Cinética de Una Partícula

Cinética de una partícula: trabajo y energía OBJETIVOS DEL C!"T#LO $ De%arrollar el principio de trabajo trabajo y energía y aplicarlo para re%ol&er proble'a% (ue i'plican )uer*a+ &elocidad y de%pla*a'iento, de%pla*a'iento, $

E%tudia E%tudiarr proble proble'a% 'a% (ue i'plica i'plican n poten potencia cia y e)ici e)icienc encia ia $ !re%entar !re%entar el concepto de )uer*a con%er&ador con%er&adora a y aplicar aplicar el teore'a de la con%er&aci-n de la energía para re%ol&er proble'a% de cinética,

./,.

Trabajo de una )uer*a

En este capítulo analizaremos el movimiento de una partícula por medio de los conceptos de trabajo y energía. La ecuación resultante servirá para resolver problemas que impliquen fuerza, velocidad y desplazamiento. Pero primero tenemos que definir el trabajo de una fuerza. Específicamente, Específicamente, una fuerza realizará trabajo en una partícula sólo cuando !sta sufra un desplazamiento en la dirección de la fuerza. Por ejemplo, si la fuerza  en la figura "#$" %ace que la partícula se mueva a lo largo de la trayectoria s trayectoria s de la posición r a una nueva posición r& el desplazamiento es entonces dr ' r( ) r. La magnitud de dr es ds, la longitud del segmento diferencial diferencial a lo largo de la trayectoria. trayectoria. *i el ángulo entre las colas de di y  es +, figura "#$", entonces el trabajo realizado por  es una cantidad escalar, definida por dU = FdscosB

.01

C !"T#LO !"T#LO ./ CI23TIC DE #2 !4T"C#L : T4BJO 5 E2E46"

Por definición del producto punto esta ecuación tambi!n puede escribirse como dU = F-dr Este resultado puede interpretarse en una de dos maneras- o como el producto producto de F y el componente de desplazamiento ds eos 6 en la dirección de la fuerza, o como el produ product ctoo de ds por el componente de fu!rzameos 6, en la dirección del desplazamiento. bserve que si + o / 6 < 0+1, entonces el componente de fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, de modo que el trabajo es positivo; es positivo; en tant tantoo que si 0+1 2 6 2 "3 "3+1 +1,, esto estoss vect vector ores es tend tendrá ránn sentido sentido opue opuesto, sto, y por consiguiente el trabajo es negativo. 4demás, dU = + si la fuerza es perp es perpendic endicular ular al desplazamiento, puesto que eos 0+1 $ +, o si la fuerza se aplica en un punto fijo, en cuyo caso el desplazamiento es cero. La unidad de trabajo en unidades *5 es el joule 678 el cual es la cantidad de trabajo realizada por una fuerza de un ne9ton cuando recorre una distancia de un metro en la dirección de la fuerza 6" 7 $ " : ; m8. En el sistema P*, el trabajo se mide en unidades libra$pie 6pie $libra8, que es el trabajo realizado por una fuerza de una libra que act
g. "#$"

Trabajo Trabajo de una fuerza variable. variable. *i la partícula en la que act o de *i a s a s , , figura !"#a , el trabajo de la fuerza  se determina mediante integración. *iempre que  y $ puedan e?presarse e?presarse en función de la posición, posición, entonces f%

f&

Ui#= @ ==;= $ @ Fcose

ds

6"#$"8

En ocasiones, esta relación se obtiene por medio de datos e?peri$ mentales para trazar la gráfica de eos ' vs. s. vs. s. Entonces, el (rea baj (rea bajoo la /áfica limitada por s! por s! y s representa el trabajo total, figura "#$>A. &i

&i

FcosB

i eos e 6a8

6b 8 g. "#$> ;Por convención, las unidades del momento de una fuerza o par de torsión se escriben como 5b ; pies, para distinguirlas de aquellas que significan trabajo, pies ; 5b.

.01


Por definición del producto punto esta ecuación tambi!n puede escribirse como dU = F-dr Este resultado puede interpretarse en una de dos maneras- o como el producto producto de F y el componente de desplazamiento ds eos 6 en la dirección de la fuerza, o como el produ product ctoo de ds por el componente de fu!rzameos 6, en la dirección del desplazamiento. bserve que si + o / 6 < 0+1, entonces el componente de fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, de modo que el trabajo es positivo; es positivo; en tant tantoo que si 0+1 2 6 2 "3 "3+1 +1,, esto estoss vect vector ores es tend tendrá ránn sentido sentido opue opuesto, sto, y por consiguiente el trabajo es negativo. 4demás, dU = + si la fuerza es perp es perpendic endicular ular al desplazamiento, puesto que eos 0+1 $ +, o si la fuerza se aplica en un punto fijo, en cuyo caso el desplazamiento es cero. La unidad de trabajo en unidades *5 es el joule 678 el cual es la cantidad de trabajo realizada por una fuerza de un ne9ton cuando recorre una distancia de un metro en la dirección de la fuerza 6" 7 $ " : ; m8. En el sistema P*, el trabajo se mide en unidades libra$pie 6pie $libra8, que es el trabajo realizado por una fuerza de una libra que act
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Trabajo Trabajo de una fuerza variable. variable. *i la partícula en la que act o de *i a s a s , , figura !"#a , el trabajo de la fuerza  se determina mediante integración. *iempre que  y $ puedan e?presarse e?presarse en función de la posición, posición, entonces f%

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En ocasiones, esta relación se obtiene por medio de datos e?peri$ mentales para trazar la gráfica de eos ' vs. s. vs. s. Entonces, el (rea baj (rea bajoo la /áfica limitada por s! por s! y s representa el trabajo total, figura "#$>A. &i

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./,. T4BJO DE #2 7#E48 B5

.0.

F ccose Fcose F ccos6 #

6a8

)

s

s, 6b8

g. "#$C

Trabajo de una fuerza constante que se mueve a lo largo de una línea recta. *i la magnitud de la fuerza  c es constan constante te y act
D@,0' Fcos+ @ ds U!#i # F ccos$+s # s

6"#$>8

4quí c representa el (rea del rect(ngulo en la figura "#$CA. desplaza a lo largo largo Trabajo de un peso. Gonsidere una partícula de peso H, el cual se desplaza de la tray trayec ecto tori riaa most mostra rada da en la figu figura ra "# "#$# $# de la posi posició ciónn si a s. En un punto intermedio, intermedio, el desplazamien desplazamiento to dt = d- I d/ I dz0. dz0. Gomo H ' $ Hj, al aplicar la ecuación "#$" tenemos

i@,$>$ 1%23= i@,$>$ 1%23= j!#45#+d( 7 di7dz0 = r#4d=#4+#8  

embargo, que si la partíc partícula ula se desplaza :acia abajo 6$ 4 y8, el trab trabaj ajoo del del peso peso es positi positivo. vo.

6"#$C8

D@, > ' #49 Por tanto, el trabajo es independiente de la trayectoria y es igual a la magnitud del peso de la partícula por el desplazamiento vertical. En el caso mostrado en la figura "#/t el trabajo es negativo, puesto negativo, puesto que 4 act
JPor qu!K

g. "#$#

.09


rabajo de una fuerza de resorte. *i un resorte elástico se

alarga una distancia ds, figura "#$Ma, entonces el trabajo realizado por la fuerza que act i

-2=£Fsds=l

0sds

Ut# ' $gtá $ NfaK

6"#$#8 Este trabajo representa el área trapezoidal bajo la línea F línea F s = 0s, figura "#$MA. Para no cometer errores en el signo cuando se aplica esta ecuación, basta basta fijarse fijarse en la la dirección dirección de de la fuerza fuerza de resorte resorte que que act
asición sin que el resorte esl! alargado, s = + uerza en la panícula

b; F s = 0s

M/¡/ /¡/. / /./. ./. WW* 6a8 g. "#$M

Las fuerzas que act
#2 7#E48 ./,. T4BJO DE #2

.0<

EJE=!LO ./,. El bloque de "+ Qg de la figura "#$Aa descansa sobre el plano inclinado. *i el resorte originalmente está alargado +.M m, determine el trabajo total realizado por todas las fuerzas que act
a;

SOL#CI>2

Posición inicial deV resorte

Primero se traza el diagrama de cuerpo Rbre del bloque con > sen C+1 m

todas las fuerzas que act. El resultado puede calcularse como la fuerza por el componente del desplazamiento desplazamiento en la dirección de la fuerza, es decir,

/$ft ' C+:@m > eos C+1 m

U A = = #++ : 6> m eos C+18 $ A0>.3 7 o el desp despla laza zami mien ento to po porr el comp compon onen ente te de fuer fuerza za en la dire direcc cción ión del del desplazamiento, es decir, U A = = #++ : eos C+16> m8 $ A0>.3 7

Fuerza del resorte F f . En la posición inicial el resorte está alargado &i = +.M m y en la posición final está alargado s = +.M m I > m ' >.M m. equerimos que el trabaj trabajoo sea negativo negativo puesto puesto que la fuerza fuerza y el desplazamie desplazamiento nto se oponen entre sí. El trabajo de  s es por tanto U s = $Sí6C+:@m86>.Mm8> $ /6C+ :@m86+.M m8 >T ' $0+ 7

Peso W. Gomo el peso act msen C+18 $ $03." 7

Fuerza norma rmal N B . Esta Esta fuerza fuerza no realiza trabajo puesto que siempre es perpendicular al desplazamiento. Trabajo total. El trab trabaj ajoo de toda todass las las fuerzas cuando el bloque se se desplaza > m es por consiguiente 0ai:NC11 iU'#++:

&JJ11 6b8

bserv bservee que tambi!n tambi!n es po posib sible le con consid sidera erarr el compon component entee del del peso peso en la dirección del desplazamiento, es decir,

g. "#$A

U @ = $603." sen C+1 :8 6> m8 ' $03." 7 U ? ? $ A0>.3 7 $ 0+ 7 $ 03." 7 $ M+M 7

,?

esp.

!"T#LO ./ CI23TIC DE #2 !4T"C#L : T4BJO 5 E2E46" C !"T#LO

g. "#$W

./,9

!rincipio de trabajo y energía

Gonsidere la partícula que aparece en la figura "#$W, localizada en la trayectoria definida con respecto a un sistema de coordenadas inercial. *i la partícula partícula tiene una masa m  se somete a un sistema de fuerzas e?ternas, represent representado ado por la fuerza resultant resultantee F  ' >, entonces la ecuación de movimiento de la partícula en la dirección tangencial es C.F, C.F, ' ma,. *i aplicamos la ecuación cinemática a, = v dvds e integramos ambos lados y suponemos que inicialmente la partícula tiene una posición s = &i y una rapidez v # v * y despu!s s despu!s s ' s y v = v tenemos f&

4íU>

> @ F t t ds ds ' @ mvdv > DE F t tds=!m3# d s=!m3# !mv!

6"#$M8

En la figura "#$W, observe que >, ' > eos   puesto  puesto que que la ecua$ ción "#$" define el trabajo, el resultado final se escribe como >t@i > $ XmuD $ !mo!

6"#$A8

Esta ecuación representa el principio de trabajo y energGa para energGa para la par$ par$ tícula. El t!rmino del lado izquierdo es la suma del trabajo realizado realizado por todas las fuerzas que act. Los dos t!rminos del lado derec%o, cuya forma es ? = ! H7Y>, definen la energGa cinHtica final e inicial, respectivamen$ te. Gomo el trabajo, la energía cin!tica es un escalar  sus unidades son joules 678 y 5b Z pie. *in embargo, a diferencia del trabajo, que siempr mpree es posi positiva tiva,, puede puede ser o positivo positivo o negativ negativo, o, la ener energía gía cin!tica cin!tica sie sin importar la dirección del movimiento de la partícula. [iando se aplica la ecuación "#$A, a menudo se e?presa como

" I >6@"   > ' r >

./@0;

la cual establece que la energía cin!tica inicial de la partícula, más el trabajo realizado por todas las fuerzas que act, ' ma ,+ con que se obtuvo por la ecuación cinemática a, = v dvds. Por consiguiente, este principio cons$ tituye una sust una sustituc itución ión conveniente de .F, = ma, cuando se resuelven fuerza, velocida velocidadd  desplaza desplazamien miento, to, problem problemas as cin!ticos cin!ticos que que implican implican fuerza, puesto que estas cantidades intervienen intervienen en la ecuación "#$W. Para su aplicación, se sugiere el siguiente procedimiento. procedimiento. ./,9 !4I2CI!IO DE T4BJO 5 E2E46"

Procedimiento para el análisis Trabajo Diagra'a de cuerpo libre;,

.0A

; Establezca el sistema de coordenadas inercial y trac tracee un diag diagram ramaa de cuer cuerpo po libr libree dond dondee aparezcan todas las fuerzas que realizan realizan trabajo trabajo en la partícula cuando se mueve a lo largo de su trayectoria. !rincipio de trabajo y energía,

; 4plique el principio de trabajo y energía, ? * 7 >í@i  > ' ? . La energía cin!tica en los puntos inicial y final siempre siempre esposi#tiva esposi#tiva,, puesto que que implica implica la  velocidad al cuadrado Ij = jmv . Rna fuerza realiza trabajo cuando se desplaza en la dirección de la fuerza. El trabajo es positivo cuando el componente de fuerza act
alargamiento o compresión. La aplicación num!rica de este procedimiento se ilustra en los ejem píos dados despu!s de la

sección "#.C.

*i un automóvil c%oca con estos barriles de protección, su energía cin!tica se transformará en trabajo, lo que %ace que los barriles, y %asta cierto grado el automóvil, se deformen. i conocemos la cantidad de energía que puede absorber cada barril, es posible que dise!emos un parachoques como "ste.

.0

C !"T#LO ./ CI23TIC DE #2 !4T"C#L: T4BJO 5 E2E46"

./,< !rincipio de trabajo y energía para un %i%te'a de partícula% El principio de trabajo y energía puede ampliarse para incluir un sistema de partículas aislado adentro de un espacio cerrado como se muestra en la figura "#$3. 4quí la partícula @$!sima arbitraria, de masa m: está sometida a una fuerza e?terna resultante , y a una fuerza interna resultante f, que todas las demás partículas ejercen en la partícula @$!sima. *i aplicamos el principio de trabajo y energía a !sta y a cada una de las demás partículas que componen el sistema, entonces, puesto que el trabajo y la energía son cantidades escalares, las ecuaciones se suman algebraicamente, lo que da >,I >t@, >' ? 

6"#$38

En este caso, la energía cin!tica inicial del sistema, además del trabajo realizado por todas las fuerzas e?ternas e internas que act
rabajo de fricción originado por deslizamiento. 4con$

tinuación investigaremos una clase especial de problemas que requiere una cuidadosa aplicación de la ecuación "#$3. Estos problemas implican casos en los que un cuerpo se desliza sobre la superficie de otro cuando %ay fricción. Gonsidere, por ejemplo, un bloque que se traslada una distancia s sobre una superficie áspera como se muestra en la figura "#$ 0a. *i la fuerza aplicada P apenas balancea la fuerza de fricción

6a8

&v 

*istema de coordenadas inercial io. "#$3

resultante f* 0 J, figura "#$0A, entonces, debido al equilibrio, se mantiene una velocidad constante v y esperaríamos que se aplicara la ecuación "#$3 como sigueImv8 7 As # fi0 Js = Imv8

*=í $_tj7`

:o obstante, esta ecuación se satisface si A = @?4J`O sin embargo, como se sabe por e?periencia, el deslizamiento generar( calor, una forma de energía que parece no estar considerada en la ecuación de trabajo$energía. Para e?plicar esta paradoja y de esa manera representar con más precisión la naturaleza de la fricción, en realidad tendríamos que modelar el bloque de modo que las superficies en contacto sean deformables 6no rígidas8.= ecuerde que las partes ásperas en la parte inferior del bloque act
#$ea el capítulo % de Ingeniería Mecánica: Estática. t$ea &'. her(ood ) W*i. &emard, +Wor and -eat Transfer in ihe Presence of *liding riction, 9m. C A:s. M, "++", "03#.

:

b;

6c8 g. "#$0

.0

C !"T#LO ./ CI23TIC DE #2 !4T"C#L : T4BJO 5 E2E46"

EJE=!LO ./,9 >+ pies@s

fa8 fig. "#$"+

El automóvil de CM++ 5b de la figura "#$"+a viaja cuesta abajo de la carretera inclinada "+1 a una rapidez de >+ pies@s. *i el conductor aplica los frenos y %ace que las ruedas se bloqueen, determine qu! distancia s patinan las llantas en la carretera. El coeficiente de fricción cin!tica entre las llantas y la carretera es n0 ' +.M. SOL#CI>2

Este problema se resuelve por medio del principio de trabajo y energía puesto que implica fuerza, velocidad y desplazamiento. Trabajo /iagrama de cuerpo libre0. Gomo se muestra en la figura "#$"+@K, la fuerza normal :4 no realiza trabajo puesto que nunca se desplaza a lo largo de su línea de acción. El peso, CM++ 5b, se desplaza s sen "+1 y realiza trabajo positivo. JPor qu!K La fuerza de fricción F 9 realiza tanto trabajo e?terno como interno cuando e?perimenta un desplazamiento s. Este trabajo es negativo puesto que se opone al desplazamiento. 4plicamos la ecuación de equilibrio normal a la carretera y tenemos I&> n ' +O J 9# CM++ eos "+1 5b ' + Por tanto,

J 9 = C##A.3 5b

F 9 $ = J 9 ' +.M 6C##A.3 5b8 $ "W>C.# 5b Principio de trabajo y energía.

0.  9F+@9G09

`C>.> pies@s > 6>+ pies@s8 I CM++ lb6=sen "+18 $ 6"W>C.# !bs = + 4l despejar s resulta s ' "0.M pies

esp. :4- si este problema se resuelve por medio de la ecuación de movimiento, se requieren dos pasos. Primero, seg$ $ ma s! CM++ sen "+1 5b $ "W>C.# 5b ' # a ' $"+.C pies@s >

*egundo, como a es constante, tenemos i> 

6+8J ' 6>+pies@s8 J I >6$"+.Cpies@sJ86í $ +8 s = "0.M pies

I;8 v> ' vg I acIs # s$ ; esp.

a C>.> pies@s>

./,< !4I2CI!IO DE T4BJO 5 E2E46" !4 #2 SISTE= OE !4T"C#LS

.0H

E7EPL "12.3 Yurante un breve tiempo la gr .M+ g con una fuerza F # 6>3 I Cr8 Q:. Yetermine la veloci$ dad de la viga cuando alcanza s = C m. ambi!n, Jcuánto tiempo se requiere para que alcance esta altura a partir del punto de reposoK N

*LRG5: Podemos resolver una parte del problema con el principio de trabajo y energía puesto que implica fuerza, velocidad y desplazamiento. Yebe utilizarse cinemática para determinar el tiempo. bserve que cuando s ' +, F ' >36"+C8: U 4 ' >.M+6"+C860.3"8:, por lo que %abrá movimiento. Trabajo /iagrama de cuerpo libre0. Gomo se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura "#$""A, la fuerza  realiza trabajo positivo, que se determina mediante integración puesto que esta tuerza es variable. 4demás, el peso es constante y realizará trabajo negativo ya que el desplazamiento es %acia arriba.



^ 6a8

Principios de trabajo y energía.

N

I >í@, >'r > + I @ 6>3 I Cs>86"+C8 ds # 6>.M+86"+C860.3"8B $ J6>.M+86"+`

!

>36"+CU I 6l`  >#.M>M6"+ C8B ' ".>M6"+U>



T &

@ C

v = 6>.W3M I +.3= 8M v = M.#W m@s

6"8 esp.

4inem5tica. Gomo podemos e?presar la velocidad en función del desplazamiento, el tiempo se determina con v = dsdt. En este caso, 6>.Wh* I +.3sC8= ' j# C ds Oo 6>.W3s I +.3sC8J La integración se realiza num!ricamente con una calculadora de bolsillo. El resultado es t = ".W0 s

esp.

:4- la aceleración de la viga se determina al integrar la ecuación 6"8 por medio de v dv = a ds, o más directamente, al aplicar la ecua$ ción de movimiento )F = ma.

&

"

( M+6"+*0.3"8:

+U8 g. "#$""

.1


EJE=!LO ./,/ La masa de la plataforma A de la figura "#$">a es insignificante y está atada por abajo, de modo que las cuerdas de +.# m de largo man$ tienen comprimido +.A m un resorte de " m de largo cuando no :a nada sobre la plataforma. *i se coloca un bloque de > Qg sobre la pla$ taforma y se libera del punto de reposo despu!s de que la plataforma se empuja %acia abajo +." m, figura "#$">J, determine la altura má?i$ ma : que el bloque se eleva en el aire, medida desde el suelo.

0 = >++ :@m 6b8

a; g. "#$">

"0.A> :

+ c;

SOL#CI>2

Trabajo /iagrama de cuerpo libre0. Gomo el bloque se suelta del punto de reposo y despu!s alcanza su altura má?ima, las velocidades inicial y final son cero. El diagrama de cuerpo libre del bloque cuando ac. bserve que el peso realiza trabajo negativo y la tuerza del resorte trabajo positivo. JPor qu!K En particular, la com# presión inicial en el resorte es s! # +.A m I +." m $ +.W m. Yebido a las cuerdas, la compresión final del resorte es s # +.A m 6despu!s de que el bloque sale de la plataforma8. La cara inferior del bloque se eleva desde una altura de 6+.# m $ +." m8 ' +.C m %asta una altura final :. !rincipio de trabajo y energía,

!mvi I I#II0sl # !0sG # 4 9/ ' !m3 bserve que aquí s * ' +.W m Us> ' +.A m y por tanto el trabajo del resorte determinado con la ecuación "## será positivo una vez que se realizan los cálculos. Por tanto, + I $SJ6>++ :@m86+.A m8> $ J6>++:@m86+.Wm8>T $ 6"0.A> JL:# 6+.C m8T '+ 4l resolver se obtiene

: = +.0AC m

esp.

./,< !4I2CI!IO DE T4BJO 5 E2E46" !4 #2 SISTE= OE !4T"C#LS

..

EJE=!LO ./,A El muc%ac%o de #+ Qg en la figura "#$"Ca se desliza cuesta abajo del tobogán acuático. *i parte del punto de reposo en 4, determine su rapidez cuando llega a B y la reacción normal que el tobogán ejerce en esta posición.

6a8

SOL#CI>2 6b8

Trabajo /iagrama de cuerpo libre0. Gomo se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura "#$"CA, dos fuerzas act
#+60.3"8 :

!rincipio de trabajo y energía,

? 9 I PU 9# B = ? B + I 6#+60.3" 8:8 6W.M m8 = !+"$0gvB v B = ">."C m@s ' ">." m@s

esp.

6cuación de movimiento. 4l referimos al diagrama de cuerpo ubre cuando el muc%ac%o está en JK, figura "#$"Cc, la reacción nor$ mal :s se obtiene a%ora al aplicar la ecuación de movimiento a lo largo del eje n, 4quí, el radio de curvatura de la trayectoria es !
AB =

"

" I 6+."M?8N+."MN

#+60.3"8 :

>"C@>

*=$

' A,AAW m

Por tanto,

6c8 g. >

man! J B # #+60.3"8 : ' #+ Qg6)//) J B = ">WM.C : ' ".>3 Q:

@ 6">."C m@s8 I t>F '

"#$"C esp.

.9


EJE=!LO ./, &a

Plano de eferencia

& 9 "++ Qg "+ Qg

6a8

03." :

La masa de los bloqu es 9 B que se muest ran en la figura "#$ 8"a es de "+ Qg y "++ Qg, respec tivam ente. Yeter mine la distan cia que B se despl aza cuand o se suelta desde el punto de repos o %asta el punto donde

v 9 = #"v B = $#6> m@s8 ' $3 m@s

su rapidez es de > m@s. SOL#CI>2

Este problema se resuelve si se consideran los bloques por separado y se aplica el principio de trabajo y energía a cada bloque. *in embargo, el trabajo de la tensión del cable 6desconocida8 se elimina si los bloques 9 y B se consideran como un solo sistema. Trabajo /iagrama de cuerpo libre0. Gomo se muestra en el diagrama de cuerpo libre del sistema, figura "#$"#A, la fuerza del cable y las reacciones 5=V y  > no realizan trabajo, ya que estas fuer$ zas representan las reacciones en los soportes y por consiguiente no se mueven mientras los bloques se desplazan. Los dos pesos realizan trabajo positivo si suponemos que ambos se mueven %acia abajo en el sentido positivo de s 9 y s B , Principio de trabajo ) energía. *i tenemos en cuenta que los bloques se sueltan del punto de reposo, tenemos  !rn BIv B !/ I!m 9Iv 9 ! I !m B+v B ! 7 I4 9 9s 9 7 4 B 9s B 1 = + I + I 03." : +9s 9  I 03" : +9s B / = B6"+Qg86/8l I /6"++Qg86>m@s8 > 6"8

4inem5tica. 4l usar los m!todos de cinemática analizados en la sección ">.0 en la figura "#$"#a se ve que la longitud total @ de todos bs segmentos verticales de cable pueden e?presarse en función de las coordenadas de posición s 9 y s B como &9 I "5 B = l

Por consiguiente, un cambio de posición en la ecuación de despla$ zamiento resulta en 9&9 I # 9s B ' + 9s 9 = #"9s B 4quí vemos que un desplazamiento %acia abajo de un bloque pro$ duce un desplazamiento %acia arriba del otro bloque. bserve que 9s 9 y 9s B deben tener la misma convención de signos en las ecua$ dones " y >. 4l considerar las derivadas con respecto al, tiempo se obtiene 9; 9i conservar d signo negativo en la ecuación > y sustituirlo en la ecuación " resulta 9s B = +.33C m " esp.

./,< !4I2CI!IO DE T4BJO 5 E2E46" !4 #2 SISTE= DE !4T"C#LS

.<

PROBLM!" #$%&!M%'!L" F1271. El resorte se coloca entre la pared y el bloque de "+ Qg. *i !ste se somete a una fuerza F ' M++ :, deter$ mine su velocidad cuando s ' +.M m. Guando s ' +, el bloque está en reposo y el resorte no está comprimido. La superficie de contacto es lisa. M++ :

F1272. El dragster de ".3 g se desplaza a ">M m@s cuan$ do el motor se apaga y el paracaídas se abre. *i la fuerza de frenado del paracaídas puede ser representada de forma apro?imada por la gráfica, determine la rapidez del drags$ ter cuando %a recorrido #++ m. oíQ:8

M+$ 91

M6m8

"#$"

F1278. *i el motor ejerce una fuerza constante de C++ : en el cable, determine la rapidez del embalaje de >+ Qg cuando recorre s ' "+ m %acia arriba del plano, a partir del punto de reposo. El coeficiente de fricción cin!tica entre el emba$ laje y el plano es n0 ' +.C.

/11

F1272 F1279. Guando s = +.A m, el resorte no está comprimido y la rapidez del bloque de "+ Qg es de M m@s %acia abajo del plano. Yetermine la distancia s cuando el bloque se detiene. 0 ' >++ :@m

F1278

F1279

F1273. *i el motor ejerce una fuerza F ' 6A++ I Cs  : en el cable, determine la rapidez del embalaje de "++ Qg cuando se eleva a s ' "M m. 5nicialmente el embalaje está en reposo en el suelo. Q ,%

F127:. 4l collarín de M 5b lo jala por una cuerda que pasa alrededor de una peque\a clavija en G. *i la cuerda se somete a una fuerza constante F ' "+ 5b y el collarín está en reposo cuando está en 9, determine su rapidez cuando llega a B. 5gnore la fricción.

"Mm

C

"#$C

'"+lb"#$A

./


PROBLM!" ;1271# Rn embalaje de "M++ 5b se jala a lo largo del suelo a una rapidez constante durante una distancia de >M pies por medio de un cable que forma un ángulo de "M1 con la %orizontal. Yetermine la tensión en el cable y el trabajo realizado por esta fuerza. El coeficiente de fricción cin!tica entre el suelo y el embalaje es p0 ' +.MM.

#1272. Guando se dispara un proyectil de W Qg con un ca\ón de > m de longitud, la fuerza del e?plosivo ejerci$ da en el proyectil mientras está en el ca\ón varía como se muestra Yetermine la velocidad de salida apro?imada del proyectil en el momento en que sale del ca\ón. 5gnore los efectos de fricción en el interior del ca\ón y suponga que el ca\ón está en posición %orizontal.

1278. El movimiento de un bote de AM++ 5b es impedido por un parac%oques que proporciona una resistencia como se muestra en la gráfica. Yetermine la distancia má?ima que el bote mella el parac%oques si su rapidez de apro?i$ mación es de C pies@s.

FRb

v = C pies@s s6pies8 M6m8 " J: M 8 9 "+



2 & & &

@ M @ @ @ @ +> +.# +.A +.3 ".+ "> ".# ".A 1** >.+ Prob. "#$>

"#$C. El tapón pesa >+ 5b y es empujado contra una serie de rondanas de resorte kelleville de modo que la compre$ sión en el resorte es s ' +.+M pies. *i la fuerza del resorte en el tapón es F ' 6Csl@C8 5b, donde s está en pies, determine la rapidez del tapón despu!s de que se aleja del resorte. 5gnore la fricción.

Prob. "#$#

;1279. El bloque de ".M Qg se desliza a lo largo de un plano liso y c%oca con un resorte no lineal con una rapidez de v ' # m@s. El resorte se denomina no lineal porque su resistencia es F s = 0s , donde 0 ' 0++ :@m >. Yetermine la rapidez del bloque despu!s de que comprime el resorte s ' +.> m.

Prob. "#$C

Prob. 1279


127:. Guando el conductor aplica los frenos de una camioneta que viaja a "+ Qm@%, !sta se desliza C m antes de detenerse. J[u! distancia patina la camioneta si su veloci$ dad es de 3+ Qm@% cuando se aplican los frenosK

.A

;127<. La rigidez de los resortes 9B y ST es 0 ' C++ :@m y 0f = >++ :@m, respectivamente y la longitud no alar$ gada de ambos es de A++ mm. *i el anillo liso de > Qg se suelta del punto de reposo cuando los resortes no están alargados, determine la rapidez del anillo cuando %a reco$ rrido >++ mm.

i Prob. 127: '"M+:

"#$W. El bloque de A 5b se suelta del punto de reposo en 9 y se desliza %acia abajo de la superficie parabólica lisa. Yetermine la compresión má?ima del resorte. Prob. "#$W

A++mm)$$$$$$$$$$$$A++ mm

Prob. 127< > pies

='M"b@pulg ="#$3. La longitud no alargada del resorte de la pistola de juguete es de "++ mm, se comprime y bloquea en la posición mostrada. Guando se tira del gatillo, el resorte se descomprime ">.M mm y la bola de >+ g se mueve a lo largo del ca\ón de la pistola. Yetermine la rapidez de la bola cuando sale de la pistola. 5gnore la fricción.

1271=. La velocidad del automóvil es ! ' "++ Qm@% cuando el conductor ve un obstáculo frente al automóvil cuya masa es de > g. Le toma +.WM s para reaccionar y aplicar los frenos, lo que %ace que el automóvil patineO determine la distancia que el automóvil recorre antes de detenerse. El coeficiente de fricción cin!tica entre las llantas y la carretera es @?= ' +.>M. 12711. Lavelocidaddelautomóvilesui ' "++Qm@%cuan$do el conductor ve un obstáculo frente al automóvil cuya masa es de > g. Le toma +.WM s para reaccionar y aplicar los frenos, lo que %ace que el automóvil patine. *i el au$ tomóvil se detiene cuando %a recorrido una distancia de "WM m, determine el coeficiente de fricción cin!tica entre las llantas y la carretera.

M+mm

v, ' "++ Qm@%

Prob. "#$3

Probs. 1271=>11

.


#12718. El bloque de "+ 5b se suelta del punto de reposo en 9. Yetermine la compresión de cada uno de los resor$ tes despu!s de que el bloque c%oca con la plataforma y se detiene momentáneamente. En un principio ambos resor$ tes no están alargados. *uponga que la masa de la platafor$ ma es insignificante.

12712. La magnitud de la fuerza que act + Qg varía con la posición s de !ste. Yetermine qu! tanto se desliza el bloque antes de que su velocidad sea de M m@s. Guando s ' + el bloque se está moviendo a la derec%a a > m@s. El coeficiente de fric$ ción cin!tica entre el bloque y la superficie es @?= ' +.C. 12719. La magnitud de la fuerza  que act + Qg varía con la posi$ ción s de !ste. Yetermine la rapidez del bloque despu!s de que se desliza C m Guando s ' + el bloque se mueve a la derec%a a > m@s. El coeficiente de fricción cin!tica entre el bloque y la superficie es fi0 = +.C.

M pies

Prob. 12718

4, 'C+"b@pulg => '

12713. Yetermine la velocidad del bloque 9 de A+ 5b si bs dos bloques se sueltan del punto de reposo y el bloque B de #+ 5b se mueve > pies %acia arriba del plano inclinado. El coeficiente de fricción cin!tica entre ambos bloques y bs planos inclinados es p0 ' +."+.

Prob. 12713

s6m8

1271:. *e lanza verticalmente un co%ete de masa m desde la superficie terrestre, es decir, en r ' rt.i supone que no se pierde masa cuando asciende, determine el trabajo que debe realizar contra la gravedad para alcanzar una distan$ cia r >. La fuerza de la gravedad es F = VQ emr  6ecuación "C$"8, donde Q e es la masa terrestre y r la distancia entre el co%ete y el centro de la ierra.

Prob. 1271:


;1271?. El cilindro pesa >+ 5b y es empujado contra una serie de rondanas de resorte kelleville de modo que la compresión en el resorte es s ' +.+M pies. *i la fuerza del resorte en el cilindro es F ' 6lí(/lb, donde s está en pies, determine la rapidez del cilindro e?actamente despu!s de que se aleja del resorte, es decir, en s ' +.

.0

#1278=. Los paquetes que pesan "M 5b se transfieren %ori$ zontalmente de una banda transportadora a la siguiente por medio de una rampa cuyo coeficiente de fricción cin!tica es fi0 = +."M. La transportadora superior se mueve a A pies@s y la separación entre los paquetes es de C pies. Yetermine la rapidez de la transportadora inferior para que los paquetes no se deslicen cuando se ponen en contacto %orizontalmente con ella. JGuál es la separación s entre los paquetes en la transportadora inferiorK

A pies@s

Prob. 1271? 1271%. La masa del collarín es de >+ Qg y descansa sobre una barra lisa. Yos resortes están unidos al collarín y a bs e?tremos de la barra como se muestra La longitud no comprimida de cada resorte es de " m. *i el collarín se desplaza s ' +.M m y se suelta del punto de reposo, determine su velocidad en el momento en que regresa al punto M ' +.

C pies

Prob. 1278=

;12781. La bola de $M Qg cuyo tama\o no importa, se lanza %acia arriba de la rampa circular vertical lisa por medio de un !mbolo de

resorte. ste mantiene el resorte comprimido +.+3 m cuando M ' +. Yetermine qu! distancia se debe jalar s y soltar de modo que la bola comience a perder el contacto con la rampa cuando 5 ' "CM1.

1271<. Yetermine la altura : de la rampa T a la que llegará el carro de >++ Qg de la monta\a rusa, si se lanza en B con una rapidez apenas suficiente para que llegue a la parte superior del rizo en G sin que pierda el contacto con tos rieles. El radio de curvatura en G es pc ' >M m.

= ' M++:@m

Prob. 1271<

Prob. 12781

.


12788. La caja de > 5b se desliza por la rampa circular lisa. *i la velocidad de la caja es de C+ pies@s en 9, determine su velocidad y la fuerza normal que act
#12782. El bloque de > 5b se desliza %acia abajo de la superficie parabólica lisa de modo que cuando está en 9 su rapidez es de "+ pies@s. Yetermine la magnitud de la velo$ cidad y aceleración del bloque cuando llega al punto B  la altura má?ima m3* que alcanza.

C+ pies@s

K

/86o86oU6#6#

;12789. El esquiador parte del punto de reposo en 9  desciende por la rampa. *i la fricción y resistencia del aire pueden omitirse, determine su rapidez v B cuando llega a B. 4demás, determine la distancia s donde %ace contacto con el suelo en G, si salta cuando se desplaza %orizontalmen$te en fí. 5gnore la estatura del esquiador. *u masa es de W+ Qg.

Prob. 12788

12783. Paquetes que pesan M+ 5b llegan al tobogán a v 9 ' C pies@s por medio de una banda transportadora. Yetermine su rapidez cuando llegan a los puntos B, S  T. 4demás, calcule la fuerza normal del tobogán en los paquetes en BS. 5gnore la fricción y el tama\o de los paquetes.

Prob. 12789 1278:. El embalaje, cuya masa es de "++ Qg, se somete a la acción de las dos fuerzas. *i originalmente está en reposo, determine la distancia que se desliza para alcanzar una rapidez de A m@s. El coeficiente de fricción cin!tica entre el embalaje y la superficie es @?= ' +.>. "+++:

Prob. 12783

Prob. 1278:


"#$>W. El ladrillo de > 5b se desliza %acia abajo del tec%o de modo que cuando está en 9 su velocidad es de M pies@s. Yetermine la rapidez del ladrillo justo antes de que deje la superficie en B, la distancia d de la pared %asta donde c%oca con el suelo y la rapidez a la cual golpea el suelo.

Prob. "#$>W

="#$>3. Las monta\as rusas se dise\an de modo que los usuarios no e?perimenten una fuerza normal de más de C.M veces su peso contra el asiento del carro. Yetermine el radio de curvatura mínimo p de la rampa en su punto más bajo si la rapidez es de M pies@s en la cresta de la caída. 5gnore la fricción.

;1278<. El %ombre de ">+ 5b act > pies@s >, deter$ mine qu! rigidez requiere el resorte, el cual se compri$ me > pies en el momento del disparo. JGon qu! velocidad saldrá del ca\ón, d ' 3 pies, cuando el ca\ón se dispareK Guando el resorte se comprime s =  pies, entonces d = 3 pies. 5gnore la fricción y suponga que el %ombre se mantie$ ne en una posición rígida durante todo el movimiento.

Prob. "#$>0

"#$C+. *i se va a dise\ar la pista de modo que los pasaje$ ros de la monta\a rusa no e?perimenten una fuerza nor$ mal igual a cero o más de # veces su peso, determine las alturas limitantes : 9 y @icde modo que esto no ocurra. La monta\a rusa parte del punto de reposo en la posición 9. 5gnore la fricción.

Prob. "#$C+

"+ pies Prob.l#$>*

.H

.H1


"#$C". Las canicas de M g de masa caen del punto de reposo en 9 a trav!s del tubo de vidrio y se acumulan en el recipiente en G. Yetermine la distancia  del recipiente al e?tremo del tubo y la rapidez a la cual las canicas caen en el recipiente. 5gnore el tama\o de !ste.

;"#$CC. *i el coeficiente de fricción cin!tica entre el embalaje de "++ Qg y el plano es @?= ' +.>M, determine la compresión * del resorte requerida para llevar el embalaje momentáneamente al reposo. En un principio el resorte no está alargado y el embalaje está en reposo. "#$C#. *i el coeficiente de fricción cin!tica entre el emba$ laje de "++ Qg y el plano es p.0 ' +.>M, determine la rapi$ dez del embalaje en el momento en que la compresión del resorte es * ' ".M m. 5nicialmente el resorte no está alarga$ do y el embalaje está en reposo.

W9

Prob. "#$C"

Probs. "#$CC@C#

0 = l Q:@m

="#$C>. La bola de +.M Qg de masa se cuelga de una banda elástica que tiene una longitud no alargada de " m y una rigidez 0 ' M+ :@m. *i el apoyo en 9 al cual se sujeta está a > m del piso, determine la rapidez má?ima que la bola puede tener en 9 de modo que no toque el suelo cuando llegue a su punto más bajo B. 5gnore el tama\o de la bola y la masa de la banda elástica.

"#$CM. Rn bloque de > 5b descansa sobre una superficie semicilíndrica. Rna cuerda elástica que tiene una rigidez 0 ' > lb@pie está atada al bloque en B y a la base del semicindro en el punto G. *i se suelta el bloque del punto de reposo en 9+5 ' +o8, determine la longitud no alargada de la cuerda de modo que el bloque comience a separarse del semicindro en el instante 5 ' #M1. 5gnore el tama\o del bloque.

7 >m Prob. "#$C>

4 ' >"bJ8ie

Prob. "#$CM

Cinética de Una Partícula

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