Asignatura: Electrodinámica Clásica del Vacío Tema I: Campo electrostático. Clase 3 Desarrollo en multipolos del potencial y el campo electrostático. Objetivos: Desarrollar en multipolos el potencial y la energía. Sumario: Desarrollo en multipolos del potencial electrostático. Desarrollo en multipolos de la energía de una distribución de cargas en un campo externo. Introducción. En el capítulo anterior fueron obtenidas las expresiones para determinar el campo eléctrico y el potencial para distribuciones generales de carga, ya sean discretas o continuas, así como las leyes diferenciales para determinar dichos campos. (r r ' ) E ( r ) ( r ' ) dV ' 3 r r ' V
( r ' )
(r )
dV '
r r '
V
E 4 2 4
Utilizaremos ahora estas expresiones para encontrar el potencial provocado por distribuciones localizadas de cargas en regiones apartadas y para valorar el campo eléctrico de las mismas. Los resultados que encontremos nos servirán para evaluar la energía de distribuciones de cargas afectadas por este campo.
Desarrollo en multipolos del potencial electrostático. Supongamos tenemos una distribución de cargas localizadas en una región finita del espacio, de manera que r r ' siendo r el punto de observación y r ' la variable que
se mueve por la región cargada, entonces podemos desarrollar la expresión
1 r r '
utilizando alguna base funcional. En particular, utilizando un desarrollo en serie de potencias para r ' 0 pudiéramos operar del siguiente modo: Escribamos el término a desarrollar de la manera que sigue:
( x
r r '
k
k
x' k ) 2
12
(II.26)
el desarrollo en series de potencias de Taylor cercano al punto r ' 0 sería
r r '
1
2 ( x k x' k ) r j x ' j k 1
12
2 2 x' j ( xk x' k ) 2 l j x'l x' j k 0 1
x 'k x ' j 0
Calculemos la primera derivada
2 ( x k x' k ) x' j k
12
1
( x k x' k ) 2 k 2
32
2( x k
k
x ' k )( jk )
12
x' j x' l ...
x 'k 0 x ' j 0 x 'l 0
2 ( x k x' k ) x ' j k
12
( x j x ' j ) ( x k x' k ) 2 k
32
( x j x' j )
,
3
r r '
evaluando en el punto del desarrollo
2 ( x k x ' k ) x' j k
12
x j
r
x 'k 0 x ' j 0
3
y sustituyendo en la sumatoria
j x' k ( xk x' k ) 2 j
12
r r '
x' j
r
x 'k 0 x ' j 0
3
(II.28)
Calculemos ahora la segunda derivada,
2 2 ( x k x ' k ) x' l x ' j k jl ( x k x ' k ) 2 k
jl ( xk x'k ) 2 k
12
32
32
2 ( x j x' j ) ( x k x' k ) x 'l k
3 ( x j x ' j ) ( x k x ' k ) 2 2 k
52
3
2
2( x
k
x ' k )( kl )
k
3( x j x' j )( xl x'l ) ( xk x'k ) 2 k
52
evaluando en el punto del desarrollo y sustituyendo en la sumatoria
2 2 ( xk x'k ) x'l x' j k
12
x' j x'l jl 3 x' j x'l x j xl x' j x'l 3 5 x 'k 0 r r x ' 0
(II.29)
j
x 'l 0
Teniendo en cuenta en el desarrollo las derivadas encontradas (II.28)- (II.29) se obtiene 3 x j x l jl x j x ' j 1 1 1 (II.30) 3 x ' j x ' l r r ' r j r 3 2 j l r 5 r Analicemos el último término en (II.30)
j
l
jl x' j x 'l 3 r
2
r
x' x' jl
j
j
l
l
r
5
jl x ' j x' l j
x
2 k
k
r
l
5
jl x' j x 'l j
x x i
k
k ik
i
r
l
5
y como los índices en las sumatorias son índices mudos y tienen el mismo rango de valores
j
l
jl x ' j x ' l 3 r
x' x' ik
i
i
x x j
j
l jl
l
k
r
k
5
(II.31)
y sustituyendo (II.31) en (II.30) se llega a: r r '
1
1
r
r
1 r r '
r .r
3
1 r
1 2
j
r r '
r
l
3
3 x j x l 1 x ' j x' l 5 2 r
j
j
j
j
l
l
Considerando (II.32) en la expresión para el potencial:
ik
x x
3 x' x' r ' 2
1
x' x' i
l jl
l 2
jl
x x j
r
5
l
i
k
k
r
5
(II.32)
( r ' )
(r )
V
r r '
dV '
se llegaría finalmente a:
(r )
1
r
(r ' )dV '
r
r
V
3
r ' (r ' )dV '
V
1 2
x j xl
j , l
r
5
Q jl
(II.33)
donde las Q jl son los términos de un tensor definido como: Q jl
3 x' x' r '
j
l
2
jl ( r ' )dV '
(II.34)
V
Interpretemos físicamente la fórmula (II.33). El primer término corresponde al potencial que crearía toda la carga neta que se encuentra en V si esta estuviese concentrada en el origen de coordenadas. El segundo término representa el potencial generado por el momento dipolar del sistema de cargas, como si estuviese localizado en el origen, y el último refleja al potencial creado por el término que contiene los 9 términos del tensor de segundo orden llamado momento cuadrupolar del sistema. Es fácil ver que este tensor es un tensor simétrico, por tanto, existe un sistema de ejes, llamados principales, en los que puede diagonalizarse el tensor. Por supuesto que los ejes principales reflejarán los elementos de simetría que tenga la distribución de cargas. Como el tensor es simétrico la traza (suma de los elementos diagonales de la matriz) es cero. En efecto, si calculamos la suma indicada 2 2 Q jj 3 x' j x' j r ' (r ' )dV ' 3 x' j 2 r ' (r ' )dV ' 0
j
V
j
V
j
La expresión (II.33) indica la existencia de potencial electrostático aún para el caso de tener una distribución de cargas neta nula, pues puede existir potencial creado por los momentos dipolares y cuadrupolares de la distribución de cargas (e incluso de momentos de orden superior que han sido despreciados en el desarrollo realizado). La eliminación de la acción de los momentos del desarrollo depende de la simetría que tenga la distribución de cargas. Por ejemplo, una distribución de cargas con simetría esférica solo tendría momento monopolar. Si cargas de igual intensidad se distribuyen en los vértices de un cuadrado, de forma que se alterne la polaridad de las cargas, aunque sus momentos monopolar y dipolar son ceros, tiene momento cuadrupolar. Si las cargas, de igual módulo, se dispusieran en los vértices de un cubo de forma que alternaran su signo entre los vértices vecinos se anularía también el momento cuadrupolar y solo quedaría el octopolar (ver ejercicios correspondientes en el Capítulo II del libro de ejercicios). Las ideas aquí desarrolladas tienen una aplicación práctica inmediata en las investigaciones nucleares. Cuando se realizan experimentos de dispersión de partículas cargadas por núcleos las separaciones de los patrones que corresponden a la dispersión por un centro dispersor central puntual indican deformaciones del núcleo. Esto brinda una información importante para entender la estructura de los núcleos atómicos. También en Física Atómica y Molecular lo expuesto es de gran utilidad. Las colisiones en sistemas atómicos y moléculas se producen, durante la mayor parte del tiempo, a distancias mayores que los diámetros característicos de esas estructuras, por lo que los potenciales generadores de la interacción pueden interpretarse de la manera desarrollada en este epígrafe. Así queda claro que la interacción con átomos de gases nobles debe ser muy débil, por la alta simetría de sus distribuciones de carga al tener todas las capas electrónicas totalmente llenas. Igualmente debe esperarse un potencial tipo cuadrupolar para los producidos por moléculas biatómicas homonucleares y potencial tipo dipolar para las heteronucleares, etc.
Al realizar el cálculo de superficies de energía potencial para el estado electrónico básico de las estructuras moleculares se incluyen coeficientes de dispersión basados en esta interpretación multipolar del potencial. Estos términos provocan fuerzas de largo alcance que determinan el comportamiento químico de las moléculas en fase gaseosa, así, por ejemplo, mientras las colisiones reactivas del HO con el O2, cuando ambas moléculas se encuentran en el estado vibracional básico, tienen una sección eficaz muy baja la excitación vibracional de las moléculas incrementa su momento dipolar y cuadrupolar respectivamente y eleva en varios órdenes de magnitud la sección eficaz reactiva. Se puede calcular el campo calculando menos el gradiente de (II.33). Para el primer término del desarrollo aparecería el campo dado por (I.20) para una carga puntual de valor
r d V . El segundo término, el dipolar, aportaría en coordenadas cartesianas
V
un campo dado por la expresión
3(n. p)n p
E dip
(II.35) r 3 donde hemos considerado que el dipolo está en el origen de coordenadas y que n es el vector unitario en la dirección radial. Si el dipolo se encuentra en el punto r sería necesario sustituir a r por r r y n sería el vector unitario en la dirección r r . Si
expresamos el gradiente en coordenadas esféricas y ubicamos al dipolo en la dirección del eje Z obtendríamos las habituales componentes del campo del dipolo en esféricas: 2 p cos p sin E r ; E ; E 0 r 3 r 3 que indican con mucha claridad la simetría axial del campo del dipolo eléctrico. El campo correspondiente al momento cuadrupolar en coordenadas cartesianas tiene la forma: E cuad
k
5 7 2r
Qij xi x j xk 15 Qik xi ek i , j r i
5 x x Qij xi j 7 k jk e 5 k 2 r r k i , j
(II.36)
donde ek es el vector unitario del eje k -esimo. La obtención y análisis detallado de estos
campos puede verse en el Capítulo II del libro de problemas. 1 La función en la expresión del potencial puede ser desarrollada para puntos r r '
alejados de la distribución de cargas ( r r ' ) utilizando otra base funcional. Con este
fin se emplean los polinomios de Legendre 1, si no hay dependencia con el ángulo acimutal, o las funciones armónicas esféricas como un desarrollo más general que da la posibilidad de considerar dependencias con el ángulo anteriormente mencionado2. Veamos este último caso. 1 r r '
4 l , m
1
r l l 1
2l 1 r
Y l *,m ( , )Y l , m ( , )
sustituyendo (II.37) en la fórmula para el potencial se obtiene
1 2
Ver el ejercicio II.38 del libro de ejercicios. Ver en John D. Jackson, Classical Electrodynamics, epígrafe 3.5, pag. 67.
(II.37)
( r ' )
(r )
V
r r '
1
2l 1Y
dV ' 4
* l , m
l , m
Y l ,m ( , )
( , ) r l ( r ' ) d V
l 1
r
V
(II.38)
donde los términos en el corchete
d l , m
Y l *,m ( , )r l (r ' )d V
(II.39)
V
son los llamados momentos multipolares. Demos una interpretación física a esos momentos sobre la base de los que ya introdujimos en el presente epígrafe. Con tal fin encontremos los primeros en (II.39): 1 d 00 Y 00* , r d V r d V (II.40.1) 4 V V
d 10
Y 10* , r r d V
V
3
1
3
4
cos r r d V
V
4
sin cos i sin r r d V
(II.40.2)
3
z r d V p 4 4
z
V
d 11
3
Y 11* , r r d V
8
V
3
x iy r d V
8
d 20
3
V
8
4
V
1
5
2
4
d 21
3 z
2
r d V r 2
V
V
p
5
Y 20* , r 2 r d V
x
(II.40.3)
ip y
V
1
5
2
4
1 2 3 2 cos r r d V 2 2
(II.40.4)
Q zz
Y , r r d V * 21
2
V
15
8
sin cos cos i sin r 2 r d V
(II.40.5)
V
15
1
z x i y r d V 8 3
V
d 22
15 8
Q13 iQ23
Y 22* , r 2 r d V
V
1
15
4
2
1
15
4
2
sin 2 cos i sin r 2 r d V 2
(II.40.6)
V 2
x i y r d V V
1
15
12
2
Q11 2iQ12 Q22
Expresemos la suma en (II.38) hasta l 2 1 1 r 4 q00Y 00 2 q10Y 10 q11Y 11 q11Y 11 3r r
1 3
q20Y 20 q21Y 21 q21Y 21 q22Y 22 q22Y 22
5r Si aquí tenemos en cuenta que se cumplen las relaciones
(II.41)
Y l m 1 Y lm*
* ql m 1 qlm
m
m
y sustituyendo las fórmulas (II.40.1)- (II.40.6), y las correspondientes expresiones para las funciones armónicas esféricas, los corchetes en la expresión (II.41) se igualan a: q10Y 10 q11Y 11 q11Y 11 3 p z cos sin p x cos p y sin 3 p. r (II.42) 4 4 r 1 5 q20Y 20 q21Y 21 q21Y 21 q22Y 22 q22Y 22 Q33 3 cos 2 1 4 4
4 sin cos Q13 cos Q23 sin sin 2 Q11 Q22 cos 2 2Q12 sin 2 1 5 2 2 2 2 = 2 Q33 3 z r 4Q13 zx Q23 zy Q11 Q22 x y 4Q12 xy (II.43) 4r 4 Recordando que la traza del tensor momento cuadrupolar es cero podemos hacer Q33 Q11 Q22 de manera que quedaría q20Y 20 q21Y 21 q21Y 21 q22Y 22 q22Y 22 1 5 2 2Q33 z Q13 xz Q31 zx Q23 yz Q32 zy 2 4r 4 2Q11 x 2 Q12 xy Q22 y 2 Q21 yx
1 5 Q13 x Q23 y Q33 z z Q12 x Q22 y Q32 z y Q11 x Q21 y Q31 z x 2 2r 4
1 5 2r 2 4
Q x x ij
i
j
(II.44)
ij
donde se tuvo en cuenta el carácter simétrico del tensor momento cuadrupolar. Sustituyendo (II.42) y (II.44) en (II.41) se llega a la expresión (II.33)
Desarrollo en multipolos de la energía de una distribución de cargas en un campo externo.
Sea (r ) una distribución de cargas que es colocada en una región del espacio donde existe un potencial externo (provocado por cargas diferentes de (r ) ). Como se vió en el capítulo anterior, la energía de interacción electrostática que adquiere la distribución de carga mencionada viene dada por la expresión:
W
(r )(r )dV
(II.45)
V
Suponiendo que el potencial externo (r ) es una función de variación lenta en la región donde (r ) es diferente de cero, entonces este puede ser desarrollado en serie de Taylor
1 3 3 2 (r ) (0) xi x 2 i 1 j 1 xi x j i 1 i x 0 3
xi x j ...
i
(r ) (0) r r 0
2 2 i 1 j 1 xi x j 3
3
x x 2
(r ) (0) r E (r 0)
3
1
3
1
xi 0 x j 0
i
i 1 j 1
x i x j ...
xi 0 x j 0
E j ( r 0) ... xi
j
y ya que E 0 para el campo externo (las fuentes están fuera de la región), puede 1 sumarse o substraerse el término r 2 E 6 1 3 3 1 (r ) (0) r E (r 0) xi x j E j (r 0) r 2 E (r 0) xi 2 i 1 j 1 6
1 2 3 E i (r ) (0) r E (r 0) xi x j E j (r 0) r ( r 0) xi 2 i 1 j 1 6 i 1 xi 1
3
1
3
3 E 2 (r ) (0) r E (r 0) 3 xi x j E j (r 0) r i (r 0) xi 6 i 1 j 1 i 1 xi
3
3
E j (r ) (0) r E (r 0) 3 xi x j r 2 ij (r 0) xi 6 i 1 j 1 1
3
3
(II.46)
Sustituyendo (II.38) en la expresión para la energía (II.37), obtenemos que:
E j 1 3 3 W (r ) ( r ) dV ( r ) (0) r E (r 0) 3 xi x j r 2 ij ( r 0) dV xi 6 i 1 j 1 V V E j 1 3 3 W ( r ) dV 0 ( r ) r dV E (0) ( r )3 xi x j r 2 ij (0) xi 6 i 1 j 1 V V V
W q (0) p E ( r 0)
1
3
3
Q 6
ij
i 1 j 1
E j xi
(r 0)
(II.47)
De esta expresión podemos concluir que la carga eléctrica interactúa con el potencial, el momento dipolar con el campo eléctrico, y el momento cuadrupolar con el gradiente del campo eléctrico. En la práctica esta fórmula adquiere vital importancia, ya que se aplica directamente a interacciones atómicas, moleculares y nucleares, según el tipo de partículas interactuantes. En Física Nuclear, son muy importantes las interacciones cuadrupolares, ya que estas determinan la fuerza de intercambio entre neutrones y protones, y además la forma del núcleo. Los niveles energéticos están descritos por los números cuánticos J y sus proyecciones en el eje z. Si consideramos que la densidad de carga nuclear puede expresarse como JM J (r ) , pero que está sea simétrica cilíndricamente respecto al eje z
podemos calcular el momento cuadrupolar del mismo como: 1 Q JM J (3 z 2 r 2 ) JM J (r )dV e V
Excepto para núcleos con todas las capas totalmente cerradas (núcleos mágicos), los núcleos son sometidos a campos internos, con cuyos gradientes del campo eléctrico se
produce la interacción con su momento cuadrupolar, y aparece una contribución energética a los niveles. En el caso de sistemas moleculares, cuya carga neta equivalente es cero, se estudian las interacciones entre sus multipolos y el campo eléctrico, así como su gradiente. Como el campo producido por un dipolo puede calcularse como: 3n ( p n ) p E ( r ) 3 r r '
entonces la energía de interacción entre dos estructuras con momentos dipolares p1 y
p2 sería:
p1 p 2 3(n p1 )(n p 2 )
W 12
r 1 r 2
3
Conclusiones
A lo largo de estos dos primeros capítulos hemos discutido algunos métodos para el cálculo del potencial y campo electrostáticos, todos estos métodos serán usados en la solución de ejercicios en el libro de problemas. Algunos de estos problemas son de carácter más teórico y han sido colocados allí para evitar un aumento excesivo de demostraciones en este texto. El enfoque del desarrollo en multipolos del potencial, así como el de la energía, resulta muy utilizado en las aplicaciones de la Física Teórica a la Física Nuclear, Física Atómica y Molecular por lo que es muy recomendable el conocerlo en profundidad. Bibliografía. 1. A. N. Tijonov, A. A. Samarsky, Ecuaciones de la Física Matemática, Editorial Mir, Moscú. 2. John D. Jackson, Classical Electrodynamics. 3. Lev Landau y Evgueni Lifchitz, Curso de Física Teórica, Teoría de Campos, Ediciones Mir, Moscú. 4. B. G. Levich, Curso de Física Teórica, Vol. I Teoría del campo electromagnético y teoría de la relatividad, Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1984.
