Physique II Cours de Mécanique du point
Pr. B.SAMOUDI
1
Quelques règles à savoir….
Pr. B.SAMOUDI
2013-2014
2
Quelques règles à savoir….
1. Le module module appe appelé lé Physique II est constitué de trois matières, mécanique du point(50 %), optique géométrique et ondulatoire (50 %). 2.Deux contrôles (de deux heures ) seront programmés pendant le deuxième semestre. 3.Une 3. Une seule session session de rattrapage sera organisée organisée après le dernier contrôle. Pr. B.SAMOUDI
3
Programme du cours Comment appréhender le cours de la mécanique du point ?
Pr. B.SAMOUDI
4
Programme du cours 1. Travailler régulièrement. 2. Ne jamais apprendre une formule par cœur et l’appliquer directement aux problèmes physiques.
3. Le cours et les TDs ne suffisent pas pour comprendre la mécanique. Pr. B.SAMOUDI
5
Organisation du cours : Introduction générale CH 1. Cinématique du point matériel CH 2. Composition du mouvement CH 3. Dynamique Newtonienne du point matériel CH 4. Travail, puissance énergie CH 5. Mouvement d’un point matériel dans un
champ central CH 6. Oscillations mécaniques Pr. B.SAMOUDI
6
Introduction générale
Quel est l’intérêt d’étudier la mécanique du
point ?
Pr. B.SAMOUDI
7
Introduction générale - La mécanique permet de décrire et comprendre le mouvement des points matériels. - La mécanique du point permet de prédire le mouvement d’un point matériel à partir de sa
position et vitesse initiale.
Pr. B.SAMOUDI
8
Introduction générale - L’étude du mouvement du point matériel est limitée à la mécanique classique. Dans ce cas, le temps est absolu et on peut parfaitement définir la position de l’objet dans l’espace.
- Le mouvement d’un mobile est un phénomène relatif. En effet, la trajectoire d’un mobile dépend de l’observateur,
qui constitue le système référentiel.
Pr. B.SAMOUDI
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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
1. Calcul vectoriel 1. 1 Produit Scalaire
On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et w une loi de composition externe dans R3 qui associeà ces deux vecteurs un nombre réel (dit scalaire) noté u ⋅ w :
produit ∀ V , W ∈ R → V ⋅ W ∈ R scalaire
Pr. B.SAMOUDI
3
10
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
1. Calcul vectoriel 1. 2 Produit Vectoriel On appelle produit vectoriel de deux vecteurs u et w 3 une loi de composition interne dans R qui associe à ces deux vecteurs un vecteur noté u ∧ w tel que : a a ' bc '− cb ' u ∧ w = b ∧ b ' = ca '− ac ' c c ' ab '− ba ' Propriété importante du double produit vectoriel :
u ∧ (v ∧ w) = (u ⋅ w)v − (u ⋅ v ) w Pr. B.SAMOUDI
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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
1. Calcul vectoriel 1. 3 Produit mixte On appelle produit mixte de trois vecteurs u , v et w pris dans cet ordre, le nombre réel défini par :
u ⋅ (v ∧ w) Il est facile de montrer que :
u ⋅ (v ∧ w) = v ⋅ (w ∧ u ) = w ⋅ ( u ∧ v )
On dit que le produit mixte est invariant par permutation circulaire. Pr. B.SAMOUDI
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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
1. Calcul vectoriel 1. 4 Moment d’un vecteur par rapport à un point
Le moment d’un vecteur F par rapport à un
point est donné par :
O
M O ( F ) = OP ∧ F M O ( F ) = F × d
d P
Pr. B.SAMOUDI
F
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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
1. Calcul vectoriel 1. 4 Moment d’un vecteur par rapport à un axe
(∆ )
u
Le moment d’un vecteur F par rapport
O
à l’axe (Δ) est donné par :
(
)
M ( ∆ ,u ) ( F ) = M O ( F ) ⋅ u = OP ∧ F ⋅ u
u est le vecteur unitaire de l’axe (∆).
Pr. B.SAMOUDI
P
F
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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 1 La cinématique La cinématique permet de décrire de manière générale l’évolution d’un objet sans s’intéresser aux causes de
mouvement.
Quels sont les paramètres qui rentrent en jeu dans la cinématique ?
Pr. B.SAMOUDI
15
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 2 Notion du point matériel Il s’agit d’un point géométrique associé à un système
matériel dont la position est parfaitement déterminée par la donnée de trois coordonnées.
Pr. B.SAMOUDI
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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 3 Notion de référentiel Un référentiel est un système d’axes définissant un espace donné, lié à un observateur muni d’un horloge. En mécanique classique, le temps s’écoule de la même
manière dans tous les référentiels.
Pr. B.SAMOUDI
17
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 3 Notion de référentiel Un référentiel est un système d’axes définissant un espace donné, lié à un observateur muni d’un horloge. En mécanique classique, le temps s’écoule de la même
manière dans tous les référentiels.
Pr. B.SAMOUDI
18
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 3 Notion de référentiel On distingue plus particulièrement les référentiels de Copernic, géocentrique et terrestre : Le référentiel de Copernic : Origine : Centre de système solaire Axe dirigés vers les étoiles de directions fixes par rapport au soleil. Pr. B.SAMOUDI
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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 3 Notion de référentiel Le référentiel géocentrique : Origine : Centre de la terre Axes parallèles à ceux du référentiel de Copernic
Pr. B.SAMOUDI
20
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 3 Notion de référentiel Le référentiel terrestre : Origine : point de la surface de la terre Axes fixes par rapport à la terre
Pr. B.SAMOUDI
21
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 4 Repère et coordonnées Pour tout observateur, 3 coordonnées suffisent à positionner un point dans l’espace.
En général, on distingue trois systèmes de coordonnées : système cartésien, système cylindrique et système sphérique.
Pr. B.SAMOUDI
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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 4 Repère et coordonnées Système cartésien :
z
z M (x,y,z)
OM = xe x + ye y + zez
e x , ey et ez
dt
=
de y
référentiel d’observation
de x
Sont immobiles par rapport au
=
dt
Pr. B.SAMOUDI
dez dt
=0
e x x
e z
ey
y y
x
23
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées Système Cylindrique :
z
Le vecteur position s’écrit :
z
e z
er
Les coordonnées cylindriques du point M sont : (r ,θ , z )
Pr. B.SAMOUDI
eθ
M
OM = rer + zez
Les composantes du vecteur position OM dans la base cylindrique (er ,eθ , ez ) sont : (r ,θ , z )
y
e z x
θ
eθ
r
er 24
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées Système Cylindrique : Relations importantes :
e z
eθ
M
er
eθ = − sin θ e x + cos θ ey d e z = 0 dt d d er = θ eθ , eθ = −θ er dt dt Pr. B.SAMOUDI
z
er = cos θ ex + sin θ ey
z
y
e z x
θ
eθ
r
er 25
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées Système Sphérique : Le vecteur position s’écrit :
z
z
er eϕ
M (x,y,z)
OM = rer
Les coordonnées sphérique du point M sont : (r ,θ ,ϕ ) Les composantes du vecteur position OM dans la base sphérique (er ,eθ , ez ) sont : (r ,θ ,ϕ ) Pr. B.SAMOUDI
θ
eθ y
x
ϕ
r
eϕ
26
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées Système de Frenet :
eT Est dirigé dans le sens du mouvement e N Est dirigé selon la concavité de la
trajectoire
e N
M e T
e N : Vecteur normal
eT : Vecteur tangent
( eT , eN , eB )
e N
M eT
La base de Frenet est donnée par :
eT e N
M
Avec : e B = eT ∧ eN Pr. B.SAMOUDI
27
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées Abscisse curviligne s La distance algébrique mesuré sur la trajectoire entre le point O et le point M .
Pr. B.SAMOUDI
eT e N
M e N
e N
M eT
O M e T
28
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.1 Vecteur déplacement élémentaire Vecteur déplacement :
∆
M (t )
∆
= OM '(t ') − OM (t )
O
Vecteur déplacement élémentaire : d
M '(t ')
= lim OM '(t ') − OM (t ) = d OM t ' −t →0
Pr. B.SAMOUDI
M '(t ') M (t ) d O 29
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.1 Vecteur déplacement élémentaire A partir de l’expression précédence : d
= lim OM '(t ') − OM (t ) = d OM t ' −t →0
Nous avons :
OM = xe x + ye y + zez
Donc : dOM = dxe x + xdex + dyey + ydey + dzez + zdez Ainsi : Pr. B.SAMOUDI
d
= dxe x + dyey + dzez 30
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.2 Vecteur vitesse d v ( M ) = Nous avons : dt
Donc : Ou : Ou : Pr. B.SAMOUDI
dx dy dz v (M ) = e x + ey + ez dt dt dt
x + ye y + ze z v ( M ) = xe x
v ( M ) = y z
31
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.3 Vecteur accélération d Nous avons : a ( M ) = v ( M ) dt
Donc : Ou :
2
xe x
2
2
d x d y d z a ( M ) = 2 e x + 2 ey + 2 ez dt dt dt
a(M ) =
+
x Ou : a ( M ) = y Pr. B.SAMOUDI z
ye y
+ zez
32
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.1 Vecteur déplacement élémentaire Vecteur déplacement :
Ainsi : Pr. B.SAMOUDI
OM = rer + zez
Nous avons : Donc :
d OM = drer + rder + dzez + zdez d
= drer + rder + dzez 33
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cylindrique 3.1.1 Vecteur déplacement élémentaire
der ?
Nous avons :
d
= drer + rder + dzez
der d θ
Par conséquent : Pr. B.SAMOUDI
= eθ Ceci implique
d
der = dθ eθ
= drer + rdθ eθ + dzez 34
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.2 Vecteur vitesse Nous avons : d v ( M ) =
Donc : Ou :
dt
dr rdθ dz v (M ) = er + eθ + ez dt dt dt r + rθ eθ + ze z v ( M ) = re r
v ( M ) = r θ Pr. B.SAMOUDI z
Ou :
35
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.3 Vecteur Accélération Nous avons : a ( M ) = d v ( M ) dt
Donc :
a (M ) =
d dt
r )+ ( re
(1) Pr. B.SAMOUDI
d
( dt
rθ e
(2)
θ
d
) ) + dt ( ze z
(3)
36
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.3 Vecteur accélération Terme (1) :
dr d r)= r + r θ eθ er + r er = re ( re dt dt dt d
Pr. B.SAMOUDI
37
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.1.3 Vecteur accélération d d Terme (2) : r θ eθ + r θ eθ ( θ ) = dt dt dt d d rθ eθ ) = rθ eθ + r θ eθ + θ eθ ( dt dt d
d
( dt Pr. B.SAMOUDI
rθ e
rθ e
θ
)=
rθ e
θ
+ r θ eθ
(
2 −θ e r
) 38
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.3 Vecteur accélération Terme (2) :
d
( dt Pr. B.SAMOUDI
rθ e
θ
)=
2 −rθ e
r
+(
rθ + rθ e
)
θ
39
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.3 Vecteur accélération Terme (3) :
d dt
Pr. B.SAMOUDI
z ) = ( ze
zez
40
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cylindrique 3.1.2 Vecteur accélération Conclusion :
(
2
a ( M ) = r − rθ
Pr. B.SAMOUDI
)e + ( r
e 2rθ + rθ θ
)
zez +
41
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.1 Vecteur déplacement élémentaire Vecteur déplacement : Nous avons :
OM = rer
Donc :
d OM = drer + rder
Ainsi :
d
Pr. B.SAMOUDI
= drer + rder 42
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.1 Vecteur déplacement élémentaire z En effet :
er = cos θ ez + sin θ (cos ϕ ex + sin ϕ e y )
er = sin θ cos ϕ ex + sin θ sin ϕ e y + cos θ ez
x
eϕ = − sin ϕ e x + cos ϕ e y Pr. B.SAMOUDI
e z
θ
eθ
er
y
D’autre part :
er eϕ
M (x,y,z)
er = cos θ ez + sin θ e p
ϕ e p
eϕ H 43
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.1 Vecteur déplacement élémentaire
z
Finalement :
− sin ϕ
sin θ cos ϕ
cos ϕ cos θ
eθ = eϕ ∧ er = cos ϕ ∧ sin θ sin ϕ = cos θ sin ϕ
0
cos θ
− sin θ
e z
er eϕ
M (x,y,z)
θ
eθ
er
y
x
ϕ e p
eϕ H
Pr. B.SAMOUDI
44
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.2 Vecteur vitesse On obtient finalement :
der = d θ eθ + sin θ dϕ eϕ
Soit : d Pr. B.SAMOUDI
= drer + rdθ eθ + r sin θ dϕ eϕ 45
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.2 Vecteur vitesse d v ( M ) =
dt
sin θ θ ϕ dr rd r d Donc : v ( M ) = er + eθ + ez dt dt dt ez Ou : r + rθ eθ + r sin θϕ v ( M ) = re
Ou : Pr. B.SAMOUDI
r v ( M ) = r θ r sin θϕ
46
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération d a (M ) = v ( M ) dt
Nous avons : Donc :
a (M ) =
Pr. B.SAMOUDI
d
r )+ ( re
dt (1)
d
( dt
rθ e
(2)
θ
d
) + dt ( r sin θϕ e ) z
(3) 47
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération Terme (1) :
dr d r)= er + r er ( re dt dt dt d
d Terme (2) : eθ ( θ ) = θ + r θ eθ + θ dt dt d d rθ eθ ) = ( rθ + rθ ) eθ + rθ eθ ( dt dt d Déterminer eθ ? Pr. B.SAMOUDI dt d
rθ e
rθ e
48
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération Terme (2) : d d rθ eθ = rθ eθ + r θ eθ + θ eθ dt dt d d rθ eθ = rθ + rθ eθ + rθ eθ dt dt
Pr. B.SAMOUDI
(
)
(
) (
)
d Déterminer eθ ? dt 49
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération Terme (2) :
Nous avons :
eθ = cos θ cos ϕ e x + cos sin ϕ e y − sin θ ez
Donc :
d eθ = −θer + ϕ cos θ eϕ dt
(à vérifier )
Pr. B.SAMOUDI
50
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération Terme (3) : d d d r sin θϕ eϕ = r sin θ ϕ eϕ + r sin θ ϕ eϕ dt dt dt d r sin θ = r sin θ + r θ cos θ dt
(
d dt
)
ϕ eϕ = ϕeϕ
Pr. B.SAMOUDI
d + ϕ eϕ dt
d dt
eϕ ?
51
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération Nous avons : eϕ = er ∧ eθ
Donc :
deϕ dt
=
der dt
∧ eθ + er ∧
0
= θ
0
Pr. B.SAMOUDI
1
deθ dt
−θ
∧ 1 + 0∧ 0
ϕ sin θ
0
0
ϕ co θ
= −ϕ sin θ er − ϕ cos θ eθ
52
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération Terme (3) :
d
r sin θϕ e ) = ( r sin θ ( dt ϕ
Pr. B.SAMOUDI
+ rθ cos θ
) ϕ e ϕ
+ r sin θ (ϕeϕ + ϕ ( −ϕ sin θ er − ϕ cos θ eθ ) )
53
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération Conclusion :
a=
(
2 r − rθ
2
+(
2 2rθ + rθ − rϕ sin θ
+(
cos θ 2rϕθ
Pr. B.SAMOUDI
− rϕ sin θ ) er 2
)
cos θ e θ
+ 2rϕ sin θ + rϕ sin θ ) eϕ 54
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.1 Vecteur déplacement élémentaire d
= dseT
eT d M (t )
e N O
ds ?
Pr. B.SAMOUDI
55
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.1 Vecteur déplacement élémentaire d
ds =
eT
d
= dseT
dx 2 + dy 2 + dz 2 (repère cartésien)
M (t )
e N O
2
= dr + ( rdθ ) + dz 2 (repère cylindrique) 2
2
= dr + ( rdθ ) + ( r sin θ dϕ ) 2
Pr. B.SAMOUDI
2
( repère sphérique ) 56
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.2 Vecteur vitesse ds v (M ) = eT dt
Pr. B.SAMOUDI
57
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.3 Rayon de courbure La courbure (scalaire ) au point M est définie de la
manière suivante :
C =
d ψ ds
Le rayon de courbure est donné par : R = Pr. B.SAMOUDI
1 C
=
ds
ψ d ψ 58
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.3 Rayon de courbure
d T e=
ds deT = dψ eN = eN R deT e N
ds
=
Pr. B.SAMOUDI
eT '
eT M '(t ')
lim (eT ( M ') − eT ( M ))
M ' → M
M (t )
eT
d ψ ψ
e N O
d ψ ψ
deT
eT '
( sin(dψ ) = d ψ )
R 59
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.4 Vecteur accélération ds d Nous avons : a ( M ) = v ( M ) et v ( M ) = eT Donc :
deT ds
=
dt 2 d s ds deT a ( M ) = 2 eT + dt dt dt
e N
Pr. B.SAMOUDI
deT dt
?
ds 1 e N = dt dt R
Donc :
2
d s ds 1 a ( M ) = 2 eT + eN dt dt R
dt
deT
R
Ainsi :
2
60
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.4 Vecteur accélération
v ( M ) =
Puisque : Alors :
Pr. B.SAMOUDI
ds dt
2
d v (M ) v ( M ) a(M ) = eT + eN dt R
61
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.1 Mouvement rectiligne
y
Mouvement rectiligne uniforme
v ( M ) = cte a ( M ) = 0
OM
e y O
e x
M
v ( M )
x
La courbure C = 0
Soit : R = ∞ Pr. B.SAMOUDI
62
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Mouvement Circulaire Mouvement circulaire uniforme
v ( M ) ≠ cte
a ( M ) ≠ cte
y
v ( M )
v ( M ) = cte
a ( M ) = cte
OM
e y O
= 0, r = R, r = θ = Cte, θ 0 1 La courbure C = R Pr. B.SAMOUDI
e x
x
63
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Mouvement Circulaire Mouvement circulaire uniforme
v (M ) =
a(M ) =
v ( M )
eθ
er
OM = rer
y
OM
e y
rθ e
O
e x
x
θ
2 −rθ e
Pr. B.SAMOUDI
r 64
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement Mouvement hélicoïdal : Mouvement de rotation uniforme dans le plan (er , eθ ) et un mouvement de translation uniforme suivant l’axe (Oz).
À étudier de préférence dans le repère cylindrique. Pr. B.SAMOUDI
65
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement Mouvement hélicoïdal :
OM = rer + zez
Mouvement translation uniforme suivant (Oz) : z = v z t
Donc :
v (M ) =
a (M ) = Pr. B.SAMOUDI
rθ e
θ
z
M
H
+ v z ez
eθ
er
θ
2 −rθ e
r 66
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement Mouvement de spiral : Mouvement de rotation dans le plan (er , eθ ) avec une variation de la coordonnée r. À étudier de préférence dans le repère cylindrique. Pr. B.SAMOUDI
67
Chapitre 1 : Cinématique du point matériel
3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement
eθ
Mouvement de spiral :
er θ d
OM = rer
v (M ) =
a (M ) =
r + rθ eθ re
(
Pr. B.SAMOUDI
2 r − rθ e
)
r
+(
2rθ + rθ e
)
θ
68
