Clarisa Anabella Fregeiro - Manual de Cálculo Financiero, Cálculo Financiero Es Fácil

d d n s H A iiflb 6 lld F r c c c i r o ■ >v .-Í^^ ^ H ri^ -y

'#■

Incluye ejercitación práclicn resuelto y opiicocion de los funciones financieras del Excel como herramienta del cálculo

MANUAL DE CALCULO FINANCffiRO Cálculo Financiero es fácil

Clarisa Anabella Fregeiro

Incluye ejercitación práctica resuelta y aplicación de las funciones financieras del Excel como herramienta del cálculo

Clarisa Anabella 15 oT I 2 l í f í c m ISBN 978-987-20660-7-9 '"'■"anciero. I. Título.

Fecha de catalogación; 2 3 /0 2 /2 0 12

' - Biienos A ires': Maike. 2012.

Ac erca de la obra k l presente trabajo es una guia para /acilttar el estudio a cada alumno que se inicia en el estudio de finanzas. Este ttahajo prete tde ayudar a todos ios estudiantes, independíentememe de la universidad en que estudien Fin mzas. Es una manera diferente de desarrollar calculo finanaei o, pero sin alejarse de las n e a sidades de cada curso. l*or lo tanto, el objetivo de este libro es que se entiendan los conceptos de manera global con una visión desestructurada de los temas. Salir de los viejos esquemas y poder darle un enfocóte más actual, sin tanto contenido algebraico. Sin embargo, no aparece ninguna formula sin su rv.spectiva deducción, ya que esto pone en práctica el nivel de análisis de los estudiantes y h s ayuda a enfrentar situaciones nuevas que surjan en su ámbito laboral o personal. En rada capitulo se realizan ejemplos prácticos aplicando los conceptos desarrollados con el fin de lograr una mayor comprensión de los temas. Siempre con la intención de vincular el tema con la realidad, ya que permite relacionar y razonar los temas desde un punto de vista que trasciende el aula, logrando que el alumno salga de la pasividad de su rol de estudiante que genera la enseñanza tradicional, A lo largo de mi experiencia como docente pude observar las grandes dificultades para eoinprender la materia, generando mala predisposición y Jaita de interés hacia los temas. Se acet can a consultarme con un bagaje de conceptos desordenado.%, jonnulas remarcadas con maleadores de color, sin saber que 'stán calculando o que significa el resultado al que aniharon. El ayudar a los alumnos me motivo a escribir este manual con el objetivo que se (lansforme en un libr o de consulla para (juien .se inicia en la materia. Mi idea con este manual e.s, que luego de leerlo, les sirva a los estudiantes de base ( onceptual para asentar los conocimie.iuos que cada uno estudia en forma diferente con cada docente. Im organización de los temas mantiene el orden que la comprensión de los contenidos requiere para que cada conocimiento se asiente sobre el anterior y permita una buena t omprensión y por lo tanto, un buen resultado. Por ultimo, cohe agr egar, que el manual incluye la aplicaron del Excel en todos los temas, (orno lien amienta financiera nece.S(iiia en los tiempos que corren.

Lie. Clarisa A. Fregeir o

' Pn>íogo t ^f íf tuim kamón Gansica HttvÁn /

fA prvM^nic texto representa un nuevo y original apí)rle a la variedad de libros que existen 'SVÍaiemática Financiera*', el mismo consta de diecinueve capítulos. La temática de los ííí/>Ke: primeros capítulos son las cuestiones conceptuales bá.sicas relativas para el proceso de fiv Á^ñíih/a y aj/rendízaje en los cursos universitarios de esta asignatura. 1 uf>cionairiícnto del sistema financiero, operaciones financieras, capitalización y i tuaíj/ación, c<^üívalencias de tasas, remas o valuación de capitales múltiples y sistemas de . 1 /ilj/;icíóíi de préstamos son los contenidos más relevantes desarrollados de manera leóricopr;. jic;j, cr;íi riüíncrosos y diversos ejemplos prácticos .La utilización de Excel!, hacen que í;^cílír<;M el entendimiento y la comprensión por parle de los estudiantes. A dcíná, los mtríKlucc en la asignatura "Administración Financiera" con el desarrollo de los , 'o«r fífes contenidos, evaluaciones de proyectos de inversión, mercados de capitales: con . ii y,ióf> rJc ^mnos y acciones, desarrollado de la misma manera fácil, dinámica y con el uso de " ffujyncniiis informáticas para su comprensión.

¡MÍ Ijcencíada Clarisa A. Fregeiro ha tenido en cuenta para la preparación, desarrollo y .cfíioción dcl í)rcscnfc libro su amplia experiencia como docente y profesora de la materia f '• ulo Financícro’*que dicta en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de M " / Aíres. P >d r leer el presente libro en tcxlos sus desarrollos teóricos y prácticos ha sido una icvíileria larca, í eo /jiií: Im estudiantes, investigadores y docentes encuentren al presente texto útil para )
Juan Ramón Garnica Hervás Profesor Titular Cálculo Financiero Facultad de Ciencias Económicas -U B A

Destinatarios y agradecimientos HsCe manuaJ esta destinado a todos las personas que deseen íncursionar en ei mundo de las finanzas y no posean conocimientos previos. Es la base de conociniiemo necesaria para seguir avanzando en ñnanzas. Mi idea es no restringir el uso dt*l manual a estudiantes de ciencias económicas con un uso estrictamente académico. También esta destinado a cualquier persona que quiera conocer de finanzas a nivel personal, ya que incluye temas que podemos encontrar en la colidianeidad. Así mismo, el desarrollo del libro es relacionando los temas expuestos con casos prácticos reales. Quiero agradecerles a uxios los alumnos que a lo largo estos doce años de docencia asistieron a mis clases y aprendieron acerca de finanzas, de este modo, también coniríbuyeron a mi crecimiento.

Lie, Clarisa A. Fregeiro

III

manual de calculo financiero Calculo Financiero es fácil

IN D IC E Pag,

Acerca de la obra.................. .......................... .......................................... ......... I Prologo......................................................................................................... ................ II Deslinataiios y agradecim ientos............ ........... .......................................................... III

Capitulo ] ____________ Fm icionaniicnfo dcl Sisicnin F in an ciero Introducción......................................................................................................... Operación Financiera. Parles que intervienen en una operación financiera.......................................... Mercado Financiero................................................................. Conceptos financieros claves a tener en cuenta......................................................

1 2 4

Capitulo 2 _________O peraciones Fiiiaiicciras Sim ples___________________________ Capitalización. Definición de capital, monto, interes absoluto y lasas de interes.......................... 6 Ejemplos Prácticos................................................................................................. 8

Capitulo 3

^

________________ T asa N oininal A nual ¿Qué es una T.N.A.? Transformación a una tasa efectiv a............................................................. Com paiación con la lealidad..................................................................................... Ejemplos Prácticos...................................... — .............................................................. ..

Capitulo 4 R egím enes de C apitalización____________ Renovación de operaciones financieras simples Interes C om puesto....................... ... ....................................................................... Caiacleristicas del Interes C om puesto.........................................................................

14 ]5

Análisis de la función (1-f i)"en función del plazo................................................... Aplicación del Excel en Inferes Com puesío.............................................................. 17 Interes Sim ple......................................................................................... 20 Caraclerisiicas del Interes Sim ple............... 21 Análisis de la función (l4* in) en función del plazo.......................................... . 22 Flemplos Prácticos....................................................................................................... 23

9 10

Manual iJc Calcuk» l uíaiK Ícro ( W»

f iru in ritT ti es ftíc il

__

í."iip{ t ilo 5 f
íixpresión geneial tic ci|jiv alen c a ...................... 25 ínpiivalcnciu ilc (asas aplicado a Inicies C om puesto.................................................. 26 lu|uivalencia tic lasas aplieado a Inicies S im ple................... 27 f*t|uivalcncia de lasas com o herí* ^mienta do com paración................. 27 P|cm plos íî a d íe o s .................................................................................................... 28 Fjcm plo R eal................................................................................................................ 30 AplicacirSn dcl Hxcel para nasajt de lasas .................................................................... 31 C a p iU ilo 6 A c tu a liz a c ió n ele O p e r a c io n e s F in a n c ie r a s S im p le s ____________

A cin ali/acio ii................. D escuenio R acional...................................... Ejem plos Praciicns........................................................................................................

33 34 35

( apitiilo 7 D e s c u e n to d e O p e r a c io n e s F in a n c ie r a s S im p le s

Ocscncni(') de documentos Dcfinicnai de Valor Nominal, Vidt)r Acinnl, descuento absoluto y lasa de d e s c u e n t o ..................................................................................................

37

C ap iliilo 8 ________________T a sa iN om inal A i n a l A d e la n ta d a

¿One es una T.N A A .7 Tiansíormacion a una tasa eíecfi\ ...................................................................... 40 Ejemplos P i a d r o s ...............................................................................................................41

Cupit-'jlo 9 ____________________ R e g ím e n e s d e i>c.sciicnto

Descuerno C o m eicia l.................................................................................................. 42 Análisis de la función (1- dn) en función dcl p l a / o ............................................. 43 Cosío Emancicjo impiicito en el Dcscuenti^ C om ciciül................................ 44 Relaciones eniie lasas vcnculas y adelantadas............................................................. 45 Ejemplos ........ ....................................................................................................................... 47 Descuento C o m p u e s to ............................................... .............. .......................................48 Análisis de la función (1- t i) ” en Emeion del p l a / o .....................................................48 E'jcmplos Piücticos. ........................................................................................................... 49

l ic. Claiisa A. Eicíieiio

Manual de Cálculo Financiero Cálculo Financiero

fácil

Capitulo 10 E q u iv a len cia de tasas a d ela n ta d a s E xpresión general de equivalen cia......................................... E quivalencia de lasas aplicado a D escuento C om puesto. E jem plos Prácticos....................................................................... E jem plo Practico de la realidad..............................................

.50 .51 52 55

Capitulo 11 O p e r a cio n e s F in a n ciera s en un c o n te x to I n fla c io n a r io E fecto de la inflación en las operaciones financieras.................................................. Tasa Aparente. Tasa R eal................................................................................................... Tasa de .......................................................................................................................................... La ecuación de Arbitraje de Fisher....................................................................................... E jem plos Prácticos.................................................................................................................. C oeficien te de E stabilización de R eferencia (C .E .R .)................................................... M etodología del C alculo del indicador diario.................................................................. D epósitos a plazo fijo ajustados por C .E .R .......................................................................61

Capiíulo 12 O p e r a cio n e s F in a n c ie ra s C o m p leja s

R e n ta s-

Introducción. Rentas Tem porarias.................................................................................. 62 Valoi Actual. Amortización. C lasificación...................................................................63 Renta temporaria inmediata de pagos constantes y vencidos.................................. 64 Renta Inmediata de pagos adelantados...... ............................................................... 66 Intereses en una financiación— ................................................................................... 68 Renta Diferida........................................................................... Ejemplos Prácticos y aplicación del E xcel...... ........................................................ ..71 Calculo del costo financiero. Tasa implicita en una financiación....................... 74 Análisis de la función a( 1,n,i) en función de la tasa ........................................ 75 Aplicación del Excel para encontrar la tasa............................................................. 76 Valor Final. Imposiciones. Clasificación.......................................................................77 Imposiciones de pagos contantes y vencidos...... ................................................ 78 Im posiciones de pagos constantes adelantados............................................................ 80 Imposiciones A nticipadas................................................................................................. 81 Inteieses en una invetsión.................................................................................................82 Ejemplos Piacticos y aplicación del E x c e l................................................................ 83 Calculo del lendimiento. 1 asa implícita en una inversión..................................... 86 Análisis de la luncion S(0,n,i) en función de la lasa........................................ 87 Aplicación del Excel paia encontrai la tasa............................................................. 88 Relación entie una lenta inmediata vencida y una adelantada................................. 89 Relación entie una imposición vencida y una adelantada.......... ... ...................... 89 Relación entre una lenta inmediata vencida y una im posición vencida.............. 90 Diferencia entre las cuotas de una renta inmediata y una im posición.................. 90

Munual de Cálculo Financiero Cálculo f matÉciero vs fácil

_____

_________________

Capitulo 13 Rentas ^'ariahies Rentas variables temporales........................................................... ...................... Rentas variables en progresión geomclrica..................................................... . Renta inineciiala de pagos vencit os..................................................................... Renta inmediata de pagos adelantados................................................................. Renta de pagos diferidos...,................................................................................. Imposiciones de pagos vencidos. Imposiciones de pagos adelantados......... Imposiciones de pagos anticipados..................................................................... Renta variable enpiogrcsion geométrica cuando q = i.......................................... Ejemplos Prácticos....................................................................................... ......... Rentas variables en progresión niitmetica....................................................... Renta inmediula ile pagos vencidos.......................................... .......................... Renta imediata de pagos adelantados.................................................................... Renta de pagos difendos............ ............................................... ................ ......... Imposición de pagos vencidos. Imposición de pagos adelantados.................... Imposición de pagos anticipados........................................................................... Ejemplos Prácticos.................................................................................................

92

92 93 94 95 95 96 96 98 99 99 100 101 101 102 103

Capitulo 14 _____________________R entas P erpetuas________________________________ Renta perpetua de pagos constantes.......................................................................... 104 Renta iêrpclua inmediaLa de pagos vencidos........................................................ 104 Renta peqielua inmediata de pagos adelantados...................................................... 106 Renta pcipetua diferida.......... ............................................................................... 107 Ejemplos Prácticos...................... ........................................................................... J08 Renta perpetua de pagos variables............................................................................. 109 Renta perpetua de pagos vaiiables en progresión geométrica.............................. 109 Renta peipetua de pagos variablccj en progresión aritmética................................ 1] 1

Lie ClaiisaA Fregciio

Manuul ele (\ilculo Mnaru íeio ir f n e.\ ftU il

( apiíiilo 15 Sísleituis' lie A iiio rfi/iicio n íIí* P reslu nios

AmoiU/cK'ion
Capiüilo 16 F v a liia cio n de P royeefos de In v ersió n

I,a deí'ision de invertir................ ........................ .................................................. 14S Construcción del flujo de fondos. ..................................................... ......... \4S d asa de t o n e ................................... ...................................................................... 146 Valor Actual Neto (V.A N .)......... ........................................................... ...... 147 Calculo del V.A.N con aplicación del Iixccl .............................................. Tasa interna de Retorno ('7.1.R.)..................... ........................................ j Calculo de la T.I.R con aplii'aci<')n ilel E xcel........................................ j T 1 R M odificada...................................................................................... I Calculo de la T I R modificada ('on apiM'ai'lón del Fxi'cl......... MetoíJíj de R ecnpciodc la invcision ............................................ 158 Proyectos Mutuamente FAcInyenlí s........... ...... ............... 1.59 (\'ik iilo de la tasa de Fi.shci.. , .................. ....... .................. 160 Fl efec to dcl rinanciaimento en las inversiones ......... 161 Casí) pinctieo mieiLiiadof ........................................................ 163

I ic C’lansa A. l'ici>ciro

Manual de Cálculo Financiero Cáli'nlo Finúnciew

fácil_____ ______ ___ _

‘

'■ ■„

' •'

Cíipilulo 17 . _________ M c m td o áü C apitales ________ Introducción. Parles que iniei vienen. Activos que se negocian-----. . . . . . ----- Características de los activos financieros....................................................... Clasificación de los activos financieros............... ............................................... Funcionamiento del Mercado de Capitales...... ....................................................... Funciones de La Bolsa. Agentes que intervienen en La B olsa.................. .

166 167 167 169 170

Capitulo 18 ____________________ V aluación de B onos___________________________ _ _ Introducción. Conceptos generales................................. ......................................... . 172 Condiciones de emisión de los B onos...... ............................. ................................... 173 Tipos de B onos............................................................................. .......................... . 176 Valuación de un Bono. Conslruccion del flujo de fondos......... .............. ..............179 Precio de Mercado o Valor Intrínseco de un B ono......... ....................... 180 Conceptos básicos a tener en cuenta: paridad, valor técnico, valor residual, intereses corridos. .................................................. ....................................... 183 Rendim ientos de un Bono. Rendim iento al vencimiento. Rendim iento corriente. Rendim iento lo ta L ...... 187 Ejercicio de ap licació n .......................................................................................... 190 Aplicación del Excel para valuar un B o n o ............................. ...................................193 Calculo del precio de un Bono Bullet aplicando E x c e l........................................1 9 4 Calculo del Rcndiraienlo de un Bono aplicando E x cel...................... 195 Calculo del piecio entie ilos cupones aplicando E xcel................................ 195 Calculo del Rendim iento entre do3 cupones aplicando E x cel................................ 196 Calculo del juccio de un Bono Am ortizable aplicando Excel Caso Global 2008....................................... .............................................................. 197 Riesgos iniplicjlos en la invcisión en B onos......................... ............................ 199 V olatilidad............................................................................................................ ........ 200 Factoies (jue deleniiinan la V olatilidad...................................... ....................... 201 Caiacterisiicas de la volatilidad..................................................................— 203 D uration........................ .................................................................. ............................. 204 ractoies (jue deíenninan el com portam iento de la D u ra tio n ...,....................... 206 Duialion M odificada..................................................................................................... 207 Cambio en el precio ante pequeñas variaciones en lalasa de intem s................ 209 Cambio en el precio ante variaciones significativas enla lasa de ínteres............... 210 Convexity............................................ ................................... ....................... ........ . 213 Deducción matemática de la C onvexity.................................................................... 214 Variación total del precio de un bono............ .......................... .......................... . 215 Piopicdades de la C onvexity....................... .. ............. ........... ................................ 217 Obligaciones N egociables.................................................................. ........................ 218 Inveisor. Em isor...... .......... 219 Ejemplo de una Obligación Negociable.......................................... ...........................220 l'ipos de O bligaciones......................................... 221

Lie. Clarisa A. Fregeiro

Manual de Cálculo Financiero Cálculo manciero es fácil

C íip ít iilo 1 9 ___________________________A cciones______________________________

Instrumentos de financiación privada. Conceptos generales de Acciones.......... 223 Papel de los inversores. Clases de Acciones.............. .................. ...................... . 224 Valores de una Acción........... ................ ............................. ....................... . 226 Valor íntrinseco de una Acción. Análisis fundamental y técnico....... ......... 227 Valuación de Acciones. Modelo de descuento de dividendos (DDM )............ . 228 Heñías Peipeiuas aplicado a la valuación de Acciones........................... ........,...2 2 9 Ejemplos Prácticos....................................................................................................231 Valuación de Acciones Ordinarias. Modelo de Gordon................................ .,,.,.2 3 3 Rendimiento de una inversión en Acciones................ ............................................ 234 Ejemplos Prácticos........................... ...... ................................... .............................. 236

lác. Clarisa A. Pregeiio

dt* (Ûcttío 1Mtancicm

inifóducciáü ttl Sisten^ Financiero

Cnnitulo I -Kunciomimii?nto del Sisteniii FinancieroEn exir capitulo intrixíutimtvi a! lecio^ a tos concrpios fundamentales de la materia, como ser (fperoi iones financieras, sus elementos, his fHiríes que inte f vienen y los diferrníes mercados que existen en el sixtema JnumcierxK Duho capitulo srm ni de intnniucción para crear la base conceptual nn,'esarin y losintr una mejor comprrf}sién de los captiuhK\ siguientes.

In C ro d u cc ió n 1:1 ahoni) os aquolla parlo del ingreso cjiio no se oonsmne. Dichos recursos quedan entonces tllsponihles para que \os ahorrislas decidan su inversión, lis lu'ccsaiio ilccidir como disirilniir el ingreso que estarnos dispuesios a ahorrar entre las disiir.las allernalivas do iirvorsión. IMtlornos distingnif cuatro formas clásicas de abono: a) íhonos físicos (raíces, vehíoulos) b) Mojoiamionlo del capital humano y la calidad de vida. c) Dinero efeclivo. Monedas, metales preciosos. d) Operaciones financieras en general. Cada una de estas formas inrplica un beneficio o retorno premiando el sacrificio en rénninos de consumo. Iln las tíos primeras fonnas tJe aliono vemos que el individuo procede de tal manera que realiza l.is funciones de ahonisia c inversionista al mismo tiempo. Este es el caso de una persona que junta dinero y compra un auiomóvil o el de una empresa que compra un bien de trabajo, niimciuando de esa manera la capacidid productiva de su planta utilizando para ello parle de las utilidades retenidas. ni tercer ii|-)o de invcr.sión reprc.senia un tipo de aliarro '‘estéril” ya que no concurre a la formación de capitales para su inversión, sino qiic queda retenido en foniia improductiva. Puede dar lugar al lenónieiio llaiiiado “atesoramicnlo” eso ocurre cuando el ahont) se conser\'a íísicamente en poder del alionisia y no se canaliza al sector pnxiuclivo. fin el último tipo de ahorro, objetivo de nuestro análisis, los particulares e instituciones que no posean pioyccios de inversión, prefieren fncihlaí esos fondos a instituciones especializadas en cl manejo de los mismos. Este tipo de ahomr da origen ni crédito. Podemos dccii entonces que el ciédiio i onsisíe en la ecsión del deircho al uso directo de iccuisos por un ticmjio determinado, n cambio de ciertos pagos por periodos, expresados comúnmente como lusa de interés. Psta ce.sión al uso de recursos se materializa en operncioiies finnncieras que varían de acuerdo a su riesgo, plazo y magnitud de fondos.

lac. Clarisa A. Frcgeiio

Manual de Calculo Financiero

introducción al Sistema Fináíicíero"

O peraciones financieras operación financiera se entiende todo intercambio onerOsSo no simultáneo entre bienes presentes y bienes futuros expresables en valores monetarios. Llamamos operación financiera a toda acción que produzca por desplazamiento en el tiempo, por inversión o financiación una variación cuantitativa de capital. El Cálculo Financiero es una disciplina científica que describe y estudia las operaciones financieras producidas en el mercado financiero. Se ocupa de iinversiones temporarias y rentables de capitales, es decir, valúa capitales en el tiempo. Las operaciones financieras se clasifican en: • Según la duración en operaciones de corto o largo plazo. • Según los términos en operaciones ciertas o contingentes. • Según las unidades de capital en operaciones simples o complejas. I^ s elementos de toda operación financiera son: ■ El capital invertido, ■ Plazo de la operación (tiempo). ■ La lasa de rendimiento (precio, interés). Esta tasa de interés recibe el nombre de precio de una operación financiera siendo el elemento más importante de una operación. Dicha tasa debe ser el reflejo de tres componentes: 1. La inflación: existe una relación directa, ya que a mayor inflación se exigirá mayor tasa de interés para mantener el poder adquisitivo de los depósitos. 2. El valor tiempo del dinero: por lo general se prefiere recibir hoy $I00CK) que tener $10000 pendiente para cobrar dentro de un año. ¿A qué se debe esta preferencia? Por la presencia de incertidumbre y por la posibilidad de invertir los $10000 y lograr un rendimiento, 3. El riesgo: a mayor riesgo se exige mayor tasa de interés.' Si vamos a invertir en un activo riesgoso demandamos un mayor premio a cambio para compensar el riesgo. Una operación financiera es un alquiler de dinero dado que el capital se reintegra siempre en el plazo acordado y se le suma un resarcimiento por el préstamo del capital. El dinero es la mercancía que se negocia y la tasa de interés el precio del dinero por el alquiler del mismo.

Partes giie intervienen en una oneración financiera En toda operaron financiera intervienen dos contrapartes perfectamente idenlificables: a) Oferentes de capital: inversor, prestamista, oferente de capital o colocador de fondos (el que tiene excedentes de fondos). Ahorrisla. b) Demandantes de capital: tomador de fondos, demandante de capital o prestatario (el que necesita estos fondos). En toda operación financiera hay simultáneamente una toma y una colocación de fondos. Surge, entonces, la necesidad de que puedan encontrarse las unidades o sujetos económicos, que teniendo ahorros, no tienen proyectos de inversión, con aquellos que si los tienen, pero carecen de financiamiento nece.sario para implemenlarlos. Cualquiera sea la clase de ahorro y crédito, lo importante reside en que un ahorrista individualmente considerado pueda entregarle sus ahorros a una unidad económica que tiene ventajas comparativas y competitivas para invertirlos. Así, como también, surge la necesidad que el demandante de capital tenga un lugar donde encontrar esos fondos requeridos. Ante esta necesidad, surge la presencia dcl Mercado Financiero. Líe. Clarisa A. Fregeiro

2

.•

jMamiaí de Calculo Financiero

Introducción al Sistema Financiero

M ercado Financiero U n s i s t e m a f i n a n c i e r o e s a q u e l q u e p o n e e n c o n ta c to , a tra v és d e u n m e r c a d o (fin a n c ie r o ) a d o s tip o s d e a g e n te s e c o n ó m ic o s : l o s a g e n te s e c o n ó m ic o s c o n su p e r á v it d e fo n d o s (o fe r e n te s d e d in e r o ) y l o s a g e n t e s e c o n ó m ic o s c o n d é fic it d e fo n d o s (d e m a n d a n te s d e d in e r o ), s ie n d o la s o p e r a c io n e s fin a n c ie r a s e l m e d io d e l ir terca ra b io d e d in ero . E l n e x o e n tr e a m b a s p a rte s lo c o n s titu y e e l m e r c a d o f in a n c ie r o y e s ta c o n s titu id o p o r e l c o n ju n to d e in s t it u c io n e s q u e m e d ia n te d is tin to s m e c a n is m o s a ctú a n e n la in te r m e d ia c ió n d e fo n d o s. E n o tr a s p a la b r a s , l o s in te r m e d ia r io s fin a n c ie r o s p o sib ilita n la s tr a n sfe ren cia s d e r e c u r so s d e la s u n id a d e s su p e r a v ita r ia s a a q u e lla s otra s d e fic ita r ia s o ca r e n te s d e r e cu rso s s u fic ie n te s .

Demandantes nNANClAClON de dinero ^ ------ Dinero

INVERSION

Oferentes de dinero

. Dinero

A l m e r c a d o f in a n c ie r o s e lo p u e d e d iv id ir e n 3 se c to r e s: 1.

M e r c a d o m o n e t a r io

S e i n c l u y e n a c t iv o s a lta m e n te líq u id o s ta le s c o m o b ille t e s , m o n e d a s y d e p ó s it o s a la v is ta q u e s e d e s t in a n a o p e r a c io n e s d e p r é sta m o d e m u y co r to p la z o . L a in stitu c ió n típ ic a e s e l B a n c o c e n tr a l q u e e n su c a r á c te r d e a g e n te fin a n c ie r o re g u la la liq u id e z m o n e ta iia y e n a lg u n o s c a s o s la ta s a d e in t e r é s . L a s o p e r a c io n e s q u e s e re a liz a n en e l M e r c a d o s M o n e ta r io s s o n b á s ic a m e n te p la z o s f i j o s , d o n d e e l r ie s g o e s p r á c tic a m e n te n u lo y lo s p la z o s co r to s. U n m e r c a d o m o n e t a r io o d e d in e r o p u e d e d e fin ir s e c o m o e l m e r c a d o al p o r m a y o r , d e a c t iv o s de

b a jo

r ie s g o

y

a lta

liq u id e z

y

e m it id o s

a c o r to

p la z o

(1 8

m eses

com o

m á x im o ) .

E l b a jo r ie s g o d e e s t o s m e r c a d o s e s t a d e te r m in a d o p o r la s o lv e n c ia d e lo s e m is o r e s , p resta ta rio s in s t it u c io n a le s c o m o e l te s o r o , b a n c o s c o m e r c ia le s o b ie n g ra n d e s e m p r e sa s p u b lic a s y p riv a d a s d e r e c o n o c id a s o l v e n c i a y q u e a c u d e n a fin a n c ia r s e a c o r to a e s t o s m e r c a d o s. 2.

M e r c a d o d e c r é d it o o d in e r o

S e n e g o c ia n a c t iv o s fin a n c ie r o s d e c o r to p la z o , para sa tis fa c e r p r in c ip a lm e n te n e c e s id a d e s d e tip o c o y u n tu r a l d e la s e m p r e s a s . S o n n e c e s id a d e s im p r e v ista s q u e s e p r o d u c e n e n b r e v e s la p s o s . L o s in t e r m e d ia r io s q u e a tie n d e n e s te m e r c a d o s o n lo s b a n c o s c o m e r c ia le s y

dem ás

e n tid a d e s f in a n c ie r a s . E l m e r c a d o d e c r é d it o e s a q u e l e n e l q u e s e r e a liz a n o p e r a c io n e s d e fm a n c ia m ie n to . E x iste n d if e r e n t e s t ip o s d e f ín a n c ia m ie n t o d e a c u e r d o c o n la s n e c e s id a d e s d e a m b a s p a rtes (s e g ú n e l d e s t in o , g a r a n tía , p la z o y tip o d e in te r é s ). L a s o p e r a c io n e s q u e s e r e a liz a n e n e l M e r c a d o d e D in e r o b á s ic a m e n te s o n lo s d e s c u e n to s d e p a g a r e s o c h e q u e y o b t e n c ió n d e p r é s ta m o s . L a d e v o lu c ió n d e l p r é sta m o p u e d e r e a liz a r se d e d if e r e n t e s m a n e r a s : P a g o ú n ic o d e c a p ita l e in te r é s al v e n c im ie n to d e l p la z o a co r d a d o . P a g o p e r ió d ic o d e in t e r e s e s y d e v o lu c ió n d e l c a p ita l a l v e n c im ie n t o y p a g o d e c u o ta s q u e in c lu y e n c a p ita l m á s in t e r é s (r e n ta s ). T o d o s e s ta s a lte r n a tiv a s lo s e s tu d ia r e m o s m á s a d e la n te 3.

M e r c a d o d e c a p it a le s

S e o fr e c e n

y d e m a n d a n f o n d o s p a ra fin a n c ia r p r o y e c to s d e m e d ia n o y la r g o p la z o . P o r

c o n s ig u ie n t e i n c lu y e o p e r a c io n e s d e m a y o r r ie s g o . L a s in s t it u c io n e s c lá s ic a s s o n la s b o jsa s y lo s m e r c a d o s d e v a lo r e s . L o s r ie s g o s s o n m a y o r e s , p o d e m o s en co n tr a r a lo s B o n o s j y la s a c c io n e s .


3

M^tnual ílc Calculo I'innucicro

Imi
ConccDíos fimmderos clav(*s n íener en cuenta Tasas íictivns y nasivas» Como señalamos, la existencia de inlenaediurios financieros hace Cjue existan tasas referidas a las operaciones de captación de fondos (tasas pasivas) y a las operaciones de coJocnción de hondos (lasas activas). ' Cuando los inlemicíliarios pa\sian dinero estíin realizando una operación financiera activa donde la lasa que cobran es una (a.sa activa que representa un reiuÜmíento para dicha entidad, pero iin costo financiero para la parte demandante. Inversamente cuando se producé una colocación de dinero en una oiuidnd, re[m\scnia una operación pasiva para ella, pagando una (asa pasiva que representa un costo tinaiu íero y para cl inversor un rendimiento. Con esto queda demostrado que costo financiero y rendimiento es lo mismo, depende de qué lado se mire. Ua entidad financiera para la determinación de su lasa activa parle de Ja tasa pasiva abonada y en base a ella obtiene la lasa que cubre sus costos y luego (lelermina.su Spread. Se llama Spread Imncario a la diferencia entre la tasa activa y la tasa pasiva, es decir, la utilidad del banco por cumplir su rol de intemiediario. Por ejemplo el banco recibe un depósito de $1000 y se compromete a pagarle al depositante una tasa del 6Cé. A continuación el banco le da esos $1000 como préstamo a una tercera persona cobrándole el \3%. El spread o ganancia del banco es del 7% de $1000 que es $70

Vnlor tiempo del dinero Desarrollaremos el criterio del valor tiempo del dinero, como paso previo ál análisis de algunos criterios para evaluar inversiones. Por lo general se prefiere recibir boy $10000 que tener $10000 pendiente para cobrar dentro de un ano. De tener los $10000 los podemos invertir y con ello obtener utilidades. De la misma forma, $10000 en el Amiro vale menos que en el presente. Si tendríamos para cobrar $10000 dentro de determinado tiempo pero necesitamos el dinero boy, su disponibilidad inmediata lendnt un precio, que es el descuento que veremos más adelante.* ¿C óm o puede cuantificarsc el valor tiem po áe\ dinero? Paninios del eje del tiempo, que usaremos a lo largo de este trabajo, para poder visualizar mejor Jos desplazamientos temporarios del capital. ^ El traslado hacia adelante implica creeimicnto del capital, dicho crecimiento e,stará dado por la aplicación de una tasa de interés. Y se realiza en los casos de inversiones de capital con el objetivo de efectuar un ahorro. Incluye procesos de capitalización (agregar interés) y representan operaciones pasivas para la entidad y para los oferentes de capital. Análogamente, al movernos en sentido opuesto en el eje de tiempo, es decir, desde el futuro aJ ‘ presente, existe una disminución cuantitativa deJ capital dada por una quita representada por una lasa de interés. El traslado hacia el presente implica un descuento con el objetivo de obtener capital líquido boy. Incluye procesos de nctiializncíón (sacar interés) y representan " operaciones activas para la entidad y para los demandantes de Cifpilal.

Lie. Clarisa A. Fregeiro Al-U

Introducción al Sistema Financiero

Manual de Calculo Financiero

Conclusión Ya tlefiníuiüs operadón financiera, la.» dos partes inlerviiiientes (oíerentes y demandantes de ínndos) en cualquier operación financiera. Tiunbién, conceptualizainos al inlennedíano que jjonc en contacto a diclins partes (mercado financiero) y las lasas activas y pasivas que surgen de tal relación. Para una incjoi comprensión de lo que estudiamos en cálculo finaiidero, vamos a visualizar cada opci ación financiera desde el siguiente esquema conceptual que hace referencia a las dos partes, a las lasas y al intcimcdiario. L,a siguiente agnipación de conceptos y sus coiTcspondientcs contrapartidas, nos permiten iilcniificai ei tipo de operación bajo análisis. También, nos servirá de guía para avanzar en el estudio de las operaciones finandeias a medida que se incrementa la complejidad.

INVEIISÍON

FINANCIACION

O l’HRAClÓN PASIVA P A im i COLOCAOORA .SDPPRÁVIT DO CAPITAL AHORRO DR CA P ITA L C A P IT A L IZ A C IÓ N ACÍRFCiAR INTERESES^ TASAS PASIVAS R E N D IM IE N T Ó

OPERACIÓN ACTIVA PARTE TOMADORA DÉFICIT DE CAPITAL DEVOLUCION DE CAPITAL ACI'UAUZACION SACAR INTERESES TASAS ACTIVAS COSTO FINANCIERO

COSTO M N A N C IE R O

INTERES SIMPLE INTERES COMPUESTO Ejemplo: Plazo lijo

pani intermediario Financiero

-

RENDLMllíNTO

OPERACIONES FINANCIERAS SIMPLES (referido a un .solo capital) DESCUENTO COMERCIAL DESCUENTO COMPUESTO Ejemplo: descuento de doc. OPERACIONES FINANCIERAS COMPLEIAS (reícrido a varios caoitales)

RENTAS (imposición) PROYECTOS DE INVERSIÓN BONOS- OBLIGACIONES NEGOCIABLES

l.it. (.'larisa A. Fregoiio

RENTAS (rema inmediata) SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS

■A

V-A

Manual de Calculo Financiero Operaciones Financieras Simples

Capital ización

Capítulo 2 - Operaciones Financieras SimplesEn este capitulo estudiaremos el concepto de capitalización y aplicaremos los conceptos financieros que el capitulo í incluyó. El capitulo concluye con ejemplos prácticos.

C a p ita liz a c ió n Concepto: “Efecto de agregar al capital el importe de los intereses devengados” Llamaremos: Co = Capital inidal mente depositado Cn = Monto que se retira al momento n. Esta compuesto del capital inicial y del interés ganado en oso periodo. n: plazo de la operación. Usaremos siempre el plazo expresado en días. Usando año civil para trabajar (365 días) 0 Cn= Co + ganancia

Co y 'V '

Existe una GANANCIA por el paso del tiempo La ganancia podemos cuantificar de dos diferentes maneras muy relacionadas entre sí: Si la ganancia la medimos en íériiiinos absolutos, es decir, unidades monetarias lo llamaremos INTERESES de una operación. Nomenclatura: I (o,ii) = el interés ganado entre el periodo 0 y n. I (o,n) = Cn - Co Esta determinado por la diferencia entre el capital inicial y el capital final. Mide la variación que sLiíre el capital por el transcurso del tiempo. Es un porcentaje del capital inicialmente dcpo.sitado. Si la ganancia la meilimos en térniinos rela(ivo.s, es decir, el tanto por uno, lo llamaremos RENDIMIENTO de una operación. Se refiere a la tasa efectivamente ganada en la operación. Nomenclatura: in = Es también llamada precio de la operación financiera. i„ =I(o,ii) / Co Mide cuanto representa la ganancia que se obtuvo por el transcurso del tiempo en relación con el capital que inicialmenle fue depositado. Es una tasa periódica, ya que siempre es referida al plazo de la operación “n”. Rendimiento para el inversor, costo financiero para el tomador. Y por sobre todas las cosas es una tasa electiva. Representa el precio de la unidad de capital en la unidad de tiempo.


■í^ ' ■* ;n •■•y*''

i \

Manual de Calculo FlnAnclcm C lînnncim .împles

■Capltali^cíón

lili ímaivm lo má% iminnlnnlc es la |»anáticia ex(nx>sada en ténninos relativos. El reiulimienui de ia opcmciíSn es In heiTandcntu que leñemos pam poder evaluar ttliernalivas de ínversiÓii, ya que representa “d tmuo por ano'** lo qiic se gana por cada peso invcílido, , '> lia cualquier línibifo para compimir inversiones o í ínnnciacioncs indcpcndientemciiíe del riesgo o plazo de la opcnidOn n analizar* **la tasa'\ ahora llamada icndiiníenio o costo financiero v scgdn corresponda* es lo que esta bajo análisis y es lo que verdaderamente importa para poder tonmr decisiones ncertadas. Por esto mismo* en calculo financiero se estudian oîcraciones desde la tasa que se gima o se pierde. Se pmlcndc familiarizar a jos estudiantes con este modo de comparar operaciones, en lugar de comparar los pesos ganados o perdidos,

Prniuccíón de In expresión narn cncontnir el Monto: Si Y

l(o,n) = Co, i„ Cn s= Co ^ l (o,n) Cn =3 Co h C o . Í„ Si sacamos factor común de Co Cn = C o ( I i i „ )

•

•

*

lintonccs:

Valor fimiro = valor presente (l*i* i„)

(I-*-in)

Es llamado factor de capitalización, tiene la canicierística de agregarle valor a un numero presente, transformándolo en un valor futuro, mayor por supuesto. Mueve hacia lai derecha cn el eje de tiempo

Aquí, implícitamente, estamos hablando del valor tiempo del dinero. Al transportamos hacia el futuro cn el eje de tiempo, los capitales crecen, debido a los interese que incluimos por la “espera” de dicha operación, lil jdazo de la operación ”n” debe coincidir con el plazo de la tasa. Por lo que los capitales se mueven en el eje de tiempo tantos días como la lasa lo indique.

i:i Rerjdiinícnto podemos expresarlo de dos maneras diferentes, según lo visto anterionnente: i„=I(o,n) /C „ in = C „ / C o - l

víc Oai ísa A. PVegeiro


Capitalización

EJEMPLOS PRACTICOS

Ejercicio 1 La clásica operación pasiva de capital simple que permite aplicar los conceptos antes vistos es el plazo fijo: Si hoy invertimos $1000 en un plazo íijo por el plazo de 30 días, obtenemos al vencimiento un monto de $1060. Podemos calcular tanto la ganancia absoluta como el rendimiento de Ja operación. Cabe aclarar que como la operación tiene como plazo 30 días, el rendimiento que se obtiene será una lasa efectiva para dicho plazo. 0

n=30 días

C o= 1000

C3o= 1060

I (o,n) = Cn -- Co = J 060- 1000 = 60 i„ =1(0,n) / Co = 60/1000 = 0,06

Ganó $60 de ínteres en 30 días.

El rcndimienlo fue el 6% T.E.M. (lasa efectiva mensual)

Ejercicio 2 Hoy se cuenta con un excedente financiero de $d0000 por un plazo de cuatro meses, se decide depositarlo en un banco que abona el 5% efectivo cuatrimestral. ¿Qué monto podre retirar al vencimiento de la operación? Siempre, por muy simple que parezca el ejercicio, recomiendo realizar el eje de tiempo para volcar los \'aloies que tengo como dato y poder identificar de que operación se trata y si debo cai>italizar o actualizar. 0

Co = 40000

n=120 días C|20 = ?

C„ = Co ( j + in)

C,20 = 40000 (1+0,05) C, 20=42000 Ejercicio 3 Se decide invertir una cierta suma de dinero, esperando obtener un monto de $10000 dentro de un año. ¿Qué cantidad deberé depositar para lograr tal objetivo, si mi banco de confianza abona una tasa efectiva anual del 12 %? 0

Co = C„ = Co ( 1+ in) 10000 = Co ( J + 0,12)

10000/(1+0,12)= Co 8928,57 = C„


n=365 días C365 = 10000

MiUluai de Calculo Financiero Operaciones Financieras Simples

Tasa Nominal Anual

Capítulo 3 -Tasa Nctiiinal Anual (T.N.AJEn este capítulo se estudiara la tasa nominal anual y se expondrá su aplicación en la realidad bancada y su interpretación financiera. Se concluye con casos prácticos.

;,Qué es la Tasa Nominal Anual? E n lo s co n tr a to s q u e s e lle v a n a ca b o en e l m erca d o fin a n ciero , lo s b a n co s no su e le n co m u n ica r la s tasas e f e c t iv a s , e s d ecir, lo s v erd ad ero s c o sto s o ren d im ien to s d e las o p era c io n es. Y a sean o p e r a c io n e s a c tiv a s o p a s iv a s , p or o b lig a c ió n contractual, las en tid a d es dan a c o n o c e r lo q u e s e c o n o c e c o m o ta sa n o m in a l a n u a l. E l c a lific a tiv o d e n o m in a l e s p orq u e e s la tasa q u e esta “esc r ita ” e n la o p e r a c ió n , sin q u e e llo sig n ifiq u e ser la tasa e fe c tiv a q u e s e ob ten d rá en ¡a o p era c ió n . P e se a su a b so lu ta fa lta d e co n te n id o co n cep tu a l, es u n iv ersa lm en te u tiliza d a para p actar las o p e r a c io n e s fin a n c ie r a s, p or lo q u e s e d en o m in a tasa contractual. E s n o m in a l ya q u e s e u sa d e r e fe r e n c ia p ara co m p a ra r c o n otras en tid a d es p ero no ex p resa ren d im ien to a lg u n o . N o in d ic a la g a n a n c ia q u e s e o b ten d rá p or la o p era c ió n d e in v ersió n . L a ta sa n o m in a l a n u a l e s la p rop orción anual d el verdadero ren d im ien to, es decir, d e la e fe c tiv a a p lic a b le a la o p e r a c ió n q u e s e d e se a realizar. E n realidad, representa u na tasa d e p a cto q u e sirv e para c a lc u la r e l verd ad ero ren d im ien to o c o sto e fectiv o . E n to n c e s, d e a q u í d e r iv a la im p ortan cia d e co n o ce r el p la z o d e la op eración , ya q ue in d icara a q u e tasa e f e c t iv a r e su lta p ro p o rcio n a l la tasa n om inal anual ofrecida. S u c a p ita liz a c ió n e s su b p er io d ica , y a q u e e x is te m ás d e una ca p ita liza ció n en el p e r io d o de tiem p o e x p r e sa d o para la tasa n om in al. S e d ic e q u e la c a p ita liz a c ió n e s p erió d ica cuando cap ita liza so lo una v e z en el tiem p o , p o r lo tanto, esta n o m in a l s o lo c o in c id e co n la e fe c tiv a cu an d o e l p la zo d e la op era ció n a rea liza r es un añ o. L a tasa n o m in a l e s a q u ella q u e se ganaría si n o hubiera ca p ita liza cio n es su b p erio d ica d e in terés La n o m en cla tu ra a u tiliz a r para la tasa n o m in a l anual es J (365/n). S ie n d o “n” e l p la z o d e la o p era c ió n a realizar y su ca p ita liza ció n . Podría d ecirse tam bién, que este p la z o actú a c o m o c o n d ic io n a n te , y a q u e s o lo será la p rop orción anual d e la tasa e fe c tiv a d e p la z o “n” y n o d e c u a lq u ier p la z o

Transformación de la Tasa Nominal Anual a la tasa efectiva de interés S i d e s e o in v ertir $ 1 0 0 0 durante 3 0 d ías en un p la z o fijo la entidad fin anciera n o s dará a c o n o ce r Ja tasa n o m in a l anual q u e s e e stá p a gan d o co rresp on d ien te a o p era cio n es a 3 0 dÍM. Por ejem p lo , n o s o fr ece rá u na tasa n om in a l anual d el 10% y n osotros d eb em o s entender que no gan arem os e l 10% sin o la p rop orción para 3 0 díqs. Es decir, q ue con una fá cil regla de tres sim p le s s e p od rá c o n o c e r e l verdad ero ren d im ien to que se ganara en la op eración Í3o = 0 ,1 0 * 3 0 /3 6 5 = 0 ,0 0 8 2 1 9 G en eralizan d o para cu a lq u ier p la z o :

in —J (365/n) *

/365

Líe. Clarisa A. Fregeiro


Tasa Nominal An

Comparación con la realidad. La siguiente es una lista de lasas nominales anuales ofrecidas para depósitos a plazo iljo pi los distintos bancos que actualmente encontramos en plaza: 60 días* 90 días

20 ,00 %

21 ,00 %

M.mín. $ 1.000.-. Mas de $ 22 ,00 % 30000.- tasa vigente + 3% adicional

16,00%

16,25%

18,25% Monto mínimo $ 500.-

15,70%

15,90%

Monto mínimo $ 1.000.- via 16,85% home banking ( $ 2000.- en sucursal_____ _______

m

15,25%

15,55%

15,75% Monto mínimo $ 1.000.-

jpAT

15,00%

15,50%

16,00% Monlo Mínimo $ 1.000.-

14,00%

14,00%

14,25%

13,00%

13,25%

15,25%

12 ,00 %

12 .00 %

12 ,00 % Monto mínimo $1.000.

12.00 %

12,20% I 13,20% Monto mínimo $ 500.-

OS

¡Banco Privado ■Banco Comafí ¡Standard Bank ¡Banco G alicia_______ iBanco Patagonia

'm

......................... .

¡Banco Credicoop _

m ......................

¡Banco Santander Río IBBVA Banco Francés

'eft ¡Cití Ih SBC Bank Banco Itaú ___ Sh - Banco Hipotecario

I® b

.... .

¡Banco Ciudad_____

(Banco Nación

:í

11,00% 12.00%

íasas para montos de $

1.000 a 10.000___________ Monto mínimo $500. Tasas via Home Banking______

13,30% Monto mínimo $ 300.Tasas de pizarra M.mín.S

10,30%

10,70%

11,10%

10 ,00 %

10,00 %

10 ,00 % Monto mínimo $1000.

9,00%

9.50%

10,25% Monto mínimo $ 500.-

9,50%

1 n 9*^0/ Mínimo $1.500.- Via

500.:_______________

Tasas de Pizarra - Monto 9,00%

electrónica a 30 dias $ 10,50 %

última Arliiali?ación'. 28/0l/2()t¥J

"Las tasas de interés publicadas surgen dis^fas pizarras de ¡os bancos, de sus respectivos sitios iveb o son comunicadas directam ente p o r afíciafes de cuentas de ios mismos, p o r lo que deben ser tom adas a m odo de referencia. Por ¡o expuesto, pueden d ife rir de h que cada diente pueda convenir con las citadas entidades, en fundón de m ontos y plazos*'.

>■ ; x

'•

V:

Puede observarse que en ningún lado nos dice que el dalo publicado se refiere a la tasa nominal i anual. Solo, en algunos, dice “lasa pizarra”. Tenemos que transformar ese dato en la taSa¡| efectiva que realmente ganaremos por el depósito en el plazo solicitado.


Munual de Calculo Hiíaucicro 0|vctacioutfs iMnnndenift himples

Tasa Nomíitai Anual

ICierdcio de tinlicación a) Calcular el luoiuo a retirar luego de tres meses de colocación si se inviene $2(XK) en el banco HSBC, Luego ¡deinifit|uc la masa de inicrescs. b) Determine si se hubiese ganando más eiv caso de renovar en su totalidad el plazo fijo de manera mensual considerando que la lasa no vm id. íO Dalos: Co=20lX) n = 90 días J (305/90) = i

Í9()= 0,133 *90/365 = 0,03279452 (rendimiento de la operación) Resolución; Cix>= 2000 (1+ 0,03279452) =2065,589 (monto de la operación) 1(0,90) = 2065,589 ~ 2000 = 65,589 (imcix'ses de la operación) b) Datos: C„= 2000 n = 90 días • J (365/ 30) = 11% Í3o= 0,11 *30/365 = 0,009041095 (no es el rendimiento) Resolución: C,H)= 2000 (1+ 0,009041095)* (1+ 0,009041095)* (1+ 0,009041095) =2054,7385 1(0. w) = 2054,7385 - 2000 = 54,7385 (intereses de la operación) Í9() = 54,7385 /2000= 0,0273692 (rendimiento de la operación) Por lo tanto, se gana más dinero sí invierto a tres meses en lugar de invertir a un mes y renovar dos meses más. Ya sea, se comparen montos o rendimientos se llega a la misma conclusión.


n

Manual de Calculo R nandero Operaciones Financieras Simples

Tílsa Nominal Anual

EJEMPLOS PRACTÍCOS

(I

Ejercicio 1 fíl: Se invierte $5600 por un plazo de 45 días, en una entidad que ofrece el 10 % nominal anusá:^í para dicha operación. ¿Cuál será el monto que se alcanzara? v 0 n=45 días 3 Co = 5600

CÍ5 =?

Como vimos anteriormente, la TNA no expresa rendimiento por lo que debemos transformarla | a una tasa efectiva, pero no cualquier efectiva, siempre Ja efectiva del plazo de la operación. Ya^. que, es para dicho plazo ofrecida la lasa nominal anua y la tasa efectiva resultante será el J rendimiento de la operación a analizar. . ,' Í45 = 0,J0'M 5 7365=001232876 Ahora que conocemos la efectiva podemos calcular el monto: Ci5 = 5600 (1+0,01232876) = 5669,041 Ejercicio 2 Si en una operación a plazo fijo que duro 96 días un capital de 5000 produjo $720 de interés; Se pide: 1. ¿Cuál fue el rendimiento de la operación? ] 2. /C luII fue la tasa nominal anual que el banco ofreció para dicha operación? 1. Si Ja operación tiene un plazo de 96 días, el rendimiento será de: Í96 = 720/5000 = 0,144 o 14,4 % 2. Como vimos anteriormente, la TNA es una proporción de la tasas efectiva: J (365/n)= in * 365 7n J (365A>6)= Í96 * 365 796 = 0,144 *365/96 = 0,5475 o 54,75% Ejercicio 3 ■ Una persona dispone de $600 por el plazo de 90 días y tiene dos alternativas: A líe motiva 1: un depósito a 30 días al 4,8% de interés contractual anual para *ese plazd-^ renovando la operación por 2 periodos más de igual plazo. v; ■ AUernoíiva 2: un deposito a 90 días al 4,8% de interés contractual para se plazo. 1. ¿Cuál es la alternativa más conveniente? 2. ¿Cuál debe ser la tasa de interés nominal anual para 90 días en la alternativa 2 para que esta sea equivalente a la primera alternativa? ’. 1. Para comparar alternativas, se puede realizar a través de sus montos (en caso de conocer su capital inicial) o a través de sus tasas. Alternativa 1: La tasa contractual se refiere a la tasa nominal anual ofrecida por el banco. La ^ debemos pasar a efectiva: Í3o =0,048*30/365 = 0,003945 Calculamos el monto a los 90 días si el capital se va renovando de manera mensual Ojo = 600 (1,003945) (1,003945) (1,003945) C9o = 600 (1,003945)^ C9f> = 607,129 Rendimiento de la operación: Í90 = 607,129/600 - 1 =0,0118816 o 1 , 1 8 8 1 %


í

12,

Manual tic Calculo Firuuicicro Operaciones Financieras Simples

Tasa Nominal Anual

AlU-rnaíiwi 2: transformámos la tasa contractual en efectiva y luego calculamos el monto: Í.W-0,048*90/365 = 0,0118356 0^,-600(1,0118356) C9ü = 607,10

Rendimiento de la operación: U ^ 6 0 7 , 1 0 - 1 = 0,011833 o 1,1833% Respuesta: comparando los montos o los rendimientos conviene la üllcniaüva l 2. Dclx:mos calcular la tasa de la alteniativa 2 que hace indiferente a la alternativa l, esto quiere d ecir. que debe dar igual monto: 607,129 = 600 (l+Í 9o) 0,01188166 J 065/90) = 0»01188166*365/90 = 0,04819 Hicrcicio 4 Hoy Juan cuenta con un excedente de $6000 por el plazo de 55 días, la entidad con la que Juan opera publicó las siguientes lasas nominales anuales: Plazo* Hasta 35 De 36 a 90 De 91 a 180 De 181 a 365

't ñ a ! 11% 12% 14% 22%

Como el plazo de su operación es 55 días le corresponde tomar la TNA del 12%, Si calculamos el rendimiento, este será la proporción para 55 días: J (365/55)= 12% Í55 = 0,12*55/365 =0,01808219 C55 = 6000 (1,01808219) =6108,4931 Ejercido 5 Hace 60 días deposite $4000 en un plazo fijo, hoy tengo disponible para retirar $4333. Calcular la tasa efectiva bimestral que gane en dicha operación. Y su respectiva nominal anual. 0 Co = 4000

11=60 días ^3M = 4333

C„ = Co (1-f- i|i) 4333 = 4000 ( I +Í 60) 4333 -1 =160

4000 0,08325 = ko J (i65/c>0)= 0,08325 * 365/ 60 = 0,506437

U c. Clarisa A. Fregeiro

13

M&nunl ele Culculo Financiero Operaciones Financieras Simples

Interés Simple c Interés Compuesto

Capítulo 4 -Rcgiinenes de Capitalización» En este capitulo se describirán las diferentes alternativas que existen en cuanto a la capitalización de las operaciones financieros simples. Se concluye con ejemplos prácticos ,v aplicaciones con Excel.

Renovación de operaciones fiiiancicras simples Analicemos aliora las alicniaíivas que exívSien cuando la operación vence. Es decir, podemos cerrar la operación o renovarla. La renovación implica pensar dos alternativas:

Renovación total. Interés compuesto Renovar todo el monto: esta alternativa es la más usada en el mercado, incluye renovar el capital inicialmcnte depositado más los intereses ganados en el primer periodo. Se dice que un capital está sometido al régimen de capitalización compuesto si los intereses producidos por el capital se incoqjoran al mismo a fin de cada periodo. Esta alternativa da origen a la reinversión de los intereses y así lograr una mayor rentabilidad. Es decir el capital se incrementa en todos los periodos por los intereses generados en el periodo anterior. En consecuencia los intereses de cada periodo son mayores que los intereses del periodo anterior. Entonces un capital está sometido a un régimen de capitalización compuesto cuando a fin de cada periodo los intereses se “acumulan” al capital para producir en el periodo siguiente a su vez nuevos intereses. Los intereses producen intereses. Si los intereses se capitalizan anualmente se dice que el periodo de capitalización es el año, si se capitalizan semestralmente, es semestre, etc. Analicemos el siguiente eicmolo: Se colocan $1000 por el plazo de 30 días a una tasa efectiva mensual del 6% El monto a retirar a los 30 días será de: C3ü= 1000(1,06)= 1060 0

11=30 días

C o= 1000

C n= 1060

En caso de querer renovarla operación en su totalidad, el monto de 1060 será el capital inicial dcl segundo periodo. Resultando un monlo a los 60 días de iniciada In operación igual a: C«,= 1060 (1,06) = 1123,6

Lie. Clarisa A. Fregeíro

14

Manuiü Uc Calculo Financiero Operaciones Financieras Simples

Interés Simple c Interés Compuesto

0

30 días

Co= 1000

60 jlít días

C3(i = 1060

C6o= 1123.6 ____ y

V

~ v

1(0.30) = 60 iw = 6 0 / 1000 = 0,06

I ()o.6()> —63,60 U = 63.6/1060 = 0,06

________ y Inlcre.s total = I (o.60) = 123,6 El plazo de la opentción es de 60 días, por lo que su rendimiento debe analizarse mediante el monto a nelirar luego de un bimestre de $1123,6, proveniente de un capital de $1000. Rendimiento total de la operación ico=1123,6 / KXK) - 1 = 0,1236 160= 12,36% Es importante analizar que el rendimiento de la operación resulta ser más que proporcional al 6% mensual. Es decir, el dinero estuvo colocado el doble de tiempo y se gano más que el doble. Esto es producto de la reinmersion de los intereses.

Características del interés compuesto o L.R.P.U Del esquema temporal antenor se pueden extrae varias conclusiones: El interés devengado vuelve a generar nuevos intereses. El capital crece más que proporcionalmcnte. El interés absoluto es creciente El interés relativo (rendimiento, periódico) es constante. Por eso su nombre de L.R.P.U.(Ley de rendimientos pcri
Capital 1 l+ i (1+iP

Interés i (1 + i)i (1 + í pi

Monto 1 +i (1 +¡) + (l+i).i =( l +i ) » (1 +i)» + (l +i)».i =(l +i)»

n

(I+¡)

<1 + i) i

(1 +i) +(1 +Í) i =(1 •Hl)"


15

Mitniiul de Calculo Pinancíero Operaciones Financieras Simples

Interés Simple e Interés GompueMo

Gcnet alizando puru $C el monto a interés compuesto resulta: C„ = Q , ( l + i V

Análisis de la función (1+ i)" en fundón cid plazo Fín) = ( I +í ) " P' (n) = (1+ i ) " In (1+ í) V n>() f'(n) es positiva entonces f (n) es creciente. P " (n) = (1+ i) '* fin (1+ i)]^ V n>0 f"(n) es positiva entonces f (n) es cóncava Como es de suponer u mayor plazo de colocación mayor será el monto, de ahí que sei creciente la función. La concavidad se debe a que, como vimos antes, el monto crece d( manera no lineal debido a la rcinversión de los intereses.

n

(1+ i)'

0 1

1 (t+ i)

oo


oo

16

Manual de Calculó Financiero Operaciones Financieras Simples

Interés Simple e Interés CcanpiicatO

Aplicación dei Excel en interfe compuesto A continuación aplicaremos las funciones del Excel com o herramienta financiera para calcular el monto a interés compuesto y otras variables. Antes de utilizar esta herramienta, debemos corroborar que todas las funciones financieras se encuentren disponibles en el Excel. Para ello se sugiere seguir los siguientes pasos: Ir a “Herramientas”, luego seleccionar “Complementos” y tildar “Herramientas para Análisis”.

Calculo del monto a interés compuesto Ejemplo 1: Analicemos el siguiente ejemplo: capital inicial $1000, plazo de la operación 2 años a una TEA del 6 %. Calcular el monto mcxliante Excel: Para plantear el ejercido en Excel: Ir a fx (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: VF (Valor final) Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio: Argumentos de la Función Nper= 2 Tasa= 6% Pago= omitir

VA=

-1000

Tipo=

omlür

VF=

1123,6

-

Recordemos que en el lugar del valor actual o capital inicial hay que poner el valor con signo negativo ya que par el inversor representa un egreso de capital. - El plazo de la operación esta dado por “Nper” = numero de períodos, que en este caso es 2. - En “pago” no ponemos nada (se refiere a casos donde haya depósitos períódico. Esto lo estudiaremos en rentas). - En “tipo” tampoco ponemos nada, se refiere al momento en que se efectúa el pago períódico. Debajo de la ventana puede observarse el resultado del monto o valor final calculado.


17

Mftnuíü üe Calculo Financiero Fitumdormi Simples

tniferé» Símy>lc e inleré» Cotnpmm

iütJBPltfi: Bn cült! ejemplo calculciiun el monto pero a un plazo inexacto como ser 40 días. Tomando como uño hasc el año civil (365 día»). Ú.Hemo« lo« mi«mo« dau>« de) ejercicio anterior. Usando la t'unción ritmnctera V.l«\ se ulnirá in ventana ^'argumentos de la función". AfQijmentos do In Fundón Nper« 40/365 Tasa- 6% Pago= omitir VA« -1000 Tipo» omitir VF =

1006.4

Dehajíí de la ventana a()arcccr4 el resultado del monto o valor final: lilvmi/lfli' Si In incógnita es el plazo, es decir, iu cantidad de períodos, usaremos la función financiera n f i :k . Calculemos la cantidad de días que un capital de $4000 se convierte en $ 4041,725 a una TEA del 6%. Argumentos de la Función

Tasa= 6% Pago» VA = VF= Tipo»

omitir -4000 4041.725 omitir

Nper

0,178091889

El resultado aparece siempre debajo de la ventana. Recordemos que el plazo y la lasa deben estar expresados en la misma unidad de tiempo. En este ejemplo iu tasa utilizada del 6% es lu tasa efectiva anual, por Ío que el resultado obtenido esta expresado en años, al multiplicarlo por 365 obtenemos el resultado en días: Plazos 0,178091889 365 = 65 días.

Me, Clarisa A. Fregeiro

18

s

!


■v:; ' \v .-

a.;7vî"‘■'■■ •

Interés Simple e Interés Compuesto

Ejemplo 4 :

Si la incógnita es la tasa aplicada en una operación, usaremos la función financiera TASA. Calculemos la tasa efectiva anual qu*í se aplico a una capital de $3000 si estuvo colocado 2 años y se obtuvo un monto de $3307,5. al igual que en el plazo de la operación, la tasa y el numero de períodos deben estar en la misma unidad de tiempo. Argumentos de la Fundón Nper 2 Pago= omitir VA = -3000 VF = 3307,5 Tipo= omitir ■’ Tasa" •

>■ ’

••••-ir V'Vi

Eieninlo 5: En este ejemplo calcularemos el monto de un capital que esta invertido a diferentes tasas a lo largo del plazo. Es decir calculamos el monto a tasa variable. La función financiera a utilizar el VT.PLAN Supongamos una inversión de $2000 por el plazo de tres meses, sometida a las siguientes tasas: el primer mes al 0,8%, el segundo mes al 2% y el tercer mes al 1,5%. Argumentos de la Función Capital , 2000 Plan serie de tasas 0,80% 2% 1,50% Valor futuro

2087.1648


19

'í ;' ■V

■■■. .■1.

Manual de Calculo Financiero Operaciones Financieras Simples______________ __ __________Interés Simple e Interés Compuei>to

Renovar solo el capital iiiicialpiente depositado. Interés Simple. Esta alternativa excluye los intereses del proceso de capitalización. Se dice que un capital está sometido al régimen de capitalización simple sí ios intereses producidos por el capital no se incorporan al mismo a fin de cada periodo. Esta alternativa no logra la rentabilidad que se obtiene con la reinversión de intereses, por supuesto. Analizamos el ejemplo anterior A ios 30 días de la colocación inicial se renueva solo el capital inicial, sacando a los intereses del proceso de capitalización. Por lo que el monto resultante será: C m = 1000 (1,06) = 1060 + 60 (intereses ganados en el primer periodo sin capitalizar) Cao =1120 Gráficamente: 30 días

óO.días

í. Cío = 1060

Co = 1000

^

V____

C6o= 1060

V___

___ y ~ v -------------

V I (0.3U) = 60 Í30 = 6 0 / 1000 = 0,06

I (30,60) = 60 Í30 = 60 / 1060 = 0,0566037 _________________ ^

V ' Intereses totales = I (o,60) = 120 Para calcular el rendimiento de la operación tenemos que considerarla en su totalidad. Recordemos que el rendimiento siempre es la tasa del plazo de la operación: Rendimiento total de la operación iaü= 120 / 1000 = 0,12 ¡60=12% A diferencia del interés compuesto, aquí el rendimiento resulta ser justo el doble a la tasa periódica (6% mensual) es decir, proporcional al plazo de Ja operación. Si dejo el capital el doble de tiempo, gano el doble exacto de interés. Recordemos que en interés compuesto el rendimiento resulto ser más que proporcional debido a la reinversión de intereses. De ahí su función exponencial. Del gráfico temporal anterior se pueden extrae varias conclusiones y características que servirán para comparar con el régimen compuesto

Lie. Clarisa A. Frepní m

'in

' ;:í ' -J:.-

í. t

.r-'f:", ■

Manual de Calculo Financiero Qpgfnciones Financieras Simples


Características del interés Simple •i'- '■•

ííí' .N•i-.;)h ‘ ..• . A'',

Vr

*■ El interés devengado no vuelve a generar nuevos intereses. Los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial 2. El capital crece proporcionaimentc. 3. Él interés absoluto es constante. Y proporcional al capital, al tiempo y a la tasa de interés de la operación. 4. El interés relativo (rendimiento periódico) es decreciente. 5. La tasa de interés no representa el rendimiento de la operación. Se dice que la tasa .se comporta como una tasa nominal, ya que es pronorcionaí al rendimiento, es decir, al plazo de la operación. El 12% efecliva bimestral resulta proporcional al 6% efectiva mensual. El plazo aumenta el doble y la tasa también. A diferencia del interés compuesto cuyo rendimiento resultaba ser equivalente a lu tasa dcl 6% mensual. Responde a una función lineal dcl tipo: y = a + m b Deducción de la formula genérica Como en toda deducción de formula, se trabaja con capitales iniciales de $1 Periodo 1 2 3 n

Capital l 1 1 1

Interés i i i

Monto 1 +i 1+ i i +i

Interés Acumulado i 2i 3i

i

1+ i

ni

1= i . n Total de intereses ganados para $1 I = C . i . n Total de intereses ganados para $C Esta fórmula indica que los intereses (en rég. Simple) son directamente proporcionales al capital; a la tasa de Interés y al tiempo de inversión. Se debe tener eh cuenta que i y n deben ser sincrónicos. Si i es tasa de interés mensual, n deberá estar expresada en meses, si i fuese tasa Irimeslra!, entonces n deberá estar expresada en trimestres. Generalizando para $C: C„ = C + I Cn = C + C . i . n

C„ = Co(]+i.n)

-/f;'"' •• ••

Lie. Clarisa A. Fregeiro - ■V-■

21

Mr

, í

t ,- »

Manual de Calculo Financiero Ó>Fgradone$ Pínancicras Simples

Interés Simple e Interés

Análisis de la función (1 + Ln> en fundón del niazo r'" J’.< ' ' y.rr

-. ’ •V

' \. í - ' •: ';'^ 1.'' -V

F (n )» (1 + i.n) F (n ) = i — F"(n) = 0 __

como i es mayor a 0 F (n) es una función creciente. F (n) es una función recta.

Al igual que el régimen compuesto resulta creciente: mayor plazo, mayor momo. Pero se díícrcncia en la segunda derivada que resulta “0” e implica la linealidad que otorga la no rcinversión de los intereses. Muestra el crecimiento proporcional del capital. Gráficamente:

'M

n

f(n)

0 1 2

1 (1 + i) (1+ i .2)

oc

OC

r ^•

i'. •;

Lie. Clarisa A* Fregeiro

>'•



EJEMPLOS PRACTICOS Ejercicio 1 Se depositan $2000 por un plazo de 5 meses a una TEM del 1,3%. Calcular 1. El monto de la operación 2. Los intereses dé la operación 3. El rendimiento de la operación 4. La TNA de la operación 1. Rta: 0 Co = 2000

n=150 días Ci5o =

C,50 = Co(l+i)" C,50 =2000 (1+0,013)’ C,5o = 2133.42 2. I (0.150) = 2133.42 -2000 = 133.42 3. i.«. = 2133,42 - 1 2000 ii50 = 0,0667 4. J (365/ 150) = 0,0667 * 365/150 = 0,162332 (TNA ofrecida por la entidad financiera) Ejercicio 2 Se invierten en tres instituciones las sumas de $15000, $22000 y 23000. Si se obtienen intereses simples del 4,5%, 5% y 6% mensual respectivamente, al retirarlos a los 90 días. ¿Qué tasa de interés me permite obtener igual beneficio en igual plazo, si deseo invertir las sumas mencionadas en una sola institución y en una sola operación? Rta: C90 = 15000 (1 + 0,045 *90/30) + 22000 (1 + 0,05 *90/30) +23000 (1 + 0,06 *90/30) C90 = 17025 +25300 + 27140 = 69465 69465 = 60000 (1+ Í30 * 90 /30) 69465 -1 * 30/90 = 0,05258333 60000 Como las tres sumas se depositan en diferentes instituciones como primer paso se debe encontrar el monto total a cobrar. Luego se encuentra la tasa a la que si invertimos todo el capital inicial en una sola institución, se obtiene igual monto que por separado. Ejercicio 3 El interés producido por una inversión realizada hace 30 días es de $100; la tasa de interés fue del 7% efectivo anual. Calcular el capital invertido, si no se planea reinvertir los intereses. Rta: I(o,n)= Co*i*n 100=: Co*0,07*30/365 100/0,07*30/365 = Co 17380,95 = Co


23

Muiiual Uc Calculo Financiero Operaciones Fínancicnis Simples


Eieix:icio 4 ¿Cuál será el iiUerés producido por $1(XX)00, al 5% mensual durante 6 m eses a interés simple'^ Ría; !(o,n)=C o*i’îi

I(o,n)= 100000* 0,05*6 1( 0 , n)= 30000 Ejercicio 5 ¿A qué lasa mensual fueron invertidos $300(X) si al cabo de 6 meses se pueden retirar $40800? Rta: Cn=: C o( l+i*n) 40800 = 30000 (I+i*6) 408()0/30000-1 = i 6

0,06 = i (lasa efectiva mensual) Eícicicio 6 ¿A qué tasa anual fueron invertidos $30000 si al cabo de 6 meses se pueden retirar $40800 Cn = Co (l+i*n) Ría: 40800 = 30000 (1 + i* 180/365) 40800/30QQQ -1 = i 180/365 0,73 = i (tasa efectiva anual)

Lie. Clarisa A. Fregeiro 24

Kl¿umal de Calculo Financiero Qtêracíojnes Financieras Simples

Equivalencia de tasas de imcrég

Capítulo 5 -Equivalencia de tasas de vencidasE n este ca p ítu lo se en co n tra r una expresión que nos perm ita tom ar decisiones de inversión o fin a n cia ció n a n te a lternativas de diferentes plazos. A s í m ism o, entender e l m ecanism o que los bancos u tilizan p a r a co n feccio n a r su s p iza rra s bancarias.

Expresión general de cquivaiencia Ya vimos que la tasa de interés puede estar expresada para distintas unidades de tiempo, en función del plazo de Ja operación. Esto obliga a las instituciones bancarias a definir la tasa de interés con relación a las operaciones. Y sí además se pretende mantener el mismo precio se necesita establecer alguna relación entre tasas de interés expresadas para distintas unidades de tiempo. Es decir, ¿es coirecto que la persona que deposita su capital el doble de* tiempo gane exactamente el doble que otra persona que depósito su capital la mitad del plazo? Recordando oue en interés compuesto: Intereses acumulados: I mji) = C n- Co I(o.n) = C o (l+ i)" -C o l(0.n) = C o [ ( l+ i) " - I ] l(0.n) = [ ( l + i ) " - l ] I (O.n) = i i = [(1+ i)" - 1 ]

Suponiendo Co = $1 i=I

/ Co

--------► Permite encontrar tasas equivalente.

Generalizando esta expresión matemática para cualquier tasa y plazo, la misma representara una relación de equivalencia entre dos tasas de interés referidas a distinto plazo. En las operaciones diarias el plazo mínimo es de un , se toma esta unidad de tiempo para redefinír la formula general a cualquier cantidad de días. Expresión general para cualquier plazo: X = plazo incógnita y = plazo dato.

Dos tasas serán equivalentes cuando para un mismo capital, colocado una misma cantidad de tiempo, produce igual monto aun cuando los periodos de capitalización no son los mismos. Es decir, que tienen el mismo rendimiento implícito. Las tasas equivalentes, son aquellas que con diferentes capitalizaciones intermedias, tienen el mismo rendimiento efectivo en cualquier momento. Dos tasa pueden ser equivalentes entre si aunque aparentemente sean diferentes cuando están expresadas para distinto periodo de tiempo.

Lie. Clarisa A . Fregeiro

25

Míiniidl de Calcülo Financiero Operaciones Financieras Simples

Equivalencia de tasas de interés

Equivalencia de tasas aplicado a Interes Compuesto Equivalencia de tasas se puede obsenâr en el interés compuesto. Recordemos el ejemplo que utilizamos para analizar las renovaciones, esto sería: 3.0 días Co =1000

C3o= 1060

60.días C6o= 1123,6

C6o= 1000* (1,06) (1,06) = 1123,6 Estas dos operaciones sucesivas en realidad se transforman en una, al considerar que al concluir la primera se reinvierte su momo por otro mes. 1000*(l,06)^= 1123,6 ,1000*],1236= 1123,6 1000*(1,06)- = 1000-^1,1236 (1.06) -= 1,1236 Estos dos fíictores de capitalización generan igual monto aplicado a cualquier capital (1.06) ‘ - 1= 0,1236 (Si se expresa en meses) (1+0,06)^’^^^^ -1 = 0,1236

(Si se expresa en días)

Siendo t2= plazo de 60 días ii = plazo de 30 días.

Esto demuestra que el 6% efectivo mensual es equivalente al 12,36% efectivo bimestral. Será indiferente invertir a cualquiera de las dos lasas ya que tienen el mismo rendimiento implícito. Ahora podemos responder a la pregunta inicial. Si se deposita el dinero el doble de tiempo, se gana más que el doble. Esto se debe a la reinversión de intereses. Por esto mismo, entre las características del régimen compuesto dijimos que la tasa representa el rendimiento de la operación, ya que resulta equivalente al rendimiento de la misma. Y se comporta como efectiva. Las tasas equivalentes como su nombre lo indica, producen igual monto o valor final y por lo tamo igual rendimiento, independientemente de los periodos de capitalización a que fueron sometidas las colocaciones. En la cotidianeidael la mayoría de las veces, aunque existe renovación total en el plazo fijo (capital más intereses), no puede aplicarse las reglas del interés compuesto debido a que las tasas en muy pocos casos pennanecen constantes en los sucesivos meses. De este modo, nuevamente, nos obliga a calcular la lasa del plazo de la operación, que resultara proporcional a la nueva TNA. ofrecida en ese periodo. ; Por ejemplo, si al momento de renovar el plazo fijo nos comunican que la tasa sufrió un descenso de 2 puntos porcentuales, tendremos que encontrar la nueva tasa efectiva mensual que resultara proporcional a la nueva TNA de ese momento

Mc- Clarisa A. Fregeiro

26



Equivaiencia de tasas aplicado a Interés Simóle Cuando se realiza una opemdón siempre se inicia a inierés simple, ya que el depósito gana un interés que se calcula sobre el capital inicial de la operación por un periodo de tiempo determinado que resulta proporcional a la tasa comunicada. En el régimen simple, la tasa de ínteres no representa el rendimiento de la operación. Se dice que la tasa se comporta como una tasa nominal, ya que resulta proporcional al rendimiento, es decir, al plazo de la operación. En el ejemplo^que vimos, el rendimiento que se obtuvo en la operación fue del 12% efectiva bimestral y resulta ser proporcional al 6% efectiva mensual. El plazo aumenta el doble y la tasa también. A diferencia del interés compuesto cuyo rendimiento resultaba ser equivalente a la tasa del 6% men.sual. Si queremos encontrar el rendimiento mensual de in operación necesitamos aplicar la equivalencia de tasas para transformar el rendimiento bimestral del 12% a una tasa efectiva mensual. Dicho resultado no será ninguna de las anteriores. Buscamos una lasa que contenga el mismo rendimiento implícito pero que esté expresada en otra unidad de tiempo. Í3o = (1 +0.12)“ '“ - ! = 0,0583 o del 5,83% Nótese que esta tasa resulta ser el promedio de los rendimientos periódicos ganados en la operaciórt. Si sacarnos el promedio: (0,06 + 0,0566)/ 2 = 0,0583 tEsta lasa mensual esta representando la tasa a la cual deberá depositarse el dinero a interés compuesto para que resulte equivalente que haberla depositado a interés simple al 6%. Comprobación: Cm)= 1000(1,0583)^= 1120

Equivalencia de tasas como herramienta de comparación La equivalencia de lasas permite compa^'ar operaciones de diferentes períodos de tiempo Poder ü'cuisformor cualquier rendimiento o costo financiero en una unidad de tiempo diferente, es una herramienta que nos facilita tomar decisiones tanto de inversión como de financiación. Permite establecer un orden de preferencia en las diferentes alternativas que ofrecen diferentes plazos. Ejemplo: ^ - ¿Que alternativa es más conveniente? Invertir a una lasa nominal anual del 6,75% coh \ capitalización bimestral. O a una tasa nominal anual del 7,25% con capitalización semestral, ¿me permite obtener un rendimiento equivalente? Rta; Dato: J oes/ eo) = 0,0675 ieo = 0.0675 ♦ 60/ 365 = 0,01109589 J (365/180) = 0.0725 i ,80 = 0,0725 ♦ 180/ 365 = 0,0357534 Como las tasas están referidas a diferente plazo, no se pueden comparar, por lo que se debe homogeneizar el plazo. Es indistinto a que plazo se llevan las tasas para compararlas, lo importante es que sea el mismo ya que la conclusión será la misma independientemente del plazo que se usa para compararlas. Arbitrariamente tomamos' como unidad de tiempo el Wniestré;T¿'í (1+0.0357534)“ '" “ - ! = 0,0117785 I ^ . Como tonéltisión, partiendo de una tasa nominal anual con capifiWización bimestral del no só* obtiene igual rendimientojgue con una tasa nominal anual con capitalización semesteaf'’ del 7,25% ya que con esta segunda el rendimiento es superior. Lie. Clarisa A. Fregeiro

27



EJEMPLOS PRACTICOS Ejercicio 1 Se cuenta con un excedente de fondos y deseo saber donde me conviene invertirlos por un plazo de seis meses: Entidad A: paga el 16% TNA para operaciones a 180 días. Entidad B: paga el 15% TNA para operaciones a 30 días. ¿Será más rentable realizar una sola capitalización en la entidad A o renovar cada 30 días en Ja entidad B? No es relevante la suma a invertir, el análisis debe efectuarse para cualquier cantidad, dado que los rendimientos son independientes del capital invertido. Entidad A: Entidad B:

i,8o = 0,16*180/ 365 = 0,0789 i,o = 0.15*30/ 365 = 0,0123287

Como son tasas referidas a diferentes plazos de operación se hace imposible compararlas y poder tomar una decisión de inversión. Por lo tanto, debemos transformar la TEM del 1,23287% a una tasa efectiva .semestral. (Tomamos como unidad de tiempo para comparar el semestre ya que la inversión se efectúa por se plazo. Pero cabe aclarar, que se llegara a la misma conclusión ya sea se comparen cualquier unidad de tiempo, como ser meses, años, trimestres, etc.) El rendimiento de la operación en la entidad B, si deseo realizar una colocación a seis meses será de* iiso = (1+0,0123287)'®“'“ -1 = 0,07629 Ahora resta comparar y elegir la mayor lasa por supuesto ya que el planteo se refiere a una inversión (operación pasiva) debiendo optar de manera inversa si deseáramos pedir un préstamo (operación activa). Será más rentable la inversión en la entidad ‘‘A” . Ejercicio 2 Dada una tasa mensual del 8%, ¿A qué tasa de interés deben permanecer operaciones de 14, 59, 90 y 120 días, para que todas resulten equivalentes? Rta: Dato: Í30 = 0,08 ÍM= (1+0,08)“''“ -1 = 0,0365678 Í59 = (1+0,08)” '“ -1 = 0,16341159 Í9o = (1+0,08)“ ”“ -1 = 0,259712 ii2o = (1+0,08)'“ '®“ -1 = 0,36048896 Ejercicio 3 Un inversor desea obtener un rendimiento del 274% anual. Indique cuáles serán las TNA que se le deberán ofrecer para que se efectúe el depósito por los siguientes plazos: a. 1 año b. 6 meses c. 4 meses a. Como el plazo es anual la TEA coincide con la TNA. 1(365/ 355) = 274% b. ¡ISO= (1+2,74)'*“'®“®-1 = 0,916514 J(365/180) = 0.916514 * 365 /180 = 1,858486 c. ii3o = (l+2,74)'“ '®“®-l =0.542912 •1(365/120) = 0,542912 » 365 /120 = 1,651359


2f!

Mufiutil (Je Caiculo Financiero Otieraciones Financieras Simples


Ejercicio 4 Una persona constituye un depósito lic $1000 que gana un interés efectivo anual del 175%. Dcierniinc: u) El monto alcanzado al cabo de 5 meses. b) Exprese el rendimiento de la operación. c) Exprese el rendimiento de la operación obtenido en las siguientes tasas equivalentes: 1. Tasa de interés mensual. 2. Tasa de interés trimestral. 3. TNA para el plazo de la operación. 4. TNA para el plazo de 45 días. a) Para encontrar el monto necesito la tasa del plazo: ii5o = (l+ 1,75)'“ ™’* -! =0,5154711 Ci5o= 1000 (1,5154711) = 1515,4711 b) El rendimiento de la operación ya lo tenemos calculado en el punto anterior cuando encontramos el monto. Recordemos que el rendimiento de la operación es la tasa periódica. Entonces: i do = 0,5154711 c) 1. Í3o = (1+ 1,75)“ ™’ -1 = 0,08569 2. ¡90 = (1 + 1,75)*"“ ’ -1 = 0,2833 3 J(36v 150) = 0,5154711 * 365 (150 = 1,254313 ■» J(355/45)= 0,08669*365/45= 0,703152 ¡45 = (1+ 1.75)*’™’ -1 = 0,08669


29

Manual tic Calculo l'inancicro Operaciones Financieras >Simplc?)

Eriuívalencia de tasas de interés

EJEM PLO KIÍAI. El síguienfe cuadro es el certificado de un plazo fijo, analicemos los dalos: 11537 ^ a t t e o KXX

C tn iU ru á u dr N o m itto liv u

______

_^<ÛQO

irlíTlJl!____________

Drfiótitu

u f h i o fi) u

iitTHAiiiirui icrkCTivo

»'

¡l.OC limrílnrtl.ttnr‘’riéi

rrâ----riñiiM"

Kr l« 3 ,« 4

0J« ¿»/ua/?oo>

f

t

0.00

---------

Cr#1r^

10

3011537

su iiNiNciÁ^W iiíTiiriVírrtNM oo', 1^ >1llUtaci kM M » ^

---f l

í«m.■>!)ó(- ‘loon inexí Dalos: Techa de inicio: 16/1/09 Plazo: 35 días Capital inicial $10000 TNA = 15% •^065/35)= 0 . 1 5

Í35 = 0.15 ^35/365 = 0,0143835 i:«) = ( 1,0143 835 j’"'’' - 1 =0,0123162 0

Co= 10000 Ci5 = 10000 (1,0143835) =10143,84 1(0,35 ) =143,84

n=35 días C 35 = ?

1



Aplicación del Excel a pasaje de tasas A continuación aplicaremos las funciones del Excel como herramienta fínanciera para calcular diferentes tasas. Ejemplo 1: Calcular la TEA correspondiente a una TNA con capitalización cuatrimestral del 15 % Ir a C (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: INT. EFECTIVO (interés efectivo se refiere a la TEA) Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION Argumentos de la Función

Inferes Nominal num_ per_año

15% 3

TEA= 0,157625

Los números de periodos en el argumento se representa la cantidad de capitalizaciones en el año, como la TNA capitaliza cuatrimestralmente, capitaliza 3 veces en el año. Es importante destacar que esta función devuelve siempre el interés efectivo anual. No cualquier tasa efectiva y considera al año comercial es decir, 360 días.

Ejemplo 2: Calcular la TNA con capitalización meiisual correspondiente a una TEA del 20%. Ir a f, (funciones) Categoria: FINANCIERAS Seleccionar: TASA NOMINAL Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION Argumentos de la Función

Tasa Efectiva Núm Per

20%

12

TEA= 0.183713646


31

Manual de Calculo Pínanciero Op

Eicmnlo 3r 1 Se loma un préstamo de $5000 a devolver en 90 días un monto de $5325. Calcular el * rendimiento de la operación y la TEA. Para calcular la tasa perióílica de 90 días, usaremos la función financiera TASA. Argum entos de la Función

Nper= Pago= VA = VF = Tipo =

1 omitir -5000 5325 omitir

Tasa = 6.50%

Tasa efectiva trimestral.

Para hallar la TEA podemos usar la misma función TASA o usar la POTENCIA. Para usar la función TASA se requiere conocer los valores de los capitales, en cambio en la función POTENCIA no, ya que solo es el pasaje de tasas por equivalencia. Argumentos de la Función

Nper = 90/365 Pago = omitir VA = -5000 VF = 5325 Tipo= omitir Tasa = 29.10%

Tasa efectiva anual

La función POTENCIA no forma parte de las funciones financieras Argumentos de la Función 1,065 Numero Potencia 365/90

1+0,065

TASA

si restamos 1 oblenemmos 0,2909


1,290974613

32

Maiiuul de Calculo Financiero Operaciones Financieras Simples

AclualizacíÓD

Capítulo 6 -Actualización de Operaciones Financieras Simples£ /i e ste ca p ítu lo se a n a liza ra el p ro c e so inverso de la capitalización llam ado acíuatizjación y el efecto d e sa c a r in te ré s a un n ú m ero fu tu r o p a ra en contrar su valor iniciaL

Actualización Concepto: “Efecto de poner al día*’. Representa la contrapartida a la capitalización. Se nos pueden presentar ocasiones donde el valor conocido es el valor futuro a recibir, (jueriendo averiguar el valor presente que le da origen. Por ejemplo si tenemos una suma a col>rar dentro de n tiempo y queremos disponer hoy de ese dinero. En este tipo de situaciones se debe producir el efecto inverso a la capitalización, ya que debemos “sacar” intereses al valor futuro, en lugar de agregarle interés al valor presente como lo estudiado en capítulos anteriores. Efectuando trasposiciones de términos en la formula de capitalización tenemos que:

Co =

Cn (1 + in)

Valor presente = VaJor futuro (l+ ¡n )

En este caso, la diferencia entre el valor futuro a cobrar y el valor presente obtenido representa el precio a pagar por la disponibilidad inmediata de fondos antes de su vencimiento. Esta diferencia es el descuento efectuado. .

( 1 + in)

Es llamado factor de actualización, tiene la característica de sacíirle interés a un número futuro, transfonnándolo en un valor presente, menor por supuesto. Mueve hacia la izquierda en el eje de tiempo.

Este tipo de operaciones las podemos ver en las refinanciaciones de pasivos. Es decir, para el caso del reemplazo de pagos. Cuando por alguna circunstancia el deudor no puede cumplir con una sene de pagos acordados, es posible la refinanciación de la misma. Esta reestructuración implica averiguar el valor de la deuda actual neta de intereses. También es muy común en empresas que venden artículos y ofrecen abonarlos en fonna financiada, es decir, en pagos a través del tiempo. O inversamente, algún descuento por pago al contado del producto.


33

Manual de Calculo F*inanciero Operaciones Financieras Simples

Actualización

DESCUENTO RACIONAL Cabe remarcar que en la actualización el descuento efectuado es calculado sobre el valor inicial. Dentro del régimen simple se distingue el ‘‘descuento racional o matemático’'. Comúnmente se lo define como la modalidad de descuento que se practica sobre el valor actual o presente, es decir, los intereses se calculan sobre el capital recibido en préstamo. Veamos un ejemplo para visualizar la actualización: Queremos disponer hoy de una suma de dinero que tenemos a cobrar en un mes de $100. Por su disponibilidad nos cobran un 10%, obteniendo la suma de: Co =

Cn (I +in)

Co = iO(L= 90,90 1,10

Los intereses dados por la diferencia entre los $100 y el valor recibido hoy, $90,90 es el precio que debe pagarse por disponer antes del dinero

Gráficamente: mes Valor actual = 90,90

Valor Final = 100

El valor actual es análogo al Co del interés simple, así como el valor final es el monto Cn. Los intereses pagados o el descuento efecliiado sobre el valor actual, resultan como lo estudiamos cn capitalización: D (o,n) = VA . i D (o,n) = VF- VA D (o ,n )= 100-90,90 D (o,n) = 9,09 A diferencia del descuento comercial donde el descuento .se efectúa en el valor final o nominal f dcl documento (desarrollado cn el capitulo 9), f En resumen, el descuento racional es actualizar con interés simple, donde el interés se calcula f sobre el capital inicial. Las formulas y características del descuento racional son las mismas ya | estudiadas en el interés simple Por lo que la tasa resulta proporcional al plazo de la operación. |


34


Actualización

EJEMPLOS PRACTICOS Ejercicio 1 Por la adquisición de una máquina debo pagar $1000 al contado, 3000 dentro de dos meses y $4000 dentro de tres meses. Dada una tasa de interés del 72% nominal anual capitalizable cada mes. determine el monto a pagar de las siguientes alternativas de pago: a) Pago al contado. b) Un pago único dentro de un mes. c) Un pago único dentro de 6 meses. a) El vendedor nos ofrece financiar la maquina. Por lo tanto el pago de $3000 y el pago de $4000 como se realizan posteriormente a la fecha de compra poseen implícitamente intereses. Siempre recordando el valor tiempo del dinero, si el importe no se efectúa hoy contiene intereses. Para calcular el pago de contado equivalente de la maquina, el primer pago no se lo capitaliza ni se lo actualiza. A los siguientes dos se los debe actualizar para sacarle el interés implícito por pagarlo antes de tiempo. Í3o = 0.72*30/365 = 0,059178 VA= 1000 + 3000

+

1,059178^

4000 = 7040,43 1,059178^

b) En el segundo punto, el comprador de la maquina ofrece pagar todo el valor al mes de compra. Entonces el primer pago que inicialmente se iba a reliar al contado se efectúa posteriormente, teniendo que agregarle intereses por tal motivo. En cambio, los siguientes pagos se van a realizar con anterioridad y por lo tanto tenemos que sacarle intereses. 0

3000

1000

4000

VALUACION VA = 1000(1.059178) + 3000

+

1,059178

4000

= 7457.07664

1,059178^

c) En el tercer punto a todos los pagos se los capitaliza para agregarles intereses ya que todos se pagan con posterioridad a la financiación inicial ofrecida por el vendedor. VA =1000 (1,059178)^ + 3000(1,059178)^ + 4000 (1.059178)^ = 9940,617


35

Manual de (*ulciilo Hnniicicro

OpcruduncHMiuificiníis Siiiiplcs_______________________ ______________

Actualización

•lisitdcjoi Un coim'iciíinic compni incrciidt^rrns por un valor de $10000 abonando $5000 al contado y el icsio con ínieicscs al 5% nominal anual cnpitalizable semestralmente. Conviene en pagar tl0í)0 (leriiro de I ano, $2000 dentro de 2 años y el saldo al tercer año. ¿Cuál es el pago final bajo la modalidad de interés compuesto? i,Ko = (MIS* IKO/165 = 0.0246575 0

1

l

|t)0()

2

3 2000

X

Hoy debo 5000

Por lo lanío pagai hoy $5000 debe ser cquivalenle a pagar $1000 dentro de un mes. más $2000 dcniro de dos meses y H saldo dentro de 3 meses. 50ÍM)-|ÍK)Í)

I

2000

+

X____

(1,02465)^ (1.02405)' (1,02465)" X = 2584.66

.Sean 3 documenios: $6000 con vencimiento en 3 meses, $9000 con vencimiento en 6 meses, $15000 con vencimicnio en 9 meses y suponiendo una lasa de interés del 24% con capíiali/ación irimcstral. ¿Cuál es el importe necesario para cancelar la deuda hoy? Imi = O.24^90/365 = 0,059178 VA = 60()0 -r 9000 r 1.5000 (1.05617)

= 26310,81

(1,05917)^ (1,0.59178)'

Üc. Clarisa A. Fregeiro

36

ManuaJ de Calculo Financiero Operaciones Financieras Simples

Descuento de documenios

Capítulo 7 -Descuento de O teraciones Financieras SimplesEn este capitulo estudiaremos el concepto de descuento como la modalidad habitual de realizar operaciones con documentos comerciale w Se expondrá coma contrapartida de la capitalizjoción. El capitulo concluye con ejemplos prácticos.

Descuento de documentos Muchas son las situaciones en que una empresa o una persona requieren dinero con urgencia sin disponer de liquidez pero con doci metilos a cobrar a su favor. Como dichos documentos, yn sean cheques o pagares, tienen fechas futuras de cobro, existe la posibilidad que entidades especializadas adelanten el dinero a cobrar en el futuro a cambio de un precio. En las operaciones de descuento se conoce el valor final de la operación, que es el valor que figura escrito en el documento, ese valor se llama Valor Nominal del documento. Es el valor del documento en la fecha de vencimiento, es decir, el valor se hará efectivo cuando este venza. Pura determinar su valor hoy, se le debe quitar al valor nominal los intereses que nos cobrará la entidad por adelantamos el dinero por el plazo fallante a la fecha de vencimiento estipulada, es decir, se le hace una quita o DESCUENTO al documento. Obteniendo de esta manera el Valor efectivo o Valor Actual. Este descuento se define como la compensación o precio que debe pagarse por disponer de los fondos antes del vencimiento De esta manera, los bancos ofrecen a las empresa o individuos la posibilidad de obtener inmediatamente los fondos de los cheques de pago diferido (valores con un plazo de cobro futuro) sin tener que esperar al plazo de cobro, aplicándole a cada valor presentado un descuento que será mayor cuanto mayor sea la extensión del plazo de cobro. La empresa accede a la ventaja de oi>tener liquidez inmediata al transfonnar sus cuentas a cobrar en dinero en efectivo. Este tipo de operaciones financieras conforman operaciones activas, por lo antes mencionado en relación a su rendimiento para la entidad financiera. Nomenclatura: V.N. = Valor nominal del documento. Valor que tendrá al vencimiento. V.A. = Valor actual o efectivo del documento. n = plazo de la operación. Vencimiento del documento. Usaremos siempre el plazo expresado en días. Usando año civil para trabajar (365 días)


37


Descuento de documento;,

Gráficamente: 0

”Í.N

\Â.= V.N. - Pérdida V_______

J

V Existe una PFÍRDÍDA por el paso del tiempo. La podemos cuamificar de dos diferentes maneras muy relacionadas entre sí: Si la pérdida la medimos en términos absolutos, es decir, unidades monetarias la llamaremos DESCUENTO de una operación. Nomenclatura: D (o,n) = Es el descuento soportado entre el periodo 0 y n. D (o,n) = V.N - V.A Esta detenninado por la diferencia entre el valor nominal y el valor actual. Mide la variación que sufre el capital por el transcurso del tiempo. Es un porcentaje del valor nominal. Si la pérdida la medimos en términos relativos, es decir, el tanto por uno, la llamaremos TASA DE DESCUENTO de una operación. Se refiere a la tasa efectivamente abonada en la operación. dn = Es el precio de la operación dn =D(o,n) / VN Mide la variación entre el descuento y el valor nominal capital, cuanto representa la perdida que se obtuvo por el transcurso del tiempo en relación al valor del documento, es decir, el valor que se hubiera cobrado al vencimienlo. Es llamada también tasa periódica, ya que siempre es referida al plazo de la operación (n). También puede verse como el costo financiero para el poseedor del documento y el rendimiento para la entidad financiera. Y por sobre todas las cosas es una tasa efectiva. Cuando los intereses se abonan al inicio de la operación de descuento las tasas utilizadas se denominan adelantadas o de descuento. Y el descuento se practica sobre el valor final o monto (valor del documento al vencimiento) y no sobre el capital que realmente se presta. Mientras que las tasas de interés reciben el nombre de tasas vencidas ya que se abonan al finalizar la operación y el interés se aplica sobre valores iniciales.

Valor Actual: Recordemos que en el descuento los intereses se calculan sobre el valor futuro, es decir el valor nominal del documento: D (o,n) = VN. dn Y VA = VN - D (o,n) VA = VN - VN . dn Entonces: VA = VN(l-d„)

Valor presente = valor futuro (1 - d„)


38

Manual de Calculo Financiero Operaciones Financiei-as Simples

Descuento de documentos

Es llamado factor de actualización, tíene la característica de sacarle interés a un número futuro, transformándolo en un valor ---- 1 presente. Mueve hacia la izquierda en el eje de tiempo el plazo que la tasa indique.

(1- dn)

Aquí, implícitamente, también estamos hablando del valor tiempo del dinero. El precio que se paga por la disponibilidad inmediata de fondos se refleja en la variación cuantitativa del capital, recordemos que al transportamos hacia el presente en el eje de tiempo, los capitales decrecen. El plazo de la operación “n” debe coincidir con el plazo de la lasa. Por lo que los capitales se mueven en el eje de tiempo tantos días como la lasa lo indique. Ejemplo: Supongamos que una empresa tiene para cobnu un pagare dentro de exactamente un mes de valor $10000, pero que por necesidades de fondos requiere descontarlo. En la institución financiera hoy por ese documento le ofrecen $9800. Gráficamente: 30 días

0 V.A= 9800

V.N= 10000

Perdida absoluta: 1^(0.30) = 200 Perdí $200 de interés en 30 días. Perdida relativa: d3o= 200/10000 d3o= 0,02 2% efectivo mensual adelantado o TEMA

£1 costo financiero, que es el nombre que le damos a la tasa cuando esta representa una perdida de dinero, en este tipo de operaciones es la tasa de descuento. Mas adelante desarrollaremos este concepto y su diferencia con la tasa de interés. Y analizaremos cual es la medida correcta para deierniinar el verdadero costo de una operación.

Nomenclatura a utilizar: T.E.A.A.= Tasa efectiva anual adelantada = d36s T.E,A.V,= Tasa efectiva anual vencida = T.E.M.A.= Tasa efectiva mensual adelantada = d3o T.E.A.V.= Tasa efectiva ííiual Vencida = ¡30 T.N. A.V.= Tasa nominal anual vencida o de inlerés.= J(365/n) T,N.A.A.= Tasa nominal anual adelantada o de descuenio.= f(365/n)


39


Tasa Nominal Anual de descuento

Capítulo 8

I

Tasa Nominal Anual Adelantada (T>N.A.A>)

|

I¡

En este capítulo se estudiara qtie, de i}>ua¡ modo c¡ue en operaciones de colocaciones, latasanominal j anual comunicada por las entidades financieras para operaciones de descuento de documentos.Se i concluye con casos prácticos. ¡

;.Oiic es la 1 asa Nominal Anual Adelantada? lin las operaciones de descuerno los bancos no comunican las tasas efectivas, es decir, los verdaderos costos de dichas operaciones. Al igual que en las operaciones de colocación de fondos los bancos comunican la tasa nominal anual. Cn la piáctica, el descuento de documentos se pacta mediante una lasa nominal anual de descuento o adelantada Al igual que la TNAV, pese a su absoluta falta de contenido conceptual, es universalmente utilizada para pactar las operaciones financieras, por lo que se denomina tasa contractual. Es nominal ya que se usa de referencia para comparar con otras entidades pero no expresa costo alguno. La tasa nominal anual no es más que la proporción anual del verdadero costo, es decir, de la efectiva aplicable a la operación que se desea realizar. En realidad, representa una tasa de pacto ipie sirve para calcular el verdadero costo efectivo. Por lo cual se debe proporcionalizar para la cantidad de días hasta el vencimiento del documenlo Entonces, de aquí deriva ia importancia de conocer el plazo de la operación, ya que indicara a que lasa efectiva resulta proporcional la tasa nominal anual ofrecida. De dicha proporción surge la lasa efectiva de descuento “d” para el plazo de la operación. La lasa nominal es aquella que se ganaría si no hubiera actualizaciones subperiodica de interés. Por lo tamo esta nominal .solo coincide con la efectiva cuando el plazo de la operación a realizar es un año. La nomenclatura a utilizar para la lasa nominal anual es f (305/ n) Siendo “n” el plazo de la operación a realizar y su actualización. Podría decirse también, que este plazo actúa como condicionante, ya que solo será la proporción anual del plazo “n” y no de cualquier plazo

Transformación de la Tasa Nominal Anual a la tasa efectiva de descuento Si deseo descontar un documento de .$1060, treinta días antes del vencimiento, la entidad financiera nos dará a conocer la lasa nominal anual que se está cobrando coiTCspondiente a operaciones de descuento a 30 días. En este caso, nos comunica una TNAA del 15%. Con una fácil regla de tres simples .se podrá conocer el verdadero cosfo de la operación: Ü3(j = 0,688679* 30 /365= 0,012328 Generalizando para cualquier plazo: dn = f (365/1.) * n /365

Uc. Clarisa A, Fregeiro

40

Maniml tic Calculo Financiero ()|H^íUctoncx Financieras Simples

Tasa Nominal Anual de descuento

lüFMFLOS PRACTICOS njercicio I Se del^ cancelar una deuda de $100000 y tengo $15000. Entonces se solicita un préstamo bancarío. La operación se concreta mediante la fírma de 2 documentos de igual VN con vencimiento a los 30 y 60 días respectivamente. El banco percibe un descuento del 80% nominal anual para ambos documentos. Calcular el VN de cada documento. Rtn:

VA = VN(l-d„)

«.5000 = VN (1-dw) + VN (l-d6o) dM)=0.«* 30 /365= 0.06575 dw)=0,8'*'60/365= 0,1315 «5000 = VN (1-0,06575) + VN (1-0,1315) sacando factor común VN 85000 = VN |0,94 -1-0,68851 8.5000 = VN 1,6285 52195,27 = VN nicrcicio 2 Una empresa comercial descuenta hoy tres documentos de terceros en una compañía financiera, cuyos valores nominales son los siguientes: $70000, $52(X) y $85(X) venciendo los mismos dentro de 32, 66 y 85 días respectivamente. Habiendo cotizado la entidad tasas nominales anuales de descuento del 75%, 74% y 73% para cada documento respectivamente, dcienninar: ¿Cuál es la suma total disponible a que accedió la empresa como resultado de dichos descuentos? Rta: VA = VN(l-dn) V.A = 70000 (1-0.75 ♦ 32J + 5200 (1-0,74 * 61) + 8500 (1-0,73 * 85J 365 365 365 V.A.= 65397,6 + 4504,19 + 7055 V.A.=76956,79 Ejercicio 3 Un documento de $ lOOÍXX) con vencimiento dentro de 180 días se descuenta en un banco, obteniéndose la suma de $ 72540petermine la tasa nominal anula de la operación. Ría: d,8o= 1- 72540/100000 = 0,2746 f (365/18Ü) = 0.2746*365/180 = 0,556827

Lie. Clarí.sa A . Fregeiro

41


Descuento Simple y Compuesto

Capítulo 9 -Regímenes de DescuentoEn capítulos anteriores el análisis abarco solo un periodo de actualización» en esta oportunidad analizaremos los diferentes regímenes que existen dentro del descuento de documentos.

Descuento Comercial El descuento comercial o bancario es el más utilizado en la práctica de los negocio, ya que, el descuento se aplica sobre el valor nominal o monto y no sobre el valor actual que realmente se presta en la operación (actualización). Mas adelante veremos que esta diferencia representa una ventaja para el prestamista. Mediante el siguiente cuadro de marcha, se puede observar que el descuento se calcula siempre sobre el valor nominal del documento, por lo que el descuento practicado en la operaron es constante. Periodo l 2 3

Valor Nominal 1 1 1

n

1

D (o.n) = d . n D (o,n) = VN . d . n

Descuento Valor Actual 1-d l*d 1-d l*d 1-d l*d l*d 1-d l*d

Descuento Acumulado d 2.d 3.d n.d

Descuento total efectuado sobre $1 Descuento total efectuado sobre $VN

VA = VN - D (0, n) VA = VN - VN . d. n VA = VN(l-d.n)

AI igual que en interés simple es importante destacar que la tasa es proporcional al plazo de la operación. Este tipo de descuento es el utilizado en la realidad financiera, donde con la tasa pactada se hace una proporción al plazo fallante para el vencimiento. Ejemplo: Se desea disponer hoy de liquidez y se decide descontar un documento de $4000 cuyo vencimiento será dentro de 75 días. La institución financiera nos cobra un 10% anual de descuento. ¿A cuanto dinero se accede? VA = VN(l-d.n) VA = 4000 (1-0,10. 25) 365 VA =3917,8 Lie. Clarisa A. Fregeiro

42

Manual de Calculo Financiero Operaciones Fínancicm Simples

Descuento SinH>i< y Compuesto

Análisis de la ftinción (1-d.n) en ftindón del niazo El descuento simple tiene un límite, es decir, un momento en que se anula el capital: (I- d.n) = 0 l= d .n

-i = n d F(n)«(l-d.n) F'(n) = -d — F"(n) = 0 ___

como -d es menor a 0 F (n) es una función decreciente. F (n) es una función recta.

Gráficamente:

Uc. Clarisa A. Fregeiro

n

f( n)

0 1 i d

1 (1-d) 0

43



Costo Financiero Implícito en el descuento comercial Analicemos mediante un ejemplo la ventaja que representa para el prestamista este tipo de operaciones adelantadas: Una empresa necesita hoy dinero líquido y procede a descontar un documento de $10000 que vence dentro de 20 días. El prestamista descuenta el cheque mediante la modalidad de descuento comercial aplicando el 3% mensual. EJ razonamiento, entonces, es que si se debe descontar 20 días el costo financiero resulta: d2o = 0.03*2(^30 = 0,02 La empresa obtendrá la suma de: VA = 10000 (1-0.02)= 9800 Uí(í.2o) = 200 0

V.A= 9800 ^

20 días V.N= 10000

Si calculamos el costo efectivo mensual de la operación o el rendimiento para el prestamista resulta que: ¡20 =10000/9800 -1= 0,0204082 La tasa de interés implícita o equivalente de la operación puede obtenerse fácilmente pensando cual debe ser la tasa de interés a la que tendríamos que colocar $9800 para reconstituir los 10000. 10000 = 9800(1+Í2ü)

$

Í2o =0,0204082 Esto demuestra que la tasa efectiva mensual de la operación, es decir el rendimiento del prestamista, no es del 3% adelantado sino del: (1,0204082) i3ü =3,0768 %

- 1 = 0.030768

Este tipo de descuento tiene una característica propia: la tasa que se utiliza en la operación es una tasa de descuento o adelantada que se aplica sobre el valor que el documento tendrá en el futuro. A esta tasa de descuento le corresponde una tasa equivalente “i” vencida superior. Por lo tanto el verdadero costo efectivo de Ja operación de descuento siempre hay que medirlo en ténnino de tasa de interés vencida. De modo que la Casa pactada (la lasa adelantada) no refleja los intereses realmente abonados. EJ descuento comercial es un ejemplo de una operación no transparente, ya que existe un costo financiero para el deudor que esta implícito, nadie lo comunica. En Ja vida real hay muchos casos que involucran este análisis. Veamos otro ejemplo: Es muy común, en la venta de productos ver precios de lista y precios por pago en efectivo con algún descuento. Si el precio de lista de un bien es de $1500 y el valor por pago en efectivo es de $1304,3478, ¿Cual es el verdadero descuento?

Lie. Clarisa Á. Fregeiro

44


Descuento Simple y Compueato

El vendedor comunica que por el pago en efectivo el producto tiene un 15 % de descuento, es decir: i = Valor futuro - 1 Valor presente i=

1500 - 1 = 0 ,1 5 1304.3478

Pero bien puede observarse que el este descuento del 15% en realidad significa un ‘‘recargo*’ por pagar no en efectivo. Es decir una tasa vencida. El verdadero “descuento” por pago en efectivo fue de: d=

1- Valor presente Valor futuro

d=

1 - 1304.3478 = 0,1304 1500

Los $1500 tienen implícito una tasa del 15 % por no pagar en efectivo. Y el pago al contado llene un descuento implícito del 13.043%

Relaciones entre tasas Vencidas v Adelantadas De lo visto anteriormente podemos concluir que tanto para capitalizar como para descontar podemos utilizar indistintamente tasas vencidas o adelantadas. Por lo que es necesario encontrar una relación entre las tasas de interés y las tasas de descuento. Quizás el razonamiento más sencillo para relacionar las tasas vencidas con las adelantadas sea el siguiente: Gráficamente:

0

n

(14-i)

Capitalizo con tasa de interés.

1

Actualizo con tasa de interés.

(I+i)

(1-d)

1

Actualizo con tasa de descuento Capitalizo con taso de descuento

1 (1

45

Maiiuai de Calculo Financiero Operaciones Financieras’ Simples


Si partimos de un documento de $l y lo actualizamos a la lasa **d’*obtenemos su valor actual. Si luego, a ese valor actual lo capitalizamos con una tasa “i” deberíamos llegar al valor inicial de $J en caso que las tasas “i” y “d” sean equivalentes. Que sean equivalentes significa que la lasa *‘i” agregue la misma cantidad de intereses que la tasa “d” saco y viceversa. Es decir: l ( l - d ) (l+í) = l De esta igualdad podemos sacar la siguiente conclusión: P a c tS re s "d e c S i S i r z a é l ó n ^ ' ' F

"

"

1

( 1 + i )

( 1 + i ) J

( 1 - d )

O - d )

Si los factores de capitalización se igualan o se despeja la tasa vencida de la igualdad se obtiene 1 la siguiente equivalencia de tasas: (I+i)=_i_ (1-d) i = J _- 1 (I:d) *

: 1 - (1 -d) (1-d)

Si los factores de actualización se igualan o se despeja la lasa adelantada de la igualdad se obtiene la siguiente equivalencia de tasas: (1-<1) = _ I (1+i) d = 1 - J ___= 0+i)

(1+i)

Estas expresiones que encontramos nos permiten entender el mecanismo que los bancos utilizan para confeccionar sus pizarras bancaiias tanto paia capitalizar corno para descontar y las relaciones entre ellas.

Manual de Calculo Financiera Operaciones Financieras Simples

Descuento Simple y Cpinpncsio

pjemploi Se vende un bien con el siguiente detalle; precio de Usía: $100 (puede abonarse con laijeta) Contado: 10% de descuento ¿Cuál es el interés que terminamos pagando si no aprovechamos el ^scuento? Si pagamos al contado pagamos $90 (100- menos un diez por ciento), Y si lo comparamos con pagar en 30 días pagamos $100. El prestamista gana un rendimiento que es igual al descuento sobre la cantidad que efectivamente presta: Í30 = iOQ - 1=0,1111 90 Puede verse que si el prestamista invirtiera los $90 en el mercado al 10% obtendría un valor menor a $100: C„ = 9 0 ( U 0 ) = 99 Para obtener $ 100 debería invertir los $90 al 11,11% Si la operación la analizamos para $1, el valor a recibir hoy será de: V.A,= 1 (1-0,10) = 0,9 Y la ganancia del prestamista será de *30 = L (0.30)

Cü Í30 =

l-d30 Í30 = 0,1111

Manual tic Calculo Financiero Operaciones Financieras Simples


Descuento coninucsto El descuerno compuesto no es de gran uiilización en la práctica. Los descuentos suelen hacerse una sola vez y por un solo periodo. En el descuento compuesto aplicamos el descuento sobre el valor final del dociimenlo, pero a diferencia del descuento comercial, el descuento de cada periodo se calcula sobre el valor actual al final del periodo anterior. El descuento del primer año se calcula sobre el capital nominal y por lo lamo los descuentos son variables y decrecientes al igual que los capitales que le dan origen. (Nótese que es lo inversamente estudiado para régimen de interés compuesto) Cuadro de marcha Periodo t 2 3

Valor Nominal 1 I-d (1 -d)^

n

(I-d)'"'

Descuento l*d (1 -d) ( I - el * (1 (l-d)'"'*(l

Valor Actual 1-d (l-d)-(l-d).d =(l-d)2 (1 'd)2-(J -d)2.d = (] - ó y ( l - d r ^ - ( l - d r ‘ .d = ( l - d ) "

Generalizando para $VN: Valor actual: VA = VN(1 -d)"

Análisis de la función (1 ■d)” en función dcI niazo F(n) = (l -d)" f'(n) = (1 - d)" In (1-d) V n>0 r(n) es negativa entonces f (n) es decreciente. P " (n) = (1- d ) " [In (1- d)]^ V n>0 r"(n) es positiva entonces f (n) es cóncava VA

n

(1-d)"

0 J oo

1 (l*d) 0

Manual de Calculo Financiero Operaciones Financieros Simples


EJEMPLOS PRACTICOS Ejercicio 1 . Una empresa debe pagar un documento de $ 100000 dentro de 4 meses. Por razones de necesidad de fondos no podrá levantar dicho documento; por lo tanto, solicita reemplazarlo por . 3 del mismo valor nominal a 3 ,6 y 9 meses respectivamente. La tasa de la operación es del 2% mensual de descuento compuesto. Hallar el importe de cada documento. V.A. = 100000 (1-0,02)'* = 92236,81 92236,81= VN (1-0,02)’ + VN(l-0,02)* + VN(l-0,02)’

'

92236,81 = VN [(1-0,02)’ + VN(1 -0,02)* + VN(1 -0,02)’ ] VN= 34667,96 Ejercicio 2 Un documento de $34000 es descontado 55 días antes de que venza con la modalidad de descuento comercial. La tasa anual aplicada es del 10 efectivo anual. Cíilcula el valor afectivamente recibido y el rendimiento del banco. ,VA = VN(l-d.n) VA = 34000 (L 0,1.55/365) VA =33487,67 Í55 = 34000,- 1 =0,015299 33487,67 Ejercicio 3 Se compra un pagare a un año de plazo de $ 70000 de valor nominal a una tasa semestral del 1% de descuento compuesto. Transcurridos 3 meses se vende aplicándose una tasa del 8% efectiva anual de descuento compuesto. ¿Cuál es la T.E.A.V. que rindió la operación? Valor de compra: V.A. = 70000 (1-0,07)^ = 60543 Valor de venia:

V.A. = 70000 (1-0,08)

= 65812,88

Plazo de la operación: 90 dias Rendimiento de la operación: ion= 65812.88 - 1 = 0.087043 60543 Í365= (1,087043)

- 1 = 0,4143

Ejercicio 4 a) Calcular la tasa de descuento equivalente anual a la tasa de interés del 5% anual, d = 0.05 = 0,047619 1,05 Comprobación: 1000 (1,05) (1- 0,047619) = 1000 b) Calcular la tasa de interés anual equivalente a la ta.sa de descuento anual del 6%. i = 0,06 = 0.0638297 1-0,06 Comprobación: 1000 (1-0,06) (1,0638297) = 1000 Líe. Clarisa A , Fregeiro

49


Equivalencia de tasas de descuento

Capítulo 10 «Equivalencia de tasas adelantadas^ En este capítulo se encontrara una expresión que nos permita entender el mecanismo que las entidades utilizan para confeccionar sus pizarras Anearías, Así como también, el modo de realizar comparaciones de operaciones de descuento.

Expresión general de equivalencia Al igual que para las operaciones vencidas, en las operaciones adelantadas, vimos que la tasa puede estar expresada para distintas unidades de tiempo, en función del plazo de la operación. Esto obliga a definir la tasa de descuento en relación a las operaciones en análisis. Y si además se pretende mantener el mismo precio se necesita establecer alguna relación'entre tasas de descuento expresadas para distintas unidades de tiempo Recordando oue en descuento compuesto: Descuento acumulado: D(o.n) = VN - VA D(o.„) = V N - V N ( l - d ) " D(0.n) = V N [ l - ( l - d ) " ] D(o.„) = f 1 - (i - d)"] f>(0.n) = d d = [l - ( í -d) "]

Suponiendo VN = $ 1 d = D(o,n) /VN

Permite encontrar tasas equivalentes

Generalizando esta expresión matemática para cualquier tasa y plazo, la misma representara una relación de equivalencia entre dos tasas de descuento referidas a distinto plazo. En las operaciones diarias el plazo mínimo es de un día se toma esta unidad de tiempo para redeflnir la formula general a cualquier cantidad de días. Expresión general para cualquier plazo: X = plazo incógnita y = plazo dato.

Esta formula permite encontrar tasas de descuento equivalentes. Que sean equivalentes implica mantener el costo implícito de la operación. Es decir, descontar un documento con tasas equivalente asegura obtener el mismo valor actual o efectivo del documento. También, al igual que la equivalencia de las tasa de interés, me permite comparar diferentes alternativas de descuento y poder establecer un orden de preferencia, aunque estén expresadas en diferentes unidades de tiempo.


50

MamittI üc Calculo Flmmcicro Operaciones Financiaras Simple»

F^tul valencia de taau» áte átm itM U i

Kaulvnlcncla de tasas aoHcado a Descuento Comouento Veamos el siguíenfe ejemplo: una empresa cuenta con un documento de $KXK)0 con vendniiemo en dos meses. Diclia empresa requerirti fondos dentro de un mes, por lo que decide colculnr cuanto seria ei monto a cobrar en caso de descontar el documento. Iâ tasa mensual aplicable es un 2%. VA= 10000(1 -0,02) VA = 9800 Por lo tanto, a la empresa se le entregara un nuevo certificado con un valor de $98(K) a cobrar dentro de un mes. Ahora, si la empresa, decide que el dinero lo necesita con mós anleríorídad aun, como ser hoy, el descuento se aplicara sobre el nuevo valor nominal a cobrar en un mes es decir $9800 V. A =9800(1-0.02) V.A = 9604

Guineamente: 0

30 días

60 días

L VA. = 9604 ^-------

V.A.= 9800

VN= 10000

La (asa efectiva bimestral de la operación o tasa única de de.scuento resulto de: 98íX)= 10000(1 1-9604/10000 = 0,0396 (lô= 3,96% El descuento absoluto fue se: (Ü.60) = 396 La tasa bimestral resulta un poco inferior a la tasa del 4% que se hubiera supuesto que perdería la empresa al descontar el documento en dos oportunidades cada una al 2%. Por lo que queda demostrado que el costo no es proporcional ni plazo, sino menos que proporcional. Esto se debe a que en Ja segunda actualización se tomo como valor nominal un valor que ya había sufrido un descuento y era menor por supuesto al inicial. Como se ve, es lo inverso a lo que ocurre en el interés compuesto, donde las tasas crecen más que proporcionairaente. Dicho costo resulta entonces equivalente al 2% mensual, ya que: VA = 10000 (1- 0,02) (1- 0,02) = 9604 VA = 10000 (1- 0.0396) = 9604 Esto demuestra que los siguientes factores de actualización son iguales, obtiene igual valor actual aplicado a cualquier valor nominal. (1-0,02) ^ = (1-0.0396) 1- (1- 0,02) ^ = 0,0396 (expresado en meses) 1- (1-0,02) = 0,0396 (expresado en días) equivalencia de lasas no tiene aplicación en Descuento Comercial, solo se puede ver cuando debemos comparar operaciones de diferente plazo y tasa queriendo establecer un orden de preferencia entre diferentes alternativas de descuento. Lie. Clarisa A . Fregeiro

51

Mailuai de Calculo Financiero Operaciones Financieras Simples


EJEMPLOS PRACTICOS Ejercicio 1 Un documento de $ 100000 con vencimiento dentro de 180 días se descuenta en un banco, obteniéndose la suma de $ 72540. Determine las siguientes tasas equivalentes: a) Tasa efectiva anual de descuento. b) Tasa de descuento para el subperíodo de 31 días. c ) Tasa de descuento nominal anual para 31 días. d) Tasa de interés nominal anual para el subperíodo de 31 días. a) Ría: Gráficamente:

0 VA = 72540

180 VN = 100000

d.wn= 1 0 0 0 0 0 -7 2 5 4 0 = 0,2746

100000 b) d 3 ,=

1 -(1 -0 ,2 7 4 6 )’ "'*® = 0,053788

c) f , 3 6 5 /3 i) = 0,053788*365/31 = 0,63331 d) i....= IOnOOO-72540 = 0,378549 72540 Í3, = (1,378549)’ '''*®-1 =0,0568458 i (365/31) = 0,0568458*365 /31 = 0,669313 Efercicio 2 Se requiere descontar un documento de $5000, 65 días antes de su vencimiento y se conocen las siguientes alternativas: • Tasa mensual de descuento comercial del 15% • Tasa mensual de descuento compuesto del 13% Se pide: Calcular la TEAA de cada alternativa. Como primer paso, para poder hallar el costo anual se debe encontrar la tasa del plazo de la operación. Siempre respetando el régimen, si se trata de descuento comercial la tasa del plazo será proporcional y si es descuento compuesto será equivalente: a) d(55 = 0,15 *65 /3 0 = 0,325 b) dfis = 1- (1- 0,13) ®’'*® = 0,260466 Una vez encontrado el costo efectivo de cada alternativa realizamos el pasaje a la TEAA. En este caso el pasaje se realiza por equivalencia independientemente del régimen del cual se partió, debido a que solo estamos realizando una comparación y por lo tanto buscando la tasa equivalente anual que mantenga el costo efectivo de cada alternativa. Solo la expresamos en otra unidad de tiempo para comparar. a) d365 = 1- (1- 0,325) = 0,8899 b) d365 = 1- ( l- 0,260466) = 0,81628 Como conclusión conviene descontar el documento con la segunda alternativa ya que tiene un costo financiero menor.


52

Manual (le Calculo Financiero Qpcractoncg PinanciOTaa Simples


jBisfíaciQ3 Se requiere la actualización de un documento a cobrar en 20 días: ¿A cuál entidad conviene llevar el documento? Entidad A: cobra el 16% TNAA para operaciones a 180 días. Entidad B: cobra el 15% TNAA para operaciones a 20 días. Entidad A: d ,» = 0.16 *180 /365 = 0,0789 Entidad B: dzo = 0.15 *20/365 ^ 0,008219 Como son tasas referidas a diferente plazo se hace imposible compararlas y poder tomar una decisión. Por lo tanto, debemos transformar la tasa efectiva semestral adelantada del 7.89% a una tasa efectiva para 2 0 días equivalente, es decir, que mantenga el costo financiero im plícito a la semestral. (Tomamos com o unidad de tiempo para comparar 20 días ya que es el plazo de la operación. Pero cabe aclarar, que se llegara a la misma conclusión ya sea se comparen cualquier unidad de tiempo, como ser meses, años, trimestres, etc.) El costo de la entidad A para operaciones a 20 días será de: Iljo = 1- (1 - 0,0789) = 0,00909 Ahora resta comparar y elegir la menor tasa por supuesto ya que el planteo se refiere al descuento de un documento (operación activa). Será menos oneroso descontar el documento en la entidad “B ”

Eíeicicio 4 Calcular la TAN con actualización cada 45 días equivalente a la tasa de interés del 16% anual con capitalización trimestral.

Incógnita: f (365/45)=? DatQ' 1(365/90) = 16% ¡w = 0 ,16*90 / 365 =0,039452 d9o = 0.039452 = 0,037954 1,039452 cl4s = J- ( I - 0,037954) = 0,01916 f (165/45) = 0,01916*365 /45 = 0,155413

Ejercicio 5 Hl día 6 de abril de 2009 una empresa necesita fondos y decide descontar un pagare que tiene en su cartera de acreedores por un valor de $10000 que vence el día 18 de ju lio de 2009. Recurre a la entidad especializada y se encuentra con las siguientes tasas nominales anuales adelantadas: Hasta 35 De 36 a 90 Dc 9) a 180 De 181 a 365

15% 18% 20% 22%

Lie. C larisa A . Fregeíro

53

Manual de Calculo Financiero Operaciones Financicms Simples

Hquivalencía de tasas de descuerno

De acuerdo al plazo de la operación que es de 103 días (comando desde el 6 de abril al 18 de julio), la tasa de relcrcncia a considerar es la del 20%. Para encontrar el costo rinanciero efectivo que la entidad me cobra por el descuento del documento, realizamos la proporción: diü^= 0,20 * 103 /365 = 0,056438 (costo rmaiiciero) V.A = i 0000 (1- 0,056438) = 9435,62 D (0,1U3) = 564,38 Gráficamente

0

Y.A= 9435,62

103 días V.N= 10000 1

Si el valor obtenido la empresa decidiera invertirlo al mismo plazo, ¿Cuál sería la lasa mínima aceptable para que sea indircrcnlc esperar y cobrar el pagare? Es decir, si en la operación de descuento se perdió $564,38 la empresa querrá recuperar esa perdida mediante la colocación del capital obtenido. Si se desea como mínimo una ganancia de $564,38 entonces: I ío.io.u = 564,38 564.38 = 9435,62* i 564.38 = 0,0598137 9435,62 La lasa efectiva vencida o de interés del 5,98137% para 103 días agrega el interés que la tasa adelantada o de descuento deJ 5,6438 % quitó. Podemos decir que son equivalentes, ya que recon'emos el eje de tiempo indislinlamenle con cualquiera y logramos iguales valores presentes o futuros. También se entiende que tiene igual rendimiento o costo implícito. Esto mismo se logra aplicando la igualdad antes encontrada: i= _d (1 -^) i =‘ 0.Q56438 = 0,059813 (J -0,056438)

Uc. Clarisa A. Fregeíro 54


Equivalencia de tatas de descuento

Ejemplo practico de la realidad La siguiente pizarra es una demostración de cómo se dan a conocer en la actualidad las diferentes rasas que se pagan y se cobran en las operaciones fínancieras. A contínuadón se expone el siguíeme cuadro que brinda informaddn sobre las tasa de interés que cobra y paga el Banco Nación Argentina. Nos servirá para interpretar las pizarras de los bancos. Tomemos como ejemplo operaciones a 30 días y analicemos la tasa efectiva anual de la operación

Tasa efectiva mensual de descuento comerdal: cbo = 0.0155

Comprobación: ¡30 = 0,09 *30/365 = 0,00739726 Í365 = (1+ 0,00739726) = 0,0938


55

Míinuai de Calculo Finunciero Operdciones Financieras Simples

Rendí alíenlo Rea]

Cauituio 11 “Operaciones finaiideras en un contexto lufladoiiario-» En t\s7t’ capiiulo se busca comprender i¡ue tas tasas hasta ahora estiuliadas no son el rejlejo del rendiniicnío que realmente ohienemos en ¡as operacionesJtnancieras. ya que estas, están injluenciadas por la existencia de injladón.

Efecto de la inflación en las operaciones financieras Hasta el niomenlo, trabajamos con operaciones financieras sin afeclarlas por la inflación, es decir, por el ■‘aumenio generalizado y soslenido del nivel general de precios”. Pero en la realidad, existe un viitculo eniie la Inílación y las operaciones Unancieras dado que un inversor cuando decide realizar una operación financiera lo hace pensando en la camidad o calidad de luenes o servicios que consumiera cuando finalice dicha operación. Entonces cobra importancia la variación en los precios de los bienes y servicios cuyo consumo se difiere esperando obtener una remabilidad, o cuyo consumo se anticipa en caso de tomar un préstamo. Por lo que. la existencia de inflación altera los términos y elementos de una operación financiera. Si hoy cuento con $1 )' lo invierto en un banco que me paga una tasa de interés del 20% anual. Al cabo de un año. se podría compair un 20% más de bienes. Esta ganancia, solo sería posible si la inflación durante ese año fuese cero. Es decir que los precios de los bienes y servicios se niíuitengan igual. Pero si por el mismo lapso de tiempo la inflación es del 10%), el 20%) que obtenemos del banco no representa el rendimiento real de la operación, ya que con ese dinero no aumentamos nuestro poder de compra un 20% ya que ios precios de los bienes y servicios aumentaron un 10%), Es decir, yo sigo ganado el 20% que el banco me paga, pero como los bienes aumentaron de precio no puedo comprar un 20% más de bienes. Rendimiento Aparente En todas las operaciones analizadas, las lasas efectivas que las entidades otorgan a sus clientes, no representan el verdadero rendimiento, no reflejaban el verdadero aumento del poder adquisitivo que el inversor tiene al terminar una operación. Asumiendo que dicha tasa efectiva es la “tasa aparente” , ya que su rendimiento e.s solo aparente cuando hay inflación, Y no es el reflejo del aumento del poder de compra del inversor. Es lo que aparentemente se gano, ya que no tiene en cuenta el efecto de la inflación. Es decir, sin considerar la posible de.svalorización de la moneda. Rendimiento Real Lo anterior obliga a calcular el “rendimiento real” de la operación. La tasa real es aquella que refleja la vaiiación del poder adquisitivo que se obtiene de una operación fínanciera. Separa el componente inflacionario que contiene la tasa aparente y de esta manera deja solo el componente de interés “puro”. Llamaremos lendiinienlo real al rendimiento depurado de inflación. La tasa real representa el incremento relativo del capital al finalizar el periodo correspondiente.


56

Mantíaí de Calculo Rnancicro ¿Operaciones Financieras Simples

V Rendimiento Real

Para poder dalcúlar la parte de inflación que contiene la tasa que el banco nos abona, pnmeranientc necesitamos un medio para mediar la inflación en un periodo determinado periodo que estará sujeto al plazo de ía operación en análisis., Tasa dé Inflación

;

La ‘Tasa de inflación” de un periodo determinado es el incremento relativo de un índice apropiado para medir el nivel de precios. Dicho índice es el índice de precios al consumidor. Los índices de precios muestran el porcentaje de variación en el precio de un bien en un periodo dado, con respecto al precio de ese bien en una fecha base. Estos índices son confeccionados estadísticamente basándose en los precios de una canasta de bienes y servicios representativos de las necesidades de un sector. Entonces* calculamos la tasa que refleje la evolución de los precios. A esta tasa la llamaremos alfa solo a efectos de diferenciarla de la tasa aparente y de la tasa real, pero no es otra cosa que una tasa efectiva. La tasa de inflación resulta: Donde: Oq tasa de inflación IPC« índice de precios al consumidor al momento de finalizada la operación IPQ) s índice de precios al consumidor al momento de iniciada ía operación

La ecuación de A rbítrale de Fisher. Relación entre tasa aparente, inflación v tasa real Una vez obtenida la tasa de inflación, se observa que la tasa aparente quedara conformada una parte por la tasa real y otra parte por la tasa de inflación. El economista Irving H sher estudio la relación entre la tasa aparente, la inflación y la tasa real y obtuvo la siguiente ecuación de arbitraje para obtener la tasa real a partir de la tasa aparente y la inflación.

Esto muestra que al capitalizar con el factor de capitalización ofrecido por el banco, lo que verdaderamente estamos haciendo es agregando valor al capital inicial, pero parle de ese valor la inflación lo diluye, se pierde. Para calcular el rendimiento real, con un simple pasaje de términos se obtiene que:

Volviendo al ejemplo, si el banco nos abona el 20% y la inflación del periodo fue del 10%, el rendimiento real resulta de; ir = L 2 - 1 -0 ,0 9 0 9 1,10

Lie. Clarisa A . Fregeíro

Miimial de C'iilculo l'itimiciero 0|^ntciüik\s Rjiumcirrus Simples

Rendimiento Real

líl itMuliiniciUo rciil es ahora d 9»0^^% ya que después de lu inflación del 10% solamente se IHuirtl mti|(iiríi d 9,09% m¿i.s tic bienes que antes (momento cero). lín este caso ct)mo la lasa de interés aparente es mayor a la tasa de inflación, el rendimiento rc¿d ha dado positivo, |)cro la tasa real puede ser positiva, negativa o neutra según |a tasa apaicnte sea mayor, menor o igual a la lasa de inflación. Por ejemplo sí la tasa de inflación luibieia sido J d 30%. la tasa real habría dado negativa del 7,69% Piietic MRvder lo .siguiente:

•

Si ia > a tMilonccs ¡i > 0. Si la tasa de rendimiento real resulta positiva, significa que el poder ailtimsiiivo dd monto es mayor al poder adquisitivo del dinero invertido.

•

Si la < a entonces ir < 0. Si resultara negativa la tasa real el poder adquisitivo del momo es inofior al poder iKiqiiísitivo dd capital invertido. Este caso es lo que sucede en la realidad actual, doiule las lasas que abonan los bancos no llegan a cubrir el incremento de precios

•

Si ia = a entonces ir = 0. Si la tasa real resultara nula quiere decir que el poder adquisitivo dd dinero invenido es igual al poder adquisitivo del dinero obtenido en concepto de monto. Al iin crtii d dinero en el banco lo único que logre es “proteger’* al dinero de la inflación. No gane ni perdí poder adquisitivo.

Cabe mencionar que si esliuiios refiriéndonos a una operación activa, es decir, el banco otorga dinero mcilianie iin préstamo por ejemplo, la situación seria distinta. Al momento de devolver d dinero que inicialmenle la institución presta, el aumento de precios a lo largo del periodo hace (|uc la suma sea poco representativa de la realidad económica. De ahí que los bancos suden otorgar préstamos con “tasa variable’’ a efectos de cubrirse de futuros aumentos de precios.

de. Clarisa A. Pregeiro

5*S

Manual de Calculo Financiero Qperad^ffles Financieras Simples

Rendimienro Real

E íEM H jOS PRACTICOS

EjgrsjcjQ 1, Durante el segundo semestre del año se pronostica una inflación del 15%. S i quiero ganar un 10% de interés ¿A cuánto debo colocar el dinero? Rta; I+ia « (I+ir) (1+a)

ia = = (U 0 )(U 5 )-l= 0 ,2 6 5 Ejercicio 2 Calcular el rendimiento anual de una inversión que se colocó al 7%, suponiendo una tasa de inflación del 5%, 7% y del 10%. Rta: I+ía = (l+ir)(l+a)

l+ia -1 = ir (1+a) L07 > 1= 0.019047 1,05

L 0 2 * l= 0

1.07

1,07

1,10

0.02727

êrcicio 3 Se recibe un préstamo al 4,2 % mensual. Si la inflación anual es del 62 %, ¿qué tasa anual podría abonarse por un crédito con reajuste? Rta: la = 0,042 mensual a = 0,62 anual ÍJ6S = (1+0,042)’® ^ - ! = 0,649645 1+ia -1 = ir U + a) 1 + 0649645 - 1 = 0,01829958 1+0,62 Ejercicio 4 Se obtiene un préstamo a cancela dentro de un año, siendo la tasa activa anual dcl 58,72 %. El deudor solicita reemplazarlo por otro con reajuste al 5,8 % anual con capitalización bimestral. Determinar cuál deberá ser la tasa anual de inflación esperada. Rta: ia = 0,5872 ir = J(365/60) = 0,058 iéo = 0,058*60/365 = 0,009534 Í3M= (1+0,009534)“ ^'*®-!= 0,0594223 1+ia -1 = a 1+ ir 1+0.5872 -1 = 0 ,4 9 8 1 7 4 1+0,122378


59

Manual de Calculo l‘inuucicfn (^pcracioncs Hiumcicias SímpIcH

Uefiditn^^nio n,

CER (coellciciiíc de ystiil>llly.»dOn de rcft-rciiclti) Aplicable desde el I de febrero de 2002 (base -s | ) La base del coericienic es In variación del I0(' ((ndíer j ,.j Banco Central, en tablas días |)üi días Ll Cf£K se consliuirá mcdianlc el sígui^’tde cíiicnlo: a d < ,« r /( i { R M Siendo

CLK, = el valor dcl cocíiciente el día I t|iie (|!icreinos cniculai, CLRt.j = el valor que lendríí el coclícieiitc cl día anterior al día del calculm F, = factor diario de actuaii/.ación. M c to d o lo íiia cJe c á ln ilo cid iiid in id o r d h u io Para la confección dcl C’HK cl Banco (Jeiilral considera (jue d mes cnipíe/a el día 7 de cadu mes. Esto es debido al momento en (|ue redije la ínforinacíón dcl INDliC y el tiempo que requiere para cl armado dcl coeficiente. Para la construcción del CER, .se divide al mes en dos (jarles: • Para los días comprendidos entre cl primero de cada mes y el 6 dcl mismo, se ciriplcaríü lu tasa media geométrica calculada sobre la variación dcl IP(,' enlie el segundo y el tercer mes anterior al mes en curso. Es decir, se loma la inflación de dos mcse.s anteriores al mes cu curso. El CER para los días comprendidos enlie el (jumero de cada mes y el 6 del mismo se actualizará de acuerdo al factor diario (f t) determinado como el siguiente: Fi=(ÍÍPC)l-2/(lPC)f-3)l/k •

Para los días comprendidos enlie cl 7 y cl iiliiim) día de cada mes el C’ocficíenle de Estabilización de Referencia (CER) se conslmirá en base a la lasa media geométrica calculada .sobre la variación del Indice de Precios al ('‘o/isumidor (ll*C) del mes anterior. Fl=((ÍPC>I/(ÍPC)l-2)l/k

Siendo: F = Factor diario de actualización del Cocficieíjtc de fisiabilizacíón de Referencia (C'EK). k = número de días correspondiente al mes en cnr.so. t = mes en curso. (IPC)l-l = Valor del Indice de Precios al ( ‘onsiimidor en cl mes anieiíor a aquél en que se determina cl CEK. (lPC)l-2 =: Valoi del Indice de Prccío.s al Consumidoi dos meses íuilcs a aíjiicl en que se determina el CER. nPCg-3 = Valor dcl Indice de f*rccíos al Cíjrisumidor tres mc.ses antes a aquél en que se determina cl CER.

Lie. Clarisa A. Ficgeíro

bO

Manual de Calculo Financiero Operaciones Financieras Sintples

Rendí miento Real

Ejemplo: calcular el CER del día 3-ID-04 CER 3-,o = 1,5204 ♦F,o

F,o = fIPC,/ÍPC7l Fiü = [148.51/ 1481

1,{)00111

CER 3.,o = 1.5204 • 1.0001 11 =■l,SJ«5

Ejemplo: calcular el CER del día 23-10-04 CER 23-10 = 1,5260 ♦Fio

F,o= (IPC9/ íPC*] F io =

I/3 I 1/31

[149,45/148,51] " ’ = 1,0002036

CER 33-10 = 1,5260 ♦ 1,0002036 = 1.5263

Cálculo del índice C.E.R. Dada una labia del C.E.R, cuando se procede a computar el ajuste entre dos fechas (entre s y s+r) el fiictor a aplicar surge del cociente entre el coeficiente del día de actualización (s+r) y el coeficiente del día de inicio (s). S = fecha base S+r =fecha de ajuste CER (s+r)

Variación del índice CER =

CER s

Ejemplo: calcular la variación del CER entre el 14-11-04 y 23-1-05. Var% i=CER s+ r/C E R s Var % = CER 23-1-05 / CER 14-11-04 Var % = 1,5438/1,5323 = 1,0075

|

Depósitos a plazo filo ajustados por C.E,R. £1 capital será ajustado automáticamente por la variación del índice CER desde la fecha de imposición hasta el día anterior al vencimiento de su plazo y luego al capital ajustado se le calculan los intereses por el periodo correspondiente. La diferencia de este plazo fijo con uno tradicional es que el capital original se ajusta al vencimiento con el coeficiente de estabilización de referencia (CER) y los intereses se aplican sobre el capital ajustado. El plazo mínimo actual es de 365 días. Esta opción ha sido diseñada para clientes que deseen obtener una mayor rentabilidad en plazos más largos. Permite preservar los ahorros del efecto de la inflación y obtener una mayor rentabilidad en términos reales. C„ = (C„ ♦ Var % CER] (1+ i„) C„ = fCo ♦ CER día anterior al vtol (1+ !„) CER día deposito


61

iVianual de CaicuJo Financiero Operaciones Financieras Complejas

Rentas, Introducciófi

Capítulo 12 -Operaciones Financieras Complejas» Rentas Muchas son las slíuadones en que nos encontramos con inversiones o financiaciones que involucran, ¡ \en lugar de un capital, una sucesión de capitales en el tiempo, y no por eso dejan de ser operaciones j financieras. Por eso en este capitulo estudiaremos el concepto de flujo de fondos que originan una j renta, 1

Introducción En los capítulos anteriores esiucliajTios las operaciones financieras que utilizan las entidades para inlenncdíár el flujo de dinero entre las partes demandantes de capital y las oferentes. Dichas operaciones pueden ser pasivas o activas .según el caso y estaban relerídas a un solo capital, ya sea para invertir o para financiar. Sin perder de vista el esquema de inversión/financiación, en este capitulo se estudiara otro tipo de operaciones ñnancieras que reciben el nombre de complejas, no por ser complicadas, sino porque se refieren a varios capitales valuándose en el tiempo. En la colidianeídad, estas operaciones financieras se visualizan, por ejemplo, en la ^Voiucíon de .uh ^ ÓéTXirí alquile^, ei pagó 'deâ cuota de tmjco cónslituir un fondo deiihotro, ^ .

Rentas Temporarias Una rema puede definirse como una sucesión de pagos consecutivos. Es una multiplicidad de operaciones financieras simples que se producen en inlen'alos de tiempo equidistantes, De esta definición pueden extraerse los elementos que conforman una renta: periodo, cuotas y plazo. El concepio de período surge de la multiplicidad de ios depósitos y de su caj'aclerístíca de ser equidistantes. El periodo es el intervalo de tiempo que medía entre los pagos que confonnan la sucesión. Pueden ser meses, irimesires, años, etc. los pagos o términos que conforman esta corriente de pagos los llamaremos cuotas. Y llamaremos duración o plazo al número de cuotas efectuadas. Aclaremos que la comente de pagos puede ser finita o infinita. Debido a que los flujos se producen en diferente momento, son de distinto valor en términos presentes. Si por ejemplo tenemos cuatro pagos de $100, sería un error sumarlos ya que se producen en diferente tiempo y como ya mencionamos, el tiempo tiene valor. Valuar una renta es un proceso matemático que permite determinar el valor de la comente de pagos en un momento determinado. Es esencial saber trasladarse en el eje de tiempo. 0

oo

n

n-1

i Pero para valuar una lenta es importante determinar el objetivo por ei cual se realiza el ílujo de fondos. Siempre volviendo a nuestro esquema conceptual inicial, esta sucesión de pagos puede realizarse por dos motivos diferentes; ya sea por financiación o por inversión.

Lie, Clarisa A. Fregeíro

62

Manual
Arnoftizaición. Valor AciuiiJ

-ValorActualNos ubtcanios en la parte tomadora dt fondos que necesita fiiuincíarsc, por lo que representa una operación activa. El objetivo de h corriente de pagos es devolver dinero. Esta sucesión e.xiste pora hacer frente a una obliga
Lie. Clari.^ A. Fregeiro

63

Manual de Calculo Financiero Operaciones Financieras Complejas

Amortización. Valor Actúa)

Rentas Temporarias de pagos Constantes. Iî principal clasificación de una amortización de pagos constantes, radica en el comienzo de los pagos. Es decir, cuando se realiza el primer pago de la renta y la distancia con respecto a la valuación de la misma. Anteriormente nombramos que dicha renta puede ser: vencida, adelantada o diferida

Renta inmediata con pagos vencidos fin esta oportunidad, vamos a trabajar solo con rentas ciertas. Empezaremos con las rentas temporales de pagos constantes por ser la base de cualquier renta y por lo tanto, por su mayor aplicación practica en la realidad. Las rentas variables y las rentas perpetuas las estudiaremos en capítulos siguientes. Anteriormente dijimos que dicha renta se la considera como la renta madre, por lo cual es fundamental .su deducción, para que, a partir de ella .se puedan comprender el resto de las rentas. Para encontrar la expresión final partimos del eje de tiempo para visualizar el momento de inicio de los pagos y el momento de valuación de los mismos. En esc caso se puede observar que el inicio de los pagos se produce al final del primer periodo, (le ahí su nombre de vencida. Gráficamente:

0

S = V + V2+ Vj+.........................

S = ( l + i ) ' +íl+i)'^ + (l+ i)-’ +.

•V„ (1+i)'

La anterior Sumatoria representa una progresión geométrica decreciente de razón (1+i)''. .Se resuelve: S = a, l-q .S=(l+i)' l-n+iV" l-(l+ i)'

-le. Clarisa A. Fregeiro

Siendo ai = primer termino de la Sumatoria q = progresión en que decrecen las cuotas = (1+i)''

MaotiaJ de Calculo Fiiuuiaefo Qpcracáones Biianctefas Complejas

Amoftiwidii. Valor Actual

Se pueden despejar de dos manenis que lestiUaran equivalentes:

1

1} S =( J + i ) '

u h m

H

U 1 (l+ i) S= (I+i)**

Haciendo resta de fracciones y SiiiqiUficaiido:

flHhi)" A

ü ± ÍL d

(l+i) s= ii± ü L ii (l+i)" ♦ i

2)

S = (l+ i)‘* lzJI± iI"

Resta de fracciones en el denominador:

1

l+ i s=(i+í)'

i>q+iv”

Siinpiifícando:

(1+0-1 (l+ i)

S= 1- (1+0*" (í+i)-l

Simplificando:

S= 1- ( 1 + ir i

Utílízaiemos esta última expresión en el resto de este cuadernillo por ser de más práctico uso. Esui expresión es el factor de Actualización de capitales múltiples para cuotas unitarias vencidas, cuya simbología es 3 (1» n, i). Este factor de actualización saca interés a varios capitales a la vez, obteniendo de cada uno de ellos la parte destinada a cancelar capital.

L»c, Clarisa A. Fregeiro

65


Amortización. Valor Actual

Simbología: El primer campo de la notación nctuarial representa la distancia entre la primera cuota y la valuación de la corriente de pagos, o dicho de otro modo, el periodo en que se abona la primera cuota. Al ser vencida se refleja con un 1. I ___ El segundo lugar hace referencia a la cantidad de cuotas que se abonaran para I I ^ cancelar la deuda. Es importante, en lo referido a rentas, no confundir la cantidad 2. (1 ,n ,¡ ) rie cuotas con el numero de periodos, ya que pueden coincidir como no. En el caso de vencida coincide, es decir, la cuota numero uno esta ubicafia en el periodo 1, la cuota numero 2 esta ubicada en el periodo numero 2, etc

i

El tercer campo es el costo financiero representado por la lasa de interés activa que se cobra en la financiación. Generalizando para cuotas de $C: V (l,n ,¡ ) =C. 1- (_l+i) i

-n

V(I,n,i) = C. a(l,n,i) Lo más importante para destacar es que dicho factor de actualización, como se aprecia en e! gráfico, actualiza todas las cuotas un periodo antes de la prim era cuota. Además, para poder realizar la valuación, es necesario que todos los elementos que intervienen en la formula estén en la misma unidad de tiempo. Y la unidad de tiempo a respetar es la de la cuota.

Renta inmediata con pagos adelantados El primer pago se produce al inicio de la fecha de valuación. Gráficamente: 0

1

n-1 __

1

.n-l S =1+ V + V2 + Vi+.......................... S = 1+ (J-i-i) ■' + (1+Í)'" + (1+i) +,


(l+¡)

-u-l

66

Mjiflual de Calculo Financiero Operaciones Fiíiancienm Complejas

Afnoftizacidn. Valor Actual

AI igual que para pagos vencidos, la Sumatoria representa una progresión geométrica decreciente de razón (1+i)** ge resuelve: S = ai h q°

Siendo ai = primer termino de la Sumatoria^ 1

i- q

q = progresión en que decrecen las cuotas = (1+i)**

S= I 1- (l+i)~" I-(l+i)‘*

Se simplifica el 1

S= JL Ii+ il" 1- J — 1+ i

Resta de fracciones en el denominador:

i- g + ir " i\± ú : l (1+i)

Símpiiñeando:

S= l-(l+iV" (I+ i)-l

(1+i)

S= J-n+iV" i

(1+i)

Simplificando:

Esta expresión es el factor de Actualización de capitales múltiples para cuotas unitarias adelantadas,*cuya simbología es fl (0, n, i).

i a(0,n j ) = i - q + i r _ _ (i+i)

' íc. Clarisa A . F regeiro

67



Simbologfa! El primer campo de la notación actuarial representa la distancia entre la primera cuota y la valuación de la corriente de pagos, que al ser adelantada se refleja con un 0.

Í

El segundo lugar hace referencia a la cantidad de cuotas que se abonaran para I cancelar la deuda. Es importante, en lo referido rentas, no confundir la cantid el ÍO, n ,i ) de cuotas con el numero de periodos, ya que pueden no coincidir. En el caso de adelantada no coincide, es decir, la cuota numero uno esta en el periodo 0, la cuota numero dos esta ubicada en el periodo numero 1, etc

Í

El tercer campo es el costo financiero representado por la tasa de interés activa que se cobra en la financiación, ■ -n Generalizando para cuotas de $C: Vffl.n.i) , = C. l - ( l + i ) (l-t-O i V —

^

V (0, n ,i) = C. a (0, n ,i) Entonces: a (0, n, i) = a (1, n, i) (1+i)

Lo más importante para destacar es que dicho factor de actualización, actualiza todas las cuotas al momento que se abona la prim era cuota, debido que capitaliza un periodo al factor de actualización de pagos vencidos. Recordemos que cuando los pagos son vencidos la actualización se produce un periodo antes de la primera cuota. Aquí, puede observarse, que la valuación de una renta adelantada se obtiene mediante una corrección de la renta vencida.

Calculo de los intereses pagados en la financiación Al devolver un capital a través de cuotas, vimos que cada uno de estos pagos contiene un porcentaje de interés que esta implícito. Indistintamente se trate de pagos vencido o adelantados, la suma de todos esos intereses dará como resultado el interés total abonado en la financiación. Para obtener ese valor: 1 ío,n) = C*n -V (l,n,¡)


68

Manual de Calculo FinanciciO Operqidones FInancicfaa Complejás


Renta Diferida Dijimos anterionnente que lo contrarío a una renta inmediata es una renta diferida, debido a que el inicio de los pagos no coincide con la época de valuación de los mismos. Estos se inician después de la valuación. Entonces, la fecha de valuación es con anleríorídad a la fecha de inicio de los pagos. Siempre que el primer pago se efectué en periodos posteriores al primer período será una renta diferida. Recordemos que si el primer pago se produce dentro del primer período es inmediata y que a su vez esta podía ser vencida o adelantada, según si el primer pago esta al final o al inicio del primer periodo. Para la resolución llamaremos “h** al período en donde se produce el primer pago, es decir *‘h” será la distancia entre el primer pago y la valuación. Para encontrar una expresión que permita su calculo partimos siempre de la formula madre, es decir, la renta imnediala vencida. Al aplicarla, las cuotas quedan valuadas un periodo antes de la primera cuota, por lo que debemos corregirla para llegar a la época de valuación, es decir, el periodo ‘‘O” Para plasmar lo anterior en una formula genérica, el factor de actualización para cuotas unitarias diferidas será:

a(h,n,i) = aa.n .i)(l+ i)-''* ' a (h, II .i) = t-g + iv ”

>

i Simbología: El primer campo de la simbología representa la distancia que media entre el momento de valuación y el momento de origen de los pagos. Es el periodo que se abona la primera cuota. __ ^ El segundo lugar hace referencia a la cantidad de cuotas que se abonaran para I^ cancelar la deuda. Es importante, en lo referido rentas, no confundir la cantidad el (h, n ,i ) de cuotas con el numero de períodos, ya que pueden no coincidir.

i

'

El lercer campo es el costo fínanciero representado por la tasa de interés activa que se cobra en la financiación. Generalizando para cuotas de $C: v(h.n,i) = c . 1 - n n - i r ” (i+i)-"” ''

V (h,n ,í) = C.

a (Ii, n ,i)

Clarisa A. Fregeiro

69

Muium) de Calculo Financiero Operaciones Financieras Complejas


Muchas son las situaciones en que se puede apreciar: Ejemplo: Nos otorgan un préstamo hoy y la primer cuota se abona a los 90 días de otorgado el préstamo. Este tipo de situaciones se ve con el nombre de “periodo de gracia”. También en la compra de un electrodoméstico se nos suele ofrecer; “compre hoy y pague la primer cuota en 90 días”. Cualquiera de los dos ejemplos, si los visualizamos en el eje de tiempo, el valor de “h” es 3. Para ejemplificar tomaremos cuatro cuotas de $100. M5ifl5nto bcvK lu» 0

Momento de origen de los pagos

1

Too lóo lóo lóo (1+i) -2 Para encontrar una expresión que permita su calculo partimos siempre de la formula madre, es decir, la renta inmediata vencida. Al aplicarla, las cuotas quedan valuadas un periodo antes de la primera cuota, esto es. en el periodo dos. Este valor no representa el valor de las cuotas en el periodo cero, entonces debemos actualizar dicho valor por la cantidad de periodos que faltan para llegar al “0”. Para obtenerlo podemos actualizarlo con el factor de actualización de capital simple (1+i) V o = l-(l+i)-^ (1+i) ■“

Nótese que son cuatro cuotas que luego se las actualizan dos periodos. Es importante ver la diferencia de cuando se trata de periodos y cuando de cantidad de cuotas. Siempre que nos refiramos a una renta se trata de cantidad de cuotas que conforman la renta y al tratarse de capitalización o actualización de un solo capital se trata de periodos de tiempo. A la distancia que media entre el momento de valuación y el momento de origen de los pagos la habíamos llamado “h”. Por lo que en el ejemplo h vale 3.


70

Mamuü ite Calculo Fínaiicicro íTperadooes Baaticieras Complejas


EJEMPLOS PRACTICOS Y APLICACIÓN DEL EXCEL Eicrcicio 1 financia la compra de un bien debiendo pagar 5 cuota iguales jpcnsuales y consecutivas de $4(X) a una tasa del 1% efectiva mensual. Calcular el valor al colado del bien. V. A. = C.

(H-í) i

V.A. =400. L_Ü±Q£U"’ 0,01

V.A. =1941,37

Resuelto nor Excel: Ir a fx (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: VA (Valor Actual) Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio: Argumentos de la Función Tasa = 1% Nper = 5 Pago = -400 VF = omitir Tipo = 0 V4 =

$ 1.941,37

“Pago" se refiere a las cuotas. El valor es de $400. Recordemos que el valor de las cuotas hay que ponerlo con signo negativo ya que par el inversor representa un egreso de capital. El plazo de la operación esta dado por '*Nper'* = numero de periodos, que en este caso es 5. En “tipo'* corresponde al momento donde se abonan las cuotas, es decir si es vencida o adelantada. En este caso ponemos 0 ya que es vencida. Debajo de la ventana puede observarse el resultado del monto o valor actual calculado. A duradón: esta fu n d ó n puede usarse cuando las cuotas son todas ¡guales, la tasa no varía y esta corresponde al mismo periodo de las cuotas Eiercicio 2 Se desea cancelar $5000 en 5 cuotas mensuales. Sabiendo que la tasa de financiación es del TEM =1%, ¿cual es la cuota mensual a abonar? V. A. = C l > n + i ) i = C l-(l.Ol)' ^ 0,01

c = 1030,20 Lie. Clai'isa A . Fregeiro

71



Resuelto por Excel; Ir a fx (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: PAGO Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan lodos los valores del ejercicio: Argumentos de la Función Tasa= 0,01 Nper = 5 VA = 5000 VF = omitir Tlpo= 0 PAGO- $-1.030,20

Ejercicio 3 Para calcular la cantidad de cuotas se utiliza la función NPER. Tomemos el ejemplo anterior y averigüemos la cantidad de cuotas mensuales de $1030,2 a abonar para devolver $5000 al 1% mensual de interés

Argumentos de la Función Tasa= 0,01 Pago= -1030,2 5000 VA = omitir VF = 0 Tipo= NPER =

Meses

Ejercicio 4 Se compra una propiedad en $150000 y se abona el 20% al contado y el resto en 36 cuotas vencidas y mensuales que devengan un interés del 12% anual con capitalización mensual. Calcular el valor de las cuotas. Rta: Como primer paso hay que trasformar la tasa en efectiva: Í30 = 0,12* 30/365 = 0,009863 V(l,n,i) = C a d . n . i ) V (1JL¿) = C. a (l,n ,i) VfJ.n , ¡ ) * a ‘ ' (l,n ,i) = C 120000 » 0.009863 = 3976,3 ,-36 1-(1,009863)'


72

Mamuti de Calculo HumciBfO Opcfaeíoties Pinanckmi CoBudijM

Amúftiziicidii. Valor Actual

RiefCirioS ¿Cuál es el valor actual de una renta de $1000 paîdenM dunnie 30 meses ai ca los primeros JO meses se cott^Nitaroo uitereses del 4% mensual y lu e ^ cada 10 meses se rel>aja la tasa en fliedío punto? Ría: Formula a utilizan V (Im 4) C. 0 (1 ^ j ) lisie ejercicio presenta cambio de condiciones, como ser la *««« de interés. V (l.n . i ) = 1000 3(1.10,0,04)+1000 s « ,!0 .0 4 )3 S )(IW " r -1000 a d .ia 0 4 B )(lfl3 3 )'* (1,04)“ V (1.304) = 1 7 * 1 4 ^ *

Ejercicio 6 Una huerta valuada en $15000 es vendida con $5000 de cuota iniciaL El comprador acuerda pagar el saldo con intereses al 5% anual con capitalización semestral, mediante 10 pagos semestrales iguales de X cAi. el primero con vencimiento dentro de 4 años. Hallar el valor de las cuotas. Formula a utilizan V(h,n.¡)

C liX ltir i

.(1+0

Las cuotas son semestrales por lo que se requiere la tasa efectiva semestral. Además el periodo de diferimiento consiste en cuatro años que representan ocho semestres, por lo que la actualización será por siete semestres. 10000= C ld C L í2 4 6 5 íI? (1,02465)’ 0,02465 C = 1352,48

^

Clarisa A. Pregeíro

73


Amortizaciótu Valor Actual

Calculo del Costo Financiero «Tasa efectiva implícita en una financiaciónE1 elemento precio de una operación financiera, como vimos en la primer parte* era el elemento más importante. En una financiación la tasa de interés activa que el banco cobra representa como bien dijimos, el costo financiero de una operación. En operaciones financieras simples no existía ninguna complicación en la obtención. Surgía de la siguiente expresión: in = I (o,n) / Co En este tipo de operaciones complejas, la dificultad en su obtención radica en los múltiples capitales que involucra una renta: v(i,n,i)= = c . 1 - n + i r Existen diferentes maneras para el cálculo de la tasa de interés, como ser Método Baily, iteración, tablas financieras, interpolación, etc. Nosotros usaremos las tablas financieras con la ayuda del método de interpolación lineal para lograr una mayor exactitud. Luego se estudiara su obtención mediante el Excel. • Para facilitar la comprensión lo veremos aplicado a un ejemplo Ejercicio de aplicación: Se compra un auto usado en la suma de $4000, se realiza un pago al contado de $1000 y el resto la concesionaria lo financia en un año y medio en cuotas mensuales, iguales y consecutivas. Calcule el costo financiero mensual de dicha financiación. Resolución: 4000 = 300 a (1,18,i) 4000 = a (1,18,i) 300 13,3333 = a (1,18,i) En la tabla financiera numero 4 esta resuelto el factor de actualización de capitales múltiples a(l,n,i) para cualquier cantidad de cuotas y tasa de interés. Por lo que solo debemos buscar en la tabla que tasa de interés para 18 cuotas arroja un factor de actualización de 13,33. Como se observa, no hay una tasa para dicho factor, pero la tenemos acolada entre dos valores. La tasa buscada esta se encuentra entre el 3,25% y el 3,5%. Será entre estos dos valor que realizamos la interpolación lineal: 1

13,4672. 13,33 _ 13,1896

0,0325 .X , 0,035

Se puede observar la relación inversa entre la tasa y el valor actual. Ya que a mayor tasa de descuento de las cuotas, menor valor actual de las mismas quedara. 13.4672- 13.3:^ * (0,035 - 0,0325) + 0,0325 = x 1 3 .4672- 13,1846 0,0337= X Lie. Clarisa A. Fregeiro

74

Manuiit de Calculo Financiero Operaciones Financieras Complejas_________

Amortización. Valor Actu^

AnálisisdeFm=;an.n.n El am'ilisis del factor de aciualizactón a (l.n. i) en función de la tasa de interés nos dice que se iraia de una función decreciente y cóncava:

F(i) = a(l,n, i) = Z(l+i)** t*l i-i t=l

F '(0=2: -t-1 (1+i) 1=1

V i > 0 =^F'(i)< 0 => F(i) es decreciente.

V i > 0 =>F"(i) >0

F(i) es cóncava

La inlerpolación, al ser lineal, no tiene en cuanta la concavidad de la función, arrojando un error por exceso. £1 tamaño de este error dependerá de que tan acotada tenga la tasa de interés al ’ealizar la interpolación lineal. Continuando con el ejemplo anterior, dicho error se observa en el siguiente gráfico:

Verdadero costo financiero i = 0,03368 La tasa del 3,37% es solamente una aproximación de la tasa de interés verdadera. Ya que interpolando se obtiene un valor que se ubica en la línea recta y no sobre la función que en realidad es la curva. La diferencia no es muy grande cuanto mas acotada se tenga a la tasa en la interpolación. Por lo que es un método frecuentemente utilizado sin recurrir a herramientas mas sofisticadas como el Excel o calculadoras financieras, ya que en la cotidianeidad de las operaciones, para poder encontrar esta tasa implícita se utilizan dichos métodos.

Lic\ Clansa A. Fregeiro

75

Manual tle Calculo Financiero 0|HTacioncs Financieras Complejas


Apiicación dcl Excel para encontrar la tasa Tomando d mismo ejemplo: Se compra un auto usado en la suma de $4(X)0, se realiza un pago al contado de $1000 y el resto la concesionaria lo financia en un año y medio en cuotas mensuales, iguales y consecutivas. Calcule el costo financiero mensual de dicha financiación. Ir a í'x (funciones) Categoría: FÍNANCIKRAS Seleccionar: TASA Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio: Argumentos de la Función Npet = 18 Pago= -300 4000 VA = Omitir VF = 0 Tipo= TASA=

3,37%

-ic. Clarisa A. Fregeiro 76

Müttuál de Calculo Fiíiancie^^ Opefadonés Financieras Cómplejas

imposiciones. Valor Hnaí

Valor Final Ñas ubicamos en la parte colocadora de fondos, por lo que reprasenta una operación pasiva. El objetivo de la comente dé pagos es uinlar dinero, es decir, ihacer un ahorro, una inversión Recilie cí nombre de Iinposicióii. Son imposiciones todos los pagos eectuados para reunir una determinada suma de dinero

Este tipo de rentas, implica una capitalización de las cuotas para pr>dcr conocer su valor final, es decir, el valor de la cuota más el interés que se le incluyo por el paso del tiempo. Por lo tanto, la cuota a depositar no contiene interés, ya que el interés lo genera el paso del tiempo. La fecha de valuación se produce final de los pagos, momento donde se quiere reunir el dinero. Dé allí su nombre ‘-Valor final’** Siempre que hablamos de capitalización, hablamos, de agregar intereses a un número presente, en este caso dado por las múltiples cuotas. Representa el típico caso de un plan de ahorro con el objetivo de acumular una suma de dinero al fin de un periodo determinado, con un objetivo preciso, como puede ser la compra de un bien. Otro ejemplo podrían ser ios aportes que realizan los individuos en los fondos de pensión con el objetivo de acumular el capital que luego financiara su jubilación. Ciasificacióii La principal clasificación hace referencia al momento de finalización de los pagos: De dicha diferencia surge la siguiente clasificación: o Imposición Vencida: Si el momento de Valuación coincide con el momento en que se abona la última cuota recibe el nombre de valor final o imposición vencida. Es el caso más usual de los fondos de ahorro. o Imposición Adelantada: Si el momento de valuación se produce un período después de abonada ia última cuota, recibe el nombre de valor final adelantado, o Imposición Anticipada: Si el momento de valuación se produce varios periodos después de abonada la última cuota, recibe el nombre de renta anticipada. Vale aclarar que, muchos autores, denominan Rentas Anticipadas a todas las imposiciones, ya que todas anticipan sus pagos con respecto a la valuación. Para un mejor análisis en este trabajo usaremos a las anticipadas como la “contrapartida** de una renta de pagos diferidos. De esta manera podremos relacionar a las amortizaciones (valor actual) y a las imposiciones (valor final). Otra clasificación hace referencia a la cuantía de las cuotas: o Constantes; el valor de las cuotas es fijo. Siempre se deposita el mismo valor, o Variables: el valor de las cuotas puede variar en progresión aritmética o en progresión geométrica.


77


Imposiciones, Valor Final

Iniposición con pagos constantes La principal clasificación de una imposición de pagos constantes, radica en la finalización de los pagos. Es decir, cuando se realiza el último pago de lo renta y la distancia con respecto a la valuación de la misma. Anteriormente nombramos que dicha renta puede ser: vencida, adelantada o anticipada. Si bien la formula de imposición resulta de capitalizar “n” periodos al valor del a renta inmediata, realizaremos una demostración capitalizando cada uno de los pagos hasta el final. En la vida real la mayoría de los fondos de ahorro son con pagos adelantados, comenzaremos con la renta de pagos vencidos y luego pasaremos a los pagos adelantados y anticipados,

Imnosición con pagos vencidos Es fundamental su deducción, para que, a partir de ella se puedan comprender el resto de las imposiciones. Para encontrar la expresión final partimos del eje de tiempo que nos permite visualizar el momenlo de finalización de los pagos y el momento de valuación de los mismos. En esc caso se puede observar que la valuación se produce en el momento “n*’ y la finalización tic los pagos en el mismo momento. Es posible obtenerla a partir al capitalizar cada uno de los pagos hasta el periodo final. Al igual que en cualquier deducción se trabajara con cuotas unitarias. Gráficamente: n-1 —r

.^n -H' 1

1

^

(1+i)

■> ( i + i ) " ' (l+i) Sumando la sucesión de términos quedara: S = 1+ (l+i) + .................. +(l+i)"* + (l+i)

+ (l+i)"'

La anterior Sumatoria representa una progresión geométrica creciente de razón (l+i). Se resuelve: S = aj q"-J Siendo aj = primer termino de la Sumatoria = 1 q -J q = progresión en que decrecen las cuotas = (l+i) S= 1 (U ir-1 (1+í) -1

Simplificando

(1+ if-l 1


78

Manuiií de Cálqulo Fwanciero QperacipHes Financtems Complejas

Impósiclpnes. Valor Final

Está expresión es el factor de capitalización de capitales múltiples para cuotas uníiaríaíí vencidas, cuya simbojogía es S (0, n. í). Éste factor de capitalización agrega interés a vanos capitales a |á v'ez, obteiúendo el valor final dé cada uno de ellos, es decir, con sus respectivos intereses. ^

Simbóiogía: El prímer campo de la notación actuaría! Representa la distancia entre la ultima cuita y la que al sérTencída se refleja con un 0. Puede observarse en valuacion de la corriente de pagos cl gráfico que coincide. A diferencia de otros autores, que a la imposición vencida la simbolizan con l, paia un mejor análisis es Gonvenieiite diferenciarla de la renta ininediata (valor actual), ya que lo importante en un fondo de ahorro es el último pago con respecto a la valuación. El segundo lugar hace referencia a la cantidad de cuotas que sé abonaran para -► reunir el fondo. Es importante, en lo referido a rentas, no confundir la cantidad r de cuotas con el numero de periodos, ya que pueden no coincidir. En el caso S (0, n, i) de vencida coincide, es decir, la cuota numero uno esta ubicada en el periodo l, la cuota numero 2 esta ubicada en el periodo numero 2, etc.

í

El tercer campo es el rendimiento representado por la tasa de interés pasiva que se paga en la imposición. Generalizando para cuotas de $C: V.F. = C.

g+ if-1 i

A (0,n ,i) = C. S (0,n ,i) Lo más importante para destacar es que dicho factor de capitalización, capitaliza todas las cuotas ju n to con la últim a cuota. Para poderrealizar la valuación de la renta, siempre es necesario que todos los elementos que intervienen en la formula estén en la misma unidad de tiempo. Y la unidad de tiempo a respetar es Ja de la cuota.


79

Manual de Calculo Financiero Operaciones Financienis Complejas


Imposición con pagos adelantados En la práctica, Ja mayoría de las imposiciones son de pagos adelantados, ya que se comienza a ahorrar “hoy’\ no dentro de un período. Al igual que en cualquier deducción se trabajara con cuotas unitarias. Gráficamente: 0

n-J —r 1

I

n

La anterior Sumatoria representa una progresión geométrica creciente de razón (1+i). Se resuelve: S = 3) q" -1 Siendo aj = primer termino de la Sumatoria = (1 +i) q -J q = progresión en que decrecen las cuotas = ( I +i) Reemplazando: S= 1+i n +i)” -1 (l +i )-l

Simplificando

S= n -tir-1 (J+i) i Esta expresión es el factor de capitalización de capitales múltiples para cuotas unitarias adelantadas, cuya simbología es S íl, n, i)

Lie. Clarisa A, Fregeíro

80

Manual tle Calculo FiiiaiU’iero Operaciones Financieras Complejas

Inipogiciones. Valor Fanal

Simholoym: C1 primer campo de la simliologíu rcptesciua la dis^lancin entre la ultima cuota y la valuación de la conicnlc de pagos» que al ser adelantada se relleja con un I. Se puede observar en el gráfico como el iVilimu pago queda a un peninio de distancia de la época de valuacióiK

S (1 , n , i)

Fl segundo lugar hace rcfcn?ncia u la canlidud de cuotas que se abonaran para reunir el fondo. Es importante» en lo referido a rentas, no confundir la cantidad de cuotas con e| numero de periodos, ya que pueden coincidir como no. En el caso de adelantada no coincide, es decir, la cuota numero uno esta ubicada en el ix^riodo 0, In cuota numero 2 esta ubicada en el período numero!, ele.

El torcer campo es el rcudiinicnto rcprescnlado por In laso de interés pasiva que se obtiene en la imposición. CicÜcmli/ando paia cuotas de SC: V. F. = c.

(i+n"-i

( i+i)

i ___ J A (0,11 ,i) = C. S (I,n ,i) 1.0 lUiis importante para destacar es que dicho factor de capitalización, resulta ser el factor de capitalización utilizado para cuotas vencidíis, capitalizado un período más. Por lo tanto, capitaliza todas las cuotas uii periodo después de abonada la ultima cuota.

Imposiciones Anticipadas Muchas son las veces que un fondo de ahorro produce intereses independientemente de seguir realizando depósitos. Es decir, luego del último pago efectuado, el fondo alioirado no se retira y geneiá intereses por el paso del tiempo. En este caso la sucesión de pagos es valuada varios periodos después de efectuado el ultimo de|X).sito. Cuando esto ocurre recibe el nombre de imposición Anticipada. El nombre se refiere n que se anticipan los pagos con respecto a la valuación. Muchos autores consideran que todas las imposiciones reciben el nombre de anticipadas debido a que la valuación es en fecha posteriora los pagos. Para la resolución llamaremos “h” al periodo que se genera desde el ultimo pago hasta lu valuación. Para encontrar una expresión que pcmiila su calculo partimos siempre de la formula madre, es decir, la imposición vencida. Al oplicarla, las cuotas quedan valuadas junto con la última cuoia, por lo que debemos corregirla para llegar a la época de valuación. Parn plasmar lo anterior en una formula genérica, el factor de capitalización para cuotas un itai ias será: S (h, n,i) = S (0, n,i) (1+i f

fie . Clarisa A. Pregeiro

81



Periodo 9: fecha de valuación

Capitalizo cuatros períodos

liste gráfico representa cinco cuotas, que luego de abonarse ganan intereses por cuatro períodos, durante los cuales no se realizan más depósitos. Es decir, las cinco cuotas son valuadas cuatro períodos después de haber abonado la liitima. Simbologfa: El priiner campo de In símbología representa la distancia entre la ultima cuota y la valuación de la corriente de pagos, que al ser anticipada se refleja con un h. Se puede observar en el gráfico como el último pago queda a varios períodos de distancia de la época de valuación.

t

S (h, n, i)

£1 segundo lugar hace referencia a la cantidad de cuotas que se abonaran para reunir el fondo. Es importante, en lo referido a rentas, no confundir la cantidad de cuotas con el numero de períodos, ya que pueden no coincidir como en este caso.

El tercer campo es el rendimiento representado por la tasa de interés pasiva que se obtiene en la imposición. Generalizando para cuotas de $C:

v.F .-c. n+D"-i (i+i)** A (h,n ,i) = C. S (h,n ,i) Lo más importante para destacar es que dicho factor de capitalización, resulta ser el factor de capitalización utilizado para cuotas vencidas, capitalizado “h” período más. Por lo tanto, capitaliza todas las cuotas varios períodos después de abonada la últim a cuota. Siempre es necesario que todos los elementos que intervienen en la formula estén en la misma unidad de tiempo para realizar una correcta valuación. Y la unidad de tiempo a respetar es la de la cuota!

Calculo de ios Intereses ganados en la inversión. Al juntar un capital a través de cuotas, vimos que cada uno de estos pagos genera un interés por el paso del tiempo. Indistintamente se trate de pagos vencido o adelantados, la suma de todos esos intereses dará como resultado c! interés total ganado en la inversión. Para obtener ese valor; I (o,II) = A (0,n, í)- C*n


82


_____

Imposiciones. Valor Final

EJEMPLOS PRACTICOS Y APLICACIÓN DEL EXCEL

Eieroicío 1 Un señor deposita $50000 el último día de cada año. el banco abona el 4,5 % efectivo anual. Si no retiró nada: ¿A cuánto ascendió la cuenta al cabo de 10 años? , A (0,n ,i) = C. S(0,n ,i) A (0,10,0,045) =50000 n.045l‘” - l =614410,46 0,045 Resuelto por Excel:

\

Ir a f* (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: VF (Valor final) Allí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan lodos los valores del ejercicio: Argumentos de la Función Nper = 10 Tasa= 0,045 Pago= ^50000 VA = omitir Tipo= 0 VF =

$614’ 410X7

“Pago” se refiere a las cuotas. El valor es de $5000. Recordemos que el valor de las cuotas hay que ponerlo con signo negativo ya que par el inversor representa un egreso de capital. El plazo de la operación esta dado por “Nper” = numero de periodos, aquí es 10. En “tipo” corresponde al momento donde se abonan las cuotas, es decir si es vencida o adelantada. En este caso ponemos 0 ya que es vencida. Debajo de la ventana puede observarse el resultado del monto o valor final calculado. Aclaración: esta función puede usarse cuando" las cuotas son todas iguales, la tasa no varía y esta corresponde a! mismo periodo de las cuotas Ejercicio 2 Hallar el valor final de 4 pagos mensuales adelantados de $100 valuados. TEM del 5% Argumentos de la Función Nper- 4 Tasa= 0,05 Pago= -100 VA = omitir Tipo = 1 VF = - $ 4 5 2 ;5 6 * :'5 ^ *

Las cuotas adelantadas se reflejan con el “tipo” l. Lie. Clarisa A. Fregeiro

83



Ejercicio 3 En cuantas cuotas mensuales de $500 se puede reunir $13486,73, si el rendimiento obtenido fue del 1% efectivo mensual. Para calcular la cantidad de cuotas es necesario despejar con logaritmo 13486,73” 500 ílQ U liJ . 0,01

13486.73 *0.01 = (1.01 )“ - l 500 0,269734 = (1,01)"- 1 1,269734 = (1,01)" log 1,269734 = Iog 1,01‘‘^n' 0,10371295 = 0,00432137 * n 0.10371295 = n 0,00432137

24 = n Resuelto ñor Excel: Ir a fs (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: NPER (numero de periodos) Argumentos de la Fundón Tasa = 0,01 Pago = -500 omitir VA = 13486,73 VF = Tipo= 0 NPER = 2 4 . * .

Ejercicio 4 Sí el monto reunido al cabo de 20 trimestres es de $500000, calcular la cuota que fue abonada si el banco pago una tasa anual del 20% con capitalización trimestral. Como primer paso hay que irasformar la tasa en efectiva trimestral: 190= 0,2*90/365 = 0.049315 A (0,n ,i) = C. S(0,n ,i)

A (O.n .í) = C. S (o.n ,i) A (0,n ,i) * S ■ ‘ (O.n ,i) = C 500000* 0,049315 = 15231,09 (l,049315r”-l



Imposiciones. Valor Fmal

Resuelto por Excel; Ir a fx (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar; PAGO Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan lodos los valores del ejercicio: Argumentos de ia Función

Tasa= Nper= VA= VF= Tipo=

0,049315 20 omitir 500000 0

PAGO $-15.23lVÓ9

Ejercicio ¿ Qué monto se reunirá mediante 50 pagos mensuales de $1000 c/u, si durante los primeros 3 años la operación fue al 3% mensual y durante el resto al 8% mensual. Al existir cambio de tasa esta renta de 50 pagos queda dividida en dos rentas continuas, una de 36 pagos mensuales de 1000 al 3% mensual y la otra de 14 pagos mensuales de $1000 al 8 % mensual. A (0,n .i) = C. S(0,36 ,0,03) (1,08)'^ + C. S(0,14,0,08) Nótese que para ser sumadas las dos rentas, ambas deben estar valuadas en la misma fecha, por lo que la primera renta queda anticipada con respecto a la valuación. A (0,n ,i) = 1000(1.03)^*-! (1,08)'^ + 1000 ü.0 8 )‘^ -l = 210068,62 0,03 0,08 Ejercicio 6 £11/3 realizo el primero de seis depósitos mensuales de $250. El banco reconoce una TEM del 4%. ¿Cuánto dinero reuniré el 1/12 del mismo año?

1/3

1/4

1/5

1/6

in

1/9

1/8

1/10

1/11

1/12

Capitalizo cuatros meses de interés

El procedimiento, para calcular el fondo ahorrado, es similar al efectuado en una imposición adelantada, ya que surge de modificar la imposición vencida por la cantidad de períodos que faltan para la valuación. En el caso de Ja adelantada era un solo período, en el caso de la anticipada son varios. VF ,/i2 = 2 5 0 (1 .0 4 )^ -1 0 ,0 4


(1 ,0 4 ) ^ = 1 9 3 9 ^ 1

85



Calculo del Rendimiento -Tasa efectiva implícita en una Imposición-

El elemento precio de una operación financiera, como vimos en la primer pane, era el clemenio mas importante. En operaciones financieras simples no existía ninguna complicación en la obtención. Surgía de la expresión de rendimiento muy utilizada en los primeros capítulos: in = I (o,n) / Co La dificultad en su obtención en una renta, radica en los múltiplos capitales de colocación, por lo que no resultara tan fácil. Existen diferentes maneras para el cálculo a mano de la lasa de interés, como ser Método Baily, iteración, tablas financieras, interpolación, etc. También en la actualidad se utilizan herramientas mas sofisticadas como ser calculadoras financieras o el programa Excel. Nosotros usaremos las tablas financieras con la ayuda del método de interpolación linea) para lograr una mayor exactitud. Y luego estudiaremos su obtención con el Excel. Para facilitar la comprensión lo veremos aplicado a un ejemplo: Ejercicio de aplicación: Se desea reunir $750000 mediante depósitos mensuales de $25000. Si el plazo de imposición no queremos que supere los dos años, ¿qué tasa efectiva mensual nos deberá abonar el banco? Resolución: 750000 = 25000 H +

- I i

750000 = S (0,24,i) 25000 30 = S (0,24.í) En la tabla financiera numero 3 esta resuelto el factor de capitalización de capitales múltiples S(0, n ,i) para cualquier cantidad de cuotas y tasa de interés. Por lo que solo debemos buscar en la tabla que tasa de interés para 24 cuotas arroja un factor de actualización de 30. Como se observa, no hay una tasa para dicho factor, pero la tenemos acotada entre dos valores, lasa buscada esta se encuentra entre el 2% y el 1,75%, Será entre estos dos valor que realizamos la interpolación lineal: S(0,n,í). 30,4218. 30 29,511 _

1 0,02 _x 0,0175

Se puede observ'ar la relación directa entre la tasa y el valor actual. Ya que a mayor tasa de interés impuestas las cuotas, mayor valor final de las mismas quedara. 30 .4 2 1 8 - 30 * (0,02 - 0,0175) - 0,02 = - x 30.4218- 29,511 0,01884 = X


86

Manual de Calculo Ftiiandero Operaciones Financieras Coiuplejas

Imposicjooes. Valor Final

Análisis de F (i) = S(0.n> i) El análisis del factor de capitalización S (0n . c -Ji -\ A ' trata de una función creciente y cóncava:

« i . ^ •• unción de la tasa de interés nos dice que se

F(i) = S (0 .n ,i) = Z (l+ i)'-‘ 1=1 F (i) = r 1-1 (l+¡)‘^ t=l

V i > o =>F'(i) > o => F(i) es creciente.

F"(i) =X (-2 t=l

V i > 0 =>F"(i) >0 => F(i) es cóncava

La interpolación, al ser linea], no tiene en cuanta la concavidad de la función, arrojando un error por defecto. El tamaño de este error dependerá de que tan acotada tenga la tasa de interés al realizar la interpolación lineal. Continuando con el ejemplo anterior, dicho error se observa en el siguiente gráfico:

S(0.

Verdadero rendimiento i = 0,018887 La tasa del 1,88% es solamente una aproximación de la tasa de interés verdadera. Ya que interpolando se obtiene un valor que se ubica en la línea recta y no sobre la función que en realidad es la curva. La diferencia no es muy grande cuanto mas acotada se tenga a la tasa en la interpolación. Por lo que es un método frecuentemente utilizado sin recurrir a herramientas mas sofisticadas como el Excel o calculadoras financieras, ya que en la cotidianeidad de las operaciones, para poder encontrar esta tasa implícita se utilizan dichos métodos.

Uc. Clarisa A . Fregeiro

87

Manual do C'ak uio Hmiiicício ()|HMacu>nos iMnancieias (Complejas


Anlicación dcl Kxceí iiarn encoiUnir la tasa 1'omaiulo d mismo ejemplo: Nc ile.seji ivimir .1í75(KK)() incdiunle dcp
Nper = 24 Pago= -25000 VA = omitir VP = 750000 Tipo= 0 TASA= 0.018853709

D('hido a (|ue las cuotas son mensuales, la la.sa obtenida corresponde a una TEM.

ic. Clarisa A. Pregeiro 88

Munuttí de Calculo Financiero Operaciones Financieras Complejas

Relaciones entre Rentas

Relación entre una renta inmecliata vencida v una «iirinntinia RecoRlemos que: a(0,u.i) = a (l,iM )(l+ i)

a(0.n,i)=l> q+ i) '" (1+i) Haciendo distributiva; i a (0.nj) = íl-fO ^ g + i)'" (l-fi) i a (0.n,i) = (i-^î)~^(l^-i) -11+1 i a(0,n,i)= i_+ l~ q + i) -n+l i i a (0,n.i) = 1 + l~(l_+i) -n+l i

a (0,n»i) = a

+I

Como conclusión, podemos decir que una renta inmediata de “n” pagos adelantados genera igual valor actual que una renta inmediata vencida de un pago menos, más una unidad de cuota. Ejemplo: Si para cancelar un préstamo de $10000 debo pagar 6 cuotas mensuales adelantadas con un costo del 5% mensual, será lo mismo pagar 5 cuotas vencidas de igual importe, mas un pago de contado del mismo importe a la cuota. Comprobación: ](XX)0 = C 1-

( 1+Q.05y^ (1+0,05) 0,05

Despejando la cuota:

C= 1876.35 Entonces: lí)fKffl= 1876.35 l - g + o . o s r ^ 0,05

+ 1 8 7 6 ,3 5

Relación entre una Imposición vencida v una adelantada Recordemos que: S(],n,i)7=S(0,n,i)(l+i) S(l.n.i)= (1+ir - 1 (1+i) i I.n,i) = n + n ” g + n - g+ i) i


Haciendo distributiva:

89

Manual de Calculo Financiero Opel aciones Financíelas Complejas

Relaciones cmie Reñía'

S(i.ii.o = ( i + i r ' - ( u i ) i S (l n.i) = n + i r I

- J _

I

«;
i

1 -

I

I

S ( l , n , i ) = S í O . i H 1,1) - 1

Relación cutre una renta inmediaía vencida v una imposición vencida Se puede comprobai que una imposición (vnlor final) es igual a una renta inmediata (valor ;u nial) capitalizada poi “n” periodos. S(0,n,i)

(I-fi)"

a I l,n,i)

( l- n )”= (l +i )"*i

(1 + ir-l i

Oe Igual manera, si a una imposición la actualizamos poi “n” periodos, oblendiemos el valor acii; de la renta, es decir la renta inmediata. a ( l,n,i)

illlV M 1

(l+ ¡)

X J __ = (Mi )' ’

"

S(0,n,i)

(1 ( Mi ) "*i

Diferencia enlrc las cuotas de una renta inmediata v una imposición N'amos a demosliar algo que anleriomienle nombramos: La cuota de una renta inmediata (valüi actual) contiene una parte de interés debido a que estoy devolviendo no solo el capital mu laJmcnie obtenido sino también el resarcimienlo por el uso del mismo. Fn cambio, la cuota (le una imposición (valor final) no contiene interés, sino que el mismo suige de la capitalizarión de las ciioins. Por lo lanío, la dilerencia de la cuota de una rema inmediata vencida y y la cuola de una imposición vencida debe dar corno resultado la lasa de inleiés “i”

Lie Clarisa A Fregeiro

90

\)anual tie Calculo Financiero Operaciones Financieras

Complejas

Cuota para un valor actual rio V ( l,n ,i) I

=

Relaciones entie Rentas

•

C. a (l,n ,i) C.

a ( l.n ,i) a ' ' (l.n ,i) = C

Cunta para valor final de $ I: A (0,11 ,i) = C. S (0.n ,i) 1 S (O.n ,i)

C.

-1

S ‘ ' (0 ,n .i) = C

Restamos ambas cuotas:

a ' ‘ (l,n ,i) - S ~ ' (O.n .¡) = (O í)--'

Clarisa A . F regeiro

= i fü + n " -1 1 = i (l+i)" -1

9J


Rentas Variables

Capítulo 13 “Rentas VariablesEn ios capítulos anteriores estudiamos las rentas cuyos pagos son constantes. Ahora vamos a considerar aquellas rentas cuyos pagos varían siguiendo una regularidad nuitemática. Estos pueden variar en una suma fija o en ima suma variable.

Rentas Variables Temporales Al igual que las rentas constantes, las variables también pueden ser temporales o perpetuas. Empezaremos con las temporales. Si el valor de las cuotas no sigue ningún orden matemático, es decir, tenemos pagos de diferentes importes sin relación, la valuación del flujo de fondos se realizara tomando cada pago por separado, siendo una suma de operaciones financieras simples. Pero si la corriente de pagos sigue un orden matemático, será posible establecer una formula que permita la ¿ictualizan ó la capitalización conjunta de los pagos. Dentro de las rentas que varían siguiendo una regularidad matemática se encuentran las rentas que varían en Progresión Geométrica y las rentas que varían en Progresión Aritmética

Rentas variables en Prouresién Geométrica Una renta varía en progresión geométrica cuando cada término crece o decrece con respecto al inmediato anterior, en un porcentaje detemiinado o tasa, que permanece fijo a lo largo de la vida de la renta. Dicho porcentaje es la razón de crecimiento o de decrecimiento de la renta. La llamaiemos “q ”. Por ejemplo, las cuotas pueden crecer en un 20 % con respecto a la inmediata anterior, o también las cuotas pueden decrecer en un 20 % con respecto a la inmediata anterior. En el primer caso q = 0,2. En el segundo caso la razón es q = - 0,2 Al igual que en las rentas constantes, existen dos grupos claramente idenlifícables de rentas: Si el objetivo de los pagos o cuotas es reunir un capital estaríamos hablando de una imposición o valor final (Inversión). Es decir, la fecha de valuación es al finalizar la sucesión de pagos. Y si el objetivo de la corriente de pagos es devolver un capital estaríamos hablando de una amortización o valor actual. (Financiación). Entonces, la valuación de las cuotas se realizara al inicio de la corriente de pagos. A la vez dichos grupos mantienen la misma clasificación que se estudio en las rentas constantes.

Valor actual. Renta inmediata. Lie. Clarisa A. Fregeiro

92

Manual de Calculo Financiero Ol>eracíones Financieras Complejas

Remas Variables

Dentro de las rentas inmediatas, la principal clasífícación hace referencia al momento de inicio de ios pagos con respecto a la valuación. Es decir, puede ser vencida» adelantada o diferida.

Renta inmediata de pagos vencidos A continuación dedudremos la foimula de valor actual para pagos vencido de una renta que varía en progresión geométrica de razón q. Para una mayor visualización a cada cuota la Mamaremos en lugar de trabajar con cuotas unitarias como lo hidmos antefiormente. í.>cv de formación de las cuotas: C, = C, C2= C,(l-fq) C, = C2(I+q) = C,(l+q)* C„ = C„.,a-K)) = C ,(l+q) n»l C„ = C,(l-hq) n-l

Si estas cuotas las graficamos en un eje de tiempo y las actualizamos nos queda: Ü

1

2

3

Al sumar los valores presentes, tenemos:

s= c+ cn-Ki) +ca±g¿.+......................... +£íLtaín*I n+i) (i+iy

(l+i)’

(I+i)'

Sacando factor común jC (1+i) /•

s- c fi+Cii+a) +£ü ia¿+ .........................+cn+a>" ' i (i+i)

(i+ ¡)

( i+ ir

( i+ ir '

i*a «írvenor Sumatoria de términos representa una progresión geométrica. Aplicamos Ja foimiiJa smnaioria de términos y reemplazamos: Lie. Clarisa A. Fregeiro

93


Rentas Variables

Se resuelve: Siendo ai = primer termino de la Sumatoria q = progresión en que decrecen las cuotas = (l-Kt) (1+i)

S = a , JLuil 1-q

i+
S= Cj. *_LLi±iJ (1+í) 1- q±g} (i+i) Realizando resta de fracciones en el denominador:

S= C, * 1- M+I ■> (i+¡) n + n - g-Hi) (l+i) Si simplificamos, obtenemos; ri± ^ Il+J S = C, * 1- L î+L i -q

Siendo S = V(l,n,i,q)

Como toda renta de pagos vencidos, la valuación se produce un periodo antes de la primera cuota. También recordemos, que al igual que en las rentas de pagos constantes, todos los elementos de la formula deben estar en la misma unidad de tiempo de. la periodicidad de las cuotas.

Renta inmediata de pagos adelantados AI igual que Jas rentas constantes la valuación en las rentas de pagos adelantados se produce junto con la primera cuota debido a que esta re efectúa al inicio del periodo uno. Por lo tanto la formula es igual a la de pagos vencidos multiplicando por (1+i).

Renta de pagos diferidos Lie. Clarisa A. Fregeiro

94


Rentas Variables

Al igual que Jas rentas constantes diferidas, la valuación en la renta se produce varios periodos antes de efectuar el primer pago. Por lo tanto, la formula es igual a renta inmediata de pagos vencidos actualizada hasta el período cero. Llamaremos “h” al periodo en donde se realiza el primer pago. Multiplicando por el factor de actualización (l+i)'*‘^‘ a la renta de pagos vencidos, logramos la correcta valuación.

Valor final. Imposición. Dentro de las imposiciones, In principal clnsifícación hace referencia al momento de finalización de los pagos con respeto a la fecha de valuación de los mismos. Estos pueden ser vencidos, adelantados o anticipados.

Imposición de pacos vencidos. Recordemos la relación que existe entre una renta inmediata vencida y una imposición vencida: una renta inmediata capitalizada períodos da como resultado una imposición vencida, entonces, se puede establecer que: A (0,n,i,q) = V (l,n,i,q) (1-fi)"

Esta expresión permite valuar los pagos junto con la última cuota. Al igual que cualquier renta, tanto el número de cuotas como la tasa deben estar expresados en la misma unidad de tiempo de la periodicidad de la cuota.

Imposición de pagos adelantados. Para obtener la formula de las imposiciones adelantadas, se procede de manera análoga a las rentas constantes en cuanto a la fecha de finalización de los pagos y la fecha de valuación de los mismos. Aquí la valuación se produce un período después de abonada la última cuota por lo que, multiplicamos por (1+i) a la renta de pagos vencidos.

Imposición de nacos anticipados. l ie, Clarisa A. Fregeiro

95


Rentas Variables

Y por ultimo, para completar la clasificación, para obtener la renta variable anticipada, recordemos que resulta ser la imposición vencida capitalizada **h*’ periodos. Siendo la distancia entre la ultima cuota y la valuación de la renta. Al igual que las imposiciones contantes anticipadas, aquí la valuación se produce varios períodos después de abonada la última cuota.

Renta variable en progresión geométrica cuando a =i Las formulas vistos hasta aquí son validas para cuando q # i. Pero cuando la tasa coincide con la razón de crecimiento de las cuotas, las formulas sufren una modifícación.

Valor actual Recordemos que para encontrar la formula madre, es decir, la renta inmediata de pagos vencidos llegamos a la siguiente Sumatoria:

S = £ [ l + £ í i ± g ) + £ ü + a ¿ + ..................................+ e i l + g l l i j (1+i) (1+i) ( I + ir a + ir' Si q = i cada termino dentro del corchete vale 1. Por lo que tendríamos **n** cantidad de unos. Quedando:

V(l,n,i,q)=

*n

(1+i) O también: V (l,n ,i,q)= Ci * v * n

Recordemos que com o los pagos son vencidos dicha expresión valúa los pagos un período antes de la prímera cuota. En caso de ser una renta con pagos adelantados, se procede de igual manera que en las anteriores rentas. Multiplicando por ( l 4 i ) a la renta vencida, obtenem os la renta adelantada. V (0,n,i,q) = C| ♦ V * n * (1+i)

Símpliñeando:

Valor final Lie. Clarisa A. Fregeiro

9b

Mamnl á t Calculo FUiancJeio OpcfaekMics Rnancieras Complejas

Rentas Variables

Reconlemos la relación que existe etiire una renta inmediata vencida y una imposición vencida: una renta inmediata capitalizada periodos da como resultado una imposición vencida, entonces, se puede establecer que: A ( 0 , n , i , q ) V (la i,iq ) (1+i)* A (0,n,i\q) = Ci ♦ v ♦ n • (J+i)*

Simplifícando:

A (0,n,i.q) = Ci ♦ n ♦ (J+¡)

Como las cuotas son vencidas, esta expresión valúa los pagos junto con la últíma cuota. En caso que los pagos sean adelantados multiplicamos a la renta vencida por (1+i) para lograr la corréela valuación un periodo después de la última cuota. A (lji,i,q)= r C | ^ n * ( l - f i r * (ij-i)

A (l. n a,q )= Ci * n * ( l + i ) *

EJEMPLOS PRACTICOS

Uc, Clarisa A. Fregmro


Rentas Variables

Ejercicio 1 Una persona desea integrar $1000 en un plan de aliorro de 10 cuotas ntensuaies. Sí la tasa de interés mensual es del 6% y cada cuota supera a la anterior en un 10%. Determinar el valor de la primera y octava cuota. Resolución: Formula a utilizar: A (0,n,i,q) = Cj * (l+ ir-(l+ (Ú l i-q

1000 = c, * (1+0.06)*"-n-HO.i)*^

Despejamos Ja cuota numero 1

0,06-0,1

C, = 49,82 Para calcular la cuota numero 8 usaremos la formula de la ley de formación de las cuotas: C„ = C, (1+q)”-' C« = C i ( l , 1 0 ) ’ Cs = 49,82 (1,10)’

Cg= 97,085 Ejercicio 2 Se entrega hoy un capital a cambio de una renta variable en progresión geométrica de cuatro términos, el último de ellos es de $5.000; cada término es un 1% menor que el anterior. Si la renta se capitaliza mensualmenle al 5% y el primer pago se efectúa dentro de un mes: 1. ¿Qué capital debe entregarse hoy? 2. ¿Cuál es el valor de la renta si se fija como fecha de valuación el momento del segundo pago? Resolución: ;ar: ^ 1) formula a utilizar:

^n

V (l,n,i,q)= C| ^ 1-M+L¿_ i -q Para calcular eí valor actual primero necesito la cuota numero 1. Con la ley de formación se la encuentra ya que tenemos de dalo la cuota numero 4. C„ = C ,(l+ q )"' C4 = C, (1-0,07)’ 5000 = Ci (1-0,07)’

6216,14 = Ci r.i-o,Q7} V(l,n,i,q) = 6210,14 * 1- '-1+0.05 '-1+0,05 0,05 + 0,07 V (l,n ,i,q ) = 19921,49 2) V 2 = V„(l+0,05)’ = 21963,44

Rentas variables en Proere.si6n Aritmética Lie. Clarisa A. Fregeiro

9»


Rentas Variables

Una renta varía en progresión arílméiiea cuando cada término crece o decrece con respecto al inmediato anterior en una suma fija. Dicha suma representa la razón de crecimiento o de decrecimiento y es llamada “r’* Por ejemplo, las cuotas pueden crecer a razón de $20 con respecto a la inmediata anterior, o también las cuotas pueden decrecer en $20 con respecto a la inmediata anterior. En el primer caso r = 20. En el segundo caso la raz*5n es r - 20 Si para cancelar un préstamo la primera cuota es de $100 y cada cuota crece en relación a la anterior en $40 entonces la segunda cuota será de $140 y la razón de crecimiento $40. La clasificación es exactamente igual a las rentas variables en progresión geométrica. Empecemos con el Valor Actual de pagos vencidos:

Renta inmediata de pagos vencidos A continuación deduciremos la formula de valor actual para pagos vencido de una renta que varía en progresión aritmética. Para una mayor visualizacíón a cada cuota la llamaremos “C” en lugar de trabajar con cuotas unitarias como lo hicimos anteriormente. Lev de formación de las cuotos:

C, C2 = Ci + R

C, =

C3= C2+ R = (C, + R) +R = C, + 2*R

C„ = C, + (n-l)*R

Si estas cuotas las grafícamos en un eje de tiempo: 0

1 C,

“T------

3 T"

C, + R

C, + 2*R

2

n C, + (n-l)*R

Descomponiendo la renta variable en 4 corrientes de pagos, valuaremos a cada uno de ellos en el momento cero por separado. Nos quedara: 0

3

1

1

(1) Ca(l,n,¡) (2) R /iv -R /iv " (

3)

^ ^

R/iv“- R/iv". ^

C, R

c,

c,

R

R

R

R

(4) R /iv^-R /iv" ^ P/ia(l,n„i)

n

R

R/i v" n

^1) Es una renta temporaL inmediata de pagos vencidos cuya cuota es C. ^-ic. Clarisa A. Frégeiro

99


Rentas Variables

(2) Esta se g a d a renta, para poder valuarla la trabajaremos como dos rentas pcipetuas- La primera comienza sus pagos en el período 2, por lo que su valor al final del período 1 será igual a R/i pero como esta diferida, la actualizamos al periodo cero con (1+i) La segunda renta imaginemos que comienza sus pagos en el período **n", por lo que para valuarla ai momento cero debemos actualizarla (1+i) Y ahora por m eô de la resta de estas dos rentas perpetuas obtendremos: R/i v - R/i v“. (3) Procediendo de igual manera que con la renta anterior, restamos dos rentas perpetuas diferidas. La primera comienza sus pagos en el período 3' por lo que liego hay que actualizarla por v^. Y la segunda comienza sus pagos en el período **n’* por lo que hay que actualizarla por v". Obtendremos: R/i v^ - R/i v". (4) Para esta ultima renta procedemos idénticamente, quedando: R/í v^ -> R/i v". Al sumar los valores presentes, tenemos: S = Cia(l ,n ,i) +R(v+v^+..... v " )- R v " n

1 S = C| a(l,n,i)

+ER(I.n.t)

n

1

-R v"n i i Sacando factor común a( 1,n,i) S = ( C i + ] ^ a(l,n,i) - g v " n i i

siendo S= V(l,n,i,R)

Recordemos, que al igual que la renta constante, como puede observarse en el gráfico, ia valuación de pagos vencidos se efectúa un período antes de la primera cuota También es importante recordar que todos los elementos de la formula deben estar en la misma unidad de tiempo que la periodicidad de las cuotas.

Renta inmediata de pacos adelantados Ai igual que las rentas constantes la valuación de las rentas de pagos adelantados se produce junto con la primera cuota debido a que esta re efectúa al inicio del periodo uno. Por lo tanto la formula es igual a la de pagos vencidos multiplicando por (l+i). V (0.n,i,R )= {(C, + R ) a a .n ,i) - g v"n ) (I+i) i i

Renta de nacos diferidos Lie. Clarisa A. Fregeiro

lOO

Manual de Calculo Financiero Ojieracioncs Financieras Complejas

Rentas Variables

Al igual que las rentas consiaiiles diftiidas, la valuación en la se produce varios periodos antes de realizar el primer pago. Por lo tanto, la foniiula es igual a íunta inmediata de pagos vencidos actualííuida liasta el periodo cero. Llamaremos “h** al periodo en donde se abona la primera cuota. Por lo que, multiplicando a la renta vencida por oí factor de actualización logramos la valuación coirecta.

Valor final. Imposición. Dentro de las imposiciones, la principal clasificación hace referencia al momento de tlnalización de los pagos con respeto a la fecha de valuación de los mismos. Estos pueden ser vencidos, adelantados o anticipados.

Imposición de pagos vencidos Recordemos la relación que existe entre una renta inmediata vencida y una imposición vencida: una renta inmediata capitalizada ''n*' periodos da como resultado una imposición vencida, entonces, se puede establecer que: Aí0.n.i,R)= V (l,n ,i,R )(l+ ir A(0.n,i.R)= |( C ,+ R) a(l,n,i) - R v " n ) (1+i)" i i Realizando distributiva en ambos miembros de la formula y simplificando, nos queda: A(0,n,i,R)= (Ci + R) S(o,n,i) ~ R r

Esta expresión permite valuar los pagos Junto con la última cuota. AI igual que cualquier renta, tanto el número de cuotas como la tasa deben estar expresados en la misma unidad de tiempo de ia periodicidad de la cuota.

lmr:osicién de pagos adelantados. Para obtener la formula de las imposiciones adelantadas, se procede de manera análoga a las

rentas constantes en cuanto a la fecha de fínalización de los pagos y la fecha de valuación de mismos. Aquí la valuación se efectúa un periodo después de la ultima cuota, por lo que nuiltiplicamos por (1+i) a la renta de pagos vencidos.

I

A(i,n.i.R):;= {(C, + R) S(o,n,i) - R fí ) (1+i) i i

L Í5?9Qsición de pagos anticipados. Clarisa A. Fregeiro

lOJ


Rentas Variables

Y por ultúno» para completar la clasificación, pora obtener la renta variable anticipada, recordemos que resulta ser la imposición vencida capitalizada *‘h*’ períodos. Siendo ia distancia entre la ultima cuota y la valuación de la renta. Ai igual que las imposiciones contantes anticipadas, aquí la valuación se produce varios períodos después de abonada última cuota.

OEMPLOS PRACTICOS Lie. Clarisa A. Fregein


Rentas Variables

ejercicio 1 Una persona desea juntar $8500 en un plan de ahorro de 10 cuotas mensuales. Si la tasa de interés es del 7,8% mensual y se sabe que cada cuota supera a la anterior en $85. Se pide detenninar la primera y la octava cuota. Resolución: formula a utilizar A(0,n,i.R)= (Ci + E ) S(0,n,i) - R n i i 8500= (C, + 85) S (0 J 0,0.078) - 8 5 * 10 0,078 0,078 Despejando la cuota numero I :

C,= 262,02 Para calcular la cuota numero 8 usaremos la formula de la ley de formación de las cuotas:

Cn= C, + (n-l)*R C« = 262,02 + (10-1)^85 Cg = 857,03 Ejercicio 2 • Un préstamo concedido al 5% mensual de interés cuya primera cuota se abonará al mes siguiente por la suma de $ 500 y cada una será menor que la anterior en $50, siendo el total de pagos 8. Determinar el valor del préstamo. Resolución: formula a utilizar Vn,n,i.R)= (Ci + R ) a(l,n,i) - R v " n

i

i

V(l,n,i,R)= (500 - 50) 3(1,8.0,05) + 50 (1.05)* 8 0,05 0.05

\íl,ii,i,tt)= 2183,11

Clarisa A. Fregeiro

103

Manila] de Calculo Financiero Operaciones Financieras Complejas

Rentas Pcrpetuat.

Capítulo 14 -Rentas Perpetuas£n este eapitulo, seguimos estudiando las rentas, pero un caso particular que es muy utilizado académicamente y profesionalmente en finanzas corporativas como lo son tas rentas perpetuas.

Rentas Perpetuas de pagos constantes. Una renta perpetua es una serie de pagos que dura y permanece para siempre. El número de periodos tiende a infinito. Como el tiempo es infinito no puede establecerse su valor final, pero sí puede establecerse su valor presente. Tiene un uso amplio en lo referente a la fijación de precios de activos, principalmente en las acciones. Un claro ejemplo de una renta peipetua, lo constituyen los dividendos sobre las acciones que las compañías reparten, siendo una de las principales aplicaciones, ya que al comprar una acción desconocemos el tiempo que las tendremos en nuestro poder. Este tema lo ampliaremos en el capitulo 19. La principal clasificación, al igual que las rentas temporales, hace referencia al inicio de los pagos. Es decir, si coincide o no el inicio de los pagos con respecto a la valuación. Serán rentas inmediatas si el primer pago se efectúa dentro del primer periodo con respecto a la valuación y diferidas aquellas donde el primer pago se efectúa luego de iranscorrido el primer periodo.

Rentas Perpetua inmediata de pagos vencidos Para su deducción seguiremos el mismo camino que usamos para las temporales. Mediante d eje de tiempo, actualizaremos la infinita corriente de pagos unitarios y luego la formula resultante la generalizaremos para cuotas de diferente valor. n-1

n+1 — I— >

vV vV

V"-' ^ v" . ,n+l

S = V + V2+ V3+......................... S = (l+i)-' -i-(l+i)*^ + (l+i)

s= a (1 ,00,i) Lie. Clarisa A. Fregeiro

.Vn+1 -IH-I . (1+i)

104

.víanui»! tJe Calculo Financiero Ojjeracioncs Financieras Complejas U i a n i e r i o f Sumatoria representa ipriniíos términos.

KentUK PcjpetUHK

una progresión geométrica ilccrecienic de razón (l+i) ‘

de

resuelve:

Siendo üi = primer término de la Sumatoria = v = (1 +i)*' q = progresión en que decrecen las cuotas = v = (l't-i)'*

S= _aj. 1-q V__ = I -V

I-

I l+i

V

1+í

~

^ __ = i-. 1 1+i

i* V

i

1

Esía ultima expresión es el factor de actualización de infinitos capitales múltiples para cuotas imiiarias vencidas, cuya simbología es a (I, oo, i). a (l.oo ,0 = 1 i

Simho lo g ia :

Fl primer campo de la simbología representa la distancia entre la primera cuota y la valuación de la co m e n te de pagos, que al ser vencida se refleja con un 1. t ___ El segundo lugar hace referencia a la cantidad de cuotas que se abonaran para I i V cancelar la deuda. En este caso, no hay un número finito de cuotas, por lo lamo (1 ,oo ,i ) son infinitos términos.

El tercer campo es el costo financiero representado por la lasa de interés activa que se cobra en !a linanciación. También, él rendimiento que obtendrá el inversor de un activo financiero como ser acciones. nencraltzanclo para cuotas de $C: V(],c/j,i) = c . J L i

V ( ! /rjJ) =

C. a (1,00 ,i)

I o más importante para destacar es que dicho factor de actualización, al igual que en las rentas (emporales, actualiza todas las cuotas un periodo antes de la prim era cuota. Cabe recordar, que siempre es necesario que todos los elementos que intervienen en la formula estén en la misma unidad de tiempo. Y la unidad de tiempo a respetar es la de la cuota.

Lie Clarisa A. Fregeiro

105


Rentas Perpetuas

Rentas Perpetua inmediata con pagos adelantados n-1

o

n+i ■í— >

v -V v" . I»+1

S = I + V + V2 + V3+ S= 1 i

■V„4I

s= aíK o c,i) a (1,00 ,i) = 1 + 1_ Realizando suma de fracciones nos queda: 1 a d .® .i) = 1 4 1 i

a(i.cx>,i) = i ± i = n + i) L = 1 i

i

d

Por lo antes explicado; la renta inmediata vencida multiplicada por (l-hi), da por resultado la renta inmediata adelantada. Esta expresión es el factor de actualización de infinitos capitales múltiples para cuotas unitarias adelantadas, cuya simbología es a (0,00, i).

Generalizando para cuotas de SC: V(0,oo,i) = C (1+i) . i V (0,00 ,i) = c. a (0,oo ,i)



Remas Perpetuas

Renta Perpetua Diferida Al igual que en las rentas temporales, la clasificación de rentas perpetuas incluye a las rentas diferidas. Es decir aquellas cuyo primer deposito se efectúa luego de transciirrído el primer periodo. Recordemos que cuando efectuamos el primer pago dentro del primer periodo recibe el nombre de inmediata, ya que inmediatamente después de la valuación se produce la sucesión de pagos. La formula se compone de igual modo que vimos las temporales, es decir, para su obtención llamaremos “h” al período en donde se produce el primer pago, es decir “h” será la distancia entre el primer pago y la valuación. Entonces, a Ja renta perpetua inmediata de pagos vencidos la modificamos con el factor de actualización (1+i) Resultando:

¿I (h, '^ .i ) — £ ( 1 + i )

-h+l

i Por ejemplo si el primer pago se efectúa en el tercer periodo, gráfícamente queda: Momento De valuación

Momento de origen de los pagos

0 1 I-------- 1—

(1+i)

4

5

Q

Q

6 c ............................ ^ tiende a oo

-2

V (3,00,i)= C (l+ i)-^ * '

107

Clarisa A. Fregeíro


Rentas Perpetuas

EJEMPLOS PRACTICOS Ejercido 1 Calcular el valor que se pagara por una renta, si se desea que esta genere un ingreso de $1000 semestrales en forma vitalicia. La compañía paga el 4% TEA. Resolución: formula a utilizar: V(l,oo,i) =C i Primero se debe realizar el pasaje de tasas que permita tenerla en la misma unidad de tiemptode la cuota semestral: ii80=(I,04)“^®''^^-l =0,01952 V(l,oo, i)= 1000/0,01952 V(l,eo, i) = 51203,31 Ejercicio 2 ¿Cuánto deberá depositarse para proporcionar una beca de $2500 al inicio de cada año suponiendo que el fondo ganara un interés del 5% anual capitalizable trimestralmente? Resolución: formula a utilizar: V(0,oo,i) = C . (1+i) i Cabe aclarar que, en este caso, la cuota y la tasa no están expresadas en la misma unidad de tiempo, por lo que se deberá transformas la tasa nominal anual con capitalización trimestral a una lasa efectiva anual, ya que la cuota es anual. Í9o = 0,05*90 /365 = 0,012328 Í365 = (1,012328)^^^^'^*^ - 1 = 0,0509497 V(0,<«, i) = 2500 (1,0509497) 0,0509497 V(0,oo,i) =51567,939


Manual de Calculo Finánciero Operaciones Financieras Complejas

Rentas Perpetuas

Rentas Perpetuas de pagos varilibles Al igual que en las rentas temporales, en las perpetuas, podemos encontrar términos que varíen en progresión geométrica o en progresión aritmética.

Rentas Perpetuas con pacos variables en Progresión Geométrica Para encontrar una expresión que nos ayude a actualizar estos infinitos pagos variables, usaiemos la línea del tiempo como siempre con pagos vencidos. 0

n-1 1(1+q)

n

n+1 1 (l+q)"

Kl+qy

(1+0 fl+q) 0+0’ n+ü^^ (l+i)' (l+q)" (l+i)"*' Al sumar los valores presentes, tenemos:

s= J _ + ü±q) +ü+a¿+..........................+ ü±3)! (l+ i)

(l+ if

(I+i)^

(l+ i)

n+l

S= a (],< » ,;,q)

La anterior Sumatoria de términos representa una progresión geométrica decreciente de infinitos ténninos. Aplicamos la formula de Sumatoria de términos y reemplazamos: Se resuelve: a ü , «,i,q) = aj_ 1* q

Siendo ai - primer tentiino de la Sumatoria q = progresión en que decrecen las cuotas = (1-fq) U+i) 1

(1,

= -(l+ i) M l+ c ü (l+ i)

i±L 0 + j)^ (l+ q ) (l+ i)

Clarisa A, Fregeiro

109


wSimplincando se obtiene el factor de actualizücírtn:

ad,

J_ i-q

Generalizando para $C:

Como (oda renta de pagos vencidos, la valuación se produce un periodo antes de la j)riincfa cuota También recordemos, que al igual que en las rentas de pagos constantes, lodos los elementos de la formula deben estar en la misma unidad de tiempo ele la periodicidad de las cuotas. Hn caso que los pagos sean adelantados, se procede de igual manera que lo estudiado anlcriorniente. A la renta perpetua de pagos vencidos se la multiplica por (I+i) para llevar las cuotas al momento de valuación, quedando:

Fin caso que los pagos sean diferidos, se procede de igual manera que lo estudiado anteriormente. A la reñía perpetua de pagos vencidos se la multiplica por (l+i)^^‘ para llevar las cuotas al momento de valuación, siendo *‘h” el periodo en donde se realiza el primer pago. De esta forma queda:

tjc . Clarisa A, Fregeíro

ManitaJ de Calculo Financiero Operaciones Financieras Complejas

Rentas Perpetuas

Rentas Perpetuas con pagos variables en Progresién Aritmética. Para obtener la formula directamente usaremos la formula anteriormente encontrada para pagos temporales y analizamos el caso en que tienda a infinito. V(l.n,i,R)= (C i^ R ) a(l,n,i) - R v " n i i Cuando “n” tiende a infinito se reduce a: V (l,o n J ,R )= :

(C, + R) a(l,oo,i) i

Como toda rema de pagos vencidos, la valuación se produce un período antes de la primera cuüia. También recordemos, que al igual que en las rentas de pagos constantes, todos los elementos de la formula deben estar en la misma unidad de tiempo de la periodicidad de las cuotas. fin caso que los pagos sean adelantados, se procede de igual manera que lo estudiado anleriomienie. A la renta perpetua de pagos vencidos se la multiplica por (1+i) para llevar las cuotas al momento de valuación, quedando: V(I,oo,i,R)= {(C,+ R] l ) 0 + i ) i i

fin caso que los pagos sean diferidos, se procede de igual manera que lo estudiado anteriormente A la renta peipefua de pagos vencidos se la multipliba por (l+i)’*'''* pam llevar las cuotas al momento de valuación. Recordemos que “h*’ es el período en que se abona la primeia cuota, quedando:


IJl

ManuílJ ele rjlc u lo Financíelo Sistemas de Amoilizacíon tic Piéstamos

Inlioducí'ifjii

Ca pitulo 15 - S i s t e m a s de A m o r ti z a ci ó n de P r e s t a m o s -

l Me ciipilulo se basara ai In Jluanciación en íimUi^í sus Jonuus contu idas en el nietítuJo. Se estiidumm los diferentes ^'modelos" e.xisitnies para la devolución de capitales, sus íaracteiíuicas y íomparaüón entre ellos,

Amortización de capitales Amorlizar, en llnaiizas, significa extinguir una deuda mediante el pago del capital también llamado ‘‘[tfincipal”. Entonces, ciianilo decimos que amortizamos un préstamo, nos leíerimos al proceso poi el cual se devuelve el capilal que originó esa deuda. Una operación de pióstamo leprcscnla una operación activa Til intermediario financiero otorga una suma de dinero a demandantes de capitales. El (omadoi de fondos o Deudor restituye la suma prestada más un interés. La entrega de recursos financieros se realiza a cambio del pago de un tipo de interés pactado previamente, devolviendo el monto de dinero prestado, más el interés en un periodo de tiemfxj determinado.

Diferentes inoflelos de devolución del capital Es posible admitir diversas formas de amortización. Se denomina sistema de amortización de préstamos a las diferentes formas de llevar a cabo la amortización (devolución) del capital inicial. Un sistema es un modelo que define sistemáticamente la forma en que ha de amortizarse un préstamo. Existe una razón matemática de fondo. Un método no sigue ningún ordenamiento preestablecido Ej; Mélodo de tasa directa. Existen diferentes maneras de devolver el capital, es decir, el préstamo. Y cada una constituye un sistema de amortización diferente. a) Préstam os con devolución de capital integra al vencinilenfo de la operación.

El pago de interés genera la siguiente clasificación: •

Sin pago periódico de intereses: préstamo simple. Este modelo ya lo estudiamos en eJ capítulo de operaciones financieras simples, ya que la devolución se efectúa en un solo pago que incluye tanto capital como interés. Gráficamente: 0

Préstamo

Lie. Clarisa A, Fregeiro

Devolución = Préstamo + intereses

112

Manual de Calculo Financiero Sistemas de Amortización de Préstamos

(ntroducción

Con pago periódico de intereses: a diferencia del anterior, el pago del interés se realiza en forma periódica y la tunortización de capital en un solo pago ai vencimiento. Los pagos periódicos de interés representan una sucesión y por lo tanto una renta constante. Esta manera de devolución de capital constituye el llamado Sistema de am ortización Americano. Gráficamente: 0

mi

Préstamo

I +Présiamo

b) Préstam os con devolución periódica de capital. El préstamo es reembolsable mediante una serie de pagos periódicos que constituyen una renta. Esto es, fraccionamiento del capital en varios pagos parciales, con vencimientos periódicos, que se pagan conjuntamente con los intereses, formando los términos llamados cuotas. En este caso, como hay devoluciones periódicas de capital, el saldo de la deuda disminuye periódicamente, por lo que los intereses se calculan sobre saldos de deuda del periodo anterior, resultando decrecientes. Esta estructura de pagos se ve en el Sistema de am ortización Francés y en el Sistema Alemán Gráficamente; 7

0

1

n-l

n 1 1

c

C

C

r

I Piésiamo

(

c

Diagrama temporal de un flujo de fondos asociado a financiación Llamamos flujo de fondos a lodos los movimientos de caja efectuados en lelación a una ciicunstancia inicial, en este caso, un endeudamiento. Los flujos surgen en los casos donde exista una sucesión de pagos para la devolución, ya sea de interés o de capital. Los pagos que efectúa el deudor son llamados CUOTAS y las condiciones de emisión deben e.specificíir su importe, cantidad, fecha (periodicidad). Cuando una empresa o un individuo solicitan un préstamo el flujo de fondos responde al siguiente esquema:

n___________ U — — - T ‘cj Clarisa A. Fveêiro j

1J3

Manual de Calculo Financiero Sistemas de Amortización de Préstamos

- a

introducción

. '

■■

-c

-c

-c ^

Tiene signo positivo Ya que se obtiene un ingreso de dinero

f

■ > í '* /.v ;

Tienen signo negativo, ya que representan un egreso de dinero.

Como vemos, al posicionarnos desde el punto de vista del tomador del préstamo, al inicio se v obtiene un ingreso de dinero dado por el préstamo recibido y posteriormente se genera un flujo J; de fondos con signo negativo ya que representan egresos de dinero que el deudor soporta,"^ independientemente de qué sistema de amortización se trate. •1 .

. .•

■

ConiDOsición tic las cuotas La composición de las cuotas dependerá del sistema de amortización que se use, pero por lo general, los sistemas más usados son los que tienen devolución periódica de capital, resultando la siguiente cuota: Cüola total (Cp) = cuota capital (tp) + cuota interés (Ip) Nomenclatura: Cp = Cuota total. Total a desembolsar periódicamente, también llamada cuota de servicio, tp = Amortización periódica. Se refiere a la parte del préstamo que se devuelve con cada cuota. (Devolución de capital) Ip = Interés periódico. Es el interés pagado con cada cuota, (pago de interés calculado sobre % saldos de deuda) V

C«aractcrísticas generales de los sistemas de reembolso de Drestamos. La condición necesaria para que un préstamo pueda ser saldado, es que la cuota total supere al interés periódico contenido en ésta. En caso contrario, nunca se podrá devolver cL préstamo. Cp> Ip La suma de las amortizaciones periódicas representa el Total A m ortizado (Tp). El total " amortizado es lo ya devuelto de capital hasta la cuota “p” inclúsive. Es la Sumatoria délas ' amortizaciones periódicas efectuadas hasta ese momento. Es “el pasado” si.lo vemos en el eje temporal. vr P Tp=Stp P=1 Si la Sumatoria de las devoluciones periódicas de capital, constituyen el Total Amortizado, entonces, al finalizar el plazo de la operación este debe ser igual al capital otorgado (fe ' préstamo.

T„ = Vo = Ilp p=i •

Si al valor original del préstamo le restamos el total amortizado en un delemiinado periodo, se obtiene el Saldo de Deuda (Vp) o valor residual del préstamo en ese momento. Es decir. Lie. Oarisa A. Fregeiro —— — j-g

Vi

MaiuiaJ de Calculo Financiero Sislemas Je Amortización de lisia m o s

Introducción

**el futuro'*. Es lo contrarío a total amortizado ya que indica el capital pendiente de devolución luego de abonar la cuota del periodo “p”. Vp= Vo-Tp Debe existir un equilibrio financiero entre ambas panes, el compromiso del acrcedot y el del deudor. Se igualan ambos compromisos en el momento de la entrega: n

Vo^lCp/d+i)** P=í

Cuota Total o de Servicio compuesta por

Conceptos relacionados al capital: -> tp = Amortización periódica: pane de capital que se devuelve con cada cuota. -> Tp = Total amortizado: Total devuelto de capital hasta la cuota “p” inclusive.

Ip = Interés periódico. Interés pagado en cada cuota. l(0.n) = Interés total. Sumatoria de lodos los intereses periódicos.

Vp = Saldo de deuda, capital pendiente de devolución. Habiendo pagado la cuota “p”.

^ ‘c. Clarisa A. Fregeiro

115

Cuademillo de CalcuJo Financiero Sistemas de Amortización de Préstamos

Sistema Francés

Sistema de Amortización Francés Oebido a sus caracterísiicas estructurales, el Sistema Francés, es uno de los sistemas más empleados en el mercado. En capítulos anteriores estudiamos a las rentas inmediatas de pagos vencidos. En su deducción llegamos a la siguiente expresión: V (I,n ,i) = C a ( l ,n ,i )

V.A. = C H 1 ± 1 1 2 i

Este sistema de reembolso de préstamos constituye el Sistema Francés. La principal característicays la conocemos: la cuota total constante. V (l,n,í) = C a ( l ,n ,i ) V (l.a,i) = C a ( l , n . i) V (l.n ,i) a " '( l , n , i ) = C Antes mencionamos que las cuotas se componen de devolución de capital y de pago de interés, vamos a estudiar como se realiza dicha composición en el Sistema Francés, ya que a medida que aumenta el plazo, cambia la constitución interna de cada cuota. Cuota total (Cp) = cuota capital (tp) + cuota interés (Ip) £1 interés periódico que contiene cada cuota es decreciente a medida que aumenta el plazo, debido a que es calculado sobre saldos de deuda del periodo anterior. Como en este sistema la devolución de capital es periódica, el saldo de deuda (lo que se debe de capital) disminuye periodo a periodo, entonces a medida que aumenta el plazo se paga menos interés.

Las amortizaciones periódicas de capital son crecientes. Es decir, el porcentaje de cuota destinado u cancelar el capital va aumentando a medida que aumenta el plazo en progresión geoméuica de razón q = (1+i). Siendo ti =C - Vo i Gráficamente:

La suma de las amortizaciones periódicas representa, como vimos antes, el total amortizado. Dicha Sumatoria es urfa progresión geométrica creciente de razón (l+i), pudiéndola expresar, según lo estudiado en el capítulo de rentas como una S(o, n, i). Tp í^íti S(o,p, i). Líe. Clarisa A. Fregeiro

116

Cuadernillo de Calculó Financiero Sísicmas de Am ortización de Préstamos

Sistem a Francés

El saldo de deuda va disminuyendo debido a las devoluciones periódicas de capital del sistema, pero lo hace lentamente, esto genera que al principio se pague más interés, Hnbitualmente, para jabonar la mitad del préstamo debe transctirrír el 60% o el 70% del plazo. Método retrospectivo: al préstamo inicial se le restan las amortizaciones ya realizadas. Vp = V„.Tp Método prospectivo: se actualizan las cuotas que todavía no se pagaron, de esta manera se obtiene la porción de capital que contienen esas cuotas. Vp = c n (J, n^p, i) lil sistema Francés es un sistema “transparente'’ ya que la lasa efectivamente pactada representa el costo financiero de la operación. Esto se debe a que los intereses se calculan sobre saldos de deuda, generando un sistema totalmente justo para el deudor. Por este motivo es unos de los sistemas mas utilizados actualmente. El costo tinanciero se denomina TIR (tasa interna de retorno) y se vera modificada solo en el caso que existan gastos asociados al préstamo en cuyo caso pasara a llamarse costo financiero total. (Más adelante desarrollado)

Ejemplo: Se toma un préstamo de $10000 a pagar en 5 cuotas mensuales a un costo financiero def 2% mensual. En caso de que el préstamo se abone mediante el Sistema Francés, es decir, con cuotas constante, las cotas tendrán un valor de: C = 10000* ÍLQ2 = 2121,58 1-(1.02)-* Flujo de fondos: 0

1

2

+ 10000

-2121,58

*2121,58

-2121,58

-2121,58

*2121,58

La ecuación inicial de equilibrio será 0 = 10000 - 2121,58 a (1,5,0,02) La ecuación inicial de equilibrio hace referencia a igualar el compromiso del deudor con el del acreedor. Dicha igualación lo permite la TIR. Según lo estudiado desde el inicio, el tiempo tiene valor, la comparación entre ingresos y egresos no puede efectuarse así como se presenta el flujo de fondos, ya que suceden en diferente momento. Para homogeneizar todos los flujos asociados a la financiación debemos valuarlos en un momento común, siendo el momento de la entrega del préstamo el momento de valuación de las cuotas. El momento inicial es el momento en que se inician los compromisos de ambas parles de la operación financiera. Hn este ejemplo el préstamo no presenta ningún gasto asociado, por lo que el flujo de fondos solo se compone del préstamo inicial y de las cuotas que hacen frente a la amortización y al pago clcl interés únicamente. En este caso, la tasa conuinicada representa el verdadero costo financiero del préstamo.


117

1

Cuadernillo cíe Calculo Financiero Sistemas de Amortización de Préstamos

Sistema Francés

Cuadro de marcha de un préstamo Los préstamos a devolver en cuotas se desarrollan en marchas progresivas para descomponer ía J cuota en la parle destinada a devolver capital y parte por el uso del préstamo que constituyen ■ Jos intereses. De este, modo también se puede visualizar el avance del préstamo en sti devolución y poder sacar conclusiones al respecto. • p

Vp-,

L

Cp

Tp

Vp

1921.58 3861,59 5880.8 7919,99 10000

10000 8078.42 6118,4 4119,19 2080 0

ó 1 2 3 A

5

10000 8078.42 6118,4 4119,19 2080

200 161,56 122,36 82,38 41,6

1921,58 1960 1999,21 2039,19 2080

2121,58 2121,58 2121,58 2121.58 2121,58

Se observa como va creciendo Ja columna de la amortización mientras que la columna del interés decrece. El total amortizado luego de abonar la ultima cuota debe ser igual al préstamo y el saldo de deuda lógicamente cero.

■:r?: .

vi-V- ••

;

Cuadernillo de Calculo Fín«oncíero Sistemas de Amortización de Préstamos

Sistema Francés

ÍJEMPLOS PRACTICOS

Ejercicio 1 Un préstamo dé $10000 se cancela mediante cuotas iguales, mensuales y consecutivas de $2373,9 cada una. Se evalúan a una tasa del 72% nominal anual con capitalización mensual. Calcular: a) Plazo del préstamo. Rta: Vo = Ca(l,n,i) 10000 s= 2373,9 a(l,n,i) Despejar n ¡= 5 b) Saldo de deuda teniendo dos cuotas pagas. Ría: V2 = 2373,9 a(l,3,i) 6355,13 c) Sí junto con la tercer cuota de efectúa un pago extraordinario de $1900¿Qué saldo de deuda nos quedara por pagar en ese momento? Ría: V3 = 2373,9 a(1.2,i) -1900 = 2457,30 Eíercício 2 Nos otorgan un préstamo a devolver en 20 cuotas mensuales y constantes de $3000 cada una a una tasa del 85% nominal anual con capitalización mensual. Hallar a) Valor del préstamo. Ría: Vo = 3000 a(l,20,t) ^ 31815,9 b) ¿En qué periodo se habrá amortizado la mitad del préstamo? Rta: 15907,95 = t, S(o, p, i) siendo li= 3000 - 31815,9♦0,069863 = 777,2453 P= 13,15 c) Saldo de deuda después de pagar 15 cuotas. Rta: V,5 = 3000a(I,5.í) = 12305,105 d) En caso de omitirse el pago de las cuotas 8 y 9 ¿Qué pago extraordinario deberá efectuarse junto con la ultima cuota pam cancelar el préstamo? Rta: Pago extra: 3000 (1,069863)’^ + 3000 (1,069863)*’ Pago extra: 13051,86


119

Ciiadernillo de Calculo Financiero Sistemas de Amorti/ación de Piésíainos

Sistema FraiKes

Aplicació» de his funciones financieras dcl Excel al Sistema Francés. Al¿íunas liinciones financieras que présenla el Excel, ya las analizamos ul estudiar las remas inmediaias de pagos consianles. Vimos como calcular la cuota total, ííunción PAGO), d número de cuotas, (función NPER), la tasa o costo financieio con cuotas sin gastos (función fASA) o simplemente el valoi del préstamo (función V.A.) Ahora continuando con este sistema de cuota constante veamos otras funciones muy útiles para couleccionar el cuadro de marcha. Amortizadím neriódica con Excel La /unción financiera a utilizar es PAGOPRIN. Se refiere al pago del principal o capital. Calcula la amortización periódica (cuota capital) que compone una cuota determinada. Tomemos el ejemplo anienoi y calculemos la amortizacíem de la cuota numero 3. h a Ík(funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: PAGOFRIN Ahí se abriiá una ventana llamada ARGUMEN IOS DF LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio: Agimentos de la Furrion

Tasa = R?riocb = = VA = \/F = Ttpo =

0,02 3 5 1CXXX) orritir 0

Anrrtiz. = $-1999,22 Puede conoborarse el lesultndo en el cuadro tie marcha i’otal Amortizado con Excel La ÍLinuón financieia a utilizar es PAGO.PRINC.KNTRE: Se jeíicre al total amoitizado de un piésiamo entre dos fechas deteiminadas. Con el mismo ejemplo antenoi calcular el Total Amortizado con las primeras 3 cuotas. Recordemos que es la suniatoiia de las piimeias des amoiiizni iones periódicas. h a f, ((unciones) (Titegoría FINANCIERAS Selemonai PAGO.PKJNC.EN I RE Ahí se abriiá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan iodos los valores del ejercicio:

Lie. Clarisa A, Fregeiro

120

Cuíldemiílo de CaJculo Financiero Sistemas de Amortización de Préstamos

Sistema Francés

Argumentos de la Fundón

Tasa = Nper = Vp

Perjnídaí Per_final Tipo

0,02 5 10000 1 3 0

AmorlizActjmÜíáda

Se puede comprobar mirando en el cuadro de marcha que el total amortizado con la cuota número tres es de $5880,82, Vale aclarar que cl resultado incluye la amortización ambos periodos. Es la suma de Al + A2 +A3. Saldo de deuda con Excel La misma función utilizada para calcular el total amortizado la usaremos para encontrar el saldo de deuda luego de haber pagado una cantidad determinada de cuotas, ya que las amortizaciones que quedan por pagar representan este valor residual del préstamo. Por ejemplo, si calculamos el total a amortizar desde la cuota 3 hasta la 5 (la ultima) obtendremos como resultado el saldo de deuda luego de haber abonado la cuota numero 2. Es decir: A3 + A4 + A5 Ir a fx (funciones) Categoría: F'INANCIERAS Seleccionar: PAGO.PR1NC.ENTRE Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores d d ejercicio:

Argumentos de la Fundón 0.02 Tasa = 5 Nper = 10000 Vp Perînídal 3 5 Per^fina! 0 Tipo Ainortiz.Acumulada^$-6.118,40 v ’

Puede corroborarse el resultado con el cuadro de marcha.

Pie. Clarisa A, Fregeiro

121

C u adern illo d e C alculo Financiero S istem a s de A m ortización de Préstamos

Sistema Francés

Intereses periódicos con Excel La función financiera a utilizar es PAGOINT. Se refiere al pago de interés periódico que contiene una cuota. Por ejemplo calculemos el interés que contiene la cuota numero 4 Ir a f* (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: PAGOINT Allí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio: Argumentos de la Función 0,02 Tasa = Periodo = 4 Nper = 5 10000 VA = omitir VF = 0 Tipo = Interes

$ ‘ 82.38

'

Intereses totales con Excel La función financiera a utilizar es PAGO.INT.ENTRE. Se refiere al interés pagado entre dos periodos determinados. Por ejemplo calculemos los intereses totales del préstamo. Ir a f* (funciones) Categoría: FINANCIERAS i Seleccionar: PAGO.INT.ENTRE Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio: Arqumentos de la Función 0,02 Tasa = 5 Nper = 10000 Vp Perjnicial Per^final Tipo

1 5 0

Interes Total!

Puede corroborarse este resultado a través del cuadro de marcha sumando todos los intereses periódicos. También puede obtenerse calculando todo lo pagado menos lo correspondiente sd préstamo, es decir: 2121,58 x5 ~ 100000 = 607,92


122

C iiadem illo de C alculo Financiero Sistem as d e A m ortización de Préstamos

Sistem a Francés

Esta función financiera, también podemos calcular los intereses pagados entre dos periodos cualquiera, por ejemplo entre 2 y 4, ambos inclusive. Argumentos de ta Fundón Tasa = 0.02 Nper = 5 10000 Vp Perjnicial 2 Per^final 4 0 Tipo InteresTotal' >

$ ‘366,32'

Puede corroborarse con el cuadro de marcha que la suma de h + I3Í+ U

$366,32,

123 Clarisa A . PYegeiro

Cuadernillo de Calculo Financiero Sistem as de Am ortización de Préstamos

Sistema Alemán

Sistema de Amortización Alemán Este sistema tiene semejanzas con el sistema Francés, ya que en ambos la devolución del capital es periódica. Por lo que la cuota total a abonai' queda compuesta tanto de capital como de interés. C uota íoiíú (Cp) = cuota capital (tp) + cuota interés (íp)

La diíerencia radica en que la devolución de capital se realiza en forma constante. Es decir, la característica principal de este sistema es que el préstamo se devuelve en partes iguales. La amortización divide la deuda proporcionalinente aJ plazo. Es muy habitual nombrar al sistema Alemán como el “sistema de cuota capital constante**. Siendo: tp srVo /n £1 total amortizado será la suma de las amortizaciones periódicas constantes, por lo que resulta creciente en progresión aritmética de razón Vo/n. Tp = pVo/n T p - p tp El saldo de deuda, por lo tanto, decrecerá en progresión aritmética de razón Vo/n. Siendo la diferencia entre el préstamo que recibimos y el total amortizado. Este mecanismo recibe el nombre de método retrospectivo, ya que va del pasado hacía el presente. Vp = Vo-Tp Vp = Vo-p* Vo/n Vp = Vo[l-p/n] El método prospectivo calcula el saldo multiplicando la cuota capital por la cantidad de cuotas que faltan pagar: Vp = (ii -p) Vo/ii Al igual que el sistema Francés, los intereses serán decrecientes calculados sobre saldos de deuda del periodo anterior, debido a las devoluciones periódicas de capital. Ip = V,p.„î Ip = [n -(p -l)V o /n ]* i Ip = [(n -p + l)V o /n J* i EJ sistema Alemán, es un sistema “transparente” ya que la tasa efectivamente pactada representa el costo financiero de la operación. Esto se debe a que los intereses se calculan sobre saldos de deuda, generando un sistema totalmente justo para el deudor. Por este motivo es uno de los sistemas mas utilizados actualmente junto con el sistema Francés. El costo financiero sé vera modificada solo en el caso que existan gastos asociados al préstamo en cuyo caso pasara a llamarse costo financiero total. (Más adelante desarrollado) La cuota total o de servicio resultara decreciente por estar compuesta de una porción fija destinada a cancelar capital y otra parte decreciente para pagar interés. Cp = Vo/n + V(p.i)* i Cp = Vo/n + [n -(p-l)J V J n * i Cp = Vo/n [1+ (n-p+1) * i]


Cuadernillo de Calcylo Financiero Sistemas de Amortización de Préstamos

Sistema Alemán

La porción de cuota destinada a pagar Interés es dccrecíenie en progresión aritmética de razón: r =r - Vo/n Ya que los intereses se calculan sobre saldos de deudas que van disminuyendo a razón de V<>/n. Esto genera, entonces, que la cuota total también sea decreciente en progresión aritmética de razón r = -VJn Gráficamente:

Hicmplo Analizaremos el mismo ejemplo que en el sistema Ftancés para visualizar bien las diferencias entre ambos sistemas. Se toma un préstamo de $10000 a pagar en 5 cuotas mensuales a un costo financiero del 2% mensual En caso de que el préstamo se abone mediante el Sistema Alemán, las amortizaciones periódicas serán constantes: tp= 10000/5 = 2000, Y por lo tanto, los intereses se calculan sobre saldos riiiiodc fondos 0 1

'

+10000

1 1

2

4 1

3 1

1

-2000 -200

-2000 -160

-2200

-2160

1

-2000 -120

-2000 -80

-2120

La ecuación inicial de eauilibrío será

-2080

5 1

1

-2000 -40 -2040

1

Cuadro de m archa P 0 1 2 3 4 5

Vm 10000 8000 6000 4000 2000

ip 200 160 12 80 40


2000 2000 2000 2000 2000

2200 2160 2120 2080 2040

Tp

Vp

2000 4000 6000 8000 10000

10000 8000 6000 4000 2000 0

125

Cuadernillo de Calculo Financiero Sistemas de Amortización de Piósianios

Sistema A iem lñ’iv

Diferencias v similitudes entre el sistema Francés v el Alemán Sí bien ambos sistemas tienen devoluciones periódicas de capital, la diícrenté manera amortización genera quejas cuotas a pagar sean diferentes. Como se observa en el ejemplo, para igual monto de préstamo la cuota que se abona Francés resulta menor al principio que la que se abona por Alemán, pero como la cuota eú:':Í Alemán decrece en progresión aritmética, a partir de un cierto momento pasa a ser inferior u la | del Francés. Por lo tamo no son indiferentes desde la disponibilidad financiera, ya que | Alemán afronta desembolsos iniciales más altos con respecto al Francés. Periodo

en aue se ieiialan las cuotas del Sistema Francés v Alemán:

Cuota del sistema Francés: C = Vo * a ‘ *(l,n ,i) Cuota dcl sistema Alemán: C = Vo/ii + i* Vo [1- p-l/n] Igualar las cuotas para Vo = $l: 1/n + [1 -p-i/n] = a '* ( l,n ,i) [1- p-l/n] = a " ’ (l,n ,i) - 1/n i - i [p-I/n] = a " ‘ (I,n ,i)-1 /n - i [p-l/n] = a “ *(l,n ,i) - 1 /n -i i [p-l/n] = l/ii + i - a " ‘ (I,n ,í)

p-1 = [1/n + i - a" *(l,n ,i)l n/í p t= [1/n + i - a - * (1,11 ,í)] ii/i + 1 Para el ejemplo anterior: P = [1/5 + 0,02- a " * (l,n ,i) ] 5/ 0,02 + 1 P = 2,98 Nótese en los cuadros de marcha que en la tercera cuota del sistema Alemán la cuota se iguala; con la del sistema Francés. ! "" Tanto el sistema Francés como el sistema Alemán resultan financieramente equivalentes sí éí ‘ costo financiero del préstamo es el mismo. Es indistinto lomar uno u otro si la tasa de interés;* que se cobra es la misma, ' : ‘á En el sistema Alemán al pagar el capital proporcionalmente al plazo, el préstamo se devuelve más rápido que en el sistema Francés, donde la amortización es creciente en progresión^ geométrica. El ritmo de amortización determina que el saldo de deuda en el sistema Alemán descienda más rápido ofieciendo pagar menos intereses al deudor que el sistema Francés. En la? mitad del plazo de devuelve la mitad del préstamo abonando por sistema Alemán en caniSio! por Francés debe transcumT el 70% del plazo aproximadamente para cancelai' la mitad deí? préstajTio. Esto determina que desde el punto de vista económico no resultan equivalentes, a siendo el Alemán más favorable. '

Eic. Clarisa A. Fregeíro

-v^

Cuaclemillo de Calculo Financiero Sistemas de Amortización de Préstan-os

Sistema Alemán

EJEMPLOS PRACTICOS Ejercicio 1 Se compra un camión en la suma de $ lOÓOCX), el 20% se abona al contado y el resto en 25 cuotas bimestrales mediante el sistema de cuota capital constante con una tasa del 24% nominal anual con capitalización bimestral. Calculan a) Cuota numero 12 y 19 Rta: Cp = Vo/n [1+ (n-p+l) * i] C ,2 800(X)/25 [ I f (25-124-1) ♦ 0,03945] = 4967;J6 Cj9 = 80000/25 ri4- (25-19+1) 0,03945] 4083,68 b) Saldo de deuda luego de abonar las cuotas 12 y 19 Rta: V p=V oILp/n] Vj2 = 80000(1- 12/25] = 41600 V,9 = 80000(1- 19/251= 19200 c) Total amortizado después de haber pagado la cuota numero 5. Rio: T5 = 5 ^ 80000/25 = 16000 Ejercicio 2 Una empresa solicita un préstamo de $7000000. Un banco presto el dinero el 1-3-84 con amortización en 5 años en pagos trimestrales y cuota capital constante a una TNA con capílalización trimestral del 40,5555%. Se pide: a) Cuota numero 2 Rta: Cp = Vf/n [1+ (n-p+l) * i] Ca = 7000000/20 (1+ (20-2+1) ♦ 0,1] = 1015000 b) Deuda pendiente de pago el 1-12-87 Rta: Vp = Vo(J-p/n] V,5 = 70000011- 15/20] = 1750000 c) Capital que será amortizado el 1-12-87 Rta: ti5 = 7000000/20 = 350000 d) Capital total amortizado el M2-87 Ría: T,5 == 15 * 7000000/20 = 5250000

. Clarisa A. Fregeiro

::

127

Cuadernillo de Calculo Financiero Sistemáis de Amortización de Préstamos

Sistema Americano

Sistema de Aniortízacióii Anierícímo

íJ

Los sistemas de reembolso de préstamo se diferencian, como ya dijimos, por la forma en que ^ se devuelve el capital. Tanto en el sistema Francés como en el Alemán la devolución es periódica, Jo que genera, que el saldo disminuya y que Jos interese calculados sobre saldos de j deudiis resulten decrecientes. El sistema Americano, se diferencia de los dos anteriores por no existir devoluciones periódicas de capital, este se devuelve lodo junto al vencimiento. La devolución única al venciniienlo determina que cl saldo de deuda no disminuya y que Jos intereses calculados sobre , saldos resulten constantes. ' Por lo que la cuota total a abonar queda compuesta solo de interés y recibe el nombre de cuota obligatoria. Cuota total (Cp) = cuota interés (Jp) ípr: V o * ¡ Gráficamente: 1 Cap, + Iní.

Inl.

Int,

1 Ini.

Inl..

_______ 1

•-V

AI igual que los sistemas anteriores el sistema Americano es un sistema “transparente”, ya que la lasa comunicada representa el verdadero costo financiero de la operación debido al pago de t" intereses sobre saldos. La tasa activa en este sistema es la TÍR. f El sistema Americano así presentado es el llamado sistema Aiiiericaiio “puro” . . I*

Ejemplo: i Continuando con cl ejemplo de siempre para poder compara los sistemas, tomamos un^' préstamo de $10000 a devolver en 5 cuotas mensuales con un costo del 2% mensual. ' •r:.íp = 10000*0,02 = 200

,1

Flujo de fondos

0

+10000

-200

-200

-200

-200

-200

u-

■

-10000 \

*-

■


■

■

Cuadernillo de Calculo Financiero Sistemas de Amortización de Préstamos

Sistema Americano

L1 cuadro de marcha queda: V p-i 10000 10000 10000 10000

10000

200

200

200 200

200 200

200 200

200

10000

10200

10000 10000 10000

10000 10000 10000

o

Sistema Americano impuro o con constitución de fondo Existe una variante dentro deJ sistema Americano donde el deudor puede constituir un fondo con un depósito periódico de cuotas con el objetivo de reunir el capital que tendrá que restituir al vencimienlo del plazo. Esta variante recibe el nombre de sistema Americano Impuro o con constitución de fondo. Esta cuota nos asegura contar con el capital llegado el momento tlel vencimiento. Recibe el nombre de cuota facultativa, de previsión o de fondo de ahorro. Son cuotas de imposición por las cuales nos abonan una lasa pasiva. A la tasa pasiva para diferenciarla de la tasa activa la nombraremos i' C f= V o S ’* (0, n, D Esta cuota cumple la función de juntar solo el capital. Para asimilar este sistema con los anieriores, esta cuota facultativa cumpliría la función de tp, ya que solo estamos hablando de capital. La cuota total a abonar resultara de la suma de ambas cuotas. Puede observarse que al existir el fondo de ahorro, el flujo de fondos se vera modificado, ya que el egreso periódico se complane tanto de la cuota obligatoria como de la cuota de previsión. n = ip-HCf C i = V o * i +Vo ♦ S (0, n, D Ct = Vo í i + S (0, n. D ]

Siendo: Ci = cuota total i =: tasa activa i = lasa pasiva

Poi Jo tanto, en caso de existir el fondo de ahorro, el total amortizado será lo que haya juntado tí) el fondo hasta el momento que estamos calculando T„ = Cf S(0, p ,D El saldo de deuda, por lo tanto, será el valor del préstamo inicial menos el valor del fondo de ¡iho no en un momento determinado: Vp= V o - T p

Vjj= Vo - Cf S (0, p, D

fdansa A. Fregeiro

120

Cuadernillo de Calculo lunanciero Sislenius de Amortización de Préstamos

Sistema Americano

Kn caso que exista el fondo de aliono, para calcular los inlercscü lolales de la operación, tenemos que liabiai de intereses netos, ya que por un lado estamos pagando un interés con la lasa activa y por otro, estarnos ganando un interés con Ja lasa pasiva. r if Inreuíses pagados: ](o,n) = Vo* i * n ; 1 Intereses ganados: lô.n) = Vo - Cf , De la diferencia de ambos intereses, podemos extraen intereses netos; í(o,„) = Ct =*^11 - Vo Siendo (7t la cuota total que incluye la cuota interés y la cuota del fondo. Bícinnlo Retomando el ejemplo anleiior, un préstamo de $10000 a devolver en 5 cuotas mensuales con un interés del 2% mensual. Supongamos que se constituye un fondo de ahorro con una tasa pasiva dd 1%. Cuota ele iniorés u obligatoria: lp= 10000*0,02 = 200 Cuota de alion'o o de previsión: Cf = 10000 * 0,01 = 1960,39 (1,01)’ -I

:

La cuota total será de $2160,39 Rccíudcmos que el abono se produce en forma paralela al pago de interés. Por lo que al banco siempre se le debe el total dcl préstamo, ya que este nunca recibe ningún pago de amortización liasta d final dd plazo. En caso de cancelación anticipada o de refinanciación, deudor puede utilizar el fondo ahorrado Jiasia ese momento como pago extraordinario. Cumpliendo la función de un total amortizado. Pero el fulo de fondos para el deudoi ciuecla:

^10000

2 ] ___1____ 1 -200 -200 '1960.39 -1960.39 -2160,39 -7160,.39

3

-20ü •iy60,39 -2160,39

4 1 1 •200

•1960,39 -2160,39

5 1 “ i -2 0 0

■1960.39 ^2160.39

í

Lie Clarisa A. Fregeiro

130,Si - i 't

Cuadernillo de Calculo Financiero ■ Sistemas de Amortización de Préstamos

Sistema Americano

C alculo d e l C o sto F in a n c ie r o

En el sistema Americano Puro el costo financiero es la tasa activa, pero al existir el fondo de ahorro surge la tasa pasiva. El verdadero costo no será la diferencia entre ambas tasas. El ahorro implica un egreso periódico más alto que modifica el flujo de fondos. Esto determina que el costo financiero se vea modificado. Los egresos periódicos crecen y la tasa activa deja de ser el costo financiero ya que no es la tasa que iguala el valor actual del préstamo (ingreso) con el valor actual de las de las cuotas (egresos). El verdadero costo surgirá de igualar el préstamo con la cuota total constante. De esta manera se encuentra la tasa sobre saldos que el deudor termina soportando. 10000 = 2160.39 a (l.n , i) La ecuación representa una renta inmediata vencida o sistema Francés. Del mismo modo que lo estudiado en el capítulo 12 la tasa la despejamos buscando en las tablas financieras el valor de a (1, n, i) y luego interpolando. 10000 = a n . 5. i) 2160,39 4,6287= a (1.5,i)

TABLA ÍV

La lasa buscada se encuentra*entre el 2,5% y el 2,75%. Interpolando; 4,6485___________ 0.025 4.6287____________ X 4,6125____________0,0275 4,6485 - 4,6125 4,6485-4,6287.

0,0275-0,025 X - 0.025

Realizando la regla de tres simples;

X= 0,02637 La lasa del 2,637% es el costo financiero del préstamo. Nótese que el costo financiero del préstamo no es ni la tasa activa ni la tasa pasiva. Es una tercera tasa que involucra el desembolso total que el deudor debe efectuar.

Clarisa A. Fregeiro

131

Cuadernillo de Calculo Financiero Sistemas de Anaortización de Préstamos

Sistema Americano

Ápllcacién del Excel para calctilar el costo financiero. Tomando el mismo ejemplo:

Se toma un préstamo de $10000 a cancelar con sistema Americano. Tasa activa 2% mensual. Tasa pasiva 1%mensual. Cuota de inteiés u obligatoria: íp= 10000* 0.02^=200 Cuota de ahorro o de previsión: Cf « 10000 * 0.01 g 1960,39 d W -1

La cuota total será de $2160,39 Para calcular el costo financiero mensual de dicha financiación, aplicamos la misma función que estudiamos en rentas inmediatas, ya que las cuotas totales resultan constantes. Seguir los siguientes pasos; hr a fx (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: TASA Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio: Afoumantos de la Fundón Np«r< 5 -2160.39 Pago* VA* 10000 Omitir VF0 Tlpo*

TASA*" 2.63%


w

Cuadernillo de Calculo Financiero Sisremas de Amortización de Préstamos

Sistema Americano

EJEMPÍjOS PRACTICOS Ejfrglütái • Se ha pactado up préstamo de $200000 amortizable mediante el sistema Americano al 8% de interés semestral durante 4 anos de plazo. El deudor en la misma época que paga los intereses deposita una sqma fija en un banco para tener reunido el capital recibido a la fecha de su vencimiento. Sabiendo que el banco capitaliza los intereses semestralmente al 6%, determinar: a) La 9uoia de servicio de previsión y la cuota de servicio obligatoria. Rta: C I= 200000*0.08=16000 C F = 200000 S'* (0,8,0,06)] = 20207,189 b) Intereses totales a abonar Rta: I (0,8)= 36207,189*8 - 200000= 89657,51 c) Total amortizado con la quinta cuota. Rta: Ts = 202Ó7.189 S(0.5,0.06) Ts= 113909,8 d) Saldo de deuda luego de abonada la sexta cuota. Rta: V6 = Vo~Tfi V6 = 200000 - 20207.189 S(0. 6 .0;06) V6= 59048,42 ,

Ejercicio 2 Una deuda de $100000 que gana el 7% anual de interés debe ser amortizada en 4 años por el sistema Americano, depositando anualmente cuotas en un fondo de ahorro al 5% anual. a) ¿Cuál debe ser la cuota para pagar los intereses y para formar el fondo de ahorro? Rta: C T = Vo [ia + S '( 0 ,n ,n i CT = 100000 [0,07 + S-‘ (0,4,0,05)] CT = 30201,18 b) Calcular los intereses Totales. Rta: I(0n) = C T *n-V o I (0.4)= 30201.18*4 - 100000= 20804,732 Ejercicio 3

í

.

Determinar el costo financiero de un préstamo de $4500000 a devolver mediante el sistema Americano en 35 cuotas sabiendo que la tasa activa es del 7% y la pasiva del 5%. Rta: c r r = Vo [ia+ s '(0,n,ip)l CT = 45(XK)00 [0,07 + S ' (0,35,0,05)] CT = 364822.68’ ^ ^ V o= CT a( l,n ,i) 4500000= 364822,68 a(l,n, i) Busco en la tabla IV í = 7,45 %

.■’■

Clarisa A. Fregeiro

• 133.. . •,’J"■ . ‘V‘

.i -’■

[■'■í -’

(.-uademillo de Calculo Financiero Sistemas de Amortización de Préstamos

Método de Tasa Directa

Método de Tasa Directa Este método mantiene la estructura de la cuota de los sistemas antes vistos. En cuanto a que parte de ella se destina a devolver el capital y otra parte a pagar los intereses.

Cuota total (Cp) = cuota capital (tp) + cuota interés (Ip) El igual que en el Sistema Alemán la cuota capital es constante. tp=sVo/n La principal diferencia radica en el cálculo de los intereses, ya que se utiliza un tipo de interés calculado sobre el valor total de la deuda ignorando las amortizaciones periódicas de capital. Es un sistema de fácil determinación porque constituye una práctica fínanciera arbitraría ya que los intereses no se calculan sobre saldos. Ip = Vo*^r Llamaremos “r” a la tasa directa para diferenciarla de la "i” tasa sobre saldos. Por lo tanto la cuota total nos queda:

C = Vü/n +Vo*r

C = Vo[iyn + r] El total amortizado será la suma de las amordzacíones periódicas constantes, por lo que resulta creciente en progresión aritmética de razón Vo/n. Tp = p * V,/n Tp = p tp El saldo de deuda, por lo tanto, decrecerá en progresión aritmética de razón Vo/n. Siendo la diferencia entre el préstamo que recibimos y el total amortizado. Este mecanismo recibe el nombre de método retrospectivo, ya que va del pasado hacia el presente. Vp = Vo.Tp Vp = Vo~p*Vo/n

Vp = Vo(l-p/n] El método prospectivo calcula el saldo multiplicando la cuota capital por la cantidad de cuotas que faltan pagar: Vp = (n -p) Vo/n

Calculo del Costo financiero En los sistemas anteriores estudiamos que si la tasa de interés es aplicada sobre saldos de deuda genera una operación transparente en el sentido que la tasa comunicada representa el verdadero costo financiero de la operación. (Sistema Francés, Alemán y Americano). Este método, en cambio, se tala de una operación no transparente: el costo financiero de la operación esta implícito y obviamente será superior a la tasa contractual. La tasa comunicada en ia financiación es una tasa ficticia, no representa nada al no aplicarse sobre saldos de deuda.

i > r


134

Ciiademillo de Calculo Financiero Sistemas de Amortización de Préstamos


Decir costo financiero, tasa sobre saldos o tasa interna de retomo es lo mismo, son sinónimos y nos estamos refiriendo a *T\ Para poder determinar el verdadero costo implícito en este método, la lasa que en realidad el deudor soporta, se debe buscar la tasa sobre saldos que representa la operación. Dicha tasa es la tasa ya que iguala el valor actual del ingreso (préstamo) con el valor actual del egreso (cuotas). Ejemplo Analizaremos el mismo ejemplo que en el sistema Francés, Alemán y Americano para visualizar bien las diferencias entre todos los sistemas. Se contrae un adeuda por $10000 a pagar en 5 cuotas mensuales a una tasa del 2% mensual Con el método de T asa D irecta las cuotas tendrán un valor de: C = 10000/5 + 10000*0,02= 2200 Cuadro de marcha: Cp

ip

tp

200 200

2000

2200

2000

2000 2000 2000 2000

2200 2200 2200

4000 6000 8000

2200

10000

Tp

Vp 10000

200 200 200

8000 6000 4000

2000

0

El ílujo de fondos quedará: 0

+10000

1

' '2

-2200

-2200

-2200

-2200

-2200

La ecuación inicial de equilibrio será 0= 10000 -2 2 0 0 a (1,5, i) Despejando la i de esta ecuación mediante la interpolación lineal su resultado será: 3,26%, mayor al 2% por supuesto. La interpretación es que si la financiación se hubiese realizado por Sistema Francés con una (asa sobre saldos del 3,26% seria indistinto que con tasa directa al 2%, debido a que el flujo de fondos sería el mismo para los dos, por lo que los dos tienen el mismo costo financiero.

r í.

■'A.yi

'.í*

■■■ ■ ‘ ‘■

i3 5

Clarisa A. Fregeiro ''"V'

Cuadernillo de C alculo Financiero Sistem as de Am ortización de Préstamos


Relación entre la tasa sobre saldos v la tasa directa. Cuota de Francés: Cuota de Tasa directa:

C = V© * á ~ * (1 ,n, i) C = V©[1/n + r]

Igualando ambas cuotas y suponiendo un V©= $1 V©*a

^ (l.n,i) = V©[I/n + r]

a *"' (l,n, i) = 1/n + r a ~ * (l.n, i) - 1/n = r

Esta expresión nos muestra la relación entre ambas tasas. Igualamos las cuotas del sistema Francés y la dcl método directo solo por el hecho de que ambas cuotas son constantes. Analizando esta relación detalladamente, se observan implicaciones importantes para el acreedor y para el deudor. é

'■ ,

Cuando el número de períodos es igual a 1 la tasa directa es igual a la tasa sobre saldos, para luego pasar a ser mayor i que r alcanzando un punto óptimo para el acreedor. Y luego vuelva a igualarse. Luego, cuando el número de cuotas tiende a infinito la i y la r vuelven a igualarse. Esto quieie decir que existe un punto óptimo para otorgar préstamos, es decir, para alcanzar la máxima rentabilidad del prestamista. Otra característica de esta relación es que cuanto menores son las tasas, mayor es la diferencia entre la tasa sobre saldos y la tasa directa. Es decir, si la lasa directa es del 1% mayor será la diferencia con la i, que si la lasa directa utilizada es del 10%.

Cuademillo de C alculo Financiero Sistemas de A m ortización de Préstamos

e je m p l o s


PRACTICOS

Fjercicio 1 Se otorga un prestamote $10000. las partes pactan su cancelación en 15 cuotas vencidas irimestrales iguales que incluyen intereses sobre el total de la deuda al 10% TNA. Hallar: a) Cuota total desglosada en capital e interés. Recordemos que: Cp = tp + Ip 10000 + 10000*0.02465 15 Cp = 666,67 + 246,65 = 913,24 b) Si luego de abonada la octava cuota se realiza una amortización extraordinaria de $500 ¿Cual será el valor de la nueva cuota? El pago extra d eb e restarse al saldo que el deudor tiene lu eg o de abonada la o ctava cuota. Entonces:

Vs = 10000 - 8 10000 = 4666.6 15 Vj{ = 4666,66 - 500 = 4166,66

Con este nuevo saldo calculamos la nueva cuota:

Cp= 4166.66 + 10000*0.02465 = 841.79

Ejercicio 2 Compramos un automóvil en $30000 en cuotas mensuales y constantes de $2400 que incluyen un interés directo del 3% mensual del capital total 1, ¿Cuántas cuotas debe pagar para cancelar la deuda? C p = ip + Ip

2400= 300004- 30000 *0.03 n

n=20

2. ¿Qué tasa sobre saldos representa la operación? De la ecuación inicial de equilibrio despejamos la “i” con la tabla IV 30000 = 2400 a (l,20,i) i = 0,05 • . Ejercicio 3 ‘ ' ¿Cual será el costo financiero efectivo de un préstamo pactado a 24 cuotas con una tasa directa periódica del 2%? Utilizando la relación entre la tasa sobre saldo y la tasa directa despejar “i” con la tabla IV 0,02 = a ''(l,2 4 .i ) ~ l/2 4 ' ; i = 0,03407 Ejercicio 4 Si deseo uri interés efectivo del 10% ¿Cual es la tasa directa que debo aplicar para 5 periodos? r = a ’ (1,5,0.10) - 1/5= 0,06379


137.^

Manual de Calculo Financiero Sistemas de Amortización _____________________________________ Costo Financiero Total (C .F X )

Cálculo del Cosío Fiuancicro Total (CF.T.) Los sisiernas pueden rcpresenüu o|)eraciones transparentes, donde la tasa contractual coincide con la TÍR del ¡)réstamo es det ir cl vcidadero costo financiero. También pueden ser no transparentes, donde la tasa conliactual no coincide con el costo financiero. Recordemos que este tipo de situación se da en cl Método de Tasa directa debido a que los intereses no se calculan sobre saldos de deuda Independientemente del sistema que se aplique en un préstamo, pueden existir gastos asociados al mismo, como ser, seguro de vida, gastos de otorgamiento, IVA sobre los intereses, etc. Esto genera, lajnbién, (¡iie la lasa intonnada o contractual deje de sei el verdadero costo financiero dcl j>réslamo, ya que cl flujo de fondos del mismo se modifica. La (asa que cl deudor term ina so|X>rtando que incluye lodos los gastos a so cia d o ai préstamo se llama Cosío Financiero Total. (C.F.T.) Ln ct siguiente ejemplo se analiza como el costo financiero cambia debido a que le flujo de fondos se modifica Algunos gastos afectan al préstamo, es decir, aJ ingreso inicial como ser los gastos de otorgamiento, en este caso se restaran al préstamo. Y otros gastos como son periódicos afectan a las cuotas como ser el seguro de vida o elJva de los intereses, en este caso se sumaran a las cuotas RelonuMiios el caso anterior para un mejor análisis y luego veamos un caso real niempio Se loma un préstamo de $10Ü(X) a pagar en 5 cuotas mensuales CF:27,2L34% (TEA) TF.M 1% Iva sobre los intereses 2 J % Seguro de vida del 0 , 3 sobre saldos de deuda Gastos de otorgamiento 1% Je) piéslamo

Aplicando Sistema Francés: p 0

Interes

1

200 161,Ó6

Amon

Cuota Pura

I

, Seguro

IVA

Cuota totai^

Total Amoft

Saldo deuda

1921,58

10000 8078,42 6118,4

2121,56 2121,56

30 24,35

42 33.927

2193,58 2179,74

2121.66

18,3552

25.6956

2165,63

3881,69 5800,8

4119,19

12,3575 17,299 6,24 r 8,736

2151.236

7919,99

2080

2136,556

10000

0

2 3

122,36

1921,58 1960 1999,21

4

82,30

2039,19

2121,56

5

41,6

2080

2121,56

111 CFT es la lasa que iguala el ingreso (préstamo menos gastos de otorgamiento) con los egresos (cuotas pujas nia.s gastos). Para obtcnei el CFT utilizamos cl Excel ya que a mano solo podríamos a prueba y error hasta llegar a dicha lasa.

Lie C’lansn A. Fregeiro

138

Manual de Calculo Financiero Sistemas de Amortización

Costo Financiero Total (C ,F X )

Anlícacióii del Excel para la obtención clei CFT Esta rasa c|iie iguala flujos de fondos recibe el nombre de Tasa Interna de Retomo. Por lo tanto la función financiera a utilizar es la TIR. Es la tasa implícita en cualquier flujo de fondos con diferentes signos, es decir, ingresos y egresos. En una financiación, recordemos que esta tasa recibe el nombre de costo financiero total. Y en una inversión será el rendimiento. Los pasos a seguir son: Ir a fx (funciones) Categona: FINANCIERAS Seleccionar: TIR (Tasa interna de retomo) Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan lodos los valores del flujo de fondos. Recordemos respetar el signo de cada flujo. El préstamo es un ingreso que debe incluir el gasto de otorgamiento por eso nos queda un ingreso neto de $9900, las cuotas significan egresos de dinero que deben incluir los gastos periódicos. Nos queda el siguiente flujo de fondos: Periodo 0 1 2 3 4 5

Flujo de fondo 9900 -2193.58 -2179,74 -2165,63 -2151,236 -2136,556

CF,T=

3,0729%

Recordemos que como las cuotas son mensuales, la lasa obtenida corresponde a una TEM, pero en la realidad el CFT siempre es comunicado en TEA. Se puede observar que la tasa aplicada para el cálculo de las cuotas fue del 2 % mensual y que debido a los gastos el deudor termino pagando un 3,0729%.

Aplicando el Sistema Alemán El mismo préstamo si se amortizara con el Sistema Alemán el cuadro de marcha con los gastos incluidos será: P 0 i 2 í A !_ 5

Interes

Amort.

Cuota Pura

Seguro

IVA

Cuota total

200 160 12 80 40

2000 2000 2000 2000 2000

2200 2160 2120 2080 2040

30 24 18 12 6

42 3.6 25,2 16.8 8,4

2272 2187,6 2163,2 2108,8 2054,4

Clarisa A. Fregeiro

Total Amort. Saldo deuda

2000 4000 6000 8000 10000

10000 8000 6000 4000 2000 0

139

■-

Mü/luaj íle Calculo Financiero Sistemas de Amortización

Costo Financiero Total (C.F,T.) ’"/-

Para Ja obtención del CFF aplicaremos el Excel como lo hicimos en el sistema Francés:

:¿ 1

Ir a fx (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: TIR (Tasa interna de retomo) Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores deJ flujo de fondos. • I ¡F lujo de fondo

P eríodo

I I I I

0 1 2

3 4 5

9900 -2272 -2217 -2163.2 -2108.8 -2054.4

1

C.F.T =

3,0755%

TEM

Anlícando el Sistema Aiíiericano Analicemos primero el sistema Americano Puro, es decir, sin la constitución del fondo de ; ahorro. El cuadro de marcha con los gastos incluidos resulta:

’ P 0 1 2 3 4 5

Inferes

Amoft.

1 Cuota Pura

Seguro

IVA

Cuota total

Saldo deuda

272 272 272 272 10272

10000 10000 10000 10000 10000 0

" 200 200 200 200 200

200 200 20C 20C 10200

0 0 0 0 10000

,30 30 30 30 30

42. 42 42 42 42

Una vez confeccionado el cuadro de marcha, para obtener el costo financiero total con la - i aplicación del Excel seguir: . ‘ i Ir a f, (funciones) Categoría: FINANCIERAS . ' Seleccionar. TIR (Tasa interna de retorno) ; * Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan lodos i;; los valores del flujo de fondos. Periodo 0 1 2 3 4 5 C.F.T =

Flujo de fondo 9900 -272 -272 -272 -272 -10272 2,93797%


TEM

Miinual de Calculo Financiero Sistemas de Amortización

Costo Financiero Total (C.F.T.)

Analicemos como afecta al CFT la constitución del fondo de ahorro en el sistema Americímo. Retomando el ejemplo anterior, un préstamo de $10000 a devolver en 5 cuotas mensuales con un interés del 2% mensual. Supongamos que se constituye un fondo de ahorro con una tasa pasiva del 1% mensual: Cuota de ahorro o de previsión: Cr= 10000 * Q.Ql = 1960.39 (J.o i)’ - l Por lo que al flujo de fondos anterior hay que sumarle esta cuota de ahorro, quedando: Periodo R u jo d e fo n d o ^ 0 9900 1 -2232,39 2 -2232.39 3 -2232.39 4 ^ -2232.39 5 -2232,39 C.F.T =

4.13725%

TEM

Puede observarse que el incremento del costo fínanciero total se debe al mayor desembolso periódico. De alguna manera debe contemplarse la no disponibilidad del dinero privilegiando Ja formación del ahorro.

141

í-ic. C larisa A. Fregeiro

Manuai de Calculo Financiero Sistemas de Amortización


AiiálLsis d e iin caso real Eli sii»uiemc ejemplo tiie exiniído dd banco Standard Bank a modo didáctico» sin que ello implique ninguna publicidad. JVc.stíniios personales •

Máximo: 60 ine.ses

•

Moneda: Pesos

•

Para eJ destino que usted desee

•

Sistema de amortización: Francés

•

Gastos Adniínislrativos: 3 % + EVA

•

Seguro de Vida: 0,25 % sobre el saldo deudor

•

Sin gastos de cancelación total anticipada

•

Posibilidad de elegir la (echa de vencimiento de la cuota.

Ejemplo pam un crédito de $ 1.000. 48 Mq8¿^^ i

60 Meses .

1h «

Tjsa Ftja

SI 03.98

S62.36

$48.84

$43.82

$40.95

Tasa VanaLlú

S99.36

'S57.83

$43.92

$37.22

$33,31

L jj uiJoí-Tuodas incluyen capital, interés, IVA sobte interés y seguro de vida (0,25% sobre saldo deudor). Deptndu ndo de la fecha de yenamiento de cuotas que el cliente elija, el monto del préstamo solicitado podrá sufrir modificaciones al wome.nTo de su liquidación. c u o iü s

PARA PRÉSTAMOS A TASA FUA: TNA FUA 28.50%, TEA 32.54%., CFT (TEA) 55.92%, EN UN PLAZO DE 12 MESES. TNA FUA 28.50%, TEA 32.54%, CFT (TEA) 50.90%, EN UN PLAZO DE 24 MESES. TNA FUA 28.50%, TEA 32.54%, CFT (TEA) 49.20%, EN UN PLAZO DE 36 MESES, TNA FUA 30.50%, TEA 35.15%, CFT (ITiA) 51.95%. EN UN PLAZO DE 48 MESES. TNA FUA 31.50%, TEA 36.48%, CFT CFEA) 53.27%, EN UN PLAZO DE 60 MESES.

NoiiiencJatuia: TASA NOMÍNAJ. ANUAL = (TNA) TASA EFECTWA ANUAL = (TEA) COSTO FINANCIERO TOTAL = (CFT) Análisis: Analizamos paia un capiíal de $1000 a pagar en 12 meses a una lasa fija de TNA = 28.50% ¡30= 0.285*30/365 = 0.0234246 Cuota pura (sin gastos) C = 1000 * f0.0234246/ 1- (1.0234246; ‘'^J = 96,559

Lie. Clari.sa A. Fregeiro

142

Munmil de Calculo Financiero Sisífnias de Arnonización

Cosío Financiero Toial (C.F.T.)

Descomposición de la primera cuota: I , = 1000*0,0234246 = 23.4246

r, = %,559 c

t , =96,559-23.4246 = 73.1344

Calculamos el IVA sobre los intereses: Gastos por iva: 0,21*23.4246 = 4,91916 Calculamos el seguro de vida: Gastos por seguro: 0.0025* 1000= 2,5 Cuota total informada = 96,559 + 4,91916 + 2,5 = 103,978 Cofiiprobamos que la cuota informada vSe refiere solo a la primera, dado que ai calcular el iva suhie los intereses y el seguro sobre el saldo de deuda, la cuoia debe disminuir a medida que :iuiiienia le plazo. Cuadro de marcha

ü 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ^10 '1 2

Interés

Amort.

23.4246 21.71145593

73,1344

Cuota Pura

Seguro

IVA

Cuota Total

Total Am ort

Saldo de Deuda

96.559 96,559 96,559

2.5 2,3176 2,1301

4,919166 4.559405746 4,1895

103,978166 103,113 102,879

1,841

3,62 3,231 2,83 2.630177767 2,199896976 1,794979178 1.360397756 0,917274779 0,463771824

101,43295 100,629 100.5258768 99,88551015 99,2653841 98,61077397 97,94244871 97.25846819

73,1344 147.9819441 224,5827619 302.9779233 363,2094599 465.3203883 549.3547322 635,4380323 723.4495124 813.5304279 905,7214527 1000,072015

926,8656 852.0180559 775.4172381 697.0220767 616,7905401 534,6796117

1000

19,95818215 18.16383864 16,32746334 14,44807168 12,62465603 10.47569989 8.547519894 6,478084551 4.367975139 2,208437258

74.84754407 76,60081785 78.39516136 80,23153666 82,11092832 84,03434397 86,08330011 88,01148011 90,08091545 92.19102486 94.35056274

96,659 96,559 96,559 96,559 96,559 96.559 96,559 96,559 96,559

1,64295 1,44 1,336699029 1,126613169 0.911404919 0.691376219 0,46617393 0,235696368

102,02

450.6452678 364,5619677 276.5504876 186.4695721 94,27854726

&lculo del costo financiero Total aplicando el Excel a I, (funciones) âlegoría; FINANCIERAS ^Hecrionar: TIR (Tasa interna de retomo) se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos valores del flujo de fondos. Recordemos respetar el signo de cada flujo.

^'lansa A. Fregeiro

143

0

Maiuiul (le Calculo Financiero Sistemas de Amortización Periodo

0 1 2 3 4 5

6 7

8 9

10 11 12

LCqK.T =


Flujo de fondo -963,7 103.978166 103,113 102.879

102.02 101,43295 100,829 100,5258768 99.88551015 99.2653841 98,81077397 97,94244871 97,25846819

3,69915%

Recorclenioí) que como las cuotas son mensuales esta tasa obtenida es una TEM. Pero el costo ílnnncicro total siempre viene informado en TEA Aplicamos equivalencia: ÍM5 = (1+0,0369915)’“ '” - ! =0,5558 Existe una pequeña diferencia con respecto ai CFT informado del 55,92%, que seguramente será un problema de decimales generado en la confección del cuadro de marcha.


144

Manual de Calculo Financiero de Inversión_______

Proyectos

Capítulo 16 -Evaluaciones de Provectos de InversíónEl Jhijo de fondos asociado a una inversión es lo que verdaderamente interesa exponer en este capitulo correcta valuación a través de diferentes criterios que nos permitan tomar decisiones acertadas.

V su

La decisión de invertir. Aspectos importantes de una inversión. Ivus decisiones de inversión involucran aquellas asignaciones de recursos a través del tiempo y su análisis es orientado desde una evaluación de carácter global. Es decir, una empresa va a comprar un activo y desea estudiar la viabilidad de esa inversión. Toda evaluación debe estar orientada a descailar proyectos no convenientes en relación a la disponibilidad de recursos ya que estos no son ilimitados por las empresas. El objetivo de los proyectos de inversión es la de colocar los recursos disponibles de la empresa de manera rentable. La idea es optimizar esta asignación de recursos y definir cuanto invertir y en que invertir. La decisión de invertir conlleva la idea de resignar recursos actuales con la expectativa de que dichos recursos generen a lo largo del tiempo beneficios futuros, por eso, un elemento de importancia es el movimiento de fondos dado por los pagos que la empresa realiza (desembolsos) y cobros que recibe (reembolsos). Toda inversión genera ingresos y egresos, a estos los llamaremos generalmente flujo de fondos. Para evaluar una inversión es necesario realizar dos pasos previos. • Estimar el flujo de fondos. • Estimar la tasa de corte.

Construcción del flujo de fondos Toda inversión genera ingresos y costos, a estos movimientos de dinero los llamaremos flujo de fondos. El armado del flujo de fondos es lo mas difícil de realizar en el estudio de un proyecto, ya que se debe confeccionar en base a estimaciones en relación a los beneficios futuros que la inversión inicial genere. Por lo general, se confeccionan flujos de fondos optimistas, pesimistas y conservadores para darle al inversor diferentes escenarios alternativos de lo que su inversión puede llegar a generarle en el futuro. Para la confección del flujo de fondos se realiza un cuadro con un ordenamiento de los datos semejante a un estado de resultados. Deberá conocerse, por consiguiente, el monto de la inversión inicial, el futuro fliô de fondos que dicha inversión genera y el horizonte temporal, es decir, el momento en que se espera recibir los ingresos que generara la inversión efectuada y por lo tanto cual será el plazo de evaluación del proyecto. Además, esto permitirá saber la periodicidad del flujo, por ejemplo puede ser mensual, trimestral, anual, etc. Como ya vimos, es vital tomar el desplazamiento temporal de los flujos de fondos. Tanto los ingresos como los costos deben computarse por su repercusión financiera y ubicarse en el tiempo.

Lie Clarisa A, Fregeiro

145

Manual de Calculo Financiero Pn>ycctos de inversión

Así una decisión de inversión puede tener el siguiente flujo: 0

n

h -Fo

+ F,

+ F.

Tiene signo negativo Va que se genera un egreso de dinero

+ F3

+ F.

+ Fn

Tienen signo positivo, ya que representan un ingreso de dinero.

En una inversión es muy frecuente que Fo sea la inversión y tome valores negativos. Esto quiere decir que si nos ubicamos desde el punto de vista de una empresa o individuo . inversor los signos del flujo de fondos cambian con respecto a la financiación, se invierten. Ya que al inicio se produce un egreso de dinero con la intención de que en el futuro se recupere la misma con un resarcimiento de interés

Tasa de corte Una vez que se tiene el flujo de fondos asociado a la decisión financiera se debe influenciar por el factor tiempo. No valdrá lo mismo F2 que F4 aunque tengan el mismo valor absoluto. La introducción del factor tiempo genera la necesidad actualizar los flujos de fondos a una tasa de descuento apropiada, que podríamos llamar “k”. Esta tasa de interés representa la rentabilidad que el inversionista le exige a la inversión por renunciar al uso de esos recursos en proyectos alternativos, con niveles de riesgos similares. Por Jo tanto es el costo de oportunidad del inversor, también se puede denominar costo de capital propio. De hecho, la tasa de descuento, refleja dos cosas: •

El valor de tiempo del dinero. Cualquier inversionista preferiría tener efectivo inmediatamente que tener que esperar por él. Por lo tanto, los inversionistas deben ser compensados cuando sus pagos demoran. • Un premio de nesgo que representa la rentabilidad extra que los inversionistas exigen, porque desean una remuneración por el riesgo de que el flujo de liquidez no se pueda materíalizar. En Ja determinación de esta tasa requerida, tiene importancia el riesgo del proyecto en estudio. A medida que hay más riesgo involucrado en un proyecto se va a requerir un mayor retomo del mismo. Así el retomo esperado para un proyecto de inversión específico depende del riesgo asociado aJ proyecto en estudio. Cuanto mayor sea el riesgo de la invei*sión, mayor será K, con lo cual se descontaran con más severidad los flujos de fondos. Esta es la tasa de rendimiento mínima que se debe exigir a una inversión para que ella sea aceptada.

A pesos hoy, ese flujo .será igual a: Lie. Clarisa A. Fregeiro

146

Manual de Calculo Financiero Proyectos de Inversión

V.A. = 2

I=I

F j/ ( l + k ) '

Siendo: Fj = cada flujo de fondo 1= numero de periodo K ~ tasa requerida V.A.= valor actual

Muchas empresas financian sus proyectos con mezcla de capital propio y ajeno, es decir, parte del capital necesario para la inversión proviene del patrimonio de la empresa y otra parte proviene de (leuda que la empresa contrae con instituciones mediante un costo financiero. Esta mezcla de cai)itaJes obliga a encontrar una tasa de corte que incluya el costo de capital. Esto da origen al VV.A.C.C (weigíited average cost of capital), es un costo promedio ponderado de capital. Este modelo es un proceso que insume tiempo y cálculos técnicos. Se necesita mucha información de la empresa y no es objeto de estudio de matemática financiera. Solo lo tendremos de dato para calcular el V.A.N.

Métodos para evaluar provectos Los métodos para la evaluación de proyectos son importantes, debido a que son procedimientos para decidir qué proyectos aceptar y cuáles no. o cuál debe ser el orden de prioridad en caso de tener varios proyectos. La evaluación se puede llevar a cabo a través de diferentes métodos clasificados en tradicionales y modernos. Entre los modernos encontramos el valor actual neto (V.A.N.) y la lasa interna de retomo (T.I.R.). Entre los tradicionales encontramos el periodo de repago (P.R.)

Valor Actual Neto (V.A,N,) •Cómo se sabe entonces, si la decisión sobre la inversión debe ser aceptada o rechazada? Para ello debe compararse el valor actualizado de los flujos de fondos con el valor de la inversión inicial. A esta diferencia se la conoce como Valor Actual Neto (VAN). Y representa lo que aumenta o disminuye el patrimonio neto en caso de realizar la inversión. La inversión será aceptada cada vez que el futuro flujo de fondos actualizado supere a la inversión inicial. Esto es:

I

Ft/(1+K )'

> 1.1.

Clarisa A. Fregeiro

Siendo: I.I. = inversión inicial Ft = cada flujo de fondo t= numero de periodo K= tasa requerida

147

Manual de Calculo Financiero Proyectos de Inversián El valor actual neto podemos deftniilo como el valor presente del flujos de fondos que derívan de una invm ión, descontados a la tasa de retorno requerida de Ja misma al momento de efectuar el desembolso la üiversióíi, menos esa inversión inicial. Siendo: LL ~ invasión inicial Ft - cada flujo de fondo t = numero de periodo K - tasa requerida

Ttcgla de decisión dei criterio V>A«N VAN > 0 el scproyecto se acqyla porque su rentabilidad es superior a la exigida. V AN= 0 el proyecto se acepta porque su rentabilidad es justo lo que el inversionista exige VAN < 0 el proyecto se rechaza porque no alcanza la rentabilidad esperada. La regla de decisión se cumple siempre que estemos analizando un solo proyecto, c decir no hay otros proyectos alternativos y para proyectos con flujos de fondos simples o convencionales. Estos son los que presentan un solo cambio de signo. Ya que la función del V.A.N es decreciente con respecto a la tasa de interés.

Ejemplo 1 Inversión inicia): $1000 Costo de capital propio = 25% anual Plazo = 5 años VAN = -10000 + 200

+ 400 + 500 + 500. + 500

(1,25)'

= 40

(1.25)" (U 5 ) ’ (1,25)" (1,25)’

Gráficamente:

0 1

(1000)

1 -I

200

2 ■

3

4

5

------- 1--------------------- 1--------------------- 1------------------- ^

400

500

500

500

160 256 “256 205 163 40 Como el VAN es superior a cero quiere decir que el proyecto se acepta ya que se incrementa el patrimonio de la empresa. Por lo que su tasa de rentabilidad flTR) será superior a la tasa del 25% requerida por la empresa.


148


Calculo del VAN con la aDlicadón del Excel Para calcular el VAN con el Excel se siguen los siguientes pasos: Ir a f* (funciones) : : Categoría: FlNANCffiRAS Seleccionar:* VNA Ahí se abrirá una ventana llamada ARGÚMENíTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan lodos los valores del ejercicio: V1 Periodo 2 FN.F,

0 -1000

200

400

500

500

500

La diferencia con respecto al resultado hallado a mano se debe por los decimales que considera el Excel al realizar el cálculo. Eieninlo 2 Calcular el VAN del siguiente flujo de fondos a una TNA del 10%, Recordemos que con la TNA nunca se trabaja por lo que debemos pasarla a una efectiva» en este caso se pasa a una tasa efectiva mensual ya que los flujos de fondos tienen periodicidad mensual. Tasa mensual= 0,10* 30/365 = 0.008219178

febrero 20.000

enero -680,000

• 1 Periodo 2 F.N.F.

marzo 380.000

abril 170.000

mayo 100.000

junio 160.000

Argumentos de función 0,008219178 Tasa Valorl B2;G2 VNA

' ■'

128;846,26S'

Clarisa A. FregeifO

• ’ '■■V r

149 J


Calculo dcl V.A.N. para iin flujo de fondos no neriodico Consideremos que el flujo de fondos no es equidistante, es decir no existe la misma periodicidad entre los flujos. En este caso debemos usar otra función financiera que tenga en cuenta esia irregularidad. La función financiera se llama VNA.NO.PER (valor actual neto no periódico). Siempre que el flujo no sea periódico es necesario utilizar la TEA Para calcular el VAN con el Excel se siguen los siguientes pasos: Ji a fx (funciones) Calcgoria: FINANCIERAS Seleccionar; VNA.NO.PER Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio: Ercmplo Tomemos cl siguiente flujo de fondos y una TEA del 12%. Nótese que el flujo de fondos tiene periodos irregulares.

>1 Periodo 2 F.N.F.

05/03/2007 -1.000,00

'“-VQ . 08/06/2007 100

12/08/2007 300

01/09/2007 250

20/10/2007 200

15/11/2007 300 «

Argiimenlos de función 0,12 Tasa B2;G2 V'alores B1;G1 Fechas IVNA

^ $82,40^*'


150


Caicuio del V>A.N. para un flujo de fondos c o n periodo de gracia Bl concepto de periodo de gracia lo estudiamos en la sección de rentas diferidas. Se refiere que existe un periodo desde la inversión inicial y el primer flujo de fondos. Esie periodo es diferente al periodo de los flujos. Ejemplo

Consideremos ahora, un flujo con un año de período de gracia. Esto es; existe un año desde la inversión inicial y el primero flujo de fondos en donde no hay ningún movimiento de dinero. Usaremos la TEA del 10% Por lo que aquí también utilizaremos la función fínanciera VNA.NO.PEK ' "D ' '-'t ■-? >% 1/06/2007 1/06/2008 1/07/2008 1/00/2008 1/09/2008 1/10/2008 400 -1.000 0 r 400 400 400

^ 1 Periodo. 2 F.N.F.

Argumentos de función 0.1 Tasa B2;G2 Valores B1;G1 Fechas VNA

*‘$425.56

151 ^lari nsa A. Fregeiro


Tasa interna de retorno (TJ.R.) La T.l.R. se refiere a la remabilidaci exacia del proyecto. Es la tasa que iguala el valor actu^ del futuro flujo de fondos que el proyecto genera con la inversión necesaria para poner en marcha dicho proyecto. Por lo tanto, es la lasa que esta implícita en los futuros ingresos. A diferencia del V.A.N no mide la ganancia en términos absolutos (efectivo), sino que lo hace en términos relativos (porcentaje). Es la lasa que ganamos por cada peso invertido en el proyecto. 1^ lasa interna de retomo puede calcularse aplicando la siguiente ecuación:

0 = - U .+

Siendo: l.l.= inversión inicial Fj= cada flujo de fondo t= periodo T1R= tasa interna de retomo

X Fj/(1+T1R)' t=i

Si comparamos esta ecuación con la utilizada para calcular el VAN, vemos que es equivalente a hacer el VAN igual a cero. La diferencia entre lo que invertimos y lo que recuperamos es cero cuando a cada flujo futuro le sacamos justo el interés que tiene incluido. El proyecto será financieramente conveniente si la TIR resultara superior a la lasa de costo de capital. Es decir, se la compara con la rentabilidad exigida o costo de oportunidad para saber si es conveniente realizar el proyecto. Cuando el proyecto tiene una rentabilidad implícita superior a lo exigido por el inversor, este será aceptado Regla de decisión del criterio T .l.R

Si TIR > K el proyecto se acepta porque su rentabilidad es superior a la exigida. Si TIR = K el proyecto se acepta porque su rentabilidad es lo que el inversionista exige Si TIR < K el proyecto se rechaza porque no alcanza la rentabilidad*esperada. Ejem plo

Recordemos el ejemplo inicial del VAN. -A , 1 Periodo 2 F.N.F.

B 0 -1000

. C 1 200

D 2 400

'^ E . ' 3 500

A 500

5 500

Si quisiéramos encontrar la TIR de este proyecto igualamos a cero el VAN. Es lo mismo qwc igualar la inversión con los flujos futuros. 0 = . 10000+ 200 4 400 + 50(1 + 500.+ 500 = 40 (I+i)'

(1+i)’

Lie. Claris3 A, Fregeiro

(Ifi)’

(l+i)-* (l+i)'

152

Manual de Calculo Financiero Provéelos de Inversión La idea es que para enconuar esta lasa se debe recurrir a la “prueba y error**. Eslo quiere decir, ir piobundo con diferentes tasas hasta lograr que el VAN sea cero. Ya sabemos que esta tasa que buscamos es mayor al 25 % que fue la tasa requerida por el inversor, con la que el VAN dio $40. Pmebo con tasa del 30% - 74 = -10000 + 200 (1+0.3)

400 + 5QQ + 5QQ + 500 2 3 ^ 4 ---- s (1+0,3) (1+0.3) (1+0,3) (1+0,3)

Con la tasa del 30% el VAN da negativo -74. Eslo quiere decir que la TIR se encuentra entre el 25% y el 30%. La interpolación es exactamente igual u lo estudiado en el capitulo de rentas: V.A.N 40___ 0___ -74__

.0,25 - 0,30

Restando los extremos: 114. 40

-0,05 _ 0 ,2 5 -X

0 ,2 5 - X = 4 0 * -0 ,0 5 /114 X = 0 ,2 5 + 0 ,0 1 7 5 = 0,2675

TIR = 26,75%

Como la TIR es superior a la tasa de corte del 25 % la inversión se acepta. Se llega a la niisma conclusión que mediante la regla V.A.N

Regla de decisión con ambos criterios Se llaman proyectos convencionales o simples cuando el flujo de fondos presenta un solo cambio de signo. Este comienza negativo con la inversión y luego es positivo con el flujo de fondos futuro. Este comportamiento hace que la función VAN sea decreciente con respecto a la tasa de interés. Entonces en este tipo de proyectos, siempre que un proyecto sea aceptado mediante el criterio V A N , también lo será mediante el criterio TIR. La regla VAN y la TIR nos conducen a la misma decisión siempre que los flujos de fondos sean simples. Ambos criterios son concurrentes cuando se trata de aceptar o rechazar una inversión, ya que se verifica:

Si TIR > i entonces el VAN > 0

■=í> Acepto la inversión

Si T IR < i entonces el VAN < 0 Si T IR = i entonces el VAN = 0

■ = > Rechazo la inversión. * --> Indiferente la inversión.

Ambos criterios tiene en cuenta el valor tiempo del dinero. Es importante no confundir la TIR que es una tasa que surge del flujo propio del proyecto, con la tasa que utilizamos para calcular el VAN. Recordemos que esta es el costo de oportunidad del inversor y es un dato que viene de “afuera** del proyecto, mientras que, la TIR es la tasa ‘niplícita en el proyecto, viene de “adentro**. Eic. Clarisa A. Fregeiro

153

Manual tie Calculo Financiero Proyectas de Inversión

Aplicación del Excel para el cálculo de la TIR Para calcular la TIR con el Excel se siguen los siguientes pasos: ir a fi (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: TIR Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio: ■ -s i. A ^.1 Periodo 2 RÑ?;

B.

1t

# C

____ 2___ _ L ___ 1_____

1

Ñoco

I

200

Sjv; ;

i'i

2 400

1 I

3 500

4

r

Argumentos de fundón Valores B2.G2

TIR

26,70%

Gráficamente: VAN

154

Manual de Calculo Financiero pioyectos de Inversión

ralcuio del TJ,R. nara un flujo de fondos no periódico Al igual que en el calculo del VAN para flujos no periódicos, la lasa resukanie será una TEA, es decir una TIREA (tasa interna de retomo efectiva anual). La función que se utiliza es la TIR.NO.PER (TIR no periódica)

Para calcular el TIR cuando el flujo es no periódico con el Excel se siguen los siguientes pasos: Ir a fx (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: TIR.NO.PER Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio: Kientplo Deieriiiinar la TIREA del siguiente flujo de fondos no periódico. ^ A , . 1 Periodo . 2 F.N.F,

i,

B 11/08/2007 -3.500

10/09/2^07 720

^ -D 10/10/2007 01/11/2007 10/12/2007 15/01/2008 720 720 720 720

Argumentos de función Valores = B2;G2 Fechas = B1;G1 TIREA =

Clarisa A. Fregeiro

155

Manual de i'akriito Futancfcro Pirxiyccias ele Inversión

TIR Modificada H1 crílerío de la TÍR supone implícitamente que los fondos que genera el proyecto ion remvcrtidüs a la misma TIR por el número de períodos que faltan para fínalízar el prpyecio. Es decir la IIR representa un rcndimienm calculado ''ex - ante*’. La verdadera lentabilídad solo se conoce con exactitud al final de la vida del proyecto y dependerá fundamentalmenle de la tasa de reiaversión de los flujos de fondos. Esta rentabilidad se suele denomiiiar THR MODIFICADA o TIR ex - posi Su cálculo implica capitalizar aquellos flujos positivos hasta el final de la vida litil del proyecto con una lasa de reínvcrsíon determinada. Y los flujos negativos, en caso que los hubiera, se supone que son financiadas a una tasa de financiación ofrecida por algún banco de plaza, es decir, con un costo financien). Ejemplo Un grupo de constructores de viviendas «inaüza el siguiente pmyccto de inversión establecieron un costo de capital profúo o costo de oportunidad del \0^f para el calculo del VAN. -

> Á 1 Periodo 2 RN.F.

B ' -Air 0

-1 0 .0 0 0

' 1 5 .0 0 0

2 10.000

É,y «£ii A i . F "¿Olí*.

3 -2.000

4 4.000

5

5.000

Argumentos de función Tasa 0,1 Valor I B2;G2 VNA TÍR

$ 6.4*J4;>0 39%

Pam lograr una medida (]ue conlempf. el hecho que quizás no sea posible reinvertir los flujos a ima lasa del 39% y que por otra parte incluyera la forma en que se financiaría el egreso del lercer año. los analistas calcularon la ITR modificada. Se supone que los flujos positivos son reinvertidos a la tasa de costo de oportunidad del 10% hasia el final del quinto ano. Los flujos negativo.^ serán financiados a la tasa que nos cuesta el capital ajeno, por ejemplo al 8%. 13e esta manera tendremos un valor final de: Momo = 5000(1,10)V 10000(1,10)’ < 4000(1,10)^ 5000 - 2000(1,08)^ Momo = 29028,7 Ffi resumen, invertimos $10000 y al final del quinto año tenemos $29028,7 por lo que la rentabilidad implícita anual es de: i = (29028,7/10000)''' 1 = 0,237557 TEA

l ic. C.'larisa A. Fregeiro

136

..!i- r-. ivlanual de Calculo Financiero Provectos de Inversión ;

fniruio de la TIR modificada con el Excel para calcular el TIR inocíifícada cuando el flujo es no periódico con el Excel se siguen los siguientespasos: ; r \ IfajtV(íunciones) . , Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: T IR M Ahí se abrirá una ventana Jlamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan lodos los valores del ejercicio: ^

¿“i-1 Período 4:2 F.N.F. V*

; ■'

0 •10.000

1 5.000

2 10.000

3 -2.000

5 5.000

4 4.000

Argumentos de función Valores B2;G2 Tasa_fínanciamientc 0,08 Tasa_rein versión 0,1 TIRM V..

La diferencia en el resultado a mano es por mencionado anteriormente acerca del redondeo de decimales que utiliza el Excel para lo cálculos.

:V■

; ’f-

Uc. Clarisa A* Fregeiro

157

Manual de Calculo FÍFumcicro P» oyeclos de Inversión

Método de recupero de la inversión Es el tiempo que tarda la inversión en ser recuperada con los fondos que ella misma genera. Una vez deteiTnInado el período dt repago, se compara con el máximo requerido por la empresa y si el de la propuesta es menor, la misma seríi aceptada; de lo contrario será rechazada. Si bien el período de repago trabaja con flujos netos de fondos, presenta la desventaja de ignorar los movimientos de caja posteriores al momento en que fue recuperada la inversión. No liabla de rentabilidad, sino que es una medida de tiempo. Este método, puede ser utilizado como complemento de métodos más sofisticados como los métodos modernos. Se usa para complementar la decisión de invertir a la que se llega con los métodos anteriores. A su vez puede calcularse el periodo de repago simple (PRS) y el periodo de repago ilcscontado (PRD). Este ultimo se refiere al plazo en que el inversor “recupera” el dinero invertido en el momento cero, considerando el valor tiem|>o del dinero ya que trabaja con los flujos descontados en lugar de considerar al flujo absoluto, como lo hace el periodo de repago Simple. Ejemplo Tomemos el ejemplo inicial para calcular el PRS. 1

0

P eriodos

2

3

4

5

500

500

F lujo N e to de Fondos

-1000

200

400

500

F lujo N e to de Fondos

-1000

-3 0 0

-400

100

acu mu lado

Cuando pasa de signo negativo a positivo es porque ya se recuperó la inversión. En este caso entre el segundo y el tercer periodo. Para conocer exacto tal momento se realiza una interpolación lineal al igual que para el calculo de la TIR. -400_

2 X

100

3

Se restan los extremos: -500_______ - 1 -400______ 2-X

2-X = -400.1 /-500 2-X = -0,8 X = 2,8 años

Ría: 2 años y 9,6 meses -- 10 meses Veamos el ejemplo inicial para calcular el PRD. A diferencia del PRS, se trabaja con los flujos de fondos actualizados con la lasa de corle. La tasa de corte es del 25 % anual por lo que los flujos descontados quedan: 0

1

2

F .N .F .

-1 0 0 0

200

400

500

500

500

F .N .F A c tu a liz a d o

-1 0 0 0

160

256

256

2 0 4 .8

163 .84

F .N .F , A c u m u la d o

-1 0 0 0

-840

-584

-3 2 8

-1 2 4

3 9 ,8 4

P e rio d o

3

4

5

La inversión se recupera muy cerca de finalizar el proyecto. Entre el cuarto y quinto periodo.


158

Miinual de Calculo Financiero de Inversión_______

Pixjyecios

Proyectos mutuamente excluyentes Cuando se tienen negocios o proyectos independientes, el método del valor presente neto y el inctodo de la Tasa Interna de Rendimiento siempre dan la misma decisión de aceptación o rechazo para cualquier negocio o proyecto. Existen también muchos negocios o proyectos que son mutuamente excluyentes. Serán negocios o proyectos mutuamente excluyentes, aquellos en donde la aceptación

de uno

tie ellos elimina la posibilidad de aceptar los oüos negocios o proyectos Esto significa que si se tienen dos o más proyectos, cada uno de éstos va a estar "compitiendo" contra los otros negocios o proyectos, ya que se va á poder aceptar solamente uno de ellos. En el caso de proyectos mutuamente excluyentes, el método del valor presente neto y el inéiodo de la Tasa Interna de rendimiento no siempre dan la misma decisión de aceptación o a*chazo para cualquier negocio o proyecto. Por lo líuito, es importante tener presente Jo siguiente: El método del Valor Presente Neto (VPN) y el método de la Tasa Interna de Rendimiento (TIR) darán siempre la misma decisión de aceptación o de rechazo de un negocio o proyecto, cuando se tienen negocios o ^proyectos independientes. Pero, en negocios y proyectos muluaniente excluyentes, el método de la Tasa Interna de Rendimiento puede llegar a seleccionar, como la mejor opción, un negocio o proyecto diferente al que sería seleccionado con el método del Valor Presente Neto. Es decir, darán conclusiones opuestas de aceptación o rechazo de un proyecto. ¿Qué debo hacer si cuando tengo provectos mutuamente excluyentes? Si nos encontramos con esta contradicción se debe calcular lo que se llama la TIR incremenial o “Tasa de Fisher”. Esta tasa esta destinada a obtener una respuesta satisfactoria y veremos que nos conduce a la misma conclusión que obtendríamos si aplicamos la regla de decisión VAN.

Ejemplo Dados Jos siguientes dos proyectos: Proyeco A B

Fo -100 -200

F1 400 700

TIR 300% 250%

VAN al 10% 263 436

Contamos con $200 y tenemos que optar por alguno de los dos proyectos de inversión. El primer proyecto es chico, tiene una TIR del 300%, mayor a la TBR del proyecto B que se trata de un proyecto más grande su TIR es del 250%. Sin embargo el VAN del proyecto A es de $263 y el del proyecto B es de $436. El primero ofrece un mayor porcentaje de rendimiento por cada peso invertido pero el segundo ofrece una masa absoluta de ganancia que es casi el doble al primero.

te. Clarisa A. Fregeiro

159

Mumml de Cnlcuio Financiero Proyectos de Inversión

Calculo de la Tasa de Fisher Para proceder a? calculo de la TIK inoremental se selecciona el proyecto de mayor VAN y se restan ios fli;;os de fondos. Luego a este flujo “incrementar* se le calcula su TIR que resulta la lasa íle Fi.‘ f^cr. Pr-»yecto Fo. r (incremento) ___ -1 0 0 .

F1 300

1 1

1 1

t ír

200%

VAN al 10% 173

/Como se interpreta el resultado? Ix)s ílujos increméntales de llevar adelante el proyecto B en vez del proyecto A muestra que arroja una TIR del 200% que es mayor a lo que hubiéramos obtenido colocando el excedente que no invertimos al 10%. Es decir, se esta invirtiendo el “resto** al 200% .Se puede apreciar de la siguiente manera también: Si contamos con $200 y se realiza cl proyecto A me quedan $100 sin invertir, por lo que no estamos sacando el mayor provecho. Esto supone que podremos invertirlo en el mercado a un costo de oportunidad del 10'^' que era nuestra tasa de corle. Obteniendo 110 al final del año. / __________

0 -100

1 año 400

-100 -200

lio 510

La respuesta es la misma que llegaríamos al elegir según el criterio VAN directamente. Oráficamenle:

TIR

.Se puede observar en cl gráfico el punto de inflexión que representa la TIR incremental o tasa ele fu'shcr. Si nuestra lasa de corte es menor al 200% nos conviene realizar el proyecto B ya que su VAN es mayor y para lasas exigencias mayores del 200% optaríamos por el proyecto A hasta un 300% Lie. Clarisa A. ÍTegeiro

160

jVlanuai de CaJculo Financiero proyg<^tos de inversión_____________ __ _________

K! efecto del fínanciamiento en las inversiones Las empresas confomian su estructura de capital con diferenles tipos de deuda. Suelen recurrir a los préstamos comerciales de mediano plazo para financiar s crecimiento, por lo que analizaremos brevemente los aspectos financieros e impositivos que tienen los préstamos y su impacto en dos variables cruciales: 1. La rentabilidad del capital propio (Efecto Apalancamicnto o Leverage financiero) 2. El aliorro fiscal 1. Efecto apalancamicnto: Supongamos el siguiente flujo de fondos sin financiación: Periodo F.N.F

0 -400

1 150

2 150

4

3 150

150

Si decidiéramos financiar el 25 % de la inversión inicial 10% de interés anual con sistema Americano, pagaríamos un interés de= 100 * 0,10 = 10. El flujo de fondos quedaría:

Concepto Inversión Préstamo Ingresos Intereses Dev. Préstamo F.N.F TIR

0 -400 100

-300 23%j

1

2

3

4

150 -10

150 -10

150 -10

140

140

140

150 -10 -100 40

Puede observarse el efecto “apalancamicnto” del capital propio que se logro con la financiación. El sistema Americano es el sistema que provee el mayor grado de apalancaraiento ya que el capital permanece más tiempo en poder del deudor o inversor. ]. Efecto impositivo Veamos aliora que ocuire si incluimos los impuestos en el flujo de fondos del ejemplo inicial. La inclusión del impuesto a las ganancias reduce el flujo de fondos, pero otorga una ventaja cuando existe endeudamiento. Los intereses representan un gato deducible del impuesto a las ganancias y por lo tanto cuanto mayor sea la cantidad pagada de intereses mayor es la ventaja fiscal. Por lo que el sistema Americano vuelve a ser el más ventajoso desde este punto de vista también.

Clarisa A. Fregeiro

161

Manual de C'alculo Financiero Pro) celos de Inversión

Analicemos el siguienle í1uio de fondos sin financiación: Periodo F.N F antes de Imp. lmpue.sto 20%

0 -400

1 150 -30

2 150 -30

3 150 -30

4 150 -30

F.N.F desp. de Imp.

-400

120

120

120

120

2

3

4

-28

150 -10 140 -28

150 -10 140 -28

150 -10 140 -28 -100

112

112

112I

12

Ahora, ni mismo flujo de íoiulos le incluimos la financiación: ó]

Concepto Inversión Préstamo Ingresos Intereses F.N.F antes de Imp impuesto "20% Dev. Préstamo F.N.F final

il

-400 100

150 -10 -300

|

-300

140

,

Puede obsen arse la disminución dt I flujo de fondos. No desciende en $10 que son los inicreses pagados, el flujo de fondos con financiación es de $8 menor al que no tiene. Lxis $2 representan el “ahorro fiscal” que va a manos de los accionistas. La lasa de financiación resulta de: i = 0,10 (1-0,20)= 0,08 Los intereses lealmenfe pagados son de: 100 * 0,08 = 8

I.ic Clarisa A. Fregeiro

162

ManuaJ de Calculo Financiero de Inversión______

Proyectos

i’jrinDlo integrador CASO FÁBRICA DE REPU ESTO S

Una empresa dedicada a la fabricación de repuestos para autos esta evaluando la posibilidad de iiicoiporar una nueva máquina. Los datos que maneja el gerente financiero son los siguientes:

U

Demanda e s tim a d a

A nual

I Precio estimado de venta

lA ñ o

2Año

22.000

23.000 2,5

Los COSÍOSfijos anuales son: Operativos (15% corresponden al proyecto) ❖ Costo de Marketing Mantenimiento de la máquina *> Generales (5% corresponden ai proyecto) <* Estudio de mercado realizado anteriormente <* Asesoramiento técnico para la instalación

3Año

4A ño

19.000

22.000

$ 25.000 15.000 1.500 20.000 10.000

500

La lasa de corte que la empresa utiliza para evaluar este típo de proyectos de inversión es del \4% anual. Por otro lado la empresa solo acepta proyectos que tengan un periodo de repago simple menor a 1.7 años. Encontramos un costo variable unitario (CVU) de $1,2. En concepto de impuesto se debe abonar el 35% de impuesto a las ganancias y 3% del impuesto a los ingresos brutos. La amortización anual de la máquina será de $7.500. Insialar Ja nueva máquina tiene un costo de $1.000 y desmantelarla tiene un costo de $2.000. El precio de la máquina nueva asciende a $30.000 y su valor de recupero al finalizar su vida útil que es de 4 años, es de $5.000.

J. Determinar si es conveniente incorporar la nueva máquina suponiendo *que la inversión se efectúa toda con capital propio, es decir no se recune a financiación de terceros. 2. Determinar si la inversión es conveniente realizarla suponiendo una financiación del 50% de la inversión inicial a través de un préstamo comercial a cancelar con el sistema Americano a un costo del 15% TEA.

^^^"larisa A . Fregeiro^

163

Manual de Calculo I'inaiicieio (■•roycclos de Inversión

RKSOUJCIQN

Concepto -30000

Costo máquina Costo de instalación

-1000 -500

Asosoramienlo Técnico \/er»las

CVll

55000 -26400 -1650

57500 -27600 -1725

57000 -22800 -1710

66000 -26400 -1980

-3750 -1500

-3750 -1500

-3750 -1500

-1000

-1000

-1000

-7500

-7500

-7500

-3750 -1500 -1000 -7500

13200

14425

-4620 7500

-5048.75 7500

II BB

Costos Fijos Operativos Manlenlmiento Generales Amortización Recupero Costo de desmantelamiento

-31500

R d o . A n te s tm p . O cla s. Imp Ganancias Amortización

5000 -2000 18740

23870

3000

-6559 7500

-8354.5 7500

-1050

23015,7

VAN (14%)= $20.627,10 T í R= 44%

Dado que el VAN es mayor a cero conveniente realizarla.

la TIR es mayor a la lasa de corte, por lo que la inversión es

rif Repago descontado. Periodo

X2

-

F.N.F F.N.F actualizado F N F acumulado

-31500 -31500 -31500

16080 14105,26 -17394.74

"4 ^

16876.25 12985.53 -4409.21

19681 13284.11 6874,9

23015 13626.72

1950 1012,76

Puede observarse que la inversión se recupera entre el segundo y tercer periodo, por el criterio de periodo de repago el proyecto no se acepta.


164

Munuul (Je Calculo Financiero Proyectos de Inversión

RESOLUCION

Financiación 50% de la inversión inicial con sistema Americano a una tasa del 15% TEA Intereses periodicos= 15750 * 0,15 = 2362,5 Concepto

0

1

2

Ventas

55000

CVU

-26400

IIBB

-1650

Costo máquina Costo de instalación Asesoramíento Técnico Préstamo

3

4

57500

57000

66000

-27600

-22800

-26400

-1725

-1710

-1980

5

-30000 -1000 -500 15760

Costos F ijos Operativos

-3750

-3750

-3750

-3750

Mantenimiento

-1500

-1600

-1500

Generales

-1000

-1000

-1000

-1500 -1000

Amortización

-7500

-7500

-7500

-7500

Recupero

5000 -2000

Costo de desm anteiam iento Intereses del préstam o

Rdo. A n tes im p . G clss.

-ISISO

Imp. Ganancias Amortización

-2362,5

-2362,5

-2362,5

-2362,6

10837,5

12062,5

16377,5

21507,5

3000

-3793,12

-4221,87 7500

-5732,12 7500

-7527.62

-1050

7500

Devolución del Préstam o

F.N.F

7500 -15750

-1S7S0

14544,38

15340,63

18145,38

5729,88

1950

Tasa de corte a utilizar se calcula con el promedio ponderado, ya que parte de la inversión es cor con capital propio y paite con capital ajeno. Para la determinación de la tasa de corte realizaremos un promedio del costo de capital, ya que parte dé la inversión es con capital propio y parte con capital ajeno. Tasa de corte= 0.5* 0,14 + 0.5 * 0,15 (1-0.35) = 0,11875 VAN (11,875% ) s $24J45,61 TIR a 85%

observarse que la diferencia en los flujos de fondos no se deba al interés pagado de 2362,5, sino al verdadero interés pagado. Recordemos el “ahorro fiscal” que produjo el préstamo: 0,15 (1-0,35) = 0,0975. ínicrés verdaderamente pagado: 15750 * 0,00975 = 1535.62 También puede observarse el “efecto apalancamiento” que prcxlujo el préstamo, ya que el VAN y la TIR se incrementan con la financiación. Puede

1«c. Clarisa A. Fregeiro

165

Manual Ue Calculo Financiero M w a ilo de Capitales

Funcionamiento dcl Mercaido

Capitulo 17 - Mercado de Capitales Las operaciones financieras que se realizan en el Mercado de Capitales incluyen la oferta y demanda de capitales a mediano y largo plazo Por consiguiente, son operaciones de mayor riesgo. En este capitulo entenderemos el funcionamiento de este mercado, para luego enfocamos en los diferentes activos que se negocian principalmente Bonos y Acciones.

Introducción Recordemos que un sistema financiero es aquel que pone en contacto, a través de un mercado (financiero) a dos tipos de agentes económicos: los agentes económicos con superávit de :ondos (oferentes de dinero) y los agentes económicos con déficit de fondos (demandantes de dinero), siendo las operaciones financieras el medio del intercambio de dinero. A! ubicamos en el mercado de capitales las operaciones financieras son mas complejas, pero el funcionamiento es el mismo que el estudiado en el primer capitulo. Los principales activos, objeto de intercambio en el mercado de capitales, son: bonos y obligaciones negociables (promesas de pago futuro del capital más el interés adecuado) y acciones (participación en el capital de una empresa). Estos activos los estudiaremos en los pró.ximos capítulos.

Partes que intervienen en este tipo de operaciones. •

Uis empresas privadas y el sector público representan las típicas unidades deficitarias (emisoras de instrumentos financieros) y por consiguiente demandantes de fondos. Su presencia responde a diferentes motivos como .ser financiamiento de su déficit y/o de sus programas de inversión. • Las unidades domesticas o familias suelen desempeñar el rol de oferentes de fondos. (Inversores de instrumentos financieros) El mecanismo es el siguiente: las unidades económicas necesitadas de fondos emiten un instrum ento financieros (de deuda o de capital) y loman los fondos dilectam ente del público inversor con la participación de un intermediario llamado agente de bolsa. Tam bién los bancos de inversión pueden desempeñar este rol de intermediario. Es decir que la canalización productiva del ahorro se produce a través de la adquisición de activos fin an ciero s emitidos por unidades deficitarias. Los activos financieros son títulos emitidos por los agentes económ icos con déficit (demandantes de dinero), constituyendo un medio de mantener riqueza para quienes lo posean. Se üata de un activo para los oferentes de dinero y de un pasivo para los demandantes de dinero.


166

Manual de Calculo Finaiicieixi Mercado de Capitaiea

Fiincionainicmo del Mercado

Principales características de los activos financieros. 1. Liquidez: |)osecn una gran facilidad de conversiones de dinero líquido gracias a la existencia de un mercado que íes permite operaciones de compraventa. 2. Riesgo: existe la posibilidad de que el emisor de los activos no cumpla con lo pactado, el pago del principal y de los intereses, no se refiere al riesgo de cotización en el mercado. En el caso de los activos emitidos por empresas privadas el riesgo se asociara a la capacidad de solvencia de sus actividades. En referencia a los activos emitidos por el estado, el riesgo será mínimo, debido a la garantía que este ofrece. 3. Rentabilidad: se refiere a la capacidad del activo de generar intereses u otros rendimientos para el adquiriente como contrapartida por su cesión de fondos. La rentabilidad de una inversión financiera se refiere no solo a renunciar a la liquidez sino también a que el tenedor del activo financiero soporta un riesgo adicional

Clasificación de los activos financieros Los activos financieros se pueden clasificar atendiendo a distintos criterios, entre ellos:

1. Según la rentabilidad: a) Títulos de renta fija: Los títulos de renta fija_son aquellos que dan derecho a percibir un interés fijo calculado como un porcentaje del nominal. Así, el pago de intereses esta previamente fijado y no se hace depender de los resultados de a compañía que lo emite. Es el caso de los bonos, las obligaciones y la deuda del Estado. En este caso el retomo de la inversión y la renta pactada es de alguna manera independiente de la marcha del negocio b) Títulos de renta variable: Los títulos de renta variable no tienen una retribución fija sino que depende del volumen de beneficios que obtenga la sociedad emisora. Es el caso de las acciones, donde el ahorrista se convierte en titular de acciones de una S.A. y consecuentemente asume el riesgo empresario, porque es dueño de una parte de la empresa en la que invirtió. Si la empresa tiene éxito habrá utilidades para distribuir en forma de dividendos. Si fracasa, se puede llegar hítsta la quiebra de la sociedad y en este caso se pierde el capital invenido. Otro Ejemplo puede ser una participación en un fondo común de inversión. 2. Según el agente emisor: a) Títulos Públicos: Los públicos son los emitidos por entes de la administración pública. Las Letras del Tesoro y las obligaciones del Estado son algunos ejemplos. b) Títulos Privados: Los privados son emitidos por empresas privadas, es el caso de las acciones o pagares. 3. Según el plazo de emisión: a) Deuda a corto plazo Menor a cinco años. b) Deuda a largo plazo. Mayor a cinco años.

Clarisa A. Fregeiro

1Ó7

Manual ilc CalcuK) riiianciero Mercado á t CaptuUcs

Fuficiopamiento del Mereadu

Combinando In ameríor dusiticación lesiiha:

Corto Vhxzo Mcdinito y largo Plazo

Ifistrunieiilos para el FInancianiiento Publico Los activos mas utilizados son los pagares y las letras del tesoro. Son de 3, 6 y 12 meses_________ Son titulos de renta tija, son Bonos de 10 a 15 años.

Instrumentos para el Fínandamiento Privado Los activos mas utilizados son los pagaros (comercial paper) y las letras de la empresa.___________ Se trata de valores de renta fija, se denominan obligaciones negociables También se encuentran las Acciones

h'í activo más utilizado de deuda pública a corto plazo y más importante en función al volumen emitido por el Estado a corto plazo lo constituyen las Letras del Tesoro. Se trata de mulos de deuda pública a corto plazo emilitlos al descuento» es decir, se compran a un predo inferior a su valor nominal que se recibe en el vencimiento. Sus plazos son de un año o menosu El l>enefício que se obtiene e,s la diferencia enü'e el valor nominal y el precio que se pago en un principio por la letra. Son usualmenlc llamados bonos cupón cero. Ejemplo: Si el precio hoy de una letra a un año es de $92,6, la tasa efectiva anual que se gano en la operación es de: i = 100 - i = 0,0799 92,6 Como consecuencia de la necesidad del Estado de financiar d déficit público ofrecen unos ti|X)s de interés cercano o igual a las ofertas privadas» por lo que su rentabilidad resulta bastante atractiva para los inversores. Su seguridad es máxima por tener lá garantía al Estado. deuda pública a mediano y largo plazo, como ya vimos se refiere a los bonos. Generalmente proporciona ventajas fiscales que hacen incrementar la rentabilidad. Ofrece seguridad (mínimo riesgo) porque cuenta con la garantía del estado o de la entidad publica que las haya emitido. Ofrecen un tipo de interés que suele ser algo inferior al tipo ofrecido por lo Ltulos de renta fija emitidos por entidades privadas. Sin embargo las dos caracteristicas anteriores no cxtensibles a la deuda piivada, compensan esta menor retribución. Deuda privada a corlo plazo: al igual que en el caso de los pagares y las letras del Tesoro, los activos empresariales a corto plazo también se emiten en los mercados de dinero. El Estado no es la única entidad con capacidad para emitir en estos mercados aunque comparado con las emisiones de éste, el volumen de los activos empresariales a corto plazo es muy reducido. La deuda privada a largo plazo la constituye las obligaciones privadas. Son valores de r^ta fija que se emiten a largo plazo con un período de amortización de cinco o más años. Son emitidas por empresas privadas. El objetivo perseguido con el lanzamiento al mercado de estos titules es captar grandes sumas de capital a un costo menos que si se utilizasen otras fuentes de financiación como acudir a una entidad bancada a pedir un préstamo. A diferencia de la deuda pública los rendimientos que se obtienen con las obligaciones privadas suelen ser superiores a las públicas. Acciones: Se trata de títulos-valor que representan una parte proporcional del capital social de la empresa que las ha emitido. Las acciones son títulos de renta variable porque» como dyirnos anteriormente, su rendimiento fluctúa. Lie. Clarisa A. Fregeiro

168

de Calculo Financiero Mela d o Capitales_______

Funcionamiento del Mercado

pnnrionamíento del M ercado pesde el punto de vista de la relación entre las partes, estudiamos que el mercado financiero pone en contacto a las ofertas y demandas de fondos. En este caso el mercado de capitales (tesurrolla dicha función.

hm presas

INDIVIDUOS

PYMES g o b iern o

EMPRESAS

Hl mercado de capitales, se puede dividir a su vez en mercado primario y mercado secundario en función de la etapa de negociación de los activos. Mercado Primario: La empresa que necesita fondos para financiar sus proyectos de mediano y largo plazo emite acciones o bonos que entriega a los particulares a cambio de sus ahorros. Dichos fondos quedan inmovilizados ya que ê afectan a proyectos de mediano y largo plazo. Pero si el inversor quiere vender sus títulos porque necesita anticipadamente los fondos, no liene el medio idóneo para hacerlo. Mercado Secundario: el inversionista para no requerir anticipadamente su inversión a la empresa, se dirige a la Bolsa o Mercado de Valores donde también concurrirán otros accionistas quienes tienen dinero ocioso y deseos de invertirlos. Estos son los compradores que ocuparan el lugar del inversor original frente a la empresa, quien como vemos se desentiende de las necesidades financieras de sus inversores. De satisfacer dichas necesidades se ocupan las Bolsas o Mercado de Valores. Es decir, una vez que los activos fueron emitidos en el mercado primario, pueden ser objeto de compra venta en el mercado secundario, siempre que cumplan con las condiciones de ser negociables legalmente (las entidades deben estar admitidas a cotizar en bolsa). Los activos negociados se denominan activos financieros secundarios, definidos como aquellos que ya han sido emitidos con anterioridad. En este mercado no existe ninguna financiación. Proporciona liquidez al mercado primario mediante la posibilidad de desinversión que ofrece. La existencia del mercado secundario posibilita la adquisición de porciones relativamente pequeñas de capital de las sociedades, a la vez que permite cierta acotación del riesgo implícito en las sociedades accionarias al reducir los costos de oportunidad asociados a la prolongada lenencia de estos activos. rInversores ^Venden títulos

Títulos

picviamentc

Dinero

BOLSA

Dinero

Inversores (compran títulos)

Títulos

íulcjiiiridos)

(Funcionamiento del mercado secundario)


169

Manual ele Calculo Financiero Mercado de Capitales

Funcionamiento d d Mcíeadu

í.a Bolsa es una gran allcmmivn para el ahorro de particulares o ínsiítucíones, ya que % pcrniilc obtener una renlabilicJad íniporlanlc, aunque implica un mayor riesgo. F u n cio n es d e la bolsa

Su actividad gira alrededor de dos importantes funciones: I. pjomover el ahorro y que este sea canalizado hacia las entidades que precisan fínancíactón con el objeto ele llevar a cabo proyectos de inversión que de otra forma no podrían clesaiTollar. Para que este intercambio de fondos sea posible se necesita que las entidadeg emisoras de los valores sean admitidas a cotización, ü t negociación iSe dará en el mercado primal io. 2. Proporcionar liquidez íi los inversores. El inversor puede recuperar el dinero invertido cuando tenga ncccsklacl. Para ello ha de acudir a la Bolsa y vender los títulos prevíameme adquiridos. Esta función de la Bolsa se consigue a través del mercado secundario, Piovccn liquidez a los aclivos nnancicros allí tranzados, lo cual al permitir la transformación ele los plazos, logra conipafíbilizar las preferencias temporales de emisores e inversores. En otros términos, las empresas y el sector I’úblico pueden acceder a los fondos sin necesidad de “calzar” los plazos por ellos requeridos con los deseados por los inversores. 3, Autorizar, promovci y cancelar la cotización de títulos. Establece los requisitos a cumplir para cotizar Atzcntcs que intervienen en la B olsa « Oferentes de capital (ahoiradores) * Demandantes de capital (inversores) • Intermediarios: tienen como misión fundamental dar agilidad al sistema haciendo de puente ele enlace entre las ofe/tas de los vendedores de valores y las demandas de los compradores. Los intermediarios finajicieros (bancos, inversores institucionales) suelen participar en forma activa en el mercado de colocación o primario, su gestión abarca la evaluación cconómica-financiera de las empresas, por ejemplo. Los mediadores juegan un papel muy importante en el mercado de valores, ponen en contacto las demandas de los compradores con la ofertas de los vendedores de títulos. Podemos dislinguir entre dos tipos de intermediarios: aquellos que actúan por cuenta ajena (broker) y los que actúan por cuenta ajena y propia (broker y dealer). Las comisiones que reciben los mediadores son variables pero oscilan alrededor del 1% del valor de la compra.


\íuíuraí tie Caícuio Financiero ubicado ik Capitales______ Fimcionamicntu del Mcicado

.^ ^niáticamenre:

I

,\\'E K SIO N

lyVFRíÔRES

FINANCIACION

EMISORES j:\M ILLAS hmpresas

EMPRESAS

ESTADO si’PLRAvrrs n t FONOOS

a g en tes d e bolsa

Ba n c o s

i

DEFICIT DE

FONJOS

t COMPILAN a c c io n e s

EMITEN

BONOS

ACCIONES HONOS

1

i OITRTA DE FONDOS FGRESA DINERO GENERA UN ACTIVO

d e m a n d a DE FONDOS in g r e s a DINERO g e n e r a u n p a s iv o

I i RENDIMIENTO

_

TIR

i

COSTO f in a n c i e r o

' ^íorisa A. Fregeiro

171

Manual de Ciüculo Financiero Mercado de Capitales_______

Valtuición de Bonos

Capitulo 18 -Valuación de BonosEn este capitulo se busca introducir u las características príncif>ales de los empréstitos, poder establecer su flujo de fondos, valuar un bono en una fecha detenninada y calcular su rendimiemo implícito.

Introducción. Conceptos generales Un lx)no es un ceitificado de deuda, o sea una promesa de pago futura documentada en un pa|>cl llamado Prospeclo donde se es|'>ecifiain “Jas condiciones de emisión” del titulo que los emisores deben cumplir. Un bono es para quien lo emite un instrumento financiero para obtener importantes sumas de dínem. Los principales emisores son las compañías privadas, los gobiernos nacionales, los gobiernos provinciales y en menor medida los municipios. Cada tipo de emisor cuenta con un marco negulaiorio particular. Cabe aclarar, que los bonos que emiten las empresas privadas suelen denominarse obligaciones negociables y los bonos emitidos por entes públicos simplemente bonos. En este capitulo hablaremos indistintamente de ambos al nombrar a los bonos. El objetivo de las entidades emisoras es conseguir fondos para realizar inversiones o refinanciar deudas. El Estado emite bonos para crear nuevas instituciones, financiar sus gastos o desarrollar infraestructura. Muchas empresas recurren a los bonos para ampliar su capital, mejorar su nivel tecnológico o implementar proyectos de investigación. En estos casos, acudir a un solo prestamista puede dificultar obtener la cantidad requerida. Es en estos casos cuando se recurre al mercado de capitales. De esta manera, se divide la operación de crédito en partes representadas |X)i títulos llamados bonos u obligaciones, obteniendo el dinero de diferentes prestamistas o inversores. Esta pluralidad de acreedores es una de las diferencias respecto a los préstamos tradicionales. Otra diferencia interesante es que las condiciones aquí las fija el deudor, en función de su disponibilidad de pago. Es decir, el tipo de interés a pagar, la manera de devolver capital, etc.


Maiiunl (le Calculo Mnanciem Mcitado de Capitales

Valuación de Bonos

ronciicionc.s d e em isión d e los fainos Kc definen a conlinuacíón los principales elementos que configuran un titulo público según se establece en la documentación de emisión del instrumento financiero^ Las condiciones establecidas se mantienen invariantes durante la vida o maduración del mismo dado que constituyen los derechos del poseedor del papel de deuda. Incluyen; •

Fecha de emisión: Fecha en la cual se emite el título, índica el momento a partir del cual tiene vigencia el instrumento de deuda.

•

Monto emitido: Llamado valor nominal es el indicado en la lámina o prospecto al momento de la emisión.

•

Vencimiento del bono: El plazo de vencimiento de un bono es el número de años en el que el emisor ha prometido cancelar la obligación, en tanto que el vencioiiento indica el cese de la existencia del bono. Implica un elemento básico en el análisis económicofinanciero dado que, además de infonnar en que fecha se va a recibir el capital e interés residual, la lasa de rendimiento dependerá del plazo de duración del bono.

•

Moneda de emisión: Pudiendo ser local o extranjera.

• Amortización de capital: Los bonos pueden pagar el capital al vencimiento (llamado Bono Bullet) o en cuotas durante toda su vida (llamado bono amortizable). La manera en devolver el capital constituye un factor importante ya que de ello dependerán los intereses. •

Pago de intereses: Los intereses son periódicos e implica analizar la lasa de interés utilizada, que puede ser fija o variable según el tipo de bono. Este pago se llama ‘Yema”.

•

Tasa de interés o Renta anual (coupón yield): Es el rendimiento sobre el valor nominal del bono. Por lo que es una tasa de interés nominal anual. Llamada también tasa cupón o tasa de emisión. Es lo que el emisor del bono pagara por el capital emitido como deuda. En el momento de emitir un bono se establece una tasa de interés que se ' llama renta anual. Aunque los precios fluctúen, el interés que se cobra en las fechas de pago del bono será el establecido.

Por esto mismo los bonos son conocidos como instrumentos de renta fija, dado que son activos caracterizan por tener un flujo de fondos futuro conocido al momento de adquirir el bono detallado en estas condiciones.

que se

De lo anterior surge que los pagos a cobrar por el inversor incluyen la realización de dos conceptos diferenciados: 0 A m o rtiza c ió n de c a p ita l: corresponde a la cancelación total o parcial de la deuda que el emisor tiene con el inversor. ^ de renta: es el pago en concepto de intereses que el emisor paga al inversor en forma periódica. Estos pagos reciben el nombre de cupones. Se refieren a las cuotas a cobrar ya sean en concepto de amortización, de renta o de ambos.

Eic. Clarisa A. Fregeiro

17.3

Manual de Calculo Financiero Meaâdo de Capitales________

Valuacida de Bonos

Ejeiupio de un prospecto Condiciones de Emisión - Boden 2e008-

Emisor

Gobierno Nactonai

Fecha de Emisión

2002/ 12/31

Fecha de vencimiento

2000/09/30

Tasa de Interés

DEVENGARÁN SOBRE SALDOS AJUSTADOS A PARTIR DE LA FECHA DE EMISIÓN. A UNA TASA DEL 2% ANUAL. LOS QUE SERÁN ABONADOS POR SEMESTRE VENCIDO SALVO EL PRIMER SERVICIO QUE SERÁ PAGADERO EL 30.09.03.

Monto nominal

2.654.399,899

Periodicidad de los cupones de pago Primer servicio

Semestral, salvo primer servicio

Forma de amortización

2003A)9/30

SE EFECTUARÁ EN 10 CUOTAS SEMESTRALES. IGUALES Y CONSECUTIVAS EQUIVALENTES CADA UNA AL 10% DEL MONTO EMITIDO AJUSTADO POR EL COEFICIENTE DE ESTABILIZACION DE REFERENCIA (CER) CORRESPONDIENTE A LOS 10 DIa S HÁBILES ANTERIORES A LA FECHA DE PAGO.

Primer pago de amortización

Lie. C larisa A. Fregeiro

2004/03/31

Manua] de CaJcuio Financiero

Mercado de Capitales________

V aluación de B onos

El siguiente m apa conceptual nos ofrece una mejor comprensión de las dos partes que inter\Menen en la inversión en bonos:

Clarisa A. Fregeiro

175

Manual de Calculo Financiero Mercado de Capitales_______

Valuación de Bonos

Tipos de bonos Es posible distinguir diferentes clases de activos de renta fija dependiendo de cómo se devuelve el capital y como se pagan los intereses de acuerdo a sus condiciones de emisión. a) Bonos cupón cero (zero coiipon o bonos con descuentos). Son aquellos que no pagan intereses durante la vida del bono. Esta modalidad es característica de los bonos coitos (por ejemplo las letras argentinas y los treasury bilis norteamericanos). Son emitidos con un descuento respecto de su valor nominal, no hay pago de intereses, el capital se devuelve a su valor nominal al vencimiento. De esta manera es el mercado quien determina el rendimiento del bono. Eiemolo: V:N= 100 y se emite con un descuento del 2% anual. Vencimiento 5 años. 0

5

$100

($90,573) P.M .= 100/(1,02)^ P.M. = 90,57 b) Bonos Bullet:

Son aquellos bonos que pagan el capital íntegramente al vencimiento y cupones de renta (intereses) intermedios. Los servicios de renta serán constantes debido a que el saldo de deuda no disminuye, es decir, el valor residual del bono siempre es su V.N. Se trata de un sistema de amortización Americano para el emisor. Ejemplo: V:N= 100 Renta anual (coupón yield %)= 10% Vencimiento^ 5 años. Cupón dé Interés = 100 * 0,1= 10 En el eje de tiempo el flujo de fondos del bono quedara: 0

2

1

1

($ 100)

10

10

2

10

4

:

1

1

10

10+100

c) Bonos am ortizables: En estos bonos, tanto el capital como el interés se abonan periódicamente. Los pagos de capital que representan la amortización de la deuda pueden o no coincidir con los servicios de interés. Con cada amortización de capital abonado va disminuyendo la deuda y al remanente se lo conoce como valor residual. Y sobre ése valor residual se calculan los nuevos intereses. Los interese se pagan con algunas o con todas las cuotas de amortización. El Boden 2012 de Argentina amortiza el capital en 8 cuotas de 12,5 % cada una a partir del tercer año hasta su vencimiento. Ejemplo: Lie. Clarisa A. Fregeiro

176


Valuación de Bonos

V:N= 100 Renta anual (cóupón yield %)= 10% Vencimientos 5 años Amortización: en partes iguales. En este ejemplo, se trata de un sistema Alemán para el emisor del bono. A = 100/5 = 20 Los intereses se van calculando sobre saldos de deuda (valor residual) por lo que quedaran decrecientes. I,= 100*0.1= 10 12=80*0.1=8 13=60*0.1=6 14=40*0.1=4 15=20*0.1=2 En el eje de tiempo el flujo de fondos del bono quedara: 0 ($100)

1 1 20 iO 30

2 1 20 8 28

3 1 20 6 26

4 1

Jo 24

5 1 ------ 1 20 2 22

d) Bonos con periodos de gracia:

Los bonos pueden pagar intereses luego de un período de grada, si bien no paga intereses durante los primeros años, el V.N. capitaliza. Capitaliza significa que los intereses generarán un capital mayor al valor nominal. El capital a amortizar seria el capital inicial mas los intereses devengado hasta el momento de la amortización. El capital comienza a devolverse después de un determinado período de gracia. Ej: Global 2031. Condiciones de Amisión - Global 2031

mi

a

Emisor

Bankers Trust Company

Fecha de Emisión

2001/06/19


2031/06/19

Tasa de interés

12% ANUAL. DURANTE LOS PRIMEROS CINCO AÑOS LOS INTERESES DEVENGADOS SERAN CAPITALIZADOS SEMESTRALMENTE EN CADA 19.6 Y 19.12.. DESDE EL 19.12.01 HASTA EL 19.6.06. LOS INTERESES SE PAGARÁN POR PERIODOS VENCIDOS EL 19.6. Y 19.12 DE CADA AÑO. COMENZANDO EL 19.12.06.

Monto nominal

8.820.666.902

Periodicidad de ios cupones de pago

Semestral

Primer servicio

19.12.06


EL CAPITAL Y LOS INTERESES CAPITALIZADOS HASTA EL 19/06/06 SE ABONARAN INTEGRAMENTE AL VENCIMIENTO

Gráficamente: 1-ic. Clarisa A. Fregeiro

177

Manual de CaJcuio Financiero Mercado de CagwtaJcs________

I9/Ó/200I 19/12/2006

19/6/2001

'í V.N= 100

V_____

Viluaddfi de Booot

— J--------1------------

19/6/2031

t

— I L .I7 7 J

y ■ v 5 años de gracia

V.N. al J9/6/2006: V . N . = 100 (1+ 0,12*180/365)'® '177,7 Las intereses serán de:

I,=r 177,7 ♦ 0,I2*í80/365 = 10^1

e) B onos a tasa fija o a lasa variable: Los bonos pueden pagar lasas fijas d e interés: en estos casos las m ism as se ñjan al momento de em isión, o sea se ñjan cuales serán los cupones que ira pagando el título a lo ia ig o de la vida dcl bono. En este caso se encuentra preestablecida en las co n d id o o es de emisióiL Es llamado cupón de interés Las bonos también pueden pagar tasas variables de interés, en este ca so lo s bonos pagan un inierés que se ajusta a una tasa que va variando con el transcurso del tiem po. S e llam a cupón de interés incierto. Por lo general a través del comportamiento de algún indicador económicofinanciero transparente. Una tasa muy utilizada com o tasa variable e s la tasa básica interbancaria londinense LIBOR (London Interbank Ofíered Rale) que e s la tasa promedio de las que se prestan entre los bancos de Ijondres. En cada periodo se devengan los intereses conforme al valor que tiene dicha tasa al comienzo de periodo. Para el próximo período de renta seguramente la tasa habrá cam biado y habrá que volver a calcular el cupón de interés. Ejemplo: Boden 2012

Valuación de un bono Líe, Clarisa A, Fregeíro

178

¡Vfanual de Calculo Financiero Meneado de Capitales_______

Valuación de Bonos

“Valuar” un bono significa calcular su “valor intrínseco”. Este, se calcula a través del descuento de flujos de fondos, en ingles Díscounted Cash-Flow o DCF. En el DCF el objetivo es estimar el valor intrínseco de un activo. Los fundamentos del DCF se encuentran en la regla del valor presente. Por lo tanto, para valuar un bono se requiere establecer dos elementos como paso previo. • Estimar el flujo de fondos • Estimar la tasa apropiada

Construcción del flujo de fondos La estimación del flujo de fondos del inversor dependerá de las condiciones de emisión del bono, ya que del prospecto se desprenden sus caractensticas. Como ya vimos, las características de la emisión determinaran si el cupón de intereses del bono es cierto (o sea que paga una renta fija a lo largo de la vida del bono) o incierto (o sea si paga una tasa de interés variable como puede ser la tasa Libor). Por otro lado las mismas dirán si la amortización tiene lugar toda al vencimiento (bono Bullet) o si se realizaran amortizaciones parciales (bono Amortizable), etc. Se deberá conocer el monto de la inversión inicial y el momento en que se espera recibir los futuros ingresos para poder conocer la repercusión financiera en el tiempo. Es decir, se estudiara la viabilidad de esa inversión. Como ya vimos, es vital tomar el desplazamiento temporal de los flujos de fondos. Así una decisión de inversión en bonos puede tener el siguiente flujo:

n

-Precio del Bono

-i-Cupon ___

Tiene signo negativo Ya que genera un egreso de dinero

+cupon

+ cupón

-I- cupón

Tienen signo positivo, ya que representan un ingreso de dinero.

Donde al momento cero se tiene la inversión en el activo, por lo que toma valores negativos al tratarse de un egreso de fondos para inversor de dicho activo. Ese egreso de fondos inicial esta dado por el Precio de Mercado del bono que debe abonar el inversor. Lo contrario sucede con los siguientes flujos que toman valores positivos al tratarse de los cupones que el inversor recibe como contrapartida de la inversión efectuada. Como vimos anteriormente, cada flujo estará conformado por renta, por amortización o por ambos, segiln el tipo de bono que se trate.

Estimar la tasa de descuento apropiada Lie. Clarisa A. Fregeiro

179

Manual de Calculo Financiero Mercado de Capitales______________________________________________

Valuación de Hotm

El concepto del valor del dinero a través del tiempo se utiliza para establecer el precio de cualquier activo cuyo valor se deriva de una serie futura de flujos de efectivo, por lo que, la introducción del factor tiempo genera otro elemento en la valuación que es la tasa d« itiieréi requerida por el inversor. Para valuar un bono, es decir, saber su precio, se debe influenciar el flujo de caja por el factor tiempo, No valdrá lo mismo el cupón numero 2 que el cupón numero 4 aunque tengan el mismo valor absoluto. La valuación se hace actualizando los flujos de fondos a una lasa de descuento apropiada, que representa la rentabilidad que el inversionista le exige a la inversión por renunciar al uso de esos recursos en proyectos alternativos, con niveles de riesgos similares, denominada costo de capital. Esta tasa, es la tasa que el mercado esta pagando por este tipo de inversiones, por lo tanto, será lo que el inversor le va a exigir a este bono.

Precio de mercado o valor intrínseco Luego de la construcción del flujo de fondos y de la detenninación de la tasa de interés o rendimiento que el inversor le exigirá al bono, se proceder a su valuación. Valuar el bono significa calcular el precio que el mercado determina que este acüvo vale, por eso el nombre de “precio de mercado” El precio de mercado de un bono esta basado en un conjunto de variables, que influyen en la tasa de interés exigida, como ser el libre juego de la oferta y demanda establecida en la cotización del mercado, calidad del crédito, maduración, impuestos, etc. Es e! valor real dcl bono en un momento dado. El valor de cualquier activo es el valor presente de los futuros flujos de fondos esperados que el activo genera, descontado con una tasa que representa el costo de oportunidad de un inversor por otras alternativas que el mercado ofrece. Esta tasa es la llamada Tasa interna de Retomo que estudiamos en el capitulo pasado.

Siendo

PM=X t=l

Ejemplo:

ct/(i+i)'

i = la TIR dcl bono, t = numero de periodos Cí = cupón del momento t

Manual de Calculo Financiero Mercado de Capitales________

Valuación de Bonos

U empresa XX emite un bono Bullei a 5 años con pago de renta anual al 10%. Cn ese nK>mento los inversores reclaman un 11 % efectivo anual para inversiones de riesgo similar. Se quiere calcular el precio de mercado del bono. Los intereses o renta del bono será igual a: 1=100 *0,10=: 10 Y al ser un bono Bullet el pago del capital es al vencimiento, junto con la última renta. U construcción del flujo de fondos para el inversor resulta:

($ 100)

10

10

10

10

10+100

El precio de mercado será:

p.M. = i o i-n .in '^ +100(1,11)-* 0,11

P.M. = 96,3 Utilizamos la formula de renta inmediata debido a la equidistancia de la corriente de pagos dada por los intereses y luego le sumamos el valor del capital actualizado con interés compuesto ya que no forma parte de la renta. El flujo de fondos que promete este bono descontado al 11% tiene un valor presente de $96,3, Representa el precio que debería tener el bono para que los inversores ganen el 11 % pretendido.

;.Como se interpreta que el precio del bono disminuya? La interpretación económica es que. el emisor del bono al momento de emitirlo, se encuentra con un mercado competitivo en donde hay otras alternativas de inversión similares que están pagando un 11%. Debido a la baja demanda de su titulo se ve obligado a bajar su precio. La interpretación financiera es que. el emisor no puede cambiar las condiciones de em isión y hacer que el inversor gane el 11% en lugar del 10% al cual fue emitido, pero lo que si puede cambiar es su precio de venta. Dado que los cupones son fijos, la única manera de ajustar el rendimiento total del bono ante cambios en las situaciones del mercado es ajustar el precio. Visto de otro ángulo, si tenemos un bono con una estructura de pagos defínida (cupones), la única manera de obtener una mayor rentabilidad es pagando un precio menor. El inversor al comprarlo mas barato y recibir los cupones calculados anteriormente con la tasa (Jel 10% implícitamente esta ganando mas. Si actualizamos los cupones con la tasa de! 11% obviamente obtenemos un valor actual menor a $100.

Clarisa A. Fregeíro

ISJ

Manual de Calculo Financiero Meneado de Capitales_______

Valuación de Bonos

Esto es así poa]ue el precio de un bono es igual al valor presente de un flujo de fondos» de manera tal que en la medida que asciende la lasa de descuento aplicada» disminuye el precio y viceversa. Un incremento en las lasas de interés provocará que el precio de un bono en circulación disminuya» ya que los cupones son descontados con mayor severidad. Mientras una disminución en las tasas provocará que aumente. Se verifica la relación “a mayor precio menos TIR y viceversa" Esto nos lleva a una propiedad básica del comportamiento de los bonos: el precio de un bono varía sicm|)rc en relación inversa a los cambios en la tasa de interés de m ercado. Esia variación es una de las principales preocupaciones de un inversor en bonos y recibe el nombre de Volatilidad. Lo analizaremos mas adelante. Como primera aproximación si tenemos un inversor que posee un bono cuyo cupón devenga un 5% y las lasas en le mercado están en un 1% es muy probable que si quiere deshacerse del bono e invertir el resultante a la lasa que rige en el mercado, tendría que venderlo bajo la par, ya que no encontraría ningún inversor dispuesto a comprar un activo que rinde el 5% existiendo oüas alternativas de inversión que rinden un 7%. Análogamente, sí las tasas de interés estuviesen en un 3% dicho invei*sor no estaría dispuesto a vender sus títulos a valor par, sabiendo que luego tendría que invertir el resultante a una tasa menor, con lo cual, pedirá por sus títulos un mayor valor que compense la perdida que representa invertir a una tasa menor.

Manual de Calculo Financiero Mercado de Capitales

Valuación de Bonos

Tonceptos básicos a tener en cuenta en la valuación Pe la comparación entre el valor del bono en ese momemo según lo establecido por el mercado y el valor que el bono debería tener según las condiciones de emisión, surge el concepto de “paridad”. Paridad: Es la relación entre el precio del tirulo y su valor técnico. P = P.M. V.T.

Valor Técnico; Es el valor de recate del titulo al momento de valuación. Puede interpretarse como el valor que debería tener el bono desde el punto de vista técnico, es decir, según la condiciones de emisión. Representa el Valor residual del bono, es decir el saldo de deuda para el emisor mas un plus llamado interés corrido. Valor Residual:

Es la porción del titulo que aun no se amortizo. El valor residual se reduce en cada periodo de amortización en la porción que lo establece las condiciones de emisión, ya que a un momento determinado de valuación habrá habido amortizaciones de capital. En el caso de los bonos Bullet, el valor residual siempre será igual al Valor Nominal de bono, ya que este tipo de bono se caracteriza por no presentar amortizaciones periódicas de capital. VP= VN - amortizaciones de capital

Siendo

V R = X ct/(i+i)'

i = la tasa de emisión o tasa cupón. Ct = cupón del momento I t = numero de periodo

1=1

Recordemos, entonces, que el valor actual de los cupones restantes a la fecha de compra actualizados con la tasa de emisión o cupón es igual al Valor Técnico. Pero si la actualización la efectuamos con la TIR. entonces obtendremos el Precio de Mercado. VT = VR + interese corridos

VT=I

Ct / (1+i) *

+ intereses corridos

f=i

Clarisa A . Fregeiro

183

Manual üe Calculo tinanciero Mcicado de Capítales______

V aluación de HímifA

iiite r v s e s C o r r id o s :

Son los inlercsas devengados desde el cupón anterior hasta la fecha de valuación. íin el nio/nenlo de inicio de cada pcrúxio de renta, estos intereses, son iguales a cero. ¿Qué pasa si debemos valuar a un bono en algún punto entre el último m om ento de pago de un cu/x>n y el próximo? Es decir un momento intemiedio entre dos cupones. Cuando esto ocurre el comprador debe compensar al vemledor |X)r la porción de intereses que serán pagados en el próximo servicio, pero que el vendedor no recibirá como consecuencia de vender antes del momento de pago. Este momo es conocido como intereses corridos. El m ism o resulta de aplicar la tasa de interés por la cantidad de días Uanscurrídos entre Ja fecha del último pago y el día de valuación por el valor residual dcl bono. Tomemos el siguiente bono de ejemplo: Bono fiulict de VN = $¡(X) que paga renta semestral. El bono vence el 3/5/2 lOJ 2 y se quiere valuarlo el í U4/2009. TNA = 2,622%. 1= l(H)* 0.02622/2= 1,311 Flujo Je fondos:

3/ 1/08 1.31

3/5/09

3/ÍI/09

3/5/10

rii

li^

3/11/10 rii

3/5/Jl

3/11/11

3/5/J2

ü ti

ríi

13Í + iOO

Valuación 11/4/09 Imercses corridos desde el 3/11/08 al 11/4/09. Hay 159 días I.C. = JOO* 0,02622 * 159/360 = 1^1805 Valor lécnico= 1(30+ J,51805:= 101,15805 Como consecuencia de lo anlcrior existen diíerenies mtxlalidades de cotización: Incluye intereses coirídos (precio sucio) No incluye intereses corridos (precio limpio) Precio deán (limpio) o dirtv (sucio); La diferencia radica que el precio'deán no incluye en el precio de cotización el interés del cupón corrido, mientras que el precio dirly si lo hace. Casi lodos los bonos del m undo cotizan en la modalidad deán. Debe tenerse en cuenta que cuapdo uno compra un bono que cotiza d e á n lo que efectivamente se paga es le precio deán mas los intereses corridos. (Precio dirty)

Calculo de los días para calcular los intereses corridos aplicando Excel Para calcular los días que transcurrieron desde d último cupón pagado hasta la valuación del lx)no utilizando el Excel se utiliza la función financiera CUPON .DIAS.L1


184

Manual de Calculo Financiero Mercado de Capitales .

Valuación de Bonos

Pasos a seguir: • ff a fx (funciones) ^ Categoría: FINANCIERAS :V ^ ^ Seleccionar; C U PO N .D IA SX r Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio: Argumentos de la Función

Liquidad on = Vendmiento = Frecuencia = Base =

11704/2009 03/05/2012 2 1

DIAS =1'

159;;^

Valor técnico = 100 (1+0,02622 * 159/360) = 101,15805 Por lo que hay que pagar $100 de capital y $1,15805 de interés corrido que le corresponde al vendedor del bono. Por tenerlo 159 días del total del semestre. Ejemplo V.N.= 1000 Renta; semestral Amortización al vencimiento (Bullet) Plazo: 5 años. Tasa: 8%

Cotización Indicadores Precio de mercado VN ■ TIR coupon yíeld

A la par

$1000 , $1000 8% 8%

sobre la par

bajo la par

$1100 $1000 6,22%

$900

8%

$1000 , 10,02% 8%

Dado que el cupón es fijo la única manera de ajustar el rendimiento total del bono (TIR) ante cambios en las situaciones del mercado es ajustar el precio por sobre o bajo la par. Cuando la paridad es igual, mayor o menos a 100% el bono cotiza a la par, sobre la par o bajo la par respectivamente. La paridad se utiliza para comparar cotizaciones a lo largo dcl tiempo Bonos qué cotizan '*a la par**: Se trata de títulos cuyo precio no poseen descuento exigido en el mercado y su precio es igual al valor nominal (en caso de comprarse al momento de emisión) o se iguala al valor técnico (en caso de comprarse en cualquier momento dado). Por lo tanto siempre que la tasa de cupón sea igual a la TIR, siendo ambas tasas representativas del mercado, el bono se venderá a su valor par. l .


Manual de Calculo Financien) Mercado de Capitales

Valgacido
Bemos que cotizan *"baio la par”: En este caso el precio de mercado esta por debajo de su va^ nominal o valor técnico» por lo tanto son bonos que poseen ganancia de capital. Las tasas de interés en el mercado cambian a lo lai go del tiempo» siempre que la tasa de interés sea mayor a la tasa de cupón» el precio de un bono disminuirá por debajo de su valor a la pm*. Este bono gh el Bono de descuento» es el bono que se vende por debajo de su valor a la par. Es la herramienta con que cuenta el emisor para que el bono siga siendo atractivo para el inversor ante subas en el mercado. Bonos que cotizan *"sobre la par**: Son títulos que cotizan con sobrepredo por su valor nominal. Sucede en estos casos excepcionales que la tasa del cupón es tan etevada en comparación con la tasa vigente de mercado, que el inversor esta dispuesto a pagar un sobre precio y sacrificar parte de la rentabilidad otorgada por el cupón, porque fínancieramente sigue siendo conveniente. Ejemplo Supongamos una empresa que realiza una emisión de bonos para obtener finaiK:iacidL Esta emisión cotizará en Bolsa, condiciones de dicha emisión son las siguientes: Producto: Nominal de cada bono: Interés: Periodicidad del pago: Plazo: Amortización:

Bonos $ 10.000

6% anual anual 5 años Única, al 5” año

Un inversor que dispone de $1 millón y desea inveitiiio en esta emisión: • Adquirirá 100 bonos ($1.000.000 / $10.000 por bono). • Recibirá, cada año, $60.000 en concepto de intereses (cupón de renta) • Al cabo de 5 años la empresa emisora le devolverá el capital ($l millón). £1 precio de cotización de los bonos en el mercado, en el momento que se desea voider, puede ser superior o inferior al valor nominal ($10.000). En términos generales, si el interés de emisiones de similares condiciones en el mercado es, en ese momento, superior al de sus bonos, es decir, mayor del 6 % anual, el precio será inf^nor a! nominal ($10.000 por bono), mientras que si el tipo de interés vigente en el mercado es inferior al 6%, el precio al que se pueden vender los bonos será superior al nominal que pagó por ellos. En definitiva, el inversor podrá obtener una minusvalía o plusvalía en la venta dependiendo de la evolución de los tipos de interés. Como conclusión, a un inversor le va a convenir adquirir un bono cuando cotíce bajo la par, es decir cuando la tasa del mercado supere a la pagara por el bono. Y consecuentemente, al tenedor de un bono le convendrá venderlo cuando cotíce sobre la par, es decir cuando la tasa del mercado sea inferir a la tasa pagada por el bono.


Mimuftl de Cniculo Financiero Mercado de Capitales________

Valuación de Bonos

Rendimiento de un bono pam un bono dado, el valor del cupón, su paridad y su fecha de vencimiento son datos conocidos y fijos. Su precio y rendimiento requerido en cambio varían periódicamente según his condiciones de mercado. Son tres los rendimientos básicos: 1. Rendimiento al vencimiento (TIR ük - ante). 2. Rendimiento corriente 3. Rendimiento total (TIR ex - post) I. pendim iento al vencim iento o Tasa Interna de Retorno (TIR)

Es el rendimiento efectivo del título, comprado a un determinado precio hasta la fecha de su vencimiento. El rendimiento surge de dos componentes: • La lasa de interés que paga cada cupón, (tasa de emisión o tasa cupón) • El descuento en el precio que le exige el mercado, por el riesgo de dicho bono. Es la tasa de rendimiento que iguala el valor presente de los futuros flujos de fondos, representado por los cupones, con el precio de mercado. La TIR obtenida aplicando la regla de interés compuesto es una tasa de interés que se obtiene a partir de la condiciones del bono, es decir, es endógena a este y es una medida adecuada para evaluar el rendimiento de una inversión. Es el retomo total que se obtiene por tener el lx>no hasta su vencimiento, permite comparar bonos con diferentes cupones y plazos. También se conoce a la TIR como yield to maturity (YTM) o Discounted cash flow yield (DCFY). A diferencia radica en que la YTM es la TIR de un bono que amortiza el principal al vencimiento. (Bono Bullet) Y DCTFY es la TIR de bonos con amortizaciones parciales hasta el vencimiento (Bono Amortibzable). En argentina y otros países se utilizan ambas definiciones en forma indistinta como tasa interna de retomo. La convención es expresar TIR en términos anuales.

Supuestos de ia T IR ;

^ La TIR tiene en cuenta el ingreso por cupones y cualquier ganancia o perdida de capital que el inversor pueda tener manteniendo el bono hasta su vencimiento Cabe aclarar que ésta no es representativa como medida de rendimiento cuando el bono se vende antes de su vencimiento, dado que la misma nos da una medida de retomo hasta al vencimiento. En caso que no lo mantenga hasta el vencimiento, el precio de salida o venta clel bono puede provocarle una pérdida, debido al aumento de tasas de rendimiento en el mercado a ese momento. ^ También este rendimiento supone que el inversor reinvierte los cupones cobrados durante el periodo a la misma tasa de rendimiento. La rentabilidad hasta el vencimiento pide que las colocaciones se lleven a cabo a esa tasa. Difícilmente se logre, puesto que se recolocan llujos a las tasas que se ofrezcan en el mercado, en cada oportunidad. Rendimiento corriente, (current yield)_____________________________ ‘c. Clarisa A . F regeiro

187

Manuai de Calculo Financiero Mercado de Capitales_______

Valuación de? Bonos

Esta dado por el cociente entre eJ cupón de interés del período corríente y el precio efe mercado. Relaciona el cupón anual de interés que paga el bono, con el precio de mercado. Es una medida de rentabilidad que solo considera los cupones como ñiente de ingreso y que no reconoce el valor del dinero en el tiempo. Por lo tanto, no es una buena medida. Es el porcentaje que repre.senta el interés periódico respecto al precio del bono. Sí por ejemplo usted compro un bono en $ 1.000 y los intereses son del 8 % ($ 80), el rendimiento corriente será de 8 % ($ 80 / $ 1.000). Veamos otro ejemplo, si comf»'ó un bono a $ 900 y la tasa de interés es del 8 % ($ 80) entonces el rendimiento corriente será de 8.89 % ($ 80/$900). Aunque es una medida de rendimiento muy básica, debe tenerse en cuenta que fiiuchos inversores compran bonos por el interés que les despierta el cobro de un cupón de interés alto, cuando en realidad lo que debería interesarles es el rendimiento corriente. Por ejemplo puede existir un bono que pague el 4% pero su precio de mercado ser de $40 por lo que el inversor lecíbirá un rendimiento corriente del 10% y no del 4%. Todo dependerá del precio de mercado. 3. Rendimiento total de un bono

A esta tasa se la suele llamar TIR ex - post o TIR modificada A difeiencia de la TIR que supone que todos los cupones son reinvertidos a la misma tasa, el retorno total es una medida de rendimiento que incorpora un supuesto explícito respecto de la lasa de reinversión. El primer paso para calcular el retomo total de un bono es calcular el monto total. Para dicho cálculo cl inversor deberá estimar cuales serán las lasas futuras a las que podrá reínveitir los flujos de fondos que promete el bono. Es conveniente que plantee diferentes escenarios posibles por sí la tasa varia a lo largo de la vida del bono Así como cl precio al que se venderá el bono al final del periodo del horizonte de inversión.

1/n

Cupones capitalizados más precio de venta Retomo total o TIR=

-1 Precio de compra

SI suponemos que los cupones se reinvierten a la misma lasa, el rendimiento resultante será la TIR inicial: ‘TIR ex - ante’* Si la reinversion se produce a una tasa mayor a la TER, la TIR ex -post resultante será superior. Inversamente si ia recolocación de fondos se produce a una tasa menos, la TIR ex -post será menor a la TIR inicial

Ejemplo Lie. Clarisa A . F regeiio

188

Manual de Calculo Financiero Meneado de Capitales_______

Valuación de Bonos

Se analiza un bono de VN = $10000 con amortización al vencimiento (Bullet) a vencer en 5 años con lui rendimiento del 2% efectivo anual. Por lo tanto, el emisor, cada año tendrá que abonar $200 en concepto de intereses y al quinto mes deberá abonar Ja totalidad de la deuda ¡nicialmente contraída, es decir, los $10000 Supongamos que el emisor coloca Jos títulos en el mercado el día de su emisión “a la par*’, es decir los vende a un precio de mercado igual a su valor nominal. ($10000) Los cupones obtenidos, el inversor los coloca en el mercado a una tasa igual a la pagada por el bono, es decir el 2% anual. Gráficamente:

.10000

+200

+200

+200

+200

+200 +10000 204 208,08 212,24 216,48

11040,8 Monto obtenido al finalizar la vida útil del bono:

W= 200 (1,02/ + 200 (1,02f + 200 (1,02/ + 200 (1,02) + 10200 M= 216,48 + 212,24 + 208,08 + 204 + 10200 = 11040,8 Rendimiento total o TIR ex - post: 1/5

¡«5 = (11040,8 /ICOOOI- 1 = 0,02 Encaso de no reinvertir los cupones la TIR ex - post resultara menor; M= 200+200+200+200+200+10000= 11000

i«3 = (11000/10000)'"- 1 = 0.01924 (menor al 2%)

iierrirín ríe aplicación ‘''t-

Clarisa A. F regeiro

189

Manual de Calculo Financiero Mercado de CapUales_______

Valuación de Bonos

Dadas las sigüientes condiciones de emisión: - E^cha de emisión: 20 de febrero de 2005. - VN: 100 - Plazo: 3 años. - Fecha de vencimiento: 20 de febrero de 2008. - Moneda de emisión y de pago: Pesos - Tasa de Interés: TNA 10% - Pago de Interés: Semestral - Amortización: íntegra al vencimiento (Buliet) -TIREA:I4% Se pide: 1. Armado del flujo de fondos del bono desde su emisión hasta su vencimiento. 2. Calcular el Precio de Mercado. 3. Calcular el Valor Técnico. 4. Calcular la Paridad. 5. Deierminar mediante los criterios VAN y TIR si la inversión en este bobo es conveniente para un inversor que pretende ganar un 12 % efectivo anual de interés. Recordemos que esta tasa es el costo de oportunidad o tasa de corte del invoônista. 6. Calcular el precio máximo a pagar por el inversionista anterior. 7. Calculai la TIR modificada suponiendo que a medida que se van cobrando los cupones son reinvertidos a las siguientes tasas: a. 3,5% semestral b. 7% semestial. c. 8% semestral d. No se pudieron colocar los cupones. 1. Armado del flufo de fondos: En primer lugar armamos el flujo Je fondos del bono según las condiciones de emisión representado por la inversión inicial y los derechos que emanan de ella o sea por lo cupones. En este caso al ser un bono Dullet calculamos los servicios ñnancieros que periódicamente deberá cobrar el inversor calculados con la tasa contractual, es decir la tasa cupón. Y al vencimiento el cupón de amortización única. Tasa efectiva semestral del bono: ii8o = 0,10/2 = 0,05 Renta semestral = 100. 0,05 = 5 Flujo de fondos: 0 1 1

I ___ 1____ 1

-100.

+5

_ 41 _ +5

2. Precio de Mercado: Lie. Clarisa A. Fregeiro

3

4

5

6

— i +5

+5

+5

+105


PM =

-1

+ ^

5

Valuación de Bonos

■f’ 5

+ 5 + 205

(1.07) (1.07V (1,07)^ (1.07)' (1,07)^

(1,07)*

PM = 4.67 + 4.37 + 4.08 + 3.81 + 3.56 + +69.97 = 90.46 El bono se compro sabiendo que rendirá un 7% semestral, por lo que el precio deberá ser $90,46. Esta TIR recibe el nombre de ‘TIR ex - ante” pues es la que corresponde al momento de la compra. No se sabe si se mantendrá dicho rendimiento a lo largo de la vida del bono, por los riesgos asociados a este tipo de inversión. El valor a pagar por dicho bono el día de emisión es de .$90,46 en lugar de $100. 3. Valor técnico: Si no hay intereses corridos y el bono todavía no tuvo cancelaciones de deuda (recordemos que es Bullet), entonces el valor técnico es igual al valor nominal. VT = VN = 100 4. Paridad: P= PM/ VT P= 90.45 / 100 = 0,9046 Esto quiere decir que el bono se emitió bajo la par, ya que vale el 90,46% se su valor. Es como consecuencia de que la tasa en el mercado subió y para que el bono siga siendo atractivo a los inversores se debe vender a un precio inferior. 5. Determinar sí es conveniente invertir en el bono. Para determinar si una inversión es conveniente o no vimos que podemos usar dos criterios: el VAN, que mide la rentabilidad del proyecto en términos absolutos, siendo el valor hallado un incremento o una disminución del capital y la TIR que mide la rentabilidad del proyecto en términos relativos. Para ambos criterios debemos plantear la tasa de interés requerida para la inversión en este bono. Vamos a suponer que el inversor desea obtener como mínimo un 12% anual de interés. K= 6% semestral. Recordemos que esta tasa es el costo de oportunidad del inversionista, es lo que dejaría de ganar por realizar esta inversión y no otra de riesgo similar como por ejemplo, puede estar comparando entre dos bonos. Como primera conclusión si el bono posee una TIR del 14% anual y el inversionista requiere el 12% anual desde ya que es conveniente comprar este bono. Recordemos la regla de decisión de la TIR: 0 Si TIR > K el bono se recomienda comprar porque su rentabilidad es superior a la exigida. o Si TIR = K el bono se recomienda comprar porque su rentabilidad es justo lo que el inversionista exige Si TIR < K el bono no se recomienda comprar porque no alcanza la rentabilidad exigida.

lêro en caso de no conocer su TIR, la herramienta que nos permitirá determinar si comprar o el bono es el VAN. Recordemos que: n Va N = -PM+ T Fi/(I+K)^ 191 Clarisa A. Fregeiro

Manual de C üIcijíü Financie/ o Mercado de Capilales

Valuación de lio/io.

J-J VAN = - V(Mí> ^ 5/l,06-t5/(J.Ü 6)- I 5 /(l,06)’ -I 5 /(I.0 6 / + 5 / f l ,0 6 ) '+ VAN = 90.46 I 95.0S VAiN = 4,622

105/(1,06)*-

Como era de suponer el VAN es mayor a cero, cjuicrc decir que el boíio es conven/enlc comprarlo, ya que sus Íuíurcs ingresos aclualizados supcnin a inversión inicial por Jo que el punímonio del inversionista se incrcmenlaria, ivsic birno no solo paga el 6% sernesinil sino más también. Como vimos, su TJK es del 7%. Y se cüiiipnicba la regla de decisión* VAN > 0 enmnees la T¡R>k ó. /C u ál es el nrecío máxinio a pagar i>or este luino por el inversionista? III precio máximo a pagar será lo que seguro piensa recuperar, es decir, el inversionista esta dispuesto a pagar por este bono hasta .$95,08 ya que es Jo que seguro va a recuperar. 7. Calcular la TIR modificada o e> ~posl a) Monto: M = 5 (1,035)’ + 5(1,035)' + 5(1,035)’ + 5 (1,035)^ 5 (1.035) ^ 105 M= 132,75 TIR ex - posi = 1132,75 / 90,46]"®- 1 = 0,066 Al invertirse los cupones a una tasa más chica de la TTR al momento de la compra (7%), el rcndimicnio total obtenido es menor. TIR supone que los cupones se rcínvícrtan a la misma Ursa para que cíeclivamente se pueda ganar esa TIR. b) Monto: M= 5 (1,07)’ + 5(1.07)' + 5(1,07)’ + 5 (1.07)^ + 5 (1,07) +105 M= 135,766 TIR ex - post = [135.766 / 90.46]'"- 1 = 0,07 Al invertir los cupones a la tasa pagada al momento de la compra, es la tasa que efectivamente gano, c) Monto: M= 5 (1.08)’ + 5(1,08)' + 5(1,08)’ + 5 (1,08)’ + 5 (1,08) + 105 M= 136,68 TIR ex - post = 1136,68/90,46]'"- 1 = 0,0712 Obviamente al poder reínveilír los cupones a una lasa mayor, la ganancia total será superior a la TIR que se suponía que se iba a ganar. d) Moilto: M= 130 TIR ex - posi = [ 130 / 90,46]'"- 1 = 0,0623 Al no invertir los cupones en el mercado efectivamente gano menos, ya que la TIR supone la reinversíon de los cupones a esa misma tasa.

Aplicación del Excel para valuar un bono. El Excel tiene funciones esjxMíífícas para valuar a los bonos. Pero son limitadas á bonos Bullet, con tasa fija. —^ 192 Líe. Clar isa A.; Fregeiro

vfsf’j.tJ v^k' Calcuk' Finamciea' Valuación de Bonos Mc;c.Kk> ik- C^t^raios_______ V!MI)-Afcnios las sissiiieiues funcione^: I^RÍí CIO: Se latiere iU precio de Meivado de un bono Bullet, si lo valuamos en el momento de a'Tte di' cupón. Rl; NDIX): Se refiere a la TIR del bono si el momento de la compra de un bono Bullet coincide A>n el corte de un cupón. FRECIO.PER.IRREGUL.AR.L: Calcula el precio de un bono Bullet si se valúa entre dos cu}v>nes. Por lo t;mto, existen intereses corridos. RENDTO.PER.lRREGUL.\R.L: Calcula el rendimiento del bono si se valúa entre dos cupones. Por lo tanto, existen intereses corridos. Para conocer su aplicación tomemos como ejemplo el “DONAR VII 2013” en dólares, que fKtgíi cupones semestrales de interés el 12 de marzo y el 12 de septiembre de cada año hasta el \ enciraiento que será el 12/9/13, Tasa de interés fija del 7% anual.

Condiciones de emisión del BONAR VII

1

í Símbolo

AS13

; Denominación

BONO DE LA NACION ARGENTINA EN DOLARES ESTADOUNIDENSES 7% 2013 - BONAR Vil

i

1Emisor

Gobierno Nacional

Fecha de emisión

12/09/2006


12/09/2013

Moneda de emisión

Dólares

Interés

Tasa fija del 7% nominal anual, calculada sobre la base de un año de 360 días, integrado por 12 meses de 30 días cada uno. Las fechas de pago serán el 12 de marzo y el 12 de setiembre de cada año. Primer servicio el 12/03/07.

Primer servicio de interés

12/03/2007


Integra al vencimiento.

Tipo

Títulos Nacionales

Calculo del precio de un bono Bullet aplicando Excel


193

Manuai tic: ( ’aU'ulo I inancicin M crcailoiK ('apílales

Valuíu lón de R odos

(' ¿ilnilcMiios ol piecuí l\c\ H0N;VR VI. sahiemlo ijue la lasa ele rciidiiiiienlo o dd lü7c, juslo ilespucs ilcl pa^Mi de un iûpón, pCH ejoâpUi el día 12/9/10. Rara caleular d piecio de mercjclo ion el P.xcel se siguen los siguieiiies pavos li a fx (luiiCíones) Cale g(>na. h ÍjNA N(' lP.R AS Scicicioiuu. RKMCIO Ahí sc abrirá mía venlana llanuida ARGUMFNTOS DE LA PUNCION donde se vuelcan uxlüs los valores dd ejercicio Argumentos de la Punción

Llguidancn = Ventimienlo=

12/Ü9/2Ü10 12/09/2013

Tasa =

77o

Remlimrenlo = íO'X. Valor de róscale “ 100 Frecuencia =• 2 Base = omitir PRECIO = $92.39 Siendo el jxeao de uSs 92.39 por cada u$s 100 de VN. Pin el argunicmo “Base” irá 1 para la convención de 36S días (año civil) y se omite para la convención de 360 días (año comercial) El icniiimicnto anual se leficre a la TIP del bono en ese momenlo de valuación lui íicciiencia se refiere a )a cantidad de cupones que se cobran poi año. / Como se interpreta uuc e) predo del bono sea mas bato ol precio de emisión? L.a inteiprelación económica es que, ei emisor del bono al momenlo de einilirio, se encuentra con un mercado competitivo en donde hay otras alteniativas de inversión similares que están pagando un i09b. Debido a la bafa den anda de su titulo se ve obligado a bajar su precio. La imcrpretación rinanciera es que, el emisor no puede cambiar las condiciones de emisión y hacer que el inversor gane el 109í> en lugar del 7% al cual fue emitido, pero lo que si puede cambiar es su precio de venta. l>ado que el cupón es fijo Ja única manera de ajustar el rendimiento total del bono ante cambios en las situaciones del mercado es ajustar el precio. El inversor al comprarlo mas barato y lecibir los cupones calculados anteriormeote con la lasa dtl 7% implícitamente esta ganando mas. Si actualizamos los cupones con la lasa del 10% obviamente obtenemos un valor actual menor a $100. Esto nos lleva a la propiedad básica del comportamiento de los bonos que antes mencionamos: d precio de un bono varía siem pre en relación inversa a los cam bios en la tasa de interés de mercado.

Esto es así porque d precio de un bono es igual al valor presente de un flujo de fondos, de manera tal que. en la medida que asciende la lasa de descuento aplicada, disminuye el precio y Líe. Clarisa A. Lregeiro

194

Mimii.i! ik C':il( ulo l^'iiuiiu lem Mc jcailo lie C a p ila k s

Valuación ele H o ikjs

viceversa Un inv'ienienio <*ii las lasas tic inleiós piovinará íjue ^1 prcoo fk un bono en u'iiLilat'ión (lisniinuya, ya íjiie los cupones s«)n desconlados con mayoi severidad. Micniras una ilisniinm ión en las lasas piovocaiá c]ue aumente. .Se vcnlica la relación “a mayoi ¡necio menos TIR y viceversa” Vi'ilo de otro ángulo, si tenemos un bono con una esiiuclma de pagos definida (cupones), la única manera de obtener una mayor rentabilidad es pagando un precio mcnoi C á lcu lo d e l r e n d im ie n t o d e u n b o n o a p lic a n d o E x c e l

Si en el mismo caso se tiene previamente el precio del bono al 12/9/10, podemos calcular el rendimiento anual (TIR) con el Excel se siguen los siguienles pasos: Ii a fx (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: RENDTO Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA ÍTJNÍÎON donde se vuelcan todos los valores del ejercicio. Argumentos de la Función Liquidación = 12/09/2010 Vencimiento = 12/09/2013 Tasa = 7% Precio = 92,39 Valor de rescate = 100 Frecuencia = 2 Base = omitir TASA = 10%

Cálculo del precio cuando la fecha de valuación es entre dos cupones Si lomamos como fecha de compra o valuación el 9/9/10 habrá un primer período distinto a los demás, en este caso para hallar el precio de un bono Bullei con Excel se siguen los siguientes pasos: Ir a fx (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: PR ECIO .PER.IRREG U LA R. 1 Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan todos los valores del ejercicio:

1!C Clarisa A. Fregeíro

195

Muilual (le ('.líenlo ÍMiiancieio M cremio dM apílales___

_Va)uac ión de Bon(«

Argumentas de la Funrlon Liquidación = 09/09/2010 12/09/2013 Vencimiento = 12/09/2006 Emisión = Prox cupón = 12/09/2010 7% Tasa = 9,63% Rendimiento Valor de rescale = 100 2 Frecuencia = omitir Base = PRFCIO = 93.24910332

Cálculo del

r e iid in iie n to c u a n d o

la fecha ele valuación es entre dos cupones

I>e similar forma fHxicmos liallai el rendiniienlo de un bono sabiendo el precio cuando el primer periodo es dísiinio. Se uliliza lu función: RENDTO.PER.IRREGULAR.1 Con el Excel se siguen los siguienles pa.sos; Ir a f* (funciones) Categoría: FINANCIERAS Seleccionar: RENDTO.PER.IRREGULAR1 Ahí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan lodos los valores del ejercicio;

Argumentos de la Función Liquidación = 09/09/2010 Vencimiento = 12/09/2013 Emisión = 12/09/2006 Prox cupón = 12/09/2010 7% Tasa = 93,25 Precio = Valor de rescate = 100 2 Frecuencia = Base = omitir TASA=^ 9,63%

Calculo del precio de un bono Amortizable Lie. Clarisa A. Fregeiro

Manua! tic Calculo l'inancicio \lcr¿\ul<^ tic C\»pualcs_______

Valuiiríón de Hunos

Los Bonos Aiiiorli/iihlivs lieiien nn Unjo de íondos no consianie, poi lo (jue usaremos las íiiiuMones fiiiaiu ieras esindiadas en los pioyccios ile inversión. FJ VNA para calcular el pic( lo V la riR para calcular el rendiniienio Esias inneiones son aplicables cuando los íliijos du londí'is son periódicos, es decir, la lecha de valuación del bono coincide con eJ corle de un cupón generande^ pentodos equidisianies. Pero cuando la fc‘cha de cr^mpra es en algún mornenlo miermedio eniie dos cupones, las funciones financieras a ulilizar serán: > n a .n o . p i : h T IR ,N ().P L K

Fsias funciones lambii^n pueden ser nlili/adas para los Bonos Bullel, pero se deberá prcviamenie calcular lodo el Hujo de fondos. í’ani aplicar csias funciones financieras anali/aiemos el (jiobal 2008.

Condiciones de em isión dei Global 2008 Símbolo

GD08

Denominación Emisor

BONOS HXTERNOS C.L013ALHS DE LA REPUBLICA ARGENTINA EN DOLARES ESTADOUNIDENSES 1% 2001-2004 ^ 15,50% 2004-2008 Gobierno Nacional

Fecha de em isió n

19/06/2001

Fecha de

19/12/2008

Vencímienfo Moneda de em isió n

Dólares

Inferes

7% HASTA EL 19/06/04 LUEGO 15,5% PAGADEROS SEMESTRALMENTE LOS DÍAS 19/6 Y 19/12 COMENZANDO EL 19/12/01 19/06/2001

Fecha - D ev en g a n intereses Primer serv icio d e interés

19/12/2001

Forma de am ortización

SEIS CUOTAS SEMESTRALES CONSECUTIVAS, LAS CINCO PRIMERAS DEL 16,66% Y LA FINAL DEL 16,7% COMENZANDO EL 19/06/06

íáCv Clarisa A. Fregeiro

197

Manual ilt ('ulculo lîuímcieu) MtMcaüo d«* C\ipifa Ios

Valuarií'Mi Uc Hoik>s

T om em os conu) (echa de valuación una fecha cualquiera co m o sei t i G ráficaineiue el llujo de fondos desde la valuación hasta el vencim iento queda.

2 ó/03 /?
IGLOBAL 200B

Penodo toleres Bii>orli2adon Flujo final

19«A)4 19/12/04 19I6/D5 19/12/05 19/B/06 19/12/06

KJ2I0A

^-0

3.5 3.5

7.75

7.76

7.75

7.75

7.75

7.75

7.75 16,66 24,41

19/r>/07 19/12/07 5,177 16,66

3,89 16.66

23,12 21,837

20,55

6,46 16,66

19/6/08 19/12/08 2.G 1.31 16.56 16 7 19,26 la.oT

VALUACION

iPrrclQ al

P0,1

Para calcular el precio se siguen los siguientes pasos: Ir a f, (funciones) Categoría: FlNANCUiRAS Scleccionaj; VNA.NO.PER Allí se abrirá una ventana llamada ARGUMENTOS DE LA FUNCION donde se vuelcan lodos los valores del ejercicio. Los valores son: la lasa (TIR del bono), las fechas y los valores a actualizar. En estos valores hay que incluir un ''cero'* como inversión inicial en la fecha de compra.


198

Mftx,ul(j lie r.ip iM ifx _______

VnliKu n‘)íi ílí' Bonos

j^ .g |ios in ii)liV i< o s o n la invtM .sióii e n Im nnc

I

raiisas y hicioics ijuo ¡nllnyon en las niocliíicnciones del pieeio (Je nii hofio a lo laigo dr su vida linl es lina de las picoeupaeiones en los inversoies de honos, asi tomo las c onsec uenv las (1(*nesgo que c onilevan (ales variaciones Al inveriii en bonos el inveisor se enírenla a dos licsgos h¿lsicos. I) K1 riesgo (le ei cdilo; (me el deudor no namic la ohlit;aci(>n contraída al vencimiento (Ina de las principales eveninalidades que es necesario lener en cnenla al evaliiai una inveisión en bonos es la posibilidad que la enlidad emisora no pueda cumplii el pago de la deuda hsie nesgo se llama habiiualmenie defuijN o de ínciimpliniienlo Pura eonocei la calidad de un bono hay tpic lenei en cnenla la probabilidad de que la nrganiyación emisora pueda pagar la deuda A esle índice se lo denomina capacidad de ciédilo ücapjí idail de repago. Oíanlo nia>Mir es esa capacidad del emisor, es niíis piohable que pueda cumplir con sus obligaciones de pago en el momcnio del vem imienlo Esle riesgo se da más en Obligaciones Negociables, donde los emisoies son empresas privadas Para darles a los inversores mayor iransparencia ex ¡sien eni ¡dudes que olorgan puntajes a las cmpiesas y medir el riesgo de cada inslriimenlo Cicneralmenle, los honos de menor calidad o mayor plazo de venciinienlo ofrecen un cupón más alio, mieniias que los que tienen una calificación de riesgo baja, o su vencímienlo es a corlo plazo, tienen lasas de inlerés menores. .Si los inversores csliman que el emisor podrá lencr problemas financieros para apagar sus cupones, el rendimienlo requerido aumenlará y por lo lanío, el precio caerá A mayor riesgo mayor rcndimienio requerido y caída de precio. 2) Riesgo de variación en las tasas de interévS La fluctuación o sensibilidad clel precio como consecuencia de las variaciones de la lasa de interés recibe el nombre de volafilidad. Como ya vimos, una de las propiedades de los bonos es que su precio de mercado dependerá de las lasas efe inlerés que se negocien en el mercado. Recordemos que su relación con Ja misma es inversa, ya que si las lasas aumenlan, el precio del bono disminuye y viceversa.


109

Manual Je Calculo J’iiiancit io Mercado Je ("a p ita ks________

ValuuLión de Bonos

V o la tilid a d

Deriníiiios a la volatilidad como la vanacicín dd precio Je un bono ante cambios en la tasa de ínteiés cicl mercado. Y como vimo.s, représenla el nesgo más iinpoitanle que aitxla el precio de los tíluIo.s. Se lonocc como volatilidad Icórica y siiige de las nouna.s de emisión e intenta medn la sensibilidad dcl pieuo dd bono anic cambios en la lasa lequerída poi el mercado. Dicha volatilidad es una medida rep;xi.senlaliva del riesgo que se asume al invenir en dicho activo, ante vaiiaciones de la TÍR. Cuanto más volátil es un bono, más riesgoso es. El liesgo derivado de esta tlucluación se denomina riesgo de tasa de interés. Eiempio Un bono emitido a lies anos con valor nominal ,$100 y cupón del 10% anual a pagar en cuolas semestrales. Bono Bullel. Tasa cupón 0,10/2 = 0,05 semestral Renta semestral = 100. 0,05 = 5 Flujo de íondos: n

0 1

1 -u».

5

.3 J

1

+5

45

r-5

+5

6 1

1 ■tíos

Comportamiento dcl precio ante cambios en la tasa Tasa de Interes 14% '

Precio 90,46

13%

92.73

^

12% 11% ’ 10% ■ ' 9% 8%

95,08 97,5 102,6 105,2

Paridad 90,46% 92,73% 95,08% 97,60%

Bajo la par Bajo la par Bajo la par Bajo la par Too%îF^ A la par V 102,60% Sobre la par 105.20% Sobre la par

Var % en el precio 9,54% 7,27% 4.92% 2,50% 2,60% 5,20%

Puede observarse la fluctuación inversa en el precio ante cambios en la lasa de interés. En condiciones normales este tipo de riesgo es el que mas aféela el precio de los títulos en el mercado de bonos. Con este ejemplo se aprecia, la forma convexa de la función precio/rendímienlo. Esta convexidad, deriva de que el precio de un bono es mas sensible ante una baja en la tasa que ante una suba Gráficamente:

Lie. Clarisu A . Fregeiro

200

Manual Cal^'ulí^ ) inaiu u fn \teivatK'> (-\
\ .ilu.u í«'n lU

F a ilo re s uno d e ie r m in a n la v o ia tilíd a d Soüun c\ÑUiduimoN. e! procio Jf’ un K>no, ank* un anmi'nio tn la l!]\, si \nna de la cursa preeii^/rendinuenie» I, La matiiiilud de los nanos de ciinones Ame un nusnio plazo > pamendo ile una misma TIR, la Nolaulidail en el jMecio ame cambios en laTIR seia mavoi cuanio menores san los pagos que se realicen hasta el \enemnento. Fsio quiere decir que para un pla/o dciemiinado \ una l'IR inieial, cuanto menoi sea la tasa tlel eupt^n los cupones serán de menor valor, entonees mayoi seia la vanaeión poreenlual del precio ante una variación en las tasas de ínteres bonos con lasa ciipon mas hapis son mas nesgosos que bonos con una tasa cupón mas alta dado el mismo pla/o para ambv^s bonos, pero lambuín tienen mas posibilidades de ganai si las tasa bajan F.monces, a mayor tasa cupón menor \cuiacicMi poreenlual de piccio ante cambios en la FIR Relación inversa. Ejemplo: VN= 100. Plazo 5 años. TIR inicial 9% Tasa 9%

Tasa 8%

Vanaeión

Bono "A" (cupón 9%)

$100

$103,99

3,99%

Bono "B" (cupón 5%)

$84,44

$88,021

4,24%

bo n o

"‘A”: Flujo de fondos:

UOO)

bono

9 100

"B": flujo de fondos:

( 100)

Clarisa A. Fregeiro

5 100

:o i

Muniiai dt* Calculo Kinam icio Mercado di ( îpilalcs_____ 2.

V íilu a í lí'rti de lloiU M

p la z o H e y y i i c í m i t n t o

Kl venciiiuciHO es delcnnin.inle en la volalilidad de un bono. Para una lasa eu(/)ii dada y 'IIP inicial, cuíU)lo mayor sea el pla/.o de I Imjuo, mayor seríi Ja volatihdiut, es d e c ir, la va/iacidn [XHcenUial del jirecio anle un cambio dclenmnado (*ii las lasas de inleiés. los Ixmos a mayor plazo son más iicsôsos v|uc lo.i bonos a plu/os mas conos, piua una dclerminada vajiauón en la lasa de interés. A mayor playo niajoi variación en el precio anle cambios e n TIR. Relación direcla Se pueden apreciar en el siguicnlc ejemplo, VN= 100. nU inicial 9%: Tasa 9%

Tasa 1í>%

Vanacíón

Bono "A" (a 5 años)

$100

$M9,1856

10,81%

Bono "B" (a 2 0 a ñ o s )

$100

$-"7.5916

2 2 ,4 0 %

Tamhren. si compaiaino.s un bono perpciito (no posee vcncíinieiito programado y paga iíilerescs |ienódrcaniente') > oiro de plazo finilo, un cambio de lasa en bonos perpetuos genera mayor variabilidad en el precio la variîción en Ja lasa de interés. 3. La frecuencia dcl naco del cupón Cuanto mayor es la íreeucncía del pago de cupón, cobramos más rápido. Este cobro anticipado hace que los cupones no se vean tan afectados por el cambio de la tasa. Por ejemplo el precio de un bono que paga cupones semestraJes se vera menos afectado por un cambio en la lasa de interés que otro bono que paga cupones anuales Entonces a inayoi frecuencia de pago de cupones, menor vaiiación en el precio anle cambios en 11R. Relación inversa. Analicemos el siguiente ejemplo de un bono con un pago anual de cupón al 10% emitido a 10 años, comparándolo con otro bono que paga un cupón semesiraJ al 5%. también con un vencimiento a JO años. Supongamos que la tasa varía al 11% y veamos su variación porcentual en el precio: T IR re q u e rid a

Precio del bono Cupón anual 10%

Precio del bono Cup .s e ê s ü a l 5%

10 % 11%

$ 100 $ 9 4 ,1 1

$ 100 $ 9 5 .7 %

A % P re cio

-5,8 9%

-4 .3 1 %


M .inual lie C 'a lc u lo I m a m ic m

Mc'a.ulo lie (^¡niales

V a l i i u c l ó n (le B o n o !;

riiriu ieríslicas de la voltUilidad l> los latióles antes mem ionados e de los ejemplos vistos, podemos destacai las siguientes caraciensiicas' • • • •

•

Mayor volatilidad a mayoi plazo, a menor tasa cupón y a menos írecuencia de pago. Si bien los precios de lodos los bonos se mueven en dirección opuesta u la riR, el cambio porcentual del precio no es el mismo para todos ellos, Para una modificación pcíjueña en la TIR, la variación porcentual en el precio será aproximadamente el mismo, ya sea un aumento o una disminución. Paia una modificación importante en la TIR, el cambio porcentual en el precio no será el mismo que el de la TIR, en ningún caso La relación deja de ser lineal, una suba en el rendimiento no produce la misma variación que una baja. Si bien la relación entre las tasas de rendimiento y el precio es siempre negativa, la magnitud de las variaciones en el precio difiere si se trata de un aumento o una disminución en la TIR (siempre (jue la variación no sea muy pequeña). Al aumentar o disminuir la TIR en determinados puntos básicos, la variación porcentual en el piecio será menor en el primer caso que en el segundo.

ü c . Clarisa A . F iegeiro

203

Mamiai d r (^.lUailo l'iiiaiu Me leudo de l i^niuirs

icro V aliiiH 1611 de Hoijos

ilurafioii Ante la ncce.Mdad ilc una iiualida ÚMica (|iu' ])ciinila cüiii|>ariir el ríes¿'o de disiinios Iwaios suri’Cel léimino de Diiraíioii Hs una mc'dída ilc vtdaiilidad de los bonos i|ne siirjíí’ de la lelation piceio/rendimienio r.sie coneeplo íne delimdo (an primera ve/ |x>r biedeiiek Maeiiulay, í|iiicn elaboro un índice que es un promeílio ponderado de cada uno de los i lipones de un bono, donde el íacioi de poiidcraeiiíii es el valoi aclual de cíula uno de esios cupones Hs decir, al dividii cada uno de los pagos poi el piecio de increado, se expresan como un porccnlaje de este. Cada valor, hiego es inuliiplieado por el momemo en que se prialuce el cobio y luego se suma jiara oblenci la Diiralion, De esla immeia se puede observai que cup('m es en kîmiuos relativos el más “pesado” en relación al dmeio invenido poi el bono La Uuialion o pla/o promedio poiulerado es un deuoiniiiador eomún para todos los títulos, iiulepcndientcmcnlc de la vida piomedio que posea o el tipo ilc pago de capital e interés que tenga. Por lo que es una buena beiTamienta para comparar diícrcntes alternativas de inversión en títulos de renta lija. Descube el piomedio tic vida de un bono considerando lodos los flujos de fondos y el valoi tiempo del tlinern Prevee una medida de In vida promedio de un bono, reílcjando el hecho de recibir eícoivo antes de la techa de vencimiento en forma de pago de cupón. Por lo tanto, a mayor Duration maym volatilidad, es decir, mayor variación del precio ante cambios en la tasa de interes y por lo tanto es un bono más riesgoso. La foiniuia es la sitnncnte: D = Duration Kt = Flujo de Ibndü D=

Z

Fl/(l«ii)' *1 Precio

Precio = Precio de mercado l = luíniero de periodo

Interpretación de la Duration La interpretación financiera de la Duration que es útil para inversores en el mercado de capitales nos lleva a tres conclusiones básicas: • Es una medida de la vida media ponderada del bono. • Es un punto de referencia aceica de la volatilidad del bono. • Es el momento en que se recupera la inversión incluyendo el valor tiempo del dinero. Otra interpretación de la Duration, es que representa el plazo de vida de un bono cupón cero equivalente. Esto es así porque en un bono cupón cero In Duration será igual a su plazo de vencimiento, ya que el único flujo descontado es el precio.

Lie. Clarisa A . Fregeiru

204

M.iiuial lii* t'a ltillo Hm.uu ¡cío (lo ( a p ílales__ _______________

V iiluación
K)emnlo Se pueiien icnei dos bonos con igual plazo de venciinienio, pero ai lener cstmciuras disiinias, puovlen loiHM Diiraiioiis disiinias. Analicemos un bono Dullei y luego el mismo bono peio con iiinorii/auones periódicas y veamos las consecuencias Supongamos el simiicnie bono; V.N. $100 Pl.i/o* "1 años Coiipon yield: 10%. Rema anual riR =10% (cotiza “a la pai” por lo que su precio es de $100) \moitizac¡óiv Integra al vencimiento (bono Biillet) ¿Cuál es la Duration de este bono? Pnmero calculamos la ponderación de cada cupón:

in/(i,io)+10/(1,10)-+ 110(1,10)’ IIH)

100

9,09 % + 8,26 %+ 82,64% 100

Dado que el precio del bono se ha corresponde al 100% y lo que se cupones dentro del bono. Como se S2,64% de ponderación. Por ultimo se debe multiplicar cada cada cupón:

dividido por $100 que es el precio del bono la Sumatoria determina es la ponderación que tiene cada uno de los aprecia el cupón que mas peso tiene es el tercero con un ponderación de los cupones por el periodo en que se paga

D = 9,09 ♦ 1 + 8,26 * ? 4 82,64 ♦ 3 = 2.73 años Li Duration de este bono es 2, 73 años. Bono Amortizable Si suponemos el mismo bono pero en lugar de amortizar únicamente al vencimiento, amortiza el 50% en el segundo año y el testo en el tercero. La formula de la Duration es la siguiente: Calculo de las ponderaciones de cada cupón: 1 0 /(1 ,1 0 )+ 6 0 /(1 ,1 0 )’ + KJO

KJO

5 5 (1 ,1 0 )’ 9,09% 4 49,59% +41,32% 100

D = 9,09 * 1 4 49,59 ♦ 2 4 41.32 *3 = 2.32 años La Duration de este bono es 2 ,3 2 años. Dado que el recupero de la inversión se realiza antes, pues se amortiza en dos veces, cambia la ponderación de los cupones, ahora el que mas pondera es el segundo y la Duration de 2,32 se acerca mas a 2 que a 3 años. Como se puede apreciar la Duration mide el promedio ponderado del plazo o la vida de un bono. El ponderador de ese promedio es el valor en presente de los cupones, divido por el precio.


205


Valuación de Bonos

Factores que determinan el comportamiento de la Duration La Duration esta directamente relacionada con el tiempo remanente de vida de un bono e inversamente con la TBR. y la tasa cupón: 1. Tasa cupón. Manteniendo lo demás igual, si la tasa del cupón es menor, la Duration será mayor y mayor será el porcentaje de variación del precio ante cambios en la tasa de interés. La Duration esta inversamente relacionada con el cupón de renta de un bono. Un alto cupón de renta de un bono se corresponde a una baja Duration 2. TIR. Manteniendo lo demás igual, si la TIR es mayor, la Duration disminuye y menor la variación porcentual del precio ante cambios en la tasa de interés. La Duration cae cuando la tasa sube porque el procedimiento de descuento del valor presente asigna menores ponderaciones a los flujos más lejanos en el tiempo y mayores ponderaciones a los flujos más cercanos en el tiempo. 3. Plazo del bono. Manteniendo todo lo demás igual, si la vida del bono es mayor, la Duration también es mas larga y mayor la variación porcentual del precio ante variaciones en la tasa de interés. La Duration esta positivamente relacionada con el tiempo remanente de vida de un bono. Un bono a 30 años tendrá una mayor Duration que un bono a 10 años.


206

Manual de Calculo Financjeio Mercado de Capuales________

Valuación de Bonob

D uration M o d ific a d a

Como vimos, la Duralion consuluye un elemenlo de suma importancia para delermmai la sensibilidad del pieao de un bono írenle a cambios en la lasa de minés. La Duralion requiere una modificación en función de logiai una mayor precisión al considerarla como una medida de riesgo De la primera derivada del precio del bono con respeclo a un cambio en la lasa de inicies, surge el concepto de Duralion Modifícada. U Duralion modificada es un coeíicienle que nos pcimiie estimar el electo que tendrá en el precio de un bono el aumento o la disminución de la tasa TIR requerida en el mercado en determinados puntos básicos (Basis Poinl). Recordemos que 100 puntos básicos representa un punto porcentual, es decir, \% La sensibilidad del precio de un bono es un indicador de riesgo y la DM es una medida de ése nesgo. Cuanto mayor sea la DM en un bono, mayor será el impacto en el precio un cambio en la TÍR requerida por el mercado. Se obtiene actualizando la Duralion con la TIR. Siendo "m” la frecuencia del pago de cupón.

j DM = D /(U T 1 R ) m

Deducción matemática de la Duration Modificada

P= I

c,

C| O + T IR )'+ C j(J + T m )-+ ..........+ C n (l+ T IR )'

(J+TIR )' Si derivamos el precio con respecto a la lasa: dP_ = Ci H- (-2) dTBR n + T I R /

C,

(1+TIR)^

+

+ (-n )_ £ n _ (I+TIR)"'

Sacando factor 1 / (1-fTIR)

dP

= - _________ 1

dTíR

_Cj__ + (-2) C, +...............+ (-n)__CjL (I+TIR)-' (1+TIR)* (J+TIR)'

n+TER)

Como Ja Duration Modifícada es la derivada de la relación Precio /rendimiento se divide ambos miembros por el precio inicial (P).

(iP X 1 = dTíR P

Ci + (-2)_C2 n+TlRV (1+TIR)

+........... +(-n).jC ¡L n+TIR)"

(1+TíR)

üc. Clarisa A. Fregeiro

207

Manual de Calculo Kinaiicteni M cicadi) de Capitales_______

Valuación de Himi»

Puede observara qui; la expresión eiiüe C4>rchcies el la Duiaúon (D), ciiloiices:

dJPL>* i = - __ L__ X í> dT lK

P

(IVriK)

tJ precio esta iiiversajiicnlc relacionado con el rciidiiniciilo, por eso la ÜM esla negativa Partiendo de esla expresión y hacicinlo pasajes de términos: dlL = ' _ H . - X P (NTIR) .Si se quiere saber el cambio po rrailu al en el precio de un bono (dP/l*) ante cambios en la tasa de ínleiés (dTIR) se multiplica la IXiralion modificada por la variación de la tasa:

Cambio porcentual en el precio ác un bono

=

-UM * variación en la lasa de interés

Cabe aclara que en caso de querer obtener el cambio en térm iiios abaolatc» en el precio de un bono se debe multiplicar por el precio del bono a la expresión anterior. dP =

D X d T IR xP (1+TIR)

Cambio Absoluto = en el precio de un bono

Lie. Clarisa A. Pregeiro

-DM * variación en la lasa de interés * P

70$

Manual de ('a le iilo I iriaiu u lo Meieado
Valuación tie Monos

r.ieninio Mediiintií el sipiiienle ejemplo *tnalizaiemos el coniportaiinenin del pictio del Mono niiie cambios en la usa de inieuS y eMiaeremos enm hisioncs acerca de dichos movimienios VN SIGO Plazo- 3 años Conpon yieid 10%. Rema anual TIR =10%' (coliza "a la pai" poi lo tpie su precio es de $100) Amorli/nción. Imcjjra al vencimicnio (bono RulleO !;lujo de londos. 0 ( 100)

10

10

3 —i 10-1 100

Calculo de la Duration. D= 1 0 /(1 ,lO U 1 0/(1.10^-* 2^ I10(I.I0V '*3 =2.7353 1(X) Diiralion modificada. D.M. = 2,73/ 1,10 = 2,486636 Analicemos las variaciones en el precio de esle bono en dos casos: 1. Variaciones pequeñas en la lasa. 2. Variaciones imporianies en la lasa, 1. Cambios en el precio de un bono ante ncmieftas variaciones en la tasa de interés

Se consideran pequeñas variaciones de la lasa aproximadamente variaciones menores a 100 pumos básicos. Recordemos que 100 punios básicos = 1% (0,01) 10 punios básicos = 0,1% (0,001) 1 pumo básico = 0,01% (0,0001) ^ Si la TIR aumenta del 10% al 10.1% (variación de 10 puntos básicos) A P = -D-M. A i A P = - 2,4866 * 0,001= 0,(X)24866 (Enlonces cambio porcentual es del -0,24866%) El precio de bono en el mercado según la estimación de la Duration modificada, debería ser de $ 99,7513 Variación real del precio del bono: P.M. = 10 11-(M O iy ^ /0,1011+ 100 (1,101)'^ = 99,7518

U c, Clarisa A. Fregeiro

209

Manual Ue C'aiculo hinaiicu'io Mercado >le ______

^

Si laTIK

Valuación tic bonos

(vayac ion Je 10 pinilps h á ^ c )^

AP = - D M Al |) _ . 2,4iedQ P.M = !0fl - (1,090) ’ /0 ,0 9 9 1 ^ 1(K)(1,099) = 100,248 Conciuijnos, entonces, que para cambios porcentuales “pequeños” la Duración Modificada es una buena aproximación de la variación dcl precio Comprobamos que la variación calculada con la Duralion modificada es la que cleclivamenle sufre el bono. Como regla pi áciicu se dice que la Duralion iiiodiricada mide la variación porcentual del precio de un bono ante una vahación del 1% (100 punios básicos) en la TIR del bono. Por ejemplo un bono que tenga una TIK del 12 %, un precio de mercado de $80 y una Duralion modificada de 2: lo que dice la Duiation modificada es que sí la TIR se va de 12% a 13% el precio dcl boiu^ cae 2 ^ , o sea se va a $78,40

2. Cambios en el precio de un bono ante variaciones siunificativas en la üisa de interés.

La Duralion modificada íunciona baslanle bien para pronosticar cambios porcentuales en el precio para pequeño^ cambios en la TIR, en cambio la estimación no es tan buena paja cambios importantes en la TÍR exigida. 0

Si la TIR aumenta dcl 10% al 12% (variación Je 200 puntos básicos) AP = -D.M. Ai A P = - 2,4866 * 0,02= -0,049732 (Entonces cambio porcentual es del -4,9732%) El precio de bono en el mercado según la estimación de la Duralion niodificadu, debería sei de $ 95,0268 Variación real del precio del bono: P.M .= 10|I-{I,12)^ /0 ,I2 1 + 100 (1,12)^ = 95,1963 (vaiio un 4,8%)

0

Si la Tli^ disminuye del 10% al 5% (variación de 500 puntos básicos) AP = -D.M. Ai A P = - 2,4866 * - 0,02= 0,049732 (Entonces cambio porcentual es del 4,9732%) El precio de bono en el mercado según la estimación de la Duralion modificada, debería ser de $ 104,9732 Variación real del precio del bono: P,M .= 10 fl- (1,08)'^/0»08) -t- 100 (1,08)'^ = 105,15419 (varío un 5,1541% )


2U )

Manual de t'alculo rniaiu'UMo Mercado de ("apii.des

Valijii^ ion d t Bonos

Como conclusión, pjia í unihios sli^'niÍJCíilivos, la cMimai ión dcl p re cio (juc -,1 1 1 ^ 0 del cálculo de la nnralion modiíicmla se loma mexacla. hsio se debe a la convexidad de la uiiva piccio/ rendiinienlo y seiá aun más giave oíanlo mayoi sea la convexulad de la lairva TIR

5.00% 8.00% 9.90% 10.00% 10.10% 1?,00% 15.00%

P ie a o Real

Precio

Var % Real

est imado

del piecio

113,6162 105,1641 100,2481 100 99,7518 95,1963 88,5838

112,409 104.9732 100,2481 100 99,7518 95,0267 87,59

13,6162% 5,1500% 0,2418% 0% 0.2418% 4,8037% 11.4162%

(D M )‘ Var TIR

12,4090% 4,9730% 0.24187o 07o 0,24187o 4,97307o 12.40907o

Pa rulad Sobre la par S o b ie la pai Sobre la par A la pai B ajo la par Bajo la par Bajo la par

D ifere ru ia en jjesos

1.2072 0,1809 0 0 0 0,1695 0,9938

Para cambios muy peciiieños en la I IK, el cambio porcenliial en el precio de! bono e s aproximadaincnle igual si csla aumcnla o dísinmiiye. Pero los cambios en la lasa de interés no aíecian de manera simétrica al precio del bono cuando las vaiiaciones en la lasa de interés son más grandes. Puede observarle en el ejemplo, que la Dmalion Modiíicada eslima cambios porcentuales “srméfncos” del precio del bono, que no es una propiedad de la relación que existe entre el precio y la TIR. No tienen una relación lineal, sino que es cóncava la función precio / rencJimienlo. Recordemos que la primera derivada de una función nos habla de su crecimienio o decrecimiento. Por eso nos dio negativa la primera derivada ya que es decreciente la función predo/rendimiento (a mayor precio, menor lasa). La segunda derivada de una función nos dice acerca de su concavidad, convexidad o linealidad. Gráficamente:

Manual üe Calculo Finuiicieio Mercado de Capitalrs_______

Valuación dt- Bonos

Con eJ graneo se observa que la curva decrecienic que liga Píecio y TIK es inaleniáiicanienic convexa: la lecfa tángeme a la curva en cualquier punió queda poi debajo de la misma La lecla tangente representa los distintos precios que coi responden a distintas tasas según la Duialiun Modificada y la curva convexa representa ios precios reales que corresponde a diíereriles lasas Para cambios impoíianles en Ja TIR (siiperioi a 100 basis poini), se observa si bien Ja relación eiilre las lasas de icndiniienlo y el precio es siempre negativa, la magiiilud de las variaciones en el precio difiere si se trata de un aumento o una disminución en la TIR (pierde la simetría). Ls decir, al aurnentai Ja TIR en determinados puntos básicos, la vaiiación leal en el piecio será menor que lo estimado con la Duralíon Modificada. Y en el ca.so de disminuir la TIR en Jos mismos puntos, la variación real será mayor a lo estimado con la Duraiion Modificada. Debido a Ja íorma convexa que sigue el pierio de un bono, los bonos suben más de lo que bajan para un movimiento equivalente de la.sas. La Duraiion ModiJicada es una medida de proyección conservadora, ya que, ante una baja en las lasas de interés, predice que el precio .sube menos de lo que realmente se incrementa y ante una suba de las lusas, predice que el piecio desciende más de Jo que realmente lo Esta diferencia entre lo que predice la Duraiion y la variación que en realidad se produce en el precio del bono se debe a la ‘Convexidad” que muestra la relación precio/'riR de un bono.


212

Manual de C.ilciilo l in.mcleio Ntercado de Capnales_____

V aluaou^n il< Hono^*

Convexitv Los cálculos basados en la Duradon son aproximac'u^nes une se obnoncii anie pc».iueiu^s cambios en la TIR, pero no capturan la convexidad en la icLuion precio lendiinienio m los vanibios son de muyoi magnitud Este tipo de error se tonrciei al estimar el precio liasandose únicamente en la Duration El tcimino “Convexity” surge del hecho que la curva Ihetm Rendimiento es convexa La Convexiiy se mide por la brecha o diferencia existente entre la linea tangente de la curva Pn'cio -rendimiento y la curAa misma en un punto determinado, l’cidemos deí inn entonces a la Convexity como la diíeiencía entre le precio real y le precio del bono estimado por la nnraium mtxliricada Es decir, la ('‘onvexiiy es la brecha resultante entre la línea tangente de la Onration modificada y la curva precio rendimiento. En lémiinos porcentuales la convexidad es el cambio inciemenial en el precio de un bono, no ainbnible a la duration modificada

Convexity en pesos = Precio real del bono - Precio estimado del bono iConvexiiy en porcentaje = % de cambio real en el precio del bono

% de cambio estimado en el prec lo del bono

Siguiendo con el eiemnlo amerior:

TIR

P re c io

P re a o

Var. % R eal

R eal

e s tim a d o

d el p re d o

8,00%

105,1541

104 ,73 2

5 ,15 42 %

10,00%

100

12,00%

9 5 ,1 9 6 3

100 9 5 ,0 2 6 7

0% 4 .8 0 0 0 %

(D M )*V a r T IR

D ife re n c ia en

D ife re n c ia e n pesos

4 .9 7 3 2 % 0%

0 ,1 8 0 9 %

0 ,1 8 0 9

4 .9 7 3 2 %

0 ,1 6 9 5 %

0 0 ,1 6 9 5

C Ó N V E X IT Y

Lie. Clarisa A . Fregeíro

2\^

Manual ile Calculo Fmancicio Mcreado de Cainfalcs ______

Valuación de Bonot»

Deducción matemática de la Convexilv P=V

= C| ( N I IR ) ' + C2(I-»T1R)

c,

......... ^ C n (N T IR ) "

(1+TlR)' Si den vamos el |)rec¡o con res|íeclü a la lasa: d_P_ = - _C (_ + (-2)_C2 __ + ........... 4 (-n)_ Cn n- i (H TIR ) dTiR (1+TiR)^ Sí calculamos la segunda derivada: d 1^ = 2 __C| 4 -2 -3 + ............ + -n (n - I) Cn _ dT lR ' (l+TIR)’ (H T ÍR ? (l+ T I K r ' Miilliplicando ambos icrnniios poi l/P (donde P es el precio) y sacando factor l/(I+TTR)^

~2

dP^ X L= _ J ___ dHR^

P

Ci 4 6 C , __ + ............ - r t n ^ - r n Cn (l-fTIR)' (I+TIR)^_________________fl4 T IR )‘

(I+TIR)^

J

Al igual que en la deducción de la Duralion, puerle observarse que la expresión enlie corchetes el la Convexity (Cx)

Cx = convexity Fi = Flujo de fondo

n C,

= Z

F l/( l4 lir ) ' * I * ( I 4 1 ) Precio

Precio = Precio de mercado 1 = número de periodo

Entonces a partir de esta expresión, encontramos el factor de convexidad JJamado Convexity Modificada (C.M) dP^

X 1 = __ J ____ X Cx

dTIR^ C M. =

P

(J4T1R)^

Cx (UTffi)^

Líe, Clarisa A. Fiegciro

214


Valuación de Bonos

Varíación total del precio de un bono. Duration + Convexitv. Si se quiere saber el cambio porcentual en el precio de un bono (dP/P) ante cambios en Ja tasa de interés (dTIR) se multiplica la Convexity Modificada por la variación de la tasa al cuadrado. X dTIR'

dP" =

(1+TIRr Entonces, la variación total del precio es la suma de la varíación debido a la Duration modifica más la debida a la Convexity, lo que se denomina Price Volatility Multiplier (PVM). Esta variación esta dada por lo que se conoce como “Aproximación de TayJor” Es decir, si multiplicaremos la variación en la tasa por la primera derivada, más la misma variación elevada al cuadrado multiplicada por la segunda derivada y por 1/2, más un término de error (este último se omite en la práctica) se obtendrá la variación total. Vale indicar que algunos textos incluyen dentro de la fórmula de la Convexidad el factor 1/2, sin embargo esto no debería ser así ya que esa fracción proviene realmente de Ja aproximación de Taylor y no de la Convexity en si. A P = - Primera derivada relación p/i * A i + _ L 2

segunda derivada relación P/i * Ai'

Continuando con el ejemplo inicial:

V.N.: $100 Plazo: 3 años Coupon yield: 10%. Renta anual TIR =10% (cotiza “a la par” por lo que su precio es de $100) Amortización: Integra al vencimiento (bonoBullet) Flujo de fondos: 0

h (100)

1

10

10

10+100

Calculamos la Duration y la Duration Modificada D=

i n / r i . l 0 1 + 1 0 /( 1 .1 0 ) '* 2 + 1 1 0 ( 1 . 1 0 ) ^ * 3

= 2,7353

100 D.M . = 2,73/ 1,10 = 2,4866

215


Manual Je Calculo Financíelo VteicmJo (le Capiiales_______

Vuliiíw ]6\) clr Monos

Calculamos la Convc?iily y la Convexiiy MiMliUcada C x=

l()/M .10)♦2-^ 10/(1.10)^

IIO (U O ) ^

= 10,5^5

KX)

KX59 =8,756231 (1.10)'

C.M. =

Calculemos la variacmii total ilel precio aiiie mía baja de dos punios porcenliiales (200 F.H j

,•)

A P -- ~ D M * Ai + L* C,M.* Ai 1

A P = -2,4866 ♦ O 02 + L" 8.7-^6211 2

(0,02)'

AP = 0.049732 + 0,(X)17512 A P = (1,05148 L.1 lespuesia sena: ame una baja en 200 punios básicos de la TIR requerida, el precio del bono subirá un 5,148%. La comprobación seria la siguiente: P M. = 1o (1 - n ,08) ■ ’ / 0.08) + 100 (J .08)'’ = 105,15419 (vario un 5 ,1541 %) Con d ejemplo, se puede observar la casi exaclitud del valor hallado (recordemos que el leorenid de Taylor posee un error que se desecha por su grado de insignificancia) CaJculemos la variación total del precio unte una suba de dos puntos porcentuales (200 P.B.) A P = - D M * Ai -r 1 * C M * Ai' 2 A P = -2,4866 * 0,02 4 P»- 8,756231 * (0,02)'

2 A P = -0,049732+ 0,0017512 A P = 0,04798 Ame una suba de 200 puntos básicos en la tasa, el precio del bono disminuye un 4,798% P.M. = 10 í L (1,12) ' / 0,12] + J00 (1,12) ^ = 95,1963 (vario un 4,8%)


216

M.uuial ik (\iK'nlo l'maiu i n o Mt iv.ulo lie ______

V. lili,U M UI «It

Mí 'IM».

PropiíMlnilos (le hi c o n v c \ u i ; i
\

\ ijíuaMad de pioouvs se pieicnn'i siempir el hnnn mAs rnnvcxo INu ejrinj)ln. H Uoiin H ilol siemenfe piálu'o es mAs convexo i|ne el bono A, así, si Ins lipos ile mieiés disminnyi n, el valoi del bono H se ineiemenlará más i|ne el valoi ilel bono A i|ne lainbitbi annu nía Y análoeanuMiie, si los lipi>s de inlcMiSs annienian el valoi ilel bono II disminuve peio nu lae (|ue li^ b.iee el bono A

Lslo no sólo liene implicancias para un bono en particular, sino para portfolios, pues se puede cnnslmir un portfolio aliernalivo al A (el B) con la misma TIR y el mismo precio y por lo tanto con Igual riesgo, pero con mayor convexidad, lo que permitirá protegei más al inversor en momentos de suba de tasas de interés y le potenciará el precio en caso de baja e tasas de interés

Q BLIG ACIQ NRS NEGOCIABLES h k . Clarisa A. Fregeiro

217

M anual Ue Calculo Financiero Mercaclo de Capitales________

Valuación de Bonos

Obligaciones Negociables Es bien subido que una adecuada estructura de fínanciamiento de las empresas privadas, implica proporciones de recursos propios y de prestamos a corlo, mediano y largo plazo, atendiendo a la circunstancias y a las actividades o proyectos involucrados. Una de las modalidades tradicionales para obtener capitales en préstamos es la emisión de obligaciones. Cuando una empresa necesita recursos u obtener fondos, puede tomar dos tipos de decisiones; la primera es emitir acciones y aumentai* el capital y la segunda es tomar una decisión de financiación es decir, tomar capital de terceros. Dentro de las decisiones de financiación uno de los instrumentos más usados es la emisión de bonos. Emitiendo un bono se instrumenta un préstamo, siendo este un instrumento de deuda. Invertir en un bono es comprar los derechos sobre los cupones que aun restan hasta su vencimiento. Las Obligaciones Negociables son “bonos privados” que emiten las corporaciones para financiar sus proyectos de inversión. Por medio de ellas, la empresa se compromete a pagar a su tenedor el capital invertido más intereses. Representan unidades de un empréstito conti'aído por la sociedad para el desarrollo de sus proyectos de inversión u otros fines. Las Obligaciones Negociables (ON) son títulos valores representativos de deuda que posibilitan el fínanciamiento empresario. Muchas empresas recurren a las obligaciones negociables para mejorar su nivel tecnológico o implementar proyectos de investigación. En otras palabras son documentos que permiten ejercer los derechos contenidos en él por parte de su tenedor. Este último, sólo tiene derecho a cobrar intereses y capital (a diferencia de las acciones que otorgan derechos de propiedad sobre la empresa). Invertir en obligaciones negociables tiene generalmente menos volatilidad que las acciones, por eso son ideales piura familiarizarse con el mercado. Además, las obligaciones negociables proveen un flujo constante y predeterminado de dinero, por esa razón son muy utilizadas por quienes necesitan retirar montos fijos de dinero habitualmente. Esta posibilidad le permite a la sociedad anónima obtener dinero de ahoiristas que no desean asumir la condición de accionistas con los riesgos consiguientes. En muchos casos los fondos obtenidos por las sociedades anónimas, siguiendo esta modalidad, superan ' apreciablemente a los que provienen de emisiones de acciones. Al no haber un intermediario financiero, el interés suele ser superior al pagado por los bancos por un plazo fijo. Claro que, en este caso, el riesgo lo corre el inversor, por eso es necesario realizar un análisis profundo de las empresas que emiten sus ON antes de tomar una decisión. Las obligaciones negociables son inversiones a largo plazo con un nivel de riesgo moderado, con un flujo de fondos conocido o predecible. Aunque se nombi’an de manera diferente, tienen las mismas características generales que los bonos del Estado. La diferencia es que algunas ON pueden ser convertibles en acciones en ciertos casos. En el momento de la emisión se fija una cláusula de conversión que permite al titular quedai’se con acciones de la sociedad emisora a cambio del monto en dinero acordado por la OÑ


218

Matuial de Calculo Financiero Mercado de Capitales_______

Valuación de Bonos

Panel del Inversor En el mercado de capitales existe un espectro bastante amplio de posibilidades de inversión. En un extremo se ubican los bonos cupón cero libres de riesgo con un flujo de caja garantizado, que serán descontados a la tasa libre de riesgo. Un poco mas arriba en la escala de riesgo se encuentran los bonos u obligaciones negociables en los que los flujos de fondos toman la forma de cupones y existe el riesgo de default, es decir, existe un riesgo privado de no poder cobrar el capital y/o los intereses al vencimiento. Estos bonos pueden ser valuados descontando los flujos de fondos esperados a una tasa de interés que refleje el riesgo de default. Mas arriba se encuentran las acciones cuyos flujos de caja esperados presentan una incertidumbre sustancial que se vera reflejado en una tasa de descuento aun mayor que la de los bonos. Las Obligaciones Negociables ofrecen diferentes ventajas para el inversor: • Oportunidad de inversión a mediano y largo plazo. • Generalmente ofrecen mayores rendimientos que el sistema financiero tradicional. • Gran liquidez debido a la existencia de un mercado secundario que posibilita vender los títulos cuando el inversionista requiera disponer del dinero invertido. • Se encuentran exentos del Impuesto a las Ganancias, los resultados provenientes de la compra, venta, cambio, permuta, conversión y disposición de obligaciones negociables, como así también los intereses, actualizaciones y ajustes de capital; en beneficio del inversor. Papel del Emisor Los emisores son las empresas privadas. Estas cuentan con un marco regulatorio particular. Unas de las normas que apuntan a brindarles a los compradores mayor transparencia es la calificación de las obligaciones negociables, que es ni más ni menos que un puntaje otorgado por las entidades especializadas para medir el riesgo de los instrumentos (calificadoras de riesgo). Requisitos nara emitir ON Para poder emitir y cotizar ON, las empresas deben cumplimentar ciertos requisitos: • La empresa emisora, para poder realizar oferta pública, deberá contar por lo menos con un síndico titular y un síndico suplente y un Directorio compuesto por al menos tres directores. • Registro de la emisión en la Comisión Nacional de Valores. • Autorización para cotizar las ON de la Bolsa de Comercio de Córdoba.


219

Manual dt* ( 'a k u lo kiiuincieiu Meicado de C\tpi(ale.s___________________

l’Jí-üycly

Valuación d t bonos

pros^)Cc(o de emisión de una Obliûicióii Ncizociable:

(.'wligo Kuipresu

OB126

KiThii de emisión Fecha de vencÍJiiieiilü Monto noiiiinul vigente Monto residual Interés

02/0i/2(K)7

BANCO SANTANDLK RIO S.A.

03/05/2010 450.0003)00 450.(KK).(XK) r a o ANUAL, I J,Í75% DESDE LA FECHA DE EMISIÓN (02/05/2(K)7) - PAOO SEMESTRAL - CONDICIONES COMPLETAS PUBLICADAS EN BOESAR.COM EL 2.S/04/2007 (AVISOS DE LA BOLSA) V 13 Y I7AM/2007 (PROSPECTOS)

Fecha - Devengan 02/05/2007 intereses Prim er servicio de interés Forma de amortización Primer servicio de amortización Moneda de emisión

03/11/2007 EN SU TOTALIDAD AL VENCIMIENTO - PLAZO 3 AÑOS DESDE LA FECHA DE EMISIÓN (03/05/2010) 03/05/2010

Pesos

Huío de fondos. TNA = 1J ,375% i ,80 = 0,1J375*180/365 = 0,056095 í =450000 * 0,056095= 25243.15

2/5/07

-450000

3/11/07

25243,15

Líe. Clarisa A. Fregeíro

2/5/08

25243,15

2/11/08

25243,15

2/5/09

25243,15

2/11/09

25243,15

3/5/10

25243,15 45000)0

220

M uuiai
Mcf< »k1o tk ra{»talc

Valuación de

l*rincipnies Tipos de o b lju a cioiies n riviuiiis

Ohlit>aeiniirs clásicas; Son mulos lie ronla lija no convenibles en accDiu s, son los valoics más ( (mvenuligaeioiU!S convenihles: Las obligaciones podrán ser simples en todos los casos y eonvertihles en acciones cuando sean einilidas por sociedades cuyo r:apilal se represente ric esta lornui l^s obligaciones convertibles combinan la necesidad de linanclamicnlo a mediano y largo pla/o ron la iniención de apertura de capitales Lsie lipo de obligaciones incorpoian el derecho a ser inicrcambiadas por un número deiemnnailo de acciones del cinisoi en unos plazos y condiciones prefijadas |j.i emisión de obligaciones convenibles es ulilizada por las empresas como una allemaliva de ampliación del capital Ll obligacionista ejercerá la opción de conversión si considera que el precio al que ribtiene las acciones es iníenor al de sus cxpcciahvas de cotización. Y cuando el precio de conversión es iníenor al de mercado Desde le punto de vista de la síxríedad, implica la posibilidad de cancelar la deuda aumeniando correlativamente el capital social sin desembolsos. Tomada la decisión de eniiiii obligaciones convenibles, para ella, el C í3m ponam ienlo favorable del mercado accionario le rcpreseniara un beneficio directo, prir la incorporación de nuevas acciones que hayan convenido sus obligaciones Para la empresa emisora representa una ventaja desde el punto de vista que mejora su estructura financiera, ya que los recursos ajenos (obligaciones) se transforman en recursos propios (acciones). Transforma deuda en tapiial Para el inversor representa una ventaja en el sentido que tiene la posibilidad de adquirir acciones a un precio inferior al de mercado. Ll valor de conversión se fija normalmente mediante el denominado "precio de conversión". El obligacionista no debe desembolsar suma alguna, ya que se trata siempre de una conversión, pero en vez de mencionar el numero de acciones que se puede obtener mediante la conversión de una obligación, se indica el monto o la suma en que han sido valuadas las acciones que el obligacionista tiene derecho (Llamadas acciones subyacentes) pí/T ejerr^plo si el precio de conversión es de $l,2.*i, significa que las acciones a recibir son valuadas a esa suma. Sí d valor nominal de la acción es SI, el valor nominal de la obligación negociable e.s $1 y el precio de conversión es $1,25, un obligacionista que posea 10 obligaciones, tendrá derecho a 8 íícenones subyacentes.

íu

í/ia r is a A . L regeiro

Í2i

Manual de Calculo Finunueio M civadode Capitales

V aluat ián de

1Jí)uo

Oi)liüacioncx con Warrants:

El Wjuran! es un instrumenio financiero que se ineorprua a algunas obligaciones Se dala de un lipo especial de ü[kíóii de compra (nunca de venia) que of/cce al tenedor del m isino el dueduj (no la obligación) a comprar un cieno númeio de acciones u obligaciones de la empresa emisora Los plazos > precios esián prefijados y por regla general el precio de compra suele ser su[íerior al que en ese momenlo se esta negociando en el mercado. En la.s obligaciones con wánani se suele esiablecci un periodo amplio durante el cual el inversor puede ejeicci la opt'ión (gcneralmenic sii|X'iioi a un año). Entonces, no existe un periodo de tiempo concreto como en el caso de las obligaciones convertibles Otra diferencia u destacar es que el precio de las acciones de la conversión es fijo en las obligaciones con warrant. En las condiciones de emisión se especillca el niínicro de acciones a las que da dciTecho de suscripción una obligación y el precio al que se pueden adquirir. Obligaciones cupón cero: Este lipo de obligación .se emite con un gran descuento, es decir, con un precio muy inferior a su precio de amortización y no paga níngiin cupón. Unicamente se hace entrega del nominal en la fecha de vencimiento). Su rendimiento se calcula según la diferencia entre el valor nominal dcl bono que .se recibida en la fecha de su vencimiento y el precio pagado el día de su compra.

Lie. Clarisa A Fregeiro

222

^tanuat de Calculo Financiero Mcicado de Capitales

Vtihuioidii di’ ArcióHi':i

Capítulo 19 -A edonesE n este ca p itu lo estu d ia rem o s las a cc io m s con un cnfoípie fm andci'o, tielerniinando el tfiHlhhiftdn dt>l a ctivo y esta b lecien d o e l flu jo de fondos aue dicha inversión /.•t'/ií-ni, jutra liieyy» vahu iih is uptlt'iliidii lo a p ren d id o en rentas p erp etu a s.

Instrum entos de fín a n d a d ó n privada Las operaciones de mediano y largo plazo conforman el mercado de capitales. Deiiiio del fínanciamieato privado encontramos los bonos (O.N.) y las accione.s. En d capitulo aniciioi analizamos los bonos, para empezar a estudiar a las acciones veamos las principales ililerem ias entre Bonos u Obligaciones Negociables (O.N.) y las Acciones.: BONOS. OBLIGACIONES ACCIONES Las pueden emitir cualquier empresa Las pueden emitir solo In S.A, El accionista tiene la condición de síh k» El obligacionista es acreedor de la empresa El rendimiento esta fijado en las condicines de emisión El rendimiento es variable Se emiten para ser amortizadas a su vencimiento Su vida es perpetua La diferencia entre una acción y un bono u O.N. radica en que con la acción se es dueño de los activos de la empresa, mientras que en el caso de poseer una obligación solamente se aiK|uirin o compra parte de la deuda de la empresa o entidad emisora En el caso de los bonos y obligaciones, se es un acreedor de esa empresa, y se tiene dercciio la devolución de la deuda con sus intereses. Son inversiones en renta lija. Sin embaigo, cu la acción se es propietario de dicha empresa, con mayor riesgo de pérdida (,1c la invci.HÍón .si el negocio va mal, así como mayor margen de ganancia si va bien. C onceptos generales de Acciones La sociedad anónima es el esquema jurídico para la organización de las empresas modernas de medianas y grandes dimensiones. Uno de los aspectos relevantes que la sijigulari/.an y acentúan su funcionaEdad en el mundo económico es la división de ca|)ilal en unidades transmisibles (acciones) y la limitación del riesgo patrimonial de los socios (accionistas) al monto de sus respectivos aportes. Cuando una compañía determinada desea recaudar capital una de las opttiones que tiene para hacerlo es emitiendo acciones. Esta funcionalidad para captar recursos le permite acceder al mercado de capitales y en particular a las bolsas de valores. La ventaja es que la empresa consigue capital sin tener que verse comprometida a devolver o amortizar esos fondos a quien presta el dinero a través de un préstamo o a través de la emisión de obligaciones negociables, por lo tanto sin adquirir una deuda. Al comprarlas, quicne.s invierten capital en ellas se convierten en nuevos propietarios de una parte de la compañía.

Lie. Clari,sa A. Fregeiro

223

MiUUivti Iv' Calculo Fiuancieto Mt'sx'iKto Ue Capuales

Valuación de Acciones

Cuando una empresa opta jxjr la euiisión de acciones como modo de financiación, recibe dinerv> de los in\ ersoies y éstos pasan a ser copropietarios de la misma, lo que les da derecho a quedarse con una parte de los beneficios de la compañía (los dividendos) y a tomar parte en las decisiones de la empresa :i través de la Junta de Accionistas. Las accioties sir\en para medir la participación de cada accionista. Basta una acción para atribuir el estado de socio. Esta participación social es negociable por vía de las acciones, sin mrxlifícm* el contrato de sociedad (est.ituto). Las acciones son esencialmente transmisibles. Participar en los bettefícios y soportar las pérdidas son la causa de todo contrato de sociedad. Papel de los Inversores La inversión en acciones implica aceptar los riesgos que le son inherentes, pero como contrapartida los accionistas tienen derecho a la repartición de utilidades, l.a razón principal de que los ahoiradores acudan a la bolsa para comprar acciones está en que esperan porler venderlas a un precio superior al que las compraron, y así obtener un beneficio. De esta forma todos los inversores son especuladores, en el sentido no peyorativo de la palabra, ya que todos especulan con que el precio de las acciones que compran, aumente y puedan venderlas con beneficio. Los inversionistas esperan que su capital se valore cada vez más en la medida en que la compañía crezca. La mecánica es simple: si las ganancias y las finanzas de la empresa crecen saludablemente de igual manera lo harán sus acciones, y el valor que éstas representan. Y en la misma medida en que la rentabilidad de las acciones aumente, su precio también tenderá a subir. Por ejemplo, cuando los inversores compran acciones de Telefónica lo hacen porque están pensando en que en el futuro más o menos cercano, a Telefónica le va a ir bien, va a tener más beneficios, y va a repartir más dividendos, etc., en definitiva que la empresa valdrá más y por lo tanto cotizará a un precio superior. Así pues, lo que hacen los inversores en su conjunto es actuar de acuerdo a las e.xpectativas que tienen acerca del futuro de las empresas, por esto se dice que la bolsa anticipa la evolución de la economía. Clases de acciones Las acciones pueden ser clasificadas por diversos criterios. Veamos dos de ellos; l . Por su forma, en función de cómo se designe el titular de las acciones, pueden ser: •

•

Al portador: las acciones al portador se transmiten por simple entrega. Quien exhibe una acción al portador puede ejercitar los derechos a ella inherentes su propietario es aquel que las posea. Son de fácil negociación porque no hay trámites de registros en la sociedad emisora. Nominativas: son extendidas a nombre de una persona determinada y lá sociedad emisora mantiene un registro de firmas. Las acciones se emiten a nombre del accionista y sus datos personales así como otros requisitos se anotan en las láminas y en el registro que lleve la sociedad emisora. La transmisión de acciones se anota de la misma manera.


224

M'tiitiíil

‘•■il‘‘uU) l'lniiHcioi'o

Mcu i'vio <•'' t'iipitulcs


’ ro« Ion tio m lioN
Ordinal iíis: No poseen dorodio dil'ercnci!il alguno, gozan de los derechos clásicos.

•

1^ lienen las mismas catucleríslicas (|iic las ordinarias pero cuentan con un privilegió.
•

IVederidas ,p.l*i‘i,;lci eiilcs: las acciones prclerciUes tienen caractcrí.stíca.s tanto de títulos de capital como de üdilos de deuda. Una acción prclerenle es un titulo de capital porque representan propiedad en una coinpalíía. Sin embargo, una acción preferente, se emite en la U>rma de un (ilulo de renta lija ya que cuenta con un dividendo fijo. I.as acciones preferidas otorgan un dividendo fijo cuyo porcentaje es acumulativo en los ejeieieios c(uc iu> den utilidades .suficientes para abonarlos (hasta cinco años suele fijarse para esta obligación). Es decir, si en el periodo uno no hubo utilidades y en el periodo dos si las hay, se. deberá abonttr el dividendo de ambos ejercicios y así sucesivamente. La acciones lucferidas, por lo general carecen del derecho a voto, salvo para cuestiones especiales. Los accionistas pueden asistir a las asambleas con derecho a ser oídos. Los tenedores de estas acciones tienen dos ventajas sobre los tenedores de acciones onlinarias: 1. Cuando un consejo de adminislración declara dividendos, los propietarios de acciones prerercnte.s reciben sus dividendos antes que los tenedores de acciones ordinarias. 2. wSi la sociedad se declara en quiebra, los tenedores de acciones preferentes tienen derechos |)rioiitarios, sobre los tenedores de acciones ordinarias, respecto de los activos remanentes despuós do haber ¡lagado a los ticreedores.

(.'abe aclaiar tiuc lodo accionista participa, por delniición, en el riesgo empresario que corre la sociedad de la cgic forma parte. Las acciones preferidas constituyen una categoría de acciones cine suavizíi osos riesgos, pues quien las posee puede prever con menos incertidumbre que un accionista ordinario su rendimiento. Las acciones preferitlas son un híbrido situado, en función del riesgo, entre las acciones ordinarias (que dependen de la exi.stencia de utilidades y su distribución por asamblea) y las obligaciones ncgocialjies, es decir, los bonos (cuyos poseedores perciben un a renta fija y e.xigcn al vencimiento la devolución del capital. nifercncia.s Drindtmlc.s La diíercncia fiiiulamcnlal entre las acciones preferidas y las ordinarias, se da por las caractoríslicas de los socios. Quienes poseen las ordiruirías, usualmente son inversores que bii.scan mantener sus recursos en la empresa a largo plazo, y quienes poseen las preferentes son generalmcnle inversores cortoplacistas. ni i)üblÍco orienta su interés hacia las acciones ordinarias y preferidas. Se observa el interés en el manejo de los asuntos sociales c|uc ponen de manifiesto los accionistas privilegiados (más cantidaci de volo.s) frente a) desinterés y transitoriedad de los accionistas que adquieren acciones como simple inversión. Los tenedores de acciones ordinarias y privilegiadas tienen un derecho político como ser la participación en la dcci.siones y un derecho económico el cual se materializa en el cobro de un dividendo variable ya sea en electivo o en acciones, cuando la asamblea de accionistas así lo decída. Ido. Clarisu A. Fregeiro

225

Mamial de 1‘aU'uli' rinancioru Mcie>'ul

V a lo r es d e un a accfón

•

Valor Nomimtl de una acción: Expresa la unidad de capital que representa cada acción, que debe ser igual para todas la acciones de una misma sociedad. El valor nominal se mantiene inmutable, modificarlo implica una reforma del estatuto. Es el valor inicial a asignar a cada acción. Se obtiene dividiendo el capital por el número de títulos. El valor nominal no suele variar a lo largo del tiempo. Usualmente se determina primero el valor nominal y luego la cantidad de acciones en que se dividirá el capital. El valor nominal puede expresarse en pesos (moneda local) o bien como un porcentaje. Este valor nominal en ningún modo determina el valor real de la acción. Tan sólo en el momento de constitución de la sociedad serviria como aproximación al valor real de la acción. De todos modos, el valor nominal sí tiene importancia ya que el porcentaje que represente del capital de la empresa determina los derechos de voto de cada acción, así como el porcentaje de los dividendos que le corre.sponden.

2. Valor de cotización o de mercado: El valor de cotización es el valor que el mercado bursátil correspondiente asigna a las acciones de las distintas empresas. El mismo viene referido a un momento de tiempo determinado y no suele coincidir con el valor nominal: la mayoría de los títulos cotizan por encima del valor nominal (sobre la par) o claramente por debajo (bajo la par). Desde un punto de vista general los precios de las acciones se forman en el mercado bursátil según el mecanismo clásico que rige en todo mercado de competencia: el punto de equilibrio que representa la intersección entre las curvas de oferta y demanda. No obstante en los mercados bursátiles las mercaderías que se transan tienen una característica especial (son títulos mobiliarios) y el tipo de mercado tiene también ciertas características particulares. 3. Valor intriínseco: Es el valor que la acción deben'a tener después que un analista de valores hubiese examinado en detalle todos los datos relevantes sobre la empresa, con la finalidad de conocer lo que el mercado estaría dispuesto a pagar por cada uno de ellos. ¿Cómo determina un inversionista si una acción está subvaluada, sobrevalorada, o es comercializada a un valor de mercado justo? Esto puede ser determinado aplicando el concepto de valor intrínseco. Si el valor intrínseco de una acción está por arriba del precio del mercado actual, el inversionista desearía comprar la acción. Sin embargo, si el inversionista encontrara a través del análisis, que el valor intrínseco de una acción estuviera por debajo del precio del mercado para la acción, el inversionista vendería la acción de su portafolio. La idea central del análisis es que en un determinado momento, las discrepancias que puedan existir entre los distintos valores que tiene una acción es que tenderán a acercarse a su valor intrínseco. Puede suceder que una acción tenga un valor intrínseco alto pero que este no venga reflejado en su valor bursátil y también a la inversa. En el primer caso supondremos que la acción subirá de valor mientras que disminuirá en el segundo supuesto

Lie. Clari.sa A. Fregeíro

226

MattitLÍ i.5c Ciiiouio FioaiK'iero Mcvcsiío tk Cafetales

Valuación tle A ccíoíicíi

^'alor ín trm seco de una acción Análisis técn ico v an álisis fu n d am en tal Los on;üistas bursátiles utilizan herramientas diversas para intentar analizar el mercado y prever su evolución futura para encontrar el valor intrínseco de una acción. Estas herramientas pueden agruparse en dos grandes conjuntos: el análisis técnico y el análisis fundamental. El análisis técnico parte de la hipótesis de que el mercado ofrece la información suficiente para poder predecir sus tendencias. Hace hincapié en la evolución de los precios. Supone que el comportamieato de los precios pasados permite inferir el comportamiento futuro. Los precios de mercado reflejan permanentemente toda la información sobre una especie. No tiene mucho sentido, dice esta corriente, invertir recursos y tiempo en tratar de obtener algún dato o información sobre una compañía que el mercado no sepa y que no esté ya incluida en el precio. El mercado es sabio y tiene memoria. La herramienta por excelencia que utiliza el analista técnico es el gráfico. Sólo le interesa el "dibujo". Lo que pretende esta técnica es "descifrar", utilizando complejas herrarnienta.s matemáticas, el patrón de comportamiento que gobierna la voluntad del mercado para con esa especie. En cambio, el análisis fundam ental se vale de la información económico-financiera interna y extema de la empresa para analizar el comportamiento de la cotización de una acción Este hace uso de: datos relativos a la economía general, datos socio-políticos, estado financieros de la empresa, datos del sector económico en el que operan, estudio de mercado. El análisis fundamental exige disponer de muchos datos. El "análisis fundanrental" valúa la acción tomando en consideración los "fundamentáis". Pues son aquellos factores tales como las ventas, los activos, las ganancias, la capacidad de gerenciamiento, etc., que caracterizan a una compañía y que, a su entender, justifican el valor de una acción."La acción vale por las bondades de la empresa", dicen los fundamentalistas. La premisa básica de esta escuela es que no siempre el precio de mercado de una acción refleja toda la información sobre una empresa. Dicho de otra manera, es posible mediante la investigación llegar a conocer sobre la compañía ciertos aspectos que el mercado aún no conoce, y el mercado "todavía" no refleja. Entonces, si yo puedo conocer esa información antes que el mercado, podré "ganarle". Y esto es así porque el mercado finalmente reflejará ese dato en el mismo momento en que se entere. Pero yo habré comprado antes. Para esta escuela el precio de una acción depende pura y exclusivamente de las expectativas que sobre el futuro de la compañía se tenga. Si la empresa va a andar bien, la acción vale. Si la empresa tiene problemas, el precio de la acción los refleja. ¿Cuánto más espero que la empresa venda en los próximos tres años? ¿Qué nuevas inversiones va a encarar la compañía? ¿Mejorará su estructura de financiamiento? ¿Y su productividad? ¿Todo esto, hará que gane más dinero? ¿Y que hay sobre las posibilidades de pagar dividendos? El objetivo de todo el conjunto de información se supone podrá anticipar la evolución de las acciones que representan el capital de la empresa en cuestión. Cuando se va a comprar o vender una acción interesa conocer cuál es su valor para ver en que rangos de precio conviene moverse (tratando de evitar comprar caro o vender barato).


227

MariuaJ de Calculo Financiero Meioado de Capitales


V aluación de A cciones El problema de la valuación de acciones es que existen demasiados modelos para valuar al aclivo. El más importante se realiza a través del descuento de flujos de fondos, en ingles Discounted Cash-Flow o DCF. En el DCF el objetivo es estimar el valor intrínseco de un activo basado en un análisis fundamental. Es un tipo de análisis cuyo propósito es calcular el valor intrínseco de una acción y para ello se sirve de toda la información disponible sobre la empresa y su entorno. Pero por más completa y acertada que sea la valuación, dicha estimación puede ser muy diferente del precio de mercado 1.0S fundamentos del DCF se encuentran en la regla del valor presente. El valor de cualquier activo es el valor presente de los futuros flujos de fondos esperados que el activo genera. La idea central de este análisis es que el valor de una acción es el valor actual de las ingresos futuros del accionista. Se entiende que una vez que la empresa cubrió todos sus costos el remanente puede distribuirse a los accionistas en fonna de dividendo en efectivo. Entonces, podemos calcular el valor de una acción a partir del flujo de dividendos descontado por el rendimiento exigido por el accionista o comprador de la acción. Los flujos de fondos en este tipo de activos esta dado por los dividendos y la tasa de descuento a utilizar dependerá del riesgo de los flujos de fondos estimados, siendo más alta para activo.s más riesgosos y más baja para proyectos más seguros. En el caso propio de las acciones, el DCF tiene como objetivo estimar el valor actual que tiene una acción hoy. Este valor es el valor intrínseco y para ello se sirve de toda la información disponible sobre la empresa y su entorno. Pero por más completa y acertada que sea la valuación, dicha estimación puede ser muy diferente del precio de mercado E! valor intrínseco es el valor que la acción debería tener después que un analista de valores hubiese examinado en detalle todos los datos relevantes sobre la empresa, con la finalidad de conocer lo que el mercado estaría dispuesto a pagar por cada una de ellas. ¿Cómo determina un inversionista si una acción está subvaluada, sobrevalorada, o es comercializada a un valor de mercado justo? Si el valor intrínseco de una acción está por arriba del precio del mercado actual, el inversionista desearía comprar la acción. Sin embargo, si el inversionista encontrara a través del análisis, que el valor intrínseco de una acción estuviera por debajo del precio del mercado para la acción, el inversionista vendería la acción de su portafolio. “M odelo de D escuento de los D ividendos o D D M El Modelo de Descuento de los Dividendos (DDM) es un caso particular dcl DCF para el capital accionario, en el que el valor intrínseco de una acción es el valor presente de los dividendos a cobrar por acción. La ecuación básica para la valuación de acciones es similar a la ecuación de valuación do. los bonos, el tenedor de una acción recibirá una corriente de dividendos y el valor de la acción al día de hoy se calcula como el valor presente de una corriente infinita de dividendos. Para poder calcular el precio de las acciones, vamos a separar entre acciones preferentes y acciones ordinarias. Las acciones preferentes dan derecho a sus tenedores a tener pagos de dividendos regulares y fijos.

1ác. Clarisa A. Fregeiro

228

jVlanual. tk’ Cak;«ív< i uíatRa fti Mercado ile ( 'upiiuli. ■.


Rentas r»et petuas aolU íicJo a la Valuntión de Acciones Cuantío se compra una acción, el inveisor desconoce el plazo de la operación, es decir, el licmpo que mantendrá dicha acción en su poder. Entonces, para valuar este activo se usa el concepto de rentas perpetuas estudiado en capítulos pasados. Se supone que la corriente de dividendos que el inversor cobrara consiituye una renta constante e infinita. El comprador espera que un vaUrr constante se pa¿»ue cada año indefinidamente. Así una acción con crecimiento cero te! dividendo es fijo) es una perpetuidad. Por lo tanto el valor actual o ])recio inlríuscco de una acción con crecimiento cero se reduce a: Vo —

Dm 1

1+ \

—2; —^ -.A- "t".........

(1+k)^' ( l í k)^

Esta Sumatoria leprescnta una sucesión de infinitos términos que decrecen en una progresión geométrica decreciente de razón ()+i) ' que ya e,studiamos en la deducción de la renta inmediata vencida perpetua, Obteniéndose la siguiente expresión: .Siendo; D= dividendo preferente. i = lasa requerida de rendimiento.

Vo = precio intrínseco de la acción. V alor actual.

De esta manera, el precio ciue cuak|uicr persona estaría dispuesta a pagar hoy por una acción que pagara $22 caria año por el rc.slo del tiempo, siendo la tasa de mercado del 20%, sería de $1 lü. $22

$1 10

Po

0.2

L a s g a n a n c ia s tie c a i)ita l n o so n im p o r ta n te s

Cuando los inversores compran acciones de una empresa esperan obtener dos tipos de ganancias; los tlividendos y las ganancias de capital al vender las acciones en caso que el precio del próximo año sea mayor al del ano corriente. La razón iwr la cual solo aparecen los dividendos no es que los inversores ignoren la ganancia de capital, sino que esta última está rleterminada por las estimaciones de ganancias cuando la acción se venda. La razón por la cual los inveisores solo eoivsideran al flujo de dividendos y no al precio de venta es fácil; si consirleramos que vendemos las acciones denüo de muchos años, lo que obtengamos en aquel momento tiene hoy un valor que se aproxima a cero. Entonces, el valor ele las acciones de una empresa e.sla dado fimdamentahuente por el valor actual de sus dlvideudo.s. Recordar siempre que so Irubaju con dividendos y precios futuros estimados, no se conocen. Pueden ser esiimado.s por los datos iiistóricos de la compañía.

Lie. Clarisa A. Fregeiu»

229

Manual de Calcuíu Finan* itro Mercado de Capiiales

Valuar lón de Acnone.s

El valor presenie será* Vo= D,+ P, I+k

El valor al comienzo dcl segundo año o al final del prímei año será: V i=

IN I f k

D i -t-

PíxJemos expresar el precio de hoy en función de los dividendos y del precio final del año ?, reemplazando en la formula aníerior el precio del segundo año: Vo=

_ J ) i_ l +k

+ Di + Pi (l+ k )^

Esle es el valor presenle de los dividendos más el precio de venia de la acción para dos periodos. En fonna genérica para "ii” pt'riorlos, se puede escribir el valor de la acción como el valor présenle de los dividendos a lo largo de “n” años más el precio de venta al final: Vo=

D i_ + D¿_ + I+k

jDj

(I + k ) - ( M k)’

Lie. O arísa A. Fregetro

+........4 D„

P„

(I + k)"

230

M.ilUJdl C \íli ulí) l'inaiu uMt) Mcu :hIo ilr ( \ipilak s


l^lhMin.OS PRACTICOS hjeicicio 1 Una cmpu'sa, ijuc ya tía alcanzudo su letlio de cic( íinienlo, disliibuye un dividendo anual a pcipciuidad de $10 siendo el coslo de oporluniilad de los accionistas del ?07r. Calcular el j)iecio mlnnseeo de cada acción ResoUición: lormnla a niih/ar. Vo= [) V o = jO

0,20 Vo = 50 Rslü quiere decir que los inversores están dispuestos a pagar $50 por cada acción de la empresa ya que saben que lecibirán un dividendo de $10. Pagando $50 están reconociendo implícitamente una ganancia dcl 20% anual. Ejercicio 2 ¿Cuánto estará dispuesto a pagar un inversor por una acción que promete un dividendo de $50 anuales y pretende un rendimiento del 2% anual? Resolución: formula a utilizar: V ( l,-,i) = C V(l,oo, i) = 50

0,02 V(l,oo, i) = 2500

Sí el inversor estimara que la acción la venderá en $2000 inmediatamente después de cobrar el quinto dividendo, la renta dejaría de ser perpetua y pasaría a ser temporal: El valor que estará dispuesto a pagar es: V(1 ,=o, i) = 50 a( 1,5,0.02) + 2000 ( I+i) V(l,o=, 0 = 2047,13

Ejercicio 3 Calcular el valor que se pagara por una renta, si se desea que esta genere un ingreso de $1000 semestrales en forma vitalicia. La compañía paga el 4% TEA. Resolución: formula a utilizar: V(l,*«.i)=:£


231

Miiiuial (lt‘ Calculo Financiero Meivado de Capitales ___


Pasaje de lasas a reali/ai ya que Ja ciiola es semesiraJi,,., =

V(

]

-1 = 0 .0 1 9 5 2 9

I) ~

1OCXJ (),Ü19529

V(|,oo, i) = 51203^11

Si c) inversor recil>e los primeros $1000 3 años después de coniralada Ja reñía, esla quedaría diferida: l-ormiiJa a ulilizar: a (h, üo,i) = C (I-ri ) i = IQOO

(I-rí),OI9529)

-5

0,0 J9529

V(6,oo, i)= 46483^2

! je. Clarisa A. Fregeiro

232

^ *ikiilo k m n n u u o i-iv Capil;)lt's

M.nuitil

Valuación de Aa.iones

ViiliKu ló n (lo A cciones o rd in a ria s AnlmiMineiilc, uuinilo se esiiidiaron las leni.is peipciuas ct)nslanles, vimos que resultaba un méiodo uhl j)iiia anah/ai el piecio de las acciones pielercnlcs donde el dividendo es lijo o paia cinpicsas l|UC no nene opoiiiinidad de seguir creciendo, ya (|ue requieie un Hujo de fondos consianles Sin embaígí\ el modelo tlel dividcmlo constante está limitado para las acciones coiniines u oidinanas cuyo disidendo depende del crecimiento de la compañía Para liaceilu piaciu'o se necesita incorpoiar al modelo de descuento de dividendos el supuesto de que los divideiulos ciecen a una tasa constante que se denoniinaia “q”( orno no se puede pioyectai dividendos al infinito, se hacen supuestos en la piáctica que den va en el modelo de rreciiiiienlo constante de dividendos o modelo de Gordon-Shapiro.

A plicación de las re n ta s p eru ctu as variables a la v aiiia d ó n de acciones. S i el Unjo ile londos de la acción esta dado poi dividendos distribuidos que ciccen a una misma lasa de crecimiento llamada cj, es iinn icnta vaiiable en progiesión geométrica y podemos jd.inleai la sigiiicnie Sumatoria = 12i + l2 ill± Q j

l a i

L>i i H-QT

(1 -t i)'

h

..........

(1 ■+ i)^

Siendo Di el dividendo a rep.irtir el piimer año. Puede obtenerse conociendo el dividendo dcl poni)do aiuenoi Do Siendo D|=Du(l+q) Como el val(3i a peipeluidad de un valor es ese valor dividido por la lasa de descuento, se ‘‘implifica la ecuacuSn sislu anteiionnentc' V o=

I OKMULA DE GOFCDON

Siendo* Vo vaJor de la acción de la empresa. Valor inlrínseco. Piecio de la acción. D I: dividendo por acción que espera obtener la empresa en el próximo año.= Do ( 1+q) Do. dividendo poi acción que obtiene la empresa este año, c CUSIO de los recursos propios de la empresa, q lasa de cieclímenlo a perpetuidad del dividendo por acción. I.stii es la ecuación de DDM para crecimiento constante de los dividendos de una firma o el .Modelo de Gordon. Si se espera que los dividendos no crezcan (g = 0), la fórmula se conviene cri una perpetuidad, peto si aumenta g, la acción tiene mas valor. Esta formula solo es valida cuando q es menor que i. Como regla general la tasa de crecimiento q no puede exceder In tasa de crecimiento de toda la economía (PBl ) en 1 o 2 puntos porcentuales, En general este modelo describe mejor el comportamiento de las empresas que crecen a una tasa compaiable al crecimiento de la economía en su conjunto y que tienen políticas de dividendos bien establecidas que se estima continúan en el futuro.

l ie Clan.sa A. Fregeiro

233

MaiUKil (Jf* Calculo I-'iiuuicicm Mercado de Capilulc!»

V.iluat lón de Au-jt^nes

El modelo de cn*cimienio to n su n t' de los
Desventaja dcl modelo *î pfincipal dcsvenlaia del imxielo DDM es que es exiremadamenle sensible a Jas vanahles ingresadas en el niíxlelo Si por ejemplo los dividendos a pagai del próximo |>er¡cxio Ü = $10. una lasa de desálenlo del 10% y un crecimicnlo de los dividendos d e l!)%: Po- D j / i -q Po= 1 0 /0 .1 0 -0 .0 5 = 200 Ahora si cslimamos una lasa de ciecimienlo de los dividendos ligeranienle siipeiioi (g= 6%), el precio de la acción se incrcmenia considerablemenic: Po= 1 0 /0 ,1 0 -0 .0 6 = 250

Rendimiento de una inversión en acciones Conocer el valof de cada tipo de acción es uno de los objetivos en las operaciones de compravenia que con ellas se realizan, ya que lo que se pretende es oblener una plusvalía con la inveiîón realizada A coniinuación se presenta un ejemplo practico de calculo de la rentabilidad de una operación de. compraventa de aí'ciones: rK'ierminnr el imporíe de la compra de I.ÍKM) acciones de la sociedad X que actualmente coii/an {I de mayo) .i 20,IX) pesos La comisión de la sociedad de valores es del 2.5%c Compra: 1000 ♦ 20 = 20000 0.0025 ♦ 20000= 50 Total= 20050 Determinar el importe neto de la venta de las I (XX) acciones de la sociedad X del ejempit) anterior, si en el momento de su venia (31 de mayo) cotizan a 22,00 pesos. La comisión de la stK'iedad de valores es del 2.5%o. Venta: KXK)* 22 =22000 0,(X)25^220íX)= 55 Toral= 21945 El lienedcio neto de una operación de compra venta, se obtiene de restar al efectivo total obtenido por la venta de los títulos y eJ precio total pagado en el momento de su compia Es decir: En el caso de la compra venia de los ejemplos anteriores, el beneficio neto será: Benelicío neto = 21945 - 200.50 = 1895 La rentabilidad de una operación de compra venta la podemos medir por el rédito de cada unidad monetaria dei capital invenido.

Lie. Clarisa A . F^regeiro

234

VIanual (Je Calculo Financiero Mercado de Capitales


Keniabilidaü = beneíicio neio Compra

X IfX)

S i calculamos la reriiahilidad de la compra-venia de los ejemplos anieriores;

Rentabilidad = IH95 20050

x 100 = 9,45%

ina>o

20)50

31 mayo

21945

1a
235 Í M . C lá m a A. Fregeiro

M anual dü Calculo ! inai>cK lO M m ado ilr Capilalcs

Valiiiicíón íle Acciones

l ü C M P L O S P K A C T K 'O S

Fjvixícm J ¿Cuánto csiaríii dispiu-sio a pagai hoy por «ma attión (|uc el dividendo actual es de $2? y Livcíeia a lina la'ia conslanlc cada añ(^ tJcl H%? liínimla a uhlizar V(> = Dj_= _rViLl H]) 1- q i-q Vo=

2 2 » (M (U )S ) = I9H

o"2 - í),OS

Ejercicio 2 Ac( lón "A" $100 Precio actual $5 OivideiMio esperado 5% Creciniíenlo estimado divíd. 10% 1 asa Des.(k)

Acción “B" $1?0 $9.6 3% 10%

Resoludón. formula a utilizar. Vo=-- Ui i-q í^ c i o de la acción *‘A”:

P = 5A),10-0,05 = lOfJ Precio de la acción “B’': P = 9,6/0,10-0,03= 137 Estos valores serian los víüores intrínsecos de cada acción. Y se deberán comparar con el precio de mercado de las «acciones para poder tomar una decisión. En este caso será más conveniente comprar la acción “B” ya que su valor intrínseco supera al precio de mercado, i 37 > 120 Ejercicio 3 El señor Lulcas va a determinar el precio de las acciones del LUFY LTDA., asesorado por una firma de finanzas llega a la siguientes conclusiones: Dividendos $2, Tasa de descuento de mercado 20%, crecimienfo de dividendos 15%; Resolución: formula a utilizar: V o= Di í-q P=

2

=:40

0.2 >.I5 El señor Lukas concluye que puede ofrecer $40 por acción en 100 acciones de LUFY LTDA. Pero la afiniia de finanzas le indica que las accíotic.s están actualmeofe a $50, por lo tanto debe revisar sus cálculos o abandonar las acciones por sobre valuación.

l.ic. Clarisa A. Eregeiro

236

Manual ilr (âluilo ( 't) li u¡o i u u o u i f / o

r» f i h i l

nil)lioun>na • • • • • • •

( ’íikiilo ImikimcÍimo Aplicado, Auloi. CJiiilleinu) López Oum iaul. luJiciones La \jcy liivtilii y ganai ími la La Bolsa. Auloi: Palriciu C icspo. Ldilorial Gestión 2000 I a iuvcisión Biirsálil Auloics: Julio M acciu, t l v i r a M aiia Schamunn, Edgar leloiK'lic, (Jsvaldo Luis Migniiu. Ediional: Icsis. Tundación Bolsa de coineicio. Valuación de Bonos en el M eiciidn de Capilalcs. Auloics; C laudio Ariganello, ( iusiavo Tapia Ldicioiics Nueva Técnica SRL. XXIII Jornadas Nacionales de P io le so ics U nivcrsilaiios de M a ic n iálita Financiera (oclul)ie 2002). I’acullad de C iencias Económ icas. A dm inísiiación de Carteras de Inversión. Autor: M arcelo A. Elbaum . Ediciones Maeclii Introducción al Análisis de Decisiones Financieras. Autor: Ricardo Pascale. Ldicioncs (Contabilidad M oderna,

P u tiin as d e I n t e r n e t c o n s u lt a d a s : w wNv.bolsai.coin WWW p o p lo lioDnsoiuil.com

Idc. Clarisa A . Fregeiro

Clarisa Anabella Fregeiro - Manual de Cálculo Financiero, Cálculo Financiero Es Fácil

Recommend Documents