1 2 3
48 49 50
Para obtener una conclusión general (fórmula) correcta es importante que los casos particulares cumplan las siguientes condiciones. Deben ser casos que partan de lo simple a lo complejo. Sus estructuras deben ser similares, pero a menor escala, a la que presenta el arreglo o la expresión original. Se deben analizar como mínimo 3 casos particulares. En este tema podemos observar cuatro tipos de problemas. RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Es un razonamiento que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares. Por ejemplo, de la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusión para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza. Es decir
R E L A C I Ó N
R E L A C I Ó N
R E L A C I Ó N
Inducción
3
2
R E L A C I Ó N
A. EN ARREGLOS ARREGLOS NUMÉRICOS
Caso General N
999. 999.... .....9 ..97 7 999.. 999..... ....92 .92 5 0 c iiffras
5 0 c iiffras
Casos particulares N1
97 92
N2
997 992
N3
9997 99 9992
B. EN ARREGLOS ARREGLOS GRÁFICOS GRÁFICOS
Caso General
“n”
1 Relaciones Partic Particula ulares res
Razonamiento Inductivo
1
Re lación General
99 100 10 0
2
Casos particulares
1
125
1
2
1
2
3
Chinito RM
Compendio Académico 2018
C. EN ARREGLOS ARREGLOS LITERALES
Para arreglos de la siguiente forma R
Caso General
O O C C C I I I I O O O O O
C
H H I I I N N N N I I I I I N N N N N N
El número de maneras de leer la palabra ROCIO se determina mediante la siguiente expresión:
Casos particulares C
C
C
H H I I I
H H
5 niveles
H H I I I N N N N
D. EN D. EN ARREGLOS ARREGLOS SOMBREADOS SOMBREADOS
2
n 1
n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer ROCIO será 2 5 1 2 4 16
Caso General ¡Tenga en cuenta que…!
Además en este tema, los números triangulares son muy usados.
1 2 3
1 8 1 9 20
Casos particulares
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1
3
6
10
3
2 2 1 2
1 2 3 4
1 2 3 4 5 6
Si en cada caso se requiere saber el resultado, el número de cerecillos, el número de palabras y el número de esferas sombreados, lo podemos obtener relacionando los resultados de los casos particulares con la cantidad de cifras, el número de filas, número de letras…
Observación 126
2
4 2
6 2
cifras
= 19
De acuerdo a lo observado en los 3 casos particulares podemos concluir que: Para cualquier valor de “n” A (77. (77... ..77 77
"n cifr cifras" as"
22.. 22..22 225) 5)2
6400 6400.. ...0 .003 0320 200. 0... ..00 004 4
"n 1 cifr cifras" as"
cifras
= 19
Chinito RM 01
Chinito RM 02
Calcular la suma de cifras del resultado de “A”
Calcule el valor de E y de cómo respuesta la suma de las cifras del resultado.
A (777 ...777
222 ...2225 )2
" n" cifras
" n 1" cifras
E
(999 (999... ....9 .995 95))
2
101 cifras
Resolución: Resolución:
a) 901 también un valor pequeño. Para hacerlo más d) 907 sencillo, vamos a analizar este problema para
b) 307 e) 607
El valor de “n” pude ser un valor grande como
Resolución
valores pequeños de “n” (2; 3 y 4) y al final,
después de observarlo que sucede sacaremos una conclusión general. Para: n = 2 (77 + 5)2 = (82)2 = 6724 cifras
= 19
Para: n = 3 (777 + 25)2 = (802)2 = 643204
Analicemos por Inducción. Inducción. 952
9025
1
97
2 99 5
990025
2
97
99952
99900025
3
9 7
2 9999 5
9999000025
4
97
100
Cantidad de cifras "9" (999...995)2 100 cifras
cifras
c) 405
= 19
Para: n = 4 (7777 + 225)2 = 64032004
127
9 7 = 907
Chinito RM
Compendio Académico 2018
d) 300 e) 320 05. Hallar la suma de cifras de: E
(999 (999... ...... ...99 99))
2
100 cifras
a) 1800 d) 720
b) 900 e) 1080
c) 180
06. Calcula la suma de las cifras del resultado de: A
(999 ... 999) 999 ) 12 50 cifr cifras as
a) 900 d) 450 01. Halle la suma de las tres últimas cifras del
resultado.
(666 666
666 666)
b) 360 e) 540
07. Calcular la suma de las cifras de A
2
A
36 (111... 111 )
40 cifras
a) 16 d) 15
2
101cifras
b) 10 e) 17
c) 13
a) 606 d) 500
02. Determine la suma de cifras de (222
c) 630
b) 600 e) 909
c) 630
08. Calcular la suma de cifras del resultado de:
222) 12
E
200 cifras
(33... (33...... ...34 34))
2
21 cifras
a) 1200 d) 1560
b) 1820 e) 1800
c) 1760
a) 127 b) 128 c) 129 d) 130 e) 125 09. Hallar la suma de cifras del resultado:
03. Halle la suma de cifras de N N
37 (2 ( 222
E
222)
222 cifras
a) 451 d) 160
b) 441 e) 453
04. La suma de cifras de: E
30 cifras
c) 420
(333 (333... ...33 333 3) 100 cifras
a) 9000
b) 900
2
(999 (999.... ....99 994) 4)
c) 1089
128
a) 277 d) 130 2
b) 228 e) 265
c) 229
10. Hallar la suma de las cifras de: A
(999 (99 9 ... 995) 99 5)
a) 179 d) 271
2
31cifras
a) 925 d) 62
b) 279 e) 155
b) 174 e) 176
c) 178
16. Calcule la suma de cifras del resultado de la
siguiente operación.
c) 277
N
999.. 999..... ....97 .97 999. 999.... .....9 ..93 3 100 100 cifr cifras as
11. Hallar la suma de las cifras del resultado de: (999......999)
3
a) 900 d) 907
b) 905 e) 903
100 100 cifr cifras as
c) 921
2003 cifras
Indicar la última cifra de dicha suma. a) 8 d) 7
b) 4 e) 5
17. Hallar a
"a" es la suma de cifras de M y "b" es la suma de cifras de N.
c) 6
b si
M
999. 999.... .....9 ..93 3 999. 999.... .....9 ..97 7 101 101 cifr cifras as
12. Hallar la suma de cifras del resultado: A
(333.... (333. .....33) ..33)
2
2 1 c i f r as
a) 199 d) 201
b) 189 e) 203
(999...... (999... ...99) 99)
N
2 1 c i f ra s
E
(999.. (999...999 .999)) (777...77 777...777) 7) 50 ci c i f r as
a)
307
d)
301
c) 198
13. Hallar la suma de las cifras del resultado de: 50 ci cifras
999... 999...... ...94 94 999... 999...... ...96 96 101 101 cifr cifras as
2
308 302
101 101 cifr cifras as
b)
298
e)
300
101 cifr cifras as
c)
299
305 306
301
18. Calcule la suma de cifras del siguiente
producto: 222. 222... .... ..22 222 2 999. 999... .... ..99 998 8
a) 450 d) 700
b) 630 e) 2500
14. Halle la suma de cifras del resultado de: A
888... 888 ..... ..888 888 999... 999 ..... ..999 999 1 0 0 ci ci fr as
a) 800 d) 700
b) 900 e) 1200
100 ci ci fras
999.. 999..... ....97 .97 999.. 999..... ....93 .93 2 0 c i fras
a) 567 d) 163
5 1 c i f ra s
b) 546 e) 357
c) 239
19. Calcula el valor de "N" y dar como respuesta
la suma de sus cifras en: E
c) 1000
15. Hallar la suma de cifras del resultado: N
5 1 ci f r a s
c) 350
999. 999... .... ..99 992 2 999. 999... .... ..99 992 2 (n 3) cifr cifras as
a) d)
9n
18
9n
20
2 0 c i f ra s
129
b) e)
9n
27
9n
23
(n 3) cifr cifras as
c)
9n
20
Chinito RM
Compendio Académico 2018
a) 1 d) 1/21
2
20. Hallar " K ", si: "n" sumandos
9
K
4 5 1 05 . . . . . . 3 12
27
3n
b) 4 e) 25
c) 9
9
4
16
25
3
2
4
b) 2 e) 40
2
30
E
2
c) 30
13
13 13
13 13 13
12
12 12
1 212 12
...
1 31 3. . . 13 1 21 2. . 13 24 cifras
c) 100/159
a) 12 d) 1/2
22. Calcule el valor de la expresión
b) 13 e) 13/24
c) 13/12
27. Hallar la suma de las cifras del resultado de:
20 sumandos
25 .. . .. . 36
30
24 cifras
64
b) 199/201 e) 99/201
16
2
59 6 1
49
36
1 9
2
5 7
26. Calcular “E”
100 sumandos
4
2
a) 1 d) 90
1
M
3 5
1
100 sumandos
a) 199/200 d) 199/202
1 3
A
21. Halle el valor de m.
m
c) 3
25. Calcule el valor de la siguiente expresión
. . .. ..
"n" sumandos
a) 1 d) 16
b) 21 e) 4
. .. . ..
444 44.. .... ..44 444 4
888 88.. .... ..88 888 8
100 ci ci fras
50 ci ci fras
20 sumandos
a) 12/13 d) 14/11
b) 13 e) 13/14
a) 100 d) 300
c) 13/12
siguiente operación.
20 sumandos
M
4
5
8
7
10
A
1 1 1 4. . . . . . 13 1 6
. .. . ..
20 sumandos
a) 18/11 d) 80/81
b) 62/65 e) 61/65
a) 100 d) 90
c) 20/25
2
P
2 1
2
3 2
2
3
1000....000 1000.. ..000
1999....999 1999.. ..999
20 cif ra s
10 cif ras
b) 99 e) 200
c) 180
29. Hallar la suma de las cifras del resultado de:
24. Calcule el valor de la expresión 1
c) 600
28. Calcula la suma de cifras del resultado de la
23. Calcule el resultado en la expresión 2
b) 200 e) 400
4 4
2
5 5
M
2
21 21
130
11 1 . . . . 1 1 1 2 2 2 . . . . 2 2 2 200 cifras
2
a) 300 d) 900
b) 100 e) 200
100 cifras
c) 450
Chinito RM 02
Halle el valor de M. 2
M
3
3 4
9999 100 10000 100 10001 10000
a) 2 d) 1
b) 10000 e) 10001
2
5
1
5
121
11
361
19
1
c) 9999 3
4 5
Resolución
6
1
3 6
1
Luego para el caso pedido Analicemos Analicemos los tres casos particulares particulares M1
3
1 2 3 2
2
M2
3
2 3 4
3
3
M2
3
3 4 5
4
4
a5 a8
1
2 161
a5 a 8 45 4 8
2 160 216 0
Por tanteo a 4 Entonces: R R
4 44 4936
444
44 4 4
Siempre sale el último número Entonces M M
3
9999 100 10000 100 10001 10000 10 0 0 0
Chinito RM 03
30. Calcule el valor de
Si: a 5 a 6 a7 a 8 1 2161 Calcular: R a aa aaa ..... " a " suma sumand ndos os
a) 4924 d) 4936
b) 4862 e) 4816
c) 4546
M
Dé como respuesta la suma de sus cifras a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
E
Analizamos los casos particulares con el producto de cuatro números consecutivos. 2 3 1 4
4
1
25
c) 12
31. Hallar:
Resolución
1
40 41 41 42 43 43 1
a) 10310 d) 10410
5
1
131
100 10 101 10 102 10 10 3
b) 10030 e) 10301
1
c) 13001
Chinito RM
Compendio Académico 2018
32. Halle el valor de: S
94 96 96 98 98 10 100
a) 9404 d) 9044
b) 9440 e) 9004
16
c) 9040
33. Calcule la suma de cifras del resultado que se
obtiene de operar A. 3
A
a) 3 d) 11
2011 2012 2013
b) 7 e) 9
2012
expresión. 100 101 102 103
b) 100 e) 102
1
1 00
a) 9404 d) 9044
2 1 1 4 4 3
M( 3) M( 4 )
6 9 5 8 16 7
M(19)
b) 362 e) 456
c) 452
38. Halle el valor de N(152) si N(1) (1 2) N( 2) (2 3) N( 3) ( 3 4 ) N ( 4 ) ( 4 5)
3 4 5 6
Dé como respuesta la suma de sus cifras. a) 24 d) 18
b) 25 e) 29
c) 26
c) 201 39. Dada la siguiente sucesión
35. Halle el valor de E
a) 348 d) 286
c) 5
34. Determine el resultado de la siguiente
a) 99 d) 101
Halle:
M(1) M(2)
94 96 96 98 98 10 100
b) 9440 e) 9004
16
c) 9040
36. Sabiendo que: A(1) A(1)
1 100
A(2) A(3)
2 99 3 98
Calcular: A( 20) a) 1551 b) 1651 d) 1546 e) 1561
R(1)
1 2
R(2)
2
4
1
R(3)
3 4
3
R( 4)
4
R(5) R(6)
5 6 3 6 36 1
Hallar el valor de:
50 49 48
a) 520 d) 420
c) 2236
37. Si se cumple que:
132
3
16
R(14) R(14)
1
R(17) R(17)
b) 400 e) 440
c) 540
40. Calcule; f(24) si: f (1) f (2)
2 1 1 6 3 2
f (3)
12 6
f ( 4)
20 10
f (5) f (6)
30 42
3 4
15 5 21 6
a) 22 d) 30
b) 24 e) 876
c) 26
Chinito RM 01
¿Cuántos puntos de contacto habrá en la figura 20?
Fig.1
Fig.2
a) 260 d) 644
Fig.3
Fig.20
b) 307 e) 630
c) 635
Resolución 3 puntos de contacto = 3 1 = 3(1) 1 2 2
Fig. 1 9 puntos de contacto = 3
3 = 3(1+2) 2 3 2
Fig. 2
18 puntos de contacto = 3 6 =3(1+2+3) 3 4 2
Fig. 3
3(1+2+3+.....+20) = 630 20
2
Fig. 20
133
21
Chinito RM
Compendio Académico 2018
03. ¿Cuántas bolitas hay en la figura 18?
F1
a) 225 d) 164
F2
F3
b) 464 e) 324
F4
c) 400
04. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 30? 01. ¿Cuántos puntos de corte tendrá la figura
100?
Fig. 1 a) 100 d) 600
Fig. 2 b) 200 e) 800
Fig. 3 c) 400
02. Se sigue la secuencia, ¿Cuántos cuadrados se
contarán en la figura 100?
Fig. 1 a) 59 d) 63
a) 200 d) 404
Fig. 2 b) 400 e) 800
Fig. 3 c) 440
c) 61
cuántos segmentos tendrá la figura 100.
a) 299 d) 399
Fig. 2 b) 300 e) 400
Fig. 3 c) 397
06. Halle la cantidad de triángulos de la figura 20.
Fig. 1
134
b) 60 e) 64
Fig. 3
05. Siguiendo la secuencia mostrada, determine
Fig. 1 Fig. 1
Fig. 2
Fig. 2
Fig. 3
a) 41 d) 320
b) 80 e) 400
c) 210
07. ¿Cuántos palitos se necesitan para formar la
figura 30?
Fig. 1 a) 232 d) 244
Fig. 2 b) 260 e) 250
c) 248
a) 2002 d) 8007
F( 2)
b) 4004 e) 1608
F( 3)
c) 8008
09. ¿Cuántos palitos de fósforos son necesarios
para formar la figura 20?
Fig. 1 a) 440 d) 380
b) 335 e) 364
c) 194
11. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 20?
Fig. 1
Fig. 3
08. ¿De cuántos lados constará la figura 2002?
F(1)
a) 448 d) 390
a) 21 d) 25
Fig. 2 b) 22 e) 26
Fig. 3 c) 24
12. En la siguiente secuencia gráfica, ¿Cuál será
el número de puntos de corte de la figura figura 20?
Fig. 1 a) 450 d) 480
Fig. 2 b) 400 e) 420
Fig. 3 c) 500
13. ¿Cuántos puntos de cortes tenemos en la
figura 20?
Fig. 2
Fig. 3
b) 450 e) 500
c) 400
Fig. 1 a) 420 d) 480
10. En
Fig. 2 b) 440 e) 500
Fig. 3 c) 460
la sucesión mostrada de figuras construidas con palitos de fósforo, calcula el 14. De acuerdo a la secuencia de las figuras. doble de número de palitos de la figura que ¿Cuántos cuadraditos no sombreados habría ocupa el decimotercer lugar. en la figura 150?
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 1
135
Fig. 2
Fig. 3
Chinito RM
a) 11250 d) 11320
Compendio Académico 2018
b) 11235 e) 11325
c) 11415
a) 210 d) 240
e) 120
19. Calcule el número de esferas que tiene la
15. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20?
Fig. 1
d) 101
Fig. 2
Fig. 3
b) 220 e) 250
c) 230
figura 50.
Fi . a) 250 d) 200
Fi . b) 110 e) 400
Fi . c) 120
16. Halle el número de esferas que hay en la 20. Halle la suma de las cifras del número de
figura 15.
Fi . a) 133 d) 132
palitos que forman la figura 100.
Fi . b) 134 e) 136
Fi . c) 135
17. Determine el número total de esferas oscuras
que habrá en la figura 10.
Fig. 1 a) 12 d) 15
Fig. 2 b) 13 e) 18
Fig. 3 c) 14
21. Dada la siguiente sucesión de figuras:
Fig. a) 50 d) 42
Fig. b) 55 e) 100
Fig.
Fig. 1
c) 27
ubican en la figura 10.
a) 100
Fig. 3
Si en la figura 20 hay “ x ” triángulos más que
el total de triángulos de las 3 primeras figuras,
18. Calcule el número total de bolas que se
Fig. 1
Fig. 2
determine el valor de “ x ”
a) 360 d) 436
Fig. 2
Fig. 3
b) 90
c) 99
136
b) 530 e) 410
c) 483
22. Calcule el número de intersecciones que hay 26. En la siguiente sucesión, determinar el
entre el cuadrado y rectas en la figura 20.
Fig(1)
a) 760 d) 420
Fi Fig (2 (2)
número de círculos sin pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar.
Fig (3 (3)
b) 800 e) 400
c) 840
23. En la siguiente secuencia, calcule el número
a) 201 d) 181
b) 131 e) 231
c) 151
27. ¿Cuántos triángulos se contarán en la
ubicación 100?
de círculos en la figura 17.
Fig (1) (1)
a) 200 d) 208
Fig(2)
b) 155 e) 180
Fig(3)
c) 210
24. ¿Cuántas bolitas pintadas hay en la figura 15?
Fig. a) 240 d) 225
Fig. b) 140 e) 150
c) 340
figura 10.
a) 200 d) 320
Fi . b) 130 e) 400
a) 103 d) 275
Fig. 2
Fig. 3
b) 300 e) 725
c) 301
28. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(n)?
F(1)
F( 2)
a) 4n d) 4n 2
b) 4n –1 e) 3n –1
F( 3)
Fig.
25. Halle el número de círculos sin sombrear en la
Fi .
Fig. 1
Fi . c) 210
c) 4n 1
29. ¿Cuántos cuadrados sombreados se contaran
en la figura 25?
Fi . a) 625 d) 250
137
Fi . b) 600 e) 750
Fi . c) 500
Chinito RM
Compendio Académico 2018
30. Halle el número de cerillas de la figura 20.
Fig. a) 842 d) 867
Fig.
Fig.
b) 754 e) 859
c) 782
31. Determine el número total de cerillas desde la
figura 1 hasta la figura 20.
Fig. 1 a) 2250 d) 2050
Fig. 2 b) 2450 e) 2375
Fig. 3 c) 6160
a) 8372 d) 7024
b) 6162 e) 3080
c) 4422
34. ¿Cuánto suman los números de la figura 20?
a) 44400 d) 44100
b) 44300 e) 44000
c) 44200
35. Calcule la cantidad de esferas del gráfico 39.
32. ¿Cuál es la suma del número de triángulos de
la figura n 1 y el número de cuadriláteros de la figura n 1 ?
Fig. 1 a) 4n 1 d) n
Fig. 2 b) 4n e) 4 n
Fig. 3 c) 2n 1
33. En el gráfico se muestra una sucesión de
rumas, formadas por fichas numeradas. ¿Cuál es la suma de todos los números de la ruma T12?
138
a) 780 d) 819
b) 840 e) 849
c) 860
36. Halle el número de rombos que contiene el
hexágono H(25).
a) 1950 d) 1875
b) 2025 e) 15625
c) 1200
Caso 2:
8
1
2
Caso 3:
3
2
1
3
15
4
2
1
Chinito RM 01
Calcular el número total de palitos de fósforos que conforman la torre.
1
2
3
4
En el problema:
1
2
3
a) 900 d) 907
28 29 30 b) 307 e) 899
c) 405 1
Resolución Caso 1:
2 30
3
1
2
2
1
2
3 1
Nº de palitos = 899
∴
2
139
28 29 30
Chinito RM
Compendio Académico 2018
Chinito RM 02
el total de triángulos es 400.
¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada? 1 2 3
¿Viste que fácil es? Vamos, sigue no pares 18 19 20
a) 400 d) 907
b) 307 e) 300
c) 405
Resolución Analizando por partes, partes, tenemos: Caso 1
1 triángulo = 12 1 Caso 2
4 triángulos = 2 2
1 2
01. Halle la cantidad total de esferas en el
Caso 3
siguiente arreglo triangular.
1
9 triángulos = 32
2 3
En el problema: 1 2 3 202 = 400 400 triáng triángul ulos os
1
18 19 20
a) 4950 140
2
98 99 10 0
3
b) 5000
c) 4850
d) 5050
e) 5151
02. ¿Cuántos palitos de fósforo conforman la
siguiente torre?
1 2
3 4
4
48 49 50
03. Calcule el número total de cerillos en el
siguiente gráfico.
a) 2450 d) 4500
b) 1350 e) 1325
c) 1225
a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
05. Halle el número total de cerillos en el gráfico.
1 2 3 4
a) 800 d) 982
38 39 40 41
b) 881 e) 884
c) 882
06. Halle el número de cerillos que forma la
a) 2400 d) 2560
b) 2460 e) 2580
siguiente figura
c) 2500
04. Halle el número total de palitos utilizados en
la construcción del siguiente gráfico.
1
a) 1010 d) 10197 1
2
3
4
4
50
Dé como respuesta la suma de sus cifras.
141
2
3
b) 5000 e) 20097
9
9 100
c) 10027
Chinito RM
Compendio Académico 2018
07. Halle el número de cerillos que forma la
10. Hallar el número total de puntos de contacto.
siguiente figura
123 1
a) 5000 d) 4080
2
3
b) 5050 e) 5060
48
49
50
c) 4060
08. ¿Cuántos palitos hay en total en el siguiente
a) 290 d) 1305
2 29 3 b) 870 e) 2875
c) 420
11. ¿Cuántos palitos conforman la siguiente torre?
gráfico?
1 2 3 4 a) 720 d) 960
b) 610 e) 560
c) 850
09. ¿Cuántos cerillos se cuentan en total en el
siguiente gráfico?
a) 6225 d) 4525
c) 8950
figura:
a) 250 d) 5050 b) 859 e) 616
b) 7550 e) 3125
12. Halle el número total de palitos en la siguiente
1
a) 780 d) 779
97 98 99 10
c) 860
142
2 3
4
b) 2450 e) 1275
47
48 49
c) 1324
50
13. ¿Cuántas esferitas sombreadas en total se
pueden contar en la siguiente figura?
1 2 3
48 49 50
a) 625 b) 756 c) 240 d) 450 e) 650 14. Halle el número total de cerillos en el siguiente gráfico.
a) 1487 b) 1457 c) 1447 d) 1427 e) 1367 15. Halle el total de cerillos que se utilizaron en la construcción del siguiente arreglo.
a) 1220 d) 1218
b) 1180 e) 1829
c) 1058
16. En la siguiente figura, se han contado 570
puntos de contacto. Calcule el número de monedas colocadas en la base.
a) 10 d) 18
143
b) 12 e) 20
c) 19
Chinito RM
Compendio Académico 2018
Chinito RM 01
Calcule la suma de todos los elementos del siguiente arreglo. 1
3
5
7
. ..
49
3
5
7
9
.. . ..
51
5
7
9
11 .. .
53
01. Hallar la suma total en el siguiente arreglo: 49
a) 30625 d) 87815
51 53
55 . . .
b) 12254 e) 13315
c) 32350
Resolución Analizamos tres casos particulares de matrices más pequeñas. 1
Su m a : 1
1
3
3
5
1
3
3
5 7
1 1
Suma : 12
1 1
2
3 4
1
1 1
2
3 2
3
3
5 7
5 9
5 3
5
9
5
1
2
2
Por lo tanto para la matriz de 49 1
3
49
51
49
12
2
3
4
5
13
3
4
5
6
14
4
5
6
7
15
12 13 14
15
23
b) 1728 e) 1804
49
1
c) 1624
1
2
3
4
. . . 10
2
3
4
5
.. . . . 11
3
4
5
6
. . . 12
4
5
6
7
. . . 13
10
5 Su m a :
4
siguiente matriz
2
2
3
02. Hallar la suma de todos los elementos de la
2
1
5 Suma : 45
2
a) 1608 d) 1526
2
2
1
1 1 12
1 3 . . . 19
2
2
144
30625
a) 100 d) 2000
b) 1000 e) 1500
c) 8000
03. calcule la suma de todos los números del
siguiente arreglo:
06. Calcule la suma de todos los números de la
siguiente distribución cuadrada de
10
2
5
8
11
.. .
5
8
11
14 14
.. ...
11 14 14
17
.. .
11
14
17
20
.. .
59
.. .
. ..
. ..
.. .
8
5 4 3 4 5
2 0 20
59
4 3 2 3 4 10
3 2 1 2 3
10
4 3 2 3 4
a) 22600 d) 23800
5 4 3 4 5 10
a) 1000 d) 3781
c) 3000
numérico:
1 3 5 7
04. Calcule la suma de todos los números de la
siguiente distribución numérica cuadrada si consta de 400 números 1
5
9
13
... 7 7
5
9
13
17
...
13 1 7
13 17
21
c) 23400
07. Hallar la suma total en el siguiente arreglo
b) 2000 e) 1331
9
b) 21600 e) 23600
19
3 5 7 9
21
a) 3780 d) 1650
21 .. . 2 5 .. .
5 7 9 11
23
7 9 11 13
25
... ... ... ...
19 21 23 25
...
37
b) 1700 e) 1500
c) 1900
08. Calcular la suma de los términos de las veinte 77
a) 32800 d) 32600
...
...
...
b) 30800 e) 30400
primeras filas en el triángulo numérico siguiente.
...
c) 30600
a) 1800 d) 2400
F3
9
F4
16
6
8
4
6
8
10
6
8
10
12 .. . .. 24 24
8
10
12
14
24
b) 2000 e) 2700
4 9
16
9 16
16
.
4
22
4
10 10
2
20
1
F2
05. Hallar la suma de los elementos de la
siguiente matriz de
F1
.. . . . 20 ... ...
26 ...
22 26
a) 44000 d) 10000
b) 44100 e) 12100
c) 14400
09. Calcular la suma de la fila 50
38
F i la
1 : 1
F i la
2 : 3
5
F i la
3 : 7
9
11
c) 2100 a) 125000 d) 75000
145
b) 12500 e) 250000
c) 25000
Chinito RM
10. Calcular
Compendio Académico 2018
el
valor (n
R (n
2) (n
2) (n
de
"R",
si:
Cuando la palabra tiene: 1 S : 1 letra
1) n
1)
3 2
3
1 2
1
n
2
b)
n 1 n 3
d)
n
e)
4
n
3
c)
n 1 n 3 n
S 1 formas 2 0
1
2
a)
Resolución
1
SE : 2 letras n n
5
S
3
E E
2
2 formas 2 1
SEB : 3 letras
1
S E B
E B
4 formas 2 2
B
SEBA : 4 letras
1
S E B
E B
B
8 formas 2 3
A A A A
En el problema:
Chinito RM 01
SEBASTIAN : 9 letr letras as
1
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "SEBASTIÁN"? Chinito RM 02
S E B A S T I A N
N
a) 256 d) 444
A
T A N
S
I
S
I
N
b) 307 e) 322
A
T
A
S T
I A
N
¿De cuántas formas diferentes se puede leer la palabra LIBROS uniendo las letras adyacentes?
B A
T
I A
E B
S
2 8 = 256 256 fo form rmas as
T I
A N
L
I A
N
I
A N
c) 435
N
B R O
146
B R
O S
I B R O
S
R O
S
O S
S
a) 64 d) 32
b) 63 e) 31
c) 62
¿Cuántas palabras RAZONAMIENTO se pueden leer en total uniendo letras adyacentes?
Resolución
Z
N
A R
Resolveremos por el triángulo de pascal
A Z
O
N
A
1 1 1 1
1 2
3 4
5
3 6
10
a) 64 d) 256
1 1 4 10
5
10
10
5
N
I
O T
E
c) 72
Resolución
1 1
T E
b) 128 e) 36
1
Total de palabras
M
N
1 5
I
A Z
1
E
31
4
16
1 1
8 2
4
4
16
1
8 1
PROBLEMA 03
16
4
64 32
64
16
128 64
16
Total de palabras 128 a) 4 d) 32
b) 8 e) 2
c) 16
02. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas
diferentes se puede leer la palabra YELSIN? Y E E L L L S S S S I I I I I N N N N N N
a) 4 d) 32
b) 128 e) 64
c) 16
03. ¿De cuantas maneras diferentes se puede leer 01. Halle de cuantas maneras se puede leer la
palabra TONY, en el siguiente arreglo numérico
la palabra “ESTUDIO”, uniendo círculos
consecutivos?
E S S T T T U U U U D D D D D I I I I I I O O O O O O O
T
O O N N N Y Y Y Y
147
Chinito RM
a) 64 d) 128
Compendio Académico 2018
b) 32 e) 49
c) 56
d) 128
07. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer
04. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas
diferentes se PERUANO?
a) 16 d) 128
puede
b) 32 e) 256
leer
la
la palabra INGENIO uniendo letras vecinas?
palabra
c) 64
a) 64 d) 120
E C U D N I N D U C E E C U D N D U C E E C U D U C E E C U C E E C E E a) 16 d) 64
c) 343
RAZONARANOZAR RAZONANOZAR RAZONOZAR RAZOZAR RAZAR RAR R a) 63 d) 128
c) 64
148
c) 31
palabra RAZONAR, uniendo letras vecinas, en el siguiente arreglo?
cuántas formas diferentes se puede leer el número ciento veintitrés mil cuatrocientos cincuenta y seis?
b) 32
b) 32 e) 63
09. ¿De cuantas formas diferentes se puede leer la
06. En el siguiente triángulo numérico, ¿de
a) 16
c) 60
la palabra INDUCE uniendo letras vecinas.
maneras distintas que se lee la palabra TRABAJO.
b) 192 e) 729
b) 128 e) 256
08. De cuantas maneras diferentes se puede leer
05. En el arreglo mostrado, halle el número de
a) 2187 d) 64
e) 512
b) 64 e) 256
c) 127
10. ¿De cuantas maneras distintas se puede leer
la palabra ROMA en triangular: R R O R O M R O M A a) 12 d) 18
b) 32 e) 23
el siguiente arreglo
13. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas maneras
diferentes se puede leer la palabra EXITOSA?
R O R M O R c) 15
11. Determine el número de formas diferentes en
a) 130 d) 256
b) 132 e) 246
c) 128
que se puede leer la palabra CULTURAL 14. ¿De cuantas maneras se pude leer la palabra uniendo letras vecinas. COMPLETA, de modo continuo y uniendo letras vecinas en la siguiente distribución? C
O O M M M P P P P L L L L L E E E E E E T T T T T T T A A A A A A a) 128 d) 138
b) 168 e) 252
c) 140
12. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas
distintas se lee la palabra INDUCTIVO uniendo letras vecinas?
a) 124 d) 128
b) 126 e) 254
c) 253
15. ¿De cuantas maneras se puede leer, de forma
continua y uniendo letras vecinas, la palabra LEONEL en el siguiente esquema? L L L E E E E O O O O O N N N N N N E E E E E E E L L L L L L a) 96 d) 93
a) 60 d) 68
b) 65 e) 120
c) 75
149
b) 95 e) 94
c) 92
Chinito RM
Compendio Académico 2018
16. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer
ESTUDIOSO en el arreglo mostrado? E S S T T T U U U U D D D D D I I I I I I O O O O O O O S S S S S S S S
a) 256 d) 128
b) 254 e) 126
SALSA, de forma continua y uniendo letras vecinas en el siguiente esquema? esquema? S A A L L L S S S S A A A A A L L L L L L S S S S S S S A A A A A A b) 90 e) 78
c) 88
18. ¿De cuantas maneras se puede leer la palabra
música, de forma continua y uniendo letras consecutivas en el siguiente diagrama? C I S U M A C I S U A C I S A C I A C
a) 63 d) 60
b) 62 e) 59
distintas se puede leer la palabra ACTIVIDAD uniendo letras vecinas?
c) 512
17. ¿De cuantas maneras se puede leer la palabra
a) 80 d) 76
19. En el arreglo mostrado, ¿de cuántas maneras
U S I C A
S I C I C A C A A
c) 61
150
a) 172 d) 154
b) 162 e) 254
c) 170
