COLUMNAS INTRODUCCIÓN Las Las estr estruc uctu tura ras s some someti tida das s a carg carga a pued pueden en falla fallarr de dive divers rsas as mane manera ras, s, dependiendo del tipo de estructura, de las condiciones de soporte, de los tipos de cargas cargas y de los materiales materiales empleado empleados. s. Por ejemplo, ejemplo, el eje de un vehículo vehículo puede fracturarse de repente debido a los ciclos repetidos de carga o una viga puede puede flexionarse flexionarse de manera manera excesiva excesiva,, de tal modo que la estructura estructura ya no pued puede e real realiz izar ar sus sus func funcio ione nes s de trab trabaj ajo. o. Esto Estos s tipos tipos de fall fallas as se evit evitan an dise isean ando do estru tructur cturas as de form forma a que que los los esfu esfuer erz zos m!x m!ximos imos y los los desplazamientos m!ximos permanezcan permanezcan dentro de límites tolerables. Por tanto, la resistencia y rigidez son factores importantes en el diseo, como se estudi" en todos los capítulos anteriores. #tro tipo de falla es el pandeo, de manera específica el pandeo de columnas, que son elementos estructurales largos y esbeltos, cargados axialmente en compresi"n $figura %a&. 'i un elemento en compresi"n es relativamente esbelto, se puede flexionar lateralmente y fallar por flexi"n flexi"n $figura $figura %b& en vez de fallar fallar por compresi" compresi"n n directa del del material. material. (sted puede demostrar este comportamiento al comprimir una regla de pl!stico u otro objeto esbelto. )uando se tiene flexi"n lateral, decimos que la columna se ha pandea pandeado. do. *nte una carga carga axial axial crecie creciente nte,, las deflex deflexion iones es latera laterales les tambi+ tambi+n n aument aumentan an y la column columna a termin termina a por dobla doblarse rse comple completam tament ente. e. El fen"meno de pandeo no est! limitado s"lo a columnas, tambi+n puede ocurrir en muchos tipos de estructuras y puede adoptar muchas formas. )uando usted se para sobre una lata vacía de aluminio, las paredes cilíndricas delgadas se pandean ante su peso y la lata se pliega. )uando un puente largo se desplom" hace algunos aos, los investigadores determinaron que la falla la ocasion" el pand pandeo eo de una una plac placa a delg delgad ada a de acer acero o que que se arru arrug" g" por por esfu esfuer erzo zos s de compresi"n. El pandeo es una las causas principales de falla en estructuras y, por tanto, la posibilidad que ocurra siempre se debe considerar en el diseo.
Fig. 1
PANDEO Y ESTABILIDAD Para ilustrar los conceptos fundamentales de pandeo y estabilidad, analizaremos una estructura idealizada, o modelo de pandeo, como se muestra en la figura a. Esta estructura hipot+tica consiste en dos barras rígidas *- y -), cada una con longitud L, unidas en - por un pasador y mantenidas en posici"n vertical por un resorte rotacional con ri gidez Esta estructura idealizada es an!loga a la columna de la figura %a, debido a que las dos tienen apoyos simples en los extremos y est!n comprimidas por una carga axial P. 'in embargo, la elasticidad de la estructura idealizada est! /concentrada0 en el resorte rotacional, en tanto que una columna real puede flexionarse en toda su longitud $figura %b&. En la estructura idealizada las dos barras est!n perfectamente alineadas y la carga axial P tiene su línea de acci"n a lo largo del eje longitudinal $a&. En consecuencia, el resorte inicialmente no est! sometido a esfuerzo y las barras est!n en compresi"n directa. *hora suponga que la estructura es perturbada por alguna fuerza externa que causa que el punto - se mueva una distancia pequea en sentido lateral $figura b&. Las barras rígidas giran !ngulos pequeos 1 y se desarrolla un momento en el resorte. El sentido de este momento tiende a regresar la estructura a su posici"n recta original y por tanto se denomina momento restituido. 'in embargo, al mismo tiempo la tendencia de la fuerza axial de compresi"n es aumentar el desplazamiento lateral. Por tanto, estas dos acciones tienen efectos opuestos2 3 el momento restituido tiende a disminuir el desplazamiento y la fuerza axial tiene a aumentarlo. * continuaci"n considere que sucede cuando se elimina la fuerza perturbadora. 'i la fuerza axial P es relativamente pequea, la acci"n del momento restituido prevalecer! sobre la acci"n de la fuerza axial y la estructura regresara a su posici"n inicial recta. En estas condiciones, se dice que la estructura es estable. 4o obstante, si la carga axial P es grande, el desplazamiento lateral del punto - aumentara y las barras giraran !ngulos cada vez mayores hasta que la estructura se colapsa. *nte estas condiciones, la estructura es inestable y falla por pandeo lateral.
CARGA CRÍTICA La transici"n entre las condiciones estable e inestable ocurre para un valor especial de la fuerza axial conocido como carga crítica P. Fig. 2
En el valor crítico de la carga la estructura est! en equilibrio cualquiera que sea la magnitud del !ngulo u $siempre que el !ngulo permanezca pequeo, debido a que hicimos esa suposici"n al deducir la ecuaci"n b&. 5el an!lisis anterior observamos que la carga crítica es la 6nica para la cual la estructura estar! en equilibrio en la posici"n perturbada. En este valor de la carga, el efecto restituido del momento en el resorte coincide con el efecto de pandeo de la carga axial. Por tanto, la carga crítica representa la frontera entre las condiciones estable e inestable. 'i la carga axial es menor que Pcr , el efecto del momento en el resorte predomina y la estructura regresa a la posici"n vertical despu+s de una perturbaci"n pequea7 si la carga axial es mayor que P cr , el efecto de la fuerza axial predomina y la estructura se pandea2
Si P < P cr , la estructura es estable. Si P > P cr , la estructura es inestable.
8odelo de los distintos tipos de pandeo de Euler. )omo se puede ver, seg6n las coacciones externas de la viga, la deformaci"n debid a al pandeo ser! distinta.
COLUMNAS CON EXTREMOS ARTICULADOS 9niciamos nuestro estudio del comportamiento de la estabilidad de columnas al analizar una columna esbelta con extremos articulados $fig a&. La columna esta cargada por una fuerza vertical P que se aplica en el centroide de la secci"n transversal. La columna es perfectamente
recta y est! hecha de material linealmente el!stico que sigue la ley de :oo;e. )omo se supone que la columna no tiene imperfecciones, se llama columna ideal. Para fines de an!lisis, establecemos un sistema coordenado con el origen en el soporte A y con el eje x a lo largo del eje longitudinal de la columna. El eje y est! dirigido hacia la izquierda en la figura y el eje z $no se muestra& sale del plano de la figura hacia el observador. 'uponemos que el plano xy es un plano de simetría de la columna y que cualquier flexi"n sucede en ese plano $fig b&. El sistema coordenado es id+ntico al empleado en nuestro an!lisis anterior de vigas, como se puede observar al girar la columna en el sentido de las manecillas del reloj un *ngulo de <=>. )uando la carga axial P tiene un valor pequeo, la columna permanece perfectamente recta y experimenta compresi"n axial directa. Los 6nicos esfuerzos son los de compresi"n uniforme obtenidos con la ecuaci"n s ? P A. La columna est! en euili!"io e#$a!le, lo cual significa que vuelve a la posici"n recta despu+s de la perturbaci"n. Por ejemplo, si aplicamos una carga lateral pequea y ocasionamos que la columna se flexione, la deflexi"n desaparecer! y la columna retornara a su posici"n original cuando se elimina la carga lateral.
)omo la carga axial P se aumenta gradualmente, alcanzamos una condici"n de euili!"io neu$"o en la que la columna puede tener una forma flexionada. El valor correspondiente de la carga es la ca"%a c"&$ica P cr . En esta carga la columna puede experimentar deflexiones laterales pequeas sin cambio en la fuerza axial. Por ejemplo, una carga lateral pequea producir! una forma flexionada que no desaparece cuando se elimina la carga lateral. Por tanto, la carga crítica puede mantener la columna en equilibrio ya sea en la posici"n recta o bien en una posici"n ligeramente flexionada. * valores mayores de la carga, la columna es ine#$a!le y se puede colapsar por pandeo, es decir, por flexi"n excesiva. Para el caso ideal que estamos estudiando, la columna estar! en equilibrio en la posici"n recta aun cuando la fuerza axial P sea mayor que la carga critica. 'in embargo, como el equilibrio es inestable, la perturbaci"n mínima imaginable ocasionara que la columna se flexione en sentido lateral. (na vez que esto sucede, las deflexiones aumentaran de inmediato y la columna fallara por pandeo. El comportamiento es similar al descrito en la secci"n anterior para el modelo idealizado de pandeo.
Si P < Pcr, la columna esta en equilibrio estable en la posicion recta. Si P = Pcr, la columna esta en equilibrio neutro en posicion recta o en una posicion ligeramente fexionada. Si P > Pct, la columna esta en equilibrio inestable en la posicion recta y se pandeara ante la mas pequena perturbacion. Por supuesto, una columna real no se comporta de esta manera idealizada debido a que siempre tiene imperfecciones. Por ejemplo, la columna no es perfectamente recta y la carga no est! exactamente en el centroide. 4o obstante, iniciamos estudiando columnas ideales porque nos permite comprender el comportamiento de columnas reales.
La carga critica menor para una columna con extremos articulados $ver anexo de los c!lculos&
La forma pandeada correspondiente $denominada en ocasiones forma modal & es2
El pandeo de una columna articulada en el primer modo se denomina ca#o 'undamen$al de pandeo de la columna. El tipo de pandeo descrito en esta secci"n se denomina (andeo de Eule" y la carga crítica para una columna ideal el!stica a menudo se denomina ca"%a de Eule") El famoso matem!tico Leonhard Euler $%@=@A%@BC&, reconocido por lo general como el matem!tico m!s grande de todos los tiempos, fue el primero en investigar el pandeo de una columna esbelta y en determinar la carga critica $Euler publico sus resultados en %@DD&7 obtenemos un n6mero infinito de cargas críticas y formas modales correspondientes. La forma modal para n ? tiene dos semiondas, como se representa en la figura %%.Bc. La carga crítica correspondiente es cuatro veces mayor que la carga critica para el caso fundamental. Las magnitudes de las cargas críticas son proporcionales al cuadrado de n y el n6mero de semiondas en la forma pandeada es igual a n.
)#8E4*F9#' * partir de la ecuaci"n para carga crítica vemos que la carga crítica de una columna es proporcional a la rigidez a la flexi"n EI e inversamente proporcional al cuadrado de la longitud. 5e inter+s particular es el hecho de que la propia resistencia del material, representada por una cantidad como el límite de proporcionalidad o el esfuerzo de fluencia, no aparece en la
ecuaci"n para la carga critica. Por tanto, aumentar una propiedad de resistencia no incrementa la carga critica de una columna. 'olo se pude aumentar incrementando la rigidez a la flexi"n, reduciendo la longitud o proporcionando soporte lateral adicional. La rigidez a la flexión se puede aumentar al emplear un material /mas0 rígido0 $es decir, un material con un m"dulo de elasticidad E mayor& o al distribuir el material de tal manera que aumente el momento de inercia I de la secci"n transversal, de la misma forma que una viga puede hacerse mas rígida al aumentar el momento de inercia, el cual se incrementa al distribuir el material m!s alejado del centro de de la secci"n transversal. 5e aquí, un elemento tubular hueco suele ser m!s econ"mico para utilizarse como una columna que un elemento solido con la misma !rea de la secci"n transversal. *l reducir el espesor de la pared de un elemento hueco y aumentar sus dimensiones laterales $mientras se mantiene constante el !rea de secci"n transversal& tambi+n aumenta la carga critica debido a que se aumenta el momento de inercia. 'in embargo, este proceso tiene un límite pr!ctico ya que al final la pared misma se vuelve inestable. )uando eso sucede, se presenta el pandeo localizado en forma de corrugaciones o arrugas pequeas en las paredes de la columna. Por tanto, debemos distinguir entre pandeo global de una columna, supusimos que el plano xy era un plano de simetría de la columna y que el pandeo tenía lugar en +l. La 6ltima suposici"n se cumplir! si la columna tiene soportes laterales perpendiculares al plano de la figura, de tal modo que la columna est+ restringida a pandearse en el plano xy. 'i la columna est! soportada s"lo en sus extremos y es libre de pandearse en cualquier direcci"n, entonces la flexi"n ocurrir! con respecto al eje centroidal principal que tenga el momento de inercia menor.
Por ejemplo, considere las secciones transversales rectangular y de patin ancho que se muestran en la fgura. En cada caso, el momento de inercia I1 es mayor que el momento de inercia I2; por tanto la columna se pandeara en el plano 1-1 y se dee emplear el momento de inercia I2 menor en la !"rmula para la carga critica. #i la seccion transversal es cuadrada o circular, todos los ejes centroidales tienen el mismo momento de inercia y el pandeo puede ocurrir en cualquier plano longitudinal.
5espues de determinar la carga critica para una columna, podemos calcular el e#'ue"*o c"&$ico correspondiente al dividir la carga entre el area de la seccion transversal. Para el caso fundamental de pandeo $figura& , el esfuerzo critico es2
en donde I es el momento de inercia para el eje principal con respecto al cual ocurre el pandeo. Esta ecuaci"n se puede escribir en una forma m!s 6til al introducir la notaci"n.
en donde r es el "adio de %i"o de la secci"n transversal en el plano de flexion. G Entonces la ecuacion para el esfuerzo critico se convierte en s cr
en donde r es una raz"n adimensional denominada "elaci+n de e#!el$e*,
$serve que la relacion de eselte% depende solo de las dimensiones de la columna. &na columna que es larga y eselta tendra una relacion de eselte% alta y, por tanto, un es!uer%o critico ajo. &na columna que es corta y rousta tendra una relacion de eselte% aja y se pandeara con un es!uer%o elevado.
Ejercicio
&na columna larga y eselta ABC est' articulada en los e(tremos y se comprime por una carga a(ial P )fgura* . +a columna tiene soporte lateral en el punto medio B en el plano de la fgura. #in emargo, solo cuenta con soporte lateral perpendicular al plano de la fgura en los e(tremos. +a columna esta construida con un perfl de acero de patin ancho ) 2*
con modulo de elasticidad E / 20 1 3si y limite de proporcionalidad spl / 42 3si. +a longitud total de la columna es L / 25 !t. 6etermine la carga permisile Pperm empleando un !actor de seguridad n / 2.5 con respecto al pandeo de Euler de la columna.
Solución 6eido a la !orma en que esta soportada, esta columna se puede pandear en cualquiera de los dos planos principales de 7e(i"n. 8omo primera posiilidad, puede pandearse en el plano de la fgura, en cuyo caso la distancia entre los soportes laterales es L92 / 12.5 !t y la 7e(i"n ocurre con respecto al eje 2-2
8omo segunda posiilidad, la columna puede pandearse perpendicular al plano de la fgura con 7e(i"n con respecto al eje 1.1. 6ado que el :nico soporte lateral en esta direcci"n est' en los e(tremos, la distancia entre soportes laterales es L / 25 !t Propiedades de la columna. 6e la tala, apndice E ) I1 0.
in
4
I2 21.?
in
4
A
.25 in
2
Cargas críticas. #i la columna se pandea en el plano de la fgura, la carga critica es>
2
Pcr
=
π E I 2 2
( L /2 )
2
=
4 π E I 2 2
L
=l sustituir los valores numericos, otenemos> 2
Pcr =
4 π E I 2
L
2
2
=
3
(
4 π 29 x 10
4
Ksi )( 21.7 ¿ ) 2
[( 25 ft ) 12 ft ]
=276 K
#i la columna se pandea perpendicular al plano de la fgura, la carga critica es 2
Pcr =
π E I 1 L
2
2
=
3
4
π ( 29 x 10 Ksi )( 98.0 ¿
)
2
[ ( 25 ft ) 12 ft ]
=312 K
Por tanto, la carga critica para la columna )el menor de los dos valores anteriores* es
Pcr =¿ 2?@ 3
y el pandeo ocurre en el plano de la fgura.
Esfuerzos críticos. 8omo los calculos para las cargas criticas son validos solo si el material sigue la ley de Aoo3e, necesitamos verifcar que los es!uer%os criticos no e(cedan el limite de proporcionalidad del material. En el caso de la carga critica mayor, otenemos el siguiente es!uer%o critico>
σ cr =
P cr A
=
312 K 8.25
2
¿
=37.8 Ksi
6ado que este es!uer%o es menor que el limite de proporcionalidad )s pl / 42 3si*, los dos calculos de la carga critica son satis!actorios.
Carga permisible. +a carga a(ial permisile para la columna, con ase en el pandeo de Euler, es
P pem=
Pcr n
=
276 K 2.5
=110 k
en donde n / 2.5 es el !actor de seguridad deseado.
*4EH#
