Resolução da lista FOTÔNICA
Óptica de raios, reflexão, refração e reflexão interna total 1)
Através dessa figura podemos podemos observar que a luz não não leva o mínimo percurso como diz o principio de Fermat para chegar a um determinado ponto e sim o tempo mínimo. Como velocidade(v)=espaço(S)/tempo(t) velocidade(v)=espaço(S)/tempo(t) Conforme a figura s=AP+PB (1) v=velocidade da luz=c Por pitagoras e substituindo em (1) AP= e PB=
√ c.t=√ + (2)
Derivando (2) em relação a x e igualando a 0 pois o tempo mínimo (curva parábola com concavidade para cima) temos:
Reagrupando encontramos que:
(3) E vendo na figura vemos 2 triângulos os quais:
Substituindo em (3) concluímos que θ’= θ (c.q.d)
2)
Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos formados na figura, figura, achamos as expressões: L12=a2+x2 (1) e L22=b2+(d-x)2 (2) Sabemos que o tempo total é: t= (3)
v= (4)
(4) em (3) temos: t= (5)
Como o tempo tem que ser o mínimo a derivada de (5) tem que ser igualada a zero.
=0 Assim: =
=0 (6)
Derivando ambos os lados de (1) temos: 2.L1. =2x
=
E pela figura
é senθ1
E fazendo o mesmo com (2) 2.L2. =2(d-x) (-1)
2)
Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos formados na figura, figura, achamos as expressões: L12=a2+x2 (1) e L22=b2+(d-x)2 (2) Sabemos que o tempo total é: t= (3)
v= (4)
(4) em (3) temos: t= (5)
Como o tempo tem que ser o mínimo a derivada de (5) tem que ser igualada a zero.
=0 Assim: =
=0 (6)
Derivando ambos os lados de (1) temos: 2.L1. =2x
=
E pela figura
é senθ1
E fazendo o mesmo com (2) 2.L2. =2(d-x) (-1)
= - E pela figura - é –senθ2 Assim substituindo em (6) chegamos chegamos em:
.(n1. senθ1+n2. –senθ2).=0 E ajustando temos que: n1.senθ1=n2.sen θ2 (c.q.d)
3) n1.senθ1=n2.sen θ2 1.sen35º=1,5.sen θ2 θ2=22,48º
d=2,16cm cos θ2=
=n.d =2,16.1,5 =3,2467cm
4) n1.senθ1=n2.sen θ2
1.sen (θ/2 + θ/2)=1,7.sen θ/2 2.sen θ/2.cos θ/2 =1,7.sen θ/2 cos θ/2=0,85 θ=63,57º
5) 1. sen90º= nl.sen nl=1,2637
1.sen55º=4/3.sen θ2 6) 1.sen55º=4/3.sen θ2=37,905º
tg(37,905º)=
L=1,1679m
7)1.sen90=4/3.senθ
θ=48,59º
tg(48,59º)=
D=181,423cm
8-a) 1,52.senθa =1.sen90º θa=41,13º
+90+41,13º=180º max =48,87º
b) 1,52.senθa =4/3.sen90º θb=61,305º
+90+61,305=180º max =28,695º
Ondas e Polarização 1) k0=
k0=9,9Mm1 k=ko.n k=9,9M.1,33 k=13,167 [µm1]
2)Hipóteses: Δ<<
Δλ<<λ
Temos que:
λ=
e λ+ Δλ=
Fazendo a relação entre as expressões temos:
= = => = 1+ = = - 1 = = -
E assim podemos dizer que:
=
~ ⃗ .̂̂ 3) ⃗=Re{ ⃗=Re{⃗̂⃗ ̂
ou
Pela identidade de Euler:
=cos +j.sen
Temos:
⃗=Re{⃗ ̂⃗ ( ) ( )̂
Portanto:
⃗= ̂ ̂ ( )
4-a) Ez = E0 cos(kx − ωt ) Ez = E0 cos[w(kx/ω − t )] Comparando com a equação dada: w=.1015rad/s
b) f= f=0,5.1015Hz λ=
Pela equação vemos que v=0,65.c 0, assim: λ=
λ=390nm
c) w=c.k Na parta da equação em que aparece kx/ω, substituindo fica:
kx/c.k e cortando os K’s temos x/c=x/v mais na equação do enunciado aparece 0,65.c0 que é “v”, mais sabemos que: v= c0/n Assim: 0,65.c0=c0/n n=1,5384
d) Propagação na direção x : E = E 0 cos( kx ± ω t ) que esta de acordo com a equação do enunciado...portando direção x
5-a) v=
=
5.10 m -7
Por regra de 3: 360º – 5.10-7 30º – d d= 4,167nm
b) T=
T=1,667.10-15 Por regra de 3: 1,667.10-15 – 360º 10-6 – =
2,159.1011º
c) por regra de 3:
1onda –1,667.10-15 N – 10-6 N=5,99.108 ondas
6-a)ex: E = E0 cos(kz − ωt +π) onda adiantada em π rad
Comparando: k = 2107 m1
b) para z=t=0, sobra apenas o π
c) Propagação na direção z : E = E 0 cos( kz ± ω t ) que esta de acordo com a equação do enunciado...portando direção z
d) Como é linearmente polarizada:
Campo magnético na direção de y
e) A direção e sentido do vetor de Poynting é perpendicular a ambos os campos : elétrico e magnético, portanto: -z
f) v = v= = 2.10 m/s v= 8
2.108.n=3.108 n=1,5
7-a) Pela equação dada E0=10V/m b) Propagação na direção z : E = E 0 cos( kz ± ω t ) que esta de acordo com a equação do enunciado...portando direção z
c) w=8π.1014 w=2 π.f f=4.1014Hz
d) c=.f 3.108=.4.1014 =750nm
8-a) Propagação na direção y : E = E 0 cos( kx ± ω t ) que esta de acordo com a equação do enunciado...portando direção y
b) A direção de propagação de uma onda magnética é perpendicular e em fase à onda de propagação elétrica, sendo assim planos transversais. Portanto, a direção de H é z
c) A direção e sentido do vetor de Poynting é perpendicular a ambos os campos : elétrico e magnético, portanto: -x
d) w =
.
w = 0,08. π.1016 rad/s c=
3.10 = 8
k=8,3775 µm-1
Potência e Irradiância. 1) P =
E=103 J E=N.h.f 103=N.6,62.10-34.700000 N=2,158.1030 fótons
2) Definição do vetor de Poynting: =
⃗ ⃗ ⃗=Re{⃗. ⃗ . ⃗=Re{ ou
⃗=⃗. ⃗=⃗. Usando a Identidade de Euler, temos que:
=⃗ ⃗.cos (kz-wt) 2
valor instantâneo
Valor médio:
⃗ ⃗. 2
< >=
∫
=
cos2 θ= (1+cos )
∫ +∫ ]
=
=
Assim:
= ⃗ ⃗ 3) I =
I=63,662 MW/m²
I = .ε.c
63,662 M = E0=2,189.105 V/m
4-a) I = .ε.c 10 = . E0=86,79mV/m
b) I =
H0=239,434 A/m
c) Hemisfério =meia-esfera Aesfera=4.π.r 2 r=10Km
0,5Aesfera=628,32Mm² I=P/A
10 =P/628,32M
P=6,283kW
5-a)
θ/2=0,085m rad
tg(θ/2)=
r=3,4.10-3m
I= I=82,6063 W/m2
b) 82,6063=
P=1,669MW
Polarizadores e Lei de Malus 1) IT = I0 cos2θ (áreas iguais, corta dos dois lados e sobra potencia) PT=100m.cos230º PT=74,999mW
2) Para perpendiculares e ideais: cos2θ = 0,5
IT = I0 cos2θ IT = 300m.0,5 IT=150mW/cm2
3) Após o primeiro polarizador: I1=43.cos270º I1=5,030 W/m2 A diferença angular entre os dois polarizadores é 20º, assim após o 2º polarizador irá ter uma irradiância de: I= I1. cos220º
I=4,441 W/m2
4) I1=Ii.cos2θ (1) 0,1.I1=I1.cos2(90- θ) (2) Substituindo 1 em 2 temos: 0,1= cos2θ. cos2(90- θ) 0,1= cos2θ.[ cos90º. cosθ+ sen90º. senθ]2 0,1= cos2θ. sen2θ 0,1= cos2θ. (1- cos2θ) cos4θ- cos2θ+0,1=0 chamando cos2θ de x temos: x2-x+0,1=0 resolvendo (0,8873;0,1127)
Assim, Para x=0,8873: cos2θ=0,8873 θ=19,61º
Para x=0,1127: cos2θ=0,1127 θ=70,384º
Interferência.
1) Duas ondas de luz se superpõem em certo ponto do espaço. As componentes do campo elétrico nesse ponto são E E cos t e E
E
cos( t ) .
Escreva a expressão do campo resultante
(amplitude e fase). Passando para coordenadas retangulares:
Somando os 2:
Voltando para coordenadas polares:
|| ̃
Portanto:
Re: E = 1.81E 0 cos( t + 25)
2) Duas fontes pontuais de ondas de rádio S e S , separadas por uma distância d = 2.0 m, estão radiando em fase com = 0.50 m. Um detector percorre um caminho circular de raio r d em torno das duas fontes. O caminho percorrido pelo detector está em um plano que contém o eixo ( x ) que liga as fontes. Quantos máximos ele detecta?
E
D C B
S1
A
S2
Notando que no ponto E a diferença entre os percursos dos sinais das fontes S1 e S2 é igual a d=2m = 4 (pois = 0,5m), e que no ponto A a diferença entre os percursos é nula, concluímos que deve haver outros 3 pontos (B,C e D) tal que as diferenças entre os percursos serão respectivamente igual a , 2 e 3.
Em todos estes pontos, o detector irá detectar um máximo, pois nestes pontos ocorrerá a condição de interferência construtiva entre os sinais (número inteiro de ). Repetindo o raciocínio para toda a circunferência, chega-se à conclusão de que haverá 16 pontos de interferência construtiva, e portanto, 16 máximos detectados. Re: 16 máximos 3) Dois feixes de luz colimados de frequência = 5.64 1014 Hz se propagam em um meio com índice de refração n = 1.5. Os feixes têm vetores de propagação k1 = k x e k2 = k y (i.e., se propagam em direções ˆ
ˆ
ortogonais) e interferem em uma região do espaço. Calcule o número de franjas por milímetro (franjas/mm) do padrão de interferência na direção
K = k1 k2.
̂̂ ̂̂ || √ √ √ √ Re: N = 3988 franjas/mm. 4) Um experimento de fenda-dupla de Young utiliza uma fonte de luz branca. Se a franja clara de primeira ordem da componente
infravermelha (780 nm) coincide com a franja clara de segunda ordem da componente violeta, qual o comprimento de onda dessa última?
Coincidem:
Re: VIO = 390 nm. 5) Em uma experiência de interferência com duas fendas, a distância entre as fendas é de 0,1 mm e a tela está colocada a uma distância de 1 m. A franja brilhante de 3ª ordem forma-se a uma distância de 15 mm da franja de ordem 0. Calcular o da luz utilizada.
Re: = 500 nm.
6) Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática de comprimento de onda = 633 nm. Quando um dos espelhos é movido uma distância d (na direção do feixe incidente), observa-se que 60 franjas claras passam no processo. Determine d .
Re: d = 19 m
7) Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática. Um dos espelhos é então movido 25 m e observa-se que 90 franjas claras passam no processo. Determine o comprimento de onda da luz incidente.
Re: = 556 nm 8) Considere um filme fino depositado sobre uma lente, como ilustra a figura abaixo. Um feixe de luz colimado com 0 = 532 nm incide perpendicularmente à superfície da lente. Calcule a espessura d do filme para que as ondas refletidas na 1ª interface (onda 1) e na 2ª interface (onda 2) interfiram destrutivamente. (1)
(2)
Ar: n = 1 Filme: n = 1.3
d
Lente: n = 1.5
( )
Como:
Portanto:
Re: d = 102 nm
9) Um interferômetro de Michelson é utilizado para medir o índice de refração do ar na temperatura e pressão ambientes. Para isso, uma célula de vidro de comprimento d = 10 cm é inserida
em
um
dos
braços
do
interferômetro. (Despreze a espessura das paredes de vidro da célula). Luz de comprimento de onda = 590 nm é utilizada. Considere que a célula está inicialmente cheia de ar. Em seguida, o ar é bombeado para fora da célula, fazendo-se vácuo no seu interior. Sabendo que 129 franjas claras passam nesse processo, calcule o índice de refração
do
ar
com
6
dígitos
significativos.
Re: n AR = 1.00038.
Difração.
1) Um feixe laser colimado com = 550 nm incide em uma fenda estreita. Numa tela situada a 5 m observa-se um padrão de difração, sendo que a distância do primeiro mínimo ao máximo brilhante central é de 30 mm. Qual é a largura da fenda?
Onde: Portanto: ̃ Dados:
Re: b = 92 m
2) Um feixe de luz colimado de comprimento de onda = 633 nm incide normalmente em uma fenda de largura 0.5 mm. Uma lente de distância focal 50 cm, colocada imediatamente após a fenda, focaliza a luz difratada em uma tela colocada no plano focal da lente. Calcule a
distância do primeiro mínimo de irradiância com relação ao centro do padrão de difração (máximo central).
Dados:
Portanto:
̃ Re: 633 m
3) Um feixe laser colimado incide sobre uma rede de difração que tem 500 linhas por mm. Em um anteparo colocado a 1 m da rede, o máximo central e o de primeira ordem estão separados por 30 cm. Determinar o comprimento de onda do laser.
Dados:
Onde:
Portanto: ̃ Re: = 575 nm
4) A luz de um laser incide sobre uma rede de difração com 5310 linhas/cm. O máximo central e o de primeira ordem estão separados por 0.49 m num anteparo distante 1.72 m da rede. Determinar o comprimento de onda do laser.
Dados:
Onde: Portanto: ̃ Re: 516 nm
5) Um feixe laser colimado ( = 633 nm) emerge através de uma abertura circular de diâmetro 0,5 cm. Estimar o diâmetro do feixe a 10 km do laser.
̃
Dados:
Re: 3.09 m
6) Qual o tamanho do telescópio (raio de abertura) necessário para resolver a imagem de duas estrelas cuja separação linear é de 100 milhões de km e cuja distância à terra é de 10 anos luz? (Considere = 500 nm).
Dados:
Re: 28.9 cm
7) O telescópio de Monte Palomar tem um espelho de 508 cm de raio. a) Qual a distância que devem ficar dois objetos na superfície da lua para serem observados pelo telescópio segundo o critério de Rayleigh? b) Calcular essa distância se os objetos fossem observados apenas com o olho. Considere = 500 nm; Distância Terra –Lua: 384.400 km; Diâmetro do olho: 4 mm. Dados:
Re: a) 23 m ; b) 58.6 km
8) Duas manhas solares aparecem na superfície do sol a uma distância de 90 km entre elas. Qual deve ser o diâmetro do espelho de um telescópio situado na terra para resolver essas duas manchas segundo o critério de Rayleigh? Considere = 550 nm e a distância Terra-Sol de 8 minutos-luz.
Dados:
Re: 1.07 m
Semicondutores.
1) Considere uma pastilha de Silício com as dimensões descritas abaixo, na temperatura T = 300 K. Dados: cm2/Vs e
p =
ni =
1.5 1010 cm3,
n =
1350
480 cm2/Vs
a) Se a pastilha é de Si puro (intrínseco), qual deve ser a diferença de
potencial (V ) que deve ser aplicada para circular uma corrente de 1 A ? b) Se a pastilha é de Si tipo N , com N D = 5 1014 cm3 (i.e., adição de 1 átomo de impureza para cada 10 8 átomos de Si) qual deve ser a diferença de potencial que deve ser aplicada para circular um a corrente de 1 A ?
3 mm 100 m 50 m i =
V =
?
1 A
( ) ̃ ( ) ̃ a) 1370 V; b) 56 mV
2) Uma barra de semicondutor tipo N de silício tem comprimento L = 3 mm. As faces conectadas aos terminais são metalizadas e têm dimensões de (50100) m. A concentração de impurezas doadoras é de 5 1012 cm –3 e a concentração de átomos de silício é de 5 1022 cm –3. Considere T = 300 K. A concentração intrínseca do silício cm –3, a mobilidade dos elétrons lacunas
p =
n =
ni =
1.5 10 10
1350 cm2/(V.s) e a mobilidade das
480 cm2/(V.s). A carga elementar e = 1.6 10 –19 C.
a) Qual a corrente que flui através da barra devido aos portadores
majoritários?
b) Qual a corrente que flui através da barra devido aos portadores
minoritários?
i
+ 1000 V
L = 3 mm
a)
Semicondutor tipo N portadores majoritários = elétrons
Portanto:
b) Portadores minoritários lacunas
⁄ ⁄
a) 180 A; b) 576 pA
3) Determine a variação da tensão nos terminais de um diodo correspondente a uma variação de 20:1 na corrente que circula através dele. Considere T = 300 K, o fator de idealidade = 2 e a corrente que
circula através do diodo muito maior que a corrente de saturação reversa (i >> iS ).
Re: V = 155 mV
4) Qual deverá ser o valor da resistência R na figura abaixo para que a corrente através do diodo seja de 0,20 mA? Considere uma queda de tensão de 0,7 V no diodo de silício. Dados:
Pela figura, temos:
:
Como os resistores de 10kΩ, estão em paralelo, calculamos
, utilizando o valor encontrado de :
Em seguida calcula-se a tensão
Pela Lei de Kirchoff dos nós, temos:
Portanto:
Re: R = 19.8 k
5) O LED da figura abaixo opera com um queda de tensão de 2 V e tem especificação de potência máxima de 100 mW. Calcule o valor mínimo da resistência R que impede o LED de se queimar. i1
i2
24
24 i5
30 V
i3
2V
12
Máxima potência no LED :
i4
R
6
Leis de Kirchhof :
de onde tem-se :
de onde tem-se : Temos também que:
– – –
de onde tiramos que
27.2 6) A figura abaixo ilustra a resposta espectral de um fotodiodo de Si com área ativa de 2 mm 2. A corrente de saturação reversa i s = 5 nA, T = 300 K e o fator de idealidade = 1. Considere o fotodiodo uniformemente iluminado com luz de comprimento de onda e irradiância I . 2
a) Se = 600 nm e I = 10 mW/cm , estime a tensão nos terminais do
fotodiodo se ele é operado no modo fotovoltaico, considerando seus terminais em circuito aberto. 2
b) Se = 950 nm e I = 100 mW/cm , estime a corrente que circula pelo
fotodiodo se ele é operado no modo fotovoltaico, considerando seus terminais curto-circuitados.
A tensão : Dados:
a)
Pelo gráfico, tem-se:
Portanto:
A tensão de saída é dada por:
b)
Pelo gráfico, tem-se:
Portanto:
A corrente de saída é dada por:
Re: a) V = 250 mV ; b) i = 1.2 mA
7) Considere um cristal de GaAs puro. O cristal está em equilíbrio térmico na temperatura ambiente T = 300 K e a concentração intrínseca
ni =
1.8
106 cm3. Devido à energia térmica, pares elétrons-lacuna são
produzidos constantemente, existindo um equilíbrio entre as taxas de geração (G) e de recombinação ( R ), i.e., G = R . Considere: 1) A taxa de recombinação R = rnp, com r 2 1010 cm3/s o parâmetro de recombinação elétron-lacuna, n a densidade de elétrons livres e p a densidade de lacunas; 2) 50% das recombinações são radiativas. Assuma por simplicidade que os fótons emitidos têm a energia do bandgap E g = 1.42 eV. a) Calcule a densidade de potência óptica (em Watts/cm 3) emitida pelo
cristal; b) Determine a frequência da luz emitida; c ) A qual faixa do espectro eletromagnético pertence essa radiação?
a)
concentração de elétrons e lacunas :
(semicondutor intrínseco)
Recombinação produz:
⁄ 50% das recombinações são radiativas (produzem fótons)
