de momento de inercia m-nimo de la secci!n recta( La '!rmula de Euler tam*i)n demuestra $ue la carga cr-tica $ue uede roducir el andeo no deende dc la resistencia del material, sino de sus dimensiones # del m!dulo el&stico( 8or este moti"o( 9os *arras de id)nticas dimensiones, una de acero de alta resistencia # otra de acero sua"e, se andearan *a+o la misma carga cr-tica, #a $ue aun$ue sus resistencias son mu# di'erentes tienen r&cticamente el mismo m!dulo el&stico( As-, ues, ara aumentar la resistencia al andeo, interesa aumentar lo m&s osi*le
D
el momento dc inercia de la secci!n( 8ara un &rea dada, el material de*e distri*uirse tan le+os como sea osi*le del centro de gra"edad # de tal manera $ue los momentos de inercia con resecto a los e+es rinciales sean iguales, o lo m&s arecidos osi*le( 8ara $ue la '!rmula de Euler sea alica*le, el es'uero $ue se roduca en el andeo no de*e exceder al l-mite de roorcionalidad( 8ara determinar este es'uero, se sustitu#e en la '!rmula el momento de inercia 4or Ar7, donde A es el &rea dc la secci!n recta # r el radio de giro m-nimo( 8ara el caso 'undamental se tiene
El "alor 8;A es el es'uero medio en la columna cargada con su carga cr-tica, # se llama es'uero cr-tico( Su l-mite suerior es el es'uero en el l-mite de roorcionalidad(
La relaci!n L;r se llama es*elte mec&nica o simlemente es*elte, de la columna( Como una columna cargada axialmente tiende a andearse resecto del e+e I m-nimo, ara >allar la es*elte de una columna se di"ide la longitud e$ui"alente o e'ecti"a entre el radio de giro m-nimo de la secci!n recta( 8or con"eniencia, se de3nen como columnas largas o mu# es*eltas a$uellas a las $ue se uede alicar la '!rmula de Euler( La es*elte m-nima, $ue 3+a el l-mite in'erior de alicaci!n de La '!rmula dc Euler, se o*tiene sustitu#endo en la ecuaci!n los "alores conocidos de l-mite de roorcionalidad # del m!dulo el&stico de cada material( As-, ues, el l-mite m-nimo de La es*elte "ar-a con el material # tam*i)n con los di'erentes tios dentro de cada material
8or de*a+o de este "alor, como se indica en la 3gura, en la arte unteada de La cur"a de Euler el es'uero $ue dar-a la carga de Euler excederla al l-mite de roorcionalidad, or Lo $ue ara L;r F 100 la '!rmula de Euler no es alica*le, # >a# $ue considerar corno es'uero cr-tico el imite de roorcionalidad( La cur"a muestra tam*i)n $ue el es'uero critico en una columna disminu#e r&idamente cuando aumenta la es*elte, or lo $ue al ro#ectar una iea de este tio, con"iene $ue la es*elte sea la menor osi*le( Hinalmente se de*e o*ser"ar $ue la '!rmula de Euler da la carga cr-tica # no la carga de tra*a+o( 8or ello es reciso di"idir la carga cr-tica entre el corresondiente 'actor de seguridad, $ue suele ser de 7 a 2 segn el material # las circunstancias, ara o*tener el "alor de la carga admisi*le(
CRITERIOS DE AISC El American Institute o' Steel Construction 4AISC5 en sus eseci3caciones esta*lece las '!rmulas siguientes ara los es'ueros admisi*les en miem*ros a comresi!n cargados axialmente( El es'uero admisi*le en la secci!n trans"ersal de miem*ros a comresi!n cargados axialmente, cuando 4L;r5 4la ma#or relaci!n de es*elte e'ecti"a de una longitud de columna sin arriostrar5 es menor $ue Cc, est& dado or/
8ara e"itar un andeo rematuro, usualmente se limita la relaci!n de anc>o a esesor( Las eseci3caciones AISC estiulan "alores ara "arios casos de restricci!n de *orde, como se muestra en la Higura t en la ta*la( Tios de restricci!n en el *orde(
Si un elemento en comresi!n esta li*re ara andearse en cual$uier direcci!n, es e"idente $ue una secci!n tu*ular ser& la m&s econ!mica, #a $ue tiene el mismo "alor de r en todas las direcciones # tiene una alta resistencia al andeo local( Una *arra s!lida redonda tiene un r muc>o
J menor $ue un tu*o con la misma &rea trans"ersal #, or consiguiente, es menos econ!mica, ero resulta me+or $ue una secci!n rectangular delgada, la cual tiene un r mu# e$ue%o en el sentido de su dimensi!n menor(
La longitud sin soorte L de un miem*ro en comresi!n uede reducirse suministrando soortes intermedios, ermitiendo as- el uso de una secci!n m&s e$ue%a $ue tra*a+e a un es'uero romedio m&s alto( Algunas "eces es osi*le suministrar el soorte en una direcci!n solamente 4Higura56 entonces, el "alor de L ser& di'erente en las dos direcciones, # uede resultar econ!mico usar secciones con radios de giro di'erentes en las dos direcciones, ara o*tener "alores de L;r aroximadamente iguales(
Columnas con soorte intermedio
Los tu*os se usan ara miem*ros en comresi!n $ue soortan cargas e$ue%as # medianas, se adatan me+or a la construcci!n soldada( En
K armaduras e$ue%as # en contra "enteos se usan miem*ros 'ormados or &ngulos, los de lados iguales son los m&s con"enientes( Las canales sencillas 4er3les en C5, as- como las secciones en I, rara "e se usan como miem*ros en comresi!n, de*ido al "alor e$ue%o de su r con resecto al e+e aralelo al alma6 ero si se suministran soortes adicionales en la direcci!n d)*il, ueden "ol"erse secciones econ!micas( 8ara edi3cios de acero, el tio de secci!n m&s comn ara columnas es el er3l H, @EA # @EB( Su conexi!n a las "igas es relati"amente '&cil( Los radios de giro con resecto a los dos e+es son aroximadamente iguales( Ocasionalmente ueden realiarse er3les armados mediante soldadura6 se utilian cuando no se disone de los er3les laminados re$ueridos( Columnas armadas
HORMULAS ES8ECIHICACIONES 9EL AISC 8ARA COLUMNAS/
El AISC eseci3ca $ue la relaci!n de es*elte de artes a comresi!n sea menor de 700( La ecuaci!n es la '!rmula de dise%o ara las columnas cortas e intermedias, mientras $ue la ecuaci!n se alica a las columnas largas 4de Euler5( El 'actor de seguridad ara la ecuaci!n "ar-a desde 1( 4ara columnas con e$ue%as relaciones de es*elte, >asta 1(K7 ara L;r < C c5( Este 'actor de seguridad "aria*le toma en cuenta el >ec>o de $ue las columnas cortas 'allan or alastamiento # las columnas largas or andeo # rocura >acer m&s consistente las resistencias de las columnas en el inter"alo de L;r usado(
10 La '!rmula AISC ara es'uero ermisi*le, Ha, ara columnas es*eltas se *asa en la carga de andeo el&stico de Euler con un 'actor de seguridad de 72;17 < 1(K7( Las columnas es*eltas son a$uellas $ue tienen una relaci!n de es*elte O ma#or( La constante Cc corresonde al es'uero cr-tico Hcr en la carga de Euler igual a la mitad del es'uero de .uencia del acero H#( La '!rmula ara columnas largas cuando 4l ; r5 Cc es/ 9onde l ; r es longitud e'ecti"a de columna # r es el radio de giro m-nimo del &rea dela secci!n trans"ersal( No se ermite $ue las columnas excedan un l ; r de 700( 8ara una relaci!n l ; r menor $ue Cc el AISC esec-3ca una 'ormula ara*!lica/
9onde H(S( es el 'actor de seguridad # se de3ne como/
11 Es'uero ermisi*les ara columnas cargadas axialmente Note $ue H(S( "aria, siendo m&s conser"ador ara las ma#ores relaciones de l;r( La ecuaci!n escogida ara el H(S( se aroxima a un cuarto de una cur"a seno con el "alor de 1( en L;r igual a cero # de 1(K7 en Cc( Una ra!n es'uero ermisi*le "er su relaci!n de es*elte ara columnas cargadas axialmente de "arios tios de aceros estructurales se muestra en la 3gura( La restricci!n ideal de los extremos de las columnas, no uede ser siemre con3a*le, el AISC eseci3ca conser"adoramente una modi3caci!n de las longitudes e'ecti"as como sigue/ 8ara columnas emotradas en am*os extremos/ l < 0(D L 8ara columnas emotradas en un extremo # articuladas en el otro/ l < 0(J0 L 8ara columnas emotradas en un extremo # li*res en el otro/ l < 7(10 L Ninguna modi3caci!n tiene $ue >acerse ara columnas articuladas en am*os extremos, donde l < L(
CRITERIO DE JB JOHNSON
El an&lisis de las artes a comrensi!n en m&$uinas sigue los mismos rinciios descritos en las secciones anteriores( 8or suuesto las '!rmulas de columnas usadas deenden del material # de la 'unci!n de la arte( Una de las '!rmulas ara las columnas intermedias m&s amliamente usada en dise%o de m&$uina en la '!rmula de (B( o>nson se da en la ecuaci!n( La '!rmula de Euler, se usa ara columnas largas( La demarcaci!n entre las dos es el "alor de L;r dado or la ecuaci!n( Si la ra!n de es*elte e'ecti"a real de una columna, L r e, es menor $ue el "alor de transici!n Cc, la '!rmula de Euler redice una carga cr-tica exor*itante( Una '!rmula recomendada ara el dise%o de m&$uinas en el inter"alo de L r e menor $ue Cc es la '!rmula de ( B( o>nson, la cual se resenta a continuaci!n/
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9onde/ A < &rea de secci!n trans"ersal P ' < resistencia a la cedencia Le < longitud e'ecti"a, teniendo en cuenta la manera de 3+ar los extremos 4o*ser"e $ue Le < L5 r < radio de giro m-nimo de la secci!n trans"ersal de la columna E < m!dulo de elasticidad Qsta es una 'orma de un con+unto de ecuaciones llamadas ecuaciones ara*!licas, # $ue concuerda *ien con el comortamiento de columnas de acero ara ma$uinaria( La '!rmula de o>nson da el mismo resultado $ue la '!rmula de Euler de la carga cr-tica a la ra!n de es*elte de transici!n Cc ( Entonces, en el caso de columnas cortas, la carga cr-tica se aroxima a la ronosticada or la ecuaci!n del es'uero de comresi!n directo, P < 8 A( 8or consiguiente, se uede decir $ue la '!rmula de o>nson se alica me+or a columnas de longitud intermedia( Se uede o*ser"ar $ue la '!rmula de o>nson ara dise%o de m&$uinas # la '!rmula del AISC ara dise%o de acero estructural, ecuaci!n son id)nticas, exceto en lo $ue se re3ere al 'actor de seguridad( En dise%o de aceros ara edi3cios se considera $ue las condiciones de ser"icio est&n m&s estandariadas $ue en dise%o de m&$uinas6 or este moti"o se +usti3ca un 'actor de seguridad consistente 1( >asta 1(K7( Es m&s di'-cil estandariar el 'actor de seguridad en dise%o de m&$uinas de*ido al car&cter "aria*le de las condiciones am*ientales # de ser"icio6 sin em*argo ara condiciones generalmente constante # ara materiales romedio, uede usarse un 'actor de seguridad de 7 a 7(D, "alores raona*les(
COLUMNAS CARGA9AS ECQNTRICAMENTE 4ecuaci!n de la secante5 Excentricidad( Cuando la carga no se alica directamente en el centroide de la columna, se dice $ue la carga es exc)ntrica genera un momento adicional $ue disminu#e
12 la resistencia del elemento, de igual 'orma, al aarecer un momento en los extremos de la columna de*ido a "arios 'actores, >ace $ue la carga no acte en el centroide de la columna( Esta relaci!n del momento resecto a la carga axial se uede exresar en unidades de distancia segn la roiedad del momento, la distancia se denomina excentricidad( Cuando la excentricidad es e$ue%a la .exi!n es desrecia*le # cuando la excentricidad es grande aumenta los e'ectos de .exi!n so*re la columna( e< M ; 8 9onde/ e< Excentricidad( M< Momento extremo( 8
La 3gura a continuaci!n muestra la el&stica de la l-nea media de una columna $ue soorta una carga 8 con una excentricidad e # $ue tiene una longitud L( Si se rolonga la columna como indica la l-nea de traos, se trans'orma en una columna articulada de longitud( El "alor indicado de 8 es la carga cr-tica ara esta longitud desconocida( 9e a$u- arte el an&lisis ara deducir la ecuaci!n de la secante( Columna exc)ntricamente cargada
Se uede o*tener una exresi!n te!ricamente correcta ara las columnas exc)ntricamente cargadas, generaliando el an&lisis de Euler se o*tiene la ecuación de la secante
8ara o*tener la carga admisi*le o de tra*a+o, >a# $ue sustituir 8 or siendo el coe3ciente de seguridad, # tomar como el es'uero de cedencia( En estas condiciones, la ecuaci!n se trans'orma en/
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8ara alicar estas ecuaciones >a# $ue roceder or tanteos( Se 'acilita su alicaci!n >allando los "alores de la es*elte L;r ara una serie de "alores de 8;A, # con distintos "alores de la relaci!n de excentricidad ec;r7 tales como 0(7, 0(, etc(, 1(0( Es interesante o*ser"ar $ue cuando la es*elte se aroxima a cero el "alor de la secante en la ecuaci!n tiende a la unidad #, or tanto, la ecuaci!n se trans'orma, en el l-mite,
?ue es la ecuaci!n ara cargas exc)ntricas en elementos cortos( la m&xima de.exi!n trans"ersal es/
Cur"as de dise%o ara 'ormula de la secante con un 'actor de seguridad de 7(D(
CONCLUSIÓN Con esta in"estigaci!n realiada arendimos como alicar los criterios utiliados en el an&lisis de columnas ara determinar cargas cr-ticas( 9eterminar las ecuaciones corresondientes ara cada alicaci!n mostrada # entender c!mo alicarlas segn sea el caso necesario # conocer los tios de materiales $ue se de*en utiliar en estructuras como columnas( Estas ueden ser alicadas simult&neamente agra"ando o me+orando el estado del es'uero(
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BIBLIOGRAFIA Hitgerald Ro*ert ( Mec&nica de Materiales( Ed( Al'aomega 7( Beer o>nston( Mec&nica de Materiales( Ed( Mc Gra @ill Mott Ro*ert( Resistencia de Materiales Alicada( Ed( 8rentice @all( Singer Herdinand( Resistencia de materiales( Ed( @arl( Huentes electr!nicas/ >tt/;;(itmexicali(edu(mx;deartamentos;cin'ormacion;data*ase(>tml >tt/;;(academia(edu;
