TALLER ALLER:: Prob Problema lemass de olim olimpiad piadas as mate matem´ m´ aticas aticas John Cuya Jorge Tipe Emilio Gonzaga
Lima, 11 de febrero de 2014
VII COLOQUIO INTERNACIONAL sobre ense˜ nanza de las nanza matem´ aticas
Sesi´ Sesi ´ on 1 - Prob on Problema lema 1.a
umero conjeturable si Un n´ umero de cuatro cifras es llamado n´ umero todos sus d´ıgitos son distintos distintos y uno de ellos es igual a la suma de los otros tres.
a) ¿Cu´al al es el menor menor n´ numero u´mero conjeturable? conjeturable? b) ¿Cu´ales ales son los dos menores n´ umeros conjeturables m´ umeros ultiplos ultiplos de 25?
Sesi Se si´ ´ on 1 - Pr on Prob oble lema ma 1. 1.a a - So Solu luci ci´ ´ on on
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a) El menor n´ umero conjeturable es
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a) El menor n´ umero conjeturable es 1023.
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a) El menor n´ umero conjeturable es 1023. b) Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 o´ 75.
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a) El menor n´ umero conjeturable es 1023. b) Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 o´ 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 1
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a) El menor n´ umero conjeturable es 1023. b) Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 o´ 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 1, los cuales son: 1225, 1825, 1450, 1650 y 1175.
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a) El menor n´ umero conjeturable es 1023. b) Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 o´ 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 1, los cuales son: 1225, 1825, 1450, 1650 y 1175. Por lo tanto, los dos menores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 1450 y 1650.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b
umero conjeturable si Un n´ umero de cuatro cifras es llamado n´ todos sus d´ıgitos son distintos y uno de ellos es igual a la suma de los otros tres.
a) ¿Cu´al es el mayor n´ umero conjeturable? b) ¿Cu´ales son los dos mayores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25?
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a) El mayor n´ umero conjeturable es
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a) El mayor n´ umero conjeturable es 9810.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a) El mayor n´ umero conjeturable es 9810. b) Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 o´ 75.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a) El mayor n´ umero conjeturable es 9810. b) Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 o´ 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a) El mayor n´ umero conjeturable es 9810. b) Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 o´ 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales son: 9225 y 9450.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a) El mayor n´ umero conjeturable es 9810. b) Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 o´ 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales son: 9225 y 9450. Ahora hallaremos los que comienzan en 8
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a) El mayor n´ umero conjeturable es 9810. b) Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 o´ 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales son: 9225 y 9450. Ahora hallaremos los que comienzan en 8, los cuales son: 8125 y 8350.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a) El mayor n´ umero conjeturable es 9810. b) Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 o´ 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales son: 9225 y 9450. Ahora hallaremos los que comienzan en 8, los cuales son: 8125 y 8350. Por lo tanto, los dos mayores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 9450 y 8350.
Sesi´ on 1 - Problema 1.c
umero conjeturable si Un n´ umero de cuatro cifras es llamado n´ todos sus d´ıgitos son distintos y uno de ellos es igual a la suma de los otros tres.
a) ¿Existe alg´ un entero positivo N tal que N y 5N son conjeturables? b) ¿Existe alg´ un entero positivo N tal que N y N + 1 son conjeturables?
Sesi´ on 1 - Problema 1.c - Soluci´ on
Sesi´ on 1 - Problema 1.c - Soluci´ on
a) S´ı.
Sesi´ on 1 - Problema 1.c - Soluci´ on
a) S´ı. Algunos ejemplos son N = 1032, 1230, 1405 y 1450, donde 5N = 5160, 6150, 7025 y 7250, respectivamente.
Sesi´ on 1 - Problema 1.c - Soluci´ on
a) S´ı. Algunos ejemplos son N = 1032, 1230, 1405 y 1450, donde 5N = 5160, 6150, 7025 y 7250, respectivamente. b) S´ı.
Sesi´ on 1 - Problema 1.c - Soluci´ on
a) S´ı. Algunos ejemplos son N = 1032, 1230, 1405 y 1450, donde 5N = 5160, 6150, 7025 y 7250, respectivamente. b) S´ı. Algunos ejemplos son 4509, 5409, 5139 y 5319, donde N + 1 = 4510, 5410, 5140 y 5320, respectivamente.
Sesi´ on 1 - Problema 1.d
umero conjeturable si Un n´ umero de cuatro cifras es llamado n´ todos sus d´ıgitos son distintos y uno de ellos es igual a la suma de los otros tres. D´e tres n´ umeros enteros positivos N , de 3 cifras distintas cada uno, tales que en la secuencia 10N 10N + 1 10N + 2 10N + 9 haya exactamente 0, 1 y 2 n´umeros conjeturables respectivamente. ,
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Sesi´ on 1 - Problema 1.d - Soluci´ on
Sesi´ on 1 - Problema 1.d - Soluci´ on
•
Si N = 345, 457, 569 o´ 289, entonces hay 0 n´umeros conjeturables en la secuencia 10N 10N + 1 10N + 2 10N + 9. ,
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Sesi´ on 1 - Problema 1.d - Soluci´ on
•
Si N = 345, 457, 569 ´o 289, entonces hay 0 n´ umeros conjeturables en la secuencia 10N 10N + 1 10N + 2 10N + 9. ,
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Si N = 234, 125, 809 o´ 369, entonces hay exactamente 1 n´ umero conjeturable en la secuencia 10N 10N + 1 10N + 2 10N + 9. ,
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Sesi´ on 1 - Problema 1.d - Soluci´ on
•
Si N = 345, 457, 569 ´o 289, entonces hay 0 n´ umeros conjeturables en la secuencia 10N 10N + 1 10N + 2 10N + 9. ,
•
, . . . ,
Si N = 234, 125, 809 ´o 369, entonces hay exactamente 1 n´ umero conjeturable en la secuencia 10N 10N + 1 10N + 2 10N + 9. ,
•
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Si N = 103, 123, 126 o´ 136, entonces hay exactamente 2 n´ umeros conjeturables en la secuencia 10N 10N + 1 10N + 2 10N + 9. ,
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Sesi´ on 1 - Problema 1
umero Un n´ umero de dos o m´ as cifras es llamado n´ poli-conjeturable si todos sus d´ıgitos son distintos y uno de ellos es igual a la suma de los otros d´ıgitos.
a) Hallar el menor y mayor n´ umero poli-conjeturable. b) Si N y N + 1 son poli-conjeturables, probar que N es m´ ultiplo de 9. c) ¿Existen dos o m´as n´umeros poli-conjeturables de tal modo que cada d´ıgito 0 1 2 9 aparezca en exactamente uno de los n´ umeros? ,
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Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero poli-conjeturable es
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero poli-conjeturable es 123.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210. b) Notemos que si N es un n´umero poli-conjeturable, entonces la suma de las cifras de N es par.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210. b) Notemos que si N es un n´umero poli-conjeturable, entonces la suma de las cifras de N es par. Adem´as, para que la suma de las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos pares
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210. b) Notemos que si N es un n´umero poli-conjeturable, entonces la suma de las cifras de N es par. Adem´as, para que la suma de las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos pares, N debe terminar en d´ıgito 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210. b) Notemos que si N es un n´umero poli-conjeturable, entonces la suma de las cifras de N es par. Adem´as, para que la suma de las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a la suma de los otros d´ıgitos
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on a) El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210. b) Notemos que si N es un n´umero poli-conjeturable, entonces la suma de las cifras de N es par. Adem´as, para que la suma de las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de ultiplo de 9. N es 18, lo cual implica que N es m´
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
c) No es posible.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
c) No es posible. Sabemos que la suma de las cifras de un n´ umero policonjeturable es par,
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
c) No es posible. Sabemos que la suma de las cifras de un n´ umero policonjeturable es par, entonces si sumamos las sumas de las cifras de un conjunto de n´umeros poli-conjeturables, entonces esta suma tambi´en es par.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
c) No es posible. Sabemos que la suma de las cifras de un n´ umero policonjeturable es par, entonces si sumamos las sumas de las cifras de un conjunto de n´umeros poli-conjeturables, entonces esta suma tambi´en es par. Ahora, supongamos que cada d´ıgito 0 1 2 9 aparece en exactamente uno de los n´ umeros, ,
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Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
c) No es posible. Sabemos que la suma de las cifras de un n´ umero policonjeturable es par, entonces si sumamos las sumas de las cifras de un conjunto de n´umeros poli-conjeturables, entonces esta suma tambi´en es par. Ahora, supongamos que cada d´ıgito 0 1 2 9 aparece en exactamente uno de los n´ umeros, entonces 0 + 1 + 2 + · · · + 9 = 45 es par, lo cual es absurdo. ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.a
¿Ser´a posible distribuir los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en las casillas de un tablero de 3 × 3, un n´umero por casilla, de tal modo que la suma de los n´ umeros de cualesquiera dos casillas con un lado en com´ un nunca sea divisible por 3?
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible.
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 0 0 0 1 1 1 2 2 2 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 0 0 0 1 1 1 2 2 2 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 0 0 0 1 1 1 2 2 2 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 0 0 0 1 1 1 2 2 2 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 0 0 0 1 1 1 2 2 2 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 0 0 0 1 1 1 2 2 2 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 0 0 0 1 1 1 2 2 2 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.b
Los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 son distribuidos en las casillas de un tablero de 3 × 3, un n´ umero por casilla, de tal modo que la suma de los n´ umeros de cualesquiera dos casillas con un lado en com´ un es siempre impar. ¿Cu´ales n´ umeros pueden estar en el casillero del centro?
Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
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Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ,
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1 0 1 0 1 0 1 0 1 Luego, en el casillero del centro puede estar cualquiera de los n´ umeros 1, 3, 5, 7 ´o 9.
Sesi´ on 1 - Problema 2.c
¿Ser´a posible distribuir los n´ umeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 en las casillas de un tablero de 3 × 3, un n´umero por casilla, de tal modo que la suma de los n´ umeros de cualesquiera dos casillas con un lado en com´ un sea siempre impar?
Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on on on
Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on on on
S´ı es posib osible le..
Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on on on
S´ı es posib osible le.. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on
S´ı es posible. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on on on
S´ı es posib osible le.. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on on on
S´ı es posib osible le.. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on on on
S´ı es posib osible le.. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on
S´ı es posible. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2.d
¿Ser´a posible distribuir los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en las casillas de un tablero de 3 × 3, un n´umero por casilla, de tal modo que la suma de los n´ umeros de cualesquiera dos casillas con un lado en com´ un sea siempre 5, 9, 10, 15 ´o 16?
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
No es posible.
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
No es posible. Para cada casilla hay 2, 3 o´ 4 casillas que tienen un lado en com´ un con ´esta.
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
No es posible. Para cada casilla hay 2, 3 o´ 4 casillas que tienen un lado en com´ un con ´esta. Supongamos que fuese posible hacer la distribuci´ on,
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
No es posible. Para cada casilla hay 2, 3 o´ 4 casillas que tienen un lado en com´ un con ´esta. Supongamos que fuese posible hacer la distribuci´ on, entonces para cada n´ umero N de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ´o 9 debe haber al menos otros dos de ellos que al ser sumados individualmente con N den 5, 9, 10, 15 ´o 16
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
No es posible. Para cada casilla hay 2, 3 o´ 4 casillas que tienen un lado en com´ un con ´esta. Supongamos que fuese posible hacer la distribuci´ on, entonces para cada n´ umero N de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ´o 9 debe haber al menos otros dos de ellos que al ser sumados individualmente con N den 5, 9, 10, 15 ´o 16, sin embargo, para el n´ umero 5, el u ´nico n´ umero que sumado con ´el de 5, 9, 10, 15 o´ 16 es el 4, lo cual es una contradicci´on.
Sesi´ on 1 - Problema 2 a) Los n´ umeros 1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21 y 22 son distribuidos en las casillas de un tablero de 3 × 3, un n´ umero por casilla, de tal modo que la suma de los n´umeros de cualesquiera dos casillas con un lado en com´un es un n´ umero primo. ¿Cu´al n´ umero est´a en el casillero del centro? b) ¿Ser´a posible distribuir los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16 en las casillas de un tablero de 4 × 4, un n´ umero por casilla, de tal modo que la suma de los n´ umeros de cualesquiera dos casillas con un lado en com´ un sea siempre 15, 16, 20 o´ 24? c) Crear un problema con alguna o todas las ideas anteriores y dar una soluci´ on completa.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on a) La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on a) La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares. 1 2 4 6 7 10 13 21 22 → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on a) La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares. 1 2 4 6 7 10 13 21 22 → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on a) La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares. 1 2 4 6 7 10 13 21 22 → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ,
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Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on a) La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares. 1 2 4 6 7 10 13 21 22 → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ,
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0 1 0 1 0 1 0 1 0 Luego, en el casillero del centro debe estar un n´ umero par
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on a) La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares. 1 2 4 6 7 10 13 21 22 → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ,
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0 1 0 1 0 1 0 1 0 Luego, en el casillero del centro debe estar un n´ umero par, adem´as si a ´este n´umero se le suma 1, 7, 13 ´o 21, el resultado debe ser un n´ umero primo.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
Los n´ umeros 2, 4, 6 y 22 no cumplen esta condici´on ya que 2 + 7 = 9, 4 + 21 = 25, 6 + 21 = 27 y 22 + 13 = 35 no son n´ umeros primos.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
Los n´ umeros 2, 4, 6 y 22 no cumplen esta condici´on ya que 2 + 7 = 9, 4 + 21 = 25, 6 + 21 = 27 y 22 + 13 = 35 no son n´ umeros primos. Por lo tanto el u ´nico n´ umero que puede ir en el casillero del centro es el 10
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
Los n´ umeros 2, 4, 6 y 22 no cumplen esta condici´on ya que 2 + 7 = 9, 4 + 21 = 25, 6 + 21 = 27 y 22 + 13 = 35 no son n´ umeros primos. Por lo tanto el u ´nico n´ umero que puede ir en el casillero del centro es el 10, donde un ejemplo posible es el siguiente:
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
Los n´ umeros 2, 4, 6 y 22 no cumplen esta condici´on ya que 2 + 7 = 9, 4 + 21 = 25, 6 + 21 = 27 y 22 + 13 = 35 no son n´ umeros primos. Por lo tanto el u ´nico n´ umero que puede ir en el casillero del centro es el 10, donde un ejemplo posible es el siguiente: 22 7 4 21 10 13 2 1 6
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b) No es posible.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b) No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b) No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on. Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un).
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b) No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on. Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un). De los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16, los u ´nicos que poseen cuatro vecinos son 9, 11, 13 y 14
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b) No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on. Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un). De los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16, los u ´nicos que poseen cuatro vecinos son 9, 11, 13 y 14, es decir, los n´ umeros 9, 11, 13 y 14 est´an en los casilleros centrales.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b) No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on. Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un). De los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16, los u ´nicos que poseen cuatro vecinos son 9, 11, 13 y 14, es decir, los n´ umeros 9, 11, 13 y 14 est´ an en los casilleros centrales. Luego, el 14 debe ser vecino de alguno de los n´ umeros 9, 11 y 13
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b) No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on. Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un). De los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16, los u ´nicos que poseen cuatro vecinos son 9, 11, 13 y 14, es decir, los n´ umeros 9, 11, 13 y 14 est´ an en los casilleros centrales. Luego, el 14 debe ser vecino de alguno de los n´ umeros 9, 11 y 13, pero ninguna de las sumas 14 + 9 = 23, 14 + 11 = 25 y 14 + 13 = 27 vale 15, 16, 20, ´o 24, lo cual es una contradicci´on.
