universid universidad ad de san carlos carlos
clave-960-2-M-1-00-2012
Facultad acu ltad de Ingenie Ing enierr´ıa Escuela de Ciencias Departamento de Matem´ atica atica
CLAVE DE EXAMEN EXAMEN ´ tica para computaci ´ n 1— —matematica a computacion o ´ digo de curso: codigo o curso: 960
Datos de la clave
Datos Datos del examen examen
Elaborada por: Jos´e Carlos Carl os Bonill Bon illa a
segundo parcial
Primer Primer semestre, semestre, 2012 Jornada matutina
Revisada por: Lic. Carlos Morales
Curso impartido por: Lic. Carlos Morales
21 de mayo de 2012
TEMARIO
TEMA 1 (24 pts) Sea f : R3 → R3 definida por f (x,y,z) =
z
, y + 5, 2x 3
1.1) (8 pts) Demostrar que f es inyectiva. 1.2) (8 pts) Demostrar que f es sobreyectiva. 1.3) (8 pts) Hallar f −1 . TEMA 2 (26 pts) Sea
Z
= {0, +1, −1, +2, −2, +3, −3, . . .}, el conjunto de los n´ umeros enteros. Se define R ⊆
R = { (a, b) ∈ Z × Z | b − a es m´ ultiplo de 4 } 2.1) (16 pts) Demuestre que R es una relaci´on de equivalencia. 2.2) (5 pts) Escriba la clase del cero. 2.3) (5 pts) Describir la partici´ on inducida por R en Z. TEMA 3 (24 pts) Considere el conjunto
N
= {0, 1, 2, 3, 4, . . .} de los n´ umeros naturales. Se define:
−2
1 An = , n+1 n+1 3.1) 3.2) 3.3) 3.4)
(5 pts) (6 pts) (7 pts) (6 pts)
U = [ −2, 1]
( U es el conjunto universo)
Hallar An Hallar An+1 ∩ An Hallar ∞ Ak , explique. k =1 Hallar An An+1
TEMA 4 (10 pts) Suponga que |A| = n y |B | = m. 4.1) (5 pts) Hallar |P (P (A × B))| (aqu´ı, P (·) es el s´ımbolo para conjuntos potencia) 4.2) (5 pts) ¿Cu´ antas relaciones existen de A en A? TEMA 5 (16 pts) Escribir el valor de verdad de las siguientes proposiciones. 5.1) 5.2) 5.3) 5.4)
(4 pts) ∅ ∈ ∅ (4 pts) ∅ ∈ {∅} (4 pts) ∅ ⊂ {∅} (4 pts) {∅} ∈ P (∅)
Z×Z
as´ı:
SOLUCIONES
TEMA 1 1.1) Queremos mostrar que si dos elementos del dominio tuvieran la misma imagen, es porque los dos elementos del dominio son en realidad el mismo. Esto es equivalente a mostrar que la funci´ on es inyectiva. Consideremos los elementos (x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ) del dominio R3 , tales que f (x1 , y1 , z1 ) = f (x2 , y2 , z2 ). Esto quiere decir que z3 , y1 + 5, 2x1 = z3 , y2 + 5, 2x2 . Puesto que, para que los vectores sean iguales, debemos tener que cada coordenada sea igual a su correspondiente en el otro vector, obtenemos el siguiente sistema:
z1
1
2
z2
= y +2x5 == y2x + 5 3
1
3 2
1
2
A partir de esas ecuaciones, mediante sencillas eliminaciones, obtenemos
z = z xy == yx 1
2
1
2
1
2
Lo que nos indica que los elementos del dominio eran, efectivamente, el mismo. 1.2) Para mostrar que f es sobreyectiva, debemos mostrar que cada elemento del contradominio tiene al menos una preimagen 1 en el dominio. Sea (a,b,c) un elemento arbitrario del contradominio R3 , queremos mostrar que existen valores de x,y,z tales que f (x,y,z) = (a,b,c), esto es, z3 , y + 5, 2x = (a,b,c). De ello se deduce el sistema z 3 =a y+5 = b 2x = c
Notamos que cada una de esas ecuaciones es lineal, y el sistema posee soluci´on u ´ nica, que podemos obtener simplemente despejando, y es c x= , 2
y = b − 5,
z = 3a
Con lo cual ( 2c , b − 5, 3a) es la preimagen de (a,b,c). 1.3) Del inciso anterior tenemos que f ( 2c , b − 5, 3a) = (a,b,c). Puesto que el procedimiento de obtener preim´ agenes es el mismo que el de obtener funciones inversas, eso nos da la pista de definir la funci´ on z −1 3 inversa mediante f (x,y,z) = ( 2 , y − 5, 3x) para cada (x,y,z) ∈ R . Por el procedimiento hecho anteriormente, tenemos autom´ aticamente que (f ◦ f −1 )(x,y,z) = (x,y,z), y s´olo resta corroborar el otro orden: (f −1 ◦ f )(x,y,z) = (x,y,z), lo cual es muy sencillo. −1
−1
f (f (x,y,z)) = f
1
z , y + 5, 2x = (2x) , (y + 5) − 5, 3 z = (x,y,z) 3
2
3
Si f (a) = b, entonces decimos que b es imagen de a, y tambi´en decimos que a es preimagen de b.
TEMA 2 2.1) Debemos probar que la relaci´on cumple tres propiedades: reflexividad, simetr´ıa y transitividad. Para la reflexividad basta observar que a − a = 0 para cualquier entero a, y cero es m´ ultiplo de cualquier n´umero, en particular, de 4. Ahora, para la simetr´ıa, sean a, b ∈ Z tales que (a, b) ∈ R. Esto quiere decir que b − a es m´ ultiplo de 4. Notemos que a − b = −(b − a), y si un n´ umero es m´ ultiplo de 4, entonces tambi´en es m´ ultiplo de 4 aqu´el que se obtiene al cambiarle de signo. Esto prueba que (b, a) tambi´ en pertenece a la relaci´ on. Finalmente, para la transitividad, asumamos que (a, b) ∈ R y tambi´en (b, c) ∈ R. Por la definici´on de R tenemos que los n´ umeros (b − a) y (c − b) son ambos m´ ultiplos de 4. Ahora bien, puesto que la suma de m´ ultiplos de 4 es tambi´en un m´ ultiplo de 4, tenemos que (b − a) + (c − b) = (c − a) es otro m´ ultiplo de 4. Pero esta condici´ on es la exigida por la definici´ on de R, y asi concluimos que (a, c) ∈ R, lo que nos indica que la relaci´on es, en efecto, transitiva. 2.2) La clase del cero es precisamente el conjunto {0, +4, −4, +8, −8, +12, −12, . . .}, que contiene a todos los m´ ultiplos de 4. 2.3) En Z/R tenemos 4 clases de equivalencia a las que denotaremos 0, 1, 2, 3, y son precisamente los conjuntos siguientes: 0 = {0, +4, −4, +8, −8, . . .}, 1 = {1, +5, −3, +9, −7, . . .}, 2 = {2, +6, −2, +10, −6, . . .}, 3 = {0, +3, −1, +7, −5, . . .},
los n´ umeros de la forma 4k + 0 los n´ umeros de la forma 4k + 1 los n´ umeros de la forma 4k + 2 los n´ umeros de la forma 4k + 3
Donde k var´ıa sobre todo el conjunto de los n´ umeros enteros. Esta partici´ on es altamente regular, cosa que podemos apreciar en la siguiente tabla: N´ umeros enteros:
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Clase a la que pertenecen:
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
TEMA 3 En este tema tenemos una familia de intervalos anidados, esto es, tal que cada miembro es subconjunto del miembro anterior.
1 3.1) An = −2, n−2 +1 ∪ n+1 , 1 . No hay necesidad de separar el caso inicial A0 , pues un intervalo del tipo [−2, −2) es en realidad vac´ıo.
3.2) Por ser intervalos anidados tenemos que An+1 ∩ An = An+1 y, en consecuencia, An+1 ∩ An = An+1 = 1 −2, n−2 +2 ∪ n+2 , 1 , haciendo uso del inciso anterior, pero sustituyendo n → n + 1.
3.3) Tambi´ en podemos argumentar gracias a la anidaci´ on que ∞
A
k
k =1
= l´ım An = l´ım n→∞
n→∞
−2
1 , = [0, 0] = {0} n+1 n+1
As´ı que tenemos un u ´nico elemento que pertenezca a la intersecci´ on de todos los intervalos. Esto se puede explicar de otra forma: si consideramos un n´umero z = 0, no importando que tan pr´oximo
est´e al n´umero cero, eventualmente en la sucesi´on de intervalos habr´a un intervalo tal que z est´e fuera de ´el (Esta parte del argumento hace uso de la llamada propiedad arquimedeana , que le recomiendo investigar al lector curioso), en consecuencia ning´ un z = 0 puede pertenecer a la intersecci´o n de todos los intervalos.
=
−2 , n+1
1 n+1
, en tanto que A
=
−2 , n+2
1 n+2
. Ahora bien, aplicando la
3.4) Primero notemos que An n+1 definici´ on de diferencia sim´etrica, y observando que una de las diferencias que la componen es vac´ıa por el hecho de que An+1 ⊂ An , obtenemos An An+1 = (An − An+1 ) ∪ (An+1 − An ) = (An − An+1 ) ∪ ∅ = An − An+1 Siendo cuidadosos con el orden de los n´umeros que conforman los l´ımites de los intervalos (quiz´ a haciendo una recta num´ erica para apoyarnos) concluimos lo siguiente: An An+1
−2
−2 = , n+1 n+2
∪
1 1 , n+2 n+1
TEMA 4 4.1) |P (P (A × B))| = 2|P (A×B )| = 2(2
|A×B | )
= 2(2
|A|·|B | )
n·m
= 2(2
)
4.2) La cantidad de relaciones de A en A es equivalente a |P (A × A)| = 2n·n = 2 (n
2
)
TEMA 5 Para resolver este tema, puede ser u ´til imaginar que el conjunto vac´ıo es como una caja vac´ıa. Entonces {∅} vendr´ıa siendo como una caja que tiene adentro una caja vac´ıa, aunque recomiendo no aplicar esta analog´ıa de manera ciega. Tambi´en hay que recordar que ∅ es subconjunto de cualquier conjunto. Finalmente, nos ser´ a de utilidad saber que P (∅) = {∅}. Pertenecer a un conjunto (caja) significa estar adentro de dicha caja. 5.1) Falso. 5.2) Verdadero. 5.3) Verdadero. 5.4) Falso.
