TRABAJO COLABORATIVO PROBABILIDADES INTRODUCCIÓN
Éste trabajo tiene como fin cumplir con uno de los requisitos evaluativos de la materia de Probabilidades; adicionalmente, poner en práctica los conocimientos adquiridos sobre Variables Aleatorias, Distribución de Probabilidad Discreta y Continua, a través de un taller compuesto por ocho puntos en los que se aplica cada uno de los conceptos. Esperamos que todos los conceptos adquiridos y practicados puedas ser aplicados en nuestras actividades cotidianas y laborales, pues los consideramos de gran importancia y aplicabilidad.
EJERCICIOS
PUNTO 1
Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del jugador: a.- Encuentre la función de probabilidad f(x) b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x) a. La función de probabilidad quedara así:
Se cumple que
˃ ∑⌊⌋ f (x) 0 para todo x
b.
∑⌊⌋ ∑ √ Esperanza :
6.375.000.000
Desviación estándar
PUNTO 2
˂˂
Sea X una variable aleatoria con función de densidad f(x) = a (4x - x3 )0 x 2 0 en otro caso a.- Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de probabilidad b.- Calcule P ( 1 < X < 1,5)
∫
-200.000 0,125
-25.000
5.253.125.000
20.000
0,500
10.000
112.500.000
40.000
0,250
10.000
306.250.000
80.000
0,125
10.000
703.125.000
5.000
6.375.000.000
* +
∫ *∫ ∫ +
[
]
b. P ( 1 < X < 1,5)
∫ ∫
PUNTO 3.
Se sabe que el 60% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, encuentre la probabilidad de que: a) ninguno contraiga la enfermedad b) menos de 2 contraigan la enfermedad c) más de 3 contraigan la enfermedad SOLUCION
a) Sea A = ninguno contraiga la enfermedad P(A)= 0.4*0.4*0.4*0.4*0.4 =
()
*0.45*0.60=0.01024
la probabilidad de que ninguno contraiga la enfermedad es de 1.02%
b) P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =0.01024 +
()
()
*0.6*0.44 +
*0.62*0.43=0.31744
La probabilidad de que menos de dos contraigan la enfermedad es 31.74% c) 1- (P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)) = 1- (0.01024 + 1- 0.31744=0.68256
()
()
*0.6*0.44 +
*0.62*0.43 )=
PUNTO 4
Una compañía fabricante utiliza un esquema de aceptación de producción de artículos antes de que se embarquen. El plan tiene dos etapas. Se preparan cajas de 25 artículos para su embarque, y se prueba una muestra de 3 en busca de defectuosos. Si se encuentra alguno defectuoso toda la caja se regresa para verificar el 100%. Si no se encuentran defectuosos, la caja se embarca. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo 1 articulo defectuoso se regrese para su revisión? SOLUCION
Sea: Y= número de artículos defectuosos encontrados en una caja
)() ( a) P(Y=0)= () =0.6696
La probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 artículos defectuosos es de 66.96%
b) P(Y=1)=
()()=0.12 ()
La probabilidad de que una caja que contiene solo 1 articulo defectuoso se regrese para su revisión es de 12%
PUNTO 5
Un científico inocula a varios ratones, uno a la vez, con el germen de una enfermedad hasta que encuentra a 2 que contraen la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es del 1,7% a.- Cual es la probabilidad de que se requieran 8 ratones? P= 0.017
r=2
i=20
Utilizamos la distribución binomial negativa P(X=2)= 0.00226 Probabilidad de que encuentre el segundo ratón infectado entre 8.
b.- Cual es la probabilidad de que se requieran entre 4 y 6 ratones? P= 0.017
n=4-6
P(4<=X<=6)=
k=2
∑
=
+
+
= 0.00518 P(4<=X<=6)= 0.00518
Probabilidad de que encuentre el segundo ratón infectado entre 4 y 6.
PUNTO 6
Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de inglés en cualquier intento que haga. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que lo logre aprobar en el tercer intento? P=0.75 K=3 Miramos en la tabla de distribución geométrica P(X<=3)= 0.996 Tiene Una probabilidad del 99.6 % de aprobar en el tercer intento. b.- ¿Cuál es la probabilidad de que lo apruebe antes del tercer intento? P(X<=2)= 0.9843
PUNTO 7
En promedio en cierto cruce ocurren dieciocho accidentes de transito al año. ¿Cuál es la probabilidad de que para cualquier mes dado en este cruce : a.- ocurran exactamente 3 accidentes Promedio año= 18 / año Promedio mes= 1.5 / mes Utilizamos la tabla de distribución de poisson
P(X=3)= 0.1255 La probabilidad de que ocurran 3 accidentes al mes es de 12.5% b.- ocurran menos de 3 accidentes P(X<3)= P(X<=2) = 0.8088 La probabilidad de que ocurran menos de 3 accidentes es de 80.8% c.- ocurran por lo menos 3 accidentes P(X>=3)= 1 – P(X<3) = 1 – 0.8088 = 0.1912 La probabilidad de que ocurran al menos 3 accidentes es del 19.12%
PUNTO 8
Un empleado viaja todos los días de su casa en las afueras a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos con una desviación estándar de 3,8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente
CONCLUSIONES
El desarrollo del trabajo, permitió medir los conocimientos adquiridos frente a la solución de problemas. Consideramos que la aplicación de las Probabilidades puede ser de uso cotidiano y va a permitir la medición de riesgos y ventajas que se pueden presentar en diversas situaciones.
